автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Эвентологические модели распределения и заполнения ресурсов

/

На правах рукописи

КЛОЧКОВ Святослав Владимирович

ЭВЕНТОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЗАПОЛНЕНИЯ РЕСУРСОВ

05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям: информатика, вычислительная техника и управление)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2006

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении Красноярский государственный.торгово-экономический институт (г. Красноярск)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Олег Юрьевич Воробьев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Черемисин Александр Алексеевич

доктор технических наук,

профессор Охорзин Владимир Афанасьевич

Ведущая организация: Институт прикладной математики

ДВО РАН (г. Владивосток)

Защита состоится 17 март 2006 года в Щ ООш заседании диссертационного совета Д 212.098.04 в Красноярском государственном техническом университете по адресу: ул. академика Киреиского, 26, Красноярск, 660074, ауд. Д 501.

Факс: (3912) 43-06-92 (КГТУ, для каф. САПР)

E-mail: sovet@front.ru

Телефон: (3912) 91-22-95 (КГТУ, каф. САПР)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан 5 февраля 2006 года.

Ученный секретарь диссертационного совета д.т.н., доцент

С.А. ВРОНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Системный подход — направление методологии научного познания и социальной практики, в основе которого лежит рассмотрение объектов как систем. Особый интерес современной науки вызывает взаимодействие пары «внешний элемент»-«система». Одним из способов такого взаимодействия являются модели распределения и заполнения ресурсов. Модель распределения ресурсов основана на нахождения такого распределения некоторого ресурса в системе, которое обеспечивало бы фиксированную на некотором уровне отдачу от системы, минимизируя возможные от него отклонения. Такой вид моделей часто применяется в экономических, политических, педагогических и психологических приложениях. Одной из наиболее актуальных областей применения моделей распределения ресурсов служит портфельный анализ. Например, при работе с портфелем ценных бумаг, инвестору необходимо так распределить в нем свой капитал, чтобы получить некоторую среднюю доходность портфеля, сведя при этом риск убытков к минимуму.

Модели заполнения ресурсов в теории вероятностей практически не рассматривались ввиду их значительной сложности и многомерности, хотя область их применения не менее значительна. Суть таких моделей состоит в том, чтобы для наперед заданного распределения ресурсов внешнего элемента подобрать некоторую систему, в которой это распределение обеспечивало бы заданную на некотором уровне отдачу, минимизируя при этом всевозможные отклонения от нее. Данный вид моделей превосходно описывает маркетинговую политику банка, работу паевого инвестиционного фонда, маркетинг услуг, и т.д. Также стоит отметить, что вышеперечисленные модели касаются только нахождения оптимального распределения-заполнения ресурсов для одного внешнего элемента. На данный момент существует ограниченное количество достоверных математических моделей. описывающих оптимальное воздействие на систему множества внешних элементов, каждый из которых распределяет в ней некоторый ресурс.

В работе предлагается применить эвентодогию — теорию случайных событий для построения эвентологических моделей распределения и заполнения ресурсов. Эвентология — новое направление теории вероятностей, изучающее движение случайных событий. Наряду с математическими, данная научная отрасль исследует также и экономические, общечеловеческие, социальные проблемы. Эвентология тем и отличается от теории вероятностей, что ее внимание сконцентрировано, главным образом, на непосредственном и систематическом изучении случайных событий и их взаимодействий Эвентологические модели распределения-заполнения ресурсов позволили впервые получить аналитическое решение эвентологическому варианты обратной задачи Марковича — проблеме, решение которой до сих пор не удавалось получить методами классической теории вероятностей. Автором рассматриваются также нечеткие эвентологические модели распределения и заполнения ресурсов, которые находят применение в тех отраслях научного знания, где необходимо распределить-заполнить ресурсы группы объектов в некоторой системе.

Результаты работы могут быть применены для нахождения распределения капитала в портфеле ценных бумаг; для нахождения оптимальных долей премий для поощрения персонала, для осуществления выбора наилучших, с точки зрения банка, клиентов; для нахождения оптимального распределения портфеля ценных бумаг паевого инвестиционного фонда, и.т.д.

Цель работы. Основной целыо работы являетея-конструирование эвентологических

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ !

БИБЛИОТЕКА | С.Пет«*д

оэ

жт

моделей распределения и заполнения ресурсов. Для достижения данной цели, решаются следующие задачи:

• Разработка эвентологической модели распределения ресурсов и ее применение для получения аналитического решения прямой эвентологической задачи Марковица.

• Исследование свойств нового класса «зонтичных» отображений эвентологического симплекса на плоскость «среднеквадратичное отклонение» — «математическое ожидание»;

• Разработка эвентологической модели заполения ресурсов и ее применения для получения аналитического решения обратной эвентологической задачи Марковица.

• Разработка нечетких моделей распределения и заполнения ресурсов и их применение для нахождения оптимального алгоритма функционирования паевого инвестиционного фонда.

Методы исследования. Использовались методы математического моделирования, теории вероятностей и математической статистики, математического и функционального анализа, теории нечетких множеств и эвентологии.

Основные новые научные результаты диссертации В работе построены эвенто-логические модели распределения и заполнения ресурсов, которые могут являться базой для дальнейших исследований взаимодействия пар «внешний'элемент» - «система», «система» - «система»:

1. Построена эвентологическая модель распределения ресурсов и получено аналитическое решение прямой эвентологической задачи Марковица.

2. Предложен новый способ «зонтичной* визуализации эвентологического симплекса плоскостью «среднеквадратичное отклонение»— «математическое ожидание».

3. Построена эвентологическая модель заполнения ресурсов и впервые получено аналитическое решения обратной эвентологической задачи Марковица.

4. Построены нечеткие эвентологические модели распределения и заполнения ресурсов.

5. Предложены применения разработанных в диссертации эвентологических моделей в ряде экономических приложений.

6. Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий построенные эвентологические модели.

Теоретическая значимость. В работе впервые осуществлено применение эвентологических методов для получения аналитиечским путем оптимальных значений параметров моделей распределения и заполнения ресурсов. Введен в рассмотрение новый способ визуализации эвентологического симплекса плоскостью. Впервые использован математический аппарат теории нечетких случайных событий для конструирования нечетких эвентологических моделей распределения и заполнения ресурсов.

Практическая значимость. Предложенный в работе аналитический способ нахождения оптимальных параметров эвентологических моделей распределения и заполнения

ресурсов обеспечивает наибольшую точность в нахождении значений параметров моделей по сравнению с существующим на текущий момент времени методами.

Результаты работы были применены для нахождения распределения капитала в портфеле ценных бумаг; для нахождения оптимальных долей премий для поощрения персонала, для осуществления выбора наилучших, с точки зрения банка, клиентов; для нахождения оптимального распределения портфеля ценных бумаг паевого инвестиционного фонда.

Результаты работы также могут найти применение в разнообразных экономических, социальных и психологических приложениях, требующих рассмотрения взаимодействия пар «внешний элемент» - «система» и «система» - «система».

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на IV Все-рос. ФАМ'2005 конференции (Красноярск, 2005), Региональных VIII и IX эвентологи-ческих ФАМ конференциях (Красноярск, 2004, 2005), IV межвузовской научной конференции аспирантов «Актуальные проблемы современной науки и пути их решения» (Красноярск, 2004), Международной конференции «Automation, Control, and Information Technology» (Новосибирск, 2005), Всемирном конгрессе «IFSA-2005, Eleventh International Fuzzy Systems Association World Congress» (Китай, Пекин, 2005), Международной конференции «EUSFLAT'2005» (Испания, Барселона. 2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ, из которых. 2 статьи в периодических изданиях по списку ВАК; 3 статьи в периодических изданиях, не включенных в список ВАК; 3 работы в трудах всероссийских ¿конференций, 3 работы в трудах международных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 3 разделов, содержит основной текст на 124 е., 14 иллюстраций, 1 таблицу, список использованных источников из 52 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение представляет цели и задачи диссертационной работы, раскрывает ее актуальность, новизну полученных результатов, практическую значимость и апробиро-вашгасть, методологию исследований, проводится обзор литературы но и:матке работы, сформулированы положения, выдвигаемые на защиту.

В первом разделе рассмотрена классическая задача Марковича, приведены основные сведения из эвентологии — теории случайных событий, дана постановка прямой и обратной эвентологических задач (Э-задач) Марковича распределения единичного капитала.

Постановка задачи. Рассмотрим вероятностное пространство (Q, У, Р) и конечное множество случайных событий X С Э"с эвентологическим распределением р = {р(Х),Х С Ж}, где

p(X) = P(ter(X)) = P(p|* П *")•

хех хеХ'

С каждым случайным событием х е X однозначно связан его индикатор li(w), среднее

значенир и среднеквадратичное отклонение которого равны соответственно ( E(l,(w))=P(i);

{ с^\х{ш)) = D(l,(w)) = P(z)P(zc).

Рассмотрим (Х,2х,а) — измеримое пространство с нормированной единицей мерой о. На каждом подмножестве X С X мера а определяется только своими значениями на моно-плетах {i} С X по следующей формуле:

а(Х) = £>({*}) = ]>>(*); lex хех

и удовлетворяет нормировочному соотношению

в(ЭЕ) = £а(*) = 1.

Значения этой нормированной меры на моиоплетах, образующие вектор а = {а(х), х € X}, будем интерпретировать как «неотрицательные доли единичного веса, распределенные между событиями Введем на П случайную величину l.v, значения которой опре-

деляются как

l*(w) = 53e(i)Mw), wen (2)

хех

— выпуклая комбинация индикаторов событий х 6 X с весами а(х) — значениями

меры а на моноплетах {i} € X.

Значениями случайной величины l,v служат а{Х),Х С X — значения меры а на подмножествах X С X, которые 1д- принимает с соответствующими вероятностями р(X), X С X эвонтологического распределения р, т.е.

Р (w : 1х И = а(Л')) = р(Х), X С X.

Найдем математическое ожидание и дисперсию 1*:

Е(1х) = Е ( £ ) = £ «t1!^1') =

Viex J igx

= E«Wp(4 (3)

iex

D(l*) = Е(1д-)2 - (E(lx))2 = KovIV, (4)

х£Х y€X

где KovIK = P(i n у) - P(x)P(y) — парная ковариация событий x, у в X. Прямая эвентологическая задача (прямая Э-задача) Марковица:

(Р => а),

заключается в том, чтобы для заданного Э-распределения р = {р(Х),Х С X} найти меру а*, значения которой на моноплетах а* = {a*(a:),i е X} минимизирует дисперсию случайной величины 1х при фиксированном значении ее математического ожидания.

Е(1*)= EaWPW = {«>;

xSX

« Di1«} = Е Е ФЫу) KovIS -> min;

ггхуьх а v >

Z Ф) = 1. хешх

На языке приложений в области банковского кредитования прямая Э-задача Марковича встает перед менеджерами банка, когда они пытаются распределить среди своих заемщиков х € X (с известными вероятностями возврата кредита Р(х)) предназначенный для кредитования единичный капитал а(Х) — a(x) = 1 таким образом, чтобы при

хёи/Л'

фиксированной средней доле возврата кредита (а) величина возвращенного кредита

lx(w) = 2>(x)Mw)

xZX

наименее отклонялась от своего среднего значения Е(1д) = (а). Обратная эвеитологическая задача Марковича:

(а => р),

заключается в том, чтобы для заданной меры а со значениями на моноплетах, образующими вектор а = {а(х),х 6 X}, найти такое Э-распределение р* = {р'(Х), X С X}, которое минимизирует дисперсию случайной величины при фиксированном значении ее математического ожидания:

E(l*) = £a(*)P(*) = (a>;

тех

< D(lx) = ЕЕ а(Ф(у) Kovly min; (6)

zexyex Р v '

£ a(x) = l.

ь x€wX

На языке банковского кредитования обратную Э-задачу Марковича менеджеры банка решают тогда, когда они, зафиксировав распределение единичного капитала а(ЗЕ) = £ а(х) = 1 между предполагаемыми еще не выбранными ими заемщиками х £ X, пыта-

жбшХ

ются подобрать клиентов с такой кредитоспособностью, эвентологически говоря, с таким Э-распределением р* = {р*(Х), X С X} и, в частности, с такой вероятностью возврата кредита Р(х), чтобы при фиксированной средней доле возврата кредита (а) величина возвращаемого кредита

1*м = 5>(i)Mw)

х€Х

наименее отклонялась от своего среднего значения = (а).

Во втором разделе находится аналитическое решение прямой Э-задачи Марко-вица. Вводится новый класс «зонтичных» отображений 2'''-вершинного эвентологического симплекса на двумерную плоскость и исследуются свойства этого отображения. Полученные результаты применяются для получения аналитического решения обратной Э-задачи Марковича. Прямая и обратная эвентологические задачи Марковича также сформулированы в нечетко-множественной постановке и предложены пути их решения.

Аналитическое решение прямой Э-задачи Марковича. Прямая эвентологиче-ская задача Марковича записывается как:

Е(1х) = ЕФ)Р(х) = (а);

1€Х

= Е Е а-(х)а{у) КоУщ пуп;

х<=х уех

(7)

Е «(*) =

х€Х

Приведем решение (7), используя, метод множителей Лагранжа.

(а) (7/Р - 1Р1) + РР1 - Р,Р

РР1, - 1,РР Рр = РГЛ"_1Р; Р, = Р ТК-Ч;

(8)

1р = 1ТК~1 Р; I, = 1ГА:-Ч.

Полученное решение есть ни что иное как значения нормированной меры а на моно-плетах х € X В силу построения, значения а(Х), X С X полностью определяются через ее значения на моноплетах по формуле

а(Х) = ]Га(*).

хех

Утверждение 1. В случае, когда мера а «сосредоточена* на одном из моноплетов х € X, точка (<т(1;е), Е(1х)) лежит на окружности радиуса | с центром в точке (0, .

Определение 1. Образ отображения М : >-> В^ С К2 эвентологического симплекса на плоскость «средняя доходность» — «риск» будем называть эвентологической пулей (Э-пулей) Марковича.

Вид Э-пули (Рис. 1) в прямой Э-задаче Марковича существенно определяется структурой зависимостей множества событий, которая фигурирует в задаче. К наиболее простым структурам зависимостей относятся три структуры: максимально непересекающаяся, независимая и вложенная. Ниже приведена таблица знаков ковариачий для каждой из них.

Рис. 1 Эвентологическая пуля Марковица триплета событий X = (х, у, г] для Э-распределения р .

.....*}

{и),1, у, г) с вектором весов-

Рис. 2. Эвентологический «зонтик» Марковица четырехплета событий X

1±. А А Д.

116' 16' 16 Мб

структура зависимости

максимально непересекающаяся независимая вложенная

Коу(А') <0, X С X Коу(А') = 0, ХСХ Коу(АГ) >0, ХСХ

Таблица 1. Знаки арной коварнации для основных типов структур зависимости множества событий

Определение 2. Под портфелем событий мы понимаем тройку (X — множество избранных событий, р — эвентологическое распределение, а — вектор значений нормированной меры а на моноплетах множества избранных событий X)

Наиболее выгодные портфели можно составить из множеств событий с непересекающейся структурой. Непересекающиеся события имеют отрицательные ковариации и статистически «отталкиваются» друг от друга. Это позволяет так подобрать веса событиям, чтобы свести риск всего портфеля событий к нулю Следующими по выгоде портфелями являются портфели, составленные из независимых событий, для которых можно достичь заметного снижения риска но сравнению с риском отдельных событий. Наименее выгодными являются портфели, составленные из событий с вложенной структурой. Такие события имеют положительные ковариации и статистически притягиваются друг к другу. Это хотя и позволяет снизить риск портфеля, но не так заметно, как для независимых и непересекающихся событий.

«Зонтичная» визуализация эвентологического симплекса.

Определение 3. «Зонтичным» отображением при фиксированной нормированной мерс а будем называть отображение Б^к {/2" Э-симплекса 52« в Э-«зонтик» £/2« на плоскости «среднеквадратичное отклонение»-«математическое ожидание» — (а, Е)-плоскость.

Каждому эвентологическому распределению из Э-симплекса Р € 52« сопоставляется точка Э-«зонтика»: р (<т(р),Е(р)) € (У2« Я К2, которая определяется формулами «зонтичного» отображения.

<72(р) = £ £а(х)а(у) Коу1!(;

1« у€Х

Е(р) = £а(*)Р(х).

(9)

Теорема 1 (о «зонтичном» образе отрезка). Образом любого отрезка из Э-симплекса при его ^зонтичном отображении» на плоскость (а, Е) служит дуга окружности с центром на оси ординат в точке (0, Е0).

Следствие 1. Если две точки Р[, р2 € 5-2* Э-симплекса при «зонтичном» отображении перешли в одну точку плоскости (а, Е), то в эту же точку отобразится весь подсим-плекс, «натянутый» на р1 и р2.

Обозначим в^н — вершину эвентологического симплекса, занумерованную подмножеством У С X. Поскольку вершинам Э-симплекса соответствуют «вырожденные» Э-рагпределения. Сформулируем следующую теорему:

Теорема 2 (о «зонтичном» образе вершин Э-симплекса). -вершине эвентологического симплекса «зонтичное» отображение ставит в соответствие точку (0,а(У)) (а, Е)-плоскости, где а(У) — значение нормированной меры а на подмножестве У 6 X.

Теоремы 1 и 2 дают достаточно информации для построения образа отображения и2V : 52ч >-> и2к С К2 в плоскости (ст, Е). «Зонтичное» отображение переводит вершины симплекса в точки на оси ординат, а ребра — в соответствующие полуокружности Сформулируем ряд утверждений о свойствах Э-зонтика Марковица.

Теорема 3 (о симметрии эвентологического «зонтика»). Образ «зонтичного» отображения Э-симплекса в (а, Е)-плоскость симметричен относительно прямой

Теорема 4 (о площади Э-зонтика). Площадь образа «зонтичного» отображения 2Л-вершинного Э-симплекса в (а, Е)-плоскость лежит в интервале

причем площадь минимальна, когда вектор весов а «сосредоточен» на одном моноплете и максимальна, когда

Решение обратной эвентологической задачи Марковица. Обратная эвентоло-гическая задача Марковица записывается так:

Е(1х) = Е а(х)Р(х) = (а);

х€Ж

D(lx) = Е Е а(х)а(у) KovI!(

хйХ у£Х

Е "(*) = х-

хйХ

mm; Р

(10)

Необходимо найти такое Э-распределение (или же точку 2л'-вершинного Э-симплекса), которое при фиксированном значении математического ожидания случайной величины lj минимизировало бы ее дисперсию. «Зонтичное» отображение переводит точки Э-симплекса в точки на (<7, Е) по формулам

<72(Р) = KovIy;

хех вех

Е(р) = £о(х)Р(х).

хех

Таким образом решение обратной эвентологической задачи Марковица сводится к отысканию на Э-зонтике точки с фиксированной Е-координатой, расположенной как можно ближе к оси ординат. Описанную ситуацию иллюстрирует следующий рисунок:

ванного значения (а)

В отличие от прямой Э-задачи Марковица, где решением может быть, вообще говоря, произвольный вектор из симплекса долей, решения обратной эвентологической задачи -это либо вырожденные Э-распределении, либо линейные комбинации двух вырожденных распределений. Еще одной характерной особенностью обратной Э-задачи Марковица является возможность найти ее решения, зная только значения нормированной меры а на моноплетах х € X.

Обозначим

W'xetäbnM-aiX));

a(V) = min (a(Y) - (a)).

YüXa{Y)>(ay

Тогда точка с наименьшим среднеквадратичным отклонением имеет координаты.

«' = (\/«а)-а(Х'))(а(К-)-(а)), (а)), (11)

а решение обратной эвентологической задачи Марковича будет прообразом и' :

р - = u;i(u). (12)

Ввиду теоремы 1, решением обратной Э-задачи может быть, в общем говоря, целый подсимплекс Э-распределений из симплекса S2.v.

Прямая нечеткая Э-задача Марковица. Специфика Э-задач Марковича гребует введения измеримого пространства (Х,2х,а) с нормированной на X мерой а. Аналогично, рассмотрим ОТ-нечеткое измеримое пространство

(3c,2S,a) = {(ЗСм,2х",а), ц 6 ОТ},

— состоящее из обычных измеримых пространств, отличающихся только алгеброй X, с нормированной едининей мерой а. Действие меры а на ЯП-нечеткое подмножество X множества избранных Wt-нечетких событий X природным образом определим как-

(~i 11 »йтхех

ig X

Таким образом можно записать матрицу значений меры а на каждом моноплете £ Хт-

аш = ||a(zM),x 6 X,ß € Wt\\.

Рассмотрим случайную величину F(ui), которая будет играть роль величины lj(ui) в Э-задачах Марковица:

fm = Е а(х)13и = ¿ЕЕ Е^1-

(~) 1 1 тех pemvem

х€ х

Найдем основные числовые характеристики случайной величины F :

E(F) = E| £ а(2)13] = Е Ф)Р(2) =

хех ) Sei' (13)

= PF Е Е Е Ф»)Pf1"):

х€Х IiеЯЛ и£<т

£ =

Ухе х

(14)

_ 1

ДтЕЕЕЕЕЕ а{х»)а{у») •

у€Х »6Я1 1)6501 76ОТ

Как видно из (13) - (14), нечеткого наличие заданного Э-распределения недостаточно, чтобы определить основные числовые характеристики случайной величины F(u;). Поэтому будем считать заданным общее Э-распределение

ран = {р(х) =р(^г(х)), хсжя,}.

Очевидно, что зная рт, можно определить и р.

Таким образом, по аналогии с «обычной» прямой эвентологической можно поставить ОТ-нечеткую прямую Э-задачу следующим образом: по заданному общему Э-распреде.гению найти такую матрицу о«и значений меры а на моноплетах € Хш, чтобы обеспечить математическое ожидание случайной величины ^(ш) на уровне (а) и минимизировать ее дисперсию. Математически это можно записать так:

Щ-

Е Е Е а(х„)Р(х„) = (а);

1/€ОТ

1!Ш|

ЯГ Е Е Е Е Е Е а(*«)аЫ Коу1111У, пнп;

»61уйХ нет 1/€!М чеЯЛ ">6!Щ

(15)

Е «Ы = 1, м 6 от

хех

Для Х-нечетких событий можно путем схожих размышлений прийти к постановке X-нечеткой прямой эвентологической задаче Марковича:

Г ш* Е Е ЕФЛ) = {«);

т

Ь Е Е Е Е Е Е а(х„)а(у„) -> тш;

(1£!ш и еда 161 вех г ел их

(16)

£ а(:г„) = 1, х 6 X.

Точное решение задач (15) - (16) можно получить, использовав классический методом множителей Лагранжа. Однако, в силу многомерности задачи ([Х||9Л| вместо |Х| в прямой «обычной» Э-задачи), необходимы значительные затраты времени на нахождение точного решения. Поэтому в данном случае лучше применить методы приближенного вычисления, например, метод Монте-Карло. С его помощью можно найти матрицу а<щ распределения весов событий хц, которая, удовлетворяя всем ограничениям задачи, «приближенно» минимизирует целевую функцию.

Обратная нечеткая Э-задача Марковица. ОТ-нечеткая обратная задача Марковича состоит в нахождении общего Э-распределения рт = (р(х), х 6 Х<щ}, которое бы при некотором фиксированной матрице значений нормированной меры а на моноплетах Хщ, давало бы фиксированное на уровне (а) математическое ожидание случайной величины F и минимизировало ее дисперсию. Иными словами нам необходимо решить такую задачу минимизации:

¡ЩзЕ Е 5>(х,)РЫ = (а>;

XSX /i€® f 6SOT

, Щ*ЕЕ Е Е Е Е "Ы^Ы Kov^min; (17)

х£Х ¡,€Х j/бЯЛ >)€5Л TSWt Рот 4 '

E a(x„) = 1, ß € m

x€ X

ЗС-нечеткая обратная задача Марковица записывается так:

щт Е Е Е^)РЫ = («)|

ретхехуех

< i5F Е Е Е Е Е Е Kovw, -> min; (18)

реОТкбЗЛхбХубХгбХ^Х Рот v

Е а(х„) = 1, ц 6 ОТ хех

В третьем разделе рассматриваются и анализируются прикладные задачи, которые могут быть решены при помощи полученных в диссертационном исследовании результатов.

Распределение единичного капитала в портфеле денных бумаг. Каждый инвестор стремится получить определенную прибыль с вложенных в некоторый портфель ценных бумаг финансовых средств. При этом его природным желанием является стремление свести риск понесения убытков к минимуму. Пусть событие х € X означает, что «ценная бумага х доходна». Тогда всему портфелю ценных бумаг однозначно ставится в соответствие портфель событий. Индикатор события х е X — характеризует до-

ходность ценной бумаги «х», а его математическое ожидание и дисперсия — среднюю доходность и риск соответственно. Предположим, что инвестор располагает единичным капиталом, который он хочет распределить между ценными бумагами так, чтобы обеспечить среднюю доходность всего портфеля равную (а) и свести при этом риск к минимуму. Обозначим а(х) — доля единичного капитала, вкладываемая в ценную бумагу «х».

Рассмотрим случайную величину

хех

которая очевидно будет характеризовать доходность портфеля ценных бумаг при некоторых фиксированных долях а(х). Тогда математическое ожидание E(lj) характеризует

среднюю доходность портфеля, а дисперсия D(lj) — его риск. Учитывая совокупность условий задачи, получим:

Е(1 *)= £в(х)Р(х) = {а);

хех

< D(li) = Е Е a(x)a(j/) Kov^ -+ min;

х€ХуеХ a

£ «(*) = 1.

хех

Данная задача есть ничто иное, как прямая Э-задача Марковича, решение которой — вектор а = (а(х), х € Ж}, будет являть собою оптимальный набор долей распределения единичного капитала в портфеле ценных бумаг.

Рассмотрим портфель, состоящий из двух событий: X — {л:, г/}. Пусть вероятность доходности и связь между доходностями акций этого портфеля характеризует следующее Э-расп редел ен ие:

р = {0.1,0.3,0.4,0 2}.

Тогда вероятность доходности акции «х» будет равна Р(х) = 0 5, а акции «у» — Р(у) — 0.6. Соответствующая ковариационная матрица тогда примет вид:

/ 0.25 -0.2 \ ^ -0.2 0.24 )

Таким образом, события хну имеют наиболее удаленную структуру зависимости, откуда следует, что для некоторого заданного среднего уровня доходности существует точка с нулевым риском. Подставив данные в формулу (8), получим, что ддя уровня средней доходности, равному 50%, риск портфеля оказывается равным нулю, а вектор распределения долей единичного капитала будет иметь вид: а= {0.6, 0.5}.

Таким образом мы нашли оптимальное распределение долей единичного капитала для портфеля из двух видов ценных бумаг.

Стратегия теневого акционера. Пусть некоторый акционер уже распределил единичный капитал в портфеле ценных бумаг. По определенным причинам он не хочет менять доли а(х) единичного капитала, вложенного в ценную бумагу «х* Предположим, что акционер имеет скрытые рычаги влияния на руководство компаний, выпускающих акции, которые входят в портфель ценных бумаг (иными словами он может в некоторой степени влиять на доходность акций). Тогда акционер ставит перед собой задачу при фиксированном среднем доходе с портфеля ценных бумаг, минимизировать риск понесения убытков.

Пусть событие х 6 X означает, что «ценная бумага х доходна». Тогда всему портфелю ценных бумаг однозначно ставится в соответствие портфель событий Индикатор события х 6 X — li(ai) характеризует доходность ценной бумаги их», а его математическое ожидание и дисперсия — среднюю доходность и риск соответственно. Рассмотрим случайную величину

Ii = £1(1)1!,

х€Х

которая очевидно будет характеризовать доходность портфеля ценных бумаг. Тогда математическое ожидание E(lj) характеризует среднюю доходность портфеля, а дисперсия

0(1*) — его риск. Учитывая совокупность условий задачи, получим:

Е(1Х)= £ф)Р(х)в<а>; 161

< ЕС1*) = Е Е а(х)а(у) Ко«*» -> пип; хехуех Р

Е «(*) = 1-

Для получения минимальных убытков при некоторой фиксированном на уровне (а) средней доходности портфеля ценных бумаг, акционер должен решить обратную Э-задачу Марковича. Решения обратной Э-задачи Марковича представляет Э-распределение р = (р(Х), X С ЗЕ}, которое полностью характеризует вероятность доходнодности каждой денной бумаги «х».

Оптимальные премии. Руководство фирмы может быть удовлетворено или нет результатами производственной деятельности каждого сотрудника фирмы. В первом на поощрение персонала фирмы выделяется единичный капитал. Перед руководством встает задача, как распределить этот единичный капитал на поощрение персонала, если каждый сотрудник характеризуется вероятностью того, что руководство фирмы удовлетворено результатами его производственной деятельности. Свяжем с каждым работником фирмы по одному событию. Взятые все вместе эти события образуют конечное множество событий Х±. мощность которого равна численности персонала фирмы |£+| = N.

Наступление события х+ 6 Э£+ означает, что в данный момент соответствующий сотрудник достиг, с точки зрения руководства фирмы, удовлетворительных результатов Одновременное наступление событий, образующих подмножество Х+ С Х+, означает, что в данный момент Л"+ сотрудников фирмы работают удовлетворительно Причем, если сотруднику х+ € Х+ назначена премия в размере а+(х+), то доля единичного капитала, выплачиваемого подмножеству «удовлетворительных» сотрудников Л'+ С ЗЕ+, очевидно будет равна

а+(Х+)= <»+(х+),

1+6Х+

— одному из возможных значений случайной величины

11»= £ ^и,

— доли выплачиваемых поощрений. Средняя доля выплачиваемых поощрений очевидно равна математическому ожиданию этой случайной величины:

Е(1зе+Н) = £ а+(х+)Р(х+),

где Р(х+) — вероятность х+ € ЭГ+.

Решение прямой эвентологической задачи Марковича позволяет руководству фирмы найти оптимальное распределение единичного капитала на поощрение персонала

= {о;(х+),х+ € £+},

которое минимизирует дисперсию доли выплачиваемых премий при фиксированной средней доле (а+):

E(ls) = £ а+(г+)Р(х+) = (а+>;

(19)

Di1*) = Е Е а+(х+)а+й/+) KovI+!(+ -у min;

х+€Х+у+€Х+ а+

Оптимальные премии и штрафы. В этой общей ситуации с каждым сотрудником фирмы связывается два события: х+ е ЗЕ+ и е 3£_, которые, разумеется, не пересекаются так как каждый сотрудник не может одновременно работать удовлетворительно и неудовлетворительно. Поэтому для каждого члена производственного коллектива

Р(х+) + Р(х_) < 1,

— есть еще шанс не получить ни премии ни штрафа. Решение для каждого множества событий Х+ и Х- только что рассмотренных двух прямых эвентологических задач Мар-ковица дает оптимальное распределение премий а^ и штрафов а! для фиксированных средних значений (а+) и (а_), которые выбирает руководство фирмы.

Менеджеры фирмы могут также поставить систему поощрений и наказаний персонала фирмы на самофинансирование, так как если положить

(°+) = (а-),

то в среднем взимаемые штрафы должны покрывать расходы на выплату премий.

Управляющим фирмы приходится решать сразу две Э-задачи вместо одной, потому что попытка поставить обобщенную прямую эвентологическую задачу Марковица, в которой отсутствуют ограничения на знак долей искомого вектора а распределения капитала, приводит к эвентологически абсолютно бессмысленной задаче. Действительно, если пойти по этому пути, то получится, что за одно и тоже событие х+ — например, удовлетворительная работа — которое наступает с одной и той же вероятностью Р(х+), сотрудник может как получить премию, так и выплатить штраф. Но за удовлетворительную работу штраф не взимают. Поэтому, чтобы оптимально взимать штрафы, надо рассматривать другие события х_, которые наступают с другими вероятностями Р(г_), и решать другую прямую эвентологическую задачу Марковица, что и предлагается в нашей работе.

Задача заполнения ресурсов услуги. Услуги являются ведущим сектором экономики большинства развитых стран. В принципе каждую услугу, всегда ограниченную соответствующим ресурсом, нельзя хранить. Например, если кинотеатр имеет 1000 мест(ресурс услуги), то он не может принять вечером 1200 зрителей, даже если на утреннем сеансе было 900 свободных мест.

Руководство фирмы, производящей множество услуг X с ограниченными ресурсами, обычно в идеале стремится к тому, чтобы ресурс каждой услуги был заполнен целиком. Например, владелец сети кинотеатров мечтает, чтобы во все кинозалы на всех сеансах были заполнены до отказа. Будем считать, что фирма располагает общим единичным ресурсом, который распределен меЖду услугами из множества X в долях, образующих набор

а = {а(х),х е X},

и это распределение нельзя изменить — оно задано. Результатом маркетинга услуги х £ X является, в частности, изменение вероятности ее предоставления Р(х). С общей эвен-тологической точки зрения маркетинг услуги меняет не только вероятности отдельных событий х 6 X, т.е. вероятности предоставления той или иной услуги портфеля X, но меняет все Э-распределения множества случайных событий X, т.е. набор вероятностей р = (р(Л'), X С X). Одним из параметров этого эвентологического распределения являются вероятности продажи отдельной услугу Р{х),х е X, остальные же параметры определяют структуры статистических зависимостей между случайными событиями х 6 X

— продажами разных услуг. Поскольку практически невозможно все время добиваться максимального заполнения каждой услуги, то логично зафиксировать на некотором оптимальном (с точки зрения руководства фирмы) уровне (а) среднее значение этого уровня.

Свяжем с продажей каждой услуги по одному событию. Взятый все вместе эти события образуют конечное множество избранных событий X, мощность которого равна числу предоставляемых услуг |3Ej = N. Так что под X можно также понимать и множество всех услуг, хотя услуги здесь нас интересуют только с точки зрения их продажи, т.е. с точки зрения наступления или ненаступления соответствующих им событий из X. Пренебрегая этими деталями, будем понимать под X и множество событий, и множество соответствующих им услуг.

Наступление события т € X означает, что в данный момент соответствующая услуга продана. Одновременное наступление событий, образующих подмножество X С X, означает, что в данный момент соответствующее подмножество услуг продано, а подмножество Xе = X - X — не продано. При этом случайная доля заполнения ресурса х С X услуги будет равна

а(Х) = £а(х),

хех

— одному из возможных значений случайной величины

1-eM^Ei»,

хех

— доли заполненного ресурса. Средняя доля заполненного ресурса равна математическому ожиданию этой случайной величины:

Е(1*м) = Еа(х)рм-

хех

где Р(х) — вероятность события х £ X, т.е. вероятность продажи услуги х € X.

Решение обратной эвентологической задачи Марковича позволяет руководству фирмы найти р" = {р'(Х),Х С i} - оптимальное Э-распределение множества случайных событий X, которое минимизирует дисперсию доли заполненного ресурса

D(lx) = Е Ea(xWv) KoVl» min' хех них

при фиксированной средней доле (а)

Е(1Х) = ^а(х)Р(х) = (а). хех

В заключении кратко подводятся итоги диссертации, перечисляются полученные результаты и делаются выводы и рекомендации по их использованию. В диссертации рассматриваются эвентологические модели рапределепия и заполнения ресурсов.

Построена эвентологическая модель распределения ресурсов и на ее основе найдено аналитическое решение прямой эвентологической задачи Марковича. На основе построенной модели предложена визуализация отображения А^-вершинного симплекса на плоскость «среднеквадратичное отклоненне»-«математическое ожидание». Это позволило рассмотреть особенность Э-задачи Марковича, заключающийся в том, что все вершины эвентологической пули Марковича лежат на окружности. На основе полученных результатов произведен анализ формы Э-пули Марковича для различных структур зависимости событий: наименее пересекающейся, независимой и вложенной. Построено «зонтичное» отображение эвентологического симплекса на плоскость «среднеквадратичное отклонение»-«математическое ожидание» и рассмотрены его основные свойства, сформулированные в виде четырех теорем. При помощи данного отображения построена эвентологическая модель заполнения ресурсов и на ее основе впервые получено аналитическое решение обратной эвентологической задачи Марковича

Построены нечеткие эвентологические модели распределения и заполнения ресурсов. На их основе сформулированы нечеткие прямая и обратная эвентологические задачи Марковича и предложены пути их решения.

В качестве возможных реализаций эвентологической модели распределения ресурсов поставлены задачи: о выплате премий производственному коллективу некоторой организации, руководство которой выделяет единичный капитал на поощрение персонала; проблема нахождения оптимального распределения единичного капитала в портфеле ценных бумаг; проблема штрафования сотрудников некоторой фирмы, руководство которой взимает в целом в единичный капитал. В качестве возможной реализации эвентологической модели заполнения ресурсов рассмотрена задача о заполнении ресурса услуг, которым располагает компания, стремясь в идеале, чтобы весь ресурс был заполнен полностью В качестве возможной реализачии нечетких моделей Сформулирована проблема нахождения оптимальной стратегии действий для «теневого» акчионера. Рассмотрена модель работы паевого инвестиционного фонда.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЕ

I Клочков, С.В «Зонтичное» отображение и его свойства / С.В.Клочков // Труды IV Всерос. ФАМ-2005 конференции. Часть первая / Под ред. Олега Воробьева. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. - С.284-292.

2. Клочков, С В. Нечеткие постановки эвентологических задач Марковица / С.В. Клочков // Труды IV Всерос. ФАМ-2005 конференции. Часть первая / Под ред. Олега Воробьева. - Красноярск- ИВМ СО РАН, 2005. - С.293-300.

3. Клочков, С.В. Нечеткие события в эвентологических задачах Марковица / С.В. Клочков // Труды IX Эвентологической ФАМ-2005 конференции. — Красноярск: ИВМ СО РАН, КГТЭИ, КрасГУ, 2005. - С.129-134.

4. Klochkov Svyatoslav. Inverse eventological Markovitz' problem: the analytical solution / Svyatoslav Klochkov // Proceedings of the II Intern. Conf. ACIT'2005. — Novosibirsk: Institute of Computational Technologies of RAS. - P. 390-392.

5. Klochkov Svyatoslav On analytical solving the inverse Markovitz' problem / Svyatoslav Klochkov // Proceedings of the 11-th World Congress IFSA'2005. — Beijing: Tsinghua University. — P. 327-329

6. Klochkov Svyatoslav On inverse Markovitz' eventological problem / Svyatoslav Klochkov // Proceedings of the 11-th'Intern. Conf. EUSFLAT'2005. - Barcelona: Polytechnical Institute of Catalunya. — P. 474-476.

7. Воробьев, О Ю Эвентологический «зонтик» Марковица и «зонтичная» визуализация эвентологического симплекса / О.Ю.Воробьев, Е.Е.Голденок, С.В.Клочков // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. - 2005. - Вып. 2. - С.174-182.

8 Воробьев, О Ю Эвенюлогия вербальных ассоциаций / О.Ю. Воробьев, А.В.Дедова, С.В.Клочков, О Ю Тарасова // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. — 2005. — Вып. 1. — С.183-194.

9. Воробьев, О.Ю. Эвентологические модели вербальных ассоциаций / О.Ю Воробьев, А.В.Дедова. С.В.Клочков, О.Ю.Тарасова // Экономика. Психология. Бизнес. — Декабрь 2004 - N 5. - С. 77-98.

10. Клочков, С В Компьютерная модель логического анализа категорий многомерной сложности / С.В. Клочков // Экономика. Психология. Бизнес. — Декабрь 2003 — N 1. - С. 109-121.

II Клочков, С.В Эвенгология частотных и ассоциативных словарей / СВ. Клочков // Экономика. Психология Бизнес, Красноярск. — Декабрь 2004. — N 5. — С. 221-228.

Клочков Святослав Владимирович

Эвентологические модели распределения и заполнения ресурсов

Автореферат диссертации

Подписано в печать З.С1.2СС& Формат 60x84/16

Уч.-изд.л. 1.00 Тираж 100 экз. Заказ №

Отпечатано в Техническом центре ГОУ ВПО КГТЭИ

го ОСА

»- 35 3 8

ВВЕДЕНИЕ

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1 Классическая модель распределения ресурсов.

1.1.1 Предварительные сведения.

1.1.2 Классическая задача Марковица

1.2 Основные понятия эвентологии

1.3 Определение эвентологических моделей распределения и заполнения ресурсов

1.4 Выводы по первой главе

2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

2.1 Эвентологическая модель распределения ресурсов.

2.2 Эвентологическая модель заполнения ресурсов.

2.2.1 «Зонтичная» визуализация эвентологического симплекса.

2.2.2 Решение обратной эвентологической задачи Марковица.

2.3 Нечеткие эвентологические модели распределения и заполнения ресурсов

2.3.1 Нечеткие множества в эвентологии.

2.3.2 Нечеткая прямая Э-задача Марковица.

2.3.3 Нечеткая обратная Э-задача Марковица.

2.4 Выводы но второй главе

3 ПРИМЕНЕНИЯ

3.1 Распределение единичного капитала в портфеле цепных бумаг.

3.2 Стратегия теневого акционера.

3.3 Оптимальное финансирование персонала фирмы.

3.3.1 Оптимальные премии.

3.3.2 Оптимальные штрафы.

3.3.3 Оптимальные премии и штрафы

3.4 Задача заполнения ресурсов услуги.

3.5 Модель работы паевого инвестиционного фонда.

3.6 Выводы по третьей главе.'.

Актуальность темы. Системный подход — направление методологии научного познания и социальной практики, в основе которого лежит рассмотрение объектов как систем. Особый интерес современной науки вызывает взаимодействие пары «внешний элемент» - «система». Одним из способов такого взаимодействия являются модели распределения и заполнения ресурсов. Модель распределения ресурсов основана на нахождения такого распределения некоторого ресурса в системе, которое обеспечивало бы фиксированную на некотором уровне отдачу от системы, минимизируя возможные от него отклонения. Такой вид моделей часто применяется в экономических, политических, педагогических и психологических приложениях. Одной из наиболее актуальных областей применения моделей распределения ресурсов служит портфельный анализ. Например, при работе с портфелем ценных бумаг, инвестору необходимо так распределить в нем свой капитал, чтобы получить некоторую среднюю доходность портфеля, сведя при этом риск убытков к минимуму.

Модели заполнения ресурсов в теории вероятностей практически не рассматривались ввиду их значительной сложности и многомерности, хотя область их применения не менее значительна. Суть таких моделей состоит в том, чтобы для наперед заданного распределения ресурсов внешнего элемента подобрать некоторую систему, в которой это распределение обеспечивало бы заданную на некотором уровне отдачу, минимизируя при этом всевозможные отклонения от нее. Данный вид моделей превосходно описывает маркетинговую политику банка, работу паевого инвестиционного фонда, маркетинг услуг, и т.д. Также стоит отметить, что вышеперечисленные модели касаются только нахождения оптимального распределения-заполнения ресурсов для одного внешнего элемента. На данный момент существует ограниченное количество достоверных математических моделей, описывающих оптимальное воздействие на систему множества внешних элементов, каждый из которых распределяет в ней некоторый ресурс.

В работе предлагается применить эвентологию — теорию случайных событий для построения эвентологических моделей распределения и заполнения ресурсов. Эвентология — новое направление теории вероятностей, изучающее движение случайных событий. Наряду с математическими, данная научная отрасль исследует также и экономические, общечеловеческие, социальные проблемы. Эвентология тем и отличается от теории вероятностей, что ее внимание сконцентрировано, главным образом, на непосредственном и систематическом изучении случайных событий и их взаимодействий. Эвентологические модели распределения-заполнения ресурсов позволили впервые получить аналитическое решение эвентологическому варианты обратной задачи Марковича — проблеме, решение которой до сих пор не удавалось получить методами классической теории вероятностей. Автором рассматриваются также нечеткие эвентологические модели распределения и заполнения ресурсов, которые находят применение в тех отраслях научного знания, где необходимо распределить -заполнить ресурсы группы объектов в некоторой системе.

Результаты работы могут быть применены для нахождения распределения капитала в портфеле ценных бумаг; для нахождения оптимальных долей премий для поощрения персонала, для осуществления выбора наилучших, с точки зрения банка, клиентов; для нахождения оптимального распределения портфеля ценных бумаг паевого инвестиционного фонда, и.т.д.

Цель работы. Основной целью работы является конструирование эвентологических моделей распределения и заполнения ресурсов. Для достижения данной цели, решаются следующие задачи:

• Разработка эвентологической модели распределения ресурсов и ее применение для получения аналитического решения прямой эвентологической задачи Марковица.

• Исследование свойств нового класса «зонтичных» отображений эвентологического симплекса па плоскость «среднеквадратичное отклонение» — «математическое ожидание»;

• Разработка эвентологической модели заполения ресурсов и ее применения для получения аналитического решения обратной эвентологической задачи Марковица.

• Разработка нечетких моделей распределения и заполнения ресурсов и их применение для нахождения оптимального алгоритма функционирования паевого инвестиционного фонда.

Методы исследования. Использовались методы математического моделирования, теории вероятностей и математической статистики, математического и функционального анализа, теории нечетких множеств и эвентологии.

Основные новые научные результаты диссертации. В работе построены эвентологические модели распределения и заполнения ресурсов, которые могут являться базой для дальнейших исследований взаимодействия пар «внешний элемент» - «система», «система» - «система»:

1. Построена эвентологическая модель распределения ресурсов и получено аналитическое решение прямой эвентологической задачи Марковица.

2. Предложен новый способ «зонтичной» визуализации эвенто-логического симплекса плоскостью «среднеквадратичное отклонение» — «математическое ожидание».

3. Построена эвентологическая модель заполнения ресурсов и впервые получено аналитическое решения обратной эвентологической задачи Марковица.

4. Построены нечеткие эвентологические модели распределения и заполнения ресурсов.

5. Предложены применения разработанных в диссертации эвен-тол огических моделей в ряде экономических приложений.

6. Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий построенные эвентологические модели.

Теоретическая значимость. В работе впервые осуществлено применение эвентологических методов для получения аналитиеч-ским путем оптимальных значений параметров моделей распределения и заполнения ресурсов. Введен в рассмотрение новый способ визуализации эвентологического симплекса плоскостью. Впервые использован математический аппарат теории нечетких случайных событий для конструирования нечетких эвентологических моделей распределения и заполнения ресурсов.

Практическая значимость. Предложенный в работе аналитический способ нахождения оптимальных параметров эвентологических моделей распределения и заполнения ресурсов обеспечивает наибольшую точность в нахождении значений параметров моделей по сравнению с существующим на текущий момент времени методами.

Результаты работы были применены для нахождения распределения капитала в портфеле ценных бумаг; для нахождения оптимальных долей премий для поощрения персонала, для осуществления выбора наилучших, с точки зрения банка, клиентов; для нахождения оптимального распределения портфеля ценных бумаг паевого инвестиционного фонда.

Результаты работы также могут найти применение в разнообразных экономических, социальных и психологических приложениях, требующих рассмотрения взаимодействия пар «внешний элемент» - «система» и «система» - «система».

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на IV Всерос. ФАМ'2005 конференции (Красноярск, 2005), Региональных VIII и IX эвентологических ФАМ конференциях (Красноярск, 2004, 2005), IV межвузовской научной конференции аспирантов «Актуальные проблемы современной науки и пути их решения» (Красноярск, 2004), Международной конференции «Automation, Control, and Information Technology» (Новосибирск, 2005), Всемирном конгрессе «IFSA-2005, Eleventh International Fuzzy Systems Association World Congress» (Китай, Пекин, 2005), Международной конференции «EUSFLAT'2005» (Испания, Барселона, 2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ, из которых: 2 статьи в периодических изданиях по списку ВАК; 3 статьи в периодических изданиях, не включенных в список ВАК; 3 работы в трудах всероссийских конференций; 3 работы в трудах международных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 3 разделов, содержит основной текст на 124 е., -14 иллюстраций, 1 таблицу, список использованных источников из 52 наименований.

ВВЕДЕНИЕ

Портфельный анализ существует, пожалуй, столько же, сколько люди задумываются о принятии рациональных решений, связанных с использованием ограниченных ресурсов. Однако момент возникновения современного портфельного анализа можно датировать довольно точно, связав его с выходом в марте 1952 года пионерской работы Гарри Марковица [44].

Портфельная теория Марковица направлена на решение практической задачи о рассредоточении капитала по различным видам операций в условии неопределенности. Основные положения этой теории были разработаны Г. Марковицем при подготовке его докторской диссертации в 1950 - 1951 годах. На основе диссертации им была написана книга [45], до сих пор остающаяся важным учебником по портфельной теории. Центральной проблемой в теории Марковица является выбор портфеля, то есть набора операций. При этом в оценке как отдельных операций так и их портфелей учитываются два важнейших фактора: доходность и риск операций и их портфелей. Риск при этом получает количественную оценку. Такой подход многомерен и по числу вовлекаемых в анализ операций, и по учитываемым характеристикам. Существенным моментом в теории оказывается учет взаимных корреляционных зависимостей между доходностями операций. Именно этот учет позволяет проводить эффективную диверсификацию портфеля, приводящую к существенному снижению риска портфеля по сравнению с риском включенных в него операций. Наконец, количественная характеристика основных инвестиционных характеристик позволяет ставить и решать задачу выбора оптимального портфеля в виде задачи квадратичной оптимизации.

Существенный вклад в данную теорию был сделан другим американским математиком — Дж. Тобином [48], который установил существование оптимального портфеля среди множества эффективных портфелей. Работы Г. Марковица привлекли внимание многих математиков и специалистов по ценным бумагам и вызвали большое число обсуждений и публикаций. Особое внимание заслуживает монография У. Шарпа [47], который предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля на основе од-нофакторной модели рынка капиталов, позволяющий сводить задачу квадратичной оптимизации к линейной.

Со времен Марковица портфельный анализ существенно продвинулся, в его рамках были построены модели рыночного равновесия, предложены разнообразные способы измерения риска, учитывались все новые и новые рыночные инструменты. Успехи теории стимулировали создание новых рыночных инструментов, которые без сложившийся солидной расчетной базы просто не могли бы возникнуть. Задачи портфельного анализа являются также иллюстративным материалом для применения теории финансовых рисков [31]. Модель Марковица активно применяется в практических расчетах для фондовых рынков. Впоследствии портфельный анализ Марковица был использован для рынка инвестиций, валютного, денежного рынка и для других рынков.

До сих пор отдельные группы статистических зависимостей в социально - экономических, экологических, медицинских и других системах анализировались, и довольно успешно, методами многомерного статистического анализа, которые, однако, всегда были направлены на моделирование и измерение статистических зависимостей, в основном, между случайными величинами, векторами или функциями.

Вместе с тем, подавляющее большинство событий, которые происходят в природе и обществе, имеют случайный и множественный характер и, поэтому могут быть статистически измерены полностью только случайными множествами. Разумеется, количественные характеристики подобных случайных и множественных событий измерялись, измеряются и будут измеряться случайными величинами, векторами и функциями — иначе говоря классическими методами многомерного статистического анализа. Но использовать классические количественные методы для анализа случайно-множественной информации — это заведомо обрекать себя на потерю наиболее важной её части — информации о полной структуре зависимостей случайных событий, как случайных множеств.

Идея использовать результаты эвентологии для анализа статистических взаимодействий позволяет взглянуть с общих позиций на структуру взаимодействий во всех подобных системах. Это не только открывает путь к построению общей статистической теории таких систем, но и предлагает новые эффективные на практике методы их статистического анализа. Эвентоло-гия — новое направление теории вероятностей, изучающее движение случайных событий. Наряду с математическими и эвен-тологическими вопросами, эвентология затрагивает социально-экономические, общечеловеческие и социальные вопросы. Эвентология тем и отличается от теории вероятностей, что ее внимание сконцентрировано, главным образом, на непосредственном и систематическом изучении случайных событий и их взаимодействий. Одним из основных результатов эвентологии можно считать, во первых, выделении теории случайных событий в самостоятельное направление теории вероятностей, во-вторых, поскольку язык случайных событий является довольно универсальным, то эвентологический аппарат может быть применен к довольно широкому спектру различных задач.

Полных аналогов эвентологических методов анализа, измерения и генерации структур зависимостей и взаимодействий событий в мировой статистической практике пока не существует. Есть лишь отдельные разрозненные результаты, не объединенные общей теорией. Причина отсутствие хорошо разработанной теории дыижения случайных событий, соединенной с эффективными методами статистических оценок распределений и генерации случайных множеств. Разумеется, следует указать на существование общепризнанных мировых центров по исследованию случайных множеств, а также интегральной геометрии, во Франции (Ж.Серра и Ж. Матерон, Фонтенбло под Парижем), Аргентине (Л.Сантало, Буэнос-Айрес), Германии (Д.Штойян, Фрайберг в Саксонии), Нидерландах (Х.Хейманс, Амстердам), Великобритании (Д.Кендалл, Лондон, и И.Молчанов, Глазго), и Австралии (А. Бэдцли, Сидней). Однако, исследования, проводимые во всех этих центрах, тяготеют к математической морфологии — науке, которая изучает форму, в том числе, и случайную форму пространственных объектов. Основные объекты в этой области — случайные множества элементов числовой природы — например, случайные подмножества евклидова пространства. Поэтому в анализе таких случайных множеств можно на полную мощность использовать традиционные методы работы с числовыми объектами — классические методы, что и делается повсеместно. Принципиальное отличие методов, предлагаемых в работах по случайным событиям, от методов математической морфологии заключается в том, что они направлены на изучение случайных событий — случайных множеств, состоящих из произвольных абстрактных элементов, не принадлежащих пространствам с привычной линейной или любой другой структурой. Эти так называемые случайные конечные абстрактные множества событий требуют для своего изучения особой теории и специальных методов статистических оценок распределений и генерации, что составляет основное содержание данного направления и отличает его от других исследований по случайным множествам, проводимых в настоящее время в мире.

Развитие эвентологии и теории случайных конечных абстрактных множеств имело место в последние десятилетия. Первые монографии по случайным конечным абстрактным множествам были опубликованы О.Ю. Воробьевым в 1978 и 1984 годах. Затем в 1993 году вышла его же монография по сет-суммированию, посвященная математическому аппарату, который используется в теории случайных множеств и событий. Довольно полное представление о современном состоянии теории случайных множеств и их статистических оценок можно сделать по ряду статей (И.В. Баранова, А.О. Воробьев, Е.Е. Голденок, Т.В. Куприянова, Е.Г. Тяглова, АЛО. Фомин, Д.В. Семенова), опубликованных в трудах восьми ежегодных городских ФАМ - конференций (1997-2005) и в трудах I-IV Всероссийской ФАМ конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам.

Теория случайных множеств и эвентологии находит применение в работах по анализу товарных рынков. В работах Воробьева О.Ю. и Голденок Е.Е. [17], [18], [20], [21], [22], [23] были предложены методы построения статистической модели потребительского выбора, опирающейся на разработанные методы моделирования и измерения структур зависимостей и взаимодействий событий в статистических системах, дана математическая интерпретация таких важных экономических понятий как взаимодополняемость и взаимозаменяемость товаров. Идеи, высказанные в этих работах дали новый толчок в применении случайно-множественных методов при анализе рыночных систем и позволили дать новую интерпретацию классической задаче Марковица.

Основные результаты диссертации

1. Построена эвентологическая модель распределения ресурсов и получено аналитическое решение прямой эвентологической задачи Марковица.

2. Предложен новый способ «зонтичной» визуализации эвенто-логического симплекса плоскостью «среднеквадратичное отклонение» — «математическое ожидание».

3. Построена эвентологическая модель заполнения ресурсов и впервые получено аналитическое решения обратной эвентологической задачи Марковица. 4. Построены нечеткие эвентологические модели распределения и заполнения ресурсов.

5. Предложены применения разработанных в диссертации эвен-тологических моделей п ряде, экономических приложений.

6. Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий построенные эвентологпческие модели!. публикации по диссертационной работе

1. Клочков, С.В. «Зонтичное» отображение и его свойства / С.В.Клочков // Труды IV Всерос. ФАМ-2005 конференции. Часть первая / Под ред. Олега Воробьева. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. - С.284-292.

2. Клочков, С.В. Нечеткие постановки эвентологических задач Марковица / С.В. Клочков // Труды IV Всерос. ФАМ-2005 конференции. Часть первая / Под ред. Олега Воробьева. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. - С.293-300.

3. Клочков, С.В. Нечеткие события в эвентологических задачах Марковица / С.В. Клочков // Труды IX Эвентологиче-ской ФАМ-2005 конференции. — Красноярск: ИВМ СО РАН, КГТЭИ, КрасГУ, 2005. - С. 129-134.

4. Klochkov Svyatoslav. Inverse evenl ological Markovitz' problem: the analytical solution / Svyatoslav Klochkov // Proceedings of the II Intern. Conf. ACIT'2005. - Novosibirsk: Institute of Computational Technologies of RAS. - P. 390-392.

5. Klochkov Svyatoslav. On analytical solving the inverse Markovitz' problem / Svyatoslav Klochkov // Proceedings of the 11-th World Congress IFSA'2005. - Beijing: T.;inghua University. - P. 327329.

6. Klochkov Svyatoslav. On inverse Markovitz' eventological problem / Svyatoslav Klochkov // Proceedings of the 11-th Intern. Conf.

EUSFLAT'2005. — Barcelona: Polytechnical Institute of Catalunya.

- P. 474-476.

7. Воробьев, О.Ю. Эвептологический «зонтик» Марковица и «зонтичная» визуализация эвентологического симплекса / О.Ю.Воробьев, Е.Е.Голдепок, С.В.Клочков // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. - 2005. - Вып. 2. - С. 174-182.

8. Воробьев, О.Ю. Эвентология вербальных ассоциаций / О.Ю. Воробьев, А.В.Дедова, С.В.Клочков, О.Ю.Тарасова // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. — 2005. — Вып. 1. — С. 183-194.

9. Воробьев, О.Ю. Эветттологическтте модели вербальных ассоциаций / О.Ю. Воробьев, А.В.Дедова, С.В.Клочков, О.Ю.Тарасова // Экономика. Психология. Бизнес. — Декабрь 2004.

- N 5. - С. 77-98.

10. Клочков, С.В. Компьютерная модель логического анализа категорий многомерпо]1 сложности / С.В. Клочков // Экономика. Психология. Бизнес. — Декабрь 2003. — N 1. — С. 109-121.

11. Клочков, С.В. Эвентология частотных и ассоциативных словарей / С.В. Клочков // Экономика. Психология. Бизнес, Красноярск. — Декабрь 2004. - N 5. — С. 221-228.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрены эвентологические модели распределения и заполнения ресурсов и на их основе впервые получено аналитическое решение обратной эвентологической задачи Марковица. Также предложен новый способ визуализации эвентологического симплекса плоскостью. Рассмотрены особенности решения прямой эвентологической задачи Марковица для различных структур зависимостей событий. Впервые использован математический аппарат теории нечетких случайных событий для конструирования нечетких эвсптологических моделей распределения и заполнения ресурсов.

В первой главе рассмотрена модель Марковица распределения ресурсов. В рамках э той модели анализируется задача распределения единичного капитал в портфеле ценных бумаг и рассмотрены некоторые методы ее решения — методы множителей Jla-гранжа и Монте-Карло минимизации квадратичной формы по ограничениям типа «равенство». Рассмотрены основные понятия эвентологии: множество избранных событий, события-терраски, сет-функции, классическом вероятности и классического вероятностного пространства, случайного элемента, случайного множества событий, эвентологичсского распределения (Э-распределения), 2^-вершинного эвентологичсского симплекса (Э-симплекса), арной ковариации Множества событий, неравенств Фреше iV-плета событий.

Произведено применение эвентологического аппарата к модели распределения ресурсов, г,следствии чего вводятся в рассмотрение две эвентологические модели: распределения и заполнения ресурсов.

Во второй главе диссертационного исследования рассматривается эвентологическая модель распределения ресурсов на примере прямой эвентологической задачи (Э-задачи) Марковица. Для вышеозначенной проблемы приведен алгоритм нахождения аналитического решения, по сути своей представляющий собой методом множителей Лаграижа минимизации квадратичной формы по ограничениям тина «равенство». В рамках решения прямой эвентологической задачи Марковица. предложена визуализация отображения iV-мерпого симплекса па двумерную плоскость — эвентологическая пуля (Э-пуля) Марковица, заданная по формулам (1.28) - (1.29). Сформулировано утверждение 2 о форме Э-пули Марковица и произведем ее анализ для различных структур зависимости событии: максимально удаленной, независимой и вложенной.

Построено «зонтичное» отображение 52дт-вершинного Э-симплексг на плоскость «среднеквадратичное отклонение»-«матема-тическое ожидание» и рассмотрены его основные свойства, сформулированные в виде теорем. Особенности данного отображения были использованы для построения эвентологической модели заполнения ресурсов, которая, в свою очередь, послужила основой для нахождения аналитического решения обратной Э-задачи Марковица.

Приводятся основные понятия эвентологической теории нечетких событий, такие как матрица, избранных случайных событий, операторы «создания множества событий», вероятностные пространства нечетких событий, нечеткие эвентологические собы-гтия-терраски первого и второго вида., нечеткие индикаторы события, эвентологические распределения (Э-рас-пределения) нечеткого множеств событий, арная коварпация нечеткого множеств •событий.

На основе эвентологической теории нечетких событий сконструированы нечеткие модели распределения и заполнения ресурсов, в рамках которых были сформулированы нечеткие прямая и обратная эвентологические зада,чи Марковица и предложены пути их решения.

В третьей главе рассматривается применение полученных эвен-тологических моделей в ряде прикладных задач. Так поставлена задача'о выплате премии производственному коллективу некоторой организации, руководство которой выделяет единичный капитал на поощрение персонала. Рассмотрена проблема нахождения оптимального распределения единичного капитала в порт-'.феле ценных бумаг. С 'формулирована, проблема штрафования сотрудников некоторой фирмы, руководство которой взимает в виде штрафов в единичный капитал. Рассмотрена задача о заполнении ресурса услуг, которым располагает компания, стремясь в идеале, чтобы весь ресурс был заполнен полностью. Сформулирована проблема нахождения оптимальной стратегии действий для «теневого» акционера. Рассмотрена модель работы паевого инвестиционного фонда.

1. Амелин И.Э. Анализ активов банка. Метод обратной задачи Марковица / И.Э. Амелин // Бизнес и банки, М.: 2000. - N 5.

2. Боровков А.А. Математическая статистика / А.А. Боровков // Новосибирск: Наука. 1997.

3. Воробьев А.О. Мультиковариацни и многоточечно зависимые распределении случайных множеств / А.О. Воробьев // Труды Всероссийской ФАМ'2002 конференции, Красноярск: ИВМ СО РАН. 2002. - ч. 1. - С. 21-24.

4. Воробьев А.О. Прямые и обратные задачи для моделей распространения пространственных рисков / А.О. Воробьев // Автореферат диссертации па соискание . кандидата физико-математических наук, Красноярск: ИВМ СО РАН. -1998. 24 с.

5. Воробьев А.О., Воробьев O.IO. Суммирование сет-аддетивных функций и формула обращения Мёбиуса / А.О. Воробьев // Доклады РАН. 1994. - Т. 335, - N 4. - С. 417-420.

6. Воробьев О.Ю. Статистическая ^вентология и финансово-актуарная математика. / О.Ю. Воробьев // Труды I Всероссийской ФАМ'2002 конференции, Красноярск: ИВМ СО РАН. 2002. - ч. 1. - С. 25-49.

7. Воробьев О.Ю. Физические основания эвентологии / Воробьев О.Ю. // Труды II Всероссийской ФАМ'2003 конференции, Красноярск: ИВМ СО РАМ. 2003. - ч. 1. - С. 38-68.

8. Воробьев О.Ю. Теоретические основания эвентологии. Структуры симметрпчеых еобт.г^н / О.Ю. Воробьев // Труды II Всероссийской ФАМ' ЮСк' конференции, Красноярск: ИВМ СО РАН. 2003. - ч. 1. - О. G9-113.

9. Воробьев О.Ю. Введение в эвеп'тлогию нечетких событий / О.Ю. Воробье!', // Экономика. Психология. Бизнес, Красноярск: КГТЭИ. Декабрь 2004. - N 5. - С. 7-66.

10. Воробьев О.Ю. Эг.оитолопг/1 портфельного анализа и обратная эвентологическая задача Марковица / О.Ю. Воробьев //

11. ФАМ Записки, Красноярск: И ГШ СО РАН. 2004. - Т.9, - N 11, - С. 1-10.

12. Воробьев О.Ю. Введение в эвептологию / О.Ю. Воробьев // Красноярск: КрасГУ, ИВМ СО РАН. 2005. - 512 С.

13. Воробьев О.Ю., Голденок R.K. Куприянова Т.В., Семенова Д.В., Фомин A.IO: Теория слут^мых событий и её применение / О.Ю. Воробьев // Красноярск: ИВМ СО РАН. 2003.- 503 С.

14. Воробьев О.Ю., Дедова А.П. ' '>">чков С.В., Тарасова О.Ю. Эвентологические модели вер^лышх ассоциаций / О.Ю. Воробьев // Экономика. Психология. Бизнес, Красноярск: КГТЭИ. Декабрь 2004. - N 5. - С. 77-98.

15. Голденок Е.Е. Моделирование структур зависимостей и взаимодействий случайных событии и статистических системах /Е.Е. Голденок // Автореферат диссертации на соискание . .кандидата, физико-математических наук, Красноярск: КГТЭИ. 2002. - 24 с.

16. Голденок Е.Е. Статистическая модель потребительского выбора / Е.Е. Голденок // Труды ! Всероссийской ФАМ'2002 конференции, Красноярск: НИМ Ю РАН. 2002. - ч. 1. - С. 120-135.

17. Голденок Е.Е. Измерение структуры связей распределением мощности случайного мпожест:-а событий / Е.Е. Голденок // Труды II Всероссийской ФАМ:2003 конференции, Красноярск: ИВМ СО РАИ. 2003. - ч. !. - С. 125-143.

18. Голденок Е.Е. Прямая тг обр;"! "-я эвентологические задачи Марковица: управление переог- >м и заполнение услуги / Е.Е. Голденок // Математические структуры и моделирование, Омск: ОмГУ. 2004. - 200 I. - Вып. 13, С. 39-47.

19. Голденок Е.Е. О свойствах rw-генного» отображения в обратной эвентологической задач" арковпца / Голденок Е.Е. // ФАМ Семинар, Красноярск: :'ВМ СО РАН. 22 марта 2005.

20. Голденок Е.Е., Голденок К.В. '^'.цитологический вариант прямой и обратной задачи М--с чаща j Е.Е. Голденок //

21. Экономика. Психология. Бизнес, Красноярск: КГТЭИ. Декабрь 2004. - N 5. - С. 116-130.

22. Голденок Е.Ё., Голдсиок К.В. О прямой и обратной эвен-тологических задачах Марковица / Е.Е. Голденок // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические пауки, Красноярск: КГУ. 2005. - Вып. 1,С. 183-194.

23. Заде J1. Понятно лппгглтстпческо": премеиной и его применение к принятию приближенных решений / JI. Заде // Москва: Мир. 1976.

24. Клочков С.В. Эвентология час^'-иых и ассоциативных словарей / С.В. Клочков // Экономика. Психология. Бизнес, Красноярск: КГТЭИ. Декабрь ::004. - N 5. - С. 221-228.

25. Клочков С.В. О методе апллпт"емкого решения обратной эвентологическои задачи Марко-мп. /С.В. Клочков // ФАМ Семинар, Красноярск: ИВМ О 1 \\Н. 9 марта 2005.

26. Клочков С.В. «Зонтичное* птоПомч.-оние и его свойства / С.В. Клочков // Труды IV Вссрог. '' '-2005 конференции. Часть первая (Под ред. Олега Вороб; .<■■••'V Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. С.284-292

27. Клочков С.В. Нечеткие посте-• -ч эвептологических задач Марковица / С.В. Клочков // ' ч.ы IV Всерос. ФАМ-2005конференции. Часть первая (Под ред. Олега Воробьева). Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. С.293-300.

28. Куприянова Т.В. Задача классификации подмножеств случайного множества и ее примените. Автореферат диссертации на соискание . кандидат;;" физико-математических наук, Красноярск: КрасГУ. 2002. - 20 с.

29. Куприянова Т.В. Условное магматическое ожидание для случайных конфигурации / ТФ. Куприянова // Труды II Всероссийской ФАМ'2003 конференции, Красноярск: ИВМ СО РАН. 2003. - ч. 1. - С. 184-Ф12.

30. Новоселов, А.А. Математически" моделирование финансовых рисков / Л.Л. Новоселов // lb1" -н^прск: Наука. 2001. - 102 с.

31. Новоселов, А.А. Портфельным анализ / А.А. Новоселов // Труды Всероссийской ФА МФО')-' и чгфереиции, Красноярск: ИВМ СО РАН. 2002. - ч. 1. - <:. : ; 1-243.

32. Семенова Д.В. Методы построен^ч статистических зависимостей аортфо.льных ооранпй в ; ы •■■чых системах / Д.В. Семенова // Автореферат дисесрт;м"'ч а. соискание . кандидата физико-математических паук, Красноярск: ИВМ СО РАН. -2002. 24 с.

33. Семенова Д.В. С1чучаГп10-мппж',-'-:,:,'чшый: портфельный анализ товарного рынка в условия:- ечиовесня /Д.В. Семенова

34. Труды Всероссийской ФАМТ:ЧЮ2 конференции, Красноярск: ИВМ СО РАН. 2002. - ч. :. - С. 253-257.

35. Севрук В.Т. Банковский маркетинг / В.Т. Севрук // М.: Дело ЛТД. 109 L - 128 с.

36. Феллер В. Введение в теорию вероятностей т ее приложения / В. Феллор, Москва: Мир. 1.

37. Фомин А.О. Сет-регрессопнып ама.ммз зависимостей случайных событп и в статистически:-: ' • •схемах / А.О. Фомин // Дис. на соискание степени кат;:, ^мз.-мат. наук, Красноярск.- 2002. 120 с.

38. Goldenok Ellen, and Kirill Gn]-!"4nk. On direct and inverse variants of' cventological Mar1' v:f'.' problem: the numerical solution / Ellen Goldenok // Novosibirsk: Proceedings of the II Intern. Oonf. ACIT'2005. 2-1 .'-че. - P. 368-373.

39. Goldenok Ellen, and Kiri!' C.>" '-пок. Direct and inverse eventological Markovitz' problem:'; / Ellen Goldenok // China, Beijing: Proceedings of the IRcvV'''4>5 World Congress. 28-31 July 2005. - P. 334-339

40. Hartley M. Bakslii G. Markov:< > lels of Portfolio Selection: The Inverse Problem // M. He:"' •■ / Advances in Investment Analysis and Port folio Manange:::- :;L, New York. 1998. - N 7.- P. 55 8!J.

41. Kupriyanova Tanya. On Recurcut Events and Fuzzy sets / Tanya kupriyanova, // Novosibirsk: Prooe-iings of the II Intern. Conf. ACIT'2005. 24 June. - P. 374-.°,7:).

42. Klochkov : 'vyatoslav. Inverse ever*' "logical Markovitz' problem: the analytical solution / Svvaio: ' •• Klochkov // Novosibirsk: Proceedings of the II Intern. O-.-. ACIT'2005. 24 June. - P. 390-392.

43. Klochkov Svyatoslav. On an:'"';ea,l solving the inverse Markovitz' problem / Svyatoslav : iochkov // China, Beijing: Proceedings of the IFSA'2005 Wo: i : Congress. 28-31 July 2005. - P. 327-329.

44. Markovitz Harry. Portfolio sH-h- / Harry Markovitz // The journal of finance, New York. :r . - Vol VII. - N 1. - P. 77-91.

45. Markowitz Marry Portfolio Select1 ;i: Efficient Diversification of Investments Harry Markovitz / "Mie journal of finance, New York.- 1959.

46. Semenova Dana. On New N'-'^n of Quasi-Entropies of Eventological Distributions / Dar-- Semenova // Novosibirsk: Proceedings of the 11 Intern. Cum:'. ACIT'2005. 24 June. - P. 380-385.

47. Sharpe W.F. PorMnlio Theory ! Capital Markets / W.F. Sharp, New York: McGraw-Hill. ' ""0.

48. Tobin J. The Theory of Portfolio -election in F.H. Hahn and F.R.P. Brechling (eels) / J. Tobin // The Theory of Interest Rate, London: Macinillian. 19ПЛ. - P. 3-51.

49. Vorob'ov А.О., Vorob'ov O.Yu. !"\->-e problems for generalized Richardson's models of spred / V- •■■nb'ov A.O. // Computation Fluid Dynamics'9^, Mew York, ем Wiley & Sons Ltd. - 1996.- P. 104-110.

50. Vorob'ov Oleg. Eventologieal r!"!—r-y of Fuzzy Events / Oleg Vorob'ov // Novosibirsk: Proc^ "■:";s of the II Intern. Conf. ACIT'2005. 2005. - 24 June. - Г. "G-363.

51. Vorob'ov Olep; and D. Sloyan. Р-е-' vu Sets, Shapes, Figures and Their Means / OVv»; Vorob'ov // ;berg: TU Bergakademie. -1994.

52. Zadeh L.A. Fuzzy sets. / L.A. 7;"' 1 / Information and control.- 1965. N 8(3). - P.

53. Формулы обращения Мебиуса., 28 Индикатор событии, 2D, 33, 41 Измеримое пространство, 23 Классическая вероятность, 2G ■/■Классическое вероятностное пространство, 26 Квадратичная форма, 17

54. Математическое ожидание, 16, 30, 34

55. Матрица парных ковариаций, 18,40 Меря, 25, 33 М<'тод Монте-Карло, 19 Метод множителей Лагранжа, 17,39 Мпижество избранных событий, 23, 43

56. Подвероятпость, 28 Портфель цепных бумаг, 20 Портфель событпП, 43 Произвольная вероятностная мера, 20

57. Прямая Э-падача Марковица, 35, 39, 43

58. Пуля Марковица. 22 Риск портфеля, 20 ? Сет-функция, 25 Случайная величина, 1G, 34 Случайный элемент, 20 'Случайный вектор, 1G Случайное множество событий, 27 Случайпвя величина, 17 Событие-терраска. 23 Среднеквадратичное отклонение, 33, 55

59. Структура зависи мостей событий, 43 Вектор весов, 01

60. Вероятностное пространство, 10, 32 ^Вероятностное распределение, 27 "Вырожденное Э-рнспрсделепио, 54, 50