автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование кристаллизации и осаждения высококипящих микропримесей в жидкостных криогенных системах при их испарительном охлаждении

На правах рукописи

□и-э*-""

РЯБОВ СЕРГЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ И ОСАЖДЕНИЯ ВЫСОКОКИПЯЩИХ

МИКРОПРИМЕСЕЙ В ЖИДКОСТНЫХ КРИОГЕННЫХ СИСТЕМАХ ПРИ ИХ ИСПАРИТЕЛЬНОМ ОХЛАЖДЕНИИ

Специальности: 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ 01.04.14 - Теплофизика и теоретическая теплотехника

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж-2009

003492230

Работа выполнена на кафедре высшей математики в ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия». Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Ряжских Виктор Иванович

Научный консультант: кандидат технических наук, доцент

Богер Андрей Александрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Колодёжнов Владимир Николаевич

(Воронежская государственная технологическая академия)

доктор технических наук, доцент Дроздов Игорь Геннадьевич (Воронежский государственный технический университет)

Ведущая организация: Воронежский государственный

университет

Защита диссертации состоится 17 декабря 2009 года в 13— на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия» по адресу: 394000, г. Воронеж, проспект Революции, д. 19, конференц-зал.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять по адресу: 394000, г. Воронеж, проспект Революции, д. 19, ГОУ ВПО ВГТА, учёному секретарю диссертационного совета Д. 212.035.02.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия».

Автореферат размещен на официальном сайте ВГТА www.vgta.vrn.ru 16 ноября 2009 г.

Автореферат разослан 16 ноября 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, л

кандидат технических наук, доцент --—а--г-, /У И.А.Хаустов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В водородной энергетике ключевой проблемой является установление закономерностей явлений переноса высококипящих примесей азота и кислорода в жидкостных водородных системах в связи с накоплением их в виде осадка на смоченных поверхностях, что потенциально создает взрывоопасную ситуацию.

Предварительные экспериментально-теоретические результаты полученные Г. С. Потехиным, И. Л. Ходорковым, В. М. Хариным, В. И. Ряжских, Н. В. Филиным, А. Е. Булановым, В. И. Файнпггейном, В. П. Беляковым и др., позволили подтвердить гипотезу образования малоконцентрированной взвеси с существенно полидисперсной функцией плотности распределения частиц по размерам; разработать метод определения параметров кристаллизации по кинетической кривой суммарного изменения примесей в растворе и во взвеси; предложить на основе диффузионных представлений математическую модель осаждения, адекватность которой подтверждена экспериментально в промышленных условиях.

Возможности непосредственного (эксперимейтального) измерения содержания примесей (азота и кислорода) в жидкостных водородных системах ограничены. Суммарные концентрации примесей, находящихся в жидкости в растворённом виде и во взвеси, определяются специальными хроматографами, точность которых невелика ввиду низкой растворимости азота и кислорода в жидком водороде, а толщина осадков в промышленных условиях до сих пор не измеряется, из-за отсутствия такого рода приборов.

Учитывая объективные трудности непосредственного измерения локальной толщины осадка примесей, применение метода математического моделирования сопряжённых процессов образования твердой фазы и её осаждения в условиях не-однородностей гидротермических полей, вызванных испарительным охлаждением жидкого водорода, позволит идентифицировать закономерности формирования дисперсного состава частиц, влияние гидротермической структуры на скорость их осаждения и локальную неравномерность толщины осадка.

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с планом научно-исследовательских работ Воронежской государственной технологической академии по теме «Дифференциальные и интегральные уравнения математических моделей естественных и прикладных наук» (№ г. р. 0020543), а также в рамках проекта 07-08-00166 по грату РФФИ «Математическое моделирование образования осадка отвержденных микропримесей азота и кислорода при испарительном охлаждении жидкого водорода в криогенных резервуарах».

Цель работы: синтез и анализ математических моделей явлений переноса микропримесей в жидкостных криогенных системах при их испарительном охлаждении и установление закономерностей образования и осаждения дисперсной фазы для прогнозирования локальной толщины осадка.

Для достижения цели поставлены задачи:

1) идентификация теплового поля при испарительном охлаждении криогенной жидкости посредством сброса давления из парового пространства резервуаров;

2) определение функции плотности распределения частиц отвержденных микропримесей при испарительном охлаждении;

3) разработка математической модели осаждения полидисперсной малоконцентрированной взвеси с учётом процесса массовой кристаллизации;

4) проведение вычислительных экспериментов по оценке локального распределения микропримесей на смоченных поверхностях криогенных резервуаров.

При выполнении исследования был применен метод математического моделирования, основы теории тепломассообмена, положения теории дифференциальных уравнений математической физики и вычислительной математики. Достоверность и обоснованность полученных результатов базируются на использовании фундаментальных законов явлений переноса и сравнительном анализе с известными данными.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

1) в результате идентификации теплового поля при различных скоростных режимах испарительного охлаждения криогенных жидкостей найдены локальные температурные градиенты, позволяющие определить кинетические закономерности процесса кристаллизации микропримесей;

2) разработана математическая модель массовой кристаллизации микропримесей в пространстве размеров кристаллов, учитывающая неоднородность нестационарного температурного поля и осаждение образующейся твердой фазы, что позволяет оценивать гранулометрический состав микропримесей в зависимости от условий проведения сброса давления из парового пространства криогенных резервуаров;

3) синтезирована математическая модель осаждения малоконцентрированной полидисперсной взвеси, с помощью которой возможно прогнозирование кинетики осаждения и локального распределения осадка на смоченной поверхности в условиях свободно-конвективного перемешивания, вызванного внешним теплоприто-ком;

4) данные вычислительных экспериментов дали возможность прогнозировать динамику накопления осадка в криогенных резервуарах в зависимости от физико-химических свойств системы высококипящая примесь — криогенная жидкость, режимных параметров газосброса и геометрических характеристик резервуаров.

Практическая значимость состоит в разработке инженерной методики расчёта накопления высококипящих примесей в криогенных резервуарах при испарительном охлаждении, что позволяет проводить контроль за распределением осадка на смоченной поверхности, тем самым повысить безопасность эксплуатации жидкостных криогенных систем и снизить потери криогенных жидкостей путем исключения преждевременных отогревов резервуаров с целью очистки их от осадка. На основе методики предложен предметно-ориентированный программный комплекс для прогнозирования толщины осадка в криогенных резервуарах.

Апробация. Основные результаты диссертационного исследования доложены и обсуждены на VIII и IX Всероссийских с международным участием научно-технических конференциях и школах молодых ученых , аспирантов и студентов «Авиакосмические технологии» (Воронеж 2007, 2008); на Российской конференции «Компьютерные технологии автоматизированного проектирования систем машиностроения и аэрокосмической техники» (Воронеж 2007); на VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике — осенняя сессия (Сочи-Адлер, 2007); на IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промыш-

ленной математике - весенняя сессия (Кисловодск, 2008); на IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике — осенняя сессия (Волгоград, 2008); на VI Международном форуме по тепло- и массообмену (Минск, 2008); на международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-21» (Саратов, 2008); на V Международном семинаре «Физико-математическое моделирование» (Воронеж, 2008).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 12 работах, из них 6 в реферируемых журналах из списка ВАК РФ.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных выводов, списка литературы и приложения. Материал изложен на 177 страницах и содержит 50 рисунков и 6 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и её практическая значимость.

В первой главе проанализировано современное состояние проблемы моделирования явлений переноса в жидкостных криогенных системах.

Отмечается, что острота проблемы безопасного хранения жидкого водорода в наземных резервуарах возрастает в связи с развитием быстрыми темпами водородной энергетики. Присутствие высококипящих примесей в криогенных системах создает потенциальную угрозу взрыва. Отсутствие контрольно-измерительных приборов для непосредственного измерения толщины осадков отвержденного азота и кислорода, по которой судят о критичности ситуации, ставят на первое место расчётные методы в рамках создания математических моделей явлений переноса.

Основные межфазные потоки примесей возникают при охлаждении криогенных жидкостей. Хотя существует достаточный спектр моделей переноса примесей при высокоинтенсивном охлаждении криогенных жидкостей путём вакуумиро-вания парового пространства и при циркуляционном охлаждении в выносном испарителе, сопряжённые модели кристаллизации, осаждения и образования примесей при сбросе давления из парового пространства в научной литературе отсутствуют. Сброс давления можно отнести к разновидности испарительного охлаждения, но с менее интенсивной тепловой нагрузкой, что определяет специфику гидротермической обстановки в жидкости и вносит соответствующие особенности на процесс образования кристаллов примесей и их функции плотности распределения по размерам.

Вторая глава посвящена разработке математических моделей теплообмена при испарительном охлаждении криогенных жидкостей в резервуарах.

В начале определены закономерности изменения температуры в паровом пространстве при газосбросе в предположении адиабатности процесса истечения через дренажные патрубки без трения в силу их теплоизолированности от окружающей среды и относительно небольшой длины. Из квазистационарного приближения макроскопического уравнения баланса массы найдено время истечения газа жидкости

4=VnlsnWolPM + 4^b-X)T*

x(2y/(y-l))[l-{p1/p0)«r]>

(1)

где Рд 5я - объём парового пространства и площадь проходного сечения дренажного патрубка; ра, р0 - исходные давления и плотность газа в паровом пространстве; р1 — результирующая плотность газа в паровом пространстве; у — показатель адиабаты; и изменение температуры / при сбросе давления на основе известных экспериментальных данных по равновесным давлениям и температурам для водорода

/ =

-(A-lgp)+y¡(A-lgp)2~4CB {2С) ,

(2)

(3)

где А = 1,772454; В = — 44,36888; С — 0,0255468; справедливое для практически важных случаев при А > lg/э. Из (1) и (2) следует почти линейный темп снижения температуры в паровом пространстве при газосбросе, что подтверждено расчётным путём на примере промышленного резервуара типа РЦВ-25/1,6.

Полученный результат позволил выдвинуть гипотезу о структуре функции, описывающей изменение температуры «зеркала» жидкости при газосбросе, и сформулировать задачу охлаждения жидкости по механизму теплопроводности в виде:

ar(z,o) _ a2r(z,e), дв dz2 '

r(z,0)=l;^ = 0; (4)

г(0,0)= [l- (1- 7i)9]. [l(e)-1(0-1)]+ 7\l(e -1); (5)

где Z = tj; 9 = т/т0 ; r(Z,8) = í(z,t)/í0 ; x, z-текущие время и координата,

отсчитываемая от «зеркала» жидкости к дну; а—температуропроводость жидкости; т0 - время газосброса; t0, t\ — начальная и конечная температуры свободной поверхности; l(...) - функция Хэвисайда. Несмотря на негладкий характер условия (5), удалось получить аналитическое решение системы (3) — (5), и, в частности, для Ge [0,1]

n(z,o)=o

(l + 2¡;)erfc4-^Íexp(-¡í2)

Vt

(6)

где б)=[1 -Т{7., б)]/(1 - 7]), \ =2/(2-Уэ). Полученное решение даст представление о характере изменения температуры в приповерхностном слое жидкости, а

так же позволяет оценить его толщину, которая, например, для резервуара РЦВ-_^

25/1,6 порядка 4,5-10 м и, соответственно, скорость распространения тепловой волны. Показано, что при 0 > 1 время прогрева приповерхностного слоя на порядок больше времени его охлаждения при газосбросе.

Проверка предположения о преимущественном влиянии механизма теплопроводности при распространении теплоты в приповерхностном слое была сделана

в рамках решения задачи о свободной конвекции в замкнутом объёме, в котором на смоченной поверхности заданы тепловые потоки, а на свободной поверхности тепловой поток отсутствует (данная постановка соответствует хранению криожидко-стей в промышленных резервуарах). Такая задача сформулирована на основе уравнений Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца:

дп дв '

ЫУ

дга

ач^ап ач< да. ' дУ дх дХ ЗУ

ЫУ

дХ1

д2ПЛ ЗУ2

Шг дТ

дХ

ЫУ

д2Ч 2 д2Ч_ М)3

5Г 8^ + + ^

ЗХ1 оТ дТ

ЗУ2 ач» зт

Л;

(7)

(8)

2тЛ

д'Т г 2 д'Т

зх2-

где

ЗУ дХ 8Х дУ) Рг(1 + £)2

0.(х, Г,0)=Ч*(х, Г,0)=т(х, Г,0)=0; чф, у, е) = у, е)=ч^о, е)=ч'(х,1,е)=о; ач*(о, у, е) = 0^(1, у, в) _ ач^хд е) = е) ^ дХ дх дУ дУ дт(х,о,в)=дт(хх&) = 0.

дУ ЗУ

г(о,г,е)=о, г(1,у,е)=1;

безразмерная функция тока Ч* по определению есть

дУА

0;

(9)

(10) (Н)

(12)

(13)

(14)

и = 1&¥/дУ-

к = -ачуаг; Х = х/к1; У = у/Н2; 0 = ут//02 ; и = и^; К = о/и>; м> = У/10; 10 = 2И1/{1 + ^); \ = ^//¡2 ; Т = (г- /0 )\/{дк1); Рг; & - числа Прандтля и Грасго-фа; т, х, у — текущие время и координаты; йь Л2 — ширина и высота области; и, и — компоненты скорости жидкости; V, X — кинематическая вязкость и теплопроводность жидкости; ¿о - начальная температура; ¿¡г - плотность теплового потока через смоченную поверхность.

Из-за существенной нелинейности системы (7) - (14) её анализ проводился на основе численного интегрирования по полунеявной конечно-разностной схеме с равномерной координатной сеткой: вначале методом верхней релаксации интегрируется уравнение (8), а затем вычисляется по явной схеме из (7) и (9) функция вихря Й и температура Т. Для отработки конечно-разностной схемы была поставлена первая тестовая задача свободной конвекции, результаты решения которой подтвердили её работоспособность, эффективность и точность.

Аппроксимация максимальных значений безразмерной функции тока в виде

тах^ = 6,02 • Ю-4 Ог0-874 ; (15)

дала возможность оценить скорость жидкости в приповерхностном слое в предположении, что (15) экстраполируется до значений (Зг ~ 1014, соответствующих промышленным водородным системам хранения. В результате получено, что скорость жидкости имеет значение ~ 10~5 м/с, что на порядок меньше скорости тепловой волны. Это означает, что конвективная составляющая переноса теплоты в приповерхностном слое по сравнению с теплопроводностью незначительна.

Характерная выборка графических данных проведенного вычислительного эксперимента с моделью (7) - (14) приведена на рис. 1. а

0.2 0 4 0.6 0 8 X

0 2 0.4 0 6 0 8 1 X

0 2 0 4 0 6 0 8 1 X

0.8-5 0.6 н 0.45

0.2-] ОН

ШШШ

02 0 4 0 6 08 X

Рис. 1. Функция тока (верхний ряд) и соответствующие поля температур (нижний ряд) в формате изолиний для сетки 25x25 при Рг = 1 и различных Ог: а- 103; б- 104; в- 105 Полученные результаты создали базу для синтеза модели кристаллизации криогенных жидкостей, рассмотренной в главе 3. Если перед газосбросом из парового пространства криогенная жидкость была в состоянии насыщения по растворённой высококипящей примеси, а её твердая фаза во взвеси отсутствовала, то используя термодинамическое соотношение Гиббса-Томсона и известную теоретическую зависимость для определения коэффициента поверхностного натяжения на границе кристалл-раствор, можно найти связь между текущей концентрацией примеси в растворе с, с её растворимостью и размером зародышей

(16)

где

а = РдгМ-/(рМ-„); (3 = 1,24[ц„/(р¿Л^)]1/3; ц, ц„-молярные

массы криогеннои

жидкости и примеси; р, р* — плотности жидкости и кристаллов; NA — постоянная Авогадро. Принимая во внимание, что концентрация раствора в течение латентного периода сохраняется постоянной и равной её исходному значению, определим значение температуры t из (16), когда начнут появляться самые первые зародыши. Установлено, что первые зародыши начнут появляться практически мгновенно.

Это дало основание считать, что с момента начала кристаллизации факторы, создающие и снимающие пересыщение раствора, взаимно уравновешиваются, так что величина созданного пересыщения в дальнейшем ходе процесса остается постоянной. Учитывая, что степень пересыщения оказывает определяющее влияние на скорость зародышеобразования / и роста кристаллов X, то /= const, А. = const, 4 = const.

В результате синтезирована модель кристаллизации в пространстве размеров кристаллов в виде

8F{z,L,Э)_ w(l)8F{Z,L,е) л 3F(z,I,e).

59 К ' 8Z Х 3L '

f{Z,L,0)= F(0,L,Q)=0, F(Z,1,8)= 1;

где 0 = т/т0; Z = z/ Jar^; L = l/ls; f(z,L,Q)= I ■ f(z,l, т)Д;

(17)

(18)

Иг(ь)= ^(¡Уто/а ; т, г - значение текущих времени и координаты, отсчитываемой

от «зеркала» жидкости; I — текущий размер кристалла; т0 - время газосброса; 4 -характеристический размер зародыша; к- скорость роста кристаллов; /- скорость зародышеобразования; м/(1) — скорость осаждения кристаллов размера /; /(г,1,х) — объёмная функция плотности распределения кристаллов по размерам. Получено аналитическое решение системы (17) и (18) в виде безразмерной функции плотности распределения кристаллов по размерам

£

Z-A? \w(L)dL

1

(19)

из структуры которой следует ее равномерный характер, причем максимальный размер кристаллов определяется из условия

Z>Ai'\w(L)dL

(20)

где а - символ конъюнкции.

Глава 4 посвящена исследованию кинетики осаждения твердых частиц при их импульсном вводе через свободную поверхность перемешиваемой в замкнутом объёме жидкости.

Учитывая координатно-временные особенности образования твердой фазы микропримесей, задача осаждения сформулирована вначале для малоконцентрированной монодисперсной взвеси:

8Q

W „ -1

:-+ ВО

8Z

(.

8Z2

г

8 N | 1 8N dR2 + R8R

Л^ + Во-1 ——1

дг)

дЫ дК

г=о = 0;

д=о

ЯВо-'^ дЯ

Д=1

Лг + Во"

дг)

= 1(0)-1(е-0о);

(23)

(24)

(25)

(26)

1=1

где в = -н>0т:/к, В0 =и>йт:0/к , г = г/й, Я = г/г0 , N = ыйп)], § = к/г0, К2 =кг/-, КК =кг/м>0 , Во = В — критерий Боденштейна; X - время, г, г - цилиндрические координаты; И, г0 - высота и радиус основания вертикального цилиндрического резервуара; Х0 — время импульса } штучного потока частиц в

единицу времени через единицу площади свободной поверхности жидкости; -

скорость осаждения по Стоксу; к2, кг — коэффициенты скорости встраивания

частиц в структуру осадка; И - коэффициент перемешивания; п — счётная концентрация частиц взвеси. Система (21) — (26) решена аналитически совместным применением интегральных преобразований Лапласа и Ханкеля по переменным 9 и Л:

при 4А'2/[Во(1-2/:2)]<1 и К2 <1/2

м(г,к, еИХ -г

-■Л) {РтК)>

х рЛ-«р[(0 - 0о)1(0 -0ом^ рл+

+ {ехр[01(0)р(ц„,рт)]-ехр[(0-0о)1(е-0о)р(цп,рт)1),

(27)

К'Ут' 4 Во Во 4 Во Во

;2 2

где

ехр

+\к2 +

)

•сЬ?.;

С(Ип,2) =

Во 2 И„

(1 - 2 к2 )зш(ц„2)+ со8(ц„г)

ехр

^М)

Во 4ц„

к2+ Р(м

Во2(1-2^)+ВО/С2 ■ 1

«И«

Ё2_

2М„ 2ц„

■со$цп;

5ШЙЛ > +

; М = -

при 4£2/[Во(1-2£2)]>1, = 0;

гдерт, ц„, X, - корни уравнений:

ЛОО = . { =

j\(pm) ВоКк ' " 5о(1-2^2)-4йо_Уп ' "" во{\-2к2)-4вО-ь?

Фрагмент результатов расчёта по (27) приведен на рис. 2, в котором N, Л(к), Д^) - безразмерные средняя объёмная счётная концентрация частиц взвеси и толщины осадка на дне и боковой поверхности.

Обобщение полученного решения (27) на полидисперсный случай проведено в соответствии с принципом суперпозиции концентрационных полей. В результате получены выражения для:

локальной безразмерной функции плотности распределения частиц взвеси

локальной безразмерной массовой концентрации взвеси

Ашп / Ашп

средней объёмной массовой концентрации

с(е)= 21 л, о^л; 00

относительной толщины осадка на дне

(28)

(29)

(30)

о

сИ / jL3FJ(L)dL;

^ШШ

Рис. 2. Кинетика осаждения монодисперсной взвеси в вертикальном цилиндрическом резервуаре при импульсном вводе частиц для 0О = 0,5, % = 1, Во = 0,1, \ — 1 и различных Кц:

а—0,1; б -1; в —10; и А^: 1-0,4; II -0,5; III- 10 (1 - N ;2- Д(я);3- Д(г)) и на боковой поверхности

»(I)

к ' * I Ко

МФ, , _

Аша 1"о№о

'г

. ^шах

«а/ (£>/£;

Ашп

где FJ{L)-lfJ(í) — безразмерная функция плотности распределения частиц по

размерам, поступающих через свободную поверхность жидкости; 0О = м>0(/)г//г; / - среднечисленный размер частиц, вычисляемый по (/); в = >е0^)с/й; Ь^, 1тах — минимальный и максимальный относительные размеры частиц.

В случае полидисперсной взвеси необходимо учитывать зависимость параметров Д кг и кг от размера частицы /. В связи с тем, что перемешивание твердой фазы определяется конвективным механизмом и броуновской диффузией, то на основании формулы Эйнштейна получено

£>(/)= (1 + 8с)^Г/(Зт:/ур); (33)

где £с - коэффициент конвекции; кБ — постоянная Больцмана; Т— абсолютная температура; v, р—коэффициент кинематической вязкости и плотность дисперсионной среды. Кинетические коэффициенты к? и к,- найдены из следующих соображений: приблизившись к поверхности осаждения, частицы взвеси утрачивают составляющую движения, но сохраняют броуновскую и седиментационную, т. е.

4)=

ко(1)

где

к0(1)= 2 л/и а (/) 2 ехр -1и>2(/)/иА (/)

*оо(')

; 4)=

*оо(0

1+МОМ

(34)

1/2

2п<

-2 6кКТ 04 = —Т-' я/3р

иг

g—ускорение силы тяжести, рт~ плотность частиц взвеси.

В безразмерном виде (33) и (34) записано следующим образом

Во(£)=ВоД

где в5 = т4>М);

К2{1))=К2К7{1)Г2, где к2 = £Д/]/>у0(/), к^(ь)=кг(1)/ц), причём

(35)

ф(дх) 1 + [ф(1,х)-1 Во

ф(1х) 1 + [ф(1,х)-Ь2 Во!

ф(4х)=

И/'Т-> /•-

•Ля

I 2 ех]

в^И'

1 + ег/

^¿7/2

.Я ,

Ирг -Р) -2/7

18ру ч

яр

Ф

— характерный размер, учитываю-

щий химические особенности суспензии. Параметр КК (¿) так же может быть вычислен по (35), но значение

ад_

4000:

0.6

0.12

0.Б

и 0.6 К

Рис. 3. Кинетика осаждения кристаллического азота в резервуаре РЦВ-25/1,6 с жидким водородом при сбросе давления из парового пространства

Предложенная инженерная методика применена для оценки локальной толщины осадка кристаллического азота при однократном газосбросе из промышленного резервуара РЦВ-25/1,6. Прежде всего для равномерной функции плотности распределения найдены Ьпах = 2,66, что соответствует 1,33-10~7 м, при этом

"тах л-«

средний размер / = 6,65-10 м. Установлено безразмерное время импульса 0О = 6,256 • 10"'. Результат расчётов приведены на рис. 3. В пересчете на размерные величины получено, что толщина осадка на дне после однократного сброса давления из парового пространства составит 8,88 • Ю-8 м, а на боковой поверхности 2,46 • 10~10м. Известно, что для резервуара РЦВ-25/1,6 потери в сутки для жидкого водорода составляют я 1% от объёма резервуара и поэтому сброс давления может осуществляться до 40 раз в сутки, что в пересчёте на толщину осадка составляет до 3,5 мкм. Таким образом, хранение жидкого водорода, насыщенного азотом, в течение месяца может привести к образованию осадка толщиной порядка 100 мкм.

В главе 5 приведено описание предметно ориентированного программного комплекса прогнозирования толщины осадка в криогенных резервуарах, реализующего разработанную инженерную методику.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Для адиабатного истечения при газосбросе из парового пространства криогенных резервуаров до избыточной атмосферы при отсутствии эффектов трения найдено время истечения, что позволило определить темп снижения температуры.

2. Теплообмен в приповерхностном слое может быть рассмотрен в приближении нестационарной теплопроводности для полуограниченного пространства, что позволило определить толщину приповерхностного слоя и скорость распространения холодной волны.

3. Синтезирована математическая модель кристаллизации высококипящих примесей в приповерхностном слое в пространстве размеров, учитывающая влияние скорости зародышеобразования и роста кристаллов, а также размера зародышей на локальную функцию плотности распределения кристаллов по размерам, которая по своей структуре близка к равномерному закону.

4. Разработана математическая модель кинетики осаждения и образования осадка малоконцентрированных полидисперсных взвесей в условиях перемешивания в вертикальном цилиндрическом криогенном резервуаре при импульсном вводе частиц со свободной поверхности. Получены аналитические выражения для среднемассовой концентрации частиц и локальной толщины осадка на смоченной поверхности.

5. Доказано, что в промышленных резервуарах основная масса примесей в осадке находится на дне. Это создает предпосылки для прогнозирования толщины осадка высококипящих примесей при сбросе давления из парового пространства.

6. Создан предметно-ориентированный программный комплекс для оценки толщины осадка на смоченных поверхностях криогенных резервуаров при испарительном охлаждении путём сброса давления из парового пространства.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Ряжских В. И., Слюсарев М.И., Богер A.A., Рябов С. В. Кристаллизация высококипящих примесей при сбросе давления из парового пространства криогенных резервуаров // Вестник ВГТУ- 2008. - Т. 4. - № 1. - с. 77-81.

2. Ряжских В. И., Слюсарев М.И., Богер A.A., Рябов С. В. Седиментация стоксовских частиц при их импульсном вводе через свободную поверхность плоского слоя перемешиваемой среды // Известия вузов. Химия и химическая технология. -2009. - Т. 52.-№ 11.-е. 138-140.

3. Ряжских В. И., Слюсарев М.И., Богер A.A., Рябов С. В. Образование осадка малоконцентрированной полидисперсной взвеси в цилиндрическом резервуаре при её импульсном вводе через свободную поверхность // Обозрение прикладной и промышленной математики, - 2009. - Т. 11.-Вып. 1.-е. 167-169.

4. Ряжских В. И., Слюсарев М.И., Богер A.A., Рябов С. В. Осаждение отвержденных микропримесей при их импульсном вводе через свободную поверхность криогенных жидкостей // Обозрение прикладной и промышленной математики, - 2008. - Т. 15. - Вып. 5-е. 919-920.

5. Ряжских В. И., Слюсарев М.И., Богер A.A., Рябов С. В. Влияние аппроксимации граничных условий на результаты вычислительного эксперимента термоконвекции

в полости квадратного сечения // Обозрение прикладной и промышленной математики-2008.-Т. 15.-Вып. 1.-е. 165.

6. Ряжских В. И., Слюсарев М.И., Богер A.A., Рябов С. В. Об одном аналитическом решении предельной внутренней задачи ламинарной свободной конвекции в прямоугольной области // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2008.-Т. 15.-Вып. 1.-е. 166.

статьи и материалы конференций

7. Ряжских В. И., Слюсарев М.И., Богер A.A., Рябов С. В. К определению интегрального коэффициента теплоотдачи во внутренних задачах естественной конвекции // Авиакосмические технологии 'АКТ-2007": труды VIII Всерос. С международным участием науч.-техн. Конф. и школы молодых ученых, аспирантов и студентов. - Воронеж: ВГТУ. - 2007. - с. 312-315.

8. Ряжских В. И., Слюсарев М.И., Богер A.A., Рябов С. В. Свободноконвективное течение вязкой несжимаемой жидкости в полуограниченной области // Компьютерные технологии автоматизированного проектирования систем машиностроения и аэрокосмической техники: труды Российской конф. - Воронеж: ВГТУ.-2007.-с. 76-79.

9. Ряжских В. И., Слюсарев М.И., Богер A.A., Рябов С. В. Термоконвекция ньютоновской жидкости в неограниченном вертикальном канале с изотермическими стенками // Тезисы докладов и сообщений. VI Минский международный форум по тепло- и массообмену 19-23 мая 2008 года. - Минск. -2008.-е. 151-152.

10. Ряжских В. И., Слюсарев М.И., Богер A.A., Рябов С. В. Естественная конвекция жидкости в замкнутой области между вертикальными изотермическими пластинами // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-21, сб. трудов XXI международ, науч. конф.: в 10 Т. Т. 3. Секция 2. - Саратов: СГТУ. -2008. с.10-11.

11. Ряжских В. И., Слюсарев М.И., Богер A.A., Рябов С. В. Нестационарное гидротермическое поле ньютоновской жидкости в полуограниченной области при конечном импульсном скачке температуры на границе // Актуальные проблемы математики и информатики. - 2008. - Вып. 3. - с. 51-55.

12. Ряжских В. И., Слюсарев М.И., Богер A.A., Рябов С. В. Кинетика осаждения монодисперсных частиц при их импульсном вводе через свободную поверхность перемешиваемой жидкости // Физико-математическое моделирование систем: материалы V Междунар. Семинара. - Воронеж: ВГТУ. - 2008. - Ч. 2. - с. 142-144.

Подписано в печать 13.11.09. Формат 60x84 '/1б . Усл. печ. л. 0.93 Тираж 100 экз. Заказ 1858

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

ВВЕДЕНИЕ

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА В ЖИДКОСТНЫХ КРИОГЕННЫХ СИСТЕМАХ.

1.1. Функционирование жидкостных криогенных систем в условиях образования, роста и осаждения микропримесей.

1.2. Существующие подходы к моделированию явлений переноса в гетерогенных системах.

1.3. Моделирование образования, роста и осаждения высококи-пящих примесей при охлаждении криогенных жидкостей.

1.4. Свободноконвективное перемешивание криогенных жидкостей в стационарных резервуарах.

1.5. Выводы, цель и задачи исследования.

2. СИНТЕЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ИСПАРИТЕЛЬНОМ ОХЛАЖДЕНИИ КРИОГЕННЫХ ЖИДКОСТЕЙ В РЕЗЕРВУАРАХ.

2.1. Теплоперенос при газосбросе давления из парового про) странства резервуаров.

2.2. Нестационарное температурное поле в объеме жидкости при ее охлаждении.

2.3. Свободная конвекция в замкнутых объемах.

2.4. Выводы.

3. КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ ВЫСОКОКИПЯЩИХ ПРИМЕСЕЙ ПРИ ИСПАРИТЕЛЬНОМ ОХЛАЖДЕНИИ КРИОГЕННЫХ ЖИДКОСТЕЙ.

3.1. Постановка задачи и основная система допущений.

3.2. Формулировка основных уравнений модели.

3.3. Зависимость функции плотности распределения кристаллов по размерам от режимных параметров.

3.4. Выводы.

4. ОСАЖДЕНИЕ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ ПРИ ИХ ИМПУЛЬСНОМ ВВОДЕ ЧЕРЕЗ СВОБОДНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРЕМЕШИВАЕМОЙ В ЗАМКНУТОМ ОБЪЕМЕ ЖИДКОСТИ.

4.1. Осаждение стоксовских малоконцентрированных взвесей в плоском слое.

4.1.1. Постановка задачи.

4.1.2. Решение для монодисперсного случая.

4.1.3. Обобщение на полидисперсный случай.

4.1.4. Анализ вычислительного эксперимента.

4.1.5. Частные случаи.

4.2. Осаждение стоксовских малоконцентрированных взвесей в вертикальном цилиндрическом резервуаре.

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Решение для монодисперсного случая.

4.2.3. Обобщение на полидисперсный случай.

4.3. Прогнозирование неоднородности распределения осадка кристаллического азота на смоченной поверхности резервуара с жидким водородом при сбросе давления.

4.4. Выводы.

5. ПРЕДМЕТНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ТОЛЩИНЫ ОСАДКА.

В водородной энергетике ключевой проблемой является установление закономерностей явлений переноса высококипящих примесей азота и кислорода в жидкостных водородных системах в связи с накоплением их в виде осадка на смоченных поверхностях, что потенциально создает взрывоопасную ситуацию.

Предварительные экспериментально-теоретические результаты, полученные Г. С. Потехиным, И. Л. Ходорковым, В. М. Хариным, В. И. Ряжских, Н. В. Филиным, А. Б. Булановым, В. И. Фаинштейном, В. П. Беляковым и другими, позволили подтвердить гипотезу образования малоконцентрированной взвеси с существенно полидисперсной функцией плотности распределение частиц по размерам; разработать метод определения параметров кристаллизации по кинетической кривой суммарного изменения примесей в растворе и во взвеси; предложить на основе диффузионных представлений математическую модель осаждения, адекватность которой подтверждена экспериментально в промышленных условиях.

Возможности непосредственного (экспериментального) измерения содержания примесей (азота и кислорода) в жидкостных водородных системах ограничены. Суммарные концентрации примесей, находящихся в жидкости в растворенном виде и во взвеси, определяются специальными хроматографами, точность которых невелика ввиду низкой растворимости азота и кислорода в жидком водороде, а толщина осадков в промышленных условиях до сих пор не измеряется, из-за отсутствия такого рода приборов.

Учитывая объективные трудности при непосредственном измерении локальной толщины осадка примесей, применение математического моделирования сопряженных процессов образования твердой фазы и её осаждение в условиях неоднородностей гидротермических и температурных полей, вызванных испарительным охлаждением жидкого водорода, позволяет идентифицировать закономерности формирования дисперсного состава частиц, влияние гидротермической структуры на скорость их осаждения и локальную неравномерность толщины осадка.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ Воронежской государственной технологической академии по теме «Дифференциальные и интегральные уравнения математических моделей естественных и прикладных наук» (№ г. р. 0020543), а также в рамках проекта 07-08-00166 по гранту РФФИ «Математическое моделирование образования осадка отвержденных микропримесей азота и кислорода при испарительном охлаждении жидкого водорода в криогенных резервуарах».

Целью диссертации является разработка адекватных математических моделей образования осадка отвержденных микропримесей при испарительном охлаждении криогенных жидкостей в резервуарах, базирующихся на рассмотрении сопряженных процессов нуклеации, роста и осаждения твердой фазы на смоченных поверхностях замкнутых объемов с неоднородно-стями гидродинамических и температурных полей, что позволит идентифицировать основные закономерности формирования дисперсного состава твердых частиц, влияние гидродинамической структуры на скорость их осаждения и прогнозировать локальную толщину осадка в криогенных резервуарах.

Для достижения поставленной цели, сформулированы задачи исследования:

• идентификация теплового поля при испарительном охлаждении криогенной жидкости посредством сброса давления из парового пространства резервуаров;

• определение гранулометрического состава отвержденных микропримесей при испарительном охлаждении;

• синтез и анализ математической модели осаждения полидисперсной малоконцентрированной взвеси с учетом процесса массовой кристаллизации;

• проведение вычислительных экспериментов по оценке влияния гидротермической обстановки в криогенных резервуарах на коэффициент эффективного переноса твердой фазы и на локальную толщину осадка на смоченной поверхности.

При выполнении исследований был применён метод математического моделирования, основы теории тепломассообмена, положения теории дифференциальных уравнений и математической физики. Достоверность и обоснованность полученных результатов базируется на использовании фундаментальных законов явлений переноса и сравнительном анализе с известными данными.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

- в результате идентификации теплового поля при различных скоростных режимах испарительного охлаждения криогенных жидкостей найдены локальные температурные градиенты, позволяющие определить кинетические закономерности процесса кристаллизации микропримесей;

- разработана математическая модель массовой кристаллизации микропримесей в пространстве размеров кристаллов, учитывающая неоднородность динамического температурного поля и осаждение образующейся твердой фазы, что позволяет оценивать гранулометрический состав микропримесей в зависимости от условий проведения сброса давления из парового пространства криогенных резервуаров;

- синтезирована математическая модель осаждения малоконцентрированной полидисперсной взвеси, с помощью которой возможно прогнозирование кинетики осаждения и локального распределения осадка на смоченной поверхности в условиях свободно-конвективного перемешивания, вызванного внешним теплопритоком;

- данные вычислительных экспериментов дали возможность прогнозировать динамику накопления осадка в криогенных резервуарах в зависимости от теплофизических, физико-химических свойств системы высококипящая примесь - криогенная жидкость, режимных параметров газосброса и геометрических характеристик резервуаров. Практическая ценность диссертации заключается в разработке инженерной методики расчёта накопления высококипящих примесей в криогенных резервуарах при испарительном охлаждении, что позволяет проводить контроль за распределением осадка на смоченной поверхности, тем самым повысить безопасность эксплуатации жидкостных криогенных систем и снизить потери криогенных жидкостей путем исключения преждевременных отогревов резервуаров с целью очистки их от осадка. На основе методики предложен предметно-ориентированный программный комплекс для прогнозирования толщины осадка в криогенных резервуарах.

Основные результаты диссертационного исследования доложены и обсуждены на VIII и IX Всероссийских с международным участием научно-технических конференциях и школах молодых ученых , аспирантов и студентов «Авиакосмические технологии» (Воронеж 2007, 2008); на Российской конференции «Компьютерные технологии автоматизированного проектирования систем машиностроения и аэрокосмической техники» (Воронеж 2007); на VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - осенняя сессия (Сочи-Адлер, 2007); на IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - весенняя сессия (Кисловодск, 2008); на IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - осенняя сессия (Волгоград, 2008); на VI Международном форуме по тепло- и массообмену (Минск, 2008); на международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ

21» (Саратов, 2008); на V Международном семинаре «Физико математическое моделирование» (Воронеж, 2008).

Выход р ► Роя/гшсгерснмй б)

Сайл Серзис Спазк а

Ноеьи расчет

Загрузить нсхоа-^е дгн^ь е

СОУРЭ-ЩТЪ ИСХОДНэ!г£ёН!-Ые

Закрыть Выхоз

Кояэдис-егсны? Пол.'дисгерснь!Й 5 \ \

Рис 5 3 Подменю «Новый расчет» а) для плоского слоя; б) для цилиндра После выбора одной из четырех задач, решаемых с помощью разработанного программного комплекса, программа предложит провести ввод исходных данных, после чего можно будет приступить к выполнению расчетов. Интерфейс программы в данном случае выглядит следующим образом (рис. 5.4.). а) б)

I -CtiSlC И ИЮДЬЫ ЗКМЫ^

Ti+eCTBiPS ГлрвлстрВс чк^гксжя ми

ПораметрК^

-К^тми-рлЗ а ееш а чаггт. геоачетр i > Гя0яис»|>} »Ждйзле!. Гараметр-Т**« jVf«1*^ лЛрлл t-источен liiiii-rwieiy+f Wt

ЮЗ

Еерв w Амлнье ванные

ПфаметрРСПА. CHI

Ср<бЯ«<й»чвт>»г .гарвл-р HKcoeiHest:

Trnao ¡er»« эйрлкт^лоСавкг! j 0 Уу*яа кии»д» и oT [21

4l< № IS-^ifliCtitiff Uiajvfclrtti pd' w

EL e-b

B)

Г)

Мемед^ье qahnxe

Чисвоиимйр'

То-иапъ-ЕРЗ fafiaKto-DP

П^рамст^Ёс

MU

Pipaf.wr&kZ'

6peheeecö»sa5ivci.r4S4 *)

EL

Li! m j t" lea".\ fawxrrot? |jl ' ' ' ' |

1к«.тр £&[cpeonftej [

Я*«-»ттзСЛ1 [

Ч«гл(з 1Сие»<ч>1У Г

Л.«*чл<>1Л1,1Д |те 3 f

W^tc^r^iR»,? |5 \

Мь< амии^рач ед wiu lf-л |lc Э

Jv«. ПС ЮЧС1 ясстрс-*1Н1Л(и*<<» L |Л fiогмоmxaчлл <i -лтдмегр ^(сдеднев^ |l rt-srsf*t^Tp греми ¿^««»^»ес^сч! jlO f i срсмечтТ jt.1 ^

Рис. 5.4. Ввод исходных данных и выполнение расчетов: а) слой, монодисперсная среда; б) слой, полидисперсная среда, в) цилиндр, монодисперсная среда; г) цилиндр, полидисперсная среда Для того, чтобы начать вычисления, необходимо ввести исходные данные и нажать кнопку «Расчет», данная кнопка дублируется в меню «Сервис» (рис. 5.5.) и активна в том случае, если не выполняется никакой расчет, в противном случае команда недоступна. Для прерывания расчета надо нажать кнопку «Остановить», данная команда также дублируется в меню «Сервис» (рис. 5.5.) и активна только в том случае, если выполняется расчет, в противном случае команда недоступна. В правой части окна выполняется протоколирование времени начала, завершения и прерывания расчета, а также выводятся некоторые промежуточные результаты, необходимые для анализа текущих вычислений программного комплекса. , X;

Оайп:; I; Сервис.; Справка :::г'::Ргс>-а=т •••••'• рЗОгочЯ ]

Рис. 5.5. Меню «Сервис» программного комплекса.

По окончанию вычислений программа выполняет построение графиков для средних значений концентраций и толщины осадков (в случае для цилиндра осадок рассчитывается на стенке сосуда и на его дне). Окно программы, в котором происходит построение, представлено на рис. 5.6. Окно содержит несколько вкладок, на каждой из которых строятся соответствующие графики: средняя концентрация; осадок (на стенке или на стенке и на дне ж^-с-г Средняя концентраи!!* -'3 ;У:0 с® ОК; йа: ДШ: С! №: Осадок: на стенке: 02 з:; Настройки

1,6 1.5 1.20,5 е.г •

3,1

0.2

0,3

0,4

0:5

0.6

0,7

О.о

0,5

Рис. 5.6. Графическое представление результатов расчета. сосуда - для цилиндра), а также присутствует вкладка, перейдя на которую молено настроить отображение графиков: толщина и цвет линий, оси координат (рис. 5.7.). х'

Средняя концентрация С$ | Оеаао,-; на дне ОР! ] Оссщок на стенке 02: Настройки I.

С5

•;Настро:шп параметров грйФиксе ор,

1

1 \ 1

0

0

10

3

1 ■.V

0

0

0,1 V

0

0 Делений по'оси абсцисс

10 Делений ПО; оси абсцйзс

10

Делений по рей абсцисс

10

Делений по;оси ердмнлг 10 Делений по оси ердинат 10

ШелЩйШйсй ординат 10

Рис. 5.7. Настройка графического представления результатов.

Помимо графических представлений результатов работы программы, осуществляется вывод всех промежуточных и конечных значений вычислений в файлы, которые формируются в той же директории, из которой запускается на выполнение программный комплекс. В файлы выводятся: значения концентраций на каждом промежуточном шаге вычислений, значения средней концентрации, значения толщины осадков (при расчете задачи для цилиндра - осадок на стенках сосуда и на дне резервуара). Для корректной работы программы необходимо обратить внимание на знак разделителя целой и дробной части, он должен соответствовать знаку, установленному в системе по умолчанию («,» или «.»).

Упрощенный алгоритм программы можно представить в виде схемы (рис. 5.8.):

Начало

Рис. 5.8. Упрощенная схема алгоритма работы программы.

В программном комплексе использованы следующие численные алгоритмы: метод Ньютона и метод деления отрезка пополам для нахождения корней уравнений; метод Симпсона для функции, заданной таблично, без задания точности - вычисление интегралов. Использованы алгоритмы для расчета функций Бесселя JO, J1, ., Jn; вычисление функции erf(x) и erfc(x). Листинги программы представлены в приложении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Для адиабатного истечения при газосбросе из парового пространства криогенных резервуаров при отсутствии эффектов трения найдено время истечения до избыточной атмосферы, что позволило определить темп снижения температуры.

2. Теплообмен в приповерхностном слое может быть рассмотрен в приближении нестационарной теплопроводности для полуограниченного пространства, что позволило определить толщину приповерхностного слоя и скорость распространения холодной волны.

3. Синтезирована математическая модель кристаллизации высококипя-щих примесей в приповерхностном слое в пространстве размеров, учитывающая влияние скорости зародышеобразования и роста кристаллов, а также размера зародышей на локальную функцию плотности распределения кристаллов по размерам, которая по своей структуре близка к равномерному закону.

4. Разработана математическая модель кинетики осаждения и образования осадка малоконцентрированных полидисперсных взвесей в условиях перемешивания в вертикальном цилиндрическом криогенном резервуаре при импульсном вводе со свободной поверхности. Получены аналитические выражения для среднемассовой концентрации частиц и локальной толщины осадка на смоченной поверхности.

5. Доказано, что в промышленных резервуарах основная масса примесей в осадке находится на дне. Это создает предпосылки для прогнозирования толщины осадка высококипящих примесей при сбросе давления из парового пространства.

6. Создан предметно-ориентированный программный комплекс для оценки толщины осадка на смоченных поверхностях криогенных резервуаров при испарительном охлаждении путём сброса давления из парового пространства.

133

1. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. - М.: Наука, 1964. -772 с.

2. Барон Р. Ф. Криогенные системы. М.: Энергоиздат, 1989. - 408 с.

3. Белолипецкий В. М., Костюк В. Ю., Шокин Ю. И. Математическое моделирование течения стратифицированной жидкости. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1991. - 176 с.

4. Беляков В. П. Криогенная техника и технология. М.: Энергоиздат, 1982.-271 с.

5. Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е. Явлеиия переноса. М.: Химия, 1974. -688 с.

6. Берковский Б. М., Полевиков В. К. Вычислительный эксперимент в конвекции. Мн.: Университетсткое, 1988. - 167 с.

7. Берлинер Л. В. О расчете нестационарных процессов массовой кристаллизации методом моментов // Теор. основы хим. технол. -1987. т. 21. -№3. -с. 311-322.

8. Берлинков В.М., Дрикер Б.Н. Математическая модель процесса кристаллизации с учетом гетерогенного зародышеобразования // Журн. прикл. химии, 1983.-т. 56. -№4. - с. 918-921.

9. Борисенко А. И., Таранов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высш. шк., 1963. - 262 с.

10. Броунштейн В. Б. Диффузионная модель классификации частиц в разряженных суспензиях // Журн. прикл. химии. 1983. - т. 56. - №8. - с. 1788-1793.

11. Буланов А. Б., Пронько В. Г., Блинова Н. Д. Охлаждение жидкого водорода барботированием гелия. В кн.: Криогенная техника. Технология контроль и управление. - Балашиха: НПО «Криогенмаш». 1974. - вып. 16. с. 23-25.12