автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов конвективно-диффузионного переноса в движущихся средах

На правах рукописи

□030ВТ32Т

МУРАТОВА ГАЛИНА ВИКТОРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ КОНВЕКТИВНО-ДИФФУЗИОННОГО ПЕРЕНОСА В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ

Специальность 05.13.18 -математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2006 год

003067327

Работа выполнена в Южно-Российском региональном центре информатизации Ростовского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Крукиер Лев Абрамович Официальные оппоненты: член - корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Костомаров Дмитрий Павлович доктор физико-математических наук, профессор Головизнин Василий Михайлович доктор физико-математических наук, профессор Даутов Рафаил Замилович Ведущая организация: Институт вычислительного моделирования

Сибирского отделения Российской Академии Наук

Защита состоится «22» марта 2007 г. в_час. на заседании диссертационного совета Д 002.058.01 в Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, г. Москва, Миусская пл., д.4А

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН

Автореферат разослан «

Ученый секретарь диссертационного совета.

доктор физ.-мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

На современном этапе развития информационных технологу:», включающего значительный прогресс средств переработки, передачи и хранения информации, проникновения их во все сферы жизни, математическое моделирование переживает очередную ступень своего формирования, «встраиваясь» в структуру информационного общества. Наличия информации, как таковой, зачастую недостаточно для анализа ситуации, принятия управленческих решений и контроля их исполнения. Необходимы адекватные и надежные способы обработки информации. История развития методологии математического моделирования показывает - именно она предоставляет такие способы, становясь, тем самым, ядром информационных технологий, процесса информатизации общества,

В общем перечне актуальных задач, решаемых с помощью математического моделирования, экологические проблемы занимают особое место. Увеличение антропогенного воздействия на окружающую среду, вызванное интенсивным использованием природных богатств, развитием материального производства, приводит к нарушению экологического равновесия как локально - в отдельных районах земного шара, так и глобально - в масштабах планеты в целом.

Естественным средством объективного анализа возникающих проблем являются методы, основанные на построении и исследовании математических моделей природных систем. Использование математического моделирования и проведение вычислительного эксперимента позволяют оценить аспекты и последствия реализации различных проектов, связанных с воздействием на природную среду, как в перспективе, так и при возникновении возможных кризисных и экстремальных ситуаций. Важность этого направления' исследований усиливается тем обстоятельством, что его результаты имеют непосредственный практический выход в сферу социальных и экономических отношений современного общества.

При решении многих экологических проблем необходимо исследовать процессы в движущихся средах, основными компонентами которых являются диффузионный перенос той или иной субстанции и конвективный перенос, обусловленный движением самой среды. В качестве базовых моделей многих процессов механики жидкости и газа выступают краевые задачи для стационарных и нестационарных уравнений конвекции - диффузии. К ним можно отнести задачи гидро- и газодинамики, распространение загрязнения и температурное распределение в водоемах и атмосфере, движение подземных вод, задачи магнитной гидродинамики и др. Среди экологических процессов, осно-

вой математических моделей которых является уравнение конвекции- диффузии, следует выделить распространение загрязняющих веществ в водной и воздушной средах.

Прогнозирование распространения загрязнений в воздушной среде давно является актуальной задачей больших городов и крупных промышленных регионов. Кроме того, в настоящее время сильно возрос научно-практический интерес к математическому моделированию процессов загрязнения атмосферы радиоактивными элементами в районах атомных электростанций. Особенно это направление активизировалось после аварии на Чернобыльской АЭС. Разработке и исследованию математических моделей радиоактивного загрязнения атмосферы посвящены работы российских и зарубежных ученых Алояна А.Е., Арутюняна Р.В., Бакланова A.A., Беликова В.В., Болыиова Л.А., Головшнина В.М., Железняка М.И., Пененко В.В., Стрижова В.Ф., С. Галмарини, Р. Вьян-кони, Д. Грациани, Д.Вендома, З.Златева, П.Мартано, Р.Мариона, Н.Нельсона и др.

Задачи водной экологии, создание математических моделей внутренних водоемов сегодня также весьма актуальны, поскольку обеспеченность чистой пресной водой давно уже стала главной экологической проблемой многих мегаполисов и стран в целом. Компонентами таких моделей являются модули, исследующие температурное распределение, процессы распространения различных загрязняющих веществ, распределение солености и др. В математических моделях этих процессов также используется уравнение конвекции - диффузии. Моделированию процессов теплообмена водоемов посвящены работы Архипова Б.В., Белолипецкого В.М., Бронфмана A.M., Киселева В.Г., Костюка В.Ю., Солбакова В.В., Шокина Ю.И., Хлебникова Е.П. и др.

Во многих реальных природных системах процесс конвекции является преобладающим. Это приводит к необходимости более тщательно исследовать способы решения уравнения конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией.

В тех случаях, когда процесс конвекции является преобладающим, применение стандартных численных методов затруднено. Преобладание конвекции в физических процессах означает, с математической точки зрения, появление малого параметра при старшей производной в исходных дифференциальных уравнениях. При некоторых дополнительных условиях - несогласованности правой части дифференциального уравнения с краевыми условиями - в таких задачах возникает явление пограничного слоя. Для этого класса задач часто используется аппроксимация первых производных разностями «против потока». Тогда разностный оператор получается монотонным, но решение имеет первый порядок аппроксимации 0(h) и за счет «численной» вязкости происходит «размазывание» пограничных слоев. Использование центрально-рачностной аппроксимации дифференциального уравнения дает второй порядок аппроксимации, сохраняет поведение решения, но приводит к несимметричным системам линейных алгебраических уравнений, в которых отсутствует

диагональное преобладание. Для решения таких задач необходимы эффективные численные методы, которые могут учитывать особенности рассматриваемого класса задач.

Исследованию задач конвекции - диффузии посвящены монографии российских и зарубежных ученых: A.A. Самарского и П.Н. Вабищевича, К. Мор-тона, Н. Эльмана, Д. Сильвестра и А.Вэйсена. Кроме того, различные аспекты конвективно-диффузионных процессов гидро- и газодинамики - способы аппроксимации, методы решения, в том числе с использованием высокопроизводительных вычислительных систем, а также их приложения рассмотрены Ю.Н.Карамзиным, Е.Д.Кареповой, И.В.Киреевым, Е.И.Левановым, С.Ф. Пя-таевым, В.Ф.Тишкиным, Б.Н.Четверушкиным, В.В.Шайдуровым и др. Несмотря на достаточно большое количество существующих методов, разработка новых эффективных алгоритмов для указанного класса задач по-прежнему остается актуальной проблемой.

Цель работы. Целью работы является создание эффективных алгоритмов реализации математических моделей конвективно-диффузионного переноса в движущихся средах и их использование в конкретных экологических задачах водной и воздушной среды.

Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие задачи:

• разработать математическую модель температурного распределения в Азовском море, определить вычислительные алгоритмы реализации созданной модели на высокопроизводительных вычислительных системах, разработать программный комплекс и провести численные эксперименты

• разработать математическую модель распространения радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС

• разработать и исследовать эффективные разностные схемы для решения нестационарного уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией

• разработать модификации многосеточного метода для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений, возникающих после центрально - разностной аппроксимации стационарного уравнения конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией

• создать программный комплекс, реализующий разработанные алгоритмы для математической модели распространения радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС, и провести численные эксперименты

Методы исследования

Основой теоретического исследования является методология математического моделирования и вычислительного эксперимента, предложенная ака-

демиком А.А. Самарским и развитая в работах ученых его научной школы и других российских и зарубежных исследователей. Для рассматриваемых разностных схем и итерационных методов применяется операторный подход, используется общая теория устойчивости операторно-разностных схем, теория итерационных методов, основные понятия и положения теории многосеточных методов.

Научная новизна. Разработаны математические модели температурного распределения в Азовском море и распространения радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС. Предложен новый класс треугольных кососимметричных разностных схем для решения динамических задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией. Предложена, теоретически и численно исследована модификация многосеточного метода решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), где в качестве сглаживателя используется итерационный метод из класса треугольных кососимметричных методов. На основе разработанного программного комплекса, реализующего предложенные алгоритмы, проведены вычислительные эксперименты для математических моделей температурного распределения в Азовском море и распространения радиоактивных загрязнений в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС.

Практическая значимость. Рассмотренные в работе модели температурного распределения в Азовском море и распространения радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС позволяют получать оперативную оценку текущего состояния природных объектов и делать прогноз в случае возникновения нештатных ситуаций. Выполнение исследований было поддержано совместным грантом РФФИ и Администрации Ростовской области.

Предложенный подход к построению разностных схем дает эффективный способ реализации математических моделей, основанных на уравнении конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией. Модификации многосеточного метода со сглаживателями из класса треугольных кососимметричных итерационных методов могут применяться для решения сильно несимметричных СЛАУ. Проведенные вычислительные эксперименты позволяют сделать вывод о возможности использования созданного программного комплекса для исследования температурного распределения в Азовском море и радионуклид-ного загрязнения воздушной среды в районе Волгодонской АЭС.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях:

• International Symposium on Hydrological, Chemical and Biological

Processes of Transformation and Transport of Contaminant in Aquatic

Environments (IAHS), г. Ростов-на-Дону, 1993.

® Czech Workshop on Iterative Methods and Parallel Computing, Czech Republic, 1997.

• Workshop on the analytical and computational methods for convection -dominated and singular perturbed problems, Lozenec, Bulgaria, 1998 r.

• International Conference on Environmental Mathematical Modeling and Numerical Analysis (EMMNA' 99), г.Ростов-на-Дону, 1999.

• The Third European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications, Jyväskylä, Finland, 1999.

• The First International Conference on Nonlinear Analysis and Nonlinear Modeling under the auspices of the International Federation of Nonlinear Analysis (IFNA) Fethiye, Turkey, 2001.

® International conference on Iterative Methods and Matrix Computations (IMMC), г.Ростов-на-Дону, 2002.

e Internationa! conference on Selected Problems of Modern Mathematics, dedicated to the 200th anniversary of K.G. Jacobi, and the 750th anniversary of the Koenigsberg foundation, Kaliningrad, 2005.

• International conference on Applied Linear Algebra in honor of Richard Varga (ALA), Palic, Serbia, 2005.

• The first International Conference on Numerical Algebra and Scientific Computing (NASC06), China, 2006.

• International conference «Tikhonov and contemporary mathematics», MSU, Moscow, 2006.

На Всероссийских и региональных конференциях и Школах-семинарах:

• VIII Всероссийское совещание по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященное памяти академика А.Ф. Сидорова, Пущино 2000 г.

® Всероссийская конференция «Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности», п. Абрау-Дюрсо, 2000 г.

в I, II, III Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова, п. Абрау-Дюрсо, 2002,2004,2006 г.г.

• Всероссийская Школа-семинар «Современные проблемы математического моделирования », п. Абрау-Дюрсо, 1990 -2005 годы

• XIV, XV, XVI Всероссийская конференция «Теоретические ссчовы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К.И. Бабенко, п. Абрау-Дюрсо, 2002,2004, 2006 г.г.

• Совещания по программе Президиума РАН № 14 «Фундаментальные проблемы информатики и информационных технологий» Раздел II «Высокопроизводительные вычисления и многопроцессорные системы», Пущино, 2005,2006 г.г.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 27 работ, из них 10 статей в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК.

Вклад автора в совместные работы заключается в формировании постановки проблемы [2, 6, 7,9,12,16, 17,18,19,20, 25,27], проведении теоретических исследований [10, 11, 15, 17, 18, 23, 24, 26], проведении и анализе результатов вычислительных экспериментов [1,4, 5, 7, 8, 10, 11, 15, 20].

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 245 наименований. Полный объем диссертации составляет 297 страниц.

Содержание работы

Во введении сформулирована цель работы, обоснованы актуальность и важность исследуемой темы, кратко описано содержание работы. Представлены полученные в диссертационном исследовании результаты, выносимые на защиту.

Первая глава носит вспомогательный характер и состоит из трех разделов. Первый раздел посвящен общему описанию математических моделей конвективно-диффузионного переноса в водных и воздушных средах. Особое внимание уделено моделям температурного , распределения в водоеме и распространения примесей в атмосфере. Приведены три формы записи операторов диффузионного и конвективного переноса в используемом в данных моделях уравнении конвекции - диффузии. Обсуждаются особенности рассматриваемых процессов, влияние соотношения между процессами конвекции и диффузии на математическую постановку задачи и на дальнейший выбор методов решения.

Во втором разделе рассмотрена разностная аппроксимация задач конвекции - диффузии. Приведены разностные схемы для стационарной и нестационарной задачи. Описано влияние формы записи конвективных членов уравнения конвекции - диффузии на свойства матрицы, получаемой после разностной аппроксимации дифференциальной задачи.

В третьем разделе рассмотрены методы решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений, возникающих после центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекции - диффузии. Представлен обзор итерационных методов решения сильно несимметричных СЛАУ. Приведены некоторые сведения из теории матриц и функционального анализа, необходимые в дальнейшем исследовании. Рассмотрены классические итерационные и вариационные методы решения СЛАУ.

Если при конструировании методов для решения задач с сильно несимметричными СЛАУ особое внимание уделять учету структуры оператора решаемой задачи, это позволяет строить и применять специальные итерационные методы, которые обладают более высокой скоростью сходимости, чем ме-

тоды из общей теории. К таким методам относятся треугольные кососиммет-ричные методы, впервые предложенные в работах Л.А. Крукиера. Эффективность их применения достигается особым выбором операторов и итерационных параметров. В разделе приведено описание этих методов.

Рассмотрим стационарное уравнение конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией, описывающее установившиеся процессы конвекции -диффузии, записанное в симметричной форме, дополненное краевыми условиями:

/-(V. (,)„)))-С)

2 ат1 дха дха Ре«=1 дха 8ха

и(х) = 0, хедП (2)

Объектом исследования данного раздела является система линейных алгебраических уравнений, полученная после разностной аппроксимации задачи

0)42):

Ау=/, (3)

где А - матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, у - неизвестный, а/-известный векторы. Для решения СЛАУ используем методы из класса треугольных кососимметричных методов, которые можно записать в каноническом виде:

вУ^Ь.-.Ау=р,к = 0,1,...,у^Н, (4)

г

где В , А- линейные операторы, т - итерационный параметр.

Представим матрицу А в виде суммы симметричной и кососимметрич-ной части:

А=А0+А„ А0=0.5(А+А') А, = 0.5(А-А') А, = К1; + Кь ,(5)

где Ки и К1 - верхняя и нижняя треугольные части кососимметричнон матрицы Ап К„ = -К[. Предполагается, что матрица А является диссипативной, т.е.Ло >0.

Если параметр при старшей производной в уравнении (1) мал и используется центрально-разностная аппроксимация, то матрица А является сильно несимметричной, то есть в некоторой матричной норме выполняется неравенство:

к«.«!К1..

Рассмотрим три метода из класса треугольных кососимметричных методов (ТКМ), предложенных и исследованных Л.А. Крукиером, в которых оператор В строится следующим образом:

В = а:Е + юК1 или В = а,Е + сиК{

(6)

для ТКМ:

0) = 2т и а, = 1, (7)

для ГКМ]\

й> = 2 и а, = ]|М|| (8)

для ТКМ2\

а = 2 и а, = ¿Щ / = 0,...л (9)

У-»

где г скалярный итерационный параметр, М - }"о - симметричная матрица, которая строится по формуле М = А0+ Ки — п- размерность матрицы А.

Треугольные кососимметричные методы могут быть использованы для решения несимметричных СЛАУ, получаемых после центрально разностной аппроксимации уравнения конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией, в которых отсутствует диагональное преобладание. Однако при значительном доминировании конвекции в исходном уравнении мы приходим к сильно несимметричным системам, и треугольные кососимметричные методы, хотя и сходятся для этих случаев, но скорость сходимости невысока. Огмечено, что эти методы быстро сходятся на первых итерациях, замедляясь в дальнейшем. Это свойство методов называется сглаживающим и объясняется быстрым подавлением высокочастотных гармоник ошибки, но гораздо более медленным воздействием итерационного процесса на низкочастотные составляющие. Именно этим свойством должны обладать итерационные методы, используемые в качестве сглаживателей в многосеточном методе. Автором диссертации впервые предложено использовать треугольные кососимметричные методы в качестве одной из компонент многосеточного метода.

Вторая глава посвящена описанию и исследованию модификации многосеточного метода для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений, получаемых после разностной аппроксимации стационарного уравнения конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией.

Глава состоит из пяти разделов.

В первых двух разделах приведены общее описание и этапы развития многосеточного метода, основная идея которого принадлежит Р.П. Федоренко. Многосеточный метод является оптимальным по числу арифметических операций для достижения точности, согласованной с порядком сходимости. Другая особенность метода - то, что он устанавливает лишь структуру алгоритма, эффективность которого во многом зависит от адаптации его компонент к конкретной задаче. Значительный вклад в теорию многосеточного метода внесли Р.П. Федоренко, Н.С. Бахвалов, Г.П. Астраханцев, В.В. Шайдуров, М.А.

Ольшанский, А. Брандт, В. Хакбуш, П. Весселинг, В. Троттенберг, Д. Брамбл и многие другие российский и зарубежные исследователи.

Многосеточный алгоритм позволяет значительно повысить эффективность базового итерационного метода, комбинируя обычный итерационный процесс с приемом, называемым грубосеточной коррекцией - последовательным использованием в вычислениях более грубых сеток. Одна итерация метода включает в себя 4 наиболее важных этапа: сглаживание; ограничение (проекция), продолжение (интерполяция) и грубосеточная коррекция.

Сглаживающая процедура является важной компонентой многосеточного алгоритма, наиболее зависимой от решаемой задачи. В диссертационной работе приводится описание существующих сглаживателей многосеточного метода - методы Якоби, Гаусса - Зейделя, метод Якоби с весами. В работе впервые предложена новая модификация многосеточного метода, в которой используются специальные сглаживатели для решения сильно несимметричных СЛАУ, получаемых после центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекции — диффузии.

Третий раздел главы посвящен Фурье - анализу многосеточного метода, который является важным инструментальным средством для получения количественных оценок сходимости и оптимизации различных компонент многосеточного метода.

Основная идея Фурье-анализа, изложенная в этом разделе, состоит в том, чтобы представить ошибку или невязку в виде суммы некоторых периодических функций, называемых компонентами Фурье или гармониками. При этом появляется возможность оценить воздействие составляющих многосеточного метода на каждый компонент Фурье - разложения.

В диссертации проведен односеточный локальный Фурье-анализ или анализ сглаживания и двухсеточный Фурье-анализ (ЬРА) предложенной модификации многосеточного метода. При проведении односеточного анализа основное внимание в многосеточном цикле уделяется процедуре сглаживания, а влиянием грубо-сеточной коррекции пренебрегают или используют "идеальный" оператор грубо-сеточной коррекции. При проведении Фурье-анализа сглаживания важным моментом является вычисление коэффициента сглаживания, который показывает, насколько эффективным сглаживателем является рассматриваемый метод.

При проведении ЬРА для оценки свойства сглаживания базовых итерационных методов были получены коэффициенты сглаживания для треугольных кососимметричных методов. Для оценки скорости сходимости двухсеточ-ного метода с треугольными кососимметричными сглаживателями были численно получены коэффициенты асимптотической сходимости двухсеточного метода. Проведено сравнение результатов Фурье-анализа многосеточного метода, в котором в качестве сглаживателей выбирались треугольные кососим-метричные сглаживатели с многосеточным методом со стандартными сглаживателями (методом Гаусса-Зейделя и методом Якоби).

Проведенные исследования показали, что треугольные кососимметрич-ные методы обладают хорошим сглаживающим свойством. Для эффективной работы метода в качестве сглаживателя коэффициент сглаживания и1ос должен быть меньше единицы. Чем меньше коэффициент сглаживания, тем быстрее метод подавляет высокочастотные компоненты ошибки.

. В таблице 1 представлены результаты Фурье-анализа сглаживающих методов для больших чисел Пекле и различных коэффициентов при конвективных членах V; и в уравнении (1). Поскольку используемая методика предполагает "замораживание" переменных коэффициентов, то построение вспомогательного оператора методов ТКМ1 и ТКМ2 для проведения Фурье-анализа одинаково. Поэтому результаты представлены только для одного случая ТКМ1-ТКМ2.

Таблица 1. Коэффициент сглаживания ц1ос итерационных методов

Ре VI \2 ТКМ1-ТКМ2 ТКМ }АС

1 1 0.8375 0.8762 0.9983 0.9999

1 -1 0.9457 0.9687 0.9980 1.6508

1 ООО -1 0.9417 0.9402 0.9983 1.3168

0 1 0.8950 0.9381 0.9980 1.3441

0 -1 0.9574 0.9699 0.9980 1.8312

1 1 0.9876 0.9873 0.9999 0.9999

1 -1 0.9937 0.9968 0.9999 1.0129

10 000 -1 -1 0.9937 0.9937 0.9999 1.0261

0 1 0.9874 0.9936 0.9999 1.0263

0 -1 0.9953 0.9967 0.9999 1.0532

1 1 0.9987 0.9987 0.9999 0.9999

1 0.9994 0.9997 0.9999 1.0013

100 000 -1 -1 0.9994 0.9406 0.9999 1.0026

0 1 0.9987 0.9384 0.9999 1.0026

0 -1 0.9995 0.9703 0.9999 1.0051

Полученные результаты показачи, что для классических итерационных методов - метода Гаусса-Зейделя и метода Якоби - коэффициент ¡л1ж практически равен единице, при некоторых коэффициентах V] и многосеточный метод, где в качестве сглаживателя используется метод Гаусса-Зейделя, расходится. Для треугольных кососимметричных методов коэффициент сглаживания ц1ж для всех рассмотренных случаев меньше единицы, что показывает их эффективность в качестве сглаживателей многосеточного метода для задач конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией.

В работе проведен двухсеточный Фурье - анализ, который позволяет вы-

брать оптимальное число сглаживающих итераций для эффективного решения задачи с большими числами Пекле. Результаты численных экспериментов двухсеточного Фурье - анализа представлены в таблице 2. В ней для различных чисел Пекле (Ре) и разном количестве сглаживающих итераций (ЛЪ) представлены коэффициенты асимптотической сходимости. Как показали результаты расчетов, число сглаживающих итераций доя несамосопряженных задач должно быть больше двух-трех сглаживающих итераций - количества итераций, обычно используемых для самосопряженного случая, но вычислительные затраты на проведение сглаживающих итераций намного меньше вычислительных затрат многосеточного цикла.

Таблица 2. Коэффициент асимптотической сходимости двухсеточного метода ры

Ре № ТКМ1-ТКМ2 ТКМ 1АС СБ

1 >1 0.9040 2.6875 5.9980

2 >1 0.8150 2.6804 35.8149

1 ООО 5 0.6782 0.5692 2.6591 »1

10 0.3673 0.3240 2.6241 »1

15 0.2035 0.1844 2.5895 »1

1 >1 >1 3.7218 3.6733

2 >1 0.9791 3.7218 4.0265

10 000 5 0.9787 0.9434 3.7215 »1

10 0.9152 0.8901 3.7211 »1

15 0.8582 0.8397 3.7207 »1

1 >1 >1 3.762824 3.7579

100 000 2 >1 0.9921 3.762823 3.7530

5 >1 0.9713 3.762821 3.7383

10 >1 0.9435 3.762817 3.7139

15 0.9970 0.9164 3.762813 3.6897

Четвертый раздел главы посвящен исследованию предложенных модификаций многосеточного метода для сильно несимметричных СЛАУ и доказательству их сходимости. В качестве исследуемой задачи рассматривается стационарное уравнение конвекции - диффузии.

Проведено исследование трех сглаживателей из рассматриваемого класса треугольных кососимметричных методов - ТКМ, ТКМ1 и ТКМ2 (6), (7) -(9). Эти методы применимы к задачам, в которых матрица А не имеет диагонального преобладания. Как отмечалось выше, эффективность методов достигается с помощью специального выбора оператора В.

В диссертационной работе эти методы использованы в качестве сглажи-вателей многосеточного метода, который можно рассматривать как своего рода ускоряющую процедуру треугольных кососимметричных методов. Доказаны теоремы сходимости предложенной модификации многосеточного метода.

Обозначим точное решение задачи (3) через и . Пусть и" - начальное приближение к решению, и' - приближение к решению, полученное после сглаживания, а и1- приближение к решению, полученное после многосеточной итерации. Положим е' = и' - и , ¡' = 0,1,2. Очевидно, что выполняется соотношение e2=el + v', где V*- точное решение задачи для погрешности Ау = /-Аи\

Для исследования скорости сходимости метода, характеризуемой коэффициентом сжатия

автором диссертации были использованы некоторые результаты работ Д. Мандела и 3. Као.

В частности, Д. Манделом доказано, что если выполняется предположение относительно сглаживания: существуют д (о<Д<ю)и£>0 такие, что

где // - некоторый параметр, тогда для скорости сходимости двухсеточного метода справедлива оценка а 5 ¿У, где

а,д,ц-некоторые постоянные, е - погрешность решения.

На основе приведенных выше результатов исследований в работе была доказана следующая теорема.

Теорема 1. Для многосеточного метода, в котором в качестве сглаживателя используется итерационный метод (4) с оператором В (6) - (9), существует постоянная Ь> 0 такая, что выполняется неравенство:

{1 + цЛ):^2+1;2-211^<1^,д>0

\1

В+В -А0к Ь(А0 -В)'А(Ав-В), В=

В

(10)

г

из которого следует сходимость многосеточного метода, при этом

где Ва - симметричная часть матрицы В.

В пятом разделе третьей главе приведены результаты численных экспериментов использования многосеточного метода для задач конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией. Приведены результаты исследования зависимости эффективности многосеточного метода от числа сглаживающих итераций и количества уровней. Численные исследования подтвердили полученные ранее с помощью Фурье - анализа результаты об оптимальном количестве сглаживающих итераций в многосеточном методе для решения сильно несимметричных систем.

Были проведены вычислительные эксперименты для четырех модельных задач с различными векторами скорости движения среды, представленных в таблице 3. Эти модельные задачи достаточно часто выбираются в качестве тестовых примеров для численных исследований.

Таблица 3. Вектора скорости у уравнения (1)

Задача (хих2)

1 1 -1

2 1-2*, 2х2 — 1

3 х, +х2 х1 -х2

4 $т2ях, -2лх2

В качестве основного объекта исследования свойств многосеточного метода с предложенными сглаживателями рассматривалось стационарное уравнение конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией (1)-(2) в прямоугольной области 0=[0,1]х[0,1] . Переменные коэффициенты при первых

производных определяют скорость движения среды ^ = у2) . Рассматривалась несжимаемая среда, для которой = = 0 • Выбирались различные коэффициенты при первых производных и разные числа Пекле от 10 до 105.

Для аппроксимации дифференциального уравнения использовалась центрально-разностная схема. Рассматривалась модельная краевая задача с известным точным решением и (л,, ) = эш (д-д:,) бш {пхг ) ехр ). Задача решалась многосеточным методом, где в качестве сглаживателя использовались

ТКМ, ТКМ1 и ТКМ2. Для метода ТКМ итерационный параметр т выбирался из условия диагонального преобладания матрицы В = Е + 2тК[, где К1 -нижняя треугольная матрица кососимметричной части исходной матрицы А. Критерием остановки итерационного процесса являлось условие ||/;||/|р"0||£г-, е = КГ6, гп = Аип -/ - невязка метода, и - номер итерации.

Рис. 1. Зависимость времени счета 1У1СМ от количества сглаживающих итераций, Ре = 1000, задача 3 (с линейными коэффициентами вектора скорости).

Проведены численные эксперименты поведения многосеточного метода в зависимости от различных коэффициентов уравнения и параметров метода. На рисунках 1 и 2 представлена зависимость времени счета МвМ от количества сглаживающих итераций, на рисунке 3 - зависимость скорости сходимости

Рис. 2. Зависимость скорости сходимости ЭДСМ от количества сглаживающих итераций, Ре = 1000, задача 3 с линейными коэффициентами.

Проведены численные эксперименты для задачи (1) - (2) с использованием МвМ со сглаживателями ТКМ, ТКМ1 и ТКМ2, в которых количество сглаживающих итераций равнялось 15. Проводилось так же сравнение пред-

ложенных модификаций многосеточного метода с МвМ с методом Зейделя в качестве сглаживателя. Расчеты проведены с различными коэффициентами при первых производных и разными числами Пекле. Результаты расчетов представлены в таблице 4. В таблице указано количество итераций исследуемых методов, символ "Б" означает, что для данной задачи метод не сошелся за количество итераций, большее 5000, а символ "О", что метод разошелся.

симметрии к - Ре* /г/2.

Таблица 4. Результаты расчетов 1УШМ с различными сглаживателями для разных коэффициентов при первых производных и чисел Пекле

Ре мам (ТКМ) мам (ТКМ1) мвм (ТКМ2) МОМ (7,еусЫ) К-Ре*Ш

V. ,=.1, У2 = -1

10 35 30 30 240 0,1525

100 7 5 5 50 1,5625

1000 13 9 9 Б 15,625

10000 75 58 58 Б 156,25

100000 535 460 430 О 1562,5

», = (1-2*,), у2 = (2*2-1)

10 72 53 50 497 0,1525

100 24 19 14 106 1,5625

1000 16 12 6 Б 15,625

10000 59 51 32 Э 156,25

100000 384 522 165 Э 1562,5

V, = (х, + ), Уг = О, - хг)

10 43 35 35 322 0,1525

100 10 7 5 76 1,5625

Ре мвм (ТКМ) МСМ (ТКМ!) мвм (ТКМ2) МОМ (2еус1г1) К-Рг*к/2

1000 16 12 8 О 15,625

10000 74 55 36 О 156,25

100000 570 441 258 о 1562,5

V, = БШ (гтгл:,), у2 = -2жхг С0 5 (2гГ-)С| )

10 42 32 27 218 0,1525

100 16 12 7 481 1,5625

1000 30 22 19 и 15,625

10000 193 159 65 э 156,25

100000 Б Б Б Б 1562,5

Были проведены численные исследования поведения МвМ со сглажива-телями ТКМ, ТКМ1, ТКМ2 на сетках разной размерности - от 32x32 до 512x512. Результаты численных экспериментов со сглаживателем ТКМ1 представлены в таблице 5 и на рисунке 4.

Проведенные численные исследования модификаций многосеточного метода подтвердили полученные ранее теоретические результаты и показали, что предложенная модификация многосегочного метода со сглаживателями ТКМ, ТКМ1, ТКМ2 эффективна для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

Таблица 5. Количество итераций и время счета МвМ со сглаживателем ТКМ1 на сетках разной размерности

Пекле 32x32 64x64 128x128 256 х 256 512x512

V , = 1, У2 = -1

1000 9 0:0:170 8 0:0650 12 0:4:907 26 0:48:229 56 7:13:463

10000 58 0:1:81 34 0:2:674 21 0:8:983 25 0:46:516 36 4:54:19

100000 557 0:10:966 298 0:24:586 154 1:3:732 120 3:44:52 110 14:32:655

V, = (1-2*,), Г2 = (2*2-1)

1000 12 ! 24 0:0:231 | 0:1:963 49 0:21:120 105 3:18:385 251 33:19:645

Пекле 32x32 64x64 128 х128 256x256 512x512

10000 51 0:0:932 31 0:2:544 44 0:18:547 82 2:34:643 149 19:48:108

100000 522 0:9:633 386 0:27:361 140 0:58:995 105 3:16:833 89 12:03:302

V, = (*, + *г), = (*, - х2)

1000 12 0:0:270 12 0:0:951 20 0:9:373 45 1:24:582 98 12:58:219

10000 55 0:1:132 40 0:3:144 31 0:13:219 40 1:15:439 72 9:30:511

100000 440 0:8:302 250 0:19:748 151 1:4:52 140 4:22:758 86 11:21:850

V, = вт (2хх, ), уг = - 21гх2 со я (2 жх^ )

1000 22 0:0:480 22 0:1:903 40 0:16:985 76 2:28:624 158 21:29:24

10000 159 0:3:365 91 0:7:731 55 0:23:53 88 2:49:984 157 21:18:379

100000 1100 1:31:81 415 2:57:656 306 9:51:20 96 12:41:495

Количество итераций многосеточного метода со сглаживателем ТКМ на различных сетках для числа Ре*10000

—"»'•""Задача 1 ~"В—Задача 2 —•—Задача з И Задача 4

Количества итераций многосеточного метода со сглаживателем ТКМ1 для числа Ре=10000

■ ■ Задача 1 •"®""3адача 2 —1»—Задача 3 |

■ И " Задача ц |

Количество итераций миогосеточиого метода со сглаживателем ТКМ2 для числа Ре=10000

Сетки

Рис, 4.Зависимость сходимости МСМ от размерности сетки

Проведенные исследования показывают, что существует некоторое оптимальное количество сглаживающих итераций для базового итерационного метода, превышение которого снижает эффективность многосеточного метода, так как ведет к увеличению времени счета.

Наибольшее влияние на скорость сходимости треугольного кососиммет-ричного и многосеточного методов оказывает коэффициент кососимметрни к-Ре* И/2.

В случае усиления преобладания процесса конвекции (увеличения числа Ре) требуется большее количество сглаживающих итераций базового метода в многосеточном методе.

Далее, в третьей и четвертой главах диссертации приведены основные теоретические и численные результаты по построению и исследованию разностных схем для динамических задач конвекции-диффузии с учетом соотноше-

ния между процессами конвекции и диффузии, методам решения получаемых СЛАУ и использованию предложенных алгоритмов при реализации математических моделей температурного распределения Азовского моря и распространения радионуклидов в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС.

Третья глава содержит результаты моделирования температурного распределения в Азовском море.

Первый раздел главы посвящен описанию программного комплекса для реализации гидрофизических моделей процессов переноса в водной и воздушной среде. В рамках диссертационной работы был разработан ряд модулей программного комплекса, реализующих предложенные подходы для математического моделирования экологических задач, основой которых являются процессы конвективно-диффузионного переноса в водной и воздушной среде. Разрабатываемый в Южно-Российском региональном центре информатизации Ростовского госуниверситета программный продукт предназначен для решения задач экологии водной и воздушной сред и состоит, как и любой стандартный пакет прикладных программ, из функциональной и сервисной частей. В содержательном плане программный комплекс ориентирован на расчет движения среды (гидро-, газодинамика) и решение задач конвекции-диффузии, что реализуется с помощью функциональных модулей. Сервисная часть включает модули генератора карт местности, БД с системой управления, модуль визуализации результатов расчета, генератор отчетов. В рамках диссертационного исследования созданы расчетные модули, реализующие многосеточный метод и треугольные кососимметричные схемы для решения стационарной и нестационарной задач конвекции - диффузии.

Второй раздел главы посвящен моделированию температурного распределения в водоеме. В качестве природного объекта исследования рассматривается Азовское море, которое имеет важное хозяйственное значение для южных регионов России. Вследствие непродуманных действий по эксплуатации ресурсов Азовского моря за последние десятилетия, в настоящее время экосистема Азовского моря выведена из состояния равновесия. Поэтому особую актуальность приобретает работа по созданию инструмента исследования и прогнозирования состояния акватории моря. Важная гидрофизическая характеристика водоема - температурное распределение, которое является одной из компонент в задачах теории климата, прогноза погоды и расчета энергообмена.

В работе представлена математическая модель температурного режима Азовского моря:

(12)

(14)

(15)

(16)

где Т - температура воды в водоеме, (u, v, w) - вектор скорости течения, А -

коэффициент температуропроводности, А = —, Я - коэффициент теплопро-

ср

водности, с - удельная теплоемкость, р - плотность, Кт - коэффициент турбулентной теплопроводности, Qm - теплообмен, обусловленный теплотой фазового перехода, Р0 - контактный теплообмен, включающий конвекцию, молекулярную и турбулентную теплопроводность, S^ - эффективное излучение, Лл, и - коэффициент теплопроводности воды и грунта, соответственно, а -коэффициент теплообмена, Тс и Tg - температура суши и грунта, соответственно, функция G(x, у, z, I) задает краевое условие на участке втекания рек.

Г=Г, uf, иГ, и г,: г, - граница с атмосферой, гг - с дном водоема; Г} - с сушей, Г, - участки втекания рек.

Особое внимание уделено определению функции притоков - оттоков те-nnaF(x,y,z,t). Проведен анализ компонентов теплового баланса, определены его составляющие, оказывающие наиболее существенно влияние на температурный режим водоема в рассматриваемый неледоставный период (апрель -октябрь). Для рассматриваемого периода функция F(x,y,z,t) определялась в следующем виде:

F(*,>\z,f)= — le'"

ср

где р - коэффициент ослабления солнечной энергии, 1 - прямая коротковолновая радиация.

При численной реализации предложенной модели использовалась про-тивопотоковая разностная схема, поскольку для данной задачи, в которой процесс конвекции не является преобладающим, это схема более эффективна. Задача решалась на высокопроизводительных вычислительных системах с использованием пакета распараллеленных итерационных методов Aztec.

При проведении численных расчетов использовались данные замеров в течение периода 12-ти суток октября 2001 г. Рассматривалась функция прито-

дТ J дТ

(Л„+срКг)— + а[Т-Тс^ = А,-£

T(x,y,zJ)\Vi=G{x,y,z,t) T(x,y,z,0) = T\x,y,z)

Рис. 5.

Рис. 6 9 ч. утра

Рис. 7 15 ч.

ков-оттоков тепла F(л,_y,z), учитывающая основные компоненты теплового баланса, характерного для данного периода времени. На Рисунках 5-9 представлены результаты численного расчета температурного распределения на поверхности моря через каждые 3 часа . Используемая градация цветов меняется от 14°Сдо21,1°С (рис.5).

кяшашаншапк^

Рис. 8 21 ч. Рис. 9 3 ч. ночи

Численные эксперименты подтверждают результаты натурных наблюдений. По мере восхода солнца общий фон температуры повышается, Зто связано с существенной ролью суммарной солнечной радиации, оказывающей влияние на тепловые процессы е водоеме. К вечеру (Рис.9) наблюдается постепенное понижение фона температуры. Видно, что за вечер и ночь (Рис.6, 9) поверхность моря успевает значительно остыть, в этот период времени значительна роль длинноволнового эффективного излучения.

Проведен ряд вычислительных экспериментов, в которых исследовались зависимости функции Р(х,у,г,1) притоков-оттоков тепла от пространственных координат и от времени, влияние способа задания начального распределения температуры воды, поля скоростей течений моря на характер температурного распределения. Результаты численных экспериментов сравнивались с натурными наблюдениями, погрешность составила 5%-15% для разных вычислительных экспериментов. На Рисунках 10-11 приведены графики изменения температуры для районов различных метеостанций.

В районе Бердянска

Расчетные данные

Натурные данные

Рис. 10. Изменение температуры для района Бердянска

В районе Мысового

Рис. 11 Изменение температуры для района Мысового

На основе анализа результатов проведенных вычислительных экспериментов и сравнения их с натурными данными были сделаны выводы, которые можно использовать в качестве рекомендаций для практического использования созданной модели температурного распределения Азовского моря:

1. Способ задания начального распределения температуры воды не оказывает существенного влияния на расчет динамики температурного распределения в водоеме.

2. Суммарная солнечная радиация оказывает наиболее существенное влияние на процесс распределения температуры в водоеме в рассматриваемый неледоставный период времени (апрель — октябрь) по сравнению с другими компонентами теплового баланса.

3. Характерные ветровые ситуации оказывают определенное, но не столь значительное как суммарная солнечная радиация, влияние на температурное распределение в Азовском море.

Четвертая глава содержит результаты моделирования распространения радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЗС.

В первом разделе рассмотрена актуальность моделирования процессов распространения загрязняющих радиоактивных веществ в воздушной среде в

районе Волгодонской АЭС. Радиационная безопасность вокруг АЭС и в прилегающей к АЭС зоне является жизненно важной задачей. Данная проблема стала еще более востребованной после принятия решения о продолжении строительства второго энергоблока АЭС в июне 2006 г.

Во втором разделе представлена модель распространения радионуклидов в районе Волгодонской АЭС.

Модель радионуклидного переноса в атмосфере основывается на трехмерном уравнении турбулентной диффузии в декартовых координатах. Принимая во внимание, что плотность воздуха незначительно изменяется внутри

слоя расчета, можно считать среду несжимаемой (сйуК = 0). Рассмотрим в области £>, =йх[0,Т], И ={х = (х,у,г)е[0,Х]х[0,Г]х[0,г]} уравнение, описывающее перенос, диффузию (дисперсию), эмиссию, влажное осаждение и радиоактивный распад загрязняющего вещества в атмосфере:

дер _ \( дд> 5(у,р) „ Ъ(р Э(у#) д<р , ,

-= —— V,--1---г-У,--1---(-у,--1--И-

81 ' дх дх 2 ду ду 3 Зг & )

Здесь <р - активность примеси (мг/м3);

у„у2,у3 - компоненты вектора скорости; К = К(у„у2,у3);

Кх,Ку,Кг-коэффициенты диффузии;

Е (х, у, г, 0 — источник выброса; А - скорость влажного осаждения; кг - коэффициент радиоактивного распада; у,, - скорость сухого осаждения; р,у - параметры (с-1)-Начальные условия имеют вид: /р{х,у,г,0)-<ро(х,у^).

Общий вид записи для граничных условий на боковой границе области:

(17)

+ Е(х,у, г, {)-- Лр - к/р,

. п дф

ш

где аю, рн> и Гт - некоторые коэффициенты, которые, вообще говоря, могут иметь различные значения в разных точках границы, а также в разные моменты времени, п - нормаль к боковой границе трехмерной области О, дО - граница области В. Граничные условия на верхней границе области предполагают

беспрепятственное проникновение загрязнителей через нее = 0, а на

нижнеи границе - их полное отражение от границы — = 0, причем под иижнеи

а?

границей области Б в данном случае понимается земная поверхность.

Для численной реализации построенной модели использованы специально разработанные треугольные кососимметричные разностные схемы, для которых можно задавать шаги по времени, необходимые в реальных ситуациях, оставаясь в классе устойчивых схем.

Третий раздел посвящен исследованию предложенных треугольных разностных схем для решения нестационарного уравнения конвекции - диффузии. Вначале представлен обзор существующих разностных схем для нестационарных задач конвекции - диффузии. Приведены некоторые результаты по теории устойчивости разностных схем и операторных неравенств. Представлено несколько типов разностных схем.

В диссертационной работе предложен новый класс треугольных косо-симметричных разностных схем (ТКС). Представленные треугольные косо-симметричные разностные схемы относятся к классу экономичных (в смысле вычислительных затрат) схем решения задачи конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией, т.к. треугольный оператор верхнего слоя легко обратим и не требует для обращения большого числа арифметических действий, а сами схемы, в зависимости от некоторых соотношений, условно, либо безусловно устойчивы.

В качестве объекта исследования данного раздела рассмотрена модельная динамическая задача конвективно-диффузионного переноса вещества (17)

в несжимаемой среде (Л\>Г~- 0), записанная в симметричной форме для двухмерного случая:

1 ь Л ^ {<™\Ч> ^ . дф ^-¡У „

Я Ре 2{ ¿¡с, ' дхг 2 дхг)

\<Р\,^ = <РЛх\,Х1), (18)

<Р\ю=<Р* Р>

Р = 10,1] х [ОД]

где V = (у, , х} \ у,(х,, х2» - вектор скорости движения среды, Ре - число Пекле, <р - концентрация вещества.

После аппроксимации пространственных производных уравнения (18) на стандартном пятиточечном шаблоне, где конвективная часть аппроксимируется центральными разностями, получаем двухслойную операторно-разностную схему, представленную в канонической форме:

и"+1 - V*

Ву у + Ау" = /' , п = 0,1,..., (19)

/ =«„ (20)

Здесь А, В - линейные операторы (матрицы) в Н, Н - вещественное конечномерное гильбертово пространство, /", у" еН, у0 - начальное условие, у" -решение задачи (19) на и -ом шаге по времени, г - шаг по времени.

Как и для стационарного случая, представим матрицу А в виде суммы симметричной и кососимметричной части (5)

Следуя основной идее определить оператор В с легко обратимой, например, треугольной матрицей, положим:

В = В3 + хК, В5 =В'3 , (21)

где В5=Е+0(т) - оператор с диагональной матрицей, К= К„ или К~- Кц из разложения (5).

Перепишем оператор В в следующем виде:

В = В$ +0.5г (Я+ Д), Я =/ (Кь-Ки) у =-1, 1, (22)

где симметричная В0 и кососимметричная В, части матрицы В определяются следующим образом:

В0 =В3 +0.5 гД, В1 = 0.5т А,. (23)

В работе доказаны две теоремы и следствия, определяющие достаточные условия устойчивости приведенных треугольных кососимметричных разностных схем.

Теорема 2. Пусть оператор А диссипативен, оператор Я представим в виде

(21). Если для г> Овыполнено операторное неравенство

0<0.5%4о < В0, (24)

то схема (18)-(19) устойчива в нь, 1=50-0.5в40.

Теорема 3. Пусть оператор А диссипативен, оператор В представим в виде

(22). Если

В3 ~0.5тМ >0, М = 4, -у (К, -Ки), 7= —1, 1, (25)

то схема (19)-(20) устойчива в Нь, Ь= В8 —0.5г М. Следствие 1. Пусть оператор А диссипативен, оператор В представим в виде (22), причем

В, =Е. (26)

Тогда разностная схема (19)-(20) устойчива по начальным данным в энергетическом пространстве Ни .'£=£-0.5гА/, м = А,-К, + Ки. при выполнении условия >.;. >1

Г <-, (27)

Г

где у - спектральный радиус матрицы М.

Следствие 2. Если оператор А диссипативен, оператор в представим в виде (22), причем

Вз=Е+ 0.5гЛ, (28)

где Л - некоторый оператор. Тогда, если \>М, М=А0 - у(л:;; -К, \ у =-1, 1 схема (18)-( 19) устойчива в £=Е+0.5т(Л-М).

Были проведены вычислительные эксперименты, в которых решалась задача (18) схемой (19)-(20) с оператором В вида:

1. В =Е - явная схема;

2. В=Е+тК1 - ТКС1 (условно устойчивая схема);

3. В =Е+2тК1 - ТКС2 (условно устойчивая схема);

4. В=£+0.5тЛ, +тКс - ТКСЗ (абсолютно устойчивая схема);

5. л =£+ 0.5гЛ2 - ТКС4 (абсолютно устойчивая схема),

где оператор д определен следующим образом:

Л, = {4% = {|Н'' = У\ М=А0 +К,~К1, ;

к

Л2 = Л£, Я = |Д/)|.

Выбранные схемы были протестированы на четырех модельных задачах конвекции - диффузии, с различными векторами скорости движения среды -постоянными, с разделяющимися переменными, линейными и быстроменяющимися коэффициентами (таблица 3).

Начальные и краевые условия, а также вектор /(ху,хг,() выбирались так, чтобы точным решением задачи (18) была функция р{х1,хг,1)=е'"'": 5т(да,)5ш(ж2). Задачи решались на единичном квадрате с равномерной сеткой 64x64 и временном отрезке /е[0,1] с постоянным шагом по времени с однородными краевыми условиями 1-го рода.

Проведенные исследования показали, что полученные теоретические результаты полностью подтверждаются расчетами: при доминирующей конвекции явная схема, а также схемы ТКС1 и ТКС2 устойчивы для всех четырех рассмотренных задач, отличающихся заданными коэффициентами векторов скорости, при ограничениях на шаг по времени. Причем, интервал устойчиво-

сти явной схемы значительно меньше интервалов устойчивости схем ТКС1 и ТКС2. Схемы ТКСЗ, ТКС4 абсолютно устойчивы при любых шагах по времени. Вместе с тем, погрешность вычислений для схем ТКСЗ - ТКС4 при больших шагах по времени очень значительна, что не позволяет рекомендовать их к использованию в этих случаях. Сравнение погрешности вычислений для доминирующей конвекции схем ТКС1-ТКС4 показывает, что при ограничениях на шаг, при которых погрешность не превышает нескольких процентов, лучше использовать условно устойчивую схему ТКС1 и в отдельных случамх можно использовать схему ТКСЗ, т.к. относительная погрешность вычислений схемами ТКС1 и ТКСЗ меньше, чем ТКС2 и ТКС4.

В таблице 6 представлены результаты численных экспериментов решения задачи (18) - зависимость относительной погрешности решения от шага по времени при различных Ре для наиболее трудной при расчетах модельной задачи 4, где поле скоростей быстро меняется в области расчета.

Таблица 6. Зависимость относительной погрешности решения от шага по времени для модельной задачи 4

Шаг по Погрешность применения схем (%)

времени г Явная ТКС-1 ТКС-2 ТКС-3 ТКС-4

Ре =102

0,1 >100 >100 >100 55,374 61,437

0,01 >100 >100 >100 25,595 38,478

0,0031 >100 >100 >100 10,438 17,896

0,0029 >100 2,6599 >100 9,7717 16,851

0,0022 >100 2,041 >100 7,6939 13,509

0,0021 >100 1,9134 3,8209 7,2504 12,78

0,0017 >100 1,5963 3,1954 6,1262 10,905

0,0016 27,513 1,5042 3,0133 5,7936 10,343

0,0015 0,29043 1,4221 2,8507 5,4944 9,8351

0,001 0,22131 0,92241 1,857 3,6251 6,6076

Ре =103

0,1 >100 >100 >100 43,311 59,883

0,01 >100 >100 >100 16,054 29,841

0,0087 >100 >100 >100 14,393 27,374

0,0053 >100 >100 >100 9,3844 19,163

0,0049 >100 5,3692 >100 8,7633 18,053

0,0031 >100 3,3762 >100 5,7012 12,264

0,0029 >100 3,1327 6,2593 5,3099 11,486

0,0019 >100 2,1189 4,2566 3,6385 8,0725

0,001 >100 1,0839 2,1938 1,8587 4,2818

Ре =10"

од >100 >100 >100 42,077 59,44

0,01 >100 >100 >100 . 15,922 30,367

0,0057 >100 >100 >100 10,35 21,509

0,0053 >100 8,0228 >100 9,6684 20,312

0,0033 >100 5,0001 >100 6,401 14,195

0,0031 >100 4,693 9,3554 6,0417 13,483

0,0021 >100 3,1465 6,2931 4,1508 9,5969

0,001 >100 1,5359 3,0794 2,0285 4,9441

/><?=! О5

ОД >100 >100 >100 41,952 59,388

0,0057 >100 >100 >100 10,748 22,156

0,0053 >100 9,999 >100 10,091 21,002

0,0033 >100 6,3014 >100 6,8807 15,056

0,0031 >100 5,9216 11,604 6,5187 14,354

0,0019 >100 3,7711 7,4412 4,3278 9,9528

0,001 >100 1,9797 3,9132 2,2946 5,5859

Треугольная кососимметричная схема ТКС1 была использована при реализации математической модели радионуклидного загрязнения воздушной среды в районе Волгодонской АЭС.

Четвертый раздел главы посвящен результатам численных эксперимеН' тов на основе созданной математической модели загрязнения воздушной среды в районе Волгодонской АЭС. В ходе проведения численных экспериментов изучены состояние радиационного фона в штатном режиме АЭС и временная динамика аварийного выброса при запроектных авариях четырех типов. Для построенной модели компоненты вектора скорости среды вычисляются в отдельном блоке общего программного комплекса и являются входными данными для блока расчета радионуклидного загрязнения.

В первом эксперименте в качестве точечного источника активности радиоактивного вещества Кг-85 выступает труба первого энергоблока АЭС, высота которой принята равной 120м. Величина источника задается таким образом, что суточная активность радиоактивного вещества Кг-85 составляет 1.8 10ю Бк. Распределение активности вещества Кг-85 в рассматриваемой области, полученное в результате расчетов, с помощью аналитической формулы пересчитывал ось в значения радиационного фона, для которого проводятся измерения. Сравнение результатов вычислительного эксперимента с натурными данными показало их качественное совпадение

Во втором эксперименте рассматривалась проектная ситуация, предполагающая непрерывный выброс радиоактивной струи Кг-85 высотой 100м, равномерный по всей высоте струи суммарной активностью 10|5Бк. Результаты расчетов для второго эксперимента представлены на Рис. 13 -16.

Т1гпв- 1200<»(мок, 04с1:2в0к50к*0, НиИ 005+20«*СЮ я ,„»

Рис 13. Распределение активности вещества Кг-85 по рассматриваемой области в момент времени /=1200с.

Рис 14. Распределение активности вещества Кг-85 по рассматриваемой области в момент времени ?=1260с.

Рис 15, Распределение активности вещества Кг-85 по рассматриваемой области в момент времени

и^-иси«), : ылаяв

Рис 16. Распределение активности веществ;) Кг-85 по рассматриваемой облает в момент времени ?=3600с.

Полученные в результате моделирования и вычислительных экспериментов данные позволяют с их помощью анализировать экологическую безопасности штатного и нештатного режимов работы Волгодонской АЭС- Результаты численных экспериментов для математической модели распространения радионуклидного загрязнения в атмосфере могут быть применены при разработке мер по предохранению окружающей среды от воздействия радиоактивных веществ и при создании плана действий в случае возникновения аварийной ситуации на Волгодонской АЭС.

В выводах отражены результаты численных экспериментов для исследуемых моделей.

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

К ЗАЩИТЕ ПРЕДСТАВЛЕНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Разработана математическая модель динамики температурного распределения в Азовском море. Определены вычислительные алгоритмы реализации модели на высокопроизводительных вычислительных системах. Создан программный комплекс, проведены численные эксперименты температурного распределения в Азовском море.

2. Предложен и исследован новый класс условно устойчивых и абсолютно устойчивых треугольных разностных схем решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

3. Предложена, теоретически и численно исследована модификаций многосеточного метода решения сильно несимметричных СЛАУ, полученных после разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией. Доказаны теоремы сходимости предложенной модификации многосеточного метода. На основе Фурье-анализа рассмотренных модификаций многосеточного метода исследованы способы выбора различных сглаживателей из класса треугольных кососиммет-ричных итерационных методов. Показана зависимость скорости сходимости многосеточного метода от количества сглаживающих итераций.

4. Разработана математическая модель переноса радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС. Создан программный комплекс, реализующий предложенные алгоритмы. Проведены вычислительные эксперименты на основе реализованных математических моделей переноса радионуклидов в районе Волгодонской АЭС.

Основные результаты исследования опубликованы в следующих работах:

1. Муратова Г.В. Крукиер Л.А. Сурков Ф.А. Численное моделирование динамики Азовского моря при сужении гирла Таганрогского залива. Морской гидрофизический журнал №6, XI-XII, 1989, С.55-62

2. Муратова Г.В., Николаев И.А. Проект ППП РАСЕРАСК Труды I Всесо-юз. конф. "Однород. вычисл. среды и сист. структуры", т.З, С.158-163, Львов, 1990г.

3. Муратова Г.В Исследование возможности использования многосеточного метода в качестве стандартного математического обеспечения ЭВМ с параллельной архитектурой. Труды I Всесоюзной конференции «Однородные вычислительные среды и систолические структуры», Львов 1990 г., С. 98-105

4. Муратова Г.В. Крукиер Л.А. Решение систем линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей многосеточным методом. Вычислительные технологии т.2 №2, ч.2, Новосибирск 1992,, Ин-т вычисл. технологий. СО РАН С.180-189

5. Муратова Г.В. Крукиер Л.А., Николаев И.А., Тихонов А.Н. ППП "РА-СЕР АСК" для решения эллиптических краевых задач на современных ЭВМ. Вычислительные технологии, т.2 №6,, Новосибирск, 1993, Ин-т выч.техн. СО РАН С.220-231

6. Муратова Г.В. Крукиер Л.А., Чикин А.Л. ППП «Pollution» для расчета распространения загрязнения в мелких водоемах Вычислительные технологии, т.2 №6, с.220-231, Новосибирск, 1993, Ин-т выч. техн. СО РАН С.133-146.

7. Муратова Г.В. Крукиер Л.А. Николаев И.А. Использование многосеточного метода в качестве ускоряющей процедуры при решении СЛАУ с диссипатизными матрицами Мат. модел. (под ред. А.И.Тихонова, В.А.Садовничего и др. -М.: изд-во МГУ, 1993 г.-332с (Программа «Университеты России») С. 45-52

8. Muratova G.V., Krukier L.A. Numerical investigation of contaminants transport in shallow water bodies Hydrological, chemical and Biological Processes of transformation and transport of contaminants in. Aquatics Environments (Proceeding of the Rostov Don Symposium, May 1993) AHS publ., №219,1994, P.223-230

9. Муратова Г.В. Крукиер Л.А., Никитенко О.Б. Постановка задачи о моделировании температурного режима в мелких водоемах. Вычислительные технологии, т.4, №11, Новосибирск, 1995 г С. 184-190

10.Muratova G.V., Krukier L.A. Multigrid Method as an accelerating procedure for solving systems of Linear algebraic equations with a dissipative matrix, Сотр. J Math. Modeling, v.6 №4,1995 P.225-230

11.Muratova G.V., Krukier L.A. Multigrid method for the iterative solution of strongly nonselfadjoint problems with dissipative matrix Proceeding of the AMLI96, Nijmegen, June, 13-15, 1996, v.2, P. 169-178

12.Muratova G.V., Ivanenko S.A. Adaptive grid shallow water modeling, Applied Numerical mathematics 32 (2000) P. 447-482

13.Muratova G.V Multigrid method for convection-diffusion problems with a small parameter. Math. Modeling, 2001, V.13, N3, P. 69-76

14.Muratova G.V..Krukier L.A. The use of FDM for the solution of the shallow-water equations // Math. Modeling, 2001, V.13, N3, P. 57-60

15.Муратова Г.В. Крукиер Л.А. Решение стационарной задачи конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной многосеточным методом Изв. ВУЗов, Северо-Кавказский регион, Естеств. науки, 2001, Спецвыпуск "Математическое моделирование", С.105-109

16. Муратова Г.В., Андреева Е.М. Метод индикатора погрешности при построении адаптивных сеток для сингулярно возмущенных задач конвекции - диффузии' Сборник трудов IX Всероссийской школы - семинара «Современные проблемы математического моделирования », изд-во РГУ, 2001 г, С. 244-250

17.Muratova G.V. Andreeva Е. М. Solution of convection-diffusion problem by multigrid method with different smoothers // Proceedings of International Conference < on Computational Mathematics, IMC&MG publisher, Novosibirsk,, v.2, 2002, P. 649-654.

lS.Muratova G.V., Andreeva E.M. Multigrid solver with different smoothers for convection-diffusion problem Proceedings of International Summer School

"Iterative Methods and Matrix Computations", RSU publisher, Rostov on Don, 2002 P. 437-443

19. Муратова Г.В. Крукиер JI.А., Никитенко О.Б., Чикин А.Л. Модель термического режима водоема В книге "Исследование экосистемы Азовского моря и прибрежных зон" Апатиты, 2002, Карельский научный центр РАН, С.139-150

20.Муратова Г.В., Андреева Е.М. В чем секрет многосеточного метода II Сборник трудов X Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования» П Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 2003, С.173-177

21.Муратова Г.А., Крукиер Л.А., Никитенко О.Б., Чикин А.Л., Шабас И.Н. Моделирование гидрофизических процессов в водоеме. В книге «Комплексный мониторинг среды и биоты Азовского бассейна», 2004 г. Апатиты, том VI, С.279-198

22.Муратова Г.В. Использование треугольных кососимметричных методов в качестве сглаживающей процедуры в MGM. Материалы 5-го Всероссийского семинара, посвященного 200-летию Казанского ун-та. "Сеточные методы для краевых задач и приложения" - Казань: Казанский гос. ун-т.-2004 С. 183-188

23.Муратова Г.В. Выбор сглаживателя многосеточного метода для задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией «Математическое моделирование», 2005 г., т. 17, №1. С. 109 -113

24.Л.А.Крукиер, Г.В.Муратова, Т.Н.Субботина Эффективные разностные схемы решения нестационарного уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией. Мат. Модел., 2005 г., т. 17, №12, С.80-86

25.Л.А.Крукиер, Г.В.Муратова, Решение стационарной задачи конвекции -диффузии с преобладающей конвекцией многосеточным методом со специальными сглаживателями. Мат. Модел., 2006, том 18, №5, С.63-72

26.Муратова Г.В., Глушанин М.В., Соловьев A.C. Численная реализация модели распространения радиоактивных веществ в атмосфере в районе РоАЭС. Тезисы докладов III Всероссийской конференции, посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова, Екатеринбург: Уро РАН, 2006 г. С.32-33

27.Муратова Г.В., Никитенко О.Б. Использование высокопроизводительных вычислительных систем для решения задач водной экологии. Труды Всероссийской научной конференции: «Научный сервис в сети Интернет: технология параллельного программирования», г. Новороссийск, 18-23 сентября 2006 г., изд-во Московского государственного университета, С.157-160.

Издательство ООО «ЦВВР». Лицензия ЛР № 65-36 от 05.08.99 г. Сдано в набор 17.01.07 г. Подписано в печать 17.01.07 г. Формат 60*84 1/16 Заказ № 805. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Оперативная печать. Тираж 100 экз. Печ. Лист 2,19. Усл.печ.л. 2,03. Типография: Издательско-полиграфический комплекс « Биос» РГУ 344091, г. Росгов-на-Дону, ул. Зорге, 28/2, корп. 5 «В», тел (863) 247-80-51. Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09.02.98 г.

Введение.

Глава 1. Конвективно-диффузионный перенос в задачах экологии для водной и воздушной среды.

1.1 Математические модели конвективно-диффузионного переноса в водных и воздушных средах.

1.1 1.Физическое описание процессов конвекции и диффузии.

1.1.2 Математическая модель температурного режима в водоемах

1.1.3 Модели распространения загрязнения в атмосфере.

1.1.4 Формы записи операторов диффузионного и конвективного переноса.

1.2 Разностная аппроксимация дифференциальной задачи конвекции -диффузии.

1.2.1 Разностные схемы для стационарной задачи конвекции-диффузии.

1.2.2 Эффективные способы аппроксимации нестационарного уравнения конвекции-диффузии.

1.3 Выбор методов решения систем линейных алгебраических уравнений со специальными свойствами.

1.3.1. Общая теория итерационных методов.

1.3.2. Классические итерационные методы.

1.3.3. Вариационные итерационные методы.

1.3.4. Треугольные кососимметричные методы.

Глава 2 Многосеточный метод для задач конвекции - диффузии.

2.1. Этапы развития многосеточного метода.

2.2. Описание многосеточного метода.

2.2.1. Сглаживающая процедура.

2.2.2. Грубо-сеточная коррекция.

2.2.3. Функция интерполяции.

2.2.4. Функция ограничения.

2.2.5. Многосеточный алгоритм.

2.3 Фурье-анализ многосеточного метода.

2.3.1 Фурье-анализ для сеточных функций и операторов.

2.3.2 Анализ на конечной области или анализ модельной задачи (МРА).

2.3.3 Локальный односеточный Фурье-анализ или анализ сглаживания.

2.3.4 Двухсеточный локальный Фурье-анализ.

2.3.5 Обобщенный анализ сглаживания.

2.3.6 Упрощенный двухсеточный анализ.

2.4. Сходимость модификаций многосеточного метода для задач конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией.

2.5 Численные исследования модификаций многосеточного метода для задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

Глава 3 Математическая модель температурного распределения в Азовском море.

3.1 Пакет прикладных программ.

3.2 Реализация математической модели температурного распределения Азовского моря.

3.2.1. Гидрофизические характеристики Азовского моря.

3.2.2 Описание модели температурного распределения Азовского моря.

3.2.3 Численные эксперименты расчета температурного распределения в Азовском море.

Глава 4 Математическая модель распространения радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС.

4.1 Актуальность моделирования процессов распространения загрязняющих радиоактивных веществ в воздушной среде.

4.2 Математическая постановка задачи.

4.2.1 Обзор существующих математических моделей.

4.2.2 Анализ входных метеорологических данных.

4.2.3 Модель переноса радионуклидов в воздушной среде.

4.3. .Использование экономичных разностных схем с треугольным оператором для решения задачи.

4.3.1 Исследование устойчивости треугольных кососимметричных схем.

4.3.2 Численные эксперименты исследования свойств треугольных разностных схем.

4.4 Численные эксперименты расчета распространения радионуклидов в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС.

На современном этапе развития информационных технологий, включающего значительный прогресс средств переработки, передачи и хранения информации, проникновения их во все сферы жизни, математическое моделирование переживает очередную ступень своего формирования, «встраиваясь » в структуру информационного общества. Наличия информации, как таковой, зачастую недостаточно для анализа ситуации, принятия управленческих решений и контроля их исполнения. Необходимы адекватные и надежные способы обработки информации. История развития методологии математического моделирования показывает - именно она предоставляет такие способы, становясь, тем самым, ядром информационных технологий, процесса информатизации общества.

В общем перечне актуальных задач, решаемых с помощью математического моделирования, экологические проблемы занимают особое место. Увеличение антропогенного воздействия на окружающую среду, вызванное интенсивным использованием природных богатств, развитием материального производства, приводит к нарушению экологического равновесия как локально - в отдельных районах земного шара, так и глобально - в масштабах планеты в целом.

Естественным средством объективного анализа возникающих проблем являются методы, основанные на построении и совместном изучении математических моделей природных систем. Использование математического моделирования и проведение вычислительного эксперимента позволяют оценить все аспекты и последствия реализации любых проектов, связанных с воздействием на природную среду, как в перспективе, так и при возникновении всевозможных кризисных и экстремальных ситуаций. Важность и актуальность этого направления исследований усиливается тем обстоятельством, что его результаты имеют непосредственный практический выход в сферу социальных и экономических отношений современного общества.

Сущность методологии математического моделирования, предложенной в работе А.А.Самарского [92], состоит в замене исходного объекта его «образом» - математической моделью - и в дальнейшем изучении модели с помощью вычислительно-логических алгоритмов, реализуемых на современной компьютерной технике. Процесс математического моделирования можно условно разбить на три этапа «модель - алгоритм- программа». При этом следует уделять внимание всем трем составляющим триады. Необходимо отметить, что нынешнее состояние вычислительной техники, современных численных методов позволяют осуществлять моделирование объектов, поведение которых описывается весьма сложными математическими зависимостями, например, нелинейными системами дифференциальных или интегральных уравнений. Но сложные вычислительные алгоритмы обладают своими внутренними свойствами, которые далеко не всегда аналогичны, даже с точностью до ошибок аппроксимации, свойствам исходной математической модели. Это может приводить к появлению эффектов, имеющих чисто вычислительную природу. Поэтому важной задачей теории численных методов является разработка вычислительных алгоритмов, исключающих или сводящих к минимуму появление подобных ситуаций. Но пока такая теория отсутствует, большое значение имеет качественное исследование модели и ее возможного поведения, возможность найти ответы на три вопроса: что в данной модели может быть, что будет обязательно и чего не будет никогда [36]. Таким образом, проблема разработки адекватных моделей, особенно для описания процессов окружающей среды, и методов, их реализующих, остается весьма актуальной.

При решении многих экологических проблем необходимо исследовать процессы в движущихся средах, основными компонентами которых являются диффузионный перенос той или иной субстанции и конвективный перенос, обусловленный движением самой среды. При моделировании процессов полагают рассматриваемую среду сплошной, т.е. представляющую собой непрерывное распределение вещества и физических характеристик его состояния. Во многих случаях можно не оговаривать, о какой именно среде идет речь, поскольку и жидкость, и газ обладают схожими свойствами -сплошностью и текучестью. Сплошность - непрерывность распределения массы и физико-механических характеристик среды - является одним из основных свойств принятой модели жидкости или газа. Второе основное свойство - легкая подвижность или текучесть среды.

Обладая общими свойствами непрерывности и легкой подвижности, жидкости и газы отличаются друг от друга по физическим свойствам, связанным с различием их внутренней молекулярной структуры. Жидкости, в отличие от газов, можно считать малосжимаемыми, а иногда, в простейшей, достаточной для описания многих гидродинамических явлений схеме - просто несжимаемыми. В противоположность жидкостям, в газах межмолекулярные расстояния велики, а силы взаимодействия между молекулами сравнительно малы. В связи с этим, газы обладают свойством значительной по сравнению с жидкостями сжимаемостью. Однако, в случае слабых перепадов давлений, малых скоростей движения и отсутствия сколько-нибудь значительных нагревов и газ можно с достаточной степенью приближения рассматривать как несжимаемый.

В качестве базовых моделей многих процессов механики жидкости и газа выступают краевые задачи для стационарных и нестационарных уравнений конвекции - диффузии. К ним можно отнести задачи гидро- и газодинамики, распространение загрязнения и температурное распределение в водоемах и атмосфере, движение подземных вод, задачи магнитной гидродинамики и др. Среди экологических процессов, основой математических моделей которых является уравнение конвекции- диффузии, следует выделить распространение загрязняющих веществ в водной и воздушной средах, как особенно актуальные и востребованные задачи.

Несмотря на фактическую разницу в явлениях и описывающих их параметрах, коэффициентах уравнений, начальных и граничных условий каждая из указанных моделей имеет одинаковые члены, характеризующие два процесса - конвекцию (т.е. перенос субстанции за счет движения среды) и диффузию (т.е. вязкостные свойства среды). Изучая поведение уравнения конвекции-диффузии как модельной задачи, можно получить достаточно много информации о поведении решения конкретных практических задач.

При решении задач о переносе тепла с большими числами Пекле, о течениях жидкости, описываемых уравнениями Навье-Стокса с большими числами Рейнольдса или задач магнитной гидродинамики с большими числами Хартмана приходится часто сталкиваться с ситуацией, когда в уравнении конвекции - диффузии коэффициент при производной второго порядка мал по сравнению с коэффициентом при первой производной. Эти задачи ставятся на парабологиперболических или параболоэллиптических поверхностях и, таким образом, обнаруживают некоторые черты дифференциальных уравнений различных типов.

Известно [30], что когда параметр при старшей производной стремится к нулю и краевые условия не согласованы с правой частью уравнения, решения таких задач характеризуются появлением пограничных слоев, т.е. резкими изменениями решения в очень малой области расчета. Причем типы этих пограничных слоев могут быть различны (внутренний, приграничный, от начальных данных и т.д.) и зависят они как от граничных условий, так и от поля скоростей (коэффициентов при первых производных).

Трудности численного решения таких задач обусловлены их двойственной природой. Когда коэффициент при старшей производной становится достаточно малым, начальная эллиптическая задача ведет себя по существу как гиперболическая вне приграничных областей, в то время как диффузионный эффект наблюдается только в слоях. Однако, при стандартной численной аппроксимации подход к решению эллиптических и гиперболических задач различается.

Если задачи конвекции-диффузии с пограничными или внутренними слоями аппроксимируются с помощью центрально-разностной схемы, численное решение может быть «зашумлено» осцилляциями, так как соответствующий разностный оператор не является монотонным. Альтернативой является аппроксимация первых производных разностями «против потока» [90]. Тогда разностный оператор получается монотонным, и численное решение свободно от осцилляций, но порядок аппроксимации более низкий 0(h) и происходит «размазывание» пограничных слоев. Схемы с искусственной диффузией (streamline upwind scheme) [199] имеют более высокий порядок аппроксимации и меньше размазывают пограничные слоя, но недостатком их является то, что они не обеспечивают хороших оценок сходимости во всей области, и погрешность решения сильно возрастает в пограничных слоях, если сетка к ним не адаптирована [155]. Для решения проблем такого типа существуют так называемые глобально равномерно сходящиеся численные методы, т.е. методы, которые сходятся равномерно по малому параметру во всей области расчета. К таким методам относятся методы экспоненциальной подгонки [30], локального сгущения сетки [112], [195] и др.

При различных методах разностной аппроксимации дифференциального уравнения конвекции - диффузии получаем системы линейных алгебраических уравнений различного типа. В случае преобладающей конвекции использование противопотоковых схем приводит к системе линейных алгебраических уравнений с монотонной М-матрицей и сильному сглаживанию решения за счет появления в разностных уравнениях искусственной вязкости.

При использовании центрально-разностной аппроксимации и при желании сохранить монотонность разностного оператора приходиться накладывать ограничение на шаг сетки. Когда коэффициенты при первых производных достаточно велики, это ограничение становится существенным. Если эти ограничения не выполнены, то матрица полученной системы линейных алгебраических уравнений не будет иметь диагонального преобладания, и использование для решения такой системы базовых итерационных методов [97] приведет к большим трудностям, т.к. условие диагонального преобладания в исходной матрице является для этих методов условием их эффективной сходимости.

Следует также учесть, что для задач конвекции - диффузии кроме метода разностной аппроксимации весьма важной является начальная форма записи уравнения [97]. Существуют три формы записи оператора конвективного переноса, которые эквиваленты для дифференциального уровня в несжимаемых средах, но после аппроксимации приводят к различным формам разностных уравнений, отличающихся по своим свойствам.

Таким образом, использование центрально-разностной аппроксимации при решении задач конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией сохраняет характер поведения решения, но в результате получается система линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, не имеющей диагонального преобладания. Для этого типа задач большинство классических методов либо вообще не работают, либо обладают очень медленной скоростью сходимости. Поэтому так актуальна проблема создания эффективных численных методов для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

В настоящее время для решения задач линейной алгебры существует множество различных численных методов, которые непрерывно усовершенствуются и модифицируются. Активно разрабатываются новые методы. В результате оказывается, что значительная часть созданных методов имеет право на существование, обладая своей областью применимости. При решении конкретной задачи важно выбрать наиболее подходящий для рассматриваемого класса задач метод из множества допустимых методов решения данной задачи. Этот метод, очевидно, должен обладать наилучшими характеристиками, такими как минимум времени решения задачи на компьютере (или минимум числа арифметических и логических операций при нахождении решения), вычислительной устойчивостью, т. е. устойчивостью по отношению к ошибкам округления и др. При выборе метода решения задач конвекции-диффузии необходимо учитывать перечисленные выше особенности рассматриваемого класса задач.

Одним из критериев выбора алгоритма, используемого при численном моделировании той или иной физической задачи, является объем вычислительной работы, необходимый для его реализации. Существует правило, что этот объем должен быть пропорционален реальным физическим изменениям, происходящим в моделируемой системе. Если алгоритм требует большого количества тяжелой вычислительной работы для расчета слабого эффекта или очень медленного физического процесса, то от такого «затратного» алгоритма следует, отказаться, выбрав более эффективный.

Примером «затратных» алгоритмов являются обычные итерационные методы для решения алгебраических уравнений, возникающих при численном решении уравнений в частных производных или интегро-дифференциальных уравнений. Так, практически единственным, но наиболее существенным недостатком методов Якоби и Гаусса-Зейделя, используемых для решения эллиптических задач методом сеток, является их низкая скорость сходимости. Другим примером могут служить решения нестационарных задач, с шагом по времени (выбор которого диктуется условиями устойчивости) много меньшим масштаба реального изменения решения. То есть, в общем случае, «затратным» можно назвать такой алгоритм, который требует использования очень подробных сеток, там, где на большей части расчетной области величина шага по пространству или по времени много меньше, чем реальный масштаб изменения решения.

В этом случае эффективным решением проблемы является использование многосеточного алгоритма, который позволит преодолеть главную трудность, возникающую при решении такого рода задачи - ее «жесткость». Жесткость задачи заключается в существовании нескольких компонент решения, которые имеют разный масштаб и конфликтуют друг с другом. Например, гладкие компоненты, которые можно эффективно аппроксимировать на грубых сетках, но которые плохо сходятся на мелких сетках, конфликтуют с высокочастотными компонентами, которые необходимо аппроксимировать с помощью мелких сеток. Используя несколько уровней дискретизации, многосеточный алгоритм решает конфликты такого рода, позволяя достигать большой эффективности, путем снижения объема вычислений, необходимых для получения численного решения.

Благодаря вышеуказанным свойствам многосеточный метод (Multi-Grid Method - MGM) стал в последние годы одним из эффективных и довольно универсальных итерационных методов решения задач. Он принадлежит к классу быстро сходящихся итерационных методов, является оптимальным по числу арифметических операций для достижения точности, согласованной с порядком сходимости. Скорость сходимости многосеточного метода всегда независима от числа неизвестных в системе, полученной в результате аппроксимации дифференциального уравнения, то есть многосеточный метод обладает неулучшаемой оценкой сходимости. Другая особенность метода - то, что он является своего рода шаблоном. Не существует строго определенного многосеточного алгоритма, применимого ко всем краевым задачам. Многосеточный метод устанавливает лишь структуру алгоритма, эффективность которого во многом зависит от адаптации его компонент к конкретной задаче.

Обладая высокой эффективностью, многосеточные методы допускают наиболее естественное распараллеливание и векторизацию приложений, что позволяет отнести их к наиболее перспективному и быстро развивающемуся разделу высокопроизводительных алгоритмов.

Многосеточный метод может применяться к задачам, рассматриваемым в областях произвольной формы и с различными граничными условиями. MGM может быть использован при решении сложных, несимметричных и нелинейных систем уравнений. Он может применяться для решения нестационарных параболических уравнений. В последние несколько лет ведутся активные исследования использования многосеточного метода для гиперболических уравнений.

В настоящее время многосеточные алгоритмы эффективно применяются для решения задач динамики плазмы и гидродинамики, расчета собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов, для расчета нейтронных полей в ядерном энергетическом реакторе, для решения задач теории упругости, а так же в задачах обтекания тел достаточно сложной формы.

Обобщая вышеизложенное, сформулируем основную цель и задачи исследования.

Целью работы является создание эффективных алгоритмов реализации математических моделей конвективно-диффузионного переноса в движущихся средах и их использование в конкретных экологических задачах водной и воздушной среды.

Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие задачи:

• разработать математическую модель динамики температурного распределения в Азовском море, определить вычислительные алгоритмы реализации созданной модели на высокопроизводительных вычислительных системах, разработать программный комплекс и провести численные эксперименты

• разработать математическую модель распространения радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС

• разработать и исследовать эффективные разностные схемы для решения нестационарного уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией

• разработать модификации многосеточного метода для решения сильно несимметричных СЛАУ, возникающих после центрально - разностной аппроксимации стационарного уравнения конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией

• создать программный комплекс, реализующий разработанные алгоритмы для математической модели распространения радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС и провести численные эксперименты

Представим краткое описание содержания диссертационного исследования.

Во введении сформулирована цель и задачи работы, обоснованы актуальность исследуемой темы, кратко описано содержание работы. Обсуждаются полученные в диссертационном исследовании результаты.

Первая глава носит вспомогательный характер и состоит из трех разделов.

Первый раздел посвящен общему описанию математических моделей конвективно-диффузионного переноса в водных и воздушных средах. Особое внимание уделено моделям температурного распределения в водоеме и распространения примесей в атмосфере. Приведены три формы записи операторов диффузионного и конвективного переноса в используемом в данных моделях уравнении конвекции - диффузии. Обсуждаются особенности рассматриваемых процессов, влияние соотношения между процессами конвекции и диффузии на математическую постановку задачи и на дальнейший выбор методов решения.

Во втором разделе рассмотрена разностная аппроксимация задач конвекции - диффузии. Приведены разностные схемы для стационарной и нестационарной задачи. Описано влияние формы записи конвективных членов уравнения конвекции - диффузии на свойства матрицы, получаемой после разностной аппроксимации дифференциальной задачи.

В третьем разделе представлены методы решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений, возникающих после центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекции -диффузии. Представлен обзор итерационных методов решения сильно несимметричных СЛАУ. Приведены некоторые сведения из теории матриц и функционального анализа, необходимые в дальнейшем исследовании. Рассмотрены классические итерационные и вариационные методы решения СЛАУ.

Если при конструировании методов для решения задач с сильно несимметричными СЛАУ особое внимание уделять учету структуры оператора решаемой задачи, это позволяет строить и применять специальные итерационные методы, которые обладают более высокой скоростью сходимости, чем методы из общей теории. К таким методам относятся треугольные кососимметричные методы, впервые предложенные в работах JI.A. Крукиера [40]. Эффективность их применения достигается особым выбором операторов и итерационных параметров.

Треугольные кососимметричные методы могут быть использованы для решения несимметричных систем линейных алгебраических уравнений, получаемых после центрально разностной аппроксимации уравнения конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией, в которых отсутствует диагональное преобладание. Однако при значительном доминировании конвекции в исходном уравнении мы приходим к сильно несимметричным системам, и треугольные кососимметричные методы, хотя и сходятся для этих случаев, но скорость сходимости невысока. Причем отмечено, что эти методы быстро сходятся на первых итерациях, замедляясь в дальнейшем. Это свойство методов называется сглаживающим и объясняется быстрым подавлением высокочастотных гармоник ошибки, но гораздо более медленным воздействием на низкочастотные составляющие. Именно этим свойством должны обладать итерационные методы, используемые в качестве сглаживателей в многосеточном методе. В работе автором диссертации впервые предложено использовать треугольные кососимметричные методы в качестве одной из компонент многосеточного метода.

Вторая глава посвящена описанию и исследованию модификации многосеточного метода для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений, получаемых после разностной аппроксимации стационарного уравнения конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией.

Глава состоит из пяти разделов.

В первых двух разделах приведены общее описание и этапы развития многосеточного метода, основная идея которого принадлежит Р.П. Федоренко. Многосеточный метод является оптимальным по числу арифметических операций для достижения точности, согласованной с порядком сходимости. Другая особенность метода - то, что он является своего рода шаблоном. Многосеточный метод устанавливает лишь структуру алгоритма, эффективность которого во многом зависит от адаптации его компонент к конкретной задаче. Значительный вклад в теорию многосеточного метода внесли Р.П. Федоренко, Н.С. Бахвалов, Г.П. Астраханцев, A. Brandt, W. Hackbusch, P.O. Frederikson, P. Wesseling, P. Sonneveld, U. Trottenberg, B.B. Шайдуров, а также P. Bastian, I. Bey, D. Braess, J.H. Bramble, S.C. Brenner, M. Dryja, H.C. Elman, J.E. Pasciak, R.A. Nicolaides, A. Reusken, R. Sarazin, R. Stevenson, S. P. Vanka, J, Wang, G.Wittum, J. Xu, H. Yserentant, X. Zhang, M.A. Ольшанский и многие другие.

Многосеточный алгоритм позволяет значительно повысить эффективность базового итерационного метода, комбинируя обычный итерационный процесс с приемом, называемым грубосеточной коррекцией -последовательным использованием в вычислениях более грубых сеток. Одна итерация метода включает в себя 4 наиболее важных этапа: сглаживание (smoothing), ограничение, проекция (restriction), продолжение, интерполяция (prolongation) и грубосеточная коррекция (coarse greed correction).

Сглаживающая процедура является важной компонентой многосеточного алгоритма, наиболее зависимой от решаемой задачи. В диссертационной работе приводится описание существующих сглаживателей многосеточного метода -методы Якоби, Гаусса - Зейделя, метод Якоби с весами. В работе впервые предложена новая модификация многосеточного метода, в которой используются специальные сглаживатели для решения сильно несимметричных СЛАУ, получаемых после центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекции - диффузии.

Третий раздел главы посвящен Фурье - анализу многосеточного метода, который является важным инструментальным средством для получения количественных оценок сходимости и оптимизации различных компонент многосеточного метода. Основная идея Фурье-анализа, изложенная в этом разделе, состоит в том, чтобы представить ошибку или невязку в виде суммы некоторых периодических функций, называемых компонентами Фурье или гармониками. При этом появляется возможность оценить воздействие составляющих многосеточного метода на каждый компонент Фурье -разложения.

В диссертации проведен односеточный локальный Фурье-анализ или анализ сглаживания и двухсеточный Фурье-анализ предложенной модификации многосеточного метода, в которой в качестве сглаживателей используются методы из класса треугольных кососимметричных методов. При проведении односеточного анализа основное внимание в многосеточном цикле уделяется процедуре сглаживания, а влиянием грубо-сеточной коррекции пренебрегают или используют "идеальный" оператор грубо-сеточной коррекции. При проведении Фурье-анализа сглаживания важным моментом является вычисление коэффициента сглаживания, который показывает, насколько эффективным сглаживателем является рассматриваемый метод.

В работе проведен двухсеточный локальный Фурье-анализ (LFA). При проведении LFA были получены коэффициенты сглаживания для треугольных кососимметричных методов. Для оценки сходимости двухсеточного метода с треугольными кососимметричными сглаживателями были вычислены коэффициенты асимптотической сходимости двухсеточного метода. Проведено сравнение результатов Фурье-анализа многосеточного метода, в котором в качестве сглаживателей выбирались треугольные кососимметричные сглаживатели с многосеточным методом со стандартными сглаживателями (методом Гаусса-Зейделя и методом Якоби).

С помощью Фурье-анализа в работе были проведены исследования треугольных кососимметричных методов, показано, что они обладают хорошим сглаживающим свойством. Для эффективной работы метода в качестве сглаживателя коэффициент сглаживания ц,ж должен быть меньше единицы.

Чем меньше коэффициент сглаживания, тем быстрее метод подавляет высокочастотные компоненты ошибки.

Четвертый раздел главы посвящен исследованию предложенных модификаций многосеточного метода для сильно несимметричных СЛАУ и доказательству их сходимости. В качестве исследуемой задачи рассматривается стационарное уравнение конвекции - диффузии.

Проведено исследование трех сглаживателей из рассматриваемого класса треугольных кососимметричных методов - ТКМ, ТКМ1 и ТКМ2. В диссертационной работе эти методы использованы в качестве сглаживателей многосеточного метода, который можно рассматривать как своего рода ускоряющую процедуру треугольных кососимметричных методов. Доказаны теоремы сходимости предложенной модификации многосеточного метода.

В пятом разделе главы приведены результаты численных экспериментов использования многосеточного метода для задач конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией. Приведены результаты исследования зависимости эффективности многосеточного метода от числа сглаживающих итераций и количества уровней. Численные исследования подтвердили полученные ранее с помощью Фурье - анализа результаты об оптимальном количестве сглаживающих итераций в многосеточном методе для решения сильно несимметричных систем.

Были проведены вычислительные эксперименты для четырех модельных задач с различными векторами скорости движения среды на сетках разной размерности - от 32x32 до 512x512. Исследовалось поведение метода в зависимости от числа Пекле.

Проведенные численные исследования модификаций многосеточного метода подтвердили полученные ранее теоретические результаты и показали, что предложенная модификация многосеточного метода со сглаживателями

ТКМ, ТКМ1, ТКМ2 эффективна для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

Третья глава содержит результаты моделирования динамики температурного распределения в Азовском море.

Первый раздел главы посвящен описанию программного комплекса для реализации гидрофизических моделей процессов переноса в водной и воздушной среде. В рамках диссертационной работы был разработан ряд модулей программного комплекса, реализующих предложенные подходы для математического моделирования экологических задач, основой которых являются процессы конвективно-диффузионного переноса в водной и воздушной среде. Разрабатываемый в Южно-Российском региональном центре информатизации Ростовского госуниверситета программный продукт предназначен для решения задач экологии водной и воздушной сред и состоит, как и любой стандартный пакет прикладных программ, из функциональной и сервисной частей. Программный комплекс ориентирован на расчет движения среды (гидро-, газодинамика), решение задач конвекции-диффузии, что реализуется с помощью функциональных модулей. Сервисная часть включает модули генератора карт местности, БД с системой управления, модуль визуализации результатов расчета, генератор отчетов. В рамках диссертационного исследования созданы расчетные модули, реализующие многосеточный метод и треугольные кососимметричные схемы для решения задач конвекции - диффузии.

Второй раздел главы посвящен описанию гидрофизических характеристик Азовского моря - природного объекта исследования данной главы. Азовское море имеет важное хозяйственное значение для южных регионов России. Вследствие непродуманных действий по эксплуатации ресурсов Азовского моря за последние десятилетия, в настоящее время экосистема Азовского моря выведена из состояния равновесия. Поэтому особую актуальность приобретает работа по созданию инструмента исследования и прогнозирования состояния акватории моря. Важная гидрофизическая характеристика водоема - температурное распределение -является одной из компонент в задачах теории климата, прогноза погоды, расчета энергообмена и др. В работе представлена математическая модель температурного режима Азовского моря, в которой особое внимание уделено определению функции притоков - оттоков тепла. Проведен анализ компонентов теплового баланса, определены его составляющие, оказывающие наиболее существенно влияние на температурный режим водоема в рассматриваемый неледоставный период (апрель - октябрь). При численной реализации предложенной модели использовалась противопотоковая разностная схема, поскольку для данной задачи, в которой процесс конвекции не является преобладающим, это схема наиболее эффективна. Задача решалась на высокопроизводительных вычислительных системах с использованием пакета распараллеленных итерационных методов Aztec.

Проведен ряд вычислительных экспериментов, в которых исследовались зависимости функции F(x,y,z,t) притоков-оттоков тепла от пространственных координат и от времени, влияние поля скоростей течений моря, способа задания начального распределения температуры воды на результаты расчета динамики температурного распределения. Результаты численных экспериментов сравнивались с натурными наблюдениями, погрешность составила 5%-10% для разных вычислительных экспериментов.

На основе анализа результатов проведенных вычислительных экспериментов и сравнения их с натурными данными были сделаны выводы, которые можно использовать в качестве рекомендаций для практического использования созданной модели температурного распределения Азовского моря:

1. Способ задания начального распределения температуры воды не оказывает существенного влияния на расчет динамики температурного распределения в водоеме.

2. Суммарная солнечная радиация оказывает наиболее существенное влияние на процесс распределения температуры в водоеме в рассматриваемый период времени (апрель - октябрь).

3. Характерные ветровые ситуации оказывают определенное влияние на температурное распределение в Азовском море.

Четвертая глава содержит результаты численных экспериментов для математической модели распространения радионуклидных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС, проведенных на основе созданного программного комплекса, реализующего предложенные подходы к решению задач конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией.

Первый раздел главы посвящен анализу актуальности моделирования процессов распространения загрязняющих радиоактивных веществ в воздушной среде. Подчеркивается особая важность такого рода исследований для регионов юга России в связи с принятым в июле 2006 года решением о продолжении строительства второго энергоблока Волгодонской АЭС.

Второй раздел главы посвящен моделированию процесса распространения примесей в воздушной среде. Исследуется модель распространения радионуклидов в районе Волгодонской АЭС. Полученные в результате моделирования и вычислительных экспериментов данные дают возможность с их помощью анализировать экологическую безопасность штатного и нештатного режимов работы Волгодонской АЭС.

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в разработке математических моделей температурного распределения в Азовском море и распространения радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС. В работе предложен новый класс треугольных кососимметричных разностных схем для решения динамических задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией, модификация многосеточного метода решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), где в качестве сглаживателя используется итерационный метод из класса треугольных кососимметричных методов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгим математическим обоснованием предложенных методов и алгоритмов, качественным совпадением результатов вычислительных экспериментов с натурными наблюдениями.

К ЗАЩИТЕ ПРЕДСТАВЛЕНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Разработана математическая модель динамики температурного распределения в Азовском море. Определены вычислительные алгоритмы реализации модели на высокопроизводительных вычислительных системах. Создан программный комплекс, проведены численные эксперименты динамики температурного распределения в Азовском море.

2. Предложен и исследован новый класс условно устойчивых и абсолютно устойчивых треугольных разностных схем решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

3. Предложена, теоретически и численно исследована модификация многосеточного метода решения сильно несимметричных СЛАУ, полученных после разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией. Доказаны теоремы сходимости предложенной модификации многосеточного метода. На основе Фурье-анализа рассмотренных модификаций многосеточного метода исследованы способы выбора различных сглаживателей из класса треугольных кососимметричных итерационных методов. Показана зависимость скорости сходимости многосеточного метода от количества сглаживающих итераций.

4. Разработана математическая модель переноса радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС. Создан программный комплекс, реализующий предложенные алгоритмы. Проведены вычислительные эксперименты на основе реализованных математических моделей переноса радионуклидов в районе Волгодонской АЭС.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Математическое моделирование процессов в окружающей среде в первую очередь решает экологические проблемы. Среди них способы защиты и сохранения водной и воздушной среды являются одними из наиболее актуальных, как задачи исследования основных сред обитания человека. Поэтому так важно создание моделей, описывающих основные процессы, происходящие в водной и воздушной среде. Как уже отмечалось выше, большое количество природных процессов и явлений описывается уравнением конвекции - диффузии.

Проведенные в диссертационной работе исследования математических моделей физических процессов, в основе которых лежит конвективно-диффузионный перенос, позволяют давать рекомендации при выборе той или иной модели, того или иного алгоритма для решения конкретной экологической задачи. Рассмотренные в работе модели температурного распределения в Азовском море и распространения радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС позволяют получать оперативную оценку текущего состояния природных объектов и делать прогноз в случае возникновения нештатных ситуаций

При решении уравнения конвекции - диффузии особую проблему составляют те задачи, в которых процесс конвекции преобладает. В этом случае необходимо правильно выбирать способ аппроксимации дифференциальной задачи. Предложенный и теоретически и численно обоснованный в диссертационной работе новый класс треугольных разностных схем решения задач конвекции- диффузии с преобладающей конвекцией дает экономичный инструмент решения данного класса задач.

При рассмотрении установившихся процессов в несжимаемых средах использована аппроксимация стационарного уравнения конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией центральными разностями, поскольку такой способ аппроксимации сохраняет характер поведения решения. В этом случае приходим к необходимости решения СЛАУ с сильно несимметричной матрицей. В работе предложена модификация многосеточного метода для решения сильно несимметричных СЛАУ, полученных после разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии. Исследованы способы выбора различных сглаживателей из класса треугольных кососимметричных итерационных методов. Доказаны теоремы сходимости предложенной модификации многосеточного метода. Проведены теоретические и численные исследования поведения предложенных модификаций многосеточного метода.

В качестве способа исследования поведения многосеточного метода в диссертационной работе использован Фурье-анализ рассмотренных модификаций метода. В диссертации проведен односеточный локальный Фурье-анализ или анализ сглаживания и двухсеточный Фурье-анализ предложенной модификации многосеточного метода. При проведении односеточного анализа основное внимание в многосеточном цикле было уделено процедуре сглаживания, влиянием грубо-сеточной коррекции мы пренебрегли. При проведении Фурье-анализа сглаживания важным моментом является вычисление коэффициента сглаживания, который показывает, насколько метод является хорошим сглаживателем.

Для лучшего понимания замысла и структуры многосеточного метода был проведен двухсеточный LFA, определен коэффициента асимптотической сходимости, по которому можно судить о сходимости двухсеточного метода.

В результате проведенных исследований многосеточного метода были сделаны следующие выводы:

• Предложенные модификации многосеточного метода со сглаживателями ТКМ, ТКМ1, ТКМ2 эффективны для решения задач конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией;

• При исследовании многосеточного метода с треугольными кососимметричными сглаживателями лучшие результаты для исследуемой задачи показал многосеточный метод со сглаживателем ТКМ2;

• С помощью Фурье- анализа показано и численно проиллюстрировано существование некоторого оптимального количества сглаживающих итераций базового итерационного метода, превышение которого снижает эффективность многосеточного метода, так как ведет к увеличению времени счета.

• В случае усиления преобладания процесса конвекции (тем самым увеличения числа Пекле) требуется большее количество сглаживающих итераций в многосеточном методе

• Наибольшее влияние на скорость сходимости многосеточного метода оказывает коэффициент кососимметрии К=Ре* h!2

Следует отметить, что предложенные модификации многосеточного метода могут быть использованы для разных классов задач, в результате аппроксимации которых получаются сильно несимметричные системы линейных алгебраических уравнений, обладающих свойством диссипативности.

Для решения нестационарной задачи конвекции - диффузии в диссертационной работе предложен новый класс треугольных кососимметричных разностных схем (ТКС). Представленные треугольные кососимметричные разностные схемы относятся к классу экономичных (в смысле вычислительных затрат) схем решения задачи конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией, т.к. треугольный оператор верхнего слоя легко обратим и не требует для обращения большого числа арифметических действий, а сами схемы, в зависимости от некоторых соотношений, условно, либо безусловно устойчивы.

В рамках диссертационной работы был разработан ряд модулей программного комплекса, реализующих предложенные подходы для математического моделирования экологических задач, основой которых являются процессы конвективно-диффузионного переноса в водной и воздушной среде. Разрабатываемый в Южно-Российском региональном центре информатизации Ростовского государственного университета программный продукт предназначен для решения задач экологии водной и воздушной сред. В содержательном плане программный комплекс ориентирован на расчет движения среды (гидро-, газодинамика) и решение задач конвекции-диффузии, что реализуется с помощью функциональных модулей. Сервисная часть включает модули генератора карт местности, БД с системой управления, модуль визуализации результатов расчета, генератор отчетов. В рамках диссертационного исследования созданы расчетные модули, реализующие многосеточный метод и треугольные кососимметричные схемы для решения стационарной и нестационарной задач конвекции - диффузии.

В работе представлена математическая модель динамики температурного распределения Азовского моря. В качестве природного объекта исследования Азовское море рассмотрено не случайно. Оно имеет важное хозяйственное значение для южных регионов России. Вследствие непродуманных действий по эксплуатации ресурсов Азовского моря за последние десятилетия, в настоящее время экосистема Азовского моря выведена из состояния равновесия. Поэтому особую актуальность приобретает работа по созданию инструмента исследования и прогнозирования состояния акватории моря. Важная гидрофизическая характеристика водоема - температурное распределение, которое является одной из компонент в задачах теории климата, прогноза погоды и расчета энергообмена. При построении математической модели динамики температурного распределения Азовского моря особое внимание уделено определению функции притоков - оттоков тепла. Проведен анализ компонентов теплового баланса, определены его составляющие, оказывающие наиболее существенно влияние на температурный режим водоема в рассматриваемый неледоставный период (апрель - октябрь).

При численной реализации предложенной модели использовалась противопотоковая разностная схема, поскольку для данной задачи, в которой процесс конвекции не является преобладающим, это схема более эффективна.

Задача решалась на высокопроизводительных вычислительных системах с использованием пакета распараллеленных итерационных методов Aztec.

Проведен ряд вычислительных экспериментов, в которых исследовались зависимости функции притоков-оттоков тепла от пространственных координат и от времени, влияние способа задания начального распределения температуры воды, поля скоростей течений моря на характер температурного распределения. Результаты численных экспериментов сравнивались с натурными наблюдениями, погрешность составила 5%-15% для разных вычислительных экспериментов.

На основе анализа результатов проведенных вычислительных экспериментов и сравнения их с натурными данными были сделаны выводы, которые можно использовать в качестве рекомендаций для практического использования созданной модели температурного распределения Азовского моря:

1. Способ задания начального распределения температуры воды не оказывает существенного влияния на расчет динамики температурного распределения в водоеме.

2. Суммарная солнечная радиация оказывает наиболее существенное влияние на процесс распределения температуры в водоеме в рассматриваемый неледоставный период времени (апрель - октябрь) по сравнению с другими компонентами теплового баланса.

3. Характерные ветровые ситуации оказывают определенное, но не столь значительное как суммарная солнечная радиация, влияние на температурное распределение в Азовском море.

В диссертационной работе разработана модель распространения радионуклидов в районе Волгодонской АЭС.

Модель радионуклидного переноса в атмосфере основывается на трехмерном уравнении турбулентной диффузии в декартовых координатах.

В ходе проведения численных экспериментов изучена временная динамика аварийного выброса при запроектных авариях четырех типов. Для построенной модели компоненты вектора скорости среды вычисляются в отдельном блоке общего программного комплекса и являются входными данными.

Полученные в результате моделирования и вычислительных экспериментов данные позволяют с их помощью анализировать экологическую безопасности штатного и нештатного режимов работы Волгодонской АЭС. Результаты численных экспериментов для математической модели движения и химического взаимодействия радионуклидов в атмосфере могут быть применены при разработке мер по предохранению окружающей среды от воздействия радиоактивных веществ и при создании плана действий в случае возникновения аварийной ситуации на Волгодонской АЭС.

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. //М.: Высш. Шк., 2003,595 с.

2. Андреева Е.М., Муратова Г.В. Многосеточный метод решения сильно несимметричных систем. // Вычислительные технологии, т. 10, №5, 2005, С.12-18.

3. Андреева Е.М., Муратова Г.В. Фурье-анализ многосеточного метода. // Сборник трудов XI Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования», Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2005, С.66-74.

4. Астраханцев Г.П. Метод фиктивных областей для эллиптического уравнения второго порядка с естественными граничными условиями // ЖВМ и МФ, 1978, т.18, № 1, С.118-125

5. Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор. // ЖВМ и МФ, 1966, том 6, №5, С.861-883.

6. Белов И.В., Беспалов М.С., Клочкова Л.В., Кулешов А.А., Сузан Д.В., Тишкин В.Ф. Транспортная модель распространения газообразных примесей в атмосфере города. // Математическое моделирование, т. 12, №11,2000, С.38-46.

7. Белов И.В., Беспалов М.С., Клочкова Л.В., Павлова Н.К., Сузан Д.В., Тишкин В.Ф. Сравнение моделей распространения загрязнений в атмосфере // Математическое моделирование, 1999, т.11, N8, С.52-64.

8. Белолипецкий В.М., Косткж В.Ю., Шокин Ю.И. "Математическое моделирование течений стратифицированной жидкости // Новосибирск.: Наука, 1991, С. 15-173

9. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. //М: Физматлит, 1994,448 с.

10. Берлянд М.Е. Прогноз и регулирование загрязнения атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1985.

11. Бочев М.А., Крукиер JI.A. Об итерационном решении сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений. // ЖВМ и МФ-1997-т. 37-№11.

12. Бронфман A.M., Хлебников Е.П. Азовское море. JL: Гидрометеоиздат, 1985,18 с.

13. Браславский А.П., Вакулина З.А. Нормы испарения с поверхности водохранилищ. Л., Гидрометеоиздат, 1954,212с.

14. Вызова Н.Л., Гаргер Е.К., Иванов В.Н. Экспериментальные исследования атмосферной диффузии и расчеты рассеивания примеси. Л.: Гидрометеоиздат, 1991,275 с.

15. Вабищевич П.Н. Монотонные разностные схемы для задач конвекции-диффузии. //Дифференциальные уравнения, 30(1994), С.503-513.

16. Вероятностный анализ запроектных аварий Ростовской АЭС. Отчет института "Атомэнергопроект", ОКБ "Гидропресс" и ИАЭ им. И.В.Курчатова. М., 1990

17. Волосевич П.П., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса. М.: Наука, 1981, 512 с.

18. Вольцингер Н.Е., Пясковский Р.В. Теория мелкой воды. Гидрометеоиздат, Ленинград, 1977,207 с.

19. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц // М.: Наука, 1966.

21. Гущин В.А., Матюшин П.В Численное моделирование пространственных отрывных течений около сферы// ЖВМ и МФ, 1997, 37(9), с. 1122-1137

22. Даутов Р.З., Егоров А.Г. Моделирование неустойчивости влагопереноса в ненасыщенных пористых средах // Исследования по прикладной математике, Казань, издательство Казанского университета, Вып. 24, 2004. С. 42-51.

23. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, М: Мир, 2001.

24. Дуллан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем // М.: Мир, 1983.199 с.

25. Зилитинкевич С.С. Глобальное взаимодействие атмосферы и океана. //Л.: Гидрометеоиздат, 1977,12 с.

26. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. // Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. -345с.

27. Калиткин Н.Н., Карпенко Н.В., Михайлов А.П., Тишкин В.Ф., Черненков М.В. Математические модели природы и общества // М., Физматлит, 2005 -358 с.

28. Каменкович В.М и др. Физика океана. // М.: Наука, 1978, Т. 1, 98 с.

29. Китайгородский С.А. Физика взаимодействия атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1970,283 с.

30. Козлов В.Ф. Справочник по радиационной безопасности

31. Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Самарская Е.А., Тишкин В.Ф. «Методы математического моделирования окружающей среды», 254 стр.

32. Костомаров Д.П. Задачи Коши для ультрапшерболических уравнений М.: Наука, 2003. 79 с.

33. Краус Е.Б. Взаимодействие атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1976,295 с.

34. Крукиер JI.A. Неявные разностные схемы и итерационный метод их решения для одного класса систем квазилинейных уравнений // Изв. ВУЗов Матем-1979 -№7, С.41-52

35. Крукиер Л.А. Кососимметричные итерационные методы решения стационарной задачи конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной. // Известия высших учебных заведений. Математика, Москва, 1997, № 4, С.77-85

36. Крукиер Л.А. Математическое моделирование процессов переноса в несжимаемых средах с преобладающей конвекцией. // Математическое моделирование, т. 9, №2,1997, С.4-12

37. Крукиер Л. А. Математическое моделирование гидродинамических процессов в Азовском море. В кн. «Закономерности океанографических и биологических процессов в Азовском море». Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 2000, с. 129-163

38. Крукиер Л.А. Решение сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений итерационным методом, основанном на кососимметричной части исходной положительной матрицы. // Математическое моделирование, т. 13, №3,2001, с.49-56.

39. Крукиер Л.А., Мартынова Т.С. О влиянии формы записи уравнения конвекции-диффузии на сходимость метода верхней релаксации. // ЖВМ и МФ, т. 39, №11,1999, С.1821-1827.

40. Крукиер Л.А., Мартынова Т.С. Численные методы решения задач конвекции-диффузии со смешанными производными, // Ростов-на-Дону, 2003 г. 156 с

41. Крукиер Л.А., .Муратова Г.В, Решение стационарной задачи конвекции -диффузии с преобладающей конвекцией многосеточным методом со специальными сглаживателями. Мат. Модел., 2006, том 18, №5, стр.63-72

42. Крукиер Л.А., Муратова Г.В., Субботина Т.Н. Эффективные разностные схемы решения нестационарного уравнения конвекции диффузии с преобладающей конвекцией // Математическое моделирование, №12, 2005, С.80-86

43. Крукиер Л.А., Чикина Л.Г. Двуциклический треугольный кососимметрический итерационный метод решения сильно несимметричных систем // Известия высших учебных заведений. Математика, Москва, 2001, № 5, С.36-42.

44. Крышев И.И., Рязанцев Е.П. Оценка риска радиоактивного загрязнения окружающей среды при эксплуатации АЭС // Бюллетень Центра общественной информации по атомной энергии №3-4. - 1999. - С.29-33.

45. Крышев И.И., Романов Г.Н., Сазыкина Т.Г. и др. Загрязнение окружающей среды и оценка доз от радиоактивных выбросов на Южном Урале // Бюллетень Центра общественной информации по атомной энергии №3-4. - 1999. - С.33-44

46. Кузнецов Ю.А. Многосеточные методы декомпозиции области, //Препринт, М. 1989.

47. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

48. Ландау К.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. // М.: Наука, 1986, 736 с.

49. Лебедев В.И., Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе // ЖВМ и МФ, 1971, т.11 № 2

50. Легоньков В.И. О построении программного обеспечения вычислительного эксперимента. // Алгоритмы и алгоритмические языки. Пакеты прикладных программ. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1983- С.86-101.

51. Лузанова Л.М., Дубков А.П., Славягин П.Д. и др. Оценка радиационных последствий запроектных аварий для блоков 5, 6 Балаковской АЭС. Отчет ИАЭ им.И.В.Курчатова, инв. № 32/1-997-90. М., 1990

52. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. // М.: Наука, 1970.

53. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричным неравенствам. //М.: Наука, 1972—232 с.

54. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики // Новосибирск, Наука 1973 г.

55. Матишов Г.Г, Макаревич П.Р и др. Комплексные экологические исследования Азовского моря (препринт) Кольский научный центр, Мурманск, 1997,9-17 с.

56. Махонько К.П. Поведение в атмосфере радиоактивных продуктов ядерных взрывов.— С-Пб.: Гидрометеоиздат, 2002. — 164с.

57. Медведев М., Галич В., Брусов Ю. Способы очистки газовых выбросов ядерных энергетических установок от радионуклидов криптона 85Кг. // Бюллетень по атомной энергии №8. - 2006. - С.54-56

58. Методика расчета концентраций в атмосферном воздухе вредных веществ, содержащихся в выбросах предприятий // ОНД-86, Л: Гидрометеоиздат, 1987, 94 с.

59. Мишон В.М. Практическая гидрофизика. Л.: Гидрометеоиздат, 1983, 8295 с.

60. Муратова Г.В. Выбор сглаживателя многосеточного метода для задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией // «Математическое моделирование», 2005 г, т. 17, №1. С. 109 -113.

61. Муратова Г.В., Андреева Е.М. В чем секрет многосеточного метода // Сборник трудов X Всероссийской школы-семинара «Современныепроблемы математического моделирования» // Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 2003, С.173-177

62. Муратова Г.В. Крукиер JI.A. Решение систем линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей многосеточным методом // Вычислительные технологии т.2 №2, ч.2, Новосибирск 1992, , Ин-т вычисл. технологий. СО РАН с.180-189

63. Муратова Г.В. Крукиер JI.A. Сурков Ф.А. Численное моделирование динамики Азовского моря при сужении гирла Таганрогского залива. Морской гидрофизический журнал №6, XI-XII, 1989, с.55-62

64. Муратова Г.В., Николаев И.А. Проект ППП РАСЕРАСК //Труды I Всесоюз. конф. "Однород. вычисл. среды и сист. структуры", т.З,, Львов, 1990 г. с.158-163

65. Муратова Г.В. Крукиер Л.А., Николаев И.А., Тихонов А.Н. ППП "РАСЕРАСК" для решения эллиптических краевых задач на современных ЭВМ. Вычислительные технологии, т.2 №6, , Новосибирск, 1993, Ин-т выч.техн. СО РАН с.220-231

66. Муратова Г.В. Крукиер Л.А., Чикин А.Л. ППП «Pollution» для расчета распространения загрязнения в мелких водоемах Вычислительные технологии, т.2 №6, с.220-231, Новосибирск, 1993, Ин-т выч. техн. СО РАНс.133-146.

67. Муратова Г.В. Крукиер Л.А., Никитенко О.Б. Постановка задачи о моделировании температурного режима в мелких водоемах. Вычислительные технологии, т.4, №11, Новосибирск, 1995 г с. 184-190

68. Муратова Г.В. Крукиер Л.А., Никитенко О.Б., Чикин A.JI. Модель термического режима водоема В книге "Исследование экосистемы Азовского моря и прибрежных зон" Апатиты, 2002, Карельский научный центр РАН, с.139-150

69. Муратова Г.А., Крукиер JI.A., Никитенко О.Б., Чикин А.Л., Шабас И.Н. Моделирование гидрофизических процессов в водоеме. В книге «Комплексный мониторинг среды и биоты Азовского бассейна», 2004 г. Апатиты, том VI, стр.279-198

70. Неледова А.В., Тишкин В.Ф. Использование адаптивных сеток нерегулярной структуры для расчета разрывных течений с повышенным порядком точности //Дифференц. Уравнения, 1996, т.32, № 7, С.976-985

71. Никифоров А.Н., Бузало Н.С. Моделирование полей загрязненности атмосферы в мезометеорологическом пограничном слое // Известия Вузов, Северо-Кавказский регион. Естественные науки, спецвыпуск, 2001, С. 126128.

72. Норри Д., Де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. // М.: Мир, 1981,304 с.

73. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики, Москва-Ижевск, 2003,335 с.

74. Павлоцкая Ф.И., Поликарпов Г.Г. Итоги науки и техники. Радиационная биология. Т.4 Проблемы радиоэкологии / Под ред. P.M. Алексашина. — М.: ВИНИТИ, 1983. — С.99.

75. Пушкина И.Г., Тишкин В.Ф. Адаптивные расчетные сетки из ячеек Дирихле для решения задач математической физики: методикапостроения, примеры // "Математическое моделирование", Том: 12 200 г., №3, С 97-110.

76. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. // М.: Мир, 1972,418 с.

77. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. // М.: Мир, 1980.

78. Самарская Е.А., Сузан Д.В., Тишкин В.Ф. Построение математической модели распространения загрязнения в атмосфере // Математическое моделирование, том 9, №11,1997, С. 59-71.

79. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент// Вестник АН СССР, 1979, № 5, С.38-49

80. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем // М.: Наука, 1971.

81. Самарский А.А. Введение в численные методы // М.: Наука, 1987.

82. Самарский А.А. Методы решения сеточных уравнений // М.: Наука, 1978.

83. Самарский А.А. Теория разностных схем // М.: Наука, 1977,653 с.

84. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии // М.: УРСС, 1999,245с.

85. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики // М.: УРСС, 2004,478 с.

86. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями, Минск, 1998.

87. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем // М.: Наука, 1973,415 с.

88. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование // М.: Наука, Физматлит, 1997,316 с.

89. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений // М.: Наука, 1978,589 с.

90. Станкова Е.Н., Затевахин М.А. Многосеточные методы. Введение в стандартные методы // Санкт-Петербург. 2003.47 с.

91. Тыртышников Е.Е. Краткий курс численного анализа, Москва: ВИНИТИ, 1994.

92. Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений // ЖВМ и МФ, т. 1, №5,1961, С.922-927.

93. Федоренко Р.П. О скорости сходимости одного итерационного метода // ЖВМ и МФ, №4,1964, С. 227-235

94. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику М., Изд-во МФТИ, 1994.-526 с.

95. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы // М.:Мир, 1986.448 с.

96. Четверушкин Б.Н. Кинетические схемы и квазидинамическая система уравнений //М.: Макспресс, 2004, 328 с.

97. Шабас И.Н. Численное решение трехмерной задачи оседания вещества в Азовском море // Сборник трудов IX Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования», Изд-во РГУ, Ростов-на-Дону, 2001, С.414-417.

98. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов // М.: Наука, 1989,288 с.

99. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных уравнений с конвективными членами в случае смешанных краевых условий // Дифференциальные уравнения, 1996, 32(5).

100. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление // М.: Наука, 1969

101. Aloyan А.Е. Numerical modeling of minor gas constituents and aerosols in the atmosphere //Ecological Modeling. 2004.

102. Arutjunan R.V., Belikov V.V. et al. Models of radionuclides transport in atmosphere from integrated software package «Nostradamus». Preprint NSI -31, M., 1994.

103. Astrakhantsev G.P. An interactive method of solving elliptic net problems // USSR Comput. Math, and Math. Phys., 11(2), 1971, P. 171-182.

104. Axelsson O. Iterative solution Methods. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

105. Baklanov, A., Mahura, A., Jaffe, D., Thaning, L., Bergman, R., Andres, R.,. Atmospheric transport patterns and possible consequences for the European North after a nuclear accident. Journal of Environmental Radioactivity 60, 2002, P. 23-48.

106. Bank R.E. A comparison of two multi-level iterative methods for nonsymmetric end indefinite elliptic element equations. // SIAM J. Numer. Anal. 18(1981), P. 724-743.

107. Barrett R., Berry M., Chan T.F., Demmel J., Donato J., Dongarra J., Eijkhout V., Pozo R., Romine C. and Van der Vorst. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, 2nd Edition. SIAM, Philadelphia, PA, 1994.

108. Bolton E.W., Busse F.H. Stability of convection rolls in a layer with stress -free boundaries// J.FluidMech. 1985.Vol.150 P.487-498

109. Bramble J.H., Pasciak J.E., Xu J. The analysis of multigrid algorithms for nonsymmetric and indefinite elliptic problems, Mathematics of computation, 51,1988, P. 389-414.

110. Brandt A. Multi-level adaptive solutions to boundary-value problems, Math. Comput. 31,1977, P. 333-390.

111. Brandt A. Multilevel adaptive computations in fluid dynamics, AIAA J., 18, 1980, P. 1165-1172.

112. Brandt A. Multi-grid solvers for non-elliptic and singular-perturbation steady-state problems, Report, Dept. of Appl. Math. Weizmann Institute of Science, Rehovot, 1981.

113. Brandt A. Multi-grid solvers on parallel computers, in Elliptic Problem Solvers, M. Schultz, ed.), Academic Press, New York, 1981, P. 39-84.

114. Brandt A. Guide to multigrid development, Multigrid Methods, Hackbusch W. and Trottenberg U. (eds) (Lecture Notes in Mathematics 960) Springer, Berlin, 1982, P. 220-312

115. Brandt A. Multigrid Techniques: 1984 Guide, with Applications to Fluid Dynamics, GMD Studien Nr. 85, Gesellschaft fur Mathematik und Datenverarbeitung, Sankt Augustin, Germany, 1984.

116. Brandt A. Algebraic multigrid theory: the symmetric case, Appl. Math. Comput. 19(1986), P. 23-56.

117. Brandt A. Multilevel computations: Review and recent developments, in Multigrid Methods: Theory, Applications and Supercomputing, McCormick S. F., ed., Marcel-Dekker, 1988, P. 35-62.

118. Brandt A. Rigorous quantitative analysis of multigrid, I: Constant coefficients two-level cycle with L2-norm, SIAM J. Numer. Anal., 31(1994), P. 1695-1730.

119. Brandt A. Multiscale Scientific Computation: Six Year Research Summary // Rehovot, 76100, Israel, 1999.

120. Brandt A. The Gauss Center research in multiscale scientific computation, Elect. Trans. Numer. Anal. 6 (1997), pp. 1-34.

121. Brandt A., Dinar N. Multi-grid solutions to elliptic flow problems // in Numerical Methods for Partial Differential Equations, Parter S., ed., Academic Press, New York, 1979, P. 53-147.

122. Brandt A., Greenwald J. Parabolic multigrid revisited // in Multi-grid Methods III, Hackbusch W. and Trottenberg U., eds., Birkhauser Verlag, Basel, 1991, P. 143-154.

123. Brandt A., Lubrecht A.A. Multilevel matrix multiplication and fast solution of integral equations // Comput J. Phys., 90,1990, P. 348-370.

124. Brandt A., McCormick S.F., Ruge J. Algebraic multigrid (AMG) for automatic multigrid solution with application to geodetic computations // Institute for Computational Studies, Fort Collins, Colorado, 1982.

125. Brandt A., McCormick S.F., Ruge J. Algebraic multigrid (AMG) for sparse matrix equation // In: Sparsity and its Applications, Evans D.J.(ed)., Cambridge University Press, Cambridge, 1984.

126. Brandt, J., Mikkelsen, Т., Thykier-Nielsen, S., Zlatev, Z., 1996. Using a combination of two models in tracer simulations. Mathematical and Computer Modelling 23, P.99-115

127. Brandt, J., Mikkelsen, Т., Thykier-Nielsen, S., and Zlatev, Z.: The Danish Rimpuff and Eulerian Accidental release Model (The DREAM), Phys. Chem. Earth, 21, 5/6, P. 441^144,1996

128. Brandt A., Venner C.H. Fast evaluation of integral transforms with asymptotically smooth kernels // Gauss Center Report WI/GC-2 (1995), SIAM J. of Sci. Comput., 19 (1998), P. 468-492.

129. Brandt A., Yavneh I. Accelerated multigrid convergence and high-Reynolds recirculating flows // SIAM J. Sci. Comput., 14(1993), P. 607-626.

130. Bryall, D.B., Maryon, R.H., 1998. Validation of the UK MET office NAME model against the ETEX data set. Atmospheric Environment 32 (24), P.4265-4276

131. Briggs W.L. A multigrid tutorial // SIAM, Philadelphia, 1987.

132. Briggs W.L., McCortnick S.F. Introduction, Multigrid Methods // S. F. McCormick (ed.) (Frontiers in Applied Mathematics 3) SIAM, Philadelphia, 1987, Chap. 1.

133. Cao Z. Convergence of multigrid methods for nonsymmetric indefinite problems // Appl. Math. Сотр., 28 (1988), P. 269-288.

134. Carpenter K. An exhtrimental forecast using a non- hydrostatic mesoscale model // Quart. J. Roy Met. Soc. 1979, V. 105, N 445

135. Chan T.F., Elman H.C. Fourier analysis of iterative methods for elliptic problems// SIAM Review, 31(1989), P. 20-49.

136. Courant R., Hilbert D. Methods of mathematical physics // New York, Interscience, 1953.

137. Dongarra Jack., Duff Iain S., Sorensen Danny C., Van der Vorst H. Numerical Linear Algebra for high-performance computers. SIAM, Philadelphia, 1998.

138. Elman H., Silvester D., Wathen A. Finite Elements and Fast Iterative Solvers: with Applications in Incompressible Fluid Dynamics // Oxford University Press, 2005,400 p.

139. Fischer В., Ramage A., Silvester D., Wathen A. Towards parameter-free streamline upwinding for advection diffusion problems.- Strathclyde Mathematics Research Report No 37,1996,18 p.

140. Galmarini, S., Bianconi, R., Bellasio, R., Graziani, G., 2001. Forecasting the consequences of accidental releases of radionuclides in the atmosphere from ensemble dispersion modelling. Journal of Envirnonmental Radioactivity 57, 203-219

141. Ghorai, S., Tomlin, A.S., Berzins, M., 2000. Resolution of pollutant concentrations in the boundary layer using a fully 3D adaptive gridding technique. Atmospheric Environment 34,2851-2863.

142. Gillbard D., Trudinger N. Elliptic partial differential equation of second order // Berlin, Springer-Verlag, 1993.

143. Golub G.H., Van der Vorst H.A. Closer to the solution : Iterative linear solvers.// in I.S.Duff and G.A. Watson (eds), The State of the Art in Numerical Analysis, Clarendon Press, Oxford, 1997, P.63-92

144. Greenbaum A. Iterative methods for solving Linear Systems. SIAM, Philadelphia, PA, 1997.

145. Hackbusch W. On the convergence of a multi-grid iteration applied to finite element equations // Universitat Koln, Report, 1977, P. 77-84.

146. Hackbusch W. Multigrid method and application // Springer-Verlag, Berlin, 1985, P.293 299.

147. Hackbusch W. On the convergence of multi-grid iterations // Beit. Numer. Math. 9,1981, P. 231-329.

148. Hackbusch W. Parabolic multigrid methods // Computing methods in applied sciences and engineering VI, Glowinski R. and Lions J.L. (eds) (Proc. 6th International Symposium, Versailles, Dec. 1983) North-Holland, Amsterdam, 1984, P. 189-197.

149. Hackbusch W. Iterative solution of large sparse systems of equations, section 10 // Springer Verlag, Berlin, 1994.

150. Hackbusch W., Trottenberg U. (eds), Multigrid Methods II // (Lecture Notes in Mathematics Vol. 1228) Springer, Berlin, 1986.

151. Hackbusch W., Trottenberg U. (eds), Multigrid Methods III // Proceedings of the International Conference on Multigrid Methods, International Series of Numerical Mathematics, Vol. 98, Birkhauser, Basel, 1991.

152. Hackbusch W., Wittum G. (eds), Multigrid Methods V // Lecture Notes in Computational Science and Engineering, Vol. 3, Springer, Berlin, 1998.

153. HannaS.R. Review of atmospheric modelsfor regulatory applications //WMO Tech. Note, 1962 N177,42 p.

154. Hemker P.W. Fourier analysis of grid function, prolongations, and restrictions // Report NW 98, CWI, Amsterdam, Netherlands, 1980.

155. Hemker P.W., Wesseling P. Multigrid Methods IV // Proceedings of the Fourth European Multigrid Conference, Amsterdam, Birkhauser, Basel, 1994.

156. Ipsen I., Meyer C. The ides behind Krylov Methods. Technical Report CRSC-TR97-3 Center of Research in Scientific Computation. Department of Mathematics. North Carolina University.

157. Jameson A. Solution of the Euler equations by a multigrid method // Appl. Math. Comput., 13 (1983), P. 327-356.

158. Jameson A, Schmidt W., Turkel E. Numerical solution of the Euler equations by finite volume methods using Runge-Kutta time stepping schemes // AIAA Paper 81-1259,1981.

159. Krukier L.A. Convergence Acceleration of Triangular Iterative Methods based on the Skew-Symmetric Part of the Matrix. // Applied Numerical Mathematics, т. 30, №3-4,1999, P.281-290.

160. Kinkier L. Special preconditions for iterative solution of strongly nonsymmetric linear systems // Proceedings of the Conference on PRISM'97, Nijmegen, 1997, P. 107-119.

161. Krukier L.A., Chikina L.G., Belokon T.V. Triangular skew-symmetric iterative solvers for strongly nonsymmetric positive real linear system of equations // Appl. Num. Math., 41 (2002), P. 89-105.

162. Krukier L.A., Nicolaev I.A., Surkov F.A., Dombrovski Y.A. Numerical methods in water ecology // Mathematical modeling and Applied Mathematics, 1992, P.337-343.

163. Lagzi, I., Tomlin, A.S., Turarnyi, Т., Haszpra, L., Merszarros, R., Berzins, M.,2001. The simulation of photochemical smog episodes in Hungary and Central Europe using adaptive gridding models. Lecture Notes in Computer Science 2074, P. 67-77

164. Mandel J. Multigrid convergence for nonsymmetric indefinite variational problems and one smoothing step // Appl. Math. Сотр., 19 (1986), P. 201-216.

165. Martens R., Mabmeyer K., Pfeffer W. et al. Besendsaufhahme und bewertung der perzeit genutzen // Report GRS 1987 Mai.

166. McCormick S. F. Multigrid methods (Frontiers in Applied Mathematics 3) // SIAM, Philadelphia, 1987.

167. Meijerink J.A., Van der Vorst H.A. An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is symmetric M-matrix. // Math. Сотр.,1977, №31(137), P.148-162.

168. Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. Fitted Numerical Methods for Singular Perturbation Problems. Error estimates in the maximum norm for linear problems in one and two dimension // Singapore, Word Scientific, 1996.

169. Miranda C. Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico // Berlin, Springer-Verlag, 1955.

170. Morton K.W. Numerical solution of convection diffusion problems. Chapman&Hall, 1996.

171. Muratova G. Multigrid method for convection-diffusion problems with a small parameter //. Math. Modeling, 2001, V.13, N3, pp. 69-76

172. Muratova G.V., Krukier L.A. The use of FDM for the solution of the shallow-water equations // Math. Modeling, 2001, V.13, N3, pp. 57-60

173. Muratova G., Krukier L, Multigrid Method as an accelerating procedure for solving systems of Linear algebraic equations with a dissipative matrix, Сотр. J Math. Modeling, v.6 №4,1995 p.225-230

174. Muratova G., Krukier L. Multigrid method for the iterative solution of strongly nonselfadjoint problems with dissipative matrix // Proceedings of the Conference on AMLI'96, Nijmegen, 1996, v.2, P. 169-178.

175. Muratova G.V., Ivanenko S.A. Adaptive grid shallow water modeling // Applied Numerical mathematics №32 ,2000, P. 447-482

176. Muratova G.V. Andreeva E. M. Multigrid solver with different smoothers for convection-diffusion problem // Proceedings of International Summer School1.erative Methods and Matrix Computations", RSU publisher, Rostov on Don, 2002 P. 437-443.

177. Muratova G.V. Andreeva E. M. Solution of convection-diffusion problem by multigrid method with different smoothers // Proceedings of International Conference on Computational Mathematics, IMC&MG publisher, Novosibirsk, v.2,2002, P. 649-654.

178. Nasstrom, J.S., Pace, J.C., 1998. Evaluation of the effect of meteorological data resolution on Lagrangian particle dispersion simulations using the ETEX experiment. Atmospheric Environment 32 (24), P.4187-4194

179. Neytcheva M., Axelsson O., Georgiev K. An application of the AMLI method for solving convection diffusion problems with potential velocity field., -Proceedings of the Conference on AMLI'96, Nijmegen, 1996, v.2, p.197-210

180. Nicolaides R.A. On multigrid convergence in the indefinite case. // Math. Сотр., 32(1978), P. 1082-1086.

181. Nicolaides R.A. On multiple grid and related techniques for solving discrete elliptic systems // Comput J. Phys., 19, 1975, P. 418-431.

182. Penenko V. V., Aloyan A. E., 1985, Models and Methods for Environment Control Problems. Nauka, Moskow, 240 p

183. Protter M.N., Weinberger H.F. Maximum principles in differential equations // New York, Springer-Verlag, 1984.

184. Reusken A. Fourier analysis of a robust multigrid method for convection-diffusion equations // Numer. Math., 71(1995), P. 365-397.

185. Roos H.G., Stynes M., Tobiska L. Numerical methods for singular perturbed differential equations // Convection-diffusion flow problems, Berlin, Springer-Verlag, 1995.

186. Ruge J., Stuben K. Efficient solution of finite difference and finit element equations by algebraic multigrid (AMG) // In: Multigrid methods for integral and differential equations, Institute of Mathematics and its Application

187. Conference series 3, Paddon D.J. and Holstein H. (eds.), Clarendorf Press, Oxford, 1985, P. 169-212.

188. Ruge J., Stuben K. Algebraic multigrid (AMG) // In: Multigrid methods, frontiers in applied mathematics, Mc.Cormick S.F. (ed.), vol. 5, SIAM, Philadelphia, 1987, P. 73-130.

189. Saad Y., Van der Vorst H.A. Iterative solution of linear systems in the 20-th century // J. of Computational and Applied Mathematics, Elsevier Science, 2000, № 123, P.l-33

190. Schlichting H. Boundary Layer Theory, 7th ed., McGraw Hill, New York, 1979.

191. Shih Y.-T., Elman H.C. Iterative methods for stabilized discrete convection-diffusion problems. Technical report, Department of Computer Science, University of Maryland, College Park, 1998

192. Sonneveld P., Wesseling P. De Zeeuw P.M. Multigrid and conjugate gradient methods as convergence acceleration techniques// Proc. Multigrid Conf., Holstein H. and Paddon D., eds., Bristol, 1983.

193. Sorensen, J.H., 1998. Sensitivity of the DERMA Long-range Gaussian dispersion model to meteorological input and diffusion parameters. Atmospheric Environment 32 (24), P.4195 -4296.

194. South J.C., Brandt A. Application of a multi-level grid method to transonic flow calculations // in Transonic Flow Problems in Turbo Machinery, Adam T.C. and Platzer M.F., eds., Hemisphere, Washington, 1977, P. 180-207.

195. Stuben K. Algebraic multigrid (AMG): An introduction with applications // Tech. Rep. 53, GMD, St. Augustin, Germany, 1999.

196. Stuben К. A review of algebraic multigrid // J. Comput. Appl. Math., 128(2001), P. 281-309.

197. Stuben K., Trottenberg U. On the construction of fast solvers for elliptic equations // Computational fluid dynamics, Lecture series 1982-04, von Karman Inst. For fluid dynamics, Rhode-Saint-Genese, 1982.

198. Stuben K., Trottenberg U. Multigrid methods: fundamental algorithms, model problem analysis and applications, In: Multigrid Methods // (Lecture Notes in Mathematics 960) Hackbusch W. and Trottenberg U. (eds) Springer, Berlin, 1982, P.l-176.

199. Thomas P., Vogt S., Gaglione P. Mesoscale atmospheric experiments using tracer and tetroons simultaneously at Kernforschungszentrum // Report KFK 4147. EUR 10907 EN. 1986,112 p.

200. Tomlin, A.S., Ghorai, S., Hart, G., Berzins, M., 2000. 3-D Multi-scale air pollution modelling using adaptive unstructured meshes. Environmental Modelling and Software, 15,681-692

201. Trottenberg U., Oosterlee C.W., Schuller A. Multigrid // Academic Press, New York, 2001.

202. Van der Wees A.J., Van der Vooren J., Meelker J.H. Robust calculation of 3D transonic potential flow based on the nonlinear FAS multigrid method and incomplete LU-decomposition // AIAA Paper 83-1950,1983.

203. Van Leer В., Tai C.H., Powell K.G. Design of optimally-smoothing multi-stage schemes for the Euler equations // AIAA Paper 89-1933, June 1989.

204. Varga R.S. Matrix iterative analysis // Aprentice -Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1962

205. Wendum, D., 1998. Three long-range transport models compared to the ETEX experiment: a performance study. Atmospheric Environment 32,4297-4305

206. Wagner Ch. Introduction to algebraic multigrid, Course notes of an algebraic multigrid at the university of Heidelberg // Germany, 1999,128 p.

207. Venner H. Multilevel solution of the EHL line and point contact problems // Ph.D. Thesis, Twente University, Enschede, 1991.

208. Weiss R. Parameter-Free linear solvers, Berlin: Akademie Verlag, 1996

209. Wesseling P. A convergence proof for a multiple grid method // Report NA-21, Delft University of Technology, 1978.

210. Wesseling P. The rate of convergence of a multiple grid method, Numerical Analysis // Proceedings, Dundee 1979, Watson G.A. (ed.) (Lecture Notes in Mathematics 773) Springer, Berlin, 1980, P. 164-184.

211. Wesseling P. Theoretical and practical aspects of a multigrid method // SIAM J. Sci. Stat. Comput., 3,1982, P. 387-407.

212. Wesseling P. Linear multigrid methods, Multigrid Methods // McCormick S. F. (ed.) (Frontiers in Applied Mathematics 3) SIAM, Philadelphia, 1987, P. 31-56.

213. Wesseling P. Multigrid methods in computational fluid dynamics // Angew Z. Math. Mech. 70 (1990) P. 337-348.

214. Wesseling P. An introduction in multigrid methods // John Wiley, Chichester, 1992.

215. Wesseling P., Oosterlee C.W. Geometric multigrid with application to computational fluid dynamics // Appl. Math, and Comput., 128 (2001), P. 311334.

216. Wesseling P., Sonneveld P. Numerical experiments with a multiple grid and a preconditioned Lanczos type method // in Approximation Methods for Navier-Stokes Problems, Rautmann R., ed., Lecture Notes in Math., 771, Springer-Verlag, 1980, P. 543-562.

217. Wienands R. Extended Local Fourier Analysis for Multigrid: Optimal Smoothing, Coarse Grid Correction, and Preconditioning // GMD Research Series, №20,2001,184 p.

218. Whicker, F.W., Shaw, G., Voigt, G., Holm, E., 1999. Radioactive contamination: state of the science and its application to predictive models. Environmental Pollution 100,133-149

219. Yanenko N.N., Shokin Y.I. On the correctness of first differential approximation of difference schemes // Docl. Acad. Nauk. SSSR. 182. P. 776778,1968.

220. Yavneh I. Analysis of a fourth-order compact scheme for convection-diffusion //J. Comput. Phys., 133(1997), P. 361-364.

221. Yavneh I. Coarse-grid correction for nonelliptic and singular perturbation problems // SIAM J. Sci. Comput., 19(1998), P. 1682-1699.

222. Yavneh I. On red-black SOR smoothing in multigrid // SIAM J. Sci. Comput., 17(1996), P. 180-192.

223. Young D. Iterative solution of large linear systems// Academic Press, New York, 1971

224. J. Zhang, L. Ge. Accuracy, Robustness, and Efficiency Comparison in Iterative Computation of Convection Diffusion Equation with Boundary Layers. Technical Report No. 291-99, Department of Computer Science. KY: University of Kentucky, Lexington. - 1999