автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Использование многосеточного метода для реализации математических моделей процессов конвективно-диффузионного переноса

На правах рукописи

Андреева Евгения Михайловна

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОСЕТОЧНОГО МЕТОДА ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕССОВ КОНВЕКТИВНО-ДИФФУЗИОННОГО ПЕРЕНОСА

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г. Ростов-на-Дону 2005г.

Работа выполнена в Южно-Российском региональном центре информатизации Ростовского Государственного Университета (ЮГИНФО РГУ)

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент Г.В. МУРАТОВА

доктор физико-математических наук, профессор Р.З. ДАУ'ГОВ

кандидат физико-математических наук, доцент Ф.А. СУРКОВ

Институт математического моделирования РАН, г.Москва

Защита состоится " 27 " декабря 2005г. в 11 часов на заседании диссертационного совета К.212.208.04 по физико-математическим и техническим наукам в Ростовском Государственном Университете по адресу: 344090, Ростов-на-Дону, пр.Стачки 200/1, корпус 2, ЮГИНФО РГУ, к.206.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г.Ростов-на-Дону, ул.Пушкинская, 148.

Автореферат разослан " 25 " ноября 2005г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, кандидат физико-математических наук

Муратова Г.В.

242

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время активы) развивается новая методология научных исследований - математического моделирования и вычислительного эксперимента. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его математической моделью и исследовании современными вычислительными средствами математических моделей. Важной задачей математического моделирования является разработка эффективных вычислительных алгоритмов.

Вычислительные технологии широко используются для математического моделирования проблем механики сплошной среды, механики жидкости и газа. При исследовании многих процессов в движущихся средах в качестве основных можно выделить диффузионный перенос той или иной субстанции и перенос, обусловленный движением среды, т. е. конвективный перенос. В газо- и гидродинамике в качестве базовых моделей многих процессов выступают краевые задачи для стационарных и нестационарных уравнений конвекции-диффузии - эллиптическое или параболическое уравнение второго порядка с младшими членами.

Существует большое количество природных процессов и явлений, описываемых уравнением конвекции-диффузии - распространение загрязнения в водоемах и атмосфере, движение подземных вод и др. Исследование большинства процессов, описываемых уравнением конвекции-диффузии, особенно важно при решении экологических проблем.

При использовании различных методов разностной аппроксимации дифференциального уравнения конвекции-диффузии получаем системы линейных алгебраических уравнений различного типа. Для решения конкретной задачи линейной алгебры важно выбрать наиболее подходящий для рассматриваемого класса задач метод из множества допустимых. Значительная часть созданных методов, обладая своей областью применимости, имеет право на существование, методы непрерывно усовершенствуются и модифицируются для решения все более сложных задач. Поэтому создание и исследование новых методов всегда остается актуальной задачей.

В последние годы одним из эффективных и довольно универсальных итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений стал многосеточный метод. Многосеточный метод принадлежит к классу быстро сходящихся итерационных методов. Метод является оптимальным по числу арифметических операций для достижения точности, согласованной с порядком сходимости. Скорость сходимости многосеточного метода независима от числа неизвестных в системе, полученной в результате аппроксимации дифференциального уравнения, то есть многосеточный метод обладает не улучшаемой оцея " и.

Другая его особенность заключается в том, что многосеточный метод не является строго фиксированным методом. Это, скорее, некий шаблон, сборная конструкция метода, эффективность которого зависит от адаптации его компонент к решаемой задаче. Важными компонентами многосеточного метода являются сглаживающая процедура или базовый итерационный метод и грубо-сеточная коррекция.

В диссертации предложен многосеточный метод со сглаживателями специального вида, которые эффективно решают сильно несимметричные системы линейных алгебраических уравнений, появляющиеся после центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

Цель и задачи работы. Целью данной работы является разработка, исследование и программная реализация модификаций многосеточного метода для включения в виде расчетного модуля в программный комплекс "Математическое моделирование конвективно-диффузионного переноса в средах с преобладающей конвекцией".

В соответствии с этими целями решен ряд задач:

• использованы новые эффективные сглаживающие процедуры в мно-госегочном методе для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений;

в теоретически обоснованы предложенные модификации;

« создано программное обеспечение, позволяющее реализовать модификации многосеточного метода для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

Методы исследования основаны на базовых положениях теории многосеточных методов, теории операторно-разностных схем, а также на теории итерационных методов, понятиях и методах матричного анализа.

Научная новизна. Предложено использовать новый класс сглажива-телей в многосеточном методе для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений, полученных после разностной аппроксимации уравнении конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией, доказана сходимость многосеточного метода с новыми сглаживателями. Проведен локальный Фурье-анализ предложенных сглаживающих методов в многосеточном методе и локальный Фурье-анализ двухсеточно-го метода. Проведено сравнение эффективности многосеточного метода с предложенными сглаживателями и многосеточного метода с другими типами сглаживателей для решения различного типа задач.

Достоверность. Представленные в диссертации научные результаты имеют строгое математическое сбсскоганпе, предложенные негоды теоретически и численно исследованы.

Практическая значимость. С помощью разработанных методов можно эффективно решать стационарные и нестационарные задачи конвективно - диффузионного переноса с дискретным пространственным оператором, матрица которого диссипативна (т.е. симметричная часть матрицы положительно определена). Разработанный расчетный модель включен в программный комплекс, реализующий математические модели конвективно-диффузионного переноса в средах с преобладающей конвекцией.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на VIII, IX X и XI Всероссийских школах-семинарах молодых ученых "Современные проблемы математического моделирования" (п.Абрау-Дюрсо 1999г., 2001г., 2003г., 2005г.); на Всероссийской конференции "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности" (п.Абрау-Дюрсо, 2000г.); на VIII и IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященное памяти А.Ф.Сидорова (Пущино, 2000г.; п.Абрау-Дюрсо, 2002г.); на I и II Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач" (г. Казань, 2.001г., 2003г.); на Международной конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике" (г.Ростов-на-Дону, 2001г.); на международной конференции IMMC-2002 "Итерационные методы и матричные вычисления" (г.Ростов-на-Дону, 2002г.); на IV Международной конференции по неравновесным' процессам в соплах и струях (NPNJ-2002) / XIX Международном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (г. Санкт-Петербург, 2002г.); на Международной конференции по вычислительной математике ICCM-2002 (г. Новосибирск, 2002г.); на Всероссийской научно-технической конференции "Параллельные вычисления в задачах математической физики"(г. Ростов-на-Дону, 2004г.); иа II Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова (п.Абрау-Дюрсо, 2004г.)

В полном объеме результаты диссертационной работы были представлены на научном семинаре "Методы решения краевых задач" лаборатории вычислительного эксперимента ЮГИНФО РГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, в том числе 14 в соавторстве. Из них 1 статья в российском реферируемом журнале, 11 статей в сборниках трудов и 5 в тезисах докладов всероссийских и международных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введе-

ння, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 183 страницы, в том числе 19 рисунков, 6 графиков, 8 таблиц, 4 диаграммы. Список литературы состоит из 136 наименований.

Автор диссертации выражает глубокую признательность своему научному руководителю к.ф.-м.н., доценту Муратовой Г.В. и проректору РГУ, директору ЮГИНФО РГУ д.ф.-м.н., проф. Крукиеру Л.А., благодарит коллектив ЛВЭ ЮГИНФО РГУ за внимание к работе, оказанную помощь и полезные советы.

Содержание работы

Во введении раскрывается актуальность темы диссертации, изложены основные цели и задачи диссертации, показана их практическая значимость, представлена структура диссертации и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена физическому описанию процессов конвекции и диффузии. Сделан краткий обзор существующих математических моделей различных природных процессов, в основе которых лежит уравнение конвекции-диффузии. Отмечены особенности формы записи оператора конвективного переноса, рассмотрены различные способы аппроксимации операторов конвективного и диффузионного переноса. Приводятся основные понятия, определения и свойства линейных операторов, необходимые для дальнейшего изложения результатов исследования.

В качестве основной модельной задачи рассматривается стационарное уравнение конвекции-диффузии, записанное в симметричной форме в прямоугольной области О = [0,1] х [0,1] :

где х € П, V = (г>1(х),г>2(х)) - вектор скорости движения среды. Ограничиваемся рассмотрением движения неразрывной несжимаемой жидкости, 2

для которой сИь\ = ^ ~ 0- Уравнение (1) дополняется граничными <*=1 "

условиями 1-го рода = , 5 € д£2.

При выборе аппроксимации исходного уравнения необходимо учитывать основные свойства дифференциальных операторов. Так как оператор конвективного переноса является кососимметричным была выбрана симметричная форма записи уравнения конвекции-диффузии и при аппроксимации конвективных членов уравнения использовался метод конечных разностей с центрально-разностной аппроксимацией первых производных на

б

сетке Пл = {х1х = ,0 < г.] < N,11 = 1/Лт}, Лг - число точек рагок-

ения отрезка [0,1]. Полученная разностная аппроксимация конвективных членов сохраняет свойство и:-; кососимметрии при любых значениях коэффициентов уравнения.

Установив стандартный перебор узлов в области расчета, получаем систему линейных алгебраических уравнений:

= /л, (2)

где = Си + Г>л, Си - разностный оператор конвективного переноса, £>/, - разностный оператор диффузионного переноса.

Матрицу Ь, соответствующую оператору Ь-п можно представить в виде:

Ь = ¿о + ¿ь

где Ьо = | (Ь + I*) = Щ - это симметричная часть, з, Ь\ — \ (Ь — V) — —¿1, - кососимметричная часть матрицы Ь. Если параметр при старшей производной в уравнении (1) мал и используются центрально-разностная аппроксимация, то матрица Ь является сильно несимметричной, то есть в некоторой матричной норме выполняется неравенство:

В нашем случае матрица Ь будет диссипативной, т.е. ¿о = > 0. Матрицу Ь\ представим в виде суммы Ь\ = К + Ки и Ки = —Щ, где Кг и Ки - соответственно, нижняя и верхняя треугольные части кососим-метричной матрицы Ь\.

Далее приведены основные определения и теоремы из теории итерационных методов, представлен обзор классических и современных итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений.

Во второй главе изложены основные принципы многосеточного метода.

Многосеточный метод является эффективным методом решения дифференциальных уравнений в частных производных. В основе многосеточного метода лежат два принципа:

» принцип сглаживания - многие классические итерационные методы подобно методу Гаусса-Зейделя или Якоби быстро сходятся на первых итерациях, замедляясь в дальнейшем, то есть, обладают эффектом сглаживания ошибки;

о принцип грубо-сеточной коррекции - гладкие компоненты ошибки могут быть хорошо представлены на более грубой сетке, где решение требует меньше вычислительных затрат.

Многосеточный алгоритм позволяет значительно повысить эффективность основного итерационного метода, комбинируя обычный итерационный процесс с приемом, называемым грубо-сеточной коррекцией - последовательным использованием в вычислениях более грубых сеток.

Структура многосеточного метода рассмотрена на примере двухсеточ-ного метода.

Один итерационный шаг двухсеточного метода (т.е. переход от и^ к ) может быть представлен в виде следующей схемы:

• Сглаживание

- Вычисление приближенного решения после щ итераций сглаживающего метода

® Грубо-сеточная коррекция

- Вычисление дефекта (невязки) = Д - Ьф^

- Ограничение дефекта (переход на грубую сетку 2к) ¿21, ~

- Решение на грубой сетке ¿г/Лл = йгл

- Интерполяция ошибки (переход на мелкую сетку к) г>/, = Р^гн

- Коррекция искомого решения = + и/,

в Последующее сглаживание

- Вычисление и)[+1 после Vг итераций сглаживающего метода для подавления высокочастотных компонент ошибки, которые могут появиться после интерполяции.

Используя введенные обозначения, оператор перехода двухсеточного метода может быть записан в следующем виде

= (3)

где К,2/' = 4 - Р^Ь^МЦ'Ьн - оператор грубо-сеточной коррекции, 5/, -оператор перехода сглаживающего метода.

Роль базовых итерационных методов (сглаживающих методов) заключается в том что, они должны не столько уменьшать ошибку (погрешность), сколько сглаживать ее, а именно подавить высокочастотные гармоники ошибки так, чтобы она могла быть хорошо приближена на грубой сетке.

Существует целый ряд итерационных методов, которые можно использовать в качестве сглаживателей в многосеточном методе, но не все они

эффективны для решения сильно несимметричных систем. В диссертационной работе предлагается использовать в качестве сглаживателей итерационные методы из класса треугольных кососимметричных методов (ТКМ), впервые предложенных в работах проф. Крукиера Л.А.1 Использование методов из класса ТКМ для решения систем линейных алгебраических уравнений не требует диагонального преобладания от исходной матрицы I. Единственным ограничением этих методов является требование дисси-пативности исходной матрицы,

Методы класса ТКМ, как и любые, итерационные методы, можно записать в канонической форме:

в-^ + ЬнчЪ = Д, п = 0,1,2,... (4)

т

Предложенные ниже треугольные кососимметричные методы эффективны для решения сильно несимметричных систем за счет специального выбора оператора В, при построении которого используется только косо-симметричная ча.сть исходной матрицы Ь. > .

Для стандартного ТКМ оператор В строится следующим образом:

В ~ Е + 2тКь или В = В + 2т К и, ' (5)

для ТКМ1:

В = аЕ + 2Щ или В — аЕ + 2Ки, (6)

для ТКМ2:

В = ВС + 2К1 или В = Вс + 2Ки, (7)

где т - скалярный итерационный параметр, а — \\М\\, элементы матрицы

71

Вс = {Ьед}о ~ 2 * = где М = {тоу}о - симметричная

матрица, которая строится по формуле М — Ьо 4- Ки — К^п- размерность матрицы Ь.

Поведение методов класса ТКМ аналогично поведению метода Гаусса-Зейделя, который быстро гасит высокочастотные гармоники ошибки, замедляясь в дальнейшем. Поэтому эти методы могут быть использованы в качестве сглаживателей в многосеточном методе при решении сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений.

1 Крукиср Л.А. Кососимметричные итерационные методы решения стационарной задачи конвекции-

диффузии с малым параметром при старшей производной. // Известия высших учебных заведений. Математика, 1997, X® 4, с 77-85.

Третья глава диссертационной работы посвящена теоретическому исследованию многосеточного метода с предложенными в качестве сглажива-телей треугольными кососимметричными методами.

Доказана сходимость многосеточного метода с треугольными кососимметричными сглаживателямн (6) и (7). При доказательстве были использованы теоретические результаты из работ Као 2 и Мандела3.

В диссертационной работе была доказана следующая

Теорема 1. Для многосеточпого метода, в которол1 в качестве сгла-снсивателя используется итерационный метод (4) с оператором В из (6) или (7), существует постоянная b > 0 такая, что выполняется неравенство:

в + в*-ь0>ь(ь0-вуЯ =

которое влечет за собой сходимость многосеточного метода с постоянной b = рчггщ'г(?е г" -TL«lßB(~lBo -Lo)~1/2-

Теорема сходимости многосеточного метода со сглаживателем (5) доказана ранее в работе Муратовой Г.В. и Крукиера J1.A.4

Основным инструментальным средством для получения количественных оценок сходимости и оптимизации различных компонент многосеточного метода в регулярных областях может рассматриваться Фурье-анализ, который легко применяется как к симметричным, так и несимметричным задачам.

Основная идея Фурье-анализа, изложенная в третьей главе, состоит в том, чтобы представить ошибку или невязку в виде суммы некоторых периодических функций, называемых компонентами Фурье. При этом появляется возможность оценить воздействие различных многосеточных компонент на каждый компонент Фурье.

Существует два подхода при анализе многосеточного метода, которые отличаются, главным образом, исследуемой областью: анализ можно проводить на конечной дискретной области или на бесконечной сетке. Первый - точный анализ, который известен как анализ модельной задачи (MPА), может быть применен только к некоторым модельным ситуациям, таким как прямоугольная область и постоянные коэффициенты операторов. Второй тин анализа называется локальным Фурье-анализом (LFA). В LFA,

7Z. Cao Convergence of multigrid methods for nonsymmetric indefinite problems. // Appl. Muth. Сотр., 28 (19SS), pp.269-288.

MandeI Multigrid convergence for iioiisymnii'tric indefinite variational pioblems and one smoothing stop. /, Appl. Math. Сотр., 19 (1986), pp.201-21G,

4j1\limitu«a G., Ki ukier h. Multigrid method for the iterative solution of .strongly nonsclfadjoint pioblcms with dissipalive matiix. // Proceedings of the Conference on AMLI'9ß, Nijmegen, 19DG, v,2, pp,169-178,

основные дискретные операторы с постоянными коэффициентами считаются формально расширенными на бесконечную сетку. Следовательно, граничными условиями пренебрегают. Также, согласно общим предположениям, любой дискретный оператор, нелинейный, с непостоянными коэффициентами может быть локально линеаризован и локально заменен (замораживая коэффициенты) оператором с постоянными коэффициентами.

В диссертации проведен односеточный локальный Фурье-анализ или анализ сглаживания и двухсеточный Фурье-анализ для предложенных модификаций многосеточного метода. При проведении односеточного анализа основное внимание в многосеточном цикле уделяется процедуре сглаживания, а влиянием грубо-сеточной коррекции пренебрегают или используют "идеальный"оператор грубо-сеточной коррекции. При проведении Фурье-анализа сглаживания важным моментом является вычисление коэффициента сглаживания, который может быть легко рассчитан для большинства стандартных сглаживающих методов. Коэффициент сглаживания показывает насколько метод является хорошим сглаживателем.

Для лучшего понимания замысла и структуры многосеточного метода проводится двухсеточный LFA. Этот анализ дает больше информации, чем анализ сглаживания. Его целыо является определение коэффициента асимптотической сходимости, по которому можно судить о сходимости двухеето чного метода.

Используя вышеизложенную методику, были проведены вычислительные эксперименты, реализующие локальный Фурье-анализ модификаций многосеточного метода с предложенными сглаживателями. Исследования проводились для задачи (1) с постоянным вектором скорости движения среды v = (1,1). Проведено сравнение результатов Фурье-анализа многосеточного метода, в котором в качестве сглаживателей выбирались треугольные кососимметричиые сглаживатели с многосеточным методом со стандартными сглаживателями (методом Гаусса-Зейделя (GS - LEX) и методом Якоби (ш — Jac)). Поскольку используемая методика предполагает "замораживание"переменных коэффициентов, то построение оператора В методов ТКМ\ и ТКМ2 для проведения Фурье-анализа одинаково. Поэтому результаты представлены только для одного случая ТКМ1 — 2.

При проведении односеточного локального Фурье-анализа, для оценки свойства сглаживания базовых итерационных методов были получены коэффициенты сглаживания /i;oc, представленные в таблице 1.

Для эффективного сглажнвателя коэффициент сглаживания щос должен быть меньше единицы. Чем меньше коэффициент сглаживания, тем быстрее метод сходится, а следовательно, подавляет высокочастотные компоненты ошибки. Результаты численных экспериментов показали эффективность применения треугольных кососимметричных методов в качестве

сглаживателей в многосеточном методе (таблица 4).

Таблица 1; Коэффициент сглаживания' щос

Ре ТКМ1 - 2 ТКМ и — Зас СБ - ЬЕХ

1 ООО 10 ООО 100 ООО 0.8875 0.9876 0.9987 0.8762 0.9873 0.9987 0.9983 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

Для оценки сходимости двухсеточного метода с предложенными треугольными косоеимметричными сглаживателями были вычислены коэффициенты асимптотической сходимости двухсеточного метода., В таблице 2 представлен коэффициент асимптотической сходимости двухсеточного метода р10С для разного числа сглаживающих итераций N3. Символ В означает, что значение коэффициента р10С ^ 1

Таблица. 2: Коэффициент асимптотической сходимости двухсеточного ме-

Ре N8 ТКМ1 - 2 ТКМ ш — Зас С в ~ ЬЕХ

1 > 1 . 0.9040 2.6875 5.9980

2 > 1 0.8150 2.6804 35.8149

1 000 5 0.6782 0.5692 2.6591 В

10 0.3673 0.3240 2.6241 В

15 0.2035 0.1844 2.5895 В

1 > 1: > 1. 3.7218 3.6733

2 > 1 0,9791 • 3.7218 4.0265

10 ООО 5 0.9787 -¡. 0.9434 3.7215 В

10 0.9152- 0.8901 3.7211 В

15 0.8582 0.8397 3.7207 В

1 > 1 > 1 3.762824 3.7579

2 > 1 0.9921 3.762823 3.7530

100 000 5 > 1 0.9713 3.762821 3.7383

10 > 1 V 0.9435 3.762817 3.7139

15 0.9970 , 0,9164 3.762813 3.6897

Проведенные исследования показывают, что рассматриваемые в диссертации треугольные кососимметричные методы являются эффективными сглаживателями в многосеточном методе для решения поставленной задачи, в то время как> стандартные сглаживающие методы Гаусса-Зейделя и Якоб« для решения данной задачи дают неудовлетворительные результаты, двухсеточный метод с этим методами в качестве сглаживателей расходится. Проведенный Фурье-анализ двухсеточного метода показывает, что при

увеличении числа Пекле требуется больше сглаживающих итераций в многосеточном методе, и позволяет выбрать оптимальное число сглаживающих итераций для эффективного решения задачи с большими числами Пекле.

В четвертой главе описывается созданный расчетный модуль, который реализует предложенные модификации многосеточного метода. Данный расчетный модуль является одним из компонентов программного комплекса, разрабатываемого в Южно-Российском региональном центре информатизации Ростовского госуниверситета "Математическое моделирование конвективно-диффузионного переноса в средах с преобладающей конвекцией". Программный комплекс предназначен для реализации математических моделей, описывающих процессы распространения вещества в водных и воздушных средах. Приводятся и анализируются результаты численных экспериментов, проведенных с использованием предлагаемого программного модуля.

Для численного исследования эффективности предложенных модификаций многосеточного метода рассматривалось уравнение (1), правая часть и краевые условия которого выбиралась таким образом, чтобы аналитическим решением задачи была функция ^(жьжг) = зт(7г;п) эт^а^) ехр^хг). Для аппроксимации использовался метод конечных разностей с центрально-разностной аппроксимацией первых производных на сетке 33 х 33.

Были проведены вычислительные эксперименты для четырех модельных задач с различными векторами скорости движения среды, представленными в таблице 3 - постоянными, с разделяющимися переменными, линейными и быстроменяющимися коэффициентами. Исследовалось поведение метода в зависимости от числа Пекле: Ре = 10,102,103,10\ 10®. Итерации останавливались при уменьшении относительной невязки до Ю-6.

Таблица 3: Коэффициенты при конвективных членах

Задача

1 1 -1

2 1 -2х\ 2X2-1

3 XI + XI 21 - Х2

4 —2-ПХ2 соб 2тга'1

На рисунке 1 представлена зависимость времени счета многосеточного метода от количества сглаживающих итераций для второй задачи и Ре — 1000. На основании этих результатов и значений коэффициента р\ос из таблицы 2 можно сделать вывод, что существует некоторое оптимальное количество сглаживающих итераций для базового итерационного метода,

превышение которого снижает эффективность многосеточного метода, так как ведет к увеличению времени счета.

t , ГПБСС

610

660

550

500

МитТКМ

5 10 20 30

50

80

100

Рис. 1: Зависимость времени счета многосеточного метода со сглаживате-лем ТКМ от количества сглаживающих итераций при Ре~1000.

На рисунке 2 представлена относительная погрешность треугольного ко-сосимметричного метода ТКМ и многосеточного метода со сглаживателем ТКМ для числа Ре = 1000, четырех рассматриваемых задач и точного решения и (хг}х2) = эт^Хх)81п(7пг2) ехр(£1х2).

Рис. 2: Относительная погрешность многосеточного метода %.

При исследовании многосеточного метода было установлено, что для достижения требуемой точности необходимо провести гораздо меньше итераций многосеточным методом, чем при решении той же задачи треугольным кососимметричным методом, но одна итерация многосеточного метода требует больше вычислительных затрат, чем одна итерация методом ТКМ, поэтому время счета данных методов очень близко. Исходя из представленных на рисунке 2 результатов расчетов, можно сделать вывод, что большое влияние на погрешность метода оказывает накапливаемая вычислительная погрешность, так как погрешность схемы для исследуемых методов одинакова,

В таблице 4 представлены результаты расчетов многосеточного метода с различными сглаживателями: треугольными кососимметричными и методом Зейделя. В таблице указано количество итераций исследуемых методов, символ 5 означает, что на данной задаче метод не сошелся за количество итераций, большее 5000, а символ £), что метод разошелся.

Таблица 4: Количество итераций многосеточного метода с различными сглаживателями (проводилось 15 сглаживающих итераций)_

Ре MGM (Seidel) MGM (TKM) MGM (TKMl) MGM (TKM2) K = Pe* h/2

Задача 1: fj(x) = 1 и ^(х) = —1

10 13 35 30 30 0,1562

10* 63 7 5 5 1,5625

10® D 13 9 9 15,625

104 D 75 58 58 156,25

10ь D 535 460 430 1562,5

Задача 2: ^i(x) = 1 - 2xj и г^(х) = 2x2 - 1

10 22 72 53 50 0,1562

10а 18 24 19 14 1,5625

103 D 16 12 6 15,625

104 D 59 51 32 156,25

105 D 384 522 165 1562,5

Задача 3: Vi(x) =■ х\ + Х2 и г>г(х) = xi - х^

10 16 43 35 35 0,1562

10'2 23 10 7 5 1,5625

10» D 16 12 8 15,625

104 D 74 55 36 156,25

10& D 570 441 258 1562,5

Задача 4: i>i(x) — sin litxi и г>г(х) = -2ttx2COS 2ttx\

10 17 42 32 27 0,1562

102 D 16 12 7 1,5625

10® D 30 22 10 15,625

10* D 193 159 65 156,25

10!j D S S S 1562,5

В заключении приведены результаты сравнения на модельных задачах основных свойств многосеточного метода с различными сглаживающими процедурами. На основе проведенных исследований были сделаны следующие выводы :

• Предложенные модификации многосеточного метода со сглажива-телями ТКШ\ ТКМ1, ТКМ2 эффективны для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

• При исследовании многосеточного метода с треугольными кососим-метричными сглаживателями лучшие результаты для исследуемой задачи показа.?! многреетонный метод со сглаживателем ТКМ2.

• Для решения поставленной задачи многосеточный метод со стандартным сглаживателем (методом Зейделя) является неэффективным.

• Показано, что существует некоторое оптимальное количество сглаживающих итераций для базового итерационного метода/ превышение которого снижает эффективность многосеточного метода, так как ведет к увеличению времени счета.

• В случае усиления преобладания процесса конвекции (увеличения числа Ре) требуется большее количество сглаживающих итераций сглаживающего метода в многосеточном.

• Наибольшее влияние на скорость сходимости многосеточного и треугольных кососимметричных методов оказывает коэффициент косо-спмметрии К = Ре * /ь/2.

К защите представлены следующие результаты:

1. Предложены, теоретически и численно исследованы модификации многосеточного метода для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений, полученных после разностной аппроксимации .уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией. Доказана теорема сходимости предложенных модификаций многосеточного метода.

2. Проведен Фурье анализ, предложенных модификаций многосеточного метода. Исследованы .способы выбора различных сглаживателей из класса треугольных кососимметричных итерационных методов.

3. Создан программный комплекс, реализующий предложенные модификации многосеточного метода. Проведены численные исследования многосеточного метода на модельных задачах для процессов конвективно-диффузионного переноса.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Муратова Г.В., Андреева Е.М. Многосеточный метод для задач конвекции- диффузии с преобладающей конвекцией // Сборник трудов VIII всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Ростов-на-Дону, Изд-во РГУ, 1999, с.176-181.

2. Муратова Г.В., Андреева Е.М. Особенности подхода к численному решению задач конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией // Тезисы докладов VIII всероссийского совещания по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященного памяти А.Ф. Сидорова / XIII всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики", носвященной памяти К.И. Бабенко, Пущино, 2000, с. 19-20.

3. Муратова Г.В., Андреева Е.М. Решение стационарной задачи конвекции - диффузии многосеточным методом // Сборник трудов всероссийской конференции "Математическое моделирование и проблемы экологический безопасности", Ростов-на-Дону, Изд-во РГУ, 2000, с.166-172.

4. Андреева Е. М., Муратова Г. В. Модификация многосеточного метода для решения задач конвекции-диффузии с малым параметром // Материалы всероссийской молодежной научной школы-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач", Казань, "ДАС", 2001, с.132-141.

5. Муратова Г.В., Андреева Е.М. Метод индикатора погрешности при построении адаптивных сеток для сингулярно возмущенных задач конвекции-диффузии // Сборник трудов IX всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Ростов-на-Дону, Изд-во РГУ, 2001, с.244-250.

6. Муратова Г.В., Андреева Е.М. Различные варианты сглаживателей для многосеточного метода // Тезисы IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ - 2002) / XIX Международного семинара по струйным, обрывным и нестационарным течениям, С.-Петербург, 2002, с.338,

7. Андреева Е.М. Модификация многосеточного метода , Тезисы докладов секции аспирантов, магистров п студентов РГУ на международной конференции "Математическое моделирование п вычислительный эксперимент в механике и физике", Ростов-на-Дону. Изд-во РГУ. 2001, с.4.

8. Muratova G.V. Andreeva Е. М. Multigrid solver with different smoothers for convection-diffusion problem // Лекции припашенных лекторов и тезисы докладов молодых ученных Международной летней школы молодых ученных "Итерационные методы и матричные вычисления", Ростов-на-Дону Изд-во РГУ, 2002, с.437-443.

9. Муратова Г.В , Андреева Е.М. Многосеточный метод с различными сглаживателями для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией // Тезисы докладов IX Всероссийского совещания по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященного памяти А.Ф. Сидорова / XIV Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения зада математической физики", посвященной памяти К.И. Бабенко, Дюрсо, 2002, с.44-45.

10. Muratova G.V. Andreeva Е. М. Solution of convection-diffusion problem by multigrid method with different smoothers // Proceedings of International Conference on Computational Mathematics, IMC&MG publisher, Novosibirsk, v.2, 2002, pp.649-654.

11. Муратова Г.В., Андреева Ё.М. Выбор сглаживателей многосеточного метода для решения сильно несимметричных задач// Компьютерное моделирование. Вычислительные технологии, Ростов-на-Дону, Изд-во РГУ, 2003, с. 100-106.

12. Андреева Е.М. О повышении эффективности многосеточного метода решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией //' Материалы второй всероссийской молодежной научной школы-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач", Казань, "Отечество", 2003, с.94-101.

13. Муратова Г.В , Андреева Е.М. В чем секрет многосеточного метода // Сборник трудов X всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Ростов-на-Дону, Изд-во РГУ, 2003, с.173-177.

14. Андреева Е.М. Многосеточный метод н его модификации // Сборник трудов Всероссийской научно-технической конференции "Параллельные вычисления в задачах математической физики", Ростов-на-Дону, Изд-во РГУ, 2004, с.8-16.

15. Муратова Г.В., Андреева Е.М., Субботина Т.Н., Глушанин М.В., Слен-ченко Е.В., Прохорова Н.Г. Разработка модели распространения радиоактивных веществ в атмосфере для анализа экологической безопасности РоАЭС // Тезисы докладов II Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова, Екатеринбург, УрО РАН.

2004, с.80-81

16. Андреева Е.М., Муратова Г.В. Многосеточный метод решения сильно несимметричных систем. // Вычислительные технологии, том 10, №5,

2005, с.12-18.

17. Андреева. Е.М., Муратова Г.В. Фурье-анализ многосеточного метода. /'/ Сборник трудов XI всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Ростов-на-Дону, Изд-во РГУ, 2005, с.66-74.

Издательство ООО «ЦВВР». Лицензия JIP № 65-36 от 05.08.99 г. Сдано в набор 22.11.05 г. Подписано в печать 22.11.05 г. Формат 60*84 1/16 Заказ № 670. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Оперативная печать. Тираж 100 экз. Печ. Лист 1,0. Усл.печ.л. 1.0. Типография: Издательско-полиграфический комплекс « Биос» РГУ 344091, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 28/2, корп. 5 «В», тел (863) 247-80-51. Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09.02.98 г.

РНБ Русский фонд

2007-4 9648

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКТИВНО-ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ.

1.1 Физическое описание процессов конвекции и диффузии.

1.1.1 Диффузия.

1.1.2 Конвекция.

1.1.3 Математические модели конвективно-диффузионного переноса.

1.2 Особенности выбора формы записи оператора конвективного переноса.

1.2.1 Свойства дифференциальных операторов конвекции-диффузии

1.3 Разностные схемы.

1.3.1 Построение сетки.

1.3.2 Построение дискретных аналогов дифференциального уравнения и входных данных.

1.3.3 Разностные схемы для стационарной задачи конвекции-диффузии.

1.4 Модельная задача конвекции-диффузии.

1.5 Общая теория итерационных методов.

1.5.1 Операторный подход.

1.5.2 Спектральный подход.

1.5.3 Классические итерационные методы.

ГЛАВА 2 МНОГОСЕТОЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИЛЬНО

НЕСИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ.

2.1 Этапы развития многосеточного метода.

2.2 Описание метода.

2.2.1 Сглаживающая процедура.

2.2.4 Грубо-сеточная коррекция.

2.2.5 Построение сеток.

2.2.6 Выбор оператора на грубой сетке.

2.2.7 Функция интерполяции.

2.2.8 Функция ограничения.

2.2.9 Многосеточный алгоритм.

2.3 Виды многосеточного метода.

2.4 Возможность параллельной реализации многосеточного метода.

ГЛАВА 3 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОСЕТОЧНОГО МЕТОДА.

3.1 Сходимость многосеточного метода.

3.1.1 Сходимость сглаживающего метода.

3.1.2 Сходимость многосеточного метода с треугольными кососимметричными сглаживателями.

3.2 Введение в Фурье-анализ многосеточного метода.

3.2.1 Фурье-анализ для сеточных функций и операторов.

3.3 Анализ на конечной области или анализ модельной задачи (МРА).

3.4 Локальный Фурье-анализ.

3.4.1 Односеточный анализ Фурье или анализ сглаживания.

3.4.2 Основные понятия Фурье-анализа.

3.4.3 Высокие и низкие частоты Фурье-разложения.

3.4.4 Коэффициенты сглаживания итерационных методов.

3.4.5 Двухсеточный локальный Фурье-анализ.

3.4.6 Анализ сглаживания II.

3.4.7 Упрощенный двухсеточный анализ.

3.5 Стратегии огрубления сетки.

ГЛАВА 4 ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГОСЕТОЧНОГО

МЕТОДА ДЛЯ ЗАДАЧ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ.

4.1 Пакет прикладных программ.

4.1.1. Структура и описание пакета.

4.1.2. Описание интерфейса с пользователем.

4.2 Стационарная задача конвекции-диффузии.

4.3 Нестационарная задача конвекции-диффузии.

В настоящее время складываются основы новой методологии научных исследований - математического моделирования и вычислительного эксперимента. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его математической моделью и исследовании современными вычислительными средствами математических моделей. Такой подход сочетает в себе многие достоинства, как теории, так и практики.

Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, больше не подаются исследованию в нужной полноте и точности обычными теоретическими методами. Вычислительные эксперименты с математическими моделями объектов позволяют подробно и глубоко изучить объекты в достаточной полноте, опираясь на современные вычислительные алгоритмы. Прямой натуральный эксперимент дорог, долог, часто либо опасен, либо попросту невозможен, так как многие из исследуемых систем существуют в «единственном экземпляре». Поэтому работа не с самим объектом, а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых возможных ситуациях.

Математическое моделирование включает в себя три этапа: модель-алгоритм-программа. Математические модели реальных исследуемых процессов сложны и включают, как правило, системы нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. Ядро математической модели составляют уравнения с частными производными.

На первом этапе вычислительного эксперимента строится модель исследуемого объекта, отражающая в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т.д.

Вычислительный эксперимент предусматривает исследование группы близких моделей. Вначале строится простая, но достаточно содержательная и полная с точки зрения описания исследуемых процессов, с точки зрения близости к экспериментальным данным, модель. В процессе проведения вычислительного эксперимента, на его последующих циклах модель уточняется, учитываются все новые факторы. Поэтому всегда можно говорить об упорядоченном наборе (иерархии) математических моделей, каждая из которых с той или иной точностью описывает действительность. В рамках наиболее простой модели необходимо добиваться согласования с экспериментом.

После построения математической модели проводится ее предварительное исследование теоретическими методами, что позволяет получить важные начальные знания об объекте. Суть вычислительного эксперимента состоит в исследовании на компьютере математическом моделей численными методами. На данном этапе решаются вопросы о корректности задачи в узком математическом смысле.

Основное содержание предварительного исследования математической модели состоит в выделении более простых (модельных) задач и их всестороннем исследовании, так как полная математическая модель слишком сложна. Модельные математические задачи строятся для двух различных целей: для качественного исследования полной задачи и для проверки, тестирования вычислительных алгоритмов приближенного решения полной задачи.

Второй этап вычислительного эксперимента - разработка алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Вычислительные алгоритмы не должны искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач. Изучение математических моделей проводится методами вычислительной математики, основу которых составляют численные методы решения задач математической физики - краевых задач для уравнений с частными производными. На этом этапе сроится дискретная задача и численный метод решения этой дискретной задачи. Проводятся строгие доказательства существования и единственности решения дискретной задачи, получают теоретические оценки погрешности приближенного решения, сходимости итерационного процесса

На третьем этапе создается программное обеспечение для реализации модели и алгоритма на компьютере. Программный продукт должен учитывать важнейшую специфику математического моделирования, связанную с использованием ряда (иерархии) математических моделей, многовариантностью расчетов, а так же многомодельность. Поэтому уже нельзя обойтись одной программой на компьютере, нужно иметь возможность легко ее менять для решения близких задач (задач для набора моделей). Это подразумевает широкое использование комплексов и пакетов прикладных программ, разрабатываемых, в частности, на основе объектно-ориентированного программирования.

Комплекс программ предназначен для решения близких по своей математической природе задач из одной предметной области. Он включает в себя библиотеку программных модулей (в большей или меньшей степени независимых), из которых комплектуются рабочие программы. В комплексах прикладных программ сборка программ из модулей осуществляется вручную.

В пакетах прикладных программ для сборки используются системные средства компьютера, что позволяет в значительной степени автоматизировать этот процесс.

Создав триаду «модель-алгоритм-программа», нужно удостоверится в ее адекватности исходному объекту, для этого она отлаживается и тестируется в «пробных» вычислительных экспериментах. На этапе анализа результатов становиться ясным, удачно ли выбрана математическая модель, ее вычислительная реализация. Процесс моделирования также сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады. С полученной моделью проводятся разнообразные, подробные «опыты», дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта.

Единственным универсальным способом исследования моделей является применение численных методов для нахождения приближенного решения поставленной задачи с помощью средств современной вычислительной техники.

Доступный «пониманию» компьютера вычислительный алгоритм, т. е. последовательность операций, в результате выполнения которых находится решение, должен удовлетворять весьма жестким и подчас противоречивым требованиям. К ним относится, прежде всего, необходимость получить решение с заданной точностью за разумное и, по возможности, минимальное число действий. Объемы обрабатываемой при этом информации не могут превышать допустимой емкости машинной памяти, в процессе вычислений нельзя допускать возникновения не воспринимаемых компьютером слишком больших или слишком малых чисел и т.д.

Только отвечающие этим требованиям вычислительные алгоритмы позволяют проводить всестороннее численное исследование исходной модели, подвергать ее вычислительному эксперименту, проводя ее анализ в самых разных ситуациях и получая исчерпывающую информацию об изучаемом объекте. Такое понимание математического моделирования означает не просто уточнение количественных характеристик явлений, но так же изучение основных их качественных свойств. Последнее важно, прежде всего, для нелинейных объектов, поведение которых может быть весьма разнообразным и неожиданным.

Проблемы численного моделирования не снимаются сами собой по мере появления все более мощных компьютеров. Это связано, по меньшей мере, с двумя причинами: усложнением выдвигаемых как практикой, так и теорией, задач и необходимостью большого числа серий вычислительных экспериментов для достаточно полного изучения объекта.

Поэтому разработка эффективных вычислительных алгоритмов всегда остается одной из ключевых задач математического моделирования. Для их конструирования широко используются методы, идеи и подходы, применяемые при построении исходных математических моделей. Эта связь хорошо прослеживается на примере очень широкого класса моделей - тех, которые сводятся к дифференциальным уравнениям. Для них процесс создания вычислительных алгоритмов состоит из двух главных этапов: на первом строятся дискретные аналоги исходных моделей, на втором дискретные модели решаются численно.

Вычислительные средства (численные методы и компьютеры) широко используются для математического моделирования проблем механики сплошной среды, механики жидкости и газа. При исследовании многих процессов в движущихся средах в качестве основных можно выделить диффузионный перенос той или иной субстанции и перенос, обусловленный движением среды, т. е. конвективный перенос. В газо- и гидродинамике в качестве базовых моделей многих процессов выступают краевые задачи для стационарных и нестационарных уравнений конвекции-диффузии - эллиптическое или параболическое уравнение второго порядка с младшими членами.

Существует большое количество природных процессов и явлений, описываемых уравнением конвекции-диффузии - распространение загрязнения в водоемах и атмосфере, движение подземных вод и др. [18, 41, 94]. Исследование большинства процессов, описываемых уравнением конвекции-диффузии, особенно важно при решении экологических проблем.

В тех случаях, когда процесс конвекции является преобладающим, применение стандартных численных методов становится весьма проблематичным, с математической точки зрения это объясняется наличием малого параметра при старшей производной. При некоторых дополнительных условиях - несогласованности правой части дифференциального уравнения с краевыми условиями -в таких задачах может возникать явление пограничного слоя, т.е. резкое изменение решения в очень малой области расчета [111]. Трудности численного решения этих задач обусловлены их двойственной природой. Когда коэффициент при старшей производной становится достаточно малым, начальная эллиптическая задача ведет себя по существу как гиперболическая вне приграничных областей, в то время как диффузионный эффект наблюдается только в слоях. Однако подход к решению эллиптических и гиперболических задач различается.

Для таких задач, кроме метода разностной аппроксимации, весьма важной является начальная форма записи уравнения конвекции-диффузии [21]. Существуют три формы записи оператора конвективного переноса, которые эквиваленты для дифференциального уровня в несжимаемых средах, но после аппроксимации приводят к различным формам разностных уравнений, отличающихся по своим свойствам.

При различных методах разностной аппроксимации дифференциального уравнения конвекции-диффузии получаем системы линейных алгебраических уравнений различного типа. В случае преобладающей конвекции использование противопотоковых схем приводит к системе линейных алгебраических уравнений с монотонной (М-матрицей) и сильному сглаживанию решения за счет появления в разностных уравнениях искусственной вязкости. Поэтому при решении данных задач эффективнее использовать центрально-разностную аппроксимацию, при которой сохраняется характер поведения решения, но в результате получается система линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, не имеющей диагонального преобладания. В этом случае задач большинство классических методов либо вообще не работают, либо обладают очень медленной скоростью сходимости. Поэтому так актуальна проблема создания эффективных численных методов для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией [3, 4, 21, 39].

В настоящее время для решения задач линейной алгебры существует множество различных численных методов, которые непрерывно усовершенствуются и модифицируются. Активно разрабатываются новые методы. В результате оказывается, что значительная часть созданных методов имеет право на существование, обладая своей областью применимости. При решении конкретной задачи важно выбрать наиболее подходящий для рассматриваемого класса задач метод из множества допустимых методов решения данной задачи. Этот метод, очевидно, должен обладать наилучшими характеристиками, такими как минимум времени решения задачи на компьютере (или минимум числа арифметических и логических операций при нахождении решения), вычислительной устойчивостью, т. е. устойчивостью по отношению к ошибкам округления и др. При выборе метода решения задач конвекции-диффузии необходимо учитывать перечисленные выше особенности рассматриваемого класса задач.

Одним из критериев выбора алгоритма, используемого при численном моделировании той или иной физической задачи, является объем вычислительной работы, который требуется для его реализации. Существует правило, что этот объем должен быть пропорционален реальным физическим изменениям, происходящим в моделируемой системе. Если алгоритм требует большого количества тяжелой вычислительной работы для расчета слабого эффекта или очень медленного физического процесса, то от такого «затратного» алгоритма следует, по возможности, отказаться, выбрав более эффективный.

Примером «затратных» алгоритмов являются обычные итерационные методы для решения алгебраических уравнений, возникающих при численном решении уравнений в частных производных или интегро-дифференциальных уравнений. Так, практически единственным, но наиболее существенным недостатком методов Якоби и Гаусса-Зейделя, используемых для решения эллиптических задач методом сеток, является их низкая скорость сходимости. Другим примером могут служить решения нестационарных задач, с шагом по времени выбор которого диктуется условиями устойчивости) много меньшим масштаба реального изменения решения. То есть, в общем случае, «затратным» можно назвать такой алгоритм, который требует использования очень подробных сеток, там, где на большей части расчетной области величина шага по пространству или по времени много меньше, чем реальный масштаб изменения решения.

В этом случае эффективным решением проблемы является использование многосеточного алгоритма, который позволит преодолеть главную трудность, возникающую при решении такого рода задачи - ее «жесткость». Жесткость задачи заключается в существовании нескольких компонент решения, которые имеют разный масштаб и конфликтуют друг с другом. Например, гладкие компоненты, которые можно эффективно аппроксимировать на грубых сетках, но которые плохо сходятся на мелких сетках, конфликтуют с высокочастотными компонентами, которые необходимо аппроксимировать с помощью мелких сеток. Используя несколько уровней дискретизации, многосеточный алгоритм решает конфликты такого рода, позволяя достигать большой эффективности, путем снижения объема вычислений, необходимых для получения численного решения.

Благодаря вышеуказанным свойствам многосеточный метод (MGM) стал в последние годы одним из эффективных и довольно универсальных итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Многосеточный метод принадлежит к классу быстро сходящихся итерационных методов. Метод является оптимальным по числу арифметических операций для достижения точности, согласованной с порядком сходимости. Скорость сходимости многосеточного метода всегда независима от числа неизвестных в системе, полученной в результате аппроксимации дифференциального уравнения, то есть многосеточный метод обладает не улучшаемой оценкой сходимости. Другая особенность метода - то, что он является своего рода шаблоном. Не существует строго определенного многосеточного алгоритма, применимого ко всем краевым задачам. Многосеточный метод устанавливает лишь структуру алгоритма, эффективность которого во многом зависит от адаптации его компонент к конкретной задаче.

В данном исследовании мы предлагаем многосеточный метода со сглажи-вателем специального вида, который эффективно решает сильно несимметричные СЛАУ, появляющиеся после центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

Обладая высокой эффективностью, многосеточные методы допускают наиболее естественное распараллеливание и векторизацию приложений, что позволяет отнести их наиболее перспективному и быстро развивающемуся разделу высокопроизводительных алгоритмов.

Многосеточный метод может применяться к задачам, рассматриваемым в областях произвольной формы и с различными граничными условиями. MGM может быть использован при решении сложных, несимметричных и нелинейных систем уравнений. Он может применяться для решения нестационарных параболических уравнений. В настоящее время ведутся активные исследования использования многосеточного метода для гиперболических уравнений.

В настоящее время многосеточные алгоритмы эффективно применяются для решения задач динамики плазмы и гидродинамики, расчета собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов, для расчета нейтронных полей в ядерном энергетическом реакторе, для решения задач теории упругости, а так же в задачах обтекания тел достаточно сложной формы.

Целью данной работы является разработка, исследование и программная реализация модификаций многосеточного метода для включения в виде расчетного модуля в программный комплекс "Математическое моделирование конвективно-диффузионного переноса в средах с преобладающей конвекцией".

В соответствии с этими целями решен ряд задач:

• использованы новые эффективные сглаживающие процедуры в многосеточном методе для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений;

• теоретически обоснованы предложенные модификации;

• создано программное обеспечение, позволяющее реализовать модификации многосеточного метода для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

Методы исследования основаны на базовых положениях теории многосеточных методов, теории операторно-разностных схем, а также на теории итерационных методов, понятиях и методах матричного анализа.

Научная новизна. Предложено использовать новый класс сглаживателей в многосеточном методе для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений, полученных после разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией, доказана сходимость многосеточного метода с новыми сглаживателями. Проведен локальный Фурье-анализ предложенных сглаживающих методов в многосеточном методе и локальный Фурье-анализ двухсеточного метода. Проведено сравнение эффективности многосеточного метода с предложенными сглаживателями и многосеточного метода с другими типами сглаживателей для решения различного типа задач.

Достоверность. Представленные в диссертации теоремы имеют строгое математическое обоснование, предложенные методы теоретически исследованы и численно проверенны.

Практическая значимость. С помощью разработанных методов можно эффективно решать стационарные и нестационарные задачи конвективно-диффузионного переноса с дискретным пространственным оператором, матрица которого диссипативна (т.е. симметричная часть матрицы положительно определена). Разработанный расчетный модуль включен в программный комплекс, реализующий математические модели конвективно-диффузионного переноса в средах с преобладающей конвекцией.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на VIII, IX X и XI Всероссийских школах-семинарах молодых ученых "Современные проблемы математического моделирования" (п. Абрау-Дюрсо 1999г., 2001г., 2003г., 2005г.); на Всероссийской конференции "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности" (п. Абрау-Дюрсо, 2000г.); на VIII и IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященном памяти А.Ф. Сидорова (Пущино, 2000г.; п. Абрау-Дюрсо, 2002г.); на I и II Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач" (г. Казань, 2001г., 2003г.); на Международной конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике" (г. Ростов-на-Дону, 2001г.); на международной конференции IMMC-2002 "Итерационные методы и матричные вычисления" (г. Ростов-на-Дону, 2002г.); на IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2002) / XIX Международном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (г. Санкт-Петербург, 2002г.); на Международной конференции по вычислительной математике ICCM-2002 (г. Новосибирск, 2002г.); на Всероссийской научно-технической конференции "Параллельные вычисления в задачах математической физики" (г. Ростов-на-Дону, 2004г.); на II Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (п. Абрау-Дюрсо, 2004г.)

В полном объеме диссертационная работа докладывалась на научном семинаре "Методы решения краевых задач" лаборатории вычислительного эксперимента ЮГИНФО РГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, в том числе 14 в соавторстве. Из них 1 статья в российском реферируемом журнале, 11 статей в сборниках трудов и 5 в тезисах докладов всероссийских и международных конференций.

В работах, опубликованных в соавторстве, автору принадлежат исследование сходимости модификаций многосеточного метода, Фурье-анализ и проведение вычислительных экспериментов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования показали, что предложенные модификации многосеточного метода со сглаживателями ТКМ, ТКМ1, ТКМ2 эффективны для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

Скорость сходимости многосеточного метода существенно зависит от числа сглаживающих итераций, чем больше проводится сглаживающих итераций, тем лучше сходится многосеточный метод. Но, тем не менее, было показано, что существует некоторое оптимальное количество сглаживающих итераций для базового итерационного метода, превышение которого снижает эффективность многосеточного метода, так как ведет к увеличению времени счета. В случае усиления преобладания процесса конвекции (увеличения числа Ре) для построения эффективного многосеточного метода требуется большее количество сглаживающих итераций базового метода в многосеточном.

Наибольшее влияние на скорость сходимости многосеточного метода и треугольных кососимметричных методов оказывает коэффициент кососиммет-рии k = Ре* h/2.

Модификация многосеточного метода со сглаживателями ТКМ1 и ТКМ2 эффективнее на большинстве исследуемых задач, чем со сглаживателем ТКМ. Наиболее эффективным является MGM со сглаживателем ТКМ2. Сравнение результатов анализа многосеточного метода с предложенными треугольными ко-сосимметричными сглаживателями с многосеточным методом с классическими сглаживателями - методом Гаусса-Зейделя и методом Якоби - показало, что MGM с классическими сглаживателями является неэффективным для решения рассматриваемого класса задач.

При исследовании многосеточного метода было установлено, что для достижения требуемой точности необходимо провести гораздо меньше итераций многосеточным методом, чем при решении той же задачи треугольным кососимметричным методом, но одна итерация многосеточного метода требует больше вычислительных затрат, чем одна итерация методом из класса треугольных кососимметричных методов, поэтому время счета данных методов очень близко. Исходя из представленных результатов при решении поставленной задачи для различных точных решений, можно сделать вывод, что большое влияние на погрешность метода оказывает вычислительная погрешность, так как погрешность схемы для исследуемых методов одинакова.

Таким образом, предложенную модификацию многосеточного метода с треугольными кососимметричными методами можно порекомендовать использовать для решения систем линейных алгебраических уравнений с сильно несимметричной матрицей, полученной в результате центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

1. Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор. ЖВМ и МФ, 1966, том 6, №5, с.861-883.

2. Белов И.В., Беспалов М.С., Клочкова Л.В., Кулешов А.А., Су-зан Д.В., Тишкин В.Ф. Транспортная модель распространения газообразных примесей в атмосфере города. // Математическое моделирование, т. 12, №11, 2000, с.38-46.

3. Бочев М.А., Крукиер Л.А. Об итерационном решении сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений. ЖВМ и МФ-1997-т. 37-№11.

4. Вабищевич П.Н. Монотонные разностные схемы для задач конвекции-диффузии. Дифференциальные уравнения, 30(1994), с.503-513.

5. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967.

6. Даутов Р.З. Схемы метода конечных элементов для эллиптических краевых задач с негладкими решениями: Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук (01.01.07). Казань, 1998, - 30 с.

7. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. -345с.

8. Крукиер JI.А. Кососимметричные итерационные методы решения стационарной задачи конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной. // Известия высших учебных заведений. Математика, Москва, 1997, № 4, с.77-85.

9. Крукиер Л.А. Математическое моделирование процессов переноса в несжимаемых средах с преобладающей конвекцией. // Математическое моделирование, т. 9, №2, 1997, с.4-12.

10. Крукиер Л.А. Неявные разностные схемы и итерационный метод их решения для одного класса систем квазилинейных уравнений // Изв. ВУЗов Матем.-1979,-№7.

11. Крукиер Л.А., Мартынова Т.С. О влиянии формы записи уравнения конвекции-диффузии на сходимость метода верхней релаксации. // ЖВМ и МФ, т. 39, №11, 1999, с. 1821 -1827.

12. Крукиер Л.А., Мартынова Т.С. Численные методы решения задач конвекции-диффузии со смешанными производными, Ростов-на-Дону, 2003 г. 156с.

13. Кузнецов Ю.А. Многосеточные методы декомпозиции области, Препринт, М. 1989.

14. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

15. Ландау К.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

16. Легоньков В.И. О построении программного обеспечения вычислительного эксперимента. // Алгоритмы и алгоритмические языки. Пакеты прикладных программ. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1983.- С.86-101.

17. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1970.

18. Муратова Г.В. Использование треугольных кососимметричных методов в качестве сглаживающей процедуры в многосеточном методе. // «Сеточные методы для краевых задач и приложения» Материалы V

19. Всероссийского семинара, посвященного 200-летию Казанского гос. ун-та, Казань, 2004 г. с. 183-188.

20. Муратова Г.В., Андреева Е.М. Выбор сглаживателей многосеточного метода для решения сильно несимметричных задач. Компьютерное моделирование. Вычислительные технологии. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2003, с. 100-106.

21. Муратова Г.В., Андреева Е.М. В чем секрет многосеточного метода // Сборник трудов X Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 2003, с. 173-177.

22. Никифоров А.Н., Бузало Н.С. Моделирование полей загрязненности атмосферы в мезометеорологическом пограничном слое. // Известия Вузов, Северо-Кавказский регион. Естественные науки, спецвыпуск, 2001, с.126-128.

23. Норри Д., Де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981, 304с.

24. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972,418с.

25. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

26. Самарская Е.А., Сузан Д.В., Тишкин В.Ф. Построение математической модели распространения загрязнения в атмосфере. // Математическое моделирование, том 9, №11, 1997, стр. 59-71.

27. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

28. Самарский А.А. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.38