автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Вычислительные методы и модели нестационарного диффузного переноса примесей в задачах контроля и прогноза экологического состояния атмосферы

На правах рукописи

НААЦ ВИКТОРИЯ ИГОРЕВНА

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ДИФФУЗНОГО ПЕРЕНОСА ПРИМЕСЕЙ В ЗАДАЧАХ КОНТРОЛЯ И ПРОГНОЗА ЭКОЛОГИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ АТМОСФЕРЫ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ставрополь, 2005

Работа выполнена на кафедре прикладной математики в Северо-Кавказском государственном техническом университете Министерства образования и науки Российской Федерации Федерального агентства по образованию Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Ведущая организация: Кубанский государственный университет

Защита состоится 17 февраля 2006 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212 245 09 при Северо-Кавказском государс.че-ном техническом университете по адресу: 355029, г. Ставрополь, проспект Кулакова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Северо-Кавказского государственного технического университета.

Автореферат разослан 10 января 2006 г.

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор Каргин Николай Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Угольннцкий Геннадий Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор Кочкаров Ахмат Магомедович

доктор физико-математических наук, Тартаковский Валерий Абрамович

Ученый секретарь диссертационного совета Кандидат физико-математических наук, доцент

Мезенцева О.С.

Введение

Актуальность диссертационного исследования. Прогноз изменения экологических систем, подвергающихся воздействию антропогенных факторов, является важной задачей науки в настоящее время. Подобные системы достаточно сложные, поскольку обладают свойствами многомерности, неполной предсказуемости их поведения, обусловленной стохастичностью происходящих в них процессов. Это существенно затрудняет проведение натурных экспериментов с такими системами. Поэтому важную роль в исследовании подобных систем играют их математическое моделирование, проведение численных экспериментов и комплексный мониторинг. Комплексный мониторинг состояния экологических систем представляет собой сложную систему разномасштабных наблюдений различных характеристик среды с одновременным анализом полученных данных и прогнозом последующего изменения состояния среды. Накопленный в мире опыт решения научных и практических задач природоохранного направления показывает, что математические модели и данные натурных исследований являются равноправными и дополняющими друг друга инструментами для изучения природных процессов При этом активно используются методы дистанционного зондирования в сочетании с различными методами контактных измерений. В результате сбора данных к исследователям попадает разнородная информация, с разных сторон характеризующая наблюдаемые явления В этом случае возникает задача совместного испотьзования этой информации и математических моделей с целью усвоения данных. Многие из этих задач решаются в рамках научных направлений «Вычислительная математика», «Модели и методы в задачах физики атмосферы и океана», «Проблемы охраны окружающей среды», в которых академиками Марчуком Г. И., Дымниковым В.П., профессорами Алояном А.Е., Пененко В. В. и многими другими были получены выдающиеся результаты. Для решения подобных задач требуется создание математических моделей исследуемых процессов, разработка соответствующих численных методов, построение на их основе вычислительных моделей и эффективных решающих алгоритмов, а также программного обеспечения. Перечисленные средства математического, вычислительного и программного обеспечения в совокупности представляют собой информационно-вычислительную технологию моделирования атмосферных процессов, в частности, процесса нестационарного диффузного переноса загрязняющих примесей в атмосфере, проблема создания и развития которой является актуальной, современной и относится к быстроразвивающимся в настоящее время информационно-вычислительным технологиям в науках об окружающей среде.

Цель диссертационного исследования: Разработка и исследование вычислительных методов и моделей, способных к усвоению данных экологического мониторинга, применительно к задачам нестационарного диффузного переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы для орма-

ционно-вычислительного обеспечения систем оперативного контроля и прогноза экологического состояния воздушного бассейна.

Задачи диссертационного исследования:

1) Разработать на основе технологии расщепления и обосновать вычислительные методы и модели, использующие оперативную информацию метеорологического характера, для трехмерного нестационарного уравнения диффузного переноса субстанции в пограничном слое атмосферы с учетом в нем пространственно-временной изменчивости полей скорости ветра, турбулентной диффузии, источника, а также учетом возможных трансформаций размеров частиц дисперсных загрязнений в условиях турбулентных движений в атмосфере;

2) Построить для исходного уравнения переноса параметризованную вычислительную модель, включающую в себя алгоритм оптимизации, реализующий принцип ми-нимакса, и позволяющий выбирать требуемое решение, согласуя его с дополнительными условиями конкретной прикладной задачи. Для параметризованной модели переноса примесей в пограничном слое атмосферы предложить методику вычислительного эксперимента и реализовать её на примере двумерной модели переноса;

3) Предложить и обосновать вычислительный метод, использующий интегральные представления для решения краевых задач теории диффузного переноса субстанции, на его основе построить итерационные вычислительные схемы для параметризованной модели трехмерной пространственной задачи переноса примесей в рамках метода покоординатного расщепления. Провести исследование метода в вычислительном эксперименте на примере одномерного уравнения переноса;

4) Рассмотреть, обосновать и применить методику построения вычислительных моделей, предназначенную для уравнений эволюционного типа, к нестационарному уравнению переноса примесей, относящемуся к данному классу задач. На основе данной методики, включающей в себя вариационные методы и методы аппроксимации экспериментальных данных построить рекурсивные вычислительные схемы и алгоритмы, определить условия их сходимости, провести вычислительный эксперимент для одномерного уравнения переноса. Обобщить данный метод на трехмерный вариант задачи переноса и построить соответствующую вычислительную схему в рамках метода расщепления;

5) Выполнить постановку обратных задач и разработку соответствующих методов по определению коэффициента турбулентной диффузии и источника, вычислительные модели которых используют данные измерений параметров атмосферных процессов, построить для них соответствующие регуляризирующие алгоритмы, осуществить программную реализацию и вычислительный эксперимент на примере одномерного уравнения переноса;

6) Создать расчетно-аналитические и качественные модели теории переноса примесей, представляющие собой в совокупности просгейшие методики прогноза экологического состояния пограничного слоя атмосферы, вычислительные алгоритмы кото-

рых и соответствующее программное обеспечение применить к решению прикладных задач экологии;

7) Выполнить обобщение модели диффузного переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы путем введения в неё векторного уравнения Навье-Стокса, учитывающее члены, определяемые турбулентным состоянием пограничного слоя атмосферы и другие физические характеристики среды, измеряемые в эксперименте. Разработать вычислительные методы и алгоритмы для решения векторного нелинейного уравнения Навье-Стокса, позволяющего вычислять значения компонент вектора скорости ветра, для случая трех пространственных переменных на основе покомпонентного и покоординатного методов расщепления, выполнить постановку и провести вычислительный эксперимент;

8) На основе созданных вычислительных методов и моделей разработать модульную систему алгоритмов информационно-вычислительного обеспечения задач экологического мониторинга и прогноза загрязнения атмосферы, представляющих собой в совокупности информационно-вычислительную технологию решения подобных задач.

Научная новизна работы:

1) Предложены вычислительные модели и алгоритмы на основе методов расщеплет ния и доказана их правомерность для решения первой краевой задачи нестационарного уравнения диффузного переноса примесей в пограничном слое атмосферы, с учетом пространственно-временной изменчивости всех распределений, входящих в него, и возможной коагуляции частиц;

2) Разработан «метод параметризованных моделей», на основе которого построена параметризованная вычислительная модель переноса примесей в атмосфере, предложены методы выбора и оценки параметров вычислительных алгоритмов в процессе моделирования;

3) Предложен вычислительный метод для двумерной задачи переноса примесей в пограничном слое атмосферы, построение которого осуществляется путем предварительного интегрирования трехмерного уравнения по пространственной координате, построена для него параметризованная вычислительная модель, проведен вычислительный эксперимент;

4) Разработан метод решения нестационарного уравнения диффузного переноса примесей в пограничном слое атмосферы, использующий интегральные представления для решения первой краевой задачи, построено два итерационных алгоритма, для каждого из которых определено условие сходимости, созданы алгоритмы для трехмерных пространственных задач диффузного переноса субстанции в атмосфере;

5) Предложены вариационные методы решения задач диффузного нестационарного переноса субстанции, использующие приближенные исходные данные. Поострены рекурсивные алгоритмы, определены условия сходимости рекурсивных вычислительных процессов для уравнений эволюционного типа с учетом зависимости опера-

тора шага и источника от пространственно-временной распределенности исходных данных;

6) Предложено и исследовано новое аналитическое представление базисной функции в методе конечных элементов и построены соответствующие варианты параметрического базиса, позволяющие учитывать структурную сложность аппроксимируемых функций, соответствующих экспериментальным данным, проведены численные исследования алгоритмов аппроксимации экспериментальных данных;

7) Выполнена модификация с учетом специфики решаемых задач переноса примесей в атмосфере и детальная алгоритмизация известных вычислительных методов негладкой оптимизации нулевого порядка, применяемых при решении вариационных задач;

8) Разработаны новые методы и соответствующие регуляризирующие алгоритмы на основе обратных задач, постановка которых осуществлялась в рамках концепции усвоения данных мониторинга моделями переноса субстанции в атмосфере;

9) Предложены новые расчетно-аналитические модели поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы и качественные модели, позволяющие оценивать пространственно-временные характеристики процесса переноса загрязняющих примесей в атмосфере;

10) Выведены интегральные уравнения для оценки количества загрязняющих примесей в пункте наблюдения, поступающих в него от источников с конечной и непрерывной длительное гью действия и на их основе выполнена постановка обратной задачи источника, для которой построен и обоснован соответствующий регуляризи-рующий алгоритм;

11) Построена обобщенная модель диффузного переноса загрязняющих примесей в атмосфере с добавлением векторного уравнения Навье-Стокса, в которое введены члены, определяемые коэффициентами турбулентности пограничного слоя атмосферы, характеризуемые пространственно-временной изменчивостью. Разработаны и обоснованы новые вычислительные методы решения нелинейного уравнения Навье-Стокса и выполнено их обоснование, соответствующие им вычислительные алгоритмы построены для параметризованной модели исходной задачи в рамках методов покомпонентного и покоординатного расщепления;

12) Создана модульная система алгоритмов, являющаяся ядром информациоино-вычислительного обеспечения систем мониторинга и прогноза экологического состояния воздушного бассейна.

Достоверность и обоснованность результатов диссертационного исследования определяется использованием при иосгроении новых методов известных теоретических положений курсов «Уравнения математической физики», «Функциональный анализ», «Методы решения некорректных задач», «Методы оптимизации», «Вычислительные методы», и др, а для построения вычислительных схем и алгоритмов -известных вычислительных методов. Кроме того, достоверность получаемых резуль-

тагов определялась путем тестирования, т.е. сопоставлением приближенных решений с точными решениями, моделируемыми с помощью специально разработанных для этой цели тестовыми задачами, в которых использовались табличные данные, взятые из научных публикаций других авторов.

Практическая ценность работы состоит в возможности использования созданного в ней математического, алгоритмического и программного обеспечения для создания информационно-вычислительных систем и технологий решения задач мониторинга и прогноза экологического состояния пограничного слоя атмосферы. С другой стороны, вычислительные методы и алгоритмы, методика постановки и проведения вычислительного эксперимента, технология построения модульной системы алгоритмов могут быть использованы в учебном процессе при изучении дисциплин «Уравнения математической физики», «Методы решения некорректных задач», «Методы оптимизации», «Вычислительные методы», а также при постановке тем научно-исследовательской, дипломных и курсовых работ для аспирантов и студентов. Основные алгоритмы и программы зарегистрированы в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (г. Москва), они свободны для распространения и доступны другим пользователям.

Положения, выносимые на защиту:

1. Вычислительные методы и модели, построенные на основе методов расщепления и использующие оперативную информацию метеорологического характера, для трехмерного нестационарного уравнения диффузного переноса субстанции в атмосфере с учетом в нбм пространственно-временной изменчивости полей скорости ветра, турбулентной диффузии, источника и возможных трансформаций размеров частиц дисперсных загрязнений в условиях турбулентных движений в атмосфере;

2. Параметризованная вычислительная модель для нестационарного уравнения диффузного переноса субстанции в атмосфере, включающая в себя алгоритм оптимизации, который реализует принцип минимакса и позволяет выбирать требуемое решение, согласуя его с дополнительными условиями конкретной прикладной задачи. Методы выбора и оценки параметров вычислительных алгоритмов, реализуемые в процессе моделирования;

3. Вычислительный мегод, использующий интегральные представления для решения краевых задач теории диффузного переноса субстанции, и соответствующие ему итерационные алгоритмы для трехмерных пространственных задач переноса примесей в атмосфере, реализуемые в рамках метода покоординатного расщепления;

4. Вычислительные модели, построенные на основе вариационных методов для нестационарного уравнения диффузного переноса загрязняющих примесей в атмосфере и соответствующие рекурсивные вычислительные схемы, включающие в себя алгоритмы аппроксимации данных мониторинга, а также алгоритмы, реализующие методы негладкой оптимизации нулевого порядка;

5. Методы обратных задач оценки коэффициента турбулентной диффузии и источника, вычисчительные модели которых используют данные измерений параметров атмосферных процессов, соответствующие им регуляризирующие алгоритмы. Расчет-но-аналитические и качественные модели теории нестационарного диффузного переноса примесей в атмосфере, представляющие собой в совокупности простейшие методики прогноза экологического состояния воздушного бассейна; 6 Обобщенная модель нестационарного диффузиого переноса загрязняющих примесей в атмосфере, построенная на основе векторного уравнения Навье-Стокса, учитывающего члены, определяемые турбулентным состоянием атмосферы и другие её характеристики, измеряемые в эксперименте Вычислительные методы и алгоритмы решения векторного нелинейного уравнения Навье-Стокса, построенные на основе методов покомпонентного и покоординатного расщепления и позволяющие вычислять значения компонент вектора скорости ветра;

7. Концепция комплексного решения (вычислительная технология) задач переноса загрязняющих примесей в атмосфере, реализованная в виде модульной системы алгоритмов, которая может быть ядром информационно-вычислительного обеспечения некоторой системы, функционирующей на метеорологических станциях.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались: на Междунар, форуме по проблемам науки, техники и образования, г Москва, 1997г.; на Всерос. конф по физике облаков и активным воздействиям на гидрометеорологические процессы, г Нальчик, КБР, 1997г.; на 4-ом, Всерос. симпоз. «Математическое моделирование и компьютерные технологии», г Кисловодск, Ставропольский край, 2000г ; на Междунар. науч -технич. и Российской науч. школе, г. Москва, 1998г ; на Междунар школе - семинаре по геометрии и анализу памяти Н В. Ефимова, г. Ростов-на-Дону, 2002, 2004гг.; на 4-ой, 5-ой, 6-ой Междунар науч.-технич конф. «Компьютерное моделирование», г. Санкт-Петербург, 2003, 2004, 2005гт.; на Всерос. науч -технич. конф. «Методы и средства измерений», «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве», г Нижний Новгород, 2003, 2005гг ; на 1-ой Междунар. науч -технич конф. «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании», г Ставрополь, 2005г.; на 13-ой Междунар. конф. «Математика, экономика, образование», г. Ростов-на-Дону, 2005г; на 3-ей, 5-ой, 6-ой Регион науч.-технич. конф. «Вузовская наука - СевероКавказскому региону», г. Ставрополь, 1999, 2001, 2002гг; на 1-ой, 2-ой, 3-ей, 4-ой Регион, науч. конф. «Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках», г. Георгиевск, Ставропольский край, 2001, 2002, 2003, 2004гг.

По теме диссертации опубликовано 66 работ, из них 1 монография, 26 статей, 36 тезисов докладов и 3 свидетельства о регистрации алгоритмов и программ. К основным публикациям можно отнести 32 работы, а именно- монография «Математическое моделирование нестационарного переноса примеси в пограничном слое атмо-

сферы», написанная в соавторстве с докторами физ.-мат. наук Семенчиным Е.Л. и Наац И.Э. и опубликованная в издательстве «Физ. Мат. Лит.» (г. Москва); 11 статей в реферируемом научном журнале «Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки», входящего в перечень журналов, установленный ВАК РФ, 17 докладов и тезисов докладов, опубликованных в трудах и материалах Международных и Всероссийских форумов, симпозиумов и конференций; 3 свидетельства о регистрации алгоритмов и программ в «Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам» (г. Москва). Из 32 работ без соавторства опубликовано 18. Список работ помещен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шеста глав, заключения, списка литераторы и трех приложений. Объем работы составляет 339 страниц, включая 80 рисунков, 30 таблиц и список литературы, состоящий из 209 источников.

Содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность диссертационного исследования на основе предварительного краткого обзора научных публикаций по данной проблеме, формулируется цель и задачи исследования, определяется его научная новизна, достоверность, обоснованность и практическая значимость. Представлены положения, выносимые на защиту, результаты апробации и анализ основных публикаций по теме диссертации.

В первой главе разрабатываются вычислительные модели на основе метода покоординатного расщепления для задач переноса загрязнений в пограничном слое атмосферы, использующих оперативную информацию метеорологического характера. Для трехмерного уравнения турбулентного переноса субстанции с учетом пространственно-временной изменчивости полей скорости ветра, турбулентной диффузии и источника рассмотрена первая краевая задача:

«(0 • 9(Р,1)</С./))+¿С,(Л/) • ?(Л0)+■ ¥(Л0)}-

в которой Р = Р(х,у,г), Ре Пай,, /е[о,г], начальные условия </(Р,0) = <?„(?) для Р&П, краевые условия: д(Р,1) = <?(Л0 для Ре П. В уравнении (1) д(Р,г) - концентрация примесей, имеющихся в точке пространства Р в момент времени /; а(/) -коэффициент, характеризующий степень вывода или привнесения примесей в данный объем за счет химических или других процессов, протекающих в пограничном слое атмосферы; УХ(Р,/), Уу(Р,1), - компоненты вектора скорости ветра;

Кх(Р,1), Ку(Р,1), К;(Р,1) - турбулентность, характеризуемая коэффициентом турбулентной диффузии; перенос осуществляется вдоль координатных осей Ох, Оу, Ог;

S(P,t) - источник примесей. Для решения задачи (1) предложен решающий алгоритм, в основе которого лежит метод покоординатного расщепления:

Задача I: д, + а gt +j-(V. = «Ч ЖЛО. (2)

qt{P,i,-) = q{r,t,), ЯеП; Задача»: <?,+« fc + J^, (3)

Задача III: ^ + ^ = (4)

13(P.tl) = 4i(P.t,«). ^бП; q,(P,tj) = <i(P.tj). ^П;

ffli+<u, + <a, = l, q(P,t) = q,(P,t). Построена временная диаграмма вычислительного процесса (2)-(4) и доказана его сходимость с учетом специфики физической модели рассматриваемого явления.

В главе дано обобщение рассмотренной выше математической модели с учетом сложности физических процессов, сопутствующих явлению переноса дисперсных загрязнений. Речь идет об учете возможных трансформаций размеров частиц дисперсных загрязнений в условиях турбулентных движений в атмосфере:

д(Р, /, 9) + a(t)q(P,l, 9) + (W, ЭДЛ I. V»~ Z № (Рdq<P/'S)) = ох, м ох, дх,

= S(P,t,S) + (.AqXP,l,0), (5)

(Aq\p,t,S) = i f P(t, 9",9-9')q(P,t, ff)q(P,t, 9 - 9')d&-] P(l, 9', 9)q(P,t, 9')q(P,t, 9)d9'.

a,

Последнее выражение описывает так называемое явление коагуляции частиц в среде. Уравнение (5) можно писать в виде q(P,t,ff) + (DqXP,t,9)-(Aq)(.P,t,9) = S(P,t,S). Вычислительный алгоритм в отличие от предыдущего строится по принципу расщепления по физическим факторам, поскольку за операторами D и А стоят различные физические явления (перенос в пространстве и коагуляция частиц переносимого вещества):

Задача I: !,<,!<, tJH,

(Л f,«+(д?, ХЛ <•■?) = "MP, и 9), (6)

q,(P,t,,9) = q(P,0,9), j = 0, PeCl; q,(P,t,,9) = q2(P,'r^- J-12,..;

= РеП

Задача II: t,<,t<i,,„

,9, £ .9 , а),+й)2 = <г>, ¡¡(Р,1,&)=ч1(Р,1,9).

Поскольку перенос загрязняющих пркмесей в пограничном слое атмосферы характеризуется высокой степенью пространственно-временной изменчивости, то при решении прикладных задач экологического прогноза возникает проблема неопределенности задания исходных данных, подробно обсуждаемая в главе. Неопределенность исходной задачи требует построения соответствующей адекватной параметризованной модели данного физического явления с последующей оптимизацией получаемого в рамках этой модели результата. В главе этот пЪдход условно казван «методом параметризованных моделей» и детально разрабатывается на примере задач теории переноса субстанции в турбулентных средах. Метод построения параметризованных вычислительных моделей подробно излагается сначала на примере одномерного, а затем обобщается и на трехмерный вариант нестационарного диффузного уравнения переноса примесей в пограничном слое атмосферы. Одномерная параметризованная модель (1) имеет вид:

4(5,0) = ?„(х), $(0,< ) = ?,(<), 4(1,Г) = г?2(Г), МОД], же[0,1], ?(*,?)е[0,1], К(*,/)е[0,1], £(*,/)е[0,1], б [0,1], а(Ь = Т ■ а{1), р = {Ут)/х, у = (кТ)/*2, £ = ¡¡¡'т)/д . Решение (8) следует рассматривать как функцию параметров ¿¡(х,1,а,р,у,£). Если у' и к', где предполагается что у' = тах{К(Л0}. (аналогичные допу-

щения касаются также К', 5' и q'), определены однозначно, то параметры /? и / определяют x и т с помощью выражений x = (к' - /з)/(у' - /), т = (к' ■ у).

Выбор масштабов изменения пространственной и временной переменных следует рассматривать как выделение некоторого локального «объема» исследуемой среды с учетом конкретных особенностей решаемой задачи. Подобная задача адекватно отвечает ситуации, связанной с аварийными выбросами загрязнений в атмосферу и оперативного прогноза его распространения в пределах пограничного слоя атмосферы. При построении решающих алгоритмов параметрических моделей (8) целесообразно включать в них процедуры оптимизации параметров на основе принципа минимакса:

ш!п шах ш,р), где <а(<?,Д) = | (9)

1

(£,,хг)с{0,1) и (?,,<2)с(0Д). В результате решения задачи оптимизации (9), определяется значение параметра, например, /?* и соответствующие значения x', т' и д .

Подобный подход позволяет более содержательно поставить вычислительный эксперимент, возможный в рамках такой математической модели.

11а основе параметризованных вычислительных моделей проводятся тестирование и численные исследования алгоритмов, основу которых составляют методы выбора и оценки параметров вычислительных моделей, разрабатываемых в данной и последующих главах. Методика проведения численных исследований состоит из следующих этапов' 1) Выбор значений <?„, Н„, к„, аи, x и т в соответствии со спецификой конкретной прикладной задачи, масштабами и соответствующими диапазонами изменения этих констант, установленными на основе анализа табличных данных, опубликованных в яаучной печати; 2) Моделирование полей исходных данных с пространственно-временной распределенностью по алгоритмам гестовых задач, разработанных в диссертации; 3) Нормирование всех переменных и полей, входящих в уравнения математических моделей, построение соответствующих им параметризованных моделей; 4) Численные исследования эффективности алгоритмов аппроксимации исходных данных и производных, соответствующих этим данным, определение требуемой размерности для обеспечения приемлемой точности аппроксимации с учетом структурной сложности аппроксимируемых функций; 5) Получение приближенных решений по алгоритмам вычислительных моделей; 6) Численные исследования сходимости приближенного решения к точному решению, определение оптимальных значений параметров вычислительных моделей А, /I, а,р,у,1; из условий сходимости того или иного вычислительного метода; 7) Численное исследование устойчивости вычислительных методов к погрешностям в исходных данных, выбор соответствующих значений внутренних параметров алгоритмов, обеспечивающих устойчивость, например, параметра регуляризации в моделях обратных задач; 8) Моделирование решений при различных исходных данных с учетом оптимальных значений внутренних параметров модели и алгоритма, 9) Выбор оптимального решения из параметрического множества возможных решений на основе реализации алгоритма минимакса (9).

На примере конечно-разностных методов в главе излагаются вопросы построения вычислительных алгоритмов для пространственных задач нестационарного диффузного переноса примеси в пограничном слое атмосферы. В частности, рассматривается построение двумерной модели переноса субстанции с учетом в ней процессов оседания тяжелых частиц и процессов взаимодействия с подстилающей поверхностью, уравнение которой строится на основе предварительного интегрирования (осреднением) трехмерной задачи (1) по пространственной координате. Полученное уравнение решает задачу построения нестационарной модели переноса, которая, будучи двумерной, дает в среднем представление о поле концентрации в трехмерном объеме. Для решения двумерной задачи в главе построены параметризованная модель и вычислительная схема, проведены численные исследования влияния про-

странственно-временной изменчивости полей скорости ветра, турбулентной диффузии и распределенного источника на характер поля загрязнений (см. рис. 1-2).

Рис 1 Распределение концентрации д{Р,1), Рис 2. Распределение концентрации ц(Р,1),

Р = Р(х,у).1 = 45с.У,0=5м/с, Р = Р(х,у).1 = 45сУл0 = 15 м/с.

У„„ = 5 м/с,Ус„ = 5 м/с, К,в ~ 50 м2/с, ^,„ = 15 м/с, У10 = 15м/с, Кг0=150мг/с

Кг а = 50 мг/с . Кг „ = 5 мг/с Линии уровня. КуД = 150 м*/с. АГ,,, = 15 м1/с Линии уров-

соотвсгсгаукнцкс Щ(Р,!). ни, соответствующие д(1, Р).

Во второй главе на основе интегральных представлений для решений краевых задач нестационарного диффузного переноса субстанции в атмосфере получены соответствующие интегральные уравнения Вольтерра П-го рода, позволившие ввести в структуру вычислительных моделей итерационные алгоритмы, повысив тем самым их устойчивость и эффективность. Предложены и исследованы два итерационных алгоритма, первый из которых основан на предварительном интегрировании параметризованного уравнения переноса (8) по временной переменной, а второй - по пространственным координатам.

Вычислительная параметризованная модель первого метода имеет вид:

= КI/) = ехр|-1(«((') + /3•V'*!, (Ю)

«**,» = ?(*,<„) ехр\(а0') + Р• V'! + ¡¡{х,(11)

Выражение (10) является интегральным представлением для функции <?(*,/), удовлетворяющей уравнению (8). При построении метода численного решения (10) относительно искомой функции я(х,г), вводятся функции <?(фс), где х играет роль параметра. В этом случае для каждого фиксированного х уравнение (10) относительно ч{!\х) является интегральным уравнением Вольтерра II рода, численное решение которого осуществляется методом последовательных приближений. При этом известно, что для операторов Вольтерра И рода метод последовательных приближений всегда сходится. Данный метод реализуется в виде итерационной схемы:

%.,№ = </».„ ехр (а, Л*г + /?■ Лх -- Vk_u))!■ + £-Я■ ^Лх2, (14)

(>1) = ехр{- Я • X Щ ■ А*' («,' А* + ß ■ (Kt>, - Vk__u )) l

(15)

<;» = (/? Лх-п.,к;.?+ (16)

где у = 0,1,2,.., йЧ? = <рй, 7 = * = Л = Д//Дхг, = 0), * = 0,и + 1;

д'"у(ха = 0,/у) и V= 1,',), у = 0, и. Вычислительная модель (13)-(16) включает в себя производные </'(*,'), д'(дI,/), и К'(х,1). Но в ней уже отсутствует произ-

водная по времени за счет интегрирования исходного уравнения по перемен-

ной чго несколько уменьшает объем требуемых исходных данных, экспериментальная информация о которых может отсутствовать в реальных ситуациях. Вычислительная модель второго метода имеет вид:

\к(х,х',ГМх',1)<Ь', (17)

= • ехр{{^]. = , (18)

у(*',<) = •/„(<)+ f

dx", (19)

Л(<) = У(х0,Оч(ха,') -К(х0,')дЯ(^'!) . (20)

ах

Уравнение (17) есть уравнение Вольтерра II рода, для численного решения которого также применяется метод последовательных приближений Переменная / в нем играет роль параметра, поэтому вводится параметрическое семейство функций q{xty). Итерационная схема метода принимает вид:

Г/'^Лх,

--Чо., <=*{>

г;:;"=Iк • 4А - (с/'> - .

(21) (22)

(23)

(24)

^=Ах2/Д/, V = 0,1,2.., 9'°/ = <Р,,1. У = I,«, / = 1,/я, и -определяется изначальных и граничных условий. Вычислительная модель (17)-(20) не содержит производных искомого решения по переменной * - ?'(*,/), д"(х,1) и производных исходных данных - У'(х,() и К'(х,1), а содержит лишь производную искомого решения по времени - д(х,1). В результате существенно сокращается объем исходных данных, измерение которых в эксперименте либо крайне затруднительно, либо не возможно.

Рис.] Графики функций (/¡дг) и ql = q{fy¿)- Рис.4, Графики функций Чг{х\<) и </(лф) - раегтре-

распределекие коиципрации по времени при фик- , ~7Г_

' „ , деления концешрации примесей по оси их

сировакном значащи координаты X ~ и. о; ,

/ , г. фиксированного момента времени

<А<*г,</)=1.47£-03. ^,?)=3.33я-03 .

для

/ = 0.5,

В главе осуществляется построение и исследование соответствующих итерационных алгоритмов, доказывается их сходимость. Итерационные схемы (13)-(16), (21)-(24) реализованы программно, что позволило провести численное исследование влияния исходных параметров краевых задач диффузного переноса на скорость сходимости и устойчивость к вариациям в исходных данных Соответствующий расчетный материал представлен в виде графиков и таблиц (см. рис. 3,4). С помощью вычислительных экспериментов показано, что выбор того или иного метода может быть согласован с погрешностью и объемом исходной информации о физических параметрах пограничного слоя атмосферы (пространственно-временной изменчивостью

поля скорости ветра и турбулентного состояния атмосферы). В завершающей части главы итерационные алгоритмы включаются в схему покоординатного расщепления трехмерного нестационарного уравнения переноса примесей

В третьей главе разработана концепция построения вычислительных моделей состоящая в следующем. Нестационарные уравнения переноса субстанции в атмосфере приводятся к уравнениям эволюционного типа q - Dq + S, где D - дифференциальный оператор второго порядка по пространственным переменным, что дает возможность построить рекурсивные алгоритмы, реализуемые так называемыми операторами шага T(j + ],j), у = 0,л-1: <р'*1 =Т'<р' + г-5"f, где Ге[0,г], РьО, lt <1< , T = i/H-tj, (/>' = q(P\t,), <pf = ч>ф), <рм = <р(Т), \J - конечномерная аппроксимация оператора £>(/) на интервале S i < tlti л' - d' = 0(1,), Т' =(/ + (г/2)л')г'(/-(г/2)д/), S' = (/ + (г/2)л') Для сходймости рекурсивных вычислительных схем необходимо выполнение условия I^Q +1,y)J < 1, которое позволяет провести дискретизацию исходных моделей по временной переменной /. Зависимость оператора шага T(j + \,j) от исходных данных {V(P,t),K(P,t)} позволяет связать указанную выше дискретизацию с пространственно-временной изменчивостью этих физических полей.

Дальнейшее развитие концепции связано с созданием эффективных алгоритмов численного решения задач переноса субстанции приближенных исходных данных на основе вариационных методов. Рассматривается параметризованное уравнение переноса (8) при соответствующих начальных и краевых условиях. Первая вариационная

задача связана с функционалом вида ./[</]= \lp{x,t,q)ro(x)dx, гарантирующего получе-

х

ние так называемых слабых решений. В рамках этого подхода предлагается методика редукции уравнения переноса с переменными х и / к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, для решения которых могут быть использованы стандартные алгоритмы. При решении подобных задач принято задавать аналитическое представление искомой функции q(x,t) в виде линейных комбинаций базисных функций:

<?„ (*, t)--Yc* ('К 00+СоСК СО+с,,н (')",„, СО (25>

где {и, }п есть совокупность базисных функций, определенных на , Л"]. Основное требование к базису {ut}n - линейная независимость в их совокупности. В качестве {ut}n выбирается система финитных функций, определенных наконечных носителях

Л,, таких, что (Ja4 -[х„,х]. Предполагается, что \q(xj)-qn(xj)l<е как только

о

п > п(с). Помимо этого удобно выбирать систему {и, таким образом, чтобы

"*(*>!«.*.= u»Ur'=0- в случае Со(0 = 9,(0 и Ся„(<) = <?2(0, и удобно в задачу ввести функцию = iW' (26) характеризующую поток субстанции через границы области ÍJ. Аналогичное представление можно выбрать и для функции источника, а именно,

S(x, /)=£ с; «к (О+C¡ (Ои„ W+с„%, «=X с; (/к (*)+>-' (*, о • (27>

i-I

С учетом (25Н27), задача решения (8) формируется как построение на первом этапе конечномерного оператора, преобразующего вектор С(/) = (С4 (/)}л в вектор C'(t) = {с"»(о},,, а далее - построение ему обратного. С этой целью вводится функция невязки:

р(х,1,С(1),С-(/)) = [^С, (/К «]+¡£C4 (/)S, (*,/)} - Qix.D-lj^QiDu, (,)), (28) где В„ (х,0 = аОХ (х) + ¿(W.'K (X) - .

Q{x,t) = К*,') + a(l)r(x,t)+~i^(,xj)r(xj) - K(x,t)^iyr-(xj). В соответствии с «принципом взвешенной невязки» конечная система из л уравнений относительно компонент С(/) (тоже С(/)) строится в соответствии с системой равенств:

\m,(x)p(x,t,C(OAl))dx = 0, (29)

где / = 0,и, и {ш, (i)}- некая система весовых функций. Считается, что весовые функции в совокупности образуют систему линейно-независимых функций и, кроме того, они все не отрицательны щ(х) > 0, хе[х„,х]. Если щ(х) > 0, то для выполнения условия равенства интеграла нулю в (29) необходимо, чтобы р(х) = 0 в пределах интервала интегрирования. В результате получим систему:

i e.C,(0-£ib<0C,(0 + í CÍO)«, -е,(0. (30)

i-I Ы ».!

«Л = \a>,(x)uk(x)dx, 6tt(0= \(ú,(x)Bt(x,t)dx

4, 4,

обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных Ct(/), к = О,л, определяющих в соответствии с (25) решение краевой задачи (8). К интегралу для вычисления Ьл{1) применим операцию интегрирования по частям. При этом учтем, что выбор функций произвольный и потому можно потребовать от них выполнение условия «}(л)|

х.хи = Щ(.х)= ®> где хи и соответственно левая и правая граница интервала Л,. В результате приходим к следующим формулам:

ift(0 = «('K - \а](х)[У{х,1)щ{х)-К{х,()и[(х)\Ь- (31)

а,

Особенностью (31) является то, что теперь уже не требуется непосредственного задания частных производных V'x(x,t) и K'x(x,t). В практическом отношении это очень важное обстоятельство. Действительно, скорость переноса субстанции V(x,t) вдоль

оси Ох в лучшем случае может быть задана табличными (измеренными) значениями, используя которые дать корректные оценки значений V'x(x,t) практически не представляется возможным. Все сказанное относительно функции еще в большей степени относится к заданию коэффициентов турбулентной диффузии K{x,t). Информация о величине К(х,1) в лучшем случае может быть представлена полуэмпирическими формулами, которые не состоятельны при оценке градиентов соответствующих распределений. Использование формул типа (31) вместо исходных (30) меняет «качество» получаемых при этом решений задачи. Здесь возникают гак называемые слабые решения функциональных уравнений, лежащих в основе математического моделирования исследуемых явлений. Уравнение (30) является эволюционной задачей и поэтому, осуществляя редукцию (30) к алгебраическим системам, приходим к следующей рекурсивной схеме:

си+О=ти+y2)C(j)+r-s(j+у2кс" u+y2)-h<j+/2))' (32)

Рекурсивная схема (32) сходится при выполнении условия положительной определенности оператора A~l B{j + у^).

В рамках вариационного подхода построены и исследованы модели, связанные с квадратичным функционалом вида J[q\= fp2(x,t,q)cu(x)dx(метод наименьших квадра-

X

тов). В качестве систем базисных функций использованы многочлены Бернштейна:

я„«=1/(**)су( 1-*г*, в:(х)=)-/(**)]c.v(i-(зз)

кЛ »«О

в;,(х) = «(«-1 )f\f{xitl)-2/(хы) + f(xt)]с;_2дг*(1 -ху-"~2, (34)

к- 0

При этом полагается, что *e{o,l], /(*) = {/(*»)}, А = f(x)<* В„(х), f'(x)= В',(х), Г(х)*в:(х), p„4(*) = C.V(1-х)»"1, />„,„(* = 0) = 1, Р„.„ (х = 0) = 0, p„Jx = 1) = 1, Р«.к (•* = 0) = p„it (х = 1) = 0. Выбор многочленов Бернштейна обусловлен тем, что он достаточно хорошо исследован и обладает рядом замечательных свойств, в силу которых этот аппарат аппроксимации позволяет создать вычислительную методику анализа исходной задачи. Речь идет об оценке влияния аналитических свойств исходных данных на аналитические свойства искомых решений в терминах и понятиях

конструктивной теории функций. Аппроксимируя согласно (33)-(34) распределения, входящие в уравнение (8), получим В.*,

&тЛ(х^гУ), В'т+,(х,<, подставляя которые в (8) и обозначая коэффициентами С,О)=и С,и -1) = , у = \,п, / = 1 ,т, приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов С = {с,0')}, определяе-

I

мых из условия [р](х,С^)}ек => тш. Окончательно имеем

О <"<л

?(*.',) = В^х^.ёаУ),у V*б[од].

При разработке вычислительных алгоритмов в рамках вариационного подхода существенную роль играет выбор той или иной системы базисных и весовых функций, определяющих эффективность решения задачи (точность, устойчивость, скорость сходимости). Решение этой задачи осуществляется на основе параметрического семейства конечных элементов определенного типа, предлагаемого и исследуемого в данной главе:

«-/Ф41 -[Ф4Т .

~х:) ак+рк -х-) -хк)

где ик(х) определена на конечных элементах Пк 1 УхеПк, П =

к-И

П=[од], коэффициент дк характеризует амплитуду базисной функции и,(х), (ак,рк) - некоторая система чисел таких, что ак >0, рк >0, к = 0,п + 1, С1к =[*,*,х£] - носитель ¿-той составляющей в аппроксимационной форме (/„», (х,С(/)) (/)",(х).

Функция !/.,,(*,С(0) определена на множестве О. Возможны различные варианты выбора характеристик базиса {«¡^„.(в;,^)}. В работе показано, что локальное поведение и„^(х,С(1)) может отражать особенности локального поведения аппроксимируемой функции /(*) для хеОк при соответствующем выборе (аДля этого разработан алгоритм «оптимизации» параметров базисной функции с учетом структурной сложности аппроксимируемых функций.

На основе базисных функций (35) построена рекурсивная вычислительная схема, аналогичная (32). Для её реализации рассмотрен третий из возможных подходов к построению решающих алгоритмов с применением вариационного типа, ассоциированный с функционалом вида •/[?]= ^\р(х,1,д']\со(х)сЬ:. Поскольку построение в явном

х

виде соответствующего уравнения Эйлера уже не представляется возможным, реше-

19

ние вариационной задачи осуществлялось методами негладкой оптимизации. С этой целью были предложены два модифицированных с учетом специфики решаемых задач известных алгоритма, а именно, симплекс метод и метод вращения системы координат.

В главе приведены результаты численных исследований алгоритмов, реализующие вариационные методы (см. рис. 5).

Рис 5. Графики функций ц = дт (х|/ = 0.5) и дт = <7(х|/ = 0.5) - распределение концетрации примесей

по оси Ох дня фиксированного момента времени, среднеквадратическое отклонение (с/г,¿7) = 3.39£ — 02. (Метод наименьших квадратов), ((/г,(/) = 4 5 3 — 02 (Метод «взвешенной невязки)

Представленные в главе численные методы и алгоритмы включены в схему решения трехмерной задачи переноса, предопределяемой принципом покоординатного расщепления.

В чезвертой главе развивается концепция, в соответствии с которой вычислительные модели, включаемые в структуру систем оперативного контроля экологического состояния природной среды должны усваивать в той или иной мере данные метеорологического характера. Первая задача в этом направлении касается оценки турбулентного состояния пограничного слоя атмосферы на основе измерений концентрации рассеиваемой субстанции в определенных точках наблюдения. Дана постановка и выведены функциональные уравнения обратной коэффициентной задачи на основе уравнения переноса:

К(х,0 <?'(*■')-*(*„,') ,0 = г(х,I)■ д(х,I)- У(х„,/)■ д(х„,0-И*,0, (36)

**./)= '[(Я(х',0-ф',0-<*(0-9(х',Ф', (37)

При этом полагается, что х„ =0, Г(х,1) = У,(х,1) и К(х,() = Кх(х,1), и можно найти из (36)-(37) значения коэффициентов турбулентной диффузии К(х, I) в точках (*,») области П при условии, что известны функции д(х,1), д(х,1) = д',(х,)), д'х(х,1), У(х,1), 5(*>0 и а(1). Для параметризованной модели обратной коэффициентной задачи по-

20

строена вычислительная схема на основе вариационного метода, подробно излагаемого в предыдущей главе. Искомая функция £(*,/) в пределах области П = {о,1]

представляется функцией Кт{х,1л) = ¿С,(?у)и,(х) УхеП, _/ = 1,и, /уе[од]. Анало-

м

гнчно аппроксимируются поля ?„(■*■'").

* (9» С*. О-*) ~ ^ 'у ))/А/ • В итоге вычислительная схема имеет вид:

¿«ДКК?,)-«^), = У = й. (38)

= [а>,(х).(5,/,)?„ (*>',) -(40) л< V,) = [о., ■ 4 (£';,)-((#„ ) - (х,/у))/д/)- 5(<у) ■ >)«'|« , (4 о

Рис. б. Просцинивешю временные распределения попей турбулентности: (*,/) - тачного решении и АГ„(Х,0 - пряближеяюго решения, е учетом случайных погрешностей в измерениях пол» концентрации прямеое* S * 0.01 (IS) и погрешностей аппроксимации попей исходных детых и соонегодующих про-юмшшх. В итоге среднеавддрепмеохос опшоненнс составило СТк (Jtr, Km) ~ 8.73Л" — 02.

Можно упростии, соответствующие вычисления и одновременно ослабить требование, предъявляемое к исходным данным:

о., I й*

Этот прием избавляет от необходимости знать значения > 470 немаловажно в случае вычислений с экспериментальными данными. Это ведет к получению так называемых слабых решений, о чем уже говорилось выше. Схема (38)-(41) далее реализуется с помощью регуляризирующих алгоритмов:

) = \Гп, (42)

т., (с«;)) = ¿Г£ («.,„ (?, )с„ (?,) - 6,«,)) + а, ■ р ■ £ [с, <?,) - с, (/V,)]2,

ск(О = с„(0) = К(х„,0), к =0,т\Си{1,) = К(х„,7,) = ¿(0,/,) ,С„,(/,) = *(*„,<,) = ¿(1,/у). где /> - некоторый масштабный множитель, С(;У) = {СД/,)} £?(/,) - искомые коэффициенты при соответствующем значении параметра регуляризации <5, для каждого фиксированного ¡), J = 1,и, (<у)) - искомое решение обратной коэффици-

ентной задачи (36) по определению коэффициента турбулентной диффузии. Проведены численные исследования решающего алгоритма задачи на основе тестовой задачи, моделирующей поля исходных данных и искомого решения, разработанной в главе. Некоторые результаты расчетов приведены на рисунке 6.

Сформулированы модели переноса субстанции, использующие априорную информацию о функциональной связи поля скорости ветра и коэффициентов турбулентной диффузии, для представления которой в рамках качественного подхода предложены соответствующие полуэмпирические формулы:

К, = сС-

^-иШ'-4"-'

3

2Ж/

дК

= 1,2,3

ах. ах,

дх.

I =1,2,3

Во втором уравнении первой системы !} и с - константы, выбираемые в зависимости от турбулентного состояния атмосферы, - некоторые числа, образующие в совокупности матрицу {т7( ) }3>3. Эта матрица позволяет более тонко моделировать пространственную изменчивость поля коэффициента турбулентной диффузии. Обратная задача в рамках этой модели может быть сформулирована как параметрическая, т.е. задача оценки элементов матрицы при известных полях д(Р,1), У(Р,1), и 5(/>,/). В подобных задачах решающие алгоритмы строятся на основе метода наименьших квадратов. Во второй системе - компоненты тензора (диады) К турбулентного обмена в соответствующих направлениях осей координатной системы. Главной особенностью второй модели является то, что исходные данные представлены матрицей

{дV,jдxJ} и производной по времени У{Р,(). Обеспечить задачу оперативного прогноза динамики поля концентрации загрязняющих веществ в рамках этой модели можно на основе измерений поля скорости ветра У(Р,1), позволяющих определить дифференциальные характеристики векторных полей.

Выполнена постановка и разработана соответствующая вычислительная модель на основе вариационного метода для обратной коэффициентной задачи, в основе которой лежит уравнение непрерывности поля скорости ветра в пограничном слое ат-

мосферы. Обратная задача разработана для полуэмпирической модели пограничного слоя атмосферы:

^ = /■0 + 1 д/ дг

ди

Ы

= -/

(43)

в которой полагается и(л,<) = Р^(г,<), о(г,<) = ^ (г,/); / - параметр Кориолиса; Ки -коэффициент турбулентного обмена для импульса; гб[21,2!] и /е[0,Г]; в горизонтальном направлении компоненты скорости У(Р,I) остаются неизменными в пределах временного интервала наблюдения [0,7"]; направление координатной оси Ох соответствует направлению геофизического ветра, величина которого характеризуется константой О. Дня системы (43) обратная коэффициентная •задача, связанная с вычислением Ки(г,1) (тоже К(г,1)) определяется соотношениями:

*(г, «К (г. О = [("(*'>') - / • Ф',1)№ + * (г„/К (г, .о,

К(гМ('.')= [(¿О',') + /• и(г\()-/• + ОД ,0^(2, ,<),

(44)

(45)

(46)

«(*.0Ц =°. ^.ОЦ =0. Ф.ОЦ =0, =0.

Уровень г, соответствует уровню подстилающей поверхности (уровню шероховатости). Выбирая базис и систему весовых функций {п^^ь,' используя разложение искомой функции К{г,() по данному базису, (44)-(46) преобразуются к системе алгебраических уравнений относительно компонент вектора С(1), для которых переменная I играет роль параметра, как это делалось выше в методе «взвешенной невязки»:

А(1)С(1) = р(1), где Л(*) = к»(<)}, Р(') {/>,(<)}, =

/ = 1,п

а™, I = п + 1,2л

. А(0 =

р!". /=й

/ = л + 1,2 л

«,'» = [и>,(г)&(гК(г,0А, / = !,«, л<>)= [«^(^(г,/)^, / = « + 1,2«,

Л и

д(,)(0= [ч-,(*)«».(*,0«Ь. / = й. />"'(<) = [^(2)^,(2,0^, / = «+1,2«.

л, л,

Й,(г,/)= [(й(г',0-/и(г',0>&'+ АГ(0,/К(0,/), г, =0 о

«,(*.<) = [ («Н«'.') + >(*',<) - _/С>й' + К(0,04<0,/).

о

Для численной решения системы используется рекурсивная схема, аналогичная (42).

Предложена расчетао-аналитическая модель численного дифференцирования эмпирических функций, для которой исходными являются экспериментальные данные. Полагается, что задана функция /(х) в пределах интервала [*„,*,] и требуется вычислить fix). При решении уравнений переноса в качестве подобных функций выступают исходные данные, представленные, например, измерениями ¡К(дс4, t¡)[_.

Построен метод численного дифференцирования эмпирических функций, основанный на сведении этой задачи к интегральному уравнению Фредгольма первого рода с непрерывным ядром:

(47)

; l*»-'» если Численное решение (47) также построено на основе вариационной задачи для так называемого сглаживающего функционала, что ведет к регуляризирующему оператору К'1. Численно он реализуется с помощью матрицы К'1 =(КТК + af)~lKT, где К -матричный аналог исходного интегрального оператора К в (47). Искомым решением будет fl =(ктК + alY Ктф. Разработан вычислительный алгоритм метода для параметризованного варианта модели (47) на основе тестовой задачи, приведены результаты его численной реализации на ЭВМ с помощью соответствующей программы.

На основе анализа физических положений, относящихся к явлению турбулентности в пограничном слое атмосферы, предложена расчетно-аналитическая модель поля скорости ветра, для которой представлены все необходимые расчетные формулы, включая и те, которые позволяют оценить компоненты ротора поля скорости ветра. Это дает возможность методами численного моделирования исследовать влияние ротора поля скорости ветра на структурные характеристики потока вещества, переносимого этим полем в условиях турбулентных движений. Рассматривается векторное поле К(Л0 в пределах некоторого локального объема исследуемой среды Q = [o,£]x[o,¿Jx[o,¿] и Р(х„х2,х3)еП. Для построения параметризованных моделей векторного поля V(P,t) выбирается функциональный базис [<pt (Р)}щ, где в качестве базисных берутся функции вида:

Расчетные формулы имеют вид:

Ум(Р.0-Уяя-£л,С<«(ПЛ(Г). ~ = А, и = 1,2, 7 = 1,2,3

1Ы м <Я,

м

4i'\P) = м • cos лк sin лк i- cos я* -1 , (/>) = /i ■ sin лк cos як ^ | cos лк L L \ U ) Li L

H

ym dx.

УшХМ • +c?'(»-if-1. J=w

(rot?)1 =

avm

8xl dx} gyO) gym

dXj dxj

XfO) ) °bk

dx,

a*

=v„

1Л

*-I

я

■1л

dx,

+ Ci'

г

C0)| d<Pk dig' ' a*,

/ dVw dVw „ A.

dx. C?»|

дхг дхч

M¥

a*, j 'la*,

dx, dx}

При вычислении коэффициентов Cj["(i) для фиксированных моментов времени jrj (j = 1,2, ) исходим из того, что данная задача обеспечена множеством значений {^'"'(/Уу)}, полученных путем экспериментальных измерений фактической скорости ветра в пунктах наблюдения {/¡}, 1 = 1,1 в соответствующие моменты времени. Задачу оптимальной аппроксимации, решаемой на множестве исходных данных ^l'\P,,tj)} в рамках данной модели можно решить на основе сглаживающего функционала

Г.(р'>и))- i[^(Л-К^С'-'О))! +ар±№и)-суи -l)f, (-1 >-|

где Cw0) = ipi"\tj)}, к = 1,п, j = l,J, v = l,3. Стабилизатор этого функционала ограничивает норму вектора CM(j) • На основе тестовой задачи проведены расчеты и соответствующие численные исследования регуляризирующего алгоритма.

На основе фундаментального решения уравнения переноса с постоянными коэффициентами V(P,t) = const и K(P,t) = const для мгновенного точечного источника:

q(x,y,z,t) =

GCWo.Zo.'o)

М*-/„)№,*,К,F2

sxp-

4*,(<~<„)

exp<-

(48)

[(г-го)-К,(<-/„)Г1

4АГ.(/-/„) | г| 4 АГ, (/-/„)

предложена методика качественного анализа влияния скорости ветра и турбулентных характеристик пограничного слоя атмосферы на характер пространственно-временной изменчивости поля концентрации примеси В основе данной методики лежат формулы, выведенные в главе, для расчета момента времени /', в который в точке Р(х,у,г), при условии, что выброс вещества в количестве (50 произошел в точке Р„(х0,у0,г0') в момент 1„, будет «зафиксировано» максимальное значение концентрации д(Р,1):

Кя Ку Кг Кж Ку Кг

Предложен алгоритм для численной оценки «эффективной длительности» импульсного возмущения загрязняющих веществ (ИВ ЗВ) в точке наблюдения г = г, + г2 и интервала длительности «основания» импульсного возмущения ЗВ - [/,,/2].

Для количественной оценки влияния скорости ветра и турбулентной диффузии на размывание ИВ ЗВ в работе вводится понятие «коэффициента размывания импульсного возмущения ЗВ»: = = тт{г,}, где / = !,//, n - количество наблюдений. Параметры г, рассчитываются по формулам алгоритма, о котором речь шла выше. Выполнены расчеты величины временного интервала ¿¡ = Са-г, где С (К, -л 0)«г^ = х)Ух, служащего характеристикой турбулентного состояния пограничного слоя атмосферы, рассмотрены особенности поведения как функции К% (см. таб. 1). Определенный интерес представляет оценка значений коэффициента турбулентной диффузии. В частности, из формулы (46) в одномерном варианте имеем К, = 0.5 • -1|. В соответствии с условием Х/УЖ>Г , выражение в квадратных скобках строго положительно. На основе методики по оценке пространственно-временных параметров процесса переноса примесей в атмосфере можно осуществить выбор параметров в параметризованных моделях теории переноса, о которых речь шла в предыдущих главах. Так, например, в качестве интервала [/„,7"] можно выбрать интервал [<„,!*]. Подобный подход вносит определенную ясность в выбор необходимого пространственного масштаба в задачах численного моделирования переноса в турбулентной атмосфере. Если обратится к оценке параметров модели переноса, а именно, /3 = (у'т)/Х , у = [к'т)/Х1 и 4 = (з'т)/д', то альтернативно получаем /3 = (уУ)/Х, у = {к'1')/(хУ и £ = (Л'У?'. Остается заметить, что V' и К' есть некие осредненные значения для У(х,1) и К(х,1).

Таблица 1

Расчет времени Г прихода «импульса возмущения ЗВ» в пункт наблюдения, его «эффективной длительности действия» г, «коэффициента размывания импульсного возмущения ЗВ» 7] и ¿" = /0—/*.

11=500 и К-50 м2/с а=0,7

V (м/с) { (о) Г (с) ч

2 132,37 140,69 11,54 44.14

7 40,23 42,75 3,50 10,20

12 23,71 25,20 2,06 5,70

25 11,46 12,18 1 2,65

11-500»! У-7и/с а-0,7

К(м7с) С (с) Г (с) п С (.с)

50 40,23 42,75 1,07 10,20

100 39,24 41,71 1,05 11,18

150 38,29 40,69 1,02 12,14

200 37,35 39,70 1 13,07

Построены интегральные уравнения для оценки количества ЗВ в пункте наблюдения, поступающих в него от источников с конечной и непрерывной длительностью действия. Для источника действующего в течение времени +т] количество ЗВ, накапливающееся за время [f„/2] в точке M(x,y,z), рассчитывается по формулам:

«о

Q(M0,M,<)= ¡SiMc&qiM^M^lW, (50)

&

где & + á/á&+r + /* + r2 или í,</<f2, f, = £0 + r*-г, и

1г = + Т + /* + г2, £(/) = / - Л Для непрерывно действующего источника имеем:

Í1=/l+r,-í', £(<) = / -/'-г,, /, С помощью формул (50), (51) выполнены соответствующие расчеты для прикладных задач экологического мониторинга, приведены соответствующие результаты.

На основе предложенных интегральных уравнений осуществлена постановка обратной задачи источника, для которой построен и обоснован соответствующий ре-гуляризирующий алгоритм численного решения уравнения Вольтерра I рода:

"¡К(у„хМх№ = /ы , / = й, (52)

в котором требуется найти <р(х), где у, е [У,, Уг ]. Считая, что представление вида

<р(х) = %(л) + применимо для искомой функции, приходим к следующей

квадратичной форме: Г„ (С) = ¿í ¿paCt + /„,-/„] +^jj>aC,C4, (53)

м U-i ) ijk-1

y* _

где обозначено = \K,(x)Kk(x)dx, /0| = [^(^„(х^абс', / = 1,п. Находим коэффи-

X

циенты С = (С,,С2,...,С„) из условия минимума функционала (53). Вычислительный алгоритм достаточно прост и его достоинством является естественная редукция вариационной задачи к алгебраической системе. Сопоставляя уравнения (50) и (52), отмечаем, что в качестве ядра К{у,,х) в уравнении (52) выступает функция q(M,¿¡,t), определяемая выражением (48), и в котором /=/,, t e[f,,/2], /,=/„+/'-г,, /2 =/0 + Г + /'+ г2, '-»*], y¡ = t¡,х = £, y',=t,-t\ / = 1,n, Искомой функцией

<p(x) будет функция источника в качестве функции f,(y) выступает

Q(M,t), <ра я 0. Приводятся результаты программной реализации и численных исследований метода (см. рис. 7).

Предложенный выше перечень расчетно-аналитических методов, решающих как прямые, так и обратные задачи теории диффузного переноса субстанции, основанных

27

на усвоении эмпирических данных, и обеспеченных соответствующим программным обеспечением, является основой единой методологии оперативной качественной оценки состояния поля концентрации загрязняющих веществ и прогноза его пространственно-временной изменчивости.

-V - - - ?а

Рис. 7 Графики функций и <р . (х) - точного и приближенного решений обратной задачи источника

при а = 9.78£ - 08 и \/(у) - /„ (>>){» о- = 0.05, - р„| = 0.12

В пятой главе модель переноса примесей в пограничном слое атмосферы расширяется введением в нее векторного уравнения Навье-Стокса, с помощью которого можно оценить поле скорости ветра. Привлечение уравнений Навье-Стокса с обязательным учетом в них членов, определяемых турбулентным состоянием пограничного слоя атмосферы, позволяет методами численного эксперимента изучить количественно влияние характеристик турбулентности на характеристики паля скорости ветра. В первой части главы выполняется обоснование применения уравнения Навье-Стокса в аэродинамической модели пограничного слоя атмосферы. Для этого на основе феноменологического подхода осуществляется вывод уравнения турбулентного движения, с помощью которого затем построена математическая модель поля сил турбулентного трения. В главе рассмотрены возможные подходы к выбору способов задания коэффициента турбулентной диффузии в вычислительном эксперименте. Рассмотрены математические модели, позволяющие выполнить расчеты значений компонент скорости ветра в пограничном слое атмосферы.

Во втором разделе главы разработаны два вычислительных метода для нелинейных уравнений Навье-Стокса, основанные на покомпонентном и покоординатном расщеплении, приводится обоснование вычислительных схем. Каждый метод включает в себя процедуры локальной линеаризации, в них предусмотрена возможность итерационных поправок, осуществляемых в рамках метода последовательных приближений.

Содержание первого метода заключается в следующем. В соответствии с аэродинамической моделью компоненты УХ(Р,1), Уу(Р,1), У,(Р,0 поля скорости ветра

У(Р,1) = У,(Р,0 I + Уу(Р,1)] + У,(Р,1) к, где Р(х,у,г)еП, (£2 - некоторая область, ограниченная П ), удовлетворяют системе уравнений Навье-Стокса следующего вида:

д! дх ду дг

= , = 1,2,3, (54)

р(Р,0 piP.fi дх р(Р,1) л,ь

в которых обозначено У1(Р,1) = У„(Р,1), Уг(Р,()-Уу{Р,1), У,(Р,0 = У1(Р,1), В данных уравнениях р(Р,1) - атмосферное давление в точке Р, 1']{Р,0 = /г,(Р,')< Рг(Р,0 = /^(ЛО, = Р,(Р>0 - компоненты силового поля Р(Р,1), действующего

на единичный объем в пределах области П, р(Р,1) - плотность воздуха и // - динамический коэффициент вязкости, у = р/р(Р,1) - кинематический коэффициент вязкости. Система уравнений (51) может быть записана в векторной форме, а именно

^ + = + (55)

д/ р р р

Уравнения (54) являются не линейными и поэтому достаточно сложными с точки зрения построения соответствующей вычислительной схемы. Привлечение метода последовательных приближений позволит решать, например, первое уравнение (54) относительно компоненты Ух независимо от двух остальных Уу, У,, которое в свою очередь может служить далее источником получения информации об этих компонентах. Если обозначить через V номер соответствующей итерации, то первое уравнение (51) можно писать в виде:

+ + & (56)

3/ * дх " ду ' & р р р дх'

Итерационная схема (56) в которой у = 0,1,2... для определения Ух выписана таким образом, чтобы решаемое уравнение на у-том шаге было линейным относительно искомой функции К/'*", что требует предварительного знания Ух*у, Уум и И,'"'. Аналогичным образом могут быть выписаны и две остальные вычислительные схемы, позволяющие определить соответственно Уу("'' по Ух"*'\ Уу1"', У,(у) и К,'"" по У/"*", Уу("'п, К<">. Вычислительная схема для решения (54) строится в рамках метода расщепления. В этом методе исходным является предположение, что переменная / меняется в пределах некоторого элементарного интертала ] =0,1,2., где ве-

личина Д/ = /у(1 -11 может быть сделана сколь угодно малой. Линеаризация первого уравнения в методе расщепления носит локальный характер по переменной т.е. относится лишь к интервалу То же касается и двух других уравнений в (54).

Для системы (54), в которой У,, У,, V, • неизвестные функции, полагаются справедливыми следующие утверждения: выполняется условие непрерывности divV = 0; p(P,i) = consi■ {Fjp)=g, компоненты F„=Fy" 0; p = p-RT, в котором R - универсальная газовая постоянная, а Т - температура; Vp = р R ■ VT;

(57)

где известно, что функции К,:{Р,1) соответствуют так называемым коэффициентам турбулентного обмена в направлениях осей выбранной координатной системы. С учетом (56), (57) система (54) преобразуется к виду:

«""•»-М- «■"•»-¿('■-I)

зр, эк, эк, ас, зк

а =—L + —-, а„ =—+—-, а„ = —- +—-. " дудг "3хдг "ахду

Полагая в первом уравнении данной системы ip(P,t) = К, (/>,(), для него можно выписать вычислительную схему, в основе которой лежит метод покоординатного расщепления:

О

Задача 1: ф, -а^ - ^ = • Qx{P,t, М),

iK(Pfi), если 1 = 0 С/' = 0) _ _

fviP,',+,)■ если PeQ

^•'НFApJa. если Pen ' =

К,(/>,',), если PeQ j = 1,2,.. Fr(/V,). если Ре ПР,

если Ре П - — , К(ЛО =

Wy)> если ЯеП Л

К,(/>,',)• если Ре О j= 1,2,..

V,(P,tj), если РеП + а)3+01г = 1, <p(.P,t) = <p3(P,i), = при < / < 30

Аналогично вычисляются значения функций Уу{Р,!1^) и .

Второй вычислительный метод для решения уравнения Навье-Стокса состоит в следующем. Векторное уравнение (55) может быть записано в виде:

+ (58)

д! 1 1 1 р

в котором член \rotV, р] представляется в виде нелинейного оператора [гп/у,у}= а[у]у. В схеме метода покоординатного расщепления, когда основным является допущение о том, что < / < , локальную линеаризацию можно осуществить, считая приемлемым приближение [го!У'"п ,Р1"*п]= А^^У^, где V - номер итерации, А - линейный оператор в пространстве Я, с матрицей

f л

О -а, а,

О

, где а, =

дУ, дУ

ЭК, дУ,

ду дг

1 дх дг ' ' дх ду

(59)

С учетом в (58) соотношений (59) приходим к следующему уравнению

д± + А[уЬ _£у2К = Р-1 Чр -1V?2 = Р--уГр + £У2 Ы 1 1 р р и 2 р \ 2

В скалярной форме покомпонентно это векторное уравнение следует писать

где У, = УГ, У, = Уу, У,-= У,, Г, = Р2=РУ, Я, = ( = 1,2,3, а„=0. Для / = 1 имеет место слагаемое которое далее будем писать в виде (57) В работе вы-

полнено построение вычислительной схемы для системы (60). В схеме расщепления для уравнения (60) имеем при I е , ) и а>, + тг + со, = 1:

* ау^ ^ ау у аг^ " аг ^ •

(61)

с?!л(ло=-

а*

Выражение (61) можно переписать в виде

= (Л 0, где <р(Р,1) = У^Р,1).

(62)

В соответствии с методом покоординатного расщепления для уравнения (62) имеем совокупность подзадач:

ду

<2'/\Р,0, ] = ", 0,

Аналогично для второй компоненты И имеем схему

ЭС ЭО

V К — ' дх - дх

дУ

^ У

: Эг

I.\ = п<л

е</)(р.о=-

о)

Р V 2 )_ у

■-а*-

дх

о, Фг=щ с^(Л').

Для компоненты V. (/*,/) имеем вычислительную схему

+--л

о

и

В рассмотренных вычислительных схемах может быть использована коррекция прогноза значений по vй', особенно, с учетом дополнительных погрешностей, связанных с локальной линеаризацией задачи Одним из простейших способов коррекции прогноза может быть следующий способ. Полученные значения К,0*", v,''*" считаем некими предварительными оценками указанных величин. Обозначим

их через V, , V , V. . Вычисления теперь можно вновь повторить, введя в вычислительную схему вместо значений У,1'1'", V

(/И)

новые, такие как

(1/2)[у/л 1 '7(>п], 0/2)1у/у,+ии*"), (1/2)^£,л+У2и+"] соответственно. Поскольку исходные уравнения в системе представимы в виде <р= где - дифференциальный оператор, зависящий от вектора V, а роль <р играет одна из искомых компонент этого вектора в порядке следования уравнений, с учетом указанной выше замены, имеем конечно-разностное уравнение вида

</>и'1]-<Ри) = 1[0<л + ¿о» Ъл + есл М 21 *

Эта простая коррекция, вводимая в линейный прогноз по У(Л, повышает устойчивость вычислений к возможным ошибкам в исходных данных, в чем можно убедиться в ходе практических вычислений.

В завершающей части главы выполняется построение вычислительной схемы для параметризованной модели уравнения Навье-Стокса. Алгоритмизация вычисли-

32

тельной схемы проводилась для первого метода, для чего была разработана тестовая задача, позволяющая моделировать поля исходных данных с пространственно-временной распределенностью на основе начальных данных (констант), а также распределения компонент поля скорости ветра, являющихся точными решениями. Проведены соответствующие расчеты, некоторые результаты приведены на рисунках 8, 9 и в таблице 2.

Рис 8 Пространственно-временное распределение скорости ветра - точного решения и

У1 (Я,/) - приближенного решения при фиксированном моменте времени / = 50 с на фиксированной высоте 2 = 5м, среднеквадр этическое отклонение о

Рис 9 Линии уровней, соответствующие распределению У,(Р,0 при К„(Р,1) ~ 12 5 мг!с и линии уровней, соответствующие распределению У1 (Я,/) при К0 (Р,/) = 100 -м2/с соответственно

Таблица 2

Значение скорости ветра У1АШ при значениях коэффициента турбулентной диффузии К „ (Л ?)

К0{Р,1){мг!с) 12 5 25 50 100 150 200

тахР; (/>,/) (м/с) 7.5 78 | 86 10 5 12 5 14 5

В шестой главе на основе разработанных выше вычислительных моделей, методов и алгоритмов предложена концепция комплекснопо-рвшещ&Хвычислительная

33 I ЙОС НАЦИОНАЛЫ А

БИБЛИОТЕКА 1

:

О» «* »

технология) задач переноса примесей в атмосфере в рамках некоторой информационной системы, предположительно функционирующей на метеорологических станциях или в геофизических лабораториях. Ядром информационно-вычислительного обеспечения подобных систем может стать модульная система алгоритмов, разрабатываемая в данной главе и представляющая собой комплекс взаимосвязанных модулей, каждый из которых является алгоритмической реализацией той или иной вычислительной схемы (метода). Все вычислительные методы, излагаемые в диссертации, объединяются в единую систему, для которой в данной главе разработана информационно-логическая структура, определен её состав и обоснована необходимость создания подобной системы в рамках данного диссертационного исследования. В главе подробно описаны этапы организации модульной системы алгоритмов, в которой взаимосвязь алгоритмов осуществляется посредством драйверных модулей. Драй-верные модули алгоритмической системы позволяют осуществлять последовательный переход от одного модуля к другому с передачей соответствующих данных и, таким образом, обеспечивают их взаимосвязь и целостность системы. При этом модульная система алгоритмов включает в себя головной драйверный алгоритм, драйверы подсистем «Аэродинамической модели пограничного слоя атмосферы», «Модели турбулентного состояния пограничного слоя атмосферы», «Модели диффузного переноса в пограничном слое атмосферы» и алгоритмические модули общесистемного назначения Последние являются фактически инструментальными средствами, используемыми при формировании любого модуля системы. Драйверные модули написаны на специальном псевдоязыке программирования. Псевдоязык построен так, что его можно легко перевести на любой язык программирования высокого уровня, а сама модульная конструкция алгоритмов может быть доведена до уровня программной реализации. Система, являясь открытой, позволяет её дополнять другими алгоритмами за счет включения дополнительного драйвера в структуру драйверных модулей. В итоге совокупность методов, моделей и алгоритмов, объединенных в систему, определяет технологию моделирования переноса субстанции в атмосфере, позволяющую решать задачу совместного использования экологической информации и вычислительных моделей с целью усвоения данных мониторинга.

Основные результаты, полученные в диссертации !) Рассмотрена первая краевая задача для нестационарного уравнения диффузного переноса примесей в атмосфере, в котором поля скорости ветра, турбулентной диффузии и источника характеризуются пространственно-временной изменчивостью, и для её решения предложен вычислительный метод, основанный на покоординатном расщеплении, доказана его правомерность. Для данной же задачи, но уже с учетом коагуляции частиц загрязняющих примесей, возможной в условиях турбулентных движений в атмосфере, разработан и обоснован вычислительный метод, построение которого осуществляется путем расщепления исходного уравнения по физическим факторам;

2) Раэработан «метод параметризованных моделей», включающий в себя алгоритмы оптимизации параметров модели на основе принципа минимакса и позволяющий осуществлять корректный выбор значений некоторых исходных данных. На его основе построена параметризованная вычислительная модель переноса примесей. Предложены методы выбора и оценки параметров вычислительных моделей, реализуемые в ходе вычислительного эксперимента, проводимого с помощью тестовых задач. Исследованы особенности конечно-разностной аппроксимации исходных данных в задачах переноса с пространственно-временной распределений, предложен метод «фиктивной точки» для аппроксимации производных полей исходных данных на границе области исследования;

3) Предложен вычислительный метод решения двумерной задачи переноса примесей в пограничном слое атмосферы с учетом пространственно-временной изменчивости полей исходных данных, а также процессов оседания тяжелых примесей и их взаимодействия с подстилающей поверхностью, построение которого осуществляется путем предварительного интегрирования трехмерного уравнения по пространственной координате. Построена параметризованная вычислительная модель в рамках схемы покоординатного расщепления, на основе тестовой задачи численно исследовано совместное влияние скорости ветра и турбулентной диффузии на концентрацию загрязняющих примесей в атмосфере;

4) Разработан метод решения нестационарного уравнения диффузного переноса примесей в пограничном слое атмосферы, в котором все поля имеют пространственно-временную изменчивость, использующий интегральные представления для решения первой краевой задачи, вычислительный алгоритм которого сводится к решению соответствующего уравнения Вольтерра второго рода. В рамках данного метода построено два итерационных алгоритма решения параметризованной задачи переноса субстанции в атмосфере, для каждого из которых определено условие сходимости. На основе созданных итерационных вычислительных схем предложен алгоритм для трехмерной пространственной параметризованной задачи диффузного переноса, построенной в рамках метода расщепления;

5) Исследованы вариационные методы, применяемые в моделях эволюционного типа, к которым относятся нестационарные уравнения переноса субстанции в пограничном слое атмосферы. На основе этих методов предложены способы построения рекурсивных алгоритмов, определены условия сходимости рекурсивных вычислительных процессов и эффективности конечно-разностных аппроксимаций для уравнений эволюционного типа с учетом зависимости оператора шага и источника системы от исходных данных, характеризующихся пространственно-временной изменчивостью;

6) Созданы вычислительные методы и алгоритмы решения задач переноса субстанции с использованием приближенных исходных данных, в рамках вариационного подхода. Первый из них связан с квадратичным функционалом, соответствующим

методу наименьших квадратов и использующий в качестве базисных функций так называемые многочлены Берпштейна. Исследованы в вычислительном эксперименте особенности аппроксимации многочленами Бернштейна данных мониторинга и соответствующих производных в задачах переноса с учетом структурной сложности аппроксимируемых функций и определены требуемые при этом значения размерности базиса. Построен рекурсивный вычислительный алгоритм для одномерного параметризованного уравнения переноса, исследованы в вычислительном эксперименте его сходимость и устойчивость. Второй вариационный метод и соответствующие ему рекурсивные алгоритмы, предложенные для решения уравнения переноса в его параметризованном виде, основаны на так называемом методе «взвешенной невязки» и методе конечных элементов. Последний метод использует особый вид базисных функций, аналитическое представление которых предложено и исследовано в работе. Построены соответствующие варианты параметрического базиса, позволяющие учитывать структурную сложность аппроксимируемых функций и повысить за счет этого точность аппроксимации измерительных данных, используемых в вычислительной модели. Исследованы свойства сходимости и устойчивости рекурсивных алгоритмов в вычислительном эксперименте на примере одномерного параметризованного уравнения переноса. Вариационные методы численного решения уравнения переноса включены в общую структуру решающего алгоритма для трехмерной задачи переноса примесей в атмосфере в рамках метода расщепления, определены основные принципы подобного включения;

7) Предложены два модифицированных, с учетом специфики решаемых задач, алгоритма численных метода негладкой оптимизации нулевого порядка, а именно симплекс метод и метод вращения системы координат, применяемых при решении вариационных задач. Выполнено численное исследование методов применительно к решению параметризованного одномерного уравнения переноса примесей в атмосфере.

8) Разработаны методы, вычислительные схемы и регуляризирующие алгоритмы на основе обратных задач, постановка которых осуществлялась в рамках концепции усвоения данных мониторинга моделями переноса субстанции в пограничном слое атмосферы: метод определения коэффициента турбулентной диффузии из уравнения переноса; метод оценки значений коэффициента турбулентности, определяемых по дифференциальным характеристикам поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы; метод определения коэффициента турбулентной диффузии на основе уравнения непрерывности поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы; метод определения производных эмпирических функций исходных данных задач переноса. Выполнено численное исследование методов;

9) Предложены и обоснованы расчетыо-аналитические модели поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы и качественные модели, основанные на фундаментальном решении уравнения переноса примесей с постоянными коэффициентами для

мгновенного точечного импульсного источника, позволяющие оценивать простран-' ственно-временпые характеристики процесса переноса загрязняющих примесей в по-

' граничном слое атмосферы с учетом метеофакторов (данных мониторинга).

' 10) Выведены интегральные уравнения для оценки количества загрязняющих приме-

'" сей в пункте наблюдения, поступающих в него от источников с конечной и непре-

' рывной длительностью действия и на их основе выполнена постановка обратной за-

* дачи источника, для неё построен и обоснован соответствующий регуляризирующий

алгоритм, выполнены соответствующие расчеты и численные исследования

11) Построена обобщенная модель диффузного переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы с добавлением векторного уравнения Навье-Стокса, в которое введены члены, определяемые коэффициентами турбулентности пограничного слоя атмосферы, характеризуемые пространственно-временной изменчивостью Разработаны вычислительные методы для уравнения Навье-Стокса, включающие в себя алгоритмы локальной линеаризации и итерационного уточнения получаемого решения, и выполнено их обоснование. Созданы соответствующие алгоритмы для параметризованных уравнений Навье-Стокса, которые включены в общую схему покомпонентного и покоординатного расщепления, проведен вычислительный экспе-

^ римент;

12) На основе разработанных вычислительных моделей, методов и алгоритмов предложена концепция комплексного решения (вычислительная технология) задач пере-

^ носа загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы в рамках некоторой

информационно-измерительной системы, предположительно функционирующей на метеорологических станциях. Создана модульная система алгоритмов, являющаяся ядром информационно-вычислительного обеспечения подобных систем и представляющая собой комплекс взаимосвязанных модулей, каждый из которых есть алгоритмическая реализация того или иного вычислительного метода, разрабатываемого в предыдущих главах.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Экба Я.А., Ватиашвилли М.Р., Наац В.И. Математическое моделирование распространения кратковременных аэрозольных выбросов в турбулизованной атмосфере. //

' Экология биосферы, мониторинг и охрана окружающей среды- Труды Междунар.

} форума по проблемам науки, техники и образования. (8-12 дек. 1997г, г. Москва).

' Выпуск I. - Москва. 1997. - С.132-134.

2. Ватиашвилли М.Р., Наац В.И. Численный эксперимент по распространению аэрозолей в атмосфере. // Тез. докл. Всерос. конф. по физике облаков и активным воздействиям на гидрометеорологические процессы. (28-30 октяб., 1997, г. Нальчик, КБР) Нальчик, КБР, 1997. -С.16-17.

3. Наац В.И Численный метод решения нестационарного уравнения переноса // Математическое моделирование и компьютерные технологии: Тез. докл. на II Всерос. симпоз. (22-25 апр., 1998, г. Кисловодск). - Том II. - Кисловодск, 1998. - С.66-67.

(

4. Наац В.И. Определение концентрации загрязняющего вещества, распространяющегося от источника с конечной длительностью выброса. // Материалы Междунар. науч.-тех. и Российской науч. школы (15-24 сент., 1998, Москва-Сочи). - Часть 3. -Москва, 1998. - С.27-30.

5. Наац В.И. Методика определения концентрации загрязнений, поступающих в пункты наблюдения под действием метеофакторов от различного типа источников. // Математическое моделирование и компьютерные технологии: Тез. докл. на IV Все-рос. симпоз. (22-25 апр., 2000, г. Кисловодск). - Том II - Кисловодск, 2000. - С. 1-2.

6. Наац В.И Уравнение эволюционного типа как аналитическая модель явления переноса и численные методы его решения. // Труды Междунар. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (5-11 сент., Абрау-Дюрсо, 2002 г.).- Ростов-на-Дону, 2002. - С.204-206.

7. Каргин Н.И., Наац В.И. Построение вычислительных моделей для задач массопе-реноса на основе метода интегральных уравнений. Н Компьютерное моделирование 2003: Тез. докл. в трудах 4-й Междунар. науч.-тех. конф. (24-28 июня 2003, г. Санкт-Петербург). - Санкт-Петербург, 2003. - С.144-146.

8. Наац В.И. Методика оценки концентрации примесей, распространяющихся в приземном слое атмосферы от источников конечной и непрерывной длительности действия. // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. per.. Естеств. науки. Приложение З'ОЗ. - Ростов-на-Дону, 2003. -С.35-41.

9. Наац В.И., Рыскапенко P.A. Алгоритмы аппроксимации искомого решения и его производных в вычислительной модели явления переноса. // Современные проблемы математики и естествознания: Тез. докл. в материалах Всерос. науч.-тех. конф. (июнь 2003, г. Н. Новгород). - Н. Новгород, 2003. - С.25-26.

10. Каргин Н.И., Наац В.И. Обратная задача источника загрязняющих примесей, распространяющихся в приземном слое атмосферы. // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. № 3. - Ростов-на-Дону, 2003. - С.30-35.

11. Семенчин Е.А., Наац И.Э., Наац В.И. Математическое моделирование нестационарного переноса примеси в пограничном слое атмосферы: Монография. - Москва: Изд. Физ.-Мат. Лит., 2003. - 291 С.

12. Наац В.И. Численные исследования итерационных методов для нестационарного уравнения переноса. // Современные проблемы математики и естествознания: Тез. докл. в материалах 7-ой Всерос. науч.-тех. конф. (23 дек. 2003, г. Н. Новгород). - Н. Новгород, 2003. - С.13-14.

13. Каргин Н.И., Наац В.И. Методика оценки и исследование пространственно-временных характеристик процесса переноса загрязняющих примесей и их концентрации в турбулентной атмосфере // Изв. ВУЗов Сев.-Кав. per. Естеств. науки №4. -Ростов-на-Дону, 2003. - С.28-33.

14. Наац В.И. Аппроксимация многочленами Бернштейиа и метод наименьших квадратов в вычислительной модели уравнения переноса. // Компьютерное моделирова-

ние 2004: Тез. докл. в трудах 5-й Междунар. науч.-тех. конф. (29 июня-3 июля 2004, г. Санкт-Петербург). - Санкт-Петербург, 2004. - С.128-129.

15 Каргнн Н.И., Наац В И Основные подходы к построению вычислительных моделей в задачах переноса примесей на основе вариационных методов. // Компьютерное моделирование 2004: Тез. докл. в трудах 5-й Междунар науч.-тех. конф. (29 июня-3 июля 2004, г. Санкт-Петербург). - Санкт-Петербург, 2004 - С 126-127

16 Каргин Н.И., Наац В.И. Итерационные методы численного решения задач переноса на основе интегральных уравнений // Изя ВУЗов Сев.-Кав per Естеств науки Приложение 3'04. - Ростов-на-Дону, 2004. - С.3-16.

17 Каргин Н И., Наац В.И. Вычислительная модель нестационарного уравнения переноса примесей на основе метода наименьших квадратов и алгоритмов аппроксимации И Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Приложение 5'04. - Ростов-на-Дону, 2004. - С.30-38.

18 Наац В.И. Вычислительная модель нестационарного уравнения переноса примеси на основе метода взвешенной невязки. // Изв. ВУЗов Сев.-Кав per. Естеств. науки. Приложение 5'04 - Ростов-на-Дону, 2004. - С.3-15.

19 Наац В И. Аналитические модели пространственных задач переноса субстанции в пограничном слое атмосферы. // Труды Междунар. школы-семинара по геометрии и анализу. (5-11 сент., Абрау-Дюрсо, 2004 г.). - Ростов-на-Дону, 2004 - С 214-216.

20. Каргин Н.И., Наац В И Численное исследование сеточных моделей для нестационарного уравнения переноса. И Изв ВУЗов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки №4. -Ростов-на-Дону, 2004. - С. 18-23.

21. Наац В.И. Технология моделирования переноса примесей в атмосфере на основе итерационных алгоритмов в рамках метода покоординатного расщепления. // Инфо-телекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании: Материалы I Междунар. науч.-тех. конф. (19 дек. 2004, г. Ставрополь). - Ставрополь, 2004. -С.484-487.

22. Наац В.И. Определение производной поля скорости ветра методом интегральных уравнений на основе экспериментальных данных в задачах переноса. // Математика, экономика, образование: Тез. докл. в материалах XIII Междунар. конф. (29 мая-5 июня, 2005, г. Новороссийск) - Ростов-на-Дону, 2005,- С.8-9.

23. Наац В.И. Вычислительная модель обратной коэффициентной задачи для уравнения переноса загрязняющих примесей в атмосфере. // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Приложение 3'05. - Ростов-на-Дону, 2005. - С, 21-34.

24 Наац В И Численное моделирование пространственных задач переноса субстанции в пограничном слое атмосферы. // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Приложение 2'05. - Ростов-на-Дону, 2005. - С.3-13.

25. Наац В.И, Определение производных эмпирических функций методом интегральных уравнений в задачах переноса. // Изв. ВУЗов Сев.-Кав. per Естеств науки. Приложение 5'05. - Ростов-на-Дону, 2005. - С.14-22.

26. Каргин НИ., Наац В.И. Вычислительный метод оценки поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы на основе уравнения Навье-Стокса. // Изв. ВУЗов. Сев,-Кав. per. Естеств. науки. Приложение 5'05. - Ростов-на-Дону, 2005. - С.3-13.

27. Наац В.И. Система информационно - вычислительного обеспечения задач экологического мониторинга. // Информационные технологии в науке, проектировании и производстве: Тез. докл. в материалах XV Всерос. науч.-тех. конф., (июнь 2005, г. Н. Новгород) - Нижний Новгород, 2005. - С.5-6.

28. Каргин Н.И., Наац В.И. Нелинейное уравнение Навье-Стокса в аэродинамической модели пограничного слоя атмосферы и численный метод его решения. // Информационные технологии в науке, проектировании и производстве: Тез. докл. в материалах XV Всерос. науч.-тех. конф., (июнь 2005, г. Н. Новгород) - Нижний Новгород, 2005.-С.З-4.

29. Каргин Н.И., Наац В.И. Расчетно-аналитические модели векторных полей в задачах оперативного прогноза распространения загрязнений в пограничном слое атмосферы. И Компьютерное моделирование 2005' Тез. докл. в трудах 6-й Междунар. науч.-тех. конф. (28 июня-2 июля 2005, г. Санкт-Петербург). - Санкт-Петербург, 2005. -С.181-183.

30. Наац В.И. «MetVzvNev»: Свидетельство об официальной регистрации программы < для ЭВМ №2005611874 / Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ, 27 июля

2005 г., М.. Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, 2005. £

31. Наац В.И. «MetIntUr»: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005611944 / Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 3 августа 2005 г., М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, 2005.

32. Наац В.И. «ObrKoefZ»: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005612006 / Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 8 августа 2005 г., М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам,2005.

Формат 60 x 84 1/16 Усл. леч. л 2,5 Уч -изд. л. 1,6 Бумага офсетная. Печать офсетная. Заказ 791 Тираж 120 экз ГОУВПО «Северо-кавказский государственный "технический университет» 355029 г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2

Издательство Северо-кавказского государственного технического университета Отпечатано в типографии СевКавГТУ

i

-1170

Введение

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ 22 СХЕМЫ ДЛЯ ЯВЛЕНИЯ ДИФФУЗНОГО ПЕРЕНОСА СУБСТАНЦИИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ

1.1. Вычислительные схемы для моделирования диффузного переноса с ис- 22 пользованием метода покоординатного расщепления.

1.2. Модели, учитывающие эффекты взаимодействия частиц дисперсных сис- 28 тем в процессе их переноса в атмосфере. Расщепление уравнения переноса по физическим факторам.

1.3. Метод параметризованных моделей в задачах переноса субстанции в по- 30 граничном слое атмосферы и проблема оптимизации на его основе вычислительного эксперимента.

1.4. Организация вычислительного эксперимента и тестирования методов и 35 алгоритмов решения уравнения диффузного переноса примесей на примере конечно-разностных вычислительных схем.

1.5. Метод покоординатного расщепления в вычислительной параметризо- 51 ванной модели переноса примесей для случая трех пространственных переменных.

1.6. Двумерные модели теории переноса субстанции в пограничном слое 53 атмосферы. Построение вычислительной схемы для параметризованной модели уравнения переноса, вычислительный эксперимент.

Для обоснования актуальности, определения цели и задач диссертационного исследования ниже приводится краткий обзор научных публикаций, посвященных вопросам комплексного мониторинга и математического моделирования атмосферных процессов.

1. Мониториног воздушной среды в приземном слое атмосферы. Подвергающиеся воздействию антропогенных факторов природные среды представляют сложные взаимодействующие между собой системы. Комплексный мониторинг таких сложных систем представляет собой сочетание контактных и дистанционных измерений характеристик практически всегда неоднородных сред, выявление их пространственно-временных зависимостей, а также прогноз возможных состояний этих сред. Активный целенаправленный мониторинг среды предполагает и оптимальное управление контролируемым изменением их состояний. Главной особенностью систем с природными компонентами является их многомерность, неполная предсказуемость их поведения, обусловленная стохастичностыо происходящих в них процессов, неопределенностью целей функционирования, неточностью описания их состояния. Это существенно затрудняет проведение натурных экспериментов с такими системами. Поэтому важную роль в проведении с ними исследований играют их математическое моделирование, проведение численных экспериментов и активный мониторинг, представляющий собой контроль состояния среды, сопровождаемый целенаправленным воздействием на нее.

В работе авторов С.А. Васильева, J1.C. Ивлева и Г.Н. Крылова [22] рассматриваются вопросы комплексного активного мониторинга природных сред.

Методика, аппаратурное обеспечение и задачи, выполняемые системами мониторинга обсуждаются в работах [45,162]. Все дистанционные методы мониторинга природных сред, предполагают прохождение зондирующего сигнала через воздушную среду. Авторами статьи [22] проведен анализ комплексного мониторинга и управления состоянием природных сред. Отмечено, что помимо широко применяемых оптических методов зондирования различных природных сред и прямых методов измерения их физических характеристик желательно использование методов радиотомографии, а также предложены методы дистанционного электромагнитного мониторинга слабовыраженных облачных образований. Вопросам организации мониторинга, проведения прямых измерений и активного воздействия на состояние воздушной среды посвящен большой цикл исследований [53,23,55,11]. Интересны также работы, посвященные интегральным методам исследования слабо выраженных крупномасштабных атмосферных и ионосферных облачных образований [9,26]. В них предлагается использовать современную импульсно фазовую радионавигационную систему, работающую по 6 земной волне (отраженная от ионосферы волна мала). Вопросам мониторинга воздушного бассейна также посвящены исследования, изложенные в работах [100,54,56,159].

2. Идентификация аэрозолей по химическому и элементному составу. Для решения ряда прикладных задач хозяйственной деятельности человека, а также некоторых научных проблем физики атмосферы и климатологии необходимы экспресс-оценки и краткосрочные прогнозы загрязненности атмосферы газовыми и пылевыми (аэрозольными) примесями. Если известны мощности основных источников загрязняющих веществ и условия их выброса в атмосферу, то для определенной территории вблизи источников расчет распределения примесей в атмосфере может быть проведен достаточно точно, например, с использованием боксовой схемы [82]. В работах JT.C. Ивлева и др. [38,49,50-53] описаны экспериментальные исследования микроструктуры и химического состава аэрозолей приземного слоя атмосферы, подверженного антропогенному влиянию такого мощного промышленного центра, как Санкт-Петербург. Исследования проводятся лабораторией физики аэрозолей НИИФ с начала 70-х годов. Выполнялись, в основном, прямые измерения счетной концентрации и дисперсности аэрозольных частиц с размерами г > 0,2 мкм с помощью фотоэлектрического счетчика АЗ-5М. Результаты этих измерений приведены в работе [3]. В статье [52] рассмотрены некоторые результаты исследований микроструктуры и состава аэрозолей приземного слоя атмосферы. Часть из них представлена в таблице 1 [52] (см. прил.З).

В 1996-98гг. в рамках экспериментов TROICA (Transcontinental Observations in Chemistry of the Atmosphere), организованных Н.Ф. Еланским и П. Крутценом, авторами статьи Г.И. Горчаковым и др. [34-37] проводились исследования пространственного распределения характеристик приземного аэрозоля с помощью вагона-лаборатории над континентом Евроазии вдоль Транссибирской магистрали. Результаты исследований систематизированы и обобщены в работах [36,37]. Некоторые результаты показаны в таблице 2 [36] (см. прил. 3).

Другой важной проблемой является проблема идентификации аэрозолей разного происхождения. Основные подходы к разрешению данной проблемы и результаты исследований изложены в работе В.К. Донченко и JT.C. Ивлева [39]. В работе [39] проведен анализ элементного состава твердой подстилающей поверхности, водных поверхностей и атмосферной воды, атмосферных аэрозолей, приведены соответствующие таблицы данных. Работа Р.Ф. Лавринепко [75] посвящена вопросам формирования химического состава атмосферных осадков. В ней выполнено обобщение данных наблюдений за химическим составом осадков и облачной воды, получены количественные характеристики изменения их состава в пространстве и во времени. Результаты экспериментальных исследований также были представлены в монографии [157]. Библиография исследований, 7 проведенных сотрудниками Главной геофизической обсерватории (ГГО) на основе сетевых и экспедиционных наблюдений за химическим составом атмосферных осадков, облачной воды и аэрозолей представлена в сборнике «Ежегодные данные по химическому составу атмосферных осадков, 1991-1995 гг.» (Санкт-Петербург, Гидрометеоиздат, 1998г.). В результате анализа и обобщения экспериментальных данных к моменту создания в 1972г. международной сети фонового мониторинга БАПМоН ВМО был накоплен в нашей стране большой теоретический и практический материал по физико-химическим характеристикам ядер конденсации, аэрозолей и атмосферных осадков, выяснены основные особенности их географических изменений. Программа Глобальной службы атмосферы (ГСА) ВМО обширна. В нее в качестве одного из видов работ включены исследования химического состава осадков, являющегося чувствительным индикатором загрязнения атмосферы. Основная цель международной сети ГСА ВМО - контроль за глобальным уровнем загрязнения атмосферы и выяснение возможных непреднамеренных воздействий человека на климат. Национальная сеть наблюдений за химическим составом осадков в настоящее время решает задачи мониторинга загрязнения атмосферы разного уровня: федерального, регионального и локального. Федеральная сеть включает в себя также станции международной сети ГСА ВМО. Это биосферные заповедники (БЗ) и несколько станций, имеющих длительные ряды наблюдений с 1958 или 1962-66 гг. Однако на фоне 20 глобальных и примерно 300 региональных станций, действующих в настоящее время в системе ГСА ВМО, национальная сеть фонового мониторинга охватывает лишь отдельные разрозненные регионы РФ и не является репрезентативной для ее обширной территории. В течение уже длительного периода эта сеть не развивается ни в качественном, ни в количественном отношениях. На протяжении 90-х годов результаты анализа химического состава осадков фоновых станций не представляются в Международный центр данных. Региональная сеть осуществляет мониторинг загрязнения воздуха в промышленных районах. Вопросам идентификации аэрозолей и определению их концентрации в приземном слое атмосферы посвящены также работы [69,10,51,101,174].

3. Атмосферная турбулентность в задачах диффузного переноса загрязняющих примесей. Натурные измерения турбулентных вихревых движений в атмосфере. В нашей стране были сделаны громадные успехи в области теории мелко масштабной однородной турбулентности, которая хорошо описывается статистически [68,77,78]. Статистическая теория до недавнего времени полиостью монополизировала описание процессов атмосферной диффузии [15,16,188]. Для крупномасштабной турбулентности разрабатываются теории спиралевидных и солитон-ных структур [179]. Объединение всех этих процессов под общим термином «атмосферная турбулентность» [181,5] до последнего времени было чисто формаль8 ным. Основным элементом турбулентных движений являются вихри разных масштабов и разнообразной микроструктуры. Проведенный по этой проблеме автором статьи JI.C. Ивлевым [49] анализ научной литературы убедил его, что именно представления о вихревой структуре движений непротиворечиво объединяют различные теории гидродинамических течений и объясняют имеющиеся экспериментальные факты. Анализ проблемы конструирования физической картины движения атмосферных масс [53,158,33,185-187,146] позволяет утверждать, что последовательный подход к решению этой проблемы требует признания существования турбулентных вихрей самых разных масштабов и конфигураций, как основных элементов движения атмосферного воздуха. Эти вихри обладают свойствами упругости и деформируемости. При взаимодействии между вихрями действует турбулентное трение, которое влияет на макромасштабные движения воздушных масс. Важнейшим обстоятельством в проявлении этих процессов являются особенности физико-химических свойств молекул воды: значительно меньший молекулярный вес по сравнению с остальными газовыми компонентами, способность к фазовым переходам в атмосфере, большой электрический дипольпый момент, своеобразная микроструктура молекулы, способность к кластеро - и клатрато -образованию, изменчивость радиационных свойств воздушной среды, содержащей воду в различных фазовых состояниях. Это создает в атмосфере условия для образования макромасштабных структур типа циклонов и антициклонов. На основе общей физической картины движения атмосферных масс становятся понятными определенные закономерности в их поведении, и возникают возможности прогнозирования этого поведения, в частности, на базе предложенных СЛ. Васильевым закономерностей.

Особый интерес представляет обзор публикаций о натурных измерениях турбулентных вихревых движений в приземном слое атмосферы [49]. Суть этой проблемы состоит в следующем. Прямые наблюдения поведения турбулентных вихрей в атмосфере представляют технически достаточно сложную задачу из-за полидисперсности этих образований и анизотропии их характеристик. Так как для метеорологов и климатологов основное значение всегда имело знание процесса турбулентного обмена, то в первую очередь изучались вертикальная и в какой-то мере горизонтальная изменчивость характеристик турбулентного обмена и метеорологических параметров, определяющих этот процесс (температура, влажность, давление, ветер и т.д.). Изучение микроструктуры вихрей являлось средством для лучшего понимания атмосферной турбулентности. Только исследования диффузионных процессов и процессов облакообразования наглядно связаны с изучением микроструктуры вихревых образований [101]. Наблюдение факелов от точечных источников неизбежно приводит к представлению о полидисперсности вихрей, их анизотропии и масштабной трансформации, об их пространственно-временной эволюции [160,21]. Особый интерес для понимания структуры турбулентности 9 имеют наблюдения границ перемещающегося объема диффундирующего вещества, объединения и укрупнения движущихся в одном направлении воздушных объемов, возникновения слоистой структуры аэрозольных образований [77]. Прямые измерения турбулентных образований в приземном и пограничном слоях атмосферы [21] по характеристикам поля турбулентности в последние годы были направлены на изучение спектра размеров вихрей и зон перемежаемости, их эволюции [103]. Наблюдения в приземном слое продольной и и поперечной ^составляющих спектра пульсаций скоростей на разных высотах, проведенные H.J1. Бызовой с сотрудниками [20] позволили им сделать некоторые выводы (см. таблица 3, 4 [100], прил. 3).

4. Математические методы и модели в задачах экологического мониторинга и прогноза атмосферы. В работах Г.И. Марчука и его научной школы создана методология математического моделирования*- исследованы ее фундаментальные вопросы и разработаны оригинальные конструктивные подходы к изучению циркуляции атмосферы и океана, а также к решению с помощью математических моделей задач прогноза погоды, теории климата и охраны окружающей среды [8487,94,149-153]. Дальнейшее развитие этого направления, современные достижения в области математического моделирования задач экологии находят свое отражения в работах учеников и последователей академика Г.И. Марчука. В частности в работе В.В. Пененко [151] изложены некоторые аспекты методологии моделирования, а именно вариационные принципы и методы оптимизации для совместного использования численных моделей и данных мониторинга. По содержанию она представляет развитие работ по методам прямого и обратного моделирования для решения взаимосвязанных задач экологии и климата [201-203,149-156]. Содержание этого подхода состоит в следующем. Накопленный в мире опыт решения научных и практических задач природоохранного направления показывает, что математические модели и данные натурных исследований и наблюдательных экспериментов являются равноправными и дополняющими друг друга инструментами для изучения природных процессов. В последние годы в этих исследованиях обозначилась тенденция к расширению набора специальных приборов, с помощью которых производятся наблюдения. Наиболее отчетливо она проявляется при изучении экологически значимых последствий антропогенных воздействий. При этом активно используются методы дистанционного зондирования [84,82] в сочетании с различными методами контактных измерений. В результате сбора данных к исследователям попадает разнородная информация, с разных сторон характеризующая наблюдаемые явления. В этом случае естественно возникает задача совместного использования этой информации и математических моделей с целью усвоения данных, восстановления пространственно-временной структуры полей функций состояния, оценки параметров моделей и источников внешних воздействий, диагностики качества моделей и планирования наблюдений. Технологию решения подобных задач дает методика обратного моделирования [201,202,154-156].

Для определенности представляются задачи [149], связанные с оценками характеристик атмосферы с использованием данных дистанционного зондирования и контактных наблюдений за компонентами функций состояния. В этом случае типичной является задача о нахождении распределения температуры и концентраций оптически активных субстанций в атмосфере. Специфика методов дистанционного зондирования состоит в том, что их результаты в общем случае представляют собой значения некоторых функционалов на множестве функций состояния. Они, как правило, недоопределены по отношению к оцениваемым функциям, т.е. число наблюдений меньше числа внутренних степеней свободы моделей наблюдений в дискретном представлении. Под моделью наблюдений понимается математическое описание преобразования, ставящего в соответствие функции состояния образ той величины, которая измеряется наблюдательным прибором. Возникает вопрос, как ввести дополнительные связи, чтобы уменьшить число внутренних степеней свободы, и тем самым сделать процесс решения обратных задач для моделей наблюдений более корректным. Для этих целей используются в качестве связей математические модели исследуемых процессов и априорные сведения об искомых функциях и оцениваемых параметрах. Естественно, что деление на модели процессов и модели наблюдений чисто условное. В качестве моделей процессов рассматриваются [149] модели гидротермодинамики в климатической системе, модели переноса и трансформации влаги, химически и оптически активных загрязняющих примесей в газовом и аэрозольном состояниях. Функции источников в моделях параметрически учитывают действия естественных и антропогенных факторов. Для того, чтобы рассматривать совместно модели процессов и систему мониторинга с целью организации между ними взаимодействия в режиме прямых и обратных связей, предполагается, что все элементы комплекса (т.е. модели и наблюдения) могут содержать ошибки. В этом случае можно ставить вопрос о конструировании алгоритмов для реализации таких связей, исходя из условий минимизации ошибок.

Значительные достижения в области математического моделирования атмосферных процессов содержатся в работах А.Е. Алояна и его учеников [191195,93,153]. В частности в статье [1] рассматривается математическая модель переноса многокомпонентной примеси с учетом фотохимической трансформации и образования аэрозолей в тропосфере северного полушария с учетом кинетических процессов нуклеации, конденсации и коагуляции.

Вопросам математического моделирования теории климата посвящены работы академика В.П. Дымникова и его учеников [40-43,94-97]. Так, например, в статье [41] рассматриваются несколько нелинейных задач физики атмосферы, для решения которых использовалось построение функции Грина. В работе рассматриваются системы уравнений, описывающих крупномасштабную динамику атмосферных процессов.

Большой цикл работ посвящен решению задач динамики атмосферы и океана [70,198,86,84,94-96,199,99]. Для решения этих задач используются фундаментальные математические методы, такие как метод расщепления и метод сопряженных уравнений, являющиеся основой анализа сложных систем. Значительная роль в создании и развитии этих методов численного анализа и математического моделирования принадлежит академику Г.И. Марчуку. Методы расщепления и сопряженных уравнений широко используются в настоящее время для решения многомерных нестационарных задач для уравнений с частными производными [147,166168,88,89,92].

Кроме метода расщепления интерес представляет также метод независимых потоков, предназначенный для численного решения многомерного уравнения теплопроводности (массопереноса) [161,31]. В работе [31] предложен новый класс численных алгоритмов решения смешанной задачи для многомерного уравнения теплопроводности. Этот класс содержит как схемы первого порядка аппроксимации, так и второго. Все предлагаемые схемы безусловно устойчивы.

Важные результаты по численному моделированию процессов турбулентности и диффузии примесей в приземном слое атмосферы содержатся в монографии Д.Л. Лайхтмана [76]. В ней автором предлагается замкнутая система уравнений физической модели пограничного слоя атмосферы и определение на ее основе вертикального профиля продольной составляющей скорости ветра и коэффициента турбулентной диффузии. При этом учитывается особенность пограничного слоя атмосферы, состоящая в том, что в ней имеет место взаимообусловленность распределения метеорологических элементов и характеристик турбулентности, что требует их совместного определения на основе решения замкнутой системы уравнений и граничных условий для пограничного слоя при заданных внешних факторах. Исходя из этого, выводится формула для турбулентных потоков различных свойств, необходимая для последующего решения уравнения турбулентной диффузии загрязняющих веществ. Дальнейшее развитие методов математического и численного моделирования явления атмосферной турбулентности и диффузии находит свое отражение в современных работах авторов монографий и статей О.М. Белоцерковного, Опарина A.M. и др. [12-14,189]. В частности в работе [13] проведен анализ фундаментальных понятий и методов, необходимых для изучения турбулентности. С помощью новых численных методик проводится прямое численное моделирование свободной развитой турбулентности, при этом получены основные качественные характеристики строения турбулентности на различных режимах движения: когерентные структуры, ламинарно-турбулентные течения, переход к хаосу. В монографии [14] с помощью численного эксперимента рассматривается проблема развития турбулентности и конвекции. На основе полученных результа

12 тов предлагается физическая модель развития турбулентности. Обсуждаются численные алгоритмы и разностные схемы, позволяющие проводить численный эксперимент в гидродинамике.

Вопросам математического моделирования явления переноса загрязняющих веществ применительно к проблеме экологического мониторинга окружающей среды посвящен большой цикл работ Н.Э. Нааца и его учеников, работающих совместно с ним по данному научному направлению [165,71,67,2,72,104133,137,143,170-173] (Северо-Кавказский государственный технический университет, г. Ставрополь). Первые результаты И.Э. Нааца были получены в Институте Оптики Атмосферы Сибирского отделения РАН и связанны с разработкой теории дистанционного оптического зондирования атмосферы в целях прогноза ее оптического состояния, необходимого для различных приложений, включая и контроль уровня загрязнений воздуха в индустриальных центрах. Основные результаты этих исследований изложены в монографии «Обратные задачи оптики атмосферы», написанной совместно с академиком РАН В.Е. Зуевым [134]. К этому же циклу работ относятся следующие статьи [134-136,142,138-140]. Дальнейшие исследования теоретического характера по данному направлению получили продолжение в монографиях [141,173], написанных совместно с Е.А. Семенчиным и В.И. Наац. Продолжение и развитие этих исследований находит отражение в работах Наац В.И. с соавторами [25,57-66,104-133,143,184]. Последние разработки по данному научному направлению содержатся в данной диссертации и будут рассмотрены в последующих главах.

В завершение данного обзора необходимо отметить научные достижения ученых в проблеме моделирования задач экологического мониторинга, полученные под руководством академика В.А. Бабешко (Кубанский государственный университет, г. Краснодар) [196,6-8].

5. Методология совместного использования численных моделей и данных мониторинга. Применение технологии параллельных вычислений в задачах экологии. Важным аспектом методологии моделирования является разработка методов исследования и численного решения задач усвоения данных мониторинга в вычислительных моделях атмосферных процессов. Существуют различные методы для решения подобных задач [190,200,148]. В частности в работе В.П. Шутяева и Е.И. Пармузина [182] рассматривается решение задачи вариационного усвоения данных па основе теории сопряженных уравнений. Основы теории сопряженных уравнений для решения обратных и оптимизационных задач были заложены в ранних работах Г.И. Марчука [90,91]. Применение метода сопряженных уравнений в [182] выполняется для полулинейного параболического уравнения.

В работе В.В. Пененко [149] задача совместного использования численных моделей и данных мониторинга решается методами прямого и обратного моделирования. Рассмотренная методика [149] использовалась для организации сценари

13 ев моделирования на основе данных Reanalysis NCEP/NCAR [197]. Это задачи, связанные с оценками экологической перспективы при различных вариантах антропогенных воздействий и масштабов взаимодействий в климатической системе типа источник-детектор, детектор-источник. Создаваемая для этих целей система моделирования [155] позволяет оперативно восстанавливать пространственно-временную структуру атмосферной циркуляции с заданным разрешением в режиме усвоения данных реанализа. Система моделирования представляет собой многофункциональный комплекс моделей, представляющий собой открытую и развиваемую систему.

Существуют способы повышения эффективности алгоритмов системы моделирования, одним из которых служит метод распараллеливания. Методика организации параллельных вычислений развивается в рамках нового фундаментального научного направления, связанного с совместным использованием численных методов и структур ЭВМ [98]. Оно получило название «Отображение проблем вычислительной математики па архитектуру вычислительных систем» и стало одним из ведущих направлений научных исследований в Отделе вычислительной математики АН СССР (в настоящее время Институт вычислительной математики РАН), созданном академиком Г.И. Марчуком в 1980 году. К настоящему времени известен цикл работ, содержащих последние достижения в этой области [12,98,206,204,205,28-30,180,4]. В частности, в статье В.В. Воеводина [30] рассматриваются основные положения обозначенного выше фундаментального научного направления, анализируется связь этого направления с различными областями, так или иначе связанными с вычислениями. Что касается вычислительных моделей, построенных на основе методов прямого и обратного моделирования [149], позволяющих использование в них измерительной информации, то их структура построена на принципах аддитивности. Выбранный в них способ дискретизации с помощью вариационного принципа и метода расщепления обеспечивает конструирование численных моделей для основных и сопряженных задач в виде схем расщепления, взаимно согласованных на всех этапах вычислений. Как следствие этого возможна многоуровневая схема распараллеливания алгоритмов. В итоге каждый этап технологии моделирования может реализовываться параллельно. При этом на нижнем системном уровне покоординатное расщепление по пространственным переменным также может быть выстроено в параллельную структуру.

Таким образом, обзор научных публикаций позволяет сделать вывод об актуальности математического моделирования в задачах мониторинга и прогноза экологического состояния воздушного бассейна в пограничном слое атмосферы. Несмотря на то, что имеют место значительные достижения в данной области, не все проблемы ещё решены до конца. Так, хотя и существуют развитые методы и технические средства для сбора метеорологической информации, однако измерительная информация носит дискретный характер, включает в себя ошибки измерений, её объем часто не достаточный для проведения соответствующих расчетов. В связи с этим актуальной является проблема усвоения данных мониторинга вычислительными моделями, для создания которых требуется разработка соответствующих вычислительных методов и алгоритмов, устойчивых к погрешностям в исходных данных. Кроме этого, актуальной остается проблема оценки коэффициентов турбулентной диффузии. Анализ литературных источников по этой проблеме показал, что не существует методов прямого измерения турбулентности, судить о данном явлении можно лишь по другим косвенным измерительным данным. Для оценки коэффициентов турбулентной диффузии разработано большое количество математических моделей, но все они посят качественный характер. Поэтому проблема численного моделирования атмосферной турбулентности остается актуальной и может быть дополнена новыми качественными моделями. Актуальна также проблема создания системы моделирования, которая являлась бы многофункциональным комплексом моделей, представляющим собой открытую и развиваемую систему, основанную на современных информационных технологиях. Существуют и другие не менее актуальные проблемы и задачи. Для решения подобных задач требуется создание математических моделей исследуемых процессов, разработка соответствующих численных методов, построение па их основе соответствующих вычислительных моделей, эффективных решающих алгоритмов и соответствующего программного обеспечения. Перечисленные средства математического, вычислительного и программного обеспечения в совокупности представляют собой информационно-вычислительную технологию моделирования атмосферных процессов, в частности процесса диффузного переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы, проблема создания и развития которой является актуальной, современной и относится к быстроразвивающимся в настоящее время областям информационно-вычислительных технологий в науках об окружающей среде.

Цель диссертационного исследования: Разработка и исследование вычислительных методов и моделей, способных к усвоению данных экологического мониторинга, применительно к задачам нестационарного диффузного переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы для информационно-вычислительного обеспечения систем оперативного контроля экологического состояния воздушного бассейна.

Для достижения цели диссертационного исследования в работе были поставлены следующие задачи:

1) Разработать на основе технологии расщепления и обосновать вычислительные методы и модели, использующие оперативную информацию метеорологического характера, для трехмерного нестационарного уравнения диффузного переноса субстанции в пограничном слое атмосферы с учетом в нем пространственно

15 временной изменчивости полей скорости ветра, турбулентной диффузии, источника, а также учетом возможных трансформаций размеров частиц дисперсных загрязнений в условиях турбулентных движений в атмосфере;

2) Построить для исходного уравнения переноса параметризованную вычислительную модель, включающую в себя алгоритм оптимизации, реализующий принцип минимакса, и позволяющий выбирать требуемое решение, согласуя его с дополнительными условиями конкретной прикладной задачи. Для параметризованной модели переноса примесей в пограничном слое атмосферы предложить методику вычислительного эксперимента и реализовать её на примере двумерной модели переноса;

3) Предложить и обосновать вычислительный метод, использующий интегральные представления для решения краевых задач теории диффузного переноса субстанции, на его основе построить итерационные вычислительные схемы для параметризованной модели трехмерной пространственной задачи переноса примесей в рамках метода покоординатного расщепления. Провести исследование метода в вычислительном эксперименте па примере одномерного уравнения переноса;

4) Рассмотреть, обосновать и применить методику построения вычислительных моделей, предназначенную для уравнений эволюционного типа, к нестационарному уравнению переноса примесей, относящемуся к данному классу задач. На основе данной методики, включающей в себя вариационные методы и методы аппроксимации экспериментальных данных построить рекурсивные вычислительные схемы и алгоритмы, определить условия их сходимости, провести вычислительный эксперимент для одномерного уравнения переноса. Обобщить данный метод па трехмерный вариант задачи переноса и построить соответствующую вычислительную схему в рамках метода расщепления;

5) Выполнить постановку обратных задач и разработку соответствующих методов по определению коэффициента турбулентной диффузии и источника, вычислительные модели которых используют данные измерений параметров атмосферных процессов, построить для них соответствующие регуляризирующие алгоритмы, осуществить программную реализацию и вычислительный эксперимент на примере одномерного уравнения переноса;

6) Создать расчетно-аналитические и качественные модели теории переноса примесей, представляющие собой в совокупности простейшие методики прогноза экологического состояния пограничного слоя атмосферы, вычислительные алгоритмы которых и соответствующее программное обеспечение применить к решению прикладных задач экологии;

7) Выполнить обобщение модели диффузного переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы путем введения в неё векторного уравнения Навье-Стокса, учитывающее члены, определяемые турбулентным состоянием пограничного слоя атмосферы и другие физические характеристики среды, измеряемые в

16 эксперименте. Разработать вычислительные методы и алгоритмы для решения векторного нелинейного уравнения Навье-Стокса, позволяющего вычислять значения компонент вектора скорости ветра, для случая трех пространственных переменных на основе покомпонентного и покоординатного методов расщепления, выполнить постановку и провести вычислительный эксперимент;

8) На основе созданных вычислительных методов и моделей разработать модульную систему алгоритмов информационно-вычислительного обеспечения задач экологического мониторинга и прогноза загрязнения атмосферы, представляющих собой в совокупности информационно-вычислительную технологию решения подобных задач.

Научная новизна работы:

1) Предложены вычислительные модели и алгоритмы на основе методов расщепления и доказана их правомерность для решения первой краевой задачи нестационарного уравнения диффузного переноса примесей в пограничном слое атмосферы, с учетом пространственно-временной изменчивости всех распределений, входящих в него, и возможной коагуляции частиц;

2) Разработан «метод параметризованных моделей», на основе которого построена параметризованная вычислительная модель переноса примесей в атмосфере, предложены методы выбора и оценки параметров вычислительных алгоритмов в процессе моделирования;

3) Предложен вычислительный метод для двумерной задачи переноса примесей в пограничном слое атмосферы, построение которого осуществляется путем предварительного интегрирования трехмерного уравнения по пространственной координате, построена для него параметризованная вычислительная модель, проведен вычислительный эксперимент;

4) Разработан метод решения нестационарного уравнения диффузного переноса примесей в пограничном слое атмосферы, использующий интегральные представления для решения первой краевой задачи, построено два итерационных алгоритма, для каждого из которых определено условие сходимости, созданы алгоритмы для трехмерных пространственных задач диффузного переноса субстанции в атмосфере;

5) Предложены вариационные методы решения задач диффузного нестационарного переноса субстанции, использующие приближенные исходные данные. Поострены рекурсивные алгоритмы, определены условия сходимости рекурсивных вычислительных процессов для уравнений эволюционного типа с учетом зависимости оператора шага и источника от пространственно-временной распределенности исходных данных;

6) Предложено и исследовано новое аналитическое представление базисной функции в методе конечных элементов и построены соответствующие варианты параметрического базиса, позволяющие учитывать структурную сложность аппрокси

17 мируемых функций, соответствующих экспериментальным данным, проведены численные исследования алгоритмов аппроксимации экспериментальных данных;

7) Выполнена модификация с учетом специфики решаемых задач переноса примесей в атмосфере и детальная алгоритмизация известных вычислительных методов негладкой оптимизации нулевого порядка, применяемых при решении вариационных задач;

8) Разработаны новые методы и соответствующие регуляризирующие алгоритмы на основе обратных задач, постановка которых осуществлялась в рамках концепции усвоения данных мониторинга моделями переноса субстанции в атмосфере;

9) Предложены новые расчетно-апалитические модели поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы и качественные модели, позволяющие оценивать пространственно-временные характеристики процесса переноса загрязняющих примесей в атмосфере;

10) Выведены интегральные уравнения для оценки количества загрязняющих примесей в пункте наблюдения, поступающих в него от источников с конечной и непрерывной длительностью действия и на их основе выполнена постановка обратной задачи источника, для которой построен и обоснован соответствующий регу-ляризирующий алгоритм;

11) Построена обобщенная модель диффузного переноса загрязняющих примесей в атмосфере с добавлением векторного уравнения Навье-Стокса, в которое введены члены, определяемые коэффициентами турбулентности пограничного слоя атмосферы, характеризуемые пространственно-временной изменчивостью. Разработаны и обоснованы новые вычислительные методы решения нелинейного уравнения Навье-Стокса и выполнено их обоснование, соответствующие им вычислительные алгоритмы построены для параметризованной модели исходной задачи в рамках методов покомпонентного и покоординатного расщепления;

12) Создана модульная система алгоритмов, являющаяся ядром информационно-вычислительного обеспечения систем мониторинга и прогноза экологического состояния воздушного бассейна.

Достоверность и обоснованность результатов диссертационного исследования определяется использованием при построении новых методов известных теоретических положений курсов «Уравнения математической физики», «Функциональный анализ», «Методы решения некорректных задач», «Методы оптимизации», «Вычислительные методы» и др., а для построения вычислительных схем и алгоритмов — известных вычислительных методов. Кроме того, достоверность получаемых результатов определялась путем тестирования, т.е. сопоставлением приближенных решений с точными решениями, моделируемыми с помощью специально разработанных для этой цели тестовых задачах. Сравнение расчетных данных также проводилось с табличными данными, взятыми из научных публикаций других авторов.

Практическая ценность работы состоит в возможности использования созданного в ней математического, алгоритмического и программного обеспечения для создания информационно-вычислительных систем и технологий решения задач мониторинга и прогноза экологического состояния воздушного бассейна. С другой стороны, вычислительные методы и алгоритмы, методика постановки и проведения вычислительного эксперимента, технология построения модульной системы алгоритмов могут быть использованы в учебном процессе при изучении дисциплин «Уравнения математической физики», «Методы решения некорректных задач», «Методы оптимизации», «Вычислительные методы», а также при постановке тем научно-исследовательской работы студентов, курсовых и дипломных работ. Основные алгоритмы и программы зарегистрированы в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (г. Москва), они свободны для распространения и доступны другим пользователям.

Положения, выносимые на защиту:

1. Вычислительные методы и модели, построенные на основе методов расщепления и использующие оперативную информацию метеорологического характера, для трехмерного нестационарного уравнения диффузного переноса субстанции в атмосфере с учетом в нём пространственно-временной изменчивости полей скорости ветра, турбулентной диффузии, источника и возможных трансформаций размеров частиц дисперсных загрязнений в условиях турбулентных движений в атмосфере;

2. Параметризованная вычислительная модель для нестационарного уравнения диффузного переноса субстанции в атмосфере, включающая в себя алгоритм оптимизации, который реализует принцип минимакса и позволяет выбирать требуемое решение, согласуя его с дополнительными условиями конкретной прикладной задачи. Методы выбора и оценки параметров вычислительных алгоритмов, реализуемые в процессе моделирования;

3. Вычислительный метод, использующий интегральные представления для решения краевых задач теории диффузного переноса субстанции, и соответствующие ему итерационные алгоритмы для трехмерных пространственных задач переноса примесей в атмосфере, реализуемые в рамках метода покоординатного расщепления;

4. Вычислительные модели, построенные на основе вариационных методов для нестационарного уравнения диффузного переноса загрязняющих примесей в атмосфере и соответствующие рекурсивные вычислительные схемы, включающие в себя алгоритмы аппроксимации данных мониторинга, а также алгоритмы, реализующие методы негладкой оптимизации нулевого порядка;

5. Методы обратных задач оценки коэффициента турбулентной диффузии и источника, вычислительные модели которых используют данные измерений параметров атмосферных процессов, соответствующие им регуляризирующие алго

19 ритмы. Расчетно-аналитические и качественные модели теории нестационарного диффузного переноса примесей в атмосфере, представляющие собой в совокупности простейшие методики прогноза экологического состояния воздушного бассейна;

6. Обобщенная модель нестационарного диффузного переноса загрязняющих примесей в атмосфере, построенная на основе векторного уравнения Навье-Стокса, учитывающего члены, определяемые турбулентным состоянием атмосферы и другие её характеристики, измеряемые в эксперименте. Вычислительные методы и алгоритмы решения векторного нелинейного уравнения Навье-Стокса, построенные на основе методов покомпонентного и покоординатного расщепления и позволяющие вычислять значения компонент вектора скорости ветра;

7. Концепция комплексного решения (вычислительная технология) задач переноса загрязняющих примесей в атмосфере, реализованная в виде модульной системы алгоритмов, которая может быть ядром информационно-вычислительного обеспечения некоторой системы, функционирующей на метеорологических станциях.

Апробация работы и публикации. Основные материалы диссертации докладывались: на Междунар. форуме по проблемам науки, техники и образования, г. Москва, 1997г.; на Всерос. конф. по физике облаков и активным воздействиям на гидрометеорологические процессы, г. Нальчик, КБР, 1997г.; на 4-ом, Всерос. сим-поз. «Математическое моделирование и компьютерные технологии», г. Кисловодск, Ставропольский край, 2000; на Междунар. пауч.-технич. и Российской науч. школе, г. Москва, 1998г.; на Междунар. школе - семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, г. Ростов-на-Дону, 2002, 2004гг.; па 4-ой, 5-ой, 6-ой Междунар. науч.-технич. конф. «Компьютерное моделирование», г. Санкт-Петербург, 2003, 2004, 2005гг.; на Всерос. науч.-технич. конф. «Методы и средства измерений», «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве», г. Нижний Новгород, 2003, 2005гг.; на 1-ой Междунар. науч.-технич. конф. «Инфо-телекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании», г. Ставрополь, 2005г.; на 13-ой Междунар. конф. «Математика, экономика, образование», г. Ростов-на-Дону, 2005г; на 3-ей, 5-ой, 6-ой Регион, науч.-технич. конф. «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону», г. Ставрополь, 1999, 2001, 2002гг.; на 1-ой, 2-ой, 3-ей, 4-ой Регион, науч. конф. «Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках», г. Георгиевск, Ставропольский край, 2001, 2002, 2003, 2004гг.

По теме диссертации опубликовано 66 работ, из них 1 монография, 26 статей, 36 тезисов докладов и 3 свидетельства о регистрации алгоритмов и программ. К основным публикациям можно отнести 32 работы, а именно: монография «Математическое моделирование нестационарного переноса примеси в пограничном слое атмосферы», написанная в соавторстве с докторами физ.-мат. наук Семенчи

20 ным Е.А. и Наац Н.Э. и опубликованная в издательстве «Физ. Мат. Лит.» (г. Москва); 11 статей в реферируемом научном журнале «Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки», входящего в перечень журналов, установленный ВАК РФ; 17 докладов и тезисов докладов, опубликованных в трудах и материалах Международных и Всероссийских форумов, симпозиумов и конференций; 3 свидетельства о регистрации алгоритмов и программ в «Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам» (г. Москва). Из 32 работ без соавторства опубликовано 18. Список работ помещен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Объем работы составляет 339 страниц, включая 80 рисунков, 30 таблиц и список литературы, состоящий из 209 источников.

Основные результаты, полученные в диссертации:

1) Рассмотрена первая краевая задача для нестационарного уравнения диффузного переноса примесей в атмосфере, в котором поля скорости ветра, турбулентной диффузии и источника характеризуются пространственно-временной изменчивостью, и для её решения предложен вычислительный метод, основанный на покоординатном расщеплении, доказана его правомерность. Для данной же задачи, но уже с учетом коагуляции частиц загрязняющих примесей, возможной в условиях турбулентных движений в атмосфере, разработан и обоснован вычислительный метод, построение которого осуществляется путем расщепления исходного уравнения по физическим факторам;

2) Разработан «метод параметризованных моделей», включающий в себя алгоритмы оптимизации параметров модели на основе принципа минимакса и позволяющий осуществлять корректный выбор значений некоторых исходных данных. На его основе построена параметризованная вычислительная модель переноса примесей. Предложены методы выбора и оценки параметров вычислительных моделей, реализуемые в ходе вычислительного эксперимента, проводимого с помощью тестовых задач. Исследованы особенности конечно-разностной аппроксимации исходных данных в задачах переноса с пространственно-временной распределений, предложен метод «фиктивной точки» для аппроксимации производных полей исходных данных на границе области исследования;

3) Предложен вычислительный метод решения двумерной задачи переноса примесей в пограничном слое атмосферы с учетом пространственно-временной изменчивости полей исходных данных, а также процессов оседания тяжелых примесей и их взаимодействия с подстилающей поверхностью, построение которого осуществляется путем предварительного интегрирования трехмерного уравнения по пространственной координате. Построена параметризованная вычислительная модель в рамках схемы покоординатного расщепления, на основе тестовой задачи численно исследовано совместное влияние скорости ветра и турбулентной диффузии на концентрацию загрязняющих примесей в атмосфере;

4) Разработан метод решения нестационарного уравнения диффузного переноса примесей в пограничном слое атмосферы, в котором все поля имеют пространственно-временную изменчивость, использующий интегральные представления для решения первой краевой задачи, вычислительный алгоритм которого сводится к решению соответствующего уравнения Вольтерра второго рода. В рамках данного метода построено два итерационных алгоритма решения параметризованной задачи переноса субстанции в атмосфере, для каждого из которых определено условие сходимости. На основе созданных итерационных

321 вычислительных схем предложен алгоритм для трехмерной пространственной параметризованной задачи диффузного переноса, построенной в рамках метода расщепления;

5) Исследованы вариационные методы, применяемые в моделях эволюционного типа, к которым относятся нестационарные уравнения переноса субстанции в пограничном слое атмосферы. На основе этих методов предложены способы построения рекурсивных алгоритмов, определены условия сходимости рекурсивных вычислительных процессов и эффективности конечно-разностных аппроксимаций для уравнений эволюционного типа с учетом зависимости оператора шага и источника системы от исходных данных, характеризующихся пространственно-временной изменчивостью;

6) Созданы вычислительные методы и алгоритмы решения задач переноса субстанции с использованием приближенных исходных данных, в рамках вариационного подхода. Первый из них связан с квадратичным функционалом, соответствующим методу наименьших квадратов и использующий в качестве базисных функций так называемые многочлены Бернштейна. Исследованы в вычислительном эксперименте особенности аппроксимации многочленами Бернштейна данных мониторинга и соответствующих производных в задачах переноса с учетом структурной сложности аппроксимируемых функций и определены требуемые при этом значения размерности базиса. Построен рекурсивный вычислительный алгоритм для одномерного параметризованного уравнения переноса, исследованы в вычислительном эксперименте его сходимость и устойчивость. Второй вариационный метод и соответствующие ему рекурсивные алгоритмы, предложенные для решения уравнения переноса в его параметризованном виде, основаны на так называемом методе «взвешенной невязки» и методе конечных элементов. Последний метод использует особый вид базисных функций, аналитическое представление которых предложено и исследовано в работе. Построены соответствующие варианты параметрического базиса, позволяющие учитывать структурную сложность аппроксимируемых функций и повысить за счет этого точность аппроксимации измерительных данных, используемых в вычислительной модели. Исследованы свойства сходимости и устойчивости рекурсивных алгоритмов в вычислительном эксперименте на примере одномерного параметризованного уравнения переноса. Вариационные методы численного решения уравнения переноса включены в общую структуру решающего алгоритма для трехмерной задачи переноса примесей в атмосфере в рамках метода расщепления, определены основные принципы подобного включения;

7) Предложены два модифицированных, с учетом специфики решаемых задач, алгоритма численных метода негладкой оптимизации нулевого порядка, а именно симплекс метод и метод вращения системы координат, применяемых при решении

322 вариационных задач. Выполнено численное исследование методов применительно к решению параметризованного одномерного уравнения переноса примесей в атмосфере.

8) Разработаны методы, вычислительные схемы и регуляризирующие алгоритмы на основе обратных задач, постановка которых осуществлялась в рамках концепции усвоения данных мониторинга моделями переноса субстанции в пограничном слое атмосферы: метод определения коэффициента турбулентной диффузии из уравнения переноса; метод оценки значений коэффициента турбулентности, определяемых по дифференциальным характеристикам поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы; метод определения коэффициента турбулентной диффузии на основе уравнения непрерывности поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы; метод определения производных эмпирических функций исходных данных задач переноса. Выполнено численное исследование методов;

9) Предложены и обоснованы расчетно-аналитические модели поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы и качественные модели, основанные на фундаментальном решении уравнения переноса примесей с постоянными коэффициентами для мгновенного точечного импульсного источника, позволяющие оценивать пространственно-временные характеристики процесса переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы с учетом метеофакторов (данных мониторинга).

10) Выведены интегральные уравнения для оценки количества загрязняющих примесей в пункте наблюдения, поступающих в пего от источников с конечной и непрерывной длительностью действия и па их основе выполнена постановка обратной задачи источника, для неё построен и обоснован соответствующий регуляризирующий алгоритм, выполнены соответствующие расчеты и численные исследования.

И) Построена обобщенная модель диффузного переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы с добавлением векторного уравнения Навье-Стокса, в которое введены члены, определяемые коэффициентами турбулентности пограничного слоя атмосферы, характеризуемые пространственно-временной изменчивостью. Разработаны вычислительные методы для уравнения Навье-Стокса, включающие в себя алгоритмы локальной линеаризации и итерационного уточнения получаемого решения, и выполнено их обоснование. Созданы соответствующие алгоритмы для параметризованных уравнений Навье-Стокса, которые включены в общую схему покомпонентного и покоординатного расщепления, проведен вычислительный эксперимент;

12) На основе разработанных вычислительных моделей, методов и алгоритмов предложена концепция комплексного решения (вычислительная технология) задач переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы в рамках

323 некоторой информационно-измерительной системы, предположительно функционирующей на метеорологических станциях. Создана модульная система алгоритмов, являющаяся ядром информационно-вычислительного обеспечения подобных систем и представляющая собой комплекс взаимосвязанных модулей, каждый из которых есть алгоритмическая реализация того или иного вычислительного метода, разрабатываемого в предыдущих главах.

Заключение

1. Алоян А.Е. Математическое моделирование взаимодействия газовых примесей и аэрозолей в атмосферных дисперсных системах. // Междунар. конф. «Вычислительная математика и математическое моделирование». Том 1. - М., 2000. - С.214-230.

2. Амироков С.Р. Математическое моделирование экологических систем на основе модели Лотки-Вольтерра // Математическое моделирование в научных исследованиях: Всерос. науч. конф. Ставрополь, 2000,- С. 17-19.

3. Андреев С.Д., Ивлев Л.С., Тимофеев Ю.М. Комплексный экологический мониторинг атмосферы в районе Санкт-Петербурга. // XXI век: Молодежь, образование, экология, ноосфера: 9-ая науч. конф., 2001. СПб, С.43-49.

4. Атмосферная турбулентность и моделирование распространения примесей. // Под ред. Ф.Т.М. Ньюстадта и Х.Ван Допа. Л., 1985.

5. Бабешко В.А. Математика и проблема безопасной эвакуации при авариях радиационной и токсической природы. // Соровский образовательный журнал, №7. -М., 1997. -С.116-120.

6. Бабешко В.А., Глацкой И.Б., Зарецкая М.В., Кособуцкая Е.В. К проблеме оценки выбросов загрязняющих веществ источниками различных типов. // Докл. Акад. наук. 1995. Т. 342, №6.

7. Бабешко В.А., Зарецкая М.В., Кособуцкая Е.В. Об одной модели распространения загрязняющих веществ по глубине водного потока // Докл. Акад. наук. 1994. Т. 337, № 5.

8. Белоцерковский О.М. Новый век — новые подходы к турбулентности на основе передовых технологий математического моделирования и параллельных вычислений. / В кн. «Математическое моделирование: Проблемы и результаты» М., 2003. -С.3-11.

9. Белоцерковский О.М., Опарин A.M. Численный эксперимент в турбулентности: От порядка к хаосу. М., 2001.

10. Белоцерковский О.М., Опарин A.M., Чечеткин В.М. Турбулентность: новые подходы. М., 2003.

11. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. JI., 1975.

12. Берлянд М.Е., Генихович E.JI. Метеорологические аспекты загрязнения атмосферы. -Л., 1971.

13. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учеб. для вузов. Ростов-на-Дону, 1998.

14. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для вузов. Ростов-на-Дону, 1997.

15. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: Учеб. для вузов. Ростов-на-Дону, 1997.

16. Вызова H.JI. Исследование крупных вихрей и диссипация энергии при безразличной и слабонеустойчивой стратификации. // В сб. Вопросы физики атмосферы. -СПб., 1998.-С.227-246.

17. Вызова H.JL, Гаргер Е.К., Иванов В.Н. Экспериментальные исследования атмосферной диффузии и расчеты рассеяния примеси. JI., 1991.

18. Васильев С.А., Ивлев JT.C., Крылов Г.Н. Комплексный мониторинг и управление состоянием природных сред. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я Междунар. конф. СПб., 2001. - С.452-459.

19. Васильев СЛ., Гудошников Ю.П., Ивлев JT.C. Активные воздействия на атмосферные процессы. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 2-я Междунар. копф. СПб., 2000. - С.251-258.

20. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач: Учебное пособие для вузов. М., 1988.

21. Ватиашвили М.Р., Наац В.И. Численный эксперимент по распространению аэрозолей в атмосфере. // Всероссийская конференция по физике облаков и активным воздействиям на гидрометеорологические процессы. -Нальчик, КБР, 1997. -С.16-17.

22. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М., 2000.

23. Воеводин В.В. Информационная структура алгоритмов. М., 1997.

24. Воеводин В.В. Математические модели и методы в параллельных процессах. -М., 1986.

25. Воеводин В.В. Отображение проблем вычислительной математики на архитектуру вычислительных систем. // Вычислительная математика и математическое моделирование: Междунар. конф., Том I. М., 2000. - С.242-255.

26. Гейн С.В., Зайцев Н.А., Посвянский B.C., Радвогин Ю.Б. Метод независимых потоков для численного решения многомерного уравнения теплопроводности. -М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, препринт, 2003. С.1-28.

27. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М., 1979.

28. Голицын Г.С., Ярошевич М.И. Особенности повторяемости тропических циклонов по энергиям. ДАН, 2000, т.372 №4. С.544 -546.

29. Горчаков Г.И., Копейкин В.М., Еланский Н.Ф., Исаков А.А. и др. Исследование пространственного распределения аэрозоля на трассе Москва-Владивосток. // Аэрозоли Сибири. Томск, 1997. - С.48-49.

30. Горчаков Г.И., Копейкин В.М., Еланский Н.Ф., Исаков А.А. и др. Пространственное распределение приземного аэрозоля вдоль Транссибирской магистрали. // Аэрозоли Сибири. Томск, 1998. - С.65-66.

31. Горчаков Г.И., Копейкин В.М., Исаков А.А. О пространственном распределении субмикронного и сажевого аэрозоля над континентом Евроазии. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я Междунар. конф. СПб., 2001. -С.534-536.

32. Горчаков Г.И., Копейкин В.М., Исаков А.А., Тихонов А.В., Шукуров К.А. Исследование вариаций параметров аэрозоля в пограничном слое атмосферы. // Физика атмосферного аэрозоля: Труды конф. М., 1999. - С. 151-159.

33. Довгалюк Ю.А., Ивлев Л.С. Физика водных и других атмосферных аэрозолей. 2-е издание. СПб., 1998.

34. Доиченко В.К., Ивлев Л.С. Об идентификации аэрозолей разного происхождения. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я Междунар. конф. -СПб., 2001. С.41-52.

35. Дымников В.П. О предсказуемости климатических изменений // Изв. РАН. ФАиО. 1998. Т. 34, № 6. С.741 -751.

36. Дымников В.П. Метод функции Грина в нелинейных задачах физики атмосферы. // Вычислительная математика и математическое моделирование: Медунар. Конф., Том I. М., 2000. - С.99-110.

37. Дымпиков В.П., Алоян А.Е. Монотонные схемы решения уравнений переноса в задачах прогноза погоды, экологии и теории климата. // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1990. Т. 26, №. 12. С.1237-1247.

38. Дымников В.П., Филатов А.Н. Основы математической теории климата.- М., 1994.

39. Дэннис Дж. мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений: Пер. с англ. М., 1988.

40. Захаров В.М., Костко O.K., Хмельцов С.С. Лидары и исследование климата. -Л., 1990.

41. Зельдович Я. Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики: Учеб. для вузов.- СПб., 2002.

42. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. -М., 1986.

43. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М., 1995.

44. Ивлев Л.С. Атмосферная циркуляция и турбулентность. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я Междунар. конф. СПб., 2001. - С.460-479.

45. Ивлев Л.С. Химический состав и структура атмосферных аэрозолей. Л., 1982.

46. Ивлев Л.С., Васильев Л.В., Белан Б.Д., Панченко М.В., Терпугова С.А. Оптико-микрофизические модели городских аэрозолей. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я Междунар. конф. СПб., 2001. - С. 161-171.

47. Ивлев Л.С., Довгалюк Ю.А. Физика атмосферных аэрозольных систем.- СПб., 1999.

48. Ивлев Л.С., Янченко Е.Л. О лазерном зондировании в области глории. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я междунар. конф. СПб., 2001.- С. 121-130.

49. Израэль Ю.А. Экология и контроль состояния природной среды. М., 1984.

50. Кабанов М.В. Региональный мониторинг атмосферы. 4.1. Научно-методические основы. Томск, 1997.

51. Каргин Н.И., Наац В.И. Вычислительная модель нестационарного уравнения переноса примесей на основе метода наименьших квадратов и алгоритмов аппроксимации. // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Прил. 5'04. Ростов-на-Дону, 2004. - С.30-38.

52. Каргин Н.И., Наац В.И. Итерационные методы численного решения задач переноса на основе интегральных уравнений. // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Прил. 3'04. Ростов-на-Дону, 2004. - С.3-16.

53. Каргин Н.И., Наац В.И. Обратная задача источника загрязняющих примесей, распространяющихся в приземном слое атмосферы. // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. № 3.- Ростов-на-Дону, 2003. С.30-35.

54. Каргин Н.И., Наац В.И. Основные подходы к построению вычислительных моделей в задачах переноса примесей на основе вариационных методов. // Компьютерное моделирование 2004: 5-я Междунар. науч.-технич. конф.- СПб., 2004. -С.126-127.

55. Каргин Н.И., Наац В.И. Построение вычислительных моделей для задач массо-переноса на основе метода интегральных уравнений. // Компьютерное моделирование 2003: 4-я Междунар. науч.-технич. конф. СПб., 2003. - С. 144-146.

56. Каргин Н.И., Наац В.И. Чиеленное исследование сеточных моделей для нестационарного уравнения переноса. // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. № 4. -Ростов-на-Дону, 2004. С. 18-23.

57. Каргин Н.И., Наац В.И. Вычислительный метод оценки поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы на основе уравнения Навье-Стокса. // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Прил. 5'05 Ростов-на-Дону, 2005. - С.3-13.

58. Каргин Н.И., Наац В.И. Расчетно-аналитические модели векторных полей в задачах оперативного прогноза распространения загрязнений в пограничном слое атмосферы. // Компьютерное моделирование 2005: 6-я Междунар. науч.-тех. конф. -СПб., 2005. С.181-183.

59. Кирилов B.C., Корчагин П.В. Моделирование распространения загрязняющих веществ в системе атмосфера-грунт. // Компьютерное моделирование 2003: 4-я Междунар. науч.-технич. конф. СПб., 2003. - С. 151-153.

60. Колмагоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости. // Изв. АН СССР, сер. Физ., 6, №1-2, 1942. С.56-58.

61. Кондратьев К.Я. Аэрозоль как климатообразующий компонент атмосферы. // Оптика атмосферы и океана, 2002 г., т.15, №3, С.121-192.

62. Кордзадзе А.А. Математические вопросы решения задач динамики океана. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982.

63. Корчагин П.В. Моделирование турбулентной диффузии в осесимметричной незакрученной струе. // Геометрические и аналитические модели естествознания: Междунар. шк.-сем. по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Ростов-на-Дону, 2002. - С.198-199.

64. Корчагин П.В. Построение вычислительной схемы для уравнения переноса с использованием метода взвешенной невязки и метода конечных элементов. // Математическое моделирование в научных исследованиях: Всерос. науч. конф. -Ставрополь, 2000, С.55-58.

65. Коханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М., 1998.

66. Кубанива М., Табата М., Табата С, Хасэбэ 10. Математическая экономика на персональном компьютере: Пер. с яп. М., 1991.

67. Лавриненко Р.Ф. К вопросу о формировании химического состава атмосферных осадков. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я Междунар. конф. -СПб., 2001.- С.14-35.

68. Лайтхман Д.Л. Физика пограничного слоя атмосферы. Л., 1970.

69. Ламли Дж., Пановский Г. Структура атмосферной турбулентности. М., 1966.

70. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Сер. Теоретическая физика, том. 6. -М., 1988.

71. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М., 1994.

72. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М., 1975.

73. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на фортране: Пер. с англ. М., 1977.

74. Малкевич М.С. Оптические исследования атмосферы со спутников. М., 1973.

75. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики: Учеб. для вузов. М., 2002.

76. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. -М, 1982.

77. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М., 1992.

78. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Л., 1974.

79. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды.- Л., 1967.

80. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., 1980.

81. Марчук Г.И. Методы расщепления. М., 1988.

82. Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач // ДАН СССР. 1964. Т. 156, №3.- С.503-506.

83. Марчук Г.И. Уравнение для ценности информации с метеорологических спутников и постановка обратных задач // Космич. исслед. 1964. Т.2. Вып.З. -С.462-477.

84. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М, 1981.

85. Марчук Г.И., Алоян А.Е. Глобальный перенос примеси в атмосфере // Изв. РАН. Сер. Физика атмосферы и океана. 1995. Т. 31, №5. С. 597-606.

86. Марчук Г.И., Дымпиков В.П. и др. Математическое моделирование общей циркуляции атмосферы и океана. JL, 1984.

87. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б. Математические модели геофизической гидродинамики и численные методы их реализации. JL, 1987.

88. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.В., Лыкосов В.Н., Галин В.Я. Математическое моделирование общей циркуляции атмосферы и океана. Л., 1984.

89. Марчук Г.И., Дымников В.П., Лыкосов В.И., Галин В.Я., Бобылева И.М., Перов В.Л. Глобальная модель общей циркуляции атмосферы. // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1979, т. 15, №2. С.321-331.

90. Марчук Г.И., Котов В.Е. Проблемы вычислительной техники и фундаментальные исследования // Автом. и вычисл. техн. 1979. №2.- С. 3-14.

91. Марчук Г.И., Саркисян А.С. Математическое моделирование циркуляции океана. М., 1988.

92. Матвеев Л.С. Основы общей метеорологии. Физика атмосферы. Л., 1965.

93. Мельникова И.Н., Петрова Е., Гущин Г.К. Оптические параметры облаков, полученные из наземных измерений интегральной солнечной радиации. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я Междунар. конф. -СПб., 2001. С. 171-176.

94. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа. М., 1953.

95. Михайлова Л.А., Ордапович А.Е. Когерентные структуры в пограничном слое атмосферы (Обзор). // Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1991, т.27, № 6. С.593-613.

96. Наац В.И. Аналитические модели пространственных задач переноса субстанции в пограничном слое атмосферы. // Междунар. шк.-сем. по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Ростов-на-Дону, 2004. - С.214-216.

97. Наац В.И. Аппроксимация многочленами Бернштейна и метод наименьших квадратов в вычислительной модели уравнения переноса. // Компьютерное моделирование 2004: 5-я Междунар. науч.-технич. конф. СПб., 2004. - С.128-129.

98. Наац В.И. Вычислительная модель нестационарного уравнения переноса примеси на основе метода взвешенной невязки. // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Ес-теств. науки. Прил. 5'04 Ростов-на-Дону, 2004. - С.3-15.

99. Наац В.И. Метод покоординатного расщепления на примере нестационарной модели переноса загрязняющих примесей в приземном слое атмосферы. // Ма331тематическое моделирование и компьютерные технологии: V Всерос. симпоз. -Кисловодск, 2002. С. 14-16.

100. Наац В.И. Методика определения концентрации загрязнений, поступающих в пункты наблюдения под действием метеофакгоров от различного типа источников. // Математическое моделирование и компьютерные технологии: IV Всерос. симпоз. Кисловодск, 2000.-С.1-2.

101. Наац В.И. Методика оценки концентрации примесей, распространяющихся в приземном слое атмосферы от источников конечной и непрерывной длительности действия. // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Прил. З'ОЗ. Ростов-на-Дону, 2003. -С.35-41.

102. Наац В.И. Обратная коэффициентная задача для уравнения турбулентной диффузии. // Вестник Сев.-Кав. гос. Технич. университета. Серия «Физико-химическая». Ставрополь, 2003. - С.89-94.

103. Наац В.И. Определение концентрации загрязняющего вещества, распространяющегося от источника с конечной длительностью выброса. // Междунар. Науч.-технич. и Российской науч. школы. Часть 3. - Москва - Сочи, 1998. - С. 2730.

104. Наац В.И. Уравнение эволюционного типа как аналитическая модель явления переноса и численные методы его решения. // Междунар. шк.-сем. по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова.- Ростов-на-Дону, 2002. С.204-206.

105. Наац В.И. Численные исследования итерационных методов для нестационарного уравнения переноса. // Всерос. науч.-технич. конф. Н. Новгород, 2003. -С.13-14.

106. Наац В.И. Численный метод решения нестационарного уравнения переноса. // Математическое моделирование и компьютерные технологии: II Всерос. симпоз. Кисловодск, 1998. - С.66-67.

107. Наац В.И., Рыскаленко Р.А. Алгоритмы аппроксимации искомого решения и его производных в вычислительной модели явления переноса. // Современные проблемы математики и естествознания: Всерос. науч.-технич. конф. Н. Новгород, 2003. - С.25-26.

108. Наац В.И. Численные исследования по методам решения нестационарного уравнения переноса. // Сб. науч. тр., серия «Физико-химическая». Вып. I. Ставрополь, 1998.-С. 100-104.

109. Наац В.И. Исследование вычислительной схемы решения нестационарного уравнения переноса примесей в турбулентной атмосфере. // Сб. науч. тр., серия «Физико-химическая». Вып. 3. Ставрополь, 1999. - С. 125-129.

110. Наац В.И. Некоторые результаты исследования вычислительной схемы решения нестационарного уравнения переноса.// Вузовская наука СевероКавказскому региону: III Per. науч.-технич. конф.- Ставрополь, 1999.-С.54.

111. Наац В.И. Алгоритмы аппроксимации искомого решения и его производных в вычислительной модели явления переноса.// Вузовская наука-СевероКавказскому региону: V Per. науч.-технич. конф. Технич. науки. Часть вторая. -Ставрополь, 2001.-С.25.

112. Наац В.И. Аппроксимация искомого решения и его производных в вычислительной модели явления переноса // Сб. науч. тр. Серия «Физико-химическая». Выпуск 6. Ставрополь, 2002. - С. 102-109.

113. Наац В.И., Рыскаленко Р.А. Численное решение обратной задачи источника // Вузовская наука Северо-Кавказскому региону: VI Per. Науч.-технич. конф. Ес-теств. и точ. науки. Часть первая. - Ставрополь, 2002. - С.7.

114. Наац В.И., Рыскаленко Р.А. Разностная аппроксимация в задаче Коши для нестационарного уравнения переноса // Вестник Сев.-Кав. гос. технич. университета. Серия «Физико-химическая» Ставрополь, №1, 2004. - С.93-99.

115. Наац В.И. Определение производной поля скорости ветра методом интегральных уравнений на основе экспериментальных данных в задачах переноса // Математика, экономика, образование Материалы: XIII Междунар. конф. Ростов-на-Дону, 2005.-С.8-9.

116. Наац В.И. Вычислительная модель обратной коэффициентной задачи для уравнения переноса загрязняющих примесей в атмосфере // Изв. вузов. Сев.-Кавкав. per. Естеств. науки. Прил. 3'05 Ростов-на-Дону, 2005. - С.21-34.

117. Наац В.И. Численное моделирование пространственных задач переноса субстанции в пограничном слое атмосферы. // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Прил. 2'05- Ростов-на-Дону, 2005. С.3-13.

118. Наац В.И. Определение производных эмпирических функций методом интегральных уравнений в задачах переноса // Изв. вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Прил. 5'05- Ростов-на-Дону, 2005. С.3-22.

119. Наац В.И. Система информационно вычислительного обеспечения задач экологического мониторинга // Информационные технологии в науке, проектировании и производстве: XV Всерос. науч.-технич. конф. - Н. Новгород, 2005. - С.5-6.

120. Наац В.И. Исследование нестационарных процессов и явлений переноса примесей в турбулентных газах: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ставрополь, 1999.

121. Наац И.Э., Зуев В.Е. Обратные задачи оптики атмосферы. JL, 1990.

122. Наац И.Э. К теории оптического мониторинга атмосфера -подстилающая поверхность. // Оптика атмосферы АН СССР, 1998. T.I. №3. С. 66-72.

123. Наац И.Э. К теории оптического мониторинга атмосферы. // Оптика атмосферы АНСССР, 1988. Т.1, №1. С.87-92.

124. Наац И.Э. Кирилов B.C. Изучение влияния выбора базисных функций на ошибку при решении задач влагопереноса. // Математическое моделирование в научных исследованиях: Всерос. науч. конф. Часть II. Ставрополь, 2000. - С.69-73.

125. Наац И.Э. Метод обратной задачи в поляризационном зондировании дисперсных сред // Оптика атмосферы. АН СССР, 1989. Т. 2. №7. С.728-736.

126. Наац И.Э. Обратные задачи светорассеяния аэрозольными системами, взаимодействующими с физическими полями. // Оптика атмосферы. АН СССР, 1989. Т. 2. № 10.-С.1107-1112.

127. Наац И.Э. Оптические методы в исследовании динамики пограничного слоя атмосферы // Оптика атмосферы. АН СССР, 1989. Т.2. № 8. С.843-850.

128. Наац И.Э., Семенчин Е. А. Математическое моделирование динамики пограничного слоя в задачах мониторинга окружающей среды. Ставрополь, 1995.

129. Наац И.Э., Бумцев В.Д. Метод обратной задачи в восстановлении характеристик светорассеяния дисперсными средами // ДАИ. Серия «Геофизика», 1988. Т. 303. №3. С. 583-585.

130. Наац И.Э., Наац В.И. Метод интегральных уравнений в задачах переноса. // Сб. науч. тр. Серия «Физико-химическая». Выпуск 6. Ставрополь, 2002. - С.99-101.

131. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М., 1949.

132. Немировский А.С., Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. М.,1979.

133. Облака и облачная атмосфера. Справочник под ред. Мазина И.П., Хргиана А.Х.-Л., 1989.

134. Олейник О.А., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М., 1997.

135. Пармузин Е.И., Шутяев В.П. О численных алгоритмах решения одной за-, дачи об усвоении данных//ЖВМ и МФ. 1997. Т.37, №7. С. 816-827.

136. Пененко В.В. Вариационные принципы и оптимизация во взаимосвязанных задачах экологии и климата. // Вычислительная математика и математическое моделирование: Медунар. конфТом I,- М., 2000 г., С. 135-148.

137. Пененко В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. -Л, 1981.

138. Пененко В.В. Теоретические основы совместного использования данных наблюдений и моделей для исследования процессов гидротермодинамики и переноса примесей в атмосфере // Оптика атмосферы и океана. 1999. Т. 12, №5. С.458-462.

139. Пененко В.В. Численные модели и методы для решения задач экологического прогнозирования и проектирования // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. Т. 1, № 6. С. 917-941.

140. Пененко В.В., Алоян А.Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. Новосибирск, 1985.

141. Пененко В.В., Цветова Е.А. Об оценке информативности наблюдательных экспериментов // Оптика атмосферы и океана. 2000. Т. 13, №4.

142. Пененко В.В., Цветова Е.А. Подготовка данных для экологических исследований с использованием Reanalysis // Оптика атмосферы и океана. 1999. Т. 12, №5. С.463-465.

143. Пененко В.В., Цветова Е.А. Моделирование процессов переноса примесей в прямых и обратных задачах климато-экологического мониторинга // Оптика атмосферы и океана. 1999. Т. 12, № 6. С. 482-487.

144. Петренчук О.П. Экспериментальные исследования атмосферного аэрозоля. -Л., 1979.

145. Покровская И.В., Шарков Е.А. Глобальные особенности темпов генерации тропических циклонов. //ДАН, 2000, т.372 №5, С.679-682.

146. Потапова И.А. Метод интерпретации данных лидарного зондирования аэрозолей. // Естественные и антропогенные аэрозоли: 3-я Междунар. конф. -СПб., 2001. С.130-132.

147. Пристли С.Х. Турбулентный перенос в приземном слое атмосферы. Л., 1964.

148. Радвогин Ю.Б. Экономичные алгоритмы численного решения многомерного уравнения теплопроводности. // ДАН, 2003, т. 388, №3. С.295-297.

149. Региональный мониторинг атмосферы. 4.2. Новые приборы и методики измерений. / Под ред. М.В. Кабанова. Изд.СО РАН Томск, 1997.

150. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике: Пер. с анг. М., 1985.

151. Рыжиков Ю.И. Программирование на Фортране PowerStation для инженеров. Практическое руководство.- СПб., 1999.

152. Рыскаленко Р.А. Численное моделирование поля концентрации примесей с заданными характеристиками в задачах переноса. // Современные проблемы математики и естествознания: Всерос. науч.-технич. конф. Н. Новгород, 2003. - С.15.

153. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики.- М., 2001.

154. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособ. для вузов. -М., 1989.

155. Саркисян А.С., Залесный В.Б. Методы расщепления и сопряженных уравнений в задачах динамики океана. // Вычислительная математика и математическое моделирование: Медунар. конф. Том I. М., 2000. - С.149-167.

156. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике: Учеб. пособ. для вузов. М., 2004.

157. Семенчин Е.А., Ионисяи А.С. Об одном способе численного решения уравнения переноса частиц примеси в атмосфере. // Успехи современного естествознания. №3,. М.: Академия естествознания, 2003. С.77.

158. Семенчин Е.А., Ионисян А.С. Об оценке мощности мгновенного точечного источника примеси. // Математическое моделирование в научных исследованиях: Всерос. науч. конф., Часть II Ставрополь, 2000. - С.74-76.

159. Семенчин Е.А., Ионисян А.С. Об уточнении математической модели рассеяния примеси в атмосфере // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.9, выпуск 2. М., 2002. - С.444-445.

160. Семенчин Е.А., Наац В.И., Наац И.Э. Математическое моделирование нестационарного переноса примеси в пограничном слое атмосферы: Монография. -М., 2003.

161. Скопина Г.А. К вопросу совместного действия загрязняющих химических примесей. // Компьютерное моделирование 2004: 5-я Междунар. науч.-технич. конф. СПб., 2004. - С.64-65.

162. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. М., 1989.

163. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М., 1986.

164. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1979.

165. Тихонов В.И., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1972.

166. Хапаев А.А. Генерация вихревых структур в атмосфере под действием спиральной турбулентности конвективного происхождения. // Изв. АН, Физика атмосферы и океана, 2002, т.38, №3. С.281-285.

167. Четвертушкин Б.Н., Тишкин В.Ф. Применение высокопроизводительных многопроцессорных вычислений в газовой динамике. / В кн. «Математическое моделирование: Проблемы и результаты» М., 2003. - С.3-11.

168. Швед Г.М. Атмосферная турбулентность. JL, 1990.

169. Шутяев В.П., Пармузин Е.И. Численное решение проблемы об усвоении данных для полулинейного параболического уравнения. // Вычислительная математика и математическое моделирование: Медунар. конф. Том I. М., 2000. - С.84-99.

170. Фортран 90. Международный стандарт. / Пер. с англ. Дробышевич С.Г. -М., 1998.

171. Экба Я.А., Ватиашвили М.Р., Наац В.И. Математическое моделирование аэрозольных выбросов в турбулизированной атмосфере. // Междунар. форум по проблемам науки, техники и образования. Вып. I М., 1997. - С. 132 - 134.

172. Яглом A.M. О турбулентной диффузии в приземном слое атмосферы // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1972, т. 6.- С. 580-593.

173. Яглом A.M. Диффузия примеси от мгновенного точечного источника в турбулентном пограничном слое // Турбулентные течения. М., 1974.- С. 62-74.

174. Яглом A.M. Об уравнениях, с зависящими от времени коэффициентами, описывающими диффузию в стационарном приземном слое воздуха // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1975, т.11.- С. 1120-1128.

175. Яглом A.M. Модели турбулентной диффузии, опирающиеся на стохастические дифференциальные уравнения Ланжевеновского типа // Метеорологические аспекты загрязнения атмосферы, т.2. М., 1981.-С.178-183.

176. Янковская Л.К. Статистические модели и методы исследования переноса загрязнений в приземном слое атмосферы: Дис. на соиск. учен. степ. канд. физико-математических наук. Ставрополь, 2002.

177. Agoshkov V.I., Marchuk G.I. On solvability and numerical solution of data assimilation problems // Russ. J. Numer. Analys. Math. Modeling. 1993. V. 8. №. 1. P. 116.

178. Aloyan A.E., Arutyunyan V.O. and Marchuk G.I. Dynamics of mesoscale atmospheric layer and impurity spreading with the photochemical transformation allowed for // Russ. J. Num. Anal. Math. Modeling. 1995. Vol. 10, №. 2. P. 93-114.337

179. Aloyan A.E., Arutyunyan V.O. Numerical modeling of lindane transport in the Northern Hemisphere. MSC-E Rep., 1997.

180. Babeshko V., Gladskoil., Zaretzkaja M., Kosobutzkaya E., Babeshko O. Distribution of Blow-outs Polluting Polylayer Atmosphere. // Intern. Symp.: Technological Civilization Impact on the Environment, Karlsruhe, April 22-26,1996.

181. Kalnay E., Kanamitsu M., Kistler R. et al. The NCEP/NCAR 40-year re-analysis project // Bull. Amer. Meteor. Soc. 1996. V. 77. P. 437-471.

182. Marchuk G. Some application of the splitting-up methods to the solution of mathematical physics problems // Applik. mat. 1968. V. 13, №2.

183. Marchuk G.I., Kuzin V.I. On the combination of the finite element and splitting-up methods in the solution of the parabolic equations // J. Сотр. Phys. 1982. V. 52, №2. P. 237-272.

184. Marchuk G.I., Zalesny V.B. A numerical technique for geophysical data assimilation problem using Pontryagin's principle and splitting-up method // Russian J. Numer. Analys. Math. Modeling. 1993. V. 8. №4. P. 311-326.

185. Penenko V.V. Methodology of inverse modeling for the problems of climate changes and environmental protection // Advanced mathematics: computations and applications. 1995. -Novosibirsk: NCC Publisher. P. 358-367.

186. Penenko V.V. Some aspects of mathematical modeling using the models together with observational data // Bull NCC: Num. Model, in Atmosph. 1996(4). P. 31-52.

187. Penenko V.V., Tsvetova E.A. The adjoint problems and sensitivity algorithms for the model of atmospheric hydrodynamics in sigma-coordinates // Bull NCC: Num. Model, in Atmosph. 1995(2). P. 53-74.

188. Voevodin V.V. Mathematical foundation of parallel computing.-World Scientific Publishing Co., Series in Computer Science. 1992. Vol. 33. -343 p.

189. Voevodin V.V., Voevodin V.V. Analytical methods and software tools for enhancing scalability of parallel applications//Proc. of Intel. Conf. HiPer'99, Norway, 1999. P. 489-493.

190. Zhiyu Shen, Zhiyuan Li, Pen-Chung Yew. An empirical study of FORTRAN programs for parallelizing compilers // IEEE Trans, on Parallel and Distributed Systems, July 1990. P. 350-364.

191. Наац В.И. «MetVzvNev»: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2005611874 / Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ, 27 июля 2005 г., М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, 2005.

192. Наац В.И. «MetlntUr»: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005611944 / Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 3 августа 2005 г., М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, 2005.

193. Наац В.И. «ObrKoelZ»: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005612006 / Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 8 августа 2005 г., М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, 2005.