автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модификация многосеточного метода для моделирования гидродинамики многопластовых нефтяных месторождений

Введение.

Раздел 1. Постановка задачи и реализация ее решения.

1.1. Математическая модель и переход к численной модели.

1.2. Разностная схема для решения уравнения пьезопроводности.

1.3. Разностная схема для решения уравнения переноса насыщенности.

Раздел 2. Модификация многосеточного метода для учета условия Дирихле на внутренних границах.

2.1. Вывод формул преобразования разностных соотношений.

2.2. Тестирование модифицированного метода.

Исследованию движения жидкостей и газов в природных пористых средах посвящено большое число работ. Теоретические вопросы фильтрации хорошо изучены. Тем не менее данная тема остается и будет оставаться актуальной, пока ведется поиск путей рационализации разработки нефтяных месторождений.

На данный момент широко распространены высокопроизводительные вычислительные машины. Компьютерное моделирование стало мощным инструментом воспроизведения реально происходящих в нефтяных пластах процессов. Однако объект моделирования в каждом случае является уникальным, поскольку редко встречаются близкие по всем характеристикам месторождения. Информация по каждому из них заведомо неполная. Применение для моделирования детальных математических моделей зачастую не воспроизводит реально происходящих процессов, поскольку велика погрешность в определении геологических и фильтрационных параметров. Поэтому переживают второе рождение некоторые классические модели.

Математические модели широко применяются для оценки и прогнозирования эффективности мероприятий по увеличению нефтеотдачи пластов. Выбор оптимальных параметров для применения данных мероприятий зачастую требует массы вариантных расчетов. Ограниченность времени для назначения мероприятий требует, чтобы гидродинамические расчеты были проведены с минимальными затратами времени. Предпочтение отдается упрощенным математическим моделям, улавливающим основные эффекты. Для численного моделирования выбираются самые «быстрые» численные методы.

В качестве объекта исследования рассматривается задача двухфазной изотермической фильтрации. В рамках данной модели описываются основные эффекты, имеющие место на практике.

Впервые задачи вытеснения нефти водой рассматривались JI.C. Лейбензоном [22] в так называемой «поршневой» постановке, когда предполагалось, что между вытесняющей и вытесняемой жидкостями существует граница раздела. Он же стал основоположником углубленного приложения механики к нефтяному делу в нашей стране.

Модели «поршневого» вытеснения и разноцветных жидкостей подробно описаны в обзоре о развитии исследований по теории фильтрации [36], а также в монографиях [13,53]. Представление о двухфазном течении за фронтом вытеснения несмешивающихся жидкостей возникло позже. Изучение течения в зоне двухфазной смеси при вытеснении нефти водой или газом началось в 1940 годах и представлено в работах М. Маскета [72,73], М. Леверетта [64,70], С. Баклея [64] и др. В нашей стране внимание к течению смеси в двухфазной зоне было привлечено работами Г.А. Бабаляна, В.М. Барышева и Э.И. Ибрагимова [4], Г.К. Максимовича [25] и рядом других. В это же время в связи с широким применением метода заводнения встал вопрос о повышении коэффициента извлечения нефти из пористой среды.

Обобщенный закон Дарси, описывающий движение жидкостей при совместной фильтрации, впервые был введен в работе Р. Викова и Г. Ботсета [78].

Из трудов казанских ученых особо выделяются работы В.Я. Булыгина [710], предложившего ряд унифицированных моделей, описывающих различные схемы вытеснения нефти водой.

Рассматривая работы по подземной гидромеханике нельзя не отметить фундаментальную работу П.Я. Полубариновой-Кочиной [35] и книгу Г.И. Баренблатга, В.М. Ентова, В.М. Рыжика [5], в которых изложены основы теории фильтрации.

Задачи двухфазной фильтрации сводятся к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Такие уравнения с неоднородными коэффициентами в общем случае не имеют аналитических решений, поэтому их решают численными методами.

Подходы и разностные схемы для численного решения задачи двухфазной фильтрации обсуждены в работах X. Азиза, Э. Сетгари [1], А.Н.Коновалова [16,17], А.Н. Чекалина [55,56] и др.

Одним из критериев выбора численного алгоритма, используемого при численном моделировании той или иной физической задачи, является объем вычислительной работы, который требуется для его реализации. Существует правило, что этот объем должен быть пропорционален реальным физическим изменениям, происходящим в моделируемой системе. Если алгоритм требует большого количества вычислительной работы для расчета слабого эффекта либо медленно текущего процесса, то от такого «затратного» алгоритма, по возможности, следует отказаться, выбрав более эффективный.

Такие численные алгоритмы, как методы Якоби, Гаусса-Зейделя позволяют в короткие сроки запрограммировать численное решение задачи, однако для решения задач с большим объемом вычислительной работы им требуются огромные временные затраты.

Классические на сегодняшний день методы решения разностных уравнений подробно описаны в книге [40]. На сетках средней величины (порядка 100x100 точек) среди этих методов конкурирующими между собой для рассматриваемой нами задачи являются такие методы, как метод симметричной верхней релаксации и попеременно-треугольный метод. Однако для этих методов в рассматриваемой нами ситуации (наличие скважин с заданными забойными давлениями) не известны оптимальные итерационные параметры. Поэтому эти параметры должны выбираться либо экспериментально в каждом конкретном Э случае, либо должны применяться методы ускорения вариационного типа например, по методу сопряженных градиентов).

Геологические параметры нефтяного месторождения, входящие в состав параметров уравнений, изменяются в широких пределах. Подавляющее большинство методов чувствительно к отношению максимального и минимального коэффициента гидропроводности, его увеличение приводит к замедлению этих методов. Поэтому при выборе метода решения дискретных уравнений должно быть отдано предпочтение методам, нечувствительным (или слабо чувствительным) к данному отношению.

На данный момент одними из самых «быстрых» методов ф конечноразностного численного решения эллиптических уравнений на больших сетках являются многосеточные методы. Эти методы как асимтотически оптимальны, т.е. количество итераций для достижения заданной точности в этих методах не зависит от размера сетки, так и слабо чувствительны к наличию зон слабой проницаемости, с которыми приходится сталкиваться в задачах подземной гидромеханики.

Основоположником многосеточного метода является Р.П. Федоренко [48,49,50]. В 1961 году он предложил многосеточный метод для стандартной пятиточечной дискретизации уравнения Пуассона в единичном квадрате, который позволял получить численное решение за 0(N) арифметических ^ операций (N - число узлов сетки). Позднее его работы получили развитие в работах Н.С. Бахвалова [6], и Г.П. Астраханцева [3], а также в работах западных математиков - А. Бранта [65,66], В. Хакбуша [67,68], Ю. Троттенберга [68,77], У. Йоппиха [70]. Последние внесли большой вклад в перенесении идей многосеточного алгоритма в область решения нелинейных уравнений (схема полной аппроксимации - FAS), в разработку техники многоуровневой адаптации (MLAT) и метода вложенной итерации (полный многосеточный метод - FMG).

Одним из активно работающих на данный момент над многосеточными методами отечественных исследователей является С.И. Мартыненко. В его работах изложена многосеточная технология для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа [29], решения дифференциальных уравнений в частных производных на структурированных сетках [28]. В [26] и [27] представлено описание программного обеспечения и архитектуры распараллеливания для данной технологии.

Многосеточный метод для решения системы линейных уравнений с сильно несимметричной матрицей, полученной после разностной аппроксимации # уравнения конвекции-диффузии с малым параметром, изложен в статье

Г.В. Муратовой [33]. В качестве оператора сглаживания автор использовала специальный треугольный итерационный метод.

Нефтяное месторождение имеет большие геометрические размеры и значительное время эксплуатации (десятки лет), поэтому для гидродинамического моделирования происходящих в нем процессов эффективным является применение многосеточного метода. Однако работ об использовании многосеточного метода для решения задач фильтрации мало. В статье Д.В. Шевченко [61] описан вариант многосеточного метода для решения двумерного уравнения пьезопроводности при заданных дебитах скважин. % Указано на эффективность метода при расчете поля давления реальных нефтяных месторождений с большим числом скважин на громоздких сетках.

Следует отметить две основные проблемы, возникающие при применении многосеточного метода к таким задачам. Во-первых, в режиме заданных забойных давлений значения искомой функции известны во внутренних узлах сетки. В результате тип уравнения в узле с заданным значением существенно отличается от уравнений в остальных узлах. Это не позволяет применять межсеточные переходы стандартной технологии геометрического многосеточного метода при решении системы разностных уравнений, возникающих в этом случае. % В работах Д. Пичмана [74,75] указан способ преобразования разностных соотношений в точках скважин для задания забойного давления, основанный на различии сеточного и точного решений оператора Лапласа в окрестности источника (стока). Данный способ применим для расчета многосеточным методом, однако его нельзя применить для задания известных значений во внутренних узлах без особенностей, например, во внутренних контурах питания, к тому же в узлах скважин при таком преобразовании получаются значения сеточного, а не точного решения.

В данной работе предлагается другой способ модификации коэффициентов задачи для задания известных значений искомой функции во внутренних узлах сетки при расчете многосеточным методом. Для гидродинамического расчета нефтяного месторождения способ позволяет задавать непосредственно в узлах сетки забойные давления скважин и распределения давления на внутренних контурах питания.

Во-вторых, толщина нефтяного пласта во много раз меньше его размеров по простиранию. Вследствие этого при вычислении вертикальных потоков появляется большой весовой коэффициент, вычислительная ошибка при определении которого может привести к значительной погрешности в определении решения. Требуется максимально использовать данную специфику задачи для увеличения эффективности вычислительного алгоритма.

Один из вариантов распространения многосеточного метода на трехмерный случай для решения задач двухфазной фильтрации приводится в [69]. Там предложено проводить осреднение по толщине и после этого применять двухмерный алгоритм. Однако в многопластовой залежи параметры существенно неоднородны по толщине залежи. Кроме того, между пропластками присутствуют слабопроницаемые перемычки. При таких условиях указанный метод оказывается неэффективным.

В данной работе предлагается другой метод распространения многосеточного алгоритма на трехмерный случай, учитывающий специфику указанных задач. Предлагаемый вариант основан на проведении многосеточных преобразований для вертикальных векторов.

При численном решении необходимо учитывать специфические особенности задач фильтрации, так как непосредственное применение разностных схем, разработанных для уравнения переноса (например, в газовой динамике [37, 38, 41]), не всегда эффективно. Не случайно на II Всесоюзном семинаре в трех докладах [18, 21, 34] проведено сравнение различных схем на задаче Баклея-Леверетта. В работах [19, 44] показано, что при расчете по некоторым разностным схемам (например, по "чехарде") численное решение может выходить не на искомое, а на одно из других теоретически возможных, но физически неустойчивых, разрывных решений.

При расчетах фильтрационных течений по модели Баклея-Леверетта обычно используются методы сквозного счета без явного выделения скачка насыщенности и качество схем оценивается по степени "размазывания" скачка. В силу этого обстоятельства в некоторых работах [11, 20] делается вывод о нецелесообразности использования схем высокого порядка точности.

Наибольшее распространение получила схема "уголок" [12]. Эта схема обладает невысокой точностью, но является одной из самых простых и сохраняющих монотонность решения. Точность решения можно повысить, если при выборе временного шага учитывать скачок насыщенности [23]. При расчете неодномерных течений схема "уголок" приводит к значительной зависимости решения от ориентации сетки по отношению к системе скважин.

Ориентационные ошибки разностных схем для задач двухфазной фильтрации исследуются в работах [23, 51]. Отметим, что методу конечных элементов также присущ ориентационный эффект (влияние формы конечных элементов на решение). Для уменьшения ориентационных ошибок предлагается использовать: 9-точечные схемы [32, 63], системы ортогональных криволинейных координат, перенос значений насыщенности вдоль вектора, параллельного вектору скорости, специальные схемы, инвариантные относительно поворота осей [30]. Все эти способы значительно усложняют алгоритм и увеличивают объем вычислений при определении насыщенности и давления. Заметно уменьшает ориентационную ошибку использование (при построении разностных уравнений) среднеинтегральных значений насыщенности в элементарных ячейках и их параболической [55, 59, 60] или дробно-линейной [54,56] интерполяции при получении значений насыщенности в полуцелых узлах.

Использование дробно-линейной интерполяции для получения значений насыщенности в полуцелых узлах позволяет хорошо описать динамику функции насыщенности на скачках, что оказывается важным при моделировании циклического воздействия.

В окрестности добывающих скважин следует учитывать характерную особенность, связанную с неоднородностью потоков - прорыв воды в скважину обычно происходит лишь по одному из направлений, в то время как по остальным направлениям будет поступать нефть. Поэтому использование среднего значения насыщенности по элементарной ячейке со скважиной, например, как в [14], может привести к ошибке при подсчете обводненности. С учетом этого в разных работах предложены различные схемы, в которых строятся разностные уравнения для 4 квадратных элементов ячейки скважины [23,24] или его 4 секторов [31] с особыми фильтрационными сопротивлениями для вычисления давления и насыщенности. В работе [55] предложена разностная схема, полученная введением восьми секторов в окрестности скважины в качестве элементарных ячеек. Данные ячейки вводятся только для вычисления насыщенности, для вычисления давления сохраняется обычная сетка. В настоящей работе приводится модификация данной схемы для учета сжимаемости воды и пористой среды, а также перфорации скважин.

Моделированию циклического воздействия посвящено большое количество работ, отметим лишь основные из них. В работах 80-х годов двадцатого века был сделан вывод о невозможности гидродинамического расчета эффективности циклического воздействия при обычных предположениях в рамках модели изотермической двухфазной фильтрации в крупномасштабном приближении. Для описания механизма выработки слабопроницаемых коллекторов при + периодическом воздействии на нефтяной пласт предлагалось вводить дополнительные коэффициенты, характеризующие обмен жидкостью между хорошо проницаемыми и слабопроницаемыми коллекторами [42,43], или описывать данный процесс через гистерезис относительных фазовых проницаемостей (ОФП) [52]. В последнем случае количественные рамки эффекта от циклического воздействия на неоднородные пласты оказываются весьма узкими.

В [60] предложено описывать данный механизм через учет физически обоснованного различия ОФП для слабопроницаемых и хорошо проницаемых коллекторов, и исследовалась плоскопараллельная фильтрация между щ нагнетательной и добывающей галереями. Для такого случая удалось показать эффективность циклического воздействия. Однако из этих результатов сложно сделать какие-либо количественные выводы для общего трехмерного случая, в котором величина возмущения логарифмически затухает при удалении от скважины. Целью данной работы было изучить влияние циклического воздействия на процесс фильтрации в общем случае.

Целью диссертационной работы являются:

- адаптация многосеточного метода для расчета поля давления в нефтяном пласте в режиме заданного забойного давления;

Ф - создание многосеточной технологии, ориентированной на расчет многопластовых нефтяных залежей и адаптация метода расчета нефтенасыщенности для этого случая;

- численное исследование влияния циклического воздействия на процесс фильтрации в неоднородных пластах и определение оптимальных условий для его применения с использованием модели с высокой детализацией моделируемого объекта.

Актуальность темы:

Применение многосеточного алгоритма при численном моделировании физических задач является эффективным в случае большого объема вычислительных работ. Нефтяное месторождение имеет большие геометрические размеры и значительное время эксплуатации (десятки лет), в то время как циклическое воздействие на него производится с периодом порядка нескольких суток и менее. Поэтому для моделирования процессов, происходящих в нефтяных пластах в течение всего периода разработки с учетом циклического воздействия, требуется «быстрый» численный метод.

Общая теория многосеточных методов хорошо разработана. Однако вопрос эффективной организации многосеточного алгоритма для решения некоторых задач до сих пор актуальна. При применении многосеточного метода для численного определения поля давления нефтяного месторождения следует обратить внимание на две основные особенности задачи. Во-первых, в режиме заданных забойных давлений значения искомой функции известны во внутренних узлах сетки. В результате тип уравнения в узле с заданным значением существенно отличается от уравнений в остальных узлах. Это не позволяет применять межсеточные переходы стандартной технологии геометрического многосеточного метода при решении системы разностных уравнений, возникающих в этом случае. Во-вторых, нетривиально распространение многосеточной технологии на трехмерный случай для многопластовой залежи. С одной стороны, толщина нефтяного пласта во много раз меньше его размеров по простиранию. Вследствие этого при вычислении вертикальных потоков в уравнении пьезопроводности появляется большой весовой коэффициент, и вычислительная ошибка определения вертикальных потоков может привести к значительной потере точности при нахождении поля давления. С другой стороны, наличие между пропластками слабопроницаемых и непроницаемых перемычек приводит к большим ошибкам при осреднении по всем вертикальным слоям (пачке) при многосеточных переходах.

Циклическое воздействие на нефтяные пласты является одним из недорогих мероприятий, увеличивающих нефтеотдачу. Однако эффект его использования существенно зависит от геологического строения пласта и технических характеристик метода воздействия. Представляет интерес выявление оптимальных параметров воздействия и возможных количественных рамок эффекта при различном строении нефтяного пласта.

Таким образом, актуальность настоящей диссертации обусловлена необходимостью разработки эффективных алгоритмов для гидродинамического расчета нефтяного месторождения и определения оптимальных геолого-гидродинамических условий для применения циклического воздействия.

Структура и краткое содержание работы.

Диссертация состоит из введения, 4 разделов, заключения и списка литературы.

Заключение

На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы:

1. Модификация разностных соотношений для задания забойного давления позволяет сохранить все преимущества многосеточного алгоритма: скорость сходимости метода остается такой же, что и для режима заданных дебитов, способ не вносит дополнительных возмущений в численное решение. Модификация применима для решения задач с известными значениями искомой функции на внутренних, непрямоугольных, криволинейных границах стандартным геометрическим многосеточным методом.

2. Распространение многосеточного метода на трехмерный случай с учетом специфики моделируемого объекта — нефтяного месторождения - позволяет создать численный алгоритм, особо эффективный для расчетов в подобного рода областях. Сравнение разработанного многосеточного алгоритма с традиционно используемым для численного моделирования пластовых систем методом сопряженных градиентов показывает, что созданный алгоритм не только не уступает, но и превосходит его. К преимуществам метода относится и то, что расчет давления по вертикали осуществляется на одной итерации, поэтому не требуется дополнительных итераций для распределения общего дебита. Расчеты на реальных распределениях параметров подтверждают работоспособность алгоритма.

3. Исследование эффективности циклического воздействия позволило выявить благоприятные условия для его применения. При численных экспериментах наибольший эффект от циклического воздействия был получен для трещиновато-пористых и слоистых пластов. Расчеты показали, что учет различия относительных фазовых проницаемостей позволяет удовлетворительно описать суть процесса. На основе данной математической модели численным расчетом можно определять оптимальные режимы циклического воздействия. Созданная компьютерная программа может применяться при назначении оптимальных режимов работы скважин при циклическом воздействии на реальных нефтяных месторождениях.

Перспективы развития данной работы достаточно широки. Это, в первую очередь, исследование эффективности циклического воздействия на нефтяные пласты различной структуры с учетом капиллярных и гравитационных сил. Вследствие этого встает вопрос о модификации многосеточного метода для расчета поля давления с учетом данных сил. Кроме того, на данный момент многие месторождения эксплуатируются с применением горизонтальных технологий. Модификация многосеточного метода с применением техники многоуровневой адаптации (MLAT) позволила бы моделировать процессы с горизонтальными скважинами. Самостоятельной задачей также является модификация стандартного геометрического многосеточного метода для учета непроницаемых барьеров и зон во внутренних областях.

Отметим, что многосеточные методы естественно распараллеливаются. Реализация многосеточной технологии для расчета гидродинамики нефтяного ф пласта с использованием многопроцессорной техники - еще одно направление развития данной работы.

Учитывая отмеченные в работе преимущества многосеточных методов, можно заключить, что при моделировании разработки нефтяных месторождений они будут применяться все шире и шире. ft

1. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. - Москва-Ижевск: Инст. комп. иссл., 2004. - 416 с.

2. Андреев В.Б. Кряквина С.А. О функции источника сеточного оператора Лапласа // ЖВМ и МФ. 1972, т. 12, № 2. - С. 364-373.

3. Астраханцев Г.П. Об одном итерационном методе решения сеточных эллиптических задач // ЖВМ и МФ. 1971, т. 11, № 2. - С. 439448.

4. Бабалян Г.А. , Барышев В.М., Ибрагимов Э.И. К вопросу механизма вытеснения нефти водой из пористой среды. // Азерб. Нефт. Х-во. 1951, №8.-С. 13-16.

5. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. - 211 с.

6. Бахвалов Т.П. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор // ЖВМ и МФ. -1966, том 6, № 5. С. 861-883.

7. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М.: Недра, 1974. - 232 с.

8. Булыгин В.Я. Унифицированный ряд математических моделей вытеснения нефти водой // Числ. методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости. Новосибирск, 1972. - С. 53-60.

9. Булыгин В.Я. Булыгин Д. В. Геология и имитация разработки залежей нефти. М.: Недра, 1996. - 384 с.

10. Булыгин В.Я. Булыгин Д.В. Имитация разработки залежей нефти. -М.: Недра, 1990.-224 с.

11. Вахитов Г.Г., Максимов М.М., Швидлер М.И. //Применение маш. методов для решения инж. задач теории поля. Киев, 1976. - С. 72-79.

12. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). М., 1973. - 400 с.

13. Данилов B.JT., Кац P.M. Гидродинамические расчеты вытеснения жидкостей в пористой среде. М., 1960. - 264 с.

14. Зяббаров И.К., Мухаметзянов Ф.М., Фатыхов А.Г. //Задачи подземной гидромеханики и рациональной разработки нефтяных месторождений. Казань, 1981. - С. 35-44.

15. Клейдман Д.М., Шевченко Д.В. Расчет поля насыщенности при большом числе скважин // Мат. моделирование. 2002, т. 14, № 8. - С. 19-23.

16. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1972. - 128 с.

17. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука, 1988. - 168 с.

18. Королев А.В., Шалимов Б.В., Швидлер М.И. О некоторых разностных схемах для численного решения задачи Баклея-Леверетта // Числ. методы решения задач фильтрации несжим. жидк. Новосибирск, 1975.-С. 137-154.

19. Королев А.В., Шалимов Б.В., Швидлер М.И. И Тр. Всесоюз. нефтегаз. НИИ. 1976. - Вып. 61. - С. 183-203.

20. Леей Б.И. и др. О некоторых разностных схемах для решения задач двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей // Числ. методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости. Новосибирск, 1975. -С. 170-183.

21. Лейбензон Л.С. Нефтепромысловая механика Ч. 2. Подземная гидравлика воды, нефти и газа. М.-Грозн.-Л.-Новосиб., Горногеолнефтеиздат, 1934. -352 с.

22. Максимов М.М., Рыбицкая Л.П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. М., 1976. - 264 с.

23. Максимов М.М., Рыбицкая Л.П. Постановка и решение задач фильтрации двухфазной жидкости на аналогово-цифровомвычислительном комплексе «Сатурн» // Числ. методы решения задач фильтрации несжим. жидк. Новосибирск, 1975. - С. 206-214.

24. Максимович Г.К. Теоретические основы процессов вытеснения нефти из пористой среды водой или газом. // Нефт. Х-во. 1951, № 1. - С. 35^15.

25. Мартыненко С.И. Программное обеспечение для универсальной многосеточной технологии: строительные блоки и диагностические инструменты // Вычислительные методы и программирование. 2001, т. 2, №2.-С. 181-186.

26. Мартыненко С.И. Распараллеливание универсальной многосеточной технологии // Вычислительные методы и программирование. 2003, т. 4, № 1. - С. 49-56.

27. Мартыненко С.И. Универсальная многосеточная технология для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных на структурированных сетках // Вычислительные методы и программирование. 2000, т. 1. - С. 85-104.

28. Мартыненко С.И. Универсальная многосеточная технология для численного решения систем дифференциальных уравнений в частных производных // Вычислительные методы и программирование. 2001, т. 2, № 1. - С. 5-15.

29. Медведков В.И., Васильев В.В. К уменьшению ориентационной ошибки при численном решении уравнений двухфазной фильтрации // Динамика многофазных сред. Новосибирск, 1983. - С. 263-270.

30. Медведков В.И., Садреев A3., Лукьянов Е.П. Моделирование скважин при численных расчетах многомерных задач вытеснения нефти водой // Тр. ТатНИПИнефть. Казань, 1974. - вып. 26. - С. 381-390.

31. Мусин М.М., Лисин А.С. Схемы повышенной точности для численных расчетов задач фильтрации двухфазной жидкости // Тр. ТатНИПИнефть. Бугульма, 1982. - № 51. - С. 73-83.

32. Муратова Г.В. Многосеточный метод для задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией // Мат. моделирование. 2001, т. 13, № 3. - С. 69-76.

33. Мыхтаръянц СЛ., Чудов Л.А., Чумарев О.М. Численное решение одномерной плоско-линейной задачи о вытеснении нефти водой. // Числ. методы решения задач фильтрации несжим. жидк. Новосибирск, 1975. - С. 242-249.

34. Полубаршова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод.- М.: Наука, 1977.-664 с.

35. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967). -М., 1969.-546 с.

36. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М., 1968. - 592 с.

37. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М., 1980. - 616 с.

38. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1977. - 654 с.

39. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

40. Самарский А.А., Попов ЮЛ. Разностные схемы газовой динамики. -М., 1975.-352 с.

41. Сургучев M.JI. Вторичные и третичные методы увеличения нефтеотдачи пластов. М., Недра, 1985. - 308 с.

42. Сургучев M.JI. Методы контроля и регулирования процесса разработки нефтяных месторождений. М., Недра, 1968. - 300 с.

43. Таранчук В.Б. Численный метод для определения давления и насыщенности при плоско-радиальном вытеснении нефти водой. // Числ. методы мех. сплош. среды. Новосибирск, 1974. - Т.5, № 3. - С. 88-95.

44. Усманов И.Т. Применение квазидвумерного многосеточного метода для оценки циклического воздействия на многослойный нефтяной пласт // Межвузовский сборник статей Информационные технологии и программирование. М.: МГИУ, 2003. - Вып. 4 (9). - С. 29-36.

45. Усманов И.Т., Шевченко Д.В. Адаптация многосеточного метода для гидродинамического расчета многопластовых нефтяных месторождений и моделирования циклического воздействия на нефтяные пласты // Изв. РАЕН, серия МММИУ, 2004, № 1-2. С. 87-99.

46. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд.1. МФТИ, 1964.

47. Федоренко Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса // ЖВМ и МФ. 1964, т. 4, № 3. - С. 559-563.

48. Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений // ЖВМ и МФ. 1961, т. 1, № 5. - С. 922-927.

49. Хайрисламова А.Н. Сравнение различных методов численного решения уравнений плоского двухфазного течения // Тр. ТатНИПИнефть. Казань, 1976. - Вып. 34. - С. 231-233

50. Цынкова О.Э. К вопросу о механизме циклического воздействия на нефтяные пласты // МЖГ. 1980, №3. - С. 58-67.

51. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М., 1963. - 396 с.

52. Чекалин А.Н. Вычисление насыщенности при двухфазной фильтрации жидкости // Исследования по подземной гидромеханике. -Казань, 1987. Вып. 9. - С. 144-156.

53. Чекалин А.Н. Численные решения задач фильтрации в водонефтяных пластах. Казань, 1982. - 208 с.

54. Чекалин А.Н., Кудрявцев Г.В., Михайлов В.В. Исследование двух- и трехкомпонентной фильтрации в нефтяных пластах. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1990. - 148 с.

55. Чекалин А.Н., Михайлов В.В. II Выч. методы и мат. обеспечение

56. ЭВМ. Казань, 1980. - Вып. 2. - С. 39^18.

57. Чекалин А.Н., Шевченко В.А. II Выч. методы и мат. обеспечение ЭВМ. Казань, 1979. - С. 7-23.

58. Чекалин А.Н., Шевченко В.А. II Числ. методы решения задач фильтрации многофаз. жидкости. Новосибирск, 1960. - С. 254—261.

59. Чекалин А.Н., Федоров В.Н., Конюхов В.М. Моделирование вытеснения нефти водой при нестационарном воздействии на слоисто-неоднородные пласты // Изв. РАЕН. МММИУ. 2001, т. 4, № 3-4. - С. 76-102.

60. Шевченко Д.В. Применение многосеточных методов для расчета давления в нефтяном пласте // Мат. моделирование. 2002, т. 14, № 8.1. С. 61-66.

61. Щелкачёв В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Монография в 2-х ч. М.: Нефть и газ, 1995.

62. Юрьев А.Н., Казакова Т.Г. II Исслед. эффект, разраб. нефт. месторожд. Зап. Сиб. Тюмень, 1984. - С. 77-80.

63. Backley S., Leverett М.С. Mechanism of fluid displacement in sands. -AIME. 1942. -V. 146.-P. 107-117.

64. Brandt A. Multigrid techniques: 1984 Guide with Application to Fluid Dynamics // GMD-Studien. 1984, № 85.

65. Brandt A. Multi-level Adaptive Computations in Fluid Dynamics. //

66. AIAAJ.18.- 1980.-P. 1165-1172.

67. Hackbush V. Multigrid method and applications. Berlin etc.: Springer Verlag, 1985.

68. Hackbush V., Trottenberg U. Multigrid methods. Lecture notes in math. 960. Springer Verlag, 1982.

69. Jenkins E.W., Wheeler J. A., Wheeler M.F. Agglomeration multigrid methods for two-phase flow models // Developments in water science, 47. Computational methods in water resources. V. 2, 2002. - P. 931-938.

70. Leverett M.C. Flow of oil-water mixtures trough unconsolidated sands. //AIME. 1939.-V. 132.-P. 149.

71. Mijalkovic S., Joppich W. Multigrid methods for process simulation. -Series "Computational Microelectronics" edited by S. Selberherr, Springer Verlag, New York, Vienna, 1993.

72. Muskat M. The flow of homogeneous fluids through porous media. N. Y.-London, McGraw Hill Co, 1937. - 763 p.

73. Muskat M, Meres M. The flow of heterogeneous fluids. // Physics, 1936, v. 7, N9. P. 346.

74. Peaceman D. W. Interpretation of Well-Block Pressures in Numerical Reservoir Simulation // Soc. Pet. Engr. J. June 1978. - P. 183-194.

75. Peaceman D.W. Interpretation of Well-Block Pressures in Numerical Reservoir Simulation with Non Square Grid Blocks and Anisotropic Permeability. // Soc. Pet. Eng. J. June 1983. P. 531-543.

76. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems, PWS, 1996

77. Stuben K., Trottenberg U. Multi-grid methods: fundamental algorithms, model problem analysis and applications // Multi-grid methods, Springer lecture notes in mathematica. New York: Springer Verlag, 1982. - No. 960. -P. 1-176.

78. Stuben K., Trottenberg U. Multi-grid methods: fundamental algorithms, model problem analysis and applications. GMD-Studien, №96, 1984.

79. Wessling P. An Introduction to Multigrid methods. Chichester, 1991. - 284 p.

80. Wyckojf R.D., Botset H.F. Flow of gas-fluid mixtures trough unconsolidated sands. // Physics. 1936. - V.7, N 7. - P. 325.t