автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Использование эффективных численных методов при моделировании конвективно-диффузионных процессов в средах с преобладающей конвекцией

Введение

I Моделирование процессов в движущихся средах

1.1 Математические модели явлений и процессов в движущихся средах

1.2 Аппроксимация уравнения конвекции-диффузии

1.2.1 Аппроксимация оператора диффузионного переноса

1.2.2 Аппроксимация оператора конвективного переноса

1.3 Описание тестовых задач

II Итерационные методы решения СЛАУ

11.1 Некоторые сведения из теории матриц и функционального анализа

11.2 Общая теория итерационных методов

II.2.1 Операторный подход

И.2.2 Спектральный подход

II.2.3 Подпространство Крылова

11.3 Классические итерационные методы 58 II.3.1 Метод Якоби 60 И.3.2 Метод Гаусса-Зейделя

11.3.3 SOR

11.3.4 SSOR 63 И.3.5 Треугольные и попеременно треугольные методы 64 II. 3.6 LU- разложение 66 II.3.7 Ускорение классических итерационных методов

11.4 Вариационные методы

11.4.1 Два подхода к построению вариационных методов

11.4.2 Методы подпространства Крылова

11.4.3 GMRES

11.5 Переобуславливание

11.5.1 Основные виды переобуславливания

11.5.2 Основные переобуславливатели

11.5.3 GMRES с различными типами переобуславливания

III Итерационные методы решения сильно несимметричных систем

III. 1 Современные методы решения сильно несимметричных систем 97 III. 1.1 Вариационные методы

III. 1.2 Метод симметрического и кососимметрического расщепления

III. 1.3 Кососимметрические итерационные методы

111.2 Общая теория треугольных и попеременно-треугольных кососнмметрическнх методов

111.2.1 Базовые треугольный и попеременно-треугольный методы

111.2.2 Ускорение базовых треугольных и попеременно - треугольных методов.

111.3 Треугольные и попеременно-треугольные кососимметрические беспараметрические методы

111.3.1 Достаточные условия сходимости беспараметрических кососиметрических методов

111.3.2 Выбор оптимального параметра

111.3.3 Треугольные беспараметрические методы

111.3.4 Попеременно-треугольные беспараметрические кососимметрические методы

111.3.5 Сравнение треугольных и попеременно-треугольных кососимметрических беспараметрических методов

111.4 Использование треугольных и попеременно-треугольных кососимметрических беспараметрических операторов в качестве переобуславливателей для GMRES(m)

111.4.1 Оценка близости операторов

111.4.2 Правое переобуславливание GMRES(m)

111.4.3 Сравнение предложенных переобуславливателей

Любое крупное воздействие на окружающую среду связано с целой системой внешне отдаленных явлений и событий, приводит в действие процессы в различных сферах нашей жизни. Обязательным правилом при выяснении как ближайших, так и отдаленных последствий решений, стал системный подход. При таком подходе существует необходимость легкого и быстрого получения знаний о функционировании объекта исследования, прогноза его дальнейшего функционирования, предсказания и описания его воздействия на окружающую среду, экономической эффективности, количественных характеристик и рекомендаций, приводящих к заданным результатам. При теоретическом исследовании многих задач возникает необходимость исследования сложных процессов, решение которых без применения численных методов практически невозможно на современном этапе развития. В настоящее время эффективным инструментом исследования процессов и явлений, рассматриваемых при решении широкого круга научных и технических задач, служит математическое моделирование, предполагающее построение и изучение математических моделей путем решения на современных вычислительных комплексах соответствующих систем линейных алгебраических уравнений. Популярность математического моделирования обусловлена, прежде всего, значительной универсальностью математических моделей, возможностью применения вычислительного эксперимента в тех сферах исследований, где натурный эксперимент занимает много времени, дорог или невозможен. Этот метод сочетает в себе многие достоинства теории и практики. Работа с математической моделью дает возможность быстро и без существенных затрат промоделировать поведение объекта исследований в любых условиях и задавать любые требуемые свойства, а с другой стороны, вычислительные эксперименты позволяют более глубоко и подробно изучить объект во всей его полноте, чем при теоретическом исследовании. Более того, математическое моделирование позволяет осуществить с помощью одного устройства (ЭВМ) решение целого класса задач, имеющих одинаковое математическое описание, обеспечивает простоту перехода от одной задачи к другой, позволяет вводить переменные параметры, возмущения и различные начальные условия.

В математическом моделировании работу с объектом можно условно разделить на три этапа: модель — алгоритм - программа. На первом этапе строится математическая модель объекта, т.е. теоретический "эквивалент" объекта. В выбранной модели должны быть отражены основные свойства объекта, выбраны характеристики, описывающие состояние объекта, и те, которыми можно пренебречь, при этом учитываются условия, при которых будет функционировать объект. Выбор модели является одним из важнейших этапов моделирования. При выборе модели следует исходить из разумного компромисса между сложностью модели, полнотой получаемых с ее помощью характеристик объекта и точностью этих характеристик. Так, если модель недостаточно точна, то ее нужно дополнить, уточнить введением новых факторов, может также оказаться, что предложенная модель слишком сложна, и те же результаты можно получить с помощью более простой модели. Так, при моделировании процессов тепломассопереноса в жидкости обычно пренебрегают сжимаемостью среды и полагают жидкость несжимаемой, а при рассмотрении, в частности, процессов распространения подводных взрывов, необходимо рассматривать сжимаемую жидкость. При выборе математической модели обычно руководствуются иерархией математических моделей [19,49], при использовании которой можно выбрать модель, учитывающую свойства рассматриваемой среды и процессов, происходящих в ней, а также условия, при которых происходит ее исследование.

Второй этап — разработка алгоритма для реализации математической модели на ЭВМ. Этот алгоритм должен удовлетворять довольно жестким и противоречивым требованиям. С одной стороны, требуется получить "электронный эквивалент" модели за минимальное число действий, т.е. достаточно быстро и точно, а с другой стороны, объем обрабатываемой информации не должен превышать ресурсных возможностей современных вычислительных систем. При этом необходимо учитывать, что алгоритм не должен искажать основные свойства модели, и в то же время легко адаптироваться к особенностям задач, решаемых на компьютерах.

При решении задач обычно заменяют непрерывную область изменения аргумента на дискретную и строят дискретный аналог дифференциального уравнения на дискретной области. Этот подход позволяет свести решение дифференциального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений. Вопросам разностной аппроксимации дифференциальных операторов уделяется большое внимание [1,8,41,42,43,44,46,104].

Полученную систему линейных алгебраических уравнений решают с помощью численных методов. Выбор численного метода зависит от вида полученной матрицы и ресурсных возможностей вычислительной техники.

Для решения системы линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей существует множество хорошо обоснованных и изученных эффективных численных методов. Например, можно отдать предпочтение методу верхней релаксации - (SOR) или его ускоренным вариантам, или методу сопряженных градиентов (CG) самостоятельно или с переобуславлива-телем. Если симметричная матрица системы не является положительно определенной, то можно применить метод минимальных невязок (MINRES).

Для несимметричных систем выбор метода решения до сих пор довольно затруднителен. Если матрица системы является слабо несимметричной (т.е. нормы симметричной и кососимметричной составляющих отличаются не сильно), или же матрицей с диагональным преобладанием, то можно воспользоваться классическими итерационными методами - методом Гаусса-Зейделя или другими методами. В противном случае мы имеем дело с несимметричными матрицами, для которых норма кососимметричной составляющей преобладает над нормой симметричной.

На третьем этапе выбранные алгоритмы реализуются и создаются программы. Полученный "электронный эквивалент" объекта уже можно испытывать, задавая различные условия функционирования исходного объекта.

Математическое моделирование широко используется при описании процессов в движущихся средах. Значительная сложность явлений вынуждает ученых не ограничиваться теоретическими исследованиями, но также использовать при изучении процессов методы математического моделирования. Математические модели в движущихся средах, которые включают в себя конвективный и диффузионный перенос, описывают самые различные газо- и гидродинамические процессы. В частности, большое значение приобретают экологические проблемы, связанные с описанием распространения загрязнений в атмосфере и водоемах, с моделированием загрязнения грунтовых вод.

Решение краевых задач такого типа обычно разбивается на два этапа: сначала для определения параметров движения среды отдельно решается уравнение газо- или гидродинамики, а затем, используя полученные результаты, решается уравнение конвекции-диффузии, описывающее процессы переноса примеси.

При описании установившихся газо- и гидродинамических процессов стационарное уравнение конвекции-диффузии является эллиптическим уравнением второго порядка с младшими членами. Особые трудности данная задача приобретает, когда процесс конвективного переноса преобладает над диффузионным процессом. С математической точки зрения это означает, что в дифференциальном уравнении, описывающем конвективно-диффузионный процесс, появляется малый параметр при старшей производной. Наличие малого параметра при старшей производной при несогласованности правой части дифференциального уравнения с краевыми условиями может привести к появлению в решении тонких внутренних и пограничных слоев. Эти задачи очень тяжелы для численного анализа, так как необходимо найти сильно меняющееся в небольшой области решение.

При разностной аппроксимации дифференциального уравнения конвективно-диффузионного переноса возникает система линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей. В случае преобладающей конвекции использование для разностной аппроксимации противопотоковых схем приводит к системе линейных алгебраических уравнений с монотонной матрицей (М - матрицей) и сильному сглаживанию решения за счет появления в разностных уравнениях искусственной вязкости. Поэтому при исследовании данных задач используется центрально-разностная аппроксимация, которая не сглаживает решение, но сводит дифференциальное уравнение к системе линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, не обладающей диагональным преобладанием.

Для этого класса матриц большинство классических итерационных методов либо вообще не работают, либо обладают очень медленной скоростью сходимости. Даже методы подпространства Крылова в этом случае также показывают невысокую скорость сходимости, поэтому необходимо использование переобуславливания системы. Следовательно, создание эффективных численных методов и переобуславливателей для решения СЛАУ с сильно несимметричной матрицей является актуальной задачей.

Цель и задачи работы. Целью данной работы является разработка эффективных численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, получающихся в результате центрально-разностной аппроксимации стационарного уравнения конвекции-диффузии в средах с преобладающей конвекцией.

Методы исследования рассмотренных итерационных методов и переобуславливателей основаны на операторном подходе, предложенном академиком А.А. Самарским и развитым его учениками, а также на теории итерационных методов, понятиях и методах матричного анализа.

Научная новизна. Научная новизна работы определяется полученными теоретическими результатами и предлагаемым новым классом попеременно -треугольных кососимметрических методов решения стационарных задач конвективно-диффузионного переноса с преобладающей конвекцией и сильно меняющимся полем скоростей, а также возможностью использования беспараметрических попеременно - треугольных операторов как переобуславли-вателей для методов подпространства Крылова.

Достоверность. Представленные в диссертации теоремы и следствия имеют строгое математическое обоснование, предложенные методы теоретически исследованы и численно проверенны.

Практическая значимость. С помощью разработанных методов можно эффективно решать стационарные задачи конвективно-диффузионного переноса с дискретным пространственным оператором, матрица которого дисси-пативна (т.е. симметричная часть матрицы положительно определена).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Математическое моделирование в экологии и численные методы" EMMNA'99 (г. Ростов-на-Дону, 1999г.); на третьей международной конференции по вычислительной математике ENUMATH 99 (Finland, 1999г.); на международном семинаре, посвященном вычислительным и аналитическим методам решения сингулярно возмущенных задач (Lozenetz, Bulgaria, 1998г.); на IX Всероссийской школе-семинаре молодых ученых "Современные проблемы математического моделирования" (п. Абрау-Дюрсо, 2001г.); на Всероссийской конференции "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности" (п. Абрау-Дюрсо, 2000г.); на VIII Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященном памяти А.Ф. Сидорова (п. Абрау-Дюрсо, 2002г.); на Всероссийской молодежной научной школе - конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач" (г. Казань, 2001г.); на международной конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике" (г.Ростов-на-Дону, 2001г.); на международной конференции IMMC-2002 "Итерационные методы и матричные вычисления" (г. Ростов-на-Дону, 2002г.); на Международной конференции по вычислительной математике ICCM-2002 (г. Новосибирск, 2002г.), на Международной конференции по вычислительной алгебре (MILOVY 2002) (Milovy, Czech Republic, 2002г.).

В полном объеме диссертация докладывалась на научном семинаре "Методы решения краевых задач" лаборатории вычислительного эксперимента ЮГИНФО РГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ, в том числе 9 в соавторстве. Из них 1 статья в российском и 1 статья в зарубежном реферируемых журналах, 5 статей в сборниках трудов и 7 в тезисах докладов всероссийских и международных конференций.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена математическому описанию конвективно-диффузионных процессов в движущихся средах. Приведены примеры математических моделей, сводящиеся к решению эллиптических уравнений второго порядка общего вида.

Это уравнение описывает, например, математическую модель распространения тепла и примесей в движущихся средах, моделирует распространение примесей в грунтовых водах. Во втором разделе приведены эквивалентные формы записи стационарного уравнения конвекции - диффузии, рассмотрены различные способы аппроксимации операторов конвективного и диффузионного переноса.

В третьем разделе первой главы дается описание задач, на которых были протестированы предложенные итерационные методы и переобуславливате-ли.

Во второй главе диссертации проведен анализ существующих классических и современных итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений.

В первом разделе второй главы приведены некоторые определения и теоремы из теории матриц и функционального анализа.

Во втором разделе описываются два основных подхода к построению итерационных методов релаксационного типа - операторный, предложенный и развитый в трудах А.А. Самарского и его учеников, при котором исследуется норма оператора перехода, и спектральный, при котором исследуется спектральный радиус оператора перехода. В третьем параграфе второго раздела рассматривается подход к построению вариационных методов, при котором решение является линейной комбинацией векторов подпространства Крылова.

В третьем разделе дано описание классических итерационных методов и условия их сходимости, а также приведены их матрицы расщепления. Рассмотрены некоторые подходы к ускорению классических итерационных методов. Так, приведено краткое описание методов MSOR, AOR, USSOR, которые являются ускоряющими процедурами для SOR, методов ускорения релаксационного типа с помощью чебышевского набора итерационных параметров, способа ускорения двухслойных вариационных методов, предложенного А.А. Самарским.

В четвертом разделе второй главы дано описание двух подходов к построению вариационных методов. Первым был рассмотрен способ построения решения в подпространстве Крылова. При таком подходе искомое решение является линейной комбинацией некоторого базиса в подпространстве Крылова. Дано описание подходов Ритца - Галеркина, подхода минимума невязок, подхода Петрова - Галеркина. Используя каждый из этих подходов можно условно разделить методы подпространства Крылова на три большие группы:

• методы, в которых минимизируется невязка;

• методы, для которых невязка ортогональна текущему подпространству Крылова;

• методы, для которых невязка ортогональна некоторому другому подпространству Крылова.

Вторым был рассмотрен операторный подход, предложенный А.А. Самарским. При этом подходе строится решение уравнения, минимизирующее норму погрешности в энергетическом пространстве в случае самосопряженного и положительно определенного оператора. Далее в данном разделе более подробно описывается обобщенный метод минимальных невязок (GMRES).

Пятый раздел второй главы посвящен описанию ускорения методов подпространства Крылова с помощью переобуславливания (или иначе предобу-славливания). Основная идея этой методики заключается в том, что исходная система линейных алгебраических уравнений трансформируется в другую систему с матрицей, которая обладает лучшими свойствами, и итерационный метод сходится быстрее. Описаны правый, левый и двухсторонний способы переобуславливания. Приведено описание классического способа выбора явного переобуславливателя, при котором строится явное приближение к обратной матрице. Переобуславливатели такого вида называются явными пере-обуславливателями. Далее более подробно рассматривается переобуславли-вание обобщенного метода минимальных невязок, для которого будут предложены переобуславливатели специального вида.

Третья глава диссертации посвящена численным методам решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений.

В первом разделе систематизированы современные методы решения систем линейных алгебраических уравнений с сильно несимметричной матрицей, приведены основные релаксационные методы и методы вариационного типа для решения данного класса задач.

Во втором разделе дано описание базового кососимметрического алгоритма решения сильно несимметричных задач, условно названного треугольным кососимметрическим методом. Данный алгоритм, предложенный JI.A. Крукиером и развитый в трудах его учеников, является эффективным методом решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений. Для данного класса методов приводятся достаточные условия сходимости, описываются предложенные ранее способы ускорения треугольных кососимметрических методов.

В третьем разделе третьей главы рассматривается новый класс беспараметрических кососимметрических методов, для которых оператор метода не содержит итерационный параметр.

В первом параграфе раздела приведено полученное ранее необходимое и достаточное условие сходимости треугольных методов этого класса и достаточное условие сходимости метода. Во втором параграфе доказана теорема о выборе оптимального итерационного параметра.

Третий параграф посвящен численному исследованию предложенных ранее треугольных методов. В этом же параграфе предлагается ускоряющая процедура для треугольного кососимметрического метода.

Приводятся результаты проведенных тестов, на которых было показано, что использование специальной диагональной матрицы в треугольном операторе метода позволяет увеличить скорость сходимости треугольных кососимметрических методов.

В четвертом параграфе третьего раздела предлагается попеременно - треугольный беспараметрический метод. Для методов этого класса кососиммет-ричная составляющая оператора метода, как и для базовых беспараметрических треугольных методов, равна кососимметричной составляющей исходной матрицы.

Для данного метода получено достаточное условие сходимости. Было получено ограничение, накладываемое на диагональную матрицу оператора метода, которое позволяет создавать различные варианты попеременно-треугольных методов беспараметрических методов.

Для исследования предлагаются три выбора диагональной матрицы, и, как следствие, три способа построения попеременно-треугольных беспараметрических методов.

Приведены результаты расчетов предложенных кососимметрических беспараметрических попеременно-треугольных методов и проведено их сравнение с базовым попеременно-треугольным кососимметрическим методом и SSOR.

В пятом параграфе третьего раздела проведено сравнение результатов численных экспериментов для треугольных и попеременно-треугольных беспараметрических методов.

В четвертом разделе третьей главы описывается использование беспараметрических операторов в качестве переобуславливателей для GMRES(m).

Традиционно для ускорения методов подпространства Крылова используются явные переобуславливатели, т.е. явное построение матрицы, близкой к обратной матрице системы. Далее для ускорения обобщенного метода минимальных невязок рассматривается другой подход, называемый неявным, при котором ищется переобуславливатель, близкий к самой матрице системы. К переобуславливателям такого класса относятся, в частности SSOR. Для этого нужно оценить близость матрицы, обратной к переобуславливателю, к матрице, обратной к матрице системы.

В качестве меры близости двух матриц используется норма разности двух матриц. Доказана общая теорема, в которой оценивается близость матриц, обратных к переобуславливателю, к матрице, обратной к матрице системы.

Эта теорема была использована при изучении близости рассмотренных ранее треугольных и попеременно-треугольных беспараметрических операторов к матрице, обратной к матрице системы.

Для переобуславливания обобщенного метода минимальных невязок предложено использовать два попеременно-треугольных оператора.

Приводятся результаты численных экспериментов, проведенных на тестовых задачах для различных коэффициентов при конвективных членах и при различном количестве базисных векторов подпространства Крылова, используемых GMRES(m), т=2, 5, 10, 15, 20.

В выводах отражены результаты численного исследования предложенных методов на модельных задачах, проведено их сравнение, даны рекомендации о целесообразности и эффективности использования тех или иных итерационных методов в зависимости от особенностей решаемой задачи.

К ЗАЩИТЕ ПРЕДСТАВЛЕНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Предложен и теоретически обоснован попеременно-треугольный беспараметрический кососимметрический метод решения систем линейных алгебраических уравнений, получаемых при центрально-разностной аппроксимации стационарного уравнения конвекции-диффузии.

2. Предложены и теоретически обоснованы ускоряющие процедуры для треугольных и попеременно-треугольных кососимметрических итерационных методов.

3. Доказана и численно подтверждена эффективность использования указанных операторов в качестве переобуславливателей для обобщенного метода минимальных невязок.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю проректору РГУ, директору ЮГИНФО РГУ, д.ф.-м.н., проф. Крукиеру Л.А. и благодарит коллектив ЛВЭ ЮГИНФО РГУ за внимание к работе, оказанную помощь и полезные советы.

1 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ

Выводы:

Предложенный класс беспараметрических итерационных методов показал свою эффективность при решении стационарного уравнения конвекции -диффузии с преобладающей конвекцией и сильно меняющимся полем скоростей. Это можно объяснить тем, что беспараметрические треугольные и попеременно-треугольные операторы более явно учитывают поведение кососимметричной составляющей, чем SOR и SSOR. Можно отметить схожесть процедур ускорения предложенных методов с MSOR и USSOR, но в отличие от них, в операторах рассмотренных методов учитываются коэффициенты матрицы не в целом блоке, а в каждой строке.

Наилучшие результаты были показаны в случае сильно меняющегося поля скоростей и при больших числах Пекле. Это улучшение было особенно заметно при использовании предложенных операторов в качестве переобуславливателей для GMRES(IO), т=10,15,20. При небольшом числе базисных векторов иногда наблюдалась нестабильность работы предложенных переобуславливателей, особенно в случае треугольного беспараметрического оператора.

Главным недостатком методов релаксационного типа, который часто отталкивает ученых от использования данного класса методов, является наличие итерационного параметра в операторе метода, а также очень сильная зависимость скорости сходимости методов от выбора итерационного параметра. Более того, несмотря на то, что существуют аналитические способы выбора оптимального итерационного параметра в методах релаксационного типа, на практике приходится выбирать итерационный параметр эмпирическим путем, так как часто невозможно вычислить точные границы спектра матрицы. Более того, для сильно несимметричных матриц многие методы данного класса либо сходятся очень медленно, даже при оптимальном выборе итерационного параметра, либо вообще перестают сходиться.

При проведении вычислительных экспериментов обнаружилось, что предложенные треугольные и попеременно-треугольные беспараметрические методы сходятся для СЛАУ с сильно несимметричными матрицами, возникающими при центрально-разностной аппроксимации стационарного уравнения конвекции-диф фузии с преобладающей конвекцией и сильно меняющимся полем скоростей, а также не сильно чувствительны к выбору итерационного параметра.

Вместе с тем, хотя методы подпространства Крылова хорошо зарекомендовали себя для решения СЛАУ с несимметричной матрицей, для сильно несимметричных систем наблюдается очень медленная сходимость. Как показано в литературе по численным методам [61,132], использование ILU пере-обуславливания для сильно несимметричных задач представляется затруднительным [69,119], метод SOR не рекомендуется использовать в качестве пе-реобуславливателя [61], a SSOR очень чувствителен к выбору итерационного параметра [77,110] и не показывает существенно увеличение скорости сходимости для задач этого класса.

Разработанные операторы можно порекомендовать к использованию в качестве переобуславливателей как к методу простой итерации, так и для вариационных методов.

Можно считать, что предложенные беспараметрические операторы являются достаточно хорошими переобуславливателями метода обобщенных минимальных невязок с числом базисных векторов, большим 10, для решения СЛАУ с несимметричными матрицами, получающимися при центрально-разностной аппроксимации стационарного уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией и сильно меняющимся полем скоростей,.

1. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. М: Мир, 1990

2. Белоконь Т.В., Мартынова Т.С. Нестационарный итерационный метод решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений.// Математическое моделирование, Т. 13, №3, 2001, стр. 61-68

3. Вабищевич П.Н. Итерационные методы решения задач конвекции-диффузии.// Труды Международной летней школы молодых ученых "Итерационные методы и матричные вычисления". Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2002, стр. 328-367.

4. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М: Наука, 1980

5. Воеводин В.В., Кузнецов В.А. Матрицы и вычисления. М: Наука, 1984

6. Г.И. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных уравнений с конвективными членами в случае смешанных краевых условий.// Дифференциальные уравнения, 1996, 32(5), стр. 689-701.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, М: Наука, 1966

8. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления, Москва: Мир, 1999

9. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, М: Мир, 2001

10. Еремин А.Ю., Капорин И.Е. Реализация явных чебышевских методов при решении задач большой размерности. в кн. Многопроцессорные вычислительные структуры, Таганрог, ТРТИ, 1985, вып.7, стр. 43-46

11. Жуков В.Т., Новикова Н.Д., Страховская Л.Г., Федорченко Р.П., Феодоритова О.Б. Метод конечных суперэлементов в задачах конвекции-диффузии.// Препринт ИПМ РАН №8, Москва, 2001г. 11 стр.

12. Капорин И.Е. О предобуславливании и распараллеливании метода сопряженных градиентов. в кн. Ортега Дж. "Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем". Москва: Мир, 1991, стр. 180-190

13. Клочкова JI.B., Сузан Д.В., Тишкин В.Ф. Метод численного расчета конвекции в транспортно-диффузионной модели.// Сборник трудов IX Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования". Абрау-Дюрсо, 2001 г, стр. 217-131

14. Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Самарская Е.А., Тишкин В.Ф. Методы математического моделирования окружающей среды. М: Наука, 2000.

15. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика, М: Мир, 1969

16. Криксин Ю.А., Плющев С.Н., Самарская Е.А., Тишкин В.Ф. Обратная задача восстановления источника для уравнения конвекции-диффузии.// Математическое моделирование, 1995, т. 7, № 11, стр. 95-108

17. Крукиер JI.A, Чикина Л.Г. Кососимметрические итерационные методы решения стационарных задач конвекции-диффузии.// Изв. ВУЗов, Матем., 2000. №11. с.62-76.

18. Крукиер Л.А. Достаточное условие сходимости треугольного итерационного метода с несамосопряженным исходным оператором.// Изв. СКНЦВШ. Ест. Науки, 1989, №4, стр. 52-54

19. Крукиер Л.А. Кососимметричные итерационные методы решения стационарной задачи конвекции-диффузии с малым параметромпри старшей производной.// Изв. ВУЗов. Математика, 1997, №4, стр.77-85.

20. Крукиер JI.A. Мартынова Т.С. О влиянии формы записи уравнения конвекции-дифузии на сходимость метода верхней релаксации.// ЖВМиМФ, т. 39, №11, 1999, стр. 1821-1827

21. Крукиер JI.A. Математическое моделирование гидрофизических процессов в мелких водоемах. Диссертация на соискание ученой степени доктора ф.-м. наук, РГУ, б-ка ЛВЭ ЮГИНФО РГУ, 1994

22. Крукиер JI.A. Неявные разностные схемы и итерационный метод их решения для одного класс систем квазилинейных уравнений.// Изв. Вузов. Математика, 1979, №7, стр. 41-52

23. Крукиер JI.A. Решение сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений итерационным методом, основанным на кососимметричной части исходной положительной матрицы.// Математическое моделирование, том 13, №3, 2001, стр. 49-56

24. Крукиер JI.A., Бочев М.А. Об итерационном решении сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений.// ЖВМиМФ,т. 37, №11, 1997, стр. 1283-1293

25. Крукиер JI.A., Чикина Л.Г. Двуциклический треугольный кососим-метрический итерационный метод решения сильно несимметричных систем.// Известия высших учебных заведений. Математика, №5, 2001, стр. 36-42

26. Лебедев В.И. Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе.// ЖВМиМФ, 1971, т. 11, №2

27. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М: Наука, 1970.

28. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричным неравенствам. М.: Наука, 1972.

29. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1973

30. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. Москва: Мир, 1991

31. Плющев С.Н., Самарская Е.А., Сузан Д.В., Тишкин В.Ф. Математическая модель распространения загрязнений в атмосфере. М., 1995

32. Потетюнко Э.Н., Чекулаева А.А. Волны в гидроканале.// В сб. "Волновые движения жидкости" Изд-во Ростовского областного правления СНИО, Ростов/Дон, 1989, стр. 86-119

33. Потетюнко Э.Н., Чекулаева А.А. Математическое моделирование волновых движений жидкости в гидроканале.// Деп. в ВИНИТИ №3921-В98 от 29.12.98г. 18 стр.

34. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980

35. Самарская Е.А., Сузан Д.В., Тишкин В.Ф. Построение математической модели распространения загрязнений в атмосфере.// Математическое моделирование, 1997, Т. 9, № 11, стр. 59-71

36. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем, М: Наука, 1971

37. Самарский А.А. Введение в численные методы. М: Наука, 1987

38. Самарский А.А. Методы решения сеточных уравнений М: Наука, 1978

39. Самарский А.А. Теория разностных схем М: Наука, 1977

40. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. Изд. УРСС, Москва, 1998

41. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями, Минск, 1998

42. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М: Наука, 1989

43. Самарский А.А., Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск, 1996

44. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М: Наука, Физматлит, 1997.

45. Тартышников Е.Е. Краткий курс численного анализа, Москва: ВИНИТИ, 1994

46. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Спб: Лань, 2002, 736 стр.

47. Хейгеман Л. Янг Д. Прикладные итерационные методы, Москва: Мир, 1986

48. Хорн Р. Джонсон Ч. Матричный анализ. Москва: Мир, 1989

49. Чикина Л.Г. Об одном методе решения уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.// Математическое моделирование, 1997, т. 9, № 2, стр. 20-25.

50. Чикина Л.Г. Решение уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией в областях сложной формы. Диссертация на соискание уч. ст. канд. ф.-м. Наук, РГУ, б-ка ЛВЭ ЮГИНФО РГУ, 1997

51. Arnoldi W.E. The principle of minimized iteration in the solution of the matrix eigenproblem.// Quart. Appl. Math., 1951, №9, p. 17-29

52. Axelsson O. A generalized SSOR method.// BIT, 1972, 12, p. 443-467

53. Axelsson O. Iterative solution Methods. Cambridge University Press, Cambridge, 1994

54. Axelsson O., Vasilevski P.S. A black box generalized conjugate gradient solver with inner iterations and variable-step preconditioning.// SIAM J. Matrix Analysis and Applications, 1991, №12, p. 625-644

55. Barrett R., Berry M., Chan T.F., Demmel J., Donato J., Dongarra J., Eijkhout V., Pozo R., Romine C., and Van der Vorst. Templates for the

56. Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, 2nd Edition. SIAM, Philadelphia, PA, 1994

57. Buleev N.I. A numerical method for solution of two-dimensional and three -dimensional equations of diffusion.// Math. Sb., 1960, №51, p. 227-238

58. Chan T.F., Galloloulos E., Simoncini V., Szeto Т., Tong C.H. A quasi-minimal residual variant of the BiCGSTAB algorithm for nonsymmetric systems.// SIAM J. Sci. Statist. Comput., 1994, №15, p. 338-347

59. D'Sylva E., Miles G.A. The SSOR iteration scheme for equations with cr- orderings.// Computer J., 1963, №6, p. 271-273

60. DeLong M. SOR as preconditioner, Doctor of Philosophy (Computer Science) Dissertation, University of Virginia, 1997

61. Dongarra Jack., J. Duff Iain., S. Sorensen Danny C., Van der Vorst H. Numerical Linear Algebra for high-performance computers. SIAM, Philadelphia, 1998

62. Elman H.C. A stability analysis of incomplete LU factorization.// Math. Сотр., 1986, №47, p. 191-217

63. Fletcher R. Conjugate gradient methods for indefinite systems.// G.A. Watson (Ed.), Proceedings of the Dundee Biennal Conference on Numerical analysis, Springer, New York, 1975, p. 73-89

64. Freund R.W., Nachtigal N.M. An implementation of the look-ahead Lanczos algorithm for non-Hermitian matrices.// Technical Report 90.46, Part2, RIACS, NASA Ames Center, 1990

65. Golub G.H., Van der Vorst H. A. Closer to the solution: Iterative linear solvers.// in I.S. Duff and G.A.Watson (eds), The State of the Art in Numerical Analysis, Clarendon Press, Oxford, 1997, p. 63-92

66. Golub G.H., Varga R.S. Chebychev semi-iterative methods, successive overrelaxation iterative methods and second order Richardson iterative methods.// Part I, Numer. Math., 1961, V.3, p. 147-156

67. Golub G.H., Varga R.S. Chebychev semi-iterative methods, successive overrelaxation iterative methods and second order Richardson iterative methods.// Part II, Numer. Math., 1961, V.3, p. 157-166

68. Golub Gene, Van Loan Ch. Matrix Computations, Oxford, North Oxford Academic Publishing, 1983

69. Greenbaum A. Iterative methods for solving Linear Systems. SIAM, Philadelphia, PA, 1997

70. Grote M., Huckle T. Parallel preconditioning with sparse approximate inverses.// SIAM J. Sci. Comput., 1997, №18, p. 838-853

71. Hadjidimos A. A survey of the iterative methods for the solution of linear systems by extrapolation, relaxation and other techniques.// J. Comput. Appl. Maths., 1987, №20, p. 37-51

72. Hadjidimos A. Accelerated Overrelaxation method.// Math. Сотр., 1978, №32, p. 149-157

73. Hadjidimos A., Psirmani A., Yeyios A.K. On the convergence of the modified accelerated overrelaxation method (MAOR).// Applied Numerical Math., 1992, №10, p. 115-127

74. Hadjidimos A., Yeyios A.K. Symmetric accelerated overrelaxation method (SAOR).//Math. Comput. Simulation, 1982, №24, p. 72-76

75. Ipsen I., Meyer C. The ides behind Krylov Methods. Technical Report CRSC-TR97-3 Center of Research in Scientific Computation. Department of Mathematics. North Carolina University.

76. Johnson C.R. Inequalities for a complex matrix whose real part is positive definite.// Trans. Amer. Math. Soc. 1975. v. 212. p. 149-154.

77. Kototilina L. Yu., Yeremin A. Yu. Block SSOR preconditionings for high order 3D FE systems.// BIT., 1989, v. 29, №4, p. 805-823

78. Kototilina L. Yu., Yeremin A. Yu. Factorized sparse approximate inverse preconditionings.// SIAM J. Matrix Analysis and Applications, 1993, №14, p. 45-58

79. Krukier L.A., Chikina L.G., Belokon T.V. Triangular skew-symmetric iterative solvers for strongly nonsymmetric positive real linear system of equations.// Applied Numerical Mathematics, 2002, №41, p. 89-105

80. Krukier L.A. Convergence acceleration of triangular iterative methods based on the skew-symmetric part of the matrix.// Applied Numer. Math., 1999, v.30, N3-4, p. 281-290

81. Kuznetsov Y.A. Matrix Iterative Methods in subspace.// Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Warszawa, August 16-24, 1983, North Holland, Amsterdam

82. Lanczos C. Chebyshev polynomials in the solution of large-scale linear systems.// Toronto Symposium on Computing Techniques, 1952, p.124-133

83. Logan J.D., Zlotnik V. The convection-diffusion equation with periodic boundary condition.// Applied mathematics letters, 1995, v. 9, №3, p. 55-61

84. Lynn M.S. On the equivalence of SOR, SSOR and USOR as applied to cr- ordered systems of linear equations.// Computer J., 1964, №7, p. 72-75

85. Manteuffel T.A. Adaptive procedure for estimating parameters for the nonsymmetric Tchebychev iteration.// Numerical Math., 1978, v. 31, p.183-208

86. Manteuffel T.A. An incomplete factorization technique for positive definite linear systems.// Math Сотр., 1980, V. 34, p. 473-497

87. Manteuffel T.A. The Tchebychev iteration for nonsymmetric linear systems.//Numerical Math., 1977, v. 28, p. 307-327

88. McDowell Variable Successive Overrelaxation.// Report №244, Dept. Computer Sciences, University of Illinois, Utbana.

89. Meijerink J.A., Van Der Vorst H.A. An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is symmetric M-matrix.// Math. Сотр., 1977, №31(137), p. 148-162

90. Meurant G. Computer solution for large linear systems. Elsevier Science B.V., 1999

91. Morton K.W. Numerical solution of convection-diffusion problems. Chapman&Hall, 1996

92. Nachtigal N. A look-ahead variant of the Lanczos algorithm and its application in quasi-minimal residual method for non-Hermitian linear systems, Ph. D. Dissertation, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge MA, 1991

93. Paige C.C., Saunders M.A. Solution of sparse indefinite systems of linear equations.// SIAM J. Numerical Anal., 1975, №12, p. 617-629

94. Parlett B.N., Taylor D.R., Lin Z.A. A look-ahead Lanczos algorithm for unsymmetric matrices.// Math. Сотр., 1985, №44, p. 105-124

95. Russell D.B. On obtaining Solutions to Navier-Stokes equations with automatic digital computers.// Aeronautical research council report R&M 3331 Engineering Laboratory, Oxford, 1963

96. Saad Y. A flexible inner-outer preconditioned GMRES algorithm.// SIAM J. Scientific Computing., 1993, №14, p. 461-469

97. Saad Y. Iterative methods for Sparse Linear Systems. PWS Publishing Company, 1995

98. Saad Y., Schultz M.H. GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems.// SIAM J. Scientific and Statistical Computing., 1986, p. 856-869

99. Saad Y., Van der Vorst H. A. Iterative solution of linear systems in the 20th century.// J. of Computanional and Applied Mathemetics , Elsevier Science, 2000, №123, p. 1-33

100. Sonnoveld P. CGS: a fast Lanzos-type solver for nonsymmetric linear systems.// SIAM J. Sci. Statist. Comput., 1989, №10, p. 36-52

101. Sturler E. De Truncation strategies for optimal Krylov subspace methods.// SIAM J. Numerical Anal., 1999, v. 36, №3. p. 864-889

102. Taussky O. Positive-definite matrices and their role in the study of the characteristic roots of general matrices.// Adv. Math., v.2, 1968, p. 175186

103. Taylor P.J. A generalization of Systematic Relaxation methods for consistently ordered matrices.//Num. Math., 1969, №13, p. 377-395

104. Van der Vorst H.A. Bi-CGSTAB: a fast and smoothly converging variant if Bi-CG for the solution of non-symmetric linear systems.// SIAM J. Sci. Statist. Comput., №3, 1992, p. 631-644

105. Van der Vorst H.A. Krylov Subspace Iteration.// Computing in Science and Engineering, Vol. 2(1) January/February 2000, p. 32-37

106. Van Der Vorst H.A. Iterative solution methods for certain sparse linear systems with a non-symmetric matrix arising from PDE problems.// J. Comput. Phys., 1981, №44, p. 1-19

107. Van der Vorst, H.A. Vuik C. GMRESR: a family of nested GMRES methods.// Numerical linear Algebra with Applications, 1994, №1, p. 369-386

108. Varga R.S. Factorization and normalized iterative methods.// R.E. Langer (Ed), Boundary Problems in Differential equation, University of Wisconsin Press, Madison, 1960, p. 121-142

109. Varga R.S. Matrix iterative analysis, Aprentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1962

110. Varga R.S., Eiermann M., Niethammer W. Acceleration of Relaxation Methods for Non-Hermitian linear systems.// SIAM J. Matrix Anal. Appl., 1991, №13, p. 979-991

111. Weiss R. Parameter-Free linear solvers, Berlin: Akademie Verlag, 1996

112. Woznicki Z.I. Matrix splitting principles.// International Journal of mathematics and mathematical sciences, № 28(5), 2001, p. 251-284

113. Woznicki Z.I. Nonnegative splitting theory.// Japan Journal of industrial and applied mathematics, 1994, v. 11, №2, p. 289-342

114. Woznicki Z.I. The sigma-SOR algorithm and the optimal strategy for the illustration of the SOR iterative method.// Math. Сотр., 62, 1994, p. 619-644

115. Young D.M. Iterative methods for solving partial differential equations of elliptic type, Doctoral Thesis, Harvard University, Cambridge, MA, 1950

116. Young D.M. Iterative solution of large linear iterative systems.// Academic Press, New York, 1971

117. Young D.M. On accelerated SSOR method for solving large linear systems.// Advances in Mathematic, v. 23, 1977, p. 215-271

118. Zhang J. Accelerated high accuracy multigrid solution of the convection-diffusion equation with high Reynolds number.// Numerical methods Partial differential eq, № 77(1), 1997, p. 73-89

119. Zhang J. Preconditioned iterative methods and finite difference schemes for convection-diffusion.// Applied mathematics and computation, № 109, 2000, p. 11-30

120. Р0СС1ШСТГ/,К ГОСУДАРСТВЕ7" БИБЛИОЖ^'7 ~