автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы анализа и расчета случайных температурных полей технических систем

рго од

■8 ОПТ 1335 На правах рукописи

Мадера Александр Георгиевич

МЕТОДЫ АНАЛИЗА И РАСЧЕТА СЛУЧАЙНЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва -1996

Работа выполнена в Институте высокопроизводительных вычисли тельных систем РАН (ИВВС РАН) Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Поляев В.М., доктор технических наук, профессор Северпев H.A., доктор технических наук Шнитман В.З. Ведущая организация АООТ НИИ Микроэлектроники и нанотехнологи "Дельта" (АООТ НИИМЭ и НТ "Дельта")

Зашита состоится в час ^•иин на заседании

диссертационного совета Д.200.45.01 по защите докторских дис сертадий при Институте высокопроизводительных вычислительны систем РАН по адресу: 117312, Москва, ул. Вавилова, д. 37 ИВВС РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИВВС РАН Автореферат разослан г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.200.45.01

Михайлюк М.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Определение температурного поля технической системы на этапе ее проектирования, адекватного температурному полю, которое будет иметь место на практике в условиях реального функционирования технической системы, представляет собой чрезвычайно важную проблему. От ее решения зависит возможность достоверного прогнозирования эксплуатационных характеристик проектируемой технической системы, ее показателей надежности, массы, габаритов и т.д.

Разработанные к настоящему времени аналитические и численные методы расчета температурных полей технических систем опираются на представление об их строгой определенности и детерминированности. Практическое применение этих методов основывается на двух предпосылках: полагают, что параметры, определяющие температурное поле, равны некоторым, обычно номинальным или усредненным значениям, либо исходят из представления о "наихудшем сочетании" значений определяющих параметров, приводящему к "наихудшему" температурному полю. Данные расчетов в обоих подходах, как показывает практика, зачастую не согласуются с реальными данными для технической системы в реальных условиях ее функционирования. Получаемые при этом уровни температуры и ее градиенты могут значительно отличаться от их значений, имеющих место на практике.

Анализ опытных и экспериментальных данных, а также теоретический анализ показывают, что температурное поле реальной технической системы носит случайный характер. Поэтому подход, при

котором математическое описание теплообмена считается детерминированным и абсолютно определенным, нельзя считать адекватным процессу теплообмена, протекающему в реальной технической системе. Детерминированный подход является, при этом, частным случаем стохастического подхода, когда случайный разброс определяющих температурное поле факторов незначителен, и им можно пренебречь.

В технических системах различного назначения, рассматриваемых в диссертации, а именно в системах, температурное поле которых может быть описано линейными уравнениями теплоперено-са, случайными могут быть следующие факторы: потребляемые мощности; температура среды и жидкости; скорость жидкости; тепло-физические характеристики материалов; величина и профиль зазора при контакте двух тел; концентрация, распределение и площади воздушных включений в соединительном слое (клее, припое и т.д.) между двумя контактирующими поверхностями; площади кристаллов микроэлектронных приборов (полупроводниковых диодов, транзисторов, интегральных схем и т.д.); механические толчки, вибрации, колебания взаимной ориентации жидкости и ограничивающей ее поверхности; разброс размеров элементов, их взаимного расположения и формы. Поэтому температурное поле технической системы также будет иметь случайный характер.

Создание эффективных методов анализа и расчета случайных температурных полей позволяет получать достоверные значения температур в различных точках технической системы, максимально приближенные к реальным, что, в свою очередь, приведет к повышению качества технической системы, улучшению ее характеристик и повышению ее конкурентноспособности на отечественном и зарубежном рынках аналогичных изделий.

Цель работы.

Целью работы является разработка методов анализа и расчета случайных температурных полей технических систем как в стационарном, так и нестационарном режимах. Методы должны позволять рассчитывать статистические меры (поля математических ожилалий, дисперсий, средних квадратических отклонений, корреляционных и ковариационных матриц) случайных температурных полей технических систем, имеющих сложную структуру, трехмерную конфигурацию, состоящих из разнородных элементов со случайными теплофизическими параметрами, являющимися случайными величинами или случайными функциями координат и времени. Методы должны также позволять рассчитывать температурные поля несжимаемой, гидродинамически стабилизированной движущейся жидкости и взаимный теплообмен элементов технической системы и потока жидкости в присутствии случайных факторов.

Случайные параметры технической системы и потока жидкости,, определяющие случайное температурное поле в элементах технической системы и жидкости и рассматриваемые в диссертации, имеют ограниченные реализации и ограниченные моменты. Случайные процессы типа белых шумов или винеровских процессов в диссертации не рассматриваются, поскольку они не встречаются в реальных процессах теплообмена в технических системах.

В диссертации рассматриваются технические системы, параметры которых не зависят от температуры, или этой зависимостью можно пренебречь, т.е. технические системы, температурные поля которых описываются линейными уравнениями.

На защиту выносятся следующие основные положения.

1. Метод тепловых схем для моделирования температурных по-

лей в технических системах, конвективного теплообмена в потоке несжимаемой жидкости и их взаимодействия. Обоснование метода основало на уравнениях теплового баланса в интегральной форме, составленных для системы конечных объемов, разбивающих область технической системы.

2. Матрично-топологический метод анализа и расчета тепловых схем, позволяющий получать матричное уравнение теплового баланса, описывающее распределение температуры в узлах тепловой схемы в каноническом виде, независимо от объема и структуры тепловой схемы, моделирующей теплообмен в технической системе. Матрично-топологические соотношения между векторами температур в узлах тепловой схемы, разностей температур в ветвях тепловой схемы, потоков теплоты в ветвях и матрицей тепловых проводимо стей элементов тепловой схемы.

3. Метод расчета случайных стационарных температурных полей технических систем, моделируемых тепловыми схемами, основанный на стохастическом матрично-топологическом уравнении, содержащем случайную матрицу системы, и получении явного матричного выражения для случайной обратной матрицы системы в виде бесконечного стохастического матричного ряда, сходящегося равномерно почти наверное при выполнении установленных в работе условий, что позволяет записать явные матричные выражения для вектора математического ожидания, корреляционной матрицы, ковариационной матрицы и вектора дисперсий случайных температур в узлах тепловой схемы. Для получения приемлемой точности при расчете статистических мер обычно достаточно удержание в рядах только нескольких первых членов, степень которых не превышает двух и реже - четырех. Показано, что эффективность разработанного метода более чем на два порядка выше (по затратам машинно-

го времени) эффективности метода статистических испытаний.

4. Метод расчета нестационарных случайных распределений температуры в узлах тепловой схемы, моделирующей теплообмен в технической системе, опирающийся на стохастическое матрично-топологическое дифференциальное уравнение первого порядка в обыкновенных производных и эквивалентное ему стохастическое матричное интегральное уравнение. Статистические нестационарные меры получаются в виде матричных сходящихся рядов, в которых при практических расчетах оставляются только несколько первых членов, степень которых не превышает двух или (реже) четырех.

Метод позволяет рассчитывать нестационарные векторы математических ожиданий и дисперсий, корреляционную и ковариационную матрицы случайных нестационарных распределений температуры в узлах тепловой схемы с параметрами, являющимися случайными функциями времени (но не белыми шумами) с ограниченными почти наверное реализалиями.

Научная новизна работы.

1. Разработан и обоснован новый метод тепловых схем для моделирования стационарного и нестационарного теплообмена в трехмерных, разнородных телах сложной формы, конвективного теплообмена в потоке несжимаемой жидкости, температурных полей технических систем на основе уравнений теплового баланса в интегральной форме для произвольно выделенных конечных объемов. Введение новых "конвективных" схемных элементов позволяет получать тепловые схемы для конвективного теплообмена в потоке жидкости и его взаимодействия с теплообменом в твердых телах.

2. Впервые предложен и обоснован матрично-топологический

метод анализа и расчета тепловых схем, который позволяет на основе введения матрицы инциденций, отражающей структуру тепловой схемы, автоматически получать конечно-разностные уравнения процессов теплообмена в матричном виде относительно вектора температур в узлах тепловой схемы.

3. Предложен и обоснован новый метод анализа и расчета статистических мер случайных распределений температуры в узлах тепловой схемы в стационарном режиме, а именно: векторов математических ожиданий, дисперсий и средних квадратических отклонений и корреляционных матриц.

4. Разработан новый метод анализа и расчета нестационарных статистических мер случайных нестационарных распределений температуры в узлах тепловой схемы: нестационарных векторов математических ожиданий, дисперсий, средних квадратических отклонений и корреляционных матриц.

Практическая ценность и реализация.

Созданные в диссертации методы дают практический инструмент для проведения расчетов случайных полей температуры (их статистических мер) на этапе проектирования технических систем. Разработанные методы доведены до уровня алгоритмов, служащих основой для программной реализации высокого уровня на современных ЭВМ.

Методы использованы при расчете теплового режима вычислительной системы "Электроника СС БИС" (НИР/НИИ "Дельта",. Г.Р. N15939, Инв. ДА 27409, М., 1982).

Разработан неразрушаюший статистический метод измерения температуры кристаллов интегральных полупроводниковых микросхем и получены практические статистические формулы, связывающие

температуру кристалла с температурой на крышке корпуса микросхемы .

Методы расчета температурных полей в сложных трехмерных конструкциях технических систем составили содержание Отраслевого Руководящего Документа РД 11 0684-89 "Микросхемы интегральные полупроводниковые. Метод расчета температурных полей", внедренного на предприятиях отрасли приказом по отрасли N 102 от 21.07.89 г. Годовой экономический эффект от внедрения РД 11 0684-89 на одном предприятии отрасли составляет 56,00 тыс. руб. по состоянию на 1989 год.

Разработанные методы расчета температурных полей были применены при создании новых изделий в НПО "Микроэлектроника", разработанных в ОКР "Фестон" (ГР N Ф26931), ОКР "Фауна-5" (ГР N Ф27880), ОКР "Факел-1" (ГР N Ф16539), ОКР "Фауна-4" (ГР N Ф23266), ОКР "Феномен-С1" (ГР N Ф28009), ОКР "Фауна-3" (ГР N Ф27837).

Апробация работы.

Основные положения и материалы диссертации докладывались автором на следующих конференциях и симпозиумах: VIII Всесоюзной научно-технической конференции по микроэлектронике, Москва, 1978; X Всесоюзной научной конференции по микроэлектронике, Таганрог, 1982 г.; I Всесоюзной конференции "Проблемы создания супер-ЭВМ, супер-систем и эффективность их применения", Минск, 1987 г.; I Минском Международном форуме по тепло- и массо-обмену, Минск, 1988 г.; Международной школе-семинаре "Тепло-и массообмен в технологии и эксплуатации электронных и микроэлектронных систем", Минск, 1989 г.; IV Межотраслевой конференции по тепловым режимам и охлаждению электронной аппарату-

ры, Одесса, 1988 г.; II Минском Международном форуме по тепло-и массообмену, Минск, 1992 г.; International Symposium Heat Transfer Enhancement in Power Machinary (HTERM'95), Moscow, 1995; III Минском Международном форуме по тепло- и массообмену, Минск, 1996 г.

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано в отечественных и зарубежных научных журналах и сборниках 36 работ, в том числе 6 авторских свидетельств.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, заключения и списка литературы. Содержание диссертации изложено на 283 страницах машинописного текста, содержит -48 рисунков, 2 таблицы. Список использованной литературы содержит 110 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении проанализирована актуальность проблемы исследования, приведены основные результаты работы, выносимые на защиту, указала их новизна.

Первая глава посвящена анализу причин, приводящих к возникновению случайных температурных полей в различных технических системах.

На основе анализа опытных и экспериментальных данных -показывается, что подход, при котором математическое описание теплообмена технической системы считается детерминированным и абсолютно определенным, зачастую нельзя считать адекватным реально протекающему процессу. Это обусловливается тем, что реаль-

ный теплообмен протекает, как правило, в условиях неопределенности и в присутствии факторов, являющихся случайными. Детерминированный же подход является частным случаем стохастического, когда случайность мала или ею можно пренебречь. Анализируются и классифицируются причины, приводящие к возникновению случайных температурных полей.

Для интегральных полупроводниковых схем (ИС), заключенных в корпуса различных типов при различных условиях охлаждения, экспериментально установлено, что: потребляемая ИС мощность подчиняется усеченному нормальному закону распределения; внутреннее и полное тепловые сопротивления ИС подчиняются усеченному логарифмически нормальному закону распределения; температура кристалла ИС подчиняется усеченному логарифмически нормальному закону распределения, причем разброс определяющих тепловой режим случайных параметров может достигать 80°/, и более.

Случайность температурного поля технической системы обусловливается множеством факторов, которые можно разбить на две группы:

1. Статистический технологический разброс при изготовлении элементов системы и сборке системы. К этой группе относится статистический разброс параметров и характеристик элементов системы, определяющих ее температурное поле, неконтролируемые факторы, например, случайные отклонения размеров и формы элементов, случайные величина и профиль зазора между двумя контактирующими поверхностями, случайный разброс коэффициента теплопроводности материала, случайная структура гетерогенных материалов (величина, концентрация и распределение пор, зерен и т.д.). Статистический технологический разброс неустраним и наличествует в любых объектах.

2. Случайные флуктуации внешних и внутренних факторов, возникающие при функционировании технической системы. К ним относятся, например, мощности источников теплоты, флуктуации тока и напряжения электрических источников энергии, температуры окружающей среды и протекающих в системе жидкостей, скорости жидкостных потоков, джоулева теплота на резисторе, случайность которой вызывается как флуктуациями протекающего по резистору тока, так и случайным разбросом номинала резистора (этот параметр относится уже к первой группе факторов) и др.

Стохастичность математической модели теплообмена обусловливается случайным характером "условий однозначности", полностью определяющих случайное температурное поле. К ним относятся:

- случайные параметры формы и размеры технического объекта, определяющие форму и размеры расчетной области Вей3 с границей 5;

- случайные теплофизические характеристики материала, а именно, плотность р, теплоемкость с и теплопроводность А.

- случайные теплофизические параметры, входящие в граничные условия, а именно: коэффициент теплоотдачи а, температура среды Г„, плотность теплового потока на поверхности д;

- случайное распределение температуры Т0 в начальный момент времени;

- случайное распределение и интенсивность внутренних источников теплоты Ф.

В диссертации принято, что случайные функции, входящие в уравнения стохастической математической модели, подчиняются следующим условиям, которые отвечают реальным процессам теплообмена, наблюдаемым на практике: все реализации случайных функций ограничены для всех (х,ь) е Д х [0,г*); производные всех слу-

чайных функций по х и t, вплоть до соответствующих порядков, существуют и ограничены; математические ожидания, вторые моменты и моменты порядка выше второго (если необходимо) всех случайных функций существуют и ограничены. В диссертации не рассматриваются процессы типа белых шумов как неадекватные реальным случайным процессам теплообмена.

Математическая постановка задачи заключается в определении статистических мер случайных полей температуры, которые с достаточной для инженерной практики полнотой характеризуют случайное температурное поле. К статистическим мерам относятся: поля математического ожидания T{x,t) = E{T(x,t,u>)}, где Е{-} - оператор математического ожидания; поля дисперсии Dr(x,t) = u))T"(x,t,ij)}, где T°(x,t,u>) = T(x,t,u>) - T(z,t) - центрированное случайное поле; поля среднего квадратического отклонения a(x,t) = — (DT(x,<))0 S; корреляционной функции KT{^,v,t} - E{T(x,t,w)T(y,t,u>)} = CT(x,y,t) + T(x,t)T{y,t), (x,yeD), где CT(x,y,t) - ковариационная функция, ш - элементарные события из пространства элементарных событий П. Располагая полями математического ожидания и среднего квадратического отклонения, можно определить поля доверительных интервалов, внутри которых будут рассеяны реальные значения случайных температур, которые могут встретиться на практике.

Существенной особенностью стохастических задач теплообмена является то, что случайными являются не только внешние воздействия, но и параметры технической системы. Это приводит к тому, что оператор уравнения или матрица уравнения теплообмена содержат случайные коэффициенты.

Рассмотрены примеры различных технических систем, в которых возникают случайные поля температуры.

Дан обзор существующих методов анализа и расчета случайных

температурных полей и их сравнительный анализ. Анализ показал, что отсутствуют эффективные (по затратам машинного времени и точности) методы вероятностного анализа и решения стохастических уравнений со случайным оператором (коэффициенты оператора - случайные функции) или случайной матрицей с элементами, являющимися произвольными случайными величинами или процессами, отличными от случайных процессов типа белых шумов. Вторая глава посвящена обоснованию концепции тепловых схем и распространению ее для расчета детерминированных и случайных температурных полей в телах сложной формы, потоке несжимаемой жидкости и при тепловом взаимодействии тела и жидкости. В главе разработан метод получения тепловой схемы, моделирующей процессы теплообмена в технических системах, получены формулы для расчета схемных элементов и обосновано введение новых элементов тепловой схемы для описания конвективных потоков теплоты в несжимаемой жидкости, протекающей в системе.

Метод тепловых схем адаптировал к техническим системам со сложной пространственной формой, состоящим из большого числа разнородных элементов, для части из которых необходимо знание температурных полей, для другой части элементов - только их средней температуры.

Метод тепловых схем основан на интегральном уравнении баланса тепловой энергии, переносимой субстанцией через выделенный объем V, ограниченный поверхностью 5, в котором действуют источники тепловой энергии ф, а именно

I рср^У + £рсРГуп^ = + J ф<Ы,

V Б Б V

^ = -\pbdT,

где р, ср, А - плотность, удельная теплоемкость при постоянной

давлении и коэффициент теплопроводности субстанции; V - вектор скорости субстанции; п - вектор единичной внешней нормали к поверхности. Поле скоростей V жидкости считается известным априори. Плотность и удельная теплоемкость, в обшем случае, могут быть функциями координат, т.е. р = р(х), с = с(х), а коэффициент теплопроводности может быть кал функцией координат, так и функцией времени, т.е. Л = А(х,<). Плотность внутреннего источника теплоты является функцией и координат, и времени, т.е. Ф - Ф(х,г).

Расчетную область, в которой необходимо определить температурное поле, покрывают системой непересекающихся объемов (прямоугольных параллелепипедов). В объемах, лежащих внутри области, располагают по одному узлу, в объемах, имеющих общие точки с границей области,""располагают один узел на границе. Записав для произвольного выделенного объема К^* уравнение баланса тепловой энергии в интегральной форме, получаем однородную консервативную разностную схему, связывающую температуры в узлах сетки, которая сохраняет второй порядок точности в классе разрывных коэффициентов на произвольной последовательности неравномерных сеток

Лч ГТ1 ГГЧ ГТП Ф ГГУ ГТ1 ГГ> Ф

р ал^к -М-!.;.* — 1ijk 1<}к — ■*■•+!,-47-1,* - -¡¡¡к ¿¡]к - ■^i,j+l,k

1 - Т,]к Тцк - г„м+1 _

р(3) + д(З) -

где Ту* - температура цк-го узла; С,¡к - полная теплоемкость ¿¿к-го конечного объема; я\]1, , - коэффициенты, определяемые

через коэффициент теплопроводности в выделенном объеме и параметрами объема; Фук(г) - полный тепловой поток внутреннего источника теплоты в конечном объеме Уу*. Формулы для расчета этих коэффициентов приведены в диссертации.

Полученное конечно-разностное уравнение и входящие в него величины можно трактовать следующим образом. Величины типа представляют собой тепловые сопротивления тепловому потоку между двумя соседними узлами по каждому направлению и имеют размерность теплового сопротивления К/Вт; величина является полной теплоемкостью выделенного конечного объема; величина ¿\>л(<) представляет собой внутренний источник теплового потока. Каждый член конечно-разностного уравнения представляет собой тепловой поток, а само уравнение - алгебраическую сумму всех тепловых потоков, подходящих к рассматриваемому узлу ¿Д-, которая в силу баланса теплоты равна нулю. Согласно такой трактовке, можно к каждому узлу подсоединить ветви, содержащие соответствующие тепловые сопротивления, объемные теплоемкости и независимые источники внутренних тепловых потоков. Транслируя фрагмент тепловой схемы по направлениям координатных осей, получим тепловую схему всего рассматриваемого тела.

При рассмотрении граничных условий приходим к еще одному элементу тепловой схемы, который связан с ветвью, подсоединенной к узлу, например, с номером к1т, лежащему на границе. Эта ветвь (конвективная ветвь) содержит два последовательно соединенных элемента, а именно, источник с заданной температурой среды или жидкости (узел с известной температурой) и конвективное тепловое сопротивление Яа,ит ■

Показано применение метода тепловых схем, расчет схемных элементов и выбор расположения узлов и границ конечных объемов для областей с разрывными теплофизическими характеристиками и с границей сложной, криволинейной формы. Получены также уравнения и соответствующие тепловые схемы для системы N тел, омываемых жидкостью.

Развитие метода тепловых схем для моделирования конвективного теплообмена в потоке несжимаемой жидкости в канале или около поверхности тела приводит к необходимости введения новых элементов в тепловой схеме, не используемых в тепловых схемах, которые моделируют процессы чистой теплопроводности в технических системах с теплообменом поверхности со средой.

Для двумерного течения жидкости со скоростью v = v(xbx2,<), при наличии в жидкости внутренних источников теплоты, объем жидкости разбивается на конечные объемы (прямоугольные параллелепипеды), с гранями параллельными плоскостям координат. К каждому полученному конечному объему можно применить общее уравнение баланса теплоты в интегральной форме, поверхностный интеграл в левой части которого записывается в виде

£ pcTvndSij = -/<!>,,• + /<;' - I¡%, + l\f =

Sii

+pcA1,jTijv^j{t) - РсА2,Л,Н1 (t) + рсАиТцj(í),

где Ait¡, l — 1,2 - плошали соответствующих граней выделенного объема. Здесь использована схема против потока, при которой температура на грани выделенного объема принимается равной температуре в близлежащем узле, расположенном выше по течению потока.

;Подставляя полученное выражение в общее уравнение баланса, получаем конечно-разностные уравнения конвективного теплообмена в потоке жидкости в выделенных конечных объемах. Этим уравнениям соответствует тепловая схема, показанная на рис. 1.

Связь между узлами i-l,j и ij осуществляется через температу-розависимый источник /¡_i¿. Зависимые конвективные источники I¡j и /|-1,у, как следует из их выражений, управляются температурами

Рис. 1. Тепловая схема двумерного конвективного теплообмена в конечном объеме

в узлах ¿7 и г — 1,7, соответственно. Аналогично получаются разностные уравнения и соответствующие им тепловые схемы для трехмерного течения жидкости в каналах сложной формы.

В главе 2 приведены конкретные примеры, в которых показывается методика построения тепловых схем различных технических систем.

В главе 3 излагается разработанный в диссертации матрично-топологический метод, применение которого к тепловой схеме позволяет непосредственно получать конечно-разностные уравнения баланса в матричной форме относительно узловых температур, не выписывая явно эти уравнения.

Для произвольной тепловой схемы установлены следующие мат-рично - топологические соотношения:

- между потоками в ветвях тепловой схемы

АЗ = О,

где 3 = ||7]... 7д/||т - вектор-столбец тепловых потоков ветвей; А -

матрица инциденпий, имеющая размерность N х М, N - количество узлов в тепловой схеме за вычетом одного узла, М - количество ветвей. Для составления матрицы инциденций произвольной тепловой схемы нумеруют в произвольном порядке все узлы и ветви графа и произвольно выбирают направления потоков в ветвях. Одному, произвольному узлу присваивается нулевой номер, этот узел имеет нулевую температуру, относительно которой отсчитываются температуры в остальных узлах тепловой схемы;

- между вектором-столбцом температур в узлах тепловой схемы Т = ||7i T2..?Tn\\t и вектором-столбцом разностей температуры в ветвях тепловой схемы ДГ=||ДТ1 ДТ2...ДГМ||Т

ДТ = АтТ,

где т - операция транспонирования;

- между вектором-столбцом потоков теплоты J и вектором-столбцом разностей температур в ветвях ДГ

J = GAT,

где G - квадратная матрица проводимостей ветвей тепловой схемы, размерностью М х М, М - количество ветвей графа. Если ветвь представляет собой тепловую проводимость j; (кондуктив-ную или конвективную), то элемент ii матрицы G равен д,; если ветвь i представляет собой зависимый источник потока (моделирующий конвективный тепловой поток в движущейся жидкости), управляемый разностью температур в ветви m с коэффициентом управления gim, то элемент im матрицы G равен gim. Остальные элементы матрицы G - нулевые;

- между вектором-столбцом теплового потока Jc в ветвях тепловой схемы, содержащих тепловые емкости и вектором-столбцом

узловых температур Т

где С - диагональная матрица тепловых емкостей конечных объемов, на которые разбита анализируемая система.

На основе полученных матрично-топологических соотношений в тепловой схеме получается матрично-топологическое уравнение относительно вектора неизвестных температур Т = X(í) в узлах тепловой схемы

C^- + AGATT = J + AGTa, Г(0) = То, dt

где J - вектор-столбец известных тепловых потоков независимых источников тепловых потоков, соответствующих внутренним и внешним источникам теплоты; Т„ - вектор-столбец известных температур окружающей систему среды и протекающих жидкостей; Т0 -вектор-столбец начальных значений температуры в узлах тепловой схемы. Уравнение справедливо для произвольных тепловых схем, моделирующих процессы теплопередачи в технических объектах. В диссертации разработан алгоритм получения матрично-топологического уравнения для произвольной тепловой схемы, моделирующей процессы теплообмена в технической системе, состоящей из твердотельных элементов и протекающих жидкостей. Алгоритм легко автоматизируется на ЭВМ.

В стационарном случае вектор-столбец температур Т описывается матрично-топологическим уравнением, получающимся из нестационарного уравнения при dT/dt = 0, т.е.

AGATT = J + AGTa.

Стационарное уравнение представляет собой систему линейных алгебраических уравнений.

В случае теплообмена со средой или жидкостью,имеющей известную температуру, матрица тепловых проводимостей G является диагональной, а N х ^-матрица Я = AGÄr является симметрической и положительно определенной, что гарантируют невырожденность матрицы Я и существование решения.

В случае теплообмена в движущейся жидкости матрица Я = -AGAr, как уже отмечалось, не является симметрической, поскольку матрица G недиагональна. Но и в этом случае матрица G содержит только положительные элементы и значительное количество нулевых .

В главе рассмотрены примеры, иллюстрирующие применение матрично-топологического метода для тепловых схем различных технических систем, в том числе, для сопряженного теплообмена жидкости в канале.

Глава 4 посвящена разработанным в диссертации методам анализа и расчета случайных температурных полей в стационарном режиме. В стационарном тепловом режиме метод тепловых схем (гл. 2) и матрично-топологический метод их анализа (гл. 3) приводят к матричной системе стохастических алгебраических уравнений относительно случайного вектора стационарных температур Т(ш) = ЦТ](и)... Tn(uj)\\t в N узлах тепловой схемы H(ui)T = F(w), со случайным вектором правой части F(u>) = У(ы)4-АС(ш)Га(о)) и случайной NxN-матрицей тепловой схемы технической системы Н(ш) — AG(u>)Ar.

Элементы случайных векторов J(uj) и Та(и>) и элементы случайной матрицы G(u) ограничены почти наверное, независимы между собой, и известны все их моменты до нужного порядка включительно. Для реальных технических систем, кроме того, справедливы следующие неравенства для элементов gtj(uj) случайной матрицы G(u>): Iff.'jH -ffijl/ffij < 1. М = 1,2,..., Л/ где fr- = Е{д,;(ч>)}, i,j = 1,2,..., Л/ -

математические ожидания случайных тепловых проводимостей g,j(u>), причем у,,{и)~> 0, i,j = 1,2,...Л/, для каждого uieCI.

Анализ распределения случайных температур в N узлах тепловой схемы заключается в определении статистических мер случайного вектора температур Т(и>) = ||Ti(a>)...2V(uj)||T. Случайный вектор температур Т(ш) для каждого и> е fl является решением стохастической системы уравнений. Это решение при условии, что существует случайная обратная матрица может быть записана как Т(и>) = H~\ui)F(u>), шеП.

Вектор математического ожидания температур Т - Е{Т(и>)} = ||Ti ...ГЛ-||г, где Т, = E{Ti(u)} - математические ожидания случайных температур Т,(ш), входящих в случайный вектор Т(ш), получается после применения оператора математического ожидания £{•} к случайному вектору Т(и>). Для определения корреляционной матрицы Кт = Е{Т(и)Т(и)т} необходимо умножить вектор Т(ш) на транспонированный ему вектор Тт(и) = FT(u)(H~l(u))T к применить к полученному произведению оператор математического ожидания. В результате имеем Кт = E{H-1(u)F(l})Ft(u)(H-1(u))t} . Из этих выражений видно, что для определения статистических мер случайного вектора Т(ш) необходимо определить моменты случайной обратной матрицы Н~1(ш).

Представим случайные элементы gi,(u>) матрицы G(u) в виде суммы их математического ожидания д^ = Е{д{}(и)} и случайной центрированной величины s°y(u>) = <7,j(w) - с нулевым математическим ожиданием, т.е. - 9ij + Тогда случайная матрица G(u>) может быть представлена в виде суммы двух матриц G(u>) = G + G°(u>), где G = E{G(oj)} - матрица, элементами которой являются математические ожидания gt] ; G°(u>) - случайная матрица с нулевым математическим ожиданием, состоящая из центрированных случайных величин g°j(u). Случайная матрица системы Н(ч>) = AG(u)AT также может

быть представлена в виде суммы матрицы ее математического ожидания Я = Е{АС(и)Ат} = АОАт и центрированной случайной матрицы Я°Н = Ав°(и>)Ат с нулевым математическим ожиданием, т.е. Я(ш) = Я + Я°(и)). Матрица математических ожиданий Я = АвА7 известна, так как известны элементы д^ матрицы в. Далее, очевидно, что для каждого и е П Н(и>) = Я + Я°(ш) = Я(/ + Я-1Я°(и>)), где I - диагональная единичная матрица; Я-1 - обратная матрица для матрицы Я. Матрица Я является детерминированной, и поэтому определение ее обратной матрицы Я"1 не представляет трудностей.

Обратная случайная матрица Я-1 (и)) для каждого ш е О равна Н-Цш) = (/ + Я_1Я0(а.))Я_1.

Для каждой отдельной реализации случайной матрицы Я°(ш), для каждого и € П применим известную теорему для детерминированных матриц: матрица I- А, где I - единичная диагональная матрица, обратима, если существует такая матричная норма ||-||, что ||Л|| < 1. При этом условии (/-А)-1 = причем бесконечный

матричный ряд сходится равномерно. Под нормой ЦЛЦ« случайной матрицы понимается наибольшая норма ||Л(ш)|| среди всех ибй,

т.е. ЦЛЦ^ = тахш6п ||Л(ш)||. Матричная норма ЦЛЦ^, легко вычисляется, поскольку реализации случайных матричных элементов а„(ы) для всех шей для реальной технической системы ограничены, и известны их наибольшие и наименьшие с™'" (и;) значения, являющиеся исходными данными.

Опираясь на вышеприведенную теорему, справедливую для всех реализаций случайной матрицы Я(и), можно найти случайную обратную матрицу Я"1 (и;)

оо

Я-1И = (Л-Я"1Я°М)Я-1 = £(-1)*(Я_1Я°И)1Я~\

*=0

Это выражение представляет собой бесконечный матричный ряд,

равномерно сходящийся почти наверное при выполнении условия

||7TVM|L,<I.

После ряда преобразований получим

H~\u) = H~l -BW(u)BT,

W(u) = G°(w) - G°(U)DG°(L;) + G°(u>)DG°(uj)DG0(u?)-----

oo k = 0

где £> = АТН~1А и Я~'л = В - известные детерминированные матрицы. Ряд Щи;) сходится почти наверное при выполнении условия

||ЛС»||И< 1.

Вектор математического ожидания Т и корреляционная матрица Кт случайного вектора температур Т(и) будут равны:

Т = (Я-1 - BWBT)J + B(G - E{W(uj)BtAG°(U>)} - WBTÄG)T<1,

где = YXLa{-^)kE{Ga(u}){DGa{w))kBTAGü(u1)};

Кт = A'r, l + Л'7-,2 + A'-J- 2 -f A'r,3,

где 7\'r,i, А'г,2. А'т.з - матрицы, равные

А'т,, = £{Я-1(и^)С/1(Я-1(^))Т}1 А'т,2 = E{H-i{Lj)AG0{ui)U2{H-\w))T), А'т,з = £;{Я-1(ш)АС0(и;)Л'?_1(С0(и;))гАт(Я-1(^))Т};

А'т; = £{Ta(u)Tj(w)} - корреляционная матрица случайного вектора Та{и)', Ui и U2 - детерминированные и потому известные матрицы, равные [/, = Kj + Л GA>„ j + А'.'/. + ÄG К т. GT Ат, U2 = Кт. j + А'т. СГЛТ;

A'j = E{J(u)Jt(uj)} - корреляционная матрица случайного вектора Кт. j = E{Ta(ui)Jr(iü)} - взаимная корреляционная матрица случайных векторов Та(ш) и J(u).

Матрицы в выражениях для вектора математических ожиданий и корреляционной матрицы легко вычисляются. Для достижения приемлемой точности расчетов, как правило, достаточно оставлять члены в матричных рядах, степень которых не превышает двух, реже четырех.

Оценка эффективности разработанного метода показывает, что для вычисления корреляционной матрицы требуется приблизительно 9п3 операций, где п - порядок матрицы, в то время как метод статистических испытаний требует 2п3И операций, где N - число испытаний .

Изложенным методом были рассчитаны статистические меры случайных температурных полей в практически важных технических задачах .

1. Контактная проблема теплопроводности, возникающая при контакте двух разнородных стержней. Поверхности, приведенные в контакт, имеют микронеровности, волнистости, неплоскостности, носят случайный характер, обусловленный статистическим технологическим разбросом их изготовления. Случайный разброс в характеристиках контакта приводит к случайному разбросу разностей температуры на контакте. Модель теплопередачи в рассматриваемой системе представляет собой трехслойный стержень, а область контакта имеет коэффициент теплопроводности, являющийся случайной функцией координат. Разработанным методом были рассчитаны поля математического ожидания и среднего квадратического отклонения случайного распределения температуры вдоль контакта, а также верхняя доверительная граница с доверительной вероятностью 0.95, показывающая верхнюю границу реальных значений температур. Численное моделирование случайного распределения температуры альтернативным методом статистических испытаний по-

казало, что относительная погрешность математического ожидания Т, рассчитанного разработанным методом, составляет менее 1У,, а относительная погрешность среднего квадратического отклонения не превосходит 3,5'/,. Для получения достоверных статистических данных методом статистических испытаний потребовалось проведение более 500 испытаний и времени на два порядка больше, чем по разработанному методу, в котором в бесконечных матричных рядах для статистических мер Т и Кт были удержаны только члены со степенью не превышающей двух. Показано, что рассеяние

индивидуальных случайных значений температур вокруг их средних значений достигает 46'/. для принятых входных данных.

2. Стохастический тепловой режим печатной платы с установленными на ней микросхемами разного типа, заключенными в керамические корпуса. Случайное температурное поле в такой системе обусловливается следующими случайными факторами: мощностями, рассеиваемыми микросхемами; тепловыми сопротивлениями микросхем; величиной воздушного зазора между печатной платой и микросхемой, которая вызвана статистическим разбросом технологии монтажа; температурой окружающей среды; коэффициентом теплоотдачи с поверхностей микросхем и печатной платы. Результаты расчетов показали, что для наиболее нагретой микросхемы математическое ожидание случайной температуры кристалла составило 99°С, дисперсия - 16(°С)2, а диапазон реального разброса температуры кристалла составил 90.8 - 106.5°С. Те же характеристики для наименее нагретой микросхемы составили соответственно: 81.4°С, 31.4(°С)2 и 70.4 - 92.4°С. Наибольший разброс случайных температур кристаллов микросхем вокруг их математического ожидания составил 30*/,.

Для сравнения были проведены также расчеты методом статисти-

ческих испытаний, что потребовало значительно больше (на два порядка) машинного времени, чем по разработанному методу. Наибольшее относительное расхождение между результатами, рассчитанными по разработанному методу и по методу статистических испытаний (которые принимались за точные), составило около 5'/..

3. Стохастический тепловой режим интегральной микросхемы в керамическом корпусе четвертого типа, с четырехсторонним расположением выводов, припаянных к плате. Микросхема повернута крышкой к плате, а к основанию корпуса прикреплен ребристый те-плоотвод, выполненный из высокотеплопроводного материала. Условия охлаждения микросхемы соответсвуют принудительной конвекции. Стохастический тепловой режим микросхемы обусловливается статистическим разбросом площади кристалла и случайной величиной коэффициента теплоотдачи с поверхности ребристого теплоот-вода в среду. Мощность, потребляемая микросхемой, и температура среды - детерминированы.

По разработанному методу были рассчитаны математическое ожидание случайной средней температуры кристалла, температура кристалла, рассчитанная на "худший случай", в предположении, что случайные параметры приняли свои крайние значения иг пазона своего рассеяния, а также доверительный шт Та = 20°С, внутри которого будут рассеяны индивидуальные значения случайной средней температуры кристалла в зависимости от величины мощности микросхемы для двух значений температуры среды. Полученные результаты показывают, что расчет, исходящий из одновременного наихудшего сочетания крайних значений случайных параметров, дает сильно завышенные значения температуры кристалла (на 547, при Р = 4Вт) по сравнению с ее математическим ожиданием и верхней границей доверительного интервала.

Отсюда следует, что ориентация на "худший случай" приводит разработчика микросхемы к необходимости применять более интенсивные способы охлаждения или корректировать конструкцию микросхемы, включая и конструкцию ее корпуса, хотя вероятность реализации "худшего случая" на практике составляет менее Ю-3 и, следовательно, представляет собой нереальное событие.

Глава 5 посвящена методу анализа нестационарных случайных температурных полей. Метод позволяет определять нестационарные статистические меры вектора-столбца случайных температур T(t,ш) = ||7i(i,u?)...Ti4(t,Lj)\\T в N узлах тепловой схемы, описываемого стохастическим матричным дифференциальным уравнением

С(Е + щг,ы)Т = F(t,u>), (t,u) е [0,0 х П, с начальным условием

т(о,ш) = т0(и), шеп,

случайным вектором правой части F(t,u>) = J(t,w) + AG(t,u)Ta(t,w) и случайной N х iV-матрицей системы H(t,u>) = AG(t,u)AT, где А - N х М~ матрицы инциденций тепловой схемы; G(i,u>) - случайная М х М-матрица тепловых проводимостей в тепловой схеме; J{t,w) - случайный JV-вектор-столбец независимых источников тепловых потоков; Ta(t,u>) - случайный М-вектор-столбец заданных известных температур среды или граничных поверхностей; Т0(и) - случайный ЛГ-вектор-столбец начальных температур в узлах тепловой схемы. Случайные элементы векторов J(t,u), Ta(t,ш), T0(u) и матрицы G(t,u) имеют ограниченные реализации.

Реальные технические объекты таковы, что элементы g,j(t,uj) случайной матрицы G(t,u>), представляющие собой тепловые проводимости, удовлетворяют неравенствам |iNj(<,w) - gtj{t)\/Vij(t) < 1, i,j =

1,...,Л/, где </и(<) = - математическое ожидание случай-

ной функции Л/ - количество ветвей в тепловой схеме.

Случайные векторы Гв(<,ш), Г0(и>) статистически независи-

мы между собой и статистически независимы от случайной матрицы что соответствует реальным техническим системам в процессе их функционирования.

Сущность метода рассматривается сначала на примере одномерного стохастического уравнения в обыкновенных производных первого порядка. Для этого же уравнения проведено сравнение результатов расчета статистических мер по разработанному в д^— сертации методу с точным решением и методом теории возмущен Сравнение с точным решением показало, что наибольшая от: тельная погрешность не превышает 77. для предложенного метода, и составляет 24'/, - для метода теории возмущений.

В общем случае, сущность метода заключается в следующем. Стохастическое матричное уравнение с начальным условием эквивалентно для каждого и е £1 интегральному стохастическому матричному уравнению

1 1 1

СТ{1,и>) - СГоМ + / Я(г,и))Г(г,а>Мг = J ,7(г,и>)Л- + | П(т,и>)Та(т,и>)<1т, о о о

где = АС(г,и>) - случайная N х М-матрица.

Временной интервал [0, г) разбивается на к интервалов точками <о = 0, (],-.•,'*=<• Для произвольного временного интервала [0,г;], ¿ = 1,2,...Д- стохастическое интегральное матричное уравнение преобразуется в систему стохастических матричных линейных алгебра-

ических уравнений (1 = 1,2,...,к)

¡ '' { ч

СЩи>)-СТ0(и) + '%2 / Н(т,и)Т(т,ы)<1т =¿ I J(r,u>)dт+

где Т;(и>) = Т(иш) = ||Т1(<;,о>)... - вектор-столбец случайных

температур Т„(<,,и>), п = 1,2,... ,ЛГ в N узлах тепловой схемы в момент времени < = <<. Аппроксимировав интегралы во временном интервале по формуле тралений, система уравнений запишется в виде

ст,(ш) - СТ,1,(0») + ^ £ . (Ш)(7» + = Д< £

+ г-= 1,2,...Д.

.1=1

После ряда преобразований, введения новой переменной 0(и>) с помощью матрично-бпочного преобразования Т(ш) = £0(ш) получаем матрично-блочное стохастическое алгебраическое уравнение, удобное для определения статистических мер, т.е.

Н(ы)в(и) = М(ш) + Ш(и) + &Щи)Та(и), где - случайная блочная матрица, равная

-2 С 1С 0 ^ЩП + с -2 С 0 0 ООО

2(-1)к~1С 2(—1)1_2С 2( —1)*-"-3С

77,(ш) - случайная блочная диагональная матрица, по диагонали которой стоят матрицы. Ик(и))К Из(и), ... ,Кк_1(ш); М(и), J(ш), Та(ш)

- стохастические блочные векторы-столбцы. Полученная матрично-блочная система стохастических алгебраических уравнений относительно блочного вектора-столбца 0(и>), матрица Н(и) которой содержит случайные матрицы-блоки Нт(ш), т = §,...,&-§, расположенные только на диагонали блочной матрицы Щи>), причем матрица Н{ш) имеет нижнюю треугольную блочную структуру.

Статистические меры случайного блочного вектора-столбца &(ш), а именно блочный вектор-столбец математического ожидания 0 = £{0(ш)} и корреляционная матрица К& = £{(0(ш) - 0)(0г(ш) -

_у

0 )}, определяются из стохастического матричного алгебраического уравнения. Поскольку система представляет собой систему стохастических линейных алгебраических уравнений, то для определения из нее статистических мер случайного вектора 0(ш) можно применить матричный метод, разработанный в гл. 4. Искомые статистические меры Г = Е{Т(ш)} и Кт = Е{(Т(и) - Т)(Тт(ш) - Тт)} случайного вектора-столбца Т(ш) определяются по найденным статистическим мерам 0 и Я© при помощи преобразований Т = £0, Кт = ТКвТт.

Для определения статистических мер 0 и Л'е случайная блочная матрица Щш) представляется в виде суммы двух блочных матриц Н(и>) = 4+ с детерминированной блочной матрицей математи-

ческих ожиданий Н и случайной блочно-диагональной матрицей Н"(ш) с нулевым математическим ожиданием, в которой Я?(ш) = Я?(и>) - Я^, г = §,...,к - ^ - центрированные случайные матрицы с нулевым математическим ожиданием. Случайная матрица Щи>) может быть представлена в виде Н(ш) = Н{ш)(Е + где Е - блоч-

ная диагональная матрица, состоящая из диагональных единичных матриц I.

При выполнении неравенства для стохастической нормы

< 1 случайная блочная матрица Н(и>) обратима и может быть представлена сходящимся почти наверное стохастическим матричным рядом

¡=0 ^ ■ ' Располагая выражением для обратной случайной матрицы, получим конкретные выражения для вычисления статистических мер Т и Кг.

Случайный блочный вектор-столбец 0(ш) для каждого шей может быть записан в виде

ем = £(-!)' (■у й-1 {Л<м + дай + дигнт.н).

Вектор математического ожидания в и корреляционная матрица Кв определяются из последнего выражения методом стохастической обратной матрицы, разработанным в диссертации и описанным в гл. 4. Использование этого метода требует вычисления один раз обратной детерминированной матрицы Н 1. Она может быть легко вычислена по полученным в диссертации рекурент-ным формулам, использующим известные блочные матрицы Я,, входящие в матрицу Н.

Выражения для вектора математического ожидания Т и корреляционной матрицы Кг представляют собой матричный ряд в первом случае и двойной матричный ряд - во втором. Для вычислений берутся только несколько первых членов рядов, степень которых обычно не превышает двух или (реже) четырех.

Разработанным методом были рассчитаны нестационарные поля статистических мер случайных нестационарных температурных полей ряда технических систем.

1. Нестационарный нагрев кристалла микроэлектронного прибора (МП) при его включении, к корпусу которого прикреплен те-

плоотвод из высокотеплопроводного материала. Параметры, определяющие нестационарную температуру кристалла МП, носят случайный характер. К ним относятся: потребляемая мощность Р, внутреннее тепловое сопротивление Р,1С "кристалл - корпус" МП, температура среды Та.

Разработанным методом были получены временные зависимости математического ожидания, среднего квадратического отклонения и верхней доверительной границы с доверительной вероятностью 0,997. Проведены также расчеты температуры кристалла на "худший случай" и проведено сравнение с данными эксперимента.

Значения верхней границы доверительной области температуры кристалла хорошо согласуются с экспериментальными данными рассеяния реальных температур (согласие в пределах 3%). В то же время температура, рассчитанная на "худший случай", отличается от наибольшей экспериментальной температуры на 357,, а от наиболее вероятной температуры, ожидаемой на практике, на 707..

2. Нестационарный теплообмен в пластине со случайной теплопроводностью. В различных технических приложениях используются материалы, имеющие разнородный состав и неупорядоченную сложную структуру. К таким материалам относятся капиллярно пористые тела, зернистые и композитные материалы, засыпки и т.д. Распределение капилляров, пор или зерен является случайным, так же как случаен и размер капилляров, пор и зерен. Случайная природа гетерогенных систем обусловила подход к анализу протекающих в них процессов теплообмена на основе рассмотрения теплофи-зических характеристик материала в виде случайных функций.

Разработанным методом был проведен численный анализ статистических мер случайного нестационарного температурного поля одномерной пластины, выполненной из материала с коэффици-

ентом теплопроводности, являющимся случайной функцией координаты. Сравнение значений нестационарных статистических мер, вычисленных разработанным методом и методом статистических испытаний (принятым за точный), показало, что в приближении второго порядка математическое ожидание Т полностью совпадает с точным, а среднее квадратическое отклонение <т отличается от точного не более чем на 12%. Величина а, вычисленная в приближении четвертого порядка, отличается от точного не более чем на 3°/,.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИСЕРТАЦИИ

1. Разработан и обоснован метод тепловых схем для эффективного моделирования стационарного и нестационарного теплообмена как в трехмерных, разнородных телах сложной формы, так и в потоке несжимаемой жидкости. Показано, что для построения тепловой схемы, моделирующей конвективный теплообмен в потоке жидкости, необходимо ввести новый тип ветви, содержащей элементы типа I, представляющими собой зависимые источники тепловых конвективных потоков, управляемые температурой жидкости в узлах тепловой схемы.

2. Разработан и обоснован матрично-топологический метод анализа и расчета тепловых схем. Этот метод позволяет автоматически получать однородные консервативные конечно-разностные уравнения процессов теплообмена непосредственно в матричной форме относительно вектора температур в узлах тепловой схемы. Установлены матрично-топологические соотношения между температурами и потоками теплоты в узлах и ветвях тепловых схем.

3. Разработан и обоснован матричный метод анализа и расчета статистических мер случайных распределений температуры в узлах тепловой схемы в стационарном режиме, а именно: векто-

ров математических ожиданий, дисперсий и средних квадратических отклонений и корреляционные матрицы случайных стационарных распределений температуры.

Разработанным методом проведен анализ случайного теплообмена в области контакта между двумя стержнями. Проведен расчет случайного температурного поля сложной технической системы, состоящей из печатной платы и установленных на ней интегральных микросхем, причем параметры системы, определяющие ее температурное поле, являются случайными величинами. Проведен вероятностный анализ теплового режима интегральной полупроводниковой схемы (ИС), рассчитаны математическое ожидание и среднее ква-дратическое отклонение внутреннего теплового сопротивления ИС и средней температуры кристалла ИС. Проведено сравнение с результатами, полученными исходя из представления о "худшем" случае. Показано, что значения внутреннего теплового сопротивления ИС, рассчитанного на "худший" случай, отличаются от его математического ожидания на 80°/,, в то время как вероятность "худшего" случая составляет менее Ю-3, что делает "наихудшее" событие практически нереальным.

4. Разработан метод анализа и расчета нестационарных статистических мер случайных нестационарных распределений температуры в узлах тепловой схемы.

Разработанным методом проведен анализ нестационарной контактной проблемы теплопроводности, которая моделируется контактным слоем со случайной функцией теплопроводности, зависящей от координаты. Проведен анализ нестационарной случайной температуры микроэлектронного прибора, внутреннее тепловое сопротивление и потребляемая мощность которого являются случайными величинами. Рассчитаные временные зависимости математического

ожидания, дисперсии и границ доверительного интервала случайной нестационарной температуры кристалла хорошо согласуются с данными эксперимента, а температура кристалла микроэлектронного прибора, рассчитанная исходя из "худшего" случал, отличается от наибольшей температуры, полученной в эксперименте, на 35'/,, а от наиболее вероятной температуры - на 70°/..

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. A.c. 780705 СССР, МКИ G 11 С11/34. Запоминающий элемент. Приоритет 11.03.79. Зарегистрировано в Гос. реестре изобр. СССР / В.Н. Мурашов, Л.М. Коломийцев, А.Г. Мадера и др. - 1980.

2. A.c. 1051750 СССР, МКИ Н 05 К 7/20. Радиоэлектронный блок / B.C. Бурыкин, В.В. Дубошин, В.В. Лосев, Г.В. Резников, В.П. Салакатов, O.K. Сафронов, В.М. Тантлевский и А.Г. Мадера. - Бюл. N 40, 1983.

3. A.c. 1200841 СССР. Приоритет 23.11.83. Зарегистрировано в Гос. реестре изобр. СССР 22.08.85 / А.Ю. Кромин, А.Г. Мадера, В.Н. Михеев и др. - 1985.

4. A.c. 1426436 СССР. Приоритет 24.03.86. Зарегистрировано в Гос. реестре изобр. СССР 24.03.86 / А.Ю. Кромин, А.Г. Мадера, В.Н. Михеев и др. - 1988.

5.'А.с. 1456919 СССР, МКИ G 01 R 31/28. Устройство для измерения теплового сопротивления интегральных схем /А.Ю. Кромин, А.Г. Мадера, Г.В. Резников. - Бюл. N 5, 1989.

6. A.c. 1485160 СССР, МКИ G 01 R 31/28. Способ измерения теплового сопротивления интегральных схем / А.Ю. Кромин, А.Г. Мадера, Г.В. Резников. - Бюл. N 21, 1989.

7. Метод расчета температурных полей многослойных тел при вы-

сокоинтенсивном индукционном или лазерном нагреве / Д. И. Закс, Н.М. Наумов, Л.Ф. Наговицина, А.Г. Мадера // Тез. докл. VIII Всесоюзной научно-технической конференции по микроэлектронике, Москва, 14 - 16 марта 1978. - М.: МИЭТ, 1978. - С. 11.

8. Закс Д.И., Мадера А.Г. Метод расчета нестационарных температурных полей полупроводниковых микросхем // Известия вузов СССР. Радиоэлектроника. - 1979. - Т. XXII, N 6. - С. 77-81.

9. Закс Д.И., Мадера А.Г., Наговицина Л.Ф. Метод машинного расчета теплового режима ИС, учитывающий отвод тепла через выводы и крышку корпуса // Электронная техника. Сер. 3, Микроэлектроника. - 1980. - Вып. 5(89). - С. 55 - 59.

10. Мадера А.Г., Закс Д.И., Приходько П.С., Щетинин Ю.И. Метод машинного расчета динамического режима полупроводниковых микросхем с учетом тепловой обратной связи // Сб. научн. тр. по проблеме "Полупроводниковые интегральные схемы памяти. Схемотехника и технология". - М. : МИЭТ, 1980. - С. 103 - 110.

11. Мадера А.Г. Расчет динамического режима полупроводниковых микросхем с учетом тепловой обратной связи // Микроэлектроника. - 1982. - Т. 11, вып. 2. - С. 175 - 177.

12. Мадера А.Г. Расчет динамических параметров интегральных полупроводниковых микросхем, учитывающий тепловую обратную связь // Тез. докл. X Всесоюзной научной конференции по микроэлектронике, Таганрог, 1982. - Таганрог. - 1982.

С. 141 - 142.

13. Мадера А.Г., Резников Г.В. Статистический метод расчета теплового режима изделий электронной техники // Электронная

промышленность. - 1984. - Вып. 1 (129). - С. 66 - 69.

14. Мадера А.Г., Резников Г.В. Прогнозирование температуры кристалла по температуре на крышке корпуса ИС // Электронная техника. Сер. Микроэлектроника. - 1987. - Вып. 1 (121). - С. 85 - 88.

15. Мадера А.Г., Резников Г.В., Закс Д.И. Законы распределения вероятностей параметров теплового режима интегральных полупроводниковых микросхем // Деп. N Р 4355 в ЦНИИ "Электроника". Реферат опубликован в "Сб. рефератов НИОКР, обзоров, переводов и деп. рукописей", Сер. РТ. - 1987. - N 18. -10 с.

16. Кучеренко В.В., Резников Г.В., Мадера А.Г. и др. Система автоматизированного проектирования тепловых режимов высокопроизводительных ЭВМ (САПР ТР ЭВМ)// I Всесоюзная конференция "Проблемы создания супер-ЭВМ, супер-систем и эффективность их применения", Минск, 1987: Тезисы докладов, часть 2. - Минск, 1987. - С. 82 - 84.

17. Кучеренко В.В., Резников Г.В., Мадера А.Г. и др. Метод и результаты математического моделирования тепловых режимов конструктивных устройств ЭВМ // Препринт, АН СССР, Научн. совет по комплексной проблеме "Кибернетика". - М.: АН СССР, 1988. - 48 с.

18. Беркун В.Б., Калугин О.Ю., Мадера А.Г. и др. Универсальный метод автоматизированного моделирования температурных полей ИС на ЭВМ // Электронная техника. Сер. 3. Микроэлектроника. - 1988. - Вып. 3 (127). - С. 38 -43.

19. Емельянов А.Ф., Мадера А.Г., Резников Г.В. Оптимизация температурного поля электронного блока ЭВМ при температурных

ограничениях// Вопросы радиоэлектроники. Сер. Общие вопросы радиоэлектроники (ОВР). - 1988. - Вып. 3. - С. 108.

20. Абрамов H.H., Калугин О.Ю., Мадера А.Г. и др. Вероятностный анализ трехмерных процессов теплопроводности в сложных конструкциях изделий // Минский международный форум по тепломассообмену, Минск, май, 1988: Избранные доклады, Секция 8, 9. - Минск, 1989. - с. 3-9.

21. Мадера А.Г. Корреляционный анализ стохастической нестационарной температуры микроэлектронных приборов // Электронная техника. Сер. 3. Микроэлектроника. - 1989. - вып. 5 (134). - С. 66 - 68.

22. Мадера А.Г., Резников Г.В. Стохастический анализ микроэлектронных цифровых систем при воздействии электрического и теплового режимов // Тепло- и массообмен в технологии и эксплуатации электронных и микроэлектронных систем. Материалы Междунар. школы-семинара. - Минск. - 1989, Ч. 1. - С. 23-30.

23. Мадера А.Г., Резников Г.В. Стохастическое моделирование последовательно соединенных цифровых микросхем при воздействии дестабилизирующих факторов // Электрон. моделирование. - 1989. - Т. 11, N 2. - С. 30-34.

24. Мадера А.Г., Емельянов А.Ф., Резников Г.В. Стохастическое моделирование динамических характеристик логических элементов при воздействии дестабилизирующих факторов // Электрон, моделирование. - 1989. - Т. 11, N 6. - С. 21 - 25.

25. Резников Г.В., Мадера А.Г., Кучеренко В.В. и др. Программные комплексы для расчета трехмерных температурных полей в конструкциях сложной формы// Электронная промышлен-

ность. - 1990. -Ni. - С. 54.

26. Мадера А.Г. Метод вероятностного анализа стохастических температурных полей технических объектов в статическом режиме // Инженерно-физич. журнал. - 1991. - Т. 61, N 5.

С. 838 - 844.

27. Мадера А.Г. Метод вероятностного анализа статических состояний стохастических технических систем, моделируемых линейными электрическими схемами // Электрон. моделирование.

- 1991. - Т. 13, N 4. - С. 55-59.

28. Мадера А.Г. Стохастическое моделирование процессов теплопередачи в твердых телах // II Минский международный форум по тепломассообмену, Минск, 1992: Сб. докладов. - Минск.

1992. - T. IX, ч. 2. - С. 111 - 113.

29. Мадера А.Г. Численный метод анализа стохастического стационарного уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами // Инженерно- физич. журнал. - 1992. - Т. 62, N 6.

- С. 878 - 885.

30. Мадера А.Г., Решетников В.Н., Сотников А.Н. и др. Моделирование температурных полей электронных блоков // Программные продукты и системы. - 1992. -N3. -С. 5-8.

31. Резников Г.В., Мадера А.Г. Тепловой режим электронных блоков и интегральных полупроводниковых микросхем. Программная реализация // Теплообмен в электронном и микроэлектронном оборудовании. Сб. науч. тр., под ред. В.Е. Накоря-кова. - Новосибирск. - 1992. - С. 139 - 161.

32. Мадера А.Г. Метод анализа стохастических нестационарных уравнений теплопроводности// Инженерно-физич. журнал.

1993. - Т. 64, N 2. - С. 244 - 251.

33. Мадера А.Г. (Madera A.G.). Modelling of stochastic heat

transfer in a solid // Appl. Math. Modelling. - 1993. V. 17, December. - P. 664 - 668.

34. Мадера А.Г. (Madera A.G.). Simulation of stochastic heat conduction processes // Int. J. Heat Mass Transfer. 1994. - V. 37, N 16. - P. 2571 - 2577.

35. Мадера А.Г. (Madera A.G.). Method for analysing a stochastic heat transfer in a fluid flow // Int. Symposium Heat Transfer Enchancement in Power Machinery, May 25 - 30, 1995: Abstracts of paper, Part II. - Moscow. - 1995. . -P. 171 - 174.

36. Мадера А.Г. Методы численного анализа случайных процессов теплообмена в твердых телах и движущейся жидкости // III Минский международный форум по тепломассообмену, Минск, 1996: Сб. докладов. - Минск. - 1996. - Т. IX, ч. 2. - С. 138 - 145.