автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование гидротермической структуры свободноконвективного переноса криогенных жидкостей в наземных стационарных хранилищах

На правах рукописи

Слюсарев Михаил Иванович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОТЕРМИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ СВОБОДНОКОНВЕКТИВИОГО ПЕРЕНОСА КРИОГЕННЫХ ЖИДКОСТЕЙ В НАЗЕМНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ХРАНИЛИЩАХ

Специальности: 05.13.18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 01.04.14 - Теплофизика и теоретическая теплотехника

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук

Воронеж - 2011

Работа выполнена на кафедре процессов и аппаратов химических и пищевых производств ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия».

Научные консультанты: доктор технических наук, профессор

Чертов Евгений Дмитриевич доктор технических наук, профессор Ряжских Виктор Иванович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Батаронов Игорь Леонидович

(Воронежский государственный технический университет) доктор технических наук, профессор Попов Виктор Михайлович (Воронежская государственная лесотехническая академия) доктор физико-математических наук, профессор

Дзюба Сергей Михайлович

(Тамбовский государственный технический университет) Ведущая организация: Южный федеральный

университет

Защита диссертации состоится 20 октября 2011 года в 13 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия» по адресу: 394036, г. Воронеж, пр. Революции, 19, конференц-зал.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять по адресу: 394036, г. Воронеж, пр. Революции, 19, ГОУ ВПО ВГТА, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.035.02.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО ВГТА.

Автореферат разослан «_; 2011 года.

Учёный секретарь диссертационного совета,

кандидат технических наук, доцент Ур И.А. Хаустов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Бурное развитие альтернативной энергетики и, в частности, водородной энергетики в контексте использования криогенных жидкостей в качестве компонент топлива транспортных средств приводит к необходимости их хранения в крупнотоннажных резервуарах. Несмотря на эффективную экранно-вакуумную теплоизоляцию, внешние теплопритоки приводят к повышению температуры криогенной жидкости и, как результат, к непропорциональному возрастанию давления в паровом пространстве резервуара, что создаёт угрозу аварийной ситуации с непредсказуемыми последствиями. Установлено, что причиной этого является температурная стратификация криогенной жидкости, возникающая в результате свободноконвективного теплообмена со смоченной поверхностью резервуара.

Очевидно, что идентификация гидротермической обстановки в криогенном резервуаре и закономерностей её формирования определяет эффективность хранения с точки зрения безопасности и потерь на испарительное охлаждение.

Информация о гидротермической структуре свободноконвективного течения имеет определяющее значение и для успешного прогнозирования локальной толщины осадка высококипящих отвержденных примесей, что также является ключевым моментом в проблеме безопасного хранения криогенных жидкостей.

Как отмечалось в работах ведущих учёных Филина Н.В., Белякова В.П., Потехина Г.С., Ходоркова И.Л., Харина В.М., Файнштейна В.И. и др., криогенный диапазон температур - главный сдерживающий фактор развёртывания полномасштабных экспериментальных исследований в этой области. Поэтому метод математического моделирования остаётся, по-существу, единственным инструментом получения новых знаний о явлениях переноса в жидкостных криогенных системах. Это наглядно продемонстрировано в работах отечественных и зарубежных ученых Авдуевского B.C., Черкасова С.Г., Полежаева В.И., Остроумова Г.А., Гершуни Г.З., Жуховицкого Е.М., Дрейцера Г.А., Кириченко Ю.А., Спэрроу Е.М., Остхейзена П., Бежала А., Гебхарта Б., Джалурии Й., Мартыненко О.Г. и др., которые исследовали свободноконвективный тепломассообмен в замкнутых объёмах, в том числе и в криогенных резервуарах, для сред с различными физико-химическими характеристиками и вариативными тепловыми нагрузками.

Несмотря на значительное число исследований по свободной конвекции в замкнутых объёмах, в большинстве из которых использовались среднеинте-гральные характеристики гидротермических полей, до настоящего времени нет достаточно надёжных методик расчёта режимов эксплуатации криогенных хранилищ ввиду сложности происходящих в них явлений тепломассопереноса в условиях развитой турбулентности. Кроме того, необходимо учитывать, что процессы развития турбулентных свободноконвективных течений проходят стадии кондуктивного и ламинарного режимов, продолжительность которых в

реальном времени достигает значений, соизмеримых с длительностью отдельных технологических операций хранения криогенных жидкостей.

В связи с этим возникает необходимость в детальном рассмотрении не только турбулентных, но и кондуктивных и ламинарных свободноконвекгив-ных течений.

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с планом научно-исследовательских работ Воронежской государственной технологической академии по теме "Разработка новых и совершенствование существующих технологических процессов и аппаратов в химической и пищевой технологиях" (№ г. р. 0120.0603139), а также в рамках проектов по грантам РФФИ 07-08-00166 "Математическое моделирование образования осадка отвержденных микропримесей азота и кислорода при испарительном охлаждении жидкого водорода в криогенных резервуарах" и 10-08-00120 "Математическое моделирование растворения осадка отвержденных микропримесей азота и кислорода при хранении жидкого водорода в криогенных резервуарах".

Цель работы: синтез и анализ математических моделей явлений переноса во внутренних задачах кондуктивно-ламинарной свободной конвекции и установление на их основе закономерностей, позволяющих повысить степень безопасности функционирования наземных жидкостных криогенных систем.

Для достижения цели поставлены задачи:

1) разработать математические модели класса внутренних задач свободной конвекции для кондуктивного и ламинарного режимов и найти аналитические решения на основе интегральных преобразований для нестационарных формулировок при различных тепловых граничных условий и геометрий;

2) алгоритмизировать численное интегрирование уравнений модели свободной конвекции во внутренних задачах в виде уравнений Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца и адаптировать полученные алгоритмы к комплексу предметно-ориентированных компьютерных программ, реализующему постановки и решения задач в декартовых, цилиндрических и сферических координатах;

3) провести вычислительные эксперименты по определению нестационарных гидротермических полей, соответствующих условиям хранения криогенных жидкостей в промышленных резервуарах цилиндрической и сферической формы, и на основе массива опытных данных определить локальные и интегральные коэффициенты теплоотдачи;

4) на основе предложенных математических моделей кондуктивно-ламинарного режима свободной конвекции создать методики расчёта времени бездренажного хранения криогенных жидкостей, оценки влияния теплового состояния внутреннего сосуда криогенных резервуаров на гидротермияескуго структуру криогенной жидкости при ее испарительном охлаждении и идентификации параметров осаждения, образования и растворения осадка твёрдой фазы высококи-пящих примесей в условиях свободноконвективного перемешивания.

Методическая, теоретическая и эмпирическая база исследования.

При выполнении исследования был применён метод математического моделирования, основы теории тепломассообмена, положения теории уравнений математической физики и вычислительной математики. Достоверность и обоснованность полученных результатов базируются на использовании фундаментальных законов явлений переноса и сравнительном анализе с известными данными.

Научные результаты, выносимые на защиту. 1. Предложена математическая модель для описания свободноконвективного течения вязкой несжимаемой жидкости в области малых чисел Грасгофа (кондуктивно-ламинарный режим) в виде системы уравнений Обербека-Буссинеска без конвективных компонент.

2. Аналитически решены внутренние задачи кондуктивного режима (отсутствие течения) свободной конвекции в ограниченном цилиндре при неоднородных граничных условиях 1-го и 2-го родов, а также при граничных условиях смешанного типа.

3. Найдены точные решения задач кондуктивно-ламинарного свободно-конвективного переноса ньютоновских сред у бесконечной вертикальной границы с заданным законом изменения температуры и тепловым потоком, в случае сопряжённой термоконцентрационной свободной конвекции; а также получено аналитическое решение первой тестовой задачи.

4. Получено аналитическое решение задач ламинарной термоконвекции ньютоновской жидкости в неограниченном вертикальном плоском канале при граничных условиях 1-го и 2-го родов и в прямоугольной области с соотношением высоты к ширине намного больше единицы.

5. Разработаны полу неявная и неявная конечно-разностные схемы для численного решения уравнений Обербека-Буссинеска при ламинарном режиме с коррекцией значений функции тока в приграничных областях для удовлетворения физическому условию "прилипания" на стенках, в которых отпадает необходимость постановки сеточных граничных условий по типу Тома и Вудса для функции вихря с адаптацией их к различным системам координат.

6. На основе теоретических оценок и вычислительного эксперимента обнаружено явление инверсии (смена направления течения) при формировании поля скоростей во внутренних задачах свободной конвекции; получены расчетные соотношения для коэффициентов теплоотдачи в бесконечных плоских вертикальных открытых и закрытых каналах, в криогенных вертикальных цилиндрических и сферических резервуарах при различных граничных условиях.

7. Разработаны методика прогнозирования времени бездренажного хранения криогенных жидкостей, способ оценки температуры внутреннего сосуда криогенного вертикального цилиндрического резервуара при скоростном испарительном охлаждении и на его основе алгоритм определения коэффициента конвекции; в криогенных резервуарах в условиях свободноконвективного перемешивания идентифицированы кинетика осаждения высококипящих микро-

примесей, толщина их осадка на смоченной поверхности и скорость его растворения.

8. Разработан предметно-ориентированный комплекс программ для расчёта основных параметров явлений переноса во внутренних задачах свободной конвекции.

Научная новизна результатов исследования. 1. Теоретически обоснована и вычислительными экспериментами подтверждена корректность использования модельных представлений в виде уравнений Обербека-Буссинеска, модифицированных для описания кондуктивно-ламинарного режима свободной конвекции путём отождествления субстанциональной и локальной производных при переносе импульса и энергии, что позволяет перевести исходную постановку задачи в класс линейных.

2. Получены аналитические решения задач нестационарного кондуктивно-го тепломассопереноса в конечном цилиндре в классе непрерывных и дважды дифференцируемых функций, отличающиеся учётом конечного числа разрывов 1-го рода в однотипных граничных условиях первого, второго и смешанного типов.

3. Предложенные модельные представления позволили получить точные решения задач о развитии свободноконвекгивного течения вязкой несжимаемой жидкости у бесконечной вертикальной границы с заданным произвольным законом изменения температуры и тепловым потоком на ней и рассмотреть совместно тепловую и концентрационную конвекцию с определением условия невозникновения течения в зависимости от теплофизических параметров системы; найдено аналитическое решение первой тестовой задачи в нестационарной постановке для кондуктивно-ламинарной свободной конвекции в квадратной каверне, обобщённое на случай тепловыделяющей жидкости.

4. Аналитически решена задача ламинарной свободной конвекции ньютоновской жидкости в вертикальном плоском канале неограниченной высоты при мгновенном и одинаковом изменении температуры (тепловых потоков) на стенках, позволяющая описывать возникновение и развитие течения; использование принципа декомпозиции области течения на зоны с восходящим и нисходящим течением дало возможность идентифицировать структуру нестационарных гидротермических свободноконвективных полей в прямоугольной области неограниченной высоты.

5. Отличительным признаком разработанных конечно-разностных схем численного интегрирования уравнений Обербека-Буссинеска является реализация весового перераспределения невязки по граничному условию "прилипания" на смоченной поверхности в теле процедуры вычисления функции тока вместо необходимости постановки сеточного граничного условия для функции вихря; на основе метода фон Неймана доказана устойчивость вычислительного процесса и установлена его сходимость.

6. Теоретически предсказано и вычислительным экспериментом подтверждено существование явления инверсии поля скоростей в момент возникнове-

ния свободноконвективного течения при мгновенном изменении температуры смоченной поверхности, что объяснено возникновением и затуханием гравитационных волн; предложены критериальные соотношения для коэффициентов теплоотдачи, полученные из детализации гидротермической структуры течения в бесконечных плоских вертикальных открытых и закрытых каналах, в вертикальных цилиндрических и сферических криогенных резервуарах.

7. Разработанная методика прогнозирования времени бездренажного хранения криогенных жидкостей отличается от существующих возможностью использовать модельные представления ламинарного режима при больших числах Грасгофа, соответствующих турбулентному режиму; предложенный способ оценки температуры смоченной поверхности при скоростном испарительном охлаждении криогенных жидкостей обосновывает применение граничных условий первого рода, что позволяет определить гидротермическую структуру течения в резервуарах через коэффициент конвекции, с помощью которого идентифицирована кинетика осаждения и образования осадка высококипящих отвержденных микропримесей на смоченных поверхностях резервуаров, а также скорость растворения осадка при повышении температуры криогенной жидкости.

8. Предметно-ориентированный комплекс программ для расчёта явлений переноса во внутренних задачах свободной конвекции реализует новые алгоритмы численного интегрирования уравнений Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца, указанные в п. 5. научных результатов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость результатов исследования характеризуется следующим: математическая модель кондуктивно-ламинарной свободной конвекции позволяет получать ранее неизвестный класс аналитических решений для различных геометрических и теплофизических постановок; новый численный метод интегрирования уравнений Обербека-Буссинеска реализует вычислительный алгоритм даже на грубых сетках с достаточной качественной и количественной степенью точности, имеет высокую скорость сходимости и устойчив, что существенно рационализирует проведение вычислительных экспериментов и может использоваться в научных исследованиях при поиске новых знаний о механизме явлений переноса при свободной конвекции; обнаруженное явление инверсии гидродинамического поля при свободной конвекции вносит существенный вклад в понимание возникновения и формирования свободноконвективного течения вязких несжимаемых жидкостей.

Разработанные в диссертационной работе методики прогнозирования времени бездренажного хранения криогенных жидкостей, определения коэффициента конвекции в криогенных резервуарах, идентификации параметров образования и осаждения твердой фазы высококипящих примесей в условиях свободно-конвективного перемешивания криопродуктов использованы в практической деятельности ОАО «Линде Уралтехгаз» (г. Екатеринбург) и ЗАО «Крионорд» (г. Санкт-Петербург), занимающихся проектированием, инсталля-

цией и эксплуатацией криогенного оборудования, при разработке рациональных технологий хранения криогенных жидкостей в крупнотоннажных хранилищах и повышении уровня их безопасности.

Апробация и реализация результатов диссертации. Основные результаты диссертационного исследования доложены и обсуждены на международных и всероссийских форумах "Advanced Problems in Thermal Convection" (Perm, Russia, 2003); "International Heat and Mass Transfer forum VI" (Minsk, Be-lorussia, 2008); "Математические методы в технике и технологиях - 16, 17, 18, 19, 21, 23" (С.-Петербург, 2003; Кострома, 2004; Казань, 2005; Воронеж, 2006; Саратов, 2008, 2010); "Кинетика и механизм кристаллизации" (Иваново, 2004); "Физико-математическое моделирование систем - V" (Воронеж, 2008); "Авиакосмические технологии - VI, VIII, IX" (Воронеж, 2005, 2007, 2008); "Современные методы теории краевых задач - Понтрягинские чтения - XVIII, XX, XXI" (Воронеж, 2007, 2009, 2010; "Математическое моделирование и краевые задачи - VI" (Самара, 2009); "V, VII, VIII, IX, X - Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике" (Сочи, 2004; Кисловодск, 2006; Адлер, 2008; Волгоград, 2009; С.-Петербург, 2010).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 35 публикациях, из них 24 в реферируемых журналах из списка ВАК РФ.

Личный вклад автора заключается в постановке задач исследований; в разработке математических моделей свободной конвекции для кондуктивного, кондуктивно-ламинарного и ламинарного режимов свободноконвективных течений различной геометрии при различных тепловых граничных условиях и в получении их аналитических решений; в разработке конечно-разностных схем для численного интегрирования уравнений Обербека-Буссинеска с коррекцией функции тока в приграничных областях для удовлетворения физическому условию "прилипания" на стенках, в которых отсутствует необходимость постановки сеточных граничных условий для функции вихря в различных системах координат; в доказательстве устойчивости вычислительного процесса и установлении его сходимости; в обнаружении явления инверсии при формировании поля скоростей во внутренних задачах свободной конвекции; в получении расчетных соотношений для определения коэффициентов теплоотдачи в открытых и закрытых вертикальных плоских каналах, в цилиндрических и сферических криогенных резервуарах; в разработке методики прогнозирования времени бездренажного хранения криогенных жидкостей; в способе оценки смоченной поверхности резервуара при скоростном испарительном охлаждении криогенных жидкостей; в идентификации кинетики осаждения и образования осадка высококипящих отвержденных микропримесей на смоченных поверхностях резервуаров, а также скорости растворения осадка при повышении температуры криогенной жидкости; в разработке предметно-ориентированного комплекса программ для расчёта основных параметров явлений переноса во внутренних задачах свободной конвекции.

Написание кодов численных схем, проведение вычислительных экспериментов и обсуждение результатов проведено вместе с соавторами.

Все представленные в диссертации выводы и результаты получены лично автором.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, 6 глав, основных выводов, списка литературы и приложений. Материал изложен на 392 страницах и содержит 129 рисунков и 10 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и её практическая значимость.

В первой главе проанализировано современное состояние проблемы математического моделирования свободноконвективных течений во внутренних задачах применительно к наземным криогенном хранилищам.

Отмечается, что особенностью таких задач является широкий диапазон изменения числа Грасгофа, предполагающий их анализ в кондукгивном, ламинарном и турбулентном режимах свободноконвекгивного течения на основе линеаризованных уравнений Навье-Стокса совместно с уравнением конвективного теплопереноса в виде уравнений Обербека-Буссинеска:

+ = + 0Г/Зе + = Рг"'Д Г; (1)

= Д/> = -У-[(к-У)Рг], (2)

где в, V ,Т, Р - безразмерные время, вектор скорости, температура, давление; Ог, Рг - числа Грасгофа и Прандтля. Такая формализация предполагает только один путь решения - численное интегрирование с соответствующим набором граничных условий, что сопряжено с существенными трудностями, главная из которых — недоказанность существования и единственности решения системы (1), (2) и, следовательно, их дискретных аналогов помимо выяснения устойчивости, сходимости и точности предлагаемых вычислительных процедур.

Круг приближённых аналитических решений крайне не широк, самое известное - решение Польгаузена о свободной конвекции ньютоновской жидкости у вертикальной полуограниченной пластины, позволяет определить структуру выражения для числа Нуссельта в зависимости от числа Грасгофа, на которой в настоящее время и базируется большинство критериальных зависимостей, полученных при обработке экспериментальных данных.

Возможности натурных и пилотных экспериментальных исследований при криогенных температурах ограничены из-за соображений безопасности и небольшого выбора контрольно-измерительной аппаратуры, что делает вычислительный эксперимент практически единственным инструментом получения новых знаний о локально-распределённых характеристиках в виде нестационарной гидротермической структуры течения при хранении сжиженных газов в крупнотоннажных криогенных резервуарах.

Подчёркивается ключевая роль свободной конвекции при хранении криогенных жидкостей. Основным элементом жидкостных криогенных систем хранения является резервуар, внутренний сосуд которого, согласно действующим технологическим регламентам, перед заполнением его криогенной жидкостью охлаждается до её температуры. Но в процессе хранения внешние теплоприто-ки через смоченную поверхность разогревают жидкость в резервуаре, возникающие свободноконвективные течения выносят прогретую жидкость к её свободной поверхности. Температура зеркала жидкости повышается быстрее, чем остальной её объём, а давление в паровом пространстве возрастает интенсивнее, чем следовало бы ожидать. Такая стратификация жидкости приводит к необходимости сброса давления из парового пространства во избежание возникновения аварийной ситуации.

В процессе хранения гидротермическая обстановка последовательно трансформируется в соответствии с кондуктивным, ламинарным и турбулентным режимами течения. Имеющиеся оценки длительности хранения показали, что существенный промежуток времени в резервуарах сохраняется кондуктив-но-ламинарный режим, несмотря на значение числа Грасгофа, соответствующее турбулентному режиму свободноконвективного течения.

Показано, что важным моментом в проблеме обеспечения чистоты криогенных жидкостей является информация об интенсивности их перемешивания в объёме резервуара в условиях свободноконвективного течения, т. к. это обстоятельство определяет локальную толщину осадка высококипящих отвержденных примесей на смоченных поверхностях, с помощью которой также оценивается вероятность самопроизвольной детонации и последующего взрыва, например, в системе жидкий водород - отвержденный кислород.

Сделаны выводы о необходимости детального изучения кондуктивно-ламинарного режима свободной конвекции во внутренних задачах применительно к криогенным жидкостным системам на основе новых модельных подходов при математической формализации.

Во второй главе рассмотрен спектр аналитических решений внутренней задачи кондуктивного режима свободной конвекции для вертикального ограниченного цилиндра, а на примере квадратной каверны формируется и проверяется гипотеза по синтезу математической модели кондуктивно-ламинарного режима.

В основу анализа кондуктивного режима свободной конвекции положен теоретически обоснованный и экспериментально подтверждённый факт, что при малых вг конвективное течение является незначительным, и оно практически не оказывает влияния на распределение температуры в жидкости. Поэтому система (1), (2) представлена только уравнением теплопереноса без конвективного слагаемого в левой части, что означает перенос энергии по механизму молекулярной теплопроводности, которое в цилиндрической системе координат таково:

дТ д2Т 1 дт г2 дгТ

-= —г +--+ £ —г» (3)

д?о ЭЯ2 ЯдЯ д2 К '

где Ро = от/г2 - число Фурье, К = г/г0 , X ~ г/А, £ = г0 /А; г, г - локальные координаты с началом в центре верхнего торцевого сечения вертикального ограниченного цилиндра высотой А и радиусом го, т - время, а - температуропроводность среды. Уравнение (3) с соответствующими граничными условиями образует следующие постановки:

кондуктивный режим при граничных условиях I рода

Г(Д,2,0) = Го, дТ( 0,г,Ро)/аЛ = 0, Г(1,2,Ро) = 0, (4) Т(Я,0,Ро)=Ти, Т(Л,1,¥о) = Т„, (5)

где Тйи/> = _С)/'о; 'о. 'и. 1ь, - текущая, начальная, верхнего и нижнего оснований и боковой поверхности температура;

кондуктивный режим при граничных условиях II рода

т(я,г,о)=о, дт(я,о,то)/дг=~к.1и, дт(ял,¥о)/дг = -к[ь,(б)

дТ{\,1,?о)1дН = -£,К\„, дТ(0,г,Ро)/5Л = 0, (7)

где Клв>. - критерий Кирпичёва, Т = ('-'0)/'о> - текущая и

начальная температуры; ди, ць, <7» — плотности тепловых потоков через верхнюю, нижнюю и боковую поверхности; \ - коэффициент теплопроводности среды;

кондуктивный режим при смешанных граничных условиях (1-я задача) Т(Я,2,0) = 0, дТ(0,г,¥о)/дЯ = 0, ЭГ(1,г,Ро)/5Л = -^В1.., (8) 7-(Л,0,Ро)=Ги,Г(Л,1,РО)=Г4, (9)

где В|„ = " критерий Био, Тм -/0)Д .

кондуктивный режим при смешанных граничных условиях (2-я задача) 7-(Л,2,0) = 0, дТ(0,г,¥о)/дЯ = 0, Т(1,г,¥о)=Т„, (10) дТ(Я,0,Уо)/дг = -В1х, дТ(Н,\,¥о)/дг = -В\ь, (11)

где 7>(|. -/„)//, I В¡„.4 =<7„,л/(Ч)-

Задачи (3) - (5); (3), (6), (7); (3), (8), (9); (3), (10), (11) решены последовательным применением интегральных преобразований Лапласа и Ханкеля.

Анализ решения задачи (3) - (5) проведен для ситуации, довольно часто встречающейся в практике криогенной техники. При долговременном хранении криогенных жидкостей возникает необходимость сброса давления из парового пространства, что приводит к быстрому снижению температуры поверхностного слоя. В этом случае уравнения (3) - (5) можно считать модельным аналогом такой ситуации без детализации физико-химических и геометрических характеристик криогенных систем. В результате проведенных расчётов получено, что установление стационарного теплового режима в объёме криогенной жидкости наступает уже при Ро > 0,1.

Анализ задачи (3), (6), (7) показывает, что в рамках принятой постановки предельные случаи ^ -> <ю и £ -> 0, соответствующие нестационарным задачам теплопроводности в неограниченных пластине и цилиндре, не могут быть получены явным образом из ее решения, которое, тем не менее, совпадает (рис. 1, 2) с классическими решениями A.B. Лыкова.

по Лыкову

Fo=0,05

Fo=0,1

Kl" 1

по Лыкову: Fo=0,01 Fo=0.05 Fo=0,1

Я

Рис. 1 Профили температуры в неогра- Рис. 2 Профили температуры в неограниченной пластине: - расчет при ниченном цилиндре:- расчет при

£=100 и Я=0 £=0,01 и г=0,5

Проведенный анализ подтвердил корректность полученных решений, которые могут быть применены для оценки длительности кондуктивного режима при охлаждении криогенных жидкостей и служить тестами для проверки работоспособности вычислительных схем в контексте решения уравнений Обербе-ка-Буссинеска.

Так как кондуктивно-ламинарный режим свободной конвекции характеризуется малыми значениями скорости, то уравнения Обербека-Буссинеска (1), (2) в переменных Гельмгольца путём отождествления субстанциональной и локальной производных при переносе импульса и энергии принимают следующий вид:

5Q —

— = AQ + VJxGr; 59

ДУ = -П; — + rot4/V7, = — AT, (12) 39 Рг

где ¥, О - векторные функции тока и вихря.

Формулировка первой тестовой задачи для квадратной каверны трансформирует систему (12) в уравнение

З"Ф | ЗАФ

дХА + ЭХгдУ2

д"Ф ,

+ —г = -1 дУ

с граничными условиями

ЗФ(О.Г) ЭФ(1,Г) дФ(.Г,0) ЗФ(АМ)

дХ ~ дХ ~ дУ ~ дУ ~ '

(13)

(14)

где Ф = чу (Опт4), которое решено с использованием интегрального синус-

преобразования. Результаты расчётов (рис. 3) свидетельствуют о качественной

и количественной адекватности модельного представления кондуктивно-ламинарного режима.

Такой подход позволяет расширить класс решаемых задач, что продемонстрировано на примере моделирования свободноконвективного течения тепловыделяющих жидкостей в квадрат-Рис. 3 Поля функции тока (а) и скоро- ной каверне при постоянной температуре стей (б) в квадратной каверне на смоченной поверхности, а также

сформулировать и решить задачи свободноконвективного переноса в нестационарной постановке для первой тестовой задачи

д г а2ф э2ф1 д'Ф а"ф з*ф дт(х,в) ее[аг2+ дУ2) dXi + дХ2дУ2 + дУ* дХ '

ф(*,у,0) = 0; ф(0,у,6) = ф(1,у,е) = ф(х,0,9) = ф(*,1,0) = 0; ф(о,у,е) _ ф(1,у,6) ф(-г,о,е) ф(л-,1,е) _ дХ ~ дХ ~ дУ ~ дУ '

(16)

(17)

(18)

(19)

где Г(Х,е) = 1-Х + -У LÜlsinjVl-Х)цр1ехр(-&-

я м Р V Рг

Решение (16) - (19) получено последовательным применением интегральных преобразований Лапласа по переменной 6 и конечным синус-преобразованием по переменным А'и У:

Ф(Х, У, 9) = 4£ (cosX„ -1) Е„ [1 - exp(-anm9)] + Г, I . v Qos X. - cos (яр)] (cos|im -1)

х[1-ехр(-а„те)] + 22,(-1) -зз--*

ехр

р=1

кр - К

Рг

-exp(-o„„Ö)

Рг

sin(^„X)sin(nmy)

(20)

где апт = Х2„ + ц2; Хп = пп; ц„ = та.

Анализ нестационарной гидротермической структуры течения в квадратной каверне (рис. 4-6) позволил выявить явление инверсии гидродинамического поля, когда в процессе развития течения жидкость меняет свое направление движения, ранее не наблюдавшееся при исследовании внутренних задач из-за малой длительности этого эффекта (рис. 6). Изученный спектр задач позволил сделать вывод о правомочности принятых модельных представлений при п-к. „_«

ямос-1 Ч _

—

Т.'*,

1\ \\ "V 1

»5

Рис. 4 Пале температур для Рг=0,7 в различные моменты времени 9:

1 -0,001; 2 -0,01; 3-0,1; 4-0,5

Рис. 5 Эволюция функции тока при Рг=0,7: 1 - 0=0,0001; 2-6=0,001; 3-8=0,005; 4-6=0,01 ;5 - 8=0,02; 6 - 8=0,05, 7-9=0,1

15 1.1 и

Рис. 6 Динамика изменения%ор-мировагашх среднеинтегральных

значений функции тока (-) и

температур (-----) при Рг=0,7 (1);

Рг=1 (2); Рг=7 (3)

формулировке внутренних задач свободной конвекции. Достоинством такого подхода является то, что он может быть использован при моделировании не только внутренних, но и внешних задач свободной конвекции, что подчёркивает тем самым его универсальность и инвариантность.

В связи с этим в третьей главе проанализированы задачи тепловой и сопряжённой тепловой и концентрационной свободной конвекции у вертикальной границы, а также в неограниченном вертикальном плоском канале и в прямоугольной области с соотношением высоты к ширине намного больше единицы.

Рассмотрен объём вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной слева бесконечной вертикальной плоскостью. В начальный момент времени температуры стенки и жидкости совпадают и равны 10, затем температура стенки изменяется по заданному закону от времени <р(т). Из-за температурного напора вблизи стенки возникает течение жидкости. Математическая модель ламинарного режима формализована в виде модифицированной системы уравнений Обербека-Буссинеска в безразмерном виде:

дУ/дв = д2У/дХ2 +Т-Т'\ дТ/дв = РГ1 д2Т/дХ2; (21)

С(ЛГ,0) = К(0,е) = К(оо,е) = 0; Т(Х,0) = Т(оо,В) = 0; Т(0,9) = /(9),(22) где Т = (/-/,)/(/„-/0); Т' =(1'-10 )/(/„-О; У = Х = х/х; 9 = т/т;

/(9) = [ф(т)-?0]/(с-<0); Рг = у/а; т = ^/[Ря(С"'о)Т.

X = . й = ; т - текущее время; х - декартова коор-

дината, направленная от плоскости в сторону жидкости; р, v, а, Р - плотность, кинематическая вязкость, температуропроводность и коэффициент объёмного

расширения жидкости; g - ускорение силы тяжести; /* - текущая и характерная температуры жидкости; 1„ - температура стенки, выбор которой определяется видом <р(т). Аналитическое решение (21), (22):

1

471

(23)

-ехр(-|) 7/00*К*.<24)

2^(1

Корректность полученного решения иллюстрирует рис. 7, из которого следует,

что при мгновенном изменении температуры стенки /(0) = 1(0) с увеличением Рг скорость уменьшается, причём толщина динамического пограничного слоя также имеет тенденцию к уменьшению (С, = 0,5Х/\[& - автомодельная переменная). В обобщённом случае, когда /(0) = 1 - ехр(-у40) и учитывается эффект релаксации температуры, можно оценить скорость распространения вязкостной волны по значению максимальной скорости. Например, при Рг=0,1, координаты максимального значения безразмерной скорости, соответствующие безразмерным временам 0,01; 0,1; 1, есть 0,12; 0,38; 1,06, откуда оценочные значения скорости распространения вязкостной волны будут 12; 3,8; 1,06, что свидетельствует о её затухающем характере.

При изменении температуры стенки по закону дельта-функции /(0) = 5(0) (рис. 8, 9) бесконечному тепловому возмущению соответствует

Рис. 7 Профили приведенной скорости и температуры при Рг=0,7: 1 - т. 2 - Т. при Рг=7: 3-т.А-Т

в 20

Рис. 9 Нестационарное гидродинамическое поле вблизи стенки при различных значениях чисел Рг: а - 0,01; 6 - 0,1; в - 0,7; г - 7

конечный отклик гидродинамического ПОЛЯ,

что позволяет оценить границу воздействия

. о теплового удара на гидродинамическую

структуру объёма жидкости. В главе также

проанализирована задача изменения темпе-Рис. 8 Нестационарное температурное ' г

поле при 8-импульсном изменении тем- ратуры стенки по периодическому закону, пературыстенки для различных Рг: как модельной задачи, учитывающей коле-

9°8 08 х

8°82

а-0,01; б-0,1; в-0,7; г-7

бания температуры внешней среды при хранении криогенных жидкостей, а также задача с мгновенным изменением теплового потока через стенку и получены их аналитические решения.

Предлагаемые модельные представления о кондуктивно-ламинарном режиме позволили поставить и аналитически решить задачу сопряжённой тепловой и концентрационной свободной конвекции путём добавления в левую часть уравнения движения безразмерной концентрации С со знаком минус в силу однонаправленности векторов силы тяжести и силы погружения и дополнения системы (21), (22) диффузионным уравнением с граничными условиями

^ = срг,0) = с(оо,е) = 0, С(0,е) = С„, (25)

и /(е) = 1, где С„ =у(с„-с0)/[р(г. -<о)]; 5с = у/£> - число Шмидта; у - коэффициент концентрационного расширения жидкости; с, с», с0 — локальная, на стенке и начальная концентрации растворённого компонента; И — коэффициент диффузии, из которой следует, что при С„ = 1 и Бс=Рг существует режим, когда на всём протяжении процесса жидкость остаётся неподвижной.

Решены также задачи свободно-конвективного течения в вертикальном канале неограниченной высоты

дГ,

,д2К

= 4: , дв дХ

-ЪСт{Т-Т),

<57 59 '

4 д2Т

(26)

Рг дХг'

Кг = (1,9) =дУг (0,В)/дХ = 0; (27)

как при мгновенном и одинаковом изменении на стенках теплового потока

Т(Х,0) = дТ(0,в)/дХ = 0; &Г(1,в)/дХ = 1, (28)

так и при мгновенном и одинаковом изменении температуры

Т (А-,0) = 1; Т (1,9) = дТ(0,В)/дХ = 0. (29) Аналитическое решение задачи (26), г в

>л

\

Рис. 10 Структура гидротермических полей при Рг=0,7 (а) и Рг=7 (б) для различных 9: 1-0,015; 2-0,03; 3-0.085:4-0,35

Рис. 11 Структура гидротермических полей при Рг=10 (а) и Рг=0,1 (б) для различных 8: 1 - 0,002; 2 - 0.008:3 - 0,01; 4 - 0,02

(27), (29) иллюстрируется на рис. 10, из которого следует, что скорость среды в канале пропорциональна величине в г; для жидкостей с одинаковой вязкостью V свободно-конвективное течение развивается интенсивнее у той, у которой температуропроводность больше.

При Рг > 1 скорость течения затухает быстрее, чем наступает тепловое равновесие, при Рг < 1 наблюдается противоположная картина. Определён безразмерный коэффициент теплоотдачи Ыи=3. Детальная картина течения, полученная на основе аналитического решения задачи (26) - (28), представлена на рис. 11.

Полученные результаты легли в основу анализа термоконвекции в прямоугольной области с соотношением высоты к ширине намного больше единицы с использованием при синтезе математической модели декомпозиции области течения на зоны 1 и 2, граница между которыми 8 = 5 :

дУг д% . .. дТ 4 д2Т

—— = 4-г-^ + Юг(Т-ТЛ; £1 = -1£1.; (30)

ге дХ2 К К2' 59 Рг дХ

Ъ (*.0) = ^ (*,0) = Уг, (Щ = У;, М = Уг, = <3 ^

Т(Х,0) = 1; 7'(1,8)=Э7'У^0, (32)

аХ

где А = 5(л,т)/А,. Это позволило аналитически решить систему (30) - (32), расчёты по которой показывают, что в начальный момент времени рассматриваемая система характеризуется равновесным состоянием, что подтверждается начальным значением Д «0,5, инвариантным к теплофизическим свойствам среды. По мере развития течения система приходит к новому состоянию равновесия, при этом Д«0,33 (рис. 12).

Рассмотрение структуры течения указывает на его квазистационарный характер в смысле геометрического подобия профилей 4 - Рг=30; 5 - Рг=50 скорости, если их отнормировать на максималь-

ную величину (рис. 13), что обосновывает наличие нового конечного равновесного состояния системы. Замечен интересный факт: при достаточно больших 0 профиль скорости практически не зависит от Рг. Аналогичный анализ структуры тепловых потоков в системе подтверждает наличие динамического измене-

0,4

0,3

-2

1§0

-1

1 \ 1

т 5 У:

Рис. 12 Изменение во времени по- р, ложения границы между нисхо- ¿=7 дящим и восходящим потоками: " 1 - Рг=0,1; 2 - Рг=0,7; 3 - Рг=7;

:. 13 Профила скорости при >г=7: 1 -е=1<Г;2-в=1(Г; Н5-10"3; 4 - 9=5- 1<Г; 5 - 6=0,8

ния тепловой обстановки в системе подобно гидродинамической. Из идентификации числа Нуссельта видно, что с увеличением Рг, интенсивность теплоотдачи возрастает, при этом для больших значений времени предельное значение Nu «2,47. Время достижения состояния квазистационарной теплоотдачи предложено описывать уравнением

в = ехр(0,01381п3 Рг+0,01721п2 Pr+ 0,6851пРг-2,258).

Определена закономерность теплоотдачи в прямоугольной каверне в период развития течения (0 < 0 < 0,005) :

Nu = 0,912 Рг0,64< б"0,451, (33)

и показано, что при 0 —>• 0 показатель степени при 0 в (33) приближается к значению -0,5.

В четвёртой главе для проверки количественной адекватности предлагаемых модельных представлений кондуктивно-ламинарной свободной конвекции разрабатывается инструментарий в виде комплекса алгоритмов и программ проведения вычислительных экспериментов, адаптированных к задачам хранения криогенных жидкостей в наземных хранилищах различной геометрии.

Построение вычислительного экспериментального комплекса начато с его реализации в прямоугольной каверне с представления уравнений Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца дискретным аналогом на двухслойном шаблоне типа "крест" в виде:

дГ> = --^[-Ag QW . Ag m + Ag (0^ . Ag C/)Of ] + (1+0

А|? +42Л = (35)

Af m --7T7ô[-AS 0) V ■ Ag ('X + Ag (/)*; • Ag ] + (1+Ç) L

(36)

где Л^(Р) - у-точечный (у= 0, 1,2 ...), с реперным номером точки 5*0 при у>1, дискретный аналог а-производной по индексу ß при постоянстве других индексов в сеточной функции; к, i,j - переменные индексы времени и координат точек дискретизации (и=шах /', m=max _/');

начальные условия

граничные условия для функции тока

граничные условия для вихря

О , = -

8 . гги^ч.т,* ^ 8

Л»^; («)*}; (39)

о. + (1 +

= П^-^-л«^ (40)

с возможностью варьирования порядка аппроксимации при у= 2,3,4;

^ = ЛЙ(0)Ч? = Л«2(и)^ =0; Т^ = 1. (41)

Учёт условий прилипания в системе (34) - (41) предлагается осуществлять путём перераспределения невязок , е*чу, б',, е*я_, > 0 по коррекционным соотношениям

/п-З

/т-3

<у>(42)

'1-5 j L I

считая, что смежный слой с границей не подлежит корректировке.

Модифицированная сеточная функция имея в виду (42), размещается вместо немодифицированной и вычислительный процесс повторяется, при этом показано, что погрешность вычисления в процессе перехода от одного временного слоя к последующему уменьшается за счёт сохранения интегрального баланса количества движения. Следует отметить, что сеточные уравнения (34) и (36) являются явной формой записи уравнений переноса вихря и теплоты, а (35) - неявной для уравнения связи функции тока и вихря. В связи с этим алгоритм вычисления таков: значения Т и О. на следующем временном слое вычисляются по значениям на предыдущем, при условии, что задано поле для функции тока. Такое обстоятельство как раз и привносит полунеявное свойство численной схемы, характерной особенностью которой является решение неявного сеточного уравнения (35) на временном (к+1) -ом слое, интегрируемое по методу верхней релаксации с итерационным параметром, равным 1,5, соответствующим наибольшей скорости сходимости итерационного процесса, выход из которого осуществляется по условию

max abs (l - шах |/max | |) < е,

где j - номер итерации, е - наперёд задаваемая точность.

Оценено влияние степени дискретности и порядка аппроксимации на результаты вычислений и найдено рациональное соотношение между точностью вычисления и затратами машинного времени, которое выполняется для сетки 19*19 (рис. 14). Установлено, что в качестве рабочего варианта граничные условия для вихря (39), (40) следует принять при 7=4, что обеспечивает требуемую точность аппроксимации сеточной функции на границе, а также устойчивость и сходимость вычислительного процесса по предложенному алгоритму.

Рис. 14 Изолинии поля функции тока (верхний ряд) и изотермы поля температур (нижний ряд) для сетки 19x19 при Рг=1 и различных йг: а- 1; б - 10; в - 100; г - 1000(9=2,5)

Получено, что кондуктивный режим свободной конвекции сохраняется практически до Ср=100. Дальнейшее увеличение вг приводит к ещё большей неоднородности поля температур с постепенным формированием пристеночных тепловых пограничных слоёв у холодной и горячей стенок со структурированным по однородности ядром.

Для проверки количественной адекватности предложенного алгоритма было использовано полученное решение первой тестовой задачи для кондуктивно-ламинарного режима течения и решение задачи о свободной конвекции в прямоугольной области с соотношением высоты к ширине намного больше 1. Установлено, что при Ог<ЮО сохраняется кондуктивный режим, о чём свидетельствует практическая параллельность изотерм и линий функции тока, исключая области, близкие к верхней и нижней стенкам (рис. 15). Вычислительный эксперимент позволил сделать вывод о корректности принятых допущений при разработке вычислительного алгоритма и определить границы его правомерного использования (рис 16).

Это дало основание для обобщения изложенной процедуры в случае свободнокон-вективного течения в вертикальной цилиндрической области, причём схема (34) - (42) представлена в цилиндрической системе координат, а также для сферической области в осесимметричной формулировке, на примере которой исследована теоретически её устойчивость с использованием алгоритма Неймана. В результате получены аналитические условия устойчивости, выражающие связь между шагами интегрирования по безразмерным радиусу АЯ и азимутальному углу Д^, представленные для удобства пользования в графическом виде (рис. 17) при вып 1 с п л. л. боре безразмерного шага по времени Д6. Анализ Рис. 16 Профили функции тока г г г (1-3) и температуры (4) в сре- показал, что для различных иг (Рг=1) уменьшение

— се™ казнил (г=0.5) д/г и Д4 приводит к монотонному уменьшению Д9. личных <3г: 1 - 2-](Г; 2 -5 Р10^ 3*- В ламинарной области влияние на величину Д9

' ' °л^е^ный эксп ~~ймент)Ч'ИС" оказывается паритетным по АЯ и Д^. При Ог«Ю6

в области АЯ < 0,04 возникает неопределённость в

Рис. 15 Поля функции тока (справа)

и температуры (слева) для Рг=7, 6=0,05 и ^=0,1 при различных числах Ог: а - 100; б - 1000

выборе Д£, для получения Д9, что приводит к неравнозначному влиянию шагов интегрирования по пространственным координатам: преобладающее влияние на Д0 оказывает что объяснено более существенной нелинейностью по координате 4 в исходных уравнениях.

Для сравнения с предложенным вычислительным алгоритмом по квазинеявной схеме разработана чисто неявная схема интегрирования, базирующаяся на тех же принципах дискретизации области интегрирования и порядка аппроксимации производных центральными конечными разностями

второго порядка точности. При этом

Рис. 17 Влияние на выбор Д8 шагов интегри- „„„„„. .„,,,х,„„.„„___ _____„„____ ___

,„ ,, .Г , г удалось унифицировать процедуру вы-

рования ДК иДЕпри Рг=1 для различных ' ' т г г

<3г: а - 103: б- 105: е- 106: г - 109 числении для каждого уравнения системы (12) с применением метода верхней релаксации. Получено, что наибольшую скорость сходимости вычислений обеспечивают релаксационные параметры, близкие к единице справа. По скорости вычисления неявная схема не имеет преимуществ перед квазинеявной, более того, несмотря на безусловную устойчивость, неявная схема остаётся чувствительной к величине Д9. При Ог > 107 сходимость вычислительного процесса по неявной схеме отсутствует, что объясняется физической некорректностью применения уравнений Обербека-Буссинеска в переходном режиме свободной конвекции от ламинарного к турбулентному течению.

Глава 5 посвящена проведению вычислительных экспериментов и анализу их результатов на базе разработанных алгоритмов и предметно-ориентированного программного комплекса численного решения внутренних задач свободной конвекции применительно к криогенным жидкостям.

На примере квадратной каверны рассмотрена модельная задача, имитирующая условия хранения криогенных жидкостей: верхняя граница каверны считается свободной, т.е. отсутствует контакт с твёрдой поверхностью, причём через неё тепловой поток пренебрежимо мал из-за наличия парового пространства с существенно меньшим коэффициентом теплопроводности, чем у жидкости; через смоченную поверхность задан тепловой поток, величина которого определяется характеристиками теплоизоляции реального резервуара. Из рис. 18 видно, что вплоть до Ог=Ю4 структура гидродинамических полей остаётся неизменной, но максимальные значения как функции тока, так и температуры возрастают с увеличением в г, что подтверждает существование квазистационарного режима. При таком теплоподводе образуются два симметричных вихря

о х10 х10 xi

Рис. 18 Изолинии поля функции тока (верхний ряд) и изотермы поля температур (нижний ряд) для сетки 25x25 при Рг=1 и различных вг: а - 1; б - 10; в - 100; г - 1000; д - 10000; е - 100000.

и средняя температуры жидкости

1

nTfwmtwmt

20

о

^imox

150

5 9 0

М 1

0 5 6 0

Рис. 19 Результаты расчета Ч'шт, fin, 11-51 при Gr=100

с разнонаправленным потоком жидкости в них. Дальнейшее увеличение вг приводит к деформации функции тока и поля температур со смещением максимума ко дну. Предложен вариант определения интегрального коэффициента теплоотдачи, основанный на рассмотрении теплового баланса и вычислении средней температуры жидкости.

Для свободной конвекции в вертикальном цилиндрическом резервуаре введён критерий точности получаемого численного решения из условия

А,(т) = е,(т). (43)

где Qд{x) = 2■кrl¡q(r0 + h)\ - фактическое количество теплоты, поступившее в резервуар за время т; ея(т) = £уил [/(т)-*0] -

найденное по температурному полю; г0, И -радиус основания и высота столба жидкости в резервуаре; д - плотность теплового потока через стенки; ср, та - теплоёмкость жидкости и её масса; /0, /-начальная . Из (43) следует выражение для невязки 6 (т) = |1-&> (!)/&> (т)|, где

Рг Г(е) &(т) 2 (1 + ^)8' ит (в)=2111 ят (л, г, е) ¿«¿г,

о о

Была проведена серия расчётов значений температуры, функций тока и вихря, а также величины критерия точности. На рис. 19 приведены в качестве примера результаты одного такого расчёта. Дискретизация осуществлялась на сетке 15x15, ^=1, Рг=1 (соответствует жидкому водороду), варьирование числа Грасгофа осуществлялось в диапазоне 1<0г<Ю5, выход из итераций происходил при

Рис. 20 Динамика функции тока при различных значениях числа От и безразмерного времени: 1 -Ог=1: а - 9=0,2; б - 9=0,4; в - 9=6; 2 - Сг=103: а -

9=0,04; б

- 9=0,12; в - 9=1,2; 3 - Сг=Ю5: а - 9=0,01; б - 9=0,04; в - 9=0,55

достижении £ = 0,01. Как и следовало ожидать, по температуре наступает квазистационарный режим в том смысле, что за равные промежутки времени температура увеличивается на одну и ту же величину. Из анализа поведения функции тока и вихря следует, что моменты наступления стационарной гидродинамической обстановки в резервуаре уменьшаются с увеличением числа Ог.

На рис. 20 приведены результаты расчёта динамики функции тока, из которой следует практическая неизменность её структуры. Полученные данные позволили аппроксимировать поле скоростей соотношениями (рис. 21):

У2 -г)(2-ЪЯ)(\-Я), где К = 20,2 + 26,41ёСг.

Для анализа теплообмена введено среднее число Нуссель-* та:Ыиср=1/[^(7;и-7;с)], где Тся, Тк - средние

значения безразмерных температур боковой стенки и жидкости на оси симметрии. Выявлена область (рис. 22), в которой Ыи соответствует ред жиму теплопроводности, и от точности определения которой зависит точность определения коэффициентов яг и и в обобщённом

уравнении Ыис/) = /?Юг" для

различных условий задания закона теплообмена на свободной и смоченной поверхностях. В нашем случае эта граница находится в диапазоне вг' =100-200. Для Ог>Ог* предложены критериальные уравнения,

Рис. 21 Профиль компоненты скорости Уг при 2-0,5 для различных чисел вг: 1-1; 2-10; 3-Ю2; 4-10'; 5-Ю4; 6-Ю5

Рис. 22 Результаты вычислительного эксперимента по теплообмену в вертикальном цилиндрическом резервуаре при §=1: 1 - подвод теплоты от боковой поверхности; 2 -подвод теплоты от боковой поверхности и дна; о, • - данные Полежаева В. И. и Черкасова С. Г.

Рис. 23 Динамика безразмерной температуры при различных значениях числа вг и безразмерного времени: 1 -Ог=Ю: а-6=0,1; б-6=К),4; в-9=6; 2 - С3г=104:а - 6=0,02; б - 6=0,06; в - 6=0,6; 3 - Ог=Ю5:а - 6=0,01; б - 6=0,04; в - 6=0,55

N11 = 0,95Ог0'19, Ыи = 0,580г°'22, соответствующие прямым 1 и 2 на рис. 22. Массив результатов расчётов полей температуры приведён на рис. 23. Существенное отклонение от кондуктив-ного режима наблюдается с Сг=104. Радиальные и вертикальные температурные градиенты перестают быть постоянными, нарушается со временем эквидистантность температурных полей, образуется ярко выраженное ядро жидкости с пониженной температурой.

Анализ свободной конвекции в сферическом резервуаре начат с проверки полученного условия устойчивости для максимальных значений вихря £!, функции тока ¥ и температуры Т (рис. 24). При Д9 = 10~5, что соответст-

тельного процесса, наибольшее

Yyfwv

о -0.1

0J

о -0.1

г

0.5

Рис. 24 Исследование устойчивости явной схемы при соия по Gr=10 и различных Д6^Д£=Д$=0,06);

вует области неустойчивости вычисли-возмущающее воздействие оказывается на вихрь, затем на функцию тока, а уже потом и на температуру. Помимо того, что процесс становится условно устойчивым для 0 > 0,5, наблюдает- ся несоответствие по сходимости для

Q с завышением его предельного в значения примерно на 40 % по сравнению с устойчивым случаем (рис. 24, б). При 9 <0,5 видны пикообраз-ные возмущения, обусловленные тем, что более крупный шаг по Д9 не обеспечивает отслеживание градиен-

_ тов физических полей, что и приво-

6 дит к неточной количественной интерпретации. Полученная информация о величинах шагов интегрирования позволила перейти к анализу гидротермических полей.

Расчёты для граничных условий 1-го рода проводились при Gr=l и Рг=0,707 (воздух), что соответст-кондуктивному режиму.

- аналитическое численное

Рис. 25 Сравнение численного и аналитического решения задачи термоконвекции для кондуктив-

— по"' —г ю"'

размерная скорость в экваториальном сечении сферы

Учитывая соотношение Fo = Pr- Zh и согласно определению числа Nu, а также принимая во внимание решение A.B. Лыкова задачи теплопроводности в сфере, получено соответст--00024 - 00088 вие точного и численного

Рис. 26 Тангенциальная без- РеШеНИЙ (Рис- 25)- анализа структуры гидротермических полей следует, ного режима при Рг=0,707 и Gr=l ЧТО В МОМвНТ изменения температуры СТвНКИ сферы

в пристеночной области, состоящей из двух концентрически расположенных слоев, возникает движение жидкости в противоположных направлениях, причём у стенки наблюдается движение вниз - явление инверсии, предсказанное теоретически для кондуктивно-ламинарного режима. В следующий момент времени область течения расширяется и состоит из шести концентрических слоев жидкости с чередующимся направлением движения (рис. 26), причём тангенциальную скорость в экваториальном сечении рассчитывали по формуле

V(R 0 5 б") = — — ("^'в'-^'в) ^ К ■ ' > ¡Кф(Я,0.5,9)|

(R,0.5,0) + V£ (R,0.5,0) . На следующем

шаге по времени течением охвачен весь шаровой объём. С ростом числа Zh толщина концентрических слоёв жидкости начинает непрерывно увеличиваться, а их число соответственно уменьшаться. При Zh=0,0012 в

шаровой полости

Рис. 27 Динамика изменения функции тока при Сг=4,05 106; Р]=0,707 (расшифровка рисунков в таблице)

Таблица к рис. 27

Таблица к рис. 28

№ ZhlO4 Шаг ЗОЛИ-НИИ Ч'тт № Zhio' Шаг ИЗОЛИНИИ 7min

1 0,5 1 -2 1 4 0,5 0

2 12 20 -120 2 20 0,5 0

3 24 50 -200 3 27 0,2 0,5

4 42 50 -300 4 44 0,2 0,2

5 48 100 -300 5 50 0,2 0,2

6 54 100 -400 6 57 0,2 0,2

7 62 200 -600 7 64 0,2 0,2

8 66 200 -800 8 72 0,2 0,4

9 72 200 -800 9 88 0,2 0.6

10 120 200 -800 10 150 0,1 0,6

Рис. 28 Динамика изменения температурного поля при Сг=4,05 106; Рг=0,707 (рас-шиДоовка рисунков в таблице)

ти сферы потоками (рис. 27). Нестационарная структура температурного поля приведена на рис. 28, на котором более холодная жидкость выделена тёмным фоном. Неустановившийся колебательный характер движения в сфере при небольших числах Зі подтверждают зависимости максимальных значений функций тока Ч* и вихря І2, а также среднеобъёмной безразмерной температуры Т5 и среднего по поверхности сферы числа N0, от продолжительности конвекции

(рис. 29 и 30). Положение пиков на графиках практически соответствует попеременному прохождению холодных и тёплых фронтов жидкости вдоль стенок сферы до их полного смешения за счёт теплопроводности и конвекции. Интегральные характеристики процесса Т: и вычисляли по форму-> і і і лам 7'І(Є) = -7і|[7'(ЛЛв)Л25Іп(^)^4; ЇМи, (9) = - |*Ц£,Є)ші(я£)</€,

І Іі

у «V _

а 0,01! —а. — * Рис. 29 Максимальные значения функций тока и вихря

2Ь0,015

Рис. 30 Среднеобъемная безразмерная температура и среднее число Нуссельта

где локальное число Нуссельта

о

N11(^,0) вычисляли из его определения через односторонние разности второго порядка точно-

дЯ

У ■' '' И". ' • ' аГ

сти. Как и следовало ожидать (рис. 31), при кондуктивном режиме локальное число Нуссельта постоянно по всей поверхности теплообмена.

С развитием конвекции градиент температуры на стенке начинает изменяться от угловой координаты, следуя за вариациями скоростей и температуры. Минимальное значение локального числа Нуссельта 90 <р.грш 180 составляет =43,5 и соответствует практически всегда

-1-Ю'7 -—0,0018 „ _

—-о,оо«7 --о.оїв верхней точке сферы. После установления квазиста-Рис зі зависимость локальногоДионарного режима течения максимальное значение орди^.їпр^І^^Гї^е^и имеет место при 4=0,5.

ниях числа Жуковского Анализ задачи свободной конвекции в сфере

при тепловых граничных условиях 2-го рода был начат с обоснования выбора расчётной сетки. Показано, что для установившегося режима различие между числами N11, которое определяли как Ыи(£,,0) = і/[Гс„(0) - Т1пш (0)], где Тст, Ттт -безразмерные температуры стенки и минимальная жидкости, на сетках 16x16 и 37 х 37 составило 2,4 %, а на сетках 32 х 32 и 37 х 37 лишь 0,3 %. С целью снижения затрат машинного времени дальнейший анализ проводился на сетке 32x32. Шаг по безразмерному времени составлял 10~5 - Ю-6. Числа Грасгофа

изменяли от 1 до 10 . Полученные данные показали, что типичные для кондуктивного режима поля температур в виде концентрических окружностей существуют до чисел Ог=Ю (рис. 32). При дальнейшем увеличении подъёмной силы возникает слабо конвективное движение, характеризующееся стратификацией жидкости Рис. 32 Поле температур при различных и опусканием холодного ядра вниз по верти-

значениях числа Ога - 1; б - Ю';в - 10:

Рис. 33 Поле функции тока при различных значениях числа вг:а — 1; б — Ю3; в - 105

Рис. 34 Профиль скоростей при Сг=1000 при различных безразмерных моментах времени 9: 1 - 0,02; 2 - 0,05; 3-0,1; 4-0,2; 5-2,3

5 кальному диаметру. При Сг>100 режим стратификации начинает разрушаться и ядро холодной жидкости усиливающимся циркуляционным движением жидкости поднимается вверх и приближается к стенке ёмкости. Вид поля скоростей существенным образом от числа вг не изменяется (рис. 33). На рис. 34 представлены профили безразмерной тангенциальной составляющей скорости, нормированной на величину полной скорости, вдоль горизонтального радиуса. Отмечается в момент возникновения конвекции наличие восходящего потока жидкости не только у стенки, но и вблизи оси симметрии. Для кондуктивного режима и режима стратификации (рис. 35), т.е. при Ог = 1-нЮО, максимальное значение температуры наблюдается в верхней, а минимальное - в нижней точке сферы. В режиме развитой конвекции минимальное значение температуры стенки перемещается к горизонтальному радиусу сферы, что соответствует максимальной теплоотдаче в этой области течения (рис. 36). На основании полученных результатов в диапазоне

1< Бг < 10

Рис. 35 Зависимость температуры стенки от угловой координаты при различных числах СЗг: 1 -Ог=1; 2 - Ог=Ю; 3 - 0г=100; 4 -Ог=1(Р; 5 - Сг=104; 6 - Сг=10!

предложена аппроксимационная зависимость для числа Нуссель-та N11 = 1,3-От0,19 при Рг=1.

Шестая глава посвящена приложению результатов теоретического исследования к практическим задачам криогенной техники.

Были классифицированы и систематизирова-

Рис. 36 Зависимость числа Нуссельта от угловой координаты при различных числах вг: 1 - <3г=1; 2 - Сг=10; 3 -Сг=100; 4 - Сг=Ю ; 5 - Сг=104; 6 - <3г=10

ны экспериментальные данные теплофизических характеристик (давление насыщенных паров, динамическая вязкость, плотность, теплопроводность, теплоёмкость, теплота испарения и др.) для наиболее часто используемых на практике криогенных жидкостей - водорода, кислорода и азота с их обобщением в виде аппроксимационных зависимостей. Кроме того по коэффициенту испаряемости были оценены величины тепловых потоков через внутреннюю поверхность резервуара.

Одной из важнейших характеристик при эксплуатации криогенных ёмкостей различного назначения является время бездренажного хранения. Это связано с тем, что существующая контрольно-измерительная аппаратура при низких температурах функционирует ненадёжно, а в некоторых криогенных системах, особенно малой тоннажности, отсутствует вовсе по экономическим причинам.

Изменение температуры, происходящее в теплоизолированной ёмкости с криогенной жидкостью, рассмотрено как задача внутренней свободной конвекции при граничных условиях второго рода, что позволило применить разработанный в главе 4 инструментарий. Результаты вычислительных экспериментов

в сравнении с натурным экспериментом приведены на рис. 37, что указывает на качественную и количественную адекватность проведенной оценки.

Произведена оценка температуры стенки внутреннего сосуда для резервуара РЦВ-25/1,6 при скоростном испарительном охлаждении жидкого кислорода. Показано, что время установления стационарной гидротермической структуры составляет не более 2,4 -3,2 часов. В приближении пограничного слоя рассмотрена кинетика захолаживания стенки на основе рассмотрения сопряжённого теплообмена в системе стенка-прилегающий слой криогенной жидкости, движущейся со скоростью и (рис. 38)

э2' дг1 ^ я' ^я2

таироя ^

о 0.04 о.ов 0,12

Бефааиркм враа

Рис. 37 Изменение средней температуры криогенных жидкостей при хранении в резервуаре РС-1400/0,4 ( « - экспериментальные данные по [Лакэ Г.]; масштабы по оси абсцисс для водорода и азота соответственно 10:1 и 2:1)

N¿4

1-

\\ и

ч

ч \ Ч ! 2 3

Рис. 38 Расчетная схема: I - стенка; 2 - пограничный слой; 3 - ядро жидкости

К

= а„

дХ

дх2+'ду2

дг. 3/, —+и— = а, дх дх

дЛ+

дх2 я-2

Л,4

.У»0) = /,(■*,.у,0) = /,, при х>0, 'ДО,.у,т)=:/,(0,;у,т) = /0, (х,0, т) д!„ {Ъ>У,т) Ы, (И,у,х) _ > - , ч

(44)

(45)

^ - ^ . "Л-^-- «[_'< (*'5» + 5„х)-/( ],(47)

где т,х,у- текущее время и локальные декартовы координаты; и - температура стенки и жидкости; щ, а„ - температуропроводности жидкости и стенки; X/, а - теплопроводность жидкости, коэффициент теплоотдачи между погранслоем и ядром. Система (44) - (47) решена численно. Получено, что время захолажи-вания стенок резервуара для условий проведения вычислительного эксперимента составляет - 30 с, что намного меньше времени установления гидротермической структуры, которое в свою очередь намного меньше времени процесса охлаждения. Таким образом из приведенного анализа термической обстановки при испарительном охлаждении криогенных жидкостей следует, что время установления температуры стенок резервуара до температуры зеркала жидкости намного меньше времени охлаждения и поэтому в течение всего процесса можно считать температуру стенок равной температуре зеркала жидкости, т.е. выполняются граничные условия 1-го рода. Это позволило предложить методику определения коэффициента конвекции по кривой кинетики охлаждения, которая продемонстрирована для жидкого кислорода £ (рис. 39). Из условия

80 X,

где Ро. - безразмерная продолжительность охлаждения; - экспериментальные значения

средней температуры жидкости; (г(Ро)) - теоретическое значение среднеобъёмной температуры, полученное по решению задачи (3) - (5). Найдено, что Х/=12,8 Вт/(м К), откуда коэффициент конвекции равен е=75,7, что коррелирует с известными данными.

Рассмотрена задача осаждения малоконцентрированной взвеси в цилиндрическом резервуаре в условиях свободноконвекггивного перемешивания:

38 дЯ 4 ' дг Ьс ЯдЯ\

70-

5 10 13 Г,час

Рис. 39 Кинетика охлаждения жидкого кислорода в резервуаре

РЦВ-25/1,6:--расчвг, • -

экспериментальные данные

дЯ) дг2

(48)

1

л. ж алг(яде) А

N(R,Z,0) = l;

ас о/.

г> _ ап 5л

Бс дЯ

(49)

(50)

где N = п/п0, г = г/г0, Л = г/г0 , д = хг/г2, Кд=иг/-0/у, ^ = огг0/у, № = Н = И/г0, =кгга/у, Кг =к2г0/у, Бс = т, г, г - время и цилиндрические координаты; п, па - локальная и начальная концентрации взвеси; иг, - компоненты скорости; IV - стоксовская скорость осаждения частиц; кг, к1 — кинетические коэффициенты скорости встраивания частиц в структуру осадка на боковой стенке и дне; И, г0 - высота столба жидкости и радиус резервуара; V, Б - кинематическая вязкость и коэффициент диффузии. Связь задачи (48) - (51) с внутренней задачей свободной конвекции осуществлялась через функцию тока

V —I™

'о

V

2 Л ЭЛ

Алго-

Я Ъ2

ритм расчёта состоял в следующем: вначале из решения гидродинамической задачи определялось поле 4у, а затем по явной конечно-разностной схеме из (48) (51) идентифицировалось поле концентраций.

Проведена оценка толщины осадка кристаллического азота на боковую стенку резервуара РЦВ-25/1,6 с жидким водородом, в результате чего получено, что толщина осадка 0=1,87- Ю-10 м) пренебрежимо мала и его величину в практических расчётах в промышленных резервуарах можно не учитывать.

Такая оценка позволила сформулировать математическую модель нестационарного поля концентрации растворённого азота в жидком водороде в одномерной постановке на основе диффузионных представлений: дС(Х,0)_д2С{Х,в).

дв ~ дх2 ' ( }

С(А-,0) = 1; С(0,в) = СД9); дС( 1,в)/дХ = 0, (53)

где Х = х/И\ Є = тІ>/й2; С(Х,в) = с(х,х)/с0; С$ (Є) = с5[г(т)]/с0; с0 - начальная концентрация азота в жидком водороде; с, - растворимость азота в жидком водороде. Решение (52), (53), полученное методом "теплового баланса", иллю-

Рнс. 40 Профили концентрации вещества на ста-

і (6)для различных значений 6: 1-0,01; 2-0,05; 3-0,1; 4-1,0; 5-3,0; 6-5,0

Рис. 41 Профили концентрации вещества на стадии выстаивания при £N0 01 м /мин (а) и 0=0,001 м /мин (6) для различных значений в: 1-5,0; 2-5,); 3-10,0

оси

стрируется на рис. 40 и 41. Аппроксимация экспериментальных данных (рис.

42):

Т (г) = 25,83 + 4,2 • 10"3 т - 2,08 ехр(-0,92т);

С, (т) = 26,50 - 25,50ехр(-10-'т);

С2(т) = 3,84-2,84ехр(-1,5 10-2т),

где т - время в мин; С\, С2- концентрации растворённого азота в объёме на различных высотах по данным газового хроматографа; - с учётом стадий растворения, позволила определить из ус-

Рис. 42 Изменение температуры жидкого водорода (• - эксперимен- ЛОВИЯ тапьные значения) и концентрации растворенного азота на расстояниях 0,18 м (□) и 0,38 м (о) от дна резервуара (сплошные линии - аппрок-симационные кривые)

|ад-С2(т)|->тах

время растворения осадка, которое составило =36,65 мин, а из условия

}[1-с1(я,в)/с(я,в)]йЮ

—> 1Г11П,

где 8Э,9Я - время эксперимента и время прогрева жидкости в резервуаре; С, (Я,0) = с, (9)/с0 - экспериментальная безразмерная концентрация растворённого азота на относительной высоте Я = А, /А; С(Я,6) - теоретическая безразмерная концентрация; получить скорость растворения осадка равную 1,89-10"9 м/с.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Безопасность функционирования жидкостных криогенных систем определяется степенью температурной стратификации, которая формируется в процессе последовательной трансформации гидротермической структуры соответственно в кондуктивном, кондуктивно-ламинарном, ламинарном и турбулентном режимах свободноконвективных течений.

2. Показано, что уравнения Обербека-Буссинеска в случаях кондуктивного и кондуктивно-ламинарного режимов свободноконвективных течений, эквивалентны по физическому смыслу уравнению теплопроводности и линеаризованным уравнениям Обербека-буссинеска без учета конвективных слагаемых в уравнениях переноса импульса и теплоты, что дает преимущество при их анализе, заключающееся в возможности использования классических методов при получении аналитических решений, описывающих гидротермическую структуру течений.

3. Корректность модельных представлений о кондуктивном и кондуктивно-ламинарном режимах подтверждена результатами анализа полученных аналитических решений ряда важнейших как внутренних (распределение температуры в вертикальной цилиндрической емкости конечной высоты, стационарные и

нестационарные течения в каверне), так и внешних (динамика течений у бесконечной вертикальной поверхности и между двумя вертикальными бесконечными плоскостями) задач свободной конвекции, представляющих также и самостоятельный интерес.

4. Разработаны эффективные (с точки зрения устойчивости, скорости сходимости и точности) конечно-разностные схемы и алгоритмы численного интегрирования уравнений Обербека-Буссинеска для ламинарного свободноконвектив-ного режима течения, в основу которых положена коррекция функции тока в приграничных областях у смоченной поверхности для удовлетворения условию "прилипания", что позволяет отказаться от использования нефизичных граничных условий для вихря.

5. Создан предметно-ориентированный программный комплекс для проведения вычислительных экспериментов во внутренних задачах свободной конвекции различной геометрии и с возможностью варьирования типом гидродинамических и тепловых граничных условий.

6. Анализ результатов вычислительных экспериментов, имитирующих хранение сжиженных газов в криогенных резервуарах, позволил установить основные закономерности при формировании гидротермической структуры свобод-ноконвективных течений (инверсия поля скоростей, квазистационарность температурного поля с пониженной температурой в ядре течения, распространение гравитационных волн и др.) и предложить уточняющие соотношения для расчета локальных и интегральных коэффициентов теплоотдачи в зависимости от тепловой обстановки на смоченной поверхности.

7. Предложенные методика прогнозирования времени бездренажного хранения криогенных жидкостей в резервуарах, способ вычисления температуры смоченной поверхности резервуаров с хранящейся в них криогенной жидкостью, подход при идентификации кинетики осаждения высококипящих отвержден-ных примесей и образования их осадка, оценка скорости растворения осадка при повышении температуры жидкости при хранении позволяют повысить безопасность функционирования жидкостных криогенных систем за счет своевременного предупреждения возникновения аварийных ситуаций, связанных с ростом давления в паровом пространстве и накоплением взрывоопасных примесей в осадке.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Кондуктивно-ламинарная естественная конвекция ньютоновской тепловыделяющей жидкости в квадратной каверне с постоянной температурой стенок [Текст] / М. И. Слюсарев, Е. Д. Чертов, В. И. Ряжских, А. А. Богер // Вестник ВГУ Математика и физика. - 2011. - Т. 7, № 1. С. 214-218.

2. Нестационарная ламинарная свободная конвекция ньютоновской жидкости

между вертикальными пластинами при граничных условиях второго рода [Текст] / М. И. Слюсарев, В. И. Ряжских, В. Г Стогней и др. // Вестник ВГТУ. 2010.-Т. 6,№2. - С. 14-20.

3. Слюсарев, М. И. Аналитическое решение первой тестовой задачи свободной конвекции для кондуктивно-ламинарного режима [Текст] / М. И. Слюсарев, Е. Д. Чертов, В. И. Ряжских // Вестник ВГТУ. - 2010. - Т. 6, № 7. - С. 165-167.

4. Динамика кондуктивно-ламинарного свободно-конвективного движения жидкости в квадратной области [Текст] / М. И. Слюсарев, Е. Д. Чертов,

B. И. Ряжских и др. // Вестник ВГТУ. - 2010. - Т. 6, № 11. - С. 217-222.

5. Расчёт кондуктивно-ламинарного режима термоконвекции ньютоновской среды в прямоугольной каверне с вертикальными изотермическими стенками [Текст] / А. А. Богер, С. В. Рябов, В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 2010. -№ 3. - С. 17-21.

6. Кинетика испарительного охлаждения криогенных жидкостей в вертикальных цилиндрических резервуарах [Текст] / М. И. Слюсарев, В. И. Ряжских, А. А. Богер, М. В. Поздняков // Тепловые процессы в технике. - 2010. - № 3. -

C. 110-114.

7. К формулированию граничных условий на смоченной поверхности вертикального цилиндрического резервуара при скоростном испарительном охлаждении криогенных жидкостей [Текст] / М. И. Слюсарев, В. И. Ряжских, А. А. Богер, М. В. Поздняков // Тепловые процессы в технике. - 2010. - № 2. С. 75-79.

8. Нестационарная гидротермическая структура кондуктивно-ламинарной термоконвекции в плоском вертикальном канале при постоянной плотности теплового потока на стенках [Текст] / М. И. Слюсарев, В. И. Ряжских, А. А. Богер, М. В. Поздняков // Вестник ВГТА. - 2010. - Т. 1, № 1. - С. 63-68.

9. Об одном точном решении задачи свободной конвекции в прямоугольной области [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, М. В. Поздняков // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16, вып. 6. С. 1116-1117.

10. Свободно-конвективный перенос ньютоновской среды у вертикальной границы с заданным законом изменения ее температуры [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, М. В. Поздняков // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16, вып. 3. - С. 559-560.

11. Теплоотдача от изотермических вертикальных стенок при свободной конвекции в замкнутой прямоугольной полости [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, С. В. Рябов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15, вып. 5. - С. 920-921.

12. Об одном аналитическом решении предельной внутренней задачи ламинарной свободной конвекции в прямоугольной области [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, С. В. Рябов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15, вып. 1. - С. 166.

13. Влияние аппроксимации граничных условий на результаты вычислительного эксперимента термоконвекции в полости квадратного сечения [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, С. В. Рябов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15, вып. 1. - С. 165.

14. Ряжских, В. И. Нестационарное температурное поле в цилиндре при неоднородных граничных условиях первого рода [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2007. - Т. 14, вып. 2. - С. 343-344.

15. Conductive regime of free convection in a bounded cylinder at second-kind boundary conditions [Text] / V. I. Ryazhskikh, M. I. Slyusarev, A. A. Boger, D. V. Pshenichnii // Journal of Engineering Thermophysics. - 2007. - Vol. 16, N 1. P. 36-39.

16. Растворение осадка отверженного азота в жидком водороде [Текст] / В. И. Ряжских, ML И. Слюсарев, А. А. Богер, Д. В. Пшеничный // Изв. вузов. Химия и химическая технология. - 2007. - Т. 50, вып. 1. - С. 96-99.

17. Ряжских, В. И. Кондукгивный режим свободной конвекции в ограниченном цилиндре при граничных условиях первого рода [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, Д. В. Пшеничный // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 12, вып. 4. - С. 1075.

18. Ряжских, В. И. Температурное поле приповерхностного слоя жидкости при сбросе избыточного давления из парового пространства резервуара [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 13, вып. 2. - С. 351.

19. Ряжских, В. И. Оценка толщины осадка малоконцентрированных стоксов-ских частиц на боковой поверхности цилиндрического вертикального резервуара [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер // Изв. вузов. Химия и химическая технология. - 2004. - Т. 47, вып. 10. - С. 145-147.

20. Ряжских, В. И. Определение границы между восходящими и нисходящими потоками жидкости в задаче о ламинарной свободной конвекции в сфере [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, В. А. Зайцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т.11, вып. 4. - С. 917-918.

21. Слюсарев, М. И. Термоконвекция в сферическом объеме при малых числах Жуковского [Текст] / М. И. Слюсарев, В. И. Ряжских, В. А. Зайцев Н Вестник ВГТУ. - 2005. - Т. 1, № 6. - С. 92-100.

22. Ряжских, В. И. Анализ свободной термоконвекции в сферических резервуарах при граничных условиях второго рода [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, В. А. Зайцев // Вестник ВГТУ - 2004. - Вып. 7.4. - С. 5-10.

23. Синтез математической модели естественной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в сферической емкости [Текст] / В. И. Ряжских, М И. Слюсарев, А. А. Богер, В. А. Зайцев // Вестник ВГТУ. - 2003. - Вып. 7.3. - С. 14-17.

24. Вычислительный эксперимент по идентификации основных параметров теплообмена при хранении жидкого водорода [Текст] / В. И. Ряжских, А. А. Богер, М. И. Слюсарев, В. А. Зайцев // Вестник ВГТУ. - 2003. - Вып. 7.3. - С. 82-86.

статьи и материалы конференций

25. Calculation of a conductive-laminar thermo-convection regime of a Newtonian fluid in a rectangular cavity with isothermal vertical boundaries [Text] / A. A. Boger, S. V. Ryabov, V. I. Ryazhskikh, M. 1. Slyusarev // Fluid Dynamics. - 2010. - V. 45, -N3.-P. 355-358.

26. Чертов, E. Д. Стационарная кондуктивно-ламинарная термоконвекция в прямоугольной области [Текст] / Е. Д. Чертов, М. И. Слюсарев, М. В. Поздняков // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXI». Воронеж: ВГУ, 2010. - С. 275-276.

27. Dynamics of laminar free-convective flow of a newtonian fluid between vertical plane isothermal walls [Text] / V. I. Rjazhskih, M. I. Sljusarev, A. A. Boger, S. V. Rjabov / Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - 2009. - V. 82, N6. - P. 1163-1170.

28. Идентификация основных характеристик термоконвекции вязкой несжимаемой жидкости в области квадратного сечения [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, С. В. Рябов // Информационный бюллетень «Алгоритмы и программы». - 2009. - № 2. - Per. номер 50200702096.

29. Нестационарное гидротермическое поле ньютоновской жидкости в полуограниченной области при конечном импульсном скачке температуры на границе [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, С. В. Рябов // Актуальные проблемы математики и информатики. - 2008. - Вып. 3. - С. 51-55.

30. Нестационарное температурное поле ограниченного цилиндра при граничных условиях первого рода [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, Е. А. Соболева// Вестник ВГТА. - 2008. - № 2. - С. 79-81.

31. Ряжских, В. И. Теплообмен при хранении жидкого водорода в наземных криогенных резервуарах [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер // Альтернативная энергетика и экология. - 2007. -№ 5. - С. 14-19.

32. Оценка температуры стенки внутреннего сосуда криогенного вертикального цилиндрического резервуара при скоростном испарительном охлаждении газов [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, Д. В. Пшеничный // Вестник ВГТУ. - 2006. - Т. 2, № 6. - С. 4-7.

33. Ряжских, В. И. Прогнозирование времени бездренажного хранения криогенных жидкостей [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, В. А. Зайцев // Вестник ТГТУ - 2006. - Т. 12, № 1 А. - С. 70-75.

34. Laminar thermoconvection of Newtonian fluid in the infinite vertical flat channel with isothermal walls. [Text] / V. I. Rjazhskih, M. I. Sljusarev, A. A. Boger, S. V. Rjabov // Abstract of the Reports and communications. VI Minsk International Heat and Mass Transfer forum. 19-23 May. - Minsk, 2008. - V. 1. - P. 151-152.

35. Ryazhskih, V. I. Sedimentation of diluted suspensions in the closed volumes in conditions of a free convection [Text] / V. I. Ryazhskih, M. I. Slioussarev,

A. A. Boger // International Conference "Advanced Problems in Thermal Convection". - Perm. - Russia, 2003. - P. 84-86.

2010012110

Подписано в печать 12.09 2011. Формат60 х 84 1/16 Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ 226

ГОУВПО «Воронежская государственная технологическая академия» (ГОУВПО «ВГТА») Отдел полиграфии ГОУВПО «ВГТА» Адрес академии и отдела полиграфии: 394000, Воронеж, пр. Революции. 19

2010012110

ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия»

На правах рукописи

0520116?? 13/

Слюсарев Михаил Иванович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОТЕРМИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ СВОБОДНОКОИВЕКТИВНОГО ПЕРЕНОСА КРИОГЕННЫХ ЖИДКОСТЕЙ В НАЗЕМНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ХРАНИЛИЩАХ

Диссертация

на соискание ученой степени доктора технических наук

Специальности: 05.13.18- Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ 01.04.14 - Теплофизика и теоретическая теплотехника

Научные консультанты: доктор технических наук, профессор

Чертов Евгений Дмитриевич доктор технических наук, профессор Ряжских Виктор Иванович

Воронеж 2011

(

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ , 8

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СВОБОДНОКОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВО ВНУТРЕННИХ ЗАДАЧАХ 16

1.1 Общие подходы к синтезу математических моделей' свободноконвективного переноса вязких несжимаемых жидкостей 16

1.2 Формализованная запись основных уравнений 20

1.3 Типы постановок граничных условий на смоченной и свободной поверхностях 29

1.4 Экспериментальные данные по структуре гидродинамических и тепловых полей. Основные интегральные характеристики явлений переноса 34

1.4.1 Основные подходы в реализации экспериментов 34

1.4.2 Аппаратурная база экспериментальных исследований 35

1.4.3 Результаты экспериментальных исследований внутренних задач свободной конвекции 39

1.5 Аналитические и приближенные методы решения уравнений переноса импульса, энергии и: массы 45

1.6 Вычислительные технологии интегрирования уравнений Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска 65

1.6.1 Вычислительный эксперимент как основной инструмент исследования 65

1.6.2 Математическое описание детерминированных объектов 67

1.6.3 Организация вычислительных процедур 70

1.6.4 Анализ результатов вычислительного эксперимента в 80 задачах свободной конвекции

1.7 Особенности моделирования процесса хранения' криогенных жидкостей в резервуарах различной геометрии 94

1.8 Предметно-ориентированное использование

математического моделирования процесса явлений переноса в жидкостных криогенных системах 101

1.9 Выводы, цель и задачи исследования 105

ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ЗАДАЧИ КОНДУКТИВНО-ЛАМИНАРНОГО РЕЖИМА СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ , 107

2.1 Кондуктивный режим свободной конвекции в ограниченном цилиндре при граничных условиях первого рода 107

2.1.1 Постановка задачи 107

2.1.2 Решение задачи 109

2.1.3 Анализ решения 113

2.2 Нестационарное температурное поле в ограниченном цилиндре при неоднородно заданных постоянных тепловых потоках на границах 116

2.2.1 Математическая формулировка задачи 116

2.2.2 Решение задачи методом интегральных преобразований 117

2.2.3 Вычислительный эксперимент и анализ результатов 120

2.3 Нестационарное температурное поле в ограниченном цилиндре при смешанных граничных условиях 122

2.3.1 Постановка первой и второй смешанных задач 122

2.3.2 Решение первой смешанной задачи 123

2.3.3 Решение второй смешанной задачи 126

2.4 Кондуктивно-ламинарный режим свободной конвекции в квадратной области 131

2.4.1 Аналитическое решение первой тестовой задачи свободной конвекции для кондуктивно—ламинарного режима 131

2.4.1.1 Формулировка задачи 131

2.4.1.2 Решение задачи 133

2.4.1.3 Анализ решения 135

2.4.2 Кондуктивно-ламинарная естественная конвекция

ньютоновской тепловыделяющей жидкости в квадратной

каверне с постоянной температурой стенок 137

2.4.2.1 Формулировка задачи 138

2.4.2.2 Решение 139

2.4.2.3 Анализ решения 143 2.4.3 Нестационарная кондуктивно—ламинарная свободная

конвекция ньютоновской жидкости в квадратной каверне 143

2.4.3.1 Постановка задачи 145

2.4.3.2 Решение 146

2.4.3.3 Анализ решения 151 2.5 Выводы 155

ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ЗАДАЧИ ЛАМИНАРНОГО РЕЖИМА

СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ 157

3.1 Свободно-конвективный перенос ньютоновской среды у вертикальной границы с заданным законом изменения температуры 157

3.1.1 Общий случай 157

3.1.2 Мгновенное изменение температуры стенки 162

3.1.3 Изменение температуры стенки по закону дельта-функции 169

3.1.4 Периодическое нагревание и охлаждение стенки 171

3.1.5 Мгновенное изменение теплового потока через стенку 176

3.2 Сопряжённая тепловая и концентрационная свободная конвекция у вертикальной бесконечной границы 181

3.2.1 Постановка задачи 181

3.2.2 Решение уравнений модели 184

3.2.3 Анализ решения 188 3.3. Ламинарная термоконвекция ньютоновской жидкости в

неограниченном вертикальном плоском канале 191

3.3.1 Формулировка задачи для случая тепловых граничных условий первого рода 191

3.3.2 Интегрирование уравнений модели 194

3.3.3 Анализ результатов интегрирования 199

3.3.4 Формулировка задачи для случая тепловых граничных условий второго рода 201

3.3.5 Интегрирование уравнений модели 203

3.3.6 Анализ результатов интегрирования- 214

3.4 Ламинарная термоконвекция ньютоновской жидкости в прямоугольной области с соотношением высоты к ширине намного больше единицы 219

3.4.1 Постановка задачи 219

3.4.2 Решение уравнений модели 221

3.4.3 Анализ решения 226

3.5 Выводы 230 ГЛАВА 4. АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

УРАВНЕНИЙ МОДЕЛЕЙ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ ВО ВНУТРЕННИХ ЗАДАЧАХ РАЗЛИЧНОЙ ГЕОМЕТРИИ 232

4.1 Свободная конвекция в прямоугольной каверне 233

4.1.1 Трансформация уравнений Обербека-Бусинеска в переменных Гельмгольца 233

4.1.2 Формулировка конечно-разностных аналогов уравнений и краевых условий 237

4.1.3 Детализация вычислительного процесса 243

4.1.4 Оценка влияния порядка аппроксимации граничных условий и степени дискретности на результаты вычислений 246

4.1.5 Тестирование конечно-разностной схемы 248

4.2 Свободноконвективное течение в вертикальной цилиндрической области 249

4.2.1 Переход от естественных переменных к переменным Гельмгольца 249

4.2.2 Конечно-разностные аналоги уравнений модели и краевых условий 254

4.2.3 Модификация вычислительного процесса для*

вертикальной цилиндрической области 256

4.2.4 Идентификация поля давления 257

4.3 Свободноконвективный перенос в сферическом объёме 260

4.3.1 Представление уравнений Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца 260

4.3.2 Квазинеявная конечно-разностная схема 270

4.3.3 Анализ устойчивости 275

4.3.4 Неявная конечно-разностная схема 284

4.4 Выводы 288 ГЛАВА 5. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ

ЭКПЕРИМЕНТОВ 290

5.1 Свободная конвекция в каверне 290

5.1.1 Оценка структуры гидротермических полей в приложении к криогенным средам 290

5.1.2 Определение интегрального коэффициента теплоотдачи 293

5.2 Свободная конвекция в вертикальном цилиндрическом резервуаре е ~ 295

5.2.1 Оценка точности численного решения 295

5.2.2 Интерполирование функции тока 298

5.2.3 Характеристики промышленных резервуаров типа РЦВ 304

5.2.4 Анализ теплообмена 306

5.3 Свободная конвекция в сферическом резервуаре 309

5.3.1 Реализация вычислительных процедур 309

5.3.1.1 Обоснование шагов интегрирования 309

5.3.1.2 Динамика гидротермических полей 311

5.3.2 Анализ задачи при тепловых граничных условиях 1-го рода 312

5.3.2.1 Методика проведения расчётов 313

5.3.2.2 Структура гидротермических полей и обобщение результатов 314

5.3.3 Анализ задачи при тепловых граничных условиях 2-го

рода 321

5.3.3.1 Структура гидродинамических и тепловых

полей 321

5.4 Выводы 326

ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ КРИОГЕННОЙ ТЕХНИКИ 327

6.1 Прогнозирование времени бездренажногохранения криогенных жидкостей 327 6.1.1 Исходные данные и основные допущения^ 327

." 6.1.2 Результаты и практические рекомендации 330;

6.2 Оценка температуры- стенки внутреннего сосуда;, криогенного вертикального цилиндрического резервуара; при скоростном; испарительном охлаждении ожиженных газов 332

6.2.1 Установление гидротермической структуры^ 332

6.2.2 Кинетика захолаживания стенок 335 6.2:3 Алгоритм решения и вычислительный эксперимент 337 6.2.4 Методика определения коэффициента конвекции 340

6.3 Алгоритмы идентификации параметров осаждения твердой фазы при свободной конвекции дисперсионной среды: 341: 6.3.1* Осаждение малоконцентрированной монодисперсной

взвеси в цилиндрическом резервуаре 341

6.3.2 Оценка толщины осадка малоконцентрированных стоксовских частиц на боковой поверхности цилиндрического вертикального резервуара 344

6.3.3 Скорость растворения осадка отвержденного азота в резервуаре с жидким водородом в условиях прогрева 348

6.4 Выводы 354 ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ 356 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 358 ПРИЛОЖЕНИЯ 393

ВВЕДЕНИЕ

Изучение закономерности явлений переноса при свободной конвекции,

как одного из основных механизмов переноса теплоты, носит не только об/

щенаучный и фундаментальный характер; но и имеет важное прикладное значение при проектировании и определении рациональных режимов функционирования различных систем предметного назначения в ракетно-космической и криогенной технике, энергетике, строительной индустрии, химической и пищевой технологиях и др.

В связи с этим пристальный* интерес исследователе» вызывает проблема анализа внутренних задач свободной конвекции, т.к. подавляющее большинство процессов реализуется в замкнутых объёмах, например, охлаждение тепловыделяющих элементов ядерных реакторов и радиоактивных отходов, тепловая обработка жидких сред в биохимических аппаратах, естественная вентиляция жилых и промышленных сооружений и т.д.

Бурное развитие альтернативной энергетики и, в частности, водородной энергетики в контексте использования криогенных жидкостей в качестве компонент топлива транспортных средств приводит к необходимости их хранения в крупнотоннажных резервуарах. Несмотря на эффективную экран-но-вакуумную теплоизоляцию, внешние теплопритоки приводят к повышению температуры криогенной- жидкости и, как результат, ю непропорциональному возрастанию давления в паровом пространстве резервуара, что создаёт угрозу аварийной ситуации с непредсказуемыми последствиями.. Установлено, что причиной этого является температурная стратификация криогенной жидкости, возникающая в результате свободноконвективного теплообмена со смоченной поверхностью резервуара.

Очевидно, что идентификация гидротермической обстановки в криогенном резервуаре и закономерностей её формирования определяет эффективность хранения с точки зрения безопасности и потерь на испарительное охлаждение.

Информация о гидротермической структуре свободноконвективного течения имеет определяющее значение и для успешного прогнозирования локальной толщины осадка высококипящих отвержденных примесей, что также является ключевым моментом в проблеме безопасного хранения криогенных жидкостей.

Как отмечалось в работах ведущих учёных Филина Н.В., Белякова

B.П., Потехина Г.С., Ходоркова И.Л., Харина В.М., Файнштейна В.И. и др., криогенный диапазон температур - главный сдерживающий фактор развёртывания полномасштабных экспериментальных исследований в этой области. Поэтому метод математического моделирования остаётся, по-существу, единственным инструментом получения новых знаний о явлениях переноса в жидкостных криогенных системах. Это наглядно продемонстрировано в работах отечественных и зарубежных ученых Авдуевского B.C., Черкасова

C.Г., Полежаева В.И., Остроумова^ Г.А., Гершуни F.3., Жуховицкого Е.М., Дрейцера Г.А., Кириченко Ю.А., Спэрроу Е.М., Остхейзена П., Бежана А., Гебхарта Б., Джалурии Й., Мартыненко О.Г. и др., которые исследовали сво-бодноконвективный тепломассообмен в замкнутых объёмах, в том числе и в криогенных резервуарах, для сред с различными физико-химическими характеристиками и вариативными тепловыми нагрузками.

Несмотря на значительное число исследований по свободной конвекции в замкнутых объёмах, в большинстве из которых использовались сред-неинтегральные характеристики гидротермических полей, до настоящего времени нет достаточно надёжных методик расчёта режимов эксплуатации криогенных хранилищ ввиду сложности происходящих в них явлений тепло-массопереноса в условиях развитой турбулентности. Кроме того, необходимо учитывать, что процессы развития турбулентных свободноконвективных течений проходят стадии кондуктивного и ламинарного режимов, продолжительность которых в реальном времени достигает значений, соизмеримых с длительностью отдельных технологических операций хранения криогенных жидкостей.

В связи с этим возникает необходимость в детальном рассмотрении не только турбулентных, но и кондуктивных и ламинарных свободноконвектив-ных течений.

Цель работы: синтез и анализ математических моделей явлений переноса во внутренних задачах кондуктивно-ламинарной свободной конвекции и установление на их основе закономерностей, позволяющих повысить степень безопасности функционирования наземных жидкостных криогенных систем.

Для достижения цели поставлены задачи:

1) разработать математические модели класса внутренних задач свободной конвекции для кондуктивного и ламинарного режимов и найти аналитические решения на основе интегральных преобразований для нестационарных формулировок при различных тепловых граничных условий и геометрий;

2) алгоритмизировать численное интегрирование уравнений« модели свободной' конвекции во внутренних задачах в виде уравнений Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца и адаптировать полученные алгоритмы к комплексу предметно-ориентированных компьютерных программ, реализующему постановки и решения задач в декартовых, цилиндрических и сферических координатах;

3) провести вычислительные эксперименты ПО) определению нестационарных гидротермических полей, соответствующих условиям хранения криогенных жидкостей в промышленных резервуарах цилиндрической и сферической формы, и на основе массива опытных данных определить локальные и интегральные коэффициенты теплоотдачи;

4) на основе предложенных математических моделей кондуктивно-ламинарного режима свободной конвекции создать методики расчёта времени бездренажного хранения криогенных жидкостей, оценки влияния теплового состояния внутреннего сосуда криогенных резервуаров на гидротермическую структуру криогенной жидкости при ее испарительном охлаждении и идентификации параметров осаждения, образования и растворения осадка

твёрдой фазы высококипящих примесей в условиях свободноконвективного перемешивания.

Научная новизна результатов исследования: 1. Теоретически обоснована и вычислительными экспериментами подтверждена корректность использования модельных представлений в виде уравнений Обербека-Буссинеска, модифицированных для описания кондук-тивно-ламинарного режима свободной конвекции путём- отождествления субстанциональной и локальной производных при переносе импульса и энергии, что позволяет перевести исходную постановку задачи* в класс линейных.

2. Получены аналитические-решения задач нестационарного кондуктив-ного тепломассопереноса в конечном цилиндре в классе непрерывных и дважды дифференцируемых функций, отличающиеся учётом конечного числа разрывов 1-го рода в. однотипных граничных условиях первого, второго и смешанного типов:

3. Предложенные модельные представления позволили получить точные решения задач о развитии свободноконвективного течения вязкой несжимаемой жидкости у бесконечной вертикальной границы с заданным, произвольным законом изменения температуры и тепловым потоком на ней и рассмотреть совместно тепловую и концентрационную конвекцию, с определением условия невозникновения течения'в зависимости от теплофизических параметров системы; найдено аналитическое решение первой тестовой задачи в нестационарной постановке для кондуктивно-ламинарной свободной конвекции в квадратной каверне, обобщённое на случай тепловыделяющей жидкости.

4. Аналитически решена задача ламинарной свободной конвекции ньютоновской жидкости в вертикальном плоском канале неограниченной высоты-при мгновенном и одинаковом изменении температуры (тепловых потоков) на стенках, позволяющая описывать возникновение и развитие течения; использование принципа декомпозиции области течения на зоны с восходящим и нисходящим течением дало возможность идентифицировать структуру не-

стационарных гидротермических свободноконвективных полей в прямоугольной области неограниченной высоты.

5. Отличительным признаком разработанных конечно-разностных схем численного интегрирования уравнений Обербека-Буссинеска является реализация весового перераспределения невязки по граничному условию "прилипания" на смоченной поверхности в теле процедуры вычисления функции тока вместо необходимости постановки сеточного граничного условия для функции вихря; на основе метода фон Неймана доказана устойчивость вычислительного процесса и установлена его сходимость.

6. Теоретически предсказано и вычислительным экспериментом подтверждено'существование явления инверсии* поля скоростей в момент возникновения свободноконвективн�