автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка и исследование алгоритмов нечеткой классификации ситуаций для решения задач экологического мониторинга

На правах рукописи , . - .. ?

РГ6 ом !

г

• ^ й ноя 2000 Г

ТИМОШЕНКО Роман Петрович

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ НЕЧЕТКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ СИТУАЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО МОНИТОРИНГА

Специальности:

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях, 05.13.14 - Системы обработки информации и управления

ч

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Таганрог - 2000г.

Работа выполнена в Таганрогском государственном радиотехническом университете

Научные руководители:

доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки и

техники РФ БЕРШТЕЙН Леонид Самойлович,

кандидат технических наук, доцент ЦЕЛЫХ Александр Николаевич

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук, профессор КАРЕЛИН Владимир Петрович, Доктор технических наук, профессор ФИНАЕВ Валерий Иванович

Ведущее предприятие:

Ростовский государственный университет путей сообщения

Защита состоится « 30 »_июня 2000 г. в 14 часов на

заседании диссертационного совета Д 063.13.02 при Таганрогском государственном радиотехническом университете по адресу: 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский 44, ауд. Д - 406.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке университета.

Автореферат разослан «2.9» мая 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент/-/ А.Н. Целых

& Ог) е-0 ('¿/^И - Ур- г /^гс^су^гс

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время методы теории нечетких множеств находят широкое применение при управлении организационно-технологическими системами. Развитие теории нечетких множеств обусловлено развитием техники и технологий, требующих новых подходов к решению организационно-технических задач, процессов принятия решений человеком, логико-лингвистических систем управления. Для решения этих задач потребовались методы, позволяющие использовать элементы естественного языка. Набором таких методов обладает теория нечетких множеств. Она позволяет наилучшим образом структурировать все то, что разделено не очень точными границами. С нечеткостью сталкиваются различные специалисты: экономисты, лингвисты, специалисты по теории информации, биологи, экологи, социологи и другие. Нечеткость информации обусловлена наличием в описаниях задач принятия решений понятий и отношений с нестрогими границами, а также высказываний с многозначной шкалой истинности.

Особую актуальность приобретают методы, позволяющие формализовать нечеткость. Одним из таких методов является метод нечеткой классификации, основанный на теории нечетких множеств. Таким образом, тема данной диссертационной работы является актуальной и представляет практический интерес.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка и исследование алгоритмов нечеткой классификации ситуаций, предназначенных для поддержки процесса принятия решений в задачах экологического мониторинга.

Для этого необходимо решить следующие задачи:

- Разработка и исследование алгоритмов нечеткой классификации: алгоритма численной нечеткой классификации, алгоритма сокращенной численной нечеткой классификации и алгоритма обратной численной нечеткой классификации. Оценка сложности алгоритмов и их сравнительный анализ.

- Разработка алгоритма построения функций принадлежности интервального нечеткого множества. Разработка и исследование арифметических и теоретико-множественных операций над интервальными нечеткими множествами. Исследование свойств интервальных нечетких множеств.

- Разработка и исследование способов построения комбинированных мер сходства, мер сходства нечетких множеств с интервальной оценкой, мер сходства интервальных нечетких множеств.

' - Разработка программного комплекса, реализующего алгоритмы нечеткой классификации: численной нечеткой классификации,

сокращенной численной нечеткой классификации, обратной численной нечеткой классификации, алгоритм построения функции принадлежности интервального нечеткого множества.

Методы исследования базируются на применении комбинаторики, теории нечетких множеств, нечеткой математики и логики.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

- разработан алгоритм численной нечеткой классификации;

- разработан алгоритм сокращенной численной нечеткой классификации;

- разработан алгоритм обратной численной нечеткой классификации;

- получены оценки сложности перечисленных алгоритмов нечеткой классификации по числу операций;

- предложен способ построения меры сходства с интервальной оценкой;

- исследованы и выявлены свойства мер сходства, использующих интервальные нечеткие множества.

Практическая ценность работы. Разработан программный комплекс, реализующий алгоритмы нечеткой классификации, который позволяет ускорить и упростить процесс классификации, а также исключить ошибки эксперта. Данный программный комплекс используется для качественной оценки экологического состояния территории г. Таганрога, что подтверждается соответствующим актом.

Предложены способы построения мер сходства нечетких множеств, которые позволяют наилучшим образом учитывать различные смысловые трактовки исходных данных. Это позволяет строить более адекватные алгоритмы и принимать обоснованные решения.

Разработанные алгоритмы нечеткой классификации могут быть использованы в предметных областях, где есть неопределенность и человеческий фактор.

Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается математическими и аналитическими доказательствами и оценками, результатами математического моделирования.

Использование результатов работы. Результаты диссертации внедрены в Таганрогском городском экологическом фонде, Южнороссийском региональном кадастровом центре «Земля» (г. Таганрога) и в учебном процессе на кафедре прикладной информатики Таганрогского государственного радиотехнического университета, что подтверждается соответствующими актами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации представлены на VI Национальной конференции по искусственному интеллекту с международным участием КИИ' 98 (Пущино, 1998 г.), на

XXVI Международной конференции и дискуссионном клубе «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации, бизнесе и охране природных ресурсов» IT+SE'99 (Гурзуф, Украина, 1999 г.), на II Международном симпозиуме по проблемам рационального природопользования й обеспечения безопасности жизнедеятельности «Мониторинг и природопользование чрезвычайных ситуаций» EMF'97 (Махачкала, 1997 г.), на III Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника. Микроэлектроника. Системы связи и управления» (Таганрог, 1997 г.), на Всероссийской научно-технической конференции с участием международных представителей «Интеллектуальные САПР-97» ICAD-97 (Таганрог, 1998 г.), на IV Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 1998 г.), на Второй всероссийской конференции молодых ученых и аспирантов «Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения» (Таганрог, 1999 г.), на Международной научно технической конференции «Интеллектуальные САПР - 98» (Таганрог, 1999 г.), на XLIV научно-технической и научно-методической конференций профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ (Таганрог, 1999 г.).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 12 печатных работ.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы из 65 наименований и приложений. Текст диссертации изложен на 180 страницах, включая 43 рисунка, 6 таблиц и 21 страницу приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Показана актуальность темы, дана характеристика работы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

В первом разделе диссертации приводится обзор и анализ методов построения функций принадлежности нечетких множеств. Описываются параметры, по которым проводится классификация методов построения функций принадлежности: вид области определения, тип экспертной информации, способ экспертного опроса, интерпретация данных экспертного опроса. Рассматриваются некоторые методы построения функций принадлежности нечетких множеств.

Приводятся модели принятия решений, основанные на теории нечетких множеств. Рассматриваются нечеткие модели ситуационного управления. Анализируются особенности нечетких моделей.

Во втором разделе диссертации приведены основные теоретико-множественные н логические операции теории нечетких множеств, используемые в нечетких алгоритмах. Рассматриваются существующий алгоритм и модель нечеткой классификации. Модель описывает разбиение многомерного пространства признаков на нечеткие классы. Проводится оценка числа операций этого алгоритма.

Описывается модель оценки экологического состояния участка поверхности на основании знаний экспертов. В этой модели оценивается состояние исследуемого участка на основании опроса группы экспертов.

Предлагается методика численного представления функций лингвистических переменных для модели нечеткой классификации. Рассмотрим множество, состоящее из I лингвистических переменных (аь а2, •••. а^, каждая из которых принимает одно из значений множества у, = [О, 1, ..., р;-1], где 1 = 1, ..., I, р, - число лингвистических значений I лингвистической переменной, I - число лингвистических переменных. Обозначим а;4'* - значение ¡-ой лингвистической переменной. Число всех значений лингвистических переменных равно р = £ р. •

1=1 1

Над множеством лингвистических переменных построим пространство, состоящее из I местных наборов А = {а^1, ..., а^'}. Общее число наборов определяется по следующей формуле

__С1)

Каждому ш N наборов сопоставим эталонный нечеткий класс. Классы нумеруются от 1 до Я, где И. - число эталонных нечетких классов. Произведем однозначное отображение множества наборов лингвистических переменных А на множество эталонных нечетких классов р. Будем рассматривать множество наборов А, как значение функции 0=*А).

Полное множество переменных, связанных операциями конъюнкции, назовем аргументами функции или кортежами. Эту функцию можно представить как в табличном, так и в буквенно-аналитическом виде.

Кортеж функции Г может быть представлен номером своего набора {аЛ1, а,412,..., а^1} в виде десятичного числа следующим образом

Ща,4", а2'

Ч»2

, а/«)

1

2 ¡=1

щ-

N

ПРк к=1

(2)

Разрабатываются алгоритмы: численной нечеткой классификации, сокращенной численной нечеткой классификации и обратной численной нечеткой классификации. Проводится их оценка по числу операций.

Алгоритм численной нечеткой классификации.

1. По таблице классификации формируются нечеткие классы. Общее число записей в таблице и соответственно ситуаций определяется по формуле (1). Для каждого класса формируется список номеров кортежей (ситуаций), которые его описывают.

2. Определяется минимальное значение среди значений лингвистических переменных признаков. Находится номер переменной, соответствующий минимальному значению лингвистической переменной, а также номер лингвистической переменной.

3. Генерируются группы номеров ситуаций, содержащих найденную переменную указанного признака. Номер ситуации подставляется в формулу (2), а затем в формулу последовательным перебором подставляются номера переменных других признаков. После этого переменная и номер переменной исключаются из дальнейшего рассмотрения.

4. Из списков ситуаций классов удаляются переменные сформированной группы ситуаций. Если из списка переменных класса удаляется последняя переменная, то этому классу присваивается степень принадлежности текущему значению лингвистической переменной. Операция продолжается до тех пор, пока не будут удалены переменные из сгенерированной группы.

5. Пункты 2-4 повторяются до тех пор, пока не будут удалены все ситуации из списков классов.

Решение задачи нечеткой классификации может осуществляться за несколько шагов. Под шагом понимается повторение пунктов алгоритма со 2 по 4. Алгоритм иллюстрируется примером. Формула для оценки числа операций алгоритма имеет следующий вид

8(К,Р,Г)^21Ы-К^ + 35^(Р) + 3(Р-1 + 1), (3)

где (Р2)/2 - число операций сортировки, необходимое для сортировки Р значений лингвистических переменных, 8т|„(Р) - число операций при минимальном числе шагов алгоритма.

Свойство 1.

Если функции принадлежности значений одной из лингвистических переменных являются наименьшими среди всех функций принадлежности Значений лингвистических переменных, то' число' шагов алгоритма будет равно числу значений этой лингвистической переменной.

Свойство 2.

Число шагов алгоритма численной нечеткой классификации не может превышать Т = Р -1 + 1.

Свойство 3.

В результате работы алгоритма нечеткой классификации и алгоритма численной нечеткой классификации получаются одинаковые решения.

Алгоритм сокращенной численной нечеткой классификации.

1. По таблице классификации формируются нечеткие классы. Для классов записываются определяющие их номера ситуаций. Ситуации нумеруются от 0 до N. где N определяется по формуле (1).

2. Определяется максимальное значение функции принадлежности для каждой лингвистической переменной. Определяются номера переменных, соответствующие максимальным значениям лингвистических переменных.

3. После того как найдены номера лингвистических переменных признаков, по формуле (2), определяется номер ситуации, которой принадлежат максимальные значения лингвистических переменных. При определении номера используется число на единицу меньшее, чем номер лингвистической переменной.

4. По таблице классификации определяется класс, к которому относится ситуация, имеющая максимальные значения функций принадлежности лингвистических переменных.

5. Среди максимальных значений лингвистических переменных находится минимальное значенйеГ~Найденкое—значение—и—определяет-степень принадлежности исследуемой ситуации классу.

Алгоритм иллюстрируется примером. Формула для оценки числа операций алгоритма имеет следующий вид

Б(Р, I) = 3 ¿Р? +21. (4)

¡=1 2

Свойство 4.

В результате работы алгоритма нечеткой классификации и алгоритма сокращенной численной нечеткой классификации получаются одинаковые решения, для случая, когда среди полученных нечетких классов (в результате работы первого алгоритма) выбирается класс, степень принадлежности к которому максимальная.

Алгоритм обратной численной нечеткой классификации.

1. По таблице классификации формируются нечеткие классы. Для каждого класса формируется свой список номеров кортежей, определяющих подмножество ситуаций класса.

2. Определяется максимальное значение функции принадлежности для каждой лингвистической переменной. Определяются номера переменных, соответствующих максимальным значениям лингвистических переменных.

3. Сортируются по возрастанию все значения функций принадлежности лингвистических переменных. Создаются группы номеров каждой лингвистической переменной. Вначале в эти группы включаются номера с максимальными значениями лингвистических переменных.

4. Определяется наибольшее значение (в порядке убывания) функции принадлежности из отсортированного списка значений функций принадлежности. Из рассмотрения исключаются переменные, уже отнесенные, в какую либо группу.

5. Генерируются группы номеров ситуаций (кортежей), содержащие найденную переменную указанного признака. Номер ситуации подставляется в формулу (2), а затем в формулу последовательным перебором подставляются номера переменных других признаков. После генерации, каждый номер проверяется на принадлежность к классу. После того, как проверены все созданные значения группы, значение функции принадлежности исключается из дальнейшего рассмотрения. Номер добавляется в список используемых номеров значений лингвистических переменных.

6. Определяется класс, к которому принадлежит сгенерированная ситуация. Если степень принадлежности к классу не определена, то ей присваиваем текущее значение функции принадлежности. Если степень принадлежности классу определена, то переходим к следующей ситуации.

7. Пункты 4-6 повторяются до тех пор, пока для каждого класса не будет определена степень принадлежности ему поступившей ситуаций.

Алгоритм иллюстрируется примером. Формула для оценки числа операций алгоритма

2 ¡=12

Проводится оценка сложности этих алгоритмов. В завершении раздела проводится исследование и сравнительный анализ рассмотренных алгоритмов. По данным исследования можно сделать следующие выводы:

- для малого числа лингвистических переменных (до 5) при небольшом числе значений лингвистических переменных (порядка 2-3) эффективнее использовать алгоритм нечеткой классификации, так как он позволяет быстрее получить решение;

- алгоритм численной нечеткой классификации эффективнее использовать при среднем (порядка 5-10) числе значений лингвистических переменных;

- алгоритм сокращенной численной нечеткой классификации позволяет получать сокращенное решение за число шагов на порядок меньшее, чем в алгоритме нечеткой классификации;

- для большого числа лингвистических переменных и их значений (от 10), алгоритм обратной численной нечеткой классификации позволяет проводить классификацию в два раза быстрее, чем алгоритм нечеткой классификации.

В третьем разделе диссертации рассматриваются комбинированные меры сходства, меры сходства с интервальной оценкой, меры сходства, использующие интервальные нечеткие множества. Предлагается алгоритм построения функции принадлежности интервального нечеткого множества. Приводится определение интервального нечеткого множества. Рассматриваются арифметические и теоретико-множественные операции над интервальными нечеткими множествами. Исследуются их свойства, доказываются теоремы де Моргана для интервальных нечетких множеств. Рассматривается алгоритм нечеткой классификации на основе интервальных нечетких множеств.

Идея построения функции принадлежности интервального нечеткого множества базируется на традиционных принципах построения функций принадлежности и на принципах интервальной арифметики. -Определение.-----

Понятие интервального нечеткого множества. Пусть X -произвольное непустое множество. Интервальным нечетким подмножеством А* множества X называется множество пар

А* = {<|Л(х), х>}, где хеХ, ц'(х)с[0,1]. (6)

Функция р*(х) называется функцией принадлежности интервального нечеткого множества А , а X - базовым множеством. Здесь и далее нечеткие множества обозначаются прописными латинскими буквами со звездочкой.

Под интервальной функцией принадлежности ц (х) понимается замкнутое ограниченное подмножество значений из интервала [0,1] вида

= [ М (х), ~ц (х)], ц'(х)с:[0Д], Е (х)<м (х), хеХ, (7)

где м(х) - нижняя, а /л (х) - верхняя границы функции принадлежности интервального нечеткого множества. Значения интервальной функции

"гринадлежности могут задаваться исходя из мнения одного эксперта, либо определяться на основании опроса группы экспертов.

Приводятся основные теоретико-множественные операции над интервальными нечеткими множествами: объединение, пересечение, равенство, дополнение, разность, симметрическая разность, операции максимума и минимума, операции порядка. Приводятся рисунки, иллюстрирующие перечисленные операции.

Рассматриваются теоремы де Моргана для случая интервальных нечетких множеств. Проводится доказательство теорем де Моргана.

Теорема 1. Докажем выражение а'^в'с А*иВ*-

Теорема 2. Докажем выражение А*иВ*3 А*ПВ* ■

Коммутативность выполняется для любых А* и В*.

А * Г* * 1 * » * „ * . *

А пВ =В п А, А иВ =В иА

Ассоциативность имеет место для любых А*, В*, С*.

(А* и В*) и С* = А* и (В* и С*),

(А*п В*) г\С' = А'п(В' п С'),

Теорема 3.Докажем равенство

А* и (В* п С*) = (А* и В*) г» (А* и С*).

Теорема 4. Докажем равенство

А* г. (В* и С*) = (А* п В') и (А* п С*).

Рассматриваются арифметические операции над интервальными нечеткими множествами: сумма, разность, умножение. Приводятся рисунки, иллюстрирующие перечисленные операции. Описанные ранее теоретико-множественные и арифметические операции используются при исследовании мер сходства.

В настоящее время существует достаточно методов, позволяющих определить меру сходства между двумя нечеткими множествами. К таким мерам сходства относятся: мера сходства по Заде, мера сходства по Лукасевичу, мера сходства по площади, мера сходства по Евклиду, по Танимото и др. Предлагаются подходы к построению комбинированных мер сходства, мер сходства с интервальной оценкой, а также мер сходства на основе интервальных нечетких множеств.

Если в описании среды присутствуют разнородные параметры, то целесообразно предложить комбинированную меру сходства, учитывающую особенности сравниваемых ситуаций. Например, рассмотрим комбинированную меру сходства, использующую меры сходства Заде и Лукасевича

(8)

(9)

(10)

Со (А,В) = а * z(A, В) + (1 - а) * 1(А,В),

(И)

где ае[0, 1] - коэффициент, отражающий характер используемых параметров, z(A,B)- мера сходства Заде, 1(А,В)- мера сходства Лукасевича. Коэффициент а определяется экспертом. Рассматривается пример, иллюстрирующий комбинированную меру сходства.

Меру сходства с интервальной оценкой будем трактовать следующим образом

Cd(i)=C(i)*f(d), (12)

где 0<f(d)<l/C(i), i=l,..,п - число сравниваемых точек, при условии C(iyo, где C(i) - мера сходства между элементами i - й пары. Здесь f(d) -вспомогательная функция, позволяющая уточнить значение меры сходства C(i). Параметр de[0,l] будем называть корректирующим коэффициентом. Значение вспомогательной функции f(d) определяется только для тех сравниваемых пар функций принадлежности элементов нечетких Множеств, которые вызывают сомнения у экспертов. В качестве верхней границы будем использовать величину, обратную к значению не скорректированной меры сходства 1/C(i). Тем самым мы сохраняем ограничения на значения меры сходства. Случай, когда f(d) = 1 означает, что зь„. ние меры сходства не требует корректировки (как правило, таких пар заведомо больше). Если 0<f(d)<l—то это значит, что для данной пары необходимо уменьшить меру сходства. Если l<f(d)<l/C(i) - то это значит, что для данной пары необходимо увеличить меру сходства. Данные поправки отражаются на значении общей меры сходства. Рассматривается пример, иллюстрирующий меру сходства с интервальной оценкой.

Приведенные выше меры сходства являются не единственными вариантами как комбинированных, так и мер сходства с интервальными оценками. Проведенные исследования показывают, что выбор меры сходства должен осуществляться исходя из специфики задачи: количества данных, точности экспертных оценок, объема вычислений. В разделе предложены направления, по которым возможен поиск мер сходства между нечеткими множествами для того, чтобы мера сходства в полной мере отвечала требованиям задачи.

Рассматривается применение аппарата интервальных нечетких множеств для определения мер сходства между двумя интервальными нечеткими множествами. Стандартные операции умножения, деления, разности, суммы, модуля заменены аналогичными интервальными оЬерациями. Результатом выполнения операции модуля над интервальным

числом является то же интервальное число. При вычислении мер сходства используются и стандартные интервальные операции.

Проводятся исследования и сравнительный анализ мер сходства Заде, Лукасевича, Евклида, по площади для случая интервальных нечетких множеств. Приводятся примеры, иллюстрирующие использование интервальных множеств в задачах нечеткой классификации.

Анализируются преимущества и недостатки использования интервальных нечетких множеств. Важно получить наиболее полное и адекватное описание ситуации и затем на его основе принять правильное решение, чем на начальном этапе отбросить немаловажную часть данных, или пренебречь ее обработкой. Интервальная форма записи функции принадлежности несколько усложняет ее применение относительно стандартной функции принадлежности, но вместе с тем позволяет получать не только решение, но и одновременно его оценку. Предложена процедура двухэтапного решения задачи классификации. На первом этапе выбирается алгоритм, дающий наименьшую ширину интервала. На втором этапе проводится решение задачи выбранным алгоритмом.

Демонстрируется использование интервальных нечетких множеств в модели нечеткой классификации. Решается задача нечеткой классификации на основе интервальных нечетких множеств.

В четвертом разделе проводится краткий обзор и анализ существующих систем, использующих нечеткую логику. Описывается работа программного модуля, реализующего алгоритмы нечеткой классификации.

Разработанный программный модуль, основываясь на знаниях эксперта, позволяет классифицировать участок почвы, анализируя данные пробы химических элементов на этом участке. В разделе рассматривается работа программного модуля на примере пяти химических элементов.

Приводится структурная схема, иллюстрирующая логические связи различных подсистем программного модуля. Программный модуль включает в себя: подсистему сбора и обработки экспертной информации, подсистему принятия решений, подсистему визуализации информации, БД экспертной информации, БД проб химических элементов и электронные карты территории города Таганрога. Подробно описывается и сопровождается примерами работа каждой подсистемы.

Приводится структурная схема, иллюстрирующая логические связи БД, хранящих экспертную информацию. Подробно расписываются поля БД экспертной информации.

Приводятся экранные формы, иллюстрирующие процесс опроса эксперта, ввод классифицируемых данных, результаты нечеткой классификации. Иллюстрируются различные режимы работы программы. Система автоматической нечеткой классификации позволяет ускорить

процесс классификации. В сравнении с неавтоматизированной оценкой экологического состояния города Таганрога, программный модуль позволяет на несколько порядков ускорить процесс построения карты оценки экологической оценки территории города Таганрога.

Заключение. В работе получены следующие научные и практические результаты.

1.Разработаны и исследованы алгоритмы нечеткой классификации: алгоритм численной нечеткой классификации, алгоритм сокращенной численной нечеткой классификации и алгоритм обратной численной нечеткой классификации, которые позволяют ускорить и упростить процесс классификации.

2. Разработаны и исследованы арифметические и теоретико-множественные операции над интервальными нечеткими множествами. Исследованы свойства интервальных нечетких множеств. Модели и алгоритмы, построенные на основе интервальных операций, позволяют получать решение вместе с его оценкой, которая позволяет повысить качество принимаемых решений.

3.Разработаны и исследованы способы построения комбинированных мер сходства нечетких множеств, мер сходства с интервальной оценкой и мер сходства интервальных нечетких множеств, которые позволяют наилучшим образом учитывать различные смысловые трактовки исходных, данных, строить более адекватные алгоритмы и принимать обоснованные решения.

-4. Разработан программный комплекс, реализующий алгоритмы

нечеткой классификации. Его практическое применение позволяет: исключить ошибки эксперта, оперативно качественно оценивать и прогнозировать экологическое состояние территории г. Таганрога.

В приложении 1 приводятся акты о внедрении результатов диссертационной работы.

В приложении 2 приводятся графики функций принадлежности лингвистических переменных и таблица классов, иллюстрирующие работу программного модуля.

В приложении 3 приводится пример программного кода, реализующего процесс нечеткой классификации согласно алгоритмам, описанным во втором и третьем разделах.

Результаты диссертации изложены в 12 печатных работах.

1. Тимошенко Р.П. Разработка подсистемы принятия решений в экологической геоинформационной системе. // Тезисы докладов. 3 Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов. Радиоэлектроника. Микроэлектроника. Системы свя!и и управления. Таганрог: Изд-воТРТУ, 1997. с. 255-256.

2. Целых А.Н., Тимошенко Р.П. Программная реализация подсистемы принятия решений в экологической геоинформационной системе. // Тезисы докладов. Второй международный симпозиум по проблемам рационального природопользования и обеспечения безопасности жизнедеятельности «Мониторинг и природопользование чрезвычайных ситуаций». Махачкала: Изд-во ДГТУ, 1997. с. 89-90.

3. Целых А.Н., Тимошенко Р.П, Оценка экологической обстановки окружающей среды на основе анализа знаний экспертов. // Известия ТРТУ. Тематический выпуск «Управление в социальных и экономических системах». Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1998. № 1. с. 219-222.

4. Целых А.Н., Тимошенко Р.П. Принятие решений в экологической геоинформационной системе на основе нечеткой модели классификации. // Известия ТРТУ. Тематический выпуск «Интеллектуальные САПР». Материалы всероссийской научно-технической конференции с участием международных представителей «Интеллектуальные САПР-97». Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1998. № 2. с. 217220.

5. Берштейн Л. С., Целых А. Н., Тимошенко Р. П. Формирование управляющих решений в гибридной экспертной системе на основе нечетких множеств. // Тезисы докладов. Шестая национальная конференция по искусственному интеллекту с международным участием КИИ' 98. Пущино, 1998. с. 368-372.

6. Тимошенко Р.П. Программная реализация алгоритма минимального покрытия таблицы управляющих решений. // Тезисы докладов. 4 Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов. Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1998. с. 280 - 281.

7. Берштейн Л. С., Целых А. Н., Тимошенко Р. П. Об использовании интервальной функции принадлежности нечеткого множества. // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. Ростов - на - Дону: изд-во Ростовского госуниверситета. 1999. №1. 106 с. 3-8 с.

8. Берштейн Л.С., Целых А.Н., Тимошенко Р.П. Методы принятия решений на основе мер сходства нечетких множеств, использующих интервальные оценки. // Известия ТРТУ. Тематический выпуск. Интеллектуальные САПР. «Материалы Международной научно технической конференции» Интеллектуальные САПР - 98. Таганрог: ТРТУ, 1999, №3 (13). с. 14-18.

9. Тимошенко Р.П. Сравнительный анализ методов решения задачи нечеткой классификаций, основанных на нечетких и интервальных нечетких множествах. // Тезисы докладов. Вторая всероссийская конференция молодых ученых и аспирантов. Новые информационные

технологии. Разработка и аспекты применения. Таганрог: ТРТУ, 1999. с. 48-49.

Ю.Тимошенко Р.П,, Целых А.Н. Методы нечеткой классификации с использованием интервальной функции принадлежности. //• Труды конференции. XXVI международная конференция и дискуссионный клуб. Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации, бизнесе и охране природных ресурсов. 1Т+8Е'99. Гурзуф. 1999, с. 72 - 73.

11. Целых А.Н., Тимошенко Р.П. Минимизация эталонных классов в модели классификации. // Известия ТРТУ. Специальный выпуск. Материалы Х1ЛУ научно-технической и научно-методической конференций профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999. № 2 (12). с. 82-85.

12. Целых А.Н., Тимошенко Р.П. Принятие решений на основе мер сходства интервальных нечетких множеств. Препринт. Ростов - на - Дону: Изд-во Северо-Кавказского научного центра высшей школы, 1999,36 с.

В опубликованных работах лично автором получены следующие результаты. В [1] описывается работа программного модуля подсистемы принятия решений на основе нечеткой классификации. В [2] рассматривается структурная схема подсистемы принятия решений, использующей алгоритмы нечеткой классификации. В [3] рассматривается модель "ченки экологической обстановки окружающей среды на основе анализа знаний экспертов. В [4] приводится модель нечеткой

-классификации,-рассматривается—алгоритм—численной-нечеткой

классификации. В [5] анализируется структура гибридной экспертной системы, предлагается алгоритм сокращенной численной нечеткой классификации. В [6] рассматривается программная реализация алгоритма сокращенной численной нечеткой классификации. В [7] предлагается алгоритм построения функции принадлежности интервального нечеткого множества, рассматривается ряд теоретико-множественных и арифметических операций, исследуются свойства интервальных нечетких множеств. В [8] рассматривается подход к построению, как комбинированных мер, так и мер с интервальной оценкой. В [9] проводится сравнительный анализ алгоритмов нечеткой классификации. В [10] предложен метод нечеткой классификации с использованием функции принадлежности интервального нечеткого множества. В [11] предложен алгоритм минимизации эталонных классов. В [12] предложен поэтапный процесс классификации, проведено исследование и анализ мер сходства.

Введение

1. Методы построения функций принадлежности нечетких множеств, модели и методы принятия решений, базирующиеся на нечеткой логике

1.1. Обзор методов построения функции принадлежности нечеткого множества

1.1.1. Построение функций принадлежности на основе парных сравнений

1.1.2. Параметрическое определение функции принадлежности с участием индивидуального ЛИР

1.1.3. Комбинированный метод для группы экспертов

1.1.4.Построение функций принадлежности лингвистических термов с использованием статистических данных

1.1.5 .Построение функций принадлежности на основе экспертных оценок

1.1.6 Построение функций принадлежности на основе интервальных оценок

1.2.Модели и методы принятия решений, основанные на нечетких множествах

1.2.1 .Логико-лингвистическое описание систем, нечеткие модели и алгоритмы управления

1.2.2. Формализация и декомпозиция нечетких алгоритмов

1.2.3. Нечеткая модель композиции

1.2.4. Нечеткие модели принятия решений при управлении сложными системами

1.2.5. Особенности нечетких моделей

1.3.Выводы по разделу

2. Классификационные модели на основе нечеткой логики

2.1. Нечеткие множества. Основные определения 32 2.1.1 .Основные характеристики нечетких множеств 33 2.1.2. Нечеткие высказывания и нечеткие множества 34 2.1.3 .Нечеткая и лингвистическая переменные

2.2. Модели и алгоритмы нечеткой классификации

2.2.1. Модель оценки экологического состояния участка поверхности на основании знаний экспертов

2.2.2. Модель нечеткой классификации

2.2.3. Оценка числа операций алгоритма нечеткой классификации

2.2.4. Численное представление функций лингвистических переменных

2.2.5. Алгоритм численной нечеткой классификации

2.2.6. Оценка числа операций алгоритма численной нечеткой классификации

2.2.7.Алгоритм сокращенной численной нечеткой классификации

2.2.8.Алгоритм обратной численной нечеткой классификации 69 2.2.9.0ценка числа операций алгоритма обратной численной нечеткой классификации 71 2.2.10. Сравнительный анализ алгоритмов нечеткой классификации

2.3. Выводы по разделу

3. Исследование мер сходства с использованием интервальных нечетких множеств

3.1. Построение и использование функции принадлежности интервального нечеткого множества

3.2. Операции над интервальными нечеткими множествами 84 3.2.1. Теоретико-множественные операции над интервальными нечеткими множествами

3.2.2. Свойства нечетких интервальных подмножеств

3.2.3. Арифметические операции над интервальными нечеткими множествами

3.3 .Меры сходства нечетких множеств

3.3.1 .Комбинированные меры сходства

3.3.2.Меры сходства с интервальной оценкой

3.3.3. Меры сходства интервальных нечетких множеств 108 3.4.Решение задачи интервальной нечеткой классификации . 117 3.5 .Выводы по разделу

4. Нечеткая классификация для качественной оценки экологического состояния территории Таганрога

4.1. Применение нечеткой логики

4.1.1. Система СиЫСа1с

4.1.2. Система РиггуТесЬ

4.1.3. Система РигЮак

4.2. Постановка задачи экологического мониторинга на основе нечеткой классификации

4.3. Подсистема нечеткой классификации 132 4.3.1 .БД экспертной информации и связанные с ней функции, программного модуля

4.3.2.Подсистему сбора и обработки экспертной информации

4.3.3.Подсистема принятия решений

4.3.4.Подсистема визуализации информации

4.4. Выводы по разделу 150 Заключение 152 Список литературы 153 Приложения

Теория нечетких множеств переживает период становления, который сопровождается блестящими примерами ее применения. В теоретическом плане достигнуты существенные успехи: пройден большой путь от понятий нечеткого множества и функции принадлежности к созданию теории возможностей, нечеткой логики, нечеткого моделирования и управления.

Развитие теории нечетких множеств обусловлено развитием техники и технологий, требующих новых подходов к решению организационно-технических задач, процессов принятия решений человеком, логико-лингвистических систем управления. Для решения этих задач потребовались методы, позволяющие использовать элементы естественного языка. Существующих методов теории принятия решений оказалось недостаточно, возникла необходимость в новых методах, позволяющих обрабатывать информацию, по крайней мере, в виде понятий и отношений естественного языка.

Набором таких методов обладает теория нечетких множеств. Она позволяет наилучшим образом структурировать все то, что разделено не очень точными границами. Нечеткость информации обусловлена наличием в описаниях задач принятия решений (ПР) понятий и отношений с нестрогими границами, а также высказываний с многозначной шкалой истинности. Не только общественные науки наполнены всеми видами абстрактных и конкретных форм; но и науки, называемые точными, могут иметь дело с ситуациями, в которых неопределенность заложена самой природой вещей. С нечеткостью сталкиваются различные специалисты: экономисты, лингвисты, специалисты по теории информации, биологи, экологи, социологи и другие.

В нечеткой среде в виде нечетких понятий и отношений могут быть выраженными все элементы задачи: альтернативы, исходы и зависимости между ними, оценки вероятностей наступления исходов, критериальные оценки исходов, отношения предпочтения лица принимающего решение (ЛПР), решающее правило. Использование нечетких словесных понятий, которыми оперирует ЛПР, позволяет ввести в рассмотрение качественные описания и учесть неопределенность задачи ПР, достигнуть полного описания всех факторов, имеющих отношение к данной задаче и не поддающихся точному количественному описанию.

Теория нечетких подмножеств не призвана конкурировать с теорией вероятности и статистическими методами; она заполняет пробел в области структуризованной неопределенности там, где нельзя корректно применять статистику и вероятности.

В 1965 г. вышла основополагающая статья Заде JI.A. (L. Zadeh) по теории нечетких множеств и нечеткой логике. С этого момента начался активный процесс развития теории нечетких множеств, как в России, так и за рубежом. Весомый вклад в развитие теории нечетких множеств внесли учёные: Аверкин

A.B., Алиев P.A., Борисов А.Н., Батыршин И.З., Берштейн Л.С., Дюбуа Д., Кофман А., Мелихов А.Н., Орловский С.А., Поспелов Д.А., Прад А., Тарасов

B.Б., Ягер P.P. и многие другие.

Актуальность темы. В настоящее время методы и алгоритмы теории нечетких множеств находят широкое применение при управлении организационно-технологическими системами, принятии решений. Они используются для автоматизации управления сложными системами. Под управлением понимается процесс идентификации состояния системы, а затем выдача управляющего решения. Одним из методов идентификации состояния системы является метод нечеткой классификации. Вопросы, связанные с этой тематикой затрагиваются практически на всех конференциях, посвященных нечеткой логике.

Из сказанного следует, что тема данной диссертационной работы, посвященной разработке и исследованию алгоритмов нечеткой классификации ситуаций для решения задач экологического мониторинга, является актуальной и представляет практический интерес.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка и исследование алгоритмов решения задач нечеткой классификации, предназначенных для поддержки процесса принятия решений в задачах экологического мониторинга.

Для этого необходимо решить следующие задачи:

- Разработка и исследование алгоритмов нечеткой классификации: алгоритма численной нечеткой классификации, алгоритма сокращенной численной нечеткой классификации и алгоритма обратной численной нечеткой классификации. Оценка сложности алгоритмов и их сравнительный анализ.

- Разработка алгоритма построения функций принадлежности интервального нечеткого множества. Разработка и исследование арифметических и теоретико-множественных операций над интервальными нечеткими множествами. Исследование свойств интервальных нечетких множеств.

- Разработка и исследование способов построения комбинированных мер сходства, мер сходства нечетких множеств с интервальной оценкой, мер сходства интервальных нечетких множеств.

- Разработка программного комплекса, реализующего алгоритмы нечеткой классификации: численной нечеткой классификации, сокращенной численной нечеткой классификации, обратной численной нечеткой классификации, алгоритм построения функции принадлежности интервального нечеткого множества.

Методы исследования базируются на применении комбинаторики, теории нечетких множеств, нечеткой математики и логики.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

- разработан алгоритм численной нечеткой классификации;

- разработан алгоритм сокращенной численной нечеткой классификации;

- разработан алгоритм обратной численной нечеткой классификации;

- получены оценки сложности алгоритмов по числу операций;

- предложен способ построения меры сходства с интервальной оценкой;

- исследованы и выявлены свойства мер сходства, использующих интервальные нечеткие множества.

Практическая ценность работы. Разработан программный комплекс, реализующий алгоритмы нечеткой классификации, который позволяет ускорить и упростить процесс классификации, а также исключить ошибки эксперта. Данный программный комплекс используется для качественной оценки экологического состояния территории г. Таганрога, что подтверждается соответствующим актом.

Предложены способы построения мер сходства нечетких множеств, которые позволяют наилучшим образом учитывать различные смысловые трактовки исходных данных. Это позволяет строить более адекватные алгоритмы и принимать обоснованные решения.

Разработанные алгоритмы нечеткой классификации могут быть использованы в предметных областях, где есть неопределенность и человеческий фактор.

Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается математическими и аналитическими доказательствами, оценками и результатами математического моделирования.

Реализация результатов работы. Результаты диссертации внедрены в Таганрогском городском экологическом фонде, Южно-российском региональном кадастровом центре «Земля» (г. Таганрога) и в учебном процессе на кафедре прикладной информатики Таганрогского государственного радиотехнического университета, что подтверждается соответствующими актами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации представлены на VI Национальной конференции по искусственному интеллекту с международным участием КИИ' 98 (Пущино, 1998 г.), на XXVI Международной конференции и дискуссионном клубе «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации, бизнесе и охране природных ресурсов» 1Т+8Е'99 (Гурзуф, Украина, 1999 г.), на II Международном симпозиуме по проблемам рационального природопользования и обеспечения безопасности жизнедеятельности «Мониторинг и природопользование чрезвычайных ситуаций» ЕМР'97 (Махачкала, 1997 г.), на III Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника. Микроэлектроника. Системы связи и управления» (Таганрог, 1997 г.), на Всероссийской научно-технической конференции с участием международных представителей «Интеллектуальные САПР-97» 1САО-97 (Таганрог, 1998 г.), на IV Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 1998 г.), на Второй всероссийской конференции молодых ученых и аспирантов «Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения» (Таганрог, 1999 г.), на Международной научно технической конференции «Интеллектуальные САПР - 98» (Таганрог, 1999 г.), на ХЬГ/ научно-технической и научно-методической конференций профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ (Таганрог, 1999

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 12 печатных работ [9, 10, 12,53-61].

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения и четырех разделов, заключения, списка литературы из 65 наименований и приложений. Текст диссертации изложен на 180 страницах, включая 43 рисунка, 6 таблиц и 21 страницу приложений.

4.4.Выводы по разделу

1. Программные комплексы, использующие нечеткую логику, находят все большее применение. Об этом свидетельствует краткий обзор систем и программных продуктов, представленный в начале раздела. Из проведенного анализа можно сделать вывод, что для решения каждой задачи, использующей нечеткую логику необходимо разрабатывать свою систему, ориентированную на поставленную задачу.

2. Разработан программный комплекс, позволяющий строить интервальную функцию принадлежности по результатам опроса нескольких

151 экспертов, а также на ее основе производить интервальную классификацию поступающих ситуаций.

3. Разработанный программный комплекс позволяет проводить классификацию экологической обстановки по заданным параметрам (концентрации в почвенном слое химических элементов). Алгоритмы нечеткой классификации, позволяют ускорить процесс получения решения. Использование программного комплекса позволяет быстрее принимать обоснованное решение.

4. В сравнении с неавтоматизированной оценкой экологического состояния города Таганрога, программный комплекс позволяет на несколько порядков ускорить процесс построения карты оценки экологической оценки территории города Таганрога.

Заключение

В работе получены следующие научные и практические результаты.

1. Разработаны и исследованы алгоритмы нечеткой классификации: алгоритм численной нечеткой классификации, алгоритм сокращенной численной нечеткой классификации и алгоритм обратной численной нечеткой классификации, которые позволяют ускорить и упростить процесс классификации.

2. Разработаны и исследованы арифметические и теоретико-множественные операции над интервальными нечеткими множествами. Исследованы свойства интервальных нечетких множеств. Модели и алгоритмы, построенные на основе интервальных операций позволяют получать решение вместе с его оценкой, которая позволяет повысить качество принимаемых решений.

3. Разработаны и исследованы способы построения комбинированных мер сходства нечетких множеств, мер сходства с интервальной оценкой и мер сходства интервальных нечетких множеств, которые позволяют наилучшим образом учитывать различные смысловые трактовки исходных данных, строить более адекватные алгоритмы и принимать обоснованные решения.

4. Разработан программный комплекс, реализующий алгоритмы нечеткой классификации, который позволяет: исключить ошибки эксперта, качественно оценивать и прогнозировать экологическое состояние территории г. Таганрога.

1. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982.- 558 с.

2. Алексеев A.B. Интерпретация и определение функции принадлежности нечетких множеств./ТМетоды и системы принятия решений. -Рига: Риж. политехи, ин-т, 1979. с. 42-50.

3. Алексеенко В. А. Геохимия ландшафта и окружающая среда. М.: Недра, 1990. - 142 с.

4. Алиев Р. А., Церковный А. Э., Мамедова Г. А. Управление производством при нечеткой исходной информации. М.: Энергоатомиздат, 1991.-238 с.

5. Алиев P.A., Мамедова Г.А. Идентификация и оптимальное управление нечеткими динамическими системами // Изв. АН: серия техническая кибернетика, № 6, 1993.

6. Астровский А.И. Применение теории нечетких множеств для исследования задач апостериорного оценивания в линейных дискретных системах. Минск, 1992. - 30 с.

7. Беллман Р., Заде JI.A. Вопросы принятия решений в расплывчатых условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. / М.: Мир, 1976.

8. П.Берштейн JI.C., Финаев В.И. Адаптивное управление с нечеткими стратегиями. Ростов н/Д.: Изд-во Рост. Ун-та, 1993. 134 с.

9. Беспамятнов Т.П., Кротов Ю.А. Предельно допустимые концентрации химических веществ в окружающей среде. Л.: Химия, 1985. - 528 с.

10. Блохин А.Г. Алгебра нечетких множеств//Теория и системы управления. Москва. Изд-во "Наука". 1998. №5. с. 88 96.

11. Борисов А.Н., Алексеев A.B., Меркурьева Г.В. др. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. М.: Радио и связь, 1989. 304 с.

12. Борисов А.Н., Крумберг O.A., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей. Примеры использования. Рига: "Зинатне", 1990. 186 с.

13. Бочаров. П.П., Печерина A.B. Теория вероятностей. Математическая статистика: Учеб. пособие. М.: Гардарика, 1998. - 326 с.

14. Ватлин С.И. Анализ обоснованности нечетких классификационных моделей управления в сложных технических системах. -Минск, 1993. 135 с.

15. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов.-6-e изд., стер. М.: Высш. шк., 1999. - 575 с.

16. Гитман М.Б. Введение в теорию нечетких множеств и интервальную математику Ч. 1 : Применение лингвистической переменной в системах принятия решений. -1998. 44 с.

17. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. Пер. с франц. -М.: Радио и связь, 1990. -288 с.

18. Елисеев П.И. Интерпретация нечетких подмножеств в задачах моделирования и управления // Изв. АН: серия техническая кибернетика, № 3, 1992.

19. Искусственный интеллект. В 3-х кн. Кн. 2. Модели и методы: Справочник.// Под ред. Поспелова Д.А. -М.: Радио и связь, 1990. 304 с.

20. Иваи С., Асаи, Д. Ватада и др. Под ред. Т. Тэрано. Прикладные нечеткие системы. Пер. с яп. Ю. Н. Чернышева. М.: Мир, 1993. - 368 с.

21. Калмыков С. А. и др. Методы интервального анализа. Новосибирск, 1986.-226 с.

22. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств: Пер. с франц. М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

23. Кузьмин В.Б. Построение групповых решений в пространствах четких и нечетких бинарных отношений. М.: Наука, 1982. - 168 с.

24. Ларичев О.И., Мечитов А.И., Мошкович Е.М., Фуремс Е. М. Выявление экспертных знаний. М.: Наука, 1989. - 128 с.

25. Липский В. Комбинаторика для программистов: Пер. с польск. М.: Мир, 1988.-213 с.

26. Лорин Г. Сортировка и системы сортировки. Пер. с англ. М.: Наука, 1983.-386 с.

27. Малышев Н.Г., Берштейн Л.С., Боженюк A.B. Нечеткие модели для экспертных систем в САПР. М.: Энергоатомиздат, 1991. 210 с.

28. Мелихов А. Н., Баронец В. Д. Проектирование микропроцессорных средств обработки нечеткой информации. Ростов-на-Дону. Изд-во Ростовского ун-та, 1990. - 130 с.

29. Мелихов А.Н., Берштейн Л.С. Конечные четкие и расплывчатые множества. 4.2. Расплывчатые множества. Учебное пособие. Таганрог, ТРТИ, 1981.94 с.

30. Мелихов А.Н., Берштейн Л.С., Коровин С.Я. Расплывчатые ситуационные модели принятия решений: Учебное пособие. -Таганрог, ТРТИ, 1986. 92с.

31. Мелихов А.Н., Берштейн Л.С., Коровин С.Я. Сжатие множества эталонных ситуаций в лингвистических моделях ситуационного управления// Автоматика и телемеханика. 1985. №2. с. 118-123.

32. Мелихов А.Н., Берштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой.- М.: Наука, 1990.- 272 с.

33. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. /Под ред. Д.А. Поспелова. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. -312 с.

34. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения / Под ред. Р. Ягера. М.: Радио и связь, 1986. - 408 с.42.0рлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. М.: Знание, 1980.- 63 с.

35. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. -М.: Наука, 1981. 208 с.44,Орса В. А. Числовой метод минимизации булевых функций. Издательства Ростовского университета, 1987. 64 с.

36. Оценка и регулирование качества окружающей природной' среды. Учебное пособие для инженера-эколога/Под ред. А.Ф. Порядина и А.Д. Хованского. М.: НУМЦ Минприроды России, Издательский Дом "Прибой", 1996.-350 с.

37. Пападимитриу X., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация: Алгоритмы и сложность. М.: Мир, 1985. 512 с.

38. Поспелов Д.А. Логико-лингвистические модели в системах управления. М.: Энергоиздат, 1981. - 232 с.

39. Поспелов Д.А. Ситуационное управление: Теория и практика. М.: Наука, 1986. - 284с.

40. Пфанцагль И. Теория измерений. М.: Мир, 1976. - 248 с.

41. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика М.: Мир, 1980. - 476 с.

42. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам . М: Мир, 1986. - 320 с.

43. Целых А.Н., Тимошенко Р.П. Оценка экологической обстановки окружающей среды на основе анализа знаний экспертов. // Известия ТРТУ. Тематический выпуск "Управление в социальных и экономических системах". Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1998. № 1. с. 219 222.

44. Целых А.Н., Тимошенко Р.П. Принятие решений на основе мер сходства интервальных нечетких множеств. Препринт. Ростов на - Дону: Изд-во Северо-Кавказского научного центра высшей школы, 1999, 36 с.

45. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. -Новосибирск: Наука, 1981.- 112с.

46. Berthold М., J.Hand D. Intelligent Data Analisis: An Introduction. Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Hong Kong; London; Milan; Singapore;Tokyo: Springer, 1999. p. 402.

47. Kaufmann, A., and Gupta, M.M., "Introduction to Fuzzy Arithmetic", Reinhold, New York, 1985.

48. Miymoto Sadaaki. Fuzzy sets in information retrieveal and cluster analysis. Kluwer academic publishers. 1990. 260p.