автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели и методы принятия инвестиционных решений в условиях нечетких случайных данных

На правах рукописи

ГРИШИНА ЕЛЕНА НИКОЛАЕВНА

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕЧЕТКИХ СЛУЧАЙНЫХ ДАННЫХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тверь 2006

Работа выполнена на кафедре информационных технологий факультета прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета.

Научный руководитель

— доктор физико-математических наук, профессор А.В. Язенин

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Н.А. Семенов

— кандидат физико-математических наук, кандидат технических наук, доцент А.П. Рыжов

Ведущая организация — Вычислительный центр РАН

Защита состоится «29» сентября 2006 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170013, г. Тверь, ул. Желябова, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного университета.

Автореферат разослан <_> августа 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

В.Н. Михно

Общая характеристика работы

Актуальность

Классической моделью управления инвестиционным портфелем является модель Марковица. Модели портфельного анализа по Марковичу ориентированы на принятие инвестиционных решений в том случае, когда существуют временные ряды, по которым можно полностью оценить параметры модели: ковариационную матрицу и вектор ожидаемых долодностей. Однако в том случае, когда временные ряды по некоторым финансовым активам отсутствуют, применение классического подхода становится невозможным. В такой ситуации для оценки ожидаемых доходностей привлекаются эксперты. Как правило, информация, получаемая от них, содержит элементы нечеткости, и для ее адекватного представления используется теория возможностей и нечетких множеств. Моделью ожидаемой доходности в этом случае служит нечеткая величина. При таком подходе модальное значение нечеткой величины является аналогом ожидаемого значения доходности в модели по Марковичу, а коэффициент нечеткости характеризует риск при принятии решений. Данный подход к оптимизации инвестиционного портфеля рассматривается в работах М. Inuiguchi, J. Ramik и М. Inuiguchi, Т. Tanino, а также других авторов.

В ряде случаев временные ряды носят более сложный характер. Элементы этих временных рядов представляют собой совокупности данных, имеющих толерантный вид (минимальная, максимальная цены продаж, средневзвешенное значение цены и др.). Прямое применение классического подхода здесь также невозможно. Как правило, для обработки временных рядов указанного типа используются методы интеллектуального анализа данных, позволяющие получить статистические закономерности, необходимые для оценки параметров. Здесь адекватной моделью доходности финансового актива, как показано в является нечеткая случайная переменная (величина). Она позволяет отразить стохастический и нечеткий (толерантный) вид имеющейся информации.

В работах И.А. Язенина развивается подход к оптимизации портфеля в том случае, когда моменты второго порядка нечеткой случайной величины являются нечеткими и определяются в соответствии с результатами работы М.Ю. Хохлова и A.B. Язенина. Другой способ определения моментов второго порядка, в соответствии с которым они являются четкими величинами, предлагается в работе Y. Feng. В диссертации данный подход развивается и распространяется на задачи портфельного анализа.

В конечном итоге применение аппарата теории возможностей и нечеткой случайной переменной позволяет обобщить классические модели портфельного анализа • на случай информации с элементами неопределенности комбинированного типа. Это позволит строить более адекватные модели

1 Yazenin LA. Minimal risk and efficiency portfolios for fuzzy random data, XXI Seminar on stability problems of stochastic models. Abstracts, Eger, Hungary, 2001. P. 182.

принятия инвестиционных решений и расширить круг решаемых задач на основе портфельной теории.

Ввиду изложенного выше тема диссертационной работы, направленная на разработку моделей и методов инвестиционных решений в условиях нечетких случайных данных, является актуальной.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка обобщенных возможностно-вероятностных моделей портфельного анализа, ориентированных на принятие решений в условиях комбинированного вида неопределенности.

Основными задачами диссертационного исследования являются:

• развитие модели нечеткой случайной переменной в случае, когда моменты второго порядка определяются как четкие величины;

• разработка исчисления, позволяющего оценивать основные числовые характеристики нечеткой случайной величины: ожидаемое значение, коэффициенты ковариации и дисперсию;

• построение обобщенных возможностно-вероятностных моделей оптимизации инвестиционного портфеля;

• разработка методов оптимизации портфеля по построенным моделям;

• обоснование методов интеллектуального анализа данных для оценки параметров возможностных распределений, характеризующих доходности финансовых активов в рамках выбранной модели доходности.

Методы исследования. Для формализованного описания изучаемого класса задач используются математический аппарат современной теории возможностей, нечеткой случайной переменной, при доказательстве соответствующих теорем используются методы возможностной оптимизации, математического и функционального анализа. Методологическую основу исследования составляют современная портфельная теория, методы оптимизации и принятия решений.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертационном исследовании модели и методы принятия инвестиционных решений в условиях нечетких случайных данных развивают современную теорию портфельного анализа. Разработанные методы оптимизации портфеля позволяют расширить класс решаемых практических задач в рамках инвестиционного анализа.

Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту

В диссертации получены следующие новые результаты:

1) элементы исчисления нечетких случайных величин (расчет числовых характеристик нечетких случайных величин в классах параметризованных распределений, расчет дисперсии взвешенной суммы нечетких случайных величин);

2) модели задач портфельного анализа в возможностно-вероятностной постановке;

3) непрямые методы решения задач портфельного анализа, основанные на построении эквивалентных детерминированных аналогов рассматриваемых моделей;

4) обоснование и применение методов интеллектуального анализа данных для информационного обеспечения обобщенных моделей портфельного анализа. На защшу выносятся следующие результаты диссертационного исследования:

1) элементы исчисления нечетких случайных величин;

2) обобщенные модели портфельного анализа;

3) теоремы, обосновывающие непрямые методы решения задач;

4) методология интеллектуального анализа данных в рамках выбранной модели доходности.

Достоверность результатов и выводов обеспечивается доказательством соответствующих теорем, корректностью используемого математического аппарата, проведенными модельными экспериментами и расчетами.

Внедрение результатов работы. Проведенные научные исследования поддержаны грантами РФФИ, проекты №02-01-01137 «Разработка моделей и методов оптимизации и принятия решений в условиях нечетких случайных данных и их применение к проблеме выбора оптимального портфеля инвестиций», №04-01-96720 «Разработка моделей и методов портфельного анализа и программной системы поддержки принятия решений». Результаты диссертации внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета в качестве практической составляющей курса «Теория неопределенностей».

Апробация работы. Основные результаты исследования докладывались автором на международной научной конференции «Fuzzy Sets and Soft Computing in Economics and Finance-2004» (Санкт-Петербург), 11-м и 12-м Международных коллоквиумах (East West Fuzzy Colloquium Zittau Fuzzy Colloquium 2004, East West Fuzzy Colloquium Zittau Fuzzy Colloquium 2005, Циттау, Германия), научно-практической конференции «Научные проблемы устойчивого развития Тверской области. Итоги региональных конкурсов 2004 года Российского фонда фундаментальных исследований и Российского гуманитарного научного фонда» (Тверь), международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005), всероссийской научной конференции «Нечеткие системы и мягкие вычисления-2006» (Тверь), на семинарах в Тверском государственном университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах. В совместных публикациях диссертанту принадлежат доказательства теорем, связанных с расчетом характеристик нечетких случайных величин в классах

параметризованных распределений, а также дисперсии взвешенной суммы нечетких случайных величин; участие в формулировках задач портфельного анализа в возможностно-вероятностной постановке; построение основных четких детерминированных аналогов по рассматриваемым моделям и доказательства соответствующих теорем; результаты числовых экспериментов.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введейия, трех глав основного содержания, заключения, содержит список литературы, включающий 100 наименований. Общий объем работы составляет 153 страницы. •

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели исследования, проводится обзор литературы и краткое изложение основных положений и результатов диссертационной работы.

Первая глава состоит из четырех параграфов. В ней подготавливается и систематизируется необходимый математический аппарат теории возможностей, приводятся определения и теоремы, составляющие теоретическую основу рассматриваемых далее моделей портфельного анализа. Вводятся понятия мер неопределенности, нечетких величин и нечетких случайных величин, операций и отношений над ними, рассматриваются их свойства, проводится разработка исчисления, позволяющего оценивать основные числовые характеристики нечетких случайных величин. Приведем необходимые понятия.

Пусть Г есть множество элементов, обозначаемых через уеГ, Р(Г) -множество всех подмножеств Г, числовая прямая.

Определение 1.1.1. Мерой возможности называется функция множества к:Р(Г)-> Е], обладающая свойствами:

1. лт{0} = 0, яЧП = 1; 2. ,г{ид} = 5ирл-(/и,

ш/

для любого индексного множества / и множеств А, <= Р(Г).

Триплет (Г, Р(Г),я-) называется возможностным пространством. Определение 1.1.2. Мерой необходимости называется функция множеств у такая, что:

где л есть мера возможности, Л е Р(Г), А' есть дополнение А.

Определение 1.1.3. Нечеткой (возможностной) величиной называется отображение г: Г . Распределением возможностных значений переменной Z называется функция ц2 •. £' ->[0,1], определяемая по правилу:

(г) - есть возможность того, что переменная 2 может принять значение г. Из определения и свойств возможностной меры следует, что 1. 0 2. вир//г{2) = 1.

Определение 1.1.5. Возможностная величина X называется выпуклой, если ее распределение является квазивогнутым, то есть для любых Ле[ОД] мы имеем

//д. (Л/, + (1 - Х)1г) 2; гат{д. (/,), цх С2)} • Определение 1.1.6. Необходимостной переменной называется отображение N: Г Е1. Распределением необходимостных значений переменной N называется функция : Е1 -> [0,1], определяемая по правилу: ¿/„.(О = НГ е Г: Х(г) = е Е1. На практике для моделирования нечетких параметров систем, как правило, используются классы параметризованных распределений, в частности, (£,Д) -типа.

Определение 1.1.10. Функциями представления формы или (Ь,К) функциями называются числовые функции, которые определены и строго монотонны на неотрицательной части числовой прямой, полунепрерывны сверху и обладают свойствами:

1) Д0) = Д(0) = 1,

2) ¿(<),Л(0<1, V/ > 0,

3) Нт1(/) = НтЛ(/) = 0.

1-МВ (-из

Определение 1.1.11. Нечеткая величина Л" называется нечеткой величиной (¿, Н) типа, если ее распределение имеет вид:

Мх М =

¿(=—), Vх<.т, а

I, т < х < т, Ы

Здесь т, т имеют смысл границ интервала толерантности нечеткой величины X, в. с1 есть левый и правый коэффициенты нечеткости соответственно.

Важным является понятие г -уровневого множества возможностной величины.

Определение 1.1.12. Множество [Д']г = {л е Е' | //Л-(лг) й; г},0 < г й I называется /■-уровневым множеством X.

Можно ввести понятие нечеткой случайной величины.

Пусть (П, В, Р) есть вероятностное пространство.

Определение 1.1.13. Нечеткая случайная величина X есть вещественная функция Л"(у):£2хГ-> Я1,такая, что при любом фиксированном у е Г, величина Хг = Х(т,у) является случайной величиной на (Д В, Р).

Определение 1.1.14. г-уровневым множеством нечеткой случайной величины называется множество Ха (г) = {г е Е': (/)>/■}, 0 < г £ 1.

Границы определенного г-уровневого множества являются случайными величинами: ХЦг), Х*(г).

Определение 1.2.1. Ковариация нечетких случайных величин X и Y определяется следующим образом:

Cov(X,Y) = i $(Cov(X-(r),Y-(r)) + Cov(X*{r\Y*(.r)))dr.

2 о

Определение 1.2.2. Дисперсия нечеткой случайной величины X определяется следующим образом:

D(X) = Cov(X,X).

Доказывается ряд утверждений, дополняющих существующий математический аппарат и используемых в дальнейшем исследовании. Основной из них является следующая теорема.

Теорема 1.4.1. Пусть X, у) е (ю) + (<у), £ (о) + г).(м), rj, (m), (о)),

V

i = ],..., N, w, =1 > тогда дисперсия взвешенной суммы нечетких случайных

величин Х„...,Х„ вычисляется по формуле: D(mrXl+... + ta!i-Х„) =

= |>,2 • [О(#,(0)) +\0(П, (®)) О)) +

tel i О

+ 2S 2>- • ет, • [Cov(£(ю), £(*>)) + 7Cov(£(<»),^(<и)) + ^Cov(rj:(«),#,(«)) + î-I y-i+i 4 4

+1 Cov(>7, (ffl), т), + ^ CoviZ (а>), Ç/w» + i Cov(7, (ffl), C, (®)) +

Вторая глава состоит из трех параграфов, в ней строятся обобщенные модели Марковица и разрабатываются методы оптимизации по этим моделям. Приведем необходимы понятия.

Пусть ш, -доля капитала, выделяемая на покупку ценных бумаг ¡-то вида,

iv

такая что ет, ¿0, i = \,...,N.

ы

Введем также нечеткие случайные величины Х^.-.уХ,,, представляющие доходности финансовых активов: Х,(-,-) : Q х Г ->£'.

Тогда, на основании результатов первой главы, доходность портфеля может быть представлена нечеткой случайной величиной:

Х{ш,а>,у) = ш, ■Xl(a>,y) + ... + cjN XN(o>,y). Ее математическое ожидание Е(Х(сг,со,у)) есть ожидаемая доходность портфеля.

Понятно, что при фиксированном ш Е(Х(а,а>,у)) есть нечеткая величина, которую в дальнейшем будем обозначать

d„{m,y)=*E{X(m,m,y)).

Ее распределение может быть определено по формулам, полученным в первой главе диссертации. Ожидаемая доходность отдельного финансового актива есть <{,(?) = Е{Х,(ю,гУ>. Риск портфеля характеризуется дисперсией, либо среднеквадратичным отклонением соответствующей нечеткой случайной величины. В соответствии с рассматриваемым подходом эти характеристики являются функциями ст. Обозначим их соответственно: гр(т) = 0(Х(ш,а>,у)),

с, (ет) = ,//•>?) .

Таким образом, мы видим, что ожидаемая доходность портфеля есть нечеткая величина, поэтому в диссертационном исследовании строятся обобщенные модели Марковича, позволяющие формализовать нечеткий критерий — ожидаемую доходность портфеля.

Во второй главе диссертации построены следующие „ обобщенные возмозможностно-вероятностные модели портфельного анализа.

Модель максимизации ожидаемого дохода при заданном уровне риска

Под этим понимается следующая модель.

т{Ыр(ш,г))-+тяк, (2.1.3)

■¿»,=1. (2-1.4)

1-1

с7, ¿0,/= 1,...,^/,

Ввиду того, что с1р(ш,у) есть нечеткая величина, мы осуществляем переход к модальным значениям соответствующих нечетких параметров (ОТ -оператор перехода к модальным значениям). В данной модели Л есть четкое бинарное отношение: Ле{5,=}, ^ есть приемлемый уровень риска, на который готов пойти инвестор.

Модель максимизации возможности (необходимости) достижения нечеткого уровня ожидаемой доходности при фиксированном уровне риска

т{<1^в7,г)^0(г))~*пиа, (2.2.1)

Гр{ш)1(г,,

. =1, (2.2.2)

а, >0,1 = 1,

где ге{г,с), Д0 есть четкое бинарное отношение: /?0 е (=,2), ¿„(у) есть нечеткий уровень притязаний критерия (уровень ожидаемой доходности), приемлемый для инвестора.

В диссертационной работе доказывается, что при К0 ='=', г = ж' рассматриваемая проблема имеет следующую эквивалентную

вг0 шах, (2.2.5)

(2.2.6)

ст0 £А,(,)(1>,).' = 1>—

л» . 1=1

N

2>=1-

'=1

иг, 2:<и = 1,;..,лг, где ш0 -дополнительная переменная.

При т='у' и ='=' в диссертации также построена эквивалентная детерминированная модель.

Модель максимизации с заданной возможностью (необходимостью) ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска к —* шах,

гЛвг)1&„

2>,=1'

Здесь к есть дополнительная (уровневая) переменная.

В диссертационной работе доказывается, что при рассматриваемая проблема имеет следующую эквивалентную

У

—» шах,

¡«1

г^чт)^,

N

Х®1, = и

(2.3.1)

(2.3.2)

(2.3.5)

(2.3.6)

ЕТ, =

В случае т='у' при Яа ='=' рассматриваемая проблема максимизации с заданной необходимостью ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска имеет следующий эквивалентный детерминированный аналог

2>, (1-#„) ->шах,

/=1

"/•„(ст)^,

1=4

(2.3.13)

(2.3.14)

Модель минимизации возможного риска при заданном уровне возможного

дохода

rp(m) -» min, (2.4.1) (QR{dр(вт, у)} = Е„

U ■ (2.4.2)

2>=1> Li-I

где Е. есть заданный уровень возможного дохода.

После перехода к модальным значениям соответствующих нечетких величин приходим к следующей модели:

г (er)-»-min, (2.4.3)

-07, = Е.,

У

(2.4.4)

где т, - модальные значения </,00.

Во второй главе также проведено (параграф 3) обобщение двумерного портфеля на случай нечетких случайных данных.

Пусть есть доли капитала, вкладываемые в первый и второй

активы соответственно.

Рассматривается случай, когда ¿,00е Тр(С ++ п!>1%С)> где >¡4, С, - ожидаемые значения случайных величин ¿¡¡(а), /7,(0), £,((»)■

Не нарушая общности, можно считать, что 4\+Ч\<41 + 7°> 5ирр(</, (/)) а гирр(</2 (у)) = 0.

Исследуем множество инвестиционных возможностей {{гр,Ыр)). В данном случае гр(т) = шх ■0(Х1) + ст1-0{Х1)-\-2т^т1Со\{Х^Х1). Расчеты дисперсия и ковариации проводятся в соответствии с результатами, полученными в первой главе диссертации.

Ввиду того, что параметр <1р есть нечеткая величина, множество инвестиционных возможностей можно представить системой:

• (ет) = е7,! • £>(л-,) + ег22 • 0(Хг ) + 2ш, ■ит1 ■ Соу(Х, ,Х2), (2.5.1)

ЕГр + Шг = 1.

Здесь <1а есть параметр, представляющий со степенью возможности а. Система, приведенная выше, эквивалентна следующей

'^¿г(а) + </2 •</,-(«)£</,, (3.2.1)

(3.2.2)

' гр(ш) = т! •0{Х,) + а\-0(Х1) + 2шх-тг Соу(Хх,Хг), (3.2.3)

®г, + &г = 1, (3.2.4)

где Л~(а), /=1,2 есть границы а -уровневых множеств соответствующих

нечетких величин.

Из соотношений (3.2.1 >-<3.2.4) следует, что риск портфеля в конечном итоге определен на множестве значений доходности портфеля (замкнутом интервале) при каждом конечном фиксированном га = (щ,тг). Таким образом, ГР ='>№) и удовлетворяет (3.2.1.), (3.2.2).

В результате мы можем констатировать, что множество инвестиционных возможностей есть «множественнозначная» кривая. При обозначениях (и>) = ет, • (1~ (а) + • {а), = ст, -(1*{а) + ш2-^(а) в соответствии с

результатами интервального анализа, /■,(К(ет)>а'Лст)]) = [ ттгД/), тахг/)(0] ■

Ясно, что эта кривая может быть построена с использованием «граничных» кривых, которые определяются посредством решения систем вида:

Решая полученные системы относительно переменных ст,, шг в первом и во втором предельных случаях, после подстановки решений в (3.2.3), получаем две «граничные» параболы: г'(<},,).

Оптимальные портфели могут быть получены путем решения

В пределе, при а->1, можно считать, что (а) ->£ +?/,,;' = 1,2. И мы приходим, фактически, к классической модели портфельного анализа по Марковицу с параметрами: 3 = (£{+т)„|2 +%)- вектор ожидаемых доходностей активов; С = (с9),2/,1 —ковариационнаяматрица, св = Соу(£, + >7у)-

Третья глава диссертационного исследования, состоящая из четырех параграфов, посвящена вопросу применения интеллектуального анализа данных для обработки информации, используемой при отработке и реализации моделей и методов оптимизации портфеля в условиях комбинированного вида неопределенности (нечеткого и случайного).

При формировании баз данных моделей портфельного анализа используется информация, представляемая аналитико-информационными центрами о биржевых характеристиках финансовых активов. Первичная информация, как правило, должна быть подвергнута обработке методами интеллектуального анализа данных. Эта технология анализа данных основана на статистических методах и служит для выявления заранее неизвестных закономерностей. Интеллектуальный анализ данных распространен на практике для поддержки принятия стратегически важных финансовых важных решений, в том числе и на модели портфельного анализа.

В третьей главе диссертации методы интеллектуального анализа данных применены для обработки информации с целью получения временных рядов для оценки параметров возможностных распределений в модели финансового актива, основанного на нечеткой случайной переменной.

(3.3)

вт. +я7, = 1.

¿г (т!

уравнения —1— = О

Рассматривались три вида ценных бумаг, информация о которых была получена из электронных архивов Российского информационного агентства «РосБизнесКонсалтинг».

В первом разделе главы описывается технология интеллектуального анализа данных.

Во втором разделе осуществляется реализация интеллектуального анализа данных, моделей и методов портфельного анализа в среде MS Excel. С этой целью был разработан программный комплекс, который представляет собой пакет функций, интегрированных в систему MS Excel. Данные функции были реализованы с помощью встроенного языка программирования VBA. Среда MS Excel была выбрана в качестве средства программной реализации рассматриваемых в работе методов ввиду наличия большого числа стандартных математических и статистических функций, надстроек (в том числе «Поиск решения»), различного вида диаграмм, а также возможности создавать собственные программные модули с использованием встроенного языка программирования. Структурная модель программного комплекса состоит из трех функциональных модулей:

• обработки исходных (реальных) данных (методами интеллектуального анализа данных с целью получения временных рядов для оценки параметров возможностных распределений в модели финансового актива, основанного на нечеткой случайной переменной);

• реализации непрямых метод портфельного анализа (модель максимизации с заданной возможностью ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска, модель максимизации с заданной необходимостью ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска, «осредненная» модель минимизации ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска);

• визуализации полученной расчетной информации по моделям портфельного анализа посредством использования мастера диаграмм.

В третьем разделе главы технология интеллектуального анализа данных обобщена на случай нечетких случайных данных.

Информация о торгуемых ценных бумагах (элемент временного ряда) предоставляется в виде следующей структуры данных, представленной на рис.7.

Дата торгов Средне ззвешенна я иена Покупка (открытие) Продажа (открытие) Покупка (закрытие) Продажа (закрытие) Минимальная цена сделки Максимальная цена сделки

Рис. 7. Структура элемента временного ряда

Результатом первичной обработки должен быть временной ряд с характеристиками доходности финансового актива, представленными на рис.8.

Дата торгов Минимальная цена сделки Средневзвешенная цена Максимальная цена сделки

date, рГё _mr Р( рГ

Рис. 8. Структура элементов временного ряда, необходимого для оценки параметров распределения ожидаемой доходности финансового актива

В приведенной на рис.8. таблице date, есть дата дня торгов, pf* -минимальная цена торгуемого актива, р™ - средневзвешенная цена торгуемого актива, р™ - максимальная цена торгуемого актива, i = l,...,N, где N есть количество дней торгов, принятых к рассмотрению.

Таким образом, может быть сформирован временной ряд, элементы которого содержат полную информации» о разбросе цен на торгуемые активы за рассматриваемый временной период.

По данному временному ряду построены временные ряды, характеризующие параметры распределения доходностей финансовых активов. Структура элемента временного ряда представлена в таблице, приводимой ниже.

Таблица 10

Структура элементов временного ряда, характеризующая параметры распределения

доходности финансового актива

Дата Минимальная доходность Средняя доходность Максимальная доходность «с*

date, min „т*\ р< рxioo Ат яг evr Р> ~Р,Л хЮО /сг Лтк гая Р> ~р" хЮО _ош 1

Имея временной ряд с такими элементами, мы можем оценить параметры возможностного распределения, характеризующего ожидаемую доходность финансового актива = Е{Х(а,у)).

Отработка разработанной технологии интеллектуального анализа данных проводилась на моделях, разработанных в диссертационной работе (параграф 3.4). В качестве примера приведем соответствующие результаты по модели максимизации с заданной возможностью (необходимостью) ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска (модель 2.2.1-2,2.2).

Ее реализация была осуществлена при уровне возможности-необходимости ж0 - 0,5 и при изменении уровня приемлемого риска на отрезке [14,5;18,5]. Результаты моделирования с использованием реальных данных представлены на рис. 9.

*----------------«А ;

■ 16.5 i

:

-2,5 -1,5 -0.5 0.5 1.5 2.5 оащмн! лояцропъ

Рис. 9. Результаты численного моделирования, 1 —расчеты по возможностной модели, 2 —расчеты по необходимостной модели, 3 - расчеты по осредненной (модальной) модели

Ввиду нестабильности финансового рынка за рассматриваемый временной период (наблюдалось падение цен на финансовые активы), среднее значение ожидаемой доходности является незначительным.

14

Анализ полученных результатов с использованием реальных данных после их соответствующего интеллектуального анализа позволяет сделать следующие выводы:

1. Расчеты, полученные в случае «необходимостной» модели и «возможностной» модели позволяют более адекватно представить инвестиционные возможности в пределах имеющейся информации.

2. При рассмотрении модели портфельного анализа в возможностно-необходимостном контексте мы получаем интервальнозначные инвестиционные возможности. При этом левая граница этих возможностей определяется «необходимостной» моделью, а правая - «возможностной».

В заключении диссертационной работы подводятся итоги диссертационного исследования и делаются основные выводы.

Основные результаты диссертации

В области оснований теории возможностей проведено обоснование элементов исчисления нечетких случайных величин: получены формулы для расчета ковариации и дисперсии в том случае, когда значения нечетких случайных величин характеризуются параметризованными распределениями; получена формула для определения дисперсии взвешенной суммы нечетких случайных величин.

В области портфельной теории разработаны обобщенные возможностно-вероятностные модели портфельного анализа: модель максимизации ожидаемого дохода при заданном уровне риска, модель максимизации возможности (необходимости) достижения нечеткого уровня ожидаемой доходности при фиксированном уровне риска, модель максимизации с заданной возможностью (необходимостью) ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска, модель минимизации возможного риска при заданном уровне возможного дохода.

Получены непрямые методы решения обобщенных задач портфельного анализа, основанные на построении их эквивалентных детерминированных аналогов.

Получена технология интеллектуального анализа данных для обработки информации с целью получения временных рядов для оценки параметров возможностных распределений в модели финансового актива, основанного на нечеткой случайной переменной.

Осуществлена интерпретация результатов и обоснованы в возможностно-необходимостном контексте интервально-значные инвестиционные возможности лица, принимающего решение.

Полученные в диссертации результаты обеспечивают возможность обобщения классических моделей портфельного анализа на случай комбинированного вида неопределенности.

Публикации автора по теме диссертации

1. Гришина Е.Н. Об одном подходе к определению и расчету числовых характеристик нечетких случайных величин, Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация. ТвГУ, Тверь, 2004. С.39-45.

2. Гришина Е.Н., Язенин А.В. Разработка моделей и методов портфельного анализа и программной системы поддержки принятия решений (тезисы)//Материалы научно-практической конференции «Научные проблемы устойчивого развития Тверской области. Итоги региональных конкурсов 2004 года Российского фонда фундаментальных исследований и Российского гуманитарного научного фонда». ООО «София». Тверь, 2004. С.41-43.

3. Grishina E.N. On One Method of Portfolio Optimization with Fuzzy Random Data //Proceedings of International Conference on Fuzzy Sets and Soft Computing in Economics and Finance. Saint-Petersburg, Russia. 2004. P.493-498.

4. Grishina E.N., Yazenin A.V. About one approach to portfolio optimization //Proceedings of 11th Zittau Fuzzy Colloquium, Germany, 2004. P.219-226.

5. Grishina E.N., Yazenin A.V. Bivariate Portfolio with Fuzzy Random Data //Proceedings of 12* Zittau Fuzzy Colloquium, Germany, 2005. P.265-270.

6. Гришина Е.Н. Об одном подходе к формированию инвестиционного портфеля (тезисы)//Материалы международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования», Воронеж: Воронежская государственная технологическая академия, 2005. С.76.

7. Гришина Е.Н., Язенин А.В. Интеллектуальный анализ данных и реализация моделей портфельного анализа в среде MS Excel //Программные продукты и системы, №3,2006. С. 3-7.

Технический редактор A.C. Клюшкина Подписано в печать 24.08.2006. Формат 60 х 84 '/i6. Бумага типографская № 1. Печать офсетная. Усл.печл. 1,0. Уч.-изд.л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ № 646. Тверской государственный университет Редакционно-издательское управление. Адрес: Россия, 170000, г. Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (4822) 35-60-63.

Введение.

1. Развитие математической модели нечеткой случайной величины для решения задач портфельного анализа.

1.1. Определение нечеткой случайной величины.

1.2. Определение числовых характеристик нечеткой случайной величины.

1.3. Расчет числовых характеристик нечетких случайных величин в классах параметризованных распределений.

1.4. Взвешенная сумма нечетких случайных величин.

1.5. Выводы по первой главе диссертации.

2. Постановки задач портфельного анализа в условиях нечетких случайных данных и методы их решения.

2.1. Доходность портфеля в условиях нечетких случайных данных.

2.2. Модели портфельного анализа в условиях нечетких случайных данных.

2.2.1. Модель максимизации ожидаемого дохода при заданном уровне риска.

2.2.2. Модель максимизации возможности (необходимости) достижения нечеткого уровня ожидаемой доходности при фиксированном уровне риска.

2.2.3. Модель максимизации с заданной возможностью (необходимостью) ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска.

2.2.4. Модель минимизации возможного риска при заданном уровне возможного дохода.

2.3. Обобщение двумерного портфеля на случай нечетких случайных данных.

2.4. Выводы по второй главе диссертации.

3. Применение разработанных моделей и методов для обоснования инвестиционных решений.

3.1. Технология интеллектуального анализа данных.

3.2. Программный комплекс поддержки моделей портфельного анализа.

3.3. Применение методов интеллектуального анализа данных для обработки «толерантных» временных рядов.

3.4. Модельные расчеты.

3.4.1. Модельные расчеты по модели минимизации возможного риска при заданном уровне возможного дохода.

3.4.2. Модельные расчеты по модели максимизации с заданной возможностью (необходимостью) ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска.

3.5. Выводы по третьей главе диссертации.

Актуальность

Классической моделью управления инвестиционным портфелем является модель Марковица. Модели портфельного анализа по Марковичу ориентированы на принятие инвестиционных решений в том случае, когда существуют временные ряды, по которым можно полностью оценить параметры модели: ковариационную матрицу и вектор ожидаемых доходностей. Однако в том случае, когда временные ряды по некоторым финансовым активам отсутствуют, применение классического подхода становится невозможным. В такой ситуации для оценки ожидаемых доходностей привлекаются эксперты. Как правило, информация, получаемая от них, содержит элементы нечеткости, и для ее адекватного представления используется теория возможностей и нечетких множеств. Моделью ожидаемой доходности в этом случае служит нечеткая величина. При таком подходе модальное значение нечеткой величины является аналогом ожидаемого значения доходности в модели по Марковичу, а коэффициент нечеткости характеризует риск при принятии решений. Такой подход к оптимизации инвестиционного портфеля рассматривается в работах М. Inuiguchi, J. Ramik и М. Inuiguchi, Т. Tanino, а также других авторов. К примеру, модель портфеля минимального риска в этом случае может быть записана в виде ш -> min, Ш , (yR-yL)Zm, с x>z , егх = 1, х > О, где ст - дополнительная уровневая переменная, h° е (0,1], [Стх\0 ={y\n(fx{y)>h'>}, ястх - возможностное распределение, с вектор модальных значений нечетких величин, представляющих доходности активов, z° - приемлемый уровень доходности, с = (с„с2,.,си) , X = (л:,,ЛГ2,.J £ = 0Л>->'Д) •

В конечном итоге она редуцируется к задаче линейного программирования cR(h°)r-cL(h°)T)x->mm, т ^ о с x>z , егх = 1, дг > 0, где £,,(•) = (0, (•),. •, cnL О)7', сд (•) = (с, д (■), с2Я (•), .,cnR {-))т, ciR(h) = sup{q\7rCi(q)>h}, с - вектор модальных значений нечетких величин, представляющих доходности активов, z° - приемлемый уровень доходности, с = (с,,с2,.,с„) , х = (х1,х2,.,хп) , е = (1,1,.,1) .

В ряде случаев временные ряды носят более сложный характер. Элементы этих временных рядов представляют собой совокупности данных, имеющих толерантный вид (минимальная, максимальная цены продаж, средневзвешенное значение цены и др.). Прямое применение классического подхода здесь также невозможно. Как правило, для обработки временных рядов указанного типа используются методы интеллектуального анализа данных, позволяющие получить статистические закономерности, необходимые для оценки параметров. Здесь адекватной моделью доходности финансового актива, как показано в [94], является нечеткая случайная переменная (величина). Она позволяет отразить стохастический и нечеткий (толерантный) вид имеющейся информации.

В работах И.А. Язенина развивается подход к оптимизации портфеля в том случае, когда моменты второго порядка нечеткой случайной величины являются нечеткими и определяются в соответствии результатами работы М.Ю. Хохлова и А.В. Язенина. Формула для определения дисперсии D(X) нечеткой случайной величины Х(а,у) как функции нечеткой величины Х0, согласно [47], имеет вид:

D(a) где а(со), с(со) есть случайные величины, определенные на вероятностном пространстве (Q,B,P), являющиеся параметрами сдвига и масштаба нечеткой случайной величины Х{со,у), имеющей сдвиг-масштабное представление вида X(co,y) = a(tv) + a(6))X0(y). Х0(у) есть нечеткая величина, определенная на возможностном пространстве (Г,Р(Г),л-).

Модель оптимизации портфеля в таком случае может быть, к примеру, записана в виде n{Rp(mty) = mp(r)}-> max,

D(X) = D(a)

Х0 + со v(a,cr)

Di<r) . I ax,,.>0, где л - мера возможности, тр{у) - нечеткий уровень доходности, приемлемый для инвестора, гр(у) - возможный уровень риска, л0 е (ОД] - заданный уровень возможности, mi - доля г -го актива в портфеле, Rp(vr,y) = E{Rp{m,0,y)} = =1>Д 00

1 /=i ожидаемая доходность портфеля,

Vp(m,y) = E{(Rp{m,co,y) - Rp(m,y))}2 - риск портфеля.

Приведенная задача сводится к следующей детерминированной х0 -> max, п п

YJdJ{n0)mi + ^е-к1(л0)шкт, < Г^(тг0),

1 к,Ы\ Ы п п

1 kj=\ к*1 ы ет„.,в7д >0, где //fflj>- функции распределения нечетких величин R, (у), тр(у); ©„(*„), ©;,(*„), г~(я-0), г;(л-0) - границы я0 -уровневых множеств нечетких величин cov(Rk,R,) и соответственно.

Другой способ определения моментов второго порядка предлагается в работе Y. Feng. В соответствии с ним моменты второго порядка являются четкими величинами. Они рассчитываются согласно следующей формуле [72]:

Cov( J J) = i )(Cov(X-(r),Y-(r)) + Cov{X\r),Y\r)))dr, L 0 где X~(r), X+(r), Y'{r), Y+(r) есть левые и правые границы г-уровневых множеств нечетких случайных величин X и Y.

В диссертации это подход развивается и распространяется на задачи портфельного анализа.

В конечном итоге применение аппарата теории возможностей и нечеткой случайной переменной позволяет обобщить классические модели портфельного анализа на случай информации с элементами неопределенности комбинированного типа. Это позволит строить более адекватные модели принятия инвестиционных решений и расширить круг решаемых задач на основе портфельной теории.

Ввиду изложенного выше тема диссертационной работы, направленная на разработку моделей и методов инвестиционных решений в условиях нечетких случайных данных, является актуальной.

Цель работы

Целью диссертационной работы является разработка обобщенных возможностно-вероятностных моделей портфельного анализа, ориентированных на принятие решений в условиях комбинированного вида неопределенности.

Основные задачи

Основными задачами диссертационного исследования являются следующие:

• развитие модели нечеткой случайной переменной в случае, когда моменты второго порядка определяются как четкие величины;

• разработка исчисления, позволяющего оценивать основные числовые характеристики нечеткой случайной величины: ожидаемое значение, коэффициенты ковариации и дисперсию;

• построение обобщенных возможностно-вероятностных моделей оптимизации инвестиционного портфеля;

• разработка методов оптимизации портфеля по построенным моделям;

• обоснование методов интеллектуального анализа данных для оценки параметров возможностных распределений, характеризующих доходностей финансовых активов в рамках выбранной модели доходности.

Методы исследования

Для формализованного описания изучаемого класса задач используется математический аппарат современной теории возможностей, нечеткой случайной переменной, при доказательстве соответствующих теорем используются методы возможностной оптимизации, математического и функционального анализа. Методологическую основу исследования составляют современная портфельная теория, методы оптимизации и принятия решений.

Теоретическая и практическая значимость работы

Полученные в диссертационном исследовании модели и методы принятия инвестиционных решений в условиях нечетких случайных данных дополняют современную теорию портфельного анализа. Разработанные методы оптимизации портфеля позволяют расширить класс решаемых практических задач в рамках инвестиционного анализа.

Внедрение результатов работы

Проведенные научные исследования поддержаны грантами РФФИ, проекты №02-01-01137 «Разработка моделей и методов оптимизации и принятия решений в условиях нечетких случайных данных и их применение к проблеме выбора оптимального портфеля инвестиций», №04-01-96720 «Разработка моделей и методов портфельного анализа и программной системы поддержки принятия решений». Результаты диссертации внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета в качестве практической составляющей курса «Теория неопределенностей».

Апробация

Основные результаты исследования докладывались автором на международной научной конференции «Fuzzy Sets and Soft Computing in Economics and Finance-2004» (Санкт-Петербург), 11-м и 12-м Международных коллоквиумах (East West Fuzzy

Colloquium Zittau Fuzzy Colloquium 2004, East West Fuzzy Colloquium Zittau Fuzzy Colloquium 2005, Циттау, Германия), научно-практической конференции «Научные проблемы устойчивого развития Тверской области. Итоги региональных конкурсов 2004 года Российского фонда фундаментальных исследований и Российского гуманитарного научного фонда» (Тверь), международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005), всероссийской научной конференции «Нечеткие системы и мягкие вычисления-2006» (Тверь), на семинарах в Тверском государственном университете.

Структура работы и ее содержание

Диссертация состоит из введения, трех глав основного содержания, заключения, одного приложения и библиографии.

3.5. Выводы по третьей главе диссертации.

Анализ полученных результатов с использованием реальных данных после их соответствующего интеллектуального анализа позволяет сделать следующие выводы:

1. Реализованный в третьей главе диссертационной работы программный комплекс обеспечивает поддержку моделей портфельного анализа, позволяет осуществлять обработку исходной информации посредством применения методов интеллектуального анализа данных, реализацию непрямых методов портфельного анализа и визуализацию полученных расчетных данных по моделям.

2. Расчеты, полученные в случае «необходимостной» модели и «возможностной» модели позволяют более адекватно представить инвестиционные возможности в пределах имеющейся информации.

3. При рассмотрении модели портфельного анализа в возможностно-необходимостном контексте мы получаем интервальнозначные инвестиционные возможности. При этом левая граница этих возможностей определяется «необходимостной» моделью, а правая - «возможностной».

Заключение

Таким образом, в диссертационной работе получены следующие результаты.

В области оснований теории возможностей проведено обоснование элементов исчисления нечетких случайных величин: развита модель нечеткой случайной величины; получены формулы для расчета ковариации и дисперсии в том случае, когда значения нечетких случайных величин характеризуются параметризованными распределениями; получены формулы для определения дисперсии взвешенной суммы нечетких случайных величин.

В области портфельного анализа при нечеткой случайной информации построены обобщенные модели портфельного анализа: модель максимизации ожидаемого дохода при заданном уровне риска, модель максимизации возможности (необходимости) достижения нечеткого уровня ожидаемой доходности при фиксированном уровне риска, модель максимизации с заданной возможностью (необходимостью) ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска, модель минимизации возможного риска при заданном уровне возможного дохода.

В области непрямых методов - для построенных обобщенных моделей Марковича разработаны методы оптимизации портфеля по эти моделям.

Реализованный в диссертачионной работе программный комплекс обеспечивает поддержку моделей портфельного анализа, позволяет осуществлять обработку исходной информачии посредством применения методов интеллектуального анализа данных, реализацию непрямых методов портфельного анализа и визуализацию полученных расчетных данных по моделям.

Применительно к практике обоснования финансовых решений с использованием интеллектуального анализа данных полученные в диссертации результаты позволяют сделать следующие выводы:

- Расчеты, получаемые в случае «необходимостной» и «возможностной» моделей дают более адекватные представления инвестиционных возможностей в пределах имеющейся информации.

- При рассмотрении модели портфельного анализа в возможностно-необходимостном контексте мы получаем интервальнозначные инвестиционные возможности. При этом левая граница этих возможностей определяется «необходимостной» моделью, а правая - «возможностной».

1. Аверкин А.Н. и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. / Под редакцией Поспелова Д.А. М.: Наука, 1986.

2. Агаян Г.М., Рютин А.А., Тихонов А.Н. О задаче линейного программирования с приближенными данными // ЖВМиМФ. 1984. Т. 24. №9. С. 1303-1311.

3. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.

4. Бармаунов В.Е., Гладких И.М., Чуйко А.С. Финансовые инвестиции. М: Финансы и статистика, 2003.

5. Барсегян А.А., Холод И.И.,Степаненко В.В.,Куприянов М.С. Методы и модели анализа данных: OLAP и Data Mining. СПб: БХВ-Петербург. 2004.

6. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Меркурьева Г.В. и др. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. М.: Радио и связь, 1989.

7. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. М: Федеративная Книгопечатная Компания, 1998.

8. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

9. Васильев Ф.П. К вопросу устойчивости методов регуляризации в линейном программировании // Вест. Моск. унта, Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1998. № 3.С. 19-23.

10. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Факториал, 1998.

11. Гибсон Р., Формирование инвестиционного портфеля: управление финансовыми рисками, «Альпина», 2005.

12. Гришина Е.Н. Об одном подходе к определению и расчету числовых характеристик нечетких случайных величин, Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация. ТвГУ, Тверь, 2004. С.39-45.

13. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобщения и применение. М.: Прогресс, 1966.

14. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: ^ Наука, 1972.

15. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. М.: Радио и связь, 1990.

16. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

17. Еремин И.И. Противоречивые модели оптимального планирования. М.: Наука, 1988.

18. Заде JI.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

19. Иванов А.П. Финансовые инвестиции на рынке ценныхбумаг. М: Дашков и К, 2004.

20. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1980.

21. Касимов Ю.Р. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. Москва, 1998.

22. Ковач М., Васильев Ф.П., Фуллер Р. Об устойчивости нечеткого решения систем линейных алгебраических уравнений с нечеткими коэффициентами // Вест. Моск. ун-та, сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1989. № 1. С. 5-9.

23. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М: Наука, 1974.

24. Кофман А. Введение в теорию нечетких подмножеств. М.: Радио и связь, 1982.

25. Крушвиц J1. Инвестиционные расчеты. СПб: Питер, 2001.

26. Лялин В.А., Воробьев П.В. Ценные бумаги и фондовая биржа, Москва: Филинъ, 2000.

27. Малыхин В.И. Финансовая математика. М: Юнити, 2000.

28. Мину М. Математическое программирование. М.: Наука, 1990.

29. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.Н. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.

30. Молодцов Д.А. Устойчивость принципов оптимальности. М.: Наука, 1987.

31. Муртаф М. Современное линейное программирование. М.: Мир, 1984.

32. Нечеткие множества и теория возможностей / Перевод с английского В.Б. Кузьмина под редакцией Травкина С.И. М.: Радио и связь, 1986.

33. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. М.: Наука, 1979.

34. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981.

35. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.

36. Рыбкин В.А., Язенин А.В. О сильной устойчивости в задачах возможностной оптимизации // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. № 2. С. 90-95.

37. В.А. Рыбкин, А.В. Язенин. Возможностная регуляризация задач линейного программирования // Известия РАН. Теория и системы управления. 2003. №3. С. 80-89.

38. Сорокин С.В., Язенин А.В. Система поддержки принятия решений на базе моделей и методов возможностной оптимизации // Программные продукты и системы. 2000. №2. С. 9-13.

39. Сорокин С.В. Анализ структуры задач возможностного программирования в контексте мер возможности и необходимости // Вестник тверского государственного университета №2. Тверь, 2003. С. 44-51.

40. Сорокин С.В. К задаче нахождения недоминируемого вектора возможностей совместности систем ограничений возможностных ограничений // Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация. Тверь, 2004.

41. Сорокин С.В. Методические рекомендации по использованию программной системы поддержки моделей и методов возможностной оптимизации. Учебно-методическое пособие. Тверь: ТвГУ. 2004. 23 с.

42. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.

43. Тихонов А.Н. О некорректных задачах оптимального планирования//ЖВМиМФ. 1966. Т. 6. № 1. С. 81-89.

44. Трухаев Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенности. М.: Наука, 1981.

45. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979.

46. Фуллер Р. Исследование некоторых классов нечетких линейных задач. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва, 1987.

47. Хохлов М. Ю., Язенин А. В. Расчет числовых характеристик нечетких случайных величин //Вестник ТвГУ, №2. Серия "Прикладная математика", выпуск №1,2003. С.39-43.

48. Хохлов М.Ю. Нечеткие случайные величины и их числовые характеристики //Методы и алгоритмы исследования задач оптимального управления. Тверь, 2000.

49. Цурков В.И. Декомпозиция в задачах большойразмерности. М.: Наука, 1981.

50. Чалдаева JI.A. Фондовая биржа, организационно-управленческая структура, Москва: Экзамен, 2002.

51. Чубукова И.A., Data Mining учебное пособие. М:БИНОМ. Лаборатория знаний, ИНТУИТ.РУ. 2006.

52. Шарп У.Ф. Инвестиции. М: Инфра-М, 1999.

53. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981.

54. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. М.: Советское радио, 1974.

55. Язенин А.В. Нечеткое математическое программирование. Калинин, 1986. 60 с.

56. Язенин А.В. Линейное программирование со случайными нечеткими данными // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1991. № 3. С. 52-58.

57. Язенин А. В. Возможностное и интервальное линейное программирование // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1993. № 5. С. 149-155.

58. Язенин А.В. Методы оптимизации и принятия решений при нечетких данных. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Тверь, 1995.

59. Язенин А.В. К задаче максимизации возможности достижения нечеткой цели // Изв. АН СССР. Теория и системы управления. 1999. №4. С.120-123.

60. Язенин А.В. О методе решения одной задачи линейного программирования со случайными нечеткими данными, Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. №5. С. 91-95.

61. Язенин И.А. Портфели минимального риска и максимальной эффективности в условиях нечетких случайных данных //Сложные системы: моделирование и оптимизация, Тверь, ТвГУ, 2001. С. 59-63.

62. Язенин И.А. О методах оптимизации инвестиционного портфеля в нечеткой случайной среде, Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация, Тверь, ТвГУ, 2002. С. 130-135.

63. Язенин И.А. Об одной модели оптимизации инвестиционного портфеля, Вестник Тверского государственного университета, №2. Серия «Прикладная математика», выпуск 1, 2003. С. 102-105.

64. Язенин И.А., Хохлов Ю.С. Меры возможности и необходимости в портфельном анализе //Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация. Тверь. ТвГУ. 2004. Вып.2. С.32-38.

65. Bellman R., Zadeh L.A. Decision making in a fuzzy environment//Management Science. 1970. №17. P. 141-164.

66. Buckley J.J. Possibility and necessity in optimization // Fuzzy Sets and Systems. 1988. №25. P. 1-13.

67. Buckley J.J. Possibilistic linear programming with triangular fuzzy numbers // Fuzzy Sets and Systems. 1988. №26. P. 135-138.

68. Canestrelli E., Giove S., Fuller R. Stability in possibilistic quadratic programming // Fuzzy Sets and Systems. 1996. №82. P. 5156.

69. Diamond P., Kloeden P. Metric space of fuzzy sets // Fuzzy Sets and Systems, 35 (1990) 241-249.у 70. Dubois D., Prade H. Systems of fuzzy linear constraints //

70. Fuzzy Sets and Systems. 1978. №3. P. 37-48.

71. Dubois D., Prade H. Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications. New York:Academic Press, 1980.

72. Yuhu Feng, Liagjian Hu, Huisheng Shu, The variance and covariance of fuzzy random variables and their applications //Fuzzy Sets and Systems, 2001, p. 487-497.

73. Grishina E.N. On One Method of Portfolio Optimization with Fuzzy Random Data //Proceedings of International Conference on Fuzzy Sets and Soft Computing in Economics and Finance. Saint-Petersburg, Russia. 2004. P.493-498.

74. Grishina E.N., Yazenin A.V. About one approach to portfoliothoptimization //Proceedings of 11 Zittau Fuzzy Colloquium, Zittau, Germany, P.219-226.

75. Grishina E.N., Yazenin A.V. Bivariate Portfolio with Fuzzytb

76. Random Data //Proceedings of 12 Zittau Fuzzy Colloquium, Zittau, Germany, P.265-270.

77. Inuiguchi M., Ramik J. Possibilistic linear programming: a brief review of fuzzy mathematical programming and a comparison withstochastic programming in portfolio selection problem, Fuzzy sets and systems. 2000. №111. P.3-28.

78. Inuiguchi M., Tanino T. Portfolio selection under independent possibilistic information, Fuzzy sets and systems. 2000. №115. P.83-92.

79. Kwakernaak H. Fuzzy random variables -1. Definitions and theorems // Information Sciences. 1978. №15. P. 1-29.

80. Kwakernaak H. Fuzzy random variables II. Algorithms and examples for the discrete case // Information Sciences. 1979. №17. P. 253-278.

81. Lodwick W. Analysis of structure in fuzzy linear programs // Fuzzy Sets and Systems. 1990. №38. P. 15-26.

82. Luhandjula M.K. Linear programming problems under randomness and fuzziness // Fuzzy Sets and Systems. 1983. № 10. P. 45-55.

83. Luhandjula M.K. On possibilistic linear programming // Fuzzy Sets and Systems. 1986. №18. P. 15-30.

84. Luhandjula M.K. Fuzzy optimization: an appraisal // Fuzzy Sets and Systems. 1989. №30. P. 257-287.

85. Ma M., On embedding problems of number spaces: part 4//Fuzzy Sets and Systems, №102,1999.

86. Markowitz H. Portfolio selection: efficient diversification of investments. Wiley. New York, 1959.

87. Nahmias S. Fuzzy variables // Fuzzy Sets and Systems. 1978. №1. P. 97-110.

88. Nahmias S. Fuzzy variables in a random environment // Advances in fuzzy sets theory. Amsterdam, 1979.

89. Puri M.L., Ralescu D.A. Fuzzy random variables // Journal of mathematical analysis and applications. 1986. №114. P. 409-422.

90. Rao M.B., Rashed A. Some comments on fuzzy variables // Fuzzy Sets and Systems. 1981. №6. P. 285-292.

91. Rybkin V.A., Yazenin A.V. On the problem of stability in possibilistic optimization // International Journal of General Systems. 2001. V. 30. P. 3-22.

92. Tanaka H., Asai K. Fuzzy linear programming with fuzzy numbers // Fuzzy Sets and Systems. 1984. №13. P. 1-10.

93. Yazenin A.V. Fuzzy and stochastic programming // Fuzzy Sets and Systems. 1987. №22. P. 171-180.

94. A. Yazenin, M. Wagenknecht. Non-dominated Elements and Fuzzy Scalarizing Functions in Vector Optimization // International Journal Fuzzy mathematics. 1994. V.2. N.3. P. 565-577.

95. Yazenin A.V. On the problem of possibilistic optimization // Fuzzy Sets and Systems. 1996. №81. P. 133-140.

96. A. Yazenin, M. Wagenknecht. Possibilistic optimization. A measure-based approach //BUTC-UW, 1996.

97. Yazenin A.V. Optimization with Fuzzy Random Data and its Application in Financial Analysis //Proceedings of International Conference on Fuzzy Sets and Soft Computing in Economics and Finance. Saint-Petersburg Russia. 2004. P. 16-32.

98. Yazenin I. A. Minimal risk and efficiency portfolios for fuzzy random data, XXI Seminar on stability problems of stochastic models. Abstracts, Eger, Hungary, 2001. P. 182.

99. Zadeh L.A. Fuzzy sets//Information and Control. 1965. №8. P. 338-353.Ч

100. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility I I Fuzzy Sets and Systems. 1978. №1. P. 3-28.

101. Zimmermann H.-J. Description and optimization of fuzzy systems, Internat. J. General Systems. 1976. №2. P. 209-215.ft