автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование процессов конвективно-диффузионного переноса на основе метода конечных элементов

«V '"' п > - I г

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ 1КОЛН Н ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИИ

Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской Револвции н ордена Трудового Красного Знамени государственный технический университет иа.Н.Э.Баумана

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ КОНВЕКТИВНО-ДИФФУЗИОННОГО ПЕРЕНОСА НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

05.13.18 - теоретические основы матеиатического.моделирования, численные иетодц и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

УДК: 517+510+538.24

Кочубей Александр Алексеевич

Москва 1993

PO'-f* ' ~ ' ■ '

госу; • "' '

РаботБкзиполнена в Днепропетровское государственной университете

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Е.Н.Вахов доктор физико-математических наук, профессор Б.Н.Четверувкин доктор технических наук, профессор В.М.Епифанов

Институт проблем механики Российской Академии наук

Защита состоится 16 марта 1993г. в И час., 00 ннн. на заседании Специализированного Совета по защите докторских диссертаций Д 053.15.12 при Московском государственном техническом университете им. Н.Э.Баумана по адреси: 107005, Носква, 2-я Бауманская ул., д. 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Просим Вав отзыв на автореферат, заверенный печатью учреядения, направлять в одно» экземпляре по указанному вазе адресу.

Ведущее предприятие:

._ 1993г.

Ученый секретарь Специализированного Совета, кандидат технических наук, доцент

Заказ JtlÎ.—. Тйра» 100 экз. Подписано к печати -/(liZ'f1993г. Типография ЫГТЫ им. Н.Э. Баумана. Объем 2 п.л. .

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Совериенствование метода конечных элементов (ИКЭ) как инструмента математического моделирования словных процессов гидро- и газодинамики, тепло- и массообмеиа является одной из актуальных проблем вычислительной математики, так как открывает новые возмовности в развитии этих предметных областей, дает перспективы создания базирувчихся на НКЗ систем автоматического проектирования, управления геометрией объектов в технике и технологии и т.д. Вавным с этой точки зрения аспектом развития метода является и поиск подходов его применения для ревения новых классов двумерных и трехмерных задач переноса импульса и энергии, математические постановки которых описывавт слоеные физические эффекты взаимовлияния полей переносимых субстанций, воздействия на двивучиеся среды массовых сил различной природы, течения и теплообмена в материалах с неклассическими свойствами (проницаемые, пористые среды) и др.

Адаптация метода конечных элементов к новым задачам требует пересмотра концептуальных взглядов на отдельные этапы его реализации и. в частности, на подходы к аппроксимации ревений на элементах. Зто обусловлено как повывением степени словности описывавших физические процессы математических моделей, так и необходимости обеспечения высокой точности ови-даемых численных результатов.

Совервенствование метода в рамках традиционной полиномиальной аппроксимации путем использования более подробных ко-нечноэлементных сеток или увеличения порядков самих полиномов представляет собой экстенсивный путь ревения проблемы, так как в обоих случаях приводит к росту необходимой для расчетов памяти ЭВН и увеличении числа выполняемых арифметических операций при ревении задач. Кроме того, использование полиномов для аппроксимации функций'в случае ревения задач гидро- и га- ° зодинамики приводит к дискретным аналогам конвективных производных на конечноэлементных сетках, эквивалентным центрально-разностной аппроксимации по методу конечных разностей (МНР), что мовет явиться причиной неустойчивости численных ревений. Поэтому перспективным направлением совервенствования ЫКЭ на этапе адаптирования его к задачам механики видкости и тепломассообмена является улучвение аппроксимационных функций в смысле прибливения их свойств к свойствам ревений исходных

уравнений с сохранением в качестве носителей элементов с минимальным количеством узлов.

Актуальной с практической точки эрениа является такае проблема создания новых алгоритмов ревения краевых задач переноса импульса в естественных переменных скорость - давление, так как в большинстве ваших для техники и технологии случаев определение полей давления в двиауцихся средах является одной из основных целей численных расчетов.

Диссертация выполнялась в ранках госбюджетной темы 94-89 "Численное моделирование процессов переноса жидкости и газа на основе современных алгоритмических и программных средств", а такие Программы ГКНТ СССР, ГКНО СССР "Математическое моделирование в научных и технических системах" (разд. 28. Формирование комплексов алгоритмических программных средств н численных методов, реализующих математические модели течений и теплообмена аидкости и газа на современных ЭВМ).

Обзор состояния проблемы. Развитие и совервенствованив МКЭ применительно к решении краевых задач гидродинамики и конвективного тепломассообмена ведется по двум основным направлениям. Первое из них связано с поиском новых способов построения схем метода для уравнений Навье-Стоксв и энергии (массопе-реноса), а такие организации процедур численного определения полей скорости, давления и температуры (концентрации). Второе - с повышением эффективности математического обеспечения и технологии реализации конкретных этапов метода на ЭВМ.

В рамках первого направления, где формируются концептуальные подходи применения МКЭ при решении задач механики аидкости и тепломассообмена, исследуптся возмоаности решения задач в естественных переменных и переменных функция тока-завихрен-ность, проходят апробацию способы аппроксимации функций на различных типах элементов, а такве принципы построения систем разревавцих уравнений относительно узловых неизвестных искоыых величин. Обвей особенностью данного направления развития НКЭ является то, что оно стало источником новых алгоритмов и процедур вычислений на безе этого метода.

Несмотря на больвое количество описанных в литературе алгоритмов НКЭ и их модификаций, основные схемы алгоритмизации расчетов при решении краевых задач переноса на основе уравнений Навье-Стокса уже определились н могут быть проиллюстрированы следующими подходами реализации метода: - алгоритм прямого построения систем разревавцих уравнений

Ш для уравнений Навье-Стокса (В.И. Полеваев, А.И. Федосеев. С. Taylor. P. Hood, 3.1. Oden. S.O. Hill и др.);

- алгоритм. использув«ий уравнение Пуассона для давления (S.Y. Tuann. M.D. Olson. P.M. Crasho, S.T.K. Chan. R.L.Lee.

C.D. Upson и др.);

- алгоритм метода атрафных функций (G.3. Fix, С. Liane.

D.H. Lee, T.3.R. Hushes, H.K. Liu. ft. Brooks. 3.H. Reddy, 3.T. Oden. N. Kikuchi. Y.T. Song и др.);

- алгоритм совместного применения МКЗ и метода характеристик (З.Р. Benque. 6. Labadie, В. Ibler, D.F. Griffits, ft.R. Mitchell, B. Latteux и др.);

- алгоритм Ндзавы (I. Лионе, R. Теиав);

- алгоритм искусственной сяимаемости (R. Тевав, Т.О. Taylor, R. Peyret и др.);

- метод проектирования на подпространство соленоидальных функций (Е.И. Горовая, В.Я. Ривкинд и др.).

Перечисленные выве алгоритмы носят характер базовых и часто применявтея при реализации МКЗ для ревения задач конвективно-диффузионного переноса. Тем не менее, наряду с эффективными процедурами организации вычислений, в большинстве из них используется классическая полиномиальная аппроксимация функций на элементах, что мовет вызывать проблемы, связанные с устойчивостью ревений. Попытками преодоления недостатков полиномиальной аппроксимации были обусловлены разработки формулировок МКЗ (З.С. Heinrich. P.S. Huyakorn, О.С. Zienkieuicz, fl.R. Mitchell, T.3.R. Hughes,, ft. Brooks, P. Lesaint и др.), обеспечивающих аппроксимации конвективных членов уравнений переноса аналогами разностей "против потока" (upsind elesent).

Вавным иагом в развитии МКЗ применительно к задачам гидродинамики и тепломассообмена явился подход реализации метода (B.R. Balißa, S.U. Patankar, T.T. Phaa, С. Prakach и др.), базируоцийся на понятии контрольных объемов и аппроксимации функций, строящейся на основе частных ревений конвективно-диффузионной части исходных уравнений переноса. Расчеты с использованием этого подхода показали высокув точность полученных результатов, что является следствием использования на элементах близких к ревенив базисных функций.

Улучвение аппроксимаций искомых функций в плане прибливения их свойств к свойствам ревений краевых задач и является, на нав взгляд, интенсивным путем развития МКЗ в области ревения задач механики видкости и конвективного тепло- и массообмена.

позволявши' значительно расвирить класс моделируемых процессов переноса без суцественного двеличения требуемых затратных показателей вычислительной техники при расчетах.

Цель работа. Исходя из сказанного выве, целью настоявей диссертационной работы является развитие перспективного направления численного моделирования задач механики видкости и конвективного тепломассопереноса на основе метода конечных элементов с использованием аппроксимации функций на треугольных элементах, обладавшей новыми качественными свойствами и строящейся как суперпозиция частных ремений модельных урквне-ний конвективно-диффузионного переноса: создание на базе модифицированного метода конечных элементов алгоритмов и комплексов программ ревения двумерных и трехмерных задач гидродинамики и теплообмена в областях слошюй геометрической формы и каналах слоеного сечения.

В соответствии с целью работы ставятся следуащие задачи исследования:

- построение новых аппроксимационных зависимостей функций на треугольных элементах в декартовой и цилиндрической системах координат на основе частных ревений неоднородных модельных уравнений конвективно-диффузионного переноса, проведение сравнительного анализа свойств известных аппроксимаций и предло-■енных в данной работе;

- формулировка обобщенной математической модели течения и теплообмена в двумерных плоских и осесимметричных областях словной геометрической формы, разработка основанных на предлагаемой модификации НКЗ алгоритмов и комплексов программ численного ревения сопряженных нестационарных задач переноса;

- теоретическое обоснование и чисенное подтвервдение достоверности и точности результатов реаения двумерных задач;

- разработка алгоритма совместного применения методов конечных элементов и разностей для ревения нестационарных трехмерных задач гидродинамики и теплообмена в каналах слоеного сечения с учетом эффекта их вращения, теоретическое исследование сходимости итерационной процедуры ревения трехмерных задач переноса во врацаюцихся каналах;

- разработка комплекса прикладных программ ревения задач гидродинамики н теплообмена во врацавцихся каналах, численное подтверждение достоверности и точности расчетных результатов:

- формулировка (на основе параболизованных уравнений) математических моделей процессов конвективно-диффузионного перено-

са в скрученных каналах словного поперечного сечения и каналах с изменявшейся по длине геометрией сечений;

- построение аппроксиыационных зависимостей функций на элементах и разработка ыариевнх (на базе совместного применения ЙКЭ и ИКР) алгоритмов расчета параметров течения и теплообмена в скрученных каналах словного сечения и каналах типа "диффузор - конфузор":

- разработка комплексов прикладных программ ревения краевых задач гидродинамики и теплообмена в скрученных каналах произвольного сечения и каналах с изменявшейся по длине геометрией сечений, численное подтверядение достоверности и точности расчетных результатов;

- ревение прикладных задач конвективно-диффузионного переноса в двумерных областях слояной геометрической формы и каналах словного поперечного сечения.

Научная новизна. В диссертации развито перспективное направление численного моделирования процессов гидродинамики и тепломассопереноса в областях слояной геометрической формы на основе метода конечных элементов, базирующегося на принципе контрольных объемов и новом подходе построения аппроксимации ревений на треугольных элементах. Интерполянты искомых функций (компоненты вектора скорости, температура) строятся как суперпозиция частных ревений неоднородных модельных уравнений конвективно-диффузионного переноса и учитывает их источниковые члены.

На основе данного подхода в работе:

- построены новые аппроксимационные зависимости функций на элементах для случаев реяения двумерных плоских и осесиммет-ричных задач механики яидкости и теплообмена, исследованы свойства этих аппроксимаций и обоснованы преимущества их использования по сравненив с известными;

- разработаны и теоретически обоснованы новые алгоритмы численного ревения нестационарных краевых задач гидродинамики и теплообмена в двумерных расчетных областях, при этом построение математических моделей физических процессов на основе обобщенных уравнений переноса для пористых сред дает возмои-ность использования этих алгоритмов для ревения вирокого класса сопряаенных задач переноса импульса и энергии;

- разработан комплекс прикладных программ расчета характеристик течения и теплообмена в двумерных расчетных областях произвольной геометрической формы, позволяющий моделировать про-

цессы переноса при вынужденной и свободной конвекции, в пористых средах, решать сопрявенные задачи типа "аидкость-твер-дое тело", "видкость-пористая среда", "пористая среда-твердое тело" и их комбинаций;

- на основе совместного применения методов конечных элементов и разностей разработан новый царвевый алгоритм расчета характеристик течения и теплообмена на начальных участках вравав-иихся каналов произвольного поперечного сечения, проведено теоретическое исследование сходимости его итерационных ревений;

- разработан комплекс прикладных программ расчета нестационарных трехмерных полей скорости, давления и температуры во врацавцихся каналах произвольного поперечного сечения;

- с использованием неортогональных преобразований систем координат разработаны математические модели процессов переноса импульса и энергии в скрученных и винтообразных каналах произвольного поперечного сечения, а такве в каналах с изменяющейся по длине геометрией сечений, дащие возновность реализации численных расчетов как и в случае прямых каналов;

- получены модельные уравнения конвективно-диффузионного переноса и функциональные вырахения, аппроксимирующие на треугольных элементах ревения задач гидродинамики и теплообмена в скрученных (винтообразных) каналах словного сечения и каналах с изменявшейся по длине геометрией сечений;

- на основе единой концепции ревения трехмерных нестационарных задач переноса в каналах разработаны новые алгоритмы и комплексы прикладных программ расчета характеристик течений и теплообмена в скрученных (винтообразных) каналах произвольного поперечного сечения и каналах с изменявшейся геометрией сечений;

- применение разработанных комплексов программ позволило решить ряд новых задач гидродинамики и теплообмена в двумерной и трехмерной постановках.

Практическая ценность. Разработанные на базе новой модификации НКЗ алгоритмы и комплексы программ позволяет эффективно и с малыми затратами памяти ЭВ11 проводить численное исследование течений видкости и теплообмена в двумерных областях словной геометрической формы и каналах словного сечения, ре-вать вирокий класс задач сопряженного теплообмена и гидродинамики, моделировать влияние различных массовых сил и геометрических факторов на структуру течения и теплообмен. Комплексы программ могут использоваться как инструмент численного

анализа процессов переноса на этапе проектирования энергетического оборудования и теплообаенных систем.

Представленные о диссертации комплексы программ использовались при проведении численных расчетов в НИИ Энергетического назиностроения МГТУ им. Н.Э. Баумана (г.Москва). ВНИИПроигаз (г.Носква). KG "Ваное" (г.Павлоград). ИЯЭ АН Беларуси (пос. Сосни) и в других организациях.

Обоснованность и достоверность представленных в диссертации результатов основана на строгости математического описания моделей исследуемых процессов переноса, полученных оценках свойств приведенных аппроксимационных зависимостей и результатах исследования сходимости и точности решений, а также на данных тщательного и методического тестирования разработанных комплексов программ на реиениях вироко известных тестовых задач, сравнении полученных результатов расчетов с данными экспериментов и результатами расчетов других авторов.

Автор защищает:

- полояение о тон, что для повыиения точности численных результатов, улучиения устойчивости и экономичности расчетных алгоритмов, реализующих метод конечных элементов при решении краевых задач гидродинамики и теплообмена в двумерных и трехмерных областях, целесообразно использовать аппроксимации искомых Функций на элементах, строящиеся на основе аналитических реаений модельных (элементных) уравнений конвективно-диффузионного переноса; аппроксимации функций доляны строиться как суперпозиция частных реиений неоднородных модельных уравнений и учитывать их источниковые члены;

- математические модели процессов переноса импульса и энергии в двумерных областях, в скрученных вдоль продольной оси каналах произвольного сечения и каналах с изменяющейся по длине геометрией сечений;

- методику построения аппроксимаций функций на треугольных элементах и аппроксимационные зависимости, полученные для случаев ревения двумерных плоских и осесимметричных задач гидродинамики и теплообмена, а такяе трехмерных задач переноса в скрученных каналах и каналах с изменяющейся по длине геометрией сечений;

- результаты и выводы из сравнительного анализа свойств предложенных аппроксимационных зависимостей и известных аппроксимаций;

- основанный на совместном применении ЫКЭ и МКР подход постро-

ения алгоритмов ревения двумерных и трехмерных задач гидродинамики и теплообмена, алгоритмы расчетов полей скорости, давления и температуры в двумерных плоских и осесимметричных областях, во вращающихся каналах произвольного сечения, в скрученных (винтообразных) каналах, в каналах с изменяющейся по длине формой сечений;

- результаты исследования сходимости реализуемых в алгоритмах итерационных процедур вычислений;

- комплексы прикладных программ расчета характеристик течения и теплообмена в двумерных областях слоеной геометрической формы, во вращающихся и скрученных каналах произвольного сечения, а такве в каналах с изменяющейся по длине геометрией сечений; -результаты численного ревения двумерных и трехмерных прикладных задач гидродинамики и теплообмена в областях словной Формы и каналах сложного сечения.

Апробация работы. Материалы настоящей диссертационной работы докладывались на секциях "Вычислительный эксперимент в задачах тепломассообмена и теплопередачи" Минских международных форумов 1988, 1992 гг.; Всесоюзном совещании "Аналитические методы расчетов процессов тепло- и массопереноса", Дуван-бе, 1986 г.; VI, VII, и VIII Всесоюзных вколах-семинарах МВТУ им. Н.З.Баумана "Современные проблемы газодинамики и тепломассообмена и пути повывения эффективности энергетических установок", Волгоград, 1987 г., Канев, 1989 г., Москва, 1991 г.; Всесоюзном семинаре "Тепломассообмен и гидродинамика тонких струй вязкой жидкости", Днепропетровск, 1989г.; Отраслевом семинаре СФТИ "Современные проблемы теплофизического обеспечения электрофизических установок", Сухуми, 19S0 г.; VIII Республиканской конференции "Повывение эффективности, совервенство-вание процессов и аппаратов химических производств", Днепропетровск, 1991 г.; Межотраслевой научно-технической конференции ЦИАМ, ХАИ "Проблемы функциональной диагностики газотурбинных двигателей и их элементов", пос. Рыбачье, 1990 г.; VII научно-технической конференции МГТ9 им. Н.Э.Баумана, ЦНИИ им. А.Н.Крылова. ИТТФ АН 9ССР "Опыт эксплуатации и пути совервен-ствования теплообменного оборудования", Севастополь, 1991 г.; III Всесоюзной вколе-семинаре "Численные методы механики спловной среды", пос. Дюрсо, 1991 г.; IV Всесоюзной вколе-се-ыинаре "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики", йлувта, 1991 г.; заседании секции ГКНТ СССР "Методы расчета процессов теплопереноса й физико-химических пре-

вращений в высокотемпературных материалах", Москва, 1991 г.; на итоговых научных конференциях ДГУ, Днепропетровск, 1985— -1991 гг.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 разделов, заключения и списка литературы. Работа изложена на 385 стр. маиинописного текста, содержит 108 рисунков, 3 таблицы. Список использованной литературы включает 156 источников.

Во введении дана характеристика актуальности проблемы, представлен .краткий обзор сучествувщих подходов моделирования процессов гидродинамики и теплообмена на основе метода конечных элементов, сформулированы цель работы и задачи исследования. Там не определены выносимые на защиту результаты, их новизна. а такае приведена аннотация работы.

В первом разделе диссертации рассмотрены формулировка метода конечных элементов, а такое вопросы построения аппроксимаций Функций на треугольных элементах. Базисные функции элементов при ревении задач гидродинамики и конвективного теплообмена предложено строить как суперпозиции частных ревений неоднородных модельных уравнений конвективно-диффузионного переноса, записываемых для каждого элемента дискретного образа расчетной области. Модельный характер этих уравнений понимается в том смысле, что компоненты вектора скорости в конвек-• тивных, коэффициенты переноса в диффузионных составляюцих и источниковые члены уравнений считаются отнесенными к центрам масс треугольников и постоянными на каждом из них. Так, в декартовой системе координат модельное уравнение записывается в виде

где индекс определенности его на конкретном конечном элементе опучен, индекс "о" подчеркивает отновение соответствующих величин к центрам масс треугольников. Функция/ на элементе аппроксимируется зависимостью

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(2)

где / .

// Е Ш, {(*-/}. h^dmi^pl^Ay-lA-i} "

- ревения одномерных по координатам однородных аналогов урав-уравнения (1);^ - частное решение (1) с единичным источником. Функция % определяется как

+ (3)

- ревения модельных уравнений с единичными источниками, описывающих соответственно только диффузионный и только конвективный переносы субстанции / %et¿¡,ti/á ; о/й - характерный размер элемента: * í/f)1^2 . Легко видеть, что использование %еа , <р и ip позволяет обеспечивать переходы к предельным случаям аппроксимации функции / (^-"f при fíé -

— О — при --(«5 — 00 )).

После нахождения параметров аппроксимации <?С , я „ р выравение (2) записывается следузчим образом:

Здесь [/V] - матрица-строка базисных Функций рассматриваемого треугольного элемента, которые определяется по формулам, совпадавшим с формулами для базисных функций линейного элемента, где переменная X заменяется, на ^ , а ^ на ^ ; { * )-вектор-столбец узловых значений функции f-QtÍ.

Аппроксимационные зависимости на элементах в цилиндрической системе координат стороились как суперпозиция частных ре-вений неоднородного модельного уравнгшя

и получены в предполовении, что размеры треугольников по радиальной координате р таковы, что отновение r/rg близко к

единице. Как и выве, функция / на элементе представлялась в виде ~ * - *

Г- - Ш'М^Ы^Н

сеточное (элементное) число Рейнольдса. Нетрудно проверить, что в рамках сделанного допущения функции и ^ является решениями однородного уравнения (4), а -частным решением этого уравнения с единичный источником. Видно татю, что, как и в декартовых координатах, при функция стремится к одному из частных реиений уравнения теплопроводности с единичным источником, функции н переходят в реиение уравнения Лапласа ( ~ : —"

В зтон зе разделе диссертации проведен сравнительный анализ аппроксимаций функций на элементах, строяцихся на основе частных реяений неоднородных модельных уравнений конвективно-диффузионного переноса, и наиболее часто используемых при реализации КПЗ полиномиальных (линейной и квадратичной) аппроксимаций.

Различные способы приблиаения функций на треугольных элементах исследовались в смысле выяснения их близости к решению исходного дифференциального уравнения переноса. Это было сделано в рамках следующего данного в работе определения.

* Пусть функция является реаениеа краевой задачи

* для уравнения

* \ (5)

¿У - 4, у е 00,

_ *

* (. - ограниченная область ), - ее граница:

* А , 3 , С - дифференциальные операторы: , - известные

* функции;.^- триангулированная область (.й^с^? ), вер* айны которой леяат на ¿Я ). Функция называется

* -эквивалентной ревенип уравнения (5) (функции / ) на

* элементе , если

* где длина наибольвей стороны элемента.

В работе показано, что линейная аппроксимация функций на элементах обеспечивает их ноль-эквивалентность ревенив уравне-

ния конвективно-диффузионного переноса, а для норм невязок этого уравнения, полученных с использованием квадратичной и построенных на частннх ревениях аппроксимаций, справедливы

оценки гяе

Выравения для констант (6) имевт вид:

- квадратичная аппроксимация:

(7)

- предлагаемая аппроксимация:

7х* (8)

/Д1

Здесь индексы С(£ ) в знаках нора .пучены.

Сравнение равенств (7) и (8) позволяет сделать вывод, что, несмотря на одинаковый порядок эквивалентности аппроксимаций ревений уравнения конвективно-диффузионного переноса, построенные на частных ревениях модельных уравнений аппроксимации функций имевт ряд существенных преимуществ по сравненив с квадратичной.

Во-первых, на сетках с одинаковым числом элементов и одинаковой их мерой мелкости реализация квадратичной аппроксимации требует больвего объема памяти ЗВН. Во-вторых, ннтерполянтн, строячнеся на ревениях. точно аппроксимирует функции / когда U = const, it ¡¡const, ¿?=const. Точность ревения краевых задач мовет быть выве и о других случаях. В-третьих, из выравения

(7) следцет, что при реализации квадратичной аппроксимации необходимо избегать использования в области близких к вырожденным треугольных элементов (¿^—О). В оценке для аппроксимаций, строящихся на частных реоениях модельных уравнений, такое ограничение (по крайней мере для возмояности получения невязки порядка О (h^fi отсутствует. В-четвертых, квадратичная аппроксимация мояет терять первый порядок эквивалентности рененип на грубых сетках, когда

тях

В работе такяе отмечено,что аппрокимации функций на элементах, построенные на частных ревениях модельных уравнений конвективно-диффузионного переноса, становятся 1-зквнвалентныыи реиенив исходного уравнения только в случае учета в них источ-никовых членов Qt . В противном'случае точность численных ре-аений мояет оказаться низкой.

Кроме рассмотренного выие исследования, в первом разделе проведено сравнение двух различных аппроксимаций функций, строящихся на ревеннях модельных уравнений (представленной в данной работе и предложенной в работах B.R. Ballga, S.U. Ра-tankar). Критерием выбора базиса при построении аппроксимаций при этом явилась проверка степени несогласованности результи-рувщих базисных функций при переходе через границы элементов. И в этом случае предпочтение было отдано предлояенной в данной диссертации аппроксимации решений.

Таким образом, результаты выполненного в первом разделе диссертации анализа свойств различных аппроксимаций функций на треугольных элементах позволили обосновать целесообразность использования при реиении краевых задач конвективно-диффузионного переноса предложенных в работе зависимостей и дали основания для их дальнейшего применения при построении на основе МКЭ алгоритмов численного расчета двумерных и трехмерных процессов гидродинамики и теплообмена в областях сложной геометрической формы.

Второй раздел диссертации посвящен изложении и обосновании алгоритмов численного реиения двумерных плоских и осесим-нетричных задач гидродинамики и конвективного тепломассообмена в областях сложной геометрической формы. Алгоритмы разработаны как процедуры ренения краевых задач переноса, математические модели которых базирувтся на обобщении уравнений движения и энергии для пористых сред.

В качестве базовых при построении математических моделей двумерных процессов переноса использовались уравнения движения для пористых сред в приближении Дарси-Бринкмана-Форвхаймера: л

- ¿а * + Р . с;./2) • Не & Эх; > ет * <• ' я*>'1 > (9)

. г а ? г. м \

*•[*/>#+л? -Ц- ]'%-(АЪ)*

где ^ =0, Х^-Х. Х2- У - декартова система координат; =1, Х} - X, Хг* X- цилиндрическая система координат; ¡/¡-1/, 1/г~ V. В системе (9): / ^

& • (Т-Т^/йТ у Р-р/С^д-2)-,. & -/„&///Г, Я"**//;

Л - ; АГу, - <Лу» )Т / '*

Л & . ¿7* -масатабные величины; С - коэффициент инерции; - проницаемость среди; £ - пористость; индексы " Т «,

" с? " - жидкая, твердая фазы и эквивалентная величина, соответственно.

В случае £ =1, да - 00 , ¿*=0. уравнения системы

(9) описывает процессы гидродинамики и теплообмена в аидкостях. Для твердых тел <Г-"-0, 0. в то же время стремление

к нули этих параметров происходит так. что 0, и в этом

случае уравнения движения (9) переходят в тождества I/ - V-0.

которые и дадут нулевое распределение компонент вектора скорости в подобластях расчетной области П . занятых твердой фазой. Дискретный аналог уравнения энергии при этом автоматически преобразуется в дискретный аналог уравнения теплопроводности. Идентификация же того или иного процесса и физических свойств веществ в различных подобластях расчетной области осуществляется заданием значений параметров £ , Ля . . Л . которые могут вводиться в память ЭВМ уже на этапе построения конечно-элементной сетки.

Алгоритм ревения двумерных задач гидродинамики и конвективного теплообмена построен на основе совместного применения методов конечных разностей (дискретизация уравнений переноса по времени) н элементов (аппроксимация ревения по пространственным переменным) как процедура раздельного определения полей компонент вектора скорости, давления и температуры путем итерационного поиска поправок искомых величин. При этом выделяются два этапа вычислений - глобальные и локальные итерации. Глобальные итерации используются как метод ревения систем нелинейных уравнений путем их линеаризации на каждом временном слое по значениям компонент вектора скорости, известным с предыдущего вага вычислений. Локальные - для нахождения полей скорости, давления и температуры на кавдой глобальной итерации.

Так, линеаризация уравнений движения осуществляется путем определения сомножителей в конвективных членах в соответствии с равенствами

£/»(/-/*)&"* ¿и**1'* ; У - (/-Л)?** (¿У"*1'3,

где Vя, Vя -значения компонент вектора скорости на предыдущем временном слое; (/"**'* . У**'5 - компоненты скорости, рассчитанные на предыдущей глобальной итерации с номером ; оС - параметр (0 * <* ^ 1).

При определении V,!/ ,р на этапе локальных итераций компонента вектора скорости и давление представляются как

V-1/'+ 17" ; V- У'* У'} ршр'+р",

где 11' , У находятся в результате ревения системы уравнений движения с исходными краевыми условиями по заданному (с предыдущей глобальной итерации, например) црлю давления Р'. Поправки У", У", р" находятся итерационно как ревение системы уравнений движения и неразрывности с однородными начальными

и граничными условиями. При этой уравнение для определения поправок давления строится на основе уравнения неразрывности и его элементный аналог (в декартовой системе координат, например) имеет вид

где г [//*/ + + с\[дя\й\)/В(?Х} ?

•)р - параметр нияней релаксации ^ 1);

уц » аппроксимацмонные зависимости функций и УЦ на

элементах, построенные в соответствии с (2); ^ - номер предыдущей локальной итерации.

Окончание расчетов на локальных итерациях производится при достивении заданной точности вычисления попраки давления ¿"Р (рассматривается как аналог невязки уравнения неразрывности). Расчет на глобальных итерациях заканчивается по достивении заданной точности для значений компонент вектора скорости на расчетном временном слое.

В данном разделе рассмотрены вопросы сходимости вычислительных процессов как на этапе глобальных, так и на этапе локальных итераций. Показана возиовность получения сходящихся ревений, определены способы ее реализации за счет выбора параметров и Л . Показано, что условием сходимости глобальных итераций является требование полоаительной определенности матрицы системы алгебраических уравнений относительно узловых неизвестных компонент вектора скорости, а такве получены неравенства, которым долвны удовлетворять параметры краевой задачи, чтобы это условие выполнялось, 1>к, для случая решения задач переноса в пористых средах долвно выполняться неравенство

(У^)2} ^ Эа +£а/ '

а при рассмотрении задач переноса в видкостях (<?— 1,

[(1/*"'*)'* (У*^)2} -2,

где £? - расчетная область. Записи этих неравенств в терминах сеточных параметров, а именно

^ АГа /(^ + £Ха) < 2£2/В^ ,

(здесь /й», • • = -

сеточные (элементные) числа Рейнольдса, Куранта и Дарси, соответственно; д^. г> (и+ диаметр элемента;-¿Т- оаг сетки по времени), иоано расценивать как условия, которые необходимо выполнять при проведении пространственно-временной дискретизации расчетной области с целью получения сходящихся реяений.

Тестирование комплексов программ, реализующих представленные алгоритмы ренениа двумерных задач, проводилось в результате расчетов полей скорости, давления и температуры в процессах свободной и вынуяденной конвекции в различных двумерных областях. В качестве тестовых выбирались задачи, для которых известны аналитические или численные ревения, либо ниеится данные экспериментальных исследований. Так, били получены ревения следувщих краевых задач гидродинамики и теплообмена: о свободной конвекции в замкнутой квадратной полости при различных числах Грасгофа; о свободной конвекции в замкнутой цилиндрической емкости, заполненной тепловыделяияии газом; о течении зид-кости в квадратной каверне с двияуцейсз стенкой для различных чисел Рейнольдса; о течении шидкости иезду двумя коаксиальными цилиндрами, один из которых вращается; о вынуяденном течении аидкости в плоском и осесимиетричном каналах с препятст-виеи и о течении в плоском канале с обращенной назад ступенькой; о течении аидкости в плоском канале с проницаемыми стенками.

Сравнение расчетных результатов с известными свидетельствует об их хоропеа согласовании. Ревение яе задач на различных конечноэлеаентных сетках позволило получить апостериорные оценки, которые показали второй порядок точности метода.

Результаты теоретического исследования алгоритмов и тестирование дали основания для использования реализующих их комплексов программ с целью ревения прикладных задач гидродинамики и теплообмена в двумерных постановках. Так, в данном разделе представлены результаты численного ревения задачи о течении и теплообмене во вращавщеыся плоском тупиковом канале с проницаемой стенкой, а такае сопрявенной нестационарной задачи о сво-

б одной конвекции в осесимметричном теле слоной геометрической формы, которое находится в изменяющемся во времени поле гравитационной силы. Некоторые результаты решения задачи о течении ■идкости в тупиковом канале для случаев задания различных значений параметра его вращения представлены на рис 1,2.

В третьем разделе работы представлен алгоритм решения трехмерных задач гидродинамики и теплообмена во вращающихся каналах сложного поперечного сечения (см. рис. За). Такие каналы являются конструктивными элементами систем охлаадения различных узлов энергетического оборудования, двигательных установок, и задача численного моделирования протекающих в них процессов переноса импульса и энергии является одной из актуальных проблем вычислительной гидродинамики и теплофизики.

Математическая модель процессов переноса во вращающихся каналах в данной работе строилась на основе параболизованных уравнений движения и энергии, что дало возможность создания экономичного маршевого алгоритма расчета параметров течения и теплообмена. Цели обеспечения экономичности вычислений подчинен и выбор комбинации методов, положенных в основу этого алгоритма. Он представляет собой совместное применение метода конечных разностей, используемого для аппроксимации в уравнениях переноса производных по времени и по продольной координате, и метода конечных элементов - для дискретизации расчетной области в плоскостях сечений каналов и аппроксимации ревения по пространственным "поперечным" координатам. Такая комбинация методов позволяет сохранить требования по необходимому для расчетов объему памяти ЭВМ на уровне ее объемов при ревении двумерных задач переноса.

Аппроксимация функций на элементах в данном случае осуществляется на основе интерполянтов, строящихся как суперпозиция частных ревений неоднородных модельных уравнений переноса (1), источниковые члены которых представляют собой суммы значений определяемых в центрах масс треугольников компонент действующей в потоке силы Кориолиса и градиента модифицированного давления:

^ " ' "Л ^ ' ^ ;

где Р [р -/(гх аГ)/2]/(^*Гг) ; /* - радиус-вектор частицы жидкости, перпендикулярный оси вращения канала; (О - вектор угловой скорости вращения канала; С/ . V , № - компоненты вектора скорости ; ,^ - компоненты единичного вектора (5/\бд\ : Яо - 2\Л\я/й)' : 4 - характерный линейный размер сечения канала; - средняя скорость течения жидкости; #=*/(/ , У, ; . Гт„ . Гггд - компоненты

массовой силм, природа которой не обусловлена эффектом вращения канала.

Алгоритм вычислений построен на основе допущения, что давление Р в потоке щидкости представимо в виде суммы^ функций

Р(Х,У,4) -давление в плоскости сечения канала и Р(1 - осредненное по сеченип канала давление. Последовательность расчета узловых значений вектора_ скорости, давления Р , а также значения градиента давления Р в направлении продольной оси (на расчетном слое по времени и в расчентом сечении) представляет собой двухуровневую процедуру итерационных вычислений. На первом уровне (глобальные итерации) осуществляется линеаризация системы уравнений движения путем определения компонент вектора скорости в их конвективных членах в виде линейных комбинаций значений этих переменных, известных с предыдущего расчетного сечения и предыдущей глобальной итерации:

V - : V : ¡V -

*(/-<<)• где/у*/ . /у/ - номера расчетных момента времени и сечения канала; у - номер предыдущей глобальной итерации; О*"^!.

Внутри каждого вага первого уровня вычислений проводятся итерационные вычисления узловых значений искомых величин (локальные итерации, второй уровень). Итерационный характер этих расчетов обусловлен как взаимосвязанностью уравнений движения, так и стремлением организации раздельного определения компонент вектора скорости, давления и его градиента. Искомые величины представляются в виде V - 1/'+1/", V - У'+У" , № -Л", Р -- Р'+ Р". гР/П -- (¿Р/М) '* (¿Р/П) ' , где Р' , ■<- заданные (с предыдущей глобальной итерации, например) распределения давления и его градиента. Составляющие вектора скорости V . V. определяются в результате решения системы уравнений движения с исходными начальными и граничными условиями. Поправки 1/",У. И?"и Р"находятся (при однородных

краевых условиях) из системы уравнений 17¿Г ^-^(Гг^'Гг^;

ъ"'- ж* ГННТЕ)-

¿[/"/¿X + + М'/^У+М'/Я),

а для определения 0№/¿2'.)" получено балансовое по расходу со-отновение

-Ф'-ФК7 * й) '

2>

Здесь = ¡/¿/¿X + У*/¿УМ2 ; V2-- }*/}хг * ;

-ваги разностной сетки по времени и координате 2 \ дг -^У'У^/ - Расход видкости:

£ - плочадь сечения канала (области ^ ); «* ;

оС^ релаксационный параметр <■ 1). Рекуррентные соотнове-ния наховдения поправок р" и (^р/^)" имевт вид

и Р^ = Р'^ + ?Рт (^/=0, л?-номер локальной итерации). Поле давления находится в результате ревения уравнения Пуассона (строявегося на основе уравнения неразрывности), элементный аналог которого имеет вид

где , </>ут -аппроксимационные зависимости для составлявших вектора скорости , 0

Расчеты на ваге выполнения локальных итераций прекрацавтся по достивенив необходимой точности вычисления давления и его градиента, на ваге глобальных итераций - точности вычисления

компонент вектора скорости.

Проведенное в этом разделе исследование сходимости реаений на этапах локальных и глобальных итераций позволило получить априорные оценки для параметра нижней релаксации и пара-

метра оС , используемого в качестве веса при линеаризации уравнений двиаения, которые свидетельствуют о возможности реализации сходящихся ревений. Как и в случае двумерных задач, получены неравенства, связывающие параметры математической модели и сеточные параметры ее дискретного аналога, в соответствии с которыми необходимо согласовывать ваги разностной сетки по времени, по продольной координате, а таквё размеры конечно-элементной сетки с целью получения сходящихся ревений.

Тестирование комплекса программ, реализующего представленный в работе алгоритм расчета полей скорости, давления и температуры при течении жидкостей во вращающихся каналах слояно-го поперечного сечения, проводилось путем численного ревения задач гидродинамики и тег ообмена в каналах квадратного, полукруглого, треугольного сечений, в продольно обтекаемых пучках стераней для предельного случая - без учета змектов вращения, а такзе во вращающихся каналах прямоугольного сечения.

Сравнение расчетных данных с известными свидетельствует об их хорояен согласовании, апостериорные оценки погревностей показали, что алгоритм иыеет второй порядок точности по коорди-натаа в плоскостях сечений каналов и первый по продольной координате.

В этом ае разделе диссертации представлены результаты ревения прикладных задач гидродинамики и теплообмена во вращавшихся вокруг произвольно ориентированной в плоскости входного сечения оси каналах квадратного, полукруглого и треугольного сечений. В ходе - численных расчетов анализировалось влияние ориентации оси вращения на структуру течения и теплообмен на начальных гидродинамических и тепловых участках каналов. Эти задачи решена в данной работе впервые. На рис. 4-6 приведены отдельные результаты расчетов течения и теплообмена во вращающихся каналах треугольного и квадратного сечений.

Четвертый раздел диссертации посвящен разработке математических моделей а алгоритмов численного ревения трехмерных краевых задач гидродинамики и теплообмена в скрученных каналах слоаного сечениа и каналах с изменяющейся по длине геометрией сечений (си. рис 3 б,в). Актуальность рассмотрения этой проблемы обусловлена, с одной стороны, вирокнм использованием та-

них каналов в качестве конструктивных элементов теплообменного оборудования, вентиляции, коллекторов, с другой, - отсутствием системных подходов численного моделирования процессов переноса в них.

Математическая модель течения и теплообмена в скрученных каналах строилась с использованием врацавцейся (яестко связанной с поперечными сечениями) системы координат. Уравнения переноса импульса и энергии в случае каналов с изменявшейся по длине геометрией сечений преобразовывались путем замены переменных таким образом, что законы трансформации геометрических размеров сечений учитывались формой записи уравнений, а расчетной по длине канала оставалась область его входного сечения. Использование локальных координат в обоих случаях позволило избевать преобразований переменных на этапах дискретизации расчетных областей и построения дискретных аналогов уравнений переноса и использовать для ревения этих задач подход реализации МКЭ, во многом схоикй с алгоритмом реализации метода для пряных каналов постоянного сечения. Уравнения процессов переноса были получены (безразмерная форма) в виде - для скрученных каналов:

%♦*)у - £(%)'- -к {(?'* ъ*-И -

V')*- ?р- %'

А Л — г-

ГД8 Ж = 1/Г+ V/ * /У/; 7 * *^/^У * /"

V2" Фх2+ ¿'/¿У2; (У^ - ¿'¿//у) ;

д ~ V * У//¿//¿г; V-хм¿р/¿г,

г? - - параиетр закрутки канала,

- для каналов с изменявшейся по длине геометрией сечений:

// ¿X ¿?У Ъ/У X* 1 }

¿V л ¿(т * (М \ * и

- /уёР/РУ+Гу',

л

¿¿У Лг -Л.1 } п

¿г, + ¿У

где „ А

/у -функции, характеризуйте сиатие (рас-

тязение) размеров сечений канала по переменным X и У соответственно.у

Сохраняя в рассматриваемых случаях единый концептуальный подход построения аараевах алгоритмов ревения трехмерных задач гидродинамики и теплообмена в каналах, дифференциальные уравнения представленных математических моделей были частично па-раболизованы. Как и ранее, расчетный алгоритм строился на основе совместного применения методов конечных элементов и раз-

ностей. Поскольку дифференциальные операторы уравнений движения и энергии содерват смеванные производные, а коэффициенты переноса в них являютса функциями координат, были рассмотрены отличные от использованных в разд. 2,3 модельные уравнениа конвективно-диффузионного переноса и получены модифицированные аппроксивационные зависимости для функций на элементах. Так, дла обоих классов краевых задач модельное уравнение перекоса на элементах может быть записано в виде

и»?х ^/у «ех, мг Ягх/а МУ Ту2

Л Л

Здесь 1/д и - отнесенные к центрам масс треугольников значения функций и и V , параметры , , в случае скрученных каналов определяются как

и в случае каналов с изменяющейся геометрией сечений как

М _ Лх/уХе . ~ в &

Аппроксимация / на элементах строилась в виде (1), где

Л Ш) - {**р 4 "1}; жгт {"Л^у* ¿е-м]-'};

^(у+вг^/и+Мл); - Х/£ ((//+ У/)'/г с/ Л2 Л 2 я* - , Л

У* - ~ К С*-*,)]*/«?/' У/);

V « [4(X -*,)+ V, (у-у,)} / (у/ * у/).

В данном разделе описаны алгоритмы итерационного реиения краевых задач течения жидкости и теплообмена в рассматриваемых каналах, отмечены отличия их реализации от случая расчетов для

врашавшихся каналов слоаного сечения. Отнеченн такае особенности процедуры теоретического исследования вопросов сходимости ревений на локальных и глобальных итерациях, приведены неравенства, связывавшие сеточные параметры краевых задач и определяющие условия реализации сходящихся ревений.

Тестирование реализущих представленные алгоритмы комплексов программ проводилось по схеме выявления свойств численных резений в предельных случаях постановок краевых задач, а такне путем сравнения расчетных значений с известными даннымн численных исследований и аналитическими ревениями. Результаты тестирования позволили сделать вывод о хорошей точности получаемых результатов и возмовности использования комплексов программ при ревении практически вааных задач переноса импульса и энергии в скрученных каналах произвольного поперечного сечения и каналах с изменявшейся па длине геометрией сечений.

В этом разделе приведены данные расчетов полей скорости, давления и температуры на начальных участках скрученного канала квадратного сечения и ь трубе со скрученной лентой, а такие в канале, геометрические размеры сечений которого одновременно увеличивавтся и уменьвавтся по различным направлениям (координатам) вдоль продольной оси (сечение на входе в канал имеет форму квадрата). Эти задачи ренены в данной работе впервые. С цельв иллюстрации возмозностей комплексов программ, на рис. 7 представлены расчетные параметры течения в линейно рас-зирявцемся по длине канале квадратного сечения.

В пятом разделе работы представлено описание пакета прикладных программ численного ревения двумерных и трехмерных задач конвективно-диффузионного переноса в областях славной геометрической формы и каналах слоаного поперечного сечения. Структурно модули пакета объединены в проблемно ориентированные комплексы программ, реализувшие описанные в разд. 2-4 алгоритмы расчетов. На ЭВИ данные комплексы программ нспользувт-ся независимо друг от друга. Обшей особенностьп их работы является резервирование вненней памяти вычислительной мавины на магнитных дисках, которая позволяет экономить оперативную память ЭВИ. н сократить время расчетов при восстановлении матриц систем разрезавших уравнений !1КЭ при переходе с одной локальной итерации на другуз. Кроме того, реализуется возможности многократного прерывания расчетов и их возобновления с песта останова программы без значительных потерь времени вычислений и информации, выбора формы обработки расчетных данных, коррек-

ции расчетных схем и т.д.

В данном разделе описаны такае подпрограммы математического обеспечения реализации МКЗ в пакете программ (подпрограммы дискретизации расчетных областей, формирования матриц систем разревавщих уравнений, учета граничных условий Дирихле, реве-ния систем алгебраических уравнений), приведены блок-схемы комплексов программ ревения двумерных задач конвективно-диффузионного переноса и трехмерных задач во вращающихся каналах прозвольного сечения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗНЛЫАТЙ РАБОТЫ

1. В диссертации теоретически обосновано и развито перспективное направление численного моделирования процессов гидродинамики и конвективного теплообмена на основе модификации метода конечных элементов, базирующейся на новом подходе построения аппроксимационных зависимостей функций на треугольных элементах.

2. Построены новые интерполянты Функций в декартовой и цилиндрической системах координат, обоснована целесообразность их использования по сравнению с традиционной полиномиальной аппроксимацией функций на конечных элементах.

3. Разработаны алгоритмы и реализующие их комплексы программ численного ревения в естественных переменных нестационарных задач переноса импульса и энергии в двумерных плоских и осесимметричных областях словной геометрической формы. Поло-венная в основу формулировок математических моделей физических процессов обобщенная форма записи уравнений краевых задач, проведенное теоретическое исследование сходимости итерационных ревений, а также результаты тестированния комплексов программ дают основание утверждать, что в работе представлен эффективный метод ревения вирокого класса двумерных задач гидродинамики и теплообмена.

4. На основе совместного применения предлагаемой модификации МКЗ и метода конечных разностей разработан и теоретически обоснован экономичный по затратам памяти ВВЦ ыарвевый алгоритм ревения нестационарных трехмерных задач гидродинамики и теплообмена во вращающихся каналах.

5. Создан комплекс прикладных программ расчета характе- -ристик течения и теплообмена во вращающихся каналах произвольного сечения, тестирование которого свидетельствует о высокой

точности получаемых численных результатов и дает основание считать возмовниа использование этого комплекса при проведении исследовательских расчетов.

6. Разработаны удобные для алгоритмизации вычислений иате-иатические модели нестационарных трехмерных процессов переноса кипульса и энергии в скрученных и винтообразных каналах слоа-ного поперечного сечения и каналах с изменявшейся по длине геометрической формой сечений.

7. Получены новые модельные уравнения конвективно-диффузионного переноса в скрученных (винтообразных) каналах и каналах с изиенявцейся по длине геометрией сечений. построены модифицированные интерполянты функций на элементах.

8. Разработаны экономичные маряевые алгоритмы расчета течений и теплообмена в скрученных (винтообразных) каналах произвольного сечения и каналах с изменявшейся по длине геометрией сечений. Результаты тестирования реализующих алгоритмы комплексов программ свидетельствувт о достоверности расчетных результатов и позмозности использования данных комплексов в практике численного моделирования задач механики аидкости.

Э. Разработанные комплексы программ успеено применены для резения новых практически ванных двумерных и трехмерных задач ыеханики аидкости и теплообмена н использованы при проведении расчетов в ряде организаций.

10. Материалы диссертационной работа вклвчены в учебные пособия "йетод конечных элементов в задачах тепломассоперено-са" (соавтор A.A. Рядно) -Депропетровск: ДГУ, 1986 г., "Реализация метода конечных элементов на 3BU при реаении задач теп-ломассопереноса" (соавтор A.A. Рядно) - Днепропетровск: ДГЗ, 1987 г., "Гидродинамика н теплообмен во врав;авцихся трубах и каналах" (соавторы Е.М. Ракита, A.A. Рядно ) - Днепропетровск: ДГУ, 1991 г. и используются в учебном процессе в Днепропетровском государственном университете.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛ05ЕН0 В РАБОТАХ

1. Ночубей A.A., Давыдова H.H. Алгоритм дискретизации области для ыетода конечных элементов //Математические методы механики аидкости и газа. -Днепропетровск: ДГ9, 1981.-С.74-76.

2. Кочубей A.A., Рядно A.A. Алгоритм совместного применения методов конечных элементов и разностей для ре»ения нестационарных трехмерных задач переноса импульса, массы и энергии

при параболических течениях видкости в каналах //Теплофизика высоких температур. - 1984. - Т. 22, Н 4. -С. 715-719.

3. Кочубей A.A., Рядно A.A. Пакет прикладных программ расчета проиессов тепло- и массопереноса в каналах словиой формы //Известия АН БССР. Серия Физико-анергетических наук. -- 1986. - Н 2. -С. 60-63.

4. Кочубей A.A., Рядно A.A. Некоторые аспекты применения метода конечных элеменов в задачах гидродинамики //Численное моделирование гидрогазодинамических течений. - Днепропетровск: ДГ9, 198?. -С. 110-116.

5. Кочубей A.A., Рядно A.A. Реализация метода конечных элементов на ЭВМ при ревении задач тепломассопереноса. - Днепропетровск: ДГ9. 1987. - 60с.

6. Беляев Н.14., Кочубей A.A., Рядно A.A. Нестационарный теплообмен в каналах словного сечения при аэродинамическом нагреве //Прикладные вопросы аэрогазодинамики. - Киев : Нау-кова думка, 1987. -С. 92-95.

7. Кочубей A.A., Ниценко О.В., Рядно A.A. Алгоритм метода конечных элементов для ревения задач конвективного переноса в каналах //Математические методы тепломассопереноса. - Днепропетровск: ДГН, 1987. -С. 43-47.

8. Кочубей A.A., Мельник С.Е., Рядно A.A. 0 выборе аппрок-симационных функций при ревении двумерных и осесимметричных задач конвективного переноса методом конечных элементов //Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. -Днепропетровск: ДГ9, 1980. -С. 8-12.

9. Ниценко О.В., Кочубей A.A., Рядно A.A. О конечноэлемен-тном методе расчета течения несвимаемой видкости в канале с переменным поперечным сечением //Гидродинамика и тепломассообмен летательных аппаратов. - Киев: Наукова думка, 1988. -

' -С. 34-87.

10. Кочубей A.A., Мельник С.Е., Рядно A.A. Применение метода конечных элементов при численном моделировании процессов конвективного теплообмена в областях словной геометрии //Тепломассообмен - ММФ: Избранные доклады Минского мевдународного форума. (Секции 8,9 - Вычислительный эксперимент в задачах тепломасообмена и теплопроводность). -Минск, 1989. -С. 79-89,

11. Кочубей A.A. Алгоритм метода конечных элементов ргве-ния трехмерных задач гидродинамики в каналах словного сечения //Инженерно-физический журнал. -1989. -Т.57, N 3. -С. 506-511.

12. Рядно A.A., Кочубей A.A., Ниценко О.В. 0 влиянии цент-

робенной силы на гидродинамику и теплообмен во вращавшейся замкнутой полости //Известия внсвих учебных заведений. Энергетика. - 1990. - Н 9. -С. 110.-112.

13. Кочубей A.A.. Мельник С.Е., Рядно A.A. Применение метода конечных элементов при численном моделировании процессов конвективно-диффузионного переноса в осесимметричних областях //Теплофизика высоких температур.-1990.-Т.28. Я 4.- С.742-746.

14. Кочубей A.A.. Ракита E.H., Рядно A.A. Численное моделирование конвективного переноса во вращающихся каналах сложного поперечного сечения методом конечных элементов //Промыяленная теплотехника. - 1991. - Т.13, Н 1. -С. 16-22.

15. Кочубей A.A., Ракита Е.М., Рядно A.A. Расчет гидродина-кики и теплообмена во «вращавшихся каналах на основе метода'конечных элементов //Сибирский физико-технический журнал.-1991 Вып.1. -С. 129-130.

16. Кочубей A.A., Ракита E.H., Рядно A.A. Исследование процессов гидродинамики и теплообмена во врававцемся канале с параболическим обводом границы на основе метода конечных элементов /'Численные методы и математическое моделирование тепло-иассолереноса. -Днепропетровск: ДГУ. 1991. -С. 4-10.

1?. Кочубей A.A., Татарко Л.Г. Алгоритм численного исследования гидродинамики и теплообмена в каналах с изменявшейся по длине геометрией сечений на основе метода конечных элементов //Численные методы и математическое моделирование тепломассо-переноса. -Днепропетровск: ДГУ, 1991. -С. 15-21.

18. Кочубей A.A., Ракита E.H.. Рядно A.A. Гидродинамика и теплообмен во вращавшихся трубах н каналах. - Днепропетровск: ДГУ, 1991, - 99с.

19. Кочубей A.A., Татарко Л.Г. Алгоритм численного исследования гидродинамики и теплообмена в закрученном канале слояно-го сечения на основе метода конечных элементов //Инвенерно-фи-зический вурнал. - 1991. -Т. 60. N 3. -С. 487-494.

20. Кочубей A.A., Рядно A.A. Численное моделирование процессов конвективного переноса на основе метода конечных эле-иентов. -Днепропетровск: ДГУ, 1991. - 227с.

21. Численное моделирование двумерных и трехмерных задач конвективно-диффузионного переноса в областях словной геометрии и каналах словного сечения /A.A. Кочубей. С.Е. Мельник, E.H. Ракита и др. //Тепломассообмен - МИФ -92. - 1992. - Т. 9. ч.1. -С. 111-119.

У 8.8

0.6 Л4 аг

У и

Л 6

'Л лг

/и. 11У

6.

а е.г ал лб р.8 1.д аг а

Ч ^

\ // 1 ,

I й. // / / У/Г Л«' л' д |]

/ ✓ у //

¡г

у-га я я а. а

0Л4

А4 ,

и.г />л о. 6 лв {.V и /

ш

-1.17 1А

%-м

/ N -л75 я \ _ —

. -1 •0.76

Щ 8-3 ИМ Ш Я

Рис.1. Распределение продольной составляющей вектора скорости в различных сечениях

тупикового канала: сплоашнЬ линии -Ко>0 » пунктир -Яо<0 (вЬ12ь>вЬр/йг);

а -Но =0, б -\Ио\ =0,75, в -

Рис.2. Изменение поперечной компоненты вектора скорости на внешней поверхности пористой стенки вращающегося тупикового канала.

Рис.4. Проекции вектора скорости на плоскости поперечных сечений канала ( = 300, Ко = I)

Рис.5. Распределение числа Нуссельта по развертке гра-шшы сечения канала в области стабилизации течения

ЛГи К 10 S 2

л skr 4 Г D к '-Z'fi.f

lu\7 и mI fif\ hl ' ■ fi

ji \t\ /'/ ' ¡i 4 11 \ M \ H Í ^ !/ m

V « и il /i \ i \t \i » < » 1 r, \ ; л л л

V /Л A y » i л

A В С J>