автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Решение уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией в областях сложной формы

Р Г Б ОД 2 7 ЯНЙ 1ЯЯ7

На правах рукописи

ЧИКИНА Любовь Григорьевна

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ С ПРЕОБЛАДАЮЩЕЙ КОНВЕКЦИЕЙ В ОБЛАСТЯХ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (информатика, вычислительная техника и автоматизация)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 1997

Работа выполнена в Ростовском государственном университе

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор КРУКИЕР Л.А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор СУХИНОВ А.И.

кандидат физико-математических наук,

доцент ЕРЕМЕЕВ В.А.

Ведущая организация - Институт прикладной меха

Уральского отделения г. Ижевск.

Защита состоится « » 1997 г. в час

заседании диссертационного совета К 063.52.12 по фи математическим и техническим наукам в Ростовском госуниверсите адресу: 344090, Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, корпу Вычислительный центр РГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке по адресу: ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан« » 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

Муратова Г

Общая характеристика работы

Современные ЭВМ дали в руки исследователей эффективное :дство для математического моделирования сложных задач науки и :ники. Именно поэтому количественные методы исследования в на-(яшее время проникают практически во все сферы человеческой дея-(ьности, математические модели становятся средством познания.

Одна из областей, где применение математического моделирования ¡ершенно необходимо, является экология, в частности, задачи, святые с распространением загрязнения в различных водоемах.

Эти задачи определяются системами уравнений в частных произ-шых, отражающих основные физические законы, описывающие икение жидкости в водоеме и перенос в нем различных веществ, нная работа посвящена решению задачи распространения вещества в гжущейся среде, при условии, что данные о движении среды уже из-ггны. Кроме этого, другие исходные данные: морфология водоема, тальное распределение вещества в водоеме, источники и стоки веще-1а, способность водоема к самоочистке, а также поведение вещества границах водоема - являются также исходными данными и должны ть заданы.

Совокупность указанных исходных данных и уравнений принято ¡ывать математической моделью. Однако получение точных исход-х данных является достаточно трудной и дорогостоящей задачей, этому математическая модель строится и реализуется таким образом, )бы она была применима к достаточно широкому спектру исходных шых, а реализующие ее алгоритмы устойчиво и эффективно работа-при достаточно больших изменениях коэффициентов уравнения, ювьм и начальных условий.

Предлагаемая математическая модель и реализующие ее алгоритмы лменнмы в случае, когда для конкретного водоема можно использо-ь модель «мелкой воды». Разработанные при реализации модели ал-;итмы позволяют эффективно решать задачи в водоемах, где процес-конвекции преобладают над процессами диффузии. Актуальность темы исследования обусловлена насущной полностью решать задачи экологии, одной из которых является проема «чистой воды». По оценкам ученых буквально через несколько ;ятилетий чистая пресная вода станет ресурсом номер один. По-

скольку основные запасы пресной воды сосредоточены в небольц. водоемах, важным является умение решать задачи, учитывающие с цифику водоема, например, его мелководность.

В настоящее время при планировании и разработке водоохранн комплексов большое значение имеют расчеты процессов конвектив! диффузионного переноса. Именно они обеспечивают стабильно« биологических процессов и устойчивость экологических циклов в р; онах шее выпуска сточных вод. А характер и интенсивность проте: ния биологических процессов определяет предельно допустимую i грузку на водоемы, водотоки, степень очистки сбросных вод. Но т< ные расчеты процессов конвекп.вно-дифф\зионного переноса в п] странстве и во времени в большинстве случаев невозможны из-за г] моздкости или отсутствия аналитического решения уравнения, опис вающего распределение концентрации расчетного ингредиента в boj еме или водотоке. Полевые исследования и измерения процессов пе] носа веществ в природных условиях трудны и дороги. Кроме того. 41 ло возможных вариантов, как правило, во много раз превышает чис реально существующих типовых объектов. Поэтому исследователи проектировщики прибегают к методам математического моделиро) ния.

Наличие эффективного алгоритма и робастной программы рас1 тов, как правило, целиком определяет возможности применения т или иной модели; отсутствие соответствующего математического апг рата зачастую приводит к необходимости отказа от выбранной конце ции моделирования, ее упрощению. Поэтому весьма актуальной прс ставляется проблема численной реализации экологических моделс Здесь практические потребности оказываются действительным стир. лом развития математических наук. Так, только за период с 1965 1995 годы в США и Канаде в рамках программы по оздоровлен! природной среды внутренних пресных водоемов и морских эстуари было реализовано порядка двухсот математических моделей. Их у, пользование дало возможность сократить дорогостоящие натурные и блюдения примерно на треть, а также получить уникальные экологии ские прогнозы.

Используемая в диссертации модель процесса распространен! примеси в водоеме позволяет учитывать многие факторы, которые пр

одят при загрязнении водоема: консервативность или неконсерва-ность примеси, вид источников и их размещение по области расче-учет их движения, а также возможные изменения концентрации за-знения, поступающего в водоем, по времени.

В качестве конкретного примера был рассмотрен Мобилский залив НА), поскольку он является средоточием многих экологических |блем. Натурные наблюдения, а также фотографии со спутника пока-и сильное влияние течения в Миссисипском проливе на внос в залив личных примесей, поступающих со стоком реки Мобил. Наличие [ьного течения вдоль судоходного канала, а также сильных течений >ез проливы при соответствующих ветровых ситуациях дает основа: считать, что конвективные процессы в Мобилском заливе преобла-эт над диффузионными.

Таким образом, проблема численной реализации модели является сь ключевой, а ее решение актуально, поскольку позволяет получить [ественно более высокий уровень моделирования. Целью работы являлись разработка математического аппарата численная конечно-разностная реализация конвектпвно-})фузионных моделей качества воды на примере модели распростра-шя примеси в мелком водоеме, у которого конвективные процессы ¡обладают над диффузионными. При этом решались следующие задачи:

- учет особенностей решения задач конвекции-диффузии при преобладании конвекции;

- дискретизация исходной модели, описывающейся уравнением конвекции-диффузии;

- исследование свойств получаемого разностного оператора;

- разработка итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, полученный при неявной разностной аппроксимации;

- проведение в Мобилском заливе расчетов, моделирующих

(а) зашовый аварийный выброс загрязняющих вещества;

(б) действие постоянного точечного источника загрязнения. Научная новизна работы определяется полученных!и теоре-

(ескими результатами и предлагаемым практическим решением ряда числительных задач. В рамках данного исследования технология

вычислительного эксперимента позволила естественным образом фо мализоватъ задачу и пройти все этапы численной реализации модел эффективно применить и развить существующий математический а парат, получить и апробировать численные алгоритмы решения, со дать робастные программы численного расчета. Основой проведеннь исследований явились методы операторного подхода теории разнос ных схем в сочетании с классическими результатами матричного ан лиза,

В качестве эффективного инструмента решения неявных разнос ных схем предложены итерационные методы, ориентированные на р шение сильно несимметричных систем линейных алгебраических ура нений.

Достоверность проведенных исследований обусловлена п следовательным математическим выводом используемых уравненн теоретическим исследованием свойств предложенных методов, проп дением численного исследования для подтверждения теоретических р зультатов.

Практическая значимость выполненной работы состо в том, что численно реализована и доведена до конечного вида - pz четных программ для ЭВМ - модель распространения примеси в ме ком водоеме, в котором процессы, связанные с движением жидкосп преобладают над всеми остальными.

Апробация работы. Основные результаты диссертации дс ладывались на международной конференции «Advanced Mathemati Computations and Applications» (г. Новосибирск, 1995 г.); на Bcepf сийской Школе-семинаре молодых ученых «Современные пробле? математического моделирования» (п. Абрау-Дюрсо, 1995 г.); на мeжJ народной конференции "Mathematical Modelling Application for Pr< lems in Science and Engineering"(r. Ижевск, 1996); на Всероссийск семинаре «Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач Казань, 1996); на VI Всероссийском совещании по проблемам постр^ ния сеток для решения задач математической физики (п. Абрау-Дюр 1996 г.).

В полном объеме диссертационная работа докладывалась на на ном семинаре «Методы решения краевых задач» лаборатории вычис. тельного эксперимента ВЦ Ростовского госуниверситета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 печатных боты.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения грех глав. Содержание работы изложено на /У? страницах текста, пючает 38 рисунков. 9 диаграмм, 4 таблицы. Список литературы со-зжит $6 наименований.

Содержание работы.

Во введении дана общая характеристика работы, изложено краткое 1ержание и сформулированы основные результаты, представленные ащите.

Первая глава посвящена математическому описанию процесса кон-ггивно-диффузионного переноса в водоемах. Пользуясь терминоло-:й вычислительного эксперимента, можно сказать, что в первой главе шизован начальный этап вычислительного эксперимента - формиро-гие математической модели процесса конвективно-диффузионного »еноса, в основу которой положен закон сохранения массы. Описана цель конвективно-диффузионного переноса и проведено ее упроще-: для случая мелкого водоема. Глава состоит из трех разделов.

В первом разделе приведен вывод математической модели распро-анения вещества в водоеме на основе закона сохранения массы, исываюшие этот процесс уравнения имеют вид

^+¿(5) = /, (1)

дифференциальный оператор второго порядка I (5)=<й»(5 у) - Д V (75) + яется оператором конвективно-диффузионного переноса. Свобод-I член характеризует взаимодействие вещества с водой {р > 0 -ффициент распада вещества), а функция/~/(х,у\х,1) определяет ис-ники (стоки) вещества концентрации 5; А - коэффициент диффу-, V - вектор скорости, ратор

Ьс (5)=<//у(5 у) гветствует конвективному переносу, а оператор

— диффузионному переносу.

С учетом неразрывности и несжимаемости жидкости (ёК'у: оператор, соответствующий конвективному переносу в уравнении ^ векции-диффузии, может быть записан в дивергентной

, > сиЭ <?ч-<>

1с\

сх

ду

с г

недивергентнои

и симметричной

, дБ дБ

¿•С2 +

дх су д:

1

м ди Б

¿со(5) = ~ и —+ —+ + + -=— +

2ч ох ду д: сх су

^ г»

с и'Л

С2 )

формах, что будет использовано в дальнейшем при построении ра; стной схемы.

Второй раздел посвящен постановке задачи распространения г меси в мелком водоеме. В этом случае вводится интегральная хара ристика концентрации вещества

£

-И

и исходные уравнения (1), (3) примут после интегрирования вид дБ

1

д1 +2

и-

V сх

дБ ди5 Л5

• v--1----

су дх су у

<дЧ

д2БЛ

Уд х2 ду

Задача решалась в области П с границей дП, на участке дО.\ ю рой жидкость втекает, на дП2 - вытекает, дО.0 - непроницаемая ч; границы. На твердой границе дО.0 ставится условие непротекания, т

дБ

дп

= 0.

На участке стока в водоем дО,1у задается само значение функции 5

1<?П,

= 5,.

На участке выпуска воды или на открытой границе дП: ставится к вое условие 3 рода

\'„ - скорость течения по нормали п к ¿Ю?. Добавляя к (4) - (7) на-ьные условия

учаем начально-краевую задачу.

Третий раздел главы содержит обзор существующих моделей кон-гивно-диффузионного переноса и методов их решения. Во второй главе диссертации изложены основные теоретические у'льтаты. Исследованы два варианта разностных схем для рассмат-аемой краевой задачи, в одной из которых для аппроксимации кон-гивных членов (3) используются центральные разности, а в другой (2) - разности «против потока». Предложены новые варианты по-эения оператора верхнего слоя итерационного метода решения сис-линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, учаемой после центрально-разностной аппроксимации краевой за-и.

Глава состоит из шести разделов.

В первом разделе второй главы приведены вспомогательные сведе-из теории матриц и сформулированы достаточно простые леммы, эрые используются в дальнейшем. В частности даны РЕДЕЛЕНИЕ 1. Оператор А называется диссипативным, если

РЕДЕЛЕНИЕ 2. Невырожденная матрица А называется М -\рицей, если ее вне диагональные элементы неположительны, а общая матрица поэлементно неотрицательна. Второй раздел главы посвящен построению разностных схем для шекия конвекции-диффузии. В области расчета О. строится равно-ная сетка й с шагами 1ц по оси Ох и по оси Оу. Временной ин-$ал делится на ряд целых шагов величины Дг. Краевые условия (5) -интерполируются с границы дО. на границу Г сеточной области С торым порядком точности.

Аппроксимируем на сетке С начально-краевую задачу (4) - (8). По-)м неявную операторно-разностную схему

(8)

5, н-

в которой оператор Ьи - несамосопряженный диссипативный опера! в случае использования для аппроксимации конвективных членов ц< тральных разностей (Теорема 2.1). Если же решается начально-крае! задача, в которой конвективные члены имеют вид (2), а для их аппр< симации будут использоваться разности «против потока«, то операт Ьу, в (9) будет М-матриией (Теорема 2.2). Таким образом, исходный в уравнения конвекции-диффузии имеет важное значение при опреде. нии свойств оператора в (9).

Преобразуем операторно-разностную схему (9) к виду

А5 =/, ' (

где А = Е + АиЬь, / = 5я + Л1Р, .у = Получаем систему линейн алгебраических уравнений с несамосопряженным оператором А, ко рый будет сохранять свойства диссипативности или М-матричнос оператора из (9). В частности, это справедливо и при решении с ционарной задачи конвекции-диффузии. Представим матрицу А в виде

А= А0 + Аь А0=±(А + А') = А'0, А1 = \[А-А*) = -А\, А, = Кв + 1

Кв = -Кн, где Ао - симметричная, А\ - кососимметричная части м рицы А, Кв и Ки - соответственно строго верхняя и нижняя треуго. ные матрицы.

Проведена оценка нормы операторов А0 и А\ в предположении,1 шаги по пространству равны И\ - Ь2 = И и решаемая задг стационарна. После умножения разностных уравнений на И1 и Ре - 1 (число Пекле) получено, что в (10)

К1=8,

¡А 11=с = ~ + у< 1+Ь,7+ 1+\и>,]+ ы»+и |+!"/+ ы/-10

и при больших Ре система будет иметь сильную несимметрию, т.е.

Мой «¡41-

Третий раздел посвяшен описанию класса базовых итерационн кососимметрических методов (БИКМ) для решения (10) с несамо! пряженным, в частности, диссипативным исходным оператором. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Базовым итерационным кососимметрическ методом БИКМ будем называть итерационный метод

BSJ±L^L+As¡^ f^ / = 0,1,2,..., (П)

г

пором оператор В удовлетворяет условию

5, = тАи (12)

В\ и А| кососшшетрические составляющие операторов В и А. Приведены достаточные условия и оценка скорости сходимости дов при выполнении условия (12).

Пусть для симметричных частей А о и В0 операторов А и В выпол-гся оценки

0<а]Е<Ао <а„Е (13)

0<А(г)£<В0 ^ШЕ (14)

) Р Е М А 1. Пусть выполняется (12) - (14) и задано число итера-I. Если г = гопт > 0 является корнем уравнения

/(г) = ^.2+_£Е1_ = О

А(г) Д,(г)

овлетворяет условию Р\(топт) > 0.5 типтап > 0, то БИКМ сходится ергетическом пространстве Н^ и для погрешности г/ справедли-

ценка

ыи ¿РоЫв,- (15)

А>=1-^Т>0. (16)

Рп^опт)

ло итераций, достаточных для достижения заданной точности е, нивается как

К'е)

В четвертом разделе рассмотрены итерационные методы из БИКМ, угорых в качестве оператора В используются треугольные матрицы.

Такие методы названы треугольными кососимметрическими методами (ТКМ). Оператор В в этом случае имеет следующий вид

+ (18) где К = Е + сой (регуляризатор метода), £> -диагональная матрица, со -параметр, А> - треугольная часть кососимметрической составляющей исходной матрицы системы.

Установлено, что, когда И = Е {со = 0), число итераций значительно возрастает в случае сильно меняющихся коэффициентов при конвективных членах.

Смысл введения диагональной матрицы В и параметра со состоит в том, чтобы устранить указанный недостаток ТКМ.

Показано, что условие положительной определенности регуляриза-тора К

\ + а>Лт1п{О)>0 (19)

является необходимым для диссипативности оператора В.

Диагональная матрица в регуляризаторе К из (1В) вычислялась одним из следующих способов:

О = 02 = -01а&КвКн), О0 = {(А

ТЕОРЕМА 2 Пусть выполняются (13) и (19). Тогда для сходимости метода (11) в энергетическом пространстве Я^ с оператором В вида

(18) достаточно, чтобы параметр г удовлетворял неравенству

г<Т - 1 +

ТЕОРЕМА 3. Пусть выполняются (13), (19) и

0 < й\Е <В < й„Е, (20)

оператор В имеет вид (18) и задано число итерации 1. Тогда при __4(1,._

^опт I * 5

сходится в энергетическом пространстве Ни и Оля погрешно-

:¡ справедлива оценка (15) с f\¡, заоаннъш формулой (16) и числом аций, заданным (17).

[ри проведении численного исследования было рассмотрено четы-эианта задания коэффициентов при конвективных членах:_

¡адача 1. Задача 2. Задача 3. Задача 4.

и- 1, и = 1 - 2х. и = х-у. и = sin2/Tt

v - 1 v = 2 у - 1. V = л- - V. v—2;zycos2/TV.

¡ля всех методов в качестве начального приближения брался нуле-ектор и итерационный процесс прекращался, если

1И1

"* и г(0) - невязки соответственно на /-ой и 0-ой итерациях

3336

Диаграмма 1. Срявненне методов при Рс - 10000. Здесь: ТКМ — Я = Е; TKM0 -R-E + oj¡)„; ТКМ i-Л = Е + (oI)¡. а диаграмме 1 приведено число итераций для различных ТКМ и эго метода SOR при числе Пекле Ре = 104. Хотя для некоторых метод SOR дает решение заданной точности за меньшее число

i4

итераций, но относительная погрешность полученного решения в 8 -10 раз больше, чем для других рассматриваемых методов. Вместе с тем сходимость SOR сильно зависит от характеристик уравнение (скоростей течения).

В пятом разделе рассмотрены итерационные методы из БИКМ, i которых оператор В является произведением треугольных матриц вид (18) - попеременно-треугольные кососимметрические методъ (ПТКМ):

B = (R+TKT)R~\R-TKT). (21

Доказаны теоремы. ТЕОРЕМА 4. Пусть выполняются (13), (19) и (21). Тогда для сходи мости ПТКМ достаточно, чтобы параметр г = тсх > 0 удовлетворя неравенству

г—Т—---Г->

аП +ijan +АМТ

где Мт = minjjlKy!^, j/Cjji J.

ТЕОРЕМ а5. Пусть выполняются (13), (19) - (21). Пусть задано чис ло итераций 1. Если параметр г = топт > 0 является корнем уравнения

«i М\ ахм\

то ПТКМ сходится в энергетическом пространстве НВа и для пс

грешности z¡ справедлива оценка (15) с ра, заданным формулой (16). Число итераций, достаточных для достю/сения заданной точности , можно оценить по формуле (17).

На диаграмме 2 показано сравнение числа итераций для различны ПТКМ и базового метода SSOR при числе Пекле Ре = 104. Видно, чт метод SSOR менее эффективен, чем ПТКМ. Кроме того относительна погрешность полученного решения так же, как и для SOR, в 8 - 10 рг больше, чем для других рассматриваемых методов.

В шестом разделе рассмотрен итерационный метод, в котором пе-;од от /-ой итерации к (/ +1 )-ой осуществляется в два этапа. На пер-1 этапе находится значение 5/+, из

тн

(22)

7 ТКМ 1ТКМ0 7 ТКМ1

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Диаграмма 2. Сравнение методов при Ре - 10000. Здесь: ПТКМ - Л = £; ПТКМО-Я = Е + ¿¿О»; ПТКМ1 -Я = Е + ы1)„ На втором этапе решается

Вв-^ + (23)

г5

находится значение Оператор Вн имеет нижнетреугольную уктуру, а оператор Вв - верхнетреугольную структуру:

Ви = Ян +2г„К„. ' (24)

^ = (25)

сь гя > 0 и тв > 0 - итерационные параметры. Диагональные матри-Яв Е -г сойв, Кн~Е+ оЮИ - регуляризаторы. Кососимметрические составляющие операторов (24) и (25). соот-ственно, удовлетворяют равенствам

ВН] = ТНА\-

БВ\ = ТВ'41-

Потребуем диссппативности операторов (24) и (25):

вво = Вво > °>

Вно = вно > Тогда при выполнении операторных неравенств

Вво > ~~~ > ~~~ Вво, {т > 0) 1 + т \+т

R ъ Ти А

1 + L /77+1

m

каждое из которых при m = 1 имеет тот же вид, что и достаточное уел вие сходимости для БИКМ, метод (22), (23) с оператором В вида (24 (25) сходится.

Пусть для симметрической составляющей Аи выполняется оцеш (13) и для калсдой из симметрических составляющих В ¡¡и, В но выполн ется оценка (14). Исключая m из предыдущих неравенств, получас достаточное условие сходимости итерационного метода (22) - (23)

min

Ш min

тв < —7~„—ü-\-, где ги > ■

^ (2|^lL + «») - Л min (ÄJ/ ) * «« + 1И,|

ос

определяющее границы изменения параметров тн и гн.

На диаграмме 3 приведено число итераций для ДТКМ. Здесь >! для сравнения показан лучший из попеременно-треугольных методов ПТКМО и ББОЯ. Видно, что ДТКМО и ДТКМ1 работают быстрее в з даче 4, то есть при сильно меняющихся коэффициентах уравнения.

Проведенные теоретические исследования и расчеты показали, ч" введение в оператор В регуляризатора метода хотя и увеличивает чис.1 арифметических действий на 25 % за одну итерацию, но скорость сх^ димости самого метода на некоторых классах задач при этом увелнч] вается вдвое, что повышает эффективность метода в целом.

Таким образом, предложенный класс итерационных методов Э( фективен при решении сильно несимметричных систем линейных а гебраических уравнений.

Диаграмма 3. Сравнение методов при Лг=10000. Здесь: ДТКМ - Rn " Лд = Е;

ДТКМО - R„ = R„ = £ + ДТКМ1 - R„ = Л« = E + o>i),.

Третья глава диссертации состоит из трех разделов и посвяшена )именению разработанных методов к расчету распространения за-'язнения в Мобилском заливе (США).

Мобйлский залив (Mobile Bay) является четвертым по величине щосбором пресной речной воды в США и шестым на североамери-ihckom континенте. Залив располагается на юге США и выходит в ексиканский залив (Gulf of Mexico). Он имеет треугольную форму с :ршиной, направленной на север. Средняя ширина залива 17 км, про-женность с севера на юг - 50 км; максимальная ширина в его южной 1сти составляет 38 км. Средняя глубина залива при среднем паводке 1вна 3 м, а максимальная глубина равна 13 м в Основном проливе /lain Pass). Площадь водной поверхности равна 985 м2, а объем воды в 'обилском заливе при среднем паводке составляет 3.2-109 м"\ По аква->рии залива проложен судоходный канал от Основного пролива до >рта Мобил. Ширина канала 120 м, глубина 12 м. В центральной час-[ залива расположен небольшой остров.

Во втором разделе дано описание особенностей расчета в нерегу-[рной неодносвязной области, описывающей акваторию Мобилского

залива, приведена равномерная сетка, аппроксимирующая залив, и но описание алгоритма решения задачи.

В третьем разделе приведены результаты численного экспериме по исследованию распространения загрязнения в Мобилском заливе

Рисунок I. Распределение вещества при действии западного ветра 5 м/с на 50 сутки с I чала действия источника на северо-западном побережье залива.

случае залпового выброса вещества и в случае действия постоянн< источника загрязнения. Рассмотрены различные ветровые ситуации, рисунке 1 показан результат действия постоянного источника, раа ложенного на северо-западном побережье залива, в районе проеьг руемого строительства завода.

Рнсунок 2. Распределение вещества при действии южного ветра 5 м/с на 5 сутки после залпового выброса загрязнения в реку Мобил.

На рисунке 2 показано распределение вещества в случае залпово выброса в реку Мобил.

К защите представлены следующие результаты.

1) Рассмотрены особенности реализации модели конвективно-диффузионного переноса вещества в водоемах, где процессы конвекции преобладают. Показано, что в этом случае при конечно-разностной аппроксимации задачи получаются СЛАУ с сильно несимметричными матрицами.

2) Предложены модификации итерационных методов решения СЛАУ с сильно несимметричными матрицами, позволяющие решать задачу эффективно в случае быстрой изменчивости характеристик поля скоростей.

Построены новые типы треугольного и попеременно-треугольного кососимметрического метода, двухшагового треугольного кососимметрического метода. Получены достаточные условия, оценки скорости сходимости и найден оптимальный параметр.

Проведены численные тесты для каждого из этих методов и дано их сравнение с базовыми итерационными методами (SOR и SSOR).

3) Разработанные методы использованы для моделирования процессов распространения примесей в Мобилском заливе при различных ветровых ситуациях. Рассмотрены случаи залпового выброса и постоянно действующего источника.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Чикина Л.Г., Крукиер Л.А. Об одном подходе к решению стационарного уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией. Тез. докл. на Всерос. семинаре «Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач», г. Казань, 1996, с. 67 -69.

2. Chikina L.G. Krukier L.A. Numerical Modelling of the Hydrophysi-cal Characters of the Shallow Water Bodies at the Realization of the Ecological System Reconstruction Projects. Тез. докл. на межд. конференции АМСА - 95, г.Новосибирск, 1995, с. 192.

2(1

3. Чикина Л.Г., Крукиер Л.Л. Решение стационарного уравне! конвекции-диффузии в несжимаемых средах с преобладаю!] конвекцией итерационными методами. Сб. трудов Междунар ной конференции «Применение математического моделирова! для решения задач в науке и технике», ИММ РАН, ИПМ У РАН, г. Ижевск, 1996, с. '190-201.