автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Нелинейные алгоритмы и программное обеспечение решения обратных задач

На правах рукописи

Кисленко Николай Петрович

НЕЛИНЕЙНЫЕ АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ

Специальность - 05.13.16 -применение вычислительно? техники, математического моделирования и математических методов в научных исследования^'

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание уч°чой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 1997

Работа выполнена в Новосибирском государственном архитектурно-строительном университете

Научный руководитель: доктор физико-математичеилм науц

профессор Ю.Е. Воскобойников

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор A.A. С., ¿к тор

кандидат физико-математических наук, с.н.с. В.Н. Попов

Ведущая организация: Институт математики СО РАН

С и

Защита состоится: "30" 199? г. в И часов на заседании

лиссертаци шного совета Д 063.34.03 Новосибирского государственного технического университета по а, ,>есу: 030087, г. Новосибирск, пр.

Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан "¿9" 199? г.

/

Ученый секретарь /. .

диссертационного совета к.т.н., доцент /' О Чикильдин Г П

НГАСУ.Т.Ю0 экз.З.» 263,1997.

Актуальность i -:мы

Определяющим фактором повышении томности приближенного решена неустойчивой задами является использование дополнительной jnpn-рной информации, когда, помимо обычных предположений об уровне по-решности и гладкости решения, привлекаются дополнительные сведения характерных свойствах шемия. Существенно, что при этой исходно инейная задача зачастую становится нелинейной, и для ее решения тре-уется привлечение соответствующих методов нелинейного программи-овэиия.

Актуальность теоретической и практической разработки алгоритмов. 4итывающих априорную информацию, привела к появлению в последние гсятиле-. 1Я значительного чи<~ла публикаций и монографий, в которых 1сс м а три вал ас о данная проблема - в частности, эго работы А Н. Титова и A.B. Гончарского, R.A. Морозова и А.И. Гребенникова, W М. аврентьева, В.К. Иванова, В.В. Васина и других авторов.

Параметры регуляризации, входящие в регуляризирующие алгорит мы, ряде случаев не i >гут быть достоверно оценены известными методами 1и такая оценка требует значительного об ема отс> гствующей на прак-1ке априорной информации. Выбор параметров регуляризации в таких туациях будем называть выбором в условиях априорной неопрчделен-»cmu. В работе предлагается подход к адаптации регуляризирующих горитмов в у ювиях априорной неопределенности, основанный на свой-ве орто! эиальности оптимальных оценок и позволяющий строи гь раз-чные регугчризованные решения путем соответствующего определения известных величин, входящих в минимизируемый функционал. Предлагаемые методы и алгоритмы позволяют в определенной мере »решит! проблемы выбооа параме трое регуляризирующих алгоритмор «ффектииного использования задаваемой в различных формах а^риор-* ^формации о решении.

Цель раСоты

Разработка методов и алгоритмов решения некорректных задач ин терпретации результатов пряных и косвенных измерениГ, исполк">уюи,и> априорную информацию о решении, разрабо- ка подхода к адаптации регу-ляризирующих алгоритмов пс параметрам регуляризации в условиях апри орной неопределенности. . . ' .

Эта oбщdя цель включает в себя следующие за„ач :

1. Разработка алгоритмов построения дескриптивного сплайна с заданными ограничениями и ограничениями на точностные характеристики

2. Разработка статистических рекуррентных алгоритмов решенш СЛАУ, учитывающих вприорную информацию статистического й детерминированного характ ера и построемие адаптивных рекуррентных алгоритмов решения СЛАУ.

3. Разработка адаптивных алгебраических алгоритмов решения зада« восстановления изображений по проекционным данным.

4. Создание программного обеспечения, реализующего разработанные алгоритмы и применимого к решению т актических задач.

5. Решение научно-технических задач, а именно:

- задача обработки данных аэродинамического эксперимента;

- задача обработки полей скоростей по данным Р1У-метода;

- задача определения оптимально, о полеж ния осей строительны: объектов;

- обратная задача лазерного гаэоанализа;

- обратная кинематическая задача дл>. среды с непрозрачн 'М1 включениями.

Научная новнзна

1. Предложен вариационный подход к задаче построения дескриптив ного сплайна, разработан алгоритм его построения, предложен подхо] к выбору параметра сглаживания дескриптивного сплайна на основе ча сготной моде."ч сглаживающего сплайна.

2. Предложены статистические рекуррентные алгоритмы решения СЛАУ, позволяющие учитывать априорную информацию об искомом решении качественного и количественного вида.

3. Предложен подход к построению адаптивных регуляризирующих алгоритмов решения СЛАУ.

4. Предложен вариационный подход к построению регуляризирующих алгоритмов решения задачи восггансчления изображений по проекцион ным данным, построены адаптивные рекуррентные алгори. мы решения данной задачи.

Практическая значимость работы

1. Предложенные подходы к адаптации и разработанные критерии адаптации могу" использоваться как теоретическая основа для построения алгоритмов параметрической идентификации различиях динамических объектов (Р объектов, АР-объектов).

2. Создан пакет ппикладных программ "Сплайн 3", реализующий алгоритмы построения сплайн-приближений и позволяющий решать практические задачи в данной области.

3. Создан пакет прикладных программ "Ракурс", реализующий пред ложенные рекуррентные алгоритмы решения задачи восстановления изо бражений по проекционным данным.

4. Решен ряд научно-технических задач, а именно:

- задача обработки данных аэродинамического эксперимента;

- задача обработки по^ей скоростей ю данным Р1\/-метода;

- задача определения оптимального положения осей строительных объектов,"

- обратная задача лазерного газоанализа;

- обратная синематическая задача для среды с .епропачными включение 1И.

Обоснованность достоверность полученных в работе рез"льтатоа

обеспечивается применением аналитических методов исследования 1 подтверждается результатами вычислительных экспериментов.

Основные защищаемые положения

1. Вариационный подход к алгоритмам построения дескриптивногс сглаживающего сплайна. Выбор парамс ~ра сглаживания из точнгтгнь» характеристик сплайна.

2. Адаптивные рекуррентные алгоритмы решения плохо обусловлен ных и вырожденных СЛАУ с априорной неопределенностью.

3. Алгоритмы построения дескриптивных решений плохо обусловленных и вырожденных СЛАУ.

4. Адаптивные алгебраические алгоритмы задачи восстановления изображений по проекциям.

5. Созданное программное обеспечение в виде пакетов прикладных программ "Сплайн-3" и "Ракурс".

6. Результаты решения научно-технических задач.

Апробация результатов

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в работах [1]-[12] и докладывались на:

- 10-ой Международной Байкальской школе-семинаре, "Ме.оды оптимизации и их приложения", Иркутск, 14-19 августа 1995 г.

- 34-ой Международной научной конференции "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 23-25 апреля 1996 г.

- Втором Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-96), посвященном памяти А.А. Пяпунова, А.П. Ершова, И.А. Полетаева, Новосибирск, 25-30 июня 1996 г.

- Международной конференции памяти акад. А.Н Тих«..юва "Обратные и некорректно поставленньг задачи'', ^сква, 10-13 сентября 1995 г..

- Международной конференции "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, 25-30 август^ 1997 г.

— Международной научно-технической конференции "Научные основы высоких технологий", Новосибирск, 16-18 сентябпя 1997 г.

Личный вклад автора в публикации [1]-[12] состоит в разработке подхода к адаптации алгоритмов восстановления изображений по проекциям и построении соответствующих адглтивных алгоритмов, численном исследовании предлагаемых алгоритмов, сознании программного обеспечения • •'.'..

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений, изложенных на 192 страницах машинописного текста, списка литературы, содержащего 94 наименования, и 53 рисункоп.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, состояние вопроса, постановки рассматриваем IX задач, ставится цель и основные задачи исследования, раскрывается научная новизна и практическая ценность работы, формулируются основные положения, выносимые на защиту.

В первоь главе работы рассматривается построение дескриптивных приближений на основе аппарата сглаживающих сплайнов. С использование«.. частотной модели сглаживающего сплайна рассматривается пост[ ение дескриптивны» приближений с за. .анными точностными характеристиками.

В пункте 1.1 излагают^,! необходимые для построения дескр>..1тив-1'ого сплайна сведения из теории кубических сплайнов. Сглаживающий кубическ 'й сплайн представляет собой полином третьей ст.пени в1.да

5„,а(а;) = а> г - х¿) + с;(а: - х¿V* + й^х - x¿)3, хг ^ х < ®« + 1» » = 1, • . • , п ~ 1

с двум« первыми непрерывными ».роизводными.

В вариационной постановке 5п,а(х) определяете« из условия мини1 ма функционала

Гы(5, /) = а 7\\3"(х)\\2ёх + ± (/; - ЗпМ)2РТ* ( - «=1

где /; - измеренные значения в узлах Х{ сетки измерений, р, > О - ве вые множители, а > 0 - параметр сглаживания. Получены матричн выражения для определенна коэффициентов представления (1) сглажш ющего кубического сплайна.

В пункте 1.2 формулируется вариационная задача построения спл; на, минимизирующего (2) при заданной системе ограничений

а? < < г е /г, (

где £)'■ - оператор дифференцирования порядка /¿, = 0,1,2; 1Т - ш жество, состоящее из .ЛГР индексов, где ЛГг - общее число ограничен! 1Г С {1,2....,п}, - соответственно, нижняя и верхняя Г[

ницы. Такой сплайн назван дескриптивным. Данный подход позволя одновременно учесть априорную информацию о функции /(х) в разл* ных формах, включая значения первых двух производных и ограничен типа равенств при = , а также, при недостаточной априорной » формаций о приближаемой функции, построить сплайн соответствующ выбором параметра сглаживания а.

Показано, что система ограничений (3) может быть пред^гавлена виде

Со,¿Я) если I, = О, £>''5,.а(®0 = если к = 1, (

я, если = 2,

где через Г>1,|, обозначены 1-е строки введенных в рабо

матриц Ио, й = | ^„.„(а;!),... ,5„,„(жп) |г - вектор значен

сглаживающего сплайна в узлах сетки.

Представление (4) позволяет переписать ограничения (3) в виде (Г < » < <Г\ где мгтрица О размерностью /V, X « составлена из строк » = 1,2,..., Л/,.

Показано, что задача построения дескриптивного сплайна сводится к ^аче квадратичного программированич

тхп {\8тиаз + ати + ?гП (5)

при ограничениях сР < Оя < <Р>

е IIа — 2(а£? + Р). и = -2Р/, Р - диагональная матрица весов, трица <Э выражается через матрицы, определенные при построении лаживающего сплайна, / - вектор измеренных значений. Доказывает-существование и единственность дескриптивного сплайна, излагается горитм его построения на основе решения двойственной по Лагранжу дачи.

В пункте 1.3 предложены два подхода к выбору параметра сглажи-ния дескриптивнс го сплайна:

выбор параметра, мини* пирующего среднеквадратическую ошибку лаживания на основе критерия оптимальности сглаживания экспери-¡нтальных данных;

выбор параметра по заданным ог, эничениям на точностные характе-1стики сплайна.

В рамках второго подхода строится частотная модель кубического лаживающего сплайна, позволяющая содержательно интерпретировать фактериСтики сплайна в терминах измерительных систем. С-лажива-щи1. сплайн Бп^'х) представл.етс» как выходной сигнал дискретно-слогового фильтра, на вход которого поступает последовательность /«}. состоящая из измеренных значений. Сглаживающие свойства та-зго фильтра однозначно определяются его частотной характеристикой Г„(ы), построенной в рабо" е. Аппаратная функция /»„(х) сплайна, ха-актеризующая систематическую ошибку сглаживания и ди^ференциро-

в<:.1ия, связана с На(ш) преобразование*. Фурье вида Мх) - 1 На(ш)ехр{шх)(1х.

21Г '

В качестве характеристик аппаратной функции рассматриваются ее ширина иа на уровне 0.4 от максимального значен..«, т.е.

6„ = 2тах{х : х > О, иа(х) < 0.4На(0)\

и дисперсии к — 1,2 случайных ошибок вычисления производных

/<»(*):

= ^ /1 I

где Гч(о>) - О-преобразование дискретной корреляционнс : функции шу-иа.

С учетом противоречивого влияния параметра к иа величины систематической и случайной ошибок, ьыбор параметра а рассмг тривается как задача построения сплайна с задэ.ииыйи ограничениями иа точностные характеристики. Формулируютй слейу>Ь1Цве вариационные глдачм:

Задача 1: <

Задача 2; пр* ограни*«..« 6а< .

Решение задачи I дает сплайн с максимальным разрешением (минимальная систематическая ошибка) при уровне дисперсии вЫчйсления кой производной f{x). Решение задачи 2 минимизирует дисперсию при гарантированном значении Ширины аппаратной функций. До: э-за но утверждение об условиях существования й единственности решения этих задач.

Пункт 1.4 посвящен результатам вычислительного эксперимента Демонстрируются возможности дескриптивного сплайна по учету апри орной информа: ни о приближаемой функции й ее производных, а так же методика выбора параметра сглаживания, обеспечивак щая требуемы! точностные харктеристики сплайна.

1П

• N - ••

На рис. I приведён сглаживающий -плайм, приближающий и* 1нтервале [0,0] значения функции f(x) = +

ieajpt-^^-}, измеренные в точках х; = 6(<-l)/(«-r 1). п = <0 й «скажечные аддитивным шумом с дисперсией trf = (Btnat J ft | /2)*, -де S - уровень шума. Данная пункция содержит участки с существенно изменяющимися значениями первой произ одной. На p.tс. 7 показан дескриптивный сплайн, построенный при тех же условиях и м^миых ограничениях S'(x) > Г, если х £ [0,4], S'(x) < О, если х 6 [4,6].. Видно, что дескрип, ивный сплайн удовлетворяет имеющим« представлением о приближаемой функции, отраженным а ограничениях.

Вторая глава посвящена проблеме л строения устойчивого решения вырожденных и плохо обусловленных СЛАУ. Предлагаете« piр алгоритмов построения регуляризо jиного решения СЛАУ с ислолмовамием априорной информации качественного и количественного вида я подход к построению адаптивных рекуррентных алгоритмов. ^ .

В пункте 2.1 чаются основные определения, связанные с построением устойчивого решения пгоу.о обусловленной или вырожденной СЛАУ вида

= (в)

где матрица К имеет размер N X LI, tp, f - векторы искомого решения и правой части соответствующей размерности. Предполагается, что вместо "точной" правой части задан "измеренный" вектор / = / + •}. где г} - вектор погрешностей измерения.

В пункте 2.2 рассм?трнвгются основные свойства существующих регуляризирующих алгоритмов в применении их к задаче решения СЛАУ. Г'0(сматрипаются как детерминированные (метод квазирешений, метод чгвязки, мртод А Н. Тихонова), ток и статистические (байесовский алгоритм, регуляризирующий алгоритм при неполной априорной информации) методы регуляризации. АнаЛ^ируется ропь априорной информации в построении регуляризованных решений.

В ьуяжте 2.3 яредла'-ается рекуррентный алгоритм построения pe-

ll

гуляризованного решения общего в 1да. В качестве регульризованного решение системы (б) принимаете« вектор <ра, доставляющей минимум функционалу

Г-М =11 t-K* Ww, + all V - Ww . (7)

где || f II*. = ip' Wpip, матрицы Wj, Wv неотрицательно определены и имеют размерность N X N. М X М соответственно, tnv - et¿Top размерности М, a - параметр регуляризации. Можно показать, что вектор ipa является решением системы алгебраических уравнений вида

(qW„ + KTWfK)ipn = KTWff f- aWvmv (8)

.i это решение при а > 0 единственно, если нуль-пространства мэтрии 1 i 2

и Wy ÍC не имеют общих аекторов. В зависимости, от способ i определен"* матриц W¡, Wv ло имеющейся- априорной информации, из этих общих соотношений могут быть получены решения, соответствующие различным существующим методам регуляризации, например, приняв, что Wf — параметр a не задан, W^ - симметричная ма трица, определяемая требуемым порядком регуляризации, приходим к ре шению при неполной априорной информации.

Если известно, что искомое решение v удовлетворяет неравенству 3 = то, используя процедуру рандо-

мизации, получаем байесовскую оценку при

, vl,«"'» + <fil,ma* PM,uiin + фЛ1,та* _t.ii/ _ л/-

m*> — I-2-' " ''--2™ I Í Q — А' "V — 1 v

'.• ((Vi — ¥l,min) (<PM,muz ~ V>M,miu) . = dtag{-----------1-

Предложен рекуррентный алгоритм решения систеум (0) следующего вида:

р(«+|) _ р(п) _ JUI^IÍ^JTL.

= vi:0 + 3£r*í+.</nfi - (9)

pw = =

где fc„ - п ая строка матрицы К, а матрицу Р(п) можно интерпретировать как корреляционную ьатричу случайной ошибки решения = ipM — МГу^п)] Доказано следующее утверждение Вектор V'L"^- определяемый рекуррентным алгоритмом (9), является решением системы (8) при п = N и W¡ = V~x, где Vn ~ diag {а*,..., crf,), cr? - дисперсия погрешности измерения i-ой проекции вектора правой части

Далее в работе строится нелинейный регуляризирующий алгоритм решения (б) с априорными ограничениями, заданными з виде

Vi,mi., < <Pj < Vj.max, j = 1,...,M. (10)

Для введения ограничений (10) в регуляризирующий алгоритм используется метод проекций на выпуклые множества.

Построенный алгоритм (9) имеет хорошую вычислительную эффективность и может обрабатывать данные'в реальном масштабе времени, но проблемой остается высокая чувствительность,к величине параметра регуляризации, что характерно и для других регуляризирующих алгоритмов.

Поэтому в пункте 2.4 предлагается подход к построению адаптиа-пых рекуррентных алгоритмов решения плохо обусловленных и вырожденных СЛАУ. Адаптивный алгоритм способен в процессе решения уточнять згачения- априори неизвестных параметров регуляризации.

Теоретической основой адаптации является свойство ортогональности оптимальных оценок, а именно: если рекуррентная оценка доставляет минимум среднеквадратической ошибке (СКО), определяемой функционалом Д2(п) = М[|| — v? (|2], где М[]~ оператор математического ожидания по ансамблю случайных ьекторс ¡ и шум »j подчиняется нормальному рг пределению, то выполняются условия

М^ = М[в<")/Д= 1, j = l,^...,n, (11)

где = /п+1 - В качестве обобщенного кр|. герия оптн

1.1

мальности используется выборочный функционал вида

Мп) = 7 £ <е(я'ЛЛ п > А <12)

с объемом эыбор*и Л. Введя величину

м .-г „ Ч*

л. -II и=11 и{п) н= 15: г .

¡=11=1

где ст* - дисперсии шума измерений, алгоритм (9) мо,.;но переписать в

виде

(М

" -- ''»"и — и

„<»> = 1) + д, -

Показано, что функционал (12) можно записать в виде

Л(») = ¿^<>2 -+ 60, (14)

где Ь, = | . *«■ Ь1 = I . ?

^ = к - +1 ' ^ = и —¿-4-1 *

*„ = /„ - к = /^.я*»;^.

Доказано утверждение:

Минимум функционала (14) достигается р'точке /3„ = Дд,, = гп+\/к„гп и величина функционала в точке минимума равна 0.

Таким образом, включив при некотором п = п® адаптацию, вычисляя на каждом шаге оп" имальный параметр /Зп и используя соотношения (13), мы можем осуществить работу адаптивного алгоритма.

В пункте 2.5 рассматриваются возможности построения статистических рекуррентных алгоритмов решения СЛАУ с использованием раз-яичных метрик.

В частности, предлагается рекуррентный алгоритм в метрике основанный на минимизам.ии ре уляризирующею функционала

= £ 'А.Г-М + а|| ^ - тПф ¡;\ ¿=1 о-;

". м

имеющий вид

_ v{n) ,__Pg(n)fcLj--

** Va +kn+iPa(n)kT+t + *i\ii| " о/ bri Pnjn)i^+1kn+iPa(n) .

+ (15)

= mv, Pa(0) = (aHV)'1;

{eit сам j ei |> e, e * aigh(ei)t <

если I а |< e, e сг В пункте 2.6 1редяагаетса подход к построению дескриптивного решения СЛАУ (6) на основе сингулярного разложения. Метод учитывает априорную информацию о принадлежности решениа <р аыяу сложу множеству.

Дескриптивным решением системы (6) называется вектор <р*. минимизирующий функционал

F„M = I! / - Kip \\*щ + a|j V - m, при ограничениях Gip < д.

Благодаря: а) сведению исходной задачи квадратичного программирования к двойственной по Лагранму задаче; б) использованию для решение двойственной Задачи сингулярного разложения матрицы системы, был построен эффективный вычислительный алгоритм нахождения дескриптивного решения.

В пункте 2.7 выполнены исследования эффективности предложенных ре«урреищых алгоритмов на о^ iobi вычислительных экспериментов. 0г. ~ановимсв на некоторых их результатах. На рис. 3 приведены ошибки — Н V(ai — v ll/il f> II ЛЯ' уровней шума «г = 0.01, 0.2 при использовании рекуррентного алгоритма (9) с неолтимальиым значением a л адаптивного рекуррентного алгоритма (13). Адаптация включалась на шаге ng = 10. объем выборки L = 8, использована матрица К размерность«» X 10 с числом обусловленности ~ 10е. Рисунок показывает существенное -овышеяк« Точности решения адаптивным алгоритмом.

м

В третьей главе предложены адаптивные алгебраические алгоритмы задачи восстановлениг сигналов и изображений по томографическим данным, описаны возможности Улучшения качества восстановленных изображений на основе комбинированных фильтров.

В пункте 3.1 рассматривается томографическая задача диагностики полупрозрачных сред, описы аемая интегральным уравнением первого роча

/]у у)6(р - X ео¡в - у «п0)с(х¿у = f(p, в), (16)

где 1р(х,у) - функция, характеризующая исследуемые свойства объект"* (например, функция распределения коэффициента поглощения в двумерной области У), 6(*) - дельта-функция Дирака, в - угол регистрации проекционных данных, /(/?, 0) - прое ционные Данные. Алгебраические алгоритмы восстановления функции <р(ж,у) основаны на представлении _<р(х, у) в виде разложения.

м

<р(х,у) = I, <р^(х,-у)

.7=1

по базисные функциям ф^{х,у). Таким образом, задача решения урав- . ненил (16) сводится к решению системы уравнений

= (17)

В пункте 3.2 исследуется построение алгебраических алгоритмов восстановления. Рассматриваются критерии оптимизации, используемые при оценке вектора (р, способы введения априорной информации в алгоритмы восстановления. Даете,г классификация и краткий обзор существующих в настоящее зремя матричных и строчных алгоритмов восста- • ногления.

В пункте 3.3 регуляризованное решение <рп системы (17) находится из условия минимума функционала

= II /- К? + а|| *> - т,

где а, тгьр, И^, имеют тот же смысл, что и в функционале (7). Решение <ра можно найти, используя матричные или строчные алгоритмы. Так как параметр ос априори неизвестен,.в работе предложен подход к адаптации как матричных, так и строчных алгоритмов восстановления на основе свойства ортогональности оптимальных оценок.

В частности, работу ппедлагаемого адаптивного строчного алгоритма можно представить в следующее виде:

Для п = 0,1,2,...(т»5 — 1 регуляри?иванное решение строится при некотором а по соотношениям

/3„(а) = --1 —; 0 < А„ < 2;

-п(а) = /¿(п+1 - < *(.+1),¥><Г> > -а<+1)2И>); . (18)

. 4:)+1)+/зп(а)в„(а), .

где г - вектор размерности N. кца) означае+ »-ую строку матрицы К, выбранную на итерации с номером п, /¿(п) используемая на пой итерации проекция вектора / проекционных данных. Далее, при п = + 1,..., вычисляется з очение а„, доставл: ющее мини-

мум нелинейному функционалу

1„(а) = 1„2(у„+х - /3„_,(а)/»пУ„ - дп-1(а)Нпг£-1})Я, (19)

где ^ = = "74,• У" =

А», - Уп+1 = /¡,.+1) - Ъ,.-».*»«"^ /3„_,(а) =

1 , ч А"-1а<^„>

9п~1(а) = и вычисляетс"

решение по формулам (18) при значении о = а„.

Пункт 3.4 посвящен постобработке изображений, полуденных с помощью алгебраических алгоритмов релонстр;, :ции. Постобработка применяется с целью подавления артефактов, обусловленных случайной ошибкой восстановления. Предложены нелинейные алгоритмы обработ-

ки изображений существенно уменьшающие уровень случайной ошибки решение при практически неизменном уровне систематической ошибки.

В пункте 3,5 при водя тс« результаты вычислительного эксперимента, посвященного восстановлению изображений по томографическим данным с помощью предложенных адаптивных алгоритмог

На рис. 4 представлена гистограмма частот ошибок восстановления строчным алгоритмом при а — аиат — 15 и а = а, которое оценивалось из минимума функционала (19), число итераций равно 200. Видно, что ошибки восстановления распределены в одной области, однако, для адаптивного алгоритма наблюдается некоторое увеличение частоты для ббльших ошибок восстановлен!"*. Это видно из значений выборочных средних: 0.1506 и 0.1586 соответственно.

Четвертая глава посвящена решению практических научно-технических задач.

В пункте 4.1 дано решение задачи обработки данных эксперимента в аэродинамической трубе. Показано, что использование дескриптивных сплайнов существенно повышает точность восстановления зависимости аэродинамических коэффициентов от угла атаки воздушного потока.

В пункте 4.2 решена задача обработки полей скоростей по данным Р1У-метода. Восстановленное векторное поле скоростей было обработано при помощи комбинированной нелинейной фильтрации выбросов и сглаживания двумерным сглаживающим сплайном. Применение данной обра ботки позволило существенно улучшить качество восстановления "тонких деталей" поля скоростей.

В пункте 4.3 дано решение задачи определения оптимального положения оси крупногабаритной вращающейся печи по результатам практических измерений на основе предложенных в главе 2 оек,ррентных алго ритмов. Было получено устойчивое к анома ->ным измерениям решение, что важно на практике.

В пункте 4.4 решена обратная задача .азерного газоанализа, г именно, по исходным данным, полученным с помощью С0: лазерного

газоанализатора, предложенными реку >рентнь ми алгоритмами решения СЛАУ восстаноьлены концентрации газов в смеси с достаточно высокой точностью.

В пункте 4.5 с помощью итерационных алгоритмов обращения преобразования Радона решена обратная кинематическая задача для среды с непрозрачными включег 1Ями, заключающаяся в восстановлении распределения скоростных характеристик среды земной кора по результатам измерении времени пробега волнового > игнала меж у парами источников и п; иемников сигнала. Данный подход способен, эффективно учитывать наличие непрозрачны* поглощающих объектов, таких, как волноводы, скопления углеводородов и т.п.

В приложении 1 дано описание пакета прикладных программ "СплаПн-З", предназначенного для сглаживания и дифференцирования экспериментальных данных с помощью сплайн-приближений.

В приложении 2 описан пакет прикладных программ "Ракурс", реализующий предлагаемые алгоритмы решения обратной задачи восстановления изображений по проекционным данным.

Пакеты прогртмм рассчитаны на работу в операционной системе DOS версии 2.0 и выше, с процессором 80286 и выше, видеоадаптером VGA или SVGA

Заключена j

Представленная диссертационная работа отражает результаты исследований автора в области постооения устойчивых алгоритмов решения некорректных задач интерпретации результатов прямых и косвенных измерений с испо льзованием априорной информации об искомом решении.

В диссертации приводятся методы и алгоритмы решения этих задач С помощью созданного программного обеспечения получены ^ешенш ряда практических "аучно-технических з-цач.

Исследования проводились на кафедре прикладной матема.ики НГА-СУ в период 1994 - 1997 гг.

Основные резу/ьтаты диссертационной работы сводятся к следующему:

1. Предложен вариационный подход к задаче построения дескриптивного сплайнз, разработан алгоритм его построения, предложен подход к выбору параметра сглаживания дескриптивного сплайш на основе частотной модели сглаживающего сплайна.

2. Предложены статистические рекуррентные алгоритмы реь ения СЛАУ, позволяющие учитывать априорную информацию об искомом решении, предложен подход к построению адаптивных регуляризирующих алгоритмов решения СЛАУ.

3. Предложен вариационный подход к построению регуляризирующих алгоритмов решения задачи восстановления изображений г,о проекцион ным данным, построены адаптивные рекуррентные алгори мы решен! д данной задачи.

4. Проведены численные исследования построенных алгоритмов, показывающие достоверность полученных результатов.

5. Создано программное обеспечение в виде двух пакетов прикладных программ, реализующих алгоритмы построения сплайн-приближений и алгоритмы восстановления изображений по проекционным данным.

6. Решен ряд практических научно-технических задач, а именно:

- задача обработки данных аэродинамического эксперимента;

- задача обработки полей скоростей по данным Р1\/-метоца,

- задача определения оптимального положения осей строительных

*

объектов;

- обратная задала лазерного газоанализа;

- обратная кинематическая задача для среды с непрозрачными включениями.

Разработанные методы и алгоритмы могут служить основой для дальнейших исследований в области построения регуляризируюи,нх алгоритмов решен! л обратных задач с использованием а. риорной информации, а также успешно применяться при решении конкретных практических за-

дач.

Основные материалы диссертации onyf тикованы в сльду-ющих работах:

I Воскобойников Ю.Е., Кисленкс Н.П. - Методы построения дескриптивны- сплайнов - Тезисы докладов 10-й Международной Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения", Иркутск, 1995 .

2. Воскобойников Ю.Е., Кисленко Н.П. - Пакет прикладных программ "Сплайн-2" построения кубических сплайнов • Тезисы докладов 10-й Международной Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения", Иркутск, 1995

3. Yu.E. Voskoboinikov, N.P.Kislenko - An effective regubrization algorithm with mixed ft and norms - Abstracts of International conference dedicated to the memory of acddemian A.N. Tikhonov, - Moscow, September 10-13, 1996, pp.. 19M94

4. Кисленко Н.П. - Mi годы построения дескриптивных сплайно* * Материалы 34 международной научной конференции "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 1996, с. 34-35

5. Воскобойников Ю.Е., Иванов 'Л.С., Кисленко Н.П., Мосейчук О.Н.

- Эффективные алгоритмы вычисления и обработки полей скоростей по данным PIV-методэ //Автометрия, 1996, N 3. с. 34-45

6. Yu.E. Voskoboinikov. M.S. Ivanov, N.P.Kislenko, O.N. Moseych k

- Effective algorithm of PIV images processing //Optoel., Instr. nd Data Process.. 1996, N 3

7. Асташенков Г.Г., Воскобойников Ю.Е., Кисленко Н.П. - Статистические рекуррентные алгоритмы определения оптимального положения осей строительных объектов //Известия ВУЗов, 1996, N 5

8. Воскобойников Ю.Е., Касьянова С.Н., Кисленко Н.1., Трофимов О.Е. - Использование алгоритмов нелинейной фильтрации aj..i улучшения качества восстановленных томографических изображений //Автометрия,

1997, N 3

9. Воскобойников Ю.с„ Кисленко Н.П - Адаптивный реку; рентный регуляризирующий алгоритм решения задач восстановления сигналов и изображений //Автометрия, 1997, N 4

10. Воскобойников Ю.Е., Зеркаль С.М., Кисленко Н.П., Бурштейн А Л - Томографическая зада-л с ограничениями на систему наблюдений - Тезисы межд. конференции ' Матг гатические модели и методы их исследования' , Красноярск, 1997

П. ВоскобоГжиков ЮЕ., Кисленко Н.П. - Адаптивный алгебраи ческий алгоритм восстановления изображений по томографическим даг - Тезисы международной научно-технической конференции "Научные основы высоких технологий", Новосибирск, 1997 г.

12. Кисленко Н.П. - Адаптивны)" рекуррентный алгоритм решения задач восстановления сигна-эв и изображений - Тезисы международной научно-технической конференции "Научные основы высоких технологий", Новосибирск, 1997 г.

Прнложеале

\

Г.п' 1ла'Ни'»».' «А»' {.»''*!»"«■«'»''' Г*'

. ...............................

М* Ш I." »:■ «« *Я «■■ >.■

Рис. 1

Рже. а

Гистограмма частот

\

V

\Высапй1 уроаемь ; шуи»:

нзкмй у,к вень V 3 - рек. мг. (Ц

N. 4-iftnt.ur.p3)

- рек.а«г. (91 \

- адипт.алг. (13| . •

49

19

Л1

II

■ епт.аар. 9 «пват.я**

ШМ

«изо а« на

Оти. <

Рис. 3

Рве» 4