автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование случайных векторов

Министерство образования и науки Российской Федерации Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

На правах рукописи

Ильеня Алексей Михайлович МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Великий Новгород 2004

Работа выполнена в Новгородском государственном университете им. Ярослава Мудрого.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Кирьянов Борис Федорович Заслуженный деятель науки и техники Республики Татарстан, доктор технических наук, профессор Песошин Валерий Андреевич, кандидат физико-математических наук, доцент Малошевский Сергей Георгиевич Кубанский государственный университет

Защита диссертации состоится «

2004 г. в /3

часов на заседании диссертационного совета Д 212.168.04 по присуждению ученых степеней докторов физико-математических и технических наук в Новгородском государственном университете им. Ярослава Мудрого по адресу: 173003, г. Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, д. 41.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новгородского государственного университета.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.168.04, доктор физико-математических наук, профессор ^.Эмино в С. И./

2 2 993

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Моделирование случайных векторов широко применяется во многих прикладных задачах. Одна из них - проведение модельных (машинных) экспериментов, поскольку результаты экспериментов, как правило, представляют собой массивы отсчетов, которые в общем случае можно считать независимыми случайными величинами (их средние значения отражают соответствующие физические закономерности, но к ним добавляются случайные погрешности), а в реальных экспериментах, особенно если они выполняются быстро с помощью автоматизированных измерительных систем, погрешности измерения могут быть коррелированы по времени. Также моделирование случайных векторов и дискретных случайных процессов с заданной автоковариационной функцией применяется в задачах обработки сигналов, экономических задачах и т.д.

Определенный вклад в теорию моделирования случайных векторов внесли Ермаков С. М., Полляк Ю. Г., Михайлов Г. А., Мороз И. М., Кирьянов Б. Ф. и другие ученые. Вместе с тем в известных литературных источниках в основном рассматриваются методы моделирования случайных векторов с нормальным законом распределения их координат. Это связано с тем, что линейные преобразования нормально распределенных случайных величин не изменяют «нормальности» распределения. В общем же случае попытка внести необходимую корреляцию в вектор с независимыми случайными координатами приводит к изменению законов распределения координат. Поэтому задача моделирования случайных векторов с произвольными распределениями координат в целом является проблемной.

Указанная причина практически не позволяет решать с помощью математического моделирования соответствующие задачи, например, связанные с исследованием случайных полей. Поэтому тема диссертационной

работы является достаточно актуальной.

Цель работы состоит в разработке и совершенствовании методов моделирования случайных векторов, позволяющих расширить класс решаемых задач.

Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

- анализируются возможности известных методов моделирования случайных векторов;

- разрабатываются и исследуются методы моделирования случайных векторов с произвольным распределением координат с использованием систем линейных уравнений со случайными коэффициентами и с использованием преобразования произвольных распределений координат к нормальному;

- разрабатываются и исследуются методы моделирования случайных векторов с заданной автокорреляцией координат и взаимными корреляционными функциями;

- разрабатывается программный модуль, позволяющий моделировать случайные векторы с произвольным распределением координат и заданной корреляционной матрицей.

Методы исследования. В работе используются методы теории вероятностей, вычислительной математики и математического моделирования.

Научная новизна работы. В диссертации получены следующие основные результаты, являющиеся новыми:

предложены и исследованы методы моделирования случайных векторов с произвольными распределениями координат;

предложены и исследованы методы моделирования нормально распределенных случайных векторов, каждая координата которых является стационарным случайным процессом, с заданными автокорреляционными и взаимными корреляционными функциями координат.

Достоверность результатов работы основана на строгости математических доказательств и на корректности проведения исследований с помощью математического моделирования.

Практическая значимость работы заключается в том, что ее результаты могут быть использованы при разработке широкого класса математических моделей. Рассмотренные в диссертации модели и методы программно реализованы на языке Turbo Pascal.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на международных научно-методических конференциях «Математика в вузе» в Великом Новгороде (2000 г.) и в Петрозаводске (2003 г.), на Всероссийской научной конференции по математическому моделированию (Ростов-на-Дону, 2002 г.), на кафедре прикладной математики Новгородского государственного университета (2002-2004 гг.).

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 6

работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 32 наименования, и приложения. Она изложена на 108 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткая характеристика области исследований, обосновывается актуальность выбранного направления исследований, формулируются указанные выше цель работы и решаемые задачи, поясняется содержание работы.

В главе 1 анализируются известные методы моделирования случайных векторов, такие как моделирование векторов с заданной многомерной функцией распределения, а также моделирование векторов с однотипным распределением координат (нормальным либо близким к нормальному) и заданной корреляционной матрицей (п. 1.3). Последний метод основан на системе уравнений, в которой значение каждой последующей координаты равно алгебраической сумме значений предыдущих, домноженных на

соответствующие коэффициенты. Значения этих коэффициентов рассчитываются по рекуррентному алгоритму. Методы моделирования случайных векторов, рассмотренные в главе 2, основаны именно на этом методе, но используют другой математический аппарат для расширения области решаемых задач.

В целом по материалу главы 1 сделан вывод о том, что с помощью проанализированных методов нельзя решить поставленные выше задачи.

Глава 2 посвящена методам моделирования случайных векторов с заданными распределениями координат (как однотипными, так и произвольными) и корреляционной матрицей.

В пункте 2.1 предлагается и исследуется метод моделирования случайных векторов с однотипными распределениями координат. Этот метод основан на системе линейных алгебраических уравнений со случайными коэффициентами.

Пусть X — (Xи ) - моделируемый вектор, заданный плотностями распределения координат, причем эти плотности однотипны (например, только равномерные распределения в интервале от 0 до 1), и корреляционной матрицей А.

Тогда координаты вектора будут моделироваться следующими уравнениями со случайными коэффициентами:

Здесь - независимые случайные величины (координаты

вектора имеющие то же распределение, что и а

А11, А2|, А22 - случайные величины, принимающие только два значения - О или 1, причем в каждый момент времени одна и только одна из величин А^ , расположенных в одной строке матрицы А уравнения X = А У, принимает значение 1, а остальные (/ — 1) величин принимают значения 0. Таким образом, события, заключающиеся в равенстве единице коэффициентов каждого из уравнений для координат Х1,Х2,..-,Х , образуют полную группу.

Вероятности а^ = = 1) принятия случайными коэффициентами

системы значения 1 находятся так:

Доказано, что при таком методе величины X2,----,Х^ будут иметь требуемые коэффициенты корреляции, а также то, что одномерный закон распределения координат совпадает с одномерным законом распределения координат независимо от значений математических ожиданий

(вероятностей равенства 1) случайных коэффициентов А^ .

Приведенный выше алгоритм верен для случая, когда значения всех коэффициентов положительны. При наличии отрицательных алгоритм

моделирования существенно не изменяется. Но при этом вместо О^ берутся их

абсолютные значения, а соответствующие значения У1 берутся с противоположным знаком. В этом случае одномерный закон распределения координат будет таким же, как и для координат если последний является четной функцией. В противном случае будет иметь место отличие моделируемого распределения от заданного.

Таким образом, у координат вектора не теряется плотность распределения (поскольку коэффициенты в системе уравнений, по которым идет генерация координат, случайны и в каждый момент времени каждая координата принимает либо одно из уже сгенерированных значений предыдущих координат, либо значение независимой случайной величины с тем же распределением). Доказано, что корреляционная матрица для векторов, генерируемых таким способом, совпадает с требуемой.

У этого метода также отсутствует автокорреляция генерируемых распределений по каждой из координат, поскольку он не использует значений, полученных на предыдущих шагах.

В пункте 2.2 предлагается и исследуется метод моделирования случайных векторов с произвольным распределением координат. Для произвольных распределений меняются выражения для коэффициентов корреляции координат. Кроме того, если координаты имеют различные типы распределений, то, в отличие от предыдущего метода, наибольшее значение модуля коэффициента корреляции ограничено некоторой величиной из (0;1).

Идея метода остается такой же, как и была для векторов с одинаковыми для всех координат распределениями, но вводится промежуточный шаг -моделирование вектора , координаты которого равномерно распределены на интервале а корреляционная матрица рассчитывается на основе

корреляционной матрицы К вектора У. Пусть Ур}^ »"ч^лт - координаты моделируемого вектора У (произвольно распределенные величины), а

- координаты вектора , тогда отображаются

на следующим образом:

Вся область значений случайной величины разбивается на п

промежутков таким образом, что площадь под графиком плотности распределения величины на каждом из них была одинаковой (т.е. чтобы значения случайной величины попадали в эти промежутки с равной вероятностью). Значению Х^ принадлежащему диапазону [(/72 — 1) I П\т I п\, будет соответствовать произвольное значение попавшее в промежуток (например, середина этого промежутка).

При разыгрывании случайных величин с заданной

Х,,Х2,...,ХК , а

корреляционной матрицей сначала разыгрываются величины

затем происходит отображение их значений на значения вектора с произвольным распределением координат, обратное данному.

Корреляция величин X ¡,Х 2,...,Х ^ вносится следующим образом: величина принимает значение независимой равномерно

распределенной величины

величина принимает с вероятностью значение а с

вероятностью значение (независимая равномерно распределенная

случайная величина);

величина принимает с вероятностью значение с

вероятностью значение с вероятностью значение и т.д.

Таким образом, получается следующая система уравнений для выражения коэффициентов а^ :

Г21 = «21-

'з! = «31 + «32

»31 = «31 '21

Гц = «41 + «42

ГА2 = «41 ♦г21*

Г41 = «41 *Г * '31

'21 > + «32.

% + «43*Г31 >

+ а42+я43%\ + а„*гп'+аа

Коэффициенты получаются так:

где l'y - коэффициент корреляции исходно заданных (и произвольно распределенных) координат вектора,

Гтах (/,;) наибольшая величина коэффициента корреляции

координат вектора

Наибольшие значения коэффициентов корреляции случайных величин X( И Xj находятся так:

Гтах(/'У) а(Х,)*(т(Х,.)

\Fx-\tyFx-\t)dt,

где Fx (/) - функции, обратные функциям распределения

случайных величин

Таким образом, по данному методу можно моделировать и такие случайные векторы, у которых законы распределения координат произвольны и не зависят друг от друга.

В пункте 2.3 предлагается и исследуется метод моделирования случайных векторов с произвольным распределением координат через преобразование распределений координат к нормальному. Данный метод позволяет добиться того, что некоррелированные координаты вектора будут одновременно и независимыми. Он аналогичен методу, изложенному выше, и также включает в себя преобразование различных законов распределения координат вектора к общему виду (нормальному с математическим ожиданием, равным 0, и среднеквадратическим отклонением, равным 1), но операция сложения значений величин, взятых со случайными коэффициентами, которые

принимают значения 0 и 1 с вероятностями Clij , заменяется на сложение этих

же значений координат с неслучайными коэффициентами, равными й^ .

Если же координаты вектора имеют различные законы распределения, то для моделирования их эти распределения необходимо преобразовать к нормальному виду способом, описанным ранее для преобразования к равномерному распределению. При этом значения нормально распределенных координат промежуточного вектора разбиваются на промежутки

где - функция стандартного

нормального распределения, F ' (0) = —СО, F ' (1) = +00 . В этом случае некоррелированные координаты вектора также будут независимыми.

Если же две координаты коррелированы, то вид их совместного закона распределения будет таким:

где

коэффициент корреляции координат вектора,

fx (.Offу (0 — функции, обратные плотностям распределений

двух координат. Вид этой функции следует из уравнения для вида плотности распределения системы двух нормально распределенных величин с заданным коэффициентом корреляции.

В пункте 2.4 предлагается и исследуется метод моделирования случайных векторов с заданными совместными плотностями распределения координат (они задаются для всех пар координат и где

моделируемый вектор, _/). Это видоизменение метода, изложенного в п. 2.3, но если в предыдущем случае вид совместных плотностей распределений координат достаточно строго ограничен, то в предложенном здесь методе совместные плотности распределения двух координат могут быть произвольно заданными функциями, определенными на областях определения этих координат и удовлетворяющими условиям, налагаемым на плотности распределения вообще. В этом варианте также будет необходимым преобразование координат моделируемого вектора с законами распределения, отличными от нормального, к нормальному распределению.

Идея метода остается такой же, как в разделах 2.2 и 2.3: координата

Х1 представляется величиной У\ , координата Х^ — суммой величин У^ и

(здесь 1\ — независимая случайная величина), а координата -

суммой величин (здесь принимает значения от

величины, распределение которых зависит от значений величин и

независимой величины . Предположим, что совместное распределение

величин близко к нормальному с каким-либо коэффициентом

корреляции. Тогда можно взять в качестве нормально распределенную величину с математическим ожиданием, равным 0; вид ее распределения (т. е. среднеквадратическое отклонение) и распределения остальных слагаемых вычисляются из следующих соображений.

Характеристическая функция распределения Х2 равна произведению

характеристических функций распределений и Но модуль таковой для

распределения У^ не может быть больше 1, и в силу этого ограничения

среднеквадратическое отклонение для распределения не превышает

определенной величины (сама эта величина зависит от вида совместного

распределения X| и Х2 и, очевидно, не может превысить свое значение для случая линейной корреляции Х^ и X2 ). В таком случае характеристическая функция распределения У^ находится как

= — характеристическая функция

распределения в зависимости от значения

ёу! (^0 — характеристическая функция независимого нормального

распределения .

Теперь рассмотрим зависимость между Х2 и X3. Поскольку

— разыгранные значения случайных

величин плотность распределения величины

равна

где — плотность распределения величины

— значение случайной величины — уже разыгранное значение величины

По плотности распределения находится характеристическая функция величины У Зная эту функцию, можно, задав вид распределения величины У-^,

найти характеристическую функцию распределения как частное

характеристических функций распределений и (исходя опять же из тех соображений, что модуль характеристической функции распределения не может быть больше 1)

Таким путем можно найти все зависимые распределения У^ . Процесс

моделирования при этом намного усложняется по сравнению с методами, изложенными ранее.

Глава 3 посвящена способам моделирования случайных последовательностей с заданной автокорреляцией и взаимными корреляционными функциями.

В пункте 3.1 предлагается и исследуется способ моделирования случайных последовательностей, каждая из которых нормально распределена (т=0, 0=1) с заданными АКФ и ВКФ этих последовательностей; время предполагается дискретным, последовательности стационарны (т. е. моделируется вектор, координаты которого являются случайными процессами).

Предлагаемый способ аналогичен тому, который был предложен в

п. 2.2 - значения моделируемых последовательностей Х1 получаются на

основе независимых последовательностей (в которые вносится корреляция

по времени). Однако, если значения последовательностей X( для />1 будут

равны сумме значений последовательностей с ортогональными случайными

коэффициентами, то вид взаимных корреляционных функций будет ограничен линейными комбинациями АКФ этих последовательностей. Чтобы расширить область характеристик случайного вектора (т.е. АКФ и ВКФ), при которых моделирование возможно, необходимо вводить дополнительные

последовательности Xу. Зависимость между ними следующая: Х1 и Х^

(I Ф ] ) коррелированы, но Х1 и Х^ (/ Ф ] ,1 Ф к) независимы. Система уравнений для расчета значений моделируемых последовательностей такова:

Величины - случайные и принимают значения 0 и 1 с

вероятностями р^ — р{йу = 1), при этом только одна из величин ацддя данного / может принять значение 1, а остальные принимают значение 0.

Для генерации значений последовательностей Х1 используются

последовательности независимых нормально распределенных случайных величин (этих последовательностей столько же, сколько исходных последовательностей Значение в данный момент времени получается

через сумму значений в предыдущие моменты времени и значения

последовательности в данный момент, домноженных на соответствующие

коэффициенты. Значения же X ( .также получаются через сумму значений

но с другими коэффициентами. Поясним предложенный способ примером моделирования двух последовательностей Х\ и Х2 . Пусть АКФ последовательности Х\ равна

АКФ последовательности равна

где Х1! — значение последовательности Х1 в момент времени /,

Х1 — независимая нормально распределенная (;я=0, 0=1) случайная последовательность,

— коэффициент сумма алгебраическая).

Для нахождения коэффициентов ОС^ в уравнении для нужно

решить систему уравнений:

Значения последовательности находится на основе значений

последовательностей

где коэффициенты 1 находятся из системы:

Теперь найдем АКФ последовательности Х-^. Для этого вначале выразим величины и через

(алгоритм рекуррентный; здесь у1 =// 5, 3 — ;

коэффициенты домножаются на 8 потому, что дисперсия суммы N независимых величин должна составить 1). Аналогично

21* 71 =

А + 1/и-Л/*.

ш=0

и-1

1Я=О

21 21» , - 1/'^/' 21*\2 7/ =7/ = )

*=0

АКФ последовательности х21:

с (21) = 1

со 1 >

1=1

АКФ же последовательности , принимающей значение с

вероятностью а21 и значение Х1} с вероятностью Д22 = 1 — й2], определяется так:

(2) 2 (21) , 2 (2*) с, = я2| с, '+а22с, , где

, (2*)

- АКФ последовательности Обратное же выражение (С^ ' по с/2', а его и необходимо найти),

таково:

В рассмотренном методе вероятности = 1), определяющие

систему со случайными коэффициентами (для двух координат такая величина только одна), подбираются до расчета автокорреляционных и взаимных корреляционных функций (те. при реализации алгоритма необходима процедура подбора этих значений с возможностью запуска процедуры расчета корреляций по времени несколько раз, пока для всех генерируемых

независимых величин не удастся найти реализуемые автокорреляционные функции). Сам же расчет этих функций распространяется и на случай более 2 моделируемых последовательностей.

В пункте 3.2 рассмотрен метод моделирования последовательностей со взаимными корреляционными функциями, являющимися линейной комбинацией автокорреляционных функций. Он основан на представлении моделируемого вектора в виде:

где Xу ,Х2т-;Хп - некоррелированные последовательности. Для моделирования необходимо задать АКФ координат вектора а также ВКФ. В диссертации приведен расчет

автокорреляционных функций для последовательностей и

коэффициентов О^ .

В главе 4 приводится краткое описание разработанного комплекса программ, позволяющего пользователям анализировать реализуемость

поставленных задач моделирования случайных векторов на основе предложенных методов и определять параметры алгоритмов моделирования, а также получать статистические характеристики полученных векторов

В приложении приведены разработанные программы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны и исследованы методы моделирования случайных векторов:

-с однотипным распределением координат (на основе системы линейных уравнений с ортогональными случайными коэффициентами);

- с произвольными распределениями координат (путём преобразования заданных распределений координат к промежуточному равномерному распределению);

- с произвольными распределениями координат (на основе системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами и преобразования заданных распределений координат к нормальному);

- со стандартными нормальными распределениями координат и заданными совместными плотностями распределения (с использованием характеристических функций).

Показаны ограничения на использование этих методов.

2. Предложены и исследованы методы моделирования последовательностей случайных векторов с заданными автокорреляционными и взаимными корреляционными функциями координат:

- на основе подбора параметров ортогональных случайных коэффициентов системы линейных уравнений;

-с представлением взаимных корреляционных функций линейной комбинацией автокорреляционных функций.

3. Разработан комплекс программ, позволяющий пользователям анализировать реализуемость поставленных задач моделирования случайных векторов на основе предложенных методов и определять параметры алгоритмов моделирования, а также получать статистические характеристики полученных векторов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Вестник НовГУ, № 17, 2001 г., стр. 59-60

2. Вестник НовГУ, № 22,2002 г., стр. 32-33

3. Сборник «Математика в вузе», 2000 г., стр. 139-140

4. Сборник «Математика в вузе», 2003 г., стр. 161

5. «Прикладная и промышленная математика». - М., 2002, Том 9, Вып. 1., стр. 205

6. The Novgorod University Scientific papers. - Great Novgorod: NovSU, 2004.

Автор: ^¡A^)

/Ильеня А. М/

Изд. лиц. ЛР № 020815 от 21.09.98. Подписано в печать 16.09.2004. Бумага офсетная. Формат 60x84 1/16. Гарнитура Times New Roman. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 128 Отпечатано в ИПЦ Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого. 173003, Великий Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41.

г

122 30?

РНБ Русский фонд

2005-4 22443

Основные сокращения и обозначения

Введение

Глава 1. Анализ известных методов моделирования случайных векторов.

1.1. Моделирование случайных векторов с произвольно заданными функциями распределения

1.2. Моделирование случайных векторов с однотипными плотностями распределения и заданной корреляционной матрицей

1.3. Моделирование случайных векторов с распределением координат либо нормальным, либо близким к нормальному

1.4. О проблеме моделирования случайных векторов с заданными * произвольными распределениями координат и заданными корреляционными характеристиками

Рассматриваемая в данной работе задача достаточно актуальна, поскольку моделирование случайных векторов широко применяется во многих прикладных задачах. Одна из них - проведение модельных (машинных) экспериментов. Предполагая определенные свойства объекта исследования и характеристик измерительной аппаратуры, исследователь имитирует результаты измерений, обрабатывает их тем или иным способом и сравнивает результат с заложенными ранее характеристиками объекта. При этом необходимо моделировать не только закономерное влияние на результат измерения свойств объекта исследования и аппаратные искажения, но и случайные погрешности измерений, т. е. случайные величины и векторы с заданным законом распределения. Результаты экспериментов, как правило, представляют собой массивы отсчетов, которые в общем случае можно считать независимыми случайными величинами, поскольку средние значения отражают соответствующие физические закономерности, но к ним добавляются случайные погрешности. Однако в реальных экспериментах, особенно если они выполняются быстро с помощью автоматизированных измерительных систем, погрешности измерения могут быть коррелированы по времени.

Теоретико-вероятностные и статистические методы, в том числе моделирование случайных векторов и дискретных случайных процессов с заданной автоковариационной функцией применяется, например, в радиотехнике. Множество явлений (колебательные и волновые процессы, турбулентность атмосферы, волнение поверхности моря и т.д.) имеют случайный характер, поэтому одной из центральных задач статистической радиофизики в широком смысле является построение вероятностных моделей стохастических явлений в целях обработки сигналов. С развитием вероятностных методов появилась корреляционная и спектральнокорреляционная теория, предполагающая учет при обработке сигналов лишь информации о корреляционной функции и энергетическом спектре сигналов и полей. Программная реализация на ЭВМ стала одним из самых распространенных методов построения и исследования систем обработки сигналов.

Моделирование случайных векторов используется также в экономических задачах и задачах планирования. Здесь стохастические задачи имеют место, например, когда нельзя точно определить состояние системы на каждом этапе; если переменные, характеризующие состояние системы, являются случайными величинами с известной функцией распределения; если меняется цель задачи; при планировании на длительный период, поскольку в этом случае невозможно точно указать значения всех коэффициентов, так как они могут изменяться под влиянием непредвиденных причин. Для решения подобного рода многоэтапных экстремальных стохастических задач достаточно эффективен метод динамического программирования, при этом преобразование системы (и ее математической модели) от каждого предыдущего этапа к следующему содержит некоторую неопределенность, т. е. известный вектор состояния переходит в случайный вектор состояния ZM с функцией распределения GiS^Z^Uj), которая зависит от известного состояния S,., случайного состояния Z,, и управления U,. Поэтому, принимая решение на (/-1)-м этапе, необходимо положить, что действительное значение вектора состояния S, наблюдалось и известно, и, в общем случае, смоделировать вектор Z, хотя для получения некоторых характеристик (например, математического ожидания) этого не требуется.

Одной из важных экономических задач, для решения которых невозможно обойтись без моделирования случайных векторов, является исследование финансовых рынков и принятие соответствующих решений. С 50-х годов прошлого века появилась портфельная теория, направленная на решение практической задачи о рассредоточении капитала по различным видам операций в условиях неопределенности. Существенный момент этой теории - учет взаимных корреляционных зависимостей между доходностями операций.

Приведенные "выше рассуждения касались задачи моделирования случайных векторов вообще; существующие методы ее решения в основном связаны с моделированием многомерных нормальных случайных векторов, а это далеко не всегда является лучшей моделью для описания реально наблюдаемых многомерных случайных величин, поэтому есть необходимость моделирования случайных векторов с произвольными распределениями координат. Между тем, например, классический аппарат корреляционного анализа использует предположение о нормальности распределений координат многомерного вектора. На этой основе получены предельные распределения статистик, используемых в корреляционном анализе, и соответствующие оценки, позволяющие делать выводы о наличии и характере функциональной зависимости между наблюдаемыми величинами. В последнее время ведутся исследования того, что происходит с распределениями различных статистик корреляционного анализа в ситуациях, когда наблюдаемый многомерный закон не является нормальным. Использование других математических моделей затруднено, поскольку чисто аналитические методы значительно усложняются. Впрочем, корреляционный анализ выходит за рамки предлагаемой работы, а исследуемые в ней методы имеют для него вспомогательный характер.

Цель диссертационной работы состоит в расширении возможностей моделирования случайных векторов. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

- анализируются возможности известных методов моделирования случайных векторов;

- разрабатываются и исследуются методы моделирования случайных векторов с произвольным распределением координат с использованием систем линейных уравнений со случайными коэффициентами и с использованием преобразования произвольных распределений координат к нормальному;

- разрабатываются и исследуются методы моделирования случайных векторов с заданной автокорреляцией координат и взаимными корреляционными функциями;

- разрабатывается программный модуль, позволяющий моделировать случайные векторы с произвольным распределением координат и заданной корреляционной матрицей.

Список публикаций, на которые делаются ссылки, включает 32 наименования. Среди них - 6 публикаций автора.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 3

Предложенные методы позволяют моделировать последовательности случайных векторов с заданными автокорреляционными и взаимными корреляционными функции-ями для векторов с нормальным распределением координат.

ГЛАВА 4 ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС

Программа моделирования случайных векторов с произвольными распределениями координат и заданной корреляционной матрицей, реализующая метод, изложенный в разделе 2.2, написана в среде Turbo Pascal для DOS (с использованием объектно-ориентированной библиотеки Turbo Vision). Основной экран программы выглядит так:

ISi»

ШИШ ililllll лотно

Щ11Ш

811 fllt-x Exit

Пользователь задает вначале вид распределений координат моделируемого вектора (реализованы только равномерные, нормальные и экспоненциальные распределения с разными параметрами) в режиме «Задание координат»:

CUME~l\ilienya\MOHflOK~l\Dissert\PROGAl\KORSV.EXE

Затем пользователь вводит корреляционную матрицу в режиме «Коэффициенты корреляции». При этом на диагонали матрицы должны стоять значения, равные 1 (если какое-либо из чисел не будет равно 1, программа заменит его на 1).

ЩГ:\ООСиМЕ~1\|1|епуа\МОИДОЙ;~ l\Dissert\PROGAl\KORSV.EXE

Затем при запуске режима «Сгенерировать векторы» рассчитываются коэффициенты матрицы системы; если хоть один из них будет отрицательным, программа выдаст сообщение о том, что смоделировать данный вектор невозможно, иначе будет получено 5000 реализаций вектора, и они запишутся в текстовый файл. После окончания работы этого режима на экране появляется корреляционная матрица, рассчитанная по полученным реализациям:

DOCUME~ I\ilienya\MOH Д ОК~ 1 \Dissert\PROGA 1\K0RSV.EXE а в режиме «Отобразить векторы» - графическое отображение реализаций на плоскости:

Далее в режиме «Отобразить плотности распределения» можно увидеть рассчитанные по полученным реализациям вектора плотности распределения:

При этом, если координат вектора больше 2, можно выбирать, какая координата отображается по оси Ох, а какая - по оси Оу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации проанализированы методы моделирования случайных векторов, поставлена задача разработки методов моделирования случайных векторов с произвольными распределениями координат и заданными корреляционными характеристиками их координат. При этом получены следующие основные результаты:

1. Разработаны методы моделирования случайных векторов:

- с однотипным распределением координат и заданной корреляционной матрицей;

- с произвольными распределениями координат и заданной корреляционной матрицей;

- с произвольными распределениями координат, часть которых имеет заданные коэффициенты корреляции, а другие координаты являются независимыми; с- заданными совместными плотностями распределениями координат.

Проанализированы ограничения применимости этих методов.

2. Разработаны методы моделирования последовательностей случайных векторов с заданными автокорреляционными и взаимными корреляционными функциями координат:

- на основе подбора параметров ортогональных случайных коэффициентов системы линейных уравнений;

- с представлением взаимных корреляционных функций линейной комбинацией автокорреляционных функций.

3. Разработан комплекс программ, позволяющий пользователям анализировать реализуемость поставленных задач моделирования случайных • векторов на основе предложенных методов и определять параметры алгоритмов моделирования, а также получать статистические характеристики полученных векторов.

1. Полляк Ю. Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. М., Советское радио, 1971.

2. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Курс статистического моделирования. -М., Наука, 1976.

3. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М., Мир, 1976.-756 с.

4. Лукач Е. Характеристические функции. М., Наука, 1979. - 456 с.

5. Вероятностные разделы математики (под ред. Ю. Д. Максимова). -СПб, «Иван Федоров», 2001. 592 с.

6. Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и математическая статистика (для втузов). М., Высшая школа, 1973.

7. Шалыгин А. С., Палагин Ю. И. Прикладные методы статистического моделирования. Л., Машиностроение, 1986.

8. Марченко Б. Г., Омельченко В. А. Вероятностные модели случайных сигналов в прикладной статистической радиофизике. Киев, УМК ВО, 1988.

9. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. -3-е изд., перераб. и доп. М., Радио и связь, 1989.

10. Лемешко Б.Ю., Помадин С.С. Корреляционный анализ наблюдений многомерных случайных величин при нарушении предположений о нормальности. Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. -Т.5. - № 3.-С.115-130.

11. Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.

12. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. М., Наука, 1977.

13. Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы. М., Наука,1990.

14. Franklin J. N. Numerical simulation of stationary and non-stationary gaussian random processes. SIAM Review, 1965, v. 7, № 1, p. 68.

15. Cook J. M. Rational formulae for the production of a spherically symmetric probability distribution. Mathematical tables and other aids to computation, 1957, v. XI, № 58, p. 81.

16. Myers S.C. Interactions of Corporate Financing and Investment Decisions: Implications for Capital Budgeting//J. Finance. 1974. V.29. No 1.

17. Иванов M. А., Чугунков И. В. Метод генерации псевдослучайных последовательностей с произвольным законом распределения. Журнал «Безопасность информационных технологий», 1999, №2

18. Прохоров С. А. Математическое описание и моделирование случайных процессов. Самара, 2001.

19. Песошин В. А. ,Бикмухаметов Р. Р., Глова В. И., Захаров В. М., Модели, методы и аппаратно-программные средства стохастических систем/ Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева (КАИ), изд-во КГТУ, 1997 г., вып.З.

20. Глова В. И., Захаров В. М., Песошин В. А., Яхина 3. Т. Архитектура и модели систем статистического моделирования/ Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, 1997, вып. 4.

21. Глова В. И., Захаров В. М., Песошин В. А., Шалагин С. В. Моделирование. Вероятностные дискретные модели/ Учебное пособие. Изд-во "АБАК", 1998.-50 с.

22. Малошевский С. Г. Двумерные показательные распределения в моделях надежности // Математика в ВУЗе, материалы международной научно-методической конференции. СПб. 2003,с. 168-170.

23. Малошевский С. Г. Теория вероятностей (пар. 4.4 «Моделирование случайных величин») СПб, «ОМ-Пресс», 2003.

24. Кирьянов Б. Ф. Микропроцессорные средства в задачах имитации и обработки случайных сигналов. Ч. 1 Новгород, НПИ, 1988. - 52 с.

25. Кирьянов Б. Ф. МикроЭВМ как средства имитации и обработки случайных сигналов. Деп. в ВИНИТИ 10.11.86, № 7646-В86.

26. Кирьянов Б. Ф. К проблеме моделирования случайных векторов. -Вестник НовГУ, серия «Естественные и технические науки», 1996, № 6, с. 87-90

27. Вестник НовГУ, № 17, 2001 г.

28. Вестник НовГУ, № 22, 2002 г., стр. 32-33

29. Сборник «Математика в вузе», 2000 г., стр. 139-140

30. Сборник «Математика в вузе», 2003 г., стр. 16131. «Прикладная и промышленная математика». М., 2002, Том 9, Вып. 1.

31. The Novgorod University Scientific papers. Great Novgorod: NovSU, 2004.