автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и методы отыскания квазиэффективных портфелей в условиях неопределенности комбинированного типа

На правах рукописи

ШЕФОВА Наталья Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ КВАЗИЭФФЕКТИВНЫХ ПОРТФЕЛЕЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ КОМБИНИРОВАННОГО ТИПА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 1 НОЯ 2012

Тверь-2012

005054279

Работа выполнена на кафедре информационных технологий факультета прикладной математики и кибернетики ФГБОУ ВПО «Тверской государственный университет».

Научный руководитель -

Официальные оппоненты ■

Язенин Александр Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор

Рыжов Александр Павлович, доктор технических наук, кандидат физико-математических наук, профессор, доцент кафедры математической теории интеллектуальных систем МГУ им. М.В. Ломоносова

Соломаха Геннадий Михайлович, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры математических систем и системного анализа ФГБОУ ВПО «Тверской государственный университет»

Ведущая организация - Вычислительный центр РАН

им. А.А.Дородницына, г. Москва.

Защита состоится «16» ноября 2012 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170100, г. Тверь, Садовый переулок, 35, ауд.200.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170100, г. Тверь, ул. Володарского, 44а.

Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы «28» сентября 2012 года на официальном сайте ВАК Министерства образования и науки РФ (http://vak.ed.gov.ru) и на официальном сайте Тверского государственного университета (http://university.tversu.ru/aspirants/abstracts/).

Автореферат разослан «15» октября 2012 года.

И.о. ученого секретаря у

диссертационного совета Д 212.263.04 У

доктор физико-математических наук, доцент oCi/f K.M. Зингерман

Общая характеристика работы

Актуальность темы. На фоне стремительного развития экономики и постоянно повышающегося интереса к фондовому рынку особую актуальность приобрела проблема оптимизации фондовых портфелей и прогнозирования фондовых индексов. В условиях участившихся кризисов, принесших за последние два десятилетия миллиарды убытков инвесторам по всему миру, появилась необходимость в ревизии существующих методов фондового менеджмента и последующей модернизации моделей и методов портфельной оптимизации.

Задача выбора оптимальной структуры портфеля ценных бумаг была впервые комплексно изучена Г. Марковицем в 1952 году. Предложенная им методика и модель портфельной оптимизации, основанные на понятии ожидаемой доходности и риска ценных бумаг, стала ядром исследований и основой развития современной теории принятия инвестиционных решений.

Однако на фондовый рынок оказывает влияние не только внешняя среда, но и экспертные прогнозы, что совместно с ограниченной способностью инвестора распознавать и прогнозировать состояния фондового рынка, порождает фактор субъективной неопределенности. В результате рыночная неопределенность не обладает только классически понимаемой стохастической природой и носит комбинированный (гибридный) характер, а это ставит под сомнение возможность применения чисто классических методов теории вероятностей при построении инвестиционного портфеля.

В итоге, инвестор, отказываясь от классического вероятностного подхода, вынужден применять для анализа и прогнозирования состояния рыночной среды экспертные, минимаксные и другие детерминистские подходы, которые не в состоянии учитывать неопределенность фондовых рынков надлежащим образом.

Использование достижений теории нечетких множеств и теории возможностей в экономических исследованиях открыло новые горизонты для развития моделей и методов оптимизации инвестиционных портфелей ценных бумаг и прогнозирования фондовых индексов. Это позволяет более адекватно учитывать при моделировании неопределенности присущие знаниям эксперта проблемы и строить множества квазиэффективных (эффективных с заданной возможностью/необходимостью и вероятностью) оценок инвестиционных возможностей.

Для широкого применения данного подхода необходимо дальнейшее развитие моделей, позволяющих учитывать комбинированный (гибридный) типы неопределенности, обоснование соответствующих принципов принятия решений и методов оптимизации. Более того, на сегодняшний день существует необходимость создания соответствующего программного обеспечения.

Ввиду этого диссертационная работа, направленная на решение описанной проблемы является актуальной.

Цель работы. Исследование и развитие математического аппарата обработки нечеткой случайной информации в контексте портфельной теории,

разработка моделей и методов возможностно-вероятностной оптимизации, ориентированных на поддержку принятия инвестиционных решений в условиях неопределенности комбинированного (гибридного) типа.

Основные задачи. Для достижения целей диссертационной работы решаются следующие задачи:

1) разработка исчисления характеристик нечетких случайных величин с учетом сдвиг-масштабной экспликации неопределенности комбинированного типа;

2) теоретическое обоснование и построение обобщённых возможностно-вероятностных моделей портфеля минимального риска при ограничении по возможности и вероятности на уровень ожидаемой доходности;

3) разработка непрямых методов решения сформулированных задач возможностно-вероятностной оптимизации;

4) исследование влияния взаимосвязи между нечеткими случайными переменными на степень диверсификации портфеля;

5) обоснование влияния уровня возможности и вероятности на множество инвестиционных возможностей участников рынка;

6) разработка архитектуры и реализация программного комплекса поддержки принятия решений для задач портфельной оптимизации в рамках возможностно-вероятностного подхода.

Методы исследований. Для формализованного описания проблемы принятия решений в нечеткой случайной среде используется математический аппарат современной теории возможностей, нечеткой случайной переменной и теории вероятностей. Построение эквивалентных детерминированных аналогов поставленных задач базируется на методах возможностной оптимизации, математического программирования, математического и функционального анализа. Методологическую основу исследования составляют современная портфельная теория и базовые принципы принятия инвестиционных решений. Разработка программного комплекса выполнена на языке высокого уровня Borland Delphi.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми:

1) получены формулы для исчисления характеристик нечетких случайных величин с учетом разделения нечеткого и случайного факторов, что позволяет расширить круг исследуемых задач и учитывать влияние гибридной неопределенности на множество инвестиционных возможностей;

2) построена модель портфеля минимального риска в нечёткой случайной среде при ограничении по возможности и вероятности на уровень доходности;

3) разработан непрямой метод решения задач портфельной оптимизации, позволяющий получить эквивалентные детерминированные аналоги задач в возможностно-вероятностном контексте;

4) исследовано влияние взаимосвязи между нечеткими случайными переменными на степень диверсификации портфеля;

5) обосновано влияние уровней возможности и вероятности на множество инвестиционных возможностей участников рынка.

Теоретическая и практическая значимость. Разработанные в диссертации модели принятия инвестиционных решений в условиях неопределенности комбинированного типа дополняют современную теорию портфельного анализа. Представленное в работе исследование влияния параметров модели на множество инвестиционных возможностей позволяет проводить сравнительное изучение разработанных моделей и методов принятия решений при различных уровнях возможности и вероятности. Полученные в работе методы могут быть использованы для «интеллектуального» анализа фондовых индексов. Разработанная на базе диссертационного исследования система поддержки принятия решений может быть применена для практического решения задач портфельного анализа в режиме реального времени.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты:

1. исчисление нечетких случайных величин, ориентированное на решение задач портфельного анализа;

2. математическая модель портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности;

3. непрямой метод решения портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности;

4. исследование возможностей диверсификации портфеля в условиях нечетких случайных данных на примере двумерного портфеля;

5. исследование инвестиционных возможностей и поведения критериев оценки портфеля в зависимости от уровня возможности и вероятности;

6. программный комплекс поддержки моделей и методов портфельного анализа.

Внедрение результатов работы. Проведенные научные исследования поддержаны фантом РФФИ: проект №10-01-00052а «Модели и методы оптимизации и принятия решений при гибридной неопределенности» и проектом №01201168129 «Разработка математических моделей и методов возможностно-вероятностного программирования и их реализация в прикладных программных системах». Результаты диссертации внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета. Кроме того, с целью овладения практическими навыками анализа и оценки информации в условиях неопределенности комбинированного типа на базе теоретических знаний, получаемых в рамках курсов «Теория неопределенностей» и «Неклассические логики» разработаны «Методические рекомендации по использованию программного комплекса поддержки моделей и методов принятия инвестиционных решений в условиях гибридной неопределенности».

Апробация работы. Основные результаты исследования были представлены на 17-м Международном коллоквиуме (Zittau East-West Fuzzy Colloquium 2010, Циттау, Германия), конференции с международным участием для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, 2010), международной научно-практической конференции «Факторы развития экономики России» (Тверь, 2011), а также на семинарах в Тверском государственном университете.

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, приведенных в конце автореферата, две из которых опубликованы в журналах, рекомендуемых ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и изложена на 158 страницах. Список литературы содержит 114 наименований, включая работы автора.

Содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи исследования, проводится обзор литературы и осуществляется краткое изложение основных положений и результатов диссертационной работы.

В первой главе подготавливается и систематизируется необходимый математический аппарат теории возможностей, формулируются базовые определения и теоремы, составляющие теоретическую основу дальнейших исследований.

В разделе 1.1 вводятся понятия нечетких величин, проводится обзор методов агрегирования и обработки нечеткой информации, описываются наиболее значимые для практических исследований классы параметризованных распределений.

Рассмотрим основные понятия, которые потребуются нам в дальнейшем.

Пусть (Г,.Р(Г),7г) есть возможностное пространство. Здесь Р(Г) -множество всех подмножеств Г, ж - возможностная мера, v - двойственная ей мера необходимости, Е1 - числовая прямая.

Определение 1.5. Возможностной (нечеткой) величиной (переменной) называется отображение Z : Г -> Ех . Распределение возможных значений величины Z описывается функцией ц2 (•) : Е* -> [0,1], определяемой по правилу

Mz(z) = 4yeT:Z(y) = z}, VzgE\ где nz{z) есть возможность того, что нечеткая величина Z может принять значение z.

Возможностная величина Z называется выпуклой, если ее распределение является квазивогнутым, то есть для любых zx,z2 eis1 , Я G [0,1] мы имеем //z(Äz, + (1 -Ä)z2)> min{цг(z,),nz(z,)}•

Приведем понятие минисвязанных возможностных величин.

Функция распределения совокупности возможностных величин определяется следующим образом:

(*„..., Zj = я {у 6 ГI Z,00 = z„...,Zn(r) = е Е"

где Е" - /г -мерное евклидово пространство.

Определение 1.9. Возможностью величины Z,,..., Z называются взаимно

1 ' " П

минисвязанными, если для любого подмножества {i{,...,ik} множества {1,...,л} y"z„,...,z,t(^v.., zk) = min{ nz (zx\..., /iZ(i(z,)}, V(z,,..., zt) e E*. Здесь /лх есть одномерные функции распределения возможностей.

Следующая теорема определяет бинарные операции над минисвязанными возможностными величинами.

Теорема 1.3. Пусть Е есть множество арифметических операций 2 = {+,—, /,-} , Z, , Z, - минисвязанные возможностные величины, определенные на возможностном пространстве (Г,Р(Г),л-) , тогда возможностная величина Z = Z,*Z2, где * £ Z , определяется функцией распределения ¿iz(z) = V (fj2 (z,) Л ¡лу (г,)), где Л, V есть соответственно

взятие минимума и максимума на отрезке [0,1].

Для работы с нечеткой информацией важным является понятие а -уровневого множества возможностной величины.

Определение 1.10. Множеством а -уровня возможностной величины Z называется множество [z]a = {z е Ех \ (z) > а}, 0<а<\.

На практике для моделирования нечетких величин, как правило, используются распределения (L,R) - типа

Определение 1.15. Нечеткая величина Z называется величиной (L,R)-

типа, если ее распределение имеет вид:

1, т< z < т,

Здесь т, т имеют смысл границ интервала толерантности нечеткой величины Z , а с1_, (I есть левый и правый коэффициенты нечеткости соответственно. Тогда нечеткая величина может быть обозначена следующим образом 2 = {т,т,с1_,2){1Я).

В разделе 1.2 приводится понятие нечеткой случайной величины, описываются основные свойства и характеристики нечетких случайных величин.

Пусть (Q,В,Р) есть вероятностное пространство.

Определение 1.16. Нечеткая случайная величина (переменная) X есть вещественная функция Х(у): Q х Г ->Е\ такая, что при любом фиксированном у &Y, величина Ху = Х(со, у) является случайной величиной, определенной на

(П, ад-

Распределение нечеткой случайной величины можно рассматривать также, как и в случае нечеткой величины, а именно:

fix(x,co) = n{y еГ:Х(а>,у) = х}, \/хеЕ[ .

Определение 1.17. а - уровневым множеством нечеткой случайной величины при фиксированном со называется множество

При этом границы определенного а -уровневого множества являются случайными величинами: Х~(а), X* (а) .

Определение 1.18. Математическое ожидание нечеткой случайной величины есть нечеткая величина, такая что

[ЕХ(а)] = Е[Х(а)} = [ЕХ~(а),ЕХ+(а)], 0 < а < 1.

Определение 1.19. Ковариация нечетких случайных величин X и Y определяется следующим образом:

cov(X, Y)=l-\(со у(Х~(а), Y~ (а)) + со у(Х+ш(а), Y(¡ (a)))da • ^ о

Определение 1.20. Дисперсия нечеткой случайной величины X определяется следующим образом: DX = cov(X, X).

При практической работе с нечеткими случайными величинами ключевой задачей является экспликация комбинированного вида неопределенности, а именно, выделение нечеткой и случайной составляющей рассматриваемой величины. В разделе 1.3 проводится исследование модели нечеткой случайной величины, имеющей сдвиг-масштабное представление, разрабатываются формулы для оценки основных характеристик нечетких случайных величин с учетом разделения нечеткой и случайностной составляющей, осуществляется конкретизация формул для триангулярного класса возможностных распределений. Получены следующие результаты.

Лемма 1.4. Пусть Х{а,у)=а{со) + d{co) ■ Z(y), где a(oj), cI(új) - случайные

О J 0 2 _2

величины с математическими ожиданиями а , а и дисперсиями ста , <Jd соответственно, а(ы) и d{co) являются некоррелированными случайными величинами, Z(y) - нечеткая величина. Тогда Х(а>,у) является нечеткой

случайной величиной и имеет матема-тическое ожидание а" + с1° -I и дисперсию сг2а+о] -Г с возможностью Ц2 (?).

Лемма 1.5. Пусть Х1 (со,у) =а1 + <:/,• ^.(7), где аг с11 - случайные величины

с математическими ожиданиями я°, с1° и дисперсиями а] , а] соответственно,

/ = 1,2, Zx(у), 22(у) - минисвязанные нечеткие величины. Тогда ковариация

случайных величин Х['(со) и Х'22 (со) с возможностью тт{//2 (Г(.)|

исчисляется по формуле:

соу(х,'' (со), Х2- (со)) = соу(йг, , а2)+соу(я,, с12 )• г2 + + соу(я2, йх )• + со,с12 )• • . Лелша 1.7. Пусть ХДф,у)=а1+(1г11(у) , где а, , с11 - случайные величины, имеющие конечные моменты первого и второго порядка, (у) е Тр(£ + 77., + /7.,7]1,С,), / = 1,2. Тогда ковариация нечетких случайных величин Хх и X, определяется по формуле:

соу(Х1,Х,) = соу(а1,я1)+соу(а,,^)-(^, +-/7, + -СЛ +

- 4 - 4

+ соу(а2, </,)•(£, +|»7, + ^<1) + соу(</1,</,)•(£ +|/7,72 +

+ + + ^2 +^24",)•

В разделе 1.4 приводятся формулы для расчета моментов первого и второго порядка взвешенной суммы нечетких случайных величин, доказываются леммы, определяющие свойства числовых характеристик нечетких случайных величин.

Лемма 1.9. Пусть X(со,у) =а[ + с/;. • (у), где д., с1, - случайные величины, имеющие конечные моменты второго порядка и математические ожидания

п

, ¿¡(у) - взаимно минисвязанные нечеткие величины, ¿ = 1^п, ^и> =1. Тогда

/=1

с возможностью /лр({)= тт{//2 дисперсия взвешенной суммы нечетких случайных величин исчисляется по формуле:

1=1 ;=1

где Су = соу(а1, ау) + соу(аг, с1]) • /у +

+ соу(ау ,</,)• + соу(7/, , ) • /, • , /, _/ =

Лемма 1.10. Функция И' (ту) является выпуклой функцией относительно

переменных И>1,...,М>П.

Лемма 1.11. Функция 0'р(\\>) является выпуклой функцией относительно переменных

Вторая глава диссертации посвящена исследованию двумерной модели портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности.

В разделах 2.1, 2.2 приводится комплексный анализ классической двумерной модели портфеля ценных бумаг. Полученный анализ дополнен исследованием величины раствора параболы в зависимости от значений коэффициента корреляции.

В разделе 2.3 проведено обобщение двумерного портфеля ценных бумаг на случай нечетких случайных данных при ограничении по возможности на уровень доходности, построена соответствующая модель портфеля.

Формируемый инвестором портфель описывается парой: и'= (и',, и'2 )е IV,

где м?;, ¡ = 1,2 - веса финансовых активов в портфеле ценных бумаг, для

которых выполняется основное ограничение м?1+\У2=1.

Пусть доходности финансовых активов Ц(а>,у),1 = 1,2 моделируются нечеткими случайными величинами, имеющими сдвиг-масштабное представление: 7?,(й),у) =а1 (со) + с11 (со) ■ и1 (у) , где а,(й>) е Ыр(а°,иа ) , ¿¡¡(со) е ), Ыр - есть класс нормальных вероятностных распределений,

и (у) - нечеткая величина, г = 1,2 .

Тогда характеристики двумерного портфеля являются нечеткими случайными величинами и могут быть представлены следующим образом: ожидаемая доходность портфеля:

Л,(и>,у) = Е{11р{ъ',а,у))= • ЛДу) + п>2 ■ К2(у), где Ё,(у) = £(Л,.(ю,г)) ; риск портфеля:

ГрЫ = и>,2 ■ ) + п>; • ) + 2-п\ -нуСОУ(Д,,Я2),

Исследование модели проводится для случая, когда нечеткие факторы имеют нормированное симметричное триангулярное распределение, т.е.

Двумерная модель портфеля ценных бумаг исследуется при ограничении по возможности на уровень ожидаемой доходности:

їїі (у) є Тр(0,0,0.5,0.5), г = 1,2.

ур(V/) = и-,2 • £>(/?,) + ыг2-0(Я2) + 2■ И', -Н'2• соу(Л,,Л2), (1)

wi + w2=l.

В данной модели, а - заданный уровень возможности, ае(0,1], тл - уровень

доходности, приемлемый для инвестора (в общем случае параметр тс1 может

быть нечёткой случайной величиной).

Эквивалентный детерминированный аналог системы (1) имеет вид:

IV, • Л,"(а) + нч • ЛГ(«) ^ Щ,

Гр(IV) = и,2 • ) + • £)(Л2) + 2 • и-, -н-2• соу(Л,,К2),

+ И'з = 1,

где В* (а), / = 1,2 есть границы а - уровневых множеств

соответствующих нечетких случайных величин, моделирующих ожидаемую доходность 1-го финансового актива ./?,■ (у).

В разделе 2.4 на уровне эквивалентного детерминированного аналога проведено исследование влияния коэффициентов корреляции на множество инвестиционных возможностей в случае двумерной возможностно-необходимостной модели портфеля ценных бумаг; реализовано графическое представление результатов исследований.

Для исследования влияния коэффициентов корреляции на множество инвестиционных возможностей предлагается следующая схема:

1) определяется траектория движения вершины параболы в зависимости от значений коэффициентов корреляции и проводится её исследование;

2) определяется раствор параболы в зависимости от коэффициентов корреляции.

В итоге получено два множества «граничных» парабол {(пГ,,У~)\ и

{(т*,У*)} , где V~ и V* - есть а -уровневые дисперсии. На рисунке,

приведенном ниже (рис. 2.12), представлены «граничные» множества инвестиционных возможностей для модели по Блеху, соответствующие значениям корреляции е[—1,1].

V. \ 1 1 1 | ||

VI \Ц11 \М\ /

V. л V

Е, К,' я/ НГ

--------- Траектория движения вершины

- Кривая инвестиционных возможностей

Рис. 2.12. «Граничные» параболы множества инвестиционных возможностей для модели по Блеху при е[—1,1].

При рассмотрении квазиэффективных решений принимаем во внимание только правые ветви парабол. С возможностью а получаем коридор, который представляет множество квазиэффективных оценок инвестора. Вершины парабол, лежащие внутри полученного коридора, в зависимости от значений коэффициентов корреляции, перемещаются по гиперболе. При а —> 1 приходим, фактически, к классической модели портфельного анализа.

Для модели Марковица критериальные множества «граничных» кривых на плоскости (та,Ур) , СООТВеТСТВуЮЩИе Значениям ра,<ь ' ы]

представляют собой части парабол. Полученные множества квазиэффективных оценок представлены на рисунке 2.13.

Рис. 2.13. Множество квазиэффективных инвестиционных возможностей для модели по Марковицу при раа^,рц е[—1,1].

Таким образом, при крайних значениях коэффициентов корреляции инвестор может полностью элиминировать риск. Однако, если мы рассматриваем коэффициенты корреляции равные 1, элиминирование риска возможно только при разрешенных коротких продажах ценных бумаг. В случае, когда коэффициенты корреляции равны -1, инвестор может элиминировать риск как на коротких, так и на длинных позициях, что согласуется с результатами классической теории портфельного анализа.

В разделе 2.5 продемонстрировано влияние коэффициентов корреляции на множество решений инвестора для конкретных числовых данных: акции компаний Газпром и Норильский Никель. Осуществлена графическая визуализация полученных результатов.

Третья глава диссертации посвящена комплексному исследованию портфеля минимального риска в условиях неопределенности комбинированного типа.

В разделе 3.1 анализируется многомерный портфель ценных бумаг при ограничении по возможности на уровень ожидаемой доходности. В этом случае доходности финансовых активов моделируются нечеткими случайными величинами.

В разделе 3.2 проведен обзор существующих моделей и методов возможностной оптимизации, ориентированных на решение этой задачи при ограничении по возможности/необходимости на уровень ожидаемой доходности.

Модель портфеля минимального риска в нечёткой случайной среде при ограничении по возможности (необходимости) на уровень ожидаемой доходности может быть записана в следующей форме:

КДн>) тт,

<!>,=1, (2)

¡=1

>0,

В данной модели т е \л,У},Яд есть четкое бинарное отношение: е {<,=,>}.

Раздел 3.3 посвящен обобщению рассмотренной модели. В нём вводится модель портфеля минимального риска в нечёткой случайной среде при ограничении по возможности и вероятности на уровень доходности и предлагается метод решения сформулированной задачи, который основан на построении эквивалентных детерминированных аналогов.

Модель портфеля минимального риска в условиях нечётких случайных данных при ограничении по возможности (необходимости) / вероятности на уровень доходности, приемлемый для инвестора, имеет вид:

V (нО —» тт,

т{р{Яр^,со,у)Я0т,}> р}>а,

-2>,=1, (3)

¡=1

и<,,...,и<„ >0.

Здесь р - заданный уровень вероятности, р е (0,1].

При сделанных ранее предположениях относительно элементов задачи в диссертационной работе доказана следующая теорема.

Теорема 3.4. Пусть в модели (3) г ='л' , Я0 —>' ■ Тогда (3) имеет эквивалентный детерминированный аналог:

-¿^. = 1, (4)

¡=1

где ß есть решение уравнения Ф(/) = 1 - р0 , ф(;) - функция стандартного нормального распределения.

Здесь Rp(w) и Dp(w) - есть правые границы ожидаемой доходности и дисперсии портфеля при уровне возможности а , определяемые по формулам:

D;w = iic;-wrwj /=1 j=1

?

где с; = cov(a,. , а,.) + соv(a,., ) • и] (а) + cov(<t,. , ) •«/ (а) +

+ со\(<т1, (Jj) • и/ (а)-и; (а), «г (а),»/(«) есть левые и правые границы а - уровневых множеств соответствующих нечетких величин Zi (у).

В разделе 3.3 также исследуется модель портфеля минимального риска в условиях неопределенности комбинированного (гибридного) типа при ограничении по Блеху:

Vp(w) —> min,

II —

Для модели (5) доказана следующая теорема.

Теорема 3.6. Пусть и w' есть решения задачи (5) (Rn ='>', р0 >0,5) при md=md и md =md соответственно, причем mj > т\ ■ Тогда функция mmVp(w) является неубывающей по параметру md и Vp(ni) > Vp(wl) ■

В разделе 3.4 проведено исследование влияния уровня вероятности на множество инвестиционных возможностей для возможностно-вероятностной модели при уровне возможности а = 0.5.

Обозначим через Х^5(р0) множество решений задачи (5) для отношения типа Rq ='>' и уровня возможности а = 0.5 .

При сделанных предположениях и обозначениях в диссертационной работе доказана теорема.

Теорема 3.7. Пусть < А<2>. Тогда X°t5 (pf) с X™ (р^).

Раздел 3.5 посвящен исследованию влияния уровня возможности на множество допустимых и квазиэффективных решений для возможностной модели портфеля минимального риска.

Рассматривается возможностиая модель портфеля минимального риска при ограничении по Блеху. Множество допустимых и квазиэффективных решений

рассматриваемой задачи обозначим через Х"(0.5) . При сделанных

предположениях и обозначениях в диссертационной работе доказана теорема.

Теорема 3.8. Пусть 0 < а(1) < а(2) < 1, тогда X(0.5) є X(0.5).

Таким образом, при увеличении уровня возможности а вершины парабол, ограничивающие инвестиционные возможности, смещаются влево, а сами параболы сближаются, то есть коридор, представляющий множество квазиэффективных оценок портфеля сужается. Результат исследований в пространстве (тс1, V) представлен на рисунке 3.4.

Рис. 3.4. Инвестиционные возможности в контексте «возможность/необходимость» при уровне возможности а є [0,1] .

Четвертая глава посвящена созданию программного комплекса поддержки принятия инвестиционных решений на основе разработанных в диссертации методов портфельного анализа в условиях гибридной неопределенности.

В разделе 4.1 представлены цели разработки программного комплекса и его общее описание, обоснована актуальность его разработки. Целью разработки было создание программного комплекса поддержки принятия инвестиционных решений, позволяющего проводить оперативную интеллектуальную обработку ретро-данных о продажах активов, строить модели принятия решений в условиях гибридной неопределённости и получать объективную информацию о множестве инвестиционных возможностей и множестве эффективных портфелей, обеспечивающих минимальный риск при различных уровнях доходности инвестиционного портфеля.

В разделе 4.2 приводится структура программного комплекса, подробно описываются общие схемы работы каждого из модулей программного комплекса.

Структура разработанного программного комплекса поддержки принятия решений представлена на рисунке 4.1.

О

Модуль ввода и обработки исходных данных

•С-

Модуль интеллектуального анализа данных

Модуль построения возможностно-вероятностной модели портфеля минимального риска

Модуль инвестиционных возможностей

Модуль визуализации данных

Рис. 4.1. Структура программного комплекса поддержки принятия решений в условиях гибридной неопределенности.

Функциональные возможности программного комплекса

продемонстрированы на базе реальной текущей информации о ценах финансовых инструментов на фондовом рынке в разделе 4.3. В рамках данного раздела осуществлено тестирование и проверка работоспособности программного комплекса путем сравнения результатов расчетов, проведенных аналитически с последующим применением системы Мар1е и результатов, полученных с использованием разработанной компьютерной модели.

В разделе 4.4 приводятся результаты решения модельного примера, полученные с использованием разработанного программного комплекса.

Предполагается, что инвестор может вкладывать деньги в ценные бумаги следующих трех компаний: ОАО «Автоваз», ОАО «Газпром» и ОАО «Мосэнерго».

Для построения множества квазиэффективных оценок портфелей решается соответствующая задача возможностно-вероятностной оптимизации со следующими параметрами:

уровень возможности а — 0.6;

уровень вероятности р = 0.7.

На рынке разрешены короткие продажи (т.е. исследуется модель ограничений по Блеху).

Процесс решения данной задачи представлен на рисунках 4.18-4.21.

И*т*лл» »1

'далне гра*»» и

Оптимизационная модель

Клаес модели

с во>можностная модель • яотможностно вероятностная модель

Параметры модели вровень возможности! а = 0.6 уровень вероятности: р = ¡07

Тим модели (• модель ио Блеху с модель по Марковнил

о 4

Ценные бумаги

А\А7.

X:

■\ISNG

Рис. 4.18. Ввод исходных данных

|пМкШ*1 РоШоНо МсхЗс!

Случайностная составляющая

Математические ожидания:

■00503! 9 438

«0934 5.5011

Ковариационная .матрица:

•1 «2 «3 (11 <52 <13

«1 $8387 22713 2354 31181 ■05423 •03334

<2 22718 3.2588 2Э696 0 3404 04161 «1896

«3 2354 23693 3689$ ■15437 ■0.8799 01888

а\ 31181 0340« ■1 5437 39052 8.5679 145342

02 ■05423 <0.4161 •0.8799 85673 6.9284 66366

аз <13334 ■0.189$ •01888 145342 66366 17.3419

~Ж1

Нечеткая составляющая Нечеткие параметры:

X

I

-04935 04938

04935 04938

Нечеткая составляющая при а. = 0.6

■019$ ■0.1974 ■0.1975

0204 02026 0 2025

Рис. 4.19. Результаты интеллектуальной обработки данных

втіилії м<м | Ппг««*^-«

«Г!

Л (иО = мСпт -> шіп к

v[/Л/+Д)л/ïvC!V >

Л^г=1__з

/ Я Чу ' + > т.,

I с\У' = 1

Параметры Ачя расчета

риска

АУА/ ЬКГР М5Ий

АУА/ >01569 2985? ЗЯИ

6АЭ» 29857 ЗЮ1в 291»

М5НЬ 35566 29)9) 5133«

Ограничение 1

лудг | 6А2Р I м

с-

АУА/ КА/Р М5МГ,

АУА/ 71763 26433 128«

йАЛ" 26*33 1694 2 8396

М5Мй )ЛІ9 28Ї36 44408

АУА/ СА/Р М5НО

АУА/ 9797 2«Я 25П9

САЛ> 2*Є53 3 37Х 2*252

М'.нг. 25719 24252 «32«

Рис. 4.20. Результаты оценки параметров возможностно-вероятностной модели портфеля минимального риска.

Рис. 4.21. Множество квазиэффективных инвестиционных возможностей

Основные результаты. В ходе решения поставленных в диссертационной работе задач были достигнуты следующие результаты:

1. разработано исчисление характеристик нечетких случайных величин с учетом сдвиг-масштабной экспликации неопределенности комбинированного типа;

2. построена обобщённая возможностно-вероятностная модель портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности при ограничении по возможности/необходимости и вероятности на уровень доходности;

3. установлена взаимосвязь полученной модели с моделью портфеля минимального риска при ограничении по возможности/необходимости на уровень ожидаемой доходности;

4. разработан непрямой метод решения задачи возможностно-вероятностной оптимизации, основанный на построении эквивалентных детерминированных аналогов;

5. проведено комплексное исследование возможностно-вероятностной модели портфеля минимального риска на уровне эквивалентного детерминированного аналога для различных значений уровней возможности, вероятности и коэффициентов корреляции;

6. реализован программный комплекс поддержки принятия решений, основанный на разработанных методах портфельного анализа в условиях гибридной неопределенности, который является практическим инструментом инвестора при оценке эффективности портфелей ценных бумаг.

Результаты диссертационной работы позволяют не только расширить теоретическую базу оснований теории возможностей, портфельного анализа и непрямых методов решения оптимизационных задач в условиях неопределенности гибридного типа, но также предоставляют инструментарий для исследования практических задач, решаемых в рамках возможностно-вероятностного программирования.

Публикации автора по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАК.

1. Язенин A.B., Шефова H.A. Об одной возможностно-вероятностной модели портфеля минимального риска // Вестник Тверского государственного университета, серия «Прикладная математика». - Тверь, №14, выпуск 2(17), 2010, с. 85 -95.

2. Шефова H.A., Язенин A.B. Модель портфеля минимального риска в условиях неопределенности комбинированного типа // Вестник Тверского государственного университета, серия «Прикладная математика». - Тверь, №8, выпуск 1 (20), 2011, с. 89 -103.

Прочие публикации автора по теме диссертации.

3. A.Yazenin, N. Shefova, М.Wagenknecht. Possibilistic-Probablistic Models of Minimal Risk Portfolio: Comparison Study // Proceedings of 17th Zittau Fuzzy Colloquium. - Germany, 2010, pp. 155-164.

4. Шефова H.A., Язенин A.B. Оптимизация инвестиционного портфеля в нечеткой случайной среде // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании: Материалы Второй Российской школы-конференции с международным участием для молодых учёных: статьи, обзоры, тезисы докладов. - Тверь: Твер.гос.ун-т, 2010, с. 333-339.

5. Шефова H.A. Исследование портфеля ценных бумаг в условиях неопределенности комбинированного типа. Факторы развития экономики России: Материалы Международной научно-практической конференции, 2021 апреля 2011года. г.Тверь. - Тверь: Твер.гос.ун-т, 2011, с.145-147.

6. Шефова H.A., Язенин A.B. Исследование двумерной модели портфеля ценных бумаг в условиях гибридной неопределенности // Нечеткие системы и мягкие вычисления. - Тверь: ТвГУ, 2011, том 6, №2, 2011, с. 123-143.

7. Шефова H.A. Программный комплекс поддержки моделей и методов принятия инвестиционных решений в условиях гибридной неопределенности. - Методические рекомендации для студентов факультета прикладной математики и кибернетики. - Тверь: ТвГУ, 2012, 24 с.

Технический редактор A.B. Жильцов Подписано в печать 10.10.2012. Формат 60 х 80 '/16. Бумага типографская № 1. Печать офсетная. Усл.печ.л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 501. Тверской государственный университет. Редакционно-издательское управление. Адрес: Россия, 170000, г.Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (4822) 42-60-63.

Введение.

ГЛАВА 1. Разработка исчисления нечетких случайных величин для решения задач портфельного анализа.

1.1. Основные понятия теории возможностей.

1.1.1. Возможностное пространство и его свойства.

1.1.2. Определение и свойства нечеткой случайной величины.

1.1.3. Агрегирование и обработка нечеткой информации.

1.1.4. Классы параметризованных распределений.

1.2. Нечеткая случайная величина и её характеристики.

1.3. Расчет числовых характеристик нечетких случайных величин в классах параметризованных распределений.

1.4. Числовые характеристики взвешенной суммы нечетких случайных величин.

1.5. Выводы по первой главе диссертации.

ГЛАВА 2. Исследование двумерной модели портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности.

2.1. Двумерный портфель ценных бумаг.

2.2. Влияние коэффициента корреляции на множество инвестиционных возможностей для двумерного портфеля ценных бумаг.

2.3. Двумерный портфель ценных бумаг в нечеткой случайной среде.

2.4. Исследование влияния коэффициентов корреляции на множество инвестиционных возможностей в случае двумерной возможностно-необходимостной модели портфеля.

2.5. Демонстрация влияния коэффициентов корреляции на множество инвестиционных возможностей при реальных числовых данных.

2.6. Выводы по второй главе диссертации.

ГЛАВА 3. Исследование возможностно-вероятностной модели портфеля минимального риска.

3.1. Портфель ценных бумаг.

3.2. Модель портфеля минимального риска при ограничении по возможности (необходимости) на уровень ожидаемой доходности.

3.3. Модель портфеля минимального риска в нечёткой случайной среде при ограничении по возможности (необходимости) и вероятности на уровень доходности.

3.4. Исследование поведения множества инвестиционных возможностей в зависимости от уровня вероятности.

3.5. Исследование поведения множества инвестиционных возможностей в зависимости от уровня возможности.

3.6. Выводы по третьей главе диссертации.

ГЛАВА 4. Система поддержки принятия инвестиционных решений в условиях гибридной неопределенности и модельные расчеты.

4.1. Основные положения.

4.2. Архитектура программного комплекса.

4.2.1. Модуль ввода и обработки исходных данных.

4.2.2. Модуль интеллектуального анализа данных.

4.2.3. Модуль построения возможностно-вероятностной модели портфеля минимального риска.

4.2.4. Модуль инвестиционных возможностей.

4.2.5. Модуль визуализации данных.

4.3. Модельный пример построения множества инвестиционных возможностей в нечеткой случайной среде с применением методики интеллектуального анализа данных.

4.4. Модельные расчеты.

4.4.1. Задача возможностно-вероятностной оптимизации при ограничении по Блеху.

4.4.2. Задача возможностной оптимизации при ограничении по Марковичу.

4.4.3. Задача возможностно-вероятностной оптимизации при ограничении по Марковичу.

4.5. Выводы по четвертой главе диссертации.

Актуальность

На фоне стремительного развития экономики и постоянно повышающегося интереса к фондовому рынку особую актуальность приобрела проблема оптимизации фондовых портфелей и прогнозирования фондовых индексов. В условиях участившихся кризисов, принесших за последние два десятилетия миллиарды убытков инвесторам по всему миру, появилась необходимость в ревизии существующих методов фондового менеджмента и последующей модернизации моделей и методов портфельной оптимизации.

Задача выбора оптимальной структуры портфеля ценных бумаг была впервые комплексно изучена Г. Марковичем в 1952 году [90]. Предложенная им методика и модель портфельной оптимизации, основанные на понятии ожидаемой доходности и риска ценных бумаг, стала ядром исследований и основой развития современной теории принятия инвестиционных решений.

Однако на фондовый рынок оказывает влияние не только внешняя среда, но и экспертные прогнозы, что совместно с ограниченной способностью инвестора распознавать и прогнозировать состояния фондового рынка, порождает фактор субъективной неопределенности. В результате рыночная неопределенность не обладает только классически понимаемой стохастической природой, а носит комбинированный (гибридный) характер, что ставит под сомнение возможность применения чисто классических методов теории вероятностей при построении инвестиционного портфеля.

В итоге, инвестор, отказываясь от классического вероятностного подхода, вынужден применять для анализа и прогнозирования состояния рыночной среды экспертные, минимаксные и другие детерминистские подходы, которые не в состоянии учитывать неопределенность фондовых рынков надлежащим образом.

В XX веке произошла революция, в результате которой наука вышла за пределы привычной двоичной логики и начала оперировать нечеткими понятиями. Основоположником данного направления около полувека назад стал профессор Калифорнийского университета Лотфи А. Заде, который выдвинул гипотезу о том, что «человек мыслит не числами, а нечеткими понятиями». Теория нечетких множеств нашла свое применение во многих отраслях знаний, таких как философия, психология, лингвистика и т.д. Более того, эта относительно молодая теория нашла практическое приложение при создании технологий нового поколения, обладающих искусственным интеллектом, начиная от бытовых приборов и компьютерных технологий и заканчивая системами управления сложными промышленными процессами.

Использование достижений теории нечетких множеств и теории возможностей в экономических исследованиях открыло новые горизонты для развития моделей и методов оптимизации инвестиционных портфелей ценных бумаг и прогнозирования фондовых индексов. Это позволяет более адекватно учитывать при моделировании неопределенности присущие знаниям эксперта проблемы и строить множества квазиэффективных (эффективных с заданной возможностью/необходимостью и вероятностью) оценок инвестиционных возможностей.

Для широкого применения данного подхода необходимо дальнейшее развитие моделей, позволяющих комбинированный гибридный) типы неопределенности, обоснование соответствующих принципов принятия решений и методов оптимизации. Более того, на сегодняшний день существует необходимость создания соответствующего программного обеспечения, которое позволит оперативно обрабатывать большие объемы данных и выдавать объективные рекомендации для принятия решений инвестором.

Ввиду этого диссертационная работа, направленная на разработку моделей и методов отыскания квазиэффективных (эффективных с некоторой возможностью и вероятностью) портфелей в условиях неопределенности комбинированного типа, является актуальной.

Обзор литературы

Впервые теория нечетких множеств была предложена профессором Калифорнийского университета Беркли Лотфи А. Заде. Его работа «Fuzzy sets» [112], появившаяся в 1965 году, заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и явилась начальным толчком к развитию новой математической теории.

JI. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция может принимать не только значения 0 либо 1, но и любые значения в интервале [0, 1 ], характеризуя таким образом степень принадлежности элемента нечеткому множеству. Впоследствии диапазон применимости теории нечетких множеств существенно расширился. Сам JI. Заде определил нечеткие множества как основу для построения теории возможностей [113]. С тех пор научные категории случайности и возможности получили теоретическое разграничение.

Следующим достижением теории нечетких множеств является введение понятия нечеткой переменной, которое в дальнейшем трансформировалось в такое важное понятие как возможностная (нечеткая) величина. Данное понятие в 1978 году ввел Стефан Намиас в своей работе «Fuzzy variables» [92], где, наряду с JI. Заде [113], заложил «аксиоматическую базу, являющуюся основой для построения строгой теории возможностей». Также в этой основополагающей статье Намиас ввел понятие несвязанности нечетких величин и аксиоматически определил бинарные операции над несвязанными нечеткими величинами, тем самым заложив теоретические основы современного исчисления возможностей. i >

Исследования несвязанных (или минисвязанных) нечетких случайных величин были опубликованы также в совместной работе Pao и Рашеда [97]. Фундаментальные исследования в области операций над нечеткими числами были предприняты Д. Дюбуа и Г. Прадом [71], Р. Фуллером [73], X. Нгуеном [95]. С введением нечетких величин оказалось возможным прогнозировать будущие значения параметров, которые ожидаемо меняются в установленном расчетном диапазоне.

В дальнейшем была установлена взаимосвязь теории нечетких множеств и теории вероятностей, рядом авторов было введено понятие нечеткой случайной величины: Г. Квакернаком в статье «Fuzzy random variables - 1. Definitions and theorems» [83], Р.Крузе в работе «Foundations of Fuzzy Systems» [82]. Различные подходы к определению и исследованию нечетких случайных величин представлены в работах М. Пури и Д. Ралеску [96], Ю. Фенга [72], и A.B. Язенина [107]. В работах ученых особое внимание уделялось получению характеристик нечетких случайных величин, и, в частности, расчету моментов второго порядка. Было предложено два альтернативных способа расчета дисперсии и ковариации нечетких случайных величин. Первый способ предполагал, что моменты второго порядка являются нечеткими. Данный подход был заложен в работах М.Ю. Хохлова и A.B. Язенина [49, 50] и был использован в работах И.А. Язенина [64-67] применительно к портфельной теории. Другой способ основан на предположении, что моменты второго порядка являются четкими величинами. Основоположником данного подхода является Ю. Фенг [72]. Данный способ расчета моментов второго порядка нашел свое применение как в работах A.B. Язенина и E.H. Гришиной [10, 74-77], так и в рамках данного диссертационного исследования.

Первой работой в области нечеткой оптимизации стала работа Р. Беллмана и JT. Заде «Decision making in fuzzy environment» [68]. Значительную роль в развитии данного направления сыграли работы Г. Циммермана [114], X. Танака [103], М. Луханджулы [85-87], Д. Дюбуа и А. Прада [11], Дж. Бакли [69, 70], С.А. Орловского [37], Р. Фуллера [48], Дж. Рамика [98], A.B. Язенина и М.Вагенкнехта [105, 107].

Интерпретация функции принадлежности как распределения возможностной величины, позволила сформировать новое научное направление: возможностная оптимизация. Развитию этого научного направления посвящены работы A.B. Язенина [57], Дж. Бакли [69, 70]. Непрямые методы возможностной оптимизации были получены A.B. Язениным в работах [57-62, 106, 108, 110], а также в совместных с М.Вагенкнехтом работах [105, 107]. Эти методы основаны на построении эквивалентных детерминированных аналогов исходных задач.

На базе возможностно-вероятностных величин получили развитие теории и методы оптимизации при гибридной неопределенности. В данном направлении фундаментальные исследования велись М. Луханджулой [88] и A.B. Язениным [62]. Полученные A.B. Язениным результаты были успешно применены Е.Н.Гришиной [10, 74-77] для решения задач портфельной оптимизации, когда неопределенность нечеткого типа моделировалась как возможность. В рамках решаемых задач доходности финансовых активов моделировались нечеткими случайными величинами, имеющими сдвиг-масштабное распределение. Однако при расчете числовых характеристик и построении моделей возможностной оптимизации разделения нечеткой и случайной составляющей не велось.

Цель работы

Целью диссертационной работы является исследование и развитие математического аппарата обработки нечеткой случайной информации в контексте портфельной теории, разработка моделей и методов возможностно-вероятностной оптимизации, ориентированных на поддержку принятия инвестиционных решений в условиях неопределенности комбинированного (гибридного) типа.

Основные задачи

Для достижения целей диссертационной работы решаются следующие задачи: разработка исчисления характеристик нечетких случайных величин с учетом сдвиг-масштабной экспликации неопределенности комбинированного типа; теоретическое обоснование и построение обобщённых возможностно-вероятностных моделей портфеля минимального риска при ограничении по возможности и вероятности на уровень ожидаемой доходности; разработка непрямых методов решения сформулированных задач возможностно-вероятностной оптимизации; исследование влияния взаимосвязи между нечеткими случайными переменными на степень диверсификации портфеля; обоснование влияния уровня возможности и вероятности на множество инвестиционных возможностей участников рынка; разработка архитектуры и реализация программного комплекса поддержки принятия решений для задач портфельной оптимизации в рамках возможностно-вероятностного подхода.

Методика исследования

Для формализованного описания проблемы принятия решений в нечеткой случайной среде используется математический аппарат современной теории возможностей, нечеткой случайной переменной и теории вероятностей. Построение эквивалентных детерминированных аналогов поставленных задач базируется на методах возможностной оптимизации, математического программирования, математического и функционального анализа. Методологическую основу исследования составляют современная портфельная теория и базовые принципы принятия инвестиционных решений. Разработка программного комплекса выполнена на языке высокого уровня Borland Delphi.

Теоретическая и практическая значимость работы

Разработанные в диссертации модели принятия инвестиционных решений в условиях неопределенности комбинированного типа дополняют современную теорию портфельного анализа. Представленное в работе исследование влияния параметров модели на множество инвестиционных возможностей позволяет проводить сравнительное изучение разработанных моделей и методов принятия решений при различных уровнях возможности и вероятности. Полученные в работе методы могут быть использованы для «интеллектуального» анализа фондовых индексов. Разработанная на базе диссертационного исследования система поддержки принятия решений может быть применена для практического решения задач портфельного анализа в режиме реального времени.

Внедрение результатов

Проведенные научные исследования поддержаны грантом РФФИ: проект №10-01-00052а «Модели и методы оптимизации и принятия решений при гибридной неопределенности» и проектом №01201168129 «Разработка математических моделей и методов возможностно-вероятностного программирования и их реализация в прикладных программных системах». Результаты диссертации внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета. Кроме того, с целью овладения практическими навыками анализа и оценки информации в условиях неопределенности комбинированного типа на базе теоретических знаний, получаемых в рамках курсов «Теория неопределенностей» и «Неклассические логики», разработаны «Методические рекомендации по использованию программного комплекса поддержки моделей и методов принятия инвестиционных решений в условиях гибридной неопределенности».

Апробация

Основные результаты исследования были представлены на 17-м Международном коллоквиуме (Zittau East-West Fuzzy Colloquium 2010, Циттау, Германия) и на конференции с международным участием для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, 2010), международной научно-практической конференции «Факторы развития экономики России» (Тверь, 2011), , а также на семинарах в Тверском государственном университете. Кроме того, на базе полученных в рамках диссертационного исследования результатов были разработаны и внедрены в учебный процесс методические рекомендации по использованию программного комплекса поддержки моделей и методов принятия инвестиционных решений в условиях гибридной неопределенности, предназначенные для студентов факультета прикладной математики и кибернетики.

Структура работы и ее содержание

Диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения и библиографии.

4.5. Выводы по четвертой главе диссертации

Четвертая глава посвящена созданию программного комплекса поддержки принятия инвестиционных на основе разработанных в диссертации методов портфельного анализа в условиях гибридной неопределенности. В четвертой главе представлены следующие результаты:

1. Представлены цели и общее описание разработанного программного комплекса, обоснована актуальность его разработки.

2. Разработана архитектура программного комплекса, описаны общие схемы работы каждого из модулей программного комплекса.

3. Осуществлено тестирование и проверка работоспособности программного комплекса путем сравнения результатов расчетов, проведенных аналитически с последующим применением системы Maple и результатов, полученных с использованием разработанной компьютерной модели.

4. Проведены модельные расчеты с использованием информации о ценах финансовых активов для различных вариантов формирования инвестиционного портфеля.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках диссертационного исследования получила развитие проблема возможностно-веротностной оптимизации. Наряду с обоснованием существующих моделей возможностно-вероятностной оптимизации в диссертационный работе были рассмотрены вопросы представления и агрегирования комбинированной (гибридной) неопределенности возможностно-вероятностного типа. Разработанные в исследовании модели и методы возможностно-вероятностного программирования были реализованы и протестированы в рамках программного комплекса поддержки принятия решений, предназначенного для оценки эффективности инвестиционных возможностей при решении задач портфельного анализа.

Таким образом, в качестве основных результатов диссертационной работы можно выделить следующие:

1) разработано исчисление характеристик нечетких случайных величин с учетом сдвиг-масштабной экспликации неопределенности комбинированного (гибридного) типа;

2) построена обобщённая возможностно-вероятностная модель портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности при ограничении по возможности/необходимости и вероятности на уровень доходности;

3) установлена взаимосвязь полученной модели с моделью портфеля минимального риска при ограничении по возможности/необходимости на уровень ожидаемой доходности;

4) разработан непрямой метод решения задачи возможностно-вероятностной оптимизации, основанный на построении эквивалентных детерминированных аналогов;

5) проведено комплексное исследование возможностно-вероятностной модели портфеля минимального риска на уровне эквивалентного детерминированного аналога для различных значений параметров, а именно: исследовано влияние уровня вероятности на множество инвестиционных возможностей для возможностно-вероятностной модели при уровне возможности а = 0.5 ; изучено влияние уровня возможности на множество допустимых и эффективных решений для возможностной модели портфеля минимального риска; обосновано влияние коэффициентов корреляции на множество инвестиционных возможностей в случае двумерной возможностно-необходимостной модели портфеля ценных бумаг, установлено, что полученные результаты согласуются с классическими;

6) реализован программный комплекс поддержки принятия решений, основанный на разработанных методах портфельного анализа в условиях гибридной неопределенности, который является практическим инструментом инвестора при оценке эффективности портфелей ценных бумаг.

Результаты диссертационной работы позволяют не только расширить теоретическую базу оснований теории возможностей, портфельного анализа и непрямых методов решения оптимизационных задач в условиях неопределенности гибридного типа, но также предоставляют инструментарий для исследования практических задач, решаемых в рамках возможностно-вероятностного программирования.

В плане дальнейших исследований проблемы возможностно-вероятностной оптимизации можно выделить два основных направления. Во-первых, представляется важным провести обобщение построенной модели на случай, когда моменты второго порядка нечетких случайных величин определяются в нечеткой форме. Во-вторых, возможно развитие модели для ситуации, когда агрегирование возможностной информации осуществляется на основе слабой 1:-нормы, описывающей взаимодействие нечётких факторов.

147

1. Ашманов С. А. Линейное программирование — М.: Наука, 1981.

2. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.

3. Барбаумов В.Е. Финансовые инвестиции / В.Е.Барбаумов, И.М.Гладких, А.С.Чуйко. М.: Финансы и статистика, 2003. - 542 с.

4. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. М. : НТО им. академика С.И. Вавилова, 2008. -418 с.

5. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

6. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Факториал, 1998.

7. Гибсон Р., Формирование инвестиционного портфеля: управление финансовыми рисками, «Альпина», 2005.

8. Гордеев Р. Н. К задаче максимизации необходимости нечеткой цели // Вестник, ТвГУ. Сер. прикладная математика 2005 - №6 - с. 100107

9. Гордеев Р. //. Язенин А. В. Метод решения одной задачи возможностного программирования // Известия РАН. Теория и системы управления 2006 - №3 - с.121-128

10. Гришина E.H. Об одном подходе к определению и расчету числовых характеристик нечетких случайных величин, Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация. ТвГУ, Тверь, 2004. с.39-45.

11. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. М.: Радио и связь, 1990.

12. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

13. Ермольев Ю. М. Методы стохастического программирования — М.: Наука, 1976.-240 с.

14. Заде JI.A. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

15. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1980.

16. Касимов Ю.Р. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. М.: Филинъ, 1998. - 144 с.

17. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М: Наука, 1974.

18. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г.Корн, Т.Корн.-М.:Наука, 1970.-720 с.:ил.

19. Кофман А. Введение в теорию нечетких подмножеств: Пер. с франц. М.: Радио и связь, 1982.-432 е.: ил.

20. Крушвиц JI. Инвестиционные расчеты СПб: Питер, 2001 - 432 е.: ил.

21. Линейное и нелинейное программирование. / И.Н. Ляшенко, Е.А. Карагодова, Н.В. Черникова и др. Киев: Издательское объединение «Вища школа», 1975. - 372 с.

22. Малыхин В.И. Финансовая математика. М: Юнити, 2000.

23. Мину М. Математическое программирование. М.: Наука, 1990.

24. Мищенко A.B. Оптимизационная модель формирования инвестиционного портфеля // Финансовый менеджмент. 2005, -№5. - с.80-88.

25. Моисеев H.H., Иванилов Ю.П., Столярова E.H. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.

26. Молодцов Д.А. Устойчивость принципов оптимальности. М.: Наука, 1987.

27. Муртаф М. Современное линейное программирование. М.: Мир, 1984.

28. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. / А.Н. Аверкин, И.З. Батыршин, А.Ф. Блишун и др.; под ред. Д.А. Поспелова. М.: Наука, 1986. - 312 с.

29. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения: Пер. с англ./Под ред. Р.Р.Ягера; пер. с англ. В.Б. Кузьмина под ред. Травкина С.И.-М.: Радио и связь, 1986. 408 е.: ил.

30. Новикова В.Н., Турлаков А.П. Задача максимизации возможности достижения нечеткой случайной цели // Вестник Тверского государственного университета/ Сер. Прикладная математика 2009 №17 - с. 79-95.

31. Новикова В.Н. О методе решения одной задачи возможностно-вероятностной оптимизации // Вестник Тверского государственного университета/ Сер. Прикладная математика — 2010 —№16 —с. 95-110.

32. Новикова В.Н., Язенин A.B. Прямой метод решения одной задачи возможностно-вероятностного программирования // Труды Всероссийской научной конференции «Нечеткие системы и мягкие вычисления» — Тверь, М.: Физматлит, 2006, с. 132-139.

33. Новикова В.Н. О методе решения одной задачи возможностно-вероятностного программированя // Нечеткие системы и мягкие вычисления, ТвГУ — Том 2, № — 2007 — с.73-82.

34. Новикова В.Н. Нечеткая стохастическая транспортная задача // Нечеткие системы и мягкие вычисления, ТвГУ — Том 4, №1 — 2009 с.63-73.

35. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений / А.Н.Борисов, А.В.Алексеев, Г.В.Меркурьева и др. М.: Радио и связь, 1989.-304 е.: ил.

36. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. М.: Наука, 1979.

37. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981.

38. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.

39. Рыбкин В.А., Язенин A.B. О сильной устойчивости в задачах возможностной оптимизации // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. № 2. С. 90-95.

40. Рыбкин В.А., Язенин A.B. Возможностная регуляризация задач линейного программирования // Известия РАН. Теория и системы управления. 2003. №3. С. 80-89.

41. Солдатенко И.С., Язенин A.B. Задача возможностной оптимизации с взаимно t-связанными параметрами: сравнительное изучение, Известия РАН. Теория и системы управления, 2008, № 5, с.87-98.

42. Сорокин C.B., Язенин A.B. Система поддержки принятия решений на базе моделей и методов возможностной оптимизации // Программные продукты и системы. 2000, №2, с. 9-13.

43. Сорокин C.B. Методические рекомендации по использованию программной системы поддержки моделей и методов возможностной оптимизации. Учебно-методическое пособие. Тверь: ТвГУ. 2004. 23 с.

44. Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.

45. Тихонов А.Н. О некорректных задачах оптимального планирования//ЖВМиМФ. 1966. Т. 6. № 1. С. 81-89.

46. Трухаев Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенности. М.: Наука, 1981.

47. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979.

48. Фуллер Р. Исследование некоторых классов нечетких линейных задач. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва, 1987.

49. Хохлов М.Ю. Нечеткие случайные величины и их числовые характеристики // Методы и алгоритмы исследования задач оптимального управления. Тверь, 2000.

50. Хохлов М.Ю., Язенин A.B. Расчет числовых характеристик нечетких случайных величин // Вестник ТвГУ, №2, Серия «Прикладная математика», выпуск 1, 2003г., с.39-43.

51. ЧубуковаИ.А. Data Mining: учебное пособие. М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, ИНТУИТ.РУ. 2006.

52. Шарп У.Ф. Инвестиции // У. Ф. Шарп, Г. Дж. Александер, Дж. В. Бэйли. М.: Инфра-М, 2001 г. 1035 с.

53. Шефова H.A., Язенин A.B. Исследование двумерной модели портфеля ценных бумаг в условиях гибридной неопределенности // Нечеткие системы и мягкие вычисления. Тверь: ТвГУ, 2011, том 6, №2, 2011, с. 123-143.

54. Шефова H.A., Язенин A.B. Модель портфеля минимального риска в условиях неопределенности комбинированного типа // Вестник Тверского государственного университета, №8. Серия «Прикладная математика», выпуск 1(20), 2011 г., с.89 -103.

55. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981.

56. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. М.: Советское радио, 1974.

57. Язенин A.B. Нечеткое математическое программирование. Калинин, 1986. 60 с.

58. Язенин A.B. Линейное программирование со случайными нечеткими данными // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1991. № 3. С. 52-58.

59. Язенин А. В. Возможностное и интервальное линейное программирование // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1993. № 5. с. 149-155.

60. Язенин A.B. Методы оптимизации и принятия решений при нечетких данных. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Тверь, 1995.

61. Язенин A.B. К задаче максимизации возможности достижения нечеткой цели // Изв. АН СССР. Теория и системы управления. 1999. №4. С.120-123.

62. Язенин A.B. О методе решения одной задачи линейного программирования со случайными нечеткими данными, Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. №5, с. 91-95.

63. Язенин A.B., Шефова H.A. Об одной возможностно-вероятностной модели портфеля минимального риска // Вестник Тверского государственного университета, №14. Серия «Прикладная математика», выпуск 2 (17), 2010 г., с. 85 95.

64. Язенин И.А. Портфели минимального риска и максимальной эффективности в условиях нечетких случайных данных //Сложные системы: моделирование и оптимизация, Тверь, ТвГУ, 2001 г. с. 59-63.

65. Язенин И.А. О методах оптимизации инвестиционного портфеля в нечеткой случайной среде, Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация, Тверь, ТвГУ, 2002 г. -с. 130-135.

66. Язенин И.А. Об одной модели оптимизации инвестиционного портфеля, Вестник Тверского государственного университета, №2. Серия «Прикладная математика», выпуск 1, 2003 г. с. 102105.

67. Язенин И.А., Хохлов Ю.С. Меры возможности и необходимости в портфельном анализе //Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация. Тверь. ТвГУ. 2004. Вып.2. С.32-38.

68. Bellman R., Zadeh L.A. Decision making in a fuzzy environment//Management Science. 1970. №17. P. 141-164.

69. Buckley J.J. Possibility and necessity in optimization // Fuzzy Sets and Systems. 1988. №25. P. 1-13.

70. Buckley J.J. Possibilistic linear programming with triangular fuzzy numbers // Fuzzy Sets and Systems. 1988. №26. P. 135-138.

71. Dubois D., Prade H. Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications. New York:Academic Press, 1980.

72. Y.Feng, L.Hu, H.Shu, The variance and covariance of fuzzy random variables and their applications //Fuzzy Sets and Systems, 2001, pp. 487-497.

73. R. Fuller and T. Keresztfalvi. On generalization of Nguyen's theorem // Fuzzy Sets and Systems. 1991. №41. pp. 371-374.

74. Grishina E.N. On One Method of Portfolio Optimization with Fuzzy Random Data //Proceedings of International Conference on Fuzzy Sets and Soft Computing in Economics and Finance. Saint-Petersburg, Russia. 2004. pp.493-498.

75. Grishina E.N., Yazenin A.V. About one approach to portfolio optimization //Proceedings of 11 Zittau Fuzzy Colloquium, Zittau, Germany, 2004, pp.219-226.

76. Grishina E.N., Yazenin A.V. Bivariate Portfolio with Fuzzy Random Data //Proceedings of 12 Zittau Fuzzy Colloquium, Zittau, Germany, 2005, pp.265-270.

77. Inuiguchi M., Ramik J. Possibilistic linear programming: a brief review of fuzzy mathematical programming and a comparison with stochastic programming in portfolio selection problem, Fuzzy sets and systems. 2000. №111. pp.3-28.

78. Inuiguchi M., Tanino T. Portfolio selection under independent possibilistic information, Fuzzy sets and systems. 2000. №115. pp.8392.

79. Inuiguchi M., Ramik J.; Tanino T. Oblique fuzzy vectors and its use in pos-siblistic linear programming // Fuzzy Sets and Systems 2003 -no. 135-pp. 123-150

80. Inuiguchi M., Ramik J.,Tanino T., Vlach M. Satisfying solutions and duality in interval and fuzzy linear programming // Fuzzy Sets and Systems -2003 no. 135 — pp. 151-177.

81. R. Kruse et.al., Foundations of Fuzzy Systems. John Wiley and Sons. Chichester. 1994.

82. Kwakernaak H. Fuzzy random variables 1. Definitions and theorems // Information Sciences. 1978. №15. pp. 1-29.

83. Kwakernaak H. Fuzzy random variables II. Algorithms and examples for the discrete case // Information Sciences. 1979. №17. pp. 253-278.85,86,87,88,89