автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Алгоритмы решения обратных измерительных задач при неточных исходных данных

На правах рукописи

Литасов Василий Александрович

АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ ПРИ НЕТОЧНЫХ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

Специальности

05 13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность) 05 13 18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

0031В0544

Новосибирск 2007

003160544

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет»

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Воскобойников Юрий Евгеньевич

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор

Абденов Амирза Жакенович

доктор технических наук, профессор Зеркаль Сергей Михайлович

Ведущая организация - Томский государственный

университет систем управления и радиотехники (ТУСУР)

Защита состоится 23 октября 2007 г в 1200 часов на заседании диссертационного совета Д 212 173 05 при Новосибирском государственном техническом университете по адресу 630092, г Новосибирск, пр К Маркса,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета

20

Автореферат разослан

сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета д т н , профессор

Воевода А А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. По ориентации задач относительно причинно-следственной связи в науке и технике можно выделить широкий класс задач, которые называются обратными задачами В этих задачах по следствию необходимо определить причину наблюдаемого явления К ним относятся задачи восстановления сигналов и изображений, регистрируемые измерительными системами, описываемые интегральными уравнениями I рода с разностным ядром вида

\к(1-г)<р{гу г = /(ф

Из-за инерционности измерительной системы (функция &(т) не является 5 -функцией) выходной сигнал (или изображение) /(?) может существенно отличаться (по амплитуде или фазе) от входного <р(г) Поэтому возникает обратная задача восстановления входных сигналов или изображений по зарегистрированным (или заданным) значениям функций /(*), необходимо

оценить значения функции <р(г) Особенно часто такая возникает при обработке изображений, полученных с систем космических или астрономических наблюдений К обратным задачам можно отнести и задачу идентификации импульсной функции динамической системы по зарегистрированным значениям входного <р(г) и выходного /(г) сигналов необходимо оценить импульсную функцию к {г) Такая задача часто возникает при описании стационарного линейного объекта моделью «черного» ящика с одним входом и одним выходом

Рассмотренные задачи в зарубежной литературе объединяются одним названием - деконволюция интегрального уравнения. В отечественной литературе применяется термин обратные измерительные задачи, что подчеркивает необходимость решения обратных задач с использованием экспериментальных (измерительных) данных Заметим, что при строгой постановке задач обработки и интерпретации экспериментальных данных большинство исследователей сталкиваются с необходимостью решать обратные измерительные задачи

Задачи деконволюции интегральных уравнений I рода относятся к классу некорректно поставленных задач — решение таких задач может не существовать или не иметь единственного решения или может отсутствовать непрерывная зависимость решения от исходных данных (другими словами, небольшим погрешностям исходных данных могут соответствовать существенные погрешности полученного решения)

Для решения некорректно поставленных задач разработаны методы регуляризации Фундаментальный вклад в развитие этих методов внесли совет-

ские и российские математики А Н Тихонов, М М Лаврентьев, В И Иванов, В Я Арсенин, В В Васин, А В Гончарский, В А Морозов, А Г Ягола и другие, а также зарубежные математики Методы регуляризации, учитывающие разностный характер ядра уравнения (1) и использующие интегральные и дискретные преобразования, были предложены в работах В Я Арсенина, Ю Е Воскобойникова, А И Гребенникова, В С Сизикова и других

Несмотря на большое число публикаций по решению некорректных задач, особенности постановок современных обратных измерительных задач либо игнорируются, либо учитываются не в полной мере в известных регуляри-зирующих алгоритмах деконволюции

Как правило, предполагается, что с погрешностями задается только правая часть уравнения (1), а импульсная функция к {г) известна точно Однако

на практике функция к(т) известна или измеряется также с некоторой случайной ошибкой Так, в задачах идентификации входной сигнал идентифицируемой системы измеряется с погрешностью, которая может иметь тот же уровень (или выше), что и погрешности правой части Поэтому актуальным является учет погрешностей задания ядра как на этапе построения регуляризиро-ванного решения, так и при выборе параметра регуляризации, от величины которого зависит точность решения задачи деконволюции Актуальной остается проблема выбора параметра регуляризации при различной априорной информации о числовых характеристиках погрешностей задания правой части и ядра интегрального уравнения Во многих случаях у экспериментатора имеется дополнительная априорная информация о качественных характеристиках искомого решения (например, неотрицательность решения, его монотонность на некоторых интервалах и т д) Очевидно, что учет такой априорной информации повысит точность регуляризированного решения Однако в литературе отсутствуют описания эффективных регуляризирующих алгоритмов деконволюции, учитывающих подобную априорную информацию При восстановлении изображений возникает необходимость построения регуляризирующего алгоритма с минимальной случайной и систематической ошибками Это требование является противоречивым и разрешение этого противоречия является актуальной задачей при восстановлении контрастных изображений

Таким образом, разработка регуляризирующих алгоритмов, учитывающих вышеназванные особенности современных постановок обратных измерительных задач, является важной и актуальной задачей. Успешное решение этой задачи может существенно повысить «информационную отдачу» экспериментальных исследований

Цель работы заключается в разработке, исследовании и программной реализации эффективных регуляризирующих алгоритмов решения обратных измерительных задач, учитывающих вышеназванные особенности постановок обратных измерительных задач

Для достижения этой цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи

1 Разработка и исследование эффективных регуляризируюгцих алгоритмов решения задач деконволюции одномерных и двумерных интегральных уравнений при неточно заданных разностных ядрах

2 Разработка и исследование алгоритмов выбора параметра регуляризации при неточно заданных правых частях и ядрах одномерных и двумерных интегральных уравнений

3 Разработка и исследование частотно-пространственного устойчивого алгоритма восстановления контрастных изображений

4 Разработка нелинейного регуляризирующего алгоритма - дескриптивного алгоритма - деконволюции, учитывающего качественную или количественную априорную информацию об искомом решении

5 Создание алгоритмического и программного обеспечения и решение на его основе важной практической задачи идентификации функции переходной проводимости эквивалентной схемы замещения электрического разряда

Методы исследований. Для решения поставленных задач использовались методы линейной алгебры, фильтрации дискретных сигналов, решения некорректно поставленных задач, теории вероятностей и математической статистики, нелинейного программирования Для цифрового моделирования и программной реализации разработанных алгоритмов использовались методы теории алгоритмов и языков программирования, методы объектно-ориентированного программирования и современные технологии разработки программного обеспечения

Научная новизна работы

1 Разработаны эффективные регуляризирующие алгоритмы деконволюции одномерных и двумерных интегральных уравнений, у которых правая часть и ядро измерены (или заданы) со случайными погрешностями

2 Разработаны эффективные алгоритмы выбора параметра регуляризации, позволяющие оценить оптимальный параметр регуляризации Построены несмещенные оценки для дисперсий погрешностей задания правой части и ядра интегрального уравнения

3 Разработан устойчивый нелинейный алгоритм восстановления контрастных изображений с заданной разрешающей способностью

4 Построен эффективный дескриптивный регуляризирующий алгоритм на основе дискретного преобразования Фурье, учитывающий априорные ограничения на решение, задаваемые системой неравенств

Основные положения, выносимые на защиту

1 Регуляризирующий алгоритм деконволюции одномерного интегрального уравнения, когда правая часть и ядро уравнения заданы со случайными погрешностями

2 Регуляризирующий алгоритм деконволюции двумерного интегрального уравнения, когда правая часть и ядро уравнения заданы со случайными погрешностями

3 Статистические алгоритмы оценивания оптимального параметра регуляризации, построенные на основе критерия оптимальности и обобщенного принципа невязки

4 Частотно-пространственный алгоритм восстановления контрастных изображений

5 Нелинейный дескриптивный регуляризирующий алгоритм деконво-люции одномерных интегральных уравнений при неточно заданном ядре

6 Пакет прикладных программ для моделирования и решения обратных измерительных задач

Практическая значимость. Теоретические результаты диссертационной работы могут являться основой для построения и программной реализации алгоритмов решения одномерных и двумерных обратных измерительных задач, а также обратных задач большей размерности Разработан пакет прикладных программ, предназначенный для решения обратных измерительных задач и реализующий различные алгоритмы построения регуляризированных решений и различные способы выбора параметра регуляризации Пакет или его функциональное наполнение может быть использован в составе программного обеспечения в различных автоматизированных системах обработки экспериментальных данных С использованием разработанных алгоритмов решена задача идентификации функции переходной проводимости схемы замещения электрического разряда Исследована точность решения этой задачи идентификации

Достоверность полученных результатов подтверждается строгостью постановок задач деконволюции, доказательством ряда утверждений о построении регуляризирующих алгоритмов и способов выбора параметра регуляризации, а также результатами обширного вычислительного эксперимента

Внедрение результатов работы. Разработанные регуляризирующие алгоритмы деконволюции одномерного интегрального уравнения использовались в научных и прикладных исследованиях, проводимых в Электротехническом институте Томского политехнического университета при выполнении НИР, связанных с идентификацией параметров эквивалентной схемы замещения электрического разряда (имеется акт о внедрении результатов диссертационной работы) Результаты диссертации использовались в учебном процессе при чтении курса «Методы решения некорректных задач идентификации», магистрантам факультета автоматики Новосибирского государственного технического университета (НГТУ)

Апробация работы. Результаты работы были представлены, обсуждались и получили положительную оценку.

• на научных семинарах направления «Математика и компьютерные технологии» (Новосибирск НГАСУ(Сибстрин), 2005,2006,2007),

• научно-технических конференциях ППС (НГАСУ(Сибстрин), 2005, 2006,2007 годы),

• Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004),

• 13-й Международной Байкальской школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Северобайкальск, 2005);

• Международной конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006),

• Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2007)

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 14 публикациях, в том числе 7 научных статей вошедших в перечень изданий, рекомендованных ВАК, 3 конференции

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 78 наименования, приложения Объем диссертации составляет 148 страниц основного текста, в том числе содержит 27 рисунков и 4 таблицы

Исследования по теме диссертационной работы были поддержаны грантами Министерства науки и образования

• Грант для выполнения НИР по ЕЗН 2005 год,

• Грант для выполнения НИР по ЕЗН 2006 год,

• Грант для выполнения НИР по ЕЗН 2007 год

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведено обоснование актуальности работы, дан краткий обзор существующих подходов к построению регуляризирующих алгоритмов решения обратных измерительных задач, изложены цели и задачи, научная новизна и практическая ценность работы

В первой главе строятся нелинейные регуляризирующие алгоритмы решения одномерных обратных измерительных задач, когда и правая часть, и ядро интегрального уравнения заданы со случайной ошибкой, а также рассматривается дискретное преобразование Фурье и его свойства

Формулируются задачи восстановления входного сигнала и идентификации импульсной функции динамической системы, которые сводятся или к решению интегрального уравнения Вольтерра

= /(/), 0<1<ЪГ, (1)

о

или к решению интегрального уравнения Фредгольма

Ь(р

\к(1-т)(р(т)с1т = /(0, а/<1<ьг (2)

В дальнейшем эти задачи объединяются названием обратные измерительные задачи или задачи деконволюции интегральных уравнений с разностными яд-

рами Обсуждаются вопросы аппроксимации интегральных уравнений дискретными апериодическими свертками и использованием дискретного преобразования Фурье (ДПФ) для решения этих сверток Приводятся некоторые свойства ДПФ, используемые в дальнейшем

Строится нелинейный регуляризирующий алгоритм восстановления входного сигнала для уравнения Вольтерра при следующем предположении

вместо точных значений /(*,)» регистрируются значения

к О д, ) = к Од,)+с (А), /О) = /(А)+V (А) >

где С(т) > - погрешности регистрации, являющиеся стационарными случайными процессами с нулевыми средними и дисперсиями , агп соответственно, причем С(г) > не коррелированны между собой Интервалы корреляции процессов С(т)> меньше интервала дискретизации А,. Регуляризирующий алгоритм включает следующие шаги Шаг 1 Формирование периодических (с периодом N ) последовательностей

Л > Ь J = Nk,Nk+l,. ,N-1

- , ч Г/О А,),7=0.

/„0) = Г (4)

где Л^, Л^ - число отсчетов функций к(г),/(() Шаг 2 Вычисление последовательности

где » = ->/-1.

Шаг 3. Вычисление коэффициентов ДПФ последовательности {/,, 0)| (прямое ДПФ)

Шаг 4. Определение коэффициентов ДПФ (обозначаемые как Фра(/))

регуляризированного решения

Шаг 5. Вычисление периодического регуляризированного решения (обратное ДПФ)

^0) = §фр«(0ехр(^ 7=0, ,N-1 (7)

г=о "

Шаг 6 Формирование Nv -мерного вектора <ра по правилу

9«^<Рра{]-% J = (8)

где Np=Nf-Nk +1

Если выполнено условие

N>Nf+Nt-1, (9)

то проекции вектора <ра^ принимаются в качестве значений регуляризирован-

ного решения <ра (г) в узлах т} = (j -1) А,, j = 1, ,NV

Коэффициенты Фра(0 регуляризированной последовательности { Фра (7)} определяются на шаге 4 из нелинейного уравнения

Ф^(0 = 7—5-^Ц- Fp(l), (10)

/ = 0,1, ,N-1,

где а - параметр регуляризации, в = а2( ¡а~п — отношение дисперсий, Кр (/) - величина, комплексно сопряженная Kp(l), Qp(l) - элементы последовательности, формируемые по правилу

ÍQ(/AJ, 1 = 0, ,N12,

' \Q(iN-l)K), / = ^/2 + 1, N-1, 6.ш = 2ж/(ЛгЛ() - шаг дискретизации в частотной области Функцию Q(ú)) можно трактовать как частотную характеристику стабилизирующего функционала Если задан порядок регуляризации г, то при достаточно больших значениях ш справедлива асимптотика Q(co) — <огг Доказывается, что нелинейное уравнение (10) имеет единственное решение Ф'рог (Г) при любых а>0, <9>0

Для нахождения решения Ф*„(/) при фиксированном параметре регуляризации а используется схема простой итерации

Кс (I)

ф("+,)(/) =-til- F(l), (11)

^¡IX \Ч . _ |2 I , , |2 ,pVJi К*'/

\кр{1)\ +а(\+в\ф^(1)\ ) Qp(l)

п = 0,1,

«Точка старта» Ф(^(/) задается как

\кр(1)\ +а Qr(/)

Условие прекращения итераций имеет вид

1|®£<оГ

<0 01 (12)

Вычислительный эксперимент показал, что для выполнения условия (12) требуется не более 5 — 8 итераций

На основе изложенного р егуляризирую щего алгоритма строится регуля-ризирующий алгоритм идентификации импульсной функции к(т) уравнения Вольтерра

Затем строится регуляризирующий алгоритм восстановления входного сигнала для уравнения Фредгольма и идентификации ядра уравнения Фред-гольма Эти алгоритмы отличаются от изложенного выше алгоритма процедурой формирования периодической последовательности крО) и формированием регуляризированного решения фа по построенному периодическому регуляризированномурешению <рта(])

У исследователя часто имеется информация о поведении искомого решения обратной задачи - интервалы знакопостоянства, монотонности Очевидно, что при построении регуляризированного решения необходимо учитывать эти данные Такие алгоритмы получили название дескриптивных

Разработан дескриптивный регуляризирующий алгоритм, учитывающий априорную информацию, задаваемую системой линейных ограничений Такое задание ограничений удобно с практической точки зрения потому, что с его помощью можно реализовывать любые ограничения как на сигнал в целом, так и на его отдельные проекции или интервалы значений Коэффициенты ДПФ дескриптивного регуляризированного решения состоит из двух слагаемых -коэффициентов ДПФ решения, полученного без учета ограничений и вектора, зависящего от решения сформулированной двойственной задачи

Вторая глава посвящена разработке и исследованию алгоритмов выбора параметра регуляризации. Предполагается, что функция ()(со) задана исходя из требуемого порядка регуляризации г. Поэтому рассматривается только проблема выбора а

Эта проблема является основной при использовании регуляризирующих алгоритмов на практике В качестве оптимального значения аор1 параметра

регуляризации принимается значение, доставляющее минимум среднеквадра-тической ошибке регуляризированного решения На практике вычисление точного значения аорг невозможно из-за незнания значений функции <р(т) или ее характеристик. Поэтому в работе для случая, когда и ядро, и правая часть ин-

тегрального уравнения заданы со случайными погрешностями предлагаются два оригинальных алгоритма оценивания аор1, основанные

• на критерии оптимальности регуляризирующего алгоритма,

• статистическом варианте обобщенного принципа невязки

В этих алгоритмах вычисление параметра регуляризации осуществляется на основе проверок статистических гипотез, сформулированных относительно ковариационной матрицы вектора невязки Построены эффективные итерационные процедуры вычисления параметра регуляризации Доказывается

• сходимость этих итерационных процедур,

• сходимость регуляризированных решений, построенных при вычисленных параметрах регуляризации

Выполнены исследования предложенных алгоритмов выбора параметра регуляризации с использование коэффициента эффективности, определяемого выражением

II Фаор! Ф

ЬА =

(13)

^«А-П

Этот коэффициент позволяет дать ответ на вопрос насколько ухудшается точность регуляризированного решения, построенного при значении параметра аА, выбранного некоторым алгоритмом (например, алгоритмом А) по сравнению с оптимальным регуляризированным решением (параметр аор1 у> Коэффициент является случайной величиной, принимающей значения из интервала (0,1] Значения, близкие к I (например, 0.9-0 95), говорят о небольшом проигрыше по точности, значения меньше 0 3 указывают на значительное (по сравнению с оптимальным решением) увеличение ошибки регуляризированного решения ((> Зная числовые характеристики (среднее, минимальное и

максимальное значения и тд) этой случайной величины, можно говорить о применимости соответствующего алгоритма выбора параметра регуляризации

Первоначально рассмотрим алгоритм выбора параметра на основе критерия оптимальности (параметр регуляризации а№, коэффициент эффективности Е№ ) В табл 1 приведены числовые характеристики коэффициента эффективности Еу/ для разных уровней шума, отношений спектров Ош и отношений дисперсий в При прочих равных условиях меньшему значению показателя Ош соответствует меньшая ошибка регуляризированного решения Значение 3.01 говорит о том, что ширина спектра входного сигнала в три раза «шире» спектра импульсной функции, что соответствует очень «тяжелым» условиям восстановления сигналов В верхней строке ячейки (см табл 1) приве-

дено минимальное значение коэффициента эффективности, в нижней строке -среднее значение Анализ данных таблицы позволяет сделать вывод, что регу-ляризированное решение (р^ имеет в среднем только на 6—12 % больше

ошибку по сравнению с оптимальным регуляризированным решением и параметр регуляризации а№ является хорошей оценкой для а

Таблица I

Числовые характеристики коэффициента эффективности Е№

От д Отношение дисперсий

0.01 0.1 0.5 1.0 5.0

0.51 0.01 0 903 0 757 0 736 0 794 0 762

0 976 0 835 0 946 0 956 0 938

0.10 0 591 0 582 0 645 0 621 0 663

0.851 0 867 0 844 0 882 0.949

1.50 0.01 0.817 0 762 0.743 0 681 0 871

0 942 0 872 0.929 0 922 0 959

0.10 0 732 0 788 0 634 0.683 0 773

0.902 0 907 0 891 0 902 0 933

3.01 0.01 0.858 0 923 0 902 0 922 0 936

0 959 0 977 0 963 0 966 0 979

0.10 0 824 0 854 0 912 0 878 0 879

0 947 0 952 0 975 0 957 0 946

Аналогичные исследования были выполнены для алгоритма выбора параметра на основе статистического варианта обобщенного принципа невязки (параметр регуляризации ау, коэффициент эффективности Еу )

Сравнение числовых характеристик коэффициентов Е„, Еу показало, что регуляризированные решения, построенные при а — ау имеют средне-квадратическую ошибку на 10 - 20 % больше по сравнению с решениями <ра№

Поэтому делается вывод о целесообразности использования при решении обратных задач алгоритма выбора параметра регуляризации, построенного на основе критерия оптимальности Этот алгоритм позволяет достаточно точно оценить оптимальный параметр регуляризации

Так как построенные алгоритмы выбора требуют задания дисперсий а]., а*, которые на практике часто неизвестны, то предлагаются несмещенные

оценки для этих дисперсий и выполнены их исследования

Определяются систематическая и случайная ошибки регуляризирован-ного решения. Нелинейность уравнения (11) обусловливает необходимость разработки нового подхода к вычислению числовых характеристик этих оши-

бок Показано, что даже при а = О регуляризированное решение имеет систематическую ошибку, величина которой зависит от дисперсии погрешностей задания ядра интегрального уравнения Строятся доверительные интервалы для искомого решения обратной измерительной задачи

Третья глава посвящена разработке и исследованию регуляризирующих алгоритмов восстановления изображений

Предлагается эффективный регуляризирующий алгоритм восстановления изображения, учитывающий погрешности задания правой части и ядра (функции рассеяния точки) двумерного интегрального уравнения Фредгольма Строятся и исследуются алгоритмы выбора параметра регуляризации на основе методов второй главы Из анализа результатов вычислительного эксперимента делается вывод о целесообразности использования алгоритма выбора параметра регуляризации, построенного на основе критерия оптимальности Определяются систематическая и случайная ошибки восстановления изображения Излагается новый подход к оцениванию числовых характеристик этих ошибок

В ряде случаев регуляризированное изображение, построенное при аор1, воспринимается глазом «хуже», чем изображение, построенное при значениях а < аор, Это объясняется тем, что в первом изображении отсутствуют (или

сильно сглажены) контрастные (высокочастотные) детали изображения (границы, ребра и т д) Во втором изображении эти детали будут присутствовать, но возможно появление на «плоских фрагментах» изображения шумовых ос-цшшяций В этом проявляется известное противоречие между разрешающей способностью регуляризирующего алгоритма и его устойчивостью к погрешности исходных данных Поэтому возникает задача выбора такого значения а (назовем его эффективным), которое бы гарантировало сохранение в регу-ляризированном изображении контрастных деталей с заданными размерами Но такое регуляризированное изображение необходимо обработать таким образом, чтобы а) сохранить контрастные детали регуляризированного изображения; б) максимально отфильтровать случайную ошибку регуляризированного изображения Очевидно, что эти требования в рамках линейных регуляризирующих алгоритмов являются противоречивыми

Поэтому предлагается новый подход к построению устойчивого алгоритма восстановления контрастных изображений При этом для выбора эффективного значения параметра регуляризации вводятся точностные характеристики регуляризирующего алгоритма, характеризующие его разрешающую способность, а для фильтрации случайной ошибки регуляризированного изображения используются нелинейные локальные фильтры, сохраняющие контрастные детали изображения Объединение регуляризирующего алгоритма с нелинейным локальным фильтром положено в основу разработанного частотно-пространственного алгоритма восстановления

Проведенные исследования показали высокую эффективность алгоритма при восстановлении контрастных изображений В качестве примера на рис. 1а

показано изображение, построенное при а = 0.05-аг (относительная ошибка

восстановления 0.172), а на рис. 16 - изображение, построенное частотно-пространственным алгоритмом при том же параметре регуляризации (относительная ошибка восстановления 0.095). Видно существенное улучшение качества восстановленного изображения.

а) б)

Рис. 1. Восстановленные изображения а) до фильтрации б) после фильтрации

В четвертой главе приводится информация о назначении, структуре, функциональном наполнении разработанного пакета DRCONV1D. Показан интерфейс пакета и о&сужаается его использование для решения обратных измерительных задач.

В пяток главе излагается новый подход к решению задачи идентификации функции переходной проводимости эквивалентной схемы замещения электрического разряда.

При исследовании физики разрядов доступными для измерения являются напряжение U(t) и ток I(t) в цепи с разрядным промежутком. Поэтому возникает задача идентификации параметров эквивалентной схемы замещения по зарегистрированным значениям функций U(l) , /(/).

Связь функций U(t), /(/) определяется интегральным уравнением Воль-терра 1 рода:

/(0= )g(t-T)^p-dz . (14)

Интегральное уравнение (14) необходимо решить относительно функции переходной проводимости g(i), что является некорректно поставленной задачей, а затем по функции #(/) определить эквивалентную схему замещения электрического разряда и ее параметры.

Таким образом, задача идентификации параметров эквивалентной схемы замещения включает следующие этапы:

Этап J. Вычисление производной но измеренным (с погрет:ю-

(1т

стями) значениям функции U(t) — некорректно поставленная задача.

Этап 2 Решение интегрального уравнения (14) относительно функции g(t), что является некорректно поставленной задачей

Этап 3 Определение по виду функции g(t) структуры эквивалентной схемы замещения и параметризации функции g(t).

Этап 4 Оценивание параметров функции g(t) и вычисление по этим оценкам величин сопротивлений, емкостей и индуктивностей, входящих в эквивалентную схему замещения

В диссертационной работе основное внимание уделяется этапам 1,2 Для устойчивого дифференцирования функции U(t) , заданной измеренными в моменты tt значениями U(tj), использовался сглаживающий кубический сплайн Параметр сглаживания Л выбирался по «предельной» ширине Апр аппаратной функции сплайна из нелинейного уравнения.

Ошибки вычисления производной рассматривались как погрешности задания ядра интегрального уравнения и поэтому для устойчивого решения уравнения (14) использовался регуляризирующий алгоритм, предложенный в §12 диссертационной работы

В качестве примера рассмотрим идентификацию параметров функции проводимости вида g(t) = А е*' cos(© t + <p), которая соответствует эквивалентной схеме замещения показанной на рис 2 В табл. 2 приведены относительные ошибки оценивания четырех параметров функции проводимости g(í), задаваемой следующим выражением

g(t) = 01-e'4l60t cos(571 0 í + 1 0)

i(t)

С

L

Рис 2 Эквивалентная схема замещения электрического разряда

Таблица 2.

Относительные ошибки оценивания параметров функции переходной проводимости

Анализ табл. 2 и результатов других вычислительных экспериментов позволяет сделать вывод: предложенный подход позволяет с приемлемой точностью идентифицирует параметры функции переходной проводимости для построения эквивалентной схемы замещения электрического разряда.

Результаты этой главы использовались в исследованиях электрического разряда, проводимых в электротехническом институте (ЭЛТИ) Томского политехнического университета.

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы.

В приложении представлен акт об использовании результатов диссертационной работы э научных и прикладных исследованиях, выполняемых в электротехническом институте (ЭЛТИ) Томского политехнического университета.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны эффективные регуляризирующие алгоритмы деконволинии одномерных и двумерных шгтегральных уравнений, у которых правая часть и ядро заданы (известны) со случайными погрешностями.

2. Разработаны эффективные алгоритмы выбора параметра регуляризации, позволяющие оценить оптимальный параметр регуляризации. Построены несмещенные оценки для дисперсий погрешностей задания правой части и ядра интегрального уравнения,

3. Разработан устойчивый нелинейный частот но-пространственный алгоритм восстановления контрастных изображений с заданной разрешающей способностью.

4 Построен эффективный дескриптивный регуляризирующий алгоритм на основе дискретного преобразования Фурье, учитывающий априорные ограничения на решение, задаваемые системой неравенств

5 Разработан пакет прикладных программ «DECONV1D», функциональное наполнение которого реалшует предложенные в работе регуляризирую-щие алгоритмы деконволюции одномерных интегральных уравнений

6 С использованием разработанных регуляризирующих алгоритмов решена задача идентификация параметров эквивалентной схемы замещения электрического разряда

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Воскобойников, Ю.Е. Дескриптивный алгоритм восстановления входных сигналов оптических систем / Ю В Воскобойников, К А Втюрин, В А Литасов II Автометрия -2005 - Т 41, № 3 - С 3-10

2 Воскобойников, Ю.Е. Регуляризирующий алгоритм непараметрической идентификации при неточных исходных данных / Ю Б Воскобойников, В А Литасов // Научный вестник НГТУ -2005. №2(20) С 33-45

3 Воскобойников, Ю.Е. Выбор параметра в регуляризирующих алгоритмах деконволюции метода наименьших полных квадратов / Ю Е Воскобойников, В А Литасов // Труды 13-й Международной Байкальской школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения» - Иркутск, 2005 - ТЗ - С 87-91

4 Воскобойников, Ю.Е. Частотно-пространственный устойчивый алгоритм восстановления контрастных изображений / Ю Е Воскобойников, В А Литасов // Научный вестник НГТУ -2006 -№ 1 (22) -С 3-14

5 Воскобойников, Ю.Е. Устойчивый алгоритм идентификации параметров эквивалентной схемы замещения электрического разряда / Ю Е. Воскобойников, В А Литасов // Научный вестник НГТУ -2006 -№4(25) -С 3-16

6 Воскобойников, Ю.Е. Устойчивый алгоритм восстановления изображения при неточно заданной аппаратной функции / Ю Е Воскобойников, В А Литасов // Автометрия -2006 - Т 42, № 6 - С 3-15

7 Voskoboinikov, Yu.E. Regularizing algorithm of two dimensional deconvolution with noised kernel / Voskoboinikov YuE Litasov V A II Proceedings of international conference «Tikhonov and contemporary mathematics» [Груды международной конференции «Тихонов и современная математика»] Москва 19-25 июня, 2006 г - М Изд-во МГУ, 2006 -Р 67-72

8 Воскобойников, Ю Е. Регуляризирующий алгоритм идентификации параметров схемы замещения электрического разряда 4 1/ Воскобойников Ю Е, Исаев Ю Н, Литасов В А, Колчанова В А, Кулешова Е О //Известия Томского политехнического университета -2007 -Т 310,N1 -С 79-82

9 Воскобойников, Ю.Е. Регуляризирующий алгоритм идентификации параметров схемы замещения электрического разряда Ч II / Ю Е Воскобойников, В А Литасов //Известия Томского политехнического университета. - 2007 -Т 310, N2.-С 73—77

10 Воскобойников, Ю.Е. Устойчивый алгоритм идентификации функции переходной проводимости электрического разряда II Труды Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики», Новосибирск Изд-во Института математики СО РАН, 2007 -С 51-56

Пописано к печати 18.09.2007 Формат 60x84 1/16 д. л. Бумага офсетная. Ризография Объем 1,4 пл. Тираж 110 экз. Заказ №

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин) 630008, Новосибирск, ул Ленинградская, 113

Отпечатано мастерской оперативной полиграфии НГАСУ (Сибстрин)

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Регуляризирующие алгоритмы решения одномерных обратных измерительных задач.

1.1. Одномерные обратные измерительные задачи и дискретное преобразование Фурье

1.2. Регуляризирующие алгоритмы решения обратных измерительных задач для уравнения Вольтерра

1.3. Регуляризирующие алгоритмы решения обратных измерительных задач для уравнения Фредгольма.

1.4. Дескриптивные регуляризирующие алгоритмы.

Выводы по главе

ГЛАВА 2. Выбор параметра регуляризации и ошибки регуляризированных решений

2.1. Обобщенный критерий оптимальности регуляризирующего алгоритма.

2.2. Алгоритмы оценивания оптимального значения параметра регуляризации.

2.3. Сравнение алгоритмов выбора параметра регуляризации.

2.4. Числовые характеристики ошибки регуляризированного решения.

Выводы по главе.

ГЛАВА 3. Регуляризирующие алгоритмы восстановления изображения.

3.1. Регуляризирующий алгоритм восстановления изображения.

3.2. Частотно-пространственный алгоритм восстановления контрастных изображений.

Выводы по главе.

ГЛАВА 4. Пакет прикладных программ «DEC0NV1D».

Назначение и системные требования.

Интерфейс и решаемые задачи.

Выводы по главе

ГЛАВА 5. Идентификация параметров схемы замещения электрического разряда.

5.1. Функция переходной проводимости схемы замещения электрического разряда.

5.2. Алгоритм устойчивого вычисления производной напряжения.

5.3. Регуляризирующий алгоритм идентификации функции переходной проводимости.

5.4. Алгоритм идентификации параметров схемы замещения

5.5. Результаты эксперимента по идентификации параметров схемы замещения

Выводы по главе

Объект исследования. Объектом исследования диссертации являются разработка регуляризирующих алгоритмов решения обратных измерительных задач в постановках, когда и правая часть и ядро интегрального уравнения заданы со случайными погрешностями.

Актуальность работы. По ориентации задач относительно причинно-следственной связи в науке и технике можно выделить широкий класс задач, которые называются обратными задачами. В этих задачах по следствию необходимо определить причину наблюдаемого явления. К таким задачам относятся задачи восстановления сигналов и изображений, регистрируемые измерительными системами, описываемые интегральными уравнениями I рода с разностным ядром вида: k(t-T)(p{r)dT = f{t).

Из-за инерционности измерительной системы (функции &(г) не является 8-функцией) выходной сигнал (или изображение) / (t) может существенно отличаться (по амплитуде или фазе) от входного (р (г). Поэтому возникает задача восстановления входных сигналов или изображений: по зарегистрированным (или заданным) значениям функции f(t), к(т) необходимо оценить значения функции (р{т). Особенно часто такая возникает при обработке изображений, полученных с систем космических или астрономических наблюдений. К обратным задачам можно отнести и задачу идентификации импульсной функции динамической системы: по зарегистрированным значениям входного (р (т) и выходного f{t) сигналов необходимо оценить импульсную функцию к(т).

Такая задача часто возникает при описании стационарного линейного объекта моделью «черного» ящика с одним входом и одним выходом.

Рассмотренные задачи в зарубежной литературе объединяются одним названием - деконволюция интегрального уравнения. В отечественной литературе применяется термин обратные измерительные задачи, что подчеркивает необходимость решения обратных задач с использованием экспериментальных (измерительных) данных. Заметим, что при строгой постановке задач обработки и интерпретации экспериментальных данных большинство исследователей сталкивается с необходимостью решать обратные измерительные задачи.

Задачи деконволюции интегральных уравнений I рода относятся к классу некорректно поставленных задач - решение таких задач может не существовать или не иметь единственного решения или отсутствует непрерывная зависимость решения от исходных данных (другими словами, небольшим погрешностям исходных данных могут соответствовать существенные погрешности получаемых решений).

Для решения некорректно поставленных задач разработаны методы регуляризации. Фундаментальный вклад в развитие этих методов внесли советские и российские математики А.Н. Тихонов, М.М. Лаврентьев, В.И. Иванов, В.Я. Арсенин, В.В. Васин, А.В. Гончарский, В.А. Морозов, А.Г. Ягола и другие, а также зарубежные математики. Методы регуляризации, учитывающие разностный характер ядра уравнения (1) и использующие интегральные и дискретные преобразования были предложены в работах В.Я. Арсенина, Ю.Е. Воскобойни-кова, А.И. Гребенникова, B.C. Сизикова и других.

Несмотря на большое число публикаций по решению некорректных задач, особенности постановок современных обратных измерительных задач либо игнорируются, либо учитываются не в полной мере в известных регуляризи-рующих алгоритмах деконволюции.

Как правило, предполагается, что с погрешностями задается только правая часть уравнения (1), а импульсная функция (ядро интегрального уравнения) k(f) известно точно. Однако на практике функция к(т) известна или измеряется также с некоторой случайной ошибкой. Так в задачах идентификации входной сигнал идентифицируемой системы измеряется с погрешностью, которая может иметь тот же уровень (или выше), что и погрешности правой части. Поэтому актуальным является учет погрешностей задания ядра, как на этапе построения регуляризированного решения, так и при выборе параметра регуляризации, от величины которого зависит точность решения задачи деконволю-ции. Актуальной остается проблема выбора параметра регуляризации при различной априорной информации о числовых характеристиках погрешностей задания правой части и ядра интегрального уравнения. Во многих случаях у экспериментатора имеется дополнительная априорная информация о качественных характеристиках искомого решения (например, неотрицательность решения, его монотонность на некоторых интервалах и т.д.). Очевидно, что учет такой априорной информации повысит точность регуляризированного решения. Однако в литературе отсутствуют описания эффективных регуляризирующих алгоритмов деконволюции, учитывающих подобную априорную информацию. При восстановлении изображений возникает необходимость построения регу-ляризирующего алгоритма с минимальной случайной и систематической ошибками. Это требование является противоречивым и разрешения этого противоречия является актуальной задачей при восстановлении контрастных изображений.

Таким образом, разработка регуляризирующих алгоритмов, учитывающих выше названные особенности современных постановок обратных измерительных задач является важной и актуальной задачей. Успешное решение этой задачи может существенно повысит «информационную отдачу» экспериментальных исследований.

Цель работы заключается в разработке, исследовании и программной реализации эффективных регуляризирующих алгоритмов решения обратных измерительных задач, учитывающих выше названные особенности постановок обратных измерительных задач.

Для достижения этой цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка и исследование эффективных регуляризирующих алгоритмов решения задач деконволюции одномерных и двумерных интегральных уравнений при неточно заданных разностных ядрах.

2. Разработка и исследование алгоритмов выбора параметра регуляризации при неточно заданных правых частях и ядрах одномерных и двумерных интегральных уравнений.

3. Разработка и исследование частотно-пространственного устойчивого алгоритма восстановления контрастных изображений.

4. Разработка нелинейного регуляризирующего алгоритма - дескриптивного алгоритма, учитывающего качественную или количественную априорную информацию об искомом решении.

5. Создание алгоритмического и программного обеспечения и решение на его основе важной практической задачи идентификации функции переходной проводимости эквивалентной схемы замещения электрического разряда.

Методы исследований. Для решения поставленных задач использовались методы линейной алгебры, фильтрации дискретных сигналов, решения некорректно поставленных задач, теории вероятностей и математической статистики, нелинейного программирования. Для цифрового моделирования и программной реализации разработанных алгоритмов использовались методы теории алгоритмов и языков программирования, методы объектно-ориентированного программирования и современные технологии разработки программного обеспечения.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработаны эффективные регуляризирующие алгоритмы деконволюции одномерных и двумерных интегральных уравнений, у которых правая часть и ядро измерены (или заданы) со случайными погрешностями.

2. Разработаны эффективные алгоритмы выбора параметра регуляризации, позволяющие оценить оптимальный параметр регуляризации. Построены несмещенные оценки для дисперсий погрешностей задания правой части и ядра интегрального уравнения.

3. Разработан устойчивый нелинейный алгоритм восстановления контрастных изображений с заданной разрешающей способностью.

4. Построен эффективный дескриптивный регуляризирующий алгоритм на основе дискретного преобразования Фурье, учитывающий априорные ограничения на решение, задаваемые системой неравенств.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Регуляризирующий алгоритм деконволюции одномерного интегрального уравнения, когда правая часть и ядро уравнения заданы со случайными погрешностями.

2. Регуляризирующий алгоритм деконволюции двумерного интегрального уравнения, когда правая часть и ядро уравнения заданы со случайными погрешностями.

3. Статистические алгоритмы оценивания оптимального параметра регуляризации, построенные на основе критерия оптимальности и обобщенного принципа невязки.

4. Частотно-пространственный алгоритм восстановления контрастных изображений.

5. Нелинейный дескриптивный регуляризирующий алгоритм деконволюции одномерных интегральных уравнений при неточно заданном ядре.

6. Пакет прикладных программ для моделирования и решения обратных измерительных задач.

Практическая значимость работы. Теоретические результаты диссертационной работы могут являться основой для построения и программной реализации алгоритмов решения одномерных и двумерных обратных измерительных задач, а также обратных задач большей размерности. Разработан пакет прикладных программ, предназначенный для решения обратных измерительных задач и реализующий различные алгоритмы построения регуляризирован-ных решений и различные способы выбора параметра регуляризации. Пакет или его функциональное наполнение может быть использован в составе программного обеспечения в различных автоматизированных системах обработки экспериментальных данных. С использованием разработанных алгоритмов решена задача идентификации функции переходной проводимости схемы замещения электрического разряда. Исследована точность решения этой задачи идентификации.

Достоверность научных результатов работы подтверждается строгостью постановок задач деконволюции, доказательством ряда утверждений о построении регуляризирующих алгоритмов и способов выбора параметра регуляризации, а также результатами обширного вычислительного эксперимента.

Внедрение результатов работы. Разработанные регуляризирующие алгоритмы деконволюции одномерного интегрального уравнения использовались в научных и прикладных исследованиях, проводимых в Электротехническом институте Томского политехнического университета при выполнении НИР и связанных с идентификацией параметров эквивалентной схемы замещения электрического разряда (имеется акт о внедрении результатов диссертационной работы). Результаты диссертации использовались в учебном процессе при чтении учебного курса «Методы решения некорректных задач идентификации», читаемого магистрантам факультета автоматики Новосибирского государственного технического университета (НГТУ).

Апробация работы. Результаты работы докладывались, обсуждались и получили положительную оценку на:

• научных семинарах направления «Математика и компьютерные технологии» НГАСУ (2005,2006,2007 годы);

• научно-технических конференциях ППС НГАСУ (2005,2006,2007 годы);

• Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004);

• 13-й Международной Байкальской школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Северобайкальск, 2005);

• Международной конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006);

• Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 14 публикациях, в том числе 7 научных статей, вошедших в перечень изданий, рекомендованных ВАК, 3 публикации в трудах международных конференции.4-тр. HTACS

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 78 наименования, приложения. Объем диссертации составляет 14Б страниц основного текста, в том числе содержит 27 рисунков и 4 таблицы.

ВЫВОДЫ

1. Использование устойчивых алгоритмов дифференцирования и решения интегральных уравнений, эффективно учитывающих погрешности исходных данных решаемой задачи позволило получить решение задачи идентификации параметров схемы замещения с приемлемой точностью.

2. Предложенный регуляризирующий алгоритм можно использовать для идентификации более сложных функций переходной проводимости, соответствующих более высокой степени характеристических многочленов эквивалентных схем замещения газового разряда.

1. Базара М. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы / М. Базара, К. Шетти ; пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 584 с.

2. Бессонов JI.A. Теоретические основы электротехники/ Бессонов JI.A. М. : Гардарики, 1999. - 638 с.

3. Васин В. В. Некорректные задачи с априорной информацией /

4. B. В. Васин, А. Л. Агеев. Екатеринбург: Наука, 1993. - 264 с.

5. Воскобойников Ю. Е. Выбор параметра регуляризации и ошибки восстановления входного сигнала в методе статистической регуляризации / Ю. Е. Воскобойников // Автометрия. 1975. - № 4.1. C. 10-18.

6. Воскобойников Ю. Е. Выбор параметра регуляризации при решении обратных измерительных задач / Ю. Е. Воскобойников, Н. Г. Преображенский // Автометрия. 1984. - № 2. - С. 31-38.

7. Воскобойников Ю. Е. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике / Ю. Е. Воскобойников, Н. Г. Преображенский, А. И. Седельников. Новосибирск : Наука, 1984. - 238 с.

8. Воскобойников Ю. Е. Частотный подход к оценке точности сглаживания и дифференцирования экспериментальных данных на основе сглаживающих сплайнов / Ю. Е. Воскобойников // Автометрия. 1986. - № 1. - С. 38-43.

9. Воскобойников Ю. Е. Решение обратных измерительных задач с заданными точностными характеристиками / Ю. Е. Воскобойников // Автометрия. -1988.-№2.-С. 13-21.

10. Воскобойников Ю. Е. Решение обратных измерительных задач на выпуклых множествах / Ю. Е. Воскобойников / Ю. Е. Воскобойников // Автометрия. -1990.-№1.-С. 21-28.

11. Воскобойников Ю.Е. Нелинейные комбинированные алгоритмы фильтрации зашумленных сигналов и изображения / Ю. Е. Воскобойников //Автометрия.-1990.- №1. С.21 28.

12. Воскобойников Ю.Е. Алгоритмы фильтрации изображений с адаптацией размеров апертуры / Ю.Е. Воскобойников, В.Г. Белявцев // Автометрия . -1998. -№3.- С. 18-25.

13. Воскобойников Ю. Е. Дескриптивный алгоритм восстановления входных сигналов оптических систем / Ю. Е. Воскобойников, К. А. Втюрин, В. А. Литасов // Автометрия. 2005. - Т. 41, № 3. - С. 3-10.

14. Воскобойников Ю. Е. Регуляризирующий алгоритм непараметрической идентификации при неточных исходных данных / Ю. Е. Воскобойников, В. А. Литасов // Научный вестник НГТУ. 2005. - № 2 (20). - С. 33-45.

15. Воскобойников Ю.Е., Кузнецов A.M. Новый алгоритм адаптации апертуры векторных локальных фильтров // Автометрия . 2005. т. 41. № 5. с. 3 -10.

16. Воскобойников Ю. Е. Устойчивый алгоритм идентификации параметров эквивалентной схемы замещения электрического разряда / Ю. Е.

17. Воскобойников, В. А. Литасов // Научный вестник НГТУ. 2006. - № 4 (25). -С. 3-16.

18. Гончарский А. В. Обобщенный принцип невязки / А. В. Гончарский, А. С. Леонов и др. // ЖВМиМФ. 1973. - Т. 13, №2.-С.294-302.

19. Гордонова В. И. Численные алгоритмы выбора параметра регуляризации / В. И. Гордонова, В. А. Морозов // ЖВМиМФ. 1973. -Т. 13, №3.

20. Жуковский Е. Л. Статистическая регуляризация алгебраических систем уравнений / Е. Л. Жуковский // ЖВМиМФ. 1972. - Т. 12, № 1. - С. 185191.

21. Исаев Ю.Н. Определение параметров двухполюсника при воздействии импульсного напряжения / Ю.Н. Исаев, В.А. Колчанова, Т.Е. Хохлова // Электричество. 2006. № 1 - С. 64-67.

22. Лаврентьев М. М. Линейные операторы и некорректные задачи / М. М. Лаврентьев, Л. Я. Савельев. М.: Наука, 1991. - 331 с.

23. Литасов В.А. Метод L-кривой и устойчивый алгоритм восстановления изображений / В.А. Литасов // Труды НГАСУ. -2006. т.9. - № 3(35). - С. 28-33.

24. Морозов В. А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации / В. А. Морозов // ЖВМиМФ. 1968. - Т. 8, № 2. -С. 295-309.

25. Морозов В. А. Об оптимальной регуляризации операторных уравнений / В. А. Морозов // ЖВМиМФ. 1970. - Т. 10, № 4. -С. 818-829.

26. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач / В. А. Морозов. М.: Наука. 1987. - 240 с.

27. Морозов В. А. Об алгоритмах дескриптивной регуляризации решений интегральных уравнений Фредгольма I рода / В. А. Морозов, Н. JL Гольдман. М.: Изд-во МГУ, 1976. - С. 52-72.

28. Морозов В. А. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект / В. А. Морозов, А. И. Гребенников. М. : Изд-во МГУ, 1992.-319 с.

29. Мухина И. Н. Дескриптивный регуляризующий алгоритм решения плохо обусловленных систем уравнений / И. Н. Мухина // Труды НГАСУ. -Новосибирск : Изд-во НГАСУ, 1999. Т. 2, № 1 (4). -С. 11-16.

30. Претт У. Цифровая обработка изображений / Претт У.; Кн. 2. М.:Мир, 1982,- 480 с.

31. Рихтер Д. Программирование на платформе Microsoft .NET Framework I Д. Рихтер; пер. с англ. 2-е изд., испр. - М.: Издательско-торговый дом «Русская Редакция», 2003. - 512 стр.: ил.

32. Самойлович В.И. Физическая химия барьерного разряда/В.И. Самойлович, К.В. Гибалов, В.К. Козлов. М.: Изд-во МГУ, 1989. - 360 с.

33. Сизиков В. С. Математические методы обработки результатов измерений /

34. B. С. Сизиков. С-Пб.: Изд-во Политехника, 2001. - 240 с.

35. Сизиков В. С. О способах невязки при решении некорректных задач / В. С. Сизиков // ЖВМиМФ. 2003. - Т. 43, № 9. - С. 1294-1312.

36. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач / А. Н. Тихонов // Доклады АН СССР. 1963. - Т. 153, № 1.1. C. 49-52.

37. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации / А. Н. Тихонов // Доклады АН СССР. 1963. - Т. 151, № 3. -С. 501-504.

38. АЪ.Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. М.: Наука, 1986. - 285 с.

39. Тихонов А. Н. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов и др. -М.: Наука, 1988.- 198 с.

40. Тихонов А. Н. Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов и др. М.: Наука, 1990. -231с.

41. Турчин В. Ф. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач / В. Ф. Турчин, В. П. Козлов и др. // Успехи физических наук. 1970. - Т. 102, № 3. - С. 345-386.

42. Турчин В. Ф. Восстановление оптических спектров и других неотрицательных функций по методу статистической регуляризации / В. Ф. Турчин, JI. С. Туровцева // Оптика и спектроскопия. 1974. - Т. 36, № 2. -С. 280-287.

43. Федотов А. М. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных / А. М. Федотов. Новосибирск : Наука, 1990. - 279 с.

44. Фролов А.В. Язык С#/ Фролов А.В., Фролов Г.В. //Самоучитель. -М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2003. 560 с.

45. Ягола А. Г. О выборе параметра регуляризации по обобщенному принципу невязки / А. Г. Ягола // ДАН. 1979. - Т. 245, № 1. -С. 37-39.

46. Bertero М. Regularized and positive-constrained inverse methods in the problem of object restoration / M. Bertero, V. Dovi // Opt. Act. 1981. - V. 28, № 12. - P. 1635-1649.

47. Engl H. W. A posteriori parameter choice methods for general methods for solving linear ill-posed problems / H. W. Engl, H. Gfrerer // Appl. Numer. Math. -1988.-№4.-P. 395-417.

48. Engl Н. W. Using the L-curve for determining optimal regularization parameter / H. W. Engl, H. Gfrerer I I Appl. Numer. Math. 1994. -№69.-P. 25-31.

49. Engl H. W. A regularization of inverse problems / H.W. Engl, M. Hanke, F. Neubauer. Kluwer Academic Publisher, 2000. - 383 c.

50. Hansen P. C. Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve / P. C. Hansen // SIAM Review. 1999. -V. 34. - P. 561-580.

51. Hansen P. C. Rank-deficient and discrete ill-posed problems / P. C. Hansen. SIAM monographs on mathematical modeling and computation. Philadelphia, 1998.-282 p.

52. Karajiannis N. B. Regularization theory in image restoration the stabilizing functional approach / N. B. Karajiannis, A. N. Venetsanopoulos // IEEE Trans, on Acoust. Speech and Sign. Proces. - 1990. - V. 38, №7.-P. 1155.

53. Lukas M. A. Comparison of parameter choice methods for regularization with discrete noisy data /M. A. Lukas //Inverse Problem. V. 14, № 2. - P. 161-184.

54. Vogel C. R. Non-convergence of L-curve regularization parameter selection method / C. R. Vogel // Inverse Problems. 1996. - V. 12, № 4. - P. 535-547.

55. Voskoboinikov Yu. E. Estimating the optimal parameter of regularizing algorithms for image restoration / Yu. E. Voskoboinikov // Optoelectronics, Instrumentations and Data Processing. 1995. - № 3. - P. 64.

56. Voskoboinikov Yu. E. Choice of the regularization parameter at unknown noise level / Yu. E. Voskoboinikov // Proceedings of the International Conference «Ill-posed and Inverse Problems». Novosibirsk : Изд-во Института математики CO РАН, 2003.-С. 32-35.

57. Voskoboinikov Yu. E. Descriptive restoration algorithm of the input signals of optical systems / Yu. E. Voskoboinikov, V. A. Litasov // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2005. V. 41, № 3. - P. 3-11.

58. Voskoboinikov Yu. E. A stable image reconstruction algorithm for inexact point-spread function / Yu. E. Voskoboinikov, V. A. Litusov // Optoelec6tronics, Instrumentation and Data Processing. 2005. V. 42, № 6. - P. 3-12.

59. Voskoboinikov Yu. E. Regularizing algorithm of two dimensional deconvolution with noise kernel / Yu. E. Voskoboinikov, V. A. Litasov // Труды международной конференции «Тихонов и современная математика». М.: Изд-во МГУ.- 2006. С. 67-72.

60. Voskoboinikov Yu. Е. Local regularizing deconvolution algorithm with noise kernel / Yu. E. Voskoboinikov // Труды международной конференции «Тихонов и современная математика». М.: Изд-во МГУ.- 2006. С. 73-78.

61. Wahba G. Smoothing noisy data with spline functions / G. Wahba. Numer. Math. 1975. - v. 24, № 2. - P. 383-393.

62. Youla D. C. Image restoration by the method of convex projections / D. C. Youla, H. Webb I I IEEE Trans. On Medical Imaging. 1982. - V. 1, № 2. -P. 81-103.