автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы построения статистических зависимостей портфельных операций в рыночных системах

Общая характеристика работы

Введение

I Постановка задачи

1 Предварительные сведения.

1.1 Портфельный анализ по Марковицу.

1.2 Теория случайных конечных абстрактных множеств и статистические зависимости случайных событий.

1.3 Теория двудольных случайных величин и статистические зависимости случайных векторов

1.4 Характеристики зависимостей случайных величин

2 Постановка задачи.

II Решение задачи

1 Портфельная модель товарного рынка и статистические зависимости между доходностями товарных операций

1.1 Пространство состояний товарного рынка.

1.2 Математическое описание характеристик товаров

1.3 Портфель товаров.

1.4 Случайная доходность портфеля товаров.

1.5 Товарный портфель и его связь с традиционным

1.6 Статистические зависимости между доходностями товарных операций

1.7 Задача управления товарным портфелем.

2 Случайно-множественная портфельная модель и статистические зависимости между рыночными операциями . . 74 2.1 Случайный портфель операций.

2.2 Управление случайным портфелем операций в классе смешанных портфельных предложений продавца.

2.3 Средняя граница и среднее решение задачи управления случайным портфелем в классе смешанных портфельных предложений продавца.

2.4 Разложение распределения двудольного случайного вектора по случайно-множественному базису.

2.5 Управление случайным портфелем операций в классе чистых портфельных предложений продавца

2.6 Случайно-множественная задача Марковича высших порядков.

2.7 Измерение статистических зависимостей дисперсиями, центральными моментами и арными дисперсиями

III Применение полученных результатов

1 Статистическая портфельная модель товарного рынка

2 Статистическая случайно-множественная портфельная модель товарного рынка.

2.1 Средняя граница и среднее решение задачи управления случайным портфелем товаров для смешанного портфельного предложения продавца.

2.2 Разложение распределения двудольного случайного вектора по случайно-множественном базису под дуплетом.

2.3 Задача управления случайным портфелем товаров в классе чистых портфельных предложений продавца

2.4 Случайно-множественная задача Марковица высших порядков.

3 Рекомендации использования результатов диссертации . . 124 3.1 Портфельный анализ рынка научных исследований.

Актуальность темы диссертации следует из необходимости изучения рыночных систем, которые определяются сложной структурой статистических зависимостей между их элементами. Практический интерес к изучению этой важной задачи обусловлен потенциальными возможностями повышения эффективности рыночных систем. Системный анализ рынков -— это комплекс исследований, направленных на выявление общих тенденций развития рыночных систем и выработку мероприятий по совершенствованию управления ими. В диссертации рассматривается задача распределения ресурсов между рыночными операциями. Как правило, большинство задач распределения ресурсов являются многоцелевыми. Множество целей определяется особенностями рынков операций, их состоянием в рассматриваемый период времени, а также состояния окружающей среды (геополитические, экономические, социальные и другие факторы).

В портфельном анализе рыночных систем известна задача Марковича — задача управления распределением капитала (или других ресурсов) среди портфеля финансовых операций с двумя взаимоисключающими целями — повысить среднюю доходность портфеля операций и снизить его риск (разброс случайной доходности портфеля относительно средней). Однако, обычно в стороне остается наиболее трудоемкая задача портфельного анализа — управление выбором состава портфеля — управление множеством рыночных операций, образующих портфель. Классическая задача Марковича дает лишь количественное решение — портфельное предложение продавца, учитывающее спрос покупателя на отдельные операции, в то время как необходимо учитывать также и спрос покупателя на множества операций — портфельный спрос покупателя. Кроме того, зависимость рынков продавца и покупателя вызывает необходимость гибкого реагирования рыночной системы на стихийно изменяющийся спрос покупателя, который зависит от ряда случайных факторов.

Предлагаемые в диссертации методы решения задачи управления случайным портфелем в рыночных системах направлены на преодоление указанных трудностей, позволяют учитывать случайно-множественный спрос покупателя, в том числе статистические зависимости высших порядков между портфельными операциями, которые ранее обычно не учитывались.

Таким образом, рассматриваемая в работе тема актуальна, и представляет интерес как для теории, так и для практики системного анализа, управления и обработки информации в рыночных системах портфельных операций.

Целью работы является развитие методов построения статистических зависимостей портфельных рыночных операций, позволяющих решать задачи управления случайным портфелем в рыночных системах.

Данная цель достигается решением теоретических и прикладных задач:

• построение портфельной модели товарного рынка, учитывающей предложение продавца и покупательский спрос;

• построение модели случайного портфеля рыночных операций, которая учитывает более чем парные статистические зависимости между портфельными операциями;

• постановка и решение задачи управления случайным портфелем рыночных операций;

• разработка теории распределений двудольных случайных векторов, предназначенной для решения задач случайно-множественного портфельного анализа;

• разработка рекомендаций по использованию полученных результатов в системном анализе, теории случайных множеств, а также в прикладных областях, в том числе при распределении ресурсов в рыночных системах.

Методы исследования основаны на использовании теории вероятности, математической статистики, теории случайных событий и случайных множеств, методов оптимизации, системного анализа, управления и обработки информации.

Основные результаты диссертации.

1. Разработаны методы построения статистических зависимостей портфельных операций в рыночных системах.

2. Построена портфельная модель товарного рынка, учитывающая предложение продавца и покупательский спрос.

3. Впервые построена модель случайного портфеля рыночных операций, которая учитывает более чем парные статистические зависимости между портфельными операциями.

4. Введены новые понятия: случайный портфель рыночных операций, случайно-множественный портфельный спрос покупателя, чистое и смешанное портфельное предложение продавца. Доказаны теоремы, образующие основу случайно-множественного портфельного анализа.

5. Решена задача управления случайным портфелем рыночных операций в классе чистых и смешанных портфельных предложений продавца.

6. Разработана теория распределений двудольных случайных векторов, предназначенная для решения задач случайно-множественного портфельного анализа. Доказана теорема о разложении произвольного двудольного случайного вектора по случайно-множественному базису в общей постановке.

7. Разработаны рекомендации по использованию полученных результатов в системном анализе, теории случайных множеств, а также в прикладных областях, в том числе при распределении ресурсов в рыночных системах.

Научная новизна и теоретическая ценность.

Полученные в диссертации результаты являются новыми и могут быть использованы в математических и экономических теориях.

• Предложены новые методы построения статистических зависимостей портфельных операций в рыночных системах, основанные на теории случайных конечных множеств и случайных событий.

• Введены новые понятия: случайно-множественный портфель рыночных операций; случайный портфельный спрос покупателя; чистое и смешанное портфельное предложение продавца.

• Впервые предложена портфельная модель товарного рынка и модель случайного портфеля рыночных операций, позволяющая учитывать более чем парные статистические зависимости между рыночными операциями.

• Развита теория распределений двудольных случайных векторов, предназначенная для решения задач случайно-множественного портфельного анализа рыночных систем.

Практическая значимость.

Полученные в работе результаты могут быть использованы в в системном анализе, теории случайных множеств, задачах принятия решений, распределения ресурсов в рыночных системах, финансирования рынка научных исследований, а также в банковском и страховом деле.

Апробация работы.

Основные результаты, отдельные положения, а также результаты конкретных прикладных исследований и разработок докладывались и обсуждались на следующих Всероссийских и региональных конференциях и научных семинарах:

I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск, 2002); V Всероссийской конференции "Математика, компьютер, образование" (Пущино, 1998); I, II и III Всероссийских семинарах "Моделирование неравновесных систем" (Красноярск, 1998, 1999 и 2000); I и II Всесибирских конгрессах женщин-математиков (Красноярск, 2000 и 2002); Конференции молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2001); Конференциях молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1998, 1999, 2000 и 2001); Конференции молодых ученых красноярского научного центра (Красноярск, 2001); I, II, III, IV, V ежегодных городских конференциях по Финансово-Актуарной Математике (1997-2000); XXXV Международной Научной Студенческой Конференции (Новосибирск, 1997); Семинарах ИВМ СО РАН (Красноярск, 2000); ФАМ семинарах (Красноярск, ИВМ СО РАН, 1997-2002); Семинарах кафедры прикладной математики (Красноярск, КрасГУ, 1997-2002).

Публикации.

По результатам научных исследований соискателем опубликовано 21 печатная работа, в том числе, лично статей (12), в соавторстве (3), всего статей (15), тезисов докладов (6).

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка используемой литературы, списка обозначений и предметного указателя. Объем диссертации — 143 страницы.

Заключение

В диссертации разработаны методы построения статистических зависимостей портфельных операций в рыночных системах.

Портфельная модель товарного рынка. Построена статистическая модель рыночной системы — товарного рынка, которая связывает инвестиционные характеристики (доходность, ожидаемая доходность, риск) рыночных операций (товаров и их портфелей) с реальными характеристиками товарного рынка (спрос на товары, оптовые и розничные цены на товары, издержки). Основная сложность применения классической портфельной теории Марковица к товарному рынку заключалась в корректном описании доходности товаров и их портфелей таким образом, чтобы наиболее полно учесть особенности товарного рынка, связанные с конечным спросом и трансакционными издержками. Введенное новое понятие товарного портфеля позволило преодолеть эту трудность. Поставленная и решенная в работе задача управления товарным портфелем позволяет продавцу, работающему на оптово-розничном товарном рынке, повысить эффективность работы.

Преимуществом рассмотренного подхода, при котором риск портфеля моделируется одним числом, является простота и наглядность. Проверка модели на реальных статистических данных показала продуктивность используемых методов. Однако, при сведении все неопределенноети к одному числу — риску портфеля, определяемого через ковариационную матрицу доходностей товаров, значительный пласт информации о более чем парных статистических зависимостях оказывается потерянным. Восполнить эти потери в работе предлагается на основе теории случайных событий.

Модель случайного портфеля рыночных операций. На основе теории случайных конечных абстрактных множеств и теории случайных событий построена модель случайного портфеля рыночных операций, которая учитывает более чем парные статистические зависимости между портфельными операциями. Введены новые понятия: случайный портфель рыночных операций, случайно-множественный портфельный спрос покупателя, чистое и смешанное портфельное предложение продавца. Доказана теорема о характеристиках случайного портфеля операций. Поставлены и решены задачи управления случайным портфелем рыночных операций в классе чистых и смешанных портфельных предложений продавца. Разработана теория распределений двудольных случайных векторов, предназначенная для решения задач случайно-множественного портфельного анализа. Доказана теорема о сумме случайного множества случайных величин, теорема о разложении произвольного двудольного случайного вектора по случайно-множественному базису в общей постановке.

Случайный портфель операций. Статистическая множественная информации о спросе на операции, которая включает в себя и информацию о взаимном спросе на любой портфель операций, не может быть полностью учтена методами классического портфельного анализа рыночных систем. В то время, именно эта информация — источник заметной дополнительной прибыли, которая возникает вследствие увеличения оборота от торговли рыночными операциями с учетом взаимозависимого спроса. В работе на основе теории случайных конечных абстрактных множеств и случайных событий введены определения случайно-множественного портфельного спроса покупателя с одной стороны, и портфельного предложения продавца с другой.

Управление случайным портфелем в классе смешанных портфельных предложений продавца. В работе предлагается решить методами теории случайных событий задачу управления случайным портфелем рыночных операций, которые позволяют учитывать случайно-множественный спрос покупателя, в том числе статистические зависимости высших порядков между портфельными операциями, которые ранее обычно не учитывались. Продавец, управляя портфелем, может распределять свой капитал между любым подмножеством всего множества операций, предлагаемых на рынке. Каждому такому подмножеству операций соответствует подсимплекс множества допустимых портфелей. Выбирая один вектор распределения долей капитала (портфель операций) из каждого подсимплекса, продавец тем самым формирует свое чистое портфельное предложение. Под смешанным портфельным предложением продавца понимается распределение вероятностей, с которыми продавец выбирает один портфель из каждого подсимплекса множества допустимых портфелей. Решение задачи управления случайным портфелем операций при одном и том же уровне ожидаемой доходности дает различные оптимальные портфели, в зависимости от случайномножественного портфельного спроса покупателей. На самом деле, продавца интересуют средние доли капитала, которые он должен вкладывать в операции, чтобы оптимально (в "среднем") учесть спрос случайного покупателя. В диссертации предложены методы нахождения среднего решения задачи управления случайным портфелем операций.

Двухуровневая структура зависимостей и взаимодействий компонент двудольного случайного вектора. В работе впервые доказана теорема о теорема о разложении произвольного двудольного случайного вектора по случайно-множественному базису в общей постановке. Эта теорема говорит о двухуровневой структуре зависимостей и взаимодействий компонент двудольного случайного вектора, состоящей из случайно-множественного базиса и количественной надстройки, предназначенная для упрощения статистического анализа свойств двудольных случайных векторов. Первый уровень описывает структуру взаимодействий между долями компонент двудольного случайного вектора, которая полностью определяется случайным множеством ненулевых долей — случайно-множественным базисом двудольного случайного вектора. Второй уровень описывает зависимости и взаимодействия между ненулевыми компонентами двудольного случайного вектора и образует его количественную надстройку, где статистический анализ проводится классическими методами.

Управление случайным портфелем в классе чистых портфельных предложений продавца. Разработана теория двудольных случайных векторов, предназначенная для решения задач случайно-множественного портфельного анализа. Доказанная теорема о сумме случайного множества случайных величин позволяет естественным образом описать характеристики случайного портфеля операций через совместное распределение двудольного случайного вектора доходностей. Таким образом, при управлением случайным портфелем продавец учитывает двухуровневую структуру зависимостей. Первый уровень, — случайно-множественный базис, описывает структуру множественных статистических зависимостей, определяемых распределением случайно-множественного портфельного спроса. А второй уровень, — количественная надстройка, описывает зависимости и взаимодействия между доходностями операций, входящих в случайный портфель. Продавец, решая задачу управления случайным портфелем, выбирает портфель из подсимплекса множества допустимых портфелей, который соответствует множеству операций, входящих в случайный портфель.

Случайно-множественная задача Марковица п-го порядка Случайно-множественный портфельный спрос влияет на решение задач управления случайным портфелем только своими двумя первыми моментами. Так как эта задача управления случайным портфелем формулируется только в терминах первых двух моментов, то любые случайно-множественные портфельные спросы, имеющие одни и те же характеристики до второго порядка включительно, приводят к одному и тому же решению задачи управления случайным портфелем. Следовательно, в задаче, формулируемой на языке первых двух моментов невозможно учесть зависимости более высоких порядков, заложенные в распределении случайного множества, связанного с задачей. Сформулирована и решена случайно-множественная задача Марковица n-го порядка, где играют роль характеристики случайного множества более высоких порядков. Более того, предлагаемое обобщение задачи Марковица, учитывающее зависимости высших порядков, интерпретируется совершенно иначе: минимизация зависимостей случайных доходностей при фиксированной средней доходности. Новая интерпретация очень хорошо согласуется с представлениями о смысле диверсификации портфеля в портфельном анализе и может быть применена и в классической постановке. Давно известно, что диверсификация портфеля хороша тогда, когда случайные составляющие портфеля статистически независимы, следовательно, минимизация меры зависимости случайных составляющих портфеля — это естественная понятная всем цель диверсификации.

Измерение взаимозависимостей случайных величин дисперсиями, центральными моментами и арными дисперсиями. В качестве мер статистической зависимости n-го порядка в работе рассматриваются следующие величины: центральный момент n-го порядка, арная дисперсия четного порядка. Применение этих величин позволяют учитывать более чем парные статистические зависимости, заложенные в распределении случайно-множественного портфельного спроса. При этом следует заметить, что выбор той или иной меры статистической зависимости может оказать существенное влияние на управление случайным портфелем операций.

Рекомендации использования результатов диссертации. Все результаты апробированы на реальной статистике и использовались для анализа работы одной торговой фирмы г. Красноярска. Применение предложенных в диссертации методов показало их продуктивность и эффек

1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.:" ФИЗМАТ Л ИТ", 2000. — 376 с.

2. Боровков А.А. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1986 — 432с.

3. Вентцель E.G. Теория вероятностей— М.: "Высшая школа", 1999.

4. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия/ Гл. ред. О.Ю. Прохоров — М.: Большая Российская энциклопедия, 1999 — 910с.

5. Воробьев О.Ю. Среднемерное моделирование. — М.: Наука, 1984. — 133с.

6. Воробьев О.Ю. Выбор портфелей. Записки ФАМ семинара, 1 // Красноярск: ИВМ СО РАН, 1997. — С. 38-61.

7. Воробьев О.Ю. Теория случайных событий и ее применение. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002 (в печати). — 340 с.

8. Воробьев О.Ю. О ковариационных случайных множествах // Записки ФАМ семинара, 6 // Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. — С. 146-150.

9. Воробьев О.Ю. Статистическая эвентология и финансово-актуарная математика.// Труды I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. — С. 5-12.

10. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. — М.:" Наука", 1971.

11. Голденок Е.Е. Статистическая модель потребительского выбора// Труды I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. — С. 20-34.

12. Голденок Е.Е. О двухуровневой структуре статистических зависимостей и взаимодействий гиббсовских случайных векторов// Труды I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. — С. 20-34.

13. Голденок Е.Е. Моделирование структур зависимостей и взаимодействий случайных событий в статистических системах/ Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Красноярск: КГТЭИ, 2002. — 138 с.

14. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование.— М.: "Наука", 1982.

15. Замков О.О., Толостопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике.— М.: "Дело и Сервис", 2001.- 365с.

16. Касимов Ю. Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг.— М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1998. — 144с.

17. Высшая математика: Математическое программирование. /Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. — Мн.: Вышэйшая школа, 1994. — 286 с.

18. Новоселов А.А. Портфельный анализ// Труды I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002 — С. 116-129.

19. Новоселов А. А. Математическое моделирование финансовых рисков: Теория измерения. — Новосибирск: Наука, 2001. 102с.

20. Нуриев P.M. Курс микроэкономики.— М.: НОРМА-ИНФРА, 2000.— 560с.

21. Первозванский А.А., Первозванская Т.Ю. Финансовый рынок: расчет и риск. — М.: ИНФРА-М, 1994.

22. Семенова Д.В. Экстремальный портфельный анализ товарных рынков // Материалы конференции "Конференция молодых ученых '98". — Красноярск: ИВМ СО РАН, 1998. — С.79-94.

23. Семенова Д.В. Трастовая оптимизация портфеля клиента банка // Материалы XXXV межд. конф. "Студент и научно технический прогресс", Экономика, часть II. — Новосибирск: НГУ, 1997. — С.58-59.

24. Семенова Д.В. Трастовый выбор портфелей для клиентов банка // Труды XXX научной студенческой конференции — Красноярск: КГУ, 1997. — С.94-104.

25. Семенова Д.В. Трастовое управление портфелями клиентов банка // Записки ФАМ семинара — Красноярск: ВЦК СО РАН, 1, 1997,— С. 87-96.

26. Стратонович P. JI. Теория информации — M.:"Советское радио", 1975.

27. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1/2 — М.: Мир, 1984.

28. Филатова Т.В. Выбор портфеля товаров для оптово-розничного рынка// Труды XXX научной студенческой конференции. — Красноярск: КГУ, 1997. — С. 123-132.

29. Хастингс Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям.— Москва: Статистика, 1980.— 95с.

30. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов.— М.: Дело, 1994.

31. Шведов А. С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг.-— М.: ГУ ВШЭ, 1999.- 144с.

32. Markowitz Н. Portfolio Selection.// Journal of Finance, March, 1952, 77-91.

33. Markowitz H. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. — N.Y.: Wiley, 1959.

34. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection in F.H. Hahn and F.R.P. Brechling (eds)// The Theory of Interest Rate. — London, Macmillian, 1965, pp. 3-51

35. Sharpe W.F. Portfolio Theory and Capital Markets. — N.Y.:McGraw-Hill? 1970.

36. ПУБЛИКАЦИИ ПО ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЕ

37. Семенова Д.В. Относительные риски в портфельном анализе рынков // Труды I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002 — С. 244-252

38. Семенова Д.В. Случайно-множественный портфельный анализ товарного рынка в условиях равновесия // Труды I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002 — С. 253-257.

39. Семенова Д.В. Случайно-множественная модель товарного рынка f f Труды II Всесибирского конгресса женщин-математиков (в деньрождения Софьи Васильевны Ковалевской). Красноярск: КрасГУ, 2002 — С. 128-133.

40. Семенова Д.В. Методы управления случайным портфелем операций в рыночных системах // Записки ФАМ Семинара'2002. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002 С. 20-25.

41. Семенова Д.В. Линейная функция издержек в портфельном анализе товарных рынков // Труды пятой ежегодной ФАМ конференции. -Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. — С. 89-94.

42. Семенова Д.В. Относительные риски в портфельном анализе товарных рынков // Труды четвертой ежегодной ФАМ Конференции -Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. — С.75-80

43. Семенова Д.В. Выбор распределения предпочтений участников товарного рынка // Труды четвертой ежегодной ФАМ Конференции -Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. — С.80-85

44. Семенова Д.В. Моделирование портфельного поведения участников товарного рынка энтропийными методами: Депонент ВИНИТИ от 10.07.00 №>1906-В00 — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. — 33 с.

45. Семенова Д.В. Абсолютные и относительные риски в портфельном анализе товарных рынков: Депонент ВИНИТИ от 10.07.00 №1907-В00 — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000,— 30 с.

46. Семенова Д.В. Функция издержек на товарных рынках //Материалы "Конференции молодых ученых'2001 КНЦ СО РАН". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. — С. 43-46.

47. Семенова Д.В. Случайно-множественная многопортфельная модель товарного рынка // Материалы "Конференции молодых уче-ных'2000" — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. — С. 89-93

48. Семенова Д.В. Энтропийный анализ портфельного поведения участников товарного рынка // Записки ФАМ семинара — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2, 1999. — С. 129-157.

49. Семенова Д.В., Голденок Е.Е., Воробьев О.Ю. Теорема о разложении двудольного случайного вектора по случайно-множественному базису // Записки ФАМ Семинара'2002. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002 С. 5-14.

50. Семенова Д.В., Воробьёв О.Ю. Задачи Марковица высших порядков J J Записки ФАМ Семинара'2002. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002 С. 14-19.

51. Воробьев О.Ю, Голденок Е.Е., Семенова Д.В. Трастовое управление портфелями клиентов банка: Учебно-методическое пособие для студентов экономических специальностей. — Красноярск: КГТЭИ, 1999 43с.

52. Семенова Д.В., Голденок Е.Е. Портфельный анализ на товарных рынках // Всероссийская конференция "Математика, компьютер, образование": Тез. докладов. — М.: МГУ, 1998.—С.2

53. Семенова Д.В. Энтропийный анализ товарного рынка f/ I Всеси-бирский конгресс женщин-математиков (к 150-летию со дня рождения С.В. Ковалевской): Тез.Докладов Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000,— С. 195-196.

54. Семенова Д.В. Численное решение задачи выбора оптимального портфеля на товарном рынке // Первый Всероссийский семинар "Моделирование неравновесных систем 98": Тез.Докладов — Красноярск: КГТУ, 1998. — С. 175.

55. Семенова Д. В. Энтропийный анализ портфельного поведения участников товарных рынков // Второй Всероссийский семинар "Моделирование неравновесных систем 99": Тез.Докладов —- Красноярск, КГТУ, 1999. — С. 168-169

56. Семенова Д.В. Энтропийные методы в портфельном анализе товарных рынков //Конференция молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике: Тез. Докладов Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2001. — С. 57.

57. Семенова Д.В. Нестандартные методы портфельного анализа товарных рынков // Материалы "Конференции молодых ученых }99" — Красноярск: ИВМ СО РАН, 1999. — С.94-95.

58. Воробьев О.Ю, Голденок Е.Е., Семенова Д.В. Трастовое управление портфелями клиентов банка: Учебно-методическое пособие для студентов экономических специальностей. — Краснояск: КГТЭИ, 1999. — 43с.

59. Список обозначений и предметный указатель1. Symbols0,ДР) ■— вероятностное пространство 25 1 — ах —■ оптовая скидка на товар ж 41 К — случайное конечное абстрактное множество (СКАМ) 25

60. СКАМ 25 товарная доля 54 товарный портфель 55 товарный рынок на вероятностном пространстве 62Ууправление портфелем 76условная единица товара 54Ффункция совокупных издержек46