автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Теоретический и численный анализ задач идентификации для линейных моделей конвекции - диффузии - реакции

на правах рукописи

УДК 517 9

КАЛИНИНА Евгения Александровна

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ-РЕАКЦИИ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности

05 13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

иии1 с4178

Владивосток - 2007

003174178

Работа выполнена в Уссурийском государственном педагогическом институте и Институте прикладной математики ДВО РАН

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор Алексеев Г В доктор физико-математических наук, Зарубин А.Г

кандидат физико-математических наук, Смирнов С В

Институт математики и механики УрО РАН

Защита состоится 30 октября 2007 года в 15 30 часов на заседании дие-сертационнного совета ДМ 218 003 03 при Дальневосточном государственном университете путей сообщения по адресу 680021, г Хабаровск, ул Серышева, 47, ауд 204

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Дальневосточного государственного университета путей сообщения

Автореферат разослан 28 сентября 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

Л Д Терехов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования.

Применение метода математического моделирования к исследованию процессов распространения загрязняющих веществ в природных водоемах или в атмосфере приводит к необходимости решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих распространение загрязнений в рассматриваемых областях Указанные краевые задачи содержат ряд термогидродинамических, биохимических и других параметров, а также функции, описывающих плотности источников загрязнения Для того, чтобы однозначно определить решение соответствующей краевой задачи адекватно описывающей рассматриваемый процесс, значения всех входных параметров, начальных и граничных функций, а также плотностей граничных и распределенных источников должны быть известны

Однако на практике часто возникают ситуации, когда некоторые из указанных параметров или плотностей источников неизвестны В этих случаях приходится наряду с искомым решением рассматриваемой краевой задачи отыскивать и неизвестные плотности источников либо параметры, используя некоторую дополнительную информацию о решении

Приведенные примеры являются примерами так называемых задач идентификации для моделей распространения загрязнений в природных средах Указанные задачи заключаются в нахождении неизвестных плотностей источников либо параметров среды, в которой происходит изучаемый процесс, по дополнительной информации о состоянии среды. Их еще называют обратными задачами, поскольку в этих задачах требуется восстановить причину воздействия по заданному следствию Теоретическому и численному анализу обратных задач для моделей распространения загрязнений посвящены работы А А Самарского, П H Вабищевича, В Т Борухова, П M Колесникова, Е А Артюхина, С А Будника, Ю А Криксина, J V Besk, В Blackwell, С St Clair, J R Cannon, A G Fatuliayev и других исследователей

Наряду с обратными задачами важную роль в приложениях играют и задачи управления для моделей распространения загрязнений. Эти задачи заключаются в достижении определенных "экологических" целей за счет действия граничных либо распределенных управлений, роль которых играют координаты, мощности и другие параметры источников загрязнений Интерес к этим задачам появился в 70-80-е годы прошлого столетия, начиная с пионерских работ Г И Марчука, В В Пененко и других исследователей, посвященных решению задач оптимального размещения предприятий вблизи экологически значимых зон

Важно отметить, что исследование обратных задач можно свести к исследованию соответствующих экстремальных задач Это достигается путем введения функционала качества адекватно отвечающего рассматриваемой обратной задаче, и последующей его минимизации на решениях исходной задачи На этом пути возникают обратные экстремальные задачи, для исследования которых можно применять методологию, развитую для исследования задач управления Это позволяет рассматривать обратные задачи и задачи управления с единых позиций математической теории оптимального управления и применять для из решения один и тот же математический аппарат, основанный на теории экстремальных задач условной оптимизации Из работ в этом направлении отметим работы Г В Алексеева, Д А Терешко, А Сарайпа, К Stavre и других исследователей

Цель работы. Целью диссертационной работы является теоретический и численный анализ задач идентификации коэффициента стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции, описывающего распад загрязняющего вещества под действием химических реакций, и идентификации объемной плотности источников одномерного и двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции

Методы исследования. При получении теоретических результатов диссертационной работы использовались методы математического моделирования, математической физики, методы оптимизации, а также методы теории дифференциальных уравнений Для численного решения задач были использованы следующие методы метод конечных разностей, двухслойный градиентный итерационный метод, метод Ньютона, методы решения систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами, методы обработки больших объемов информации, а также методы визуализации результатов вычислительных экспериментов Научная новизна.

1 Проведено теоретическое и численное исследование задачи идентификации коэффициента стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции, который описывает распад загрязняющего вещества под действием химических реакций Установлены достаточные условия на исходные данные, обеспечивающие существование, единственность и устойчивость решения рассматриваемой задачи идентификации относительно малых возмущений заданной функции, описывающей измеренное поле концентраций в некоторой подобласти данной области

2 Сформулированы и численно исследованы задачи идентификации плотностей источника для моделей переноса вещества, описываемых одномерным и двумерным параболическими уравнениями конвекции-диффузии-реакции.

Разработаны эффективные численные алгоритмы их решения, основанные на сведении к краевой задаче для нагруженного параболического уравнения конвекции-диффузии-реакции

Положения, выносимые на защиту.

1 Постановка и теоретический анализ задачи идентификации коэффициента, описывающего распад загрязняющего вещества под действием химических реакций в стационарном уравнении конвекции-диффузии-реакции

2 Численные алгоритмы решения задачи идентификации коэффициента распада загрязняющего вещества для двумерного стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции

3 Постановка и численный анализ задачи идентификации плотности неизвестного источника одномерного и двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции

4 Количественные зависимости точности восстановления коэффициента уравнения и временной компоненты плотности источника от числа Пекле Ре погрешности измерений и других параметров

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях моделирование распространения загрязняющих веществ, теоретический и численный анализ задач идентификации для дифференциальных уравнений Полученные результаты могут быть использованы для исследования прямых и обратных задач конвекции-диффузии-реакции в более сложных случаях (например, в случае одновременного восстановления двух и более коэффициентов уравнения), а также для решения задач идентификации плотностей неизвестного источника в случае более сложной геометрии области и задания более сложных граничных условий

Диссертационная работа поддержана следущими грантами

• Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00136)

• Грантом поддержки ведущих научных школ (проект НШ-9004 2006 1)

• Грантами ДВО РАН (проекты 06-1-1122-086, 06-Ш-А-01-011)

• Грантом Уссурийского государственного педагогического института N 2 за 2007 г

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации докладывались ранее на различных, в том числе международных, научных конференциях Международных конференциях "Рыбохозяйственные исследования

мирового океана" (Владивосток, 1999, 2005), на Всероссийской научной конференции "Математические методы в механике природных сред и экологии" (Барнаул, 2002), на шестой международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Интеллектуальный потенциал ВУЗов на развитие Дальневосточного региона России"(Владивосток, 2004), на первой и второй международной конференциях "Проблемы экологии, безопасности жизнедеятельности и рационального природопользования Дальнего Востока и стран АТР" (Владивосток, 2005, 2006), на Всероссийской конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики" (Владивосток, 2006), на Международной конференции "Вычислительные н информационные технологии в науке и образовании" (Павлодар, Казахстан, 2006), на Дальневосточных математических школах-семинарах им акад Е В Золотова (Владивосток, 20022007), на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997, 2000-2004, 2007)

Достоверность результатов обеспечивается использованием современных апробированных методов теоретического и численного анализа, сравнением полученных результатов с известными ранее

Публикации и вклад автора. По результатам диссертации лично автором и в соавторстве опубликовано 20 научных работ, список работ приведен в конце автореферата Решение задач, сформулированных в диссертационной работе, получено автором лично, либо при его участии Постановка задач, выбор методов исследования, а также анализ результатов осуществлялись совместно с научным руководителем, исследование свойств разработанных алгоритмов, проведение вычислительных экспериментов, обработка полученных результатов проведены автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 113 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 105 наименований и 4 приложений Диссертация содержит 52 рисунка и 5 таблиц Компьютерный набор выполнен с использованием пакета LATEX

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается предмет исследования диссертации, указаны актуальность темы, цели и задачи работы и кратко описывается ее содержание Первая глава посвящена теоретическому исследованию обратной задачи идентификации коэффициента, описывающего распад загрязняющего вещества под действием химических реакций в эллиптическом уравнении конвекции-диффузии-реакции В разд 1 1 сформулирована исходная краевая задача, введены основные функциональные пространства, определены билинейные формы, выведены их свойства, используемые при исследовании слабой

формулировки исходной задачи Предполагается что О - ограниченная область в М2 или с лишлицевой границей Г Основная краевая задача рассматриваемая в этой главе описывается соотношениями

-АА¡р + и + Kip = f <р(х, у) jr= Ф (1)

Здесь функция имеет смысл концентрации загрязняющего вещества А = const > 0 - коэффициент диффузии, u = (v, v) - вектор скорости к > О - величина характеризующая распад загрязняющего вещества за счет химических реакций / - плотность объемных источников и заданная на Г функция Ниже на задачу (1) будем ссылаться как на задачу 1

Для исследования задачи 1 вводится ряд функциональных пространств Через Hb{D) s G R обозначается пространство Соболева H°(D) = L2{D) где D обозначает либо область Q либо границу Г, либо некоторую подобласть Qdil Нормы в пространствах Я6(П) Яь(Г) обозначаются через lj ||„п = II IU и II Ш,г При 5 — 0 полагаем |И|0« = IMj, |lv||0Q ||0||ог =

¡¡V'Hr Скалярное произведение в L2(Q), L2(Q) либо в Ь2(Г) обозначается через ( ),(,)«? либо ( , )г Через jj и I ji обозначаются норма и полунорма в If1(Q) Отношение двойственности между пространством X и двойственным к нему X* обозначается через (, }х-чА либо просто ( , ) Через 7 Яг(П) —Я1'2(Г) обозначается оператор следа

Главную роль при исследовании разрешимости задачи 1 играет подпространство Т = s "i'-' € ^ -- 0 на Г} пространства Соболева Я"1 (О) Т - гильбертово пространство с нормой jj ¡¡т — |( ¡ji эквивалентной полунорме | |i в силу неравенства Фридрихса-анкаре (S^f > ¿lilS"!)2 для всех S € Т ¿1 — const > 0 Через Т* обозначается пространство H~l(Tl), двойственное к относительно пространства L?(ft) Пусть Ь±(£1) — {<у € q > 0} Z = {u S Нг(Г2) divu = 0} Вводятся гри билинейные формы a ai,cu( , ) Hl{it) х Hl{П) —* R с помощью соотношений

ai(tfi. г}) — / V^ V7]dQ, Са(~р ??) = fu Vcp,rj) = / (u Vip)r)dQ Jfl Jn

a(<p, r}) = Arj) -+- (u V<p, rj) + («V, v) (2)

Основные предположения на исходные данные состоят в следующем (l) Г е С01 / е Ь2{й) ueZ^e Hl'2{Y) (и) к G L\{9)

Простой анализ показывает что при выполнении условий на и и к в (l) (п) введенные в (2) формы а-, а и с„ непрерывны Кроме того билинейная форма о непрерывна на Я1 (О)2 и коэрцитивна на Т с константой А* — ¿jA

Здесь ¿i - константа, входящая в неравенство Фридрихса-Пуанкарё Для задачи 1 вводится понятие слабого решения Для этого первое уравнение в (1) умножается на функцию S € Т, полученное соотношение интегрируется по £2 с применением формулы Грина Результатом является слабая формулировка задачи 1, заключающаяся в нахождении функции ip € ii1(Q) из условий

а(<р, S) = Aai(<p, S) + cu(ip, S) + (nip, S) = {/, S), <р\г = ф на Г (3)

Обозначим через A Hl(i1) —► Т* - оператор, действующий по формуле {А(р, 5)r*xT - a(<p,S) € Я1^), 5 € Т Положим X = Я1^), Y = Т* х Я1/Г2(Г). Справедлива следующая

Теорема 1 Пусть выполняются условия (г), (гг) Тогда: 1) для любой функции к € задача (1) имеет единственное слабое решение 6 Н1{{1) и с некоторыми константами Со, С7 справедлива оценка

1Mb < Mv = (l/A*)[j|/||r* + С7(А, + X + С0|И + 7ol!u!!z)!!^l!i/2,r], (4)

2) оператор (А,у) X —> У осуществляет изоморфизм

Второй раздел гл 1 посвящен исследованию задачи идентификации для модели (1) Чтобы ее сформулировать, множество всех исходных данных задачи 1 разбивается на две группы группу управлений, куда вносится функция к, характеризующая распад загрязняющего вещества за счет химических реакций, и группу фиксированных данных, куда вносятся неизменяемые функции / и, ф Предполагается, что управление к может изменяться в некотором можестве К, причем выполняется условие

(ni) К С Ll_(Q) - непустое выпуклое замкнутое множество В качестве дополнительной информации о решении используются значения ¡fid концентрации tp в некоторой подобласти Q С О Для исследования поставленной задачи идентификации применяется оптимизационный метод С этой целью вводятся в рассмотрение два функционала качества

J(<p) = IIP - <pd\\*Q = //(<?- J(V>> = f •H*) + f H2 (5)

Здесь ipj. 6 L2(Q) - заданная функция, г = xq ~ характеристическая функция множества Q, Mi > 0 Вводится оператор F = (Fj, F%) H1(Q)xK —» Y = T* x #1/i2(Г), отвечающий задаче (3) Он действует по формулам

к), S) = {Aip, S) - {/, S) = а(<р, S) - {/, S), F2{<p, к) = V\v - ф (6)

С использованием оператора F обратная задача сводится к нахождению решения следующей экстремальной задачи условной минимизации

J(<p, к) mf, F(<p, к) = О, (<р, к) 6 Я1 (О) х К (7)

С использованием теоремы 1 доказывается

Теорема 2 Пусть при выполнении условий (г), (ш), /у о > 0 и, кроме того, ¡л\ > 0 либо /7,1 > 0 и К - ограниченное множество Тогда задача (7) имеет по крайней мере одно решение (у> к) е Я1 (О) х К

В разд 1 3 обосновывается применение для задачи (7) принципа неопределенных множителей Лагранжа На основе экстремального принципа в гладко-выпуклых задачах условной минимизации (Иоффе Тихомиров 1974) доказывается теорема существования множителей Лагранжа С этой целью вводится произвольный элемент у* = (г], () £ У* = Т х Н"г!2{Г) из сопряженного к У пространства У, где Я_1/2(Г) — Я^2(Г)* и лагранжиан С Я1 (О) х К х Е* х Г М по формуле

к V V, С) = К) + (^(^ К.) 1]}Т-у7 + (С, (8)

Здесь и ниже элемент т] € Т имеет смысл' сопряженной' концентрации Пусть К4 = {Л € К Л > 0} Основным результатом разд 1 3 является

Теорема 3 Пусть при выполнении условий теоремы 2 пара (ф, к) € Я1 х К является т,очкой локального минимума в задаче (7) Тогда существует единственный множитель Лагранжа (Ао,у") = € К"1 х Т х Я-1/2(Г) такой, что справедливо уравнение Эйлера Лагранжа к)*у* + Ао^(<Э к) — 0 в X* и выполняется принцип минимума

С(ф, Я, А0) V*) < С(ф к, А0, у*) У к е К (9)

Кроме того так как К - выпуклое множество то в точке минимума (ф к) необходимо выполняется следующее условие (вариационное норавество)

(С'Лф. к 1, т?. С) к - к) = ц(к, к - к) + ((к - к)ф т))> 0 V«; £ К (10)

Здесь £'К{ф, к 1, т), С) ^ производная Гато в точке (ф, к 1 т), £)

Отметим что уравнение Эйлера - Лагранжа эквивалентно тождеству

Аа(т, Ц) + (и Ут, 17) + {кг, ф -г (<, г)г = -щ>(Ф - <рл, т)а Vт е X (11)

для пары (т?, О Из (11) следует что первый множитель Лагранжа щ = г]{к, ф) является слабым решением краевой задачи

—Д?7 — и Чг\ + кт) = —¡М)г(ф — <рц) /?|г = 0,

тогда как множитель С определяется по г) формулой £ = —\1М)дг)/дп Ниже на (11) будем ссылаться как на "сопряженную1 задачу

Подчеркнем что прямая задача

A(V0 V5) + (u S) + (кф, S) = {f, S} V5 G Т = (12)

сопряженная задача (11) и неравенство (10) представляют собой систему оптимальности, описывающую необходимые условия минимума для задачи (7) Хотя система оптимальности описывает необходимые условия экстремума, ее анализ позволяет получить много дополнительной информации о решении задачи идентификации В частности на основе ее анализа в разд 1 4 устанавливаются достаточные условия на исходные данные обеспечивающие единственность и устойчивость решения экстремальной задачи (7) Предполагается, что выполняются условия

sup М^к) < М" = const < ос, (13)

KSK

С2М°

ß> ßoj~^(3M° + 2\\<fd\\Q)+e с = const > 0 (14)

Доказаны следующие теоремы

Теорема 4 Пусть в дополнение к условиям (г), (кг) выполняются условия (13) и (14) Тогда решение (ip, к) € Н1(£1) х К задачи (7) единственно

Теорема 5 Пусть в дополнение к усювиям (г), (ггг) выполняются условия (13) и (Ц), где jjwüo следует заменить на max(j)y>^j|Q ||^2'|!q) Обозначим через (<рг кг) £ Hl(Q) у К - решения задачи (7), отвечающие функциям € L2{Q), г — 1,2 Тогда справедливы следующие оценки устойчивости относительно малых возмущений заданной функции tp^

as)

lbi-v-2ll,<f (^)W-Ä (16)

В последнем разделе гл 1 исследуются некоторые дополнительные свойства решения системы оптимальности С этой целью функционал J в (5) зависящий от двух переменных <-р и к переписывается с учетом однозначной зависимости решения у? задачи (3) от л, € ¿1(0) в виде функционала I зависящего только от функции л и определяемого формулой

1(к) = J(ipK к) ^У(к) - + ||W|2 (17)

Здесь tph = <р(к) обозначает единственное решение исходной задачи (3) отвечающее функции к € К Ясно что задача (7) эквивалентна следующей задаче минимизации

/(к) inf, к £ К (28)

Для разностей к — к и ур — ф установлено соотношение

- <Pd <р - ф)о = ((к - k)ip,fj) (19)

и доказаны следующие утверждения

Лемма 1 Для любой пары к к. & К выполняется соотношение

1(к) - 1(к) = |||к - «¡I2 + у||у>(к) - </?(«) ||Q + к - к)+

4((к (20)

где ip(k) иг} — r](k, ф) решения соответственно задач (3) и (11)

Теорема 6 Производная Гато от функционала I в любой точке k G К в направлении вектора h G L2(Q) существует и определяется формулой

{.Г (к), h) = (ßk + 9(Ä)tyift). Л) (21)

Вторая глава посвящена численному анализу исследованной в гл 1 обратной задачи идентификации Предлагается два численных алгоритма основанных соответственно на двуслойном градиентном методе и алгоритме Ньютона Обсуждаются результаты проведенных вычислительных экспериментов и проводится сравнительный анализ применения предложенных алгоритмов Согласно первому алгоритму (алгоритму 1) гг-ое приближение к„ к искомому коэффициенту к вычисляется по формуле

кп = Р(кп-1 - snI'(Kn-i)), п = 1,2, (22)

Здесь Р L2(Q) —* К оператор проектирования на множество К п номер итерации sn - итерационный параметр 1'(к) - градиент функционала J определяемый в каждой точке k G К формулой (21) где ф — çlk) и г) — rj(k) - решения прямой задачи (12) и сопряженной задачи (11) отвечающие функции п — к

Алгоритм 1 основанный на двухслойном градиентном итерационном методе состоит из следующих этапов

1) выбирается начальное приближение kq G К и полагается n = 1

2) вычисляется концентрация tp„ = <р(кп-\) и сопряженная концентрация Vn = у{кп-1)= ч{кр-\ fr>) путем последовательного численного решения прямой и сопряженной задач

-ЛА(рп + u Vipn + «„._!</?„ = /, ^„¡г =■ ф (23)

-АДг?„ - u + к„ т)п = -гу,0(<р„ - (pa), tin|г = 0 (24)

при выбранном приближении и заданной функции (p,i

3) вычисляется n-е приближение дп градиента функционала I в точке i по формуле дп == Г(кп-г) = /i«n-i + <¿>„7?,.,

4) вычисляется n-е приближение /с„ по формуле кп — Р(кп-1 — s„<7n) где s„ определяется как решение одномерной задачи минимизации

ЛР(к„_1 - s<7„)) -> mi (s > 0) (25)

5) полагается п = п f 1 и осуществляется переход к этапу 2 либо алгоритм завершается а за искомое решение принимается пара (^¡р,,)

В разд 2 1 описываются свойства представленною алгоритма 1 и исследуется его сходимость

В разд 2 2 описывается численный алгоритм (алгоритм 2) решения задачи идентификации основанный на алгоритме Ньютона В соответствии с этим алгоритмом п -е приближение для к вычисляется по формуле

Ъп = «П-1 + Pli (26)

Здесь рп является решением системы уравнений V21{к.п-\)Рп — — V/(k„_i) где V2/(/î) - Гессиан, a Vi(/c) - градиент функционала I в точке к Алгоритм 2. основанный на методе Ньютона состоит из следующих этапов

1) выбирается начальное приближение ко в К и полагается га = 1

2) вычисляется концентрация (рп = ¡¿?(л,„-г) и сопряженная концентрация Tjr, = v(Kn-i)= vi'ïri-i, ifin) путем последовательного численного решения прямой и сопряженной задач

-ХА(рп + u Vipn + Kn-\ipn = / = (27)

-АЛ??П - u Vr)n + Kn-ir)n = -г(м>(<рп - Vd), i?n|r = 0 (28)

при выбранном приближении j и заданной функции ¡p(i

3) вычисляется n-е приближение д„ градиента функционала I в точке по формуле дп = /'(кп = цкп-i + ip„r)„

4) вычисляется n-е приближение к„ по формуле кп = Р(к.Г1 1 + рп) где рп определяется как решение системы уравнений V2I(nn-i)pn = —дп

5) полагается п — п+1 и осуществляется переход к этапу 2, либо алгоритм завершается, а за искомое решение принимается пара (Кп, р„)

В качестве критерия выхода из цикла в обоих алгоритмах использовалось ОДНО ИЗ ДВУХ УСЛОВИЙ |/(/С„) - 1(кп~1)\ < 10~8 Либо ||К„ - К„-1|| < Ю-8

В этой же главе приводятся и анализируются результаты проведенных с использованием алгоритмов 1 и 2 вычислительных экспериментов Расчеты проводились для безразмерного уравнения

рассматриваемого в квадрате (0,1) х (0,1), где Ре - безразмерное число Пекле Для аппроксимации прямой и сопряженной краевых задач использовался метод конечных разностей. Для численного решения задачи использовались разные равномерные сетки крупные, включающие в себя 10 х 10 либо 20 х 20 узлов, а также мелкие сетки, состоящие из 50 х 50 и большего числа узлов Был проведен ряд вычислительных экспериментов по идентификации коэффициента к, уравнения (1), отвечающих случаям, когда к являлся константой, функцией, зависящей от одной переменной х или у, а также функцией, зависящей от двух переменнных х и у

Множество проведенных экспериментов в зависимости от значения ё удобно разбить на две группы К первой группе относятся тесты, в которых отсутствуют дополнительные возмущения функции щ Целью вычислительных экспериментов этой группы являлось исследование влияния параметра /х, входящего в регуляризирующую добавку функционала качества (17), на точность восстановления искомых значений коэффициента к Ко второй группе относились тесты, в которых функция щ зашумлялась по формуле

Здесь о - случайная функция, равномерно распределенная на интервале [0,1], а величина 6 задает уровень погрешности Целью вычислительных экспериментов этой группы являлось исследование зависимости ошибки решения от величины вносимой погрешности 6 при фиксированном ц

Анализ проведенных вычислительных экспериментов позволил сделать вывод о том, что, во-первых, точность коэффициента к растет с уменьшением значения ц, во-вторых, оптимальное значение параметра ¡х зависит от шага сетки, на которой проводился расчет Показано, что существенное влияние на качество восстановления оказывает выбор начального приближения и шаг сетки В частности было отмечено, что во всех случаях наблюдается сходимость итерационного процесса хотя и за разное число итераций Л^, которое существенно зависит от выбора начального приближения Оно тем больше,

-Д <р + Ре и + к<р = /,

(29)

<Д = Ч% + 2б(<т-1/2)

(30)

чем "хуже" (для заданной функции кг) начальное приближение. Следует отметить также, что сходимость к точному решению по алгоритму 2 наблюдалась быстрее, чем при аналогичных вычислениях по алгоритму 1.

а) б)

Рис. 1. Точность решения задачи идентификации при Ре = 10, 6=0.02

(11 = КГ5. АТц = 132;

В качество примера приведем на рис. 1 и 2 результаты расчетов для случая Л = 1, и = (1:0.5), /(х,у) = 0, (ж, ¡у) € О. = 1 + х, (х,у) € Г, /у = ]0~и. Ре = 10, причем значения уровня погрешности <5 уменьшались от 10 1 до Ю-0. Точное значение восстанавливаемого параметра /с определялось формулой /уг(-- ¿0 = 5.хг/, в качестве начального приближения использовалась функция ко — 8ху. Полученные результаты приведен!»; в виде поверхностей точно заданного коэффициента кт и восстановленного с помощью алгоритма 1 коэффициента к на рис. 1а и в виде соответствующих сечений плоскостью х — у указанных поверхностей на рис. 16 при 6 = 0.02. Рис. 2 является аналогом рис. 1, отвечающим значению 6" = 0.005.

а) б)

Рис. 2. Точность решения задачи идентификации при Ре = 10, 6- 0.005

(и = ю-5, Л',-, - 7з;

Анализ приведенных на рис. 1 и 2 результатов показывает, что точность восстановления коэффициента к возрастает с уменьшением погрешности 5.

В третьей главе диссертации рассматривается обратная задача восстановления временной компоненты правой части одномерного либо двумерного

нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции по дополнительным измерениям в отдельной внутренней точке и известном распределении пространственной компоненты. Для ее численного решения развивается вычислительный алгоритм, основанный на сведении рассматриваемой обратной задачи к вспомогательной задаче для нагруженного одномерного либо двумерного уравнения параболического типа Обсуждается применение различных схем повышенной точности для решения прямой и обратной задач Приводятся и анализируются результаты вычислительных экспериментов

В разд 3 1 формулируется прямая краевая задача для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии, обсуждается возможность применения различных конечно-разностных схем повышенного порядка точности Указанная краевая задача состоит в нахождении в области <3 — х (О, Т], где П = (О, I), функции у из условий

¥>(®,0) = 0, 0 <®<1, *>((),*) = *) = »(*), О <1<Т (32)

Здесь ф - концентрация загрязняющего вещества (примеси), Л - коэффицент диффузии, а - заданная функция, имеющая смысл скорости, / плотность источников

В разд 3 2 формулируется и исследуется обратная задача для модели (31), (32), заключающаяся в нахождении неизвестной временной компоненты плотности / по дополнительной информации о решении В соответствии с постановкой данной задачи плотность источников / представляется в виде

Здесь ф(х)- известная функция, сосредоточенная в области носителя источника, а 7)(и) - неизвестная функция, описывающая зависимость плотности / от времени f Обратная задача заключается в нахождении функции т], входящей в правую часть (33), а также решения (р задачи (31), (32) по дополнительному наблюдению за концентрацией в некоторой внутренней точке х* 6 £2 во все моменты времени, т е по следующей информации

Здесь £(<) - заданная на интервале (О, Т) функция С использованием подхода В Т Борухова и П Н Вабищевича (2000) решение рассматриваемой обратной задачи (31) - (34) сводится к краевой задаче для нагруженного уравнения Для этого неизвестное решение представляется в виде

(31)

/(х, г) = т}(г)ф(х), о < х < I, о <ь <т

(33)

¥>(г*,«) = С(«). 0 <г<Т

(34)

<р(х, *) = в{€)ф{х) + и>(х, г),

(35)

где т - новая неизвестная функция, а функция в определяется формулой

0(t) = [ n(s)ds Jo

(36)

В результате рассматриваемая обратная задача сводится к нахождению решения ю нагруженного параболического уравнения

dw ~dt

^d2w J)w дх2 дх

+

ф(х*)

m-w(x\t))

дф

дх2 дх

удовлетворяющего однородным начальным и граничным условиям tü|r = о, 0 < t < Т, w(x, 0) = 0, 0 < X < I

(37)

(38)

Предполагается, что выполняются следующие условия ф(х*) ^ 0, ф{х)— достаточно гладкая функция (ф € C2(Q)) и ф |г= 0 Здесь, в частности, первое условие означает, что в точке наблюдения (x*,t) 0 < í < Т, действует искомый источник Именно это условие обеспечивает корректность рассматриваемой задачи идентификации - непрерывную зависимость решения от начальных данных, правой части и измерений во внутренних точках В соответствии с предложеным методом был разработан численный алгоритм решения рассматриваемой обратной задачи, состоящий из трех этапов

1 Нахождение решения w начально-краевой задачи (37), (38)

2 Вычисление функции в с помощью соотношений

т = —^ Ш - w(x*,t)l, 0(0) = О

3 Вычисление функции T)(t), описывающей искомую зависимость плотности / от времени t по формуле r¡(t) = 6'{t), вытекающей из (36)

При дискретизации нагруженного параболического уравнения (37) использовались неявная противопоточная схема-первого порядка точности, имеющая с использованием стандартных обозначений теории разностных схем вид

„П+1 __2

= [А(г>зг)х -ащ- 7üJ

n-t-l

' <'+1) \КФх)х -офх- Гф\,

г — 1, , ÍV — 1,п = 0,1, ,М- 1,

и схема Кранка-Николсона

1!П+Х — 11П 1 ,1 ' т ' = J [АЫ* - at/x - 7и]Г + 5 [АЫ, -

- а-их - 7^]" + (С"-<)х

~ Л + ) + u grady' + r-P = /. А = const,

(39)

х [ЧФэдх-аФх-тФЪ,^ 1. ,ЛГ-l,n = 0,l, ,М — 1,

имеющая второй порядок точности по х, у и i Для сравнения полученных результатов также исполкзовались разностные схемы более высокого порядка точности В конце раздела проводится сравнительный анализ результатов вычислительных экспериментов по решению рассматриваемой обратной задачи, проведенных с применением описанных выше схем

В разд 3 3 исследуется аналогичная обратная задача идентификации для двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции

dt \дх2 ду2 J

рассматриваемого в прямоугольной области О = (0,1{) х (О, /г) при следующих начально-краевых условиях

ф,у,0) = 0, <p{x,y,t) \т= 0, 0 < х < h, 0 < у < ¿2, 0 < t < Т (40)

Здесь tp - концентрация загрязняющего вещества, 7 - постоянная распада загрязняющего вещества, u = (u,v) - заданный вектор скорости такой, что divu — 0 Как и в разд 3 2, неизвестная плотность / представляется в виде

f(x,y,t)=T)(t)ip(x,y), 0 <х<1ъ 0 <у<12, 0 <t<T, (41)

где ф(х, у) - известная функция, сосредоточенная в области носителя источника, а г)if) - неизвестная функция, описывающая зависимость плотности источника от времени

Рассматриваемая обратная задача заключается в нахождении неизвестной функции г], входящей в правую часть (41), так же, как и решения ¡р задачи (39), (40), по дополнительному наблюдению за концентрацией во внутренней точке (х*,у*) G О, имеющему вид (p(x*,y*,t) = С(t), 0 < t < Т Здесь £(i) - заданная на интервале (0,Т] функция Аналогично одномерному случаю решение рассматриваемой обратной задачи сводится к нахождению решения w следующей начально-краевой задачи для нагруженного уравнения

dw

~Ж

дх2 ду2

dw дх

dw

■ v-т--7 w

ду

+

дх2 ду2

дф

ф{х*,у*) дф

(С (t)-w(x*,y*,t))x

дх

v-g- - 7Ф ду

(42)

ги(х, у, 0) = 0, 0 < х < 1Ъ 0 < у < 12, ги|г = 0, 0<t<T (43)

Для нахождения решения изучаемой обратной задачи предложен численный алгоритм, состоящий из трех этапов, аналогичных приведенным выше

Далее в этом разделе приводятся и обсуждаются результаты проведенных вычислительных экспериментов по решению рассматриваемой двумерной обратной задачи, полученные с использованием для дискретизации уравнения (42) противопоточной разностной схемы

Основные результаты и выводы, полученные в диссертации:

1 Для стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции сформулирована и исследована задача восстановления коэффициента, характеризующего распад загрязняющего вещества под действием химических реакций Указанная задача сведена к задаче минимизации определенного функционала качества, зависящего от слабого решения исходной краевой задачи и от неизвестного коэффициента Установлены достаточные условия на исходные данные, обеспечивающие существование, единственность и устойчивость решения данной задачи Для ее решения разработаны устойчивые численные алгоритмы, основанные соответственно на двухслойном градиентном методе и алгоритме Ньютона

2 Установлены количественные зависимости точности восстановления коэффициента уравнения, описывающего распад загрязняющего вещества под действием химических реакций, от выбора вычислительного алгоритма, значения параметра, входящего в регуляризирующую добавку функционала качества, числа Пекле Ре и погрешности измерений

3 Сформулированы и численно исследованы задачи идентификации плотностей источника для линейных моделей переноса вещества, описываемых одномерным и двумерным нестационарными уравнениями конвекции-диффузии-реакции Разработаны эффективные численные алгоритмы их решения, основанные на сведении к краевой задаче для нагруженного параболического уравнения конвекции-диффузии-реакции

4 Установлены количественные зависимости точности восстановления временной компоненты плотности источника от используемой конечно-разностной схемы, выбора точки наблюдения, числа Пекле Ре и погрешности измерений.

В заключение хочу выразить благодарность научному руководителю доктору физ -мат наук профессору Г В Алексееву за постановку задачи и ценные обсуждения результатов работы, а также кандидатам физ -мат наук Д А Терешко и Р В Бризицкому за полезные замечания, направленные на улучшение содержания работы

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Адомавичюс Э А , Калинина Е А Экстремальные задачи идентификации для стационарных уравнений массопереноса // Выч техвол Спец вып. 2002 Т 7, Ч 1 С 17-23

2 Алексеев Г В, Калинина Е А Идентификация младшего коэффициента для стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции // Сиб журн индустр матем 2007 Т 11, N 1 С 3-16

3 Алексеев Г В , Заяц А С, Струлев М А , Калинина Е А , Шинко Г Ю Численные алгоритмы и информационные технологии в задачах обнаружения источников примеси в морских акваториях//Труды Междунар науч конф порыбохоз иссл Мир океана Т П, Владивосток 1999 С 88-89

4 Калинина Е А О численном решении обратной нестационарной задачи идентификации плотности источника для уравнения конвекции-диффузии // Выч технол Спец вып 2003 Т 8, Ч 2 С 84-91

5 Калинина Е А Использование схем повышенной точности для численного исследования обратных задач идентификации плотности источника одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии // Выч технол Спец вып 2004 Т 9, Ч 2 С 287-296

6 Калинина Е А Численное исследование обратной задачи восстановления плотности источника двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии // Дальне-вост матем журн 2004 Т 5, N 1 С 89-99

7 Калинина Е А Численное исследование обратной экстремальной задачи идентификации младшего коэффициента двумерного эллиптического уравнения Дальневост матем журн 2005 Т 6, N 1-2 С 57-70

8 Калинина Е А Численное решение задачи идентификации параметра примеси двумерного эллиптического уравнения // Выч технол Спец вып 2006 Т 1, С 549-557

9 Калинина Е А Численное исследование обратной экстремальной задачи идентификации параметра примеси для модели распространения загрязнений // Труды Всероссийской научно - практ конфер "Фундаментальные науки и образование" Бийск БПГУим ВМ Шукшина 2006 С 95-101

10 Калинина Е А Численное исследование стационарного уравнения теории переноса примесей // Тез докл Дальневост матем школы-семинара им акад В В Золотова Владивосток Дальнаука 2001 С 45-46

11 Калинина Е А Численное решение обратной задачи восстановления плотности источника для уравнения конвективной диффузии // Тез докл Дальневост матем школы-семинара им акад Е В Золотова Владивосток Дальнаука 2002 С 68-69

12 Калинина Е А , Терешко Д А Экстремальные задачи для стационарных уравнений массопереноса // Материалы Всероссийской конференции "Математические методы в механике природных сред и экологии" Барнаул 2002 С 19-20

13 Калинина Е А Обратная задача восстановления источника для уравнения конвективной диффузии //' Тез докл Дальневост матем школы-семинара им акад Е В Золотова Владивосток Дальнаука 2002 С 45

?

14 Калинина Е А К проблеме идентификации плотности источника нестационарного уравнения конвекции-диффузии // Тез докл Дальневост матем школы-семинара им акад Е В Золотова Владивосток Дальнаука 2003 С 68-69

15 Калинина Е А Численное исследование обратной задачи идентификации плотности источника двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии с использованием разностных схем повышенной точности // Тез докл Дальневост матем школы-семинара им акад Е В Золотова Владивосток- Дальнаука 2004 С 60

16 Калинина Е А Численное решение обратной задачи идентификации вектора скорости загрязняющего вещества для эллиптического уравнения // Тез докл Дальневост матем школы-семинара им акад Е В Золотова Хабаровск ДВГУПС 2005 С 75-76

17 Калинина Е А Численное исследование некоторых двумерных обратных задач гидродинамики //Тез докл Дальневост матем школы-семинара им акад ЕВ Золотова Владивосток Дальнаука 2006 С 53-54

18 Калинина Е А , Ященко Е Н О задаче идентификации младшего коэффициента для стационарного уравнения конвекции - диффузии - реакции // Тез докл Дальневост матем школы-семинара им акад Е В Золотова Владивосток Дальнаука 2006 С 55

19 Калинина Е А , Соболева О В Вычисление плотностей неизвестных источников загрязнений в задачах распространения прьмесей, переносимых потоком жидкости // Материалы Всероссийской конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики" Владивосток ИАПУ ДВО РАН, 2006 С. 54-56

20 Калинина Е.А Численное исследование некоторых задач идентификации для уравнения конвекции-диффузии-реакции // Тез докл Дальневост матем школы-семинара им акад Е В Золотова Владивосток Дальнаука 2007 С 72-73

Калинина Евгения Александровна

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ-РЕАКЦИИ

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 24 09 2007 Формат 60x90/16 Бумага офсетная Печ л Тираж 100 экз Заказ 294 Издательство УГПИ 692500, г Уссурийск, ул Тимирязева,33

Отпечатано типографией Уссурийского государственного педагогического института 692500, г Уссурийск, ул Некрасова, 25

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Обратная задача идентификации младшего коэффициента стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции

1.1 Постановка прямой задачи

1.2 Постановка и разрешимость задачи идентификации.

1.3 Необходимые условия оптимальности.

1.4 Единственность и устойчивость решения задачи идентификации

1.5 Дополнительные свойства решения системы оптимальности

Глава 2. Численный анализ обратной задачи идентификации младшего коэффициента стационарного уравнения конвекции - диффузии

2.1 Численный алгоритм решения задачи идентификации на основе двухслойного градиентного итерационного метода (алгоритм

2.2 Численный алгоритм решения задачи идентификации на основе алгоритма Ньютона (алгоритм 2).

2.3 Сравнительный анализ результатов численных экспериментов, на основе алгоритмов 1 и 2.

Глава 3. Обратная задача идентификации плотности источника одномерного и двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции

3.1 Прямая начально - краевая задача для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузииреакции

3.1.1 Постановка прямой задачи

3.1.2 Применение различных конечно-разностных схем для численного решения прямой задачи.

3.1.3 Обсуждение результатов вычислительных экспериментов по решению прямой задачи.

3.2 Обратная задача для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции

3.2.1 Постановка обратной одномерной нестационарной задачи. Сведение к краевой задаче для нагруженного уравнения

3.2.2 Определение порядка аппроксимации нагруженного уравнения

3.2.3 Описание численного алгоритма решения обратной задачи

3.2.4 Анализ результатов численных экспериментов решения обратной задачи

3.3 Обратная задача для двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции

3.3.1 Постановка обратной задачи

3.3.2 Сведение к краевой задаче для нагруженного уравнения

3.3.3 Описание численного алгоритма решения обратной задачи

3.3.4 Обсуждение результатов численных экспериментов

Важнейшей задачей прикладной экологии является задача защиты окружающей среды от антропогенных загрязнений [1,2]. Применение метода математического моделирования к исследованию процессов распространения загрязняющих веществ в природных водоемах или в атмосфере приводит к необходимости решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих распространение загрязнений в рассматриваемых областях. Параметры, входящие в уравнение переноса загрязнений и граничные условия, являются важными характеристиками процесса распространения примеси, поэтому решение этих задач играет большую роль в прикладной экологии. Указанные задачи содержат ряд термогидродинамических параметров, а также функций, описывающих плотности источников примесей. Эти параметры и плотности должны быть заданы для однозначного определения искомого решения. Прямая задача связана с необходимостью найти решение внутри заданной области, удовлетворяющее заданному уравнению и заданным начальным и граничным условиям; так для стационарных уравнений задаются граиичные условия, а для нестационарных - еще и начальные условия. Эти задачи проникли в математику в конце XVIII века ( Л. Эйлер, П. Лаплас), однако их теория продолжает развиваться. Интересно отметить, что впервые краевыми задачами стали заниматься при решении задач механики и физики.

В настоящее время достаточно хорошо разработаны методы численного решения прямых задач математической физики. Для численного моделирования таких задач широко используются конечно-разностные методы [3 12] и метод конечных элементов [13,14] . Часто они дают нефизические осцилляции в численном решении. Чтобы их избежать используются специальные схемы повышенной точности (см., например, [15-24]).

Численная апроксимация уравнений математической физики приводит к системе алгебраических уравнений большой размерности. В силу ограничений на устойчивость для явных схем это приводит к большим затратам ресурсов на ЭВМ. Реализация неявных схем прямыми методами требует обращения матриц большой размерности, что также приводит к большим затратам. Альтернативный подход к решению больших систем уравнений состоит в применении итерационных методов [25-33].

Однако на практике часто возникают ситуации, когда некоторые из указанных параметров или плотностей источников неизвестны. В этих случаях приходится наряду с искомым решением рассматриваемой краевой задачи отыскивать и неизвестные плотности источников либо параметры, используя некоторую дополнительную информацию о решении.

Приведенные примеры являются примерами так называемых задач идентификации для моделей распространения загрязнений в природных средах. Указанные задачи заключаются в нахождении неизвестных плотностей источников либо параметров среды, в которой происходит изучаемый процесс, по дополнительной информации о состоянии среды. Их еще называют обратными задачами, поскольку в этих задачах требуется восстановить причину воздействия по заданному следствию.

В теории обратных задач тепло- и массонереноса различают коэффициентные, граничные и эволюционные обратные задачи [34-37]. Обратные задачи часто являются некорректными в классическом смысле задачами. Типичным является нарушение требования непрерывной зависимости решения от вход-пых данных. Введение в класс корректных задач достигается сужением класса допустимых решений. Решение обратных задач непосредственно сводится к многократному решению прямых задач.

Впервые обратную краевую задачу как чисто математическую для гармонической функции поставил в 1929 году Д.Рябушинский. Примерно в те же годы обратными задачами занялись специалисты-аэродинамики, немецкие ученые В.Вейнинг, Р. Берц и В. Манглер. Последний в 1938 году опубликовал фундаментальную работу в этой области. В Советском Союзе различными краевыми задачами занимались в ЦАГИ. Существенный вклад в развитие теории этих задач внес Г.Г. Тумашев в 1942-1946 годах. Он предложил свой метод решения, который позволил расширить исследуемый класс задач. Вместе с М.Т. Нужиным они заложили основы общей математической теории обратных краевых задач [38].

В 80-х годах прошлого столетия, начиная с работ Н.В.Музылева [39,40], в ряде работ отечественных и зарубежных авторов стали интенсивно изучатся обратные задачи для моделей тепловой конвекции (см. [41-48]). В этих работах были изучены теоретические вопросы, а также предложены численные методы решения рассматриваемых обратных задач.

В настоящее время существуют два направления в изучении явлений тепло-и массопереноса. Первое связано с интенсивным развитием методов численного моделирования решения прямых и обратных задач для уточнения математической модели исследуемого физического процесса, составленной на основе законов сохранения. Вторым является дальнейшее совершенствование экспериментальных методов исследования процессов теилопереноса. Решение обратных задач позволяет получить количественную информацию о причинных характеристиках, входящих в математическую модель, а также определяет возможность получения достоверной информации об этих характеристиках при обработке данных физического эксперимента. Следует отметить, что среди задач второго направления следует различать два широких подкласса: один из них содержит задачи прогноза, другой - включает задачи конструирования. Как показывают данные математического моделирования, существует такая система измерений, для которой неизвестные зависимости тенлофизических характеристик материала могут быть найдены с высокой точностью. В связи с этим практический интерес представляет задача предварительной, до проведения реального эксперимента, оптимизации схемы или плана измерений. Так, в работах [49,50] проводится практическое доказательство возможности применения локально-оптимального планирования измерений в процессе подготовки нестационарных теплофизических экспериментов и обсуждаются результаты вычислительных экспериментов восстановления коэффициента теплопроводности многослойного материала в одномерной и двумерной областях, соответственно, выполненных на вложенных сетках для различных схем измерений. В работе [51] предложен эффективный численный алгоритм нахождения старшего коэффициента одномерного параболического уравнения, основанный на применении фильтрации для уменьшения шума в данных.

Наряду с коэффициентными, граничными и эволюционными обратными задачами на практике возникают и задачи восстановления плотностей неизвестных источников загрязнения. Часто эти задачи являются некорректными в классическом смысле. Во многих случаях естественно считать, что неизвестной является зависимость правой части от времени. Для приближенного восстановления неизвестной правой части используются различные подходы, основанные, прежде всего, на методах регуляризации [52]. Этот общий вычислительный алгоритм для решения некорректных задач идентификации использовался, например, в [53] для многомерных параболических уравнений. Традиционный подход в решении проблем идентификации источников состоит в сведении обратной задачи к интегральному уравнению Вольтерра первого рода с использованием функций Грина прямой задачи. В частности, такой метод использовался в [54] для нестационарного уравнения конвекции-диффузии при восстановлении плотности источника в случае, когда точка наблюдения находится вне рассматриваемой области. В некоторых работах (см., например, [55-57[) для задач идентификации используются методы теории обратимости динамических систем, позволяющие восстанавливать неизвестные входные воздействия на систему по заданной информации о выходе. В работе [58] предложен численный алгоритм для приближенного решения обратной задачи, заключающийся в восстановлении временной компоненты плотности источников тепла при известном ее пространственном распределении для простейшего одномерного параболического уравнения теплопроводности. Указанный алгоритм основан на сведении рассматриваемой обратной задачи к вспомогательной граничной задаче для нагруженного параболического уравнения [59]. Данный численный алгоритм сводит решение обратной задачи к решению двух прямых задач для нестационарного уравнения теплопроводности на каждом временном слое. Единственность восстановления временной компоненты следует из работы [60]. Следует отметить также работы [61,62], в которых восстановление плотности источника одномерного параболического уравнения теплопроводности осуществляется с использованием кусочно-линейных функций, коэффициенты которых определяются путем решения задачи минимизации, основанной на использовании переопределенных данных. В [03—05] рассмотрены обратные задачи, связанные с идентификацией граничных условий.

Во многих прикладных задачах возникает проблема идентификации коэффициентов уравнений с частными производными. Коэффициентные обратные задачи для линейных уравнений являются нелинейными. Это обстоятельство существенно осложняет проблему построения вычислительных алгоритмов для приближенного решения коэффициентных задач, делает практически невозможным полное и строгое обоснование их сходимости. Для численного восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений, как и для идентификации неизвестных плотностей источников загрязнений, используются различные подходы, многие из которых основаны на методах регуляризации [52]. Особого внимания заслуживают также методы параметрической идентификации, связанные с представлением искомого коэффициента в параметрическом виде и с нахождением параметров этого представления. Такой подход, в частности, осуществлен в [61,66] для восстановления старшего коэффициента нестационарного одномерного нелинейного параболического уравнения теплопроводности. В [67] представлен численный алгоритм идентификации коэффициента конвекции двумерного эллиптического уравнения, основанный на применении градиентного метода и алгоритма Ньютона. Традиционный подход в решении задач идентификации младшего коэффициента состоит в сведении обратной задачи к интегральному уравнению Вольтерра первого рода с использованием функции Грина прямой задачи. В частности, такой подход был осуществлен в [68] для определения младшего коэффициента одномерного параболического уравнения. Аналогичная задача рассмотрена также в [69], где проведен сравнительный анализ применения для ее численного решения четырех конечно-разностных схем разного порядка точности. В [70,71] предложены численные алгоритмы решения задачи идентификации младшего коэффициента двумерного эллиптического уравнения в ограниченной области через усредненные данные о потоке, основанные на использовании двухслойного градиентного метода и квазиньютоновского алгоритма соответственно. В [72] представлен численный алгоритм решения экстремальной задачи идентификации младшего коэффициента для эллиптического уравнения переноса примеси, основанный на подходе, впервые примененном в работе [73].

Отметим также работы [74-76], в которых рассматривается обратная задача для общего параболического уравнения с неизвестным зависящим от времени старшим коэффициентом. В [74] установлены условия существования и единственности решения данной задачи. Подход, примененный в [75] для решения данной задачи, связан с представлением неизвестного коэффициента в недивергентной форме. Там же также представлены результаты серии вычислительных экспериментов. В [76] развивается монотонный итерационный алгоритм для численного решения в классе конечно-разностных уравнений диффузии-реакции с нелинейным коэффициентом диффузии. В частности, доказано, что использование в качестве начальной итерации верхнего или нижнего решения ведет к монотонной сходимости соответствующей последовательности к единственному решению конечно-разностной схемы. Кроме того, показано, что если шаг сетки стремится к нулю, то решение конечно-разностной задачи сходится к решению исходной дифференциальной задачи.

Отмстим также работы, в которых исследуются задачи идентификации сразу нескольких неизвестных коэффициентов. Среди них упомянем [77 79], где рассматриваются вопросы, связанные с существованием и единственностью восстановления как коэффициента диффузии, так и коэффициента конвекции двумерного параболического уравнения. Там же установлены условия существования и единственности решения обратной задачи, состоящей в одновременном нахождении коэффициентов теплопроводности и объемной теплоемкости в случае, когда они являются функциями времени.

Наряду с обратными задачами важную роль в приложениях играют и задачи управления для моделей распространения загрязнений. Эти задачи заключаются в достижении определенных "экологических" целей за счет действия граничных либо распределенных управлений, роль которых играют координаты, мощности и другие параметры источников загрязнений. Интерес к этим задачам появился в 70-80-е годы прошлого столетия, начиная с пионерских работ Г.И. Марчука, В.В. Пененко и других исследователей, посвященных решению задач оптимального размещения предприятий вблизи экологически значимых зон.

Важно отметить, что исследование обратных задач можно свести к исследованию соответствующих экстремальных задач. Это достигается путем введения функционала качества, адекватно отвечающего рассматриваемой обратной задаче и последующей его минимизации на решениях исходной задачи. На этом пути возникают обратные экстремальные задачи, для исследования которых можно применять методологию, развитую для исследования задач управления. Это позволяет рассматривать обратные задачи и задачи управления с единых позиций математической теории оптимального управления и применять для из решения один и тот же математический аппарат, основанный на теории экстремальных задач условной оптимизации (см. [8092]).

Перейдем к формулировке основных результатов диссертационной работы. Указанная диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [93]- [99].

В заключение хочу выразить благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук профессору Г.В. Алексееву за постановку задачи и ценные обсуждения результатов работы, а также кандидатам физ.-мат. наук Д.А. Терсшко и Р.В. Бризицкому за полезные замечания, направленные на улучшение содержаия работы.

Заключение

1. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.:Наука, 1982. 319 с.

2. Белолипецкий В.М., Шокин Ю.И. Математическое моделирование в задачах защиты окружающей среды. Новосибирск: ИНФОЛИО- ПРЕСС, 1997. 240 с.

3. Крукиер Л.А., Муратова Г.В. Решение стационарного уравнения конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной многосеточным методом// Изв. ВУЗов. Северо-кавказский регион. Мат. модел. Спецвып. 2001. С. 105-109.

4. Крукиер Я.А., Муратова Г.В. Использование метода конечных разностей для решения уравнения мелкой воды. //Мат. модел. 2001. Т. 13. N. 3. С. 57-60.

5. Crank J, Nikolson P. A practical method for numerical evaluation of solution of differential equations of heat-conduction type // Proc. Camb. Phil. Soc. 1947. V.43. P. 50-67.

6. Самарский A.A., Вабищевич П.H. Аддитивные схемы для задач математической физики // М.: Наука, 1999.

7. Вабищевич П.Н., Самарский А.А. Об устойчивости разностных схем для задач конвекции/диффузии // ЖВМ и МФ. 1997. Т. 37. N. 2. С. 182-186.

8. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Магпус П.П. Сильная устойчивость дифференциально-операторных и операторно-разностных схем // ДАН. 1997. Т. 356. N. 4. С. 455-457.

9. Владивосток: Дальнаука. 1999.

10. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

11. Girault V., Raviart P.A. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Theory and algorithms. Berlin: Springer-Verlag. 1986.

12. Usmani R.A., Agarwal R.P. An A-stable extended trapezoidal rule for the numerical integration of ordinary differential equations // Computers Math. Applic. 1985. V. 11. N. 12. P. 1183-1191.

13. Jacques I.B. Extended one-step methods for the numerical solution of ordinary differential equations // Intern. J. Computer Math. 1989. V. 29. P. 247-255.

14. Chawla M.M., Al-Zanaidi M.A., Al-Sahhar M.S. Stabilized fourth order extended methods for the numerical solution of ODEs // Intern. J.Computer Math. 1994. V. 52. P. 99-107.

15. Chawla M.M., Al-Zanaidi M.A., Al-Sahhar M.S. A class of stabilized extended one-step methods for the numerical solution of ODEs // Computers Math. Applic. 1995. V. 29. N. 10. P. 79-84.

16. Chawla M.M., Karaballi A.A., Al-Sahhar M.S. Extended double-stride Instable methods for the numerical solution of ODEs // Computers Math. Applic. 199G. V. 31. N. 2. P. 1-6.

17. Chawla M.M., AL-Zanaidi M.A. An Extended Trapezoidal Formula for the Diffusion Equations // Сотр. and Math. Appl. 1999. V.38. P. 51-59.

18. Chawla M.M., AL-Zanaidi M.A., AL-Aslab M.G. Extended One-Step Time-Integration Schemes for Convection-Diffusion Equations // Сотр. and Math. Appl. 2000. V. 39. P. 71-84.

19. Wang H. , Jiang J. Solution of system of linear algebraic equations by decreasing dimension // Applied Mathematics and Computation. 2000. V. 109. P. 51-57.

20. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы повышенного порядка точности на неравномерных сетках // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. N. 2. С. 265-274.

21. Крукиер J1.А. Решение сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений итерационным методом, основанным на косо-симметричной части исходной положительной матрицы // Мат. модел. 2001. Т. 13. N. 3. С. 49-56.

22. Крукиер J1.А., Мартынова Т.С. О влиянии формы записи уравнения конвекции-диффузии на сходимость метода верхней релаксации // Выч.мат. и мат.физ. 1999. Т. 39. N. 11. С. 1821-1827.

23. Крукиер Л.А., Чикина Л.Г. Двуциклический треуголный кососиммет-рический итерационный метод решения сильно несимметричных систем // Изв. ВУЗов. Математика. 2001. Т. 468. N. 5. С. 36-42.

24. Мартынова Т.С., Белоконь Т.В. Нестационарный итерационный метод решения сильно несиметричных систем линейных алгебраических уравнений // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. N. 3. С. 61-68.

25. Krukier L.A., Martynova T.S. Point SOR and SSOR Methods for the Numerical Solution of the Steady Convection-Diffusion Equation with Dominant Convection // IMACS Series in Computational and Applied Mathematics. 1999. V. 5. P. 399 404.

26. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.

27. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС. 1999.

28. Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. Современные методы математического моделирования // Сборник лекций.Самара. 2001. С. 21-40.

29. Самарский А.А., Вабищевич П. Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики. Фундаментальные основы математического моделирования. М.: Наука. 1997. С. 5-97.

30. Alifanov О.М. Inverse Heat Transfer Problems. Springer.Berlin. 1994.

31. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Computational Heat Transfer. Wiley. Chichester. 1995.

32. Тумашев Г.Г., Нужин M.T. Обратные краевые задачи и их приложе-ния//Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1965. 333 с.

33. Музылев Н.В. Теоремы единственности для некоторых обратных задач тепловой конвекции // ЖВМ и МФ. 1980. Т. 20. N. 2. С. 388-400.

34. Музылев Н.В. О единственности решения обратной задачи линейной тепловой конвекции // Ж. вычисл.мат. и мат.физ. 1985. Т. 25. N. 9. С. 1346-1352.

35. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение. 1988.

36. Пененко В.В., Рапута В.Ф., Быков А.В. Планирование эксперимента в задаче оценивания мощности источников примеси // Физика атмосферы и океана. 1985. Т. 21. N. 9. С. 913-920.

37. Besk J. V., Blackwell В., Clair C.St. Inverse Conduction Ill-posed Problems. Wiley. New York. 1985.

38. Cannon J.R., Zachmann D. Parameter determination in parabolic differential equations from overspecified boundary data // Int. J. Engng.Sci. 1982. V. 20. P. 779-788.

39. Cannon J.R., Duchateau P. An inverse problem for a non-linear diffusion equation // SIAM J. Appl.Math. 1980. V. 39. P. 272-289.

40. Cannon J.R., Duchateau P. Determining unknown coefficients in a nonlinear conduction problem // SIAM J. Appl. Math. 1973. V. 24. P. 298-314.

41. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1988.

42. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука. 1986.

43. Артюхин Е.А., Будник С.А., Охапкин А.С. Численное решение коэффициентных обратных задач теплопроводности и оптимизация температурных измерений // ИФЖ. 1988. Т. 55. N. 2. С. 292-304.

44. Бойко О.А., Зеркалъ С.М., Иткина Н.Б. Применение методов планирования эксперимента при решении обратных коэффициентных задачтеплопереиоса. Препринт N 125. РАН. Сиб.отд-ние. Институт математики. Новосибирск. 2003. 20 с.

45. Al-Khalidy N. On the solution of parabolic and hyperbolic inverse heat conduction problems // Intern.Jour.of Heat and Mass Transfer. 1998. V. 41. P. 3731-3740.

46. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979.

47. Самарский А.А.,Вабищевич П.Н. Дифференциальные методы решения задач идентификации обнаружения источников параболических уравнений // Вестник МГУ. Сер. Матем. и киберн. 1995. Вып. 1. С. 47-5G.

48. Криксин Ю.А, Плющев С.Н., Самарская Е.А., Тишкин В.Ф. Обратная задача восстановления источника для уравнения конвективной диффузии // Матем. модел. 1995. Т. 7. N. И. С. 95-108.

49. Борухов В. Т. Инверсия линейного инварианта динамических систем во времени с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1982. N. 5. С. 29-30.

50. Кряжимский А.В., Максимов В.И.,Осипов Ю.С. О позиционном моделировании в динамических системах // Прикл. матем. и мех. 1982. Т. 47. N. 6. С. 883-889.

51. Колесников П.М., Борухов В. Т., Борисевич Л.Е. Метод обратных динамических систем для восстановления внутренних источников и граничных условий в теории переноса // ИФЖ. 1988. Т. 55, N. 2. С. 304-311.

52. Borukhov V.T., Vabishchevich P.N. Numerical solution of the inverse problem of reconstructing a distributed right-hand side of a parabolic equation// Computer Physics Communications. 2000. T. 12G. N. 1. C. 32-36.

53. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения //Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. N. 1. С. 86-94.

54. Криксип Ю.А., Плющев С.Н., Самарская Е.А., Тишкин В.Ф. К вопросу о единственности решения обратной задачи конвективной диффузии. Препринт Ин-та математического моделирования РАН N 23. Москва. 1994.

55. Fatullayev A.G. Numerical procedure for the determination of an unknown coefficients in parabolic equations. // Computer Physics Communications. 2002. V. 144. P. 29-33.

56. Fatulayev A.G. Numerical solution of the inverse problem of determining an unknown source term in a heat equation // Mathematics and Computers in Simulatiion. 2002. V. 58. P. 247-253.

57. Shidfar A., Azary H. Nonlinear parabolic problems // Nonlinear analysis, theory, Methods and Applications. 1997. V. 30. N. 8. P. 4823-4832.

58. Essaouini M., Nachaoui A., Hajji S.El. Numerical method for solving a class of nonlinear elliptic inverse problems // J. of Сотр. and Appl.Math. 2004. V. 162. P. 165-181.

59. Nachaoui A. Numerical linear algebra for reconstruction inverse problems // J. of Comput. and Appl.Math. 2004. V. 16. P. 147-164.

60. Fatullayev A.G. Determination of unknown coefficient in nonlinear diffusion equation // Nonlinear Analysis. 2001 V. 44. P. 337-344.

61. Ito K., Kunisch K. Estimation of the convection coefficient in elliptic equations //Inverse Problems. 1997. N. 14. P. 995-1013.

62. Shidfar A., Tavakoli К An inverse heat conduction problem // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 2002. V. 26. P. 503-507.

63. Dehghan M. Finding a control parametr in one-dimensional parabolic equations // Applied Mathematics and Conputation. 2003. V. 135. P. 491503.

64. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. Москва: Едиториал УРСС, 2004. 480 с.

65. Lowe В., Rundell W. The determination of a coefficient in an elliptic equation from average flux data // J.of Computational and applied mathematics. 199G. V. 70. P. 173-187.

66. Терешко Д.А. Численное решение задач идентификации параметров примеси для стационарных уравнений массопереноса // Выч/гехн. Спец. вып. 2004. Т. 9. Ч. 4. С. 92 98.

67. Capatina A., Stavre R. Numerical analysis of a control problem in heat conducting Navier-Stokes fluid // Int. J. Eng. Sci. 1996. V. 34. N 13. P. 14G7 1476.

68. Иванчов Н.И. Определение зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении // Сиб. матем. жури. 1998. Т. 39. N. 3. С. 539-550.

69. Shidfar A., Azary Н. An inverse problem for a nonlinear diffusion equation // Nonlinear analysis, theory, Methods and Applications. 1997. V. 28. N. 4. P. 589-593.

70. Wang J., Pao С. V. Finite difference reaction-diffusion equation equations with nonlinear diffusion coefficients // Numer.Math. 2000. V. 85. P. 485-502.

71. Музылев H.B. О единственности одновременного определения коэффициентов теплороводности и объемной теплоемкости // ЖВМ и МФ. 1983. Т. 23. N. 1. С. 102-108.

72. Иванчов Н.И., Пабыривска Н.В. Определение двух, зависящих от времени коэффициентов в параболическом уравнении // Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43. N. 2. С. 323-329.

73. Иванчов Н.И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости // Сиб. матем. жури. 1994. Т. 39. N. 3. С. 612 621.

74. Capatina A., Stavre R. Algorithms and convergence results for an inverse problem in heat propagation // Intern. Journal of engeneering science, 2000. V. 38. P. 575-587.

75. Алексеев Г. В. Стационарные задачи граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Докл. РАН. 1998. Т. 362. N. 2. С. 174-177.

76. Алексеев Г.В. Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39. N. 5. С. 982-998.

77. Адомавичюс Э.А. О разрешимости некоторых экстремальных задач для стационарных уравнений тепловой конвекции // Дальневост. матем. сб. 1998. Выи. 5. С. 74-85.

78. Алексеев Г.В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теило-массопереноса // ДАН. 2000. Т. 375. N. 3. С. 315-319.

79. Alekseev G.V., Adomavichus Е.А. Theoretical analysis of inverse extremal problems of admixture diffusion in viscous fluids // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2001. V. 9. N. 5. P. 435-468.

80. Алексеев Г.В. Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений тепломассопереноса //Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. N. 5. С. 971-991.

81. Алексеев Г.В., Адомавичюс Э.А. О разрешимости неоднородных краевых задач для стационарных уравнений массопереноса // Дальневост. мат. журн. 2001. Т. 2. N. 2. С. 138-153.

82. Алексеев Г.В., Адомавичюс Э.А. Исследование обратных экстремальных задач для нелинейных стационарных уравнений переноса вещества //Дальневост. мат.журн. 2002. Т. 3. N. 1. С. 79-92.

83. Алексеев Г.В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теории массопереноса // Ж. выч. матем. и мат. физ. 2002. Т. 42. N. 3. С. 380-394.

84. Алексеев Г.В., Прокопенко C.B., Соболева O.A., Терешко Д.А. Задачи оптимального управления для некоторых моделей распространения загрязнений // Выч.техн. Спец.вып. 2003. Т.8. Ч. 4. С. 65-71.

85. Адомавичюс Э.А.,Калинина Е.А. Экстремальные задачи идентификации для стационарных уравнений массопереноса // Выч. технол. Спец. вып. 2002. Т. 7, Ч. 1. С. 17-23.

86. Калинина Е. А. О численном решении обратной нестационарной задачи идентификации плотности источника для уравнения конвекции диффузии // Выч.технол. Спец. вып. 2003. Т.8. Ч. 2. С. 84-91.

87. Калинина Е.А. Использование схем повышенной точности для численного исследования обратных задач идентификации плотности источника одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии // Выч.технол.Спец. выи. 2004. Т.9. Ч. 2. С. 287-296.

88. Калинина Е.А. Численное решение задачи идентификации параметра примеси двумерного эллиптического уравнения // Выч. технол. Спец. вып. 2006. Т.1. С. 549-557.

89. Калинина Е.А. Численное исследование обратной задачи восстановления плотности источника двумерного нестационарного уравнения конвекции диффузии // Дальнев. матем. журн. 2004. Т.5. N. 1. С. 89-99.

90. Калинина Е.А. Численное исследование обратной экстремальной задачи идентификации младшего коэффициента двумерного эллиптического уравнения // Дальнев. матем. журн. 2005. Т. 6. N. 1-2. С. 57-70.

91. Алексеев Г.В., Калинина Е.А. Идентификация младшего коэффициента для стационарного уравнения конвекции диффузии - реакции // Сиб. журн. индустр. матем. 2007. Т. И. N. 1. с. 3-16.

92. Треногин В. А .Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

93. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 240 с.

94. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973.

95. Каханер Д., Моулер К., Нош С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 2001. 576 с.104. http://www.mathworks.com1105. http://www.imamod.ru/ vab/fortran.htm