автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование обратных граничных задач стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости

О 00460 ^

На правах рукописи

Ащ-

Ковтунов Дмитрий Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБРАТНЫХ ГРАНИЧНЫХ

ЗАДАЧ СТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ ВЫСОКОВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург — 2010

- 3 ИЮН 2010

004603272

Работа выполнена в отделе прикладных задач Института математики и механики УрО РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Короткий Александр Илларионович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Денисов Александр Михайлович

Защита диссертации состоится "16" июня 2010 г. в 13 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.286.10 по защите докторских и кандидатских диссертаций при ГОУ ВПО «Уральский государственный университет им. A.M. Горького» по адресу: 620000, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Уральский государственный университет им. A.M. Горького».

кандидат физико-математических наук, доцент Розенберг Валерий Львович

Ведущая организация: Институт вычислительной математики

и математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск

Автореферат разослан

«

мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

В.Г. Пименов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В различных областях науки и техники с целью изучения закономерностей функционирования некоторого объекта или природного явления проводятся исследования самого различного вида. Цель исследования — выявление главных закономерностей явления и, возможно, формирование на его основе некоторой математической модели. Очень часто на практике встречаются ситуации, когда объект исследования либо принципиально недоступен для наблюдения, либо проведение эксперимента дорого. Примерами таковых могут служить исследования по изучению внутреннего строения Земли, на основе которых можно было бы прогнозировать месторождения полезных ископаемых, предсказывать время и место разрушительных землетрясений, извержений вулканов, а также изучать динамику внутренних процессов нашей планеты. Отметим, что глубина самых глубоких скважин, пробуренных при помощи современнейшего оборудования, не превышает 20 км, а средний радиус Земли равен 6371 км. Таким образом, для непосредственных наблюдений внутренних процессов Земли доступна лишь небольшая ее приповерхностная часть. При этом необходимо делать заключение о свойствах внутренних процессов Земли (например, об изменении ее плотности или температуры с глубиной) по измеренным в ходе эксперимента косвенным проявлениям.

В приведенной выше ситуации мы хотим определить причины, если известны полученные в результате экспериментов или наблюдений следствия. С точки зрения соотношения причина — следствие все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших класса: прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия, нужно найти причины).

К прямым задачам относятся, например, задачи расчета механических, тепловых, электромагнитных полей для тел, свойства и конфигурация которых известны. Математический аппарат для исследований таких задач удобно представлять в виде дифференциальных уравнений.

К обратным задачам относят задачи определения некоторых физических характеристик объектов, таких, например, как плотность, теплоемкость, коэффициент теплопроводности, по их косвенным проявлениям. Процедура решения таких задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, связана с преодолением серьезных математических трудностей. Успех ее сильно зависит как от качества и количества полученной из эксперимента информации, так и от способа ее обработки. При формулировке общих постановок и выделении основных классов обратных задач предполагается известными постановки прямых задач. Заметим, что часто без умения решать прямые задачи невозможно подойти к решению обратных задач.

Постановки обратных задач, в отличие от прямых, нельзя воспроизвести в реальном эксперименте, т.е. нарушить причинно-следственную связь не математическим, а физическим путем. И в этом смысле они не соответствуют физически реализуемым событиям. Например, нельзя обратить ход физического процесса и тем более изменить течение времени. Таким образом, можно условно говорить о естественной природе некорректности постановки обратной задачи. Естественно, что при математической формализации она проявляется уже как математическая некорректность (чаще всего неустойчивость решения), и обратные задачи представляют собой типичный пример некорректно поставленных задач.

Основополагающий вклад в развитие теории и методов решения некорректных задач внесли А.Н. Тихонов, М.М. Лаврентьев, В.К. Иванов. Большой вклад в развитие некорректных и обратных задач внесли Г.И. Марчук,

B.Я. Арсенин, В.А. Морозов, A.B. Бакушинский, В.Б. Гласко, В.В. Васин, А.Г. Ягола, О.М. Алифанов, В.Г. Романов, A.M. Денисов, Ф.П. Васильев,

C.И. Кабанихин, A.C. Леонов, O.A. Лисковец, И.В. Мельникова, Л.Д. Мени-хес, В.П. Танана, А.И. Прилепко, Ю.Е. Аниконов, А.Л. Бухлейм и многие другие математики.

С позиций математического моделирования алгоритм численного решения обратных задач состоит в сведении обратной задачи к решению последовательности корректных задач, которые можно решать численно. Реализация методов решения некорректных задач связана с численным решением соответствующих дифференциальных задач. При этом широко используется математический аппарат разностных схем, разработанных в школах A.A. Самарского, Г.И. Марчука, H.H. Яненко.

Развитие теории и методологии решения обратных задач, как актуального направления исследований, вызвано насущными потребностями практики и базируется на математической теории некорректно поставленных задач, оптимальных принципах планирования эксперимента, современных численных методах и должно соответствовать характеру и уровню развития вычислительной техники и программного обеспечения.

Одним из важных классов обратных задач являются обратные задачи тепло- и массообмена. Многие обратные задачи теплообмена достаточно хорошо изучены1 2 3 4 5. Однако встречаются и более сложные модели теплообмена, такие как, например, естественная тепловая конвекция, для которых

1 Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение. 1988.

2 Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М. : Изд-во МГУ. 1994.

3Коздоба Л.А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теплопроводности. Киев : Наукова думка. 1982.

4Мацевигпый Ю.М., Мулташвский A.B. Идентификация в задачах теплопроводности. Киев : Наукова думка. 1982.

5БекДж. Некорректные обратные задачи теплопроводности. M. : Мир. 1989.

известно сравнительно мало результатов в связи с решением обратных задач6

7 8

Под тепловой конвекцией понимают перенос теплоты в жидкостях, газах или сыпучих средах потоками вещества. Естественная конвекция возникает при неравномерном нагреве текучих или сыпучих веществ, находящихся в поле силы тяжести (или в системе, движущейся с ускорением). Вещество, нагретое сильнее, имеет меньшую плотность и под действием архимедовой силы перемещается относительно менее нагретого вещества. Направление архимедовой силы, а следовательно, и конвекции для нагретых объемов вещества противоположно направлению силы тяжести. Конвекция приводит к выравниванию температуры вещества. При стационарном подводе теплоты к веществу в нем возникают стационарные конвекционные потоки, переносящие теплоту от более нагретых слоев к менее нагретым. С уменьшением разности температур между слоями интенсивность конвекции падает. При высоких значениях теплопроводности и вязкости среды конвекция также оказывается ослабленной. Конвекция широко распространена в природе: в нижнем слое земной атмосферы, морях и океанах, в недрах Земли, на Солнце и т.д. С помощью конвекции осуществляют охлаждение или нагревание жидкостей и газов в различных технических устройствах.

Одной из стационарных моделей тепловой конвекции является модель естественной тепловой конвекции высоковязкой жидкости в приближении Буссинеска910. Данная математическая модель может быть использована для моделирования температурного режима осадочных бассейнов11, вулканических провинций12, стационарной конвекции в мантии Земли9. Решение этих геофизических задач чрезвычайно важно с точки зрения их прикладного характера: осадочные бассейны являются природными хранителями полезных ископаемых, в частности, большинство исследованных месторождений нефти и газа связаны с такими геологическими структурами; изучение вулканов и их теплового режима помогает в предсказании вулканических извержений; мантийная конвекция является одной из причин движения континентов на планете и источником землетрясений, происходящим на границах разломов литосферных плит. Кроме того, модель конвекции высоковязкой жидкости

6Payan S. Inverse boundary design of square enclosures with natural convection // Int. J. of Thermal Sciences. 2009. Vol. 48. Jf< 4. P. 682-690

7Prud'homme M., Nguyen Т.Н. Solution of inverse free convection problems by conjugate gradient method: effects of Rayieigh number // Int. J. Heat Mass Transfer. 2001. Vol. 44. № II. P. 2011-2027

8Payan S.t Salvari S.M.H., Ajam H. Inverse natural convection problem of estimating wall beat flux // Chemical Engineering Science. 2000. Vol. 55. № 11. P. 2131-2141

9 Chandrasekhar S. Hydrodyiiamic and hydromagnetic stability. New York : Dover. 1981.

10Ландау Л.Д., Лифшиц EM. Теоретическая физика. Гидродинамика. М. : Наука. 1988. Т. 6.

11 Schubert G., Turcotte D.L., Olson P. Mantle convection in the Earth and planets. United Kingdom : Cambridge University Press. 2004.

"Turcotte D.L., Schubert G. Geodynamics. Cambridge : Cambridge University Press. 2002.

может использоваться в промышленности при моделировании процесса изготовления стекла в плавильных печах13.

Из сказанного выше следует, что тема диссертации актуальна.

Цель работы. Целью работы является теоретическое исследование прямой задачи стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости, разработка методов численного решения соответствующей обратной граничной задачи, а также разработка соответствующих алгоритмов и проведение вычислительных экспериментов.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с применением методов математического моделирования, теории обратных и некорректных задач, теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории оптимизации, методов вычислительной математики. Для проведения вычислительных экспериментов применялись современные технологии программирования.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Они обобщают и дополняют работы отечественных и зарубежных исследователей по данной проблематике. Достоверность полученных результатов подтверждается соответствующими математическими доказательствами, соответствием полученных теоретических результатов результатам компьютерного моделирования, использованием общепризнанных апробированных математических методов и согласованностью результатов, полученных различными способами.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа имеет теоретическую и практическую ценность. В работе получены теоретические результаты по исследованию прямой и обратной задач для модели стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости. Разработанные подходы и методы исследования могут быть применены при теоретическом исследовании других важных моделей тепловой конвекции. Практическая значимость работы заключаются в том, что предложенные в ней вычислительные методы и алгоритмы могут быть использованы при решении прикладных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международном семинаре «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона — Якоби», посвященном 60-летию академика А.И. Субботина (Екатеринбург, 2005); на Международной конференции «Тихонов и современная математика: Обратные и некорректно поставленные задачи» (Москва, 2006); на III и IV Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной

nHajime I. Numerical simulation of thermal convection in a fluid with the infinite Prandtl number and its application to a glass manufacturing problem // Hirosima Math. J. 1999. Vol. 29. № 1. P. 27—60.

памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2006, 2008); на Международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова (Екатеринбург, 2008); на Международной конференции «Актуальные проблемы теории устойчивости и управления» (Екатеринбург, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1—11]. Работы [1—4] опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах из перечня ВАК. В совместных работах [1, 2, 5, 6] научному руководителю А.И. Короткому принадлежат постановки задач, общее руководство исследованиями по теме диссертации и идеи доказательств основных утверждений, а диссертанту — доказательства основных теорем, разработка численных алгоритмов и программных средств для проведения численного моделирования. В работах [4, 11] диссертанту принадлежат реализация численных методов, разработка программных средств и проведение вычислительных экспериментов. В работе [7] А.Т. Исмаилу-Заде принадлежит физическая постановка задачи, А.И. Короткому — математическая постановка задачи, И.А. Цепелеву — идеи численного решения задачи, а диссертанту — реализация численных методов и разработка программных средств.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий объем работы составляет 160 страниц. Список литературы включает 93 наименования.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы исследования, излагаются цели и краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматривается прямая задача стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости в приближении Буссинеска11

где х = (х1,... ,хп); О, С М"(п = 2,3) — область с границей Г = Гд и Гдг, шее Го > 0, Гд П Г^ = 0; и = (щ(х),... ,ип(х)) — вектор скорости движения жидкости; р = р(х) — давление; Т — Т(х) — температура;

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Т|Гв=«, дт/дп\г„=ш,

Аи = Ур — 11аТеп, х £ П,

и = 0, х & П, ДТ = иЧТ, х е П,

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

V = у(х) и и; = т (х) — заданные температурные режимы на Гд и Г^ соответственно; Иа — число Рэлея; п — единичный вектор внешней нормали в точках границы Г; еп — орт оси хп.

В качестве П рассматривались ограниченные области, принадлежащие одному из следующих классов14 15:

• Класс С2. К такому классу принадлежат области с достаточно гладкой границей.

• Класс £ШН, который включает области, удовлетворяющие трем условиям: условию строгой липшицевости, условию равномерной ограниченности собственных чисел соответствующей квадратичной формы и условию сильной разрешимости задачи Пуассона с гладкой правой частью и смешанными однородными граничными условиями. К такому классу, в частности, принадлежит прямоугольная область.

Требовалось исследовать вопрос о разрешимости краевой задачи (1)—(5) в некотором слабом смысле.

При исследовании разрешимости краевой задачи (1)—(5) использовались пространства Лебега Ьт(0) и пространства Соболева МГ^СП), т > 1, 1> I14 1516 17, а также их векторные аналоги £т(П) и \У1т(И) соответственно. Кроме того, использовались пространства

Вводилось понятие слабого решения краевой задачи (1)—(5). Для заданных функций у & Ь2(Гп) и ги 6 под слабым решением краевой задачи (1)—(5) понимается пара функций (и, Г) € Н(0.) х Ь2(С1), удовлетворяющая тождествам

и Adams Я A. Sobolev spaces. New York : Acad. Press. 1975.

1&Ладыженская O.A., Уралъцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М. : Наука. 1973.

16 Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М-: Наука.

17Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М. : Наука. 1976.

18Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М. : Физмат-

Н(П) = {ие W\{9) : «|г = 0, divu = О}18, Gi(il) = {g € W?(fl) : 5|Го = 0}, С2(П) = {ge Wi{Ü): 9\Го = 0, дд/дп\, = 0}.

(6)

1988.

гиз. 1961.

Тождества (6), (7) получались умножением уравнений (1), (3) на функции / 6 Н(£1) и д 6 соответственно, интегрированием результата по П с

применением формулы интегрирования по частям, а также с учетом граничных значений функций и, T,f,g и условия несжимаемости (2).

Отметим, что переход к вариационной формулировке (6), (7) краевой задачи (1)—(5) позволил исключить из рассмотрения искомую скалярную функцию р, а также уравнение (2), причем граничные условия (4), (5) вошли в интегральные тождества в компактном виде. При известной паре (и,Т) функцию р можно с точностью до постоянной найти из уравнения (1).

Для упрощения исследования исходной краевой задачи (1)—(5) был осуществлен переход к исследованию соответствующей краевой задачи с однородными граничными условиями. Для этого рассматривалась следующая вспомогательная краевая задача для уравнения Лапласа:

ДФ = 0, (8)

Ф|Г|, = *, &b/dn\Tll=w. (9)

Слабым решением краевой задачи (8), (9) называется функция Ф € £.2(П), удовлетворяющая интегральному тождеству

J <t>Agdx = J - J wgdr, XgeG2(il). (10)

n rD rw

Методом транспонирования19 доказана следующая теорема.

Теорема 1. Слабое решение краевой задачи (8), (9) существует и единственно, причем справедлива оценка

Wd) + С1С3|М|едг„,. (11)

Везде в оценках под с, понимаются положительные константы, не зависящие от оцениваемых величин. В большинстве случаев, Cj — константы, которые фигурируют в неравенствах из теорем вложения14 16 20.

Рассматривалась следующая однородная задача, соответствующая краевой задаче (1)—(5):

Аи = Vp-Ra(T + Ф)е„, х € П, (12)

div tt = 0, хеП, (13)

ДГ = и(УГ + УФ), хеП, (14)

19Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М. : Мир. 1972.

20Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. M. : Наука. 1973

«1г = 0. (15)

т|г =0, дТ/дп^ =0, (16)

где Т - Т — Ф, а Ф — решение краевой задачи (8), (9).

В силу того, что вспомогательная краевая задача (8), (9) однозначна разрешима, вопрос о разрешимости краевой задачи (1)—(5) был сведен к вопросу о разрешимости краевой задачи (12)—(16). Под решением этой задачи понимается ее обобщенное решение (исходные данные позволяют это сделать).

Под обобщенным решением однородной краевой задачи (12)—(16) понимается пара функций (и,Т) € Н(П) х (?1(П), удовлетворяющая тождествам

/£|£1£<*г = Ка [(T + *)enfdx, У/ЕЯЩ), (17) п 3 1 п

J {Ъд + ид)ЪТ(1х = ^ иЧдФёх, Чдев^О), (18)

п п

где Ф — слабое решение краевой задачи (8), (9).

Доказана следующая основная теорема о разрешимости задачи (1)—(5).

Теорема 2. Если исходные данные краевой задачи (1)—(5) таковы, что V 6 ¿2(Го), и) € ¿2(Гл')| и выполняется неравенство

2пс1 с511а(с41Мк(г0) + С1 с3ИЧк«») < 1,

то ее слабое решение (и,Т) 6 Н(П) х удовлетворяющее тожде-

ствам (6), (7), существует и единственно. Кроме того, и € Ь0С(П), а компонента Т слабого решения может быть представлена в виде суммы Т = Т + Ф, состоящей из компоненты Т £ 61(0) обобщенного решения (и,Т) € Н(П) х С?х(П) краевой задачи (12)—(16) с однородными граничными условиями для Т и слабого решения Ф € вспомогательной задачи (8), (9) с неоднородными граничными условиями. Для слабого решения и его составляющих справедливы следующие оценки:

пс5 ИаЦФЦ?

||7т||4а(0) - 1-710*1^11

И^гС")_

1|ь2(п)

< пЦпЦ^ЦФЦ^,, ,,,, свИаНФИ^щ

°°СП> 1-пс1с5Ка||Ф||£.2(п)-

Доказана корректность прямой задачи (1)—(5). Прямая задача считалась корректно поставленной, если ее слабое решение (и, Т) е Н{Г2) х существует, единственно и оно непрерывно зависит от входных граничных данных

V € ¿2(Го), £ ¿г(Гд')- Кроме того, исследованы свойства гладкости слабого решения (и, Т) при повышении гладкости и и ги.

Рассматривалась обратная граничная задача, соответствующая прямой задаче (1)—(5). Построен оператор прямой задачи и доказано, что он является вполне непрерывным, т.е. не имеет ограниченного обратного. Таким образом, показана некорректность обратной задачи.

Рассматривались также частные случаи прямой и обратной задач для прямоугольной области О, = (0, ¿1) х (О, 12) С К2 с границей Г = Го и Гх и Г2, где Г0 = {(хьхг) € Г : ц = ОУхц = Ь}, Г! = {(хьх2) 6 Г : х2 = 0}, Г2 = {(хих2) еГ:х2 = 12}.

Прямая задача 1 состоит в том, чтобы найти пару (и,Т) б Н(И) х ¿2(П), удовлетворяющую уравнениям

Прямая задача 2 состоит в том, чтобы найти пару (и,Т) € Н(П) х Ь2{П), удовлетворяющую уравнениям

Все результаты полученные для прямой задачи (1)—(5) справедливы и для прямых задач 1 и 2, причем для прямой задачи 1 вместо (11) справедливо неравенство

Аи = Ур - Иа Те2, гей,

<Нуг1 = 0, х € П, ДТ = иЧТ, х 6 П, «1г = 0.

дТ/дп|Го = 0, Т|Г1=9ь Т\^ = Я2.

Аи = Чр - Ка.Те2, ж€0, ДТ = иУТ, х е П,

«1г =

дТ/дп\Го = 0, Т|Г) =91, дТ/дп\Гг=д2.

а для прямой задачи 2 справедливо неравенство

Если в прямой задаче 1 температурный режим Т|Г[ = неизвестен, остальные условия остаются прежними и дополнительно на верхней границе Г2 наблюдается (замеряется) поток тепла

то обратная задача 1 состоит в том, чтобы по результатам этих наблюдений найти температурный режим <71.

Если в прямой задаче 2 температурный режим Т|Г] = <71 неизвестен, остальные условия остаются прежними и дополнительно на верхней границе Гг наблюдается (замеряется) температурный режим

то обратная задача 2 состоит в том, чтобы по результатам этих наблюдений найти температурный режим <71.

Прямые и обратные задачи 1 и 2 можно свести к аналогичным задачам в непрямоугольной области, если воспользоваться методом фиктивных областей21.

Во второй главе разрабатывается вариационный метод численного решения обратных задач 1 и 2. Вариационный метод основан на сведении исходной обратной задачи к некоторой равносильной вариационной задаче на минимум подходящего целевого функционала и нахождении минимума этого функционала одним из методов минимизации.

Нахождение теплового режима Т|Г] = д1 в обратной задаче 1 было сведено к соответствующей вариационной задаче 1

где Т<п — компонента решения прямой задачи 1, а — множество допустимых граничных режимов на

В предположении, что И = {91 € ^МЦТу) : <?[(0) = д'^Ь) = 0}, <р £ Ь2(Т2), был найден Ьг-градиент V ^ функционала 3\

= сЬ/дп|Г1,

Мду+Ь)-= 11)^ + 0 (\\Щ„г{Г1)), УЛеЦ, '

21 Вабигцееи'ч П.Н. Метод фиктивных областей для задачи математической физики. М. : Изд-во Моск.

дТ/дп\Г = <р,

где ш — компонента решения следующей сопряженной задачи 1: Аг + ш УТ91 =0, х 6 Г2,

ун-та. 1991.

divz = 0, x e fi, Au + u9l Vw — Raz e2 = 0, x S ft,

zjr = 0, дш/дп\Го = 0, w|ri=0, =

Нахождение теплового режима TjFi — qi в обратной задаче 2 было сведено к соответствующей вариационной задаче 2

Mil) = J №. - V)2 dr "> min : 91 € V2,

r2

где T,n — компонента решения прямой задачи 2, a V2 — множество допустимых граничных режимов на IY

В предположении, что Vj = ^2(Fi), уз б Ь2(Г2), был найден ¿2-градиент VJ2 функционала J2

VJ2(gi) = dw/dn|ri, J2(gi + h) - J2(qi) = (VJ2(qi), h}L2(ri) + о (||/i|L>(ri)), v h 6 V2, где ш — компонента решения следующей сопряженной задачи 2:

Дг + (J VT„ =0, х е п, divz = 0, ®£П, Дш + uqi Vuj — Raz е2 = 0, ж е П, г|г = 0, ди>/дп\Гв = 0, и|г,=0. Иг, = ~2 №. - ¥>) •

Для нахождения точек минимума в вариационных задачах 1 и 2, после конечномерной дискретизации, использовался метод сопряженных градиентов Флетчера — Ривса22 23 с «неточным» поиском шага спуска, удовлетворяющего строгим условиям Вольфа24.

Опишем кратко схему численного решения вариационной задачи 1 методом сопряженных градиентов. Для вариационной задачи 2 схема аналогична. На каждой итерации последовательно выполнялись следующие четыре шага:

1. Данное qi = q^ € Vi подставляем в граничное условие прямой задачи 1 и находим решение (u4l, Tqi) этой краевой задачи (давление рЧ1 далее не используется).

2. Подставляем (uqi,Tqi) в сопряженную задачу 1 и находим ее решение (z, и>) (z далее не используется).

22Полак Э. Численные методы оптимизации. Общий подход. M. : Мир. 1974.

23 Nocedal J. Numerical optimization. New York : Springer. 1999.

24 Gilbert J.Ch., Nocedal J. Global convergence properties of conjugate gradient methods for optimization // SIAM J. Optimization. 1992. Vol. 2. № 1. P. 21-42.

Qlo

3. Вычисляем — на F1: это и есть градиент VJi(qi) :

on

80J

V Ji(qi) = -^-(xi, 0), 0 ^ XI ^ h. 0X2

4. Выполняем очередную итерацию метода сопряженных градиентов и находим новое приближение решения

Вычисления останавливаем при выполнении условия

где е — некоторое заданное достаточно малое положительное число.

Прямые и сопряженные задачи 1 и 2 решались конечно-разностными методами. Для упрощения исходных систем уравнений в прямой и сопряженной задачах использовался переход от естественных переменных «скорость, давление» к переменным «функция тока, вихрь скорости»25 26. Вводилась замена

«1 = дф/дх 1, и2 = -дф/дх ь

rot и = rot (ui ,1x2,0) = (0,0,17), 77 = du2/dxi — дщ/дхг,

где ф — функция тока, 77 — третья компонента вихря скорости. В результате, прямая задача 1 преобразовывалась к виду

—Д77 = Ra-т—, жеП, (19)

ох 1

-Аф = 7?, же О, (20)

х i)

8x18x2 8x28x1' '

ф\Г = 0, дф/дп\г = 0, (22)

дТ/8п\Го = 0, T|ri=9l, Т\Гз=Ч2. (23)

Для численного решения уравнений (19), (20) прямой задачи при фиксированном Т использовалась безусловно устойчивая линеаризованная разностная схема стабилизирующей поправки25. Для численного решения уравнения (21) при фиксированном ф использовалась условно монотонная устойчивая неявная схема центральных разностей25.

Разностная схема для задачи (19)—(23) записывалась в следующем виде:

Vn+l/2r"T,n + АПп+1/2 - Ra(Гп+1)г1 = 0, (24)

М,+1;7?"+1/2 + ф) (Фп+г - Фп) = 0, (25)

7jn+i = Кфп+1, (26)

+ V(un)Tn+l + АТп+1 = 0, (27)

Тп+1 — Тп

25Булеее II.И. Пространственная модель турбулентного обмена. М. : Наука. 1989.

иСамарский А.А., Вабищевич Я.Я. Вычислительная теплопередача. М. : Едиториал УРСС. 2003.

Лу = Агу + Л2у = -Угц, - Ух2х2.

Ф) = ^(хО + а2(х2), *а(ха) = { . > < Ха<

Первый этап (разностное уравнение (24)) реализации схемы (24)—(27) состоит в нахождении вихря 7/п+1/2, когда граничное условие для вихря берется с предыдущего временного слоя

»?п+1/г|г = Пп-

Второй этап (разностное уравнение (25)) можно рассматривать как вычисление функции тока 1рп+1 с коррекцией на явное задание граничных условий для вихря. При этом используется следующее граничное условие

^п+1|Г = 0.

Третий этап (разностное уравнение (26)) состоит в непосредственном вычислении вихря г]п+1, причем граничные значения берутся из хорошо известных условий Тома25 27 28

(дп+\{х1 + к1,х2), 11=0,

9п+1(^1 -/1ЬХ2), £1 = ^1,

9п+1(х 1,х2 + к2), х2 = 0,

9п+1(^1,^2-^2), х2 = 12, 2

9п+1{х) = -^2 Н2асга(ха)фп+1(х).

а—1

Четвертый этап (разностное уравнение (27)) состоит в определении температуры Тп+1 с использованием смешанных граничных условий

дТп+1/дп\Го = 0, ГП+1|Г1 = 91, Гп+г|Г2 = д2,

где производная на границе Го аппроксимируется со вторым порядком точности обычным образом.

Для прямой задачи 2, а также сопряженных задач 1 и 2, разностные схемы выписываются аналогичным образом. При аппроксимации граничных условий Неймана использовался метод фиктивных узлов29. При решении сеточных эллиптических задач, получающихся при разностной дискретизации ис-

27Роуч Я. Вычислительная гидродинамика. М. : Мир. 1980.

2sWeinati Е., Liu J.-G. Vorticity boundary condition and related issues for finite difference schemes // J. Сотр. Phys. 1996. Vol. 124. № 2. P. 386-382

29Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. M. : Наука. 1989.

ходных уравнений, использовался попеременно-треугольный метод приближенной факторизации — сопряженных градиентов24 25 30, т.к. он является достаточно эффективным в том случае, когда матрица системы имеет сильно разреженную структуру или является несамосопряженной.

Проводилась серия вычислительных экспериментов моделирования обратных задач 1 и 2 вариационным методом для следующих вариантов:

1. Восстановление постоянного граничного режима — 1.

2. Восстановление гладкого граничного режима — соз(27гх1).

3. Восстановление кусочно-гладкого граничного режима

{О, 0 ^ XI < 0.25, 4 (а?! - 0.25), 0.25 ^ х1 ^ 0.5, 4 (0.75 — Ху), 0.5^X1^0.75,

0, 0.75 < XI ^ 1;

4. Восстановление разрывного граничного режима

{0, 0 < XI < 0.25,

1, 0.25 < XI ^ 0.75, 0, 0.75 ^ X! < 1.

Для решения каждого из перечисленных вариантов обратной задачи 1 и 2 проводился следующий квазиреальный эксперимент:

• При заданных граничных условиях <71 = и 92 = 0 определялось дополнительное граничное условие <р на Г2 через решение соответствующей прямой задачи.

• Решалась обратная задача восстановления

• Проверялась близость полученного приближения <71 с точным решением

В табл. 1 и на рис. 1—4 приведены результаты восстановления в обратной задаче 1 для перечисленных вариантов.

Вариант 1 2 3 4

Критерий останова, £ ю-8 ю-7 5 • Ю-10 5 • Ю-10

Число итераций 3 5 50 37

Относ, погрешность, 5д 0.01 1 34 46

Табл. 1. Сравнение результатов расчетов вариантов 1—4 обратной задачи 1.

30Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М. : Физматлит. 1995.

кЫя\к))

Рис. 1. Восстановление постоянного граничного режима.

Л = 3

ч

ч.

кЫчР)

Рис. 2. Восстановление гладкого граничного режима.

<?Г

Рис. 3. Восстановление кусочно-гладкого граничного режима.

Рис. 4. Восстановление разрывного граничного режима.

По полученным данным можно сделать заключение о применимости вариационного метода к решению обратной задачи 1. Причем, в случае восстановления постоянного и гладкого граничных режимов метод дает достаточно хорошие результаты. В остальных случаях метод показывает сходимость к точным решениям по функционалу и градиенту, но полученные численные решения достаточно плохого качества. Для обратной задачи 2 вариационный метод дает результаты схожие с представленными.

В третьей главе разрабатывается метод квазиобращения31 численного решения обратных задач 1 и 2, который состоит в добавлении к дифференциальному оператору в уравнении конвекции-диффузии некоторых дополнительных дифференциальных членов с малыми параметрами. При стремлении малых параметров к нулю решение возмущенной краевой задачи в определенном смысле может стремиться к решению исходной задачи. Возмущенная задача имеет следующий вид:

Аиа = Ур0 - Иа Та е2, х е О, (28)

иа — 0, х 6 П, й*т

Д = + хеП. (29)

Рассматривалась задача для возмущенного уравнения конвекции-диффузии (29) при известном поле скоростей иа. В этой задаче на Г2 заданы температура и поток тепла. Поэтому ее можно рассматривать как задачу продолжения температурного поля с Г2 во всю область П, т.е. как эволюционную задачу по пространственной переменной х2. Если ввести обозначения

31Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир. 1970

t = l2 - X2, x — ii, l = Ii, д = /г> = ui, u'2) = u2, то задача для возмущенного уравнения примет вид

öt2 а dt dx2dt2 ° дх дхг ' Это уравнение дополняется начальными и граничными условиями

дТа

(30)

дТа

dt

■(х,0) = 0 <х < I,

&Га1

(31)

Для нахождения приближенного решения {иа,Та} обратной задачи 1 начально-краевая задача (30), (31) дополняется краевой задачей (19), (20), (22) для определения поля скоростей, выраженной в переменных «функция тока, вихрь скорости».

Рассмотренный метод можно аналогично применить и к обратной задаче 2. Для этого достаточно везде в рассуждениях поменять местами функции <?2 и <р. Заметим, что в приведенной реализации метода квазиобращения не важно какое из двух условий, заданных на границе Гг, считать основным, а какое — дополнительным. Поэтому предложенный метод квазиобращения фактически одинаково применяется к обратным задачам 1 и 2.

Использовался метод квазиоптимального выбора параметра регуляризации32 33. Параметр а выбирался среди элементов последовательности

ак = аа<Г, 0 < q < 1, к=1,М

и для нахождения приемлемого значения параметра регуляризации минимизировалась норма

ß(gi(aA+i)) = ||gi(a*+i) - 9i(a*)ll min : к = 0,М - 1, q^a) = Та(-,0).

В табл. 2 и на рис. 5—8 приведены результаты моделирования обратных задач 1 и 2 методом квазиобращения для перечисленных выше вариантов.

Вариант 1 2 3 4

Квазиоптимальный номер, к 0 5 5 4

Относ, погрешность, 6qi(ctk)% 0.03 19 34 44

Табл. 2. Сравнение результатов расчетов вариантов 1—4 обратной задачи 1.

э2Тихонов А.Н., Гласко В.Б. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах // ЖВМиМФ. 1965 Т. 5. № 3. С. 463-473.

Самарский Л.Л., Вабищевич /7.11. Численные методы решения обратных заддч математической физики. М.: Едиториал УРСС. 2004.

91(ак-ц)

Рис. 5. Восстановление постоянного граничного режима.

91(а*+1) 91*

9i(«fc+i)

Рис. 8. Восстановление разрывного граничного режима.

По полученным результатам можно сделать заключение о применимости метода квазиобращения к решению обратных задач 1 и 2. Причем, в случае восстановления постоянного и гладкого граничных режимов метод дает хорошие результаты. В остальных случаях полученные численные решения достаточно плохого качества.

Метод квазиобращения дает схожие с вариационным методом результаты при восстановлении постоянного, кусочно-гладкого и разрывного граничных режимов, но гораздо менее требователен к вычислительным ресурсам. При восстановлении гладких граничных режимов вариационный метод выигрывает в точности.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК:

[1] Korotkii A.I., Kovtunov D.A. Reconstruction of Boundary Regimes in the Inverse Problem of Thermal Convection of a High-Viscosity Fluid // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2006. Vol. 255. Suppl. 2. P. 81-92.

[2] Короткий А.И., Ковтунов Д.А. О разрешимости стационарных задач естественной тепловой конвекции высоковязкой жидкости // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14. № 1. С. 61-73.

[3] Ковтунов Д.А. Разрешимость стационарной задачи тепловой конвекции высоковязкой жидкости // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 1. С. 74-85.

[4] Короткий А.И., Ковтунов Д.А. Оптимальное граничное управление

21

системой, описывающей тепловую коивекцию // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 1. С. 76-101.

Другие публикации:

[5] Короткий А.И., Ковтунов Д. А. Реконструкция граничных режимов // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона — Якоби : Тр. междунар. семинара. Екатеринбург, 22—26 июня 2005 г. : в 2 т. Екатеринбург : Изд-во УрГУ. 2006. Т. 2. С. 82-91.

[6] Короткий А.И., Ковтунов Д. А. Реконструкция граничных режимов // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона — Якоби : Тезисы докладов междунар. семинара. Екатеринбург, 22—26 июня 2005 г. Екатеринбург : Изд-во УрГУ. 2005. С. 91.

[7] Короткий А.И., Ковтунов Д. А., Цепелев И. А., Исмаил-Заде А.Т. Восстановление граничных режимов в задачах динамики высоковязкой жидкости // Тихонов и современная математика : Обратные и некорректно поставленные задачи : Тезисы докладов междунар. конференции. Москва, 19—25 июня 2006 г. М. : Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова. 2006. С. 101-102.

[8] Ковтунов Д. А. Идентификация граничных режимов в задачах свободной конвекции высоковязкой жидкости // Тезисы докладов III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики». Абрау-Дюрсо, 4—10 сентября 2006 г. Екатеринбург : Изд-во УрО РАН. 2006. С. 58-59.

[9] Ковтунов Д.А. Решение обратных граничных задач естественной тепловой конвекции высоковязкой жидкости // Алгоритмический анализ неустойчивых задач : Тезисы докладов междунар. конференции. Екатеринбург, 1-6 сентября 2008 г. Екатеринбург : Изд-во УрГУ. 2008. С. 129.

[10] Ковтунов Д.А. Разрешимость стационарных задач естественной тепловой конвекции высоковязкой жидкости // Тезисы докладов IV Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики». Абрау-Дюрсо, 15—21 сентября 2008 г. Екатеринбург : Изд-во УрО РАН. 2008. С. 30-31.

[11] Korotkii A.I., Kovtunov D.A. Optimal boundary control of a system describing thermal convection // Актуальные проблемы теории устойчивости и управления : Тезисы докладов междунар. конференции. Екатеринбург, 21—26 сентября 2009 г. Екатеринбург : Изд-во УрО РАН. 2009. С. 170-172.

Подписано в печать 27.04.2010. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 100 экз. Заказ № 385.

Отпечатано в ЙПЦ «Издательство УрГУ» 620083, г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 4

Введение

Глава X. Обратная граничная задача стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости

1.1 Постановка прямой задачи.

1.2 Разрешимость прямой задачи в слабом смысле.

1.2.1 Определение слабого решения задачи.

1.2.2 Переход к однородной задаче.

1.2.3 Априорные оценки обобщенного решения однородной задачи.

1.2.4 Существование и единственность обобщенного решения однородной задачи

1.2.5 Корректность прямой задачи.

1.2.6 Свойства гладкости слабого решения при гладких исходных данных.

1.2.7 Случай прямоугольной области.

1.2.7.1 Прямая задача 1.

1.2.7.2 Прямая задача 2.

1.3 Постановка обратной задачи.

1.3.1 Случай прямоугольной области.

1.3.1.1 Обратная задача 1.

1.3.1.2 Обратная задача 2.

1.3.2 Некорректность обратной задачи.

1.4 Краткие выводы по главе.

Глава 2. Решение обратной задачи вариационным методом

2.1 Сведение обратной задачи к вариационной.

2.1.1 Вариационная задача

2.1.2 Вариационная задача

2.2 Метод сопряженных градиентов решения вариационной задачи

2.3 Численные схемы.

2.4 Численное моделирование.

2.4.1 Численное моделирование прямой задачи.

2.4.2 Численное моделирование обратной задачи 1.

2.4.3 Численное моделирование обратной задачи 2.

2.5 Краткие выводы по главе.

Глава 3. Решение обратной задачи методом квазиобращения

3.1 Метод квазиобращения решения обратной задачи.

3.2 Численные схемы.

3.3 Численное моделирование.

3.4 Краткие выводы по главе.

В различных областях науки и техиики с целью изучения закономерностей функционирования некоторого объекта или природного явления проводятся исследования самого различного вида. Цель исследования — выявление главных закономерностей явления и, возможно, формирование на его основе некоторой математической модели. Очень часто на практике встречаются ситуации, когда объект исследования либо принципиально недоступен для наблюдения, либо проведение эксперимента дорого. Примерами таковых могут служить исследования по изучению внутреннего строения Земли, на основе которых можно было бы прогнозировать месторождения полезных ископаемых, предсказывать время и место разрушительных землетрясений, извержений вулканов, а также изучать динамику внутренних процессов нашей планеты. Отметим, что глубина самых глубоких скважин, пробуренных при помощи современнейшего оборудования, не превышает 20 км, а средний радиус Земли равен 6371 км. Таким образом, для непосредственных наблюдений внутренних процессов Земли доступна лишь небольшая ее приповерхностная часть. При этом необходимо делать заключение о свойствах внутренних процессов Земли (например, об изменении ее плотности или температуры с глубиной) по измеренным в ходе эксперимента косвенным проявлениям.

В приведенной выше ситуации мы хотим определить причины, если известны полученные в результате экспериментов или наблюдений следствия. С точки зрения соотношения причина — следствие все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших класса: прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия, нужно найти причины).

К прямым задачам относятся, например, задачи расчета механических, тепловых, электромагнитных полей для тел, свойства pi конфигурация которых известны. Математический аппарат для исследований таких задач удобно представлять в виде дифференциальных уравнений. В этой области накоплено немало результатов, позволяющих, например, аналитически или качественно исследовать свойства решений, не решая самих уравнений, исследовать вопросы существования и единственности решений, разрабатывать различные численные методы решения задач и исследовать их свойства.

К обратным задачам относят задачи определения некоторых физических характеристик объектов, таких, например, как плотность, теплоемкость, коэффициент теплопроводности, по их косвенным проявлениям. Процедура решения таких задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, связана с преодолением серьезных математических трудностей. Успех ее сильно зависит как от качества и количества полученной из эксперимента информации, так и от способа ее обработки. При формулировке общих постановок и выделении основных классов обратных задач предполагается известными постановки прямых задач. Заметим, что часто без умения решать прямые задачи невозможно подойти к решению обратных задач.

Постановки как прямых, так и обратных задач предполагают предварительное моделирование реального процесса, представленного в некоторой математической форме. В общем случае под моделированием понимается замещение исходного объекта (оригинала) его моделью с целью исследования свойств этого объекта при помощи выбранной модели. Моделирование является универсальным методом научного познания, оно играет исключительно важную роль в науке [51].

Математическая модель может быть выражена различными средствами — от языка функционального анализа и дифференциальных уравнений (ДУ) до вычислительного алгоритма и компьютерной программы. Соответственно, процесс математического моделирования обычно разделяют на три этапа: модель — алгоритм — программа. Каждый из этих этапов по-своему важен и ответственен за конечные результаты моделирования, причем несет в себе ошибки и неточности предшествующего этапа. Имеет место естественная соподчиненность моделей на каждом из этих этапов. Программирование задачи выполняется после составления вычислительного алгоритма. В свою очередь, алгоритмизация становится возможной после того, как полностью определена постановка задачи в той или иной форме. Таким образом, программа может рассматриваться как модель алгоритма, а расчетный алгоритм является моделью исходной системы.

В качестве исходных математических моделей наиболее распространены начально-краевые задачи, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных (ДУЧП). В зависимости от изучаемых явлений, модели разделяются на виды: стационарные и нестационарные (динамические), линейные и нелинейные, одномерные pi многомерные.

В математической физике обычно рассматриваются начально-краевые задачи следующего вида. Задается ДУ и некоторые дополнительные, начально-краевые условия, которым должно удовлетворять решение ДУ. Как правило, эти дополнительные условия выделяют из всей совокупности решений ДУ одно решение. Среди всей совокупности ДУЧП важную роль играют ДУЧП второго порядка, которые разделяют на три класса: параболические, эллиптические и гиперболические. При этом для каждого такого класса имеются типичные постановки задач. Примерами таких задач являются задача Коши, задачи Дирихле и Неймана, смешанная задача. Характерной чертой этих типичных задач является их корректность. Понятие корректной задачи, являющееся одним из важнейших понятий современной математики, было сформулировано французским математиком Ж. Адамаром [1]. Оно означает, что решение задачи существует и единственно в некотором множестве, а также непрерывно зависит от входных данных.

При исследовании краевых задач математической физики часто приходится расширять классы функций, среди которых ищется решение. В этом случае переходят от классических постановок краевых задач к обобщенным, вводится понятие обобщенного решения ДУ, причем обобщенная постановка не единственна: она определяется указанием функционального пространства, в котором предполагается найти решение. При исследовании обобщенных решений ДУ основным инструментом является функциональный анализ и теория функций.

Постановка каждой прямой задачи предполагает задание некоторого числа функций. Эти функции определяют ДУ, задают коэффициенты и правую часть, а также входят в определение начальных и краевых условий. В результате решения прямой задачи заданному набору функций ставится в соответствие новая функция — решение краевой задачи. С точки зрения функционального анализа, решение прямой задачи это построение некоторого оператора, определенного на данных прямой задачи. Представим теперь, что некоторые из тех функций, которые необходимо задавать в прямой задаче, неизвестны, а вместо них известна некоторая дополнительная информация о решении задачи. По этой дополнительной информации требуется определить недостающие функции и само решение. Подобные задачи называются обратными задачами математической физики. С точки зрения функционального анализа, в обратных задачах исследуется вопрос об обратимости оператора прямой задачи.

Дополнительная информация о решении прямой задач pi может задаваться в различной форме. Это может быть, например, само решение, заданное на некотором множестве независимых переменных, pi л и интегральные характеристики решенрш. Если в обратной задаче искомые функцирр входят только в дифференцр1альное уравнеюге, то она представляет собой задачу определения дифференциального уравнения. Возможны другие типы обратных задач, например о нахождении начальных рши граничных условий.

Одним из важных классов обратных задач являются обратные зада-чр1, возникающие при дрхагностике и идентификации параметров фр1зрше-ckpix процессов, которые связаны с экспериментальнымр1 исследованр!ямр1, когда требуется по некоторым измеренным «выходным» следственным характеристикам восстановрхть «входные» причинные. Этрг задачи первичны как по отношению к прямым задачам, так pi по отношению к другим классам обратных задач, поскольку ohpi связаны с построением математических моделей pi наделением их количественной информацией. PeineHPie обратных задач идентификации, как правило, заключается в определении ЛР160 коэффициентов дифференциальных уравнений, либо начально-краевых условий, либо области, в которой действует оператор, ЛР160 сочетания приведенных выше причин [16, 21, 48]. Соответственно различают коэффициентные, эволюционные, граничные и геометрические обратные задачи [5, 52].

Обратные задачР1 обладают рядом неприятных с математической точки зрения особенностей. Во-первых, они, как правило, нелинейны, то есть неизвестная функция или неизвестный параметр входит в операторное или функциональное уравнение нелинейным образом. Во-вторых, решения обратных задач обычно неединственны. Для обеспечения единственности часто необходимо требовать избыточности экспериментальной информации. В-третьих, обратные задачи не являются корректными. Смысл первого условия корректности задачи (существование решения) состоит в том, что среди исходных данных нет противоречащих друг другу условий, исключающих возможность решения задачи. Второе условие (единственность) означает, что данных достаточно для однозначной определенностР! решения задачи. Третье условР1е (непрерывная зависимость от исходных данных) означает, что малые изменения в данных приводят к малым изменениям в решении. Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному из условий корректности, называются некорректными. В обратных задачах, как правило, отсутствует непрерывная зависимость от исходных данных в отличие от прямых задач. Поскольку входной информацией в обратных задачах являются экспериментальные данные, определяемые с некоторой погрешностью, которую не всегда можно оцеюггь, то решение обратной задачи с «испорченными» входными данными может сильно отличаться от точного решения.

Постановки обратных задач, в отличие от прямых, нельзя воспроизвести в реальном эксперименте, т.е. нарушить причинно-следственную связь не математическим, а физическим путем. И в этом смысле они не соответствуют физически реализуемым событиям. Например, нельзя обратить ход физического процесса и тем более изменить течение времени. Таким образом, можно условно говорить о естественной природе некорректности постановки обратной задачи. Естественно, что при математической формализации она проявляется уже как математическая некорректность (чаще всего неустойчивость решения), и обратные задачи представляют собой типичный пример некорректно поставленных задач.

Большой вклад в развитие математической теории некорректных задач внес А.Н. Тихонов [57, 58], который ввел понятие условно-корректной задачи и определил решение такой задачи как нахождение класса ее корректности. Он предложил один из возможных способов регуляризации некорректной задачи, состоящий в сведении исходной задачи решения некоторого операторного уравнения к проблеме отыскания минимума некоторого подходящего функционала. Большой вклад в эту область внесли М.М. Лаврентьев, В.К. Иванов, Г.И. Марчук, В.Я. Арсенин, В.А. Морозов, А.Б. Бакушинский, В.Б. Гласко, А.В. Гончарский, В.В. Васин, А.Г. Ягола, О.М. Алифанов, В.Г. Романов, A.M. Денисов, Ф.П. Васильев, С.И. Кабани-хин, А.С. Леонов, О.А. Лисковец, И.В. Мельникова, Л.Д. Менихес, В.П. Та-нана, А.И. Прилепко, Ю.Е. Аниконов, А.Л. Бухлейм и многие другие математики. Теория обратных и некорректных задач достаточно подробно представлена в работах [5, 16, 17, 21, 34, 48, 58, 69, 72, 84].

Нарушение причинно-следственной связи, ршеющее место в постановке обратной задачи, предопределяет серьезные трудности их решения. В первую очередь, это трудности разработки методов и алгоритмов, дающих достоверные результаты. Методы решения обратных задач дают возможность исследовать сложные нестационарные нелинейные процессы, дают возможность более обоснованно выбирать технологаческие решения.

С позиций математического моделирования алгоритм численного решения обратных задач состоит в сведении обратной задачи к решению последовательности корректных задач, которые можно решать численно [52, 59]. Реализация методов решения некорректных задач связана с численным решением соответствующих дифференциальных задач. При этом широко используется математический аппарат разностных схем, разработанных в школах А.А. Самарского, Г.И. Марчука, Н.Н. Яненко.

Важно отметить, что исследование обратных задач можно свести к исследованию соответствующих экстремальных задач. Это достигается путем введения функционала качества, адекватно отвечающего рассматриваемой обратной задаче, и последующей его минимизации на допустимых решениях исходной задачи.

Одним из подходов к решению обратных задач является поиск соответствия между «измеренными» и «смоделированными» посредством краевой задачи данными наблюдений. В этом случае часто используется теория сопряженных уравнений [39, 41]. Суть применения теории сопряженных уравнений состоит в том, чтобы связать вариацию неизвестной характеристики с вариацией известной характеристики, посредством семейства решений сопряженного уравнения.

В работах, посвященных градиентным методам решения обратных задач, минимизируется норма между «измеренными» и «смоделированными» данными различными методами градиентного типа. Обзор различных методов оптимизации приводится в [12-14, 45]. Сопряженные уравнения здесь используются для определения градиента функционала качества [6, 20, 44, 71]. К достоинствам таких алгоритмов стоит отнести простоту в реализации, а к недостаткам — неясную связь между результатом их работы и решением задачи и, возможно, локальный характер их сходимости.

Альтернативным методом численного решения некоторых классов некорректных задач является метод квазиобращения, предложенный Р. Латтесом и Ж.-Л. Лионсом в [38]. Основная идея метода квазиобращения заключается в надлежащем изменении операторов, входящих в задачу, так, чтобы задача стала корректной. Это изменение производится введением добавочных дифференциальных членов, которые достаточно «малы» (могут быть устремлены к нулю) и «вырождаются на границе» (для того, чтобы, например, устранить возникающие с введением новых членов сложные граничные условия, а также условия, в которые могут войти неизвестные, подлежащие определению). Построенные таким образом операторы имеют, как правило, более высокий порядок. Отметим, что идея метода квазиобращения схожа с идей метода регуляризации [58].

Значительная трудоемкость решения обратных задач, а также необходимость автоматизации обработки данных экспериментов и испытаний подразумевает использование для этих целей достаточно мощных ЭВМ pi специализированных вычислР1тельных комплексов.

Таким образом, разврггае теоррш pi методологрга решения обратных задач, как актуального направления исследований, вызвано насущнымР1 потребностями практики pi базируется на математической теории некорректно поставленных задач, оптимальных принцршах планрфованрш эксперимента, современных численных методах pi должно соответствовать характеру pi уровню развития вьншслрггельной техникР1 pi программного обеспечения.

Одним из важных классов обратных задач являются обратные задачи тепло- pi массообмена. Многие обратные задачи теплообмена достаточно хорошо изучены [5, 8, 33, 42]. Встречаются pi более сложные модели теплообмена, такие как, например, естественная тепловая конвекция, для которых Р13вестно сравнительно мало результатов в связи с решением обратных задач [82, 83, 85].

Под тепловой конвекцией понимают перенос теплоты в жидкостях, газах или сыпучих средах потоками вещества. Различают естественную, ил pi свободную, и вынужденную конвекцрда. Естественная конвекция возникает при неравномерном нагреве текучих илр1 сыпучргх веществ, находящихся в иоле силы тяжести (или в системе, движущейся с ускорением). Вещество, нагретое сильнее, имеет меньшую плотность pi под действием архимедовой силы перемещается относительно менее нагретого вещества. Направление архимедовой силы, а следовательно, pi конвекции для нагретых объемов вещества противоположно направлению силы тяжести. Конвекция приводит к выравниванию температуры вещества. При стационарном подводе теплоты к веществу в нем возникают стационарные конвекцрюнные потоки, переносящие теплоту от более нагретых слоев к менее нагретым. С уменьшением разности температур между слоями интенсивность конвекции падает. При высоких значениях теплопроводности pi вязкостр! среды конвекция также оказывается ослабленной. Прр1 вынужденной конвекции перемещение вещества происходит главным образом под воздействием какого-либо технического устройства. Интенсивность переноса теплоты здесь зависит не только от перечисленных выше факторов, но pi от скорости вынужденного движения вещества. Конвекция широко распространена в природе: в нижнем слое земной атмосферы, морях и океанах, в недрах Земли, на Солнце и т.д. С помощью конвекции осуществляют охлаждение или нагревание жидкостей и газов в различных технических устройствах.

Одной из стационарных моделей тепловой конвекции является модель естественной тепловой конвекции высоковязкой жидкости в приближении Буссинеска [65j, которая носит также название конвекции Рэлея-Бенара в приближении бесконечного числа Прандтля [15]. Данная математическая модель может быть использована для моделирования температурного режима осадочных бассейнов [89], вулканических провинций [92], стационарной конвекции в мантии Земли [89]. Решение этих геофизических задач чрезвычайно важно с точки зрения их прикладного характера: осадочные бассейны являются природными хранителями полезных ископаемых, в частности, большинство исследованных месторождений нефти и газа связаны с такими геологическими структурами; изучение вулканов и их теплового режима помогает в предсказании вулканических извержений; мантийная конвекция является одной из причин движения континентов на планете и источником землетрясений, происходящим на границах разломов литосферных плит. Кроме того, модель конвекции высоковязкой жидкости может использоваться в промышленности при моделировании процесса изготовления стекла в плавильных печах [70].

Из сказанного выше следует, что тема диссертации актуальна.

Целью настоящей работы является теоретическое исследование прямой задачи стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости, разработка методов численного решения соответствующей обратной задачи, а также проведение вычислительных экспериментов, которые могут охарактеризовать применимость разработанных методов к решению поставленных задач.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений.

Основные результаты проделанной работы состоят в следующем:

1. Исследовалась прямая задача стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости. Доказано существование и единственность слабого решения задачи в различных функциональных пространствах.

2. В ходе исследования получены полезные априорные оценки решения прямой задачи.

3. Доказана корректность прямой задачи.

4. Отдельно рассмотрены два частных случая прямой задачи (прямые задачи 1 и 2) для прямоугольной области. Получены более точные априорные оценки решения для этих случаев.

5. Дана постановка обратной задачи как в общем случае, так и для двух частных случаев (обратные задачи 1 и 2).

6. Показана некорректность обратной задачи.

7. Разработан вариационный метод решения обратных задач 1 и 2.

8. Проведено численное моделирование обратных задач 1 и 2 вариационным методом.

9. Разработан метод квазиобращения решения обратных задач 1 и 2.

10. Описана численная схема решения возмущенной задачи.

11. Проведено численное моделирование обратных задач 1 и 2 методом квазиобращения.

12. Разработан программный комплекс для численного решения рассматриваемых задач в прямоугольной области.

Разработанные подходы и полученные результаты могут быть полезны при исследовании прямых и обратных граничных задач для других моделей тепловой конвекции. Дальнейшее развитие работы может состоять в следующем:

• Продолжение исследования и теоретического обоснования предложенных подходов к решению рассматриваемых задач.

• Разработка более эффективных методов численного решения задач.

• Развитие программного комплекса на 3-х мерный случай.

В заключение автор выражает благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук А.И. Короткому за постановку задачи и ценные обсуждения результатов работы, а также кандидату физ.-мат. наук И.А. Цепелеву за полезные замечания, направленные на улучшение содержания работы.

Заключение

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического вида / Ж. Адамар. М. : Наука, 1978.

2. Алексеев, Г.В. Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнения тепловой конвекции / Г.В. Алексеев // Сиб. матем. журн. 1998. Т. 39. № 5. С. 982-998.

3. Алексеев, Г.В. Разрешимость краевой задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса при смешанных краевых условиях / Г.В. Алексеев, А.Б. Смышляев, Д.А. Терешко j j ЖВМиМФ. 2003. Т. 43. № 1. С. 66-80.

4. Алексеев,.Г.В. Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений тепломассопереноса /Г.В. Алексеев // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 5. С. 971-991.

5. Алифанов, О.М. Обратные задачи теплообмена / О.М. Алифанов. М. : Машиностроение, 1988.

6. Алифанов, О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач / О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин, С.В. Румянцев. М. : Наука, 1988.

7. Аттетков, А.В. Методы оптимизации : Учеб. для вузов / А.В. Ат-тетков, С.В. Галкин, B.C. Зарубин. М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.

8. Бек, Дж. Некорректные обратные задачи теплопроводности / Дж. Бек, Б. Блакуэлл, Ч. Сент-Клэр. М. : Мир, 1989.

9. Берковский, Б.М. Вычислительный эксперимент в конвекции / Б.М. Берковский, В.К. Полевиков. Минск.: Университетское, 1988.

10. Булеев, Н.И. Пространственная модель турбулентного обмена / Н.И. Булеев. М. : Наука, 1989.

11. Вабищевич, П.Н. Метод фиктивных областей для задачи математической физики / П.Н. Вабищевич. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1991.

12. Васильев, Ф.П. Методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. М. : Наука, 1981.

13. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач /Ф.П. Васильев. М. : Наука, 1988.

14. Васильев, Ф.П. Методы оптимизации / Ф.П. Васильев. М. : Факториал Пресс, 2002.

15. Гетлинг, А.В. Конвекция Рэлея-Бенара / А.В. Гелтлинг. М. : Эдито-риал УРСС, 1999.

16. Денисов, A.M. Введение в теорию обратных задач / A.M. Денисов. М. : Изд-во МГУ, 1994.

17. Иванов, В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. М. : Наука, 1978.

18. Ильин, В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем /В.П. Ильин. М. : Физматлит, 1995.

19. Исмаил-Заде, А.Т. Численное моделирование трехмерных вязких течений под воздействием гравитационных и тепловых эффектов А.Т. Исмаил-Заде, А.И. Короткий, Б.М. Наймарк, И.А. Цепелев // ЖВМиМФ. 2001. Т. 41. № 9. С. 1399-1415.

20. Кабанихин, С.И. Итерационные методы решения обратных и некорректных задач с данными на части границы / С.И. Кабанихин, М.А. Бектемесов, А.Т. Нурсеитова А.Т. Алматы-Новосибирск : Международный фонд обратных задач, 2006.

21. Кабанихин, С.И. Обратные и некорректные задачи / С.И. Кабанихин. Новосибирск : Сибирское научное изд-во, 2008.

22. Ковтунов, Д.А. Разрешимость стационарной задачи тепловой конвекции высоковязкой жидкости / Д.А. Ковтунов // Журнал «Дифференциальные уравнения». 2009. Т. 45. № 1. С. 74—85.

23. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функции и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М. : Наука, 1989.

24. Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. М. : Наука, 1968.

25. Короткий, А.И. О -разрешимости стационарных задач естественной тепловой конвекции высоковязкой жидкости / А.И. Короткий, Д.А. Ковтунов // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14. № 1. С. 61-73.

26. Короткий, А.И. Оптимальное граничное управление системой, опи-сываюш,ей тепловую конвекцию / А.И. Короткий, Д.А. Ковтунов // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 1. С. 76-101.

27. Коздоба, JT.A. Методы решения обратных задач теплопроводности / JI.A. Коздоба, П.Г. Круковский. Киев : Наукова думка, 1982.

28. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. М. : Наука, 1980.

29. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. М. : Физматгиз, 1961.

30. Ладыженская, О.А. Краевые задачи математической физики / О.А. Ладыженская. М. : Наука, 1973.

31. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. М. : Наука, 1973.

32. Латтес, Р. Метод квазиобращения и его приложения / Р. Латтес, Ж.-Л. Лионе. М. : Мир, 1970.

33. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. М. : Мир, 1972.

34. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. М. : Наука, 1989.

35. Марчук, Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем / Г.И. Марчук. М. : Наука, 1992.

36. Мацевитый, Ю.М. Идентификация в задачах теплопроводности / Ю.М. Мацевитый, А.В. Мултановский. Киев : Наукова думка, 1982.

37. Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П. Михайлов. М. : Наука, 1976.

38. Пененко, В.В. Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики / В.В. Пененко. Новосибирск : Наука, 1975.

39. Полак, Э. Численные методы оптимизации. Общий подход / Э. По-лак. М. : Мир, 1974.

40. Полежаев, В.И. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье — Стокса / В.И. Полежаев, А.В. Бунэ, Н.А. Верезуб и др. М. : Наука, 1987.

41. Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис. М. : Мир, 1985.

42. Романов, В.Г. Обратные задачи математической физики / В.Г. Романов. М. : Наука, 1984.

43. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. М. : Мир, 1980.

44. Самарский, А.А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский. М. : Наука, 1971.

45. Самарский А.А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А.А. Самарский, Михайлов А.П. М. : Физматлит, 2001.

46. Самарский, А.А. Вычислительная теплопередача / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. М. : Едиториал УРСС, 2003.

47. Самарский, А.А. Численные методы решения обратных задач математической физики / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. М. : Едиториал УРСС, 2004.

48. Сеа, Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы / Ж. Сеа. М. : Мир, 1973.

49. Соболев, C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / C.JI. Соболев. М. : Наука, 1988.

50. Темам, Р. Уравнения Навье — Стокса / Р. Темам. М. : Мир, 1981.

51. Тихонов, А.Н. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах / А.Н. Тихонов, В.Б. Гласко // ЖВМиМФ. 1965. Т. 5. № 3. С. 463-473.

52. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. М. : Наука, 1986.

53. Тихонов, А.Н. Численные методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. М. : Наука, 1990.

54. Червов, В.В. Численное моделирование трехмерных задач конвекции в мантии Земли с применением завихренности и векторного потенциала В.В. Червов // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7. № 3. С. 85-92.

55. Adams, R.A. Sobolev spaces / R.A. Adams. New York : Acad. Press, 1975.

56. Blankenbach В. Л benchmark comparison for mantle convection codes / B. Blankenbach, F. Busse at el. // Geophys. J. Int. 1989. V. 98. № 1. P. 23-38.

57. Brown, R.M. Estimates for the Stokes operator in Lipschitz domains / R.M. Brown, Z. Shen // Indiana Univ. Math. J. 1995. V. 44. № 4. P. 1183— 1206.

58. Brown, R.M. On the dimension of the attractor for the non-homogenous Navier — Stokes equations in non-smooth domains / R.M. Brown, P.A. Perry, Z. Shen // Indiana Univ. Math. J. 2000. V. 49. № 1. P. 81-112.

59. Chandrasekhar, S. ffydrodynamic and hydromagnetic stability / S. Chandrasekhar. New York : Dover, 1981.

60. Dauge, M. Stationary Stokes and Navier — Stokes systems on two- or three-dimensional domains with corners. Part I: Linearized equations / M. Dauge // SIAM J. Math. Anal. 1989. V. 20. № 1. P. 74-97.

61. Floudas, Ch.A. Encyclopedia of optimization / Ch.A. Floudas, P.M. Pardalos. New York : Springer, 2009.

62. Gilbert, J.Ch. Global convergence properties of conjugate gradient methods for optimization / J.Ch. Gilbert, J. Nocedal // SIAM J. Optimization. 1992. V. 2. № 1. P. 21-42.

63. Glasko, V.B. Inverse problems of mathematical physics / V.B. Glasko. New York : American Institute of Physics, 1988.

64. Hajime, I. Numerical simulation of thermal convection in a fluid with the infinite Prandtl number and its application to a glass manufacturing problem / I. Hajime I j Hirosima Math. J. 1999. V. 29. № 1. P. 27—60.

65. Hao, D.N. Methods for inverse heat conduction problems / D.N. Hao. Frankfurt/Main : Peter Lang Pub. Inc, 1998.

66. Isakov, V. Inverse problems for partial differential equations / V. Isakov. New York : Springer, 2005.

67. Kellogg, R.B. A regularity result for the Stokes problem in a convex polygon / R.B. Kellogg, J.E. Osborn // J. Funct. Anal. 1976. V. 21. № 4. P. 297-431.

68. Knowles, I. Variational methods for ill-posed problems / I. Knowles j I Contemporary Mathematics. 2004. V. 357. P. 187—199.

69. Korenaga, J. Effects of vertical boundaries on infinite Prandtle number thermal convection / J. Korenaga, Т.Н. Jordan // Geophys. J. Int. 2001. V. 147. № 3. P. 639-659.

70. Korotkii, A.I. Reconstruction of Boundary Regimes in the Inverse Problem of Thermal Convection of a High-Viscosity Fluid / A.I. Korotkii, D.A. Kovtunov // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2006. V. 255. Suppl. 2. P. 81-92.

71. Lukaszewicz, G. Stationary micropolar fluid flows with boundary data in L2 / G. Lukaszewicz, M. Rojas-Medar, M. Santos // J. Math. Anal. Appl. 2002. V. 271. № 1. P. 91-107.

72. More, J.J. On line search algorithms with guaranteed sufficient decrease / J.J. More, D.J. Thuente. Argonne : Preprint MCS-P153-0590, Argonne National Laboratory, 1992.

73. Neuberger, J.W. Sobolev Gradients and Differential Equations. Lecture Notes in Mathematics #1670 / J.W. Neuberger. New York : Springer, 1997.

74. Nocedal, J. Numerical optimization / J. Nocedal, S.J. Wright. New York : Springer, 1999.

75. Park, H.M. Inverse natural convection problem of estimating wall heat flux / H.M. Park, O.Y. Chung // Chemical Engineering Science. 2000. V. 55. № 11. P. 2131-2141.

76. Payan, S. Inverse boundary design of square enclosures with natural convection / S. Payan, S.M.H. Salvari, H. Ajam // Int. J. of Thermal Sciences. 2009. V. 48. № 4. P. 682-690.

77. Prilepko, A.I. Methods for solving inverse problems in mathematical physics / A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin. New York : Marcel Dekker, 2000.

78. Prud'homme, M. Solution of inverse free convection problems by conjugate gradient method: effects of Rayleigh number / M. Prud'homme, Т.Н. Nguyen // Int. J. Heat Mass Transfer. 2001. V. 44. № 11. P. 2011— 2027.

79. Villamizar-Roa, E.J. The Boussineq system with mixed nonsmooth boundary data / E.J. Villamizar-Roa, M.A. Rodriguez-Bellido, M.A. Rojas-Medar // C. R. Acad. Sci. Paris. 2006. Ser. I 343. P. 191-196.

80. Rocha, M.S. On the existence and uniqueness of the stationary solution to equations of natural convection with data in L2 / M.S. Rocha, M.A. Rojas-Medar, M.D. Rojas-Medar // Proc. R. Soc. London. 2003. Ser. A 459. P. 609-621.

81. Sashikumaar, G. Pressure separation — technique for improving the velocity error in finite element discretisations of the Navier-Stokes equations / G. Sashikumaar, J. Volker // Appl. Math, and Сотр. 2005. V. 165. № 2. P. 275-290.

82. Schubert, G. Mantle convection in the Earth and planets / G. Schubert, D.L. Turcotte, P. Olson. United Kingdom : Cambridge University Press, 2004.

83. Shewchuk, J. An introduction to the conjugate gradient method without the agonizing pain / J. Shewchuk. Pittsburgh : Technical report CMU-CS-94-125, Carnegie Mellon University, 1994.

84. Turcotte, D.L. Geodynamics / D.L. Turcotte, G. Schubert. Cambridge : Cambridge University Press, 2002.

85. Weinan, E. Vorticity boundary condition and related issues for finite difference schemes / E. Weinan, J.-G. Liu // J. Сотр. Phys. 1996. V. 124. № 2. P. 386-382.