автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и исследование вычислительных моделей поля скорости ветра в атмосфере применительно к задачам экологического мониторинга

На правах рукописи

РЫСКАЛЕНКО РОМАН АНДРЕЕВИЧ

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ПОЛЯ СКОРОСТИ ВЕТРА В АТМОСФЕРЕ

ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧАМ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО МОНИТОРИНГА

05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидага физико-математических наук

Чйяр

Ставрополь - 2008

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Северо-Кавказский государственный технический университет» Федерального агентства по образованию, г Ставрополь

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация

доктор технических наук, профессор Каргин Николай Иванович доктор физико-математических наук, доцент Дерябин Михаил Иванович доктор физико-математических над профессор Кочкаров Ахмат Магомедович Южный федеральный университет (к Ростов-на-Дону)

Защита состоится 15 февраля 2008 года в 14 30 на заседании совета по защите кандидатских и докторских диссертаций Д 212 256 08 в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ставропольский государственный университет» по адресу 355009, г Ставрополь, ул Пушкина, 1

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ставропольского государственного университета

Автореферат разослан « № » января 2008 года

Ученый секретарь совета по защите кандидатских и докторских диссертаций,

Копыткова Л Б

Общая характеристика работы Актуальность темы диссертационного исследования. Математическое моделирование в задачах экологии является современным, развивающимся научным направлением Основоположником данного направления по праву считают академика Г И Марчука Значительные достижения в этой области также принадлежат ученым НИИ Прикладной математики РАН, академику В П' Дымникову, профессорам А Е Алояну, В.В Пененко и др Несмотря на имеющиеся достижения, не все проблемы до конца еще решены

Актуальной задачей в области математического моделирования природных явлений остается разработка эффективных вычислительных алгоритмов для решения векторного нелинейного уравнения Навье-Стокса Применительно к процессам, протекающим в пограничном слое атмосферы при наличии в нем турбулентности, подобные алгоритмы позволят вычислять значения компонент поля скорости ветра Эту информацию затем можно вводить в модели переноса загрязняющих примесей для оценки их концентрации и прогнозировать экологическое состояние воздушного бассейна вблизи промышленного региона

Разработка вычислительных моделей для уравнения Навье-Стокса является достаточно сложной задачей из-за его нелинейности и многомерности Существует много наработок в данной области В частности известны работы профессора ТГ Елизаровой и ее научной школы. Однако следует отметить, что в основном предлагаемые вычислительные модели строятся на основе различного вида конечно-разностных методов Подобные алгоритмы не эффективны, поскольку они не устойчивы к погрешностям в исходных данных. Требуется построение более экономичных и устойчивых вычислительных схем, способных к усвоению эмпирических данных

Актуальной задачей также является создание соответствующего информационного обеспечения на основе современных достижений в области вычислительной техники и информационных технологий, а именно автоматизированных систем моделирования соответствующих прикладных задач

Цель работы разработка и исследование вычислительных моделей для расчета скорости ветра применительно к задачам экологического прогноза состояния атмосферы, способных к усвоению данных экологического мониторинга, и созданию соответствующей модульной системы алгоритмов и программного обеспечения

Объект исследования: поле скорости ветра в турбулентной атмосфере в пределах пограничного слоя

Предмет исследования: векторное нелинейное уравнение Навье-Стокса и соответствующие ему вычислительные модели

Методы исследования: численные методы, применяемые для решения нелинейных многомерных дифференциальных уравнений в частных производных, методы теории аппроксимации, оптимизации, численные методы решения некорректных задач

Задачи диссертационного исследования:

1) в рамках проблемы усвоения данных мониторинга построить параметризованную вычислительную модель на основе методов расщепления и локальной линеаризации для нелинейного векторного уравнения Навье-Стокса с целью вычисления значений компонент скорости ветра;

2) разработать эффективные алгоритмы для вычисления матрицы частных производных и ротора поля скорости ветра, на их основе и при использовании полуэмпирических формул дать прогнозные значения коэффициента турбулентной диффузии для конкретных ситуаций в атмосфере;

3) предложить концептуальную схему информационно-вычислительного обеспечения задач аэродинамики, на ее основе создать модульную систему алгоритмов и соответствующее программное обеспечение,

4) создать методику тестирования алгоритмов и программ, на ее основе выполнить постановку и реализовать вычислительный эксперимент для исследования влияния поля коэффициента турбулентной диффузии и силовых полей на характер изменения поля скорости ветра и поля его ротора, разработать программные средства визуализации результатов моделирования

Научная новизна:

1) построена параметризованная вычислительная модель векторного нелинейного нестационарного уравнения Навье-Стокса на основе методов расщепления и локальной линеаризации для расчета компонент скорости ветра в турбулентной атмосфере,

2) на основе многочленов Бернштейна дая аппроксимации функций в параметризованной модели, для каждого временного слоя выполнена редукция локально-линейных дифференциальных уравнений в частных производных к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ),

3) для решения систем взаимосвязанных СЛАУ на каждом временном слое предложено два регуляризирующих алгоритма, первый реализуется в форме явного построения обратной обобщенной матрицы, а второй предусматривает построение сглаживающего функционала специальной формы с последующей его минимизацией,

4) для оценки ротора поля скорости ветра разработаны регуляри-зирующие алгоритмы, первый из которых реализует метод обобщенного дифференцирования, а второй использует многочлены Бернштейна для аппроксимации частных производных компонент скорости ветра,

5) разработанные алгоритмы реализованы программно, предложена методика тестирования алгоритмов, проведен вычислительный эксперимент, в котором исследованы влияние турбулентности пограничного слоя атмосферы и силовых полей на пространственно-временную распределенность поля скорости ветра, выполнены расчеты коэффициента атмосферной турбулентности и численно исследовано влияние силовых полей на поле турбулентности и поле ротора скорости ветра,

6) предложена концепция построения системы информационно-вычислительного обеспечения применительно к проблеме оценки поля скорости ветра в атмосфере, в соответствии с которой разработана модульная система алгоритмов

Достоверность и обоснованность результатов диссертационного исследования определяется использованием при разработке новых вычислительных моделей известных теоретических положений и методов курсов «Уравнения математической физики», «Вычислительные методы», и др Также достоверность полученных результатов определялась сопоставлением приближенных решений с точными решениями на основе тестовых примеров

Практическая ценность работы состоит в возможности использования созданного в ней информационно-вычислительного обеспечения для разработки информационных систем мониторинга и прогноза экологического состояния атмосферы Программный комплекс зарегистрирован в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам и доступен другим пользователям

Положения, выносимые на защиту:

1) параметризованная локально-линейная вычислительная модель, включающая в себя регуляризирующие алгоритмы обращения СЛАУ по пространственным переменным на каждом временном слое, для векторного нелинейного уравнения Навье-Стокса, решения которого определяют пространственно-временную изменчивость поля скорости ветра в турбулентной атмосфере,

2) регуляризирующие алгоритмы для восстановления матриц частных производных компонент поля скорости ветра при наличии как наблюдаемых, так и приближенных расчетных данных, позволяющих корректно восстанавливать ротор исследуемого поля скорости, а также оценивать прогнозные значения поля коэффициента турбулентной диффузии В основе предлагаемых алгоритмов лежат метода обобщенного дифференцирования, и представления функции многочленами Бернштейна,

3) результаты вычислительных экспериментов по исследованию скорости сходимости вычислительных алгоритмов и их устойчивости к погрешностям в исходных данных, по исследованию влияния турбулентных

состояний атмосферы и внешних силовых полей на пространственно-временную изменчивость поля скорости ветра, по возможности расчета прогнозных значений коэффициента турбулентной диффузии при наличии данных о поле скорости ветра в пограничном слое атмосферы,

4), модульная система алгоритмов и программное обеспечение для задачи оценки скорости ветра в пограничном слое атмосферы

Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались на Всерос науч -технич. конф «Современные проблемы математики и естествознания», г Н Новгород, 2003 г , на II Междунар науч -практич конф «Проблемы экологической безопасности и сохранение природно-ресурсного потенциала», Ставрополь, 2005 г.; на III Всерос науч конф «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах», Краснодар, 2006 г, на VIII Всерос симпоз, по прикладной и промышленной математике, г Сочи, 2007 г , на VI, VIII и X регион науч -технич конф «Вузовская наука -Северо-Кавказскому региону», Ставрополь, 2002,2004,2006 гг

По теме диссертации опубликовано 18 работ К основным публикациям можно отнести 10 работ 3 статьи, из них 2 статьи опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах - «Вестник СевероКавказского государственного технического университета» (2006 г ) и «Известия вузов Северо-Кавказский регион Естественные науки» (2007 г.), 5 тезисов докладов, из них 4 на Международных и Всероссийских симпозиумах и конференциях, тезисы одного доклада опубликованы в реферируемом журнале «Обозрение прикладной и промышленной математики» (2007 г), 2 свидетельства о регистрации алгоритмов и программ в «Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам» (г Москва, 2007 г )

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и трех приложений Объем работы составляет 196 страниц, включая 50 рисунков, 8 таблиц и список литературы, состоящий из 166 источников

Основное содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, формулируются цель и задачи, определяется его научная новизна, достоверность, обоснованность и практическая значимость Представлены положения, выносимые на защиту, результаты апробации и анализ публикаций по теме диссертации

В первой главе выполняется обзор научных публикаций по проблеме комплексного мониторинга и математического моделирования атмосферных процессов Выполняется анализ существующих проблем

в области математического моделирования природных явлений, дается постановка темы диссертационного исследования и обосновывается ее актуальность

Во второй главе выполняется построение вычислительной модели векторного нелинейного уравнения Навье-Стокса для оценки значений компонент поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы, используемые затем в моделях переноса загрязняющих примесей В работе рассматривается один из возможных вариантов уравнения Навье-Стокса [2], в котором учитываются члены, определяемые турбулентным состоянием пограничного слоя атмосферы, и предполагается, что все поля, входящие в него, характеризуются пространственно-временной распределенностью

^ + Укдло]. (1)

а ^ 1 дх, р(РЛ)\ дх,

где обозначено- скорость ветра = К,(Я,/1) I + У2{Р,() у + У3(Р,() к ,

I = 1,3 , Р(х,у,г)еО, (П - некоторая область, ограниченная ), р(Р, () - атмосферное давление в точке Р [77а], {/г,(/3,/)} - компоненты силового поля Р(Р^), действующего на единичный объем в пределах области О |я/л«3|, р{РЛ) - плотность воздуха [кг/л*3], и /л -динамический коэффициент вязкости [кг/(м с)].

На первом этапе построения вычислительной модели осуществляется локальная линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений (1) по методу, изложенному в [2] Суть этой процедуры рассмотрим на примере первого уравнения (1)

% ^ Р Р{ 8*1)

Уравнение (1а) входит в систему подобных еще двух уравнений (1) при 1 = 2,3, и является достаточно сложным с точки зрения построения соответствующей вычислительной схемы Процедура локальной линеаризации реализуется на основе метода последовательных приближений Если обозначить через V номер итерации, то уравнение (1а) можно переписать в виде'

„ г М Э^ м ЭУГ^ ь у м дУ^_Е „,„> _ 1( \, (2а) аI ' дх 2 ду 3 & р 1 Д дх,)

где V = 0,1,2 Итерационная схема (2а) для определения К, выписана таким образом, чтобы решаемое уравнение на V -том шаге было ли-

нейным относительно искомой функции У1(у+1), что требует предварительного знания к/"', У2М и У3У) Аналогичным образом могут быть выписаны и две остальные вычислительные схемы, позволяющие оп-

ределить К2("+1) па •М

■(у)

и У3(У+,) по V,

■ (И+1)

Далее применяется метод расщепления [1], в котором исходным является предположение, что переменная / меняется в пределах некоторого элементарного интервала [?у,г7+1], у = 0,1,2 , где величина

А/ = /7+| —t, может быть сколь угодно малой В связи с этим

может быть заменено на К,0+1) = ^(Т5,, а У,(>/) - на К,{/) =

Это же касается и двух других искомых функций У2 и К3 В результате, линеаризация первого уравнения (1а) в методе расщепления носит локальный характер по переменной I, т.е относится лишь к интервалу к/>(/+1 ]• следующем этапе построения вычислительной модели (1)

предполагаются справедливыми следующие утверждения г/гуК = 0; p(P,i) = c,onst ,,{Fъ[p) = g, Р1~Е1 «О, р(Р,()=р Л Т(Р,(), в котором Л - удельная газовая постоянная, а Г - температура, Чр = р /? VГ,

—~ 9 а*,.

V V /

(3)

где функции Ку(Р^) соответствуют коэффициентам турбулентного обмена в направлениях осей выбранной координатной системы Из уравнения ¿¡уУ = 0 следуют соотношения вида

Ох)

дх-, дх-.

ЁИ

дх?

ГдУ, дУ^ 1 + -3

дх, дх-

з У

¿к, <3х2 у

(4)

Суметом (4) уравнение (2а) может быть переписано следующим образом

дК

М

дУ,

С)

чк,

ас,

.V=0,1,2. (5а)

осуществляется уже по паре

В этой схеме прогноз значения У1<-у+г>

функций V2(у> и У^ Таким образом, осуществлена более корректная

и У3{у)

линеаризация первого уравнения системы относительно искомой

функции Уу Вводя (3) и (4) во все уравнения системы (1) приходим к вычислительной модели вида

dt

;=1

\dxJ;

J=1

dV,

дх

■К

дК

у

дх,

Q,(P,t),i = 1,3 (б)

7

1,2,3, Вычисление значений компо-

где д,(Р,1)^{Р1-др1дх,)/р, I нент скорости ветра по схеме (6) требует задания начальных и граничных условий, а также распределений, входящих в данную систему уравнений Разрабатываемая вычислительная модель должна быть способна к усвоению исходных данных, полученных в эксперименте Здесь возникают определенные проблемы, в частности это касается способов оценки коэффициентов атмосферной турбулентности, непосредственное измерение которых не возможно Преодоление проблемы неопределенности некоторых исходных данных, а также выбор пространственных и временного интервалов моделирования осуществляется в рамках так называемой параметризованной модели, которая строится для уравнений системы (6) Этапы построения такой модели подробно изложены в главе, а сама параметризованная модель имеет вйд

El dt'

-К I

а,

дЛ

дх.

з

м

а> К

дх , " дх j

К

.ЁИ

дх.

. ч\

' j)

V, т

_ку т

г,=-

F" Т

£

р т

р к

р

У, F,

!t дх,

■v Р Vi

i,J = 1,3,

R\-X ,R2~Y = Z , jc, e ¡0, /?,], t e [o,r], je, = x,/R, , t = t/T, P — P(x j, x2, x3) ,

i = 1,3 , k —1,6,

Функция f{P,t) последовательно принимает значения Vt(P,t), Ku(P,t), Ft(P,t), V,(P,t), p(P,t), p(/V), Q,(P,t) Значения переменных и полей, входящих в уравнения (7), изменяются в диапазоне [0,1] Если заданы начальные и граничные условия для Vi (Р, i) на

Q = [0,l]x [0,l]x [0,l] и фиксированы значения безразмерных параметров {а,}, {ß,j\, {г,}, {<Ц,}, то решения уравнений (7) следует рассмат-

ривать как функции параметров, те (ДI,ах, Д;Если {у,*\,

\к*|, р* и р определены однозначно, то параметры {а,},

\рц\, {у,}, {£,} определяют значения величин Л, и Т

Применяя метод покоординатного расщепления, каждое линеаризованное уравнение в системе (7) разбивается на три взаимосвязанных одномерных уравнения Схема расщепления для первого уравнения (7) строится так

Задача 7а 1 <р,-<р,

эу2 эк а2 —-+а3 —1 ч 3*2 У

"А, Че,(Р;/),(8а)

1<Рг(р>^), если 7 = 1,2, = если ¿ей, £ = 1,6,

- „ 5

Задача 7а 2 Рп ^г

йс2 сж2

/ а Л д<р2

12 "^Г"

V у

;®2 0(л?>,(8б)

если РеП

Задача 7а 3 Кз' ~ Аз

'к

л,3 -

дхъ ;

=й>, а(/>,?),• (8в)

г/ .А

сЬс3 ^ ОХъ у

,Рг(Р>^)> если к л.

| если РеС1

[К^ЧА',), если РеЬ </<гу> ®,+<У2+й»3=1, <р(Р, I) = г/>3 (Д?) при ^ <?< ^,

Аналогично вычисляются значения двух других компонент - У2 ( Д1 1)

и , В итоге формируется вычислительная схема, состоящая из де-

вяти одномерных локально-линейных дифференциальных уравнений

Далее в главе выполняется построение вычислительного алгоритма для каждой из девяти подзадач с заданными начальными и граничными условиями Оно начинается с приведения уравнений (8) к СЛАУ на

основе многочленов Бернштейна, Сущность которого рассмотрим на примере уравнения (8а) Вводится функция

6 (**»(,) = Pi (*i = *» 1*2 =х„х3 =xk,i = tj), т = О,М,

Искомое решение, поля исходных данных и их производные аппроксимируются многочленами Бернштейна

С (1= £<?,(-KJj) Ъ, „(*,)=вМ^,)

»1=0 ! ,п=>О

f{xj]\х2,х})* ,?,>/)»'*»»*»> » B'M(xJ,,f)>

OX,

d2f(x.,t, ,.£,) . „

У \ I' ) I 2' 3/ ^ „// J /.4

2 ~ аМ\Л\'Сi'J )

OX |

«23 =«2 ^(^-.ЛН«*, B'k(XiJj-\A)> двм (x, J,^)/di *fo,(i,<*,,?y_,,£))/At = \хг,хъ), если J =0,

#Г (*«>',) = = I= = **)' если J>0'

= ^x0,tj\x2,x}), = xM,tJ\x1,xi)

Функция f(P,t) как и раньше последовательно принимает значения V,(P,t), Kv(P,t), F,(P,t), V,(P,t), p(P,t), p(P,t), Qt{P,t), где tj_i <t<tj С учетом введенных функций и обозначений, а также определенных преобразований уравнение (8а) преобразуется к СЛАУ вида G(t) • F(t) = D(t) (9) Аналогично редуцируются уравнения (86) и (8в) к соответствующим СЛАУ.

Для численного решения (9) в главе реализуются два подхода В

первом случае в качестве обратной матрицы G~x вычисляется обобщенная обратная матрица G~l = (oTG + aslabi)~l GT , которая обеспечивает получение так называемого нормального решения Fa ={GTG + astahl) 1 GrD, где aslnb - параметр регуляризации При 0 матрица G~l -> G~x При astab >0 нормальное решение Fa

по сравнению с решением F = G~] D характеризуется большей устойчивостью к ошибкам, как в матрице G, так и в правой части уравнения (9).

Определение параметра регуляризации ашЬ осуществляется «по невязке», а начальное приближение данного параметра находится в вычислительном эксперименте Алгоритм решения (9) имеет вид

= (ст(1/)0(1;) + амЬ/У0Г(1;)5(1/), = /? (г,) ,

^¡(х,\хг-х,,х3 = 1 = 0,1, к = 0,К

Аналогично решаются СЛАУ, соответствующие подзадачам (86) и (8в)

Второй способ решения, (9) основан на методе наименьших квадратов, в котором выполняется построение и минимизация сглаживающего функционала Алгоритм имеет вид

2 м / м \2

а

м

иаЬ

5=0

Аналогичные алгоритмы строятся для подзадач (86) и (8в)

В третьей главе диссертации разрабатываются алгоритмы восстановления производных компонент скоросги ветра и ротора по приближенным данным, С помощью этих алгоритмов и полуэмпирической формулы [4], выполняются расчеты коэффициента турбулентной диффузии в пограничном слое атмосферы Во второй части главы создается методика вычислительного эксперимента, приводятся результаты численных исследований

В первом параграфе главы рассмотрена математическая модель, связанная с турбулентным переносом загрязняющих веществ в пограничном слое атмосферы [1,2,4]

Е3 д

дх, ¿-¿дх

7=1

/

I -> ОХ,

■I У

/=1

к

дх.

О, (РА

(10)

1 3 &

М

(эк,/а*,)2, г—1,з

В первом уравнении (10) поля q{P,t) и S(P,t) означают концентрацию загрязняющих примесей в атмосфере и ее источник Предполагается следующая последовательность решения уравнений системы (10) вычисляются значения компонент поля скорости ветра (втрое уравнение Навье-Стокса), затем вычисляются значения элементов матрицы частных производных {^/ЙС/} и значения коэффициентов турбулентной диффузии (третье уравнение), и, наконец, вычисляются значения поля концентрации загрязняющих примесей (первое уравнение переноса) Вычислительные алгоритмы решения второго уравнения изложены во второй главе, для первого уравнения соответствующие вычислительные модели могут быть построены аналогично Поскольку в модели (10) матрица \dVtjdXj является определяющей, то для ее

вычисления в главе предложены два алгоритма

Первый алгоритм связан с понятием обобщенного дифференцирования Полагается, что задана функция f(x) в пределах интервала [х0, х„ ] и требуется вычислить f'(x) При вычислении матрицы \dV: Jдхj в качестве подобных функций выступают данные \yt{P,tj)\ Метод основан на сведении задачи численного дифференцирования эмпирических функций к интегральному уравнению Фред-

гольма первого рода с непрерывным ядром [3] *»

= (П)

*0

Х„ г

i ~ х-лч если xn<:t<s

где ф)= f(x)dx-f(x0)(x„-s), /C(s,t) = { ' ,

•> если S<t<xn

Решение (И) имеет вид f^ ={ктК + alYф , где К - матричный аналог исходного интегрального оператора К в (11), а а - параметр регуляризации

Второй алгоритм исходит из представления функций f(x), Vjc е [ОД] и их производных многочленами Бернштейна.

П~ 1 fl-i . -

= " £(ЯЛы)-Я**>) Р„-!»(») = » )-/<*>) С'Гхк{\-хГ1к (12>

к-0 Ыо

На основе алгоритмов (11) и (12) в работе построена вычислительная схема, для оценки значений ^V,jdxj j, ротора скорости ветра и коэф-

фициента турбулентной диффузии в каждой узловой точке Р{хт,хьхк) в момент tJ

Для проведения вычислительного эксперимента в главе разрабатывается тестовый пример, позволяющий моделировать пространственно-временные распределения исходных данных, начальных и граничных условий Распределения полей, вычисляемые с помощью тестового примера во внутренних узлах сетки, считаются точными значениями

Кл'Л,.; I' а /»,/,*,./}, получаемые по алгоритмам второй главы - приближенными решениями Величина отклонения приближенного решения от точного решения определяется по одной из следующих формул*

Уг

п \™=1 1=1 к=1 /

М-1 /-1 К-1

III

- Л2

Уг

где п~(М-1)(£ -1 )(К -1), / = 1,3 , ] -1, N На основе разработанного тестового примера осуществляется постановка и реализация вычислительного эксперимента, который начинается с исследования точности аппроксимации многочленами Бернштейна полей исходных данных и их производных В таблице 1 ■ приведены соответствующие результаты расчетов Далее выполняются численные исследования сходимости и устойчивости вычислительных алгоритмов, изложенных во второй главе Показано (см таб2, рис 1,2), чго сходимость и устойчивость может обеспечиваться выбором оптимального значения параметра регуляризации в вычислительном эксперименте

Таблица 1 Точность аппроксимации многочленами Бернштейна первой компоненты поля скорости ветра, ее первой и второй частных про-

п ^((У/'У^Щ

10 0 01670480 005607230 0 3182150

20 0 00536295 0 01804480 01020500

30 0 00276958 0 00934357 0 0525363

40 0 00174646 0 00590122 0 0330955

Таблица 2. Относительная среднеквадратическая погрешность для двух временных слоев при различных значениях параме тра ре!уляризации ахшЬ.

ЯцаЬ

0,08 0,0094566 0,2451630

0,16 0,0161365 0,1540130

0,18 0,0181726 0,1389044

0,20 0,0212906 0,1268064

1,0 0,0934624 0,7195334

Рисунок 1. Точное V' (х,,х2 \ х3,() и приближенное решение У,(х,,х2 ¡х3,() при значении а№й=0.15, <=0.05 и хъ =0.5 (Г = 0.625с и хг=15м).

Предложена методика численных исследований устойчивости получаемых решений к возможным погрешностям в исходных данных. Вводятся коэффициент усиления ошибки /7 = (о-,(3)(к17 ст,3^7,^0'))/<5, где

¿=^3)(в1(0\е!г)), ¿=й, р=Р(хт,х„хк),

т~0,М, I = 0, £, к-0,К, j — 0, N ; в е [- г;+г] - случайная величина, равномерно распределенная на данном интервале. Параметр г принимает значения: г = 0, г = 0.05, т = 0.1, г = 0.15, г = 0.2, что соответствует 0%, 5%, 10%, 15% и 20% ошибки от исходного точного значения 6,(Р,?); Й(0>(А'/) - значение без погрешности, когда г = 0,и -значение

с погрешностью, когда г > 0; У^Ч/',//) - приближенное решение при отсутствии погрешностей в исходных данных, при наличии погрешности -У1,5)(Р,1 /) • Соответствующие результаты приведены в таблице 3. Если г] < 1, то можно говорить об устойчивости вычислительного процесса.

Аналогично исследованы в вычислительном эксперименте алгоритмы численного дифференцирования, приведены соответствующие результаты

Таблица 3 Величины погрешностей искомых решений <т1'3>(К1г,К/<5)) при различных значениях погрешностей в исходных данных 3 и значений г)

т 8 Ц = 0 06 =0 12 /3 =0 18

п -,(3) Л 7

0 0 0,015 0 0,164 0 0,192 0

0,05 0,026 0,021 0,23 0,172 0,30 0,203 0,42

0,10 0,052 0,043 0,54 0,193 0,56 0,224 0,61

0,15 0,075 0,068 0,62 0,221 0,76 0,260 0,90

0,20 0,098 0,107 0,93 0,263 1,01 0,297 1,07

Затем проводится численное исследование влияния величины коэффициента турбулентности, силы и давления на пространственно-временную распределенность поля скорости ветра Некоторые результаты приведены на рисунках 2 - 4 и в таблице 4, дана интерпретация полученных результатов

В завершающей части главы выполнены расчеты ротора скорости ветра и коэффициента турбулентной диффузии, и проведены численные исследования влияния силовых полей на пространственную распределенность поля ротора скорости ветра и поле турбулентности (см рис 5-8 и таблицу 5)

Таблица 4 Среднее значение У1(хих2 при различных значениях ко-

эффициента турбулентной диффузии К*и, силового поля /7|(х!,х2|х3,/) и поля давления р(х]}х2х3,/)

Влияние турбулентности на скорость ветра Влияние силы на скорость ветра Влияние давления на скорость ветра

ш Ух (Vе) |/?1, шт' ^1,тах 1 (") Ух (м/с) [/^тт»Ртах ] [\05 По) К (м/с)

50 -1 51 [9 78,10.96] -0 298 [0 86,1 14] -0 393

75 -1 49 [9.71,11 28] -0 305 0 82,1 18] -0 377

100 -1 58 9 64,11 6 -0 317 0 72,1 27 -0 342

150 -1.68 [9 56,11.92] -0.323 [0 63,1.36 -0 216

200 -1.74 [9 49,12 24] -0 322 [о 45,1 54] -0 125

Рисунок 2. Линии уровней приближенных решений У1(хих2 |*з,0> полученных при значениях К*п =50 и =200 {м2/с) соответственно (? = 1.5с, х3 = 75м)

Рисунок 3. Линии уровней приближенных решений У^х|х3,/), полученных при F{(х{,х2\хъ,1) и Р{{х\,х2\хъ,1) , ( F, е [-12.54,12.0], F{ е [9.64,11.б] (#)) соответственно (t - 0.0625, jc3 = 0.625 или / = 1.875с, х3 =93.75м).

Рисунок 4. Линии уровней приближенных решений У2(х,,х21 х3д), полученных при /?(х,,х2,х3Д) и р2(х1,х2,х^,1), (р £ [ю5,1.11105], />2 е [о.72 ■ 105Д .27 • 105] (Яа)) соответственно (? = 0.0625, х3 = 0.375 или / = 1.875с, х3 = 56.25л*).

✓ 4 Л / . . 2 ' М [ г Т Г ' м 1 ' 1 ! 1

И........-2 ' ■ " 0 N - Г -2 / г ' Г * 1 4 ' 'Г } I V 1 1 м | 1 Т 1 М мм

• т Г Г I

' Г • Г 1

. , -, I , I I

• г Т ■ Т " т

Г-*--

- Г | I 1

• г • Т ' ! 1 ■ г г < I 1

- - I I ( т

Рисунок 5. Проекции го(У(х1,х2|х3,/) на плоскость ОХУ при Рх{хх,хг\хъ,1) и ^(х„х2|х3,0 (/^6 [-12.54,12.о], Д е [9.64,11.б] (//)) соответственно (х3 = 0.625 или х3 =93.75л<)

Рисунок 6. Линии уровней для приближенных значений К(хх,х2|х3,?) при Р1(х1,х2\х3,0 и Р1(х1,х2\х3,0 е [-12.54,12.0], ^ е [9.64,11.б] (#)) соответственно (? = 0.625 и х, =0.625)

Таблица 5. Диапазон изменения коэффициента турбулентности К(х{,х2|х3,/) и его среднее значение при различных значениях силового поля ^,х2\хъ,1) и давления р2{х{,х2\х3,()

Влияние силового поля Влияние поля давления

Кш1п> ^1,тах] (я) \К К 1лтт' тах J К Не) 1/?2,т)го/?2,шах] (]05Па) \К . К [ тш'л шах ] Ис) К И<)

[9.78,10.96] [0,100.19] 50.095 [0.86,1.14] [0,125.76] 62.88

[9.71,11.28] [0,100.55] 50.275 [0.82,1.18] [0,124.06] 62.03

[9.64,11.6] [0,100.84] 50.420 [0.72,1.27] [0,118.98] 59.49

[9.56,11.92] [0,101.04] 50.520 [0.63,1.36] [0,108.08] 54.04

[9.49,12.24] [0,101.2] 50.600 [0.45,1.54] [0,96.54] 48.27

ф—■ е-" ^ 1 '-/ 1 \ '¿11*' • и 1 - ^ ^ у \ - У / \ ~ / / 1 - \ \ / , . 5,.......X

4?".....^ .....'....... —» ^ 1 г - ^ / ? • г ! * г П ^ А . - ^ V • ] ^ 1 ^ -

\ 1 1 * г - — ^ ^ . • \ / ' ! ' 1 - - / X ч , ?

.< * - 1 - • 1 ! ■< - У . • ; - V - ' У ^ -1 \

Рисунок 7. Проекции го1У на плоскость ОХУ при значениях а(*1>Х2,х},1) и р2(хих2,х$,() (р1 е [о.94 ■ 105,0.99 ■ 105 ], р2 е [о.72 ■ 105,1.27 105] (Па)) соответственно (х} =0.625 или лг3 = 93.75л?)

Рисунок 8. Линии уровней для приближенных значений К(х:, х2 рс3, /) при Р\ > 2 ' 3 ' )

и /72(Х,,Х2,Х3,Г) (/?, е[0.94 105Д99 105], р2 е [о.72-105,1.27-105 |(/7а)> соответственно (7=0.625 и ^=0.375)

Анализируя рисунки 2-8 и таблицы 4, 5 можно сделать вывод о значительном влиянии градиента давления на пространственное распреде-

ление поля скорости ветра и его ротора, на степень локализации линий уровней вокруг минимумов и максимумов, на количество вихрей и др

Четвертая глава посвящена разработке модульной системы алгоритмов, соответствующих методам, рассмотренных в предыдущих главах Все алгоритмы объединяются в единую систему и предусматривают передачу данных щ одного модуля в другие В данной главе предлагаются принципы построения систем информационно-вычислительного обеспечения аэродинамических моделей и их взаимосвязей с другими вычислительными моделями. Модульная система представляет собой совокупность взаимосвязанных, полностью детализированных алгоритмов Взаимосвязь алгоритмов осуществляется посредством драйверных модулей, каждый из которых написан на специальном псевдоязыке программирования, который построен так, что его можно легко перевести на любой язык программирования высокого уровня

Основные результаты, полученные в диссертации:

1 На основе метода расщепления по пространственным переменным в работе построена параметризованная локально-линейная вычислительная модель для численного решения векторного нелинейного уравнения Навье-Стокса применительно к задаче прогноза пространственно-временной изменчивости поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы

2 Используя в качестве аппарата аппроксимации функций многочлены Бернштейна, для каждого временного слоя выполнена" редукция параметризованной линейной модели уравнений аэродинамики в п 1 к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

3 Для решения СЛАУ предложен регуляризирующий алгоритм, реализуемый в формах явного и не явного построения обратных обобщенных матриц, обеспечивающий устойчивость и сходимость на временном интервале

4 Рассмотрена аэродинамическая модель, связанная с турбулентным переносом загрязняющих веществ в пограничном слое атмосферы и сформулирована вычислительная задача оценки матрицы частных производных компонент скорости ветра в условиях неопределенности исходных данных Для решения этой задачи предложено два алгоритма, первый из которых связан с понятием обобщенного дифференцирования, а второй исходит из представления функций и их производных многочленами Бернштейна

5 Разработано программное обеспечение для задач численного дифференцирования эмпирических и приближенно заданных функций, проведено численное исследование эффективности предложенных алгоритмов

6 Разработана методика численного анализа решений векторного уравнения Навье-Стокса, полученных -с помощью решающего алгоритма главы 2, предложен соответствующий тестовый пример для данного класса вычислительных задач.

7 В вычислительном эксперименте с использованием тестового примера получены результаты по оценке скорости сходимости основных вычислительных схем и их устойчивости к погрешностям в исходных данных

8. Представлены результаты численных исследований и соответствующие им графические и табличные иллюстрации, демонстрирующие влияние поля коэффициента турбулентной диффузии, а также силовых полей в правой части уравнения Навье-Стокса на характер изменения поля скорости ветра и поля его ротора, а также результаты вычислительного эксперимента по возможности расчета прогнозных значений коэффициента турбулентной диффузии при наличии данных о поле скорости ветра в атмосфере

9. Предложена концепция построения системы информационно-вычислительного обеспечения моделей аэродинамических процессов, протекающих в пограничном слое атмосферы

10 Разработана модульная система алгоритмов в виде совокупности взаимосвязанных драйверных модулей, выполнена их детальная алгоритмизация на псевдоязыке программирования

Список основных работ, опубликованных по теме диссертации: Публикации в перечне ведущих рецензируемых научных журналах (первые 3)

1 Каргин, И И Применение вариационных методов в вычислительной модели уравнения Навье-Стокса [Текст] /НИ Каргин, Р А Рыскаленко // Вестник Сев -Кав гос тех универ - Ставрополь Изд-во СевКавГТУ -№3(7) -2006 - с 22-26

2 Каргин, И И Многочлены Бернштейна и метод наименьших квадратов в вычислительной модели уравнения Навье-Стокса [Текст] /НИ Каргин, Р А Рыскаленко // Изв ВУЗов. Сев -Кав per Естеств, науки, №6 -Ростов-на-Дону, 2007 - с 3-11

3. Каргин, Н.И. Вычислительные модели для расчета векторных характеристик поля скорости ветра в атмосфере [Текст] /НИ Каргин, Р А Рыскаленко // Труды VIII Всерос Симпоз по прикладной и промышленной математике, (Сочи - Адлер, 29 сент - 7 октяб 2007 г ) // Обозрение прикладной и промышленной математики Т 14, выпуск 4 -M , 2007 -С 715

4 Наац, В И Разностная аппроксимация в задаче Коши для нестационарного уравнения переноса [Текст] /В И Наац, Р А Рыскаленко // Вестник Сев -Кав Гос Тех универ №1 Ставрополь, 2004 - с 93-99

5. Наац, В И. Алгоритмы аппроксимаций искомого решения и его производных в вычислительной модели явления переноса [Текст] /В И Наац, Р А Рыскаленко // Материалы заоч Всерос науч -технич конф «Современные проблемы математики и естествознания» (июнь 2003 г) Н Новгород МВОО АТН РФ, 2003 г - с 25-26

6 Рыскаленко, РА Численное моделирование поля концентрации примесей с заданными характеристиками в задачах переноса [Текст] / Р А Рыскаленко // Материалы Всерос науч -технич конф. «Современные проблемы математики и естествознания» (23 дек 2003), Н Новгород, 2003 - с 15

7 Рыскаленко, Р А Модель поля скорости ветра на основе уравнения Навье-Стокса в проблеме экологического мониторинга атмосферы [Текст] /РА Рыскаленко // Материалы II Междунар Науч -практич Конф «Проблемы экологической безопасности и сохранение природ-но-ресурсного потенциала» (30 сент-1 октяб, г Ессентуки, 2005г) -Ставрополь, 2005 -с 187-188

8 Рыскаленко, Р А Метод взвешенной, невязки для гидродинамических моделей аэродинамики [Текст] /РА Рыскаленко //. Труды III Всерос науч конф «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (2-5 октяб 2006г) - Краснодар, 2006 -с 211-212

9 Каргин, Н И «ObrZadPioizv». Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2007614238 [Текст] /Н И Каргин, Р А. Рыскаленко // Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 5 октяб 2007 г, М : Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, 2007

10 Рыскаленко, Р A «RotFW» Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2007614239 [Текст] /РА Рыскаленко // Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 5 октяб 2007 г, М • Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, 2007

Список цитированной литературы:

1 Марчук, Г И Методы расщепления [Текст] / Г И Марчук - М , 1988

2 Каргин Н И, Вычислительный метод оценки поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы на основе уравнения Навье-Стокса [Текст] / Каргин Н И , Наац В И // Изв ВУЗов Сев -Кав per Ес-теств науки Приложение 5'05. - Ростов-на-Дону, 2005 - с 3-13

3 Наац В И Определение производных эмпирических функций методом интегральных уравнений в задачах переноса [Текст] / Наац В И. 11 Изв ВУЗов Сев -Кав per Естеств науки. Приложение 5'05 - Ростов-на-Дону, 2005 -с 14-22

4 Экба Я А. Математическое моделирование распространения кратковременных аэрозольных выбросов в турбулизованной атмосфере. [Текст] / Экба Я А , Ватиашвилли М Р, Наац В И // Экология биосферы, мониторинг и охрана окружающей среды Труды Меж-дунар. форума по проблемам науки, техники и образования (8-12 дек 1997г, г Москва) Выпуск! -М/ 1997 - с 132-134

Подписано в печать 9 01 08 Формаг 60x84 1/16 Уел печ л 1,45 Уч-издл 1,12

Бумага офсетная Тираж 100 экз Заказ 2

Отпечатано в Издательско-полш рафическом комплексе Ставропольского государи венного университета 355009, Ставрополь, ул Пушкина, 1

Введение

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В ПРОБЛЕМУ КОМПЛЕКСНОГО 12 МОНИТОРИНГА И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ АТМОСФЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ

1.1. Методы и средства комплексного мониторинга экологического 12 состояния атмосферы.

1.2. Научные направления и достижения в области математического 18 моделирования динамики атмосферных процессов.

1.3. Уравнение Навье - Стокса в математических моделях аэро- 27 гидродинамики и численные методы его решения.

1.4. Проблема усвоения данных мониторинга и применение тех- 37 нологии параллельных вычислений в вычислительных моделях атмосферных процессов.

1.5. Анализ существующих проблем в области математического моде- 39 лирования природных явлений. Постановка и обоснование актуальности темы диссертационного исследования.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ 46 РАСЧЕТА ПОЛЯ СКОРОСТИ ВЕТРА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ

2.1. Построение вычислительной схемы для векторного нелинейного 47 уравнения Навье-Стокса на основе методов расщепления и локальной линеаризации.

2.2. Построение параметризованной локально-линейной модели вектор- 55 ного нелинейного уравнения Навье-Стокса.

2.3. Редукция системы дифференциальных уравнений параметризован- 64 ной линейной модели к системам линейных алгебраических уравнений на основе многочленов Бернштейна.

2.4. Построение регуляризирующего алгоритма на основе вычисления 83 обратных обобщенных матриц систем СЛАУ в параметризованной линейной модели уравнения Навье-Стокса.

2.5. Построение регуляризирующих алгоритмов на основе методов оп- 86 тимизации для уравнений параметризованной линейной модели Навье-Стокса.

2.6. Основные результаты, полученные в главе.

ГЛАВА 3. МЕТОДИКА И РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО 93 ЭКСПЕРИМЕНТА ПО ИССЛЕДОВАНИЮ ВЛИЯНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И СИЛОВЫХ ПОЛЕЙ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ НА СТРУКТУРУ ПОЛЯ ВЕТРА. АЛГОРИТМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ КОМПОНЕНТ СКОРОСТИ ВЕТРА ПО ПРИБЛИЖЕННЫМ ДАННЫМ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

3.1 Математические модели для расчета ротора поля скорости ветра и 94 оценки коэффициента турбулентной диффузии применительно к задаче переноса загрязнений в пограничном слое атмосферы.

3.2. Алгоритм вычисления частных производных компонент векторного 96 поля скорости ветра на основе операторов обобщенного дифференцирования.

3.3. Алгоритм вычисления частных производных компонент векторного 99 поля скорости ветра на основе многочленов Бернштейна.

3.4. Вычислительная схема для оценки ротора, дивергенции поля скоро- 101 сти ветра и коэффициента турбулентной диффузии.

3.5. Методика тестирования алгоритмов.

3.6. Исследование точности аппроксимации многочленами Бернштейна 107 полей исходных данных и их производных.

3.7. Численное исследование сходимости и устойчивости вычислитель- 111 ных схем.

3.8. Численное исследование влияния коэффициента турбулентности, 121 силы и давления на пространственно-временное распределение поля скорости ветра.

3.9. Вычисление ротора вектора скорости ветра и коэффициента турбу- 131 лентной диффузии. Численное исследование влияния силового поля и давления на поле ротора и турбулентности.

3.10. Основные результаты, полученные в главе.

ГЛАВА 4. МОДУЛЬНАЯ СИСТЕМА АЛГОРИТМОВ В ВЫЧИС- 143 ЛИТЕЛЬНЫХ МОДЕЛЯХ ПОЛЯ СКОРОСТИ ВЕТРА

4.1. Принципы построения и структурные схемы систем информацион- 143 но-вычислительного обеспечения моделей аэродинамических процес

4.2. Назначение и организация модульной системы алгоритмов.

4.3. Драйверные модули алгоритмической системы.

4.4. Основные результаты, полученные в главе. 175 Заключение 176 Литература 178 Приложение 1. Свидетельства об официальной регистрации программ. 197 Приложение 2. Псевдопрограммы алгоритмов 200 Приложение 3. Таблицы данных измерений метеорологических пара- 234 метров, взятых из научных публикаций.

Актуальность темы диссертационного исследования. Математическое моделирование в задачах охраны окружающей среды является современным, развивающимся научным направлением. Основоположником данного направления по праву считают академика Г.И. Марчука. Значительные достижения в этой области принадлежат ученым НИИ Прикладной математики РАН (г. Москва), возглавляемым Г.И. Марчуком, а также многим другим ученым, таким как В.П. Дымникову, А.Е. Алояну, В.В. Пененко.

Одной из актуальных проблем в области математического моделирования природных явлений, а также вычислительной математики, является разработка эффективных вычислительных алгоритмов для решения векторного нелинейного уравнения Навье-Стокса, применяемого в частности для описания аэродинамических процессов. Подобные алгоритмы позволят вычислять значения компонент векторного поля скорости ветра, которые затем можно использовать в моделях переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы. В результате, возможно осуществлять прогноз экологического состояния воздушного бассейна, например, вблизи промышленного региона или предприятия.

Разработка вычислительных моделей для уравнения Навье-Стокса является сложной задачей из-за его нелинейности и многомерности. Существует достаточно много наработок в данной области. В частности известны работы Т.Г. Елизаровой и ее научной школы. Однако следует отметить, что в основном вычислительные модели строятся на основе конечно-разностных методов или разного рода модификаций этого метода. Подобные модели нельзя считать эффективными, поскольку они требуют большой размерности и не устойчивы к погрешностям в исходных данных. Требуется построение более экономичных и устойчивых вычислительных схем, которые могли бы обеспечивать работу в условиях возможной неопределенности некоторых данных. Это означает, что создаваемые модели должны быть способны к усвоению эмпирических данных. В этом случае при их разработке необходимо привлекать вариационные методы и строить регуляризирующие вычислительные алгоритмы. Кроме того, при моделировании атмосферных процессов целесообразно учитывать в модели поле турбулентного состояния атмосферы, которое бы обладало пространственно-временной распределенностью, что позволило бы численно исследовать влияние турбулентности на структурные характеристики поля скорости ветра.

Сопутствующей, но не менее важной и сложной задачей является разработка вычислительных моделей для определения векторных характеристик поля скорости ветра. Эти модели можно использовать в алгоритмах, позволяющих оценить значение коэффициента турбулентной диффузии на основе известных полуэмпирических моделей и исследовать в вычислительном эксперименте влияние ротора поля скорости ветра на структурные характеристики потока вещества, переносимого этим полем в условиях турбулентных движений.

Другой актуальной задачей математического моделирования в целом является создание соответствующего информационно-вычислительного обеспечения, которое должно основываться на современных достижениях в области вычислительной техники и информационных технологий. Необходимо создание систем моделирования соответствующих прикладных задач.

Обозначенные выше проблемы в той или иной мере решаются в данной диссертации, что обуславливает актуальность ее темы.

Цель работы: разработка и исследование вычислительных моделей для расчета скорости ветра применительно к задачам экологического прогноза состояния атмосферы, способных к усвоению данных экологического мониторинга, и созданию соответствующей модульной системы алгоритмов и программного обеспечения.

Объект исследования: поле скорости ветра в турбулентной атмосфере в пределах пограничного слоя.

Предмет исследования: векторное нелинейное уравнение Навье-Стокса и соответствующие ему вычислительные модели.

Методы исследования: численные методы, применяемые для решения нелинейных многомерных дифференциальных уравнений в частных производных, методы теории аппроксимации, оптимизации, численные методы решения некорректных (обратных) задач, технология алгоритмизации, программирования, постановки и проведения вычислительного эксперимента.

Задачи диссертационного исследования:

1) В рамках проблемы усвоения данных мониторинга построить параметризованную вычислительную модель на основе методов расщепления и локальной линеаризации для нелинейного векторного уравнения Навье-Стокса с целью вычисления значений компонент скорости ветра;

2) Разработать эффективные алгоритмы для вычисления матрицы частных производных и ротора поля скорости ветра, на их основе и при использовании полуэмпирических формул дать прогнозные значения коэффициента турбулентной диффузии для конкретных ситуаций в атмосфере;

3) Предложить концептуальную схему информационно-вычислительного обеспечения задач аэродинамики, на ее основе создать модульную систему алгоритмов и соответствующее программное обеспечение;

4) Создать методику тестирования алгоритмов и программ, на ее основе выполнить постановку и реализовать вычислительный эксперимент для исследования влияния поля коэффициента турбулентной диффузии и силовых полей на характер изменения поля скорости ветра и поля его ротора, разработать программные средства визуализации результатов моделирования.

Научная новизна:

1) Построена параметризованная вычислительная модель векторного нелинейного нестационарного уравнения Навье-Стокса на основе методов расщепления и локальной линеаризации для расчета компонент скорости ветра в турбулентной атмосфере;

2) На основе многочленов Бернштейна для аппроксимации функций в параметризованной модели, для каждого временного слоя выполнена редукция локально-линейных дифференциальных уравнений в частных производных к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ);

3) Для решения систем взаимосвязанных СЛАУ на каждом временном слое предложено два регуляризирующих алгоритма: первый реализуется в форме явного построения обратной обобщенной матрицы, а второй предусматривает построение сглаживающего функционала специальной формы с последующей его минимизацией;

4) Для оценки ротора поля скорости ветра разработаны регуляризирующие алгоритмы, первый из которых реализует метод обобщенного дифференцирования, а второй использует многочлены Бернштейна для аппроксимации частных производных компонент скорости ветра;

5) Разработанные алгоритмы реализованы программно, предложена методика тестирования алгоритмов, проведен вычислительный эксперимент, в котором исследованы влияние турбулентности пограничного слоя атмосферы и силовых полей на пространственно-временную распределенность поля скорости ветра, выполнены расчеты коэффициента атмосферной турбулентности и численно исследовано влияние силовых полей на поле турбулентности и поле ротора скорости ветра;

6) Предложена концепция построения системы информационно-вычислительного обеспечения применительно к проблеме оценки поля скорости ветра в атмосфере, в соответствии с которой разработана модульная система алгоритмов.

Достоверность и обоснованность результатов диссертационного исследования определяется использованием при разработке новых вычислительных моделей и алгоритмов известных теоретических положений курсов «Уравнения математической физики», «Вычислительные методы», «Численные методы безусловной оптимизации», «Конечные элементы и аппроксимация», «Методы решения некорректных задач». Кроме того, достоверность полученных результатов определялась путем тестирования, при котором осуществлялось сопоставление приближенных решений и точных решений, моделируемых с помощью специально разработанных тестовых задач.

Практическая ценность работы состоит в возможности использования созданного в ней вычислительного, алгоритмического и программного обеспечения при разработке информационных систем мониторинга и прогноза экологического состояния атмосферы. Кроме того, вычислительные модели, методика построения модульной системы алгоритмов, постановки вычислительного эксперимента, тестирования алгоритмов и программ на основе тестовых примеров, проведения численных исследований могут быть использованы в учебном процессе для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика». Программный комплекс зарегистрирован в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, он свободен для распространения и доступен другим пользователям.

Положения, выносимые на защиту: ^Параметризованная локально-линейная вычислительная модель, включающая в себя регуляризирующие алгоритмы обращения СЛАУ по пространственным переменным на каждом временном слое, для векторного нелинейного уравнения Навье-Стокса, решения которого определяют пространственно-временную изменчивость поля скорости ветра в турбулентной атмосфере;

2) Регуляризирующие алгоритмы для восстановления матриц частных производных компонент поля скорости ветра при наличии как наблюдаемых, так и приближенных расчетных данных, позволяющих корректно восстанавливать ротор исследуемого поля скорости, а также оценивать прогнозные значения поля коэффициента турбулентной диффузии. В основе предлагаемых алгоритмов лежат методы обобщенного дифференцирования, и представления функции многочленами Бернштейна;

3) Результаты вычислительных экспериментов: а) по исследованию скорости сходимости вычислительных алгоритмов и их устойчивости к погрешностям в исходных данных; б) по исследованию влияния турбулентных состояний атмосферы и внешних силовых полей на пространственно-временную изменчивость поля скорости ветра; в) по возможности расчета прогнозных значений коэффициента турбулентной диффузии при наличии данных о поле скорости ветра в пограничном слое атмосферы;

4) Модульная система алгоритмов и программное обеспечение для задачи оценки скорости ветра в пограничном слое атмосферы.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались на Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания», г. Нижний Новгород, 2003 г.; на II Международной научно-практической конференции «Проблемы экологической безопасности и сохранение природно-ресурсного потенциала», Ставрополь, 2005 г.; на III Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах», Краснодар, 2006 г.; на VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, г. Сочи, 2007 г.; на VI, VIII и X региональных научно-технических конференциях «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону», Ставрополь, 2002, 2004, 2006 гг.; на III и IV региональных научно-технических конференциях «Математическое моделирование и информационные технологии в технических, естественных и гуманитарных науках», г. Георгиевск (Ставропольский край), 2003, 2004 гг.; на XXXII научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов СевКавГТУ за 2002 год, Ставрополь, 2003.

По теме диссертации опубликовано 18 работ, из них 3 статьи, 13 тезисов докладов и 2 свидетельства о регистрации программ. К основным публикациям можно отнести 10 работ, а именно: 2 статьи в реферируемых журналах, входящих в перечень, установленный ВАК РФ - «Вестник СевероКавказского государственного технического университета» (2006 г.) и «Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки» (2007 г.); 6 тезисов докладов, из них 4 на Международных и Всероссийских симпозиумах и конференциях, тезисы одного доклада опубликованы в реферируемом журнале «Обозрение прикладной и промышленной математики» (2007 г.); 2 свидетельства о регистрации алгоритмов и программ в «Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам» (г. Москва, 2007 г.). Из 10 работ без соавторства опубликовано 5 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Объем работы составляет 196 страниц, включая 50 рисунков, 8 таблиц и список литературы, состоящий из 166 источников.

Основные результаты, полученные в диссертации:

1. На основе метода расщепления по пространственным переменным в работе построена параметризованная локально-линейная вычислительная модель для численного решения векторного нелинейного уравнения Навье-Стокса применительно к задаче прогноза пространственно-временной изменчивости поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы.

2. Используя в качестве аппарата аппроксимации функций многочлены Бернштейна, для каждого временного слоя выполнена редукция параметризованной линейной модели уравнений аэродинамики в п.1. к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

3. Для решения СЛАУ предложен регуляризирующий алгоритм, реализуемый в формах явного и не явного построения обратных обобщенных матриц, обеспечивающий устойчивость и сходимость на временном интервале.

4. Рассмотрена аэродинамическая модель, связанная с турбулентным переносом загрязняющих веществ в пограничном слое атмосферы и сформулирована вычислительная задача оценки матрицы частных производных компонент скорости ветра в условиях неопределенности исходных данных. Для решения этой задачи предложено два алгоритма, первый из которых связан с понятием обобщенного дифференцирования, а второй исходит из представления функций и их производных многочленами Бернштейна.

5. Разработано программное обеспечение для задач численного дифференцирования эмпирических и приближенно заданных функций, проведено численное исследование эффективности предложенных алгоритмов.

6. Разработана методика численного анализа решений векторного уравнения Навье-Стокса, полученных с помощью решающего алгоритма главы 2, предложен соответствующий тестовый пример для данного класса вычислительных задач.

7. В вычислительном эксперименте с использованием тестового примера получены результаты по оценке скорости сходимости основных вычислительных схем и их устойчивости к погрешностям в исходных данных.

8. Представлены результаты численных исследований и соответствующие им графические и табличные иллюстрации, демонстрирующие влияние поля коэффициента турбулентной диффузии, а также силовых полей в правой части уравнения Навье-Стокса на характер изменения поля скорости ветра и поля его ротора, а также результаты вычислительного эксперимента по возможности расчета прогнозных значений коэффициента турбулентной диффузии при наличии данных о поле скорости ветра в атмосфере.

9. Предложена концепция построения системы информационно-вычислительного обеспечения моделей аэродинамических процессов, протекающих в пограничном слое атмосферы.

10. Разработана модульная система алгоритмов в виде совокупности взаимосвязанных драйверных модулей, выполнена их детальная алгоритмизация на псевдоязыке программирования.

Заключение

1. Aloyan А.Е., Arutyunyan V.O. Numerical modeling of lindane transport in the Northern Hemisphere. MSC-E Rep., 1997.

2. Aloyan A.E., Arutyunyan V.O., Lushnikov A.A., Zagainov V.A. Transport of coagulating aerosol in the atmosphere // J. Aeros. Sci. 1997. Vol. 28, №1. P. 67-85.

3. Aloyan A.E., Egorov V.D., Marchuk G.I. and Piskunov V.N. Aerosol formation mathematical modeling with consideration for condensation kinetics // Russ. J. Num. Anal. Math. Modelling. 1993. Vol. 7, №6. P. 457-472.

4. Babeshko V., GladskoiL, Zaretzkaja M., Kosobutzkaya E., Babeshko O. Distribution of Blow-outs Polluting Polylayer Atmosphere. // Intern. Symp.: Technological Civilization Impact on the Environment, Karlsruhe, April 22-26,1996.

5. Marchuk G.I., Zalesny V.B. A numerical technique for geophysical data assimilation problem using Pontryagin's principle and splitting-up method // Russian J. Numer. Analys. Math. Modeling. 1993. V. 8. №4. P. 311-326.

6. Penenko V.V. Methodology of inverse modeling for the problems of climate changes and environmental protection // Advanced mathematics: computations and applications. 1995. -Novosibirsk: NCC Publisher. P. 358-367.

7. Smagorinsky J. General circulation experiments with the primitive equations: 1. The basic experiment // Mon. Weath. Rev. 1963. Vol. 91, №2. P. 99-164.

8. Zhiyu Shen, Zhiyuan Li, Pen-Chung Yew. An empirical study of FORTRAN programs for parallelizing compilers // IEEE Trans, on Parallel and Distributed Systems, July 1990. P. 350-364.

9. Алоян A.E. Математическое моделирование взаимодействия газовых примесей и аэрозолей в атмосферных дисперсных системах. // Труды медунар. конф. «Вычислительная математика и математическое моделирование». Том I. М., 2000 г., С.214-230.

10. Андреев С. Д., Ивлев JI.C., Тимофеев Ю.М. Комплексный экологический мониторинг атмосферы в районе Санкт-Петербурга. // Трудыдевятой ежегодной научной конференции «XXI век: Молодежь, образование, экология, ноосфера», 2001г., СПб, С.43-49.

11. Антикаев Ф.Ф., Борковский Е.В., Кедров O.K. // Физика земли (в разделе дискуссии). 2000. № 3. С.75-80.

12. Атмосфера: справочник (справочные данные, модели) под ред. Седуно-ва Ю.С. Ленинград: Гидрометеоиздат - 1991.

13. Бабешко В.А. Математика и проблема безопасной эвакуации при авариях радиационной и токсической природы. // Соровский образовательный журнал, №7, 1997. -С.116-120.

14. Бабешко В.А., Глацкой И.Б., Зарецкая М.В., Кособуцкая Е.В. К проблеме оценки выбросов загрязняющих веществ источниками различных типов // Докл. Акад. наук. 1995. Т. 342, № 6.

15. Бабешко В.А., Зарецкая М.В., Кособуцкая Е.В. Об одной модели распространения загрязняющих веществ по глубине водного потока // Докл. Акад. наук. 1994. Т. 337, № 5.

16. Бакушкина Т.С. Применение метода граничных элементов к решению стационарных уравнений Навье-Стокса.// Материалы XXXI апрельской конференции студентов и молодых ученых КемГУ, 2004. Изд-во «Полиграф». Стр.186-188.

17. Белан Б.Д., Сакерин С.М., Скляднева Т.К., Кабанов Д.М. Влияние города на аэрозольные, радиационные и метеорологические характеристики. // Материалы 3-й международной конференции «Естественные и антропогенные аэрозоли». СПб: изд-во СПбГУ, 2001, С.35-38.

18. Белов В.В., Васильев С.Л., Ивлев Л.С. Система активного мониторинга пожароопасности подстилающей поверхности, в частности лесных массивов. В сб. Аэрозоли Сибири, Томск, 2000, с.88-89.

19. Белоцерковский О.М. Новый век новые подходы к турбулентности на основе передовых технологий математического моделирования и параллельных вычислений. / В кн. «Математическое моделирование: Проблемы и результаты», М.: Наука, 2003. -С.3-11.

20. Белоцерковский О.М., Опарин A.M. Численный эксперимент в турбулентности: От порядка к хаосу. М.: Наука, 2001. 223с.

21. Белоцерковский О.М., Опарин A.M., Чечеткин В.М. Турбулентность: новые подходы. М.: Наука, 2003. 286с.

22. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 448с.

23. Бызова Н.Л. Исследование крупных вихрей и диссипация энергии при безразличной и слабонеустойчивой стратификации. В сб. Вопросы физики атмосферы. СПб.: Гидрометеоиздат, 1998. С.227-246.

24. Бызова Н.Л., Гаргер Е.К., Иванов В.Н. Экспериментальные исследования атмосферной диффузии и расчеты рассеяния примеси. Л.: Гидрометеоиздат, 1991.- 278 с.

25. Васильев С.А., Ивлев Л.С., Крылов Г.Н. Комплексный мониторинг и управление состоянием природных сред. // Материалы 3-й международной конференции «Естественные и антропогенные аэрозоли». СПб: изд-во СПбГУ, 2001, С.452-459.

26. Васильев С.Л., Гудошников Ю.П., Ивлев Л.С. Активные воздействия на атмосферные процессы. // Материалы 2-й международной конференции «Естественные и антропогенные аэрозоли». СПб: изд-во СПбГУ, 2000. -С.251

27. Вербин Ю.П, Ивлев Л.С., Крылов Г.Н. // Фундаментальные исследования в технических университетах (тезисы докладов). СПбГТУ, 2000. С.246-247.

28. Воеводин В.В. Отображение проблем вычислительной математики на архитектуру вычислительных систем. // Труды международной конференции «Вычислительная математика и математическое моделирование». Том I. М., 2000. С.242-255.

29. Гейн С.В., Зайцев Н.А., Посвянский B.C., Радвогин Ю.Б. Метод независимых потоков для численного решения многомерного уравнения теплопроводности. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, препринт, 2003. С. 1-28.

30. Горчаков Г.И., Копейкин В.М., Еланский Н.Ф., Исаков А.А. и др. Исследование пространственного распределения аэрозоля на трассе Москва-Владивосток. // Аэрозоли Сибири. 1997. Томск: изд-во ИОА СО РАН. С.48-49.

31. Горчаков Г.И., Копейкин В.М., Исаков А.А., Тихонов А.В., Шукуров К.А. Исследование вариаций параметров аэрозоля в пограничном слое атмосферы. // Физика атмосферного аэрозоля. Труды конференции. 1999. М.: Диалог-МГУ.-С. 151-159.

32. Довгалюк Ю.А., Ивлев J1.C. Физика водных и других атмосферных аэрозолей. 2-е издание СПб.: Изд-во СПбГУ. 1998. 321с.

33. Донченко В.К., Ивлев J1.C. Об идентификации аэрозолей разного происхождения. // Материалы 3-й международной конференции «Естественные и антропогенные аэрозоли». СПб: изд-во СПбГУ, 2001, С.41-52.

34. Дымников В.П. Метод функции Грина в нелинейных задачах физики атмосферы. // Труды медунар. конф. «Вычислительная математика и математическое моделирование». Том I. М., 2000. С.99-110.

35. Дымников В.П., Филатов А.Н. Основы математической теории климата. М.: ВИНИТИ, 1994. -252с.

36. Дэннис Дж. мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений: Пер. с англ. М., 1988.

37. Елизарова Т. Г. Лекции Математические модели и численные методы в динамике жидкости и газа. Подходы, основанные на системах квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений. М.: Физический факультет МГУ, 2005.

38. Елизарова Т.Г., Милюкова О.М. Численное моделирование вязкой несжимаемой жидкости в кубической каверне // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2003, т. 43, №3 с. 453-466

39. Елизарова Т.Г., Соколова М.Е. Диссипативные слагаемые в квазигазодинамических уравнениях и их влияние на поле течения в ударной волне // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2001, №5, с. 19-22

40. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений. Математическое моделирование: процессы в нелинейных средах. М., 1986. С. 261-278.

41. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Теоретическое и численное исследование квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений. Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. N 2. С. 239-255.

42. Закарин Э.А. Автоматизированная система текущего объективного прогноза атмосферных загрязнений. В сб. Комплексный анализ загрязненности атмосферы (АНЗАГ-87), Алма-Ата, 1990, ч. 2, С.3-15.

43. Захаров В.М., Костко O.K., Хмельцов С.С. Лидары и исследование климата. Л: Гидрометеоиздат. 1990. 320с.

44. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. М., 1986.

45. Ивлев Л.С. Атмосферная циркуляция и турбулентность. // Материалы 3-й международной конференции «Естественные и антропогенные аэрозоли». СПб: изд-во СПбГУ, 2001, С.460-479.

46. Ивлев Jl.С. Химический состав и структура атмосферных аэрозолей. Л.: Изд. ЛГУ, 1982. 366с.

47. Ивлев Л.С., Васильев Л.В., Белан Б.Д., Панченко М.В., Терпугова С.А. Оптико-микрофизические модели городских аэрозолей. // Материалы 3-й международной конференции «Естественные и антропогенные аэрозоли». СПб: изд-во СПбГУ, 2001, С.161-171.

48. Ивлев Л.С., Довгалюк Ю.А. Физика атмосферных аэрозольных систем. СПб, НИИХ СПбГУ, 1999, 258с.

49. Ивлев Л.С, Янченко Е.Л. О лазерном зондировании в области глории. // Материалы 3-й международной конференции «Естественные и антропогенные аэрозоли». СПб: изд-во СПбГУ, 2001.- С. 121-130.

50. Израэль Ю.А. Экология и контроль состояния природной среды. М.: Гидрометеоиздат, 1984. 560с.

51. Ионисян А.С. Математическое моделирование процесса распространения активной примеси в свободной и облачной атмосфере: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ставрополь, 2003.

52. Каргин Н.И, Наац В.И. Вычислительная модель нестационарного уравнения переноса примесей на основе метода наименьших квадратов и алгоритмов аппроксимации. // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Приложение 5'04. Ростов-на-Дону, 2004. - С.30-38.

53. Каргин Н.И, Наац В.И. Вычислительный метод оценки поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы на основе уравнения Навье-Стокса. // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Приложение 5'05. Ростов-на-Дону, 2005.-C.3-13.

54. Каргин Н.И., Наац В.И. Итерационные методы численного решения задач переноса на основе интегральных уравнений. // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Приложение 3'04. Ростов-на-Дону, 2004. - С.3-16.

55. Каргин Н.И., Наац В.И. Обратная задача источника загрязняющих примесей, распространяющихся в приземном слое атмосферы. // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. № 3. Ростов-на-Дону, 2003. - С.30-35.

56. Каргин Н.И., Наац В.И. Численное исследование сеточных моделей для нестационарного уравнения переноса. // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. №4. Ростов-на-Дону, 2004. - С. 18-23.

57. Каргин Н.И., Рыскаленко Р.А. Многочлены Бернштейна и метод наименьших квадратов в вычислительной модели уравнения Навье-Стокса. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион Естественные науки. №6 Ростов-на-Дону, 2007. - с. 3-11.

58. Каргин Н.И., Рыскаленко Р.А. Применение вариационных методов в вычислительной модели уравнения Навье-Стокса. // Вестник СевероКавказского государственного технического университета. № 3(7). Ставрополь. 2006. с. 22-26.

59. Кирилов B.C. Нестационарные вычислительные модели тепло- массо- и влаго- переноса в пористых средах применительно к задачам охраны окружающей среды: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ставрополь, 2001.

60. Кондратьев К.Я. Аэрозоль как климатообразующий компонент атмосферы. // Оптика атмосферы и океана, 2002 г., т. 15, №3, С. 121-192.

61. Кордзадзе А.А. Математические вопросы решения задач динамики океана. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982 148с.

62. Корчагин П.В. Математическое моделирование нестационарного переноса массы и турбулентности в струях конвективных облаков: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ставрополь, 2004.

63. Корчагин П.В. Построение вычислительной схемы для уравнения переноса с использованием метода взвешенной невязки и метода конечных элементов. // Математическое моделирование в научных исследованиях: Все-рос. науч. конф. Ставрополь, 2000, - С.55-58.

64. Коханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М., 1998.

65. Лавриненко Р.Ф. К вопросу о формировании химического состава атмосферных осадков. // Материалы 3-й международной конференции «Естественные и антропогенные аэрозоли». СПб: изд-во СПбГУ, 2001, С. 14-35.

66. Лайхтман Д.Л. Физика пограничного слоя атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1970.-292с.

67. Ламли Дж., Пановский Г. Структура атмосферной турбулентности. М., Мир, 1966. 264с.

68. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Сер. Теоретическая физика. т.6. М.: Наука, 1988. 733с.

69. Лукина Е.В. Глобальные решения многомерных приближенных уравнений Навье-Стокса вязкого газа // Сибирский математический журнал Март—апрель, 2003. Том 44, № 2.

70. Макарчук Р.С. Численное моделирование течений жидкости со свободными границами методом сглаженных частиц (SPH). // Материалы III международной летней научной школы. Кемерово, 22-28 июня 2006. С. 423-431.

71. Малкевич М.С. Оптические исследования атмосферы со спутников. М.: Наука, 1973.

72. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики: Учеб. для вузов. М., 2002.

73. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 320с.

74. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

75. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. 264с.

76. Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач // ДАН СССР. 1964. Т. 156, №3. С.503-506.

77. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1974.

78. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды. Л.: Гидрометеоиздат, 1967.

79. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

80. Марчук Г.И., Дымников В.П. и др. Математическое моделирование общей циркуляции атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1984.

81. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б. Математические модели геофизической гидродинамики и численные методы их реализации. Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 296 с.

82. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1953. - 527 с.

83. Наац В.И. Аналитические модели пространственных задач переноса субстанции в пограничном слое атмосферы. // Труды Междунар. школы-семинара по геометрии и анализу. (5-11 сент., Абрау-Дюрсо, 2004 г.). Ростов-на-Дону, 2004. - С.214-216.

84. Наац В.И. Вычислительная модель нестационарного уравнения переноса примеси на основе метода взвешенной невязки. // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Приложение 5'04. Ростов-на-Дону, 2004. - С.3-15.

85. Наац В.И. Вычислительная модель обратной коэффициентной задачи для уравнения переноса загрязняющих примесей в атмосфере. // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Приложение 3'05. Ростов-на-Дону, 2005. - С. 21-34.

86. Наац В.И. Вычислительные методы и модели нестационарного диффузного переноса примесей в задачах контроля и прогноза экологического состояния атмосферы: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Ставрополь, 2005.

87. Наац В.И. Исследование нестационарных процессов и явлений переноса примесей в турбулентных газах: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ставрополь, 1999.

88. Наац В.И. Методика оценки концентрации примесей, распространяющихся в приземном слое атмосферы от источников конечной и непрерывной длительности действия. // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Приложение З'ОЗ. Ростов-на-Дону, 2003. -С.35-41.

89. Наац В.И. Определение производных эмпирических функций методом интегральных уравнений в задачах переноса. // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Приложение 5'05. Ростов-на-Дону, 2005. - С.14-22.

90. Наац В.И. Численное моделирование пространственных задач переноса субстанции в пограничном слое атмосферы. // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. per. Ес-теств. науки. Приложение 2'05. Ростов-на-Дону, 2005. - С.3-13.

91. Наац В.И. Численный метод решения нестационарного уравнения переноса. // Математическое моделирование и компьютерные технологии: Тез. докл. на II Всерос. симпоз. (22-25 апр., 1998, г. Кисловодск). Том II. - Кисловодск, 1998. - С.66-67.

92. Наац В.И., Рыскаленко Р.А. Разностная аппроксимация в задаче Коши для нестационарного уравнения переноса // Вестник Сев.-Кав. гос. технич. университета. Серия «Физико-химическая» Ставрополь, №1, 2004. - С.93-99.

93. Наац В.И., Рыскаленко Р.А. Численное решение обратной задачи источника // Вузовская наука Северо-Кавказскому региону: VI Per. Науч.-технич. конф. Естеств. и точ. науки. Часть первая. - Ставрополь, 2002. - С.7.

94. Наац И.Э. К теории оптического мониторинга атмосферы. // Оптика атмосферы АНСССР, 1988. Т.1, №1. С.87-92.

95. Наац И.Э. Метод обратной задачи в поляризационном зондировании дисперсных сред // Оптика атмосферы. АН СССР, 1989. Т. 2. №7. С.728-736.

96. Наац И.Э. Обратные задачи светорассеяния аэрозольными системами, взаимодействующими с физическими полями. // Оптика атмосферы. АН СССР, 1989. Т. 2. № 10. С.1107-1112.

97. Наац И.Э. Оптические методы в исследовании динамики пограничного слоя атмосферы // Оптика атмосферы. АН СССР, 1989. Т.2. № 8. С.843-850.

98. Наац И.Э., Бумцев В.Д. Метод обратной задачи в восстановлении характеристик светорассеяния дисперсными средами // ДАИ. Серия «Геофизика», 1988. Т. 303. №3. С. 583-585.

99. Наац И.Э., Зуев В.Е. Обратные задачи оптики атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1990. 270с.

100. Наац И.Э., Кирилов B.C. Изучение влияния выбора базисных функций на ошибку при решении задач влагопереноса. // Математическое моделирование в научных исследованиях: Всерос. науч. конф. Часть II. Ставрополь, 2000. - С.69-73.

101. Наац И.Э., Наац В.И. Метод интегральных уравнений в задачах переноса. // Сб. науч. тр. Серия «Физико-химическая». Выпуск 6. Ставрополь, 2002. - С.99-101.

102. Наац И.Э., Семенчин Е. А. Математическое моделирование динамики пограничного слоя в задачах мониторинга окружающей среды. Ставрополь: СГПУ, 1995. 196 с.

103. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М., 1949.

104. Наумов А.П., Ошарина Н.Н. Восстановление высотных распределений влажности из измерений нисходящего атмосферного радиоизлучения в микроволновых окнах прозрачности // Изв. АН. ФАО. 1999. Т. 35, №6. С.762-772.

105. Олейник О.А., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М.: Физматлит, 1997. 512с.

106. Пененко В.В. Вариационные принципы и оптимизация во взаимосвязанных задачах экологии и климата. // Труды медунар. конф. «Вычислительная математика и математическое моделирование». Том I. М., 2000 г., С. 135148.

107. Пененко В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. JL: Гидрометеоиздат, 1981.

108. Пененко В.В. Численные модели и методы для решения задач экологического прогнозирования и проектирования // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. Т. 1, №6. С. 917-941.

109. Пененко В.В., Алоян А.Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. М.: Наука, 1985.

110. Пененко В.В., Цветова Е.А. Подготовка данных для экологических исследований с использованием Reanalysis // Оптика атмосферы и океана. 1999. Т. 12, №5. С.463-465.

111. Покровская И.В, Шарков Е.А. Глобальные особенности темпов генерации тропических циклонов. // ДАН, 2000, т.372 №5, С.679-682.

112. Полежаев В.И, Бунэ А.В, Верезуби Н.А. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987.

113. Пристли С.Х. Турбулентный перенос в приземном слое атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1964.

114. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике: Пер. с анг. М, 1985.

115. Рыскаленко Р.А. Вычислительный метод для уравнения Навье-Стокса на основе схемы покоординатного расщепления: Дипломная работа Ставрополь, 2005.

116. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики,- М., 2001.

117. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособ. для вузов. М., 1989.

118. Саркисян А.С., Залесный В.Б. Методы расщепления и сопряженных уравнений в задачах динамики океана. // Труды медунар. конф. «Вычислительная математика и математическое моделирование». Том I. М., 2000 г., С.149-167.

119. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике: Учеб. пособ. для вузов. -М., 2004.

120. Семенчин Е.А. Математические методы и модели в проблеме распространения примесей в температурно-стратифицированной атмосфере: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Ставрополь, 1997.

121. Семенчин Е.А., Ионисян А.С. Об одном способе численного решения уравнения переноса частиц примеси в атмосфере. // Успехи современного естествознания. №3,. М.: Академия естествознания, 2003. С.77.

122. Семенчин Е.А., Ионисян А.С. Об оценке мощности мгновенного точечного источника примеси. // Математическое моделирование в научных исследованиях: Всерос. науч. конф., Часть II Ставрополь, 2000. - С.74-76.

123. Семенчин Е.А., Ионисян А.С. Об уточнении математической модели рассеяния примеси в атмосфере // Обозрение

124. Семенчин Е.А., Наац В.И., Наац И.Э. Математическое моделирование нестационарного переноса примеси в пограничном слое атмосферы: Монография. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2003. - 291с.

125. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М., 1979.

126. Тихонов В.И., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М., 1972.

127. Хапаев А.А. Генерация вихревых структур в атмосфере под действием спиральной турбулентности конвективного происхождения. Изв. АН, Физика атмосферы и океана, 2002, т.38, №3, С.281-285.

128. Швед Г.М. Атмосферная турбулентность. Л.: Изд. ЛГУ, 1990.- с. 128

129. Шеретов Ю.В. Математические модели гидродинамики. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2004.

130. Шеретов Ю.В. Некоторые свойства квазигазодинамических уравнений. В сб. Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун.-т, 2000, с. 134 149.

131. Шутяев В.П. Об усвоении данных в шкале гильбертовых пространств для квазилинейных эволюционных задач // Дифф. уравнения. 1998. Т.34, №3.- С. 383-389.

132. Экба Я.А., Ватиашвили М.Р., Наац В.И. Математическое моделирование аэрозольных выбросов в турбулизированной атмосфере // Международный форум по проблемам науки, техники и образования. Вып. I М., 1997 -с.132-134

133. Янковская JI.K. Статистические модели и методы исследования переноса загрязнений в приземном слое атмосферы: Дис. на соиск. учен. степ, канд. физико-математических наук. Ставрополь, 2002.