автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Модель представления нечеткой информации на основе нечетко-значной логики

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМ ЦЕНТР

на правах рукописи

НГУЕН Минь Хай

УДК 681.3.06

МОДЕЛЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТК0-ЗНАЧН0Й ЛОГИКИ

. Специальность 05.13.11 Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов, систем и сетей

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1990

Работа выполнена в Вычислительном Центре АН СССР. Научный руководитель: Профессор, доктор технических наук

Д.А. ПОСПЕЛОВ

Официальные оппоненты: Профессор, доктор технических наук

Ведущее предприятие: Институт программных систем АН СССР

специализированного совета Д 002.32.02 при Вычислительном Центре АН СССР, Москва, Вавилова, 40.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 117976, Москва, ГСП-1, ул. Вавилова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИ АН СССР

В.Н. ВАГИН

Кандидат физико-математических наук А.Ф.БЛИШУН

Защита состоится " 'Л 1990 г. в аудитории _ в час. 6^0 мин. на заседании

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета

С.М.Швартин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В диссертации исследуется проблема работы с нечеткостью в экспертных системах (ЭС), в которых встречаются нечеткие числа и отношения (как элементы нечетко-значной логики). Рассмотрены свойства нечеткой арифметики, введены различные отношения порядка и проанализированы соответствующие этим отношениям порядка решетки нечетких чисел, на основе которых построены нечетко-значные логики - теоретический аппарат для реализации методов приближенного рассуждения.

Работа с нечеткостью является одним из наиболее важных вопросов при разработке ЭС. Это обусловливается тем, что большая часть информации в базе знаний типичной ЭС явлается нечеткой, неполной или не полностью надежной. До сих пер, решение этого вопроса обычно состояло в использовании вероятностных методов в двухзначной логике предикатов. Такой подход не может адекватно отразить нечеткость информации, которая присутствует в базе знаний. В последнее время большое внимание уделается новому подходу, предложенному Заде, главная идея которого заключается в использовании нечеткой логики. Особенность нечеткой логики состоит в том, что она объединяет черты логики предикатов и теории вероятностей в единой модели, которая дает возможность охватить большую часть разных типов нечеткости.

В работе нечеткость знаний описывается с помощью нечетких чисел или отношений, соответствующих двум категориям знаний:

фактам и правилам. Разработка методов работы с нечеткостью знаний (на основе нечетких чисел и отношений) требует исследования общих свойств нечетких чисел и отношений, их алгебраических структур и создания соответствующих нечетко-значных логик.

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является разработка нечетко-значной логики на основе нечетких чисел и отношений и методов ее использования при работе с нечеткими знаниями в ЭС.

Под нечетким числом в работе понимается нечеткое множество действительной оси, имеющее непрерывную выпуклую функцию принадлежности:

ц: Н-► [0,1],

где И - множество действительных чисел. Множество всех нечетких чисел обозначается 3(11).

Пусть Ь - некоторая решетка. Рассматриваются нечеткие отношения, функции принадлежности которых имеют вид: ц :ХхУ-► Ь,

где Х,У - универсумы объектов. Нечеткое отношение назовем нечетким отношением типа I, если в качестве решетки Ь используется множество действительных чисел, а нечетким отношением типа 2, если вместо Ь используется Я (И).

Проблема работы с нечеткими знаниями состоит в построении модели для представления и обработки нечетких знаний с использованием нечетких чисел и отношений.

В рамках данной диссертационной работы решаются следующие задачи:

I/ Исследование особенностей расширенных арифметических

операций над нечеткими числами и свойств алгебры нечетких чисел, основанной на принципе обобщения Заде.

2/ Введение различных типов отношений порядка на множестве нечетких чисел, анализ проблемы сравнения и упорядочения нечетких чисел, построение решеток нечетких чисел в соотвествии с различными отношениями порядка.

3/ Исследование общих свойств нечетких отношений, введение новых понятий транзитивности и транзитивного замыкания нечетких отношений типа 2, исследование свойств транзитивного замыкания для нечетких отношений типа 2, разработка методов преобразования нечетких отношений одного типа в другой.

4/ Разработка нечетко-значных логик на основе построенных решеток нечетких чисел.

5/ Разработка системы прикладных программ для реализации нечетко-значных логик в случае нечетких чисел трапецеидального типа.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА: В работе исследуется подход к работе с нечеткими знаниями в ЭС на основе алгебры нечетких чисел, нечетких отношений и нечетко-значной логики. Нечеткие числа и нечеткие отношения используются как средства представления и обработки нечеткой семантики знаний, составляют базовые компоненты нечетко-значной логики, используемой при имитации процесса рассуждения.

С помощью введенных отношений порядка на множестве нечетких чисел предлагаются методы сравнения и упорядочения нечетких чисел, на основе которых построены решетки нечетких

чисел и соответствующие нечетко-значные логики; сформулированы новые понятия транзивности и транзитивного замыкания нечетких отншений типа 2, изучены их свойста и доказана теорема о транзитивном замыкании для нечетких отношений типа 2.

Рассмотрены возможные приложения алгебры нечетких чисел, нечетких отношений и нечетко-значной логики в ЭС; разработана система ИМЪЪХ, в которой реализованы различные нечетко-значные логики для случая нечетких чисел трапецеидального типа.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ: базируются на аппарате теории решеток, теории нечетких множеств, теории принятия решений, теории возможностей, теории вероятностей и логики предикатов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ: Полученные результаты предназначены для решения проблемы представления и обработки нечетких знаний в широком классе ЭС.

ПУБЛИКАЦИИ: По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы.

СТРУКТУРА РАБОТЫ: Диссертация состоит из введения, четырех глав, изложенных на 92 страницах, заключения, приложения на 52 страницах, содержит 9 рисунок, включает 143 наименованнний литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во__введении обоснована актуальность исследования, рассмотриваются основные задачи исследования и кратко излагается содержание работы.

О-Пеовой^главе приводится обзор но проблеме вывода в условиях неопределенной информации, отмечается источники появления нечеткой информации в базе знаний, дается анализ описание трех главных числовых подходов к моделированию нечеткого рассуждения и управлению выводом для систем, основанных на правилах: вероятностей подход, теория свидетельств Демпстера-Шейфера и теория возможностей. Анализируются сходства, отличия и ограничения этих подходов. Ставятся задачи исследования общих свойств нечетких чисел и отношений, разработки нечетко-значной логики, ориентированной на приложения в ЭС.

Как правило, базз знаний типичной ЗС состоит из совокупности фактов и правил, которые представляются в виде оценок (скорее качественных, чем количественных), в частном случае, в виде вербальных высказываний с использованием лингвистических переменных. Поэтому проблема использования нечетких знаний в ЭС состоит в разработке модели представления и обработки нечеткой информммации, содержащейся в базе знаний, которая дает возможность интерпретации качественных оцекок, вербальных высказываний и моделирования процесса рассуждения в рамках данного формализма.

в

В работе такой моделью служит нечетко-значная логика, в, основании которой лежит алгебра нечетких чисел и нечетких отношений. Использование нечетких чисел и отношений в качестве носителей нечеткой информации позволяет породить большой набор видов нечетких знаний (таких, как нечеткие предикаты, модификаторы, кванторы, вероятности, возможности и т.д.) в виде распределения возможностей, которое играет центральную роль в нечеткой логике.

Использование нечетких чисел для интерпретации значений функции истинности в нечетко-значной логике приводит к проблеме гредставления множества нечетких чисел в виде решеток. В работе введены некоторые отношения порядка нечетких чисел и рассматриваются соответствующие решетки на множостве нечётких чисел.

Нечеткие отношения также имеют важное значение в моделировании правил вывода. Основным правилом вывода для нечетко-значной логики является композиционное правило вывода, представлаемое формально операцией умножения нечеткого исходного вектора значений на некоторую матрицу, играицую роль нечеткого отношения. Это показывает, что свойства правил будут накладывать ограничения на свойства отношений. Иначе говоря, семантика правила может быть представлена свойствами нечетких отношений. В работе исследуются свойства нечетких отношений типа 2 в зависимости от используемых решеток нечетких чисел. Это позволяет использовать эти решетки в качестве контекста для определения семантики правил вывода.

Во_§19И!Я_главе исследуются и систематизируются общие свойства нечетких чисел, развивается алгебра нечетких чисел на основе принципа обощения Заде, рассматривается проблема сравнения и упорядочения нечетких чисел с разными отношениями порядка, исследуются алгебраические структуры множества нечетких чисел, построена нечетко-значная логика.

Под нечетки?,! числом А понимается нечеткое множеств* числовой оси И, имеющее функцию принадлежности:

цА :11-»10,1],

где И - множество действительных чисол. Множество всех нечетких чисел числовой оси обозначается через д(й): 8(Ю={ц1ц:Н-»[0,1]>.

В работе рассматривается множество нормальных, выпуклых нечетких чисел, т.е. множества тех нечетких чисел, которые удовлетворуют следующим условиям: I/ Нормальность

шах ц(х)=1.

2/ Выпуклость

V х.у.геИ. х>у^: ц(у)гц(х)Л|1(г).

Расширение математических понятий на случай нечетких чисел осуществляется на основе принципа обощения Заде:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2-3(Принцип обощения) Пусть X - декартово произведение универсумов Х1, 1=1 ,г, Х=Х1хХ2х...хХг, а А4 ,А2 ,...,Аг - нечеткие множества в \

соответственно. Декартово произведение А1 .....Аг

определяется следующим образом:

А1хАах...хАг = | т1п<М-л1 ).....ИЖг <*г ))/(*,.....

Пусть Г - отображение X в ушвееерсум У такое,что: у - го^ ,...,хг ) Тогда нечетким множеством В, получаемым в результате примененнниа 1 к А1х...хАг, является нечеткое множество, имеющее функцию принадлежности:

^ <У>= XI. хг ^ >.....> >

у» f (* Г >

|Л„(у)=0 если Г"4 (У)=0

С помощью этого принципа в работе изучаются расширенные операции над нечеткими числами, в том числе и унарные такие, как отрицание, дополнение, инверсия и т.д.,.и бинарные: сложение, вычитание и т.д.. Пусть * - некоторая бинарная операция. Тогда формула для соответствущей расширенной операции имеет вид:

Свойства этих операций исследуются, приводятся выражения для вычисления их значений.

Подробно рассматриваются имеющие особое значение для нечетко-значной логики расширенные операции взятия максимума и минимума.

С точки зрения практического применения особенно полезными оказываются два типа нечетких чисел: (Ъ-И)-тт и трапецеидальный тип. Эти типы нечетких чисел предполагают более простую интерпретацию расширенных операций, благадаря которой реализация данных операций значительно упрощается.

Для этих типов, каждое нечеткое число представляется набором параметров и выражения для расширенных операций превращаются в' обычные арифметические для этих параметров.

При разработке нечетко-значной логики важное место занимает исследований алгебраических структур множзства нечетких чисел. В работе рассматривается три отношения порядка, обозначенные >t ,>2 ,>а и изучаются их свойства. Сформулированы и доказаны следующие утверждения:

УТВЕРЯЩЕШЕ 2-2. Для любого ае[0,11" , >а является отношением полного порядка на 3(Ю.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2-4. имеет место влхжение

> з > .

1 г

УТВЕРЖДЕНИЕ 2-6. Vaç[0,1]n выполняется аложение

>сх 3

и более того, имеет место

>* = а V

УТВЕРВДЕНИЕ 2-7 УА.ВбЗШ)

màx(a.B) >( A >t mln(A.B) 1={1,2) шаха(А,В) >а А >а ш1па(А,В) аеЕО.П".

УТВЕРЖДЕНИЕ 2-8. VA,Beg(R)

(А \ В & A >t С) -► A >t màx(B,C) >t min (В, С) 1=10,1}

(А>а В & А>а С) -► А >а шаха(В,С) >а mli^CB.C) 1=С0,1>.

Показывается, что L1 = (3(R),>1 .гпах,min),

L2 = (g(R),>2,шах,min) и La=(g(R),>a,maxa,mlna) дистрибутивные решетки на множестве нечетких чисел.

Трактовка истинности как лингвистической переменной приводит к нечеткой логике со значениями истинности "очень

истинный", "совершенно истинный">■■•<"ложный", т.е. к вечетко-значной логике.

В качестве множества значений истинности рассматривается некоторая решетка I (в частности, полная решетка, полная дистрибутивная решетка и т.д.). В этом случае Ь-значная логика может быть рассмотрена как система £=(Р,Ь,Т), где Р-множество нечетких высказываний, Ь-решетка и Т-отображение

Т:Р-► Ь,

которое присваивает каждому высказыванию реР одно значение истинности Т(р)еЬ. Истинностное отображение Т должно удовлетворять следующим свойствам:

а/ T(pvq)=T(p)vT(q),

Ь/ T(pЛq)=T(p)ЛT(q),

а также

с/ Т(-ф)=-|Т(р),

если в Ъ определена операция дополнения.

Для лингвистических переменных в качестве множества истинностных значений можно использовать Ь=3 (И)-мнокество нечетких чисел на числовой оси. Тогда истинностное

отображение записется в виде Т: Р -► $(11), и аксиомы

а/,£/,с/ будут выполняться.

В третьей главе приводится исследование основных свойств нечетких отношений и их возможных приложений к манипулированию нечеткой информацией в ЭС.

Пусть Ь-некоторая решетка, Х,У-универсумы. Тогда мы можем определить нечеткое отношение на ХхУ как отображение И:

И:ХхУ-► Ь.

В зависимости от используемой решетки нечеткие отношения имеют разные свойства. В работе в качестве решетки I рассматриваются решетка действительных чисел И и три решетки нечетких чисел Ь4

Особое внимание в данной главе уделяется исследованию свойств нечетких отношений типа 2 - отношений, определенных на решетках нечетких чисел Ь4, Ь2, Ьа. Для таких отношений введены понятия рефлективности, симметричности и транзитивности, которые характеризуют разные структурные аспекты нечетких отношений в зависимости от используемых решеток. Вообще, каждому структурному аспекту отношения можно присвоить некоторую семантику. Например, транзитивность отражает семантику предложения типа: "Если А—»В и В—»С, то А—►С". Изменение структуры отношений в зависимости от изменений используемых решеток предполагает необходимость выбирать при решении конкретных задач адекватные решетки, дапцие "хорошую" семантику отношениям.

В связи с понятием транзитивности нечетких отношений типа 2 доказано следующее утверждение

УТВЕРЖДЕНИЕ 3-1. Имеет место следующие импликации:

I/ Ь2 -транзитивное -► -транзитивное

2/ -транзитивное -► ^-транзитивное УаеСО.И".

В работе также введено понятие транзитивного замыкания нечетких отношений типа 2, И и И, на основе определений операций композиции (□), комбинации(II) нечетких отношений и доказана теорема

ТЕОРЕМА 2. Если П-нечоткое отношение типа 2 на X и сагй(Х)=п, то

ft = RUR2U...UR'\ ft = RyR* у.. .^E" .

Разработана схема преобразования нечетких отношений из одного типа в другой, рассматриваются возможные приложения к управлению нечеткой информацией такие, как построение терм-множества лингвистической переменной, построение внутренней модели внешней среда и т.д.

В чевертой главе приводятся принципы построения и практическая реализация системы FUZZY, предназначенной для управления нечеткой информацией в ЭС на основе нечетко-значной логики. С одной стороны, можно считать систему FUZZY средством извлечения знаний, с другой -средством управления знаниями в ЭС.

Будучи средством извлечения знаний, FUZZY дает пользователям-экспертам возможность вводить в машину нечеткие знания как нечеткие отношения, лингвистические термы и т.д. и автоматически создает ноше знания на основе уже существующих в ней данных и знаний. В связи с этой возможностью в FUZZY реализованы разные методы преобразования нечетких .отношений, методы построения терм-множеств лингвистических переменных, процедуры проверки отношений моделирования на коррективность и т.д..

Для управления знаниями в FUZZY разработана модель представления нечеткости с помощью нечетких чисел трапецеидального типа и построена процедура порождения

семейства нечеткозначных логик, на основе которых можно построить процедуру приближенного рассуждения.

Система FUZZY реализована на РС/ХТ/АТ. Общий объем системы составляет около 2000 операторов языка С и при работе ей требуется 60 Kb оперативной памяти.

В заключении приводятся следующие выводы и результаты работы:

1/ В работе сформулирована задача манипулирования нечеткой информацией в ЭС с использованием нечетко-значной логикипостроенной на основе алгебры нечетких чисел и отношений.

2/ Проведены исследование и систематизация общих свойств нечетких чисел и отношений, создана нечеткая арифметика, изучены различные типы нечетких чисел, наиболее широко используемые для представления нечеткости знаний.

3/ Исследованы свойства отношений порядка и их связи с расширенными операциями типа max, mln над нечеткими числами; разработаны соответствующие различным типам отношений порядка решетки на множестве нечетких чисел.

4/ На основе решеток нечетких чисел введены нечетко-значные логики, функции истинности рассматриваются как гомомофизм решеток, отображающий логические связки в расширенные операции над нечеткими числами. Эти функции принимают свои значения на множестве нечетких чисел.

5/ Изучены общие свойства нечетких отношений типа I и 2; введены понятия транзитивности и транзитивного замыкания нечетких отношений типа 2 для различных решеток нечетких

чисел, исследуются их свойства и связи между собой, доказана теорема о транзитивном замыкании для нечетких отношений типа 2.

6/ Разработаны методы преобразования нечетких отношений и рассматриваются возможные приложения нечетких отношений к управлению нечеткой информацией.

7/ Разработана и реализована система FUZZY, предназначенная для манипулирования нечеткой информацией. Система используется как подсистема ЭС (с использованием нечетко-значной логики в качестве средства представления и обработки нечетких знаний). Эксплуатация системы показала ее практическую ценность и подтвердила правильность теоретических положений, лежащих в ее основе.

Основное содержание диссертации отражено в следущих работах:

I/ А.Н.Аверкин, Ы.Х.Нгуен. Использование нечеткого отношения моделирования для экспертных систем. -М:ВД АН СССР, 1988.-25 с.

2/ М.Х.Нгуен. Применение нечетких отношений в классификации. Нечеткие системы подцержки принятия решений. -Калинин: КГУ, с. 99-107, 1989.

3/ А.Н.Аверкин, Ы.Х.Нгуен. Использование нечетких отношений в моделях представления знаний. -М: Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, No.5, с. 20-33, 1989.

4/ Ы.Х.Нгуен. О системе управления нечеткой информацией FUZZY. Нечеткие системы подцержки принятия решений -Калинин: КГУ, 1990.