автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование прямых и обратных задач стационарной тепловой конвекции

На правах рукописи

Стародубцева Юлия Владимировна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ СТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

| ' 2014

Екатеринбург — 2014

005553374

Работа выполнена в ФГАОУ ВПО "Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина" на кафедре вычислительной математики Института математики и компьютерных наук.

Научный руководитель: Короткий Александр Илларионович, доктор

физико-математических паук, профессор.

Официальные оппоненты: Алексеев Геннадий Валентинович, доктор

физико-математических наук, профессор, ФГБУН Институт прикладной математики Дальневосточного отделения РАН, заведующий лабораторией вычислительной аэрогидродинамики.

Сумин Михаил Иосифович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВО "Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского", заведующий кафедрой теории функций механико-математического факультета.

Ведущая организация: ФГБУН Институт вычислительной математики и

математической геофизики СО РАН, Новосибирск.

Защита состоится 26 ноября 2014 г. в 14:30 на заседании диссертационного совета Д 212.285.25 на базе ФГАОУ ВПО "Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина" по адресу: 620000, г. Екатеринбург, пр. Ленина 51, зал заседаний диссертационных советов, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГАОУ ВПО "Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина", http://dissovet.science.urfu.ru/news2/

Автореферат разослан « 3 » си^^ХрЮН г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

Пименов В.Г.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Многие природные и техногенные явления описываются с помощью моделей тепловой конвекции. Важными областями применения таких моделей являются задачи распространения загрязняющих веществ в водоемах и атмосфере, задачи геофизики, медицинской диагностики и другие. Достаточно часто в этих задачах требуется определить параметры модели по имеющимся результатам наблюдений за состояниями модели. Такие задачи относят к классу обратных задач. На практике к подобным задачам приводит, например, исследование процесса распространения загрязнения, который может проходить в ситуации, когда источники загрязняющего вещества расположены в месте, недоступном для прямых измерений, либо требуется восстановить параметры источника, используя дополнительную информацию о состоянии среды.

Для рассматриваемых моделей наиболее часто рассматривают обратные коэффициентные задачи. В работах Г.В. Алексеева, Д.А. Терешко, Р.В. Бризицкого, О.В. Соболевой, И.С. Вахитова 2' 3' 4' исследуются обратные коэффициентные задачи для моделей реакции-конвекции-диффузии и моделей тепловой конвекции вязкой жидкости с регулярными граничными условиями, обратная задача сводится к решению соответствующей экстремальной задачи. В работе О.В. Соболевой5 теоретически и численно исследуются обратные коэффициентные задачи для моделей реакции-конвекции-диффузии и классической модели конвекции вещества в приближении Обербека-Буссинеска, обратные задачи также сводятся к решению соответствующих экстремальных задач. В работе A.B. Пененко6 рассматривается обратная коэффициентная задача теплопроводности, которая сводится к решению соответствующей вариационной задачи.

Реже исследуются обратные граничные задачи для моделей тепловой конвекции. В работах А.И. Короткого и Д.А. Ковтунова 7' 8 теоретически и численно исследовались прямые и обратные граничные задачи для моделей стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости со смешанными граничными услови-

1 Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владиво-

сток: Дальнаука, 2008. 364 с.

: Алексеев Г.В. Коэффициентные обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепло-

массопереноса// ЖВМиМФ. 2007. Т. 47. № 6. С. 1055 - 1076.

5 Алексеев Г.В.. Вахитов И.С., Соболева О.В. Оценки устойчивости в задачах идентификации для уравнения конвекции-диффузии-реакции // ЖВМиМФ. 2012. Т. 52. № 12. С. 2190 - 2205.

'Алексеев Г.В., Бризицкий Р.В. Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой жидкости со смешанными граничными условиями // Дальневост. матем. журн. 2003. Т. 4. № 1. С. 108 - 126.

'Соболева О.В. Обратные экстремальные задачи для стационарных моделей переноса вещества: дис....канд. физ.-мат. наук: 01.02.05. Владивосток, 2011.118 с.

'Пененко A.B. О решении обратной коэффициентной задачи теплопроводности методом проекции градиента// Сиб. электрон, матем. изв. 2010. Вып. 7. С. 178-198.

'Короткий А.И., Ковтупов Д.А. Реконструкня граничных режимов // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби: Тр. междунар. семинара. 2006. Т. 2. С. 82-91.

'Ковтунов Д.А. Моделирование обратных граничных задач стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости: дис....ханд. физ.-мат. наук: 05.13.18. Екатеринбург, 2010.160 с.

ями. В этих работах доказано существование и единственность слабого решения прямой задачи, устойчивость решения прямой задачи по отношению к входным данным и неустойчивость обратной задачи. Для решения обратной граничной задачи применялись вариационный метод и метод квазиобращения.

При решении обратных задач приходится сталкиваться с рядом проблем: решения задачи не существует, оно не единственно или нет непрерывной зависимости от исходных данпых. В обратных задачах, как правило, отсутствует непрерывная зависимость решения от входных данных, т. е. они являются некорректными по Адамару. Теоретическое исследование подобных задач оказывается довольно сложным, не смотря на достижения в современной теории некорректных и обратных задач. Поэтому разработка устойчивых численных методов решения таких задач является крайне важной и значимой.

Целью диссертации является теоретический и численный анализ прямой и обратной граничных задач для ряда стационарных моделей тепломассопереноса.

Методы исследования, достоверность и обоснованность результатов. Результаты, представленные в диссертационной работе, получены с применением методов математического моделирования, теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории обратных и некорректных задач, методов вычислительной математики. Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждается соответствующими математическими доказательствами, использованием апробированных общепринятых математических методов и согласованностью результатов, полученных различными численными методами.

В работе получены и выносятся на защиту следующие результаты.

1. Доказаны существование и единственность слабого решения прямой задачи, устойчивость решения прямой задачи по отношению к входным данным, неустойчивость обратной задачи с неоднородными и нерегулярными смешанными граничными условиями для модели стационарной реакции-конвекции-диффузии.

2. Для решения обратных граничных задач в моделях стационарной реакции-конвекции-диффузии разработаны вариационный метод, метод квазиобращения, предложены модификации численных алгоритмов методов Ньютона-Канторовича, Ландвебера и Левенберга-Марквардта.

3. Для решения обратных граничных задач в'моделях стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости предложены модификации численных алгоритмов методов Ньютона-Канторовича, Ландвебера и Левенберга-Марквардта.

4. Разработаны комплексы программ, реализующие предложенные алгоритмы численного решения обратных граничных задач для рассматриваемых моделей.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми, они обобщают и дополняют результаты отечественных и зарубежных исследований по данной теме.

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в том, что разработанные подходы и методы исследования могут быть использованы при исследовании других важных моделей механики сплошной среды. Предложенные

вычислительные алгоритмы и разработанные методы могут быть применены при решении прикладных задач.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались ранее на различных, в том числе международных, научных конференциях и семинарах: на международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", посвященной памяти В.К. Иванова (Россия, Екатеринбург, 2011 г.); на международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева (Россия, Новосибирск, Академгородок, 2012 г.); на IV международной молодежной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректные задач" (Россия, Новосибирск, Академгородок, 2012 г.); на всероссийской школе-конференции молодых исследователей и VI всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (Россия, Абрау-Дюрсо, 2012 г.); на XIV международной конференции "Супервычисления и математическое моделирование" (Россия, Саров, 2012 г.); на международной научной конференции "Колмогоровские чтенияЛЧ. Общие проблемы управления и их приложения" (Россия, Тамбов, 2013 г.); а также на семинарах кафедры вычислительной математики ИМКН УрФУ (г. Екатеринбург) и семинаре отдела некорректных задач анализа и приложений ИММ УрО РАН (г. Екатеринбург).

Публикация. По результатах« диссертации лично автором и в соавторстве опубликованы 22 работы: 5 работ в российских рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК [1—5]; 15 работ в других журналах и материалах всероссийских и международных конференций [8-22]; 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ в Роспатенте [6,7].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из списка основных обозначений и соглашений, введения, трех глав, заключения и списка литературы из 107 наименований, содержит 183 рисунка и 24 таблицы.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цели, отмечены научная новизна, теоретическая и практическая ценность работы.

В первой главе рассматриваются прямая и обратная граничные задачи для модели стационарной реакции-конвекции-диффузии.

В некоторой области О, С К"1, т = 2,3, содержащей неоднородную сплошную среду, находящуюся под воздействием некоторых внутренних и внешних определяющих состояние среды факторов, рассматривается установившееся (стационарное) распределение температуры (или концентрации какого-либо вещества среды).

Математическая модель распределения температуры (концентрации рассматриваемого вещества среды) в области П представляет собой смешанную краевую

задачу для уравнения реакции-конвекции-диффузии 1,9,10

div(kVT) = (u,VT)-qT-f, xeSl, (1)

T = v, хеГь (2)

, &Г

dü = W' хеГ2> (3) где* = (xi, — точка пространстваRm; и = (wi(jc),..., ит(х)) — заданный

вектор скорости движения среды, удовлетворяющий условию div и = 0 в области П (условие несжимаемости среды) и условию и — 0 на границе Г области Г2 (условие прилипания среды на неподвижной границе Г); Т = Т(х) — температура среды (концентрация вещества); к = к(х) — заданный коэффициент теплопроводности (диффузии) среды ;/ = /(*) — заданная объемная плотность образования или стока тепла (вещества); q — q(x) — заданный коэффициент реакции; V --- v(x) и w — w(x) — заданные функции, определенные на частях Гх и Гг границы Г области П соответственно, характеризующие внешние факторы (режимы) взаимодействия среды, находящейся внутри области Q, с окружающей средой, Г = Fi U Гг, Tj П Гг = 0; и — единичный вектор внешней нормали в точках границы Г.

Прямая граничная задача состоит в нахождении распределения температуры (концентрации) Т в области Г2 в результате решения краевой задачи (1)-(3).

Будем считать, что Q является ограниченной строго липшицевой областью в Rm с кусочно-гладкой границей, обладающей некоторой регулярностью 11,12,13.

Пусть далее для определенности к е С1 (£2), q € Ь^ф.), / е ¿г(^). и 6 { и G Wa(ii) : и = Она Г, div и = 0 в П}, v G L2{T{), w £ Ь2( Г2), О < /¿1 < к(х) ^ /i2, х е Q, m = const ^ ß2 = const; || u(x) |] ^ x e П, Цз = const ^ 0; 0 < q(x) ^ x € fy ßi ~ const ^ 0.

Все рассматриваемые в работе числовые величины и пространства считаются вещественными, измеримость и интегрируемость понимаются по Лебегу11,12,13.

При указанных условиях на параметры краевой задачи (1)-(3), она может не иметь ни классического, ни обобщенного (из пространства W\(f2)) решения. Введем понятие слабого решения краевой задачи (1)-{3).

Слабым решением краевой задачи (1)-(3) назовем функцию Т е ко-

торая для любой функции g S { g € : g = 0 на ^ , dg/dn = 0 на Г2 }

удовлетворяет интегральному равепству

J Т (div (kVg) + (и, Vg) + qg~)dx = J vk^dT - J wgdT - J fgdx. n г, r2 n

'Ладыженская OA. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М: ФМ, 1961. 203 с.

'"Самарский A.A., Вабшцевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003.784 с.

"Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.576 с.

"Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.391 с.

13 Соболев С.Л. Некотрые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.334 с.

Таким образом, прямая граничная задача состоит в нахождении слабого решения краевой задачи (1)-(3).

Для прямой задачи (1)-(3) справедлива следующая теорема.

Теорема 1.2.1. Для любых v <Е £2(Гх), w е Ь2(Т2), / € Ь2(П) краевая задача (1) — (3) имеет единственное слабое решение Т 6 L2(Q), удовлетворяющее оценке

IIТ 11^(0) < Сх ||v ||i2(ri) +С2 \\w ||^(г>) + С3 || / ||i2(il), С{ = const > 0.

Охарактеризуем с содержательной точки зрения обратную граничную задачу, соответствующую прямой граничной задаче.

Для определенности будем считать, что на части Ti границы задаются и известны температура (концентрация) Т = v и тепловой поток (поток вещества)

кдТ/дп = <р, лгеГУ (4)

Модель распределения температуры (концентрации вещества) в области П описывается стациопариым уравнением реакции-копвекции-диффузии (1).

Обратная граничная задача состоит в нахождении температуры (концентрации) на части Г2 границы Г в результате решения краевой задачи (1), (2), (4).

При указанных условиях на параметры краевой задачи (1), (2), (4), она может не иметь ни классического, ни обобщенного (из пространства W2 (О.)) решения. Введем понятие слабого решения краевой задачи (1), (2), (4).

Слабым решением краевой задачи (1), (2), (4) назовем функцию Т G Ь2{П), которая для любой функции g € j g S W22(fi) : g = 0 на Гг , dg/дп = 0 на Г2 } удовлетворяет интегральному равенству

J r(div(fcV5) + (u,Vg) + qg)dx = J vk^dT-J <pgdT-J fgdx.

n г, г, и

Таким образом, в качестве обратой граничной задачи будет рассматриваться

задача о нахождении следа Т | г2 от слабого решения краевой задачи (1), (2), (4).

Замечание 1.3.2. Функция Т £ L2(il), вообще говоря, может не иметь следов Т|Г1 6 ¿2(ri)' Лг2 G Ь2(Г2) и тем более следов дТ/дп\Г1 G Ь2(Гх), дТ/дп | г2 6 Ь2{Т2). Отмеченные здесь следы принадлежат более широким пространствам14 и поэтому можно было бы поставить обратные граничные задачи с использованием этих пространств. Однако практическая и компьютерная реализация методов решения обратных задач стала бы тогда чрезвычайно трудной и громоздкой. Поэтому будем считать, как это иногда делается15, что параметры краевых задач принадлежат некоторым подпространствам используемых пространств, при привлечении которых соответствующие следы существуют в пространствах Ь2, постановки задач корректны, разрабатываемые методы и алгоритмы осуществимы.

Если ввести в рассмотрение аффинный оператор

А : Ь2{Г2) Э С —)■ fe I е ¿2(Гх), (5)

on I Ti

"Лионе Ж. - Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.372 с.

15Латтес Р., Лионе Ж. - Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.280 с.

где Т — решение краевой задачи

<Цу(кУТ) = (и,ЧТ)-дТ-/, *€Г2, (6)

г = т/, *ег1; г = е, хег2, (7)

то обратная задача сводится к решению операторного уравнения

М = Ч>- (В)

Для краевой задачи (1)-(3) справедлива теорема.

Теорема 1.4.1. Если и; -у и0 слабо в ¿2(Г1). Щ у'о слабо в Ь2(Г2), /; -т /0 слабо б Ь2(П), то 7- = Г0 = 7>„,шо,/о] сильно в £2(П) при

г оо, г<5е Т = Т[у, и), /] — слабое решение краевой задача (1) — (3).

Замечание 1.4.1. Допустим, что Ни© — некоторые подпространства пространств ¿г(и Ь2(П) соответственно, 7"— оператор решения Т : Н э £ -> = £ ©, где Г[£] — решите краевой задачи (6), (7), Г — оператор конор-мального дифференцирования Т : в Э Т ТТ = кдТ/дп |г, € ^(Гх). Если один из операторов ТиТ вполне непрерывен, а другой ограничен, то их произведение (суперпозиция) есть вполне непрерывный оператор 16 и, следовательно, не имеет ограниченного обратного оператора10.

Замечание 1.1.2. Наряду с поставленной прямой задачей, так же как и при изучении обратных задач и численном моделировании, могут рассматриваться варианты задач, в которых граница Г разделена на большее конечное число частей, на каждой из которых могут задаваться граничные условия первого, второго или третьего рода. Такие варианты задач изучаются совершенно аналогично и результаты в таких задачах также получаются аналогичными.

Для решения обратной граничной задачи предлагаются вариационный метод и метод квазиобращения, модификации численных алгоритмов методов Ньютона-Канторовича, Ландвебера и Левенберга-Марквардта.

Нахождение неизвестного режима £ на Г2 в обратной задаче (1), (2), (4) можно свести к соответствующей вариационной задаче1'15'17 следующим образом.

Пусть наблюдаемый тепловой режим ц> = кдТ/дп на границе Г1 в обратной задаче (1), (2), (4) соответствует некоторому заренее неизвестному тепловому режиму Т = £* на границе Г2. Пусть Т* — решение прямой задачи (6), (7) при С = £*> тогда кдТ*/дп = <р на Пусть Ь2(Г2) Э V — некоторое множество допустимых граничных режимов па границе Г2 и известно, что е V (можно положить V = £2(Г2)).

Для граничных режимов £ £ V рассмотрим функционал качества

Г1

"Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.496 с.

"Пененко В.В. Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука, 1985.314 с.

где Т( — решение прямой задачи (6), (7). Функционал качества должен принимать нулевое значение при £ = Искомый граничный режим является минимизирующим элементом в следующей вариационной (экстремальной) задаче:

JoK) ->min: £eV. Для придания этой задаче минимизации некоторого запаса устойчивости введем в функционал JQ стабилизирующую добавку а || £ и рассмотрим следующий функционал:

т=мо+*н\\2Ыг2), (9>

где а — малый положительный параметр.

Таким образом, от решения обратной задачи (1), (2), (4) переходим к решению вариациогаюй (экстремальной) задачи

■/(£) ->• min : £ € V. Для нахождения точек минимума функционала (9) будет использоваться метод сопряженных градиентов Флетчера-Ривса 18,19 :

6+1=6+^4, »=0,1,2,..., "Ж:;?!' .

HVJteîOi)

'¿г(Гг)

=_:_:__ - _ 1 п

71 IlVJte^;^)!!^,'

Для нахождения градиента V J(&; а,) выводится сопряженная задача:

div(fcV5) + (k,V3) + qg =0, ieO, (10)

.9 = 2(fcfjf-¥>), .9 = 0, xer2. (11)

Градиент целевого функционала находится по формуле

VJ = VJ(i;a)=(*^ + 2af)|ri,

где д = д^ — решение сопряженпой задачи (10), (11).

На каждом шаге итерационного процесса предварительно определяется параметр а = а;. Для этого решается одномерная задача минимизации:

J{ & + Ма)) min = а > 0.

Шаг спуска ßi (демпфирующий множитель) определялся в результате решения задачи одномерной минимизации: ./(£ + ß dt) —>■ min : ß > 0.

При численном моделировании, в качестве Г2 будет рассматриваться прямоугольная область 12 = (0, Ii) х (0, I2) с границей

r = riur2ur3ur4, Гх = { (ц, х2) ■ 0 < xi < 1и = 0}, (12)

lsFloudas Ch.A., Pardaios P.M. Encyclopedia of optimization. New York: Springer, 2009.4626 p. "Nocedal J., Wright S J. Numerical optimization. New York: Springer, 1999. 664 p.

г2 = {(31, х2) : X! = 1Ъ 0 < х% < 12}, (13)

Г3 = {(ал, х2) : О <Х1 <1х, х2 = 12}, (14)

Г4 = { (хь х2) : XI = О, О < х2 < 12}. (15)

Граница Гх недоступна измерениям, на ней необходимо будет определить граничный режим Т = На границах Гг и Г4 будут заданы неизменные условия теплоизолированное™ к д Т/дп — 0. Граница Гз будет доступна измерениям, на ней будут заданы условия Т = 0, к д Т/дп = </?•

Решались обратные задачи по восстановлению трех граничных режимов.

1. Гладкий режим ^(хх) = сов(2-кхх).

2. Непрерывный кусочно-гладкий режим ^(хх) = | соб^хх) |.

3. Разрывный режим ^(хх) = 0.5 при хх 6 [0;0.1); ¿^(ха) = хх + 0.4 при х\ 6 [0.1;0.5);£(3)Ох) = 0.9—^ прихх е [0.5; 0.9); ^(х^ = Оприхх € [0.9; 1].

В Таблице 1 приведены результаты численных экспериментов:

— количество итераций, затраченных на восстановление режима — 1, 2, 3;

— значение относительной погрешности восстановления режима

еМ = |||СЯ(.) -^(ОИ^го/И^ОИмго 7 = 1, 2,3,

где — результат восстановления граничного режима Таблица 1.

режим е(1)

относительная погрешность, е^) 3.3 • Ю-3 9.8 • Ю-2 1.85 ■ Ю-1

количество итераций 86 54 500

Далее рассматривается метод решения поставленной обратной задачи (1), (2), (4) на основе метода квазиобращения15. Рассмотрим вспомогательную задачу, включающую в себя регуляризованное уравнение реакции-коивекции-диффузии

гр

= + хеП, (16)

при этом для искомой функции Тп граничные условия остаются прежними, то есть остаются условия (2), (4). Ожидается, что рассматриваемая вспомогательная задача (16), (2), (4) будет устойчивой при всех достаточно малых а > 0 или будет обладать ббльшим запасом устойчивости по сравнению с исходной задачей, при этом 6,(х) = Т„(х)|г2 ~ £(х) = Т(*)|г2.

Параметр а будет выбираться из условия квазиоптимальности 20>21. В Таблице 2 приведены результаты численных экспериментов:

— относительная погрешность е^') восстановления режима ] = 1, 2, 3;

— значение параметра а^ при восстановлении режима ] = 1, 2, 3.

^Тихонов А.Н., Гласко В.Б. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах // ЖВМиМФ.

1965. Т. 5. № 3. С. 463-473.

21Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003.784 с.

режим

относительная погрешность, е^') 7.4 • Ю-2 8.8 • Ю-2 1.1-КГ1

квазиоптимальный параметр, а.] 1 ■ Ю-3 2.4 • Ю-3 6.5 • КГ3

Нахождение неизвестного теплового режима £ на Гг в обратной задаче (1), (2), (4), как установлено выше, можно свести к решению операторного уравнения (8). Для решения рассматриваемого операторного уравнения (8) предлагается модифицировать метод Ньютона-Канторовича22 введением параметра регуляризации а1 и демпфирующего множителя

£,-+1 = £; - Д [(Л(£<) - <р), * = 0, 1, 2.....

Производная Фреше А! в точке £ на элементе С, вычисляется по формуле

где Т^ — решение краевой задачи

ЬТ( = сНУ (к ) — (и, УТ^) + д Т<; = 0, дгеП, Гс = 0, хеГь; Гс = С, хег2.

Оператор [ £) ](11 действует следующим образом

[АШ*1М = та\ ,

где Та — решение краевой задачи

ЬТа=а

дх?дх22'

та = о, хег1;

Параметр а; выбирается из условия квазиоптималыюсти20'21. Демпфирующий множитель /3; определяется из решения задачи одномерной минимизации:

\\А (6 - Р [ А'( 6) £ (Л( 6) - ^)) - ч, ||ЫГ2) шт : ¡5 > 0.

В Таблице 3 приведены результаты численных экспериментов:

— количество итераций, затраченных на восстановление режима £в), ^ = 1, 2, 3;

— значение относительной погрешности е^') восстановления режима £в). Таблица 3.

режим £10 £(2)

относительная погрешность, е^ 1.83 ■ Ю-2 9.4 • Ю-2 1.9-Ю-1

количество итераций 3 20 9

иВасш1 В.В., Еремин И.И. Операторы и итерационные процессы фейеровского типа. Теория и приложения. Москва-Ижевск; НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2006. 210 с.

Далее для решения операторного уравнения (8) модифицируем классический метод Ландвебера23, вводя регуляризующую добавку /3, и выбирая подходящее значение параметра а; на каждой итерации:

ö+i = 6 — )* С — У») + Ä 6. * = 0, 1,2-----

Оператор действует следующим образом

где д = дс_ удовлетворяет вспомогательной краевой задаче

div(Ä;V5) + (u,Vg) + дд =0, xefi,

д = (, х€Г1; д = 0, хеГ2.

На каждом шаге итерационного процесса предварительно определяется параметр ctj, для этого решается одномерная задача минимизации:

|| - аА'&У (- ip) ) - у !| -> min : а > 0. Параметр /?,• определялся в результате решения задачи:

|| А( 6 - а; (- <р) + ß 6) - ip |И min : ß > 0.

В Таблице 4 приведены результаты численных экспериментов:

— количество итераций, затраченных на восстановление режима j = 1, 2, 3;

— значение относительной погрешности е^') восстановления режима f Ü). Таблица 4._ _

режим ¿И) £(2) £(3)

относительная погрешность, е^' 2.2 • 1СГ4 9.8 • 1СГ2 1.9 • 10"1

количество итераций 3 29 9

И, наконец, для решения операторного уравнения (8) модифицируем метод Левенберга-Марквардта22, вводя демпфирующий множитель /3; и выбирая подходящее значение коэффициента а* на каждой итерации:

£ш = 6 - ßi [ А%У + а* Е] -1 А'&У (Afe) - <р) , г = 0, 1, 2, ... .

На каждом шаге итерационного процесса предварительно определяется параметр Qj, для этого решается задача одномерной минимизации:

|| -(В + аЕ)'1 - v) - V |И min : а > 0.

Параметр Д- находится в результате решения задачи:

Ii А (£ - ß (Б + Е Г1 W.') - ¥>)-¥> ||-Hnin:/3>0.

В Таблице 5 приведены результаты численных экспериментов:

— количество итераций, затраченных па восстановление режима j = 1, 2, 3;

— значение относительной погрешности е^') восстановления режима .

иКабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009.457 с.

режим fli)

относительная погрешность 1.7-Ю"3 9.9 - Ю-2 1.8 • 10_i

количество итераций 142 54 515

Во второй главе рассматриваются прямая и обратная граничные задачи для модели стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости. В некоторой области П С Мт, т — 2,3, рассматривается движение высоковязкой несжимаемой теплопроводной ньютоновской жидкости, находящейся в поле силы тяжести под воздействием некоторого внешнего теплового режима. Математическая модель установившегося движения такой жидкости представлена следующей обез-размеренной краевой задачей в приближении Буссинеска24,25,26

Дк = Vр - RaTет, xefi, (17)

div и = 0, xeil; и = 0, хеГ, (18)

div(fcVT') = (к, VT), хеп, (19)

Т = V , х е Ti, (20)

, ат

k— = w, х е Г2, (21)

где х = (xi,..., xm) — точка пространства Rm; и = (щ (х),..., wm(x))— вектор скорости движения среды; р — р(х) — давление; Ra — число Рэлея; Т = Т(х), х 6 ii, — температура среды; к = к(х), х 6 П, — заданный коэффициент теплопроводности среды; v = и(х) и w — w(x) — задашше функции, определенные на частях Ti и Г2 границы Г области П соответствешо, характеризующие внешние факторы (режимы) взаимодействия среды, находящейся внутри области П, с окружающей средой, Г = Fj U Г2, Гх П Г2 = 0 ; и — единичный вектор внешней нормали в точках границы Г области Г2; ет — орт оси хт.

Область П удовлетворяет условиям из первой главы.

Прямая граничная задача состоит в нахождении распределения температуры Т и скорости движения среды и в области П в результате решения краевой задачи

(17H21)-

Пусть далее для определенности к е С1(П), 0 < /¿i < к(х) ^ /х2, х € О, Hi — const ^ fi2 = const; v 6 L2(Ti), w e Ь2(Г2).

При указатгых условиях на параметры краевой задачи (17)—(21), она может не иметь ни классического, ни обобщешюго решения24.

Слабым решением краевой задачи (17)—(21) назовем пару функций (и, Т) £ Н(П) х £2(П), которая для любой пары (f,g) G Н(П) х G2(fi) удовлетворяет интегральным равенствам

"Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.400 с. "Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. New York: Dover, 1981. 654 p. Js Алексеев Г.В. Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнитной гидродинамики. М.: Научный мир, 2010.411с.

л ТП ТТ1 г\ г\ я

у Е Е = Ка у т (■)'<**' (22)

п ¿=1 3=1 п

/ Т(сНУ(А;УЗ) + / юк-^сГГ - / ш^сЯГ, (23)

п г, г2

где Н(П) = {и € : и = 0 на Г, сИуи = 0 в П

Таким образом, прямая граничная задача состоит в нахождении слабого решения краевой задачи (17)—(21).

Замечание 2.1.1. Давление р исключается из равенств (22), (23) в силу того, что компонента и решения ищется в классе соленоидальпых функций равных нулю на границе Г, т. е. в классе Н(П), такому же классу принадлежит и функция

/ € Н(П)

J{Vp,f)dx = o УреИ^Ф). У/еН(й). »

Если найдено слабое решение (и, Т) € Н(Г2) х Ь2(0) краевой задачи (17)-(21), то 24 существует такая функция р 6 что пара (и,р) удовлетворяет

уравнениям (17), (18) в смысле теории распределений. Если слабое решете (н, Т) обладает достаточной гладкостью, то скалярная функция р может быть найдена с помощью интегрирования из уравнения (17). Функция р определяется однозначно с точностью до аддитивной постоянной.

Замечание 2.1.3. Наряду с поставленной прямой задачей, так же как и при изучении обратных задач и численном моделировании, могут рассматриваться варианты задач, в которых граница Г разделена на большее конечное число частей, на каждой из которых задается граничное условие первого, второго или третьего рода. Такие варианты задач изучаются совершенно аналогично и результаты в таких задачах также получаются аналогичными.

Слабая разрешимость, единственность и устойчивость краевой задачи (17)-(21) доказаны в работах27' 28' 29.

Сформулируем соответствующую обратную граничную задачу.

Пусть на части границы задаются и известны температура Т = V и тепловой поток

кдТ/дп = V?, хбГь (24)

Обратная граничная задача состоит в нахождении температуры Т | г2 на части Г2 границы Г в результате решения краевой задачи (17)—(20), (24).

■"Короткий А.И., Ковтунов Д.А. О разрешимости стационарных задач естественной тепловой конвекции высоковязкой жидкости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14. № 1. С. 61-73.

^Короткий А. И. Разрешимость в слабом смысле одной краевой задачи, описывающей тепловую конвекцию // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 2. С. 121-132.

^Ковтунов Д.А. Разрешимость стационарной задачи тепловой конвекции высоковязкой жидкости // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 1. С. 74-85.

Будем считать, что все величины и параметры в обратной задаче удовлетворяют тем же условиям, каким удовлетворяли эти величины и параметры в прямой задаче, и пусть (р £ Ь2(Г1).

Слабым решением краевой задачи (17)-(20), (24) назовем всякую пару функций (и,Т) б Н(П) х Ь2{О), которая для любой пары (/,д) е Н(П) х 0-^(0.) удовлетворяет интегральным равенствам

/ёё^Ц*-»*/г*/*.,

Jт(div(kVg) + (и,У.9))ЛЕ = J ук^йГ-J рдОГ.

П Г2 Г!

Рассмотрим краевую задачу

Дм = V? - ЯаТет, х£П, (25)

(Му и = 0, х е П; и = О, х <Е Г, (26)

¿1у(кУТ) = хеП, (27)

T = vy я е ; Т = £, д: £ Г2. (28)

Если ввести в рассмотрение нелинейный оператор

ап 1г1

где Т — решение краевой задачи (25)-(28), то обратная задача сводится к решению нелинейного операторного уравнения

А£ = <р. (29)

Таким образом, обратая граничная задача состоит в нахождении следа Т | г2 от решения краевой задачи (17)-(20), (24) или в решении уравнения (29).

Обратная задача (17)-(20), (24) является, вообще говоря, некорректной8. Это следует из вполне непрерывности оператора А.

Для решения рассматриваемого операторного уравнения (29) предлагается модифицировать метод Ньютона-Канторовича введением параметра регуляризации а; и демпфирующего множителя

6+1 ^-АИ'иОЦЧЖб)-*»), ¿ = о,1,2,....

Производная Фреше А' в точке £ на элементе С вычисляется по формуле

= к' где — удовлетворяет краевой задаче

Дн<; = V - Да Т( еш, х <Е П,

(Ну и( = 0, кс = 0, х е Г,

LT = div ( к VT( ) — (и^, V7f) — (м^, VTf) = 0, xefi, тс = о, хеГц Гс = с, xer2. Оператор [ Л'( £) J"1 действует следующим образом

II 2

где Та — решение вспомогательной краевой задачи, в которой модель движения жидкости включает в себя регуляризованное уравнение теплового баланса Ак„ = Vp„ - Ra Т„ еш, х еП,

div иа = 0, LT,, =

хеП; д*Та

, = 0

ос

дху dxj

2 >

Га = 0, хеГ,

к

зта

дп

*<ЕГ, х е П,

= Х, х&Гг.

Параметр а,- выбирается из условия квазиоптимальности20'21. Демпфирующий множитель ßi определяется из решения задачи одномерной минимизации: \\А (6 - ß [ А'( 6) £ (А( 6) - <р)) - <р ||ь2(г2) ->■ min : ß > 0. При численном моделировании, в качестве Л рассматривается прямоугольная область Q = (0, 1Х) х (0, /2) с границей (12Н15).

Граница Г] будет недоступна измерениям, на ней необходимо будет определить граничный режим Т = На границах Гг и Г4 будут заданы неизменные условия теплоизолированности кдТ/дп = 0. Грашща Г3 будет доступна измерениям, на ней будут заданы условия Т = 0, кдТ/дп = ip.

Моделировались задачи по восстановлению трех граничных режимов.

1. Гладкий режим £^(2:1) = cos(37rxi).

2. Непрерывный кусочно-гладкий режим £(2'(:ci) = 0.1 при е [0; 0.1) U [0.9; 1]; £(2>(:ei) = при хх € [0.1; 0.5); ^(zj) = при хх 6 [0.5; 0.9).

3. Разрывный режим = 0.5 при е [0;0.1); £(3)(xi) = хг + 0.4 при ®i € [0.1; 0.5); ^(хО = 0.9-zi приж! € [0.5;0.9); ^(ц) = Оприац € [0.9; 1].

В Таблице 6 приведены результаты численных экспериментов. Таблица б.

режим £(1)

относительная погрешность 1.1- 10"1 6.2 • Ю-2 1.2 • Ю-1

количество итераций 3 4 28

Далее, для решения операторного уравнения (29) модифицируем классический метод Лаццвебера, вводя регуляризующую добавку /3; & и выбирая подходящее значение параметра а, на каждой итерации:

¿ = 1,2, ... .

Оператор Л'(£)* действует следующим образом

где i!h — составляющая решения (z/M Цн, Qh) краевой задачи Az = Vg-V дТ(,

div z = 0, х ей] z = 0, х е Г,

di v(kVg) = -(u^Vg)-Ra{em,z), xSfl,

g = h, * € Г1; g = 0, x G Г2.

На каждом шаге итерационного процесса предварительно определяется параметр оц, для этого решается одномерная задача минимизации:

- а (- <р) ) - <р II min : а > 0.

Параметр Д- определялся в результате решения задачи:

|| А(£ - о* А'($у (- <р) + ߣ) - <р || -j. min : ß > 0.

В Таблице 7 приведены результаты численных экспериментов. Таблица 7.

режим £<1) £2)

относительная погрешность 1.2 • 10-* 6.4 • Ю-2 2.1 • 10"1

количество итераций 48 209 236

И, наконец, для решения операторного уравнения (29) модифицируем метод Левенберга-Марквардта, вводя демпфирующий множитель /3,- и выбирая подходящее значение коэффициента на каждой итерации:

= fc - ft [ Л'(6Г + «j Е]Л'Й)* (- <р) , i = 0, 1, 2, ... .

На каждом шаге итерационного процесса предварительно определяется параметр ait для этого решается задача одномерпой минимизации:

|| А(6 - (В + а ЕГ1 (Ж&) - v) - V II min : а > 0. Параметр /3,- находится в результате решения задачи:

|| Л (6 - ß (В + а; Е Г1 W.) - ¥>)-И1"*п1т:0>О.

В Таблице 8 приведены результаты численных экспериментов. Таблица 8.__

режим £<1) £(2) &

относительная погрешность 1.8- ИТ* 6.5 • Ю-2 1.5 • Ю-1

количество итераций 3064 33 1733

В третьей главе представлена структура разработанных программных комплексов, приведены описание и примеры входных файлов. Более подробно излагаются алгоритмы решения соответствующих прямых задач, необходимых для реализации предложенных в главах 1 и 2 методов. Описаны структура и примеры выходных файлов, получаемых в результате работы программных комплексов.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, дается сравнительная характеристика методов по разным показателям, указываются некоторые направления дальнейшей деятельности.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА

Статьи, опубликованные в рецензируемых научных изданиях, определенных ВАК:

1. Короткий, А.И. Реконструкция граничных режимов в модели реакции-конвекции-диффузии / А.И. Короткий, Ю.В. Стародубцева // Вестник Ижевского государственного технического университета. —2013. —Т. 58.—№ 3.— С. 146-149.

2. Стародубцева, Ю.В. Прямые и обратные граничные задачи для моделей реакции-конвекции-диффузии/Ю.В. Стародубцева//Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. —2013.—Т. 18.— вып. 5. — С. 2692-2693.

3. Стародубцева, Ю.В.Численное моделирование обратной граничной задачи для модели вязкой среды модифицированными методами Ньютона-Конторовича, Ландвебера и Левенберга-Марквардта / Ю.В. Стародубцева // Системы управления и информационные технологии.—2013. —Т. 52.—№ 2. —С. 14-18.

4. Стародубцева, Ю.В. Численное решение обратной граничной задачи регуляризованным методом Лсвсибсрга-Марквардта / Ю.В. Стародубцева // Научно-технический вестник Поволжья. —2013. —Jfe 2.— С. 212-215.

5. Короткий, А.И. Прямые и обратные задачи для моделей стационарной реакции-конвекции-диффузии / А.И. Короткий, Ю.В. Стародубцева // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2014. — Т. 20. — №3. —С. 98-113.

Патенты и свидетельства о регистрации программ:

6. Стародубцева Ю.В. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014613955 "SRCD Inverse Boundary Problem". Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент). Зарегистрировано 14 апреля 2014 г.

7. Стародубцева Ю.В. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014614213 "SHC Inverse Boundary Problem". Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент). Зарегистрировано 18 апреля 2014 г.

Другие публикации:

8. Стародубцева, Ю.В. Реконструкция граничных режимов в обратной задаче тепловой конвекции высоковязкой жидкости / Ю.В. Стародубцева, А.И. Короткий // Материалы конференции "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ", посвящсгаюй 50-летию кафедры вычислительной математики и математико-механического факультета Уральского государственного университета им. А.М. Горького (Екатеринбург, 21 -22 апреля 2010 г.). 2010.—С. 95-101.

9. Стародубцева, Ю.В. Восстановление граничных режимов в обратной задаче тепловой конвекции высоковязкой жидкости / Ю.В. Стародубцева, А.И. Короткий // Тезисы докладов Всероссийской школы-конференции молодых исследователей и V Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (Россия, Абрау-Дюрсо, 13-18 сентября 2010 г.).-— Екатеринбург: УрО РАН,—2010,—С. 77-78.

10. Короткий, А.И. Численное исследование обратных граничных задач для моделей тепловой конвекции высоковязкой жидкости / А.И. Короткий, Ю.В. Стародубцева // Тезисы докладов Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2011 (Россия, Новосибирск, Академгородок, 29 июня - 1 июля 2011 г.). Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2011.

11. Стародубцева, Ю.В. Реконструкция граничных режимов в обратных задачах тепловой конвекции / Ю.В. Стародубцева // Материалы IV Международной конференции "Математика, ее приложения и математическое образование"(МПМО' 11) (Россия, Бурятия, Улан-Удэ, 27 июня -1 июля 2011 г.).— Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ (Восточно-Сибирский государственный технологический университет).— 2011. —Часть 2. —С. 154—157.

12. Стародубцева, Ю.В. Численное моделирование задачи реконструкции граничных режимов / Ю.В. Стародубцева // Тезисы докладов Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", посвященной памяти В.К. Иванова (Россия, Екатеринбург, 31 октября - 5 ноября 2011 г.).—Екатеринбург: Издательство Уральского федерального университета.—■ 2011.— С. 171-172.

13. Стародубцева, Ю.В. Численное моделирование обратной граничной задачи / Ю.В. Стародубцева // Тезисы докладов IV Международной молодежной научной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректные за-дач"(Россия, Новосибирск, Академгородок, 5-15 августа 2012 г.). — Новосибирск: ИВ-МиМГ СО РАН. — 2012,— С. 115.

14. Стародубцева, Ю.В. Численное моделирование обратной граничной задачи стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости / Ю.В. Стародубцева // Тезисы докладов Международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева (Россия, Новосибирск, Академгородок, 5-12 августа 2012 г.).— Новосибирск: Сибирское научное издательство.— 2012. — С. 239.

15. Стародубцева, Ю.В. Числеиное моделирование решения обратной граничной задачи тепловой конвекция методами Ландвебера и Левепберга-Марквардта / Ю.В. Стародубцева // Тезисы докладов Всероссийской школы-конференции молодых исследователей и VI Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (Россия, Абрау-Дюрсо, 1016 сентября 2012 г.)— Екатеринбург: УрО РАН,— 2012,— С. 71-72.

16. Стародубцева, Ю.В. Решение обратной гршичной задачи для модели высоковязкой жидкости итерационными методами / Ю.В. Стародубцева // Тезисы докладов XIV Международной конференции "Супервычисления и математическое моделирование"(Россия, Сэров, 1-5 октября 2012 г.).— Саров: ИПК ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ,— 2012,— С. 146.

17. Стародубцева, Ю.В. Решете обратной граничной задачи для модели высоковязкой жидкости итерационными методами / Ю.В. Стародубцева // Труды XIV Международной конференции "Супервычисления и математическое моделирование"(Россия, Саров, 1-5 октября 2012 г.) под редакцией Р.М. Шагалиева. —Саров: ИПК ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ.— 2013,—С. 530-538.

18. Стародубцева, Ю.В. Обратные граничные задачи для модели реакции-конвекции-диффузии / Ю.В. Стародубцева // Тезисы докладов Ш Всероссийской конференции "Математическое моделирование и вычислительно-информационные технологии в междисциплинарных научных исследованиях"(Россия, Иркутск, 23-26 июня 2013 г.). — Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН,— 2013.— С. 54.

19. Стародубцева, Ю.В. Итерационные методы решения обратной граничной задачи для модели тепловой конвекции высоковязкой жидкости / Ю.В. Стародубцева // Тезисы докладов П Российско-Монгольской конференции молодых ученых по математическому моделированию, вычислительно-информационным технологиям и управлению (Россия-Монголия, Иркутск-Ханка, 25 июня - 1 июля 2013 г.). — Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН,— 2013. —С. 56.

20. Стародубцева, Ю.В. Численное моделирование обратной граничной задачи для модели вязкой среды итерационными методами / Ю.В. Стародубцева // Информационные технологии моделирования и управления. —■ 2013. — № 2 (80).— С. 115-122.

21. Стародубцева, Ю.В. Численное моделирование обратной граничной задачи для модели стационарной реакции-конвекции-диффузии методом квазиобращения / Ю.В. Стародубцева // Тезисы докладов VII Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (Россия, Абрау-Дюрсо, 15-20 сентября 2014 г.). Екатеринбург: УрО РАН. — 2014. — С. 5354.

22. Короткий, А.И. Восстановление граничных управлений по граничным наблюдениям в системах реакции-конвекции-диффузии / А.И. Короткий, Ю.В. Стародубцева // Тезисы докладов Международной конференции "Динамика систем и процессы управления"(50СР-2014), посвященной 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского (Россия, Екатеринбург, 15-20 сентября 2014 г.). — Екатеринбург: Изд-во УрФУ. — 2014. — С. 113-115.

Подписано в печать 25.09.2014. Бумага офсетпая. Гарнитура «Тайме». Формат 60x84 1/16. Объем 1 авт.л. Заказ № 1449. Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии ИПЦ УрФУ 620000, г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 4