автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численная реализация математической модели процесса конвективно-диффузионного переноса вещества в мелких водоемах

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РСФСР ПО ДЕЛАМ НАУКИ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ

ЮСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированный совет К 063.52.12 по физико-математическим и техническим наукам

На правах рукописи

МУРАТОВА ГАЛИНА ВИКТОРОВНА

УДК 519.6

ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГРОЦЕССА КОНВЕКТИВНО-ДИФФУЗИОННОГО ПЕРЕНОСА ВЕЩЕСТВА В МЕЛКИХ ВОДОЕМАХ.

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных 'исследованиях (информатика, вычислительная техника и автоматизация)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 1991

Работа выполнена в Ростовском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете.

Научные руководители -

доктор технических наук, профессор^ Николаев И;А: кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Крукиер Л.А.

Официальные оппоненты •

доктор физико-математических наук, профессор' Шайдуров В.В; кандидат физико-математических наук, доцент Сухинов А;И:

Ведущая организация -

Казанский государственный университет:

Защита состоится 2б19 9~f года в fO часов';на заседании специализированного совета К 063.52Л2 по физико-математическим и техническим наукам в Ростовском госуниверситете по адресу: 344104, Ростов-на-Дону, просп. Стачки, 200/1, корпус-2, Вычислительный центр РГУ, С диссертацией можно .ознакомиться в научной 'библиотеке РГУ по

адресу: ул. Пушкинская, 148.

■ • '

Автореферат разослан " М. " Н£Л$гиЪ 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат технических наук' ДЖЕНИБАЛАЁВ Х.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

В диссертации . представлен способ реализации математической модели оцесса распространения загрязняющих веществ в мелких водоемах, едполагаюгций возможность решения стационарных и нестационарных за-ч в регулярных областях и областях общего вида. Исследуются алго-тмы решения систем линейных алгебраических уравнений с :иммегричной матрицей, возникающих в результате применения ме-*а конечных разностей к краевой задаче математической физики, опивающей процесс распространения примеси в мелких водоемах. Дается основание используемых разностных схем, предложен новый метод рения полученных разностных уравнений. Предложенный метод является цификацией многосеточного метода для случая несамосопряженных за-

I.

Актуальность темы исследования обусловлена насущной потребною решать задачи экологии, одной из которых является проблема "чис-л воды". По оценкам ученых буквально через несколько :ятилетий чистая пресная вода станет ресурсом номер один. По->льку основные запасы пресной воды сосредоточены в водоемах, у ко->ых горизонтальные размеры существенно превышают вертикальные, шым является умение решать задачи, связанные с теорией "мелкой воВ настоящее время при планировании и разработке водоохранных ком-:ксов большое значение имеют расчеты процессов конвективно-диффу-шного переноса и превращения ■ веществ. Именно они обеспечивают бильность биологических процессов и устойчивость экологических цик-I в районах ниже выпуска сточных вод. Но точные расчеты гидролитических процессов конв^ктивно-диффузнонного переноса в 1странстве и во времени и физико-химические превращения неконсерва-ных примесей в большинстве случаев невозможны из-за громоздкости Г отсутствия аналитического решения уравнения КДГ1, описывающего пределение концентрации расчетного ингредиента в водоеме или водото-Полевые исследования и измерения процессов КДП и ПВ в естест-!ных природных условиях трудны и дороги, кроме того, число можных вариантов, как правило, во много раз превышает число реаль-существующих типовых объектов. Поэтому исследователи и проектировки прибегают к численным методам расчета или к методам ематического моделирования.

Используемая в диссертации модель процесса распространения примеси елком водоеме позволяет учнтыиать многие факторы, мнорые проис-

ходят при загрязнении водоема: консервативность или неконсервативнос примеси, вид источника, который может быть стационарным или двю» щиыся, единственным или множественным, сброс может быть разовым, г стоянным, осуществляться по некоторому закону или хаотично.

Целью работы являлись выбор математической модели процесса р: пространения примеси в мелком водоеме; построение и анализ разности; схем сформированной краевой задачи; создание итерационного ' мето для решения линейной несамосопряженной задачи, полученной после р< ностной аппроксимации краевой задачи; теоретическое и численное исс/ дование модификации многосеточного метода со сглаживателем особо вида для решения линейных несамосопряженных задач; разработ программной реализации предложенного алгоритма для включения в фу кциональную часть ППП РАСЕРАСК; проведение расчетов распростр нения примеси в Таганрогском заливе Азовского моря.

Научная новизна. Рассмотрена математическая модель процесса ре пространения примеси в мелком водоеме, позволяющая учитывать спец фику зада ш и выбирать соответствующий метод реализации; предложе! два способа разностной аппроксимации краевой задачи; исследован итер ционный метод решения систем линейных алгебраических уравнений несимметричной матрицей, предложенный в [3] и условно названный м дернизированным методом Зейделя (ММЗ). Проведено теоретическое численное исследование ММЗ.

Предложена модификация многосеточного метода для решения несам 'сопряженных задач, где в качестве'сглаживателя используется ММЗ. Э позволяет использовать несимметричную многосеточную схему,-что пов; шает эффективность метода. Проведены теоретические и численные иссл довання данной модификации метода, доказана его сходимост Проведены расчеты модельйых задач.

Достоверность проведенных исследований- обусловлена последовател иым математическим выводом используемых уравнений теоретическим ис ледованием свойств предложенных методов, проведением численно исследования для подтверждения теоретических результатов, соответствш полученных результатов расчета натурным наблюдениям.

Практическая значимость. Представленная работа является одним 1 этапов совместных исследований проблем водной экологии, осуществля мых сотрудниками лаборатории ВЭ ВЦ РГУ и НИИМ и ПМ РГУ. В н стоящее время особое значение приобретает научно обоснована эколожческая экспертиза любых технических и социально-экономическ! проектов реконструкции водных экосистем. Полученные в диссертации р -¡ультаты расчета распространения примеси в Таганрогском заливе Азо

•о моря, в процессе которого используются данные по гидродинамике i из [6], дают возможность представить картину распространения при-I в заливе в случае осуществления проекта сужения гирла Таганрогско-алива.

Розданные программные продукты входят в виде отдельных модулей в кциональную часть ППП РАСЕРАСК. Выбранная для данной задачи :ль позволяет решать задачи другой физической природы, описывае-тем же самым уравнением.

Алгоритм, программно реализованный в диссертации, позволяет решать емы линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, этом используется современный эффективный метод - многосеточный, в качестве сглаживателя берется специальный итерационный метод, рый, в свою очередь, может быть использован самостоятельно для ре-ля несамосопряженных задач.

шробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на [,ХН областной школе-семинаре "Математическое моделирование в >лемах рационального природопользования" (Ростов-на-Дону, 1986 г., г.,1988 г.), на III Всесоюзной конференции "Географические и эколо-ские проблемы изучения и освоение южных морей СССР"(Ростов-на-у, 1987 г.), II республиканской конференции " Математическое лирование элементов и фрагментов БИС " ( Рига, 1990 г.), на I Все-iholü конференции " Однородные вычислительные среды и систоличе-! структуры " ( Львов, 19!90 год ), на XI Всесоюзной школе -наре по комплексам программ'математической физикп ( Ростов - на -г, 1990 г.), на Всесоюзной конференции " Математическое моделиро-е и вычислительный эксперимент " ( Казань, 1991 г.), на семинарах оды решения краевых задач ". «

[убликации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, из них 7 в горстве. ' ' ;

Структура и объем диссертации. Диссертация-состоит из введения, трех и списка литературы, изложена на 93 страницах машинописного а, включает 27 рисунков. Список литературы содержит 7 Б наименова-

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

о введении дана общая характеристика работа, изложено краткое со-ание и сформулированы основные результаты, представленные к те.

Первая глава посвящена математическому описанию процесса ко вективно - диффузионного переноса и превращения веществ (КДП и П в водоемах. Приведены виды существующих моделей КДП и ПВ, произв дится выбор соответствующей модели для конкретной задачи расчета ра пространения примеси в мелком водоеме.

Глава состоит из трех разделов.

В первом разделе главы рассмотрен процесс конвективно - диффузио ного переноса и превращения примесей в турбулентном потоке несжима мой жидкости. На основе закона сохранения массы выводится уравнен! для осредненного турбулентного потока с учетом условия неразрывное несжимаемой жидкости.

Второй раздел главы содержит краткий обзор существующих модел( КДП и ПВ и методов их решения. Приведена схема процесса КДП и П) в которой выделены факторы, необходимые для учета при решении ра личных задач. Приводятся модели, описывающие процесс КДП и ПВ п{ изотропной турбулентности, при изотропной и однородной турбулентной при продольной диффузии в водотоках, где глубина воды невелика г сравнению с шириной, модель для участка с члоским горизонтальным дно и и др. Сделан краткий обзор работ, посвященных различным варианта методов решения стационарных и нестационарных задач переноса.

В третьем разделе главы рассмотрена общая гидродинамическая ^одел мелкого водоема, в основу которой положена преобразованная систем уравнений теории мелкой воды с сохранением нелинейных членов и доба! лено уравнение диффузии. Отмечено, что уравнения мелкой воды соста! ляют самостоятельную задачу расчета гидродииамики мелкого водоем; которая была рассмотрена ранее 12, б], но результаты которой использ) ются в данной работе при решении задачи распространения примеси в вс доеме. Процесс конвективно-диффузионного переноса вещества в мелко; водоеме описывается уравнением:

где С ■- интегральная по глубине концентрация вещества, V ■ (и, V), и, V - скорости течения О - коэффициент диффузии данного вещества, Н - глубина водоема, Р - величина, характеризующая внешние стоки и источники.

Используя подстановку н»н"2 Н1'1, (1) преобразуем к следующем

^у + ^С, Ю = ЛДс+нг

(1

виду:

) = йАС 1 + Р1

(2

где С - CiH1/2, F - FiHI/2

Такая форма записи уравнения необходима для построения устойчивой • разностной схемы. К уравнению (1) или (2) добавляются начальные

С\ |г=0 = уЧ*>У) (3)

и краевые условия

- П „ -Г1"«. V"Z0 1А\

Л"в7Г + <?С1 =0 "jO, Vn <0 (4)

Во второй главе диссертации изложены основные теоретические результаты. Построены и исследованы два варианта разностных схем краевой задачи (1)-(4), в одной из которых для аппроксимации первых производных используются центральные разности, а в другой - разности против потока, предложен новый метод решения системы линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, получаемой после разностной аппроксимации начально - краевой задачи. Глава состоит из трех разделов.

Первый раздел главы посвящен построению и исследованию разностных схем для краевых задач (1),(3),(4) и <2)-(4). В области расчета S построена прямоугольная сетка MxN Glx¡ «ihx , уь "«khy,' h* ,hy >0, i-l,..N, k=Ml,...M2 } Здесь М1-МНЦ], M2=MK[IJ - массивы, задающие конфигурацию области расчета. Условия на границе сетки определяются из краевых условий (4) сносом. Для твердой границы, состоящей из участков суши, в (4) q - 0, т.е., используется условие непротекания, а на открытой границе аппроксимируется краевое условие (4). Временной интервал делим на ряд шагов длины г. Пространственные члены уравнений (I) и (2) аппроксимируются двумя способами:

а) уравнение (1) - схемой с разностями против потока:

¿rlx JJlr

bik + \b¡k I , Ьц — l¿>,* I ,, .„,' ...

—Wy—Cf + —Wy—O)

•б) уравнение (2) - схемой с центральными разностями: • LuC=(aC)t+aCS + (bC)} + bC$-AhC-F (6)

Краевые условия на твердой границе в разностной форме имеют вид:

Cok - Cik, k - MI....M2-1;

CiMJ - CiMl+l, CÍM2 - CiMM, ¡ - 1....N-1 (7)

Па открытой границе краевое условие аппроксимируется следующим >бразом:

Уравнения, полученные после аппроксимации краевых задач, можно переписать в операторно-разностной форме:

BCt + LhC" = F (8)

Проведено исследование построенных разностных схем. При этом была применена теория устойчивости операторно - разностных схем. Порядок аппроксимации одной из схем равен О (г + h), а другой 0(r + h2). Преобразовав уравнение (6) к виду

Au-f (9)

где А=В+(г Lh ), f" B*Cn+Fr, u»un+1, приходим к задаче, связанной с решением системы линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей. 1

Второй раздел главы посвящен краткому описанию многосеточного метода, который используется для решения стационарных задач [4]. Отмечены достоинства и особенности метода, приведена структура алгоритма, даны характеристики составляющих его компонент: сглаживающей процедуры, ограничения (проекции), расширения (интерполяции).Описаны V - и W - циклы многосеточного метода, метод вложенных итераций или полный многосеточный метод. Приведен обзор наиболее интересных работ, посвященных многосеточному методу.

Особое внимание уделено обзору работ по применению многосеточного метода для решения несамосопряженных задач, поскольку для самосопряженных задач существует достаточно полная теория сходимости 1 , а для случая несамосопряженных задач существуют лишь отдельные теоретические результаты. При этом исследование несамосопряженных задач распадается на два направления: использование так называемых "симметричных" и "несимметричных" многосеточных'схем. При несимметричной схеме в релаксационной процедуре используются заданные уравнения, в то время как симметричная схема работает с. симметричной положительно определенной системой, соответствующей нормальным уравнениям. Отмечается, что многие результаты сходимости, полученные для многосеточного метода решения несамосопряженных задач справедливы только при дополнительных ограничениях, включающих связь между числом сглаживающих итераций и размером ячейки самой грубой сетки.

I. Шайдуров В.В. Многосеточный метод конечных элементов.- М., Наука, 19S9 г., 288 с.

Hackbusch W. Multigrid Method and Application. - Springer, 1985, 373 p.

В обзоре приводятся работы, в которых рассмотрены модификации про-:ции и интерполяции для несамосопряженных задач, но особо подчеркнете? влияние сглаживающей процедуры на свойства и эффективность гтода.

В третьем разделе главы изложена модификация многосеточного метода i сглаживателем особого вида для несамосопряженных задач. Данная мо-[фикация дает возможность решать исходные уравнения (9), предвари-льно не симметрнзуя их. Раздел состоит из четырех подразделов.

Первый подраздел содержит описание итерационного метода, условно званного модернизированным методом Зейделя (ММЗ), который исполь-ется в дальнейшем в качестве сглаживающей процедуры многосеточного. :тода. Он имеет следующий вид:

в!Щиа+ЛикЧ (10)

I, и € Н, Н -конечномерное действительное гильбертово пространство, е действуют операторы А и В, А задан в (9), В имеет вид: В = «£ + 2тК (11)

где г - некоторые параметры, К - верхняя или нижняя тре-ольная часть кососимметричной матрицы Ai »0.5 (А-А )

Предложенный метод ММЗ можно использовать непосредственно для шения несамосопряженных задач. Проведено исследование сходимости МЗ [3]. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 1. Пусть оператор А диссипативен, оператор В задается равен-аом (11) и оператор Во "0.5(В + В.) J Во >0. Тогда для сходимости ерационного метода (10) в. энергетическом пространстве На._, достаточно шолнения неравенства ,

Bo>|/to>0 ...

Теорема 1. "Пусть система линейных алгебраических уравнений (9) с щественной диссиплтивной матрицей А решается итерационным методом Э) с оператором В вида. (11). Кроме того выполняются неравенства «1 (X,х) s(Ax,x)£ oc2(Jt.Jt) «1 >0 v\ (х,х) £ (R х,х) s v2 (jc.x) где «1, - известны и R » К - К ,

2 »I («i + «2 + ((ос2 - «i + 4 с )2 + 4«1 «2)^) Тогда || uk-«|| S /збП «0 — " I}

rt!.,__4|__. «1 V

В теоремах получены достаточное условие сходимости и оценка скор сти сходимости ММЗ. Отмечено, что данный метод по поведению анало! чен методу Зейделя; быстро гасит высокочастотные гармоники ошибк замедляясь в дальнейшем. Этим свойством должен обладать сглаживатель многосеточном методе, что дает возможность применить ММЗ в этом ка\ стве.

Второй подраздел посвящен доказательству сходимости многосеточно метода со сглаживателем ММЗ. Вначале приведены некоторые теоретич ские результаты, касающиеся вопроса исследования сходимости многое точного метода для несамосопряженных задач, которые используются дальнейшем Сформулированы два основных предположения: обобщен обычного аппроксимационного свойства, известного для симметрично случая, и предположение относительно ограничения несимметричной час оператора А из (9).

Доказана следующая теорема сходимости для предложенной модифик ции мноюсеточного метода со сглаживателем ММЗ при условии выполн ния двух предположений:

Теорема 3.

Для MGM со сглаживателем вида (10) существует const b > О, так; что выполнено условие В + В* - Ао > Ь (Ао - В)* Ао~' (А^В), обеспечив ющее сходимость MGM, где •

Ь - J L^-Ao^BSo^, SO=Ibo~AO

II L L — I ||

В третьем подразделе приведены результаты численного исследован] свойств ММЗ и миогосеточного метода со сглаживателем- ММЗ.. Решала эллиптическая краевая задача с постоянными коэффициентами:

¿и +£|ii+e|«+Cli= F о

Эх2 • ду2 дх ' ЭУ

на единичном квадрате при нулевых краевых условиях. Исследовала зависимость скорости сходимости методед от выбора итерационного пар метра (см. теорему 2), от коэффициента кососимметричности KS ■ Bh/

1. Mandel Y. Multigrid Convergence for Nonsymmetric, Indéfini

Variational Problems and One Smoothing Step. - Appl. Math. Compul., 198 N19, p.201 -216.

Cao Z. Convergence of Multigrid Methods for Nonsymmetric Indéfini Problems..- Appl.Math.Comput., 1988, N28, p.269-288.

и

е И - шаг сетки, В=() - коэффициенты при первых производных в (11) и висимость скорости сходимости от количества сглаживающих итераций. Основываясь на проведенных расчетах, можно сделать следующие выво-

1:

1. Для ММЗ:

а) оптимальность выбора итерационного параметра существенно влияет скорость сходимости метода;

б) значение оптимального параметра и скорость сходимости зависят от эффициента кососимметричности, причем скорость сходимости снижается и малых и больших значениях КБ;

2.Для МвМ:

а) оптимальность выбора итерационного параметра в сглаживателе ока-вает не столь существенное влияние на скорость сходимости;

б) для количества сглаживающих итераций существует некоторое опти-льное значение, превышение которого слабо влияет на увеличение сколи сходимости метода;

в) на поведение метода наибольшее влияние оказывает коэффициент асимметричности КБ.

Приведены соответствующие графики полученных зависимостей. В четвертом подразделе главы сделан краткий обзор возможности пл~ ыельйой реализации МОМ. Численно промоделирован один из вяриан-I параллельного многосеточного алгоритмагде показано ухудшение (йети сходимости модификации по сравнению со стандартным МСМ [8,

Третья глава содержит основные результаты численных исследова-4 и расчетов. Она состоит из двух разделов.

Первый раздел посвящен комплексу программ МиЬТЮйШ, в котором лизован многосеточный алгоритм решения несамосопряжеиных задач, содержит два подраздела.'

В первом из них приведено общее описание н возможности применения 1граммы МШ/ГЮЙШ. Дана краткая характеристика содержащихся в ней цедур.

1) СгеепЬаиш А. МиН^пс! Ме11ю(1 1ог МиИфгосезБогз.- Арр1. МаПт. 1рШ., 1986, N19, р.75-88.

Во втором подразделе приведены результаты расчетов стационарной з; дачи распространения примеси в регулярной области при установившемс режиме течений и при единичном точечном источнике, находящемся центре области расчета.

Численно исследовалась зависимость распространения примеси от значе ний коэффициента распада и скорости течений. Показано, что при бол! ших коэффициентах распада распространение примеси по направлена течения значительно слабее. При небольших коэффициентах распада, и больших скоростях возрастает распространение примеси по направлена течения, "пик" значения концентрации примеси в точке выброса уменьшг ется, а на границе области возникает второй "пик".

Приведены соответствующие рисунки.

Второй раздел главы посвящен комплексу программ ХА1ЛУ, предназнг ченному для решения нестационарных задач в областях общего вида [1] [5], [7]. В нем реализована явная разностная схема.

Раздел включает два подраздела.

В первом из них приведено общее описание и возможности применени программы гАЫУ. Дана краткая характера тика содержащихся в ней прс цедур.

Во втором разделе представлены результаты расчетов распространени примеси в Таганрогском заливе Азовского моря при условии установрвшс гося юго-западного ветра. Расчеты проведены для трех вариантов: реальн существующей акватории залива и двух проектов сужения гирла залив; Рассматривался сличай единичного сброса примеси из устья Дона. Шаг п времени равен 3 часам.

Были получены следующие результаты.

Вначале происходит "размазывание" примеси по акватории залива уменьшением максимального значения концентрации примеси, в том числ и в точке сброса. После 50 временных шагов значение максимальной ко» центрации примеси перемещается из устья Дона к центру залива, и така картина распределения примеси сохраняется и в дальнейшем. Отличия дл трех вариантов расчета незначительные, пока примесь не достигает гирл Таганрогского залива. После 100, временных шагов картина распределени концентрации в районе гирла залива при данной ветровой ситуации суще ственно различается. Для варианта с открытым заливом концентрация районе гирла незначительная (см. рис.1), для варианта ОашЬа1 (см.рис.2 концентрация в окрестностях дамбы выше, чем для ОашЬа2 (см.рис.З)

Pollution.

pue 1

Pollution.

pue 2_

Pollution

РЕЗУЛЬТАТЫ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ К ЗАЩИТЕ.

1.Для математической модели конвективно-диффузионного'переноса в щества в водоеме предложен способ разностной аппроксимации, исследов; вопрос устойчивости предложенных схем. ;

2.Предложен новый метод решения СЛАУ с несимметричной матрице являющийся модификацией миогосеточного метода. Доказана теорема сх димости модификации метода.

Проведено численное исследование свойств метода: зависимость скор сти сходимости от числа сглаживающих итераций, от коэффициента кос симметричности.

Проведено численное сравнение скорости сходимости модификащ многосеточного метода с итерационным треугольным методом решен] СЛАУ с несимметричной матрицей.

Исследован вопрос о возможности параллельной модификации многое точного метода.

3.Разработан комплекс программ для решения задач конвектинно-дш фузионногс переноса вещества в мелком водоеме.

Проведены расчеты распространения примеси в Таганрогском зали! Азонского моря для различных вариантов постройки дамбы в гирле залив

Автор глубоко благодарен научным руководителям Игорю Анатольеви1 Николаеву и Льву Абрамовичу Крукиеру за внимание к работе и полезнь .советы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Крукиер Л.А., Муратова Г.В. Решение задачи о долгосрочном пр| гнозировании распространена вещества в мелком водоеме. Тезисы Всеа юзного научно-технического семинара"Применение вычислит, техники д.1 решения -краевых задач в экологии" НТО РЭС им.'А.С.Попова, Свер, ловск, УПИ, 1981 г. .

2. Крукиер Л.А., Муратова Г.В..Сурков Ф.А. Оценка влияния пр| ектируемого сужения гирла Таганрогского залива на гидрологи Азовского моря. - Тезисы X областной школы- семинара "Математиш ское моделирование в проблемах рационального природопользования", Ро' •гов-на-Дону, 1986 г.

3. Крукиер Л.А., Муратова Г.В.Треугольный итерационный метод реш пия систем линейных алгебраических уравнений с несимметричной вещее ченнон м;нртн;й.-деп.в ВИНИТИ, N2254, В-37 от 30.03.87.

4. Муратова Г.В. Многосеточный метод решения эллиптических крае-х задач. - Тезисы научно-технической конференции, посвященной Дню; цио, Ростов, отдел. НТО им.Попова,1987 г.

51 СурКов' Ф.А., Крукиер Л.А., Муратова Г.В.Моделирование режима чений и колебаний уровня в'Азовском море при регулировании водооб-на в Керченском проливе. - Тезисы докладов III Всесоюзна конф.'Гео-афнческие и экологические! проблемы изучения освоения южных морей :СР", ГО' СССР, 1987' г., с.59-61;

6. Сурков Ф1А., КрукиерЛ.А., Муратова Г.В.' Численное моделирова-¡е динамики Азовского, моря при сужении гирла Таганрогского залива.-орской гидрофйзич.журяал,1989г.,К6,с.55-62.

7. Крукиер Л .'А\ Муратова Г.В.' Расчет примеси в заливе произвольной >рмы. - Сборник-тезисов XVII школы-семинара "Математическое модели-в'ание в проблемах рационального природопользования", Ростов-на-Дону', 90 г.

8. Муратова Г.В., Николаев И.А. О скорости сходимости многосеточно-метода '• при параллельной' реализации.'-Тезисы' докладов II республикан-

;ой'конференции " Математическое моделирование элементов и загментов БИС", Рига,' 1990'г. с.59.

9. Муратова Т.В. Исследование возможности ^пользования многосеточ-)го метода в качестве стандартного математического обеспечения ЭВМ с (раллельной архитектурой'. Тезисы докладов I Всесоюзной кокферен-т"Однородные вычислительные среды и' систолические структуры, -»вов, 1990 г.,с: 98-105.

УМ Р1У Оак. 360; Т. - 100.