автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Динамические модели и алгоритмы восстановления сигналов измерительных систем с наблюдаемым вектором координат состояния

На правах рукописи

Иосифов Дмитрий Юрьевич

ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С НАБЛЮДАЕМЫМ ВЕКТОРОМ КООРДИНАТ СОСТОЯНИЯ

Специальность 05 13 01 — „Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Челябинск 2007

□0305Э44В

003059446

Диссертационная работа выполнена на кафедре „Информационно-измерительная техника" Южно-Уральского государственного университета.

Научный руководитель — доктор технических наук,

профессор Шестаков A JI

Официальные оппонентьгдоктор технических наук,

профессор Щипицын А Г, кандидат технических наук, доцент Кощеев A.A.

Ведущее предприятие — ФГУП Государственный ракетный центр

„Конструкторское бюро имени академика В.П Макеева", г Миасс, Челябинская обл

Защита состоится 28 марта 2007 г, в 14 ч 00 мин, на заседании диссертационного совета Д212 298 03 при Южно-Уральском государственном университете по адресу 454080, г Челябинск, пр им В И Ленина, 76, зал заседаний ученого совета №1 (ауд.1001).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Уральского государственного университета

Автореферат разослан "А? " 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук, доцент с^^^ АМ Коровин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Проблема повышения точности является одной из центральных в динамических измерительных системах Ее успешное решение — одно из необходимых условий дальнейшего совершенствования таких систем Оно оказывает стимулирующее влияние на многие смежные отрасли науки и техники, испытывающие потребность в точных измерениях Измерения, выполняемые в динамическом режиме, например, в наземных испытательно-измерительных комплексах, характеризуются динамической погрешностью, обусловленной инерционностью первичного измерительного преобразователя (датчика) и случайными шумами, присутствующими на его выходе Данная составляющая погрешности измерения зачастую оказывается существенно больше всех других составляющих погрешности Ранее разработанные линейные методы исчерпали возможности дальнейшего повышения точности Перспективным представляется использование первичных измерительных преобразователей с измеряемым вектором координат состояния Применение теории модального управления, обладающей возможностью синтеза систем с требуемыми характеристиками качества, для создания динамических моделей измерительных систем и алгоритмов на их основе позволит создавать измерительные системы, существенно повышающие точность измерительных комплексов и измерительных систем различного применения

Объектом исследования являются динамические измерительные системы, в которых динамическая погрешность является основной составляющей общей погрешности измерения

Предметом исследования являются динамические модели измерительных систем с измеряемым вектором координат состояния датчика и алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов

Цель работы заключается в повышении динамической точности измерительных систем на основе динамических моделей измерительных систем с измеряемым вектором координат состояния первичного измерительного преобразователя

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи

1) Провести анализ существующих методов коррекции динамической погрешности измерений,

2) Разработать динамические модели измерительных систем и алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов на основе модели датчика с измеряемым вектором координат состояния,

3) Разработать метод оптимальной настройки параметров корректирующего устройства измерительной системы,

4) Провести цифровое моделирование и экспериментальное исследование разработанных динамических моделей и алгоритмов выбора оптимальных параметров

Методы исследования. Разработка динамических моделей измерительных систем основана на использовании методов теории автоматического управления, таких как модальное управление, методы теории оптимального управления, а так же математических методов аппроксимирования

Достоверность и обоснованность. Динамические модели и алгоритмы, предложенные в работе, основаны на фундаментальных положениях теории систем автоматического управления и корректном применении математического аппарата. Достоверность приведенных теоретических исследований подтверждена цифровым моделированием и экспериментальным исследованием Достоверность экспериментальных результатов обеспечена применением высокоточных средств измерений и хорошо апробированным программным обеспечением, использовавшимся при обработке экспериментальных данных.

Научная новизна:

1) Разработаны новые динамические модели измерительных систем с измеряемым вектором координат состояния датчика и на их основе предложены новые алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов

2) Разработан новый метод оптимальной настройки параметров динамических измерительных систем, основанный на минимизации среднеквадра-тического значения погрешности измерений и аппроксимации „идеальной" частотной характеристики измерительной системы методом Чебышева-Паде

Практическая ценность полученных результатов заключается в применении алгоритмов восстановления динамически искаженных сигналов и алгоритмов настройки параметров корректирующего устройства динамических измерительных систем с измеряемым вектором координат состояния первичного измерительного преобразователя для уменьшения динамической погрешности измерения при наличии шумов на входе и выходе датчика

Апробация работы. Работа была поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 04-01-96085 (региональный конкурс РФФИ-Урал), двумя грантами студентов, аспирантов и молодых ученых вузов Челябинской области 2002 и 2003 гг Также данная работа была включена в тематический план научно-исследовательских работ, проводимых по заданию Федерального агентства по образованию № 1 4 02

Результаты работы докладывались и обсуждались на V Международной научно-технической конференции „Динамика систем, механизмов и машин" (г Омск, 2004 г), 54, 56 и 57 научно-технических конференциях при ЮжноУральском государственном университете (г Челябинск, 2002, 2004 и 2005 гг)

Публикации. По результатам выполненных исследований и разработок опубликовано 7 печатных работ

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы (145 наименований) Основная часть работы содержит 162 страницы, 38 рисунков, 1 таблицу, 3 приложения

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель и задачи диссертационной работы, указаны полученные в диссертации новые результаты, их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту и описана структура диссертации

В первой главе рассмотрены структуры информационно-измерительных систем и проведен анализ состояния исследований в области теории ди-

намических измерений Существенный вклад в развитие теории динамических измерений внесли С.М Мандельштам, Г И. Солопченко, В В Леонов, В А Грановский, Г И. Кавалеров, В.М Хрумало, Г И Василенко, А Н Тихонов, А Ф. Верлань, Ю Е Воскобойников и другие ученые

До настоящего времени получили развитие методы восстановления динамически искаженного сигнала на основе метода регуляризации А Н. Тихонова, приводящие к необходимости использовать обратное преобразование Фурье, представленные, например, в работах В А Грановского и ГН Солопченко, и методы восстановления на основе численного решения интегрального уравнения свертки Наиболее полно этот метод решения рассмотрен в работах А Ф Верлань

Разработка вопросов анализа динамической погрешности и ее коррекции методами структурной теории автоматического управления приведена в работах АЛ Шестакова Данный подход позволяет получить динамические модели измерительных систем с модальным управлением динамическими характеристиками Более того, при таком подходе возможно создание адаптивных измерительных систем, которые предполагают изменение своих динамических параметров на основе получаемой измерительной информации. Создание таких интеллектуальных измерительных систем является перспективным направлением в области теории динамических измерений

В теории автоматического управления хорошо разработаны методы синтеза корректирующих устройств для задания системам требуемых характеристик качества Прямое применение методов теории модального управления невозможно в обычных измерительных системах, поскольку их структура не позволяет охватить себя обратными связями с выхода на вход, что является основным требованием для восстановления вектора координат состояния Но в некоторых случаях измерительные системы обладают необходимыми качествами, для управлениями отдельными модами и уменьшения динамической составляющей погрешности измерения

Поэтому задача разработки динамических моделей измерительных систем с измеряемым вектором координат состояния и алгоритмов восстановления динамически искаженных сигналов с помощью этих методов является весьма актуальной Успешное ее решение значительно улучшит метрологические характеристики и эффективность существующих дорогостоящих наземных испытательно-измерительных комплексов без значительных материальных затрат за счет глубокой математической обработки результатов измерений

Во второй главе рассматриваются линейные стационарные динамические измерительные системы с измеряемым вектором координат состояния первичного измерительного преобразователя описываемые в форме пространства состояний

х(1)=А х(0+В и(0, гп

у(0 = с *(<)+£> И(0,

где А,В,С,£> — матрицы размеров п х п,п хг, I хп, I х г соответственно (/ <п), А — матрица коэффициентов фазовых координат, В — матрица коэффициентов управляющих воздействий, С — матрица выхода, I) — матрица обхода системы.

Структурная схема такого датчика, с возожностью измерения вектора координат состояния представлена на рис 1

Рис 1 Структурная схема первичного измерительного преобразователя с измеряемым вектором координат состояния

Измерительная система рассматривается в работе в виде трех последовательно соединенных звеньев, представляющих собой датчик №д(р), блок коррекции нулей 1¥БКН(р) и блок коррекции полюсов 1Увкп(р) (рис 2)

и(1) Щ(р) УвкнЮ Щ^р) УипФ

у,а);

Рис 2 Блочное представление измерительной системы

Датчик имеет возможность прямого измерения вектора координат состояния. В пространстве состояний он описывается матрицами

С4 =

0 1 0 0 " 0 "

0 0 0 0 0

, Вд = ,

0 0 1 0

-а0 -а\ ~а„ 1

Ьо Ъх Ьт 0 '

0 с\ Ь\ 0 0

0 0 0 0 [0]

0 0 Ст Ьт 0

(2)

Блок коррекции нулей имеет количество входов, равное размерности измеряемого вектора координат состояния датчика и один выход Исследованы

различные структуры блока коррекции нулей с суммированием всех сигналов с разными весовыми коэффициентами и с дополнительной фильтрацией различных измерительных каналов (рис 3)

Блок коррекции полюсов имеет одинаковую структуру для всех моделей динамических измерительных систем и представляет собой модель датчика, охваченную обратными связями (рис. 4)

Такая структура измерительной системы позволяет восстанавливать сигнал на входе первичного измерительного преобразователя, за счет обеспечения близости параметров датчика и его модели, охваченной обратными связями При совпадении выходных сигналов, в условиях отсутствия помех, входные так же будут совпадать Звено с передаточной функцией (ао —Ко)/(Ьг) — с1о), на выходе измерительного преобразователя обеспечивает единичность коэффициента передачи в статическом режиме работы

Для каждой структурной схемы исследованы передаточные функции и показана возможность размещения нулей и полюсов требуемым образом За счет использования измеряемого вектора координат состояния датчика и дополнительных фильтрующих устройств в передаточных функциях возникают дополнительные настраиваемые параметры, использование которых приводит к более точной фильтрации шумов на входе и выходах датчика

На основе описания блоков в виде пространства состояний (1) были получены передаточные функции измерительной системы с блоком коррекции нулей, представленным на рис За, по формуле

Щр) = ¥(р) и~х{р) =£> + С (р 1п-А)~х

где 1„ — единичная матрица размера п х п Матричная передаточная функция датчика

1Гл(р)

В,

(3)

\ад = ад ид-](р) =

Шр) (р)

1Гм(р)

(4)

где

Ш,(п) = = рт ьт+рт 1 Ь">-1+ +рЬ\+ь0 Цр) р» а„+р»-1 а„-х+ +р а,+а0

И^Ы = =_с'_

„(„) р" а„+р"-> а„-,+ +ра 1+о0

{Р)=Щ=Р Ъ2(Р)

(р)

Матричная передаточная функция блока коррекции нулей

У*бкн[р) = Увкн(р) и-Цр) = [ -до ~Ч\ -42 1

Матричная передаточная функция блока коррекции полюсов

™БКл{р) = УБКП{р) и-Цр) =

р" а„+рп~х а„-1+ +р Я1+ао

(5)

р„+рп~х {ап-\ —К„-\) + +р {а1-К1) + (а0-К0)

г)

Рис 3 Варианты использования измеряемого вектора координат состояния в блоке коррекции нулей

УвкнШ

модель датчика охваченная обратными, связями_

Рис 4 Структурная схема блока коррекции полюсов в виде модели датчика, охваченной обратными связями

Для матричных передаточных функций последовательно соединенных систем, имеет место следующее соотношение

БКН (Р)

(7)

отсюда находится матричная передаточная функция всей системы Так как в нашем случае результирующая система имеет один вход и один выход — ее матричная передаточная функция (7) записывается в скалярном виде

ТУт{р) =

Ут{р) Рт ит т— 1 Чт- 0 +

и(р) Рп+Р"~х {а„-\ -Кп-х) +

+Р Ь\ (до + С1 д{) + Ь0 до

. +р (а1-К:) + (а0-К0)

(В)

Из формулы (8) видно, что получено полное управление полюсами передаточной функции, а количество управляемых нулей системы равно количеству измеряемых координат состояния первичного измерительного преобразователя, при этом полином в числителе передаточной функции содержит коэффициенты с1ф 0 при соответствующих д, При всех коэффициентах с, ф 0 получаем полное управление нулями передаточной функции измерительного преобразователя

Аналогичным образом были получены передаточные функции остальных измерительных систем (рис 3б,в,г) Вид фильтра Щ,(р) в схеме 36 может быть различным в зависимости от задачи измерения и характеристик измеряемых и шумовых сигналов В наиболее общем виде фильтр описывается как динамическое звено

цг !0\ = УАР± = Рт -+Р ¿1+4)

У»{р) Рт Ът+рт~1 Ът. 1+ +Р Ь1 + 60' при этом передаточная функция измерительного преобразователя

= УикР) - Рт + Ът)+ +р {<1\+д\ Ъ\) + ё.о

и(р) Р"+Р"~1 +р (а1-К1) + (а0-К0У

Таким образом, получено избыточное управление нулями измерительного преобразователя при полностью управляемых полюсах

В блоке коррекции нулей, представленном на рис Зв фильтруется взвешенная сумма измеряемых координат состояния первичного измерительного преобразователя, что позволяет уменьшать влияние шумов измерения, с одинаковыми характеристиками на всех каналах одновременно При использовании фильтра с передаточной функцией

Щр) = Мр)- 1

у»{р) рт-с!т+рт-1 +Р ^+¿0'

получили передаточную функцию измерительного преобразователя.

ш , ч Ут{р) 1Рт Ьт+рт-1 ¿>„-1 + . +р ¿1+йр

Иип(р) - , =(—^-—зп-;-;-;- Ю +

и(р) р" а„+р" 1 а„-\ + +р ах+ао

1

+

рт с/т+р>»-1 аГт_1+ +р с/1 + с/0

Е.

42 Ь2 р2

х(_91 Ъ\ р |

р" а„+рп~1 а„_1+ й!+а0

+р" а„+рп~х а„-\ + . +р а\+а0+ + +--))х

_Р" ап+р"~х ап-1+ -+Р а1 +Др _

(ви_,-^_1)+ -+-/> («1-ЛГО + Соо-АЬ)

Таким образом, получено избыточное управление нулями и полюсами передаточной функции измерительного преобразователя, а также, исходя из структурной схемы — возможность фильтрации однотипных по своим характеристикам шумов измерения на всех выходах первичного преобразователя одновременно

В блоке коррекции нулей на рис Зг фильтруется каждый измерительный канал, что позволяет более точно восстанавливать измеряемый сигнал

при значительных различиях в характеристиках шумовых сигналов на выходах первичного измерительного преобразователя

Также, разработанный метод коррекции динамической ошибки возможно применять в процессе косвенных измерений параметров, при которых в систему вводятся элементы, интегрирующие выходной сигнал первичного измерительного преобразователя. Выходы таких интеграторов могут использоваться как составляющие измеряемого вектора координат состояния

нулей при косвенных измерениях

При использовании блока коррекции полюсов (6) передаточная функция измерительного преобразователя с числом дополнительных интеграторов / примет вид

1УШ1(р) = жБКН(р) пгБШ(р) =

и(р)

рт Ът+рт-1 Ьт-1+ +Р Ъх+Ър р" ап+рп~х а„-1+ +р сц+ао ХР/ ЧГ+РГ~Х Ч/-1+ +Р Ч1+Ч0 Р/

_р" ап+Рп~1 Дл-1+ +р а\+ар__

Хр"+р"-1 (ав_1-*:„_!)+ +Р {щ-К1) + (а0-К0) ~

рт Ьт+рт~1 Ьт-1+ +р Ь{+Ь0 1 Х рг 9/-1+ +Р и+до

X 7 X

р}

_1_

Хрп+рп-1 (а„_, _/:„_!)+ +р (,а1-К1) + {а0-К0)

Из последнего выражения видно, что числитель имеет управляемые коэффициенты, позволяющие корректировать расположение нулей передаточной функции измерительного преобразователя

При невозможности измерения вектора координат состояния датчика, также возможно введение дополнительных интеграторов не только в блок коррекции нулей, но и в блок коррекции полюсов (рис 6), что позволяет

ут(П,__ уШ

{к}

Модель датчика охваченного обратными связями

Дополнительные интег-\ раторы охваченные обратными связями

Рис 6 Структурная схема блока коррекции полюсов, при введении дополнительных интеграторов

получать на выходе измерительной системы сигнал, совпадающий с входным, и применять предлагаемый метод настройки параметров корректирующего устройства Передаточная функция измерительного преобразователя после упрощения принимает вид

Гт(р) =

х

Ут{р) = и{р)

рт Ьт+рт-1 1+ +р Ь^ + Ьр 1

У д/+рг~1 9/-1+ +р д\+до х — х

1

х-

(9)

'рп+/+рп+/-\ (ап_х-кп-.х)+ +р»+/-(«-1) {а{-К1)+ +р"+/~" (а0-К0)-р/-1 К^- -р *(_(/_!))

При проведении цифрового моделирования в качестве входного воздействия первичного измерительного преобразователя с передаточной функцией

Уь{р)

1

и(р) Т?р2 + 2%дТдр+\'

где 2^=0,004 с и ^=0,5, был использован сигнал, в виде одного полупериода квадрата синусоиды с частотой 75 Гц и единичной амплитудой Датчик

имеет возможность прямого измерения одной координаты состояния и на его выходах присутствуют шумы измерения с частотой 150 Гц и амплитудой 0,03 Корректирующее устройство представляет собой блок коррекции нулей (рис За) с параметрами <7о=1, #1=0,004 и блок коррекции полюсов (рис 4), передаточная функция которого

w =Уш(р) _Тд2р2 + 2^Тдр+ 1 БК" УЛР) Т?р1 + 2ЬТ2р+\>

где Г2=0,003 с, £>=0,5.

Параметры измерительного преобразователя найдены из условия наибольшего соответствия выходного сигнала измеряемому

Из рис 7 видно восстановление полезного сигнала без увеличения шумовой составляющей в сравнении с расширением полосы пропускания за счет коррекции только полюсов измерительного преобразователя

В третьей главе разработан алгоритм оптимальной настройки параметров корректирующего устройства динамической измерительной системы с измеряемым вектором координат состояния датчика

Измеряемые и шумовые сигналы заданы таким образом, что их спектральные плотности описываются в дробно-рациональной форме

S(GJ) = Ь" С°"+ +bl С0 + Ь° ат сот+ +а\ со + ао

Критерий оптимальности основан на минимизации среднеквадратичной погрешности системы, в которую входят погрешность от искажения входного сигнала самим первичным измерительным преобразователем и составляющие погрешности, вносимые шумами на его выходах

оо оо

М{е2}= ^ J |ЖЕ(;ю)|2 Su((0)da> + ~ J\WVi{j(o)\2 ■SVl(co)da> +

—оо —оо

оо

• +^J\WVr(j(0)\2 SVr(co)dco, (10)

0,8

SJ 0,6

0,4

-0,2 -OA

АЛ -л- Сигналы \ - эталонный \

11, k \ — - йсказкрмий | - восстановленной ¿■-СипмЖярн____;......

" Ф ш А/Г« восстановлении | расширением полосы

ЛХ1 ш

// kLLi А. \ Г

0 0.01 0,02 0,03 0,04 0 05 0 06

Время, с

Рис 7 Результаты цифрового моделирования по восстановлению динамически искаженного сигнала

где ^Ге(у(о) — частотная характеристика измерительного преобразователя по погрешности, 1¥У1(]СО) — частотная характеристика измерительного преобразователя по г-й помехе, Би(а>) — спектральная плотность полезного сигнала, — спектральные плотности шумовых составляющих Предложен метод нахождения оптимальных параметров, основанный на нахождении „идеальных" передаточных функций корректирующего устройства измерительной системы, с использованием измеряемого вектора координат состояния датчика и последующим аппроксимированием с помощью аппроксимаций Чебышева-Паде

„Идеальные" передаточные функции — это передаточные функции корректирующего устройства которые минимизируют критерий (10), но не обязаны быть рациональными (те отношением двух многочленов) Они получаются из следующих соображений

Объединив интегралы в (10) в один интеграл, при условии, что на функции не накладывается дополнительных ограничений, то минимум интеграла достигается тогда, когда значения (У^(усо) при каждом со минимизируют значение подынтегральной функции

= |1 - Ж/ 0а>Ж0а>) ~ - - ^(;со)И^со)12 й(а>) +

ЦW}{Jm)wl{J(o) + W¡{Jai)Wl{J(o)+ +ж/0й))<0й))|2 5У1(©) +

+К0*)\2 + + +|<(7о)|2 ^(а>), (11)

где для простоты опущен общий множитель ^ Таким образом, в каждый момент со рассматривается как фиксированное число, а со) — как комплексные переменные и находится минимум выражения (11)

Функция (11) является вещественнозначной, те принимающей вещественные или, что то же самое, действительные значения, функцией комплексного аргумента г' = Записав ее как функцию аргументов г' = ^¿у(усо)

и? = Г„о«>)

= О-гЧ'ОюЬ^Л./®)- «))

(1-?1г1и со)-?¥2д0со)- -2¥[{]Со))8и{а>) + + щ? Осо)¥10 со) Жд2Осо)¥2 о со) +

+^Жд'(;со)¥'д0со))5п(со) + +21?Б12(со)+г2?Б12(со)+ (12)

и найдя и приравняв нулю производные (12) по

+71 Г¥д10^1(;(о)Бщ((о) +^¿(£0) = 0,

|/ = _(1 ^С/а»)-^»^С/а») - -¿1¥1д{](о))}у]{](о)Би{(о) +

4*Ч2(Ую)^0ю)й1(а>)+^£(а>) = 0, (13)

= _(1 ^Ош) -г2 - -¿Т¥1д{](о))1¥1д{](о)8и{а) + (ю) = О,

находятся элементы „идеальной" матричной частотной характеристики из полученной системы линейных неоднородных уравнений (13), решив ее с помощью соответствующих математических методов, например, правила Крамера

,а>) = [ ^Ою) ^(усо) КОп) ]Г <14>

Полученные „идеальные" частотные характеристики в большинстве случаев не могут быть реализованы в выбранной структуре измерительной системы, поэтому возникает необходимость в приближении параметров реального измерительного преобразователя к „идеальному" В качестве метода аппроксимации был выбран метод Чебышева-Паде, объединяющий идеи разложения по многочленам Чебышева и аппроксимации Паде Основным преимуществом такого аппроксимирования является приближение аппрок-симанты к „идеальной" частотной характеристике измерительной системы в желаемом диапазоне частот Пусть элементы „идеальной" частотной характеристики корректирующего преобразователя, описываемые в общем виде выражениями

ш' с - ¿0+^1 ]<о+ +Ы Цсо)м- п

- «0 + Д17Ш+ ' (15)

имеют разложение по ортогональным многочленам Чебышева

/И = £г> Ч<о)

А частотная передаточная функция, реализация которой возможна при нашей структуре корректирующего устройства

и" <,т\ - Ьо + Ъ\-]<о+ +Ьт, 0(й)т>

раскладывается в ряд Чебышева

/(<») = £ О Т}{(0)

Тоща, они будут совпадать на достаточно большом участке, при совпадении как можно больших коэффициентов с]-р] и с, р1 При этом коэффициенты а, и Ь1 находят из решения системы нелинейных уравнений

0,8

0,6

0,4

Со = Со С\ = с\

j

k cn+m = cn\m

где с, и с, — коэффициенты разложения функций в ряд Чебышева

В качестве примера для проведения цифрового моделирования с использованием разработанного алгоритма, был принят ранне рассмотренный датчик, но без возможности измерения координат состояния На его входе присутствовала помеха в виде синусоидального воздействия с частотой 150 Гц и амплитудой 0,03 Шум измерения на выходе первичного измерительного преобразователя описывался „белым" шумом с нормальной функцией распределения и среднеквадра-тическим отклонением 3% от амплитуды выходного сигнала

В блок коррекции нулей (рис 5) и в блок коррекции полюсов были введены по два интегрирующих элемента При

этом передаточная функция корректирующего устройства принимает вид . Уип(р) _ {Tip1 + 2ЬТьР + 1) (Т?Р2 + 2^зТзр+l)

(17)

-0,2

_______________ -............|............... Сигналы \ -А- -эталонам

-я- - искаженЬът -— -восстановленный

H..L. х.......

[11 1

f V 1 1 ™ р ^

0 02 0 04 0,06

Время, с

Рис 8 Результаты восстановления динамически искаженного сигнала при оптимальной настройке корректирующего устройства

W

У»(р) (Tl2p2 + 2^Tlp+l) {T2p2 + lI;2T2p+\)

(18)

Постоянные времении и коэффициенты демпфирования в выражении (18) найдены из условия минимума среднеквадратической погрешности 71=1,26 10_3 с, <!;1=0,467, 72=1,23 10~3 с, ¿;2=0,47, 2*3=3,28 10~4 с, ^=0

Из рис 8 видно восстановление измеряемого сигнала при использовании дополнительных интеграторов в блоке коррекции нулей и блоке коррекции полюсов

В четвертой главе приводятся результаты экспериментального исследования по восстановлению динамически искаженных сигналов перемещения, скорости и ускорения при косвенном измерении посредством датчика линейного ускорения Вт20±11-16 с узкой полосой пропускания (0 16 Гц) и датчика линейного перемещения

ПЛИ058-02 с широкой полосой пропускания (0 100 Гц) в качестве эталонного

Упрощенная схема экспериментальной установки, приведена на рис 9 В ходе эксперимента два объекта большой массы „Нагрузка" и „Носитель" начинают двигаться относительно друг-друга в условиях свободного падения Необходимо определить параметры их взаимного движения На практике, в большинстве случаев для нахождения линейных скоростей объектов применяют датчики линейного перемещения (из-за отсутствия прямых методов измерения и большой полосы пропускания датчиков данного типа) с последующим дифференцированием, что приводит к резкому усложнению математического аппарата при вторичной обработке полученных данных

Применение данного алгоритма восстановления динамически искаженных сигналов при введении дополнительных интеграторов в блок коррекции нулей и блок коррекции полюсов, позволяет на основе датчиков линейного ускорения Вт20± 11-16 с малой полосой пропускания (0 16 Гц) получать сигналы перемещения, скорости и ускорения при наличии шумов на входе и выходе первичного измерительного преобразователя

Проведено экспериментальное исследование коррекции динамической погрешности при измерении сигнала скорости, с помощью датчика ускорения, при наличии интегрирующих звеньев для обеспечения косвенного измерения Датчик линейного ускорения описывался передаточной функцией

т = УМ =_I_

<Р) 7^+2^+1'

где Тд=5,26 Ю-3 с, £¿=0,52 Для нахождения скорости блок коррекции нулей был построен на основе двух интегрирующих звеньев (в общем виде представлен на рис 5), при одновременном дополнении блока коррекции полюсов одним дополнительным интегрирующим элементом (рис 6) В результате, был получен следующий вид корректирующего преобразователя

= Уип(р)^ (Тд2р2 + 2^дТдр+\) (Т32р2 + 2^Цр+\) "" Уд(р) Р {Т2р2 + 2^1 Т\р +1) (Г2У + 2£2Г2Р+1)

Места крепления датчиков перемещения

Рис 9 Схема расположения объектов испытания

0,05

0,04

20,03

Его параметры были получены с помощью разработанного алгоритма оптимальной настройки по минимуму среднеквадратической погрешности системы 71=0,25 1(Г2 с, ¿ji=0,45, 72=0,24 10~2 с, §2=0,3, Г3=0,15 10~2 с, §i=0

Графики сигналов представленны на рис 10 Выходной сигнал измерительного преобразователя входит в допуск 10-ти % погрешности через 0,008 с (при введении поправки на задержку восстановленного сигнала) Без коррекции это значение равно 0,025 с Получили трехкратное уменьшение времени вхождения восстановленного сигнала в зону 10-ти процентной погрешности Суммарная сред-неквадратическая погрешность b измерения в результате умень- g. шилась в 1,5 раза с 0,0015 до Q001 0,0010

Также проведено восстановление ускорения по данным датчика линейного ускорения при наличии двух интеграторов в блоке коррекции нулей и дополнении двумя интеграто- Рис 10 гРаФики сигналов при восстанов-рами блока коррекции полюсов лении скорости по информации об ускорение 5 и рис 6)

-0,01

0,005

0,010 0,015 0,020

Время, с

НИИ

0,030

W =

'' ку

Ут(р) .... (Тд2р2 + 2^Лр + 1) (Г3У + 2§3ТъР+\) yÁP) (Т2р2 + 2^Пр+\) (Т^ + 2^2Т2р+\)

Параметры корректирующего устройства были получены с помощью разработанного алгоритма оптимальной настройки по минимуму среднеквадратической погрешности системы 71=0,21 Ю-2 с, §1=0,51, 72=0,22 Ю-2 с, §2=0,49, 7з=0,12 Ю-2 с, §1=0

Исследования подтвердили улучшение динамических характеристик датчика ускорения Из рис 11 видно улучшение формы сигнала ускорения Погрешность измерения амплитуды ударного воздействия в результате уменьшилась примерно в 3 раза (с 44,18% до 16,28%), так же, как и погрешность продолжительности воздействия (с 24% до 8%)

0,005

0,025 0,030

0,010 0 015 0,020

Время, с

Рис 11 Графики сигналов при восстановлении ускорения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе разработаны и исследованы динамические модели измерительных систем с измеряемым вектором координат состояния первичного измерительного преобразователя и алгоритмы настройки параметров корректирующих устройств на их базе. На основе материалов теоретических, экспериментальных исследований и цифрового моделирования можно сформулировать следующие выводы и результаты

• Использование измеряемого вектора координат состояния первичного измерительного преобразователя позволяет уменьшить динамическую погрешность измерения на основе метода модального управления и определения идеальной частотной характеристики методом Чебьппева-Паде

• Полученные дополнительные настраиваемые параметры корректирующего устройства возможно использовать для проведения оптимальной настройки по критерию минимума среднеквадратической погрешности, учитывающего динамическую погрешность датчика и погрешность, вызванную шумами по измеряемым координатам, при известных спектральных плотностях сигналов

• Разработан алгоритм настройки корректирующего устройства динамической измерительной системы с измеряемым вектором координат состояния первичного измерительного преобразователя на основе метода модального управления

• Разработан алгоритм нахождения оптимальных параметров передаточной функции корректирующего устройства динамической измерительной системы, основанный на вычислении идеальной частотной характеристики и последующим ее приближением к реальной на основе аппроксимации Чебышева-Паде

• Математическое моделирование подтвердило эффективность использования разработанных динамических моделей при наличии и отсутствии возможности прямого измерения вектора координат состояния первичного измерительного преобразователя и импульсных измеряемых сигналах при наличии шумов на входе измерительной системы и в измеряемом векторе координат состояния первичного измерительного преобразователя

• Обработка экспериментальных данных подтвердила уменьшение динамической погрешности измерения при использовании разработанных динамических моделей и алгоритма восстановления динамически искаженного сигнала При эталонных сигналах датчика ПЛИ058-02 с полосой пропускания 100 Гц погрешность восстановления длительности измеряемого импульсного сигнала линейного ускорения датчиком Вт20±11-16 с полосой пропускания 16 Гц уменьшилась в 3 раза с 24 % до 8 %, погрешность измерения амплитуды импульса ускорения уменьшилась с 44,18% до 16,28%, а среднеквадратиче-ская погрешность измерения скорости уменьшилась с 0,0015 до 0,0010

НАУЧНАЯ ПУБЛИКАЦИЯ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В ВЕДУЩЕМ РЕЦЕНЗИРУЕМОМ ЖУРНАЛЕ ВАК

1 Иосифов, Д.Ю. Управление нулями и полюсами передаточной функции измерительного преобразователя с измеряемым вектором параметров состояния датчика / Д Ю Иосифов, А Л Шестков // Вестник ЮУрГУ Серия „Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника" — 2003. — Вып 2 - № 4 - С. 42-49

ДРУГИЕ НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Иосифов, Д.Ю. Динамические измерительные системы с измеряемым вектором параметров состояния датчиков / Д Ю Иосифов, А Л Шестаков // Приборостроение тем сб научн тр. — Челябинск. Изд-во ЮУрГУ, 2002 -С 98-102

2. Иосифов, Д.Ю. Динамические измерительные системы с измеряемым вектором параметров состояния первичного измерительногопреобразователя / Д Ю Иосифов // Конкурс грантов студентов, аспирантов и молодых ученых вузов Челябинской области сб реф науч -исслед раб — Челябинск Изд-во ЮУрГУ, 2002 - С 43-44

3 Иосифов, Д.Ю. Оптимальные динамические измерительные системы с измеряемым вектором параметров состояния первичного измерительного преобразователя / Д Ю. Иосифов // Конкурс грантов студентов, аспирантов и молодых ученых вузов Челябинской области сб реф науч -исслед раб -Челябинск Изд-во ЮУрГУ, 2003 - С 122-123

4 Иосифов, Д.Ю. Оптимальная настройка параметров корректирующего устройства динамической измерительной системы с измеряемым вектором параметров состояния датчика / Д Ю Иосифов, А Л Шестаков // Динамика систем, механизмов и машин. Матер V Междунар науч -техн конф — Омск Изд-во ОмГТУ, 2004 - Кн 1 -С 278-281

5 Иосифов, Д.Ю. Оптимальная настройка корректирующего устройства измерительного преобразователя для решения обратной задачи динамики при неполной информации о характеристиках сигналов и использовании измеряемого вектора параметров состояния первичного измерительного преобразователя /АЛ Шестаков, И Г Корепанов, Д Ю Иосифов // Изв Челябинского научного центра — http //www.csc ас ru/ej/ñle/1715 —2005 — №4 — С 150— 155

6 Иосифов, Д.Ю. Решение обратной задачи динамики на основе теории модального управления на основе модального управления с использованием измеряемого вектора параметров состояния первичного измерительного преобразователя /АЛ Шестаков, Д Ю Иосифов // Изв Челябинского научного центра — http7/wwwcscacru/ej/file/1712 —2005 — №4 — С 144-149

Иосифов Дмитрий Юрьевич

ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С НАБЛЮДАЕМЫМ ВЕКТОРОМ КООРДИНАТ СОСТОЯНИЯ

Специальность 05 13 01 — „Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Издательство Южно-Уральского государственного университета

Подписано в печать 25 01 2007 Формат 60x84 1/16 Печать офсетная Уел печ л 1,16 Уч -изд л 1 Тираж 100 экз Заказ 22/62

Отпечатано в типографии Издательства ЮУрГУ 454080, г Челябинск, пр им В И Ленина, 76

Введение.

1 Аналитический обзор способов обработки данных динамических измерений.

1.1 Актуальность динамических измерений.

1.2 Состояние теории в области динамических измерений

1.3 Методы синтеза систем с требуемыми характеристиками качества

1.4 Возможность применения измеряемого вектора координат состояния первичного измерительного преобразователя в измерительных системах.

2 Измерительная система с модальным управлением динамическими характеристиками при использовании измеряемого вектора координат состояния первичного измерительного преобразователя.

2.1 Линейная измерительная система с моделью датчика и возможностью измерения вектора координат состояния датчика

2.1.1 Динамические модели измерительной системы

2.1.2 Передаточные функции измерительной системы

2.2 Алгоритм синтеза измерительной системы при возможности измерения вектора координат состояния первичного измерительного преобразователя.

2.3 Динамическая модель измерительной системы с введением дополнительных интеграторов.

2.3.1 Непрямые измерения.

2.3.2 Введение дополнительных интеграторов при прямых измерениях и отсутствии измеряемого вектора координат состояния первичного измерительного преобразователя

2.4 Сравнительное моделирование систем с измеряемым вектором координат состояния датчика и с введением дополнительных интеграторов при наличии шумов.

Оптимальная настройка коэффициентов корректирующего устройства динамической измерительной системы с измеряемым вектором координат состояния первичного измерительного преобразователя.

3.1 Критерий оптимальности.

3.2 Оптимальная частотная характеристика корректирующего устройства.

3.3 Аппроксимации „идеальной" частотной характеристики УУку^ш). Желаемая частотная характеристика корректирующего устройства измерительной системы

3.3.1 Аппроксимации Паде

3.3.2 Многочлены Чебышева.

3.3.3 Аппроксимации Чебышева-Паде.

3.3.4 Обеспечение устойчивости алгоритма и времени 'ое запаздывание.

3.3.5 Алгоритм синтеза оптимального корректирующего устройства измерительной системы.

3.4 Оптимальная настройка управляемых коэффициентов корректирующего устройства динамической измерительной системы

3.4.1 Оптимальная настройка управляемых коэффициентов при известных статистических характеристиках сигналов и невозможности измерения вектора координат состояния первичного измерительного преобразователя

3.4.2 Оптимальная настройка управляемых коэффициентов при неполностью известных характеристиках сигналов и невозможности измерения вектора координат состояния первичного измерительного преобразователя

Экспериментальное исследование измерения малых величин скорости и ускорения.

4.1 Задача измерения

4.2 Описание экспериментальной установки.

4.3 Методика проведения измерений в эксперименте.

4.4 Обработка данных эксперимента.

4.4.1 Восстановление скорости по сигналу ускорения . ИЗ

4.4.2 Восстановление сигнала ускорения.

Измерения, выполняемые в динамическом режиме, например, в наземных испытательно-измерительных комплексах, характеризуются динамической погрешностью, обусловленной инерционностью первичного измерительного преобразователя и случайными шумами, присутствующими на его выходе. Данная составляющая погрешности измерений оказывается существенно больше всех других составляющих общей погрешности /15/. В случае сопряжения испытательных комплексов с современными вычислительными средствами и введения дополнительной математической обработки результатов испытаний можно значительно повысить точность динамических измерений, улучшить метрологические характеристики испытательных систем и значительно расширить функциональные возможности существующих датчиков /83/. Это повышает эффективность испытаний при создании новых образцов техники без дополнительных материальных затрат.

Динамический режим измерений характеризуется такими изменениями измеряемой величины за время проведения измерительного эксперимента, которые влияют на результат измерения. Вследствие этого, в теории динамических измерений наибольшее значение имеют две проблемы: восстановление измеряемого сигнала, динамически искаженного средством измерения, и анализ динамической погрешности. Формирование теории динамических измерений как самостоятельного раздела метрологии началось в нашей стране в конце 70-х годов. Существенный вклад в развитие этой теории внесли С.М. Мандельштам, Г.Н. Солопченко, В.В. Леонов, В.А. Грановский, Г.И. Кавалеров, В.М. Хрумало, Г.И. Василенко, А.Н. Тихонов, А.Ф. Верлань, Ю.Е. Воскобойников и другие ученые.

До настоящего времени получили развитие методы восстановления динамически искаженного сигнала на основе регуляризации А.Н. Тихонова, приводящие к необходимости использовать обратное преобразование Фурье, представленные, например, в работах Г.И. Василенко /18/, Г.Н. Солопченко /90/, О.В. Тулинского /32/, и методы восстановления на основе численного решения интегрального уравнения свертки. Наиболее полно этот метод решения рассмотрен в работах A.B. Верлань и B.C. Сизико-ва /19/. Однако, эти методы не позволяют получить требуемую точность измерений в испытательно-измерительных системах, в частности, в результате возникновения трудностей обработки длинных реализаций и проблем с получением импульсной переходной функции измерительной системы. Кроме того, эти методы не позволяют проводить синтез измерительных каналов по требуемым динамическим характеристикам. При этом в данных работах присутствует только одно предельное значение динамической погрешности для всей функции времени, что является слишком грубой оценкой.

В настоящее время анализ динамических погрешностей часто рассматривается как самостоятельная проблема. Ряд методов анализа динамической погрешности приведен в работе /28/. В работе /29/ обсуждается вопрос о введении типовых сигналов для анализа погрешности средства измерений. Вопросы определения коэффициентов передаточных функций средства измерения по экспериментальным данным и понижения порядка передаточной функции рассматриваются в работах В.В. Леонова /60/. Задача определения весовой и передаточной функций решается также в работах Г.Н. Солопченко /90,97,98/.

Способы получения необходимых динамических характеристик систем подробно исследованы в теории автоматического регулирования. Структурное отличие систем автоматического управления от измерительных систем состоит в том, что последние имеют на входе первичный измерительный преобразователь (датчик), входной сигнал которого недоступен ни для непосредственного измерения, ни для коррекции. В целом, измерительные системы не содержат возможности охватить себя обратными связями с выхода на вход. Поэтому невозможно непосредственное использование результатов модального управления и других методов теории автоматического управления в измерительных системах. Однако, возможно создать специфические структуры корректирующих устройств, в которых идея модального управления может быть реализована. К их числу относится измерительная система с модальным управлением динамическими характеристиками на основе модели датчика, разработанная профессором А.Л. Шестаковым.

Также в работах А.Л. Шестакова /109-117,120-123/ рассматриваются вопросы анализа динамической погрешности и ее коррекции методами структурной теории автоматического управления. В работах проведен синтез оптимального по среднеквадратической погрешности корректирующего устройства измерительного преобразователя, разработан алгоритм коррекции динамической погрешности измерений в условиях случайных шумов измерительной системы и метод оценки динамической погрешности. Данный подход позволяет получить эффективные методы восстановления измеряемого сигнала, анализа и уменьшения динамической погрешности, временные оценки динамической погрешности измерения. В его рамках возможно проводить построение измерительных систем с модальным управлением динамическими характеристиками, исходя из требований к заданной погрешности измерений. Более того, при таком подходе становится возможным создание адаптивных измерительных систем, которые предполагают изменение своих динамических параметров на основе получаемой измерительной информации. Создание таких интеллектуальных измерительных систем является перспективным направлением в области теории динамических измерений. Кроме того, использование дополнительной информации о векторе координат состояния датчика позволит более точно решать обратную измерительную задачу. Успешное ее решение значительно улучшит метрологические характеристики и повысит эффективность существующих дорогостоящих наземных испытательно-измерительных комплексов без значительных материальных затрат за счет глубокой математической обработки результатов измерений. При этом, внедрение таких динамических моделей и алгоритмов, а также их прикладного программного обеспечения, позволит создать интеллектуальные измерительные системы, способные индивидуализировать свои динамические параметры под реальные условия проведения измерений и конкретную структуру первичного датчика.

Объектом исследования являются динамические измерительные системы, в которых динамическая погрешность является основной составляющей общей погрешности измерения.

Предметом исследования в данной работе являются динамические модели измерительных систем с измеряемым вектором координат состояния датчика и алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов.

В связи с вышеизложенным, целью диссертационной работы является повышение динамической точности измерительных систем с возможностью прямого измерения вектора параметров состояния первичного измерительного преобразователя.

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи:

1. Провести анализ существующих методов коррекции динамической погрешности измерений;

2. Разработать динамические модели измерительных систем и алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов на основе модели датчика с измеряемым вектором координат состояния;

3. Разработать метод оптимальной настройки параметров корректирующего устройства измерительной системы;

4. Провести цифровое моделирование и экспериментальное исследование разработанных динамических моделей и алгоритмов выбора оптимальных параметров. и

Научная новизна:

1. Разработаны новые динамические модели измерительных систем с измеряемым вектором координат состояния датчика и на их основе предложены новые алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов.

2. Разработан новый метод оптимальной настройки параметров динамических измерительных систем, основанный на минимизации сред-неквадратического значения погрешности измерений и аппроксимации „идеальной" частотной характеристики измерительной системы методом Чебышева-Паде.

Практическая ценность. Разработанные динамические модели измерительных систем и алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов позволяют существенно уменьшить динамическую погрешность измерений при наличии шумов на входе и выходе первичного измерительного преобразователя.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся динамические модели измерительных систем с измеряемым вектором координат состояния первичного измерительного преобразователя, алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов разработанные на их основе и метод оптимальной настройки параметров корректирующего устройства динамической измерительной системы при наличии априорной информации о спектральных плотностях полезных и шумовых составляющих сигналов.

Апробация работы. Работа была поддержана:

1. грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 04-01-96085 (региональный конкурс РФФИ-Урал);

2. двумя грантами студентов, аспирантов и молодых ученых вузов Челябинской области 2002 и 2003 гг.

Также данная работа была включена в тематический план научно-исследовательских работ, проводимых по заданию Федерального агентства по образованию № 1.4.02.

Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. V Международной научно-технической конференции. Динамика систем, механизмов и машин, (г. Омск, 2004 г.);

2. 54, 56 и 57 научно-технических конференциях при Южно-Уральском государственном университете (г. Челябинск, 2002, 2004 и 2005 гг.).

Публикации. Результаты работы отражены в 7 научных публикациях. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы (145 наименований) и трех приложений. Основная часть работы содержит 162 страницы, 38 рисунков, одну таблицу и 3 приложения.

Выводы

• Использование динамических моделей и алгоритмов оптимальной настройки корректирующих параметров на основе метода модального управления с измеряемым вектором координат состояния первичного измерительного преобразователя уменьшает погрешность измерения динамических сигналов путем вторичной обработки экспериментальных данных при наличии шумов.

• Обработка экспериментальных данных показала, что сигнал с частотой 27 Гц, измеренный датчиком Вт20 (с частотой среза 16 Гц) со значительным искажением, возможно восстановить методом, предложенным в данной работе, основываясь на спектральных плотностях сигналов, взятых за эталонные, найденные по датчику перемещения ПЛИ058-02 с заведомо большей полосой пропускания (0 —100 Гц). На интервале от 0 до 0,015 с, где происходит резкий набор скорости, значения восстановленного сигнала практически полностью совпадают с эталонным. Среднеквадратическая погрешность измерения уменьшилась на 66,6%.

• При обработке сигнала ускорения использовалась схема восстановления искаженного сигнала, с введением дополнительных интегрирующих элементов в блок коррекции нулей и полюсов. При этом эталонный сигнал также находился на основе информации с датчика ПЛИ058-02 с большой полосой пропускания. В результате, форма восстановленного сигнала приблизилась к эталонному. Искажение по амплитуде уменьшилось в 3 раза (с 44,18% до 16,28%). Искажение продолжительности импульса уменьшилась с 24 % до 8 %.

Заключение

В диссертационной работе разработаны и исследованы динамические модели измерительных систем с измеряемым вектором координат состояния первичного измерительного преобразователя и алгоритмы настройки параметров корректирующих устройств на их базе. На основе материалов теоретических и экспериментальных исследований и цифрового моделирования можно сформулировать следующие выводы и результаты.

• Использование измеряемого вектора координат состояния первичного измерительного преобразователя позволяет уменьшить динамическую погрешность измерения на основе метода модального управления и определения идеальной частотной характеристики методом Чебышева-Паде.

• Полученные дополнительные настраиваемые параметры корректирующего устройства возможно использовать для проведения оптимальной настройки, по критерию минимума среднеквадратической погрешности, учитывающего динамическую погрешность датчика и погрешность, вызванную шумами по измеряемым координатам, при известных спектральных плотностях сигналов.

• Разработан алгоритм настройки корректирующего устройства динамической измерительной системы с измеряемым вектором координат состояния первичного измерительного преобразователя на основе модального управления.

Разработан алгоритм нахождения оптимальных параметров передаточной функции корректирующего устройства динамической измерительной системы, основанный на вычислении идеальной частотной характеристики и последующим ее приближением к реальной на основе аппроксимации Чебышева-Паде.

Математичекое моделирование подтвердило эффективность использования разработанных динамических моделей при наличии и отсутствии возможности прямого измерения вектора координат состояния первичного измерительного преобразователя и импульсных измеряемых сигналах при наличии шумов на входе измерительной системы и в измеряемом векторе координат состояния первичного измерительного преобразователя.

Обработка экспериментальных данных подтвердила уменьшение динамической погрешности измерения при использовании разработанных динамических моделей и алгоритма восстановления динамически искаженного сигнала. При эталонных сигналах датчика ПЛИ058-02 с полосой пропускания 100 Гц погрешность восстановления длительности измеряемого импульсного сигнала линейного ускорения датчиком Вт20 с полосой пропускания 16 Гц уменьшилась в 3 раза (с 24% до 8%), погрешность измерения амплитуды импульса ускорения уменьшилась с 44,18% до 16,28%, а среднеквадратическая погрешность измерения скорости уменьшилась с 0,0015 до 0,0010.

1. A.c. 1571514 СССР. Измерительный преобразователь динамических параметров / A.J1. Шестаков (СССР) // Открытия, изобретения. - 1990. - № 22. - 192 с.

2. A.c. 1673990 СССР. Измерительный преобразователь динамических параметров / В.А. Гамий, В.А. Кощеев, A.JI. Шестаков (СССР) // Открытия, изобретения. — 1991. — № 12. — 191 с.

3. Андриянов, A.B. Способ коррекции выходного сигнала измерительных приборов /A.B. Андриянов, В.В. Крылов // Измерительная техника. 1975. - № 4. - С. 59-61.

4. Андреев, Ю.Н. Управление линейными конечномерными объектами / Ю.Н. Андреев. М.: Наука, 1976. - 424 с.

5. Александров, А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем / А.Г. Александров. —М.: Машиностроение. 1986. — 272 с.

6. Александров, А.Г. Адаптивное управление с эталонной моделью при внешних возмущениях / А.Г. Александров // Автоматика и телемеханика. 2004. - № 5. - С. 77-91.

7. Аранов, П.М. Метод оптимального линейного оценивания для определения динамических характеристик средств измерения / П.М. Аранов, Е.А. Ляшенко, Л.Б. Ряшко // Измерительная техника. — 1991.1. И. С. 10-13.

8. Балонин, H.A. Спектральные характеристики линейных систем на ограниченном интервале времени / H.A. Балонин, Л.А. Мироновский // Автоматика и телемеханика. — 2002. — № 6. — С. 3-20.

9. Безуглов, Д.А. Дифференцирование результатов измерений с использованием математического аппарата вейвлет-фильтрации / Д.А. Безуглов, Н.О. Цугурян // Измерительная техника. — 2006. — №4.

10. Бейкер, Дж. (мл.) Аппроксимации Паде / Бейкер, Дж. (мл.), П. Грейвс-Моррис. М.: Мир. - 1986. - 502 с.

11. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического управления / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. — СПб.: Профессия, 2004. — (Специалист). — 752 с.

12. Бизяев, М.Н. Восстановление динамически искаженных сигналов испытательно-измерительных систем методом скользящих режимов / М.Н. Бизяев, А.Л. Шестаков // Изв. РАН. Энергетика. 2004. - № 6. - С. 114-125.

13. Бойко, М.В. Об одном методе определения динамических характеристик линейных систем / М.В. Бойко, Т.В. Черушева // Измерительная техника. 1993. - № 5. - С. 13-16.

14. Бугаков И.А. Метод динамических измерений параметров экстремальных воздействий // Датчики и системы. — 2001. — № 10.

15. Буков, В.Н. Анализ и синтез матричных линейных систем. Сравнение подходов / В.Н. Буков, C.B. Горюнов, В.Н. Рябченко // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 11. — С. 3-44.

16. Бунин, A.JL Метод последовательного улучшения в задаче синтеза регулятора линейного дискретного объекта / A.JI. Бунин // Автоматика и телемеханика. — 2004. — № 4. — С. 48-56.

17. Василенко, Г.И. Теория восстановления сигналов. О редукции к идеальному прибору в физике и технике / Г.И. Василенко. — М.: Сов. радио. 1979. - 269 с.

18. Верлань, А.Ф. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ / А.Ф. Верлань, B.C. Сизиков. — Киев: Наукова думка, 1978. - 291 с.

19. Вишняков, А.Н. Синтез модальных дискретных систем управления / А.Н. Вишняков, Я.З. Цыпкин // Автоматика и телемеханика. — 1993. № 7.

20. Воскобойников, Ю.Е. Восстановление реализаций входных сигналов измерительной системы / Ю.Е. Воскобойников, Я.Я. Томсон // Электродиффузионная диагностика турбулентных потоков: сб. науч. тр. Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР, - 1973. - С. 6696.

21. Габасов, Р. Синтез оптимальных обратных связей по недетерминированным моделям и неточным измерениям состояний / Р. Габасов, Ф.М. Кириллова, Т.И. Песецкая // Изв. РАН: Теория и системы управления. -2003, -№6, С. 66-76.

22. Габасов, Р. Оптимальное управление с помощью динамических регуляторов / Р. Габасов, Ф.М. Кириллова, Н.С. Павленок // Автоматика и телемеханика. — 2004, — №5. —С. 8-29.

23. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., — 1988. — 552 с.

24. Гик, Л.Д. Электрическая коррекция виброизмерительной аппаратуры / Л.Д. Гик, К.Б. Карандеев. — Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. - 130 с.

25. Гольдштейн, Е.И. Дискретное преобразование Фурье по коротким выборкам при наличии шумов / Е.И. Гольдштейн, Д.В. Ли // Измерительная техника, — 2004, — №4.

26. Грановский, В.А. Динамические измерения / В.А. Грановский. — JI.: Энергоатомиздат, — 1984. — 224 с.

27. Грановский, В.А. Методика определения динамических свойств средств измерений / В.А. Грановский, Ю.С. Этингер // Метрология.- 1974. МО. - С. 9-12.

28. Грановский, A.B. Динамические измерения в отраслях энергетического, тяжелого и транспортного машиностроения /A.B. Грановский, В.М. Домницкий, В.А. Соломоник // Измерительная техника. — 1985.- т. С. 3-4.

29. Грановский, В.А. Системная метрология: метрологические системы и метрология систем / В.А. Грановский. — СПб: Гос. науч. центр Рос. Федерации, Центр, науч.-исслед. ин-т "Электроприбор", — 1999. — 359 с.

30. Гулинский, О.В. О численном решении некоторых некорректных задач теории управления / О.В. Гулинский // Автоматика и телемеханика. 1976. - М. - С. 66-80.

31. Дидук, Г.А. Методы теории матриц и их применение для автоматизации исследований при проектировании систем управления: Учеб. пособие / Г.А. Дидук. -Л.: СЗПИ, 1986. - 85 с.

32. Доценко, C.B. Метод оптимальной коррекции сигналов дистанционных приборов с учетом флуктуационных шумов / C.B. Доценко, В.А. Нелепо, Г.Н. Поплавская // Автометрия. — 1978. №2. -С. 63-68.

33. Дылевский, A.B. Синтез линейных систем управления с заданным характеристическим полиномом / A.B. Дылевский, Г.И. Лозгачев // Изв. РАН: Теория и системы управления. — 2003, — №4. — С. 17-20.

34. Егоршин, А.О. Оптимизация параметров стационарных моделей в унитарном пространстве / А.О. Егоршин // Автоматика и телемеханика, 2004, - М2. - С. 29-49.

35. Заико, А.И. Уменьшение погрешностей измерительных каналов усреднением их показаний / А.И. Заико // Измерительная техника.- 1992. т. - С. 2-4.

36. Зедгинидзе, Г.П. Избранные труды в области метрологии, измерительной и вычислительной техники / Г.П. Зедгинидзе. — М.: Изд. стандартов, — 1983.

37. Зотов, М.Г. Конструирование модифицированного регулятора в пространстве состояний / М.Г. Зотов // Автоматика и телемеханика. — 2001. т. - С. 35-47.

38. Иванов, В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. — М.: Наука, — 1978.- 206 с.

39. Ибряева, O.JI. Достаточное условие единственности линейной аппроксимации Паде-Чебышева / O.JI. Ибряева // Изв. Челябинского научного центра, http://www.csc.ac.ru/news/20024/20024ll.zip,- №4(17), — 2002, — С. 1-5.

40. Иориш, Ю.И. Виброметрия. Измерение вибрации и ударов. Общая теория, методы и приборы /Ю.И. Иориш. — М.: Машгиз, — 1963. 178 с.

41. Иосифов, Д.Ю. Динамические измерительные системы с измеряемым вектором параметров состояния датчиков / Д.Ю. Иосифов, A.JI. Шестаков // Приборостроение: Тем. сб. научн. тр. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2002. - С. 98-102.

42. Карандеев К.Б. // Вестник АН СССР. -1961. -№10.

43. Казаков, И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний / И.Е. Казаков. — М.: Наука, — 1975. — 432 с.

44. Кваакернак, X. Линейные оптимальные системы управления / X. Кваакернак, Р. Сиван. М.: Мир, — 1977. - 650 с.

45. Ким, A.B. Линейно-квадратичная задача для систем с запаздыванием по состоянию. Точные решения уравнений Риккати / A.B. Ким, A.B. Ложников // Автоматика и телемеханика. — 2000. — №7. — С. 1531.

46. Кожинская, Л.И. Управление качеством систем / Л.И. Кожинская, А.Э. Ворновицкий. — М.: Машиностроение, — 1979. — 123 с.

47. Костоглотов, A.A. Синтез интеллектуальных измерительных процедур на основе принципов регуляризации / A.A. Костоглотов // Измерительная техника. — 2001, — — С. 8-13.

48. Красовский, A.A. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами / A.A. Красовский. — М.: Машиностроение, — 1969, — 240 с.

49. Краус, М. Измерительные информационные системы / М. Краус, Э. Вошни. М.: Мир, - 1975. - 310 с.

50. Крузнер, A.B. Восстановление входных сигналов средств измерений, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами / A.B. Крузнер // Измерительная техника. 1990. - т. - С. 12-13.

51. Кузовков, Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства / Н.Т. Кузовков. — М.: Машиностроение, — 1976. — 184 с.

52. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. — М.: Наука, 1980. - 285 с.

53. Лазарев, Ю. Моделирование процессов и систем в MatLAB: Учеб. курс / Ю. Лазарев. — СПб. и др.Литер: BHV, — 2005. —(Учебный курс). — 511 с.

54. Леонов, В.В. Об определении погрешностей коэффициентов передаточной функции линейной системы / В.В. Леонов // Радиотехника. т. 30. - 1975. - т. - С. 90-92.

55. Лозгачев, Г.И. Построение модальных регуляторов для одноконтурных и многосвязных систем / Г.И. Лозгачев // Автоматика и телемеханика. 2000, - №12. - С. 15-21

56. Максимов, М.В. Радиоэлектронные следящие системы. Синтез методами теории оптимального управления / М.В. Максимов, В.И. Меркулов. — М.: Радио-связь, — 1990. — 256 с.

57. Марпл, С.JI. (мл.) Цифровой спектральный анализ и его приложения / C.JI. (мл.) Марпл ; Пер. с англ. О.И. Хабарова, Г.А. Сидоровой; Под ред. И.С. Рыжака. М.: Мир, - 1990. - 584 с.

58. Марчук, Г.И. Некоторые вопросы линейной теории измерений / Г.И. Марчук, Ю.П. Дробышев // Автометрия. 1977. - №3. - С. 24-30.

59. Математика : Учеб. пособие / Ю.М. Данилов, JI.H. Журбенко, Г.А. Никонова и др.; Под ред. JI.H. Журбенко, Г.А. Никоновой. — М.: ИНФРА-М, 2006. - 496 с.

60. Меркулов, В.И. Математические модели информационно-управляющих систем в пространстве состояний / В.И. Меркулов, В.П. Харьков, A.B. Рогов // Информационно-измерительные и управляющие системы. — 2006. — №7. — т. 4. — с.35-44

61. Методика расчета метрологических характеристик измерительных каналов информационно-измерительных систем по метрологическим характеристикам компонентов. МИ 222-80.

62. М.: Изд-во стандартов, — 1981. — 23 с.

63. Методический материал по применению ГОСТ 8.00984 „ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений". — М.: Изд-во стандартов, — 1988. — 152 с.

64. Методический материал по применению ГОСТ 8.00984 „ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений". — М.: Изд-во стандартов, — 1988. — 152 с.

65. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 5-и тт. т. 2: Статистическая динамика и идентификация систем управления / под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова, М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, - 2004. - 640 с.

66. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 5-и тт. т.З: Синтез регуляторов систем автоматического управления / под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова,- М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 640 с.

67. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 5-и тт. т.4: Теория оптимизации систем автоматического управления / под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова,- М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 640 с.

68. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 5-и тт. т.5: Методы современной теории автоматического управления / под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова,- М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 640 с.

69. Методы оптимизации в теории управления: Уч. пособие / И.Г. Черноруцкий. СПб.: Питер, - 2004. - 256 с.

70. Моисеев, Д.В. Модальный синтез линейных регуляторов при неполной информации о векторе состояния : Тексты лекций / Д.В. Моисеев, П.В. Пакшин ; Моск. гос. авиац. ин-т (техн. ун-т), — М.: Изд-во МАИ.- 1995. 34 с.

71. Никифоров, В.О. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация и робастность / В.О. Никифоров, A.B. Ушаков. СПб.: СПбГИТМО(ТУ), - 2003. - 200 с.

72. Новиков, И.А. Регуляризация и вейвлет-подход в динамических измерениях / И.А. Новиков // Измерительная техника. — 2003, — №5.- С. 24-29.

73. Новицкий, П.В. Динамика погрешностей средств измерений / П.В. Новицкий, И.А. Зограф, B.C. Лабунец. — Л.: Энергоатомиздат, — 1990. 263 с.

74. Осипович, JI.A. Датчики физических величин / Л.А. Осипович. — М.: Машиностроение, — 1979. — 159 с.

75. Основные термины в области метрологии: Словарь-справочник / М.Ф. Юдин, М.Н. Селиванов и др. — М.: Изд-во стандартов, — 1989.- 147 с.

76. Параев, Ю.И. Локально-оптимальное управление системами с переменной структурой / Ю.И. Параев, Е.А. Перепелкин // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2000. — №1. — С. 91-94.

77. Пинхусович, P.JI. Минимизация динамической погрешности измерительных преобразователей / P.JI. Пинхусович, Б.Ф. Кузнецов // Измерительная техника. — 2004, — №1. — С. 12-29.

78. Пинчевский А.Д. Метрологическое обеспечение информационных измерительных систем. Методологические и организационные основы / А.Д. Пинчевский. М.: ВИСМ, - 1990. - С. 44-50.

79. Попов, B.C. Способы компенсации погрешностей измерительных преобразователей с помощью комбинированной обратной связи / B.C. Попов, К.И. Смирнов // Автоматика и телемеханика. — 2004. — №4.- С. 185-204.

80. Рыбин, B.C. Простые формулы для динамических погрешностей в линейных динамических системах /B.C. Рыбин // Измерительная техника. 1995. - №12. - С. 10-12.

81. Рыжаков, В.В. Взаимосвязь полюсов передаточных функций, моделей выходных сигналов и погрешностей оценивания характеристик динамических систем / В.В. Рыжаков, М.В. Рыжаков, К.В. Рыжаков // Измерительная техника. — 2002, — №3. — С. 15-19.

82. Савелова Т.И. Об оптимальной регуляризации уравнений типа свертки с приближенными правыми частями и ядром /Т.И. Савелова // Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1978. №1. - С. 218-222.

83. Сергиенко A.B. Цифровая обработка сигналов / A.B. Сергиенко.- СПб.: Питер, 2003. - 608.

84. Серегина, Н.И. Простой регуляризующий метод компенсации влияния аппаратной функции на результат измерения / Н.И. Серегина, Г.Н. Солопченко // Техническая кибернетика. — 1984. — №2. — С. 166— 172.

85. Симонов, М.М. Цифровой алгоритм восстановления входного сигнала / М.М. Симонов, Е.А. Васильев // Измерительная техника. — 1979. М. - С. 29-32.

86. Системы информационно-измерительные. Метрологическое обеспечение. Основные положения: ГОСТ 8.437-81. ГСИ. —

87. М.: Изд-во стандартов. — 1982. — 24 с.

88. Смагина, Е.М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы /Е.М. Смагина. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990. - 160 с.

89. Соболев, О.С. Методы исследования линейных многомерных систем / О.С. Соболоев. М.: Энергоиздат, — 1985. — 120 с.

90. Симонов, М.М. Метод оптимизации регуляризующих алгоритмов динамической коррекции / М.М. Симонов, А.И. Бутко // Измерительная техника. — 1990. — №2. — С. 13-15.

91. Солодовников, В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления / В.В. Солодовников. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, — 1960. 656 с.

92. Солопченко, Г.Н. Обратные задачи в измерительных процедурах / Г.Н. Солопченко // Измерения, контроль, автоматизация. — 1983.- т. С. 32-46.

93. Солопченко, Г.Н. Компенсация динамических погрешностей при неполных сведениях о свойствах приборов и измеряемых сигналов / Г.Н. Солопченко, И.Б. Челпанов // Метрология. — 1979. — №6. — С. 313.

94. Теория автоматического регулирования: в 3 кн. Кн. 1: Анализ и синтез линейных и дискретных систем автоматического регулирования / под ред. В.В. Солодовникова. — М.: Машиностроение, — 1967.- 768 с.

95. Теория автоматического регулирования: в 3 кн. Кн. 2: Анализ и синтез линейных и дискретных систем автоматического регулирования / под ред. В.В. Солодовникова. — М.: Машиностроение, — 1967.- 680 с.

96. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. М.: Наука, - 1979. - 288 с.

97. Ту, Ю. Современная теория управления / Ю. Ту. — М.: Машиностроение, — 1971. — 472 с.

98. Турчин, В.Ф. Выбор ансамбля гладких функций при решении обратной задачи / В.Ф. Турчин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1968. — №1. — С. 24-30.

99. Харченко P.P. Коррекция динамических характеристик электроизмерительных приборов и преобразователей / P.P. Харченко // Приборостроение. 1956. - №2. - С. 21-26.

100. Хемминг, Р.В. Цифровые фильтры / Р.В. Хемминг; Пер. с англ. В.И. Ермишина; Под ред. A.M. Трахтмана. — М.: Сов. радио, — 1980, 224 с.

101. Цапенко, М.П. Измерительные информационные системы / М.П. Цапенко. — М.: Энергоатомиздат, — 1985. — 220 с.

102. Шелухин, О.И. Моделирование информационных систем / О.И. Шелухин, A.M. Тенякшев, A.B. Осин. — М.: Радиоэлектроника, — 2005. 367 с.

103. Шестаков, A.JI. Динамическая точность измерительного преобразователя с корректирующим устройством в виде модели датчика / A.JI. Шестаков // Метрология. 1987. - №2. - С. 26-34.

104. Шестаков, A.JI. Синтез оптимального по среднеквадратической погрешности корректирующего устройства измерительного преобразователя / A.JI. Шестаков // Метрология. — 1989. — №8. — С. 3-8.

105. Шестаков, A.JI. Измерительный преобразователь с коррекцией динамической погрешности на основе модели датчика / А.Л. Шестаков // Датчики и средства первичной обработки информации : тез. докл. зональн. научн.-техн. конф. — Курган, — 1990. — С. 35.

106. Шестаков, А.Л. Измерительный преобразователь динамических параметров с оценкой погрешности / А.Л. Шестаков // Методология измерений: тез. докл. Всес. конф. Л.: ЛГТУ, - 1991. - С. 137-138.

107. ИЗ. Шестаков, А.Л. Коррекция динамической погрешности измерительного преобразователя линейным фильтром на основе модели датчика / А.Л. Шестаков. Изв. вузов. Приборостроение. — 1991. — №4. С. 8-13.

108. Шестаков А.Л. Анализ динамической погрешности и выбор параметров измерительного преобразователя на ступенчатом, линейном и параболическом сигналах / А.Л. Шестаков // Измерительная техника. 1992. - М. - С. 13-14.

109. Шестаков А.Л. Измерительный преобразователь динамических параметров с итерационным принципом восстановления сигнала / А.Л. Шестаков // Приборы и системы управления. — 1992. — №10. — С. 2324.

110. Шестаков, А.Л. Измерительный преобразователь динамических параметров с самонастраивающимися коэффициентами / А.Л. Шестаков // Информационные устройства и системы управления: тем. сб. научн. тр. Челябинск: ЧГТУ, - 1994. - С. 59-63.

111. Шестаков, А.Л. Оценка достоверности результатов динамических измерений / A.JI. Шестаков // Информационные устройства и системы управления: тем. сб. научн. тр. — Челябинск: ЧГТУ, 1994. - С. 63-68.

112. Шестаков, А.Л. Измерительный преобразователь с минимальной динамической погрешностью / А.Л. Шестаков, Е.В. Юрасова // Элементы и приборы систем управления: тем. сб. научн. тр. — Челябинск: ЧГТУ, 1996. - С. 15-20.

113. Barwicz, A. An integrated structure for Kalman-filter-based measur and reconstruction / A. Barwicz, D. Massicotte, Y. Savire, M.-A. Santerre, Z. Morawski // IEEE Transaction on Instrumentation and Measurement,- 1994, Vol. 43, - No. 3, - PP. 403-409.

114. Baz, A. Experimental implementation of the modified modal space control method / A. Baz, S. Poh // Journal of Sound and Vibration,- Vol. 139, Issue 1, - 1990, -PP. 133-149

115. Byun, S.W. Pole assignment in rotation disk vibration control using complex modal state feedback / S.W. Byun // Mechanical Systems and Signal Processing, Vol. 2, - Issue 3, - 1988, - PP. 225-241

116. Davison, E.J. Properties and calculation of transmission zeroes of linear multivariable systems / E.J. Davison, S.H. Wang // Automatica, — 1974,- Vol. 10, PP. 643-658.

117. Feng, G. A Kalman-filter based time-domain analysis for structural damage diagnosis with noisy signals / G. Feng, L. Yong // Journal of Sound and Vibration, Vol. 297, - Issues 3-5, - 2006, - PP 916-930.

118. Geddes, K.O. Block Structure in the Chebyshev-Pade Table / K.O. Geddes // J. Numer. Anal., Vol. 18, No. 5, 1981, P. 844-861.

119. Gopal, M. Digital control and state variable methods / M. Gopal. — New Delhi: Tata McGraw-Hill, 1997.

120. Jemai, B. An assembled plate active control damping set-up: optimization and control / B. Jemai, M.N. Ichchou, L. Jézéquel, M. Noe // Journal of Sound and Vibration, — Vol. 225, — Issue 2, — 1999, — PP. 327-343.

121. Kung, S.-Y. A state-space formulation for optimal Hankel-norm approximations / S.-Y. Kung, D.W. Lin // IEEE Trans. Automat. Contr.,- 1981, -Vol. AC-26, PP. 42-946.

122. Litvinov, G.L. Error auto-correction in rational approximation / G.L. Litvinov // Interval Computations, 1992, - No. 4(6), - PP. 14-18.

123. Macferlanea, A.G.J. A survey of some recent results in linear multivariable feedback theory / A.G.J. Macferlanea // Automatica, — 1972, Vol. 8, - Issue 4, - PP 455-492.

124. Macferlanea, A.G.J. Poles and zeroes of linear multivariable systems: a survey of the algebraic, geometric and complex-variable theory / A.G.J. Macferlanea, N. Karkanias // Int. journal of control. — 1976. — vol. 24, PP. 33-74.

125. Padiyar, K.R. Design of stabilizers by pole assignment with output feedback / K.R. Padiyar, S.S. Prabhu, M.A. Pai, K. Gomathi // International Journal of Electrical Power & Energy Systems, — 1980, — Vol. 2, Issue 3, - PP. 140-146.

126. Rhoads, R.L. Removal of interfering system distortion by deconvolution / R.L. Rhoads, M.P. Ekstrom // IEEE Trans. Instrum. and Measur., — 1969. vol. 17. - №. - PP.333-337.

127. Rosenbrock, H.H. State-space and multivariable theory / H.H. Rosenbrock. — London: Neilson, — 1970. — 257 p.

128. Shestakov, A.L. Dynamic Error Correction Method / A.L. Shestakov // IEEE Transactions on instrumentation and measurement, — 1996, — Vol. 45, No. 1, - PP. 250-255

129. Silverman L. M. and Bettayeb M., Optimal approximation of linear systems / L.M. Silverman, M. Bettayeb // JACC, 1980, - San Francisco: CA.

130. Silverman H.F., Pearson A.E. On deconvolution using the discrete Fourier transform / H.F. Silverman, A.E. Pearson // IEEE Trans. Audi Electroacoust., 1973. - No. 21. -PP. 112-118.

131. Simon, J.D. A theory of modal contol / J.D. Simon, S.K. Mitter // Information and Control, 1968, - Vol. 13, - Issue 4, - PP.316-353.

132. Simpson, A. On a method of calculation in modal control / A. Simpson // Journal of the Franklin Institute, — 1971, — Vol. 291, — Issue 5, — PP. 353-370

133. Singh, S.P. Efficient modal control strategies for active control of vibrations / S.P. Singh, Harpreet Singh Pruthi, V.P. Agarwal // Journal of Sound and Vibration, 2003, - Vol. 262, - Issue 3, - PP. 563-575.

134. T^afestas, S.G. Sensivity reduction in modal control systems / S.G. Tzafestas, P.N. Paraskevopoulous // Journal of the Franklin Institute, 1975, - Vol. 298, - Issues 5-6, - PP.471.