автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Нелинейные регуляризирующие алгоритмы восстановления сигналов

На правахрукописи ВТЮРИН Константин Александрович

НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЕ АЛГОРИТМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск 2004

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: - доктор технических наук,

профессор Зеркаль Сергей Михайлович - доктор технических наук, доцент Кононов Владимир Тарасович

Ведущая организация - ФГУП Сибирский научно-исследовательский

Защита состоится « 16 » марта 2004 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.05 при Новосибирском государственном техническом университете по адресу:

630092, г.Новосибирск, пр. К.Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан « 13» февраля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

профессор Воскобойников Юрий Евгеньевич

институт метрологии, г. Новосибирск

д.т.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Современное состояние и актуальность темы. К решению интегрального уравнения первого рода с разностным ядром приводят многие задачи интерпретации результатов прямых и косвенных измерений и их численного анализа. При этом возникает ряд трудностей, связанных с нарушением условий корректности задачи по Адамару. Теория и методы решения некорректных задач получили широкое развитие после выхода работ АН.Тихонова и введения понятия регуляризации. Актуальность теоретической и практической разработки теории регуляризации привела к появлению в последние десятилетия значительного числа публикаций по данной теме - в частности, это работы. А.Н.Тихонова, В.А.Морозова, М.МЛаврентьева, А.Г.Яголы,' В.К.Иванова, А.В.Арсенина; В.Ф.Турчииа, А.В.Гончарского.

Определяющим фактором построения регуляризированного решения является использование априорной информации о его характерных свойствах. Для «компенсации» априорной неопределенности во многие регуляри-зирующие алгоритмы введен параметр регуляризации, меняя который, получают решения приемлемой точности. Вопрос выбора параметра регуляризации, в том числе при решении интегральных уравнений с разностным ядром, остается актуальным, ввиду того, что к настоящему моменту не выработан униклаьный подход к решению этой проблемы. Принципиальное отличие существующих алгоритмов - различный объем используемой априорной информации о характеристиках шума измерения, спектральном распределении решения для выбора параметра регуляризации. Другой подход — задание точностных характеристик программно-аппаратного комплекса «датчик-ЭВМ-алгоритм» позволяет получить оценку параметра регуляризации с минимальными вычислительными затратами без привлечения количественной априорной информации. Алгоритмы с одним «управляющим» параметром, получили название «глобальных».

Несмотря на хорошо разработанную теорию, решения некорректных задач (частным случаем которых является решение интегрального уравнения типа свертки) и глобальных регуляризирующих алгоритмов, использованы не все возможности для повышения точности регуляризированных решений. Все большее распространение получают локальные регуляризи-рующие алгоритмы. Термин «локальные» указывает на то, что скалярный параметр регуляризации в таких алгоритмах заменен некоторой функцией, зависящей от отношений «шум/сигнал» либо от аргумента искомого решения. В настоящее время в литературе уделяется недостаточное внимание эффективным регуляризирующим алгоритмам, основанным на уточнении локальных отношений «шум/сигнал» при построении регуляризированного решения интегрального уравнения с разностным ядром.

Другой способ повышения точности регуляризированных решений за-

ключается в использовании дополнительной качественной и количественной информации о характеристиках искомого решения, в частности, о его геометрических свойствах. Алгоритмы, в которых учитывается априорная информация такого рода, называют «дескриптивными». В результате применения дескриптивных алгоритмов, найденное решение, помимо большей точности, обладает всем набором предъявляемых к нему требований, например, знакопостоянством или монотонностью на некотором интервале значений аргумента. К сожалению, в литературе отсутствуют описания эффективных дескриптивных регуляризирующих алгоритмов для решения интегральных уравнений с разностным ядром основанных на дискретном преобразовании Фурье.

Таким образом, разработка глобального регуляризирующего алгоритма с выбором параметра регуляризации по точностным характерситикам, локального регуляризирующего алгоритма, в котором скалярный параметр регуляризации заменен набором параметров, и дескриптивных алгоритмов, учитывающих дополнительную априорную информацию о характерных свойствах решения, является важной и актуальной задачей.

Цель работы заключается в разработке и исследовании дескриптивного регуляризирующего алгоритма решения интегральных уравнений с разностным ядром. В соответствии с указанной целью в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

1) разработка эффективных глобальных регуляризирующих алгоритмов с выбором параметра регуляризации по точностным характерситикам и L-кривой;

2) разработка локального регуляризирующего алгоритма решения интегрального уравнения с разностным ядром, с уточнением отношений «шум/сигнал»;

3) разработка нелинейного регуляризирующего алгоритма решения интегрального уравнения с разностным ядром, учитывающего априорную информацию о характеристиках искомого решения;

4) создание алгоритмического и программного обеспечения и решение на его основе практической задачи.

Методы исследований основаны на аппарате линейной алгебры, теории сигналов, теории некорректных задач, теории вероятностей и математической статистики, нелинейного программирования и цифрового моделирования.

Научная новизна заключается в следующем:

1) разработаны эффективные алгоритмы выбора параметра регуляризации на основе метода L-кривой и перекрестной значимости при построении ре-гуляризированных решений интегральных уравнений с разностным ядром;

2) предложен новый подход к выбору параметра регуляризации, исходя из требуемых точностных характеристик алгоритма восстановления решения интегральных уравнений с разностным ядром;

3) разработан алгоритм локальной регуляризации, в котором для каждого коэффициента дискретного преобразования Фурье решения вычисляется свой регуляризирующий множитель как предельная точка итерационной процедуры уточнения отношений «шум/сигнал»;

4) разработан эффективный дескриптивный регуляризирующий алгоритм на основе дискретного преобразования Фурье, учитывающий априорные ограничения на решение, задаваемые системой линейных неравенств.

Практическая значимость состоит в том, что:

1) полученные теоретические результаты являются основой, для численной реализации алгоритмов построения глобальных, локальных и дескриптивных регуляризированных решений при различном объеме имеющейся априорной информации;

2) на основе разработанных алгоритмов решена задача восстановления спектров излучения кристаллов по данным лазерной спектроскопии;

3) разработан пакет прикладных программ, предназначенных для решения интегральных уравнений с разностным ядром методами глобальной, локальной и дескриптивной регуляризации, который может быть использован в составе математического обеспечения в различных системах обработки экспериментальных данных.

Таким образом, на защиту выносятся:

1) алгоритм локальной регуляризации с вычислением отношений шум/сигнал;

2) алгоритм нелинейной регуляризации, учитывающий априорные ограничения на искомое решение, задаваемые системой линейных неравенств;

3) алгоритм выбора параметра регуляризации по критерию L-кривой и по требуемым точностным характеристикам регуляризирующего алгоритма.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на конференции «Дни науки НГТУ - 2000» (Новосибирск, НГТУ, 2000), на региональной научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых «Наука. Техника. Инновации - 2001» (Новосибирск, НГТУ, 2001), на 59-ой научно-технической конференции НГАСУ (Новосибирск, НГАСУ, 2001), на Всероссийской конференции «Научно-технические проблемы в строительстве» (Новосибирск, НГАСУ, 2002), на 4-ой международной конференции «Обратные задачи: Идентификация, Проектирование, Управление» (Москва, МАИ, 2003).

Публикации. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [1]-[8].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка литературы из 96 наименований, содержит 34 рисунка и 4 таблицы. Объем диссертации составляет 128 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении предложена общая характеристика работы, обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель и задачи диссертационного исследования, указаны результаты, выносимые на защиту, их новизна и практическая значимость.

В первой главе рассмотрены алгоритмы вычисления нормального псевдорешения и регуляризированного решения интегрального уравнения Фредгольма I рода

на основе дискретного преобразования Фурье. Здесь к(их) - ядро системы, <р(1) - искомое решение,./^ - измеренный сигнал, называемый также правой частью уравнения (1). Используя квадратичную формулу прямоугольников, интегральное уравнение (1) сводится к системе разностных уравнений вида

При этом предполагается, что ошибки аппроксимации пренебрежимо малы по сравнению с погрешностью измерений правой части. Используя дискретное преобразование Фурье, алгоритм построения регуляризированного решения системы (2) можно представить в виде последовательности шагов:

1. Формирование периодических (с периодом И) последовательностей

где

- число отсчетов значений ядра при

- число отсчетов значений ядра при обозначение вШ[1] имеет смысл целой части вещественного числа z.

2. Вычисление коэффициентов дискретного преобразования Фурье последовательностей ]/ри)\ и {*рО)}

К(1) = Щкри)}, *>(/) = ЗЧ/^О)}, / = о,...,лг-1 (5)

где 5Я{-} - оператор прямого дискретного преобразования Фурье.

3. Формирование последовательности регуляризирующих

множителей

ад = к(/)Дк2(/)+«.$(/)), / = о.....лг-1, (6)

где Б(1)— элементы последовательности, формируемые по правилу:

[5(/-Дв), 1 = 0,...,N/2; Ь((^-0-Ав), ¡ = N/2+1.....ЛГ-1.

5(/)

(7)

Здесь = 2я7(ЛГД/) - шаг дискретизации в частотной области, а- параметр регуляризации. Функция Б(1) определяется на основе имеющейся априорной информации об искомом решении и шуме или исходя из требований к порядку регуляризации. Если задан порядок регуляризации/;, то

5(/-Да,) = ((1 + 1)-А„)2р, 1 = 0.....N12.

4. Определение коэффициентов дискретного преобразования Фурье ре-гуляризированного решения

5. Вычисление периодического регуляризированного решения

ФрссМ^Фра®}, 7=0.....N-1, (10)

где - оператор обратного дискретного преобразования Фурье.

6. Формирование^,- мерного вектора ср по правилу:

<Раи) = <Рраи + Щ), }=0.....1, (11)

где Если выполнено условие

(12)

то проекции вектора принимаются в качестве значений регуляризиро-ванного решения.

Основной проблемой .при построении регуляризированного решения является задача выбора параметра регуляризации особенно в случаях, когда дисперсия шума не известна.

В работе предлагаются два подхода к выбору параметра регуляризации. В первом из них параметр выбирается из условия минимума среднеквад-ратической ошибки решения, определяемой функционалом

где (рО) - последовательность, являющаяся решением дискретной свертки

rfe

- оператор математического ожидания. Значение а, минимизирующее функционал Д^(а) называется оптимальным и обозначается аор{. Решение задачи Д^ (а) требует существенной априорной информации, которой на практике экспериментатор зачастую не располагает. Поэтому с использованием метода L-кривой строится оценка для . В качестве принимается значение, достав-ляюгцее максимум кривизны параметрической кривой, заданной в координатах На основе дискретного преобразования Фурье предложен эффективный вычислительный алгоритм расчета L-кривой и искомой точки максимума кривизны. Проведенный вычислительный эксперимент показал, что предложенный алгоритм позволяет оценить с приемлемой точностью.

Второй подход основан на использовании введенных точностных характеристик и¿(а), и%(а). Характеристика [/¿(а) определяет квадрат нормы систематической ошибки и входит в соотношение

Характеристика определяет математическое ожидание квадрата слу-

чайной ошибки

М

Ы2] = и4(сс)<т%,

(15)

где - дисперсия шума измерения правой части. Показано, что оценки введенных характеристик могут быть рассчитаны по соответствующим формулам

Тогда среднеквадратическая ошибка решения интегрального уравнения свертки определяется соотношением

Важным свойством введенных характеристик является возможность их «априорного» вычисления, т.е. до выполнения самого регуляризирующего алгоритма. Это позволяет определить величину параметра регуляризации, исходя из требуемых значений точностных характеристик, то есть провести «синтез регуляризирующего алгоритма». Для этого сформулировано три вариационные задачи, решения которых могут быть приняты в качестве параметра регуляризации.

Решение задачи А:

nun а> О

in \jb(a)-b+U^(a)-(j^\,

(19)

является оценкой оптимального значения параметра регуляризации для классов решений и шумов, характеризуемых условиями

Решение задачи Р-

minUb(a) при U^(a) < U™1

(21)

минимизирует систематическую ошибку при гарантированной устойчиво сти решения к шуму измерения. Решение задачи С:

г max

mint/,*(а) при Ub{a)<,U™

(22)

минимизирует норму случайной ошибки решения при требуемой разрешающей способности алгоритма.

Для оценки дисперсии шума используемой в данном алгоритме,

предложен подход, учитывающий «высокочастотные» компоненты правой части уравнения (2):

Как первый, так и второй подход позволяют найти по некоторому интегральному показателю один параметр регуляризации для всех проекций в Фурье-области. Поэтому такие алгоритмы называют глобальными. Для подбора параметра для каждой из проекций используют алгоритмы, называемые локальными.

Во второй главе изложен разработанный автором локальный регуляри-зирующий алгоритме вычислением отношений«шум/сигнал». Доказана

Теорема 1. Оптимальное регуляризированное решение

Popt — 91" {Ф0р/}, доставляющее минимум среднеквадратической ошибке ^(.Фа) ~ М ^Раj' где - псевдорешение (решение

по методу наименьших квадратов) при точной правой части, допускает

4

представление

а величины

^(О^Д^О-Ф^/))2

(25)

трактуются как локальные отношения шум/сигнал, соответствующие проекции К( 1).

Алгоритм (24), (25) назван локальным оптимальным регуляризирую-гцим алгоритмом, так как в нем для каждойу-ой проекции вычисляется свой множитель Rppt(l) = • (1 + Sopt (/))] из условия минимума сред-

неквадратической ошибки решения. Поскольку псевдорешение Ф+, входящее в (12), неизвестно, предложена итерационная процедура уточнения локальных отношений шум/сигнал на основе полученных ранее приближенных решений.

Пусть некоторая оценка решения, Ф^ Тогда

где 1= 0,..., N-1; п=0, 1, 2, ... . Определим предельную точку последовательности решений Доказана следующая

»

Теорема 2: Пусть решение <рк ' определяется как>

т

ф <">(/>=

/¡^(/ни-я^'Ч/))

яо,

(28)

где элемент последовательности (26). Тогда, для любого началь-

ного приближения' существует предел lim = q>* - {Ф*}, где

Ф (/) = Ä (l)-F(l),

а регуляризирующие множители R*(l) вычисляются

(29)

R (/) =

т

--, если 1/4, 0^5(0)(/)<52(/);

^(/).(1 + S2(/))

-—, если 5+(/)<: 1/4, 5(0)(0 = ^2(0;

(30)

если 5+(/)^1/4, S(0)(O>S2(0."

Здесь

если 5+(/)>1/4.

(/) й 1S2 (0 - корни квадратного уравнения

Теорема2позволяет,невыполняяитераций(2б), (27), сразувычислитьпре-дельное значение* ирегуляризированноерешение

* _1 *

<р = <й '{Ф }.

(32)

Теорема 3. Если начальное приближение сходится к точному

псевдорешению, т.е. если М сто сходимость

М

0 при Oy 0, то имеет ме-

* —+ \<Р ~<Р i

->0 при Oy —>0.

(33)

На основании теорем 2, 3 решение <р названо локальным регуляризи-рованным решением интегрального уравнения с разностным ядром, а алгоритм (29)-(32) - локальным регуляризирующим алгоритмом с вычислением отношений шум/сигнал.

На рис.1 приведены» результаты численного эксперимента по решению интегрального уравнения с разностным ядром алгоритмами глобальной и локальной регуляризации. Ядро системы К имеет 50 отсчетов и число обусловленности

Относительный уровень шума 5%. Относительная среднеквадратиче-

ская ошибка локального •

решения Ф составила Д2(р*) = 0.014, что

меньше ошибки глобального решения — А2(<ра) = 0.061. На рис.2

приведена зависимость величины

которая показывает, на сколько локальное решение <р точнее глобального й> . Видно, что

при уровне шума решения

имеют практически одинаковую точность, а при меньшем уровне шуме предложенный локальный алгоритм существенно точнее глобального регуляризирующего алгоритма.

На графиках рис.1 видно, что найденные решения, как глобальные, так и локальные, имеют отрицательные значения и колебательные участки, которые отсутствовали в исходном решении. Для устранения этих недостатков разработаны дескриптивные регуляризирующие алгоритмы.

Третья глава посвящена алгоритмам, учитывающим априорную информацию о поведении восстанавливаемого сигнала. В задачах оптики, молекулярной газодинамики у исследователя зачастую имеется информация о поведении искомого решения - интервалы знакопостоянства, монотонности. Очевидно, что при построении регуляризированного решения необходимо учитывать эти данные. Такие алгоритмы получили название дескриптивных.

Разработан дескриптивный регуляризирующий алгоритм, учитывающий априорную информацию, задаваемую системой ограничений

Здесь О — матрица ограничений размером (Ь х М), д - вектор размерности Ь. Такой подход удобен с практической точки зрения благодаря тому, что с его помощью можно реализовывать любые ограничения как на сигнал в целом, так и на его отдельные проекции или интервалы значений. Входящий в (34) вектор решения размерностью М можно представить в виде^? = 5П~'Ф, где ЗГ'- матричный оператор обратного дискретного преобразования Фурье, а Ф — вектор решения в Фурье-области. Требованиям (34) удовлетворяет вектор Ф, который доставляет минимум сглаживающему функционалу

(Уа[Ф] = ^ФГ1)Ф+Ф Т<1 + сопП,

(35)

при ограничении < д. Здесь = —2(Л )', Л — локальные регуля-

ризирующие множители, вычисляемые по формуле (30), й = —2/*\. К прямой задаче (35) сформулирована двойственная по Лагранжу задача: найти решение Фа, доставляющее максимум функционалу:

¥а [XI = пнп Д ФТ £>Ф + ФГ<* + *Ф - ?) Ф 12

(36)

при ограничении ц>0. При фиксированном Ц целевая функция функционала (36) строго вогнута и достигает минимума по Ф в точке:

Ф*а=Фа-\к*ЪОт ц.

(37)

В этом случае, задачу (36) можно сформулировать следующим образом: *

найти вектпп »

> П пязмепя Т ттпг.тявттеттптттттй \ттпгн([лчп^тпгтгя [V

4

После выполнения процедуры минимизации (38) и вычисления ^ решение

1. *

Фв находится из выражения (37) при ц = Ц и состоит из двух слагаемых -решения , полученного алгоритмами глобальной или локальной регуля-

ризации, и вектора, зависящего от решения Ц двойственной задачи (38). Окончательно вектор дескриптивного локального регуляризированного решения находится как

Теорема 4. Вектор дескриптивного решения <ра, определяемый соотношением (39), имеетср ед некв адр атичес ку ю сходимость

м

I * -+

>0 при

о£-> 0.

В разработанном алгоритме все преобразования производятся в Фурье-области над вектором

и с учетом влияют на каждую из проекций вектора решения. Это позволяет получать более точные решения по сравнению с линейными регуляризи-рующими алгоритмами. Результаты численного эксперимента подтвердили этот вывод.

В вычислительном эксперименте решалось интегральное уравнение I рода с разностным ядром. В случае «гладкого» решения (рис.3) на него накладывались условия монотонности.

Ядро системы размером 50 и обусловленностью 1.3-105, средне-квадратическая ошибка глобального и дескриптивного локального решений составила соответственно В решении нарушения монотонности отсутствуют. В случае «импульсного» решения (рис.4) часть проек-

ций регуляризированного решения приняла отрицательные значения. Был применен алгоритм дескриптивной регуляризации, учитывающий априорную информацию вида <р^0 с системой ограничений вида —1<рй 0. В результате получено решение, не содержащее отрицательных проекций с от-

2 *

носительной среднеквадратической ошибкой Д (<ра) = 0.025 (и 2

А (?,а) = 0.13 для решения, не учитывающего априорную информацию). Исследовано влияние на восстанавливаемое решение совместного и раздельного применения ограничений типа знакопостоянство и монотонности на интервалах. В случае применения только одного вида условий средне-

квадратические ошибки решения имеют значения = 0.071 и

2 *

А = 0.075 соответственно, а при»одновременном их~ использовании 2 *

в то время, как исходное линейное регуляризированное 2

решение имело ошибку восстановления 'Д ((ра) =0.086. Кроме того, показана сходимость дескриптивных регуляризирующих алгоритмов.

В четвертой главе рассмотрено применение разработанных регуляри-зирующих алгоритмов к решению обратной задачи лазерной спектроскопии поглощения и излучения кристаллов. Данная задача сводится к решению интегрального уравнения с разностным ядром вида:

00

/<*•)= \<р{ лщх-луа, (40)

где - инструментальный контур, - спектр, наблюдаемый на

выходе спектрометрической системы во время сканирования. В связи с тем, что на практике инструментальный контур не имеет строгой формы колокола и, более того, может иметь несколько экстремумов, задача описывается интегральным уравнением Фредгольма с разностным ядром.

Неустойчивость решения уравнения (40) требует применения методов регуляризации. Особенностью реализации алгоритмов является необходимость центри-

15

1,2 1 0,8 3,6 •3,4 |3,2 0 13,2 0,4

1

\ 2 . / \ / г .

$ * • \ \ V'

» * « » 1 V % «

* / ' 1 • •

Л / / / \

, N / к /

V/

10

15

20

25 30 36 Номер проекции • Рис.5. Сигнал с датчика (кривая 1), оценка решения по линейному алгоритму (кривая 2) и дескриптивному алгоритму (кривая 3)

рования сигналов относительно точки нуля аппаратной функции спектрометра, что выполняется на этапе подготовки эксперимента.

Вычислительный эксперимент по восстановлению профиля входного сигнала при инструментальном контуре с числом обусловленности

cond(K) «4*10 показал увеличение точности решения при переходе от алгоритма глобальной регуляризации к дескриптивному алгоритму. На рис.5 представлен сигнал, поступающий со светового датчика (кривая 1) и оценки решения, построенные глобальным <ра и дескриптивным алгоритмами

I* *

<ра (графики 2 и 3, соответственно). Хотя при построении решения (ра учитывалась априорная информация о монотонности на интервалах, однако ее учет существенно уменьшил ошибку восстановления, и что еще более важно - найденное решение отвечает заданным требованиям и четко отражает положение линий спектра поглощения и излучения кристаллов.

В приложении 1 дано описание пакета прикладных программ Delon, предназначенного для решения интегральных уравнений с разностным ядром методами глобальной (с выбором ПР на основе метода перекрестной значимости и критерия L-кривой) и локальной регуляризации с вычислением отношений шум/сигнал, а также применением дескриптивных алгоритмов. Пакет можно использовать для выполнения вычислительных экспериментов указанными методами и проведения лабораторных работ по курсу «Вычислительная математика».

В приложении 2 представлен акт об использовании результатов диссертационной работы в ФГУП Сибирском научно-исследовательском институте метрологии (г. Новосибирск).

В заключении даны основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Введены точностные характеристики регуляризирующего алгоритма решения интегрального уравнения I рода с разностным ядром, определены нормы систематической и случайной ошибок решений. В терминах этих характеристик сформулированы три вариационные задачи выбора параметра регуляризации, допускающие простые физические трактовки.

2. Разработаны и исследованы особенности алгоритмов выбора параметра регуляризации по методу L-кривой и перекрестной значимости с применением дискретного преобразования Фурье.

3. Разработан алгоритм локальной регуляризации, в котором для каждой проекции спектра вычисляется свой регуляризирующий множитель. Для этого предложена итерационная процедура уточнения отношений шум/сигнал, входящих в регуляризирующие множители, и получены явные выражения для предельных точек этой процедуры.

4. Разработаны алгоритмы дескриптивной регуляризации, в которых учитывав! ся дополнительная априорная информация о характеристиках искомого решения, заданная системой линейных неравенств.

5. Разработан пакет прикладных программ, реализующий предложенные алгоритмы регуляризации.

6. Решена обратная задача лазерной спектроскопии излучения кристаллов с использованием алгоритмов локальной и дескриптивной регуляризации.

Результаты диссертационного исследования использованы при обработке результатов измерений в ФГУП Сибирском научно-исследовательском институте метрологии (г. Новосибирск), что подтверждено соответствующим актом о внедрении.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Втюрин К.А. Дескриптивные алгоритмы восстановления сигналов на основе дискретного преобразования Фурье// Сборник научных трудов НГТУ. - Новосибирск: НГТУ, 2000, - №5, с. 51-56.

2. Втюрин К.А. Исследование дескриптивных регуляризирующих алгоритмов восстановления сигналов// Дни науки НГТУ - 2000, материалы студенческой конференции, Новосибирск, 2000, с. 16.

3. Втюрин К.А. Регуляризирующий алгоритм с уточнением спектра решения// Наука. Техника. Инновации- 2001, материалы региональной научной конференции, Новосибирск: НГТУ, 2001, с. 7.

4. Втюрин К.А. Локальный регуляризирующий алгоритм восстановления сигналов// Труды НГАСУ. - Новосибирск: НГАСУ, 2002, - Т.5, с. 135139.

5. Втюрин К.А. Локальный регуляризирующий алгоритм идентификации импульсной переходной функции динамической системы// Материалы 59-ой научно-технической конференции НГАСУ. - Новосибирск: НГАСУ, 2002, с. 49.

6. Втюрин К.А. Дескриптивный алгоритм восстановления сигналов// Научно-технические проблемы в строительстве, материалы Всероссийской конференции, - Новосибирск: НГАСУ, 2003, с. 47.

7. Втюрин К.А. Регуляризирующий алгоритм восстановления сигналов с выбором параметра регуляризации по L-кривой // Сборник научных ipy-дов НГТУ. - Новосибирск: НГТУ, 2003, с. 41-49.

8. Voscoboinikov Vu.E., Vtyurin K.A. Parametric identification regularizing algorithms: accuracy characteristics and reguiarization parameter choosing // Moscow: MAI Special Publication, 2003, p. 18-2К(Регуляризирующт1е алгоритмы параметрической идентификации: точностные характеристики и выбор параметра регуляризации)

Подписано в печать .02.2004 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Печ. л. 1,25 Заказ № 6 У

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

ê -380 1

Введение

1 Глобальные регуляризирующие алгоритмы

1.1. Вспомогательные алгоритмы и соотношения.

1.2. Регуляризирующие алгоритмы.

1.3. Алгоритмы выбора параметра регуляризации.

1.3.1. Метод перекрестной значимости.

1.3.2. Критерий L-кривой.

1.4. Исследование эффективности методов выбора параметра регуляризации.

1.5. Точностные характеристики регуляризирующих алгоритмов.

1.6. Синтез регуляризирующих алгоритмов по заданным точностным характеристикам.

1.7. Оценка дисперсии шума и априорная информация

Результаты главы

2 Локальный регуляризирующий алгоритм

2.1. Оптимальный локальный регуляризирующий алгоритм

2.2. Итерационное уточнение отношений шум/сигнал».

2.3. Сходимость локально регуляризированных решений

2.4. Результаты вычислительного эксперимента.

Результаты главы

3 Дескриптивные регуляризирующие алгоритмы

3.1. Метод проецирования на допустимые множества

3.2. Построение дескриптивного решения методами квадратичного программирования.

3.3. Сравнение методов дескриптивной глобальной регуляризации

3.4. Алгоритм дескриптивной локальной регуляризации.

3.5. Результаты вычислительного эксперимента.

Результаты главы

4 Решение обратной задачи лазерной спектроскопии

4.1. Постановка задачи.

4.2. Приведение алгоритма регуляризации.

4.3. Вычислительный эксперимент по восстановлению профиля входного сигнала.

Результаты главы

Рассмотрим измерительную систему, описываемую интегральным уравнением первого рода с разностным ядром t f к{1-т)у{т) dr = f(t), которое определяет связь между входным cp(t) и выходным f(t) сигналами. Ядро системы k(t—r) задает динамическую характеристику преобразователя (инструмента измерения), f(t) - измеренный сигнал, называемый правой частью интегрального уравнения, cp(t) - неизвестный сигнал. В этом случае, обратная измерительная задача формулируется следующим образом: по зарегистрированному сигналу f(t) определить значение функции cp(t), т.е. решить интегральное уравнение относительно <p(t).

К решению интегральных уравнений с разностым ядром приводят многие задачи математической физики из таких областей как геофизика, гидро- и газодинамика, оптика и т.д. Решение интегральных уравнений с разностным ядром является одним из основных этапов в задачах параметрической и непараметрической идентификации динамических систем, обработки экспериментальных данных и численного анализа.

Основной базой для решения уравнения свертки является хорошо известное свойство преобразования Фурье, которое утверждает, что если К(ш), Ф(и) есть Фурье-образы функций k(t), cp(t), то Фурье-образ F(u) функции их свертки f(t) определяется как

Р(ш) = К(ш)Ф(и).

Откуда следует, что Фурье-образ решения и само решение имеют вид

•м - т

1 ~TF(u>)

На практике, как правая часть, так и ядро измеряются с некоторой случайной ошибкой k(t) = k(t) + f{t) = f(t) + £/(f), где £k(t) и £/(£) ~~ реализации случайных шумов, обусловленные погрешностями измерительной аппаратуры, шумами каналов связи, конечностью разрядной сетки вычислительных машин, приближенностью используемых моделей и т.д. В общем случае, обе реализации помех преобразуют, переводят в правую часть и обозначают £(£). Полученную суммарную реализацию £ (t) называют шумом измерения j(t) = m+m

В результате приходится решать уравнение вида t

J k(t-T)(p(r)dT = f{t). о

Формально, и в этом случае оценку решения можно получить обратным преобразованием Фурье:

Т) = / К (и) = fiiт)+i^Шexp^~iшт}dlJJ, где £{ш) - Фурье-образ шума £(£).

При этом возникает ряд трудностей, связанных с нарушением требований корректности Адамара [84]. Во-первых, функция ф[т) может не существовать, так как последний интеграл может быть расходящимся. Это объясняется разной скоростью сходимости к нулю К{ш) и при и —» со. Ввиду того, что спектр шума измерения S(u>) намного шире спектра ядра К (и), на высоких частотах £(и?)/К(и>) —> оо, поэтому это отношение может не иметь обратного преобразования Фурье. Во-вторых, если характеристики сигналов таковы, что функция £{oj)/К{ш) конечна и имеет обратное преобразование Фурье, то отклонение оценки <р(т) от точного решения может быть сколь угодно большим.

Задачи такого рода, где не выполнено одно или более из требований корректности Адамара, называются некорректными. Теория и методы решения некорректных задач получили широкое развитие после опубликования основополагающих работ А.Н.Тихонова [62, 63, 64]. Важным шагом в развитии методов решения некорректных задач было введение понятия регуляризированного решения.

В общем случае, для решения некорректно поставленных задач в первую очередь обращаются к методу наименьших квадратов (МНК). Псевдорешением (или решением МНК) называется вектор <рнк? который доставляет минимум квадратичному функционалу [67] в Фурье-области: 11^ - кщ2 = Е (Fj ~ Kfrf j=о среди всех векторов евклидова пространства Ем. Используя правила дифференцирования можно получить выражение для определения псевдорешения

К) • Фhkj = Kj • Fj.

К сожалению, алгоритм построения псевдорешения неустойчив к возмущениям правой части. Поэтому используют регуляризирующий подход, который состоит в поиске компромисса между соответствием правой части интегрального уравнения искомому решению и гладкостью этого решения. В общем случае, задача сводится к нахождению минимума функционала

Фа(Ф) = ||F - КФ\\2 + а\\ЦФ - тФ)||2, где а - параметр регуляризации, который должен быть выбран исследователем, ||£(Ф — тф)|| - гладкость регуляризированного решения, \\F — КФ\\ - невязка. Вектор является априорной оценкой Ф. Если априорная оценка отсутствует или не доступна для измерения, равен нулю. Если параметр регуляризации а равен нулю (исключается регуляризация), то функционал Фа(Ф) вырождается в Фя#(Ф), и оценкой решения становится псевдорешение.

Одним из авторов, описавшим схему, которая близка к методу регуляризации Тихонова, является Джеймс Райлей. В своей статье [90], он рассматривал некорректно поставленную задачу в виде системы уравнений = f с симметричными положительными коэффициентами матрицы, и предложил для решения использовать систему (k + oil)ip = f, где а - малая положительная константа. Одной из первых статей посвященной задачам в общем виде на эту тему была публикация Фил-липса [88]. Он определял к как квадратную матрицу из интегрального уравнения Фредгольма первого рода, a L как трехдиагональную матрицу tridiag(l, —2,1). Филлипс предложил вычислять регуляризирован-ное решение по формуле сра = (k + ak-TLTL)1f. Однако, здесь приходилось находить к-1. Твомей в своей статье [92] получил хорошо из-^ вестное выражение <ра = (ктк + aLTL)-1kTf, где L = tridiag(l,-2,l). Он также предложил включить априорную оценку но только при выборе L = I (единичная матрица), таким образом получив формулу <Ра = (kTk + al)"1^ + atrip).

В своих работах [62, 63] Тихонов описывает наиболее общий случай: он рассматривает задачу к(р = /, где <р и / являются функциями, а к -интегральным оператором. Для решения задачи такого вида был введен квадратичный функционал ф0(9) = 11/-ад|2+«ивд||2. где £1(<р) - стабилизирующий функционал, который зависит от поведения искомой функции (р и шума измерения. В этом методе, путем выбора соответствующего значения а, находится разумный компромисс между адекватностью найденного решения заданной правой части (первое слагаемое) и гладкостью (устойчивостью) этого решения (слагаемое Q(ip)).

Устойчивые решения можно получить с помощью методов регуляризации, которые подразделяются по форме задания априорной информации на детерминированные и статистические. В статистических регуляризирующих алгоритмах построение решений основано на статистической модели измерений и статистических способах задания априорной информации об искомом решении, которые носят вероятностный характер. К ним относятся байесовский регуляризирующий алгоритм [37, 56, 73], и оптимальные решающие процедуры [2, 38, 43, 44, 69, 70, 71]. В регуляризирующих алгоритмах детерминизм выражается в постановке задачи, в алгоритме построения и отборе устойчивых решений. Он определяется способом задания априорной информации, выбором метрик как правой части, так и решения. К детерминированным относятся, методы квазирешений, невязки, регуляризации А.Н.Тихонова [40, 62, 63, 65, 66].

Одной из проблем, возникающей при использовании регуляризирующих алгоритмов, основанных на регуляризации А.Н.Тихонова, является выбор параметра регуляризации а, который вводится в алгоритмы для компенсации существующей неопределенности о характеристиках искомого решения. Изменяя его, можно получить приемлемую точность найденного регуляризированного решения. В основном, существующие алгоритмы выбора параметра регуляризации можно разделить на три группы: алгоритмы, использующие априорную информацию (принцип невязки [34, 51], условие оптимальности [22]); алгоритмы не требующие знания какой-либо дополнительной информации (метод перекрестной значимости [74, 81, 82], метод L-кривой [77, 78, 79, 85]); алгоритмы, для которых необходимо задать точностные характеристики [57]). Необходимо отметить, что последний пункт вынесен отдельно, ввиду того, что используемая в этих алгоритмах информация относится не к сигналам или измерительной системе, а к алгоритму в целом.

Все описанные выше алгоритмы работают с одним управляющим ре-гуляризирующим параметром. Поэтому они получили название глобальных. Применение такого подхода для сигналов в частотной области означает, что все решение подвергается воздействию стабилизатора, которое одинаково на протяжении всего спектра. Очевидно, что повысить точность регуляризированных решений можно, перейдя к методам локальной регуляризации. В связи с этим все большее распространение получают локальные регуляризирующие алгоритмы. Термин «локальные» указывает на то, что скалярный параметр регуляризации в таких алгоритмах заменен некоторой функцией, зависящей от аргумента искомого решения. Такой подход выгодно отличается от методов глобальной регуляризации с точки зрения точности решения и предлагается в данной работе для восстановления сигналов в системах, описываемых уравнением свертки.

Другой способ повышения точности приближенных решений заключается в использовании априорной качественной и количественной информации о характеристиках искомого решения.

Во многих задачах математической физики в качестве априорной информации можно взять известные данные о гладкости решения. В ряде обратных задач геофизики, астрофизики, диагностики плазмы известно, что искомые функции обладают свойством монотонности или выпуклости. Поиск решения, с применением информации такого рода, называют дескриптивной регуляризацией. Термин «дескриптивная регуляризация», объединяет те методы решения некорректно поставленных задач, в которых принципы регуляризации сочетаются с такой качественной информацией о решении, как знакоположительность, монотонность, выпуклость, наличие экстремумов и т.д. Субъективной базой этой информации являются, как правило, интуитивные предположения о простоте структуры искомого решения, а объективной - априори известные общие представления о поведении изучаемого процесса. При работе с негладкими функциями (прямоугольной, треугольной, трапецеидальной формы), которые часто встречаются в приложениях, регуляризированные решения, построенные линейными методами, даже при малом уровне шума содержат осцилляции и принимают, например, отрицательные нефизические значения [36, 59]. Очевидно, что в этих случаях высокочастотная составляющая решения плохо восстановлена, либо вообще исключена из решения. Применение дескриптивных методов регуляризации позволяет устранить такие явления и дает возможность восстановить «тонкую» структуру решения. Дескриптивные методы, в большинстве своем, нелинейны. Можно сказать, что эти методы обладают более высокой разрешающей способностью, по сравнению с линейными регуляризирующи-ми алгоритмами. К сожалению, в литературе отсутствуют описания дескриптивных регуляризирующих алгоритмов для решения интегральных уравнений с разностным ядром на основе дискретного преобразования Фурье.

В диссертационной работе предлагаются новые подходы к построению:

• локальных регуляризирующих алгоритмов, в которых вместо одного параметра регуляризации вводится набор параметров, позволяющих проводить более «тонкую» настройку регуляризирующих алгоритмов;

• дескриптивных регуляризирующих алгоритмов, позволяющих учитывать дополнительную качественную и количественную информацию об искомом решении.

Цель работы заключается в разработке и исследовании нелинейных регуляризирующих алгоритмов решения интегральных уравнений первого рода с разностным ядром. В соответствии с указанной целью в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

1) разработка эффективных глобальных регуляризирующих алгоритмов с выбором параметра регуляризации по точностным характеристикам и L-кривой на основе дискретного преобразования Фурье;

2) разработка локального регуляризирующего алгоритма решения интегрального уравнения с разностным ядром, с уточнением отношений «шум/сигнал»;

3) разработка эффективного нелинейного регуляризирующего алгоритма решения уравнения типа свертки, учитывающего априорную информацию о характеристиках искомого решения;

4) создание алгоритмического и программного обеспечения и решение на его основе практической задачи.

Методы исследований основаны на применении аппарата линейной алгебры, теории сигналов, теории некорректных задач, теории вероятностей и математической статистики, нелинейного программирования и цифрового моделирования.

Научная новизна заключается в следующем:

1) разработан алгоритм локальной регуляризации, в котором для каждого коэффициента дискретного преобразования Фурье решения вычисляется свой регуляризирующий множитель как предельная точка итерационной процедуры уточнения отношений «шум/сигнал»;

2) разработаны эффективные алгоритмы выбора параметра регуляризации по методам L-кривой и перекрестной значимости для решения интегральных уравнений с разностным ядром;

3) предложены аналитические выражения для выбора параметра регуляризации исходя из задаваемых точностных характеристик алгоритма восстановления решения интегральных уравнений с разностным ядром;

4) разработан эффективный дескриптивный регуляризирующий алгоритм, учитывающий априорные ограничения на решение, задаваемые системой линейных неравенств.

Достоверность результатов, полученных аналитически, подтверждается компьтерным моделированием с использованием стандартных и разработанных тестовых примеров, учитывающих специфику задач прикладной спектроскопии, а также согласованностью полученных данных с результатами работ других авторов.

Практическая ценность состоит в том, что:

1) полученные теоретические результаты являются основой для численной реализации построения локальных и дескриптивных регуляризи-рованных решений при различном объеме априорной информации;

2) на основе разработанных алгоритмов решена задача восстановления спектров излучения кристаллов по данным лазерной спектроскопии;

3) разработан пакет прикладных программ, предназначенных для решения интегральных уравнений с разностным ядром методами глобальной, локальной и дескриптивной регуляризации, который может быть использован в составе математического обеспечения в различных системах обработки экспериментальных данных.

Таким образом, на защиту выносятся:

1) алгоритм выбора параметра регуляризации по критерию L-кривой и по требуемым точностным характеристикам регуляризирующего алгоритма;

2) локальный регуляризирующий алгоритм с вычислением отношений шум/сигнал;

3) алгоритм нелинейной регуляризации, учитывающий априорные ограничения на искомое решение, задаваемые системой линейных неравенств.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на конференции "Дни науки НГТУ - 2000" (Новосибирск, НГТУ, 2000), на региональной научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых "Наука. Техника. Инновации - 2001" (Новосибирск, НГТУ, 2001), на 59-ой научно-технической конференции НГАСУ (Новосибирск, НГАСУ, 2001), на Всероссийской конференции "Научно-технические проблемы в строительстве" (Новосибирск, НГАСУ,

2002), на 4-ой международной конференции "Обратные задачи: Идентификация, Проектирование, Управление" (Москва, МАИ, 2003).

Публикации. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [25]- [31], [93].

Структура и объем диссертациии. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 96 наименований и двух приложений. Объем диссертации составляет 128 страниц.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Выполнено исследование особенностей существующих алгоритмов выбора глобального параметра регуляризации. Введены величины, характеризующие систематическую и случайную ошибки, а также среднеквадратическую ошибку глобального решения. Важным свойством этих параметров является возможность определения параметра регуляризации до выполнения самого регуляризирующего алгоритма. Это позволило разработать алгоритмы выбора параметра регуляризации по требуемым значениям точностных характеристик.

2. Разработан алгоритм локальной регуляризации, в котором для каждой проекции дискретного преобразования Фурье системы вычисляется свой регуляризирующий множитель. Для этого была предложена итерационная процедура уточнения отношения шум/сигнал, которое входит в регуляризирующие множители. Кроме того, были получены явные выражения для определения предельных точек итерационной процедуры, что позволило снизить вычислительные затраты.

3. Разработан алгоритм дескриптивной глобальной и локальной регуляризации с использованием методов математического программирования, в которых учитывается дополнительная простейшая априорная информация о характеристиках восстанавливаемого сигнала.

4. Разработан пакет прикладных программ, предназначенный для решения следующих задач:

• решения интегральных уравнений с разностным ядром алгоритмами глобальной регуляризации (метод перекрестной значимости, критерий L-кривой, точностные характеристики), локальной регуляризации с уточнением отношений шум/сигнал, дескриптивными алгоритмами;

• проведения вычислительных экспериментов по решению интегральных уравнений с разностным ядром первого рода алгоритмами глобальной и локальной регуляризации;

• проведения лабораторных работ по курсам «Численные методы» и «Вычислительная математика».

5. Решена обратная задача лазерной спектроскопии излучения и поглощения кристаллов с использованием алгоритмов локальной и дескриптивной регуляризации, что позволило существенно повысить точность восстанавливаемых профилей и снизить вероятность ложного определения спектральных линий. Акт о внедрении результатов диссертационной работы на предприятии ФГУП Сибирский научно-исследовательский институт метрологии (г. Новосибирск) представлен в приложении.

1. Анисимов А.С., Чикильдин Г.П. Алгоритмы преобразования линейных математических моделей. - Новосибирск: Издательство НГТУ, 1996. - 93 с.

2. Арефьева М.В. Некоторые ассимтотические оценки оптимальной погрешности для уравнений типа свертки// ЖВМиМФ, 1975, т.15, №5, с.1310-1317.

3. Арсенин В.Я., Загонов В.П., Трахониотовская Р.А. О численном решении интегральных уравнений I рода типа свертки на нерав-намерных сетках. Препринт №141. М: Изд-во института прикладной математики АН СССР, 1978.

4. Арсенин В.Я., Криксин Ю.А., Тимонов А.А. Метод локальной регуляризации линейных операторных уравнений I рода и его приложения// ЖВМиМФ, 1988, т.28, №6, с.793-802.

5. Арсенин В.Я., Тимонов А.А. О построении регуляризующихоператоров, близких к оптимальному, для одномерных и многомерных интегральных уравнений I рода типа свертки// Докл. АН СССР, -1985. т.284,№6, с.1289-1293.

6. Ахманов С.А., Коротеев Н.И. Методы нелинейной оптики в спектроскопии рассеяния света. М: Наука, 1981.

7. Базара М., Шетхи К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы // Пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 584 с.

8. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М: Высшая школа, 1988. - 448 с.

9. Васин В.В. Методы решения неустойчивых задач. Екатеринбург: Наука, 1989.

10. Васин В.В. Методы решения операторных уравнений с априорной информацией / В кн. «Численные методы и оптимизация». Таллин, 1988. - с.70-80.

11. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993. - 264 с.

12. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М: Наука, 1969.

13. Возенкрафт Дж., Джекобе И. Теоретические основы техники связи. М: Мир, 1969.

14. Воскобойников Ю.Е. Критерий оптимальности построения статистически регуляризующих алгоритмов при решении линейных некорректно поставленных задач. В кн.:Некоторые обратные задачи атомной физики. Новосибирск: изд. ИТПМ СО АН СССР, 1976, с. 96-105.

15. Воскобойников Ю.Е. Методы решения некорректных задач параметрической идентификации: Учебное пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1996. - 90 с.

16. Воскобойников Ю.Е. Оценивание оптимального параметра ре-гуляризующего алгоритма восстановления изображений// Автометрия. 1995. - №3. - с.64-72.

17. Воскобойников Ю.Е. Регуляризующий алгортим обращения уравнения Абеля// ИФЖ, 1980. - т.34, №. - с.270-274.

18. Воскобойников Ю.Е. Эффективный алгоритм решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений // Автометрия. 1988. - №5. - с.104-110.

19. Воскобойников Ю.Е., Мухина И.Н. Локальные регуляризующие алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений. Препринт №1(1). Новосибирск: Изд-во НГАСУ, 2001. - Збс.

20. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г. Построение дескриптивного решения обратной задачи теплопроводности в базисе В-сплайнов// ИФЖ. 1983. - т.45, №5. - с.760-765.

21. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников

22. А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. Новосибирск: Наука, 1984, 238 с.

23. Воскобойников Ю.Е., Томсонс Я.Я. Алгоритм численного решения интегрального уравнения 1-го рода типа свертки. В кн.: Алгоритмы обработки теплофизического эксперимента. Новосибирск: изд. Института теплофизики СО АН СССР, 1975, с.23-60.

24. Воскобойников Ю.Е., Томсонс Я.Я. Построение регуляризован-ного решения одной обратной задачи теплопроводности при случайных ошибках в исходных данных// ИФЖ, 1997, т.ЗЗ, №6, с. 10961102.

25. Втюрин К. А. Дескриптивные алгоритмы восстановления сигналов на основе дискретного преобразования Фурье// Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 2000, - №5, с. 51-56.

26. Втюрин К.А. Исследование дескриптивных регуляризирующих алгоритмов восстановления сигналов// Дни науки НГТУ 2000, материалы студенческой конференции, Новосибирск, 2000, с. 16.

27. Втюрин К.А. Регуляризирующий алгоритм с уточнением спектра решения// Наука. Техника. Инновации 2001, материалы региональной научной конференции, Новосибирск: НГТУ, 2001, с. 7.

28. Втюрин К.А. Втюрин К.А. Локальный регуляризирующий алгоритм восстановления сигналов// Труды НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ, 2002, - Т.5, с. 135-139.

29. Втюрин К.А. Локальный регуляризирующий алгоритм идентификации импульсной переходной функции динамической системы//Материалы 59-ой научно-технической конференции НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ, 2002, с. 49.

30. Втюрин К.А. Дескриптивный алгоритм восстановления сигналов// Научно-технические проблемы в строительстве, материалы Всероссийской конференции, Новосибирск: НГАСУ, 2003, с. 47.

31. Втюрин К.А. Регуляризирующий алгоритм восстановления сигналов с выбором параметра регуляризации по L-кривой // Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 2003, с. 41-49.

32. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М: Наука, 1972, 872 с.

33. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М: Радио и связь, 1986.

34. Гончарский А.В., Леонов А.С. и др. О регуляризации некорректных задач с приближенно заданным оператором// ЖВМиМФ, 1974, т.14, №4, с.1022-1027.

35. Гончарский А.В., Леонов А.С. и др. Обобщенный принцип невязки// ЖВМиМФ, 1973, т.13, №2, с.294-302.

36. Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М: Наука, 1978.

37. Жуковский Е.Л. Статистическая регуляризация алгебраических систем уравнений// ЖВМиМФ, 1973, т.12, №2, с.185-191.

38. Жуковский Е.Л., Морозов В.А. О последовательной байесовской регуляризации алгебраических систем уравнений// ЖВМиМФ, 1972, т.12, №2, с.464-465.

39. Заикин П.Н., Меченов А.С. Некоторые вопросы численной реализации регуляризирующего алгоритма для линейных интегральных уравнений. В кн.: Вычислительные методы и программирование. М: МГУ, 1973, вып.21.

40. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М: Наука, 1978. - 206 с.

41. Колмогоров А.И., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1972.

42. Кочетов И.И. О новом способе выбора параметра регуляризации// ЖВМиМФ, 1976, т.16, №2, с.499-503.

43. Куке Я.П., Ольман В. Минимаксная линейная оценка коэффициентов регрессии// Известия АН ЭССР, 1972, т.21, №1, с.66-72.

44. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М: Наука, 1991. - 331 с.

45. Леонов А.С. О критериях выбора параметра регуляризации при решении некорректных задач / Сб. под ред. А.Н. Тихонова. Новосибирск: Наука, 1982.

46. Леонов А.С., Ягола А.Г. Метод L-кривой всегда дает неустранимую систематическую ошибку// Вестн. Моск. ун-та. Физ.Астрон., 1997, т 3, №6, с.17-19.

47. Летохов B.C., Чеботаев В.П. Принципы нелинейной лазерной спектроскопии. М: Мир, 1975.

48. Марпл Дж. Мл. Цифровой спектральный анализ и его применение. М: Мир, 1985.

49. Миберн Дж. Обнаружение и спектрометрия слабых источников света. М: Мир, 1979.

50. Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов. Л: Наука, 1983. «

51. Морозов В.А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации// ЖВМиМФ, 1968, т.8, №2, с.295-309.

52. Морозов В.А. Об оптимальной регуляризации операторных уравнений// ЖВМиМФ, 1979, т.10, №4, с.818-829.

53. Морозов В.А., Гольдман Н.Л. Об алгоритмах дескриптивной регуляризации решений интегральных уравнений Фредгольма I рода. М.: Изд-во МГУ, 1976. с.52-72.

54. Морозов В.А., Гольдман Н.Л., Самарин М.К. Метод дескриптивной регуляризации и качество приближенных решений// ИФЖ, 1977, т.33, №6, с.1117-1120.

55. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач М: Наука, 1992. - 319 с.

56. Муравьев М.В. Об оптимальных и предельных свойствах байесовского решения системы линейных алгебраических уравнений// ЖВМиМФ, 1973, т.13, №4, с.819-828.

57. Мухина И.Н. Точностные характеристики алгоритма решения систем линейных уравнений// Сборник научных трудов НГТУ. Но-восиборск: Изд-во НГТУ, 2000, №5(22), с.39-44.

58. Сизиков B.C. Анализ методов локальной регуляризации и формулировка методов субоптимальной фильтрации решения уравнений I рода// ЖВМиМФ, 1999, т.39, №5, с.718-733.

59. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г., Тамбовцев Б.З. Статистическая регуляризация и некоторые новые методы решения условно-корректных задач. В кн: Некорректные обратные задачи атомной физики. Новосибирск: изд. ИТПМ СО АН СССР, 1976, с.17-33.

60. Рабинер JI., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М: Мир, 1978.

61. Тамбовцев Б.З., Дробышевич В.И. О восстановлении истинного контура спектральной линии из реальных измерений// Журнал прикладной спектроскопии. 1976. - т.24, №2, с.310-315.

62. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач// Докл. АН СССР, 1963, т.153, №1, с.49-52.

63. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации// Докл. АН СССР, 1963, т.153, №3, с.501-504.

64. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач// Докл. АН СССР, 1943, т.39, №5, с.195-198.

65. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М: Наука, 1979. - 288 с.

66. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В. и др. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М: Наука, 1988.

67. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В. и др. Численные методы решения некорректных задач. М: Наука, 1990.

68. Турчин В.Ф., Туровцева JI.C. Восстановление оптических спектров и других неотрицательных функций по методу статистической регуляризации// Оптика и спектроскопия. 1974. - т.36, №2. - с.280-287.

69. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1982. - 189 с.

70. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1990. - 279 с.

71. Федотов A.M. Оптимальные линейные решающие процедуры для линейных операторных уравнений со случайными данными.// ЖВ-МиМФ, 1981, т.21, №5, с.66-72.

72. Турчин В.Ф., Туровцева Л.С. Восстановление оптических спектров и других неотрицательных функций по методу статистической регуляризации. Опт. и спектр., 1974, т.36, №2, с. 280-287.

73. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М: Мир, 1975. - 688 с.

74. Allen D.M. Mean square error of predication as an criterion for selecting variables// Technometrics. 1973, v.13, №3, pp.469-475.

75. Allen D.M. The relationship between variable selection and data augmentation and method for prediction// Technometrics. 1974, v.16, №1, pp.125-127.

76. Bertero M., Dovi V. Regularized and positive-constrained inverse methods in the problem of object restoration// Opt. Act. 1981. - v.28, №12, pp.1635-1649.

77. Carasso A.S. Overcoming Holder discontinuity in ill-posed continuation problems// SIAM J. Numer. Anal. 1994, №31, pp.1535-1557.

78. Chen L.Y., Chen J.T., etc. Application of Cesaro mean and the Incurve for the deconvolution problem// Soil Dynamics and Earthquake Engineering 1995, №14, pp.361-373.

79. Engl H.W., Gfrerer H. A posteriori parameter choice methods for general methods for solving linear ill-posed problems// Appl. Numer. Math. 1988, №4, pp.395-417.

80. Engl H.W., Gfrerer H. Using the L-curve for determining optimal regularization parameter// Appl. Numer. Math. 1994, №69, pp.25-31.

81. Golub G.H., Heath M., Wahba G. Generalized cross validation as a method for choosing a good ridge parameter// Technometrics. 1979, v.21, pp.215-222.

82. Graven C., Wahba G. Smoothing noisy date with spline functions: estimating the correct degree of smoothing by the method of generalized cross validation// Numer. Math. 1979, v.31, №3, pp.377-403.

83. Gubin L.G., Polyak B.T., Raik E.V. The method of projection for finding the common point of convex sets// Comput.Math.&Math.Phis. 1967. - v.7, №6. - p.1-24.

84. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derives particlee lineaires hyperbolique. Paris: Hermann, 1932.

85. Hansen P.C. Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve// SIAM Review. 1999, v.34, pp.561-580.

86. Hansen P.C. Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems// SIAM Review, Philadelphia, 1998.

87. Herman G.T., Lent A., Lutz P. Relaxation methods for image reconstruction// Commun.ACM-21. 1978. - p.152-158.

88. Phillips D.L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind// J. Assoc. Comput. Mach., 1962, v.9, pp. 84-97.

89. Podilchuk C.I., Mammone R.J. Image recovery by convex projections using a least square constraint// Journal of Optical Society of American Academy. 1990. - v.7, №3. - p.517-521.

90. Riley J.D. Solving systems of liner equations with a positive definite, symmetric, but possibly ill-conditioned matrix// Math. Tables Aids Comput., 1955, v.9, pp. 96-101.

91. Sullivan B.J., Katsaggelos А.К. New termination rule for linear iterative image restoration algorithms// Optical Engineering. 1990. - v.29,№5. - pp. 471-477.

92. Twomey S. On the numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind by inversion of the linear system produced by quadrature// J. Assoc. Comput. Mach., 1963, v.19, pp. 97-101.

93. Wahba G., Wold S. A completely automatic trench curve: fitting spline functions by cross validation// Comm. Statist., 1975, v.4, №1, pp.1-17.

94. Youla D.C. Generalized image restoration by the method of alternating orthogonal projections // IEEE Trans. Circuits Syst. CS-25. 1978. -p.694-702.

95. Youla D.C., Webb H. Image restoration by the method of convex projections // IEEE Trans. Medical Imaging. 1982. - v.MI-1, №2. -p.81-103.