автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование седиментации твердых частиц при естественной конвекции в резервуарах

На правах рукописи БОГЕР АНДРЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ '

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕДИМЕНТАЦИИ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ В РЕЗЕРВУАРАХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж - 2003

Работа выполнена на кафедре высшей математики Воронежской государственной технологической академии.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Рижских Виктор Иванович

Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор

Антюшин Виктор Федорович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор,

Попов Виктор Михайлович кандидат физико-математических наук, доцент Половинкин Игорь Петрович

Ведущая организация - Воронежский государственный технический

университет

Защита состоится «01 » июля 2003 г. в 12 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в Государственном образовательном учреждении Воронежской государственной технологической академии по адресу: 394000, г. Воронеж, проспект Революции, 19, ауд. 30 (конференц-зал).

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять в адрес совета академии.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке академии.

Автореферат разослан « 29 » мая 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

С

Самойлов В.М.

|оо91

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Явления переноса в системе "твердые частицы - жидкость" имеют важное значение в химической, пищевой и других отраслях промышленности при реализации различных технологий, которые сопровождаются седиментацией твердой фазы и образованием осадков на внутренних поверхностях аппаратов.

В связи с этим практический интерес представляет прогнозирование потоков высококипящих микропримесей в криогенных резервуарах различного назначения, т.к. потери криогенных жидкостей и ухудшение их качества по чистоте зависят от содержания в них примесей (в кислороде - углеводородные соединения, в водороде - азот и кислород и т.д.), которые накапливаются в виде осадка. Возможности непосредственного измерения содержания примесей ограничены, а толщина осадков до сих пор не определяется из-за отсутствия такого рода приборов.

Существующие математические модели, положенные в основу используемых расчетных методик, позволяют скорее качественно, чем количественно оценивать распределение потоков примесей и на основе этой оценки определять максимальную толщину осадка. Это является следствием того, что не учитывается реальная гидродинамическая обстановка, связанная с величиной теплопритока через стенки криогенных резервуаров.

Необходимы более адекватные математические модели потоков примесей в криогенных резервуарах, базирующиеся на совместном рассмотрении гидродинамики, тепло- и массообмена в системе "твердые частицы - жидкость".

Диссертационная работа выполнялась на кафедре высшей математики Воронежской государственной технологической академии в соответствии с планом научно-исследовательских работ по теме: "Математическое обеспечение структурного и параметрического анализа технологических, технических и информационных систем" (№ г.р. 01.20.0011235).

Целью работы является разработка комплекса математических моделей, методов вычислений и пакета программ для прогнозирования потоков твердой фазы примесей в жидкостных криогенных системах в условиях естественной конвекции.

г . цяональная (

'...¡1.М ПОТЕКА I С.Петербург ¿1 /. )

ОЭ ?0(#актЩ \ 3

Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

• разработка математической модели движения вязкой несжимаемой жидкости при различных тепловых нагрузках на вертикальный цилиндрический резервуар со стационарной свободной границей;

• синтез математической модели движения твердой фазы при известной гидродинамической обстановке внутри замкнутого объема;

• создание методики расчета образования осадка твердых частиц в замкнутом объеме;

• разработка пакета прикладных программ для определения профиля осадка в резервуарах.

Методы исследования. В работе использованы методы теории гидродинамических, тепло- и массообменных процессов, вычислительной математики и моделирования. Научная новизна:

1. Модель свободноконвективного движения ньютоновской жидкости в частично заполненном криогенном вертикальном цилиндрическом резервуаре, базирующаяся на уравнениях Обербека-Буссинеска.

2. Полунеявная конечно-разностная схема для расчета полей температуры, функций тока и вихря.

3. Анализ влияния чисел Грасгофа и геометрических параметров на гидродинамические и тепловые характеристики течения, когда число Прандля равно единице.

4. Модель седиментации малоконцентрированной взвеси стоксов-ских частиц по траекториям их движения при известной гидродинамической обстановке в резервуаре.

Практическая значимость:

1. Алгоритмы и программы расчета полей скорости и температуры вязкой несжимаемой среды в вертикальном цилиндрическом объеме в условиях естественной конвекции, позволяющие прогнозировать функционирование жидкостных криогенных систем различного назначения.

2. Создана методика расчета образования осадка высококипящих примесей в криогенных резервуарах для повышения уровня пожаро-взрывобезопасности и обеспечения чистоты криопродуктов.

3. Разработан комплекс программного обеспечения для определения максимальной локальной толщины осадков криогенных микропримесей, использование которого целесообразно в САПР, АСНИ, АСУ.

Результаты работы внедрены в ДП ТН КБХА.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах в Воронежской государственной технологической академии, в Воронежском государственном техническом университете и в Воронежском государственном университете (с 1997 по 2003 гг.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 12 печатных работ.

Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 187 страницах машинописного текста. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы и приложений, содержит 28 рисунков и 4 таблицы. Библиография включает 151 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются цель, задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, дается краткое содержание диссертации по главам.

В первой главе анализируется состояние современной теории и практики моделирования потоков твердой фазы в замкнутых жидкостных системах применительно к криогенной технике. Обсуждаются существующие математические модели гидродинамической структуры дисперсионной среды в частично заполненных резервуарах в условиях естественной конвекции и потоков твердой фазы в криогенных системах.

Приводятся данные, подтверждающие актуальность задачи математического моделирования потоков высококипящих примесей с целью разработки наиболее эффективных методик прогнозирования функционирования криогенных систем в условиях образования и седиментации твердой фазы.

Анализ предметной области показал, что в силу мелкодисперсно-

сти и малой концентрации высококипящих примесеи вполне допустимо рассматривать гидродинамику внутри замкнутых объемов на основе уравнений Обербека-Буссинеска раздельно от уравнений массопе-реноса.

Во второй главе изложены результаты моделирования естественной конвекции вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости в вертикальном цилиндрическом резервуаре со свободной границей.

Сопряженная гидродинамическая задача сформулирована в переменных Гельмгольца (температура Т, функция тока ¥ и функция вихря £2):

дО хг да т, дО. дгО д20 1 дО О (. дЧ>

--- + У7 ~ =---Г- + -Г-+--+ —Г- 1--

дв К дЯ Ъ2 дЯ2 д2 Л дЯ л2 { Ъ2 _

д2Ч* д2у¥ 1

+ —-- = -ЯО ;

дЯ2 Л дЯ

+ 1) дя

(2)

1

дТ дТ гг дТ

- - - + ¥п — + У7 —■ = —

дв дЯ £ дг Рг

1 д (пдТ\ д2Т

---Я— +

ЯдЯ

дя) дг2

(3)

(4)

(5)

о{я, г,о)=о(о,г,е)=о{я,о,в)=о; ч>(я,г, о)=ч{о,г,в) = ч>{\,г,в)=ч{я,о,в)=ч>(я,г\в)= о;

дЯ ек* 'Я дг2

дт{],г1в)_ . дт\р,г\в)_ , . дт{и,о,е)_ .

ап ~ с ' ЪГГ — д' ~ ~>

v ; дя

я дг г я дя дг зя '

(7)

(8) (9)

где г = г г0; Я = г 'г0; в = п> 702 ; Уя = игг0 у; У7 = и.г0 V; £ = г0 А;

т = Чг0{* -г0) ^ ; = у2); Л" = V а; г, г, г-текущие ко-

ординаты по оси и радиусу резервуара с центром на свободной поверхности и время; к -радиус резервуара и высота столба жидкости; уг , о, - компоненты вектора скорости; /, /у - текущая и начальная температуры жидкости; /?, V, Я, а- коэффициенты объемного расширения, кинематической вязкости, теплопроводности, температуропроводности жидкости; g - ускорение силы тяжести; <7 - заданная величина плотности теплового потока.

Для численного анализа системы (1) - (9) предложена конечно-разностная схема первого порядка точности по в и второго порядка точности по 2 и Л. В качестве шаблона по координатам выбран крест. Функцию вихря и температуру на следующем временном слое вычисляли по явной схеме, а функцию тока - по неявной, применив итерационный метод верхней релаксации с условием выхода из итерационного процесса

тахаЬ^ 1 -1 тах\Ч>^

где /,_/, к — номера сеточных переменных по Я, 2 и в; 5 - номер итерации; е - заданная величина относительной точности. Исходя из принципа максимума, найдены условия устойчивости конечно-разностной схемы:

А Я < Ъ (с, тах ЧР,-у ); № < 2 (с, таху );

Дв<С2 |2/(ДД)2 +2 (лг)2]; С] = тах(],Рг): С2 = тт(\.Рг). Точность вычислений по предложенной схеме оценивалась по величине, характеризующей отличие между расчетным и фактическим количеством теплоты, поступившем в резервуар к моменту г

Из примера расчета, когда Рг= 1 и теплоподвод осуществляется через

ЛГrlflПnПJVrl^

а».

15

в О

М

в

О

Рис. 1. Результаты расчета при Сг = 100

Рис. 2. Поля функции тока и температуры при 0=0,5;

а-Сг=1;б-Ог=Ю5 (Рг= 1)

смоченную поверхность, видно (рис. 1), что установление стационарного режима происходит достаточно быстро по в. Колебания функций тока и вихря связано с неустойчивостью гидродинамического поля, что согласуется с известными данными, приведенными в литературе. Установлено, что в квазистационарном режиме структура полей функции тока и температур остается неизменной (рис. 2).

Наблюдается циркуляционное движение жидкости: от дна, вверх вблизи боковых стенок, по свободной поверхности к оси и, наконец, по направлению оси к дну. При этом максимумы при текущем

Я располагается, когда 2 « 0,5£-1, а максимумы при текущем 2, когда

#«2 3.

Отмечен различный характер структуры температурных полей при Ог < 103 он близок к так назы-

0 ^ > / ваемому кондуктив-

ному режиму, а при

Ог> 103 образуется ярко выраженное ядро с пониженной

__________температурой. Для

-10 2 о подтверждения аде-

кватности модели и

Рис. 3. Результаты вычислительного эксперимента по вычислительной теплообмену в вертикальном цилиндрическом резер- схемы построены вуаре при с=1: 1 - подвод тепла от боковой поверхно- критериальные засти; 2 - подвод тепла от боковой поверхности и дна; ВИСимости числа

а,

■ данные Полежаева В.И. и Черкасова С.Г.

Нуссельта от числа

Грасгофа для различных условий теплоподвода (рис. 3).

Учитывая приведенный выше анализ структуры гидродинамического поля, были построены функции тока при 2 ~ 0,5£-1 и различных Ог. Имея ввиду связь между функцией тока и компонентами скоростей (9), необходимо, чтобы на стенке компонента V/ равнялась нулю из-за условия "прилипания", а на оси принимала некоторое значе-

ние, которое находится из баланса восходящего и нисходящего потоков жидкости. Выполняя эти условия, проведено интерполирование функции тока для различных чисел Грасгофа кубическими сплайнами.

Анализ результатов интерполирования функции тока показал, что аппроксимационные соотношения для поля скоростей в стационарном режиме могут быть выбраны в виде:

Уя =~кя(^] - 2г\\ - яп~] У2 1 -г\2-(п+^тГ1 ](1-к) ,(ю>

где К = кг1 у; к = к{вг, Рг, п = гфг.Рг,£).ЩнРг=\ и£ = 0.2^2

(соответствует реальным уровням заполнения промышленных резервуаров) из минимума интегральной оценки между расчетными Уц и У2 и их аппроксимацией (10) найдено: К -20,2 + 26,4 ^Сг, п » 2 .

Аппроксимация (10) позволяет получить аналитическое выражение для траекторий движения стоксовских частиц, если их скорость рассматривать как суперпозицию векторов скорости жидкости о и скорости стоксовских частиц без учета инерционности частиц и без проскальзывания фаз (что приемлемо в случае медленного движения жидкости) й =0 + Показано, что при одних и тех же гидродинамических условиях траектории более мелких частиц больше искривляются в сторону оси резервуара. Если траектория частицы не начинается на образующей, то частица не может осесть на боковой стенке.

В третьей главе сформулирована кинетическая модель седиментации малоконцентрированной монодисперсной взвеси стоксовских частиц по траекториям движения. Из рассмотрения баланса частиц в элементарном объеме, содержащем участок траектории, получено уравнение изменения счетной концентрации частиц:

ЪС(2,в) __ 2V(2) дС(2,в)

дв '\ + (£<1В./с12)2 92

С{2,0) = 1; С(0,в) ~0; в>0, (12)

где С(2,в)-п(г,т)/п§\ 2 = г/к\ в-ш/Ъ\ и = и./м>\ п{г,т)-текущая и начальная в объеме счетные концентрации частиц; w = gl2(pт - р)/{1^ру); рт,1- плотность частиц и их размер.

Решение (11) и (12):

ч,(г.в) = 1-Цв- \[2У(г)]д/1 + (/¿2гиг\

Исходя из определения локальной толщины осадка, получен критерий неравномерности осадка

8(Я)/8 - ^\ + (&к/с12)1с12 2]"/? ^\+(&В./с12)2 (12(18..

8/5

5/8

О О

При одной и той же гидродинамической обстановке и различных £ (рис. 4) более мелкие частицы образуют более неравномерный осадок, или, что тоже самое, при увеличении интенсивности естественной конвекции А = К/Яе (где Яе = г0м;(/*)/V,

Г^Т/ЗхртПмЪру^рг-р^, кБ - постоянная Больцмана) для частиц одинакового размера также увеличивается неравномерность осадка.

Предложенная математическая модель осаждения обобщена на случай полидисперсной малоконцентрированной взвеси. В результате синтеза уравнения массопереноса относительно 0,5 Я функции плотности распределе-

Рис. 4. Профили осадка при £ = 10 (а) ния частиц по размерам, с фор-и £ = 50 (б)- 1-/4 = 10- 2-5- 3-1 мулировкой граничных условий

по Харину В.М. и Ряжских В.И.,

получено: д/

от ог дг

г дг

Ш-

дг

д1£ д22

/

/(r,z,/,0) = /о(/);

dz

- W(l)f{r, h,l, r)+ = *2 (/)/(r, h, IT) ■

(14)

(15)

dz

(16) (17)

дг

(18)

дг

Для стоксовских частиц коэффициент диффузии 0(1), рассчитанный по формуле Смолуховского - Эйнштейна, стремится к нулю, поэтому из (13) - (18) получена система:

д/ . .. V

дт дг дг

дг

которая преобразована в систему, описывающую седиментацию частиц по траекториям их движения

а/- 2 к-^Ь

дт

1 +

dz

dr{z, l) . dz

/(z,/,0) = /0(/); /(0,/,r)= 0; r>0 и имеющую следующее решение:

F{Z,L,e)=\-b

1 +

dR{Z,L) dZ

L2+vz{z)

---dZ

где Z = z/r0 ; ¿ = //Г; Vz{z) = u:{z)/w(l*}, F{Z,L.9) = /(z./.r)//0(/);

в = twfy*)/rQ . Относительная толщина осадка в этом случае вычисляется по формуле:

§ 00 о

где ^(¿) = Г4/о(0-

В этой же главе, для нахождения связи предложенной в первой главе гидродинамической модели с диффузионной, обработаны экспериментальные данные по растворению осадка кристаллического азота в жидком водороде.

Криогенный резервуар, радиуса 0,4 м и высотой 1,6 м после газоподготовки захолаживался и заполнялся жидким водородом. С помощью дозирующего устройства газообразный азот вводился в паровое пространство, что приводило к увеличению его концентрации в жидком водороде за счет конденсации и растворения. Далее жидкий водород охлаждался путем сброса давления из парового пространства. В результате происходило образование осадка. Основная масса кристаллов осаждалась через 45 мин. По окончании высота столба жидкости составляла 0,58 м, а температура 23,75 К. Затем барботировался газообразный водород в течении 5 мин (давление в паровом пространстве поддерживалось равным 0,4 МПа), в результате температура жидкого водорода резко возрастала. Осадок азота растворялся, что регистрировалось хроматографом ХТМ-73 с помощью пробоотборников, расположенных на высотах 0,18 м и 0,38 м от дна. Испаряемость водорода составляла 2,5 л/час. Исходные экспериментальные данные (рис. 5) аппроксимировали формулами:

Т(г; = 25,83 + 4,2-10~3 г - 2,08ехрГ-0.92г);

Н, =0,18 м: С](т) = 2в.50~25.50ехр(-\0~3т)\

Ь2 =0,38 м: С2(т) = ЗМ-2Мехр(-1,5-\0~2т). Анализ решения уравнения диффузионной модели

дС{Х,в) = д2С{Х,в) дв " дХ2 '

<12

аиь

т, к

23 Л

т, мин

Рис. 5. Изменение температуры жидкого водорода (а) и относительной концентрации растворенного азота (б) на расстояниях 0,18 м (□) и 0,38 м (о) от дна резервуара: (— - аппроксимационные кривые)

фГ,0) = 1, С(х,в) = С5{в), дС(1в)/дХ = 0,

где Х = х/Ь; 0 = г£>*//г2 ; С{Х,в) = с{х,т)/с0 ; С5(^) = с5[г(т)]/с0 ; х, И - текущая координата, отсчитываемая от дна и высота столба жидкости; т- время; Вк - коэффициент конвективной диффузии; с, с0- текущая и начальная концентрация растворенного компонента; с.у- растворимость компонента в жидкости; позволил выделить начальный период растворения, характеризующий время достижения избыточной концентрации свободной поверхности; регулярный режим, характеризующий время растворения осадка и режим установления, характеризующий время выравнивания концентрации по высоте столба жидкости за счет конвективного перемешивания. На основе решения сформулированной диффузионной модели разработан алгоритм определения коэффициента конвективного перемешивания из условия вэ

^[\-С](Н,в)/С('Н,в)]ав ->тт, %

где вэ, 0[;— относительные времена длительности эксперимента и бар-ботирования; Н = кх\к\ Сх(Н,в) = с,(г)/с0 ; с0 -1.176-10 3 кг/м. Найденное значение =1,5-Ю-5 м2/с согласуется со значением, вычис-

ленным по результатам интегрирования функции тока у/, которая найдена из решения системы (1) - (9), удовлетворяющей условию проведения эксперимента:

2 НЛГ2М^

где й - коэффициент молекулярной диффузии растворенного азота в жидком водороде.

Рис. 6. Структура программного обеспечения

В четвертой главе на основе результатов, полученных во второй и третьей главах, предложена методика расчета образования осадка частиц, позволяющая прогнозировать локальную максимальную толщину осадка, и программное обеспечение по расчету профиля осадка (рис. 6).

В качестве примера методика и программное обеспечение применены для прогнозирования локальной максимальной толщины осадка кристаллического азота в резервуаре РЦВ 25/1,6 с жидким водородом для следующей технологической ситуации: за время хранения криогенной жидкости температура ее

Рис. 7. Профиль осадка отвержденного азота в резервуаре РЦВ-25/1,6 при хранении жидкого водорода

поднялась до 25,6 К; перед выдачей потребителю криогенной жидкости необходимо охладить ее путем вакуумирования парового пространства до 17 К; при этом известно, что жидкость находится в насыщенном состоянии по азоту. Получен профиль осадка (рис. 7), при этом максимальная толщина осадка, равна ~ 93 мкм.

Основные выводы и результаты работы

1. Предложена математическая модель гидродинамической обстановки в криогенных резервуарах типа РЦВ, позволяющая моделировать поле скоростей криогенных жидкостей в условиях естественной конвекции при различном комбинировании распределения плотности тепловых потоков по поверхности.

2. Разработан численный метод решения, базирующийся на конечно-разностных представлениях, который позволяет прогнозировать температурный режим в криогенных резервуарах в динамике.

3. С помощью сплайн - технологий получена аппроксимация поля скоростей, позволяющая анализировать траектории движения частиц.

4. Синтезированная математическая модель движения полидисперсной твердой фазы, при известной гидродинамической обстановке, позволяет рассчитывать потоки примесей в криогенных системах.

5. Получена связь между предложенной математической моделью гидродинамики и диффузионной моделью, позволившая по известному полю функции тока идентифицировать коэффициент конвективного перемешивания.

6. Разработана методика расчета образования осадка малоконцентрированных полидисперсных стоксовских частиц в замкнутых объемах при наличии естественной конвекции, позволяющая рассчитывать локальную максимальную толщину осадков с целью повышения уровня пожаро-взрывобезопасности и обеспечения чистоты криогенных систем.

7. Разработан инвариантный пакет прикладных программ для прогнозирования потоков примесей в криогенных резервуарах при выполнении технологических операций испарительного охлаждения и хранения криопродуктов.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1. Boger A.A. Application of the method of mathematical modeling for the analysis cryogenic systems // Актуальные проблемы научно-практических исследований и методологий: Материалы научно-практической конференции аспирантов и соискателей ВГТА на иностранных языках. Воронеж. ВГТА. 1997. -С.-З.

2. Ряжских В.И., Богер A.A. Математическое моделирование движения двухфазной среды в ограниченном объеме // Материалы 37-ой отчетной науч. конф. за 1998 г. Воронеж, ВГТА, 1999.-Ч.1.-С.237-238. Богеру A.A. принадлежит синтез уравнений математической модели.

3. Ряжских В.И., Слюсарев М.И., Богер A.A. Моделирование внутреннего массобмена при естественной конвекции // III Всероссийская науч.-техн. конф. «Информационные технологии и системы». Воронеж, ВГТА, 1999. -С.-151.

Богеру A.A. принадлежит анализ результатов расчетов.

4. Ряжских В.И., Богер A.A. Математическое моделирование движения двухфазной среды в ограниченном объеме в условиях тепловой конвекции // Материалы научной конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов ВГТА. Воронеж. ВГТА. 1999., с.39.

Богеру A.A. принадлежит решение уравнений движения двухфазной среды.

5. Ряжских В.И., Богер A.A. Безынерционные траектории стоксов-ских частиц в цилиндрическом вертикальном резервуаре при естественной конвекции // Материалы 38-ой юбилейной отчетной науч. конф. за 1999 г.- Воронеж, ВГТА, 2000.-Ч.2.-С.168.

Богеру A.A. принадлежит анализ безынерционных траекторий сто-ксовских частиц.

6. Ряжских В.И., Богер A.A. Расчет профиля осадка стоксовских частиц при естественной конвекции // Материалы 39-ой отчетной науч. конф. за 2000 г. Воронеж, ВГТА, 2001.-Ч.2.-С.104.

Богеру A.A. принадлежит обобщение результатов расчета по определению профиля осадка.

7. Богер A.A., Логинов A.B., Слюсарев М.И. Об одной задаче растворения полидисперсной взвеси // Материалы 39-ой отчетной науч.

конф. за 2000 г. Воронеж, ВГТА, 2001.-Ч.2.-С.105.

Богеру A.A. принадлежит алгоритм и программа решения уравнений

математической модели.

8. Ряжских В.И., Богер A.A. Численная схема решения задачи естественной конвекции в приближении Буссинеска // Материалы 40-ой отчетной науч. конф. за 2001 г. Воронеж, ВГТА, 2002.-Ч.2.-С.91. Богеру A.A. принадлежит вывод условий устойчивости и программная реализация алгоритма численной схемы.

9. Ряжских В.И., Богер A.A. Движение стоксовских частиц в вертикальном цилиндрическом резервуаре при естественной конвекции // Изв. Вузов. Химия и химич. технол.-2002.-Т.45.-Вып. 2. С. 129-130. Богером A.A. предложена аппроксимация поля скоростей несущей среды.

10. Ряжских В.И., Богер A.A. Осаждение стоксовских частиц монодисперсной суспензии в объеме со свободной поверхностью при естественной конвекции // Матем. моделир. информационных и технологических систем. Воронеж.-2002.-Вып. 5.-С. 136-140.

Богеру A.A. принадлежит анализ кинетики осаждения.

11. Ряжских В.И., Богер A.A., Зайцев В.А. Численная схема решения уравнений Обербека - Буссинеска для внутренней осесимметричной задачи в цилиндрической системе координат // Вестник ВГТУ. Сер. Энергетика. Вып. 7.2.-2002.-С. 12-16.

Богеру A.A. принадлежит конечно-разностная аппроксимация уравнений Обербека - Буссинеска.

12. Богер A.A. Математическая модель естественной конвекции ньютоновской жидкости в частично заполненном вертикальном цилиндрическом резервуаре // Вестник ВГТУ. Сер. Энергетика. Вып. 7.2,-2002.-С. 73-75.

Подписано в печать 27. 05. 2003 Формат 60x90 1/16

Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Ризография. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 266 Воронежская государственная технологическая академия (ВГТА) Участок оперативной полиграфии Адрес академии и участка оперативной полиграфии 394000 Воронеж, пр. Революции, 19

щ 1 0 09 1

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКОВ ТВЕРДОЙ ФАЗЫ В ЗАМКНУТЫХ ЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМАХ.

1.1. Моделирование гидродинамической структуры дисперсионной среды в частично заполненных резервуарах в условиях тепловой конвекции.

1.1.1. Физические предпосылки описания естественной конвекции и синтез уравнений

Обербека-Буссинеска.

1.1.2. Анализ результатов экспериментальных исследований.

1.1.3. Математические модели в приближении пограничного слоя.

1.1.4. Исследование уравнений Обербека-Буссинеска численными методами.

1.2. Математические модели потоков твердой фазы в криогенных системах.

1.2.1. Основные тепло-и физико-химические свойства криогенных жидкостей.

1.2.2. Классический подход к моделированию гетерогенных систем.

1.2.3. Математические модели твердой фазы на основе диффузионных представлений.

1.2.4. Формулировка граничных условий для моделей диффузионного типа и аналитические решения задач для простейших геометрических объемов.

ГЛАВА 2. ЕСТЕСТВЕННАЯ КОНВЕКЦИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ТЕПЛОПРОВОД! ЮЙ ЖИДКОСТИ В ВЕРТИКАЛЬНОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ РЕЗЕРВУАРЕ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

2.1. Постановка задачи.

2.2. Численная схема решения уравнений Обербека-Буссинеска для внутренней осесимметричной задачи в цилиндрической системе координат.

2.3. Анализ численной схемы.

2.4. Вычислительный эксперимент по идентификации основных параметров теплообмена при хранении жидкого водорода в резервуарах типа РЦВ.

2.4.1. Выбор структуры аппроксимации гидродинамического поля скоростей.

2.4.2. Интерполирование функции тока во внутренних задачах естественной конвекции.

2.4.3. Характеристики промышленных резервуаров типа РЦВ.

2.4.4. Адекватность математической модели.

ГЛАВА 3. ПЕРЕНОС ТВЕРДОЙ ФАЗЫ В ЗАМКНУТОМ ОБЪЕМЕ

В УСЛОВИЯХ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ.

3.1. Формулировка математической модели.

3.2. Образование осадка монодисперсной малоконцентрированной взвеси на дне вертикального цилиндрического резервуара.

3.3. Образование осадка монодисперсной малоконцентрированной взвеси на боковую поверхность вертикального цилиндрического резервуара

3.4. Обобщение математической модели на полидисперсный случай.

3.5. Идентификация коэффициента конвективной диффузии для диффузионной модели осаждения.

ГЛАВА 4. МЕТОДИКА ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ТОЛЩИНЫ ОСАДКА В КРИОГЕННЫХ РЕЗЕРВУАРАХ И ЕЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ.

4.1. Методика прогнозирования максимальной толщины осадка криовзвесей.

4.2. Пример реализации.

В настоящее время в химической, пищевой и других отраслях промышленности широко используются процессы с участием двухфазных сред, в том числе жидкость - твердая фаза. В качестве таких примеров можно привести процессы кристаллизации, растворения, разделения фаз и т.д. Аппаратурное оформление таких процессов предполагает наличие тепловых потоков через стенки устройств, что приводит к возникновению температурных полей различной интенсивности по градиенту внутри аппаратов. Это обстоятельство накладывает специфические условия на результаты проведения процессов в двухфазных системах. Наиболее известно такое влияние в виде так называемой естественной конвекции, возникающей из-за механической неустойчивости жидкости внутри аппаратов. Интенсивность влияния естественной конвекции определяет гидродинамическую структуру потоков, массообмен-ные процессы и гидромеханику твердой фазы в объеме таких аппаратов, например, проведение процесса кристаллизации в кристаллизаторах, образование различных видов осадков на стенках химических реакторов и т.д. В связи с этим возникает задача прогнозирования поведения твердой фазы в условиях естественной конвекции. В настоящее время для решения этой задачи используются фундаментальные уравнения гидродинамики Навье-Стокса и уравнения механики движения твердой фазы в вязкой теплопроводной жидкости, а также уравнения конвективной теплопроводности. Решение столь сложной сопряженной задачи связано, во-первых, с затруднениями возникающими при формулировке граничных условий, во-вторых, незамкнутостью самой системы и, в-третьих, отсутствием эффективных численных методов анализа. Эти обстоятельства вынуждают подходить к решению данной задачи с помощью комбинированных аналитическо-полуэмпирических методов. В частности, решение гидродинамической задачи может быть осуществлено без учета наличия твердой фазы в жидкости, когда ее концентрация достаточно мала. Такая ситуация встречается, например, в криогенной технике, если речь идет о потоках микропримесей при функционировании криогенных систем различного назначения. Идея таких методов заключается в том, что на гидродинамическое поле накладывается механическое движение частиц с учетом взаимного силового воздействия частиц на жидкость и жидкости на частицы. В этом случае удается получить достаточно простые модели, позволяющие идентифицировать потоки малоконцентрированной твердой фазы в вязкой несжимаемой жидкости при естественной конвекции в замкнутом объеме. Проблема более широкого использования такого подхода связана с трудностями по оценке адекватности создаваемых моделей на этой базе. Это, прежде всего сложность в постановке, проведении и анализе результатов экспериментального исследования. Однако, простота и физическая ясность таких моделей, а также достаточно несложная реализация их на практике, делает такое направление решения указанной задачи на современном этапе наиболее перспективным.

Актуальность работы. Явления переноса в системе "твердые частицы — жидкость" имеют важное значение в химической, пищевой и других отраслях промышленности при реализации различных технологий, которые сопровождаются седиментацией твердой фазы и образованием осадков на внутренних поверхностях аппаратов.

В связи с этим отдельный самостоятельный интерес представляет прогнозирование потоков высококипящих микропримесей в криогенных резервуарах различного назначения, т.к. потери криогенных жидкостей и ухудшение их качества по чистоте зависят от содержания в них примесей (в кислороде - углеводородные соединения, в водороде - азот и кислород и т.д.), которые накапливаются в виде осадка. Возможности непосредственного измерения содержания примесей ограничены, а толщина осадков до сих пор не определяется из-за отсутствия такого рода приборов.

Существующие математические модели, положенные в основу используемых расчетных методик, позволяют скорее качественно, чем количественно оценивать распределение потоков примесей и на основе этой оценки определять локальную максимальную толщину осадка. Это является следствием того, что не учитывается реальная гидродинамическая обстановка, связанная с величиной теплопритока через стенки криогенных резервуаров.

Необходимы более адекватные математические модели потоков примесей в криогенных резервуарах, базирующиеся на совместном рассмотрении гидродинамики, тепло- и массообмена в системе "твердые частицы - жидкость".

Работа проводилась в соответствии с планом НИР кафедры высшей математики ВГТА "Математическое обеспечение структурного и параметрического анализа технологических, технических и информационных систем" (№ гос. регистрации 01.20.0011235).

Целью работы является разработка комплекса математических моделей, методов вычислений и пакета программ для прогнозирования потоков твердой фазы примесей в жидкостных криогенных системах в условиях естественной конвекции.

Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

• разработка математической модели движения вязкой несжимаемой жидкости при различных тепловых нагрузках на вертикальный цилиндрический резервуар со стационарной свободной границей;

• синтез математической модели движения твердой фазы при известной гидродинамической обстановке внутри замкнутого объема;

• создание методики расчета образования осадка твердых частиц в замкнутом объеме;

• разработка пакета прикладных программ для определения профиля осадка в резервуарах.

Научная новизна. Предложена математическая модель гидродинамической обстановки в криогенных резервуарах типа РЦВ, позволяющая моделировать поле скоростей криогенных жидкостей в условиях естественной конвекции при различном комбинировании распределения тепловых потоков по поверхности.

Разработан численный метод решения, базирующийся на конечно-разностных представлениях, который позволяет прогнозировать температурный режим в криогенных резервуарах в динамике.

С помощью сплайн - технологий получена аппроксимация поля скоростей, позволяющая анализировать траектории движения частиц.

Синтезированная математическая модель движения полидисперсной твердой фазы, при известной гидродинамической обстановке, позволяет рассчитывать потоки примесей в криогенных системах.

Получена связь между предложенной математической моделью гидродинамики и диффузионной моделью, позволившая по известному полю функции тока идентифицировать коэффициент конвективного перемешивания.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработана методика расчета образования осадка малоконцентрированных полидисперсных стоксовских частиц в замкнутых объемах при наличии естественной конвекции, позволяющая рассчитывать локальную максимальную толщину осадков с целью повышения уровня пожаро-взрывобезопасности и обеспечения чистоты криогенных систем.

Разработан инвариантный пакет прикладных программ для прогнозирования потоков примесей в криогенных резервуарах при выполнении технологических операций испарительного охлаждения и хранения криопродук-тов.

Результаты работы внедрены в ДП ТН КБХА.

Апробация работы. Основные результаты исследований доложены и обсуждены на научных конференциях и семинарах в Воронежской государственной технологической академии, в Воронежском государственном техническом университете и в Воронежском государственном университете (с 1997 по 2003 гг.).

Работа выполнялась на кафедре высшей математики Воронежской государственной технологической академии.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Предложена математическая модель гидродинамической обстановки в криогенных резервуарах типа РЦВ, позволяющая моделировать поле скоростей криогенных жидкостей в условиях естественной конвекции при различном комбинировании распределения тепловых потоков по поверхности.

Разработан численный метод решения, базирующийся на конечно-разностных представлениях, который позволяет прогнозировать температурный режим в криогенных резервуарах в динамике.

С помощью сплайн - технологий получена аппроксимация поля скоростей, позволяющая анализировать траектории движения частиц.

Синтезированная математическая модель движения полидисперсной твердой фазы, при известной гидродинамической обстановке, позволяет рассчитывать потоки примесей в криогенных системах.

Получена связь между предложенной математической моделью гидродинамики и диффузионной моделью, позволившая по известному полю функции тока идентифицировать коэффициент конвективного перемешивания.

Разработана методика расчета образования осадка малоконцентрированных полидисперсных стоксовских частиц в замкнутых объемах при наличии естественной конвекции, позволяющая рассчитывать локальную максимальную толщину осадков с целью повышения уровня пожаро-взрывобезопасности и обеспечения чистоты криогенных систем.

Разработан инвариантный пакет прикладных программ для прогнозирования потоков примесей в криогенных резервуарах при выполнении технологических операций испарительного охлаждения и хранения криопродук-тов.

1. Авдуевский B.C., Галицейский Б. М., Глебов Г.А. и др. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике, под ред. В.К. Кошкина: Учебное пособие. Машиностроение. М. 1975 Г.-623 с.

2. Аврутов М.Б., Ендлер Б.С. Распределение частиц по высоте сосуда при периодическом осаждении полидисперсных суспензий // Теор. основы хим. технол.-1975.-Т.9.-№6.-С. 941-943.

3. Аксельруд Г.А., Молчанов А.Д. Растворение твердых веществ. М.: Химия, 1977.-272 с.

4. Анпилин В.А., Леоненко Ю.Г. Естественная конвекция в замкнутом объеме с различными веществами //Прикладная механика и теоретическая физика, 1997, т.38, №2. с. 135-139.

5. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. Л.: Химия, 1986.-144 с.

6. Баррон Р.Ф. Криогенные системы.-М.: Энергоиздат, 1989.-408 с.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения).- М.: Наука, 1973.- 685 с.

8. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. В 2-х частях. 4.1. М.: Высш. школа, 1982.-327 с.

9. Беляков В.П. Криогенная техника и технология.-М.: Энергоиздат, 1982.271 с.

10. Ю.Березин И.С. и Жидков Н.П., Методы вычислений, тт. 1,2, "Наука", 1966.

11. Берковский Б.М., Ноготов Е.Ф. Разностные методы исследования задач теплообмена. Минск: Наука и техника, 1976. 144 с.

12. Берковский Б.М., Полевиков В.К. Вычислительный эксперимент в конвекции. -Мн.: Университетское, 1988.-167 с.

13. Берковский Б.М., Синицын А.К. //Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. №1. С. 180182.

14. Богер А. А. Математическая модель естественной конвекции ньютоновской жидкости в частично заполненном вертикальном цилиндрическом резервуаре // Вестник ВГТУ. Сер. Энергетика. Вып. 7.2.-2002.-С. 73-75.

15. Бретшнайдер С. Свойства газов и жидкостей: Инженерные методы расчета.-М.-Л.: Химия, 1966.-536 с.1 б.Броуновское движение / Сб. переводов.-Л.: ОНТИ, 1963.-607 с.

16. Броунштейн Б.И., Фишбейн Г.А. Гидродинамика, массо-и теплообмен в дисперсных системах. Л.: Химия, 1977.-324 с.

17. Броунштейн В.Б. Диффузионная модель классификации частиц в разряженных суспензиях // Журн. прикл. химии.-1983.-Т.56.-№8.-С. 17881793.

18. Буевич Ю.А. Гидродинамическая модель дисперсного потока// Изв. АН СССР. МЖГ. 1994. №1. С. 71-87.

19. Бэйли Т., Вандекоппель Р., Скатведт К., Расслоение криогенных компонентов топлива. Расчетные и экспериментальные данные //Двигательные установки ракет на жидком топливе. 1966. С. 130-148.

20. Вальциферов Ю.В., Полежаев В.И. Конвективный теплообмен в замкнутом осесимметричном сосуде с криволинейной образующей при наличии поверхности раздела фаз и фазовых переходов// Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. №6.С. 126-135.

21. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей.-М.: Физматгиз, 1963,-708 с.

22. Вебер Н., Поу Р., Бишоп Е., Скэнлэн Д. Теплоотдача свободной конвекцией в замкнутых сферических контейнерах/ЛГруды америк. Об-ва инж.- мех., сер. Теплопередача, 1975, №4, С. 27.

23. Веригин А.Н., Васильев С.В. Диффузия и седиментация мелкодисперсной однородной взвеси в отстойниках // Теор. основы хим. технол.-1982.-Т.16.-№3.-С. 374-380.

24. Веригин А.Н., Шупляк И.А., Михалев М.Ф. Кристаллизация в дисперсных системах: Инженерные методы расчетов.-JL: Химия, 1986.-248 с.

25. Взрывобезопасность воздухоразделительных установок / Под ред. Белякова В.П., Файнштейна В.И.-М.: Химия, 1986.-224 с.

26. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.//М.: Наука, 1967., 436 с.

27. Водород: свойства, получение, хранение, транспортирование, применение. Справ. изд-е.-М.: Химия, 1989.-228 с.

28. Волков В.В. Моделирование конвективного теплообмена в замкнутом объеме при совместном действии свободной и вынужденной конвекции /Дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук. МГАИ, Москва, 1995.- 140 с.

29. Волков П.К. Модель ячейки для описания двухфазных сред //Прикл. мех. и техн. физ. 1997.-38, №2.-с. 115-124.

30. Вычислительные методы в гидродинамике / Под ред. Б. Олдер, С. Фернбах, М. Ротенберг. Статья Дж. Фромм. Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости, с. 343-381. М.: Мир, 1967. С. 383.

31. Газы, газовые смеси, криогенные жидкости: Каталог / Сост. Н.М. Дыхно, Т.А. Лобачева.-М.: НИИТЭХИМ, 1977.-21 с.

32. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Самакия Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. Кн.1. М.: Мир, 1991.

33. Гельперин И.И. и др. Жидкий водород.-М.: Химия, 1980.-228 с.

34. Гетлинг А.В. Формирование пространственных структур конвекции Рэлея-Бенара//Успехи физ. наук. 1991. Т. 161, №9. С. 1.

35. Дейч В.Г. Диффузионно-конвективная модель гравитационной сепарации полидисперсной суспензии // Инж.-физ. журн.-1986.-Т.51.-№1.-С 55-60.

36. Дейч В.Г. О вычислении сепарационной характеристики в стохастической теории разделительных процессов // Теор. основы хим. технол.-1987.-Т.21.-ЖЗ.-С. 411-413.

37. Дейч В.Г., Стальский В.В. Анализ процесса непрерывного сгущения суспензий на основе уравнений ФГЖ // Теор. основы хим. технол.-1984.-Т.18.-№1.-С. 66-71.

38. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z преобразования. - М.: Физматгиз, 1971. - 288 с.

39. Джалурия Й. Естественная конвекция: Тепло- и массообмен. . М.: Мир, 1983.

40. Дильман В.В. Обобщенная диффузионная модель продольного перемешивания // Теор. основы хим. Технол.-1987.-Т.21.-№1.-С. 66-73.

41. Дильман В.В., Полянин А.Д. Методы модельных уравнений и аналогий.-М.: Химия, 1988.-304 с.

42. Дытнерский Ю.И. Процессы и аппараты химической технологии, 4.1.-М.: Химия, 1992.-414 с.

43. Жидкий водород / Сб. переводов под ред. М.П. Малкова.-М.: Мир, 1964.416 с.

44. Зайчик Л.И. Модели турбулентного переноса импульса и тепла в дисперсной фазе, основанные на уравнениях для вторых и третьих моментов пульсаций скорости и температуры частиц// Инж.-физ. журн. 1992. -Т.63.- №4. -С. 404-413.

45. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии.-М.: Химия, 1976.-464 с.

46. Кириченко Ю.А., ред. Криогенные системы: разработки и исследования: Сб. науч. тр./АН УССР, Физ.-техн. ин-т низких температур. Киев: Наук, думка, 1984. 135 с.

47. Кириченко Ю.А., ред. Тепловые процессы в криогенных системах: Сб. науч. тр./АН УССР, Физ.-техн. ин-т низких температур. Киев: Наук, думка, 1986. 147 с.

48. Кириченко Ю.А., Щелкунов В.Н. Исследование процессов в криогенных и вакуумных системах: Сб. науч. тр. М., 1977. 176 с.

49. Кларк Д., Криогенная теплопередача, в книге "Успехи теплопередачи", т.5/ пер. с англ. Е.Ю. Красильникова, Е.Д. Федоровича. Мир, Москва,1971г., с. 261-567.

50. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктурирующими параметрами. -М.: Наука, 1975.-239 с.

51. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1984.-831 с.

52. Кутепов A.M. Стохастический анализ гидромеханических процессов разделения гетерогенных систем // Теор. основы хим. технол.-1987.-Т.21.-№2.-С. 147-156.

53. Кутепов A.M., Соколов Н.В. Стохастический расчет цилиндрических отстойников периодического действия // Теор. основы хим. технол.-1982.-Т.16.-№3.-С. 374-380.

54. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат. 1947.-с.7235 7.Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. T.VI. Гидродинамика М.: Наука 1988.-736 с.

55. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.- Учеб. Для вузов,- Изд. 6-е, перераб. и доп.-М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1987.-840 с.

56. Мартыненко О.Г., Соковишин Ю.А. Свободно-конвективный теплообмен / Справочник под ред. Р.И. Солоухина. -Минск: Наука и техника.- 1982.* 358 с.

57. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 536 с.

58. Марчук Г.И. Численные методы расчета ядерных реакторов.-М.: Госатомиздат, 1958.-726 с.

59. Медников Е.П. Турбулентный перенос и осаждение аэрозолей.-М.: Наука, 1981.-176 с.

60. Мельвин-Хьюз Э.А. Физическая химия. -М.: Изд-во иностр. лит., 1962.690 с.

61. Мельников Д.Е., Черкасов С. Г. Математическое моделирование смешанной конвекции в вертикальной цилиндрической емкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1998. №6.С. 9-17.

62. Мизонов В.Е. Стохастическая модель равновесной классификации порошков//Теор. основы хим. технол.-1984.-Т.18.-№6.-С. 811-815.

63. Милн В.Э. Численный анализ, ИЛ, 1951.

64. Милн В.Э., Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ, 1955.

65. Моисеева Л.А. Черкасов С.Г. Стационарный свободно-конвективный теплообмен в цилиндрической емкости при равномерном теплоподводе и одновременном отводе тепла через локальные стенки // Теплофизика высоких температур.-1997.-Т. 35.-№4.-С. 564-569.

66. Моисеева Л.А., Черкасов С. Г. Математическое моделирование естественной конвекции в вертикальном цилиндрическом баке при знакопеременном распределении теплового потока на стенке// Изв. АН СССР. МЖГ. 1996. №2.С. 66-72.

67. Монин А.С. О граничном условии на поверхности земли для диффундирующей примеси / В кн. Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха.-М.: ИЛ, 1962.-С.477-478.

68. Морс Ф.М., Фешбах Г.Ф. Методы теоретической физики.-М.: ИЛ, 1958.648 с.

69. Мосин Е.Ф. Экспериментальное исследование свободной конвекции в трехмерном ограниченном пространстве// Межвузовский сборник научных трудов. Л., 1976. С. 36-42.

70. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред., Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1978, 336с.

71. Ноготов Е.Ф., Синицын А.К. // Инж.-физ. журн. 1976. Т. 31. №6. С. 11131119.

72. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 285 с.

73. Полевиков В.К. //Исследование конвективных и волновых процессов в ферромагнитных жидкостях. Минск: ИТМО АН БССР, 1975. С. 16-24.

74. Полевиков В.К. Некоторые вопросы численного исследования нелинейных задач тепловой конвекции методом сеток: Дис. канд. физ.-мат. наук. Минск, 1977. 156 с.

75. Полежаев В.И. Нестационарная ламинарная тепловая конвекция в замкнутой области при заданном потоке тепла // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.-1970.-№4.-С. 109-117.

76. Пономаренко В.Г. и др. Исследование процесса гидроклассификации полидисперсной кристаллической фракции / В Сб. Вестник ХПИ.-Харьков: 1976.-Вып.7.-№125.-С. 22-25.

77. Пономаренко В.Г. и др. Характеристика гранулометрического состава полидисперсного кристаллического продукта // Журн. прикл. химии.-1978.-Т.51.-№1.-С. 100-103.

78. Пономаренко В.Г., Ткаченко К.П., Курлянд К.А. Кристаллизация в псевдоожиженном слое. Киев: Техника, 1972.-131 с.

79. Потехин Г.С., Ходорков И.Л. Проблемы чистоты и безопасности при транспортировке и хранении жидкого водорода.-В кн.: Атомноводородная энергетика и технология.-М.: Энергоатомиздат, 1982.-Вып. 5.-С. 96-106.

80. Протопопов М.В., Черкасов С.Г. Особенности свободно-конвективного пограничного слоя в стратифицированной по температуре среде //Изв. АН СССР. МЖГ. 1993. №1.С. 27-34.

81. Рожков И.В., Алмазов О.А., Ильинский А.А. Получение жидкого водорода.-М.: Химия, 1967.-199 с.

82. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.-616 с.

83. Рудер Д.М. Расслоение жидкости в баке под давлением при нагревании стенок. Инф. Сборник "Военная авиация и ракетная техника", №7, 1963.-С. 200.

84. Рудяк В.А., Белкин А.А. Уравнения многожидкостной гидродинамики //Мат. Моделир. 1996.-№6 с. 33-37.

85. Ряжских В.И. Математическое обеспечение параметрического анализа функционирования криогенных систем в условиях образования твердой фазы примесей / Дисс. на соиск. уч. степ. докт. техн. наук. ВГТА, Воронеж, 1997.-383 с.

86. Ряжских В.И., Богер А.А. Движение стоксовских частиц в вертикальном цилиндрическом резервуаре при естественной конвекции // Изв. Вузов. Химия и химич. технол.-2002.-Т.45.-Вып. 2. С. 129-130.

87. Ряжских В.И., Богер А.А. Осаждение стоксовских частиц монодисперсной суспензии в объеме со свободной поверхностью при естественной конвекции // Матем. моделир. информационных и технологических систем. Воронеж.-2002.-Вып. 5.-С. 136-140.

88. Ряжских В.И., Богер А.А., Зайцев В.А. Численная схема решения уравнений Обербека Буссинеска для внутренней осесимметричной задачи в цилиндрической системе координат // Вестник ВГТУ. Сер. Энергетика. Вып. 7.2.-2002.-С. 12-16.

89. Ряжских В.И., Борискин В.В. Кинетика растворения осадка отвержденного азота в жидком водороде / 2-я Междун. теплофиз. шк. "Повышение эффективности теплофиз. исслед. технол. процессов", ТГТУ -Тамбов, 1995.-С. 69.

90. Ряжских В.И., Никифорова O.K. Решение уравнения диффузии интегральным методом /Всесоюзн. шк. "Соврем, методы качественной теории краевых задач", ВГУ. Воронеж, 1992.-С. 96.

91. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем: Учебное пособие. -М.: Наука, 1971 Г.-326 с.

92. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

93. Самарский А.А. Теория разностных схем: Учебное пособие. 2е изд., испр.- М.: Наука, 1983 Г.-616 с.

94. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.592 с.

95. Свердлин Ю.Г., Пономаренко В.Г., Гавря Н.А. Математическая модель процесса гидросепарации полидисперсной смеси твердых частиц в жидкости / В Сб. Вестник ХПИ.-Харьков: 1979.-Вып.9.-№159.-С. 51-54.

96. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций.-М.: Наука, 1968.-357 с.

97. Свойства жидкого и твердого водорода.-М.: Стандарт, 1969.-136 с.

98. Седунов Ю.С. Некоторые вопросы броуновской диффузии стоксовых частиц в пространственно-неопределенном внешнем поле // Изв. АН СССР, Сер. Геофиз.-1964.-№7.-С. 1093-1102.

99. Справочник по физико-техническим основам криогенники / Под ред. М.П. Малкова.-М.: Энергия, 1973.-416 с.

100. Тарунин E.JI. О выборе аппроксимирующей формулы для вихря скорости на твердой границе при решении задач динамики вязкой жидкости // Численные методы механики сплошной среды. 1979.,Т.9., №7.

101. Теллер, Харпер. Приближенный расчет расслоения (стратификации) топлива //Ракетная техника и космонавтика. 1963. Т.1. №8. С. 237-239.

102. Товарных Г.Н. Тепловая конвекция в цилиндрической замкнутой полости при смешанных граничных условиях / Труды МВТУ.-1979.-№293.-С. 25-49.

103. Том А., Эйплт К.Д. Числовые расчеты полей в технике и физике, изд-во "Энергия", М., 1964.

104. Трошин А.Ю. Моделирование нестационарного конвективного тепломассопереноса в закрытой газожидкостной цилиндрической емкости /Дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук. ВГТУ, Воронеж, 2001.- 114 с.

105. Филин Н.В., Буланов А.Б. Жидкостные криогенные системы.-JI.: Машиностроение, 1985.-247 с.

106. Фромм Дж. Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости/ В сб. "Вычислительные методы в гидродинамике" под. ред. Олдера Б., Фернбаха С., Ротенберга М.- М.: Мир, 1967.-е. 343-381.

107. Фукс И.А. Механика аэрозолей.-М.: Изд-во АН СССР, 1955.-352 с.

108. Харин В.М. К вопросу о формулировании условий на межфазной границе в задачах кинетики роста и растворения кристаллов // Теор. основы хим. технол.-1980.-Т.14.-№1.-С. 54-59.

109. Харин В.М. Растворимость азота и кислорода в жидком водороде // Журн. физич. химии.-1995.-Т.69.-№10.-С. 1762-1764.

110. Харин В.М., Ряжских В.И. К теории осаждения // Теор. основы хим. технол.-1989.-Т.23.- №5.-С.651-658.

111. Харин В.М., Ряжских В.И. Расчет процесса осаждения малоконцентрированных взвесей (Тез. докл.) // Теор. основы хим. технол.-1986.-Т.20.-№4.-С.571.

112. Харин В.М., Ряжских В.И., Завадских Р. М. Осаждение криогенных взвесей в резервуарах //Теор. основы хим. технологии.-1991.-Т. 25.-№5.-С. 659-669.

113. Харин В.М., Ряжских В.И., Завадских P.M. Кинетика осаждения примесей при испарительном охлаждении криогенных жидкостей // Теор. основы хим. технол.-1996.-Т,30.-№5. С. 453-457.

114. Харин В.М., Ряжских В.И., Завадских P.M. Осаждение криогенных взвесей в резервуарах // Теор. основы хим. технол.-1991.-Т.25.-№5.-С.659-669.

115. Хаусхолдер A.M. Основы численного анализа, ИЛ, 1956.

116. Хемминг Р.В. Численные методы, "Наука", 1972.

117. Чезирэй Р.И. Естественная турбулентная конвекция от вертикальной плоской поверхности//Труды америк. Об-ва инж.- мех., сер. Теплопередача, 1978, №1, С. 11.

118. Черкасов С.Г. Квазистационарный режим естественной конвекции в вертикальном цилиндрическом сосуде // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.-1986.-№1.-С. 146-152.

119. Anderson Н.М., Edwards R.V. A finite differencing sheme for the dynamic simulation of continous sedimentation // AIChE Sym. Ser.,-1981.-v.77.-№ 209.-p. 237-238.

120. Attir V., Denu M.M., Petty C.A. Dynamic simulation of continous sedimentation//AIChE Sym. Ser.,-1977.-v.73.-№ 167.-p. 49-73.

121. Backmans J.M. Analysis of Mednikov's equation for the transport of aerosol particles across a turbulent boundary layer // Canad. J. Chem. Eng.- 1974.-v.52.-№4.-p.273-275.

122. Application of radiotracer method in tank testing and laboratory scale verification of the mathematical model of sediment transport // Isotropenpraxis.- 1986.-v.22.-№2.-p.41-45.

123. Bedford A., Hill C.D. Mixture theory termulation for particulate sedimentation//AIChE Journal.-1976.-v.22.-№5.-p. 338-340.

124. Berkovsky B.M., Fertman V.E., Polevikov V.K. a. o.// Intern. J. of Heat and Mass Transfer. 1976. Vol. 19. N 9. P. 981-986.

125. Bourgarel M.H., Segel M.P. Study of stratification similitude lows in liquid hydrogen //Journal of Spacecraft and rockets. 1967. №12. P. 543-556.

126. Brown R.J. Natural convection heat transfer between concentric spheres.-Ph. D. Thes., Univ. of Texas, Austin, p. 523-536, 1949.

127. Caporaloni M. and other. Transfer of particles in nonisotropic air turbulence // J.Almos. Sci.-1975.-v.32-№3.-p.565-568.

128. Chow M.Y., Akins R.G. Pseudosteadystate natural convection inside spheres // Trans. ASME.-1975.-v.97C.-№l.-p.54-59.

129. Clark I.A. Cryogenic heat transfer // Advances in heat transfer.-1968.-v.5.-p. 325-517.

130. Сое H.S., Clevengen G.H. Methods for determining the capacities of slime-settling tanks // Trans. Amer. Inst. Min. Engrs.-1916.-v.60.-p. 356-384.

131. Fan S.C., Chut J.C., Scott L.E. Thermal stratification in closed cryogenic containers //Advances in cryogenic Engineering. 1960. V.5, P. 487-497.

132. Huburt H.M., Katz S. Some problems in particle technology. A statistical mechanical formulation // Chem. Eng. Sci.- 1964.-v.19.- №3.-p. 355-364.

133. Hurd S.E., Harper E.Y. Liquid Propellant with Sidewall and Bottom Heating // Journal of Spacecraft and rockets. 1968. №2. P. 220.

134. Isakoff S.E., Drew T.B. Heat and Momentum Transfer in Turbulent Flow, Inst. Mech. Eng. And ASME, Proc General or Heat Transfer, p. 405, 1951.

135. Kinch G.J. A theory of sedimentation // Trans. Faraday Soc.- 1952.-v.48.-p. 166-176.

136. Lev O., Rubin E., Sheintach M. Steady state analysis of a continuons clarifier — thichener system // AIChE Journal.-1986.-v.32.-№9.-p. 1516-1525.

137. Neff R. A survey of stratification in a cryogenic liquid //Advances in cryogenic Engineering. 1969. V.14, P. 249-257.

138. Nonaka M., Uchio T. A microhydrodynamic model of the sedimentation process // Separ. Sci. And Tech.- 1984.-№19.-p.337-355.

139. Schmidt F.N., Purcell J.R., Wilson W.A., Smith R.V. An experimental study concerning the pressurization and stratification of liquid hydrogen //Advances in cryogenic Engineering. 1972. V.6, P. 431-438.

140. Seki В., Fukusako S., Inaba H. Heat transfer of natural convection in closed cavity //Trans. ASME: J. Heat Transf. 1982. №1. P. 105-111.

141. Szpilowski St., Michalik J.St., Owezarczyk A. Predication of removal efficiency of rectangular settling tank. Part II. Investigation of commercial scale Settlers // Isotropenpraxis.- 1986.-V. 22.-№2.-p.46-49.

142. Talmadze W.P., Fitch E.B. Determiningthichener unit areas // Ind. Eng. Chem.- 1955.-T.47.- №l.-p. 38-41.

143. Tiller F.M. revision of Kynch sedimentation theory // AIChE Journal.-1981.-v.27.-№5.-p. 823-829.

144. Tracy K.D., Keinath T.M. Dynamic model for thichening of activated sladze //AIChE Symp. Ser.,-1974.-v.73.-№ 136.-p. 291-295.

145. Zhang D.Z., Prosperetti A Averaged equations for inviscid disperse two-phase flou//J. Fluid Mech.- 1994.-267.-C. 185-219.ft