автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование процесса распространения многофазного вещества в водоеме

Введение

1 Процессы распространения многофазных веществ в водоемах

1.1 Постановка задачи.

1.1.1 Перенос многофазного вещества.

1.1.2 Распространение однофазных веществ в водоеме

1.2 Обзор процессов распространения веществ.

• 2 Разностные схемы для уравнения конвекции-диффузии с граничными условиями Ш-го рода

2.1 Основные понятия теории разностных схем.

2.1.1 Свойства некоторых линейных операторов.

2.1.2 Построение конечно-разностных аналогов краевых задач математической физики.

2.1.3 Аппроксимация.

2.1.4 Устойчивость.

2.1.5 Сходимость.

2.2 Обзор разностных схем решения уравнений диффузии, переноса и конвекции-диффузии.

2.3 Разностная аппроксимация трехмерной задачи конвекциидиффузии

2.4 Центрально-разностная аппроксимация пространственного оператора конвекции-диффузии с оператором конвекции, записанном в симметричной форме.

2.4.1 Аппроксимация диффузионных членов.

2.4.2 Аппроксимация конвективных членов.

2.4.3 Аппроксимация свободного члена

2.4.4 Аппроксимация краевых условий Ш-го рода. т 2.4.5 Достаточные условия диссипативности оператора конвекции-диффузии с граничными условиями Ш-го рода.

2.4.6 Устойчивость.

2.5 Противопотоковая аппроксимация пространственного оператора конвекции-диффузии с оператором конвекции, записанном в недивергентной форме.

2.5.1 Противопотоковая аппроксимация уравнения конвекции-диффузии с краевыми условиями III* го рода.

2.5.2 Достаточные условия М-матричности стационарного оператора конвекции-диффузии

2.5.3 Исследование устойчивости на основе принципа максимума

2.6 Аппроксимация пространственного оператора конвекции-диффузии-реакции для многофазных веществ.

2.6.1 Исследования случая диссипативности оператора конвекции-диффузии-реакции

2.6.2 Исследование случая М-матричности оператора конвекции-диффузии-реакции ф 2.6.3 Условия диссипативности оператора конвекциидиффузии-реакции для радионуклидов.

2.6.4 Условия М-матричности оператора конвекции-диффузии-реакции для радионуклидов.

2.7 Тестирование разностных схем на модельных задачах

2.8 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

2.9 Параллельные вычисления.

2.10 Библиотека параллельных методов Aztec.

2.10.1 Выбор эффективного итерационного метода.

2.10.2 Выбор вычислительной платформы.

3 Программный комплекс

3.1 Web-интерфейс.

3.2 Ввод данных.

3.3 Счетные модули

3.4 Визуализация результатов расчета.

4 Вычислительный эксперимент

4.1 Реализация построенной математической модели на примере Азовского моря.

4.1.1 Гидрофизические характеристики Азовского моря

4.1.2 Предварительная обработка натурных данных

4.2 Вычислительный эксперимент для Азовского моря.

4.2.1 Результаты моделирования распределения солености

4.2.2 Результаты моделирования распространения примесей

4.2.3 Результаты моделирования распространения радионуклидов в Азовском море

В настоящее время биосфера Земли подвергается нарастающему антропогенному воздействию. При этом можно выделить несколько наиболее существенных процессов, любой из которых не улучшает экологическую ситуацию на планете.

Наиболее масштабным и значительным является химическое загрязнение окружающей среды несвойственными ей веществами химической природы. Химическое заражение почв, засорение воздуха и увеличивающееся загрязнение вод Мирового океана - все эти факторы оказывают заметное воздействие на процессы, происходящие в биосфере.

Многие химические вещества, попадающие в водоемы в результате техногенных аварий, а также в процессе функционирования промышленных предприятий, представляют собой не однородные, а многофазные вещества или многокомпонентные смеси. К таким веществам, например, относятся нефтяные загрязнения, тяжелые металлы и радионуклиды.

Особого внимания заслуживает радионуклидное заражение от работающих атомных электростанций и предприятий ядерного топливного цикла, когда возможные аварии несут глобальные негативные последствия.

Потребность предсказания возможных последствий строительства тех или иных гидросооружений для экологии региона, а также расчета последствий уже произошедших катастроф, диктует необходимость создания специализированных математических моделей.

Математическое моделирование оказывается незаменимым средством прогнозирования, в случае, когда натурный эксперимент либо невозможен, либо громоздок и слишком дорог.

Создание модели, максимально учитывающей особенности природных водоемов, приводит к задачам, описываемым системами дифференциальных уравнений в частных производных со смешанными граничными условиями. Наличие этих разнообразных граничных условий вносит определенные сложности при построении устойчивых алгоритмов решения рассмат-I* риваемой задачи.

Теоретическое и численное исследование выбранной модели распространения многофазного вещества на примере радионуклидного загрязнения и получение условий, обеспечивающих устойчивость применяемых схем расчета, являются актуальными задачами, представляющими научный и практический интерес.

Целью диссертации является разработка, численная и программная реализация математической модели, описывающей процессы распространения и оседания многофазного вещества во внутреннем водоеме (на примере 4ь Азовского моря).

Объектом исследования являются процессы распространения многофазных веществ в водоемах, включающих конвективно-диффузионный перенос и процессы сорбции-десорбции.

Методы исследования основаны на основных положениях теории операторно-разностных схем, в частности, на методах исследования устойчивости - принципе максимума и следствий из него для сеточных уравнений, а также опираются на результаты вычислительного эксперимента.

Научная новизна.

1. Для случая линейного уравнения конвекции-диффузии с краевыми условиями Ш-го рода получены

• достаточные условия диссипативности при центрально-разностной аппроксимации и М-матричности при про-тивопотоковой аппроксимации конвективных членов для стационарного уравнения;

• на основании этих результатов исследованы вопросы устойчивости этих схем для нестационарного уравнения.

2. Для нестационарного нелинейного уравнения конвекции-диффузии-реакции с краевыми условиями Ш-го рода в случае неявной схемы

• при центрально-разностной аппроксимации конвективных членов доказана ограниченность решения этой задачи;

• при противопотоковой аппроксимации конвективных членов получены оценки решения задачи распространения радионуклидов в случае М-матричности разностного оператора конвекции-диффузии-реакции.

Достоверность. Представленные в диссертации теоремы имеют строгое математическое обоснование. Проведенные численные эксперименты хорошо согласуются с натурными данными.

Практическая значимость. Созданный программный комплекс, реализующий математическую модель распространения многофазного вещества в водоеме, может быть использован Гидрометеоцентром и МЧС для численного моделирования и прогноза изменений полей многофазных загрязняющих веществ во внутренних водоемах, для исследования процессов оседания веществ, а также для прогнозирования изменения полей солености. Разработанный Web-интерфейс данного комплекса позволяет пользователям с различным опытом работы с компьютером производить необходимые расчеты независимо от конфигурации рабочего места.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Математическое моделирование в экологии и численные методы" (EMMNA'99) (г.Ростов-на-Дону, 1999г.); на VIII, IX и X Всероссийских школах-семинарах молодых ученых "Современные проблемы математического моделирования" (п.Абрау-Дюрсо, 1999г., 2001г., 2003г.); на Всероссийской конференции "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности" (п.Абрау-Дюрсо, 2000г.); на VIII и IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященное памяти А.Ф.Сидорова (Пущи-но, 2000г.; п.Абрау-Дюрсо, 2002г.); на Международной конференции "Ма-•д тематическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике" (г.Ростов-на-Дону, 2001г.); на международной конференции IMMC-2002 "Итерационные методы и матричные вычисления" (г.Ростов-на-Дону, 2002г.); на IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2002) / XIX Международном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (г.Санкт-Петербург, 2002г.); на Координационном совещании по теме "Комплексные исследования процессов, характеристик и ресурсов российских морей Североевропейского бассейна" и международном научном семинаре "Современные информацион-д ные технологии в океанологии и биологии" (г.Ростов-на-Дону, 2003г.); на

Международной конференции "III Всероссийская конференция по теории упругости" (г.Азов, 2003г.)

В полном объеме диссертационная работа докладывалась на научном семинаре "Методы решения краевых задач" лаборатории вычислительного эксперимента ЮГИНФО РГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе 7 в соавторстве. Из них 3 статьи в российских реферируемых журналах, 8 статей в сборниках трудов и 5 в тезисах докладов всероссийских и международных конференций.

Содержание работы

Во введении изложены основные цели и задачи диссертации, показаны их актуальность и практическая значимость, дано краткое содержание работы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена математическому описанию процессов распространения многофазных веществ в водоемах. Приведены различные существующие модели распространения многофазных и однофазных веществ.

В первом разделе главы приводится постановка задачи. В области Q х Т, Q = U Г рассматривается система трехмерных уравнений, описывающая процессы переноса в многофазной среде, которая замыкается начальными и смешанными краевыми условиями. Примером многофазной жидкости может служить водоем, в который попало некоторое количество радионуклидов. Фазами называются различные состояния рассматриваемого радионуклида. Часть радионуклидов находится в растворенной фазе, часть вступает во взаимодействие с частицами взвеси и составляет взвешенную фазу. Третий компонент смеси - осевшие на дно радионуклиды -образуют донную фазу. Наличие в водоеме взвесей обеспечивает переход растворенной фазы во взвешенную.

При описании процесса распространения радионуклидов в Азовском море взята за основу модель, предложенная киевскими учеными под руководством М.И.Железняка [123].

В обзоре литературы приведены существующие модели процессов, описываемых уравнениями конвекции-диффузии и конвекции-диффузии-реакции. К таким процессам можно отнести распространение примесей, динамику многофазных веществ, оседание взвесей и распределение полей солености в водоемах. Анализ этих моделей позволил сформулировать модель переноса радионуклида, как многофазного вещества. Приведены способы задания коэффициентов диффузии.

Во второй главе изложены основные теоретические результаты диссертации.

В первом разделе главы приводятся основные понятия, определения и свойства из теории линейных операторов, необходимые для дальнейшего изложения работы.

Используя условие несжимемости среды, система уравнений записывается в недивергентном виде и в эквивалентной симметричной форме. При пространственной аппроксимации уравнений системы, конвективная часть которых записана в симметричной форме, выбирается центрально-4ц разностная аппроксимация, а при недивергентной записи - противопотоковая.

При аппроксимации граничных условий Ш-го рода правыми или левыми разностями используется идеология противопотоковых схем.

В случае граничных условий 1-го рода центрально-разностная пространственная аппроксимация приводит к диссипативному разностному оператору, а противопотоковая аппроксимация обеспечивает ему свойства М-матричности. Наличие граничных условий 1Н-го рода может нарушать эти свойства операторов.

В работе получены достаточные условия диссипативности и Мматричности разностных операторов, получаемых в результате пространственной аппроксимации уравнений системы при наличии граничных условий Ш-го рода и постоянного коэффициента консервативности рассматриваемого вещества. Данные результаты отражены в двух теоремах.

Для неявной схемы с диссипативным разностным пространственным оператором доказана устойчивость в энергетической норме. М-матричность разностного пространственного оператора позволяет с помощью принципа максимума получить оценки решения через правую часть уравнений системы и их начальные и граничные условия для задачи конвекции-диффузии распространения консервативного и неконсервативного вещества в непрерывной норме. Для этого случая доказаны три теоремы.

Для задачи переноса многофазного вещества с краевыми условиями 111-го рода, в которой взаимодействие веществ в среде описывается матрицей общего вида, доказаны теоремы о сохранении свойства М-матричности разностного оператора и об ограниченности решения по времени в случае диссипативного оператора.

Получены достаточные условия полудиссипативности и М-матричности разностного оператора задачи конвекции-диффузии-реакции для радионуклидов, показана ограниченность решения по времени для диссипатив-ного оператора и получены условия, обеспечивающие ограниченность решения в случае М-матричного оператора.

Далее по результатам тестовых расчетов обоснован выбор применяемой разностной схемы. Приведен обзор методов решения систем линейных алгебраических уравнений, полученных при неявной конечно-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии. Описаны высокопроизводительные системы, на которых происходит решение задачи и пакет распараллеленных методов Aztec, который используется при решении рассматриваемых задач. Проведено тестирование по выявлению наиболее эффективного метода из пакета Aztec и проведено сравнение времени счета лучшего из рассмотренных методов - BiCGStab - на различных вычислительных платформах: SUN, ЫШХ(500Мгц), ЫШХ(2,4Ггц), ALPHA.

В третьей главе описывается программный комплекс, реализующий предложенную трехмерную математическую модель переноса многофазного вещества в водоеме. Обосновывается выбор Web-интерфейса, как платформо- и машиннонезависимого, дается его описание, а также описание тех данных, которые необходимо ввести.

В процессе работы с программным комплексом пользователь вводит данные в HTML-формы, правильность заполнения которых проверяет JavaScript на компьютере пользователя. Создание скриптов для постановки задания на счет осуществляют CGI-сценарии, написанные на языке PERL и расположенные на Web-сервере, они же формируют входные данные для счетных модулей комплекса и HTML-страницу для вывода результатов счета. Во время счета эта страница обновляется и позволяет видеть степень прохождения задания. Итоговые данные в виде графического и текстового файла помещаются на этой же странице по окончании расчета. Счетные модули комплекса написаны на языке FORTRAN-77.

В четвертой главе приводятся и анализируются результаты численных расчетов, проведенных с использованием предлагаемого программного комплекса.

Калибровка модели проводилась по данным наблюдений береговых станций и рейдов, содержащих поля хлорности и солености Азовского моря. Была проведена первичная статистическая обработка натурных данных, а также статистическая обработка результатов расчетов, получаемых в процессе калибровки.

На откалиброванной модели было рассчитано изменение солености в целом для Азовского моря в зависимости от ветровой ситуации для различных времен года, проведены расчеты, позволяющие изучить поведение загрязняющего вещества в случае его залпового выброса. Проведено исследование изменения концентрации вещества на поверхности и на дне.

С помощью трехмерной модели переноса радионуклидного загрязнения, представленного различными фазовыми состояниями, были смоделированы возможные аварийные ситуации. В предположении аварийного выброса радионуклида в растворенной форме в районе города Ейск проводились расчеты с целью изучения процесса сорбции радионуклида частицами взвеси, находящейся в водах Азовского моря. Исследовалась скорость образования взвешенной фазы радионуклида в зависимости от массы сорбирующего вещества.

К защите представлены следующие результаты:

1. Для стационарного уравнения конвекции-диффузии с краевыми условиями Ш-го рода получены условия сохранения свойства диссипативности (при центрально-разностной аппроксимации конвективных членов) и М-матричности (при противопотоковой аппроксимации конвективных членов) пространственного разностного оператора.

2. Доказана ограниченность по времени разностного решения для квазилинейного уравнения конвекции-диффузии-реакции с краевыми условиями Ш-го рода, описывающего процессы распространения многофазного вещества.

3. Разработан и реализован на высокопроизводительных вычислительных системах программный комплекс решения трехмерных задач распространения многофазных веществ и распределения солености в водоемах.

4. Откалибрована трехмерная математическая модель распределения солености в акватории Азовского моря. Проведен вычислительный эксперимент, описывающий поведение многофазных примесей в водоеме в случае их аварийного выброса.

Автор диссертации выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Крукиеру JI.A. и научным консультантам к.т.н., с.н.с. Чикину A.JI. и к.ф.-м.н. доценту Чикиной Л.Г. за оказанную помощь и ценные советы. Автор благодарит коллектив ЛВЭ ЮГИНФО РГУ за внимание и поддержку.

Заключение

В результате проведенных исследований получены достаточные условия диссипативности (при центрально-разностной аппроксимации конвективных членов) и М-матричности (при противопотоковой аппроксимации конвективных членов) операторов стационарного уравнения конвекции-диффузии с краевыми условиями Ш-го рода. Показана устойчивость ис-польуемой разностной схемы при наличии диссипативного оператора в уравнении конвекции-диффузии. С помощью принципа максимума получены оценки решения задачи с оператором, обладающим свойствам М-матричности. Показано, что решение задачи конвекции-диффузии-реакции для многофазного вещества не растет на временном слое. Получены оценки решения задачи распространения радионуклидов в случае М-матричности оператора конвекции-диффузии-реакции.

На основе предложенной трехмерной модели распространения многофазного вещества создан программный комплекс для расчетов распространения однородных и многофазных веществ в водоемах на высокопроизводительных системах. Показана целесообразность использования Web-интерфейса.

Полученная модель откалибрована по имеющимся натурным данным солености Азовского моря. С помощью нее проведены расчеты распространения однородных, многофазных и предполагающих оседание частиц веществ. Результаты проведенных расчетов удовлетворительно согласуются с натурными данными, с результатами, полученными ранее другими авторами, и не противоречат наблюдаемым в водоемах процессам.

1. Альтман Э.Н. Расчет солености Азовского моря. Тр. ГОИН., 1975, вып. 125.

2. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен, т.1. М.: Мир, 1990, 384 с.

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969, 368 с.

4. Бондаренко А.Л. Течения Каспийского моря и формирование поля солености вод Северного Каспия // РАН, Ин-т водных проблем. М.: Наука, 1993, 120 с.

5. Боршанский Л. С., Крылова З.А. Опыт расчета распределения солености в Аральском море. ТрГОИН, вып.47, 1964.

6. Бочев М.А. Об устойчивости несамосопряженных разностных схем с М-матрицами для эволюционных краевых задач с эллиптическим оператором по пространству // Известия вузов. Математика, 1995, Ng 9 (400), с.15-22.

7. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Изд-во иностр. литературы, 1963, 488 с.

8. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2000, 400 с.

9. Воеводин В.В., Кузецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984, 320 с.

10. Войтековская Э.А. Обобщение исследований по определению коэффициентов продольной дисперсии и диффузии // Водоотведение и охрана вод.- Минск: Наука и техника, 1982, с.33-42

11. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 220 с.

12. Ворович И.И., Горстко А.В., Домбровский Ю.А. и др. Общая характеристика и описание имитационной модели Азовского моря // Докл. АН СССР. 1981, № 5, с.1052-1056.

13. Ворович И.И., Жданов Ю.А., Горстко А.В., и др. Имитационная модель экосистемы Азовского моря. Разработка и использование. Известия СКНЦ ВШ. Естественные науки, 1981, № 2, с.7-16.

14. Галлахер Л., Хоббс Дж.Л. Распространение загрязнений в эстуарии // В кн. Математические модели контроля загрязнения воды, под ред. Джеймса А., М.: Мир, 1981, с.229-243.

15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967, 575 с.

16. Гидродинамика береговой зоны и эстуариев. Л.: Гидрометеоиздат, 1970, 394 с.

17. Гидрометеорологический справочник Азовского моря. JL: Гидрометеоиздат, 1962, 854 с.

18. Гидрометеорология и гидрохимия морей СССР. Том V. Азовское море. Справочное издание. Проект "Моря СССР". С-Пб.: Гидрометеоиздат, 1991, 236 с.

19. Гилл А. Динамика атмосферы и океана, т.1. М.: Мир, 1986, 397 с.

20. Годунов С.К., Рябенкий B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973, 400 с.

21. Гоптарев Н.П., Шлыгин И.А., Авдеев Г.Н. Схема расчета распределения солености на устьевом взморье эстуарного типа на примере Таганрогского залива. Тр.ГОИН, 1975, вып. 125, 29 с.ft

22. Гулич Скотт, Гундаварам Шишир, Бирзнекс Гюнтер CGI программирование на Perl. С-Пб.: Символ, 2001, 480 с.

23. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990, 480 с.I

24. Зилитинкевич С. С., Монин А. С. Турбулентность в динамических моделях в атмосфере. Л. Наука, 1971, 44 с.

25. Икрамов Х.Д. Разреженные матрицы. В сб. "Итоги науки и техники. Математический анализ", т. 20, 1982, с. 179-260.

26. Иппен А. Т. Осолонение эстуариев // В сб. Гидродинамика береговой зоны и эстуариев. Л.: Гидрометеоиздат., 1970, с.326-356.

27. Кочарян А.Г., Венецианов Е.В., Сафронова Н.С., Серенькая Е.П. Сезонные изменения форм нахождения тяжелых металлов в водах и донных отложениях Куйбышевского водохранилища // Водные ресурсы, т.З, №4, М.: Наука, 2003.

28. Крукиер Л.А. Математическое моделирование гидродинамики Азовского моря при реализации проектов реконструкции его экосистемы. Математическое моделирование, 1991, т.З, №9, с.3-20.

29. Крукиер Л.А. Неявные разностные схемы и итерационный метод их решения для одного класса систем квазлинейных уравнений // Изв. Вузов. Матем, 1979, №7, с.41-52.

30. Крукиер Л.А., Чикина Л.Г. Некоторые вопросы использования проти-вопотоковых разностных схем при инженерных расчетах загрязнения в мелких водоемах // Инженерно-физический журнал, март-апрель, т.71, №2, Минск, 1998, с.349-352.

31. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988, 733 с.

32. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978, 280 с.

33. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970, 904 с.

34. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972, 232 с.

35. Марчу к Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982, 319 с.

36. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989, 608 с.

37. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1974, 303 с.

38. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б., Лысоков В.Н., Галин В. Я. Математическое моделирование общей циркуляции атмосферы и океана. J1.: Гидрометеоиздат, 1984.

39. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации. J1.: Гидрометеоиздат, 1987, 295 с.

40. Марчук Г.И., Саркисян Математическое моделирование циркуляции океана. М.: Наука, 1988, 301 с.

41. Математические модели контроля загрязнения воды. М.: Мир, 1981, 472 с.

42. Мерзляков В.А., Шурупова И.Н.(Шабас И.Н.) ППП "Экомод" версия 2.0 // Тезисы докладов на Всероссийском симпозиуме "Математическое моделирование и компьютерные технологии", Кисловодск, 1997, с.84-85.

43. Никаноров A.M., Трунов Н.М. Внутриводоемные процессы и контроль качества природных вод. С-Пб.: Гидрометеоиздат, 1999, 156 с.

44. Никитина Математическое моделирование пространственных процессов биологической кинетики и распространения примеси в мелководных водоемах. Дисс. к.ф.-м. наук, Таганрог, 2000, 201 с.

45. Никифоров, Бузало Моделирование полей загрязненности атмосферы в мезометеорологическом пограничном слое // Изв. вузов, сев.- кав.регион, естественные науки, спецвыпуск "Математическое моделирование", 2001, с.126-128.

46. Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений. М.: Изд-во иностр. литературы, 1963, 220 с.

47. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.: Мир, 1991, 367 с.

48. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975, 558 с.

49. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы., М.: Мир, 1983, 384 с.

50. Ремизова С. С. Солевой баланс Азовского моря. Водные ресурсы, 1984, ЖЗ.

51. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972, 420 с.

52. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980, 284 с.

53. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971, 552 с.

54. Самарский А. А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987, 288 с.

55. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977, 656 с.

56. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач ковекции-диффузии, М.: Изд.УРСС, 1998, 272 с.

57. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973, 415 с.

58. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

59. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.:

60. Наука. Физматлит, 1997, 320 с.

61. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978, 590 с.

62. Семинчин Е.А., Ионисян А.С. Об одном способе численного решения полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии // Обозрение прикладной и промышленной математики, т.10, вып.1, М., 2003, с.216-217.

63. Симонов А.И. Гидрология и гидрохимия утьевого взморья в моряхбез приливов. Тр.ГОИН. М.: Гидрометеоиздат, 1969, вып.93, 230 с.

64. Симонов А.И. Двухслойная модель динамики и качества вод сильно стратифицированного водоема. М.ВЦ АН СССР, 1982, 30 с.

65. Симонов А.И., Родионов Н.А., Затучная Б.М. Расчет будущей соле-1 ности Азовского моря и Северного Каспия. Метеорология и гидроло-i гия, №4, 1966.

66. Современный и перспективный водный и солевой баланс южных морей СССР. Тр.ГОИН. М.: Гидрометеоиздат, 1972. вып. 108, 236 с.ч* 71. Субботина Т.Н. Использование треугольных кососимметричных

67. Сурков Ф.А., Броифмап A.M., Черноус Е.А. и др. Моделирование абиотических факторов экосистемы Азовского моря. Изв.СКНЦ ВЩ. Ест. науки. 1977, №2, с.21-50.

68. Сурков Ф.А., Крукиер Л.А., Муратова Г.В. Численное моделирование динамики Азовского моря при сужении гирла Таганрогского залива. Морской гидрофизический журнал, 1989, №6, с.55-62.

69. Тамсалу Р.Э. Моделирование динамики и структуры вод Балтийского моря. Рига: "Звайгзне", 1979.

70. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математичекой физики. М.: Наука, 1972, 735 с.

71. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. С-б.: Изд-во "Лань" 2002, 736 с.

72. Федоренко Р. П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений. ЖВМ и МФ, 1961, т.1, №5.

73. Хайрер Э., Hepcemm С., Ваннер Г Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи.- М.: Мир, 1990, 512 с.

74. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы.- М.: Мир, 1986, 448 с.

75. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.- М.: Мир, 1989, 655 с.

76. Шабас И.Н. 3-х мерная задача распространения примеси в водоеме // Сборник трудов VIII Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Ростов-на-Дону, Издательство РГУ, 1999, с.259-263.

77. Шабас И.Н. Моделирование процессов распространения веществ в водоеме // Тез. докл. на XII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2003). Владимир, 2003, с.660-661

78. Шабас И.Н. Численное решение трехмерной задачи оседания вещества в Азовском море // Сборник трудов IX Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Ростов-на-Дону, Издательство РГУ, 2001, с.414-417.

79. Шабас И.Н., Чикин А.Л. Трехмерная задача распространения солености и загрязнений в водоеме // Труды Всероссийской конференции "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности", Ростов-на-Дону, 2000, с.238-244.

80. Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989, 288 с.

81. Abril J.M., Abdel-Aal М.М. Marine radioactivity studies in the Suez Canal. Pt I. Hydrodynamics and transit times // Estuarine, Coast, and Shelf Sci., 2000, 50, №4, pp.489-502.

82. Arbogast Т., Dawson C.N., Wheeler M.F. Parallel Multiphase Numerical Model for Subsurfase Contaminant Transport with Biodegradation Kinetics. Technical Report, Department of Computational and Applied Mathematics, Rice University, 1994, 8 p.

83. Axelsson 0. Iterative solution Methods. Cambridge University Press, Cambridge, 1994, 654 p.

84. Bryant S.L., Dawson C.N., van Duijn C.J. Dispersion-Induced Chromatographic Waves. Technical Report, Department of Computational and Applied Mathematics, Rice University, 1999, 19 p.

85. Espinoza Carlos Stochastic transport of reactive pollutants in groundwater: Effective parameters approach. IAHSPubl., 1999, №260, pp.75-80.

86. Freund R.W., Golub G.H. and Nachtigal N.M. QMR: a quasi-minimal residual method for non-Hermitian linear systems // Numer. Math., 60(1991), pp.315-339.

87. Gentry R.A., Martin R.E.,Daly B.J. An Eulerian differencing method for unsteady compressible flow problems // J. of Comput. Phys., v.l, 1966, pp.87-118.

88. Johnson C.R. Inverse M-matrices // Linear Alg. Appl, 1982, 47, pp. 159194.

89. Kivva S.L. Tne mathematical modelling of radionuclide transport in the subsurface environment around the chornobyl nuclear power plant. Condensed Matter Physics, №12, 1997, pp.121-131.

90. Li Xikui, Wu Wenhua, Cescotto S. Contaminant transport with non equilibrium process in un saturated soils and implicit characteristic Galerkin scheme. Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech., 2000, 24, №, pp.219-243.

91. Malcherek A., LeNormant C., Peltier E., Teisson C., Markofsky M. and Zielke W. Three Dimensional Modelling of Estuarine Sediment Transport. // Estuarine and Coastal Modeling. 1998, pp.42-55.

92. McDonald E. Т., Cheng R. T. Issues Related to Modeling the Transport of Suspended Sediments in Northern San Francisco Bay, California. // Estuarine and Coastal Modeling. 1998, pp.551-563.

93. Neumann M., Plemmons R.J. M-matrix characterizations II: General M-matrices // Linear Multilin. Algebra, 1980, V.9, pp.211-225.

94. Nikolaev LA., Krukier L.A., Surkov F.A., Dombrovsky Yr.A. Numerical methods in water ecology. Mathematical Modelling and Applied Mathematics, IMACS, 1992, pp.337-343.

95. Park J.B., Hwang Y., Lee K.J. Analytic solutions of radionuclide transport with the limited diffusion from the fracture into a porous rock matrix. Annals of Nuclear Energy, №28, 2001, pp.993-1011.

96. Saad Y. Schultz M.H. / GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems.// SIAM J. Scientific and Statistical Computing, 1986, pp.856-869.

97. Saad Y. Van der Vorst H. A. / Iterative solution of linear systems in the 20th century // J. of Computanional and Applied Mathemetics , Elsevier Science, 2000, №123, pp. 1-33.

98. Schneider R., Kenig E.Y., Goryak A. Dynamic modelling of reactive absorption with the Maxwell-Stefan approach // Chem. Eng. Res. and Des.A.: Transactions of the Institution of Chemical Engineers, 1999, 77, №7, v.2, pp.633-638.

99. Shabas I.N. Numerical solution of 3D-dimensional sediment transport problem // Abstracts of the Intrnational Conference "Computational Methods in Applied Mathematics"(CMAM-l), Minsk, Belarus, 2003, pp.50.

100. Shabas I.N. Three-dimensional problem of substance deposition // Lectures of instructors and abstracts of young scientists of the international summer school "Iterative methods and matrix computations". Rostov-on-Don, RSU, 2002, 461 p.

101. Shabas I.N., Chikin A.L. A 3D Sediment transport model // Abstracts of the International Conference on "Environmental Mathematical Modeling and Numerical Analysis", Rostov-on-Don, 1999, 39 p.

102. Shabas I.N., Chikin A.L. A 3D sediment transport model // Математическое моделирование, v. 13, № 3, 2001, pp.85-88.

103. Smith C.N., Clarke S., McDonald P., Goshawk J.A., Jones S.R Reconstructing historical radionuclide concentrations along the east coast of Ireland using a compartmental model. The Science of the Total Environment, №254, 2000, pp.17-30.

104. Taussky 0. Positive-definite matrices and their role in the study of the characteristic roots of general matrices // Adv. Math., 1968, v.2, pp. 175186.

105. Welsh D. J. S., Bedford K. W., Wang R., Sadayappan P.A Parallel-Processing Coupled Wave/Current/Sediment Transport Model. Technical Report CEWES MSRC/PET TR/00-20, Ohio State University, 1998, 21 p.

106. Young D.M. Iterative solution of large linear systems.- N.Y. & London, Academic Press, 1971, 589 p.

107. Zheleznyak M.J. The mathematical modelling of radionuclide transport by surface water flow from the vicinity of the Chornobyl Nuclear Power Plant. Condensed Matter Physics, №12, 1997, pp.37-50.

108. Zhang S., Welsh D., Bedford K., Sadayappany P., О'Neil S. Coupling of Circulation, Wave and Sediment Models. Technical Report CEWES MSRC/PET TR/98-15, Ohio State University, 1998, 32 p.