автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы оптимизации и принятия решений при нечетких данных

РГ 5 ОД

2 3 № Ю£5

На правах рукописи Язеннн Александр Васильевич

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ НЕЧЕТКИХ ДАНННХ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научн х исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Тверь - 1595

Работа выполнена на кафедре информатики Тверского

Доктор физкко-математическшс наук, чл.-кор. АЕН, С.П. Макеев •Доктор физико-математических наук, профессор, А.Г. Перевозчиков Доктор физико-математических наук', с.н.с., A.M. Пискунов

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН

на заседании специализированного совета Д.063.97.01 при ТвГУ по адресу: 170013 Тверь,-ул. Шелябова, 33 О диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского госуниверситета

государственного университета

Официальные оппоненты;

часов

Авторе)ерат разослан

Ученый секретарь специализированного совета Д.063.97.01 кандидат физ.-мат. наук, доцент !)

В.А.Хижняк

I.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Повышение эффективности производства, разработка гибких автоматизированных производств, систем автоматизированного проектирования, применение математических моделей и методов в рыночной экономике неразрывно связано с решением оптимизационных задач и принятием решений. Так проектирование в некотором смысле можно рассматривать как опгаи-зационную задачу. Даже если в техническом задании явно не ука-указывается, что проектирование должно быть оптимальным, проектировщик всегда будет стремиться оптимизировать один или бо~ .лее параметров проектируемой системы. Точно также дело обстоит и при исследовании других прикладных проблем. К примеру в рыночной экойошке, где всегда на первый план-выступает максимизация прибыли или минимизация издержек. Таким образом можно с-уверенностью утверждать, что проблема принятия решений занимает одно из доминирующих мест в теории анализа и оптимизации процессов функционирования объектов и систем.. Она приобретает особо актуальное значение для организации функционирования систем в условиях неопределенности й конфликта. В таких условиях возникают принципиальные трудности в формировании и описании множества альтернатив, из которого долана быть выбрана наилучшая, а также трудности в формулировании.и -обосновании принципа оптимальности выбора наилучшей альтернативы. Таким образом, проблема принятия решения должна быть. формально-математически поставлена'и решена, когда множество альтернатив од-

нозначно. не определено и принцип выбора не формализован.

Следует отметить, что в больших и сложных системах формальная постановка задачи оптимизации не просто затруднена, но и в целом ряде случаев основные системные параметры являются нечеткими, а стохастические характеристики для них определить не •предоставляется возможным. К тому же в системах имеются неконтролируемые возмущающие факторы, приводящие к изменению структуры системы, к нарушению ее устойчивости.

Исследование проблемы принятия решений в нечеткой среде стало возможным благодаря публикации статьи Р.Беллмана и Л.Заде. В этой статье была предложена симметричная схема для принятия решений, в соответствии с которой не делается различий между целями и ограничениями задачи. Они моделируются соответствующими нечеткими подмножествами числовой прямой. Классическими в этом плане являются работы Г.- Ю.Щшмерманна.

Модели и методы нечеткой оптимизации находят применение в экономике,в управлений качеством воды, в медицине, в многоцелевом планировании, при решении задач исследования операций в транспортных системах.

В конце семидесятых годов Л. Заде обновил интерпретацию теории нечеткости, положив начало теории возможностей. Следствием этого явилось рассмотрение задач нечеткой оптимизации в контексте теории возможностей. Однако анализ этих работ показывает, что в задачах нечеткой оптимизации лишь изменено название функций принадлежности на распределение возможностей, а аппарат исследования проблемы остается прежним: исчисление

нечеткости, основанное на принципе обобщения. Однако теория возможностей имеет под собой более глубокую математическую основу-меру неопределенности. Одной из этих мер является мера возможности.

Использование аксиоматики теории возможностей для построения моделей оптимизации в условиях неопределенности позволяет рассматривать эту проблему с общих позиций мэр неопределенности. Такой подход представляется нам унифицированным. Он позволяет избежать неструктурированности при построении формальной оптимизационной модели принятия решения, вскрыть ее внутреннюю и внешнюю структуру, установить связь между нечеткими, стохастическими и интервальными моделями.

Следует отметить, что теория нечеткости и возможностей -формализмы для представления знаний эксперта. Поэтому применение расмагриваемой методологии для решения различного типа технико-экономических задач требует создания' соответствующего инструментария и технологии, сочетающих в себе современные достижения теории исследования операций и приятия решений и основные принципы искусственного интеллекта. Этот синтез находит воплощение в созданиг интеллектуальных систем поддержки принятия решений (Intelligent Decision Support Systems).

Резюмируя все вышесказанное, следует еще раз отметить, что методы оптимизации и принятия решений в условиях.нечеткой информации являются сложными математическими задачами, развитие их теории и разработка методов и алгоритмов принятия решений, программных систем их поддержи является актуальной проб-

лемой, представляющей как теоретическое так и прикладное значение.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена развитию теории и методов возможностной (нечеткой) оптимизации. Основными проблемам, решаемыми в диссертации, являются следующие;

- обоснование принципов и методов сртия субъективизма при принятии решений, когда принцип оптимальности не формализован и множество альтернатив нечеткое:

- обоснование форельного описания принципов оптимальности выбора альтернатив;

- теоретическое обоснование и разработка класса базовых моделей и проблем нечеткой оптимизации на базе современной

'. теории возможностей!

- разработка аксиоматизированных методов решения задач по данным моделям;

- определение архитектуры и разработка основных компонент интеллектуальной программной системы поддержки методов возможностной оптимизации и принятия решений, сочетающей б себе технологию искусственного интеллекта и методологию исследования операций.

Оощая методика исследования. Для формализованного описания рассматриваемого класса проблем нечеткой оптимизации используется современная теория возможностей. При разработке и исследовании методов решения проблем возможностной оптимизации применяются теория и методы линейного, сепарабельного и нелинейного программирования, при реализации прямых методов возможностной

оптимизации - методы негладкой оптимизации. При формализации проблем принятия решений со случаями нечеткими данными использовался математический аппарат случайных нечетких переменных и метода теории вероятностей. При реализации программной си-' стемы использованы языки высокого уровня, ПЭВМ типа IBM AT/XT.

Научная новизна. Отличительной чертой рассматриваемого подхода к проблеме нечеткой оптимизации является ее формализованное описание на основе теории возможностей.При этом в диссертации получили дальнейшее развитие основные положения этой теории.

Возможностшй подход, на наш взгляд, является наиболее общим. Он позволил разработать универсальные методы решения задач нечеткой оптимизации, способствовал вскрытию внешней и внутренней структуры рассматриваемой проблем, установлению связи мех-ду нечеткими, стохастическими и интервальными оптимизационными моделями, проведению их сравнительного анализа. Суть подхода не только в интерпретации нечеткости как возможности, а в систематическом применении аксиоматической теории возможностей как математического аппарата исследования проблемы.

Практическая ценность работы. Разработанные модели и методы возможностного программирования, система поддержки 'принятия решений могут быть использованы для оптимизации технико-экономических систем различного назначения. Отдельные модули программной системы могут быть интегрированы с системами искусст-

венного интеллекта и оптимизации, орионтированными на обра-Оотку нечетких знаний.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы использованы при выполнении НИР "Разработка теории решателей, работающих с неполной, нечеткой информацией" (шифр ?Кижуч-АНм, генеральный заказчик-секция прикладных проблем РАН), в учебном процессе на факультете' прикладной математики и кибернетики Тверского госуниверситета, о чем имеются соответствующие акты о внедрении и реализации.

' Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Межреспубликанской научной конференции "Модели ьыбора альтернатив в нечеткой среде" (ноябрь, Рига, 1984 год), на международной научной конференции "Нечеткие множества в информатике" (сентябрь, Москва, 1988 год), на международном научном симпозиуме "Нечеткий подход в рассуждениях и принятии решений" (ишь, Бехине,' ЧСФР, 1990 год), на совещании европейской рабочей группы' "Направления, унификации теории нечетких множеств" (декабрь, Вышеград, ВР, 1990 год),,на всесоюзной научной конференции "Разработка и применение гибридных экспертных систем" (ноябрь, Рига, 1990 год), на всесоюзном научно-техническом совещании "Интеллектуальные' системы в задачах проектирования, планирования и управления в условиях неполноты информации" (январь, Казань, 1990 год), на венгерско-японском симпозиуме "Теория нечетких систем и ее применения" (июль, Будапешт, 1991 год), на Первом европейском конгрессе по нечетким и интеллектуальным технологиям

(ЕШТ'93). (сентябрь, Ахен, Германия, 1993 год), на Тринадцатом Европейском конгрессе по исследованию операций(ЕШЮ13/(ЖЗб), (июль, Глазго,Шотландия, 1994 год), на Втором Европейском конгрессе по интеллектуальным технологиям и программному обеспечении ( ЕИР1Т*94),( сентябрь, Ахен, Германия, 1994 год), на семинарах в ВЦ РАН, МГУ, ТвГУ.

Структура работы и ее содержание. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав основного содержания, заключения и списка литературы.Объем основного содержания 234 стр.,табл.3, рис.6, библиография 160 наименований. •

Публикации. По теме диссертации опубликовано свыше 40 работ. Основное содержание диссертации отражено в 25 работах автора, которые приведены в конце автореферата.

¿.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Основное внимание в работе сосредоточено на разработке моделей и методов оптимизации при нечетких данных.

Во введении диссертации обосновывается ее актуальность, дается краткий анализ работ в данной области, определяются направления исследований.

. В первой глава "ФОРМАЛИЗАЦИЯ И ОБОСНОВАШ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ И МЕТОДОВ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИИ ПРИ НЕЧЕТКИХ ДАННЫХ" осуществляется формализация- и обоснование принципов и методов принятия решений в задачах нечеткой оптимизации. Формализованное описание проблемы осуществляется в рамках теории возможностей. С этой целью систематизируется и получает дальнейшее развитие исчисление возможностей.

В §1.1 вводится понятие возмокностного пространства. Возможности^ пространство есть триплет - (Г,Р(Г),Я), здесь Г - ето модельное пространство, Р(Г) - множество его подмножеств, U - возможностная мера, Я:Р(Г) ■» 10,11, удовлетворяющая следующим свойствам:

■ (1) Я(0)=О; Я(Г)=1 ; (2) 17(U A.)=âup ЩА.) V А. € Р(Г).

i i •

Конструкция Г определяется конкретной областью исследования.

Из (I), (2) следует ограниченность и монотонность возможностной меры, то есть

О < Д(А) V А € Р(Г)'. (1.1.1)

и Я(А)*Л(В), V А,В е Р(Г): А с В. (1.1.2)

Мы будем предполагать, что возможностная мера Л удовлетворяет требованию непрерывности, то есть для любой убывающей последовательности множеств А1 г Ag з А3 г.i Р(Г),

со

Ilm Щ f) А.) = Л 1Ш (А.).'

i+oo i=1 1 i->a>

Отметим, что когда А, £ к0 s А_ s..., то из свойства (2) меры Я

1 • ^ со J

следует Un ïï{ U А ) = Я Um (А. ).

ню 1=1 1-Х»

Естественно,как и теории вероятностей, возможноотное пространство отступает на второй план, а на первый план выступает понятие нечеткой величины (возможностной переменной) и ее распределение..

Определенна 1.1.1. Возможностной переменной (величиной) называется отображение X: Г Е1, возможные значения которой ограничены его распределением возможностей (J^. Распределение возможностей определяется через меру возмо-

ЖНОСТИ (^(х) = Я { 7 <; Г : х(7) = X } V х е Е1, (1.1.3) где -есть возможность того, что возможностная переменная X может принимать значение х. Нетрудно показать, что

О « цх(х) < 1 Ух € Е1 (1.1.4)'

и зиц) |^(х) = 1. (1.1.5)

Определение 1.1.2. Множеством а - уровня возможно с тной переменной X называется множество

ха = { х £ Е1 ! ^ а ), а 6 [0,1]. (1.1.6)

Определение 1.1.3. Носителем возможностей пе-• ременной X называется множество

вирр(Х) = { X. € Е1 * (^(Х) > о}. (1.1.7)

Доказывается, что полунепрерывность сверху возможности распределений носит аксиоматический характер.

Теорема 1.1.1, Пусть. X - возможностная переменная, определенная на возможностям пространстве (Г,Р(Г),Я) с непрерывной мерой 17. Тогда распределение ^ - полунепрерывная сверху функция на Е1.

Возможностная переменная называется унимодальной, если существует единственная точка а с Е1, такая,.что ^(аН. Точка а называется модальным значением нечеткой величины X.

Возможностная переменная X называется выпуклой, если рх(\х1 + (1-Д.)х2) > тШ ^(х,),|лх(г1)) V х1 д2 € Е1, . О ^ к <1.

В § 1.2 рассматривается понятие, несвязанности возможност-ных переменных. ;

Возмояностше переменные х^,.,,Хп называются несвязанными, если для любого подмножества (11,..,1к>'множества С.1,..,п>

к V

Формулы преобразования нечетки величин и вопросы представления их уровневых множеств в классе полунепрерывных сверху распределений возможностей рассматриваются в § 1.3. В § 1.4 представлено исчисление возможностей. Замкнутые относительно аддитивных операций и преобразования гомотетии семейства нечетких величин, имеющих параметризованные распределения возможностей,' изучаются в § 1.5. Мы ограничиваемся рассмотрением семейств нормальных,- триангулярных, трапециевидных величин и величин , имеющих (¡-распределение возможностей.

Определение 1.5.1. Возможностная величина X : Г -» Е1 называется нормальной, если ее распределение определяется следующим образом;

г г

^(х) = ехр ( - ( х-а ) / b ),.-оз < х < +оо (1.5.1)

Здесь а,Ь есть сответственно модальное значение и коэффициент нечеткости, характеризующие величину X. Обозначение X € Jf(a,b).

Определение! .5.2. Возможностная величина Y :Г-Е1 называется триангулярной, если ее функция распределения возможностей имеет следующий вид:

Иу(у) = шах { 0, min ( 1-Су(у-а), НСу(у-а) )) (1.5.2) Здесь а»Ь = 2/Су являются модальным значением и коэффициентом нечеткости. Обозначение: Yi Tr(a,b).

Нормальное и триангулярное распределения возможностей моделируют множества действительных чисел, расположенных " около а ".

Толерантные возможностнне величины могут быть описаны трапециевидным распределением возможностей с параметрами (т, и, 3, ¡1), где т, т - границы интервала толерантности; б, а - левый и правый коэффициенты нечеткости.

Функция распределения трапециевидной величины У имеет вид: |луЦН?ш<0,ж(г1(1 .(ийу-ту)^^^^)/^ )}, П ь Е1 (1.5.3) Обозначение : X í 7"р(ш,ш,йД).

Нечеткая величина X, принадлежащая 5-семейству, определяется следующим распределением возможностей:

Их(х)

( х/Аг )ге(г'х/м, при х ^ О,

(1.5.4)

О, при X < 0.

Множеством возможных значений переменной х , принадлежащей 5 -семейству, есть множество неотрицательных чисел, приблизительно равных Аг. Здесь А, г- фиксированные константы, А, г >о. Обозначение х е 5(А,г).

. В § 1.6 получена формула представления функции распреде-лешя возможностей взвешенной суммы нечетких величин в общем

п

случае: = £ ^¡¡Ф (1.6.2)

где ~ возможностнне переменные, определенные на

(Г,Р(Г),Л) , х=(хг..., хп) € х = { X 6 БГ / X > 0 }.

Теорема 1.6.1. .Пусть возможностнне переменные а^, определенные на возможностном пространстве (Г,Р(Г),Я) с непрерывной мерой, несвязанные. Тогда распределение возможностей переменной ^ п(х,т) при фиксированном х полунепрерывно сверху на Е1 и допускает представление

п1^ = " 4«, ■^К^г*" 'К, к< V

1.п + + ¿1 1 . а г 1» п

V VI"*" ъг

(1.6.5)

Здесь символы V и А обозначают взятие максимума и минимума на отрезке [0,1].

В § 1.7 проводится аналогия между вероятностной и возможностей моделями неопределенности. Формализация и обоснование принципов оптимальности и методов принятия решений, модели про-олбм возмошостной оптимизации даются в § 1.8. На основе этих принципов и методов разработан ряд моделей критериев и ограни-

НЕЙ.

Проблема оптимизации и принятия решений при нечеткой информации при возмошостной интерпретации нечеткости предполагает наличке следующих элементов ,

1) множество решений ХсЕ", отвечающее ограничениям специального вида;

2) Бозможностное пространство (Г,Р(Г),П);

3) семейство возможности« функций Г±(•,•):ЕП1Г-Е1, 1=оТт, формирующих ограничения 0 задачи и ее целевую функцию;

4) Модель принятия решения МБ(Х, (Г,Р(Г),П), Г ,...,1 ). Конкретный вид этих. элементов может быть следующим:

X = {х^Е" | .....Х^ОУ;

п п

11(х,т) = 2'а±3х;}-1о1(7) или 11(х,7) = £ а^т^-Ъ^т),

3=1 3=1

0 = | Л(Г1(х,7)=0} > а1, ^€(0,11, ±=ТТТй> Комбинируя различным образом модели критериев и ограничений, ш приходим к следующим базовым моделям проблем возмокност-

ной оптимизации:

Модальная проблема возможностной оптимизации:

M(io{x,7)> —* max, (1.8.8)

" Mff^XJJbO, (1.8.9)

. xeX.

В данном случае М обозначает переход к модальным значениям

возможносгных отображений.

Проблема максимизации возможности достижения цели при

построчных ограничениях по возможности:

Д{Го(х,Т)=0> -> шах, . (1.8И0)

• fl{i1(x,i')=0> ^ at, i=T7m, (1.8.11) ■ xeX,

где а±е(0,13 есть заданные уровни возможности.

Проблема максимизации уровня при построчных ограничениях по возможности:

Itшах, . (1.8.12)

Шо(х,7)=Ю ^ ао,

ff(i1U,7)=0} ^ а4, i=iTm, ' = - (1.8.13) xeX.

Кроме построчных ограничений по возможности может быть

использовано ограничение по возможности:

• i7ff1(x,7)=0, ^ а, ае(0,1]. (1.8.и) В § 1.9 диссертации проводится классификация задач и методов возможностного программирования. В ее основу положен информационный принцип. Методы решения проблем возможностной оптимизации классифицируются как непрямые и пряже метода. В § 1.10 дается содержательная интерпретация моделей возможностной оптимизации, приводятся примеры их практического применения. В §

1.Н содержатся выводы по первой главе диссертации.

Во второй главе "НЕПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВОЗШНОСТНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ" рассматриваются методы решения проблем возмокностной оптимизации. В § 2.1-2.2 получены методы их решения в параметризованных классах возможностных распределений.

Модальная проблема возыоисностного линейного программирования.

п

Пусть Г1(х,т) = 5 ^(Ч)^- 1^(7) и а1;)(7), Ь^т) 3=1

являются несвязанным;? возможностныш переменными с модальными значениями а^, ^ соответственно. Тогда

п

том» -1

«и

и задача, эквивалентная (1.8.8), (1.8.9), имеет следующий вид:

п

I аоЛ-Ьо шах, (2.1.1)

¿=1 п

У а, д,-Ь., - 0, 1=1 ,ш и з ^

М (2И'2)

хеХ.

(2.1.1), (2.1.2) есть задача линейного программирования с ограничениями типа равенств.

"проблема максимизации возможности достижения цели при построчных ограничениях по возможности.

При рассмотрении непрямых методов решения этой проблемы

рассмотрим сначала случай, когда

п

Теорема 2.1.1. Пусть функции распределения возмок--ностей ц являются непрерывными V неубывающими, тогда проблема (1.8.10), (1.8.11) имеет следующий эквивалентный детерминированный аналог:

п

^ ао1х3 - шах, (2.1.3)

М п

Т ах > г , 1=775

1 3 (2-1.4)

Числа г определяются следующим образомгг^п!^:^!;)^}. Нетрудно видеть, что (2.1.3),(2.1.4) есть задача линейного программирования.

Обратимся.теперь к более общему случаю. Пусть

п

Г^.Т) = £ а^тд^Сг). ¿=1

Теарема 2.1.2. Пусть возможностные'переменные

а1Л, Ь1 являются нормальными и несвязанными с параметрами (а^,

й^),(Ь1Д1), 41> 0,1=о7ш,Э=Т7п.Тогда проблема(1.8.10),(1.8.II)

эквивалентна задаче

|л (ш (х)/б (х)) тах, (2.1.7)

Чо 0 0

г, $ т,(х)/<1. (х) ^й., 1=Т7т, . 111 1 (2.1.8)

. хеХ,

где я0-нормальная возможностная переменная с параметрами (0,1),

п п

[(х) -IVА- й1(х) = 2 КзчК* : ¿=1 ¿=1

Л\

V

И - корпи уравнения ехр(-г£1)-а1 = 0, г± < Н£.

Задача (2.1.7),(2.1.8) допускает дальнейшие упрощения. Так система двухсторонних ограничений (2.1.8) моиет быть заменена системой односторонних ограничений и ввиду того, что d (х)>0 VxeX, преобразована .к системе линейных ограничений. Целевая функция (2.1.7) является существенно нелинейной.

Один из способов упрощения задачи. <2.1.7),(2.1.8) состоит в переходе к эквивалентной задаче сепарабельного программирования.

Теорема 3.I.3. Пусть возможностные переменные

aij' являются триангулярными и несвязанными с параметрами

(ä1;)1ä1;J),(b1,d1), Ы^Л Тогда проблема(1.8.ю),(1.8.11)

вквивалентна задаче

2(2+У) —* mlfi, (2.1.21)

■ -y+z = m0(x)/d0(x),

• rt i ra1(x)/d1(x) R1, i^TTm, (2.1.22)

. xeX, y,z > 0, где v± = (a^D/2, Rd = (l-a^/2.

Для ее решения могут быть применены методы решения задач с се-парвбельныш ограничешшями.

Проблема максимизации уровня при построчных ограничениях по возможности.

Вид эквивалентного четкого аналога в классах триангулярных и нормальных ьозможностных переменных дает

п

Теорема 2.1.4. Пусть i^x.7) = ]>

3=1

возможностные переменные являются нормальными (триангу-

лярными) и несвязанными. Тогда проблема (1.8.12), (1.8.13)имеет

эквивалентный четкий аналог

k — max, (2.1.23)

ro s (к-то(х))/сух) ^ ио, ^ ^ ш1(х)/(11(х) < Hlt i=TTS, (2.1.24)

n n

где ■ mt(x) = l а^хД, d^i) = I aiJiJ+d1. .

3=1 3=1

гА, Rt есть корни уравнения expf-z2)-^ = О - в классе нормальных переменных, r± = (at-1)/2, Rt = (1-a±)/2 - в классе триангулярных переменных.

Путем эквивалентных преобразований (2.1.23), (2.1.24) сводится к задаче линейного программирования.

При построении методов решения проблем в классе трапециевидных распределений используется другая техника. Доказано, что проблема (I.8.I0), (1.8.II) эквивалентна задаче

'. ц£(0,х) — шах, (2.2.3)

~fi ~fi 1 __(2.2.4)

nL(x)/a,(x). > a.-l, 1=1,m,

zi X1 1 xeX,

где m.(x), d.(x), m,(x), cL(x) есть параметры' трапециевидного

Ii ri Ч

распределения нечеткой функции ft, nf(0,x)=JHro(x,7)=0}.

о

(2.2.3),(2.2.4) сводится к задаче кусочно-линейного программирования ¡система ограничений (2.2.4) является линейной, целевая функция кусочно-линейной.

Доказано, что проблема максимизации уровня в классе трапециевидных распределений эквивалентна задаче

к - max, (2.2.II)

m.(x)/df(x) < 1-cu, _ o -ío u

ш (x)/ä (x) £ an-1, r0 *0 u

■ m (x)/d (x) ¡i 1-a ,

~£i 1 __(2.2.4)

mi(X)/af(X) > C^-1 , i=1,m,

. xeX.

В § 2.3 разработаны методы решения проблемы в классе полу-лунепрерывных сверху распределений возможностей при линейных и челинейных функциях f .

. Проблема уровнен ой оптимизации.

Теорема 2.3.1. Пусть в проблеме(1.8.12)-(1.8.13)воз-можностные переменные а13(7), l=M; 3=TTñ; ^(7),-1=1,и, определенные на возможностном пространстве (Г,Р(Г),/7) с непрерывной мерой,несвязаны и описываются квазивогнутыми распределениями, имеющими конечный носитель. Тогда проблема(1.8.12)-(1.8.13) эквивалентна задаче .

. к шах, (2.3.4)

J> (V V («о) xi - (2.3.5)'

• I а*^) Xj > b¡ (o^), i=TTi, (2.3.6)

J — 1

. xa,

где а~ (аА), а* ^о^)-границы а± уровня нечеткой переменной a1;J, bi '"V' bi ГР31®®1 ai Уровня нечеткой переменной Проблема максимизации возможности достижения цели. Рассмотрим методы решения проблемы (1.8.Ю),(1.8.11) в случаях,

когда

а) 80(х»Т) является нелинейной и зависит от нечетких, параметров;

п

б) в0(х,7) = 2 С7) х^. но распределения возможностннх

переменных (7) являются ^параметризованными.

Теорема г.з.6. Пусть в проблеме (1.8.10), (1.8.11)

гэСх.т)= в0(х.т) - Ь0(т) и в0(х,т) = *»0(х,р1(т).....рх(7)).

возможностнне переменные р1(7).....Р1(7)>ь0(7) являются несвязанными. Тогда проблема (1.8.10),(1.8.11) эквивалентна задаче

х0 -» шах,

(2.3.19)

Г Х0 < 1=1-1'

х0 СМь (*).

(2.3.20)

(х0,х,1;,1;) е [0,1]хХхЕ7

,1+1

где .....р^).

При условии зависимости возможностннх переменных р1(7),...,р1(7) эквивалентная задача нелинейного программирования для (1.8.Ю),(1.'8.11) принимает вид

Хд -» шах,

(2.3.23)

х0 * ^

,...

К,...,»'.),

{л0,х,р,Ь) € [О.ЦйхЙ

(2.3.24)

,1+1

Теорема 2.3.7. Пусть в проблеме (1.8.10), (1.8.11)

п

f0(x.7)= g0<x.1f) - b0(if) и g0(x,7) = £ aQJ(i) iJt возможно-стные переменные aQ1(7),...,aQ (7),ь (7) являются несвязанными. Тогда проблема (1.8.10),(1.8.11) эквивалентна задаче

xQ max, (2.3.25)

W, = t,

1=1,n,

i-' 1 xo

(2.3.26)

(Xq.jc.M) i [0,1 ]xXxE.

,1+1

Замечание 2.Э.2. Для решения задач (2.3-18), (2.3.19); (2.3.23), (2.3.24) и (2.3.25),(2.3.26) могут быть применены методы нелинейного программирования. В том случае, когда распределения ц и являются кусочно-линейными,(2.3.25),(2.3.26) есть задача кусочно-линейного программирования.

Рассмотренный подход может быть применен для решения проблемы уровневой оптимизации, при нелинейной целевой функции г0(х,7). Пусть г0(х,7) = ё0(х,р1(7).....рх(7)). Тогда мы получаем для нее эквивалентные проблемы

ё0 (*.'•'1.....— шах,

Х3< ь* (а,),

П -

Ев;,(а,) х^ г Ь" (а1), 1=1 ,ш,

1

(x.v)ex х-П [p^(oiq) ,p£(Oq)] , k-* 1

2Т

когда возможностные переменные р1(7),...,р1(7) являются несвязанными, и

g0(x,u, ,...,1^)шах,

' Д^«*!1 xj * Ь1 (V'

п _ --

Даи(а1) Xj ^ bi i=1,m'

\.....Pl(ui.....Х€Х,

когда возможностные переменные р1(7),...,р5 (7) являются зависимыми.

Построчные ограничения по возможности.

Рассмотрим систему построчных ограничений по возможности при ^(х,7)= g1(x,p}(T)..-.,pJ (7)) " Ь±(7>-

Георема 2.3.7. Пусть возможностные переменные

р|(7),...,р| (7), ь,(7) являются несвязанными и характеризуются . 1 . квазивогнутыми распределениям! возможностей. Тогда система построчных ограничений по возможности эквивалентна системе ограничений

X € X, 1=ТЯ к=Щ, (2.3.29)

где «д (p11f(7)),toa (bi(7)) есть уровневые множества для возмок-ностннх переменных p/t(7)> Ь|(7Ь

При условии зависимости возможностях переменных pj(7),...,pj (.7), bi(7) эквивалентная система ограничений при-

нимает вид

... . ,^1,?1)€иа(р|(7).. (7).Ь1(7))»

X € X, 1=Т7Н; (2.3.30)

где и (р|(7),.,р?- (7),ЬЛ7)) есть уровневое множество 11

совокупности возможностных переменных р^(7),...,р^_(7), ^(7). Ограничение по возможности.

При его анализе рассмотрим несколько случаев.

а) ^(х,7)= е±(х) - Ь.(7).

Лри выполнении этого условия ограничение по возможности

эквивалентно ць .....ь (х),....^(х)а0, (2.3.32)

а при условии несвязанности ъ.,(7),...,ь (7) оно эквивалентно

^(81(*)иа0. 1=ТХ (2.3.33)

б) ^(х,7)= в±(х.р^Ст).....Р1.(7)) - ^(7).

В предположении, что при любом а0>0

= ьЦр](7>.-.Р1 (7).Ь1(7)...Р1(7>.-.Р1 (7).ьт(7)) есть компакт, доказано, что ограничение по возможности эквивалентно

х е х, 1=Т7ш. (2.3.34)

При условии несвязанности возможностных переменных

р}(7),...,р^ (7), ь (7) эквивалентное ограничение принимает вид 1

.....3 ЧЬ1<Т))'

X € X, 1=Т7ш, к=М1, (г.3.35)

Связь между' возможностным и интервальным линейным программированием установлена в § 2.4.

В § 2.5 рассмотрен модельный пример. Метод отыскания нечеткого решения предложен в§2.6. Сравнительный анализ методов решения задач возможностного и стохастического линейного программирования осуществлен в & 2.7. § 2.8 содержит выводы по второй главе диссертации. '

В третьей главе диссертации "РЕШАЛ'11® ПРАВИЛА В ЗАДАЧАХ ВОЗМОЖНОСТНОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ" разработан метод построения линейных решающих правил в задачах возможностного линейного программирования. В § 3.1 предложена модель принятия решения в условиях априорной информационной структуры задачи, которая может быть представлена цепочкой бидв

информация - принятие решения - ... - Принятие решения В условиях априорной информационной структуры приходится заново решать' соответствующую оптимизационную задачу, что не является эффективным. К тому же часто требуется получить решение сразу после поступления информации. Ввиду -'этого целесообразным представляется построение решающего правила, позволящего принимать решение в реальном режиме времени.

Получен метод построения решающего правша в задаче возможностного линейного программирования

(с, х) — шах, . (3.1.1)

п

П { У а, .х. = Ъ.(т) > > *=ТТ5, .

13 ' 1 1 (3.1.2)

V"" '

. ХСХ.

Ввиду линейности модели, решащее правило целесообразно представить в виде

i(7)=Db(T) (3.1.3)

Здесь D = - матрица решающего правила порядка шал с детерминированными коэффициентами d13 js 0.

Матрица D решающего правила может быть оценена по априорной информации о распределении возможных значений вектора Ь. В качестве оценки матрицы решающего правила берется решение одной из следующих задач:

кшах, (3.1.4)

.Я С(с, №(7)) = к) > т0

В ((а1, ВЬ(тП = ^(7)} ^ 1=Т~5. (3#1<5)

d^ > 0, k=T7nj 1 = Т7ш,

где а1 = (аА1.....а^), т^О.П,

М {(с, Db(7))} — шах . (3.1.6),

. f И {(a1, Db(7)) = bi(7)) > i=T7m, . (3.1.7) 1 d^ > о, k=T7i; i = 77».

В § 3.2 - § 3.3 разработаны методы оценки матрицы решающего правила. В § 3.4 разрабатывается логико-лингвистическое решающее правило, ориентированное на обработку качественной информации. В § 3.5 анализируются вопросы лингвистической аппроксимации нечетких решений..Сделен анализ мер сходства, используемых при реализации алгоритма нечеткого вывода. В § 3.6 решаемая проблема демонстрируется на модельном примере. § 3.7 содержит выводы по третьей главе диссертации.

В четвертой главе "МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СО СЛУЧАЙНЫМИ НЕЧЕТКИМИ ДАННЫМИ" рассматриваются •задачи линейного, программирования в условиях неопределенности

как нечеткого, так и вероятностного типов. Формализм описания данного класса задач базируется на понятии случайной нечиткой переменной.

В § 4.1 этой главы анализируется понятие случайной нечеткой переменной,приводятся некоторые вспомогательные результаты. Случайная нечеткая величина яляется математической моделью эксперимента, результатом которого является нечеткая величина.

Пусть /(Е11) есть семейство нечетких переменных, принимающих значения в Е", определяемых как отображения X : Г - Е11. Здесь, как и в главе I, Г- модельное пространство, являющееся элементом возмокностного пространства (Г, Р(Г), Я).

Пусть (П, а, Р) вероятностное пространство. Будем предполагать, что множество Х={хсЕп: ^(х) ^ а } есть компакт для 'любого а > о.

Определение'4.1.1. Случайная нечеткая перемешая есть функция У : О - /(Е") , такая, что

{(со,х): хеУа(со) } с а*» для каждого а €[о,1] , где Уа : (1 -» 7(ЕП) определяется как Уа(ш)={х£ Еп:У(о)(х)Ж1}, » есть борелевское подмножество е".

В дальнейшем нас. будут интересовать только дискретные случайные нечеткие переменные У со значениями в Е1 , то есть У : П -» У(Е1). В соответствии с работами С.Намиаса дискретная случайная нечеткая переменная У является отображением, заданным на (3 х Г, и определяется следующим образом

n

Y(u, 7) IA(w). (4.1.2)

1=1 1

где (A1, ..., А ) есть разбиение О, I - индикаторная функция события Ar Еслч pt = Р(А1), то Y принимает значение Y±(7) с с вероятностью Таким образом Y описывает эксперимент,исходом которого является одна из нечетких переменных Y1, ..., Y .

Из (4.1.2) следует, что математическое ожидание EY случайной нечеткой переменной Y является нечеткой переменной , имеющей вид

п

ЕУ(ш, 7) = I У1(т)р1. (4.1.3)

1=1

Те орем а 4.1.3. Пусть Y является дискретной случайной величиной, принимающей значения Y(, ..., Yn с вероятностями р,, ..., рп соответственно. Нечеткие величины Y1, .... Yn определены на возможностном пространстве (Г, Р(Г),П) с непрерывной мерой П и характеризуются полунепрерывными сверху распределениями возможностей. Тогда является полунепрерывным сверху, квазивогнутым распределением и имеет представление

fiEY(t)= v ^y/t-V Vi -»•-*2,Л Л-"Л Vitn) tn. Vr*-"^

Доказательство теоремы 4.1,3. следует из теоремы 1.6.1.

В § 4.2 формулируютя принципы принятия решений в условиях случайных нечетких данных и предлагаются математические модели проблем принятия.решений при случайных нечетких данных. Основополагающим принципом принятия решений является принцип ожидаемой возможности. Его суть:.

- Усреднение случайны* нечетких данных, позволяющее перейти к проблеме принятия решения с нечеткими даннши;

- Выбор оптиыального решения при наиболее возможных значениях нечетких параметров или с возможностью не ниже заданного уровня.

Адекватным средством формализации предлагаемого принципа опти-малькзсти является математический аппарат случайных нечетких переменных.'

Исходя из этих принципов принятия решения мы приходим к следующим постановкам проблем в условиях случайных и не четких-факторов.

Проблема максимизации возможности достижения цели при построчных ограничениях по ожидаемой возможности

Я (Е í (х.ш.тг) = 0) — шах (4.2.1)

Г Я (Е 1Лх,ил) = 0) > a,, i=T7m, | 1 1 (4.2.2)

1 «X.

Проблема максимизации уровня при построчных ограничениях по ожидаемой возможности (оптимистический подход)

к — тах, (4.2.3)

■ U (Е Го(х,ш,7) = к) ^ ао,

¡1 (Е f (х,(о,7) = 0} ^ аА, 1й",т, (4.2.4)

хеХ.

Проблема максимизации модальной ожидаемой возможности

М(Е 1о(х,ш,7) = 0) — max (4.2.5)

Г М CE f. (х,(0,7) = 0) > a,, i=T7m,

1 1 (4.2.6)

. хеХ.

В §§ 4.3-4.4 предлагаются методы решения данных проблем в различных классах параметризованных распределений возможностей.

В § 4.5 получен метод решения проблемы (4.2.3), (4.2.4) в общем случае.

Г е о р е м а 4.5.1. Пусть в проблеме (4.2.3),(4.2.4)

п п

Г0(х,и,7) = 2 а0^(и,7)х^, Г1(х,ы,7) = £ а^и^х^-Ь^и^), а (ш,7),Ь (ил) являются независимыми дискретными случайны-

« и <

, и Ь1,

соответственно.

ми переменными,. принимающими значения а^,

п. 1 п. 1

ЬА с вероятностями р1;},..., р^ и р1 ..., Значениями случайных нечетких переменных являются несвязанные нечеткие величины, определенные на возможностном пространстве (Г, Р(Г), 17) с непрерывной мерой 77. Функции распределения нечетких величин а^, являются квазивогнутыми и имеют конечный

носитель. Тогда проблема (4.2.3),(4.2.4) эквивалентна задаче

К шах,

п

(4.5.1)

I а^х.-к ^ О,

о] 1

I ао+Л+к ^ О,

.1=1 "п

IV] <

(4.5.2)

I а^Х4 £ 1=1 .т, ¡1=1" ХбХ.

где

v*"' к к -ь v*1' к -к - v1-* к ,к + к

aif 1 aif l pijai3' bi= l pi L)i- bi - l 6i'

k=1 k=1 k=1 k=1

к к

a^initt: ц k (t) > o^}, 51J=sup{ts ц k (t) ) ^ ) ,

aij aij

к к

b. =inf{t: (i . (t) > a.}, Б, =sup{t: ц w (t) > a. }.

. bf 11 bj 1

§ 4.6 содержит выводы по четвертой главе диссертации.

В пятой главе диссертации "ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВОЗМОЖНОСТНОГО. МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ" разработаны прямые методы решения проблемы максимизации возможности достижения целей-ограничений. §5.1 содержит необходимое теоретическое обоснование прямых методов. В § 5.2 разработаны интерактивные алгоритмы, г реализующие прямые методы возможностной оптимизации. В § 5.3 содержатся выводы по пятой главе диссертации.

В шестой главе "МЕТОДЫ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ НЕЧЕТКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И СТРУКТУРИЗАЦИИ НЕЧЕТКИХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ ЛПР» рассматрива-. ется единообразный подход к проблеме нечеткой векторной оптимизации: с позиций аксиоматической теории возможностей. В § 6.1 вводятся постановки прблем возможностной многокритериальной оптимизации.

В нашем подходе .задача многокритериальной оптимизации в нечетких условиях описывается слрдуодими элементами:

1) множество альтернатив X, являющееся подмножеством n-мерного евклидова пространства: X с е^1 = (хеЕ11^, • ■ • • >хп ;

2) нечеткие отображения •, •): Х»Г—-Е1, i=T7m,

участвующие в формировании критериальных функций задачи; здесь Г есть элемент возможностного пространства;

3) множество оценок альтернатив

У(Х«Г) = U Y (X), Y (X) = f(X,7), i = (i..... f);

4) структура предпочтений лица, принимающего решения.

Будем предполагать, что принцип эффективности решений адекватно отражает структуру предпочтений лица, принимающего решения (ЛПР). Однако этот принцип, применительно к рассматриваемому классу задач, нуждается в уточнении. С этой целью рассмотрим модели проблем многокритериальной возможностной оптимизации и дадим ряд определений. -

Проблема максимизации вектора возможностей:

(Л(Г. (х,т) = 0),.., Ilil (х,7) = 0}) — V - МАХ. (6.1.1)

m . хбХ

Пусть П(х*)=(П*,..и /Г), Л*=Я{1±(х*,7)=0>, i=TTS.

Определение 6.I.I Решение х*€Х называется эффективным решением задачи (6.1.1), если не существует хеХ такого, что U(x)zlЦх*) и Щх)?П(х*).

Проблема максимизации вектора уровней:

к = (к^.-.Д ) —► V - МАХ, (6.1.2)

1 m

• " /I(i1(x,7) = klf i=TTS} »a, (6.1.3)

xfX.

Пусть кЧк}.....к*), E=(E1.....KJ, a€(0,1l.

Определение 6.1.2. Решение ( к? х*) задачи (6.1.2),(6.1.3) называется квазиэффективным, если не существует решения (Г.д) задачи (6.1.2), (6.1.3) такого,что К > к* и Е t к!

Определения (6.1.1), (6.1.2) основываются на понятии эффективного решения теории векторной оптимизации. К тому же, как будет видно из дальнейших результатов, они являются эффективными для некоторых вспомогательных задач. Поэтому решения задач (6.I.I) и (6.1.2), (6.1.3), в соответствии с данными определениями, естественно называть квазиэффективными.

§ 6.2 содержит методы отыскания квазиэффективных решений. Теорема 6.2.1 Пусть I1(x,7)=g1(x)-q1(7), i.-TTm,

g. (■) : X—Е1, функции распределения ц возможных значений

qi

нечетких величин qt являются строго возрастающими. Решение х задачи (6.1 Л) является эффективным тогда и только тогда, когда оно является эффективным решением задачи

8 (х) = ( g1 (х).....fi^(X)) -.V-Ш (6.2.1)

Смысл теоремы 6.2.1 в том, что структура предпочтений лица, принимающего решения,не меняется при строго монотонных преобразованиях.

Лемма 6.2.1. Пусть функции (х),..ig^x) являются линейными, множество X выпуклым. . Решение х*еХ задачи (6.2.1) является .эффективным тогда и только -тогда, когда существует

го

вектор Аех. = (Ша | А......X > О, j

1 m i=i " такой, что х+ есть решение задачи скалярной оптимизации

(A.,g(x)) — max, (6.2.2)

хех

где (k,g(x)) есть скалярное произведение векторов

Ь = .....и «00 = (g1 (х).....gm(x)).

Эти результаты дают способ отыскания квазиэффективных ре-

шений задачи (6.1 Л), основанный на скаляризации векторного критерия.

Рассмотрим задачу (6.1.2),(6.1.3). В данном параграфе рассматриваются метода ее решения как в классах параметризованных распределений возможностей, так и в общем случае. Приведем наиболее общий результат.

Теорема 6.2.3. Пусть в задаче (6.1.2) - (6.1.3)

п _

f.(х,7) = Е а ,(7)х , возможностные величины а, , 1=1, ш , 1

i=T7n, определяемые на возможностном пространстве (Г,Р(Г),Л) с непрерывной мерой, являются несвязанными и характеризуются квазивогнутыми распределениями, имеющими компактный носитель.Тогда. проблема (6.1.2) - (6.1.3) эквивалентна

k=(lt1,..1km) —» V- МАХ (6.2.7)

Е аТ.(а)х. ^ k.< Е а! (а)х., i=77rn j=i 3 1 3=1 1J J (6.2.8)

xa,

где aT^(a)=lnf{t: ца< (t) £ a }, atjta^supit: (t) ? a )

IQ -»-D

В § 6.3 устанавзишаетя связь между квазиэффективными и a-пзможно эффективными решениями.

В § 6.4 анализируется проблема скаляризации критериев в векторной оптимизации.

Рассмотренные модели многокритериальной возможностной оптимизации позволяют обрабатывать нечеткую информацию, имеющую отношение к исходным данным задачи. Нахождение квазиэффективных

решений осуществляется с помощью скаляризации векторного критерия. При скаляризации критерия используется дополнительная га-формация о предпочтениях ЛПР, выступающая в виде коэффициентов важности критериев(весовых коэффициентов). Как правило, она является нечеткой. Для исследования этой проблемы вводится понятие нечеткой скаляризационной функции. Это понятие является естественным обобщением понятия скаляризационной функции (функции скаляризации векторного критерия), введенной в работах А.Верк-бицкого. В качестве инструментария исследования полученной проблемы используется также математический аппарат нечетких отношений, введенный Л. Заде, и концепция недоминируемых решений, разработанная С.!.Орловским. Отруктура недомишруемых решений -проблемы исследуется в общем случае и при различных способах скаляризации критериев.

Введем основные понятия, имеющие отношение к скаляризаци-онным функциям и нечетким отношениям.

Рассмотрим классическую проблему векторной оптимизации Ш) —* V - МАХ, . (6.4.1 )

где Г: X —> Y, X с Е11, Y с Е™, X - область определения, a Y -область значений вектор - функции Г, Y = ,f(X). Предполагается, что Y частично упорядочено частичным порядком V- Кроме того, ">" имеет смысл, когда у1 ^ у2 и у1 ф у2. Через XPARc X мы будем обозначать множество элементов, оптимальных по Парето,

pr

аналогично X сх - множеством собственно эффективных решений в смысле Джоффриона.

Определение 6.4.1. Пусть ЛсБ^есть компактное

и выпуклое множество. Функция

Ф:Л*У —> Е1 (6.4,2)

называется функцией скаляризации ( скаляризационной функцией)'

мля (6.4.1) тогда и только тогда, когда она монотонна относительно частичного порядка V для любого фиксированного к, то есть из у1 ,y2c Y и у1 ^ у2 мы имеем Ф(А,у1) > Ф^.у2). Отображение (6.4.2) есть обобщение функций вида

m m

Ф1(А,У)= У Vi« Фг(\,7)= п у/1, Фз(А,у)= min \ у , (6.4.3)

1=1 11 1=1 1 КШ 1 1

часто используемых при решении практических задач. Обычно к=ш и

выражают весовое соотношение важности критериев

ш

z о, у А..=1. 1 1*1 1

Определеннее.4.2. Скаляризационная функция называется строго скаляризационной относительно ЯеЛ тогда и только тогда, когда из у1,у2 е Y и yby2 мы имеем Ф(А,,у1)>Ф(\,у2).

■ Определение 6.4.3. Строго скаляризованная функция удовлетворяет условию (б), если только существуют положительные числа а±,Ь1 и функция т±: Y*Y —► е|, при ЬА > т: (у1,у2) ^ а1>0, для которой неравенство

ш

-Ф^.У2) > 2 Т±(у1 .у2).(yj_-yf) (6.4.5)

выполняется для. любых у1.у2 i Y.

В контексте скаляризационной функции могут быть сформулированы некоторые основные результаты теории векторной оптимизации.

зь

T j о p e м а 6.4.1. Пусть Ф есть скаляризационная функция на Y. Если у* е Y есть единственная точка максимума Ф(А., •)р то она есть точка Парето для проблемы (6.4.1). Если Ф есть строго скаляризованная функция , то любая ее точка максимума является Парето оптимальной.

Теорема 6.4.2. Пусть Ф есть скаляризационная функция на Y, удовлетворяющая условию(0).' Тогда ее любая точка максимума является собственно эффективной в смысле Джоффриона.

Обратные утверждения в общем случае не верны. Однако в специальном случае, когда

№ Ш

кЫх^ > 0; k=1,..,m; J \.1= 1>, J ^ (6.4.6)

имеют место следующие теоремы.

г

Теорема 6.4.3. Пусть X - выпуклое множество и i -строго вогнутые функции для любого 1=1,..,т. Если x*eXPAR, то

существуют k*i Аь такие, что

&1к\Цг)) = sup Фь(Г,Г(х)) (6.4.7)

х€Х

Теорема 6.4.4. Пусть X выпуклое множество и ^ -вогнутые функции для любого 1=1,..,га..Если x*eXPR, то существуют Vi Int Al , такие что (1.4.7) опять выполняется.

Здесь Int Al обозначает внутренность множества Л^1 то есть

ш

это множество Л^ = { Л,к >0, к=1 £ k = 1 }. .

Приведем теперь необходимый минимум сведений из теории нечетких отношений.

Пусть X - множество, принятое в качестве универсального. Нечеткое подмножество А множества X будем отождествлять с

отображением из X в отрезок [0,1] и .соответствующей функцией принадлежности. Чтобы избежать сложных обозначений нечеткое множество мы будем обозначать буквой с тильдой вверху, э его функцию принадлежности снабжать соответствуицим аргументом. Пусть ХЕ1) множество всех подмножеств числовой прямой Е1. Определение 6.4.4. А е /(Е1) называется нечетким, интервалом, если существуют такие числа а<а^З<Ь, что: ■

1. А(х) = 0 Ух Ц [а,Ь];

2. На интервале [а,Ы функция принадлежности непрерывна и

Г не убывает при х е [а,а]; А(х) = не возрастает при х е [р.Ы; . 1 при х с [а,р].

ГУ

Если а=р, то А называется нечетким числом. Определим теперь множество недоминируемых решений. Определение 6.4.5. Пусть Й есть нечеткое отношение на Х><Х. Тогда'нечеткое отношение строгого предпочтения на Х*Х определяется как

И3(х,у)=[ Н(х,у)-Н(у,х) 14/0 для любых (х,у)еХ*Х.

™нт) "

Нечеткое множество X недомшшруемнх элементов по Я определяется функцией пр1шадлежности

Хыо(х)■= 1 - вир Й3(у,х) Ы1. (6.4.8) уех

Подмножество Хшое X • четко недоминируемых элементов представляет особый интерес:

ХШс= (хеХ: Хю(х) = 1} (6.4.9)

Пусть А1 ,Аг е ?(Е1). Нечеткое отношение на )»?'(Е1)

определяется следующим образом

Г) (¡1.12) = sup Ai(х)Л Аг(х) (6.4.10)

х.уеЕ1 х^у

CU

Теорема 6.4.5. Нечеткое отношение т) является' строго

IM № Л» IV ГЧ1 (\>

полным ( то есть t)(Ai,A2)V i)(A2,Ai=1) на множестве модальных

N IV

нечетких множеств. Если 'At,Аг оба выпуклы, то в случае

rv ru rv

г)(А1,Аг)<1 мы имеем

г\ (А1,Аг) = sup. Ai (у)Л Аг(у) (6.4.II)

уеЕ1

Под модальностью А здесь понимается то, что существует точка

го

х*еХ такая, что А(х*)=1, то есть функция принадлежности является нормальной. В теории возможностей это является следствием аксиоматики теории возможностей.

По аналогии с определением (6.4.5) определяется отношение

г"з

rf н^ множестве нечетких подмножеств

1т(1) = 1- sup ?(В,А); (6.4.12)

. В

где А,В предполагаются модальными. Вводя множество

N(A) = ( Be 7(Е1), нормальное, Т)(В,А) = 1 ) мы можем сформулировать теорему.

Теорема 6.4.6. Для модального и выпуклого множества

А с J(E1) нечеткое подмножество недоминируемых элементов может

быть задано как

Хж( A) ^lnf sup А(у)Л В (у) (6.4.13)

ВША)'

Эти"результаты позволяют перейти к построению нечетких

скаляризационных функций и исследованию на их основе проблемы нечеткой векторной оптимизации. Это осуществляется в § 6.5.

Рассмотрим ситуацию, когда параметры к в скаляризациошлй функции заданы в виде нечетких подмножеств на Л.

-и

Определение 6.5.1. Пусть ф € ? (А) с непрерывной

функцией принадлежности. При фиксированном > хсХ мы определяем

~ 1

нечеткую скаляризационную функцию фх как элемент Г(Е ) посредством

Здесь H(x,u) = ik е Л: Ф(А.,f (х))=и }, где Ф есть скаляри-зационная функция в соответствии с определением (6.4.1).

Так как Н(х,и) есть компакт при заданных (х,и), то можно заменить "sup" на "шах" в (6.5.1)

Введенное понятие нечеткой скаляризационной функции базируется, в первую очередь, на результатах более- ранних работ автора по проблеме нечеткой векторной оптимизации, представленных в его кандидатской диссертации.

Опираясь на результаты параметрической оптимизации, мы получаем следующий результат.

Теорема 6.5.1. Существует замкнутый конечный интер. N ~

вал и.с с Е такой, что supp (рх с Ux и <р (•) непрерывна на U . Можно определить ее посредством

sup фМ, если H(x,u) t 0 (р (и) = 0, в противном случае.

(6.5.1)

фх(и) =

шах ф(А.) f если ueU ,

Ш(х,и) х

. О, в противном случае.

(6.5.2)

Ux - это ничто, иначе есть область значений Ф(Х.,Г(х)). Кроме этого, если X есть компакт, i есть непрерывная вектор- функция и Ф есть скаляризационная функция на A*Y, то фх является полунепрерывной сверху функцией принадлежности на Х*Е1.

Замечание 6.5.1. Если ф модальная, то такой же является ф для любого фиксированного хеХ.

'Лемма 6.5.1. Если.ф выпуклое нечеткое множество, то выпуклой является нечеткая скаляризационная функция фх.

Введем теперь нечеткое отношение предпочтения, которое позволяет оценить элементы множества X посредством оценок нечетких скаляризационных функций.

Определение 6.5.2. Пусть ф ,<р две нечеткие

х 1 х 2 ~ скаляризационные функции. Нечеткое отношение предпочтения т) на

Х*Х определяется следующим образом

л/ ru rj

Т)(х1 ,Х2) = sup фх (и, )/\ фх (и2) (6.5.3)

,u2£E 1 1

u.

(6.5.3) есть способ нечеткой.оценки того ,что х1 лучше, чем xg. Из теоремы (6.4.5), леммы (6.5.1) и определения (6.5.2) мы непосредственно получаем следующее утверждение.

Теорема 6.5.2. Пусть <р модальное и выпуклое подмножество А. Тогда rj, определяемое (6.4.10), полное и для "Л(xt ,хг)<1 и мы имеем

/V ги л/

Tli^.Xg) = sup (рх (u)/\ фх (и)

UCU Пи 1 2

Х1 Х2

По аналогии с тем, как это было сделано в § 6.4, определим

подмножества Щх)сХ к Хмв:

ВД =

Хго(х)

геХ: вир 1 ф2 (и^л срх (и,) = 1

/ Л»

1пГ вир фа(и)/\ ф (и) гШх) иеи П и ъ х

(6.5.4)

(6.6.5)

Г е о р е м а 6.5.3. Пусть ф унимодальное с точкой максимума X*. Тогда

Н(х)={ гсХ: ®аМ(е)) ^ Ф(\\Г(1)) } (6.5.6)

С помощью следующей теоремы, принадлежащей С.А.Орловскому, мы получаем метод определения недоминируемых элементов.

Теорэма 6.5.4. Пусть ф - модальное нечеткое подмножество. Кроме этого для данного пусть (ху,иг;)€Х*Е1 есть решение следующей оптимизационной проблемы

и —♦ МАХ, (6.5.7)

фх(и) > V ; (ХЛЛ)6Х*Е1. Тогда мы имеем

(6.5.8).

то есть х недоминируемо со степенью не ниже чем V.

Введем следующее обозначение: Х!ГО(г>) = С х«Х: Хш(х) Ъ V )

Л<

Теоремаб.5.5. Пусть ф модальное нечеткое подмножество. Кроме этого, пусть X есть компакт, 1 есть непрерывная вектор - функция и.Ф непрерывная скалярйзационная функция на

Л*У. Тогда Х1Ш(1>) ф 0 для любого 1^(0,1].

Замечание 6.5.2. В предположениях теоремы мы имеем Хшщ * 0. •

и

Теорема 6.5.6. Пусть ф модальное нечеткое подмножество, (хг\иг') решение задачи (6.5.7). Если Ф есть строго скаляризациошая функция, то мы имеем

хуе ХРАК • (6.5.9)

Следующие теоремы, доказанные в диссертации,позволяют исследовать структуру подмножества Х™.

Теорема 6.5.7. Пусть ф есть выпуклое и унимодальное подмножество с точкой максимума к*. Если Ф есть строго скаля-ризационная функция, то Хтаго с ХРАК .

Если Ф есть строго скаляризационная функция, удовлетворяющая условию (б), то ХЖ115 Хрк.

Опишем более полно множество Х01® г Теорема 6.5.8. В условиях теоремы 6.5.7 имеет место следующее:

ХиЖ)=АгйгпахФ (А*, 1 (я)) (6.5.11)

г€Х

Для специального, случая линейной скаляризационной функции и вогнутых критериев мы можем получить интересные соотношения между множеством X и множеством Парето. Приведем сначала лемму, опираясь на которую может быть получен соответствующий результат.

Лемма 6.5.2. Пусть X выпуклое множество. Кроме этого

пусть нечеткая скаляризационная функция, заданная посредством

Ль и Ф1*, где ф унимодальное множество. Если критерии все

вогнуты (соответственно строго вогнуты) то для любой точки

х*аРК (соответственно ХРАК) и (1 и / 0 для любого ъ е Щх*).

х

Теперь мы готовы установить соотношение между множествами Хж и множеством Парето в виде следующего утверждения.

Теорема 6.5.9. Пусть X выпуклое и компактное ?-«чо-

«V

жество. Кроме этого пусть нечеткая скаляризационная функция <р , задана посредством Ль и Фъ, где ф выпуклое и унимодальное множество, для которого эирр ф = Ль. Если критерии непрерывные и вогнутые (соответственно строго вогнутые) функции, то хрк£ вирр хы0,( соответственно ХГАНе зирр Хмв). В § 6.6. полученные результаты переносятся на скаляриза-цио!ше функции конкретного вида. § 6.7 содержит выводы по шестой главе диссертации.

В седьмой главе дисссертацш "ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИИ" развивается концепция интеллектуальных систем для поддержки принятия решений на базе методов возможностной оптимизации. В § 7.1 характеризуется класс интеллектуальных систем поддержки принятия решений. Определяются требования, предъявляемые к системам этого класса.В § 7.2 представлена архитектура системы, позволяющая ее классифицировать как гибридную систему поддержки принятия решений. В § 7.3 описывается банк моделей возможностной оптимизации системы. § 7.4 .содержит описание подсистемы управления базой данных моделей возможностной оптимизации. В § 7.5 разработаны методы работы с базами нечетких лингвистических дашшх. В § 7.6 представлена диалоговая среда системы, реализованная в виде иерархической меню-система. В §'7.7 описывается реализация системы. § 7.8 содержит выводы по седьмой глаое . диссортыми.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сфощулируем основше результаты, полученные в диссертационной работе.

В области оснований теории возможностей:

1) исследованы аксиоматические свойства возможностях распределений: доказано, что их полунепрерывность сверху носит аксиоматический характер;

2) установлена замкнутость класса нечетких величин, характеризующихся полунепрерывными сверху распределениями возможностей, относительно аддитивных операций и преобразования гомотетии; доказана теорема представления, дающая аналитический вид распределения возможностей для взвешенной суммы нечетких величин данного класса.

В области математической формализации проблем нечеткой оптимизации: .

1) формализованы и обоснованы в рамках возможностного подхода принципы выбора оптимальной альтернативы при нечетких исходных данных;

2) разработан комплекс базовых моделей нечеткой оптимизации.

В области разработки непрямых методов решения проблей нечеткой оптимизации:

I) разработаны метода решения проблем нечеткой оптимизации в параметризованных классах возможностных распределений, характеризующих ях параметры; суть методов-редукция исходной проблемы к детерминированной проблеме математического программирования;

2) разработан метод решения проблемы возмошостной оптимизации в классе полунепрерывных сверху возможности. распределений;

3) получен метод отыскания нечеткого решения в виде параметризованного распределения возможностей;

4) осуществлена интервальная интерпретация моделей возмошостной оптимизации, что позволило вскрыть их структуру;

5) проведен сравнительный анализ основных моделей стохастического и возможностного линейного программирования;

6) разработан метод решения проблемы возможностной оптимизации, основанный на применении решающих правил, что позволяет принимать решения в реальном режиме времени;

7) осуществлена лингвистическая аппроксимация решающего правила,дающая возможность принимать решения на качественном уровне.

В области оптимизации при нечетких случайных данных:

1) формализован на основе принципа ожидаемой возможности критерий выбора оптимальной альтернативы;

2) разработаны математические модели оптимизационных проблем в условиях случайных нечетких данных;

3) получены конструктивные метода решения проблем, оптимизации в условиях случайных нечетких данных.

В области прямых методов решения проблемы максимизации возможности достижения целей-ограничений:

I) при отсутствии информации о несвязанности целей-ограничений проблемы в виде прямого метода ее решения представлен метод условного градиента,реализация которого в виде интерактивной про-

цвдурц использует коэффициенты замещения целей-ограничений; 2) в условиях несвязанности целей-ограничений представлен в виде интерактивной процедуры субградиентный метод ее решения.

В области разработки проблемы многокритериальной возмояно-стной оптимизации:

1) разработаны математические модели проблем многокритериальной возможностной оптимизации, введено понятие квазиэффективного решения;

2) получены конструктивные методы отыскания квазиэффектившх решений;

3) для исследования проблемы нечеткой многокритериальной оптимизации введены нечеткие скаляризационные функции и исследованы ■

гих свойства;

4) ы основе нечетких скаляризационшх функций исследована структура множества недоминируемых решений проблемы многокритериальной возможностной оптимизации: получены условия его непустоты и методы отыскания недоминируемых решений.

В области создания интеллектуальных систем поддержки принятия решений:

1) разработана архитектура интеллектуальной программной системы поддержки принятия решений, использующей банк моделей возможностной оптимизации;

2) разработана подсистема извлечения экспертных знаний, позволяющая инициировать параметризованные распределения, ограничивающие множества возможных значений параметров оптимизащюшшх моделей;

3) обоснованы основные концепции, связанные с реализацией программных средств управления базой данных моделей возможностного линейного программирования и базой нечетких лингвистических данных;

4) разработан прототип интеллектуальной программной системы поддержки принятия решений.

Результаты диссертационной работы использованы при выполнении НИР "Разработка теории решателе^, работающих с неполной, нечеткой информацией" (шифр "Кижуч-АН", генеральный заказчик-секция прикладных проблем РАН), в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского госуниверситета.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:■

1. Язенин A.B. Многокритериальные задачи в условиях неопределенности нечеткого т!ша//Математические методы оптимизации и управления в системах, Калинин, 1984, с. 78-84.

2. Язенин A.B. Нечеткие переменные и нечеткое математическое программирование// Межреспубликанская научная конференция "Модели выбора альтернатив в нечеткой среде",Рига, 1984,. с.57-59.

3. Язенин A.B. Модели нечеткого линейного программирования// Межреспубликанская научная конференция "Модели выбора альтернатив в нечеткой среде",Рига, 1984, с.51-53

4. Язенин A.B. К вопросу построения решающих правил в задачах управления и оптимизации при нечеткой исходной информации// Математические методы оптимизации и управления в системах,.

Калинин, 1985, с. 63-67.

5. Яэенин А.В. О нечетких решениях задач нечеткого линейного программирования// Математические метода оптимизации и управления в сложных системах, Калинин, 1986, с. 60-65.

6. Язенин А.В. Нечеткое математическое программирование. Калинин, 1986, 60 с.

7. Yazenln АЛ. Fuzzy and stochastic programming//Fuzzy Sets and Systems,v.22, lI1/2, 1987, pp.171-180.

8. Язенин А.В. О непрямых методах нечеткого математического программирования//Нечеткие системы: моделирование структуры и оптимизация/Под ред.Язенина А.В.,Калинин, 1987, с.92-106.

9. Yazenln A.V. Problems of fuzzy linear programming.Forma 11- • zation and solution methods // Fuzzy sets In informatics. ■

с

Moscow International Conference, Abstracts, Moscow, 1988, pp. 67-68.

10. Язенин А.В. Логико-лингвистические правила решения в зада. чах нечеткого линейного программирования// Нечеткие системы

поддержки принятия решений/Под ред. Язенина А.В., Калинин, 1989, с.58-66.

11. Язенин А.В. Гибридная экспертная система для планирования// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.1989. N5, с.162-167.

12. Yazenln A.V. Linear programming In fuzzy random environment // Toward a unified fuzzy sets theory. Third Joint IFSA-EC and EURG - WG vorkshop on fuzzy sets, Abstracts, Hungary, Vlsegrad, 1990, pp.89-90.

13. Yazenln A.V. Fuzzy optimization and Integrated expert ays-

tems//Internatlonal symposium "On fuzzy approach to reasoning and decision-making", Czechoslovakia, Bechyne, Abstracts, 1990, p.100.

14. Язешш А.В. О методе решения задачи нечеткого линейного программирования одного класса/УНечеткие системы: модели и программные средств/Под ред. Язенина А.В., Тверь, ТГУ.1991,

C.II-I6.

15. Yazenln A.V. An expert system for the solution , on fuzzy linear programming problems// Lecture Notes In ^Economics and Mathematical Systems. Interactive fuzzy optimization, v.368, Sprlnger-Verlag, 1991, pp.202-216.

16. Язешш А.В. Линейное программирование со случайными нечеткими данными// Изв. АН СССР. Техн. киберндтика. 1991. N3, с.52-58.

17. Язенин А.В. Модели возможностного программирования в оптимизации систем// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1991. N5, с.133-142.

18. Yazenln A.V. Multiple objective linear programming problems with fuzzy.data // Joint Hungarian - Japanese Symposium on fuzzy systems and application, Extendet Abstracts, Hungary, Budapest, 1991, pp. 167-170.

19. Язешш А.В. Квазиэффективные решения задач многокритериальной нечеткой оптимизации // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1992. N5,0.163-170.

20. Язены А.В. Возможностное и интервальное -линейное программирование /7 Изв. РАН. Техн. кибернетика.1993.N5,с.149-155.

21. Yazenin A.V. Decision support systems ior solving possibl-llstlc linear programming problems// First European Congress on Fuzzy and Intelligent Technologies(EUFIT*93), Germany, Aachen, 1993, Proceedings, v.3, pp. 1369-1374.

22. Язенин А.В. Моделирование ограничений в задачах возможност-ного линейного программирования// Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994, N2, с. 84-88.

23. Yazenin A.V. Multiobjectlve fuzzy linear optimization: approach and basic results// 13th European Congress on Operational research(EUR013/0R36),Operational Research Desld-ning Practical Solutions,Abstracts, University of Strathc-lyde, Glasgow, 1994, pp.172-173.

24. Yazenin A.V. The research of possibillstic model of fuzzy optimization // Second European Congress on Technlgues and Soft Computing (EUFIT194), Germany, Aachen, 1994, Proceedings, v.2, pp.669-674.

25. Yazenin A.V., Wagenknecht M. Non-dominated Elements and Fuzzy Scalaring Functions in Vector Optimization // The Journal of Fuzzy Mathematics, 1994, v.2, из, pp.565-578.

ТвГУ.Подписано в печать 12.07,95.Тираж 100 экз.Заказ ГОГ

Отпечатано на ротапринте ТвГУ