автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Адаптивные модели нечеткого вывода для идентификации нелинейных зависимостей в сложных системах

На правах рукописи

ПАКЛИН Николай Борисович

АДАПТИВНЫЕ МОДЕЛИ НЕЧЕТКОГО ВЫВОДА ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ В СЛОЖНЫХ СИСТЕМАХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ижевск-2004

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ижевский государственный технический университет» (ГОУ ВПО «ИжГТУ»)

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Тененёв В.А. Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Летчиков А.В. Доктор технических наук, профессор Мурынов А.И.

Ведущая организация:

Московский государственный технологический университет "СТАНКИН", г. Москва

Защита состоится 25 июня 2004 г. в 16 часов

на заседании диссертационного совета Д 212.065.04 в ГОУ ВПО «ИжГТУ» по адресу: 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7, корп. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «ИжГТУ».

Автореферат разослан 25 мая 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного с д. т. н., профессор

е р с к и й Б.Я.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Сложные системы характеризуются большим числом входов-выходов и элементов, связи между элементами носят разнотипный, нелинейный характер. Часть информации о системе может быть представлена в качественном виде. Функционирование системы происходит в условиях нечеткости и неопределенности, которую вносит человеческий и случайный факторы. В этом случае, как правило, получение закона распределения параметров, воздействующих на систему, становится трудной, часто неразрешимой за ограниченное время задачей. С помощью традиционных средств (вероятностный подход на основе аппарата математической статистики, имитационное моделирование) затруднено построение моделей таких систем. Поэтому в последние годы наблюдается повышение научного и практического интереса к методам интеллектуальной обработки информации. К ним относятся: искусственные нейронные сети, гибридные нейронные сети, модели на основе нечеткой логики.

Математический аппарат теории нечетких множеств позволяет построить модель объекта, основываясь на нечетких рассуждениях и правилах. Нечеткие модели описывают явления и процессы реального мира на естественном языке при помощи лингвистических переменных, а механизм нечеткого вывода прозрачен и понятен человеку. Эти преимущества обусловили широкое применение нечеткой логики для решения задач автоматического управления, принятия решений, прогнозирования в различных прикладных областях науки, техники и экономики.

Исторически первыми появились нечеткие экспертные системы. Исследованиям в этой области посвящены работы ученых А.Н. Аверкина, А.Н. Борисова, Д.А. Поспелова, Л.А. Заде, А. Кофмана, Дж. Клира, Е.А. Мамдани, А.П. Рыжова и др. Однако, нечеткие экспертные системы имеют недостатки, которые свойственны всем экспертным системам - необходимость привлечения экспертов к формированию базы знаний. Особенно трудным этапом является выбор параметров, характеризующих функции принадлежности. Поэтому появился новый класс адаптивных нечетких моделей. В них параметры нечеткой модели подбираются в процессе обучения на экспериментальных данных. Исследованиям в этой области посвящены работы Ф. Хер-реры, О. Кордона, Т. Фукуда, Б. Коско, Ч. Карра, Р. Янга, В.В. Круглова, А.П. Ротштейка, С.Д. Штовбы и др.

В настоящее время не существует какого-либо общепризнанного, классического метода обучения нечетких моделей и данная область остается не до конца проработанной. Перспективным направлением исследований является применение генетических алгоритмов для построения адаптивных нечетких моделей.

Целью диссертации является создание, исследование и совершенствование методов автоматического построения нечетких моделей на основе экспериментальных данных, что внесет су ственный вклад в вопросы интел-

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ

библиотека

лектуального моделирования сложных систем. Для достижения поставленной цели необходимо:

1. Разработать и реализовать на ЭВМ метод обучения адаптивных нечетких моделей, позволяющий получать нечеткие правила и функции принадлежности из экспериментальных данных.

2. Исследовать способности разработанных нечетких моделей идентифицировать нелинейные зависимости.

3. Исследовать эффективность применения адаптивных нечетких моделей на практике.

Методы исследования. В ходе исследования использовались методы теории нечетких множеств, теории оптимизации, эволюционных алгоритмов, системного анализа и принятия решений, математической статистики, объектно-ориентированного программирования. Программное обеспечение реализовано в среде Borland Delphi, построение графиков поверхностей осуществлялось средствами MatLab.

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов подтверждена экспериментальной проверкой методов и алгоритмов на специальных тестовых нелинейных функциях, анализом полученных результатов с помощью методов математической статистики и согласованностью полученных результатов с исследованиями других авторов.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Разработан метод обучения модели нечеткого вывода, позволяющий получить нечеткие правила и функции принадлежности из экспериментальных данных без участия эксперта;

2. Разработан новый гибридный генетический алгоритм для оптимизации многоэкстремальных функций большой размерности, применяющийся в методе обучения нечеткой модели.

3. Впервые предложена методика определения прогнозной трудоемкости изготовления машиностроительных изделий на основе нечеткой логики, что позволяет оперативно оценивать нормы времени без проектирования технологического процесса.

На защиту выносятся:

- метод обучения адаптивных моделей нечеткого логического вывода, включающий классификационный алгоритм генерации правил и схему представления параметров нечеткой модели;

- гибридный генетический алгоритм с дополнительным обучением лидера, используемый для минимизации функции ошибки нечеткой модели;

- результаты исследования способностей по идентификации нелинейных зависимостей адаптивными нечеткими моделями;

- результаты применения адаптивного нечеткого вывода в прогнозировании трудоемкости изготовления машиностроительных деталей.

Практическая ценность работы определяется созданием программного обеспечения для построения адаптивных нечетких моделей на основе разработанных методов и алгоритмов, а также программного обеспечения для прогнозирования трудоемкости машиностроительных изделий на основе нечеткой логики.

Разработанная информационная система «Прогнозирование трудоемкости» прошла опытную эксплуатацию в Центре по нормированию труда ОАО «ИЭМЗ «Купол» (г. Ижевск).

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались: на Международной научно-технической конференции, посвященной 50-летию ИжГТУ (Ижевск, 2002); III Международной научно-практической конференции «Искусственный интеллект» (Украина, Крым, 2002); IV Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в инновационных проектах» (Ижевск, 2003); XXX Юбилейной Международной конференции «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе IT+SE'2003» (Украина, 2003).

Публикации. Результаты работы отражены в 11 научных трудах: 5 статей в научных журналах и 6 в трудах международных конференций.

Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, 4 главы и заключение, изложенные на 162 листах машинописного текста. В работу включены 61 рисунок, 7 таблиц, список литературы из 101 наименования и приложение. К диссертации прилагается акт об использовании результатов работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, определены цели и задачи работы, приведена структура диссертации.

В первой главе исследуется понятие сложной системы и ее составных элементов, рассматриваются примеры сложных систем. Приводится современная классификация методов моделирования сложных систем, излагаются основные сведения из теории нечетких множеств и вопросы построения адаптивных моделей нечеткого логического вывода сложных систем. Даются ссылки на работы в этой области отечественных и зарубежных авторов.

Адаптивная нечеткая модель имеет смешанную структуру (рис. 1). Нечеткие правила хранятся в базе правил, а нечеткие множества, описывающие правила в виде функций принадлежности (ФП), в базе данных. Вместе они образуют базу знаний нечеткой модели. На вход модели подается вектор переменных X, и после проведения операций фазификации, логического вывода и дефазификации на выходе системы генерируются четкие значения ^ Обучающий алгоритм на основе экспериментальных данных настраивает базу знаний, оптимизируя вектор параметров нечеткой модели.

Рис. 1. Структура адаптивной нечеткой модели В нечетких моделях получили распространение два типа правил, различающихся своей правой частью, или заключением. Они имеют вид: ЕСЛИ х1 это А\... И ... х„ это А„, ТО у = В,

ЕСЛИ Х| это Ах... И ... х„ это А„, ТО у = р0 + р1х1 +...+ р„х„ ,

где А{ и В - множество значений лингвистических переменных и соответствующих им функций принадлежности. В правилах первого типа, Мамдани, в правой части находится лингвистический терм. В правой части правил второго типа, получивших название правил Т8К, находится полином первого порядка. Благодаря этому для моделей Сугено с правилами Т8К дефазифи-катора на выходе не требуется, и адаптивные нечеткие модели Сугено обладают меньшей вычислительной сложностью при реализации на ЭВМ. Но правила Мамдани наиболее близки по форме к рассуждениям человека, поэтому обладают максимальной степенью интерпретируемости. Они являются наиболее предпочтительными в случаях, когда важно объяснить результат, выданный нечеткой моделью.

В диссертации проведен обзор существующих методов обучения нечетких моделей. Они состоят из двух этапов. На первом производится генерация нечетких правил. Задача рассматривается как комбинаторная оптимизация, и в части методов используются генетические алгоритмы. Распространение получили метод Ванга-Менделя, Фрифта, Карра. На втором этапе корректируются формы ФП. Для этого строится вектор, содержащий их координаты, и решается задача нелинейной оптимизации. В качестве функции ошибки выступает усредненная среднеквадратическая ошибка по всем примерам выборки. Для оптимизации функции применяются как градиентные методы, так и генетические алгоритмы.

Анализ существующих методов обучения нечетких моделей не выявил метода, когда генерация правил и корректировка ФП производятся параллельно. Это увеличивает время на обучение. Поэтому актуальна разработка одноэтапных методов обучения моделей нечеткого вывода.

Проведенный обзор известных пакетов программ для нечеткого моделирования показал, что большинство из них ориентированы на построение

нечетких экспертных систем, когда параметры функций принадлежности и правила задаются человеком. Только в одном пакете (FlexTool for MatLab) используются генетические алгоритмы для формирования нечеткой модели. Недостатком пакета является его высокая стоимость и отсутствие российских информационных источников, посвященных использованию данного пакета.

Вторая глава посвящена изложению разработанных алгоритмов и методов обучения адаптивных нечетких моделей. При подборе параметров адаптивной нечеткой модели решается задача минимизации нелинейной функции ошибки с ограничениями. В ходе ее решения имеются следующие проблемы:

1. Проблема получения (генерации) нечетких правил.

2. Алгоритм глобальной минимизации функции ошибки нечеткой модели. Градиентные методы обучения малоэффективны из-за разрывности, многоэкстремальности и большой размерности функции ошибки.

3. Способ представления параметров нечеткой модели в векторе неизвестных.

В диссертации последовательно решаются все вышеназванные проблемы. Рассматриваются два типа нечетких моделей: Мамдани и Сугено. Для представления нечетких множеств использовались несимметричные ФП в форме трапеций, поскольку нечеткий логический вывод значительно упрощается при использовании кусочно-линейных ФП.

Для получения базы нечетких правил предложено использовать классификационный алгоритм. Рассматриваемым объектам системы соответствует выборка экспериментальных данных, или система данных. Каждая переменная системы и, имеет собственное терм-множество

- количество термов для /-ой переменной системы. Вводится кодировка значений лингвистических переменных в виде номеров термов множества t,k — к — 1, к - \,К,, к - номер терма. С помощью матрицы границ лингвистических термов, или границ классов jg^j ,

формируется матрица «объект-свойство» - количество

состояний системы. Состояния системы соответствуют сочетаниям значений переменных Каждое состояние рассматривается как правило

RJtj-\j4\N<,n.

Подбор функций принадлежности относится к этапу параметрической адаптации.

Обозначим через Р - вектор параметров функций принадлежностей термов входных и выходной переменных нечеткой моделии через G - вектор границ лингвистических термов. Тогда настройка нечеткой модели типа Мамдани сводится к следующей задаче нелинейной оптимизации: найти та-

кие вектора (Р,0) чтобы минимизировать функционал вида (для случая с одной выходной переменной у):

• min,

(1)

\и

где F(P,G, Xj) - значение выхода нечеткой модели при значении входов, заданных вектором Xj = (ху), xj2xjm ) . Вектор G границ термов необходим для генерации нечетких правил по классификационному алгоритму, а вектор Р параметров ФП - для проведения нечеткого вывода. На управляемые переменные (P,G) обычно накладывают ограничения, обеспечивающие линейную упорядоченность элементов терм-множеств и ограничения на пределы изменения переменных модели.

При минимизации выражения (1) происходит одновременная настройка базы нечетких правил и функций принадлежности, т.е. структурная и параметрическая адаптация проводятся в один этап. Поэтому данный метод обучения в работе получил название комбинированного метода с классификационным алгоритмом генерации правил (КМ-КЛГП).

Для минимизации (1) применялся генетический алгоритм (ГА). Рассматривались два типа ГА: с бинарным (BGA) и вещественным (RGA) кодированием.

В BGA хромосома, итш особь, представляется в виде

C = [X,T] = (c7),y = Ü,

где X = (*,), i = lJÜ - вектор аргументов функции; - преобразование, осуществляющее переход от вектора X (фенотипа) к кодированному представлению (генотипу); - битовая строка длиной

п = ^ L, \L,- разрядность представления переменной x1.

Преобразование

-I),/ = ÜV, у,=.

х, - min х, (=1 ,N

max х, - min x

1-»В-»Г, (2)

»=I,W i=UN

I = (/,), В = (Bj ),Г = (j, ),i = \,N - векторы целочисленного представления, двоичного представления и представления в коде Грея соответственно. Обратное преобразование

Т"1 : Г -> В -> I, у, =———,х, = min max х, - min х, (3)

Для RGA преобразование Ч*(Х) сильно упрощается (осуществляется лишь приведение аргументов к безразмерному виду):

Стандартный ГА не решает всех проблем, связанных с многоэкстре-мальностью и большой размерностью оптимизируемых функций. Поэтому был разработан гибридный ГА с дополнительным обучением лидера, основанный на параллельной работе генетических операторов и какого-либо градиентного метода. В популяции, созданной генетическим алгоритмом, выбирается лучшая особь - лидер. Этот лидер обучается отдельно по градиентному методу. Если его качественный показатель при этом лучше, чем у всех остальных особей в популяции, то он вводится в популяцию и участвует в воспроизводстве потомков. Если же появляется особь в популяции, полученная в результате эволюции, с лучшим показателем, то лидером становится она. В качестве градиентных методов рассматривались методы: наискорейшего спуска, сопряженных градиентов и переменной метрики.

Схема гибридного алгоритма.

Пусть требуется ОПТИМИЗИпгтятт, гЬотпгтгатп

/(X) —» min, X е Rn . (5)

Шаг 1. к = 0. Формируется популяция, состоящая из р особей по BGA или RGA алгоритму. Первый номер принимает особь С1 с лучшим показателем (минимальным значением функции (5)). С помощью преобразования Ч7"' получаем вектор Xkh и Х*=Х£.

Шаг 2. к — к + 1. С помощью одного из градиентных алгоритмов вычисляется следующее приближение вектора Генетическим алгоритмом BGA или RGA создается следующая популяция {Cs,s = I,/?}1 и находится лучшая особь, определяющая очередной вектор

Шаг3. Если f(Xkb)</(Х*),то Хк =Хкь.

/(X*)ä/(X*), то

С =[Х\ЧЧ, где ¥.4»

-1

Шаг 4. Если преобразования согласно (2-4).

Шаг 5. Если выполняется условие остановки, то конец, иначе на шаг 2. Для кодирования неизвестных в хромосому ГА была разработана

специальная схема. Формируется вектор границ лингвистических термов в

число термов /-ой переменной. Каж-

виде

дая трапецеидальная ФП определяется тремя параметрами: центром и двумя отрезками (одним отрезком - для крайних ФП), длины которых откладыва-

ются от центра лингвистического терма и в сумме составляют длину верхнего основания трапеции. Каждая ФП начинается и заканчивается в центре с, лингвистического терма (рис. 2, К = 4).

•*т,« с\ Я) с2 «2 с3 ё2 С4

Рис. 2. Представление параметров нечеткой модели в хромосоме

Часть хромосомы С,, содержащая параметры одной переменной системы, описывается последовательностью генов

.....рГ'-2}). (6)

Полная хромосома, содержащая закодированные параметры адаптивной нечеткой модели, получатся цутем объединения частей хромосом (6) для каждой переменной модели /" = 1,т +1:

С = (С1,С2,...,Си,С,я+1). (7)

В нечеткой модели должны соблюдаться следующие ограничения.

1. Ограничения на пределы изменения переменных.

2. Ограничения на линейную упорядоченность координат трапецеидальных ФП и порядок следования лингвистических термов.

Выполнение первого ограничения обеспечивается генетическим алгоритмом на основе преобразований (2-4). Для соблюдения второго ограничения в хромосому (7) кодировались не абсолютные, а относительные значения параметров нечеткой модели, т.е. кодировалось отношение длины верхнего основания трапеции к длине лингвистического терма. Кроме того, для предотвращения вырождения трапецеидальной ФП в прямоугольник, вводилась константа, отвечающая за минимальное расстояние соседних точек трапеции.

Схема метода КМ-КАГП.

1. Создать начальную популяцию из р особей с хромосомами вида

(6-7).

Значения генов инициировать случайным образом.

2. Получив из лучшей особи границы термов, сгенерировать набор правил Л,,./ = \,Я по классификационному алгоритму.

3. Получить из лучшей особи координаты функций принадлежности.

4. Осуществить нечеткий логический вывод по Мамдани с центроид-ным способом приведения к четкости.

5. Оценить качество нечеткой модели по значению функции (1). Если выполнен критерий останова, то конец, иначе п. 6.

6. Выполнить одну эпоху генетического алгоритма. Перейти на п. 2.

Адаптивная нечеткая модель, обученная методом КМ-КАГП с правилами Мамдани, переводится в модель Сугено с правилами TSK следующим способом. Для правых частей нечетких правил TSK вида

Rk: Если х, это Аи ... И ... х„ это Ак„, То у = рк0 + ^pkjXj

рассчитываются коэффициенты полинома рдля каждого нечеткого правила из базы правил, а левые части остаются без изменений. Алгоритм расчета коэффициентов был заимствован из двухэтапного гибридного алгоритма обучения нечетко-нейронной сети. Он основан на решении системы линейных уравнений с помощью операции псевдоинверсии матрицы весовых коэффициентов правил.

В третьей главе проводятся численно-параметрические адаптивных нечетких моделей на тестовых функциях. Приводится описание разработанного в среде Delphi программного обеспечения для обучения адаптивных моделей нечеткого вывода и необходимые системные требования.

Эффективность гибридного ГА с дополнительным обучением лидера проверялась на многоэкстремальных функциях большой размерности: Ро-зенброка, Растригина, de Jong'a. Анализ градиентных методов показал, что наиболее предпочтительным для использования в гибридном алгоритме является метод переменной метрики (VM), имеющий более высокую скорость сходимости. Дальнейшие исследования проводились только для гибридных ГА BGAVM и RGAVM. Результаты минимизации многомерной функции Розенброка

д*1.....XN+1) = g(l00.(*,+i-xjf +(1 -xf )-»min (8)

при N=24 методами VM, RGA и RGAVM приведены на рис. 3 в виде графиков зависимостей номера итерации к от значения функции при случайном начальном приближении в области

Функция Розенброка имеет выраженный овражный характер и единственный глобальный минимум /(Х) = 0 при х' = 1; i = l,N + 1. Поэтому с ростом N вероятность попадания в нужный овраг существенно уменьшается, значение функции (8) в алгоритмах VM и RGA не опускается ниже 10. Гибридный алгоритм RGAVM за 230 итераций уменьшается на 12 порядков до величины 10 .

различными алгоритмами, N=24 Анализ работы гибридного алгоритма показа!, что основная часть работы выполняется в режиме «если /(Х*)< /(X*), то X* = Хй » - лидер обучается по методу переменной метрики и улучшает популяцию в целом. Смена лидера происходит не так часто - примерно на 1% - 5% итераций. Алгоритм BGAVM также показал хорошую производительность. Число ите-, раций для него меньше в 2-3 раза по сравнению с RGAVM, но время, затрачиваемое на одну итерацию, в 2.5 раза больше. Поэтому по затратам вычислительного времени оба алгоритма дают близкие результаты.

Далее гибридный алгоритм тестировался на функции Розенброка размерности N=2000. Задача поиска глобального экстремума функции большой размерности также успешно решена обоими методами BGAVM и RGAVM примерно за одинаковое время. Зависимости функции на рис. 4 представлены от величины / в условных единицах, соответствующих 1 секунде работы процессора Intel Celeron 800.

1000000 100000 10000 1000 100

i 01 0 01 0 001 0 0001 0 00001

о

Рис. 4. Минимизация многомерной функции Розенброка гибридным генетическим алгоритмом BGAVM, N=2000

Для метода BGAVM выполнено 620 итераций, для метода RGAVM -1360. Ни метод BGA, ни RGA, ни VM не позволили получить значения минимизируемой функции Розенброка при N=2000 меньше 104.

Исследование способностей идентифицировать нелинейные зависимости адаптивными нечеткими моделями также осуществлялось на тестовых функциях. Рассматривались четыре нечеткие модели: Мамдани с бинарным и вещественным ГА (M1 и М2 соответственно), Сугено с бинарным вещественным ГА (T1 и T2). Каждая модель обучалась по методу КМ-КАГП - так называемый этап основного обучения. Далее проводился второй этап, в общем случае необязательный, называемый дополнительным обучением. На нем применялся КМ-КАГП при фиксированных, взятых из первого этапа, границах лингвистических термов и постоянной базе правил. Это значительно сужает размерность поиска. На этапе основного обучения применялся только стандартный ГА. На дополнительном этапе обучение велось с использованием гибридного ГА.

На рис. 5 приведено графическое изображение тестовой функции

Обучение производилось на примерах, сгенерированных для тестовой функции в виде пар данных, имеющих равномерное распределение в областях определения переменных х1 и х2 Количество лингвистических термов взято равным 7. Ошибка обучения на обучающей выборке («=300) для данной функции составила 0.38 для модели М2 и 1.7-10~2 для Т. На тестовой

выборке («=900) эти величины равны соответственно 0.45 и 5.9-10"2. Количество нечетких правил, полученных классификационным алгоритмом, равно 71. На рис. 6а, 66 изображены восстановленные поверхности функции моделями М2 и Т2 соответственно. Коэффициент корреляции между фактиче-

F{xx,*2) = 3-(1-*,)2 ехр(-х2 -(х2 + 1)2)-1 о(| -х,3 -х^хр(-х,2 -х22) + - \ ехр(-(*, +1)2 -х\)-, хих2 е [-3,3], F е [-6.56,8.11].

о

Рис. 5. Графическое изображение тестовой функции

скими и спрогнозированными значениями для модели Мг равен Я=0.983, для модели Т2 Л=0 998.

а) модель Мамдани б) модель Сугено

Рис. 6. Восстановление поверхности функции адаптивными нечеткими моделями, обученными методом КМ-КАГП

В результате численно-параметрических исследований на тестовых функциях адаптивные нечеткие модели Сугено Т\ и Т2 обученные методом КМ-КАГП, показали лучшие результаты, чем модели Мамдани М1 и М2. Ошибка обучения на тестовой выборке для модели Сугено получилась в 5-20 раз меньше, чем при использовании правил Мамдани. Коэффициент корреляции в также выше в моделях с правилами Т8К. Эффективность применяемого в методе обучения генетического алгоритма с бинарным кодированием и генетического алгоритма с вещественным кодированием хромосомы одинакова Также было установлено, что дополнительный этап обучения, проводимый при фиксированных границах лингвистических термов и базе правил с гибридным ГА, позволял точнее настроить параметры адаптивной нечеткой модели

После обучения нечеткая модель Мамдани проигрывает модели Сугено в плане точности аппроксимации, но выигрывает в смысле интерпретируемости. Правила Т8К имеют более низкую интерпретируемость, в частности, плохой интерпретации поддаются коэффициенты полинома в правой части правил. Выбор конкретной модели, Мамдани или Сугено, должен производиться с учетом требований к результатам моделирования. Если на первом месте стоит точность, то выбор следует сделать в пользу Сугено-Т8К. В случае, когда важно объяснить полученное нечеткой моделью решение, то выбор однозначно за Мамдани.

В четвертой главе излагается применение модели адаптивного нечеткого вывода для определения прогнозной трудоемкости изготовления машиностроительных деталей.

Практически любое предприятие, занятое производством машиностроительных изделий, в современных рыночных условиях сталкивается с

необходимостью приблизительной оценки трудоемкости изделия без проектирования технологического процесса. Особенно это актуально для мелкосерийных и единичных производств. Предварительная оценка трудоемкости на этапе конструкторской подготовки может позволить определить целесообразность ввода нового изделия в производство и его будущую себестоимость.

В настоящее время используется несколько методов нормирования, из которых основными являются три: расчетный, метод непосредственного наблюдения и метод аналогий.

Один из самых серьезных недостатков расчетного метода заключается в использовании единых нормативов для расчета норм, которые не учитывают специфических условий конкретных предприятий с привязкой на их технологии и оборудование. Как следствие, расчетный метод не обладает высокой точностью и гибкостью. Суть метода непосредственного наблюдения заключена в его названии. Его использование на практике всегда сопряжено со значительными экономическими и трудовыми затратами, и он используется редко даже при крупносерийном производстве. Метод аналогий - единственный, позволяющий определять трудоемкость без знания технологического процесса. Он базируется на поиске деталей-аналогов, на основе которых нормировщик устанавливает новые нормы, используя свой опыт. Основным недостатком данного метода является субъективность оценок нормировщика и большая вероятность переноса устаревших технологий на новые изделия.

Таким образом, большую актуальность представляет создание новых методов нормирования, которые бы позволяли определять трудоемкость без разработанного технологического процесса изделия, могли адаптироваться к условиям отдельно взятого производства, используемые технологии и оборудование и обеспечивать необходимый уровень точности.

Одним из подходов к созданию новых методов нормирования является теория конструктивно-технологической сложности изделий. Данная теория была впервые предложена в конце 80-х гг. группой отечественных ученых УГТУ-УПИ. В ней вводится понятие сложности изделия. Сложность изделия является мерой трудоемкости механообработки. Это некоторая функция, зависящая только от свойств изделия - совокупности геометрических, конструктивных и технологических признаков. Авторами теории сложности предложен метод нормирования, основанный на построении линейной регрессионной зависимости сложности от трудоемкости. Коэффициенты регрессии получаются различными для каждого исследуемого объекта (предприятия, цеха, участка) и учитывают факторы, не связанные со сложностью изделий, но влияющие на трудоемкость: используемое оборудование, квалификация работников, условия труда и другие показатели организационно-технического уровня производства. Данный метод обеспечивает высокую точность и адаптируемость, но обладает следующими недостатками. Статистическая выборка деталей для построения уравнения регрессии должна

быть достаточно большой, чего не всегда можно обеспечить. Для каждой детали необходимо рассчитать величину сложности, что требует определенных временных затрат. При добавлении новых изделий необходимо заново строить уравнение регрессии. Это не позволяет отнести данный метод к категории экспресс-методов. Количество методов, относящихся к этой категории, крайне мало. Перспективным направлением является использования интеллектуальных алгоритмов для решения задачи прогнозирования трудоемкости.

Для этого на основе теории конструкторско-технологической сложности в работе предложено использовать адаптивную нечеткую модель для определения прогнозной трудоемкости вида

Г-Ф(Х,1Т), (9)

где Т - трудоемкость изделия (выходная переменная), X - вектор конструкторско-технологических свойств изделия (входные параметры), Б -вектор параметров адаптивной модели, который формируется в процессе обучения на экспериментальных данных. При этом объективный показатель конструктивно-технологической сложности изделия и другие факторы, специфичные для каждого отдельного объекта (участка, цеха, предприятия), содержатся в выражении (9) в неявном виде как параметры нечеткой модели.

Последовательность построения адаптивной нечеткой модели для прогнозирования трудоемкости машиностроительных деталей состоит из следующих этапов.

1. Выбирается объект исследования (цех, предприятие) с заданной номенклатурой производственных изделий. Вся номенклатура изделий анализируется и разделяется на классы, подклассы, группы и т.д. до нужной степени декомпозиции.

Разделение деталей на классы обусловлено тем, что структура входных переменных нечеткой модели строго фиксирована, и различные классы машиностроительных деталей (корпусные детали, тела вращения, плоскостные, трубчатые) характеризуются различным набором входных переменных.

2. Для каждого класса деталей в соответствии с теорией конструктивно-технологической сложности формируется вектор входных переменных. Анализ работ в данной области позволяет сделать вывод о том, что в машиностроительных деталях наиболее часто выделяются следующие признаки: размеры детали, ее масса; количество конструктивно-технологических элементов, входящих в деталь (фаски, пазы, контуры, отверстия, плоскости, шлицы и др.); наличие зубчатых венцов; количество точных поверхностей; материал заготовки детали; используемые переделы и т.д.

3. Сбор экспериментальных данных для каждого класса машиностроительных изделий, или наполнение базы данных.

4. Определение степеней влияния конструктивно-технологических признаков деталей, в результате чего неинформативные признаки удаляются, а схожие синтезируются вместе.

5. Обучение нечеткой модели для каждого класса деталей.

6. Проверка качества и значимости построенной модели.

На основе предложенных алгоритмов обучения адаптивных нечетких моделей и методики прогнозирования трудоемкости нечетким логическим выводом была разработана информационная система «Прогнозирование трудоемкости».

В качестве примера рассматривается выборка из 43 деталей корпусного типа, выпускаемых на предприятиях УР. После выделения конструктивно -технологических признаков, объединения похожих и удаления неинформативных система описывалась 6-ю входными переменными и одной выходной (трудоемкость). Такие признаки, как точность и тип заготовки, были исключены из рассмотрения, т.к. в данной выборке они одинаковые для всех деталей. За переменную х1 взят аддитивный показатель, характеризующий габариты корпусной детали хг - (аЬ+ас + Ьс) /1000, где а, Ь, с- длина, ширина и высота детали соответственно. Определение степеней влияния входных переменных на выходную осуществлялось на основе расчета информационных расстояний.

Поскольку выборка деталей имеет небольшой объем, то в качестве нечеткой модели выбрана модель Мамдани, обучаемая по алгоритму КМ-КАГП. Для описания переменных нечеткой модели были сформированы следующие лингвистические термы.

Размеры детали (х): «Малые», «Ближе к средним», «Средние», «Большие», «Очень большие».

Количество элементов (х2, х3, х4, х5, х6): «Малое», «Среднее», «Большое».

Трудоемкость (у): «Очень малая», «Малая», «Средняя», «Большая», «Очень большая».

Анализ степеней влияния показал, что в рассматриваемой выборке деталей признаками, оказывающими сильное влияние на трудоемкость, являются хл х, х3. Их степени влияния равны соответственно 0.28,0.39 и 0.18.

В результате обучения было сформировано 16 нечетких правил. Полученные функции принадлежности для лингвистических термов приведены на рис. 7.

На рис. 8 показана графическая зависимость фактических значений трудоемкости от полученных адаптивной нечеткой моделью для обучаемой и тестовой выборок. Коэффициент корреляции для обучаемой выборки равен К=0.976, для тестовой К=0.972.

Относительная максимальная ошибка и относительная средняя по модулю ошибка нечеткого прогноза на тестовой выборке составили соответственно 27.2% н 12.1%. Данный результат удовлетворяет требованиям точности оценки времени нормирования на предварительной стадии.

х, ■ размеры детали

хг - количество отверстии

у - трудоемкость изготовления, мин

срадкм болммя очень большая

30 3420 БВ10 10020 1Э600 17000

Рис. 7. Полученные функции принадлежности для термов

а) б)

Рис. 8. Сравнение фактических и спрогнозированных значений для деталей из обучающей выборки, N=34 (а) и тестовой выборки, N=9 (б)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие научные и практические результаты: 1. Повышена эффективность использования моделей на основе нечеткой логики за счет разработки метода их обучения, что вносит существенный вклад в решение задачи интеллектуального моделирования сложных систем. Метод одновременно настраивает базу правил и функции принадлежности

нечетких множеств, что сокращает время на обучение. В известных методах обучения генерация правил и корректировка функций принадлежности проводятся отдельными этапами.

2. Разработан и исследован новый гибридный оптимизационный алгоритм, основанный на параллельной работе генетического алгоритма и метода переменной метрики, что позволяет эффективно решать задачи глобальной оптимизации. За 620 итераций гибридным алгоритмом был найден глобальный минимум функции Розенброка размерностью 2000 с точностью 10"5. Известные алгоритмы оптимизации не справились с задачей такой размерности. Алгоритм применялся для минимизации оптимизационной функции адаптивной нечеткой модели.

3. На тестовых функциях установлено, что нечеткая модель Сугено обеспечивает лучшую точность при идентификации нелинейных зависимостей. Ошибка обучения для моделей Сугено получилась в 5-20 раз меньшей, чем при использовании модели Мамдани.

4. Разработан программный модуль для обучения и исследования адаптивных нечетких моделей, включающий в себя методы и алгоритмы, предложенные в работе.

5. Впервые предложено использовать аппарат нечеткой логики для определения прогнозной трудоемкости машиностроительных деталей на стадии конструкторской подготовки производства. Это позволяет оперативно оценивать нормы времени на изготовление изделий без проектирования технологического процесса, что дает возможность снизить затраты на процесс нормирования и принять обоснованное решение по выпуску нового изделия. На примере деталей корпусного класса построена адаптивная нечеткая модель для прогнозирования трудоемкости их изготовления. Средняя относительная ошибка нечеткого прогноза составила 12.1%, что приемлемо на стадии предварительной оценки.

6. Разработана информационная система для прогнозирования трудоемкости на основе нечеткой логики, представляющая интерес для предприятий с часто изменяющейся номенклатурой выпускаемых изделий. Информационная система апробирована на предприятии Удмуртской республики.

НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1. Тенене'в В.А., Якимович Б.А., Васильев С.С., Паклин Н.Б. Метод обучения нечеткой информационной системы // Мат-лы Междунар. науч.-техн. конф., посвящ. 50-летию ИжГТУ (Ижевск, 19-22 февраля 2002 г.). -Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2002. - С. 27-31.

2. Тененёв В.А., Сенилов М.А., Паклин Н.Б. Возможности применения интеллектуальных систем в задачах интерпретации каротажных диаграмм // Мат-лы Междунар. науч.-техн. конф., посвящ. 50-летию ИжГТУ (Ижевск, 19-22 февраля 2002 г.). - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2002. - С. 147-152.

«213160

3. Тененёв В.А., Сенилов МА, Паклин Н.Б. Определение продуктивных коллекторов с помощью обучающихся информационных систем // Вестник ИжГТУ. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2002. - Вып. 5. - С. 31-34.

4. Паклин Н.Б., Тененёв ВА, Якимович Б.А. Применение нечеткой логики в интеллектуальных системах технологического нормирования // Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках: Мат-лы IV Всерос. науч. ¡Мете^конференции (апрель-май 2002 г.). -Тамбов: ИМФИ ТГУ им. Г.Р. Державина, 2002. - Вып. 20. - С. 66-69.

5. Паклин Н.Б., Сенилов МА, Тененёв В.А., Якимович Б.А. Интеллектуальные системы интерпретации данных геофизических исследований скважин // Искусственный интеллект-2002: Мат-лы Междунар. науч.-техн. конференции (Украина, п. Кацивели, 16-20 сентября 2002 г.). - Т. 1. — Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002. - С. 265-268.

6. Тененёв В.А., Якимович Б.А, Паклин Н.Б. Оптимальное управление детерминированными и нечеткими системами // Вестник ИжГТУ. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. - Вып. 1. - С. 35-40.

7. Паклин Н.Б., Тененёв В.А Имитационное моделирование организационных систем с применением нечеткой логики // Мат-лы XXX юбил. межд. конф. «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе ГГ+8Е'2003 (Украина, Гурзуф, 18-29 мая 2003 г.)». -Запорожье: Изд-во ЗГУ, 2003. - С. 66-68.

8. Тененёв В.А., Якимович Б.А., Паклин Н.Б. Нечеткое моделирование динамических систем // Труды IV межд. науч.-техн. конференции «Информационные технологии в инновационных проектах» (Ижевск, май 2003 г.). -Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. - Ч. 2. - С. 96-98.

9. Паклин Н.Б. Нечетко-когнитивный подход к управлению динамическими системами // Искусственный интеллект: Научн.-теорет. журн. -2003. -№ 4. - Донецк: Наука 1 освгга, 2003. - С. 342-348.

10. Тененёв В.А., Паклин Н.Б. Гибридный генетический алгоритм с дополнительным обучением лидера // Интеллектуальные системы в производстве. - 2003. - № 2. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. - С. 181-206.

11. Паклин Н.Б. Адаптивные системы нечеткого логического вывода и их приложения // Интеллектуальные системы в производстве. - 2003. - № 2. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. - С. 138-151.

Н.Б. Паклин

В авторской редакции

Подписано в печать 18.05.2004. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,16. Тираж 100 экз. Заказ № 123

Типография Издательства ИжГТУ. 426069, г. Ижевск, Студенческая, 7

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ АДАПТИВНОГО НЕЧЕТКОГО ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА.

1.1. Исследование понятия сложной системы и ее основных элементов.

1.2. Математическая теория нечетких множеств.

1.3. Нечеткие правила и способы нечеткого логического вывода.

1.4. Эволюционный подход к построению моделей нечеткого вывода.

1.4.1. Генетический алгоритм с двоичным кодированием.

1.4.2. Генетический алгоритм с вещественным кодированием.

1.5. Структура адаптивной нечеткой модели с генетическим алгоритмом обучения.

1.6. Классификация адаптивных моделей нечеткого вывода.

1.7. Сравнительная характеристика методов генерации нечетких правил

1.8. Методы параметрической адаптации нечетких систем, анализ их преимуществ и недостатков.

1.9. Анализ существующих программных средств для построения адаптивных моделей нечетного вывода.

Цель и задачи исследования.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДА ОБУЧЕНИЯ НЕЧЕТКОЙ МОДЕЛИ

2.1. Основные проблемы, возникающие на этапах обучения и настройки нечеткой модели.

2.2. Классификационный алгоритм генерации нечетких правил.

2.3. Одноэтапный комбинированный метод обучения нечеткой модели Мамдани.

2.3.1. Формализация задачи обучения и настройки адаптивной нечеткой модели.

2.3.2. Схема кодирования вектора параметров нечеткой модели в хромосому для оптимизации генетическим алгоритмом.

2.3.3. Алгоритм комбинированного метода обучения.

2.3.4. Алгоритм поиска подобного правила при неполной базе нечетких правил.

2.4. Разработка гибридного генетического алгоритма для использования в процедуре обучения нечеткой модели.

2.5. Адаптация комбинированного метода обучения к нечетким правилам в форме TSK.

Выводы.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ.

3.1. Описание разработанного программного обеспечения для построения адаптивной модели нечеткого вывода.

3.2. Исследование эффективности гибридного генетического алгоритма в задачах глобальной оптимизации.

3.3. Исследование эффективности комбинированного метода обучения адаптивной нечеткой модели для идентификации нелинейных зависимостей.

3.3.1. Описание тестовых функций.

3.3.2. Условия проведения эксперимента и принятые параметры алгоритмов.

3.3.3. Результаты тестовых экспериментов.

3.3.4. Анализ результатов численно-параметрического эксперимента

3.3.5. Восстановление поверхности многомодальной обобщенной функции Растригина нечеткой моделью.

Выводы.

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ АДАПТИВНОГО НЕЧЕТКОГО ВЫВОДА ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ТРУДОЕМКОСТИ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ В МАШИНОСТРОЕНИИ.

4.1. Анализ необходимости разработки новых методов нормирования.

4.2. Использование теории конструктивно-технологической сложности для формализованного описания групп машиностроительных деталей.

4.3. Модель адаптивного нечеткого вывода для определения прогнозной трудоемкости изделий на основе теории конструктивно-технологической сложности.

4.4. Построение адаптивной нечеткой модели для определения трудоемкости для класса корпусных деталей.

Выводы.

Сложные системы характеризуются большим числом входов-выходов и элементов, связи между элементами носят разнотипный, нелинейный характер. Часть информации о системе представлена в качественном виде. Функционирование системы происходит в условиях нечеткости и неопределенности, которую вносит человеческий фактор. В этом случае, как правило, получение закона распределения параметров, воздействующих на систему, становится трудной, часто неразрешимой за ограниченное время задачей. Традиционные средства (вероятностный подход на основе аппарата математической статистики, имитационное моделирование) не позволяют строить модели таких систем в условиях ограниченности временных, материальных и трудовых ресурсов. Спектр таких задач постоянно расширятся: это управление производственными системами, распознавание сигналов и образов, классификация и многие другие.

Поэтому в последние годы наблюдается повышение научного и практического интереса к методам интеллектуальной обработки информации. К ним относятся: искусственные нейронные сети, гибридные нейронные сети, модели на основе нечеткой логики [15, 24, 25, 29, 71].

Нечеткая логика (англ.: fuzzy logic), основы которой заложил JI. Заде в 60-х годах прошлого столетия [18], за несколько десятилетий превратилась в мощный инструмент для построения моделей приближенных рассуждений человека в задачах принятия решений в условиях неопределенности, классификации и анализа данных. Математический аппарат теории нечетких множеств позволяет построить модель объекта, основываясь на нечетких рассуждениях и правилах. Нечеткие модели описывают явления и процессы реального мира на естественном языке при помощи лингвистических переменных, а механизм нечеткого вывода прозрачен и понятен человеку. Эти преимущества обусловили широкое применение нечеткой логики для решения задач автоматического управления, принятия решений, прогнозирования в различных прикладных областях науки, техники и экономики [2, 3, 6, 7, 38, 42].

Принято выделять три периода в развитии нечеткой логики и нечетких систем [30]. Первый период (конец 60-х-начало 70 гг.) характеризуется развитием теоретического аппарата нечетких множеств (JI. Заде, Е. Мамдани, Белл-ман). Во втором периоде (70-80-е годы) появляются первые практические результаты в области нечеткого управления техническими системами (поршневой двигатель). Одновременно ученые коллективы стали уделять внимание вопросам построения экспертных систем, построенных на нечеткой логике, разработке нечетких контроллеров. Наконец, в третьем периоде, который длится с конца 80-х годов и продолжается в настоящее время, появляются пакеты программ для построения нечетких экспертных систем, а области применения нечеткой логики заметно расширяются. Она применяется в автомобильной, аэрокосмической и транспортной промышленности, в области изделий бытовой техники, в сфере финансов, анализа и принятия управленческих решений и многих других [25,41,42].

К началу 90-х годов число научных работ, посвященных нечеткому моделированию, превышает 10 тыс., причем большая часть исследований ведется на Востоке (Япония, Китай) [30, 84]. Исследованиям в этой области посвящены работы ученых А.Н. Аверкина, А.Н. Борисова, Д.А. Поспелова, JI.A. Заде, А. Кофмана, Дж. Клира, Е.А. Мамдани, А.П. Рыжова и др.

Несмотря на достоинства нечетких экспертных систем (описание проблем на естественном языке с использованием лингвистических переменных, параллельное выполнение правил, возможность использования противоречивых правил и др.), они имеют недостатки, свойственные всем остальным экспертным системам - необходимость привлечения экспертов к формированию базы знаний [50]. В нечетких системах эксперты формируют правила и функции принадлежности. Особенно сложным этапом является выбор параметров, характеризующих функции принадлежности. Из-за субъективности экспертов построенные ими функции принадлежности могут не вполне отражать реальную действительность. Кроме того, для построения функций принадлежности эксперт должен обладать высокой квалификацией, а это в конечном итоге увеличивает расходы на создание экспертной системы. Поэтому в начале 90-х годов появляются адаптивные модели нечеткого логического вывода. В них параметры нечеткой модели подбираются в процессе обучения на экспериментальных данных. Исследованиям в этой области посвящены работы ученых Ф. Херреры (F. Herrera), Т. Фукуды (Т. Fukuda), Ч. Kappa (Ch. Karr), М. Лозано (М. Lozano), М. Сакава (М. Sakawa), О. Кордона (О. Cordon), Ж. Касиласа (J. Casil-las), Ф. Хоффмана (F. Hoffman), Р. Янга, В.В. Круглова, А.П. Ротштейна, С.Д. Штовбы и др. География лидирующих стран, ученые которых занимаются проблемами построения адаптивных нечетких моделей, выглядит следующим образом (в скобках указана доля печатных работ от общего количества за период с 1993 по 2003 гг.): Япония (20,4%), США (19,2%), Тайвань (6,9%), Китай (6,6%), Великобритания (5,8%), Южная Корея (5,5%), Испания (5,1%) [79].

Таким образом, модели, построенные на нечеткой логике, в которых подбор параметров нечеткой модели ведется в процессе обучения на данных, описывающих исследуемую сложную систему, относят к классу адаптивных моделей нечеткого логического вывода.

Целью диссертации является создание, исследование и совершенствование методов автоматического построения (обучения) нечетких моделей на основе экспериментальных данных, что внесет существенный вклад в вопросы интеллектуального моделирования сложных систем и решение задач идентификации, классификации и прогнозирования.

Обучение нечетких моделей является трудной задачей. В настоящее время не существует какого-либо общепризнанного, классического метода обучения, и данная область остается не до конца проработанной. При подборе параметров адаптивной модели нечеткой решается задача минимизации нелинейной функции ошибки с ограничениями. В ходе ее решения имеются следующие проблемы:

1. Проблема получения (генерации) нечетких правил.

2. Алгоритм глобальной минимизации функции ошибки нечеткой модели. Градиентные методы обучения часто оказываются малоэффективными из-за разрывности, многоэкстремальности и большой размерности оптимизируемой функции.

3. Способ представления параметров нечеткой модели в векторе неизвестных.

В диссертации последовательно решаются все вышеназванные проблемы. Для этого поставлены следующие задачи:

1. Разработать и реализовать на ЭВМ метод обучения адаптивных нечетких моделей, позволяющий получать нечеткие правила и функции принадлежности из экспериментальных данных.

2. Исследовать способности разработанных нечетких моделей идентифицировать нелинейные зависимости.

3. Исследовать эффективность применения адаптивных нечетких моделей на практике.

Наиболее перспективным направлением исследования является применение генетических алгоритмов для построения адаптивных нечетких моделей.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Разработан метод обучения моделей нечеткого вывода Мамдани и Су-гено, позволяющий получить нечеткие правила и функции принадлежности из экспериментальных данных без участия эксперта.

2. Разработан новый гибридный генетический алгоритм, эффективно справляющийся с оптимизацией многоэкстремальных функций большой размерности и применяющийся в методе обучения нечеткой модели.

3. Впервые предложена методика определения прогнозной трудоемкости изготовления машиностроительных изделий на основе нечеткой логики, что позволяет оперативно оценивать нормы времени без проектирования технологического процесса.

В первой главе диссертационной работы исследуется понятие сложной системы и ее основных элементов, приводится современная классификация методов моделирования сложных систем. Приводятся основные сведения из теории нечетких множеств и генетических алгоритмов, делается анализ существующих алгоритмов построения адаптивных нечетких моделей и программных продуктов на основе нечеткой логики.

Во второй главе подробно анализируются проблемы, возникающие на этапе обучения нечеткой модели. Описывается метод обучения нечетких моделей, названный комбинированным методом обучения с классификационным алгоритмом генерации правил (КМ-КАГП) и гибридный генетический алгоритм, применяемый при минимизации функции ошибки нечеткой модели.

В третьей главе приведены результаты численно-параметрических исследований адаптивных нечетких моделей. На тестовых функциях исследуются их способности идентифицировать зависимости, а также результаты оптимизации многоэкстремальных функций разработанным гибридным генетическим алгоритмом. Описывается программная среда, в которой выполнялись эксперименты, ее возможности и взаимодействие с пользователем.

В четвертой главе приводится решение практической задачи - прогнозирование трудоемкости изготовления машиностроительных изделий на основе адаптивной модели нечеткого логического вывода с использованием теории конструктивно-технологической сложности. Данная задача является очень актуальной в современных рыночных условиях функционирования любого машиностроительного предприятия. В качестве примера рассматривается построение адаптивной нечеткой модели для класса корпусных деталей.

Основным результатом диссертационной работы является то, что повышена эффективность использования моделей на основе нечеткой логики за счет разработки метода их обучения, что вносит существенный вклад в вопросы построения интеллектуальных систем обработки информации. На защиту выносятся: метод обучения адаптивных моделей нечеткого логического вывода, включающий классификационный алгоритм генерации правил и схему кодирования параметров нечеткой модели; гибридный генетический алгоритм с дополнительным обучением лидера, используемый для минимизации функции ошибки нечетких моделей; результаты исследования способностей по идентификации нелинейных зависимостей адаптивными нечеткими моделями; результаты применения адаптивного нечеткого вывода в прогнозировании трудоемкости изготовления машиностроительных деталей.

Выводы ния прогнозной трудоемкости и позволяет оперативно оценивать нормы времени на изготовление изделий без проектирования технологического процесса, что дает возможность снизить затраты на процесс нормирования и принять обоснованное решение по выпуску нового изделия.

3. Основными этапами построения интеллектуальной модели технологического нормирования должны быть: классификация номенклатуры деталей на классы и выделение их конструктивно-технологических признаков в каждом классе; сокращение размерности входных признаков и удаление неинформативных; обучение модели и оценка ее качества.

4. На основе изложенного подхода была разработана информационная система «Прогнозирование трудоемкости». Данное программное обеспечение прошло опытную эксплуатацию на предприятии Удмуртской республики.

5. Для класса корпусных деталей объемом 43 шт. с известными конструктивно-технологическими признаками построена адаптивная нечеткая модель. Модель содержала шесть входных переменных. В результате обучения получены 16 нечетких правил и функции принадлежности. Оценка модели статистическими методами показала ее значимость. Относительная средняя по модулю ошибка определения трудоемкости на тестовой выборке корпусных деталей равна 12,1% при коэффициенте корреляции 0.976. Учитывая, что расчетный метод дает ошибку до 50%, а регрессионный метод на основе теории сложности до 15%, то данный результат удовлетворяет требованиям точности оценки времени нормирования на предварительной стадии. Точность модели можно повысить добавлением экспертных правил и увеличив объем деталей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе обозначены основные проблемы, возникающие при моделировании сложных систем и условия, при которых применение традиционных, вероятностных, методов моделирования невозможно. Обоснована актуальность применения современных методов интеллектуального моделирования для изучения таких систем. Выполнен системный анализ отечественных и зарубежных работ, посвященных нечеткому моделированию сложных систем. Предложена классификация адаптивных моделей нечеткого вывода в зависимости от вида функций принадлежности, типа используемых нечетких правил, применяемого метода генерации нечетких правил, метода корректировки функций принадлежности и др. Выполнен сравнительный анализ коммерческих программных продуктов для нечеткого моделирования.

Формализована задача обучения нечеткой модели на экспериментальных данных, составлена математическая модель для решения задачи нелинейного программирования с целью минимизации функции ошибки нечеткой модели. Выделены три основные проблемы решения получения параметров адаптивной нечеткой модели: метод генерации нечетких правил, алгоритм минимизации функции ошибки и проблема представления параметров функций принадлежности в векторе неизвестных.

Указанные проблемы успешно решены в диссертационной работе. Впервые предложно применить классификационный алгоритм для генерации нечетких правил. Для этого в вектор неизвестных параметров нечеткой модели вводились границы лингвистических термов, или классов. Это позволило осуществлять настройку базы правил совместно с корректировкой функций принадлежности. В известных методах разделяются методы генерации правил и настройки ФП, что значительно увеличивает время на процедуру обучения.

Для решения второй проблемы разработан новый гибридный генетический алгоритм, основанный на параллельной работе генетических операторов и градиентного метода. Применение гибридной схемы для генетического алгоритма, дало эффект «сумма больше составляющих частей». В результате стало возможным решение задач оптимизации, невозможных при использовании каждого отдельного метода. Алгоритм был проверен на многоэкстремальной функции Розенброка размерностью до 2000. Ни градиентные алгоритмы, ни стандартные генетические алгоритмы не решили задачу такой размерности. Алгоритм применялся для минимизации оптимизационной функции адаптивной нечеткой модели. Перспективными направлениями применения гибридного алгоритма, кроме обучения нечетких моделей, являются::

- решение систем нелинейных алгебраических уравнений;

- вариационные задачи оптимального управления;

- обучение нейронных сетей, гибридных нечетко-нейронных сетей и других компонентов интеллектуальных систем.

Для кодирования параметров нечетких моделей в хромосому генетического алгоритма была разработана специальная схема, что позволило свести условную задачу оптимизации к безусловной с минимальным числом кодируемых параметров. Основная идея схемы заключалась в кодировании не абсолютных, а относительных длин верхних оснований трапецеидальных функций принадлежности нечетких множеств.

Полученные автором результаты аппроксимации нелинейных зависимостей адаптивными нечеткими моделями позволяют существенно повысить эффективность моделирования и изучения сложных систем. Полученный вывод о том, что модель Сугено обеспечивает лучшую точность аппроксимирования, согласуется с данными других исследователей. Практическая ценность работы определяется созданием программного обеспечения для построения адаптивных нечетких моделей на основе разработанных методов и алгоритмов, а также программного обеспечения для прогнозирования трудоемкости машиностроительных изделий на основе нечеткой логики.

Эффективность предложенных и разработанных методов, алгоритмов и инструментальных средств проверена на практике. Решена актуальная задача определения прогнозной трудоемкости машиностроительных изделий на стадии конструкторской подготовки производства. Проанализированы существующие методы нормирования и выявлены их недостатки. Впервые автором предложено применить для этой цели аппарат нечеткой логики. Использование нечеткого прогноза для оценки трудоемкости изготовления позволяет существенно снизить временные и материальные ресурсы при нормировании на современном машиностроительном предприятии.

В ходе исследования использовались методы теории нечетких множеств, теории оптимизации, эволюционных алгоритмов, системного анализа и принятия решений, математической статистики, объектно-ориентированного программирования.

В работе получены следующие научные и практические результаты:

1. Повышена эффективность использования моделей на основе нечеткой логики за счет разработки метода их обучения, что вносит существенный вклад в решение задачи интеллектуального моделирования сложных систем. Метод одновременно настраивает базу правил и функции принадлежности нечетких множеств, что сокращает время на обучение. В известных методах обучения генерация правил и корректировка функций принадлежности проводятся отдельными этапами.

2. Разработан и исследован новый гибридный оптимизационный алгоритм, основанный на параллельной работе генетического алгоритма и метода переменной метрики, что позволяет эффективно решать задачи глобальной оптимизации. За 620 итераций гибридным алгоритмом был найден глобальный минимум функции Розенброка размерностью 2000 с точностью 10"5. Известные алгоритмы оптимизации не справились с задачей такой размерности. Алгоритм применялся для минимизации оптимизационной функции адаптивной нечеткой модели.

3. Показано, что адаптивные нечеткие модели эффективно идентифицируют нелинейные зависимости. На тестовых функциях установлено, что нечеткая модель Сугено обеспечивает лучшую точность при идентификации нелинейных зависимостей. Ошибка обучения для моделей Сугено получилась в 5-20 раз меньшей, чем при использовании модели Мамдани.

4. Разработан программный модуль для обучения и исследования адаптивных нечетких моделей, включающий в себя методы и алгоритмы, предложенные в работе.

5. Впервые предложено использовать аппарат нечеткой логики для определения прогнозной трудоемкости машиностроительных деталей на стадии конструкторской подготовки производства. Это позволяет оперативно оценивать нормы времени на изготовление изделий без проектирования технологического процесса, что дает возможность снизить затраты на процесс нормирования и принять обоснованное решение по выпуску нового изделия. На примере деталей корпусного класса построена адаптивная нечеткая модель для прогнозирования трудоемкости их изготовления. Средняя относительная ошибка нечеткого прогноза составила 12.1%, что приемлемо на стадии предварительной оценки.

6. Разработана информационная система для прогнозирования трудоемкости на основе нечеткой логики, представляющая интерес для предприятий с часто изменяющейся номенклатурой выпускаемых изделий. Информационная система апробирована на предприятии Удмуртской республики.

Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались: на Международной научно-технической конференции, посвященной 50-летию ИжГТУ (Ижевск, 2002); III Международной научно-практической конференции «Искусственный интеллект» (Украина, Крым, 2002); IV Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в инновационных проектах» (Ижевск, 2003); XXX Юбилейной Международной конференции «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе IT+SE'2003» (Украина, 2003).

1. Аджели М.А. Методы, алгоритмы и модели базовых модулей статистического и нечеткого моделирования сложных систем: Автореферат на соискание уч. степ. канд. техн. наук. Казань: Изд-во КГТУ, 2001. - 18 с.

2. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень: Изд-во ТГУ, 2000. - 352 с.

3. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез и планирование решений в экономике. М.: Финансы и статистика, 2000. - 363 с.

4. Батищев Д.И. Генетические алгоритмы решения экстремальных задач / Под ред. Львовича Я.Е.: Учеб. пособие. Воронеж, 1995.

5. Батищев Д.И., Исаев С.А., Ремер Е.К. Эволюционно-генетический поход к решению задач невыпуклой оптимизации // Межвузовский сборник научных трудов «Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах». Воронеж: ВГТУ, 1998. - С. 20-28.

6. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Крумберг О.А. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной. Рига: Зинатне, 1982. - 256 с.

7. Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей: примеры использования. Рига: Зинатне, 1990. — 184 с.

8. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980-552 с.

9. Волкова В.Н., Денисов А.А. Основы теории систем и системного анализа. — Изд-е 3-е, перераб. и дополн. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. - 520 с.

10. Генетические алгоритмы, искусственные нейронные сети и проблемы виртуальной реальности / Вороновский Г.К., Махотило К.В., Петрашев С.Н., Сергеев С.А. Харьков: Основа, 1997. - 112 с.

11. Гитис В.Б. Экспресс-нормирование времени механообработки с использованием нейросетей // Сб. докладов I межд. науч. конф. «Нейросетевые технологии и их применение». Украина, Краматорск, 2002.

12. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Изд-е 5-е. М.: Высшая школа, 2000. - 400 с.

13. Дюк В., Самойленко A. Data Mining. СПб.: Питер, 2001. - 368 с.

14. Жиглявский А.А., Жилинкас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. -М.: Наука, 1991-248 с.

15. Загоруйко Н.Г., Елкина В.Н., Лбов Г.С. Алгоритмы обнаружения эмпирических закономерностей. Новосибирск: Наука, 1985. — 110 с.

16. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. — 165 с.

17. Исаев С.А. Разработка и исследование генетических алгоритмов для принятия решений на основе многокритериальных нелинейных моделей: Автореферат на соискание ученой степени канд. техн. наук. Н.Новгород, 2000.

18. Клир Дж. Системология. Автоматизация решения системных задач. — М.: Радио и связь, 1990. 544 с.

19. Ковалевский С.В. Нейросетевые технологии и их применение в машиностроении // Сб. докладов I межд. науч. конф. «Нейросетевые технологии и их применение». Украина, Краматорск, 2002.

20. Комарцова Л.Г., Максимов А.В. Нейрокомпьютеры. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2002. - 320 с.

21. Комарцова JI.Г. Исследование нейросетевых и гибридных методов и технологий в интеллектуальных системах поддержки принятия решений: Автореферат на соискание ученой степени доктора технических наук. М., 2003. -34 с.

22. Компьютерная поддержка сложных организационно-технических систем / В.В. Борисов, И.А. Бычков, А.В. Дементьев, А.П. Соловьев, А.С. Федулов. -М.: Горячая линия Телеком, 2002. - 154 с.

23. Корнеев В.В., Гареев А.Ф., Васютин С.В., Райх В.В. Базы данных. Интеллектуальная обработка информации. М.: Нолидж, 2001. - 352 с.

24. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.-432 с.

25. Кравченко Ю.А. Перспективы развития гибридных интеллектуальных систем // Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы. -2002. -№ 3. С. 34-38.

26. Круглов В.В., Дли М.И., Голунов Р.Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. М.: Физматлит, 2001. - 224 с.

27. Круглов В.В., Дли М.И. Интеллектуальные информационные системы: компьютерная поддержка систем нечеткой логики и нечеткого вывода. М.: Физматлит, 2002. - 256 с.

28. Круглов В.В. Адаптивные системы нечеткого вывода // Нейрокомпьютеры: разработка и применение. 2003. - № 5. - С. 15-19.

29. Курейчик В.В. Перспективные архитектуры генетического поиска // Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы. — 2000. -№ 1.-С. 58-60.

30. Курейчик В.М. Генетические алгоритмы // Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы. 2000. - № 1. - С. 18-22.

31. Курейчик В.М., Зинченко Л.А., Хабарова И.В. Алгоритмы эволюционного моделирования с динамическими параметрами // Информационные технологии.-2001.-№ 6.-С. 10-15.

32. Курейчик В.М., Зинченко Л.А., Хабарова И.В. Исследование динамических операторов в эволюционном моделировании // Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы. 2001. - № 3. - С. 65-70.

33. Кэнту М. Delphi 5 для профессионалов. СПб.: Питер, 2001. - 944 с.

34. Леоненков А. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и FuzzyTECH. — БХВ: Санкт-Петербург, 2003. 716 с.

35. Макаров И.М. Теория выбора и принятия решений. М.: Наука, 1886. - 328 с.

36. Мосталыгин Г.П. Прогнозирование трудоемкости изготовления корпусных деталей на стадии конструкторской подготовки производства / Мосталыгин Г.П., Давыдова М.В., Гаравдин А.В. // Технология машиностроения. 2003. -№ 1.-С.68-70.

37. Ненахов А.Н., Бертштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные системы с нечеткой логикой. М.: Наука, 1990. - 272 с.

38. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под ред. Д.А. Поспелова. М.: Наука, 1986. - 311 с.

39. Орлянская И.В. Современные подходы к построению методов глобальной оптимизации // Электронный журнал «Исследовано в России». — 2002. — № 4. С. 2097-2108. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/189.pdf.

40. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации / Пер. с польского И.Д. Рудинского. М: Финансы и статистика, 2002. - 344 с.

41. Паклин Н.Б. Нечетко-когнитивный подход к управлению динамическими системами // Искусственный интеллект. 2003. - № 4. - Донецк: Наука i осв1та, 2003.-С. 342-348.

42. Паклин Н.Б. Адаптивные системы нечеткого логического вывода и их приложения // Интеллектуальные системы в производстве. 2003. — № 2. — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. - С. 138-151.

43. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ: Учебное пособие. — М.: Высш. школа, 1989. 367 с.

44. Прикладные нечеткие системы / Под ред. Т. Тэрано. М.: Мир, 1993. — 512 с.

45. Родзин С.И. Формы реализации и границы применения эволюционных алгоритмов // Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы. 2002. - № 1. - С. 36-41.

46. Романов А.Н., Одинцов Б.Е. Советующие информационные системы в экономике. М.: Юнити-Дана, 2000. - 487 с.

47. Ротштейн А.П., Штовба С.Д. Влияние методов дефазификации на скорость настройки нечеткой модели // Кибернетика и системный анализ. 2002. - № 5. -С.169-176.

48. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости. М.: Диалог-МГУ, 2000. - 116 с.

49. Сетлак Г. Интеллектуальная система поддержки решений в нечеткой среде // Искусственный интеллект. 2002. - № 3. - Донецк: Наука i осв1та, 2002. -С. 428-438.

50. Системный анализ в управлении: Учеб. пособие / B.C. Анфилатов, А.А. Емельянов, А.А. Кукушкин; под ред. А.А. Емельянова. М.: Финансы и статистика, 2002. 368 с.

51. Тельнов Ю.В. Интеллектуальные информационные системы в экономике. — М.: МЭСИ, 1998.-187 с.

52. Тененёв В.А., Якимович Б.А., Паклин Н.Б. Оптимальное управление детерминированными и нечеткими системами // Вестник ИжГТУ. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. - Вып. 1. - С. 35-40.

53. Тененёв В.А., Якимович Б.А. Методы анализа и моделирования систем. -Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2002. 152 с.

54. Тененёв В.А., Якимович Б.А., Сенилов М.А., Паклин Н.Б. Интеллектуальные системы интерпретации данных геофизических исследований скважин // Искусственный интеллект. 2002. — № 3. - Донецк: Наука i освгга, 2002.- С. 439-447.

55. Тененёв В.А., Сенилов М.А., Паклин Н.Б. Определение продуктивных коллекторов с помощью обучающихся информационных систем // Вестник ИжГТУ. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2002. - Вып. 5. - С. 31-34.

56. Тененёв В.А., Паклин Н.Б. Гибридный генетический алгоритм с дополнительным обучением лидера // Интеллектуальные системы в производстве. — 2003. № 2. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. - С. 181-206.

57. Финаев В.И., Бесшапошников В.В. Механизмы нечеткого выбора в задачах принятия социально-экономических решений // Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы. 2000. - № 2. - С. 1722.

58. Фоминых Р.Л., Коршунов А.И., Якимович Б.А. Метод прогнозирования трудоемкости изготовления машиностроительного изделия с учетом организационно-технического уровня производственной системы // Экономика и производство. 2003. - № 9.

59. Фролов Ю.В. Интеллектуальные системы и управленческие решения М.: МГПУ, 2000-294 с.

60. Шарин Ю.С., Поморцева Т.Ю. Метод нормирования труда в машиностроении, основанный на методе оценки сложности деталей. Свердловск, УПИ им. М.С. Кирова, 1989. - 37 с.

61. Шарин Ю.С., Якимович Б.А., Толмачев В.Г., Коршунов А.И. Теория сложности. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 1999. - 132 с.

62. Штовба С.Д. Идентификация нелинейных зависимостей с помощью нечеткого логического вывода в пакете MATLAB // Exponenta Pro: Математика в приложениях. 2003. - № 2. - С. 9-15.

63. Якимович Б.А., Коршунов А.И. Определение прогнозной трудоемкости изготовления корпусных деталей в условиях автоматизированного производства // Вестник машиностроения. М.: Машиностроение, 1996. - № 8. - С. 41-45.

64. Якимович Б.А., Коршунов А.И. Экспертные методы оценки структурно-параметрической сложности деталей // Информатика-Машиностроение. — М.: Машиностроение, 1997. № 3. - С. 28-32.

65. Якимович Б.А., Коршунов А.И. Автоматизированная система прогнозирования трудоемкости обработки деталей в машиностроении // Информатика-Машиностроение. 1996. - №2. - С. 55-59.

66. Casillas J., Cordon O., Jesus M.J. del, Herrera F. Genetic tuning of fuzzy rule deep structures for linguistic modeling // Technical Report DECSAI-010102, Dept. of Computer Science and A.I., University of Granada, January 2001. 8 p.

67. Casillas J., Cordon O., Herrera F. Learning cooperative fuzzy linguistic rules using ant colony optimization algorithms // Technical Report DECSAI-00119, Dept. of Computer Science A.I., University of Granada, October 2000. 29 p.

68. Cordon O., Herrera F. A three-stage evolutionary process for learning descriptive and approximative fuzzy logic controller knowledge bases from examples // International Journal of Approximate Reasoning Vo. 17-4 (1997). P. 369-407.

69. Cordon O., Herrera F., Lozano M. A Classified review on the combination fuzzy logic-genetic algorithms bibliography // Technical Report DECSAI-95129, Dept. of Computer Science and A.I;, University of Granada, December 1996. 35 p.

70. Cordon O., Herrera F., A General study on genetic fuzzy systems // Genetic Algorithms in engineering and computer science, 1995. P. 33-57.

71. Cordon O, Herrera F, Lozano M. On the bidirectional integration of fuzzy logic and genetic algorithms // 2nd Online Workshop on Evolutionary Computation (WEC2), Nagoya(Japan), 1996.-P. 13-17.

72. Cordon О., Jesus M.J. del, Herrera F. Evolutionary approaches to the learning of fuzzy rule-based classification systems // Evolution of Engineering and Information Systems and Their Applications. L.C. Jain (Ed.), CRC Press, 1999. P. 107160.

73. Cotta C., Alba E., Troya J. M. Evolutionary design of fuzzy logic controllers // In Proc. ISIC'96 Conference (Detroit), 1996. P. 127-132.

74. FlexGA Version 1.0 User's Guide. The Flexible Intelligence Group, 1998.

75. Fuzzy Logic Toolbox. User's Guide, Version 2. The Math Works Inc., 1999.

76. Herrera F., Lozano M. Gradual distributed real-coded genetic algorithms // IEEE Transactions on Evolutionary Computation 4:1 (2000). P. 43-63.

77. Herrera F., Lozano M., Verdegay J.L. Tackling real-coded genetic algorithms: operators and tools for the behaviour analysis // Artificial Intelligence Review, Vol. 12, No. 4,1998.-P. 265-319.

78. Herrera F., Lozano M., Verdegay J. Genetic algorithms applications to fuzzy logic based systems // 9th Polish-Italian and 5th Polish-Finnish Symposium on Systems Analysis, Warsaw (Poland), 1993, Omnitech Press. P. 125-134.

79. Herrera F, Lozano M, Verdegay J. A Learning process for fuzzy control rules using genetic algorithms // Fuzzy Sets and Systems 100 (1998). P. 143-158.

80. Herrera F., Lozano M. Fuzzy genetic algorithms: issues and models // Technical Report DECSAI-98116 , Dept. of Computer Science and A.I., University of Granada, June 1998.-32 p.

81. Hoffmann F. Evolutionary Algorithms for fuzzy control system design // Proceedings of IEEE, vol. 20, No. 5, September 2001. P. 1318-1333.

82. Kosko B. Fuzzy systems as universal approximators // IEEE Transactions on Computers, vol. 43, No. 11, November 1994.-P. 1329-1333.

83. Michalewicz, Z. Genetic algorithms, numerical optimization and constraints // Proceedings of the 6th International conference on genetic algorithms, Pittsburgh, July 15-19, 1995.-P. 151-158.

84. Tenenyov V.A., Yakimovitch B.A. Neural net algorithms of complex technical systems simulation // Proc. of Seminar on Advanced Applications of Quality to Industrial Systems (31 March 2 April, 2003, Helwan Univirsity, Egypt) - P. 3948.

85. Wright A. Genetic algorithms for real parameter optimization // Foundations of Genetic Algorithms, V. 1. 1991. - P. 205-218.