автореферат диссертации по электронике, 05.27.01, диссертация на тему:Прямая и обратная задачи в анализе профилированных поверхностей в режиме регистрации обратно рассеянных электронов

{

\

На правах рукописи

ФИРСОВА Алиса Анатольевна

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ В АНАЛИЗЕ ПРОФИЛИРОВАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В РЕЖИМЕ РЕГИСТРАЦИИ ОБРАТНО РАССЕЯННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ

Специальность 05.27.01-твердотельная электроника, микроэлектроника и наноэлектроника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Черноголовка 1995

Работа выполнена в Институте проблем технологии микроэлектроники и особочистых материалов РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Н.Г. Ушаков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Т.И. Савелова, кандидат физико-математических наук В.Г. Еременко

Ведущая организация: Московский Государственный Университет

Защита состоится "</ " 1995 г. в на заседании

диссертационного совета К.003.90.01 при Институте проблем технологии микроэлектроники и особочистых материалов РАН по адресу: 142432, Московская обл., П.Черноголовка, ИПТМ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем технологии микроэлектроники и особочистых материалов РАН.

Автореферат разослан " Л " /¿¿¿¿¿/Су 1995 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К.003.90.П1

© Институт проблем технологии микроэлектроники и особо чистых материалов РАН

кандидат химических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.

Растровая электронная микроскопия как один из основных методов исследования свойств поверхности твердого тела получила широкое распространение благодаря созданию микроскопов с высоким (до нескольких нанометров) разрешением. В последнее время растровый электронный микроскоп все больше используется как измерительное средство, что предъявляет повышенные требования к получению количественной информации о структуре изучаемого объекта.

Диаметр электронного пучка в современных растровых электронных микроскопах может достигать единиц нанометров, в то время как размер зоны генерации сигнала вследствие многократного рассеяния электронов может быть несколько микрон. Таким образом, при наличии субмикронного рельефа вид сигнала определяется ке параметрами пучка, а характером взаимодействия электронов с рельефной поверхностью, что требует:

• построения физических и математических моделей на основе детального изучения процессов формирования сигналов, несущих информацию о микрогеомегрии поверхности (как правило, сигналов вторичных и обратно рассеянных электронов);

• разработки численных алгоритмов для решения возникающих обратных задач.

Разработке различных моделей формирования сигналов вторичных и обратно рассеянных электронов уделяло внимание большое количество исследователей. Однако, как правило, акцент во всех этих работах делался лишь на точность модели и решение так называемой прямой задачи - расчету сигнала от известного рельефа - и совсем (или почти совсем) не предусматривалась возможность решения обратной задачи - восстановления профиля поверхности по измеренному сигналу.

Таким образом, актуальность задачи восстановления микрорельефа поверхности по РЭМ-сигналу, которая включает в себя в равной степени и этап разработки математической модели и этап решения обратной задачи, значительно возросла в последние годы в связи с переходом растровой электронной микроскопии на субмикронный уровень.

Цель работы.

• Построение математической модели формирования сигнала обратно рассеянных электронов (ОРЭ) в растровом электронном микроскопе от микрорельефа поверхности.

• Изучение возникающего нелинейного интегрального уравнения, описывающего зависимость сигнала ОРЭ от микрорельефа поверхности.

• Доказательство существования регуляризирующего оператора для данного уравнения.

• Построение численного алгоритма для решения обратной задачи.

• Решение модельных задач по восстановлению профиля поверхности на основе предложенной итерационной процедуры.

• Обработка экспериментальных данных.

Научная новизна работы.

• Построена и исследована математическая модель формирования сигнала обратно рассеянных электронов в растровом электронном микроскопе. Показано, что модель достаточно хорошо описывает процесс формирования сигнала в широком диапазоне ускоряющих напряжений и пригодна для решения обратной задачи.

• На основе предложенной модели дано объяснение и количественное описание эффекта изменения эмиссии обратно рассеянных электронов от шероховатых поверхностей при изменении ускоряющего напряжения.

• Проведено детальное исследование интегрального уравнения, описывающего зависимость РЭМ-сигнапа от микрогеометрии поверхности. Показано, что данное уравнение относится к классу некорректно поставленных задач.

• Предложен метод решения обратной задачи, основанный на построении монотонной итерационной последовательности. Доказано, что данный метод является регуляризирующим.

Практическая ценность.

• На модельных примерах и сравнением с экспериментальными данными показано, что исследуемая модель формирования сигнала обратно рассеянных электронов характеризуется приемлемой точностью для различных условий эксперимента.

• Для решения возникающего нелинейного интегрального уравнения предложен принципиально новый метод монотонной регуляризации.

• Численный алгоритм, разработанный на основе предложенного метода, успешно применен для восстановления профилей поверхностей модельных и реальных объектов.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Математическая модель формирования сигнала обратно рассеянных электронов от микрогеометрии поверхности в растровом электронном микроскопе.

2. Численный алгоритм решения возникающего нелинейного интегрального уравнения сигнала.

3. Доказательство сходимости предложенной итерационной схемы.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. II международный конгресс по электронной микроскопии, Киото, Япония, 1986.

2. Всесоюзная конференция "Физические методы исследования поверхности и диагностика материалов и элементов вычислительной техники", Кишинев, 1986.

3. I Всесоюзная конференция "Физические и физико-химические основы микроэлектроники", Вильнюс, 1987.

4. XXV Осенняя школа "Электронная микроскопия тонких пленок и тонко пленочных систем", Халле, ГДР, 1987.

5. VIII Всесоюзная конференция по электронной микроскопии, Сумы, 1987.

6. V Международная конференция по численному анализу полупроводниковых приборов и интегральных схем, Дублин, Ирландия, 1987.

7. XXIX Весенняя школа по растровой электронной микроскопии, Халле, ГДР, 1990.

8. VII Всесоюзный симпозиум по растровой электронной микроскопии и аналитическим методам исследования твердых тел (РЭМ-91), Звенигород, 1991.

9. Конференция "Обратные и некорректно поставленные задачи", Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.ВЛомоносова, 1995.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и перечня цитируемои литературы наименований). Объем

диссертации составляет ¿Of страниц, включая Л/^ рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертационной работы, описываются цели, структура диссертации и ее краткое содержание.

В первой главе дается анализ существующих моделей формирования сигнала обратно рассеянных электронов от микрорельефа поверхности. Показано, что, как правило, упомянутые модели, позволяя качественно моделировать сигнал обратно рассеянных электронов, обладают по крайней мере одним из двух недостатков:

• они либо недостаточно информативны, то есть не в полной мере учитывают все факторы, влияющие на формирование сигнала, вследствие чего их применение ограничено достаточно узким диапазоном условий эксперимента. Примером может служить широко используемое в микроскопии эмпирическое соотношение, описывающее зависимость эмиссии от изменения угла наклона поверхности 5 = б0БСса, (8о - значение коэффициента вторичной эмиссии при а = 0, а а - угол между направлением падения пучка и нормалью к поверхности). Разбивая поверхность с рельефом на отдельные участки с постоянным наклоном, можно по известному значению 5 определить наклон поверхности в каждой точке и тем самым восстановить рельеф (то есть фактически решить обратную задачу). Однако, все эти рассуждения справедливы до тех пор, пока размер зоны генерации сигнала меньше размера исследуемых неоднородностей и сигнал, формируемый от любого из рассматриваемых участков, не зависит от наклона соседних.

• либо слишком громоздки и, позволяя с большой степенью точности моделировать сигнал от заданного профиля, не оставляют никакой возможности для решения обратной задачи - восстановления неизвестного профиля поверхности по известному сигналу обратно рассеянных электронов. Примером здесь может служить модель формирования сигнала для частных элементов рельефа, развиваемая в работах Никитина и др. Модель основана

на детальном анализе потоков электронов через грани рассматриваемого элемента и позволяет точно рассчитать сигнал. Однако, эта же детальность приводит к очень громоздким уравнениям сигнала и делает невозможным решение обратной задачи.

Далее в работе делается вывод о необходимости создания универсальной (то есть позволяющей решать как прямую так и обратную задачи) математической модели формирования сигнала ОРЭ от поверхности с микрорельефом и предлагается новая математическая модель, которая характеризуется высокой точностью для широкого диапазона значений размера зоны генерации сигнала, высокой чувствительностью к мелким неоднородностям (порядка нескольких нанометров) и позволяет решить обратную задачу -восстановить профиль поверхности по измеренному сигналу.

Рассмотрим процесс формирования сигнала ОРЭ от микрорельефа поверхности. Электроны пучка, имеющие одинаковое направление движения и скорость, падают на поверхность исследуемого объекта, проникают вглубь и блуждают в образце, испытывая соударения с атомами, теряя энергию и меняя направление случайным образом. Часть электронов полностью теряет энергию внутри образца, другая часть покидает образец и дает вклад в сигнал. Так как общее число электронов велико, можно считать, что сигнал пропорционален вероятности вылета электрона из образца.

В случае бесконечно тонкого пучка, падающего на поверхность в точке с координатами (хо, уо), эта вероятность связана с регистрируемым сигналом следующим уравнением:

(X У ) 00 00 00

Т<Хх-хъ,у-уй,1-/{х,у))с1хс1ус12 (1)

1+ (х0,у0) —СО —со —со

где г|(хо, уо) - регистрируемый сигнал в точке с координатами (хо, уо) (вероятность вылета электронов); /(х, у)- функция, описывающая профиль поверхности;

гг, Ч 1 ✓ (У~*0>2 (У-^оЛ К(х, у) = —у ехр (--------);

2тгст 2 2

= .

Параметр I представляет собой транспортную глубину и может быть рассчитан по известным формулам. Дать точное выражение для параметра л значительно сложнее, поэтому его значение вычисляется по известному коэффициенту ОРЭ от гладкой поверхности и известному значению параметра /.

В случае, когда пучок не является бесконечно тонким и характеризуется некоторым распределением интенсивности С(х, у), возникает дополнительное уравнение:

00 00

—О0 —00

где г|к(хо,>'о) - число эмитированных образцом электронов в случае падения реального пучка в точку с координатами (л, _уо); г|(х, у) - то же самое для бесконечно тонкого пучка.

Последнее уравнение, представляющее собой уравнение свертки, достаточно хорошо изучено, и для его решения существуют стандартные алгоритмы, поэтому в дальнейшем оно не рассматривается.

Следующие несколько параграфов диссертационной работы посвящены анализу модели (1) с точки зрения ее точности, качественного и количественного соответствия реальному физическому процессу.

Одним из наиболее мощных и достоверных методов изучения процессов рассеяния электронов в образце является метод Монте-Карло, в основе которого лежат известные вероятностные законы взаимодействия электрона с атомами образца. Поэтому в диссертации уделяется достаточно большое внимание сравнению результатов расчета сигнала ОРЭ по предлагаемой модели с результатами, полученными методом МонтегКарло для различных профилей поверхности. Результаты такого сравнения для сигналов от наклонной ступеньки приведены на рис. 1.

л

.5 .4

.3

.2.1-

-2 -1 х/11 1

а)

Ь=Ш2 б)

-2 -1 х/Ы 1

Л

.5.4.3 .2.1-

в)

-2

Л х/К I 2

2

Рис. 1. Сравнение сигналов ОРЭ от наклонной ступеньки, рассчитанных по модели (1) (сплошная линия) и по методу Монте-Карло (пунктирная линия).

В качестве материала был выбран алюминий, угол наклона ступеньки равнялся 40°, энергия первичного пучка 30 кэВ, а высота ступеньки варьировалась таким образом, чтобы размер зоны генерации сигнала К был значительно больше (рис. 1а), больше (рис. 16) и равен (рис. 1в) высоте ступеньки /г. Рис. 1 демонстрирует достаточно хорошее соответствие предлагаемой модели расчетам по методу Монте-Карло.

Соответствие предложенной модели реальному физическому процессу проводилось также путем сравнения результатов численных расчетов с экспериментальными данными. В качестве тестового объекта был выбран кремниевый образец с прямоугольными полосками на поверхности, расположенными на расстоянии 2 мкм друг от друга и имеющими высоту 0.25 мкм, ширину 4.8 мкм. Фотография микрорельефа поверхности и сигналограмма отраженных электронов вдоль линии сканирования были получены в растровом электронном микроскопе 1БМ-35С при ускоряющих

8

щ

■у_I—(-1—I_I1-

5 кВ Юмкм

15кВ 10

мкм

25 кВ Юмкм

Рис. 2. Фотография микрорельефа поверхности и сигнала ОРЭ вдоль линии сканирования, полученные в растровом электронном микроскопе 1БМ-35С (слева); сигнал ОРЭ, расчитанный по модели (1) (справа).

напряжениях 5, 15, 25 кВ и токе зонда 10-10А. При этих условиях эксперимента можно было изменять размер зоны генерации сигнала и делать его больше или меньше размера ступеньки. На рис. 2 проведено сравнение сигналов ОРЭ, полученных в эксперименте и рассчитанных в соответствии с предлагаемой моделью.

0.3 0.2 0.1 0.0

— Энергия 5кэВ —Энергия ЮкэВ —Энергия 15кэВ

Ц!шШ1Ш!Ш1!'

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Высота, мкм

Рис. За. Зависимость относительного приращения сигнала ОРЭ от размера микрошероховатостей.

0.25г 0.200.150.100.050.00-

- высота80нм

- высота50нм -высота20нм

*

■ч»1 йииншшм

10 15 20 Энергия, кэВ

25

Рис. 36. Зависимость относительного приращения сигнала от ускоряющего напряжения.

Кроме хорошего соответствия модели и эксперимента для различных значений энергии первичного пучка этот рисунок позволяет продемонстрировать чувствительность модели к микрошероховатостям размером порядка нескольких им. На фотографии видно повышение уровня сигнала (посветление) от участков поверхности между полосками по сравнению с уровнем сигнала от верхней кромки полоски при уменьшении ускоряющего напряжения. Повышение заметно уже при 15 кВ, а при 5 кВ достигает заметной величины. Детальный анализ процесса получения рельефа образца, исследование поверхности при больших увеличениях позволили высказать предположение о наличии микрошероховатостей, образованных в результате плазмохимического травления на участках, соответствующих канавкам.

Микронеровности с такими размерами не могут привести к локальному изменению сигнала, а лишь увеличивают общее число эмитированных электронов. Этот вывод полностью подтвердили численные расчеты, выполненные в соответствиии с моделью.

На рис. 3 приведены графики зависимости относительного приращения сигнала от высоты микронеровностей при фиксированном ускоряющем напряжении и от ускоряющего напряжения при фиксированной высоте микрошероховатостей.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию нелинейного интегрального уравнения сигнала (1), полученного в первой главе.

Фактически, в работе изучается более общее уравнение вида:

g(t)= iK(t-s)F(x(s)-x(t))c/s, teR"'. (2)

R™

где F(u) - непрерывная и строго монотонная функция;

K(s) - положительная, непрерывная и интегрируемая функция; x(t),g(t)~ непрерывные и ограниченные функции; а функции К и F нормированы следующим образом:

iK(s)ds = 1 ; F(-oo) = 1, F(oо) = 0.

Rm

Уравнение вида (2) исследовалось ранее1 для случая, когда правая часть, функция #(/), задана точно. Было доказано, что в этом случае решение уравнения единственно (с точностью до элементарного преобразования - прибавления произвольной постоянной), и предложена итерационная процедура, позволяющая строить последовательности функций, сходящиеся к решению при любом начальном приближении.

Более детальное исследование показало, что решение уравнения (2) является неустойчивым к малым изменениям исходных данных (в данном случае - функции g(/)), то есть сколь угодно малые изменения правой части могут приводить к произвольно большим изменениям решения. Практически это приводит к неединственности решения в рамках заданной точности.

1 Ушаков Н.Г. Об одном классе нелинейных интегральных уравнений. -Журнал вычислительной математики и математической физики, 1990, т.ЗО, № 1, с. 87-98.

Кроме того, множество функций, представимых в виде интеграла (2), является сильно разряженным в множестве непрерывных функций. Так среди всех функций вида go (г), где go(i) - некоторая фиксированная функция, а с пробегает значения от -со до со, в виде (3)

представима либо одна, либо ни одной. То есть для случайно выбранной функции решение, как правило, не существует.

Таким образом, задача нахождения решения x(t) уравнения (2) по известной правой части g(t) является некорректно поставленной.

Для решения некорректно поставленных задач существует специальный метод - метод регуляризации. Классический подход предполагает введение некоторого стабилизирующего функционала, основанного на сглаживании решения. В диссертации предлагается регуляризирующий алгоритм, основанный на монотонности строящейся итерационной последовательности, который позволяет находить решения, близкие к разрывным, без чрезмерного сглаживания в окрестностях точек резкого изменения (представляющих, как правило, особый интерес).

В диссертации подробно рассматривается построение монотонной итерационной последовательности, доказывается ее сходимость к точному решению, а также приводится основная теорема, в которой доказывается, что оператор R(g,S), ставящий в соответствие каждой паре (g(0>&) функцию х5(г), является регуляризирующим.

Третья глава посвящена численной реализации предложенного во второй главе метода монотонной регуляризации и состоит, в основном, из примеров применения данного метода для восстановления профилей с различной геометрией.

Изучаются вопросы скорости сходимости итерационного алгоритма в зависимости от соотношения между областью генерации сигнала и размером исследуемых неоднородностей, устойчивость алгоритма при различных значениях уровня погрешности исходных данных.

В качестве примера на рис.4 приведены результаты решения модельной задачи восстановления прямоугольного профиля.

0.3

гз •е §00

-0.1

-6 -4 -2 0 2 4 6

X, мкм

Рис. 4а. Исходный профиль поверхности;

0.8 0.6

К 0.4

и* 5

° 0.2

0.0

г Энергия 5 кэВ, шум 10%

ЧЧ

и

№

Уц

у

и

1.1.1_I_[_

-6 -4 -2 0 2 4 6

X, МКМ

Рис. 46. Рассчитанный по модели зашумленный сигнал (отношение сигнал/шум составляет 10);

2 0.3Г Энергия 5кэВ, шум 10%

лГ02

>

и о

О-0.1

1.1.1_I_I_.1.1._1_

-6 -4 -2 0 2 4 6

X, мкм

Рис. 4в. Профиль поверхности, восстановленный по зашумленному сигналу.

В Заключение перечисляются основные результаты

диссертационной работы:

1. Предложена математическая модель формирования сигнала обратно рассеянных электронов от микрорельефа поверхности в растровом электронном микроскопе.

2. Проведено исследование нелинейного интегрального уравнения, описывающего зависимость сигнала обратно рассеянных электронов от микрорельефа поверхности.

3. Показано, что данное уравнение относится к классу некорректно поставленных задач, то есть для приближенно заданной правой части решение уравнения либо не существует, либо является неустойчивым к малым изменениям входных данных.

4. Предложен метод монотонной регуляризации для решения данного уравнения, основанный не на традиционном сглаживании решения (что неприемлемо в РЭМ-профилометрии, так как функции, описывающие профиль поверхности, представляют собой, как правило, разрывные функции), а на построении монотонной регупяризирующей последовательности, сходящейся к точному решению.

5. Разработан численный алгоритм для решения данного уравнения, успешно примененный для решения ряда модельных задач, а также для восстановления профилей поверхностей реальных объектов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Aristov V.V., Kazmiruk V.V., Firsova А.А., Ushakov N.G. Numerical reconstruction of the surface relief by the difference signal in the backscattered electrone mode. - Proceedings of the II International Congress on Electron Microscopy, Kyoto, Japan, 1986.

2. Зайцев С.И., Казьмирук B.B., Ушаков Н.Г., Фирсова А.А. О восстановлении профиля поверхности по сигналу ЮМ. -Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Физические

14

методы исследования поверхности и диагностика материалов и элементов вычислительной техники". Кишинев, 1986, с.ЗЗ.

3. Аристов В.В., Дремова Н.Н., Зайцев С.И., Казьмирук В.В., Ушаков Н.Г., Фирсова А.А. Рэм-томография для диагностики полупроводников и полупроводниковых структур. - Тезисы докладов Первой Всесоюзной конференции "Физические и физикохимические основы микроэлектроники". Вильнюс, 1987.

4. Aristov V.V., Dreomova N.N., Firsova А.А., Kazmiruk V.Y., UshakovN.G., Zaitsev S.I. Use of backscattered electrons in SEM-tomography to investigate of surface layers and layer structures. -Abstracts of the XXV Course Autumn School "Electron Microscopy of Thin Layers and Layer Systems", Halle, GDR, 1987.

5. Дремова H.H., Ушаков Н.Г., Фирсова A.A. Использование ЮМ для исследования объемно распределенных неоднородностей в твердых телах. - Тезисы докладов VIII Всесоюзной конференции по электронной микроскопии. Сумы, 1987, т.2, с.483-485.

6. Aristov V.V., Dreomova N.N., Firsova А.А., Kazmiruk V.V., Ushakov N.G., Zaitsev S.I. Prospects of application of mathematical simulation in scanning electron microscopy. -Proceedings of V International Conference on the Numerical Analisys of Semiconductor Devices and Integrated Circuits, Dublin, Ireland, 1987, pp.99-114.

7. Аристов B.B., Казьмирук B.B., Ушаков Н.Г., Фирсова A.A. Зависимость электронной эмиссии от микроструктуры поверхности. - Поверхность. Физика, химия, механика, 1989, №4, с.138-141.

8. Аристов В.В., Казьмирук В.В., Ушаков Н.Г., Фирсова А.А. Формирование изображения микрорельефа поверхности в растровом электронном микроскопе. - Поверхность. Физика, химия, механика, 1989, №4, с. 120-127.

9. Aristov V.V., Dreomova N.N., Firsova А.А., Kazmiruk V.V., Samsonovich A.V., Ushakov N.G., Zaitsev S.I. Image formation by microinhomogeneities and surface relief using backscattered

15

electrons. - Abstracts on XXIX School on Scanning Electron Microscopy, Halle, GDR, 1990, pp.9-10.

10. Aristov V.V., Dreomova N.N., Firsova A.A., Kazmiruk V.V., Samsonovich A.V., Ushakov N.G., Zaitsev S.I. Signal formation of backscattered electrons by microinhomogeneities and surface relief in SEM. - Scanning, 1991, Vol. 13, pp. 15-22.

11. Firsova A.A., Reimer L., Ushakov N.G., Zaitsev S.I. Comparision of a simple model of BSE signal formation and surface reconstruction with Monte-Carlo calculations. - Scanning, 1991, Vol.13, pp.363-368.

12. Зайцев С.И., Фирсова A.A., Ушаков Н.Г. Сравнение простой модели формирования контраста в РЭМ и востановления профиля поверхности с расчетами по методу Монте-Карло. -Тезисы доклада VII Всесоюзного симпозиума по растровой электронной микроскопии и аналитическим методам исследования твердых тел (РЭМ-91) , Звенигород, 1991, с.76.

13. Ушаков Н.Г., Фирсова А.А. О монотонной регуляризации для одного класса нелинейных интегральных уравнений. -Конференция "Обратные и некорректно поставленные задачи", Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова, 1995.

14. Ушаков Н.Г., Фирсова А.А. Метод монотонной регуляризации для одного класса нелинейных интегральных уравнений. -Ж. вычисл. матем. и матем. физ. (в печати)