автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение численного моделирования и регуляризирующих алгоритмов для изучения конвекции и акустики в задачах физики Солнца и экологии

На правах рукописи

Парчевский Константин Владимирович

ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ КОНВЕКЦИИ И АКУСТИКИ В ЗАДАЧАХ ФИЗИКИ СОЛНЦА

ИЭКОЛОГИИ

Специальность 05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2004

На правах рукописи

Парчевский Константин Владимирович

ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ КОНВЕКЦИИ И АКУСТИКИ В ЗАДАЧАХ ФИЗИКИ СОЛНЦА

И ЭКОЛОГИИ

Специальность 05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2004

I .

1 и

Работа выполнена в Отделе физики Солнца Научно-исследовательского института Крымская астрофизическая обсерватория министерства образования и науки Украины.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Косовичев Александр Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Соколов Дмитрий Дмитриевич

доктор физико-математических наук, Лившиц Моисей Айзикович

Ведущая организации: Институт механики сплошных сред УрО РАН-

Залила диссертации состоится ..... 2004г. в/£. часов на открытом

заседании диссертационного совета 501.001.11 при МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу 119992, Москва, Ленинские горы, НИВЦ МГУ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВЦ МГУ

Автореферат разослан

..2004г.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В предлагаемой диссертации используется комплексный подход к научному исследованию, охватывающий этапы моделирования и обработки экспериментальных данных. Так как автор работает в Солнечном отделе Крымской астрофизической обсерватории и занимается численным моделированием конвекции и обработкой наблюдений, то большинство задач, решаемых в диссертации, так или иначе, связаны с физикой Солнца, конвекцией, дифференциальным «ращением и гелиосейсмологией. Все эти задачи тесно связаны друг с другом. Дифференциальное вращение вызывается взаимодействием вращения и конвекции, что приводит к анизотропии рейнольдсовых напряжений. Солнечные пятна, по-видимому, так же являются результатом конвективных движений — нисходящих потоков холодного вещества, быстро остывающего в областях с сильным маагнитным полем- и представляют собой самоорганизующиеся магнито-конвективные структуры. Однако, динамика подфотосферных структур и потоков вещества еще недостаточно хорошо изучена. Прямое наблюдение невозможно из-за непрозрачности вещества, поэтому для диагностики внутренних слоев Солнца приходится решать обратные задачи акустики, применяя технику время-расстояние, используемую и гелиосейсмологии. В целом, проблема солнечной конвекции и ее влияние на вращение и структуру магнитного поля Солнца еще не решена. В диссертации развиваются отдельные модели и методы обработки наблюдательных данных для решения этой фундаментальной проблемы солнечной физики и астрофизики.

Подобные модели и методы, могут быть применены для моделирования конвекции и интерпретации данных, полученных в лабораторных условиях. Рассмотрение этих задач позволяет более полно выявить характерные отличия и физические закономерности конвективных процессов, расширить область применения численных методов, и, кроме того, получить результаты важные дня экологических приложений.

Численное моделирование двумерной сжимаемой солнечной конвекции и супергрануляции. Солнце — это единственная звезда достаточно близкая к нам, чтобы можно было различать детали конвективных движений. Динамика конвективной области Солнца является определяющей для таких глобальных явлений, как дифференциальное вращение, солнечное динамо и 11-та леший цикл солнечной активности, возбуждение 5-мин. осцилляции. На поверхности мы видим проявление конвекции, как минимум, на двух различных масштабах — грапуляции и супергрануляции. В то время, как механизм возникновения гранул хорошо изучен — это приповерхностная турбулентная конвекция, супергрануляция до сих нор, начиная с ранних наблюдений (Hart, Л 954), остается загадкой. До сих нор не ясен вопрос, существуют ли промежуточные масштабы: мезогранулы (November ct al., 1981) и гигантские ячейки (Beck et al., 1998). Теория длины пути перемешивания говорит, что для каждого фиксированного уровня существует только один характерный размер конвективных ячеек, связанный со шкалой но давлению на этом уровне. Существование дискретных характерных масштабов даст указания на то, что солнечная конвекция может быть обусловлена чем-то большим, нежели простой стратификацией. В данной ситуации численное моделирование солнечной конвекции приобретает первоочередное значение. Существующие реалистичные трехмерные расчеты конвекции (Гадун; Nordlund & Stein) с большой точностью учитывают уравнение состояния вещества, перенос излучения в линиях, магнитное ноле, и дают

хорошее согласие с наблюдениями. Однако, такие расчеты требуют больших затрат процессорного времени и охватывают область в 1-2 гранулы. Для уверенного моделирования супергрануляции вычислительная область должна содержать десятки гранул.

Моделирование рассеяния акустических волн солнечным пятном.

Исследование солнечных акустических колебаний представляет самостоятельный интерес, так как тесно связано с таким средством исследования внутреннего строения Солнца, как гелиосейсмология. Существует два различных взаимно дополняющих друг друга метода восстановления внутреннего строения по наблюдательным гелиосейсмологическим данным. Первый подход основан на исследовании резонансных свойств внутренних областей Солнца путем определения частот нормальных мод колебаний (глобальная гелиосейсмология). Другой подход основан на локальном исследовании бегущих волн (локальная гелиосейсмология), что позволяет исследовать явления меньшего масштаба, которые глобальная гелиосейсмология не в состоянии разрешить. Сюда входит исследование структуры солнечных пятен, магнитного поля и потоков вещества в супергрануляционных ячейках. Существует несколько методов исследования взаимодействия акустических волн с локальными неоднородностями модели. Один из них — подход, использующий технику время-расстояние. Ключевой концепцией этого подхода является понятие времени распространения. Распространение высокочастотных колебаний при этом подходе вычисляется в рамках геометрической акустики. Однако, приближение геометрической акустики не применимо вблизи поверхности, где давление и плотность меняются очень быстро и должны приниматься во внимание волновые эффекты (Bogdan, 1997). В частности, время распространения звуковой волны чувствительно к свойствам среды не только вдоль пути распространения волны, но и к условиям в окрестности. Более того, ядра чувствительности, вычисленные в борновском приближении (первое волновое приближение), имеют нулевое значение вдоль путираспространения (Kosovichev, et al., 2000). Таким образом, переход от геометрической акустики к волновой теории не сводится к простому уширению ядер чувствительности. Важным следствием является то, что чувствительность вдоль траектории распространения уже не пропорциональна обратной локальной скорости звука и может сильно от нее отличаться, особенно вблизи поверхности. В этой ситуации исключительно большую роль приобретает численное моделирование взаимодействия распространяющихся звуковых волн с неоднородностями среды.

Вторая глава диссертации посвящена решению некоторых некорректных обратных задач обработки солнечных наблюдений. Обработка данных наблюдений представляет собой один из фундаментальных разделов современного эксперимента. Многие задачи обработки экспериментальных данных сводятся к решению математически некорректных задач. В качестве регуляризирующего алгоритма используется метод регуляризации Тихонова.

Восстановлениеугловой скорости внутреннего дифференциального вращения Солнца по гелиосейсмологическим данным. В спектре мощности акустических „пятиминутных" мод колебаний наблюдается тонкая структура пиков, связанная с вращением Солнца. Измеренные разности частот между пиками в тонкой структуре (так называемое вращательное расщепление) могут быть использованы для нахождения закона внутреннего вращения. В настоящее время разработаны методы решения этой задачи для определения радиальной зависимости угловой скорости в

плоскости экватора (Дюваль и др., 1984; Гаф, 1984), а также широтного дифференциального вращения, заданного в параметрическом виде. Ли и Шибахаши (1986) разработали метод определения П(г,0) в общем виде. Они предложили находить зависимость от угла, аппроксимируя ее кусочно-постоянной функцией и решая получающуюся при этом систему линейных уравнений. Однако, данная система может оказаться плохо обусловленной и потребовать задания дополнительной информации об угловой зависимости О, как это часто бывает при подобном подходе к численному решению интегральных уравнений I рода.

Определение аппаратной функции телескопа и восстановление изображений солнечных протуберанцев. Методы восстановления и обработки изображений играют ключевую роль. при исследовании тонкой структуры солнечных образований: протуберанцев, пятен, волокон, грануляционной сетки. Влияние атмосферы приводит к размыванию изображения и, как следствие, ухудшению разрешающей способности телескопа. Метод интегральных уравнений использует в качестве дополнительной информации значение аппаратной функции (АФ), после чего решается интегральное уравнение типа свертки относительно истинного изображения. В идеале, АФ должна восстанавливаться из того же снимка, так как дрожание атмосферы будет приводить к тому, что АФ будет меняться от снимка к снимку. Идея использования края Солнца для восстановления АФ возникла давно, например (Степанов, 1957). В предположении, что аппаратная функция имеет гауссову форму, в этой работе был предложен метод оценки параметра, определяющего полуширину АФ. Однако, на практике, вид АФ может сильно отличаться от гауссова может иметь

уплощенную вершину или быть сильно скошенной). Использование гауссовой АФ вместо истинной приведет к большим ошибкам в восстановленном изображении..

Третья глава диссертации посвящена численному моделированию и анализу экспериментальных данных в задачах экологии. В частности, решение задачи восстановления производной из зашумленных данных, рассматриваемое здесь, используется в остальных главах диссертации как составная часть более сложных алгоритмов.

Восстановление функции распределения частиц по радиусам из седиментационной кривой. Процесс седиментации (оседание нерастворимой суспензии в вязкой среде) играет важную роль в различных прикладных разделах физики: геологии, метеорологии, экологии. В промышленности седиментация часто используется для разделения суспензий на фракции, состоящие из частиц с различными радиусами. Таким образом, изучение седиментации нолидиснерсных суспензий представляет большой интерес. Спектр размеров частиц является важной характеристикой полидисперсной суспензии. Существующая методика определения спектра, использующая построение касательных к седиментационной кривой, позволяет получить только достаточно грубую гистограмму. Ширина отдельных столбцов гистограммы должна быть достаточно большой. Соответственно, точки, в которых проводятся касательные к седиментационной кривой, так же должны быть достаточно далеко разнесены, так как большая погрешность и определении угла наклона касательных, проведенных в близких точках, дасг большой флуктуациопный вклад в высоту столбцов гистограммы. Большинство классических непараметрических методов оценивания плотности распределения (Izenman, 1991) так же не приводят к желаемому результату. Необходим метод, свободный от вышеперечисленных недостатков.

Численное моделирование седиментации полидисперсной суспензии в присутствии двумерной сжимаемой конвекции. Методы восстановления функции распределения частиц но радиусам, рассмотренные в предыдущем разделе, применимы в случае, когда суспензия оседает в неподвижной среде. Очень часто приходится рассматривать поведение суспензии в движущейся среде. В некоторых случаях движение среды имеет выделенное направление, как при течении жидкости но трубам, в других, как в случае конвекции, — нет. Конвективные движения среды возникают из-за наличия температурных градиентов. Если мы не предпринимаем специальных мер по стабилизации температуры, сплошная среда почти всегда приходит в конвективное движение. В этой ситуации исключительно важно знать какое влияние окажет конвекция на процесс седиментации, и как исказятся результаты восстановления функции распределения частиц по радиусам в присутствии конвекции.

Цели и задачи исследования.

• Используя упрощенную физику, провести моделирование солнечной конвекции в двух измерениях в области, охватывающей по горизонтали несколько десятков 1ранул и простирающейся до глубины, где высокотурбулентные высокоскоростные приповерхностные движения вещества будут сильно подавлены.

• Основываясь на результатах числешюго моделирования, исследовать эволюцию отдельных гранул, их взаимодействие и горизонтальное движение, выявить наличие крупномасштабных структур, соответствующих на Солнце мезо- и супергрануляции.

• Исслсдовать численную модель на наличие акустических колебаний, возбуждаемых конвекцией и найти их спектр.

• Построить численную модель "солнцетряссния" — распространения сейсмической волны от солнечной вспышки, наблюдавшейся 6 июля 1996 г.

• Используя реалистичную физику промоделировать в трех измерениях рассеяние звуковых волн на солнечном пятне, исследовать задержку и изменение амплитуды волнового фронта при прохождении сейсмической волны через солнечное пятно.

• Разработать асимптотический метод для определения внутреннего дифференциального вращения Солнца, не делая априори никаких предположений о виде функциональной зависимости угловой скорости вращения от широты и глубины.

• Разработать неиараметрический метод, позволяющий восстанавливать аппаратную функцию солнечного телескопа но наблюдениям солнечного лимба.

• Разработать неиараметрический метод, позволяющего восстановить непрерывную гладкую функцию распределения частиц полидисперсной суспензии по радиусам, используя экспериментальную седиментационную кривую.

• Выявить характерные закономерности седиментации нерастворимой полидиснерсной суспензии при наличии конвективных движений среды.

Результаты, выносимые па защиту

1. Проведенное моделирование двумерной сжимаемой солнечной конвекции доказывает существование спонтанно возникающих крупномасштабных структур, но размеру и времени жизни соответствующих супергрануляциопным ячейкам на

Солнце. Показано, что турбулентная конвекция вблизи дна вычислительной области возбуждает гравитационные волны с дискретным спектром.

2. Построена численная модель "солнцетрясения" — распространения сейсмической волны от солнечной вспышки, наблюдавшейся спутником SOHO б июля 1996 г. Расчет рассеяния акустических волн на солнечном пятне позволил определить задержку волнового фронта рассеянной волны. Показано, что амплитуда звуковых волн в пятне увеличивается, поверхностная скорость также увеличивается по мере удаления фронта волны от источника.

3. Разработан метод восстановления угловой скорости внутреннего дифференциального вращения Солнца по наблюдаемому вращательному расщеплению 5-мин. колебаний. Показано, что в асимптотическом приближении задача может быть сведена к решению двумерного интегрального уравнения Лбеля. На угловую скорость вращения априори не накладывается никаких функциональных ограничений. Получено аналитическое решение задачи в квадратурах.

4. Разработан непараметрический метод определения аппаратной функции солнечного телескопа для восстановления изображений протуберанцев. Аппаратная функция определяется из На наблюдений спокойного края солнечного диска как решение двумерного интегрального уравнения типа свертки. Показано, что сечение двумерной аппаратной функции плоскостью X0Z равно производной по х от профиля яркости, усредненного вдоль лимба.

5. Предлагается новый непараметрический метод восстановления функции распределения частиц полидисперсной суспензии по радиусам. Подход основан на решении интегрального уравнения, описывающего процесс седиментации (оседания) суспензии в вязкой среде, методом тихоновской регуляризации. Предлагаемый метод позволяет получать гладкую функцию распределения сложной многомодовой формы и может использоваться для анализа смеси двух и более суспензий с различными функциями распределения частиц по размерам.

6. Проведенное численное моделирование седиментации полидисиерсной суспензии в прямоугольной области в конвективно-неустойчивой среде показало, что конвекция действует как размерный фильтр, сепарируя частицы суспензии на взвешенную и осевшую фракции в зависимости от их радиусов. Радиусы частиц во фракциях зависят только от разности температур верхней и нижней граней.

Научная новизна полученных результатов.

1. Численное моделирование двумерной сжимаемой солнечной конвекции показало, что супергрануляционные структуры спонтанно возникают при взаимодействии соседних гранул.

2. Впервые построена численная модель события 6 июля 1996 г. — распространения сейсмической волны от солнечной вспышки, наблюдавшейся спутником SOHO. Проведено 3D моделирование рассеяния акустических волн солнечным пятном.

3. Подход к обработке различных наблюдательных и экспериментальных данных с единой позиции решения обратных некорректных задач позволяет разработать новые нспараметрическис методы для 1) восстановления угловой скорости внутреннего дифференциального вращения Солнца, 2) определения аппаратной функции солнечного телескопа. 3) восстановления функции распределения частиц полидисперсной суспензии но радиусам.

4. Численное моделирование седиментации полидисперсной суспензии в прямоугольной области в конвективно-неустойчивой среде показало, что конвекция действует как размерный фильтр, сепарируя частицы суспензии на взвешенную и осевшую фракции в зависимости от их радиусов.

Личный вклад соискателя. Диссертационная работа является самостоятельным научным исследованием. Лично автором разработан план исследований, используемые алгоритмы распараллелены и реализованы в виде пакетов программ на C++. Расчеты проводились на суперкомпьютерах Отдела суперкомпьютерных вычислений исследовательского центра НАСА, Центра турбулентных исследований Стэнфордского университета и суперкомпьютерах Ханзеновской лаборатории экспериментальной физики Стэнфордского университета (Калифорния, США). Лично автором проведена интерпретация полученных результатов.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались автором на семинарах Отдела физики Солнца Крымской астрофизической обсерватории (КрАО) 1990-2003 гг., заседании президиума Академии наук Украины (Киев, 1999 г.), конференциях по физике Солнца (КрАО, 1998, 1999, 2001, 2002, 2003 гг.), первой международной конференции по математической экологии (Мадрид, Испания, 3-8 сентября 1998 г.), рабочей группе по математическим проблемам потоков суспензий (Штутгарт, Германия, 9-10 октября 1999 г.), конференции по сепараторным системам жидкость-твердое тело (Гавайи, США, 18-23 апреля 1999 г.), конференции по эволюционному моделированию систем частиц (Гавайи, США, 23-28 января 2000 г.), рабочей группе по локальной гелиосейсмологии (Стэнфордский университет, Калифорния, США, 6-7 апреля 2001 г.), конференции по локальной и глобальной гелиосейсмологии SOHO12/GONG+ (обсерватория Биг Бэр, США, 27 октября - 1 ноября 2002 г), объединенном семинаре Института астрономии Кембриджского университета (ЮА, Cambridge, UK), семинарах Исследовательского центра НАСА (NASA Ames Research Center, Moffct Field, USA), Ханзеновской лаборатории экспериментальной физики Стэнфордского университета (HEPL, Stanford University, Stanford, USA), Центра турбулентных исследований Стэнфордского университета (CTR, Stanford University, Stanford, USA), Геологоразведочной службы США (US Geological Survey, Stanford, USA).

Публикации. Результаты диссертационной работы полностью опубликованы в 15 научлых работах (б без соавторов), в числе которых 8 статей в зарубежных изданиях.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 126 страницах

машинописного текста, состоит из вступления, трех глав, выводов и списка использованных источников. Текст содержит 32 рисунка. Список использованных источников включает 115 наименований, в том числе иностранных— 81.

Содержание работы

Глава I. Численное моделирование солнечной конвекции и рассеяние звуковых волн.

1.1 Моделирование двумерной сжимаемой солнечной конвекции и супергрануляции.

Основные уравнения. Эволюция вязкой сжимаемой сплошной среды в двух измерениях описывалась полной системой уравнений гидродинамики без каких-либо упрощений. Для замыкания системы, связь между давлениемр, плотностью р и температурой Т задавалась реалистичным уравнением состояния с учетом химического состава, возбужденных состояний, ионизации и электронного экранирования. Уравнение состояния вычислялось путем интерполяции таблиц уравнения состояния OPAL, рассчитанных в Ливерморской лаборатории. Предоставляемые таблицы для астрофизических приложений охватывают очень широкий диапазон температур, плотностей и концентраций водорода, гелия и тяжелых металлов. Прилагаемые программы интерполирования таблиц уравнения состояния общего вида работают чрезвычайно медленно и не подходят для использования совместно с программой расчета конвекции, так как уравнение

600x100. t=223.6155 часов

О 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Рис. 1 Распределение температуры (а), у и х-компонент скорости (б и в) в вычислительной области. Стрелками на рис. а показан полный лектор скорости вещества.

состояния приходится решать в каждом узле сетки, при этом более 90% процессорного времени уходило на интерполирование таблиц. Был введен ряд упрощений в интерполяционную процедуру. Во-первых, нет необходимости интерполирования по обилию тяжелых элементов Z и водорода X, так как хим. состав на всем протяжении конвективной зоны постоянен. Во-вторых, входными параметрами стандартных таблиц OPAL являются плотность и температура, заданные на неравномерных сетках, а в качестве независимых переменных в уравнениях гидродинамики используются плотность и внутренняя энергия единицы объема. Это приводит к тому, что приходится использовать итерационную процедуру для определения термодинамических величин, что резко увеличивает время счета. Таблицы OPAL были перешперполированы на логарифмически равномерные сетки для случая хим. состава конвективной зоны Солнца так, чтобы входными параметрами стали плотность и внутренняя энергия. Таким образом, отпала необходимость в итеративной процедуре и поиске на неравномерной сетке, при этом скорость интерполирования возросла более чем на три порядка.

В настоящее время невозможно провести прямое моделирование полных уравнений гидродинамики для конвективной зоны Солнца. Большие характерные числа Рейнольдса Re = 1012+1013 приводят к тому, что приходится учитывать О1ромный диапазон динамических масштабов, порядка Re"4 ~ 10í7. Таким образом, приходится расщеплять независимые переменные на осредненную и флуктуациониую части, а для замыкания системы использовать те или иные модели турбулентности. В данной работе турбулентность учитывалась введением 1урбулетной вязкости t}(

RcT p,c,L И \\ду)

где С=0.2— эмпирическая константа, С0—скоростьзвука на верхней границе.

Па верхней и нижней границах задавались условия Дирихле («глухая» стенка), на боковых границах задавались симметричные граничные условия. Для решения система уравнений использовалась явная схема Мак Кормака

которая имеет второй порядок точности как по времени так и по пространству. Выбор именно этой схемы был обусловлен тем, что схемы более высоких порядков, как правило, требуют большей гладкости как самого решения, так и начальных и 1рапичных условий. Плотность в подфотосферных слоях Солнца очень быстро растет с глубиной, меняясь почти в 2000 раз между верхней и нижней гранями вычислительной области. Солнечная конвекция является исключительно иысокотурбулептной, что приводит к большим градиентам скорости. Все вышесказанное приводит к тому, что численные схемы высоких порядков начинают проявлять неустойчивость. Схема Мак Кормака стабильно ведет себя при резком, почти скачкообразном изменении плотности вблизи поверхности Солнца.

Как у любой явной схемы, у схемы Мак Кормака есть ограничение на шаг по времени, связанное с устойчивостью. Для сжимаемых уравнений Навьс-Стокса когда использовалась следующая оценка

О 10 20 30 40

X Мм

Рис. 2 Диаграмма время-расстояние для среза вблизи верхней грани вычислительной области на глубине 0.56 Мм. Светлым помечены участки горячею медленно поднимающегося вещества.

А/£ Дх

Для аппроксимации частных производных на границах потребовалось расширить вычислительную область, введя в рассмотрение дополнительные иефизические узлы сетки. Значения независимых переменных вычислялись в этих узлах посредством интерполяции. Чтобы при численном моделировании обеспечить «мягкий» старт конвекции без возникновения ударных волн, вводилось «затравочное» ноле скоростей малой амплитуды с (Ну V = 0. Амплитуда скоростей в 105 раз меньше, чем средние конвективные скорости среды после установления равновесия.

Моделирование солнечной, сжимаемой конвекции проводилось в прямоугольной области с отношением сторон 6:1 и сеткой, содержащей 600x100 узлов. Геометрический размер вычислительной области составлял Ь = 47.95 Мм но горизонтали и Н = 7.99 Мм по вертикали. Начальное состояние выбиралось следующим образом. Исходное распределение плотности по глубине бралось из стандартной модели Солнца. Отношение плотностей среды на нижней и верхней

к. Мм1

Рис 3 Дисперсионные соотношения (к-« диаграмма) для гравитационных волн, возбуждаемых турбулентной конвекцией вблизи дна вычислительной области.

граняхх равнялось Pb/Pi - 1800. Профиль давления вычислялся из условия гидростатического равновесия, профиль температуры — из уравнения состояния. Для интегрирования полной системы уравнений в безразмерных переменных использовался явный метод Мак Кормака (3). Шаг по времени Дt — 1.04 с выбирался в соответствии с ограничением Куранта (4). Общая продолжительность моделирования составляла 9.317 суток солнечного времени (775000 итераций, 68 часов процессорного времени компьютера на базе процессора Pentium III с тактовой частотой 1 Ггц). После окончания переходного процесса на 265000-й итерации начали выводиться результаты счета. Промежуточные результаты сохранялись с интервалом в 100 итераций в виде файлов, содержащих значения

1емнературы, плотности и скоростей, а также в виде фильма, кадрами которого являлись карты распределения температуры.

Результаты. Характерной особенностью солнечной конвекции является быстрое остывание вещества в приповерхностном слое и образование, так называемых, даундрафтсов (в иностранной литературе - downdrafts) — компактных, сравнительно холодных образований, движущихся вниз с большой скоростью 10 433 ± 0 046 км/с и проникающих глубоко в область с более спокойными движениями (см рис. 1). Они образуют тонкие стенки гранул. В центре гранулы происходит подъем горячего вещества со значительно меньшими скоростями 5.270 ± 0 023 км/с. Характерное время жизни гранулы составляет 10 + 15 мин. Чтобы проследить закономерности в

движении гранул, необходимо построить так называемую диаграмму время-расстояние. Выбираем горизонтальный слой на фиксированной глубине и прослеживаем эволюцию поля температуры на этом слое с течением времени. На диаграмме время-расстояние (см. рис. 2), построенной для всей длины вычислительной области X 5 47.95 Мм и охватывающей интервал времени в 147.3 часа, видны крупномасштабные структуры с характерным размером 15 т 20 Мм и характерным временем жизни 20 + 30 часов. Аналогичная супергрануляционная картина наблюдается и на Солнце. Супергрануляция не видна при непосредственных наблюдениях, так как амплитуда соответствующих скоростей не высока и картина «замывается» высокоскоростными мелкомасштабными грануляционными движениями. Супергрануляция проявляется только при построении карт горизонтальной скорости гранул или диаграмм время-расстояние.

Высокотурбулентная приповерхностная конвекция возбуждает различные типы воли: звуковые, гравитационные. Для поиска стоячих волн в пашей модели и определения для них дисперсионного соотношения было построено двумерное Фурье-преобразование (рис. 3) диаграммы время-расстояние, вычисленной для глубины А = 6.234 Мм. Отчетливо просматриваются три характерных риджа подобные тем, что видны на спектре 5-мин. солнечных осцилляции.

1.2 Моделирование рассеяния акустических волн солнечным мятном.

Основные уравнения. Распространение акустических волн описывается линеаризованными уравнениями гидродинамики. В качестве опорной модели, в окрестности которой проводилась линеаризация, была взята стандартная модель Солнца. В качестве уравнения состояния, связывающего термодинамические величины, было выбрано реалистичное уравнение состояния, вычисляемое путем интерполяции таблиц OPAL. Кроме этого, учитывается перенос энергии посредством излучения в диффузионном приближении.

Так как мы рассматриваем малые возмущения опорной модели, то при вычислении возмущенных величии р\ £' мы можем пользоваться следующими формулами

без обращения к процедуре интерполяции таблиц OPAL

Для решения линеаризованной системы использовалась четырехслойная конечно-разностная схема высокого порядка

где индексы i, k, j нумеруют узлы сетки по z, у и х соответственно, индекс п нумерует временной слой. Отличительной особенностью схемы является то, что она сохрапяст дисперсионные соотношения. Пространственные производные аппроксимируются на семиточечном шаблоне

Рис. 4 Рассеяние акустических волн, генерируемых единичным импульсом давления, на солнечном пятне в момент t = 151.4 мин. от начала импульса. Окружность на левом рисунке и прямоугольник на нравом представляют собой проекции солнечного пята

Часть коэффициентов а, выбирается так, чтобы аппроксимировать пространственную проичводную п правой части с точностью до (А*)4. Остальные коэффициенты выбираю гея таким образом, чтобы минимизировать ошибку Фурье преобразования правой части. Другими словами, предлагаемая схема аппроксимирует производную таким образом, чтобы минимизировав искажения коротких волн по сравнению с обычным разложением в ряд Тейлора. Для производных по времени можно выписать анало1ичпые выражения. Па границах вычислительной области используются несимметричные шаблоны.

'Гак как схема четырехслойная, то для старта необходимо знать значения qw на предыдущих четырех временных слоях. Если у нас есть значения я,шиа1 при / — О (на временном слое п = 0), то в качестве подходящих начальпых условий можно выбрать следующие

еслии = 0 если л <0.

На границах накладываются пулевые граничные условия. Исследование на стабильность показывает, но данная схема устойчива если шаг по времени выбирать меньше чем

Л/„.

= 0.23—

Со+^ + (дг)2+(лг)

где «о — характерная скорость движений в опорной модели, со — скорость звука. В нашем случае опорная модель статична и условие устойчивости

упрощается до

0.23 Д*

л/3

Чтобы не допустить чрезмерного численного затухания, шаг но времени должен удовлетворять более строгому критерию Дt S Д/dimp» где A/damp дастся тем же выражением, что и A?mHI только коэффициент 0.23 заменен на 0.11.

Результаты. Мы провели численное моделирование распространения акустических волн, возникающих от одиночного импульса давления, расположенного вблизи поверхности. Исследовалось рассеяние акустических волн на солнечном пятне. Пятно аппроксимировалось цилиндром с диаметром D =16 Мм и глубиной II - 40 Мм. Чтобы начать вычисления необходимо задать профили плотности, температуры и давления в пятне. Отклонение ЬТ = Г1р01 — Го температуры в пятне от стандартной модели 7q задавалось "руками". Вблизи поверхности ЬТ — -3000 К и растет с глубиной. На глубине //¡„у = 4.8 Мм наступает инверсия температуры и она становится выше, чем температура, рассчитанная по стандартной модели Солнца для той же глубины. Отклонение температуры достигает максимума 82' = 5000 К на глубине 22.5 Мм и уменьшается до нуля на глубине 40 Мм. Термодинамические величины вычислялись путем интерполирования таблиц уравнения состояния OPAL.

Вычислительная область, имеющая форму параллелепипеда с размерами сторон 57.6 х 57.6 х 52.0 Мм, покрыта равномерной сеткой 144 х 144 х 130 с шагом Дс = ДУ — bz — 400 км. Шаг по времени выбирался в соответствии с условием устойчивости. Максимальна скорость звука Со = 97.5 км/с (на нижней границе), следовательно, Л/^шр = 0.54 с. В качестве начальных условий был выбран одиночный сферически симметричный импульс давления гауссовой формы. Он был расположен вблизи поверхности на глубине = 800 км. На всех границах были наложены нулевые граничные условия. На рис. 4 приводится карта возмущений плотности для момента t = 151.4 мин. после импульса. Левый рисунок представляет собой горизонтальный срез вычислительной области в плоскости XY на глубине z= 800 км. Проекция этого среза на плоскость XZ показана на нравом рисунке тонкой горизонтальной линией вблизи верхней границы. Проекция вертикального среза

вычислительной облает в плоскости XZ (правый рисунок) на горизонтальную плоскость показана на левом рисунке гонкой вертикальной линией. Окружность на левом и прямоугольник на правом рисунках представляют собой проекции пятна.

Горизонтальная пунктирная линия на нравом рисунке показывает глубину, на которой происходит температурная инверсия.

Моделирование было прервано вскоре после момента / — 210 мин., нагому что отражение акустических волн от стенок вычислительной Рис. 5 Положение волнового фронта после 210.9 ооласти сильно искажает волновую мин. Сплошная кривая обозначает срез, картину внутри области. На проходящий через пятно, пунктирная — в моделирование было затрачено 52 перпендикулярном направлении. часа процессорного времени

О 10 20 30 40 SO

X,Mm

Рис б Диаграмма время-расстояние возмущений плотности на глубине h = 800 км Положение пятна показано двумя вертикальными жирными линиями.

компьютера Pentium IV с тактовой частотой 2.4 Ггц. Было проведено моделирование рассеяния акустических волн на пятнах различного размера. Результат, представленный в виде фильмов в формате MPEG, можно найти на сайте http //quake Stanford cdu/~pkv/IIHI)L/Scismologv/

Pulse mpg — распространение звука без солнечного пятна; Spot_R4Mmmpg — рассеяние звуковых волн пятном с радиусом 4 Мм; Spot_R8Mm mpg — рассеяние звуковых волн пятном с радиусом 8 Мм.

Вычисление временной задержки рассеянной волны представляет большой интерес. Эти результаты могут быть использованы в гелиосейсмологии для восстановления внутренней структуры Солнца с использованием техники время-расстояние. Положение волновых фронтов рассеянной и невозмущеиной волны в момент времени t = 210 9 мин. показано на рис. 5. Пунктирная кривая представляет собой горизонтальный срез левого рисунка на рис. 4. Очевидно, что кривая должна быть приблизительно симметрична, так как эти участки волнового фронта не возмущаются пятном. Сплошная кривая представляет вертикальный срез левого рисунка на рис 4, помеченный тонкой линией, проходящей через пятно. Правая часть згою волнового фронта на рис. 5 соответствует нижней части на левом рисунке рис 4 и также не возмущается пятном, практически полуостью совпадая со нприховой линией. Левая часть полнового фронта, возмущаемого пятном, отстает от невозмущснноио фронта. На рис. 6 приведена диаграмма время-расстояние для среза, расположенною на глубине 800 км и проходящего через пятно. На левом рисунке рис. 4 этот срез помечен юнкой вертикальной линией. По наклону линий можуо определить скорость волн. Примечательно, что самый нижпий гребень,

Рис. 7 Солнцетряссние — распространение сейсмической волны от вспышки б июля 1996 г., заснятое спутником 80Ы0. На нижнем правом снимке отчетливо видно увеличение амплитуды волны при прохождении через небольшое солнечное пятно.

соответствующий поверхностной волне, загибается вниз по мере удаления фронта волны от источника. Это соответствует увеличению скорости поверхностной волны с 16.7 км/с вблизи источника до 58.3 км/с на расстоянии 30 Мм. Кроме этого, амплитуда звуковой волны увеличивается внутри пятна, что подтверждается наблюдениями спутника 80Ы0. На рис. 7 приведены четыре последовательных фотографии солнцетрясения 6 июля 1996 г., полученные спутником 80Ы0. На нижнем правом снимке отчетливо видно, что амплитуда волны увеличивается при прохождении сквозь небольшое пятно. Расчеты, представленные в данном разделе, хорошо согласуются с наблюдениями и могут рассматриваться как построение численной модели данного явления.

Глава II. Применение регуляризирующих алгоритмов для анализа солнечных наблюдений

2.1 Восстановлеиис угловой скорости внутреннего дифференциального вращения Солнца но гслиоссйсмологическим данным.

Предлагается метод восстановления внутреннего дифференциального вращения Солнца /Д[г,0) по наблюдаемому вращательному расщеплению акустического спектра 5-мин. солнечных осцилляции ДЫыш- Поправки к собственным частотам нерадиальных адиабатических колебаний в первом порядке по теории возмущений даются выражением

s й). - а.

о /о

AM.

где £ — собственные функции невозмущенной задачи. После подстановки их асимптотических ВКБ-представлений, получим интегральное уравнение для определения угловой скорости вращения, которое может быть решено в квадратурах днукратным применением инверсии Абеля

1 дг Уг 0{ц,у)А/1йу

<К*>ч)--

г J J(п-

Кг dxdniiin-yf1 (м-*)

N1/2 •

где

ф(у,1) г, D.(y,t)yt

in dlnr

d у'

G(x,ti) = к

A to..

y = r2lc2

Решение зависит от двух автомодельных переменных ,*=(/+1/2)2/С|>г, и Ч=1-тг/(/+1/2)г. Метод не использует априорной информации о виде функциональной зависимости и применим даже в случае, если переменные не разделяются.

2.2 Определение аппаратной функции телескопа и восстановление изображений солнечных протуберанцев.

Предлагается пепараметрический метод восстановления аппаратной функции (ЛФ) телескопа по наблюдениям солнечного лимба. Полученная таким образом ЛФ, может быть использована для восстановления изображения протуберанцев. Наблюдаемое изображение Д*1у), восстанавливаемое изображение ^х'У) и ЛФ (ядро) удовлетворяют следующему интегральному уравнению Фредгольма

первого рода

\\К{х-х\у-уЫх',у')Ы*у' = Ах,У)

В качестве исходных данных берется фотография солнечного протуберанца, на которой присутствует достаточно протяженный участок спокойного лимба. Профиль яркости лимба может быть получен усреднением изображения вдоль прямых, параллельных краю. При больших увеличениях можно пренебречь кривизной лимба. Граница фотосферы Солнца при наблюдении в крыле линии Н„ имеет очень резкий

Рис. 8 Исходное Рис. 9 Восстшюилспиос

изображение. изображение.

край, так что для наших целей можно считать, что истинное изображение края g(:¿У) представляет собой полуплоскость. При этих предположениях можно решить (12) относительно К(ху) в квадратурах. Для последующего восстановления изображения протуберанца ^х'У) необходимо решить то же самое инггаралыюс уравнение, где и качестве правой части выступает все изображение (а не только часть лимба), а в качестве ядра К(ху) — восстановленная АФ. Двумерное интегральное уравнение решается методом тихоновской регуляризации. Специфическая форма ядра, зависящего от разности аргументов, позволяет использовать алгоритмы быстрого преобразования Фурье, что ускоряет вычисления и уменьшает объем оперативной памяти, необходимый для реализации алгоритма восстановления изображения. Результат восстановления изображения солнечного протуберанца показан па рис. 8,9. На правом снимке отчетливо видна волокнистая тонкая структура протуберанца. Преимущество данного подхода заключается в том, что ЛФ восстанавливается из того же самого изображения, которое в дальнейшем будет подвергнуто обработке с целью повышения разрешающей способности. При восстановлении аппаратной

функции нс делается никаких априорных предположений о виде ее функциональной зависимости.

Глава Ш. Численное моделирование экспериментальных данных в задачах экологии

и

анализ

3.1 Восстановление функции распределения частиц но радиусам из седимешационной кривой.

Предлагается метод восстановления непрерывной гладкой функции д(г) распределения частиц полидисперсной суспензии по радиусам. Метод использует процесс седиментации (оседание нерастворимой суспензии в вязкой среде) и основан на решении седиментациошюго уравнения

J9(г)

Ш dr-i~m г'°Ч

9 т)Н 2&pgt'

1де V\t) — массовая доля осевшего вещества суспензии, Др— разность плотностей

суспензии и среды, ij— вязкость среды, Н— высота прямоугольного резервуара, где происходит процесс оседания, g — ускорение свободного падения. Подход, основанный на прямом решении интегрального уравнения, оказывается более устойчивым, чем подход который использует формальное решение, выраженное через вторую производную от функции P(i). Для иллюстрации работы метода была использована модельная седиментационная кривая P{t) полученная вычислением с помощью заданной функции распределения q(r) (см. рис. 10а). При восстановлении двугорбой функции распределения частиц по радиусам использовалась функция q(r) равная сумме плотностей двух логнормальных распределений с различными значениями параметров г, а. Такой выбор функции q(r) Рис. 10 Результа1 моделирует седиментационную кривую смеси двух

восстановления функции различных суспензий так как, согласно

распределения для смеси двух Колмогорову, частицы суспензии, получаемой суспензий- дроблением, имеют лопюрмальное распределение.

На рис. 106 сплошной линией показан результат восстановления функции распределения частиц. Пунктиром показано исходное распределение.

3.2 Численное моделирование седиментации полидисперсной суспензии в присутствии двумерной сжимаемой конвекции.

Исследовалась седиментация цементной пыли (р = 2200 кг/м3) в воздухе при нормальных условиях и наличии конвективных движений среды, вызванных градиентом температуры. Квадратная вычислительная область со стороной Ь =10 м содержала 50x50 равномерно расположенных узлов сетки. Начальное состояние статично и не зависит от х. Моделирование проводилось для случаев ДТ = 20 К и ДТ = 50 К. Шаг по времени выбирался равным Д/ = 1.53-10"4 сек. После окончания переходного процесса (приблизительно 15 мин. модельного времени), 50 000 частиц суспензии с логнормальным законом распределения по радиусам случайным образом были распределены по вычислительной области. В дальнейшем, координаты и скорости частиц вычислялись на каждом шаге параллельно с решением системы

уравнений гидродинамики (1). Для замыкания системы использовалось уравнение состояния идеального газа. Результаты расчетов приведены на рис. 11. Показано, что некоторые частицы с достаточно малыми радиусами не оседают совсем. Чем больше разность температур верхней и нижней граней, тем больше конвективные скорости и тем больше массовая доля взвешенной фракции. Конвекция действует как размерный фильтр, разделяя частицы на фракции в соответствии с их радиусами. Этот эффект дает возможность использовать конвекцию для тонкого фракционирования суспензий. Критический радиус частиц, при котором частиц взвешенной фракции зависят от х о д и т разделение на фракции, легко разности температур верхней и нижней г

аней регулировать, изменяя разность температур

между верхней и нижней гранями.

^л -1---1— без конвекции ----1-

0 97500

уг AT ■ 20 К

0 91325

■If ДТ » 50 К

"I / •

О to 20 30 40

t

Рис.11 Массовая доля и размер

33. Восстановление скорости роста и функции плотности вероятности из зашумленных экспериментальных данных.

Используя ряд Тейлора для функции fix) с остаточным членом в интегральной форме, можно получить следующее уравнение для k-й производной

которое может быть решено с использованием регуляризирующих методов. Такой метод определения производной входил как составная часть почти во все алгоритмы, обсуждавшиеся выше. Задача вычисления производной имеет и самостоятельное значение. В данной работе он с успехом использовался при обработке данных биологических экспериментов для определения оптимальной температуры, при

которой скорость роста водорослей максимальна (следовательно, максимален выход биомассы при промышленном культивировании), а также для восстановления функции плотности вероятности по выборке конечного объема. Разработанный пакет нрофамм успешно используется в отделе Биотехнологии и фиторесурсов Института биологияюжных морей г. Севастополя. Этот же пакет использовался автором для обработки экспериментальных данных по концентрации хлорофилла при исследовании динамики биомассы в экосистеме дельты залива Сан-Франциско для Геологоразведочной службы США.

Заключение

В рабою получены следующие основные результаты:

1. Численное моделирование двумерной сжимаемой солнечной конвекции показало существование спонтанно возникающих крупномасштабных структур с характерными размерами Мм и характерным временем жизни часов, отождествляемых с суперфанулами. Показано, что вблизи дна вычислительной области конвекция возбуждает гравитационные волны с дискретным спектром.

2. Построенная численная модель "солнцетрясения" — распространения сейсмической волны о г солнечной вспышки, наблюдавшейся спутником 80Ы0 б июля 1996 г., — хорошо согласуется с наблюдениями. Показано, что амплитуда звуковых воли в пяше увеличивается, поверхностная скорость также увеличивается но мере удаления фронга волны от источника. Рассчитана задержка волнового фронта акустической волны, рассеянной на пятне.

3. Показано, что в асимптотическом приближении задача восстановления уиювой скорости внутреннего дифференциального вращения Солнца по наблюдаемому вращагелыюму расщеплению 5-мин. колебаний может быть сведена к решению двумерного ингералыного уравнения Абеля.

4. Аппаратная функция солнечного телескопа может быть получена из наблюдений спокойного края солнечного диска как решение двумерного интарального уравнения типа свертки. Показано, что сечение двумерной аппаратной функции плоскостью Х02 равно производной по х от профиля яркости, усредненной вдоль лимба.

5. Предлагается новый метод восстановления функции распределения частиц иолидисперснои суспензии по радиусам. Метод основан на решении интегрального уравнения, описывающего процесс седиментации. Предлагаемый метод позволяет получав гладкую функцию распределения сложной формы и может использоваться для анализа смеси двух и более суспензий.

6. Численное моделирование седиментации полидисперсной суспензии в прямоуголыюй области в конвективно-неустойчивой среде. Показано, что конвекция действуст как размерный фильтр, сепарируя частицы суспензии на взвешенную и осевшую фракции в зависимости от их радиусов. Радиусы частиц во фракциях завися только от разности температур верхней и нижней граней.

Список работ, опубликованных по теме диссертации.

1. Косовичев А.Г., Парчевский К.В. Асимптотическое решение обратной задачи гс-

лиосейсмологии для определения внутреннее дифференциального вращения Солнца // Письма в Астрой, журн. - 1988. - Т. 14. С.473-480.

2. Parchevsky V.P., Parchevsky K.V. Instantaneous rates obtained by cubic spline ap-

proximation as a tool for studying bioenergetic and biothermodynamic processes // 10-th ISBC Conference, Monte Verita, Ascona, Switzerland, April 1997.

3. Parchevsky K.V., Parchevsky V.P. Determination of instantaneous growth rates using a

cubic spline approximation // Thermochimica Acta --1998. V.309 - P. 181 -192.

4. Парчевский К.В., Парчевский В.П. Определение мгновенных скоростей роста с

помощью аппроксимирующих кубических сплайнов // Ж. общ. биол. - 1998. Т.59.-С.424-437.

5. Parchevsky K.V. Using regularizing algorithms for the reconstruction of growth rate

from the experimental data // Ecol. Modelling - 2000. - V. 133. - No. 1,2. - P. 107-115.

6. Parchevsky K.V. A new method for the reconstruction of the particle radius distribution

function from the sedimentation curve // Chemical Engineering Journal 2000. V.80.-No.l-3.-P.73-79.

7. Parchevsky K.V. Numerical simulation ofsedimentation in presence of 2D compressible

convection and reconstruction of the particle-radius distribution function // Journal of Engineering Mathematics - 2001. - V.41. - No.2-3. - P.203-219.

8. Парчевский В.П., Парчевский К.В. Средние скорости роста и их свойства // Эколо-

гия моря - 2000. - Т.53. - С.92-96.

9. Парчевский К.В., Парчевский В.П. Восстановление мгновенной скорости из экспе-

риментальных данных с помощью аппроксимирующих кубических сплайнов // Экология моря - 2000. - Т.53. - С.97-101.

10. Степанян Н.Н., Долгополова Е.В., Елизаров А.И., Малапушенко Е.В., Парчевский

К.В., Суница Г.А. Солнечный универсальный спектрофотометр // Изв. Крымской Астрофиз. Обе. - 2000. - Т.96 - С. 194-204.

11. Парчевский К.В., Парчевский В.П. Восстановление мгновенной скорости из экс-

периментальных данных с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова // Экология моря - 2001. - Т.55. - С.87-91.

12. Парчевский В.П., Парчевский К.В.' Моделирование восстановления мгновенной

скорости из данных с различной степенью изменчивости с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова // Экология моря - 2001. - Т.55. С.92-96.

13. Parchevsky K.V. Numerical simulation of 2D compressible solar convection // in Proc.

Local Area Helioseismology Workshop, Stanford, CA, April 2001.

14. Parchevsky K.V. Telescope PSF reconstruction from the solar limb // in Proc. SOHO12/GONG+ 2002 Local and Global Helioseismology: the Present and Future / Ed. H. Sawaya-Lacoste. - Noordwijk: ESA Publication Division, ESA SP-517, 2002. -P.361-364.

15. Parchevsky K.V. Numerical simulation of 2D compressible heat-driven convection // in

Center for Turbulence Research, Annual Research Briefs - 2002. - - P.267-280.

Подписано в печать02.03.2004г. Формат60x84/16. Бумага офс. № 1. Печать ризо. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 6. Участок оперативной печати НИВЦ МГУ. 119992, ГСП-2, Москва, Воробьевы горы, НИВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова

g-515 4

Введение.

Глава 1. Численное моделирование солнечной конвекции и рассеяние звуковых волн.

1.1 Численное моделирование двумерной сжимаемой солнечной конвекции и супергрануляции.

1.2 Моделирование рассеяния акустических волн солнечным пятном.

Глава 2. Применение регуляризирующих алгоритмов для анализа солнечных наблюдений.

2.1 Восстановление угловой скорости внутреннего дифференциального вращения Солнца по гелиосейсмологическим данным.

2.2 Определение аппаратной функции телескопа и восстановление изображений солнечных протуберанцев.

Глава 3. Численное моделирование и анализ экспериментальных данных в задачах экологии.

3.1 Восстановление функции распределения частиц по радиусам из седиментационной кривой.

3.2 Численное моделирование седиментации полидисперсной суспензии в присутствии двумерной сжимаемой конвекции.

3.3 Восстановление скорости роста и функции плотности вероятности из зашумленных экспериментальных данных.

Любое научное исследование должно последовательно ответить на три вопроса: "Что?", "Как?" и "Почему?". Первый этап соответствует сбору информации. Второй этап связан с обработкой данных. Третий этап способствует выяснению причин, породивших исследуемое явление, и здесь не обойтись без построения моделей. В предлагаемой диссертации используется комплексный подход к научному исследованию, охватывающий этапы моделирования и обработки экспериментальных данных на примере решения различных задач. Так как автор работает в Солнечном отделе Крымской астрофизической обсерватории и занимается численным моделированием конвекции и обработкой наблюдений, то большинство задач, решаемых в диссертации, так или иначе, связаны с физикой Солнца, конвекцией, дифференциальным вращением и гелиосейсмо-логией. Все эти задачи тесно связаны друг с другом.

Актуальность темы. Дифференциальное вращение вызывается взаимодействием вращения и конвекции, что приводит к анизотропии рейнольдсовых напряжений. Солнечные пятна, по-видимому, так же являются результатом конвективных движений — нисходящих потоков холодного вещества, быстро остывающего в областях с сильным магнитным полем и представляют собой самоорганизующиеся магнито-конвективные структуры. Однако, динамика под-фотосферных структур и потоков вещества еще недостаточно хорошо изучена. Прямое наблюдение невозможно из-за непрозрачности вещества, поэтому для диагностики внутренних слоев Солнца приходится решать обратные задачи акустики, применяя технику время-расстояние, используемую в гелиоссйсмо-логии. В целом, проблема солнечной конвекции и ее влияние на вращение и структуру магнитного поля Солнца еще не решена. В диссертации развиваются отдельные модели и методы обработки наблюдательных данных для решения этой фундаментальной проблемы солнечной физики и астрофизики.

Подобные модели и методы могут быть применены для моделирования конвекции и интерпретации данных, полученных в лабораторных условиях. Рассмотрение этих задач позволяет более полно выявить характерные отличия и физические закономерности конвективных процессов, расширить область применения численных методов, и, кроме того, получить результаты важные для экологических приложений. В частности, в диссертации выявлено, что конвекция на Солнце и в лабораторных условиях носит качественно различный характер. Если в лабораторных условиях конвекция развивается в виде хорошо известных ячеек Бенара, в которых горячее вещество поднимается в центре ячеек и опускается на границах, то на Солнце структура конвекции определяется высокоскоростными структурами опускающегося вещества. Образно говоря, если в лабораторных условиях конвекция развивается «снизу вверх», то на Солнце — наоборот «сверху вниз».

Среди других интересных аналогий можно отметить процесс оседания пыли в среде с конвективными движениями при формировании солнечной системы и седиментации в лабораторных и промышленных условиях для разделения суспензий. Конвекция противодействует гравитационному оседанию, действуя по-разному на различные пылевые фракции и элементы. Это приводит к разделению среды по физическим свойствам. Большое внимание в современной физике Солнца уделяется изучению структуры и динамики «тахоклина» — переходной зоны между радиативным ядром и зоной турбулентной конвекции. Считается, что в этой зоне протекают процессы солнечного динамо. Гелио-сейсмологические измерения указывают на существенное отклонение в значениях скорости звука в этой зоне по сравнению со стандартной моделью. Это может быть объяснено процессами гравитационного оседания гелия и тяжелых элементов. Пока эти процессы описываются с использованием феноменологических моделей турбулентной диффузии (Proffitt & Michaud, 1991; Christensen-Dalsgaard et al., 1993), однако, результаты диссертации по моделированию седиментации указывают, что на следующем этапе возможно применение прямого численного моделирования тахоклина.

Солнце — это единственная звезда достаточно близкая к нам, чтобы можно было различать детали конвективных движений. С одной стороны, Солнце является лабораторией для тестирования моделей звездной конвекции, с другой — исследование солнечной конвекции имеет самостоятельный интерес. Динамика конвективной области Солнца является определяющей для таких глобальных явлений, как дифференциальное вращение, солнечное динамо и 11 -ти летний цикл солнечной активности, возбуждение 5-мин. осцилляций. На поверхности мы видим проявление конвекции, как минимум, на двух различных масштабах — грануляции и супергрануляции. В то время, как механизм возникновения гранул хорошо изучен — это приповерхностная турбулентная конвекция, супергрануляция до сих пор, начиная с ранних наблюдений (Hart, 1954), остается загадкой. Харт (Hart, 1956) описал пространственные структуры с характерным размером 26 Мм и средними скоростями порядка 0.3 км/с, однако отклонил гипотезу о конвективной природе этих образований из-за слишком большого масштаба. Симон и Лейтон (Simon & Leighton, 1964) сорок лет назад сформулировали гипотезу, которой придерживаются и современные исследователи, что за возникновение супергрануляции ответственны зоны ионизации гелия.

Грануляционная картина простирается вглубь не более, чем на 2+3 Мм. Однако, глубина супергрануляционного слоя в настоящее время не известна. Существуют предположения, что в сильно стратифицированной атмосфере вертикальный размер супергранул может намного превосходить их горизонтальный размер (Parker, 1973). Вычисляя коэффициенты корреляции между горизонтальной и вертикальной компонентами скорости вещества на различных глубинах, Дюваль (Duvall, 1998) получил оценку глубины супергрануляционного слоя в 8 Мм. Жао и Косовичев (Zhao & Kosovichev, 2003) с помощью усовершенствованного алгоритма многоканальной деконволюции установили наличие сходящихся потоков в супергрануляционной ячейке на глубине около 10 Мм и оценили среднюю глубину супергрануляционного слоя в 15 Мм.

По понятным причинам, для упрощения аналитического или полуаналитического описания, супергрануляцию рассматривают в рамках ламинарной конвекции, не смотря на то, что движения вещества в атмосфере Солнца должны быть исключительно высокотурбулентными и существенно нестационарными, как отмечалось Симоном и Лейтоном (Simon & Leighton, 1964). Недавние результаты численного моделирования конвекции в стратифицированной среде при больших числах Рэлея выявили исключительно сложную структуру движений вещества. В настоящее время не вызывает сомнения, что перенос тепла и импульса в высокотурбулентной солнечной конвекции регулируется серией "плюмов" — узко локализованных высокоскоростных потоков относительно холодного вещества, движущегося вниз от поверхности (Julien et al., 1996; Brummel et al., 1996). Динамика отдельных "плюмов" определяется сильным вихревым взаимодействием с соседними "плюмами" (Julien et al., 1996). Раст и Плонер (Rast, 2002; Ploner et al., 2000) считают, что супергрануляционный масштаб возникает в результате взаимодействия и наложения отдельных грануляционных "плюмов". Похожая модель была предложена (Rieutord et al., 2000), в рамках которой супергрануляция является проявлением нелинейной крупномасштабной неустойчивости грануляционной картины, приводимой в действие расширяющимися гранулами. В обоих этих моделях размер супергранул не является характерным масштабом конвекции, а глубина супергрануляционного слоя определяется исключительно глубиной проникновения "плюмов", пока они остаются стабильными.

До сих пор не ясен вопрос, существуют ли промежуточные характерные масштабы: мезогранулы (November et al., 1981) и гигантские ячейки (Beck et al., 1998). В работе (Hathaway et al., 2000) авторы приходят к выводу, что мезогранулы отсутствуют как отдельный характерный масштаб солнечной конвекции. Ячеистая структура с характерным размером мезогранул присутствует, по объясняется вкладом либо больших гранул, либо малых супергранул. Теория длины пути перемешивания говорит, что для каждого фиксированного уровня существует только один характерный размер конвективных ячеек, связанный со шкалой по давлению на этом уровне. Существование дискретных характерных масштабов дает указания на то, что солнечная конвекция может быть обусловлена чем-то большим, нежели простой стратификацией.

Рядом авторов отмечаются необычные свойства супергрануляции. Долготная кросс-корреляция супергрануляционной картины потоков свидетельствует о том, что она (картина) вращается быстрее плазмы на поверхности Солнца (Duvall, 1980; Snodgrass & Ulrich, 1990), скорость которой была получена но прямым допплеровским наблюдениям и быстрее внешней 5% области конвективной зоны (Beck & Schou, 2000), скорость которой была определена с помощью гелиосейсмологии. Еще более загадочным является тот факт, что супргра-нуляционная сетка вращается быстрее, чем магнитное поле (Snodgrass & Ulrich, 1990), причем скорость вращения зависит от размеров ячеек. Крупномасштабные структуры вращаются быстрее, чем мелкомасштабные (Duvall, 1980; Beck & Schou, 2000). Этот феномен был недавно подтвержден для поля скоростей, полученного по наблюдениям /-моды с помощью локальной гелиосейсмологии (Gizon et al., 2003). В свете этих необычных свойств, а так же при отсутствии убедительных доказательств конвективного происхождения супергрануляции, для ее объяснения широко привлекаются альтернативные теории: модулирование конвективных движений гравитационными волнами (Lindzen & Tung,

1976), изменение с глубиной фактора заполнения магнитного поля (Foukal,

1977), взаимодействие конвекции и r-мод (Wolff, 1995), суперпозиция бегущих волн неизвестного происхождения (Gizon et al., 2003). В данной ситуации численное моделирование солнечной конвекции приобретает первоочередное значение.

Существует два дополняющих друг друга подхода к описанию солнечной конвекции. Первый использует упрощенную физику, чтобы исследовать свойства конвекции в глубоких слоях с учетом кориолисовых сил (Brummel ct al., 1996; Weiss et al., 1996; Elliott et al., 1998). Как правило, эти расчеты невозможно продолжить до самой поверхности из-за введенных упрощающих предположений (Miesch, 2000). Другой подход, использующий реалистичные трехмерные расчеты конвекции (Атрощенко, 1993; Atroshchenko & Gadun, 1994; Stein & Nordlund, 1998, 2000), с большой точностью учитывает уравнение состояния вещества, перенос излучения в линиях, магнитное поле, и дает хорошее согласие с наблюдениями. Однако, такие расчеты требуют больших затрат процессорного времени и охватывают область всего в 1-2 гранулы. Для уверенного моделирования супергрануляции вычислительная область должна содержать десятки гранул, находиться вблизи поверхности и учитывать сжимаемость среды.

Из-за непрозрачности поверхностных слоев Солнца, невозможно непосредственно наблюдать подфотосферные движения вещества, и на настоящее время, практически единственным инструментом для исследования внутреннего строения Солнца посредством прямых наблюдений является гелиосейсмоло-гия. Существует два различных взаимно дополняющих друг друга метода восстановления внутреннего строения по наблюдательным гелиосейсмологиче-ским данным. Первый подход основан на исследовании резонансных свойств внутренних областей Солнца путем определения частот нормальных мод колебаний (глобальная гелиосейсмология). Глобальная гелиосейсмология добилась впечатляющих успехов в исследовании крупномасштабных статических и динамических структур внутри Солнца (глубина конвективной зоны, дифференциальное вращение), что позволило значительно продвинуться в понимании физики процессов, протекающих внутри Солнца и других звезд. Другой подход основан на локальном исследовании бегущих волн (локальная гелиосейсмология), что позволяет исследовать явления меньшего масштаба, которые глобальная гелиосейсмология не в состоянии разрешить. Сюда входит исследование структуры солнечных пятен, магнитного поля и потоков вещества в супергрануляционных ячейках. Существует несколько методов исследования взаимодействия акустических волн с локальными неоднородностями модели. Один из них — подход, использующий технику время-расстояние (time-distance), предложенную Дювалем с соавторами (Duvall et al., 1997). Другими альтернативными подходами являются анализ кольцевых диаграмм (ring-diagram analysis) и гелиосейсмическая голография (helioseismic holography). Ключевой концепцией подхода время-расстояние является понятие времени распространения волны между фиксированными точками на поверхности Солнца, которое можно получить путем вычисления кросс-корреляции колебаний на поверхности. Распространение звуковых колебаний при этом подходе вычисляется в рамках геометрической акустики. Однако, приближение геометрической акустики не применимо вблизи поверхности, где давление и плотность меняются очень быстро и должны приниматься во внимание волновые эффекты (Bogdan, 1997). В частности, время распространения звуковой волны чувствительно к свойствам среды не только вдоль пути распространения волны, но и к условиям в окрестности траектории. Более того, ядра чувствительности, вычисленные в борновском приближении (первое волновое приближение), имеют нулевое значение вдоль траектории (Kosovichev, et al., 2000). Таким образом, переход от геометрической акустики к волновой теории не сводится к простому уширению ядер чувствительности. Важным следствием является то, что чувствительность вдоль траектории распространения уже не пропорциональна обратной локальной скорости звука и может сильно от нее отличаться, особенно вблизи поверхности (Stark & Nikolaev, 1993).

В этой ситуации исключительно большую роль приобретает прямое численное моделирование взаимодействия распространяющихся звуковых волн с неоднородностями среды. Одномерные тестовые расчеты были выполнены Ко-совичевым и Дювалем (Kosovichev & Duvall, 1997), двумерные расчеты были проделаны Йенсеном, Якобсеном и Кристенсеном-Далсгартом (Jensen et al., 1999). Необходимо было провести реалистичные трехмерные расчеты рассеяния звуковых волн на неоднородностях внутреннего строения. Наблюдениями SOHO было подтверждено, что вспышки на поверхности Солнца могут порождать бегущие сейсмические волны и гигантские "солнцетрясения", подобные наблюдавшемуся 6 июля 1996 г.

Глобальная гелиосейсмология позволяет исследовать не только крупномасштабные статичные структуры внутри Солнца, но так же глобальную динамику внутренних областей — дифференциальное вращение. В спектре мощности акустических "пятиминутных" мод колебаний наблюдается тонкая структура пиков, связанная с вращением Солнца (Claverie et al., 1981; Duval & Harvey, 1984; Brown & Morrow, 1987). Измеренные разности частот между пиками в тонкой структуре (так называемое вращательное расщепление) могут быть использованы для нахождения закона внутреннего вращения, который представляет большой интерес для изучения внутреннего строения и динамики Солнца, теорий звездной конвекции и механизма динамо, а также для определения гравитационного квадрупольного момента Солнца (Gough, 1985; Toomre, 1984; Макаров и др., 1987).

Смещения частот собственных колебаний вызваны, в основном, простым переносом волновой картины колебаний относительно наблюдателя в результате вращения. Величина этого смещения пропорциональна угловой скорости вещества внутри Солнца, усредненной с некоторым весовым множителем по области распространения колебаний. Размеры этой области по радиусу и широте различны для разных мод акустических колебаний. Поэтому, зная вращательное расщепление частот для некоторого набора мод, можно попытаться определить пространственную структуру внутреннего вращения. С математической точки зрения эта задача заключается в восстановлении зависимости угловой скорости от радиуса и широты по известным интегральным средним, то есть представляет собой обратную некорректную задачу для интегрального уравнения (Тихонов и Арсенин, 1979). В настоящее время разработаны методы решения этой задачи для определения радиальной зависимости угловой скорости в плоскости экватора (Duvall et al., 1984; Gough, 1984), а также широтного дифференциального вращения, заданного в параметрическом виде:

П(г,в) = Q0(r) + fi,(r)cos2 0 + Q2 (r)cos4 О, или аналогичном представлении через полиномы Лежандра (Durney et al., 1987; Косовичев, 1988). Как известно (Вандакуров, 1967; Shibahashi, 1979), высокочастотные акустические моды собственных колебаний могут быть рассмотрены в приближении ВКБ, поскольку длина волны этих колебаний вдоль радиуса мала по сравнению с характерными масштабами изменения плотности и температуры. При этом для функций, описывающих зависимость угловой скорости от радиуса, получаются интегральные уравнения Абеля, решения которых находятся в явном виде по известной формуле абелевой инверсии (Gough, 1984). Однако, параметрическое представление С2(г, 0) может не достаточно хорошо соответствовать реальному закону солнечного вращения. Например, угловая скорость в конвективной зоне может быть зависящей, в основном, от расстояния от оси вращения г sin 0 (Durney, 1976).

Ли и Шибахаши (Lee & Shibahashi, 1986) разработали метод определения Q(r, 0) в общем виде. Они предложили находить зависимость от угла, аппроксимируя ее кусочно-постоянной функцией и решая получающуюся при этом систему линейных уравнений. Однако, данная система может оказаться плохо обусловленной и потребовать задания дополнительной информации об угловой зависимости Q, как это часто бывает при подобном подходе к численному решению интегральных уравнений I рода (Тихонов и Арсенин, 1979). Мы рассмотрели моды колебаний с большими значениями угловой степени /, т. е. колебания с короткими длинами волн не только в радиальном, но и в поперечном направлении. Данное приближение представляет интерес по двум причинам: во-первых, акустические моды с / > 10 захвачены при г > 0.35 RQ, т. е. позволяют исследовать значительную область внутри Солнца; во-вторых, данные наблюдений, во время выполнения работы, были получены, в основном, для таких мод.

Кориолисовы силы, вызываемые вращением, должны оказывать существенное влияние на другие крупномасштабные движения вещества внутри Солнца, в частности на супергрануляцию. Непосредственные наблюдения супергрануляционной сетки затруднены, так как на относительно медленные движения вещества, связанные с супергрануляцией, накладывается быстрая хаотическая грануляционная картина. Супергрануляционная сетка становится видна только после соответствующей обработки поля горизонтальных скоростей отдельных гранул (local correlation tracking). В этой ситуации ключевую роль начинают играть методы восстановления и обработки изображений, позволяющие исследовать тонкую структуру солнечных образований: протуберанцев, пятен, волокон, грануляционной сетки. В данной работе предлагается метод определения аппаратной функции телескопа для последующего восстановления изображений солнечных протуберанцев. Наблюдения протуберанцев исключительно важны, так как они располагаются вдоль нейтральных линий магнитного поля, выявляя крупномасштабную картину, которая, в свою очередь, определяется глубинными конвективными структурами, которые исследуются с помощью гелиосейсмологии.

Влияние атмосферы и неидеальности телескопа приводит к размыванию изображения и, как следствие, ухудшению разрешающей способности. В настоящее время используется несколько принципиально различных подходов к решению проблемы восстановления солнечных изображений.

Метод спекл-интерферометрии широко используется при исследовании мелкомасштабных солнечных структур. Метод позволяет восстанавливать изображение, вычисляя фазу истинного изображения из кросс-корреляционного спектра, полученного из Фурье-образов последовательных кадров. Техника спекл-интерферометрии была предложена в работе (Labeyrie, 1970) и получила дальнейшее развитие в работах (Knox & Thompson, 1974; Weigelt & Wirnitzer 1983). Детальное описание реализации спекл-алгоритма, адаптированного специально для восстановления солнечных изображений дано в (von der Liihe, 1993). Для применения этого метода требуется серия («100) снимков одного и того же объекта с малой экспозицией. Метод позволяет свести к минимуму влияние атмосферы.

Метод фазового разнесения, являющийся разновидностью метода фокального объема. Для восстановления искажений волнового фронта используется информация о распределении интенсивности в трехмерной окрестности фокальной плоскости. Принципы метода фазового разнесения подробно описаны в работах (Gonsalves, 1982; Paxman et al., 1992; Lofdahl & Scharmer, 1994; Paxman et al., 1996). Использование метода применительно к наблюдению солнечных пятен продемонстрировано в работе (Tritschler et al., 1997). На практике, как правило, получают два изображения: одно в фокальной плоскости, другое — слегка не в фокусе. Степень дефокусировки должна быть точно известна.

Метод интегральных уравнений (Тихонов и Арсенин, 1979) использует в качестве дополнительной информации значение аппаратной функции (АФ) К(хУ), после чего решается интегральное уравнение типа свертки относительно истинного изображения. Наблюдаемое сглаженное изображение входит в правую часть уравнения.

Получающееся интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода представляет собой типичную некорректно поставленную задачу, для решения которой необходимо применять те или иные регуляризирующие алгоритмы. Понятие корректности ввел Ж. Адамар (Hadamard, 1902, 1932). Задача называется корректной по Адамару если 1) решение задачи существует; 2) решение единственно; 3) решение устойчиво. Последний пункт означает, что малые изменения исходных данных приводят к малым изменениям решения.

Для решения задачи восстановления изображения методом интегральных уравнений требуется одно изображение и знание АФ. На виде АФ сказывается не только неидеальность прибора, но так же и влияние атмосферы: неоднородности оптической плотности (атмосферные линзы) и рассеяние света. В идеале, АФ должна восстанавливаться из того же снимка, так как дрожание атмосферы будет приводить к тому, что АФ будет меняться от снимка к снимку. Это также важно при обработке архивных фотографий, когда невозможно провести дополнительные наблюдения для определения АФ. Как правило, достаточно трудно отделить вклад в АФ от самого прибора и атмосферы, но для восстановления изображения это не требуется, так как нас интересует суммарный эффект. В дальнейшем, под термином АФ мы будем понимать функцию, получающуюся при суммарном учете вклада атмосферы и неидеальности телескопа.

Идея использования края Солнца для восстановления АФ возникла давно, например (Степанов, 1957). В предположении, что аппаратная функция имеет гауссову форму, в этой работе был предложен метод оценки параметра, определяющего полуширину АФ. Однако, на практике, вид АФ может сильно отличаться от гауссова (АФ может иметь уплощенную вершину или быть сильно скошенной). Использование гауссовой АФ вместо истинной приведет к большим ошибкам в восстановленном изображении.

При исследовании уравнения состояния и переноса излучения на Солнце важную роль играет поведение пылевой компоненты. Динамика пылевой компоненты начинает играть существенную роль при изучении звезд, находящихся на ранних этапах эволюции. Процесс седиментации (оседание пыли) также играет важную роль при исследовании формирования протопланетных дисков. С другой стороны, оседание нерастворимой суспензии в вязкой среде играет важную роль в различных прикладных разделах физики, геологии, экологии. В промышленности седиментация часто используется для разделения суспензий на фракции, состоящие из частиц с различными радиусами. Таким образом, изучение седиментации полидисперсных суспензий представляет большой интерес. Спектр размеров частиц является важной характеристикой полидисперсной суспензии. Не смотря на то, что наиболее естественным способом исследования спектра размеров является построение гистограммы распределения частиц по некоторой выборке, позволяя оценить такие характеристики распределения как скошенность, мультимодальность, положения пиков и т.д., это редко делается. Как показано (Krumbein, 1934), такая гистограмма не является достоверной оценкой для распределения частиц, так как сильно зависит от размеров отобранных частиц. В той же статье предлагается использовать метод графического дифференцирования седиментационной кривой (массовой доли осевшего вещества суспензии в зависимости от времени) для определения функции распределения частиц суспензии по радиусам. Этот метод с небольшими вариациями (Шелудко, 1960) используется и в настоящее время. Обычная техника заключается в построении касательных к седиментационной кривой и измерения длин отрезков, ограниченных точками пересечения касательных и оси OY. Длины отрезков представляют собой массовую долю частиц суспензии в соответствующем диапазоне радиусов частиц. Такая методика позволяет иолучигь только достаточно грубую гистограмму. Точки, в которых проводятся касательные к седиментационной кривой, должны быть достаточно далеко разнесены, так как большая погрешность в определении угла наклона касательных, проведенных в близких точках, даст большой флуктуационный вклад в высоту столбцов гистограммы. Соответственно, ширина отдельных столбцов гистограммы также должна быть достаточно большой. Необходим метод, свободный от вышеперечисленных недостатков. Большинство классических непараметрических методов оценивания плотности распределения так же не приводят к желаемому результату (Izenman, 1991). Для оценки плотности распределения частиц по радиусам больше подходят методы, основанные на сплайн-интерполяции (Wahba, 1975 a, b; Morandi & Costantini, 1989; Beatson & Wolko-wicz, 1989) или сплайн-аппроксимации (Вапник, 1984). Предлагаемый метод не опирается на аппроксимацию функции распределения сплайнами и сводится к задаче решения интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода. В некотором смысле, эта задача занимает промежуточное положение между задачей решения уравнения Вольтеры П-го рода, которая всегда корректна и задачей решения уравнения Фредгольма 1-го рода, которая является некорректно поставленной в любых "разумных" функциональных пространствах. Задача решения уравнения Вольтерры 1-го рода может быть либо корректной, либо некорректной в зависимости от того, в каких пространствах она рассматривается (Апар-цин, 1973, 1976, 1979, 1981; Апарцин и Бакушинский, 1972). Однако, даже в случае если задача корректна, некоторые численные алгоритмы могут порождать неустойчивости. Можно показать (Апарцин, 1973; Верлань и Сизиков, 1986), что методы, основанные на квадратурных формулах Симпсопа, Ныото-на-Котеса и других формулах высокого порядка, порождают расходящиеся алгоритмы. Формулы трапеций и прямоугольников приводят к устойчивым алгоритмам только в случае специального выбора шага интегрирования, зависящего от ошибки правой части и ядра. Таким образом, эти алгоритмы можно трактовать как регуляризирующие, в которых роль параметра регуляризации играет шаг интегрирования. Это накладывает определенные ограничения на использование этих методов, так как правая часть, как правило, известна из эксперимента в виде таблицы значений на нерегулярной сетке. Таким образом, для получения значений правой части в узлах равномерной сетки с оптимальным шагом, нам необходимо решить нетривиальную (в общем случае) задачу интерполяции зашумленных экспериментальных данных.

Уравнение Вольтерры 1-го рода можно формально рассматривать как специальный случай уравнения Фредгольма 1-го рода с ядром, содержащим ступенчатую функцию. Следовательно, регуляризирующие алгоритмы, разработанные для решения уравнений Фредгольма 1-го рода, с успехом могут быть применены и к решению интегральных уравнений Вольтерры 1-го рода. Здесь всюду в дальнейшем применялся метод регуляризации А.Н. Тихонова.

Рассмотренные методы восстановления функции распределения частиц по радиусам, применимы в случае, когда суспензия оседает в неподвижной среде. Очень часто приходится рассматривать поведение суспензии в движущейся среде. В некоторых случаях движение среды имеет выделенное направление, как при течении жидкости по трубам, в других, как в случае конвекции, — нет. Конвективные движения среды возникают из-за наличия температурных градиентов. Если мы не предпринимаем специальных мер по стабилизации температуры, сплошная среда почти всегда приходит в конвективное движение. В этой ситуации исключительно важно знать какое влияние окажет конвекция на процесс седиментации, и как исказятся результаты восстановления функции распределения частиц по радиусам в присутствии конвекции. Херман (Herrmann et al., 1999) провел численное моделирование седиментации монодисперсной и бидисперсных суспензий в статичной вязкой среде, однако, эти результаты не могут быть прямо перенесены на седиментацию полидиспресной суспензии в конвективно-неустойчивой среде. Для этого требуется дополнительное моделирование. Большой интерес представляет сравнение картины конвективных движений в субфотосферных слоях Солнца и в лабораторных условиях. Выявляются принципиальные качественные различия, связанные с большим градиентом плотности вещества на Солнце и большим значением ускорения свободного падения. На Солнце характерной особенностью конвекции является наличие пространственно узко локализованных высокоскоростных нисходящих потоков холодного вещества, которое у поверхности быстро остывает как за счет адиабатического расширении при подъеме, так и за счет излучения. Скорости поднимающегося на большой площади горячего вещества существенно ниже. В лабораторных условиях картина противоположная. Горячее поднимающееся вещество собирается в высокоскоростной тонкий "жгут", в то время, как холодное вещество медленно опускается на большой площади.

Очень часто при реализации алгоритмов, предлагаемых в данной работе, нам приходилось численно вычислять производную от зашумленных экспериментальных данных. Эта задача имеет и самостоятельное значение. Понятие "скорости процесса", например, исключительно важно в биологии, где оно играет фундаментальную роль. Помимо очевидного использования понятия скорости при исследовании роста организмов, существует масса других областей применения. Жизнедеятельность любого отдельного организма связана с дыханием, питанием, ростом, (у растений добавляется фотосинтез, при исследовании целых экосистем необходимо принимать во внимание миграцию особей, изменение численности популяции). Все эти процессы могут быть описаны в терминах потоков кислорода, питательных веществ, скоростей роста, миграции. Так или иначе, но для количественного описания этих процессов необходимо уметь измерять (или вычислять) скорости. Как правило, в эксперименте не измеряется непосредственно скорость процесса, ее приходится вычислять путем численного дифференцирования.

На фоне важности понятия «скорости» для исследования биологических объектов, не понятен разнобой, присутствующий в биологической литературе в использовании этого термина. Помимо мгновенной скорости и удельной скорости d/ г, 1 d/ часто используются средние скорости на некотором интервале времени. Операция временного усреднения <•> некоторой функции Д/) по временному интервалу l/i> h] определяется следующим образом:

Используя эти определения нетрудно получить выражения для средних скоростей в виде

Необходимо подчеркнуть, что выражения для средних скоростей, справедливы для произвольной зависимости /от времени. Очень часто, в биологической литературе авторы опускают слово "средняя" в понятии "средняя скорость", что может приводить к недоразумениям. Только в случае, когда /зависит от t линейно, средняя скорость совпадает с мгновенной скоростью. Аналогично, средняя удельная скорость совпадает с мгновенной удельной скоростью только для случая экспоненциального поведения функции J{t). Второе уравнение было впервые введено в биологии в 1927 году одновременно американским и русским учеными Броди и Шмальгаузеном (Brody, 1945; Шмальгаузен, 1984а,б). Они рассматривали его как мгновенную удельную скорость роста, неявно предполагая экспоненциальный закон роста.

Наряду с неточностями в использовании понятия "скорость", присутствуют явные ошибки. Например, множество исследователей (DeBoer et al., 1978; Fujita & Goldman, 1985; Gordon et al., 1981; Hwang et al., 1987; Lobban et al., 1985; Liming, 1990), следуя друг другу, умножают (Vrc\) на 100% и интерпретируют получающуюся величину как скорость увеличения массы, выраженной в процентах, не замечая, что Vrei — размерная величина. Некоторые исследователи (Винберг, 1968; Карманова, 1976; Neish et al., 1977), для удельной средней скорости, используют выражение

1 /02 )-/(/,) 'J"', Л',) или его модификацию о=

1 /(':)-/(/,)

Эти же выражения используются авторами (Хайлов и др., 1992; Lebedev et al., 1989) для исследования потоков веществ в экосистемах. Эти выражения не только не дают правильное значение средней удельной средней скорости, они вообще не являются средними какой-либо величины на произвольном интервале [/], /2]. Некоторые исследователи (Haglund & Pedersen, 1992, 1993; Lignel et al., 1987; Ohno & Mairth, 1982; Soe-Htun et al., 1986) используют выражение ошибочно трактуя его как скорость роста. На самом деле, величины Vn,i и связаны следующим соотношением:

Такое разнообразие ошибочного использования понятия "скорость" в биологической литературе и побудило нас написать небольшое введение (Парчевский и Парчевский, 1998).

Средняя скорость является хорошим интегральным показателем, который хорошо описывает процесс в целом. Однако, если мы начинаем дробить интервалы усреднения на более мелкие для того, чтобы проследить динамику процесса, ошибки средней скорости начинают увеличиваться. Ошибки могут стать в несколько раз больше самой величины и мы, вместо гладкой функции, получим пилообразную функцию большой амплитуды. Таким образом, мы видим, что средняя скорость не подходит для изучения динамики процессов с достаточно хорошим временным разрешением. Нам необходимо использовать другие подходы для восстановления производной из экспериментальных данных. В данной работе приводится сравнение подходов, основанных на сплайн-аппроксимации и решении интегрального уравнения на производную методом тихоновской регуляризации.

С задачей восстановления производной тесно связана другая не менее важная задача — восстановление функции плотности вероятности (ФПВ) по выборке конечного объема. Стандартный метод разбиения на классовые интервалы с последующим подсчетом количества точек в каждом интервале приводит к грубой гистограмме, не дающей представления о тонкой структуре ФПВ. Чтобы получить непрерывную ФПВ необходимо аппроксимировать полученную гистограмму каким-либо выборочным распределением и подобрать его коэффициенты с использованием критерия у}. Как правило, малое количество свободных параметров в выборочных распределениях не дает возможности детально описать тонкую структуру ФПВ. В случае сложных многомодовых распределений вообще невозможно подобрать подходящую выборочную функцию плотности. Большинство классических непараметрических методов оценивания плотности распределения не приводят к желаемому результату (Izenman, 1991). Один из подходов заключается в использовании аппроксимирующих (Вапник, 1984) или интерполирующих (Wahba, 1975 a, b; Morandi & Costantini, 1989; Beatson & Wolkowicz, 1989) кубических сплайнов. Другой подход основан на решении интегрального уравнения, связывающего кумулятивную функцию распределения и функцию плотности, и, по-сути, сводится к вычислению производной от эмпирической кумулятивной функции распределения. Метод позволяет получать непрерывную гладкую ФПВ и свободен от недостатков методов, использующих сплайн-аппроксимацию.

Цели и задачи исследования.

• Используя упрощенную физику, провести моделирование сжимаемой солнечной конвекции в двух измерениях в области, охватывающей по горизонтали несколько десятков гранул и простирающейся до глубины, где высокотурбулентные высокоскоростные приповерхностные движения вещества будут сильно подавлены. Основываясь на результатах численного моделирования, исследовать эволюцию отдельных гранул, их взаимодействие и горизонтальное движение, выявить наличие крупномасштабных структур, соответствующих на Солнце мезо- и супергрануляции.

• Используя реалистичную физику, промоделировать в трех измерениях рассеяние звуковых волн на солнечном пятне. Исследовать задержку и изменение амплитуды волнового фронта при прохождении сейсмической волны через солнечное пятно. Построить численную модель "солнцетрясения" — распространения сейсмической волны от солнечной вспышки, наблюдавшейся 6 июля 1996 г. Исследовать численную модель на наличие колебаний и волн, возбуждаемых конвекцией и найти их спектр.

• Провести дальнейшее развитие асимптотического метода для определения внутреннего дифференциального вращения и разработать непараметрический метод для определения зависимости угловой скорости дифференциального вращения Солнца от широты и глубины.

• Разработать непараметрический метод, позволяющий восстанавливать АФ из наблюдений солнечного лимба, причем АФ должна восстанавливаться из того же снимка, который в дальнейшем будет подвергнут обработке с целью увеличения разрешения.

• Разработать непараметрический метод, позволяющего восстановить непрерывную гладкую функцию распределения частиц суспензии по радиусам, используя экспериментальную седиментационную кривую. Провести численное моделирование седиментации полидисперсной суспензии в конвективно-неустойчивой среде и выявить характерные закономерности поведения такой системы.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Проведенное моделирование двумерной сжимаемой солнечной конвекции доказывает существование спонтанно возникающих крупномасштабных структур, по размеру и времени жизни соответствующих супергрануляционным ячейкам на Солнце. Показано, что турбулентная конвекция вблизи дна вычислительной области возбуждает гравитационные волны с дискретным спектром.

2. Построена численная модель "солнцетрясения" — распространения сейсмической волны от солнечной вспышки, наблюдавшейся спутником SOHO 6 июля 1996 г. Расчет рассеяния акустических волн на солнечном пятне позволил определить задержку волнового фронта рассеянной волны. Показано, что амплитуда звуковых волн в пятне увеличивается, поверхностная скорость также увеличивается по мере удаления фронта волны от источника.

3. Предлагается метод восстановления угловой скорости внутреннего дифференциального вращения Солнца по наблюдаемому вращательному расщеплению 5-мин. колебаний. Показано, что в асимптотическом приближении задача может быть сведена к решению двумерного интегрального уравнения Абеля. На угловую скорость вращения априори не накладывается никаких функциональных ограничений. Получено аналитическое решение задачи в квадратурах.

4. Предлагается непараметрический метод определения аппаратной функции солнечного телескопа для восстановления изображений протуберанцев. Аппаратная функция определяется из На наблюдений спокойного края солнечного диска как решение двумерного интегрального уравнения типа свертки. Показано, что сечение двумерной аппаратной функции плоскостью X0Z равно производной по х от профиля яркости, усредненного вдоль лимба.

5. Предлагается новый непараметрический метод восстановления функции распределения частиц полидисперсной суспензии по радиусам. Подход основан на решении интегрального уравнения, описывающего процесс седиментации (оседания) суспензии в вязкой среде, методом тихоновской регуляризации. Предлагаемый метод позволяет получать гладкую функцию распределения сложной многомодовой формы и может использоваться для анализа смеси двух и более суспензий с различными функциями распределения частиц по размерам.

6. Проведенное численное моделирование седиментации полидисперсной суспензии в прямоугольной области в конвективно-неустойчивой среде показало, что конвекция действует как размерный фильтр, сепарируя частицы суспензии на взвешенную и осевшую фракции в зависимости от их радиусов. Радиусы частиц во фракциях зависят только от разности температур верхней и нижней граней.

Научная новизна полученных результатов.

1. Численное моделирование двумерной сжимаемой солнечной конвекции показало, что супергрануляционные структуры спонтанно возникают при взаимодействии соседних гранул.

2. Впервые построена численная модель события 6 июля 1996 г. — распространения сейсмической волны от солнечной вспышки, наблюдавшейся спутником SOHO. Впервые проведено реалистичное 3D моделирование рассеяния акустических волн солнечным пятном.

3. Подход к обработке различных наблюдательных и экспериментальных данных с единой позиции решения обратных некорректных задач позволяет разработать новые непараметрические методы для 1) восстановления угловой скорости внутреннего дифференциального вращения Солнца, 2) определения аппаратной функции солнечного телескопа. 3) восстановления функции распределения частиц полидисперсной суспензии по радиусам.

4. Численное моделирование седиментации полидисперсной суспензии в прямоугольной области в конвективно-неустойчивой среде показало, что конвекция действует как размерный фильтр, сепарируя частицы суспензии на взвешенную и осевшую фракции в зависимости от их радиусов.

Личный вклад соискателя. Диссертационная работа является самостоятельным научным исследованием. Лично автором разработан план исследований. Используемые алгоритмы распараллелены и реализованы в виде пакетов программ на С++. Для расчета солнечной конвекции и распространения акустических волн были отдельно разработаны распараллеленные версии программ, оптимизированные для работы на векторных многопроцессорных системах. Программа восстановления изображений солнечных протуберанцев реализована в среде Matlab. При вычислении коэффициентов численной схемы при расчете распространения акустических волн использовалась система аналитических вычислений Mathematica. Расчеты проводились на суперкомпьютерах Отдела суперкомпьютерных вычислений исследовательского центра НАСА, Центра турбулентных исследований Стэнфордского университета и суперкомпьютерах Ханзеновской лаборатории экспериментальной физики Стэнфордского университета (Калифорния, США). Лично автором проведена интерпретация полученных результатов.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались автором на семинарах Отдела физики Солнца Крымской астрофизической обсерватории (НИИ КрАО) 1990-2003 гг., заседании президиума Академии наук Украины (Киев, 1999 г.), конференциях по физике Солнца (НИИ КрАО, 1998, 1999, 2001, 2002, 2003 гг.), первой международной конференции по математической экологии (Мадрид, Испания, 3-8 сентября 1998 г.), рабочей группе по математическим проблемам потоков суспензий (Штутгарт, Германия, 9-10 октября 1999 г.), конференции по сепараторным системам жидкость-твердое тело (Гавайи, США, 18-23 апреля 1999 г.), конференции по эволюционному моделированию систем частиц (Гавайи, США, 23-28 января 2000 г.), рабочей группе по локальной гелиосейсмологии (Стэнфордский университет, Калифорния, США, 6-7 апреля 2001 г.), конференции по локальной и глобальной гелиосейсмологии SOHO12/GONG+ (обсерватория Биг Бэр, США, 27 октября - 1 ноября 2002 г), объединенном семинаре Института астрономии Кембриджского университета (ЮА, Кембридж, Великобритания), семинарах Исследовательского центра НАСА (NASA Ames Research Center, Калифорния, США), Ханзеновской лаборатории экспериментальной физики Стэнфордского университета (HEPL, Стэнфордский университет, Калифорния, США), Центра турбулентных исследований Стэнфордского университета (CTR, Стэнфордский университет, Калифорния, США), Геологоразведочной службы США (US Geological Survey, Калифорния, США).

Публикации. Результаты диссертационной работы полностью опубликованы в 15 научных работах (6 без соавторов), в числе которых 8 статей в зарубежных изданиях.

Содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Во введении обосновывается актуальность темы, дается литературный обзор по выделенным проблемам и, исходя из этого, проводится постановка задач. Первая глава посвящена исследованию крупномасштабных свойств солнечной конвекции и рассеянию акустических волн на неоднородностях внутреннего строения Солнца путем численного моделирования. Во второй и третьей главах разрабатываются новые методы обработки различных наблюдательных и экспериментальных данных с единой позиции решения обратных некорректных задач. Вторая глава посвящена разработке новых методов обработки солнечных наблюдений: восстановлению внутреннего дифференциального вращения из гелиосейсмологических данных, определению аппаратной функции телескопа по наблюдениям солнечного лимба и восстановлению На изображений протуберанцев. В третьей главе разрабатываются методы решения различных прикладных задач промышленности и экологии, имеющих большое практическое значение: определение размеров частиц суспензий, разработка методов тонкого фракционирования суспензий с использованием конвекции, определение скорости роста организмов.

Заключение

В предлагаемой диссертации используется комплексный подход к научному исследованию, охватывающий этапы моделирования и обработки экспериментальных данных. Исследуются крупномасштабные свойства солнечной конвекции и рассеяния акустических волн солнечным пятном путем численного моделирования, разрабатываются новые методы обработки наблюдательных и экспериментальных данных с позиций решения некорректных обратных задач. Все эти задачи тесно связаны друг с другом. Использование новых методов обработки наблюдательных данных позволяет получить информацию, которая в дальнейшем будет использована при численном моделировании.

Получены следующие основные результаты.

1. Численное моделирование качественно воспроизводит основные характерные черты солнечной конвекции: быстрое остывание вещества в приповерхностном слое и образование даундрафтсов — компактных, сравнительно холодных образований, движущихся вниз с большой скоростью 10.433 ± 0.046 км/с и проникающих глубоко в область с более спокойными движениями. Эти движения формируют грануляционную сетку. Характерное время жизни гранулы составляет 10 -г 15 мин., что хорошо согласуется с наблюдениями. Проведенное крупномасштабное численное моделирование двумерной сжимаемой солнечной конвекции при упрощенных физических предположениях, доказывает существование спонтанно возникающих крупномасштабных структур, соответствующих на Солнце супергрануляционным ячейкам. Показано, что турбулентная конвекция возбуждает гравитационные волны с дискретным спектром вблизи дна вычислительной области.

2. Построена численная модель события 6 июля 1996 г. — распространение сейсмической волны от солнечной вспышки, наблюдавшейся спутником SOHO. При численном моделировании воспроизведены характерные черты этого явления: ускорение поверхностной сейсмической волны по мере удаления от источника возмущения, увеличение амплитуды при прохождении через солпечное пятно. Впервые проведено 3D моделирование рассеяния акустических волн солнечным пятном, в результате численного моделирования с учетом реалистичных физических предположений исследовано поведение параметров звуковой волны при прохождении ее сквозь солнечное пятно. Получена величина задержки волнового фронта волны, рассеянной на пятне, по сравнению с невозмущенным фронтом. Результаты моделирования количественно хорошо согласуются с наблюдениями.

Для сравнения результатов численного моделирования с наблюдениями использовались данные, полученные с помощью гелиосейсмологии — восстановление внутреннего строения путем обработки сейсмических наблюдений. Разработка новых методов обработки наблюдательного материала играет большую роль в комплексном исследовании, так как позволяет выявить тонкие детали явления и сравнить с численной моделью. По-видимому, не будет преувеличением сказать, что почти все задачи обработки экспериментальных данных являются некорректно поставленными обратными задачами. Правильная постановка задачи ведет к выбору верного метода ее решения. В диссертации автор единообразно, с позиций решения некорректных задач, подошел к решению различных задач обработки экспериментальных и наблюдательных данных, что позволило получить новые результаты.

3. Предлагается новый непараметрический метод восстановления угловой скорости внутреннего дифференциального вращения Солнца по расщеплению частот 5-мин. акустических колебаний. Наличие большого наблюдательного материала для высокочастотных колебаний с высокими значениями / позволило использовать асимптотические разложения собственных функций колебаний не только по частоте, но и по углу. Показано, что в асимптотическом приближении задача может быть сведена к решению двумерного интегрального уравнения Абеля. Метод выгодно отличается от существующих тем, что в нем не делается никаких априорных предположений о виде функциональной зависимости угловой скорости.

4. Предлагается непараметрический метод определения аппаратной функции (АФ) солнечного телескопа для последующего восстановления изображений протуберанцев. АФ определяется из Н„ наблюдений спокойного края солнечного диска как решение двумерного интегрального уравнения типа свертки. Отличительной особенностью метода является то, что АФ восстанавливается из того же снимка, который в дальнейшем будет подвергаться обработке с целью повышения разрешающей способности. Полученная таким образом АФ позволяет восстанавливать тонко-волокнистую структуру протуберанцев, что важно для понимания крупномасштабной структуры магнитного поля Солнца и супергрануляции.

5. Исследование динамики пылевой компоненты представляет большой интерес как для физики Солнца и звезд, так и для промышленных приложений. Предлагается новый непараметрический метод восстановления функции распределения частиц полидисперсной суспензии по радиусам. Метод основан на решении интегрального уравнения, описывающего процесс седиментации (оседания) суспензии в вязкой среде. В отличие от существующих, предлагаемый метод позволяет восстанавливать тонкую структуру функции распределения даже если она имеет сложную форму с несколькими максимумами. Метод может быть использован для анализа смеси двух и более суспензий с различными функциями распределения частиц по размерам, что исключительно важно в промышленности при контроле качества производства порошкообразных веществ.

6. Сравнение качественного поведения конвекции в лабораторных условиях и на Солнце позволяет более полно выявить характерные отличия и физические закономерности конвективных процессов, расширить область применения численных методов, и, кроме того, получить результаты важные для экологических приложений. Численное моделирование седиментации полидисперсной суспензии в конвективно-неустойчивой среде показало, что конвекция, противодействуя оседанию суспензии, не позволяет оседать частицам с радиусами, меньшими некоторого критического значения, зависящего от параметров конвекции. При этом конвекция действует как размерный фильтр, сепарируя частицы суспензии на взвешенную и осевшую фракции в зависимости от их ра, диусов, что позволяет использовать этот эффект для тонкого фракционирования суспензий. Радиусы частиц во фракциях зависят от конвективных скоростей, которые, в свою очередь, зависят только от разности температур верхней и нижней граней.

Восстановление производной из зашумленных данных использовалось на протяжении второй и третьей глав как составная часть более сложных алгоритмов обработки наблюдательных и экспериментальных данных. Эта задача имеет и самостоятельный интерес. Использование метода тихоновской регуляризации для восстановления производной позволило получить мощное средство, позволяющее биологам исследовать скорость роста организмов и функцию плотности вероятности по выборке конечного объема. Разработанный пакет программ успешно используется в отделе Биотехнологии и фиторесурсов Ин-1 ститута биологии южных морей г. Севастополя. Этот же пакет используется автором для обработки экспериментальных данных по концентрации хлорофилла при исследовании динамики биомассы в экосистеме дельты залива Сан-Франциско для Геологоразведочной службы США.

Благодарности. Автор выражает благодарность научному руководителю А.Г. Косовичеву за ценные замечания, плодотворное обсуждение работы и материально-аппаратную поддержку исследований. Автор также выражает благодарность директору Ханзеновской лаборатории экспериментальной физики Стэн-фордского университета Ф. Шереру и директору Центра турбулентных исследований Н. Мансуру за предоставление возможности использовать суперкомпьютеры Стэнфордского университета и Исследовательского центра AMES NASA.

1. Апарцин А.С. О применении различных квадратурных формул для численного решения интегральных уравнений Вольтера I рода методом квадратурных сумм. // Дифференц. и интегр. уравнения. 1973. - Вып.2. - С.107-116.

2. Апарцин А.С. О численном решении систем интегральных уравнений Вольтера I рода методом квадратур. / Методы оптимизации и исследования операций: Прикл. математика. Иркутск, 1976. - Вып.4. - С.79-88.

3. Апарцин А.С. О численном решении интегральных уравнений Вольтера I рода регуляризованным методом квадратур. / Методы оптимизации и их приложения. 1979. - Вып.9. - С.99-107.

4. Апарцин А.С. Численное решение интегральных уравнений I рода типа Вольтера. / Препринт СЭИ № 1. Иркутск, 1981. - 26 с.

5. Апарцин А.С., Бакушинский А.Б. Приближенное решение интегральныхуравнений Вольтера I рода методом квадратурных сумм. //Дифференц. и интегр. уравнения. 1972. - Вып.1. - С.248-258.

6. Атрощенко И.Н. Трехмерные гидродинамические модели солнечнойфотосферы // Кинематика и физика небесных тел. 1993. - Т.9, № 1. -С.3-15.

7. Белоцсрковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985.

8. Бродский М.А., Воронцов С.В. // Письма в Астрон. журн. 1987. - Т. 13. -С.438.

9. Вандакуров Ю.В. // Астрон. журн. 1967. - Т.44. - С.768.

10. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова Думка, 1986. - 544 с.

11. Винберг Г.Г. Рост, скорость развития и плодовитость в зависимости от условий среды / Методы определения продукции водных животных. Минск: Вышэйшая школа, 1968. - С.45-77.

12. Войскобойников Ю.В., Преображенский Н.Т., Сидельников Л.И.

13. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. -Новособирск: Наука, 1984.

14. Карманова И.В. Математические методы изучения роста и продуктивности растений. М.: Наука, 1976. - 222 с.

15. Кокс Дж. Теория звездных пульсаций. М.: Мир, 1983.

16. Колмогоров А.Н. О логарифмически нормальном законе // Докл. Акад. Наук СССР.- 1941.-Т.31.-С.99-101.

17. Косовичев А.Г. // Письма в Астрон. журн. 1988. -Т.14. - С.344.

18. Косовичев А.Г., Парчевский К.В. Асимптотическое решение обратной задачи гелиосейсмологии для определения внутреннего дифференциального вращения Солнца// Письма в Астрон. журн. 1988. - Т. 14. - С.473-480.

19. Макаров В.И., Рузмайкин А.А., Старченко С.В. // Солн. данные. 1987. - №5. -С.82.

20. Мигдал А.Б., Крайнов В.П. Приближенные методы квантовой механики. — М.: Наука, 1966.

21. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959.

22. Парчевский К.В., Парчевский В.П. Определение мгновенных скоростей роста с помощью аппроксимирующих кубических сплайнов // Ж. общ. биол. -1998. Т.59 - С.424-437.

23. Парчевский В.П., Парчевский К.В. Средние скорости роста и их свойства // Экология моря 2000. - Т.53 - С.92-96.

24. Парчевский К.В., Парчевский В.П. Восстановление мгновенной скорости из экспериментальных данных с помощью аппроксимирующих кубических сплайнов // Экология моря 2000. - Т.53 - С.97-101.

25. Парчевский К.В., Парчевский В.П. (2001), Восстановление мгновеннойскорости из экспериментальных данных с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова // Экология моря 2001. - Т.55 - С.87-91.

26. Парчевский В.П., Парчевский К.В. Моделирование восстановления мгновенной скорости из данных с различной степенью изменчивости с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова // Экология моря 2001. - Т.55 -С.92-96.

27. Степанов В.Е. Распределение интенсивности на краю диска Солнца для X 3400, 3670, 4370, 4825, 5310 и 6055 Л // Сообщ. ГАИШ. 1957. - № 100. - С.36-50.

28. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.-288 с.

29. Степанян Н.Н., Долгополова Е.В., Елизаров А.И., Маланушенко Е.В., Парчевский К.В., Суница Г.А. Солнечный универсальный спектрофотометр // Изв. Крымской Астрофиз. Обе. 2000. - Т.96 -С.194-204.

30. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. - 232 с.

31. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей М.: Мир, 1991. -Т. 2. - 552 с.

32. Хайлов К.М., Празукин А.В., Ковардаков С.А., Рыгалов В.Е. Функциональная морфология морских многоклеточных водорослей. Киев: Наукова думка, 1992.-280 с.

33. Шелудко А. Коллоидная химия. / пер. с болгарского, под ред. Б.В. Дкрягина, С.С. Воюцкого. М.: Изд. Иностранной литературы, 1960. - 332 с.

34. Шмальгаузен И.И. Рост и дифференцировка. Киев: Наукова думка, 1984а. -Т.1 -176 с.

35. Шмальгаузен И.И. Рост и дифференцировка. Киев: Наукова думка, 19846. -Т.2-168 с.

36. Atroshchenko I.N., Gadun A.S. Three-dimensional hydrodynamic models of solar granulation and their application to a spectral analysis problem // Astron. Astrophys. 1994. - Vol.291. - P.635-656.

37. Beatson R.K., Wolkowicz H. Post-processing piecewise cubic splines for monotonicity. // SI AM J. Numer. Anal. 1989. - Vol.26. - P.480-502.

38. Beck J.G., Duvall Jr. T.L., Scherrer P.H. Long-lived giant cells detected at the surface of the Sun // Nature. 1998. - Vol.394. - P.653-655.

39. Beck J.G., Schou J. Supergranulation rotation // Solar Phys. 2000. - Vol.193. -P.333.

40. Bogdan T.J. A comment on the relationship between the modal and time-distance formulation of local helioseismology // Astrophys. J. 1997. - Vol.477. - P.475.

41. Brody S. Bioenergetics and growth. N.Y.: Reinhold Publ. Co., 1945. - 1023 p.

42. Brown T.M., Morrow C.A. Depth and latitude dependence of solar rotation // Astrophys. J. Letters 1987. -Vol.314. - P.L21-L26.

43. Brummel N.H., Hurlburt N.E., Toomre J. Turbulent compressible convection with rotation. I. Flow structure and evolution // Astrophys. J. 1996. - Vol.473. -P.494.

44. Christensen-Dalsgaard J. On solar models and their periods of oscillation // Mon. Not. R. Astr. Soc. 1982. - Vol. 199. - P.735-761.

45. Christensen-Dalsgaard J., Proffit C.R., Thompson M.J. Effects of diffusion on solar models and their oscillation frequencies // Astrophys. J. 1993. - Vol.403. -P.L75-L78.

46. Claverie A., Isaak G.R., McLeod C.P., van der Raay H.B., Roca Cortes T. Rapid rotation in solar interior // Nature 1981. - Vol.293. - P.443-445.

47. DeBoer J.A, Guigli H.J, Israel T.L, D'Elia C.F. Nutritional studies of wo red algae. I. Growth rate as a function of nitrogen source and concentration // J. Phycol. -1978.-Vol.14-P.261-266.

48. Durney B.R. / Basic Mechanisms of solar Activity / IAU Symp. No. 71// Eds. V. Bumba, J. Kleczek. Dordrecht: Reidel. - 1976. - P.243.

49. Durney B.R., Goody P.R., Hill F. // Nat. Opt. Astron. Observ. Tucson. 1987. -No.0069.

50. Duvall T.L.Jr. The equatorial rotation rate of the supergranulation cells // Solar Phys. 1980.-Vol.66.-P.213.

51. Duvall T.L.Jr. / in Proc. SOHO 6/GONG 98 Workshop: Structure and Dynamics of the Interior of the Sun and Sun-like Stars/ Eds. S.G. Korzennik, A Wilson, ESA SP-418, ESA Publication Division, Noordwijk, The Netherlands: 1998. P.581.

52. Duvall T.L.Jr., Dziembowski W., Goody P.R., Gough D.O., Harvey J.W., Leibacher J. Internal rotation of the Sun // Nature. 1984. - Vol.310. - P.22-25.

53. Duvall T.L.Jr., Harvey J.W. Rotational frequency slpitting of solar oscillations // Nature 1984. - Vol.310. - P. 19-22.

54. Duvall T.L. Jr., Kosovichev A.G., Scherrer P.H., Bogart R.S., Bush R.I., De Forest C., Hoeksema J.T., Schou J., Saba J.L.R., Tarbell T.D., Title A.M., Wolfson C.J., Milford P.N. // Sol. Phys. 1997. - Vol.170. - P.63.

55. Foukal P. Supergranulation and the dynamics of gas and magnetic field below the solar photosphere // Astrophys. J. 1977. - Vol.218. - P.539.

56. Fujita R.M., Goldman J.C. Nutrient flux and growth of the red alga Gracilariatikvahiae McLachlan (Rhodophyta) // Bot. Mar. 1985. - Vol.38. - P.265-268.

57. Gizon L., Duvall T.L.Jr., Schou J. // Nature 2003. - Vol.421. - P.43.

58. Gonsalves R.A. Phase retrieval and diversity in adaptive optics // Opt. Eng. 1982. -Vol.21.-P.892-832.

59. Gordon D.M, Birch P.B., McComb A.J. Effects of inorganic phosphorus and nitrogen on the growth of an estuarine Cladophora in culture // Bot. Mar. 1981. — Vol. 24 - P.93-106.

60. Gough D.O. // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1984. - Vol.A314. - P.27.

61. Gough D.O. Inverting helioseismic data//Sol. Phys. 1985. - Vol.100. - P.65-99.

62. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique. // Bull.Univ. Princeton. 1902. - Vol.13. - P.49-52.

63. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derives partielles lineaires hiperboliques. Paris: Hermann, 1932. - 352 p.

64. Hansen C.J., Cox J.P., Van Horn H.M. The effects of differential rotation on the splitting of nonradial modes of stellar oscillations // Astrophys. J. 1977. -Vol.217. - P.151-159.

65. Hart A.B. //MNRAS 1954. - Vol.114. - P. 17.

66. Hart A.B. //MNRAS 1956. - Vol.116. - P.38.

67. Hwang S.-P., Williams S.L, Brinkhius B.II. Changes in internal dissolved nitrogen pools as related to nitrate uptake and assimilation in Gracilaria tikvahiae McLachlan (Rhodophyta) // Bot. Mar. 1987. - Vol.30 - P. 11-19.

68. Jensen J.M., Jacobsen B.H., Christensen-Dalsgaard J. Smooth versus sharp Frechet kernel in time-distance helioseismology // preprint. 1999.

69. Haglund K., Pedersen M. Growth of the red alga Gracilaria tenuistipitata at high pH. Influence of some environmental factors and correlation to an increased carbonic-anhydrase activity // Bot.Mar. 1992. - Vol.35. - No.6. - P.579-587.

70. Hathaway D.H., Beck J.G., Bogart R.S., Bachmann K.T., Khatri G., Petitto J.M., Han S., Raymond J. The photospheric convection spectrum // Sol. Phys. 2000. -Vol.193.-P.495-508.

71. Julien К., Legg S., McWilliams J., Wernr W. // J. Fluid. Mech. 1996. - Vol.322. -P.243.

72. Knox K.T., Thompson B.J. Recovery of images from atmospherically degraded short-exposure photographs // Astrphys. J. 1974. - Vol.193. - P.L45-L48.

73. Kosovichev A.G., Duvall T.L.Jr., Scherrer P.H. Time-distance inversion methods and results // Sol. Phys. 2000. - Vol. 192. - P. 159-176.

74. Krumbein W.C. Size frequency distributions of sediments. // J. Sedimentary Petrology. Vol.4. - 1934. - P.65-77.1.beyrie A. Attainment of diffraction limited resolution in large telescopes by

75. Veque R.J. Nonlinear conservation laws and finite volume methods /

76. Miesch M.S. The coupling of solar convection and rotation // Sol. Phys. 2000. -Vol.192.- P.59-89.

77. Morandi R., Costantini P. Piecevvise monotone quadratic histosplines. // SIAM J. Sci. Statist. Comput. 1989. - Vol.10. - P.397-406.

78. Neish A.C., Shacklock P.F., Fox C.H., Simpson F.J. The cultivation of Chonclrus crispus. Factors affecting growth under greenhouse conditions // Can. J. Bot. -1977. Vol.55 - P.2263-2271.

79. November L.J., Toomre J., Gebbie K.B., Simon G.W. //Astrophys. J. 1981. -Vol.245. -L123.

80. Ohno M., Mairth O.P. Ecology of green alga Ulvaceae occurring on the coast of Okha // India. Rep. Usa Mar. Biol. Inst. 1982. - No.4 - P. 1 -8.

81. Parchevsky K.V. Using regularizing algorithms for the reconstruction of growth rate from the experimental data // Ecol. Modelling 2000a. - Vol. 133 - No. 1 -2 -P. 107-115.

82. Parchevsky K.V. A new method for the reconstruction of the particle radiusdistribution function from the sedimentation curve // Chemical Engineering Journal 2000b. - Vol.80. - No. 1-3 - P.73-79.

83. Parchevsky K.V. Numerical simulation of sedimentation in presence of 2Dcompressible convection and reconstruction of the particle-radius distribution function // Journal of Engineering Mathematics 2001 a. - Vol.41. - No.2-3 -P.203-219.

84. Parchevsky K.V. Numerical simulation of 2D compressible solar convection // in Proc. Local Area Helioseismology Workshop, Stanford, CA, April 2001b.

85. Parchevsky K.V. Telescope PSF reconstruction from the solar limb // in Proc. SOHQ12/GONG+ 2002 Local and Global Helioseismology: the Present and

86. Future / Ed. H. Sawaya-Lacoste. Noordwijk: ESA Publication Division, ESA SP-517, 2002a.-P.361-364.

87. Parchevsky K.V. Numerical simulation of 2D compressible heat-driven convection / in Center for Turbulence Research, Annual Research Briefs 2002b. - P.267-280.

88. Parchevsky V.P., Parchevsky K.V. Instantaneous rates obtained by cubic spline approximation as a tool for studying bioenergetic and biothermodynamic processes // 10-th ISBC Conference, Monte Verita, Ascona, Switzerland, April 1997.

89. Parchevsky K.V., Parchevsky V.P. Determination of instantaneous growth rates using a cubic spline approximation // Thermochimica Acta 1998. - Vol.309. -P.181-192.

90. Parker E.N. Convection and magnetic fields in an atmosphere with constanttemperature gradient. I. Hydrodynamic flows // Astrophys. J. — 1973. — Vol.186. -P.643.

91. Paxman R.G., Shulz T.J., Fienup J.R. Joint estimation of object and aberrations by using phase diversity // J. Opt. Soc. Am. A. 1992. - Vol.9. - No.7. - P. 10721085.

92. Paxman R.G., Seldin J.H., Lofdahl M.G., Scharmer G.B., Keller C.U. Evaluation of Phase-Diversity Techniques for Solar-Image Restoration // Astrophys. J. 1996. -Vol.466.-P. 1087.

93. Ploner S.R.O., Solanki S.K., Gadun A.S. // A&A 2000. - Vol.356. - P. 1050.

94. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical recipes in С++. The art of scientific computing, second edition. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. - 1004 p.

95. Proffitt C.R. Michaud G. Gravitational settling in solar models // Astrophys. J. -1991. Vol.380. - P.238-250.

96. Rast M.P. Supergranulation: new observations, possible explanation. // in Proc. SOHO12/GONG+ 2002 Local and Global Helioseismology: the Present and

97. Future / Ed. H. Sawaya-Lacoste. Noordwijk: ESA Publication Division, ESA SP-517, 2002.-P. 163-172.

98. Rieutord M., Roudier Т., Malherbe J.M., Rincon F. // A&A 2000. - Vol.357. -P. 1063.

99. Rogers F.J., Nayfonov A. Updated and expanded OPAL equation-of-state tables: Implications for helioseismology // Astrophys. J. 2002. - Vol.576. -P. 1064-1074.

100. Rogers F.J., Swenson F.J., Iglesias C.A. OPAL equation-of-state tables for astrophysical applications // Astrophys. J. 1996. - Vol.456. - P.902-908.

101. Sekii Т., Gough D.O. A procedure for two-dimensional asymptotic rotationalsplitting inversion. / The Stars, IAU Colloquium 137, ASP Conference Series 40 // Eds. W.W. Weiss and A. Baglin. San Francisco: Astronomical Society of Pacific.-P.569-571.

102. Shibahashi H. // Publ. Astron. Soc. Japan. 1979. - Vol.31. - P.87.

103. Shine R.A., Simon G.W., Hurlburt N.E. Supergranule and mesogranule evolution // Solar Phys. 2000. - Vol. 193. - P.509-527.

104. Simon G.W., Leighton R.B. Velocity fields in the solar atmosphere. III. Large-scale motions, the chromospheric network, and magnetic fields // Astrophys. J. — 1964.-Vol.140.-P.l 120.

105. Simon G.W., Weiss N.O. // Z. Astrophys. 1968. - Vol.69. - P.435.

106. Smagorinsky J. General circulation experiments with primitive equations // Mon. Weather Rew. 1963. - Vol.917. - P.99-165.

107. Soe-Htun U., Ohno M., Mizuta S. Effects of salinity and temperature on the growth of the green alga, Enteromorpha prolifera, in culture // Rep. Usa mar. biol. Inst. Kochi Univ. 1986. - No.8. - P.9-13.

108. Snodgrass H.B., Ulrich R.K. Rotation of doppler features in the solar photosphere // Astrophys. J. 1990. - Vol.351. - P.309.

109. Stark P.B., Nikolaev D.I. // J. Geophys. Res. 1993. - Vol.98. - P.8095.

110. Stein R.F., Nordlund A. Simulations of solar granulation. I. General properties // Astrophys. J. 1998. - Vol.499. - P.914.

111. Stein R.F., Nordlund A. Realistic solar convection simulations // Solar Phys. 2000. -Vol.l92.-P.91-108.

112. Tarn C.K.W., Webb J.C. Dispersion-relation-preserving finite difference schemes for computational acoustics // J. Comput. Phys. 1993. - Vol.107. - P.262-281.

113. Toomre J. /Solar Seismology from Space // Ed. R. Ulrich. Pasadena: Jet Propulsion Laboratory. - 1984.-P.7.

114. Unno W., Osaki Y., Ando H., Shibahashi H. Nonradial oscillations of stars. -University of Tokyo Press. 1979. - P.325.

115. Von der Ltihe O. Speckle imaging of solar small scale structure // Astron. Astrophys. 1993.-Vol.268.-P.374-390.

116. Wahba G. Interpolating spline methods for density estimation I. Equispaced knots. // Ann. Statist. 1975a. - Vol.3. - P.30-48.

117. Wahba G. Histosplines with knots which are order statistics. // J. Roy. Statist. Soc. Ser. В. 1975b.-Vol.38.-P.140-151.

118. Weigelt G.P., Wirnitzer B. Image reconstruction by the speckle-masking method // Opt. Let. 1983. - Vol.8. - P.389-391.

119. Weiss N.O., Brownjohn D.P., Matthews P.C., Proctor M.R.E. // Monthly Noticed Royal Astron. Soc. 1996. - Vol.283. - P.l 153.

120. Wolff C.L. // Astrophys. J. 1995. - Vol.443. - P.423.

121. Yee H.C. A class of high-resolution explicit and implicit shock-capturing methods. NASA technical memorandum 101088. NASA Ames Research Center, 1989.-222 p.