автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование процесса принятия инвестиционных решений в реальных финансовых условиях

На правах рукописи

ПАВЛОВ Дмитрий Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПРИНЯТИЯ

ИНВЕСТИЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ В РЕАЛЬНЫХ ФИНАНСОВЫХ УСЛОВИЯХ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Уфа 2004

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и кибернетики Уфимского государственного авиационного технического университета

Научный руководитель д-р физ.-мат. наук, проф.

БРОНШТЕЙН Ефим Михайлович

Официальные оппоненты д-р техн. наук, проф.

ГВОЗДЕВ Владимир Ефимович

д-р физ.—мат. наук, проф. СПИВАК Семен Израилевич

Ведущая организация Уфимский государственный нефтяной

технический университет

Защита диссертации состоится « » й/}/.с/? \ 2004 г. в 10 часов

на заседании диссертационного совета Д 212.288.03 при Уфимском государственном авиационном техническом университете по адресу: 450000, г. Уфа, К. Маркса, 12

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уфимского государственного авиационного технического университета

Автореферат разослан « 1 » МЫ./б/'и 2004

(2

Ученый секретарь диссертационного совета"

д-р техн. наук, проф. Миронов В. В.

г

1 У

г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Долгосрочное вложение капитала (инвестирование) обеспечивает возможность приносить прибыль его владельцу. Рассматривая вложение капитала в неликвидные активы (в создание нового предприятия, на приобретение оборудования, лицензий, товаров или недвижимости) (real investment) инвестор должен диверсифицировать свой капитал и, как следствие, возникает проблема принятия решения о формировании портфеля инвестиционных проектов. В самом общем смысле, инвестиционным проектом называется план или программа вложения капитала, имеющая целью сохранение и увеличение стоимости денежных и/или других средств. Проблема состоит в выборе тех инвестиционных проектов, которые увеличат доходность портфеля, и потребуют наименьших затрат.

Проблема выбора инвестиционного портфеля в практической деятельности сводится к разработке некоторых формальных правил, способных упростить задачу инвестора. Подобные правила требуют применения эффективного математического инструментария моделирования инвестиционной деятельности, формализующего и упрощающего процесс принятия решения. В данной работе рассматривается частная проблема построения такого инструментария в рамках модели задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля в реальных финансовых условиях. Рассматриваемая математическая модель предложена Бронштейном Е. М., Спиваком С. И.

Финансовые задачи требуют учета многих факторов и трудно формализуются. Профессиональная работа на финансовом рынке требует моделирования всех возможных вариантов инвестиционного процесса. Важно отметить, что в условиях рыночной экономики инвестор должен оценивать доходность всех потенциальных инвестиций, что требует порой больших вычислительных ресурсов. Потенциальному инвестору для успешной деятельности необходимо ответить на следующие вопросы: Куда вкладывать деньги? Какую сумму вкладывать? На каких условиях? Необходимо ставить и более общие вопросы: Какие зависимости существуют между доходом инвестора и параметрами инвестиционного процесса, на которые он может влиять? Как изменяется доход инвестора в условиях риска процентных ставок?

Особенность российской экономики, как отмечается в работах Виленско-го П.Л., Лившица В.Н, Смоляка С.А., заключается в значительном расхождении между банковскими процентными ставками по кредитам и депозитам, что свидетельствует об актуальности учета подобного расхождения при моделировании процессов займа.

Поставленные вопросы обосновывают необходимость построения математических моделей, отражающих различные аспекты инвестиционного процесса. Эффективность модели определяется степенью адекватности реальному процессу, описываемому математической моделью, и возможностью проводить аналитические исследования с е е мощью. Эффективная математическая с -дель позволяет исследовать влияние на

библиотека I

доход инвестора, а также моделировать влияние различных внешних условий инвестирования.

Актуальна выработка на основе модели практических методологий оценки свойств потенциального инвестиционного портфеля. Математическая модель и методологии обеспечивают теоретический фундамент для практического решения проблем, описанных выше, а именно, для разработки программного обеспечения, предоставляющего инвестору гибкий инструмент принятия решения.

Целью работы является исследование процесса принятия инвестиционных решений в реальных финансовых условиях; построение эффективных алгоритмов решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля, исследование свойств оптимального инвестиционного портфеля и выработка практических методик и рекомендаций по его формированию; программная реализация алгоритмов решения задачи и методов оценки свойств портфеля.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1. Установить свойства целевой функции задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля, необходимые для построения эффективных алгоритмов оптимизации;

2. Разработать алгоритмы оптимизации целевой функции в классе эвристических и приближенных;

3. Разработать точный алгоритм поиска максимума целевой функции. Провести сравнительный анализ алгоритма с известными методами оптимизации;

4. Проанализировать на основе разработанных алгоритмов свойства оптимального портфеля инвестиционных проектов в условиях случайного изменения процентной ставки, устойчивость решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля при случайном возмущении инвестиционных проектов. Дать практические рекомендации;

5. Разработать программное обеспечение, реализующее предложенные алгоритмы решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля и методики оценки свойств портфеля.

Научная новизна результатов работы заключается в следующем:

1. Выявлены такие свойства целевой функции как вогнутость и кусоч-ная-линейность, которые использовались для построения эффективных алгоритмов решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля;

2. Предложены модификации эвристических методов решения, учитывающие особенности задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля, такие как вогнутость и кусочная-линейность;

3. Разработан точный быстродействующий алгоритм решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля, эффективно исполь-

зующий вогнутость и рекурсивную форму представления целевой функции, основанный на построении дерева состояний инвестиционного процесса и решении последовательности задач линейного программирования;

4. Проведен сравнительный анализ точного алгоритма, разработанного в рамках диссертации, с решением задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля известными точными и эвристическими методами.

Практическая ценность работы :

1. Математическая модель задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля в совокупности с алгоритмами оптимизации целевой функции могут быть использованы в программных системах поддержки принятия решений инвестором, что обеспечит повышение эффективности принятых решений;

2. Оригинальная вычислительная схема решения задачи выпуклого кусочно-линейного программирования, разработанная в диссертации, может применяться для условной оптимизации вогнутой кусочно-линейной функции при линейных ограничениях;

3. Методика оценки свойств инвестиционного процесса в условиях случайного изменения процентных ставок и методика оценки устойчивости решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля определяют дополнительные критерии при выборе портфеля; .

4. Разработано программное обеспечение, облегчающее процесс принятия решения при формировании оптимального портфеля инвестиционных проектов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Точный алгоритм решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля в реальных финансовых условиях;

2. Методика выбора инвестиционного портфеля в условиях случайного изменения банковской процентной ставки. Методика оценки* устойчивости решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля;

3. Программное обеспечение, реализующее алгоритмы и методики, разработанные в диссертации, созданное с целью поддержки принятия решения по формированию оптимального инвестиционного портфеля.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались

на:

1. Научных семинарах «Вопросы финансовой математики». 2000-2001 гг., Россия, Уфа, Башкирский государственный университет;

2. Международной конференции «Проблемы актуарной и финансовой математики», 2000 г., Белоруссия, Минск, Белорусский государственный университет;

3. The 2nd International Workshop "Computer Science and Information Technologies", 2000, Russia, Yangantau;

4. Научных семинарах по финансовой математике кафедры ВМиК УГАТУ, 2002 г., Россия, Уфа, Уфимский государственный авиационный технический университет;

5. Научном семинаре лаборатории динамических моделей экономики ЦЭМИ РАН, 2002 г., Россия, Москва, Центральный экономико-математический институт РАН;

6. Научном семинаре по вычислительной математике, 2002 г., Россия, Уфа, совместно отдел вычислительной математики Института математики с ВЦ УНЦ РАН и БГПУ.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в десяти печатных работах, - в том числе, шести статьях, четырёх материалах конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных результатов, приложения и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 113 страницы машинописного текста. Список литературных источников включает 54 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертационной работе обоснована актуальность и практическая значимость темы диссертации. Рассматриваются цели и задачи исследования, научная новизна и защищаемые положения. Приводится краткое описание работы по главам и основные её результаты, выносимые на защиту. Приводятся сведения об апробации работы.

Глава, 1 состоит из трех параграфов. Глава носит обзорный характер и содержит описание инвестиционных моделей и методов принятия инвестиционных решений, методов оптимизации кусочно-линейных функций:

В первой части приводится краткий исторический обзор формирования современной теории инвестиций, делается ретроспективный обзор существующих инвестиционных моделей. Рассматриваются оптимизационные задачи, порождаемые моделями инвестиций. Определяется место рассматриваемой инвестиционной модели в современной теории инвестиций. Существенный вклад в формирование и развитие теории инвестиций внесли западные математики и экономисты Л. Башелье (L. Bachelicr), Г. Марковиц (Н.М. Markowitz), У. Шарп (W.F. Sharpe), Л. Савадж (L. Savage), А. Шоган (A.W. Shogan), M. Вейнгартнер (Н.М. Weingartner).

В области теории инвестиций также работают российские математики В.З. Беленький, Е.М. Бронштейн, П.Л. Виленский, В.Н. Лившиц, А.А. Первозванский, С.А Смоляк, СИ. Спивак.

Во второй части главы рассматриваются методы линейной и кусочно-линейной оптимизации, и приводится краткая история их развития. Методами кусочно-линейной оптимизации занимались Е.Г. Гольштейн, И.И. Еремин, СВ. Плотников, Д.Б. Юдин. Приводятся различные формы представления ку-

сочно-линейных функций. Рассматриваются постановки задач- кусочно-линейного программирования, основанные на специфичных формах представления кусочно-линейных функций.

Глава 2 посвящена теоретическим вопросам формирования оптимального инвестиционного портфеля в реальных финансовых условиях (далее ФОИП). Данная глава является основной по содержанию частью диссертационной работы.

В начале главы приводятся необходимые понятия и определения, описание математической модели ФОИП, описывается структура целевой функции задачи ФОИП, и излагается доказательство её вогнутости.

Определим поток платежей как вектор С = (с|,...,ср, ..., с„), где ср •— сумма, которая поступает в начале периодар е {1, 2, ..., п}. Если ср > 0, то средства поступают на счет инвестора; если ср < 0, то инвестор расходует сумму |ср|. Будем считать p = 1 началом, а р = п концом проекта инвестиций.

Рассмотрим ситуацию, в которой инвестор может согласиться на предложение финансирования какой-либо части инвестиционного проекта. Такое предложение назовем гибким. С математической точки зрения это означает, что инвестор может частично финансировать поток платежей:

где х € [О, I] — доля финансирования проекта. При х = 0 проект полностью отвергается, при х = 1 — финансируется в полном объеме. Тогда, если рассматривается множество проектов {С9}, то формируемый инвестором портфель уместно обозначить

Пусть:

1. Инвестору предлагается т проектов на п периодов на условиях гибкого предложения: {С,}, где С, = (с,,, сдЪ .... с4„), д = 1,2 ,..,ш;

2. Инвестор обладает начальным капиталом

3. Процентная ставка займа ¡Зр,р = 1,л-1 и банковская процентная ставка

изменяются дискретно, причем ставки постоянны в течение каждого периода, и банковская процентная ставка не превышает процентную ставку займа:

Для предложенного набора инвестиционных проектов инвестор

должен определить вектор долей инвестирования проектов х = (х|, ..., Л'т), где такой, чтобы портфель обеспечивал максимальный доход в

момент времени п.

Введём следующие обозначения:

— капитал инвестора в начале периода/? до выплат;

— капитал инвестора в начале периода/? после всех выплат;

Капитал инвестора представляет собой функцию, определенную на множестве векторов

Динамика средств инвестора описывается следующим рекуррентным соотношением:

РГ = F

о >

(1 + «;)г;(*), > о, (1 г;(х>< о,

/,%.(*) = (*)+(*, с"*1),

■ скалярное

гдех € [О, 1Г, >5Р < <'Р,Р= 1,2,..., л-1, С=(С|р. с^,..., с„,р)\ (х, С) ■

произведение вектора долей инвестирование проектов на вектор выплат по всем проектам в период времени р.

Функция Р*(х) на области [0, 1]"' представляет собой доход инвестора в момент времени п после выплат по всем проектам. Вектор х е [О, I]"1 необходимо выбрать так, чтобы значение функции /*"„+(х) стало максимальным. Целевая функция ^(х) задачи ФОИП является кусочно-линейной вогнутой функцией.

Для поиска максимума кусочно-линейной вогнутой функции на области [О, 1]'" были применены модификации известных эвристических алгоритмов, методы линейного программирования и разработан оригинальный точный алгоритм.

Эвристические алгоритмы должны обеспечивать приближенное решение задачи ФОИП, эффективное относительно скорости и точности. В диссертации использовались следующие эвристические методы:

• комплексный метод;

• псевдоградиент;

• подъём с ранжированием.

Особенность целевой функции заключается в том, что она являет-

ся вогнутой. Следовательно, функция является также и унимодальной на области [о, 1Г.

Суть комплексного метода заключается в выборе по определенному критерию к точек, именуемых комплексом, на области определения функции. Далее при каждой итерации алгоритма происходит изменение комплекса по определенным правилам. Алгоритм завершает работу, когда максимальное расстояние между точками комплекса меньше

Метод псевдоградиента выбирает начальную точку из области определения функции, ищет направление максимального возрастания функции только по направлению координатных осей. Алгоритм делает шаг по найденному направлению. Если направление возрастания целевой функции не найдено, то шаг алгоритма уменьшается и поиск повторяется. Алгоритм завершает работу после

того, как значение шага поиска станет меньше некоторого заданного числа Е>0.

Метод подъёма с ранжированием предполагает ранжирование проектов по степени доходности, после чего для поиска максимума функции /-^(х) при меняется алгоритм покоординатного подъема. Применение метода покоординатного подъема для поиска максимума функции /^(х) не приведёт к оптимизации. Идея эвристики заключается в установлении порядка, в котором будет происходить покоординатный подъем. Фактически это означает, что приоритет в распределении денежных средств инвестора будет отдан более доходным проектам. Для реализации этой идеи перед применением алгоритма покоординатного подъема производится ранжирование проектов следующим образом:

1. Вычислить где е-, = (0,0,..., 1,..., 0),/=1,/я;

12 ;' т

2. Ранжировать проекты в соответствии со значениями ^(е,-) в порядке убывания Г;{е,{) > > ... > ^(е^)..

Фактически это означает, что если вложить все имеющиеся денежные средства в проект до ранжирования (или в первый проект после ранжирования), то мы получим наибольшую прибыль по сравнению со случаем аналогичного финансирования остальных проектов.

Во второй главе рассматривается постановка задачи кусочно-линейного программирования, полученная в результате анализа задачи ФОИП, и приводится вычислительная схема решения задачи в рамках данной постановки. Доказывается корректность вычислительной схемы, и обсуждается область её применения.

При изложении алгоритмов решения задач кусочно-линейного программирования, как правило, приводится специфическое определение кусочно-линейной функции, и формулируется специфичная постановка задачи кусочно-линейного программирования, в рамках которой предлагается вычислительная схема оптимизации кусочно-линейной функции. В диссертационной работе делается обобщение задачи кусочно-линейного программирования, полученной при анализе задачи ФОИП, и приводится вычислительная схема её решения.

Приведём формальное определение вогнутой кусочно-линейной функции и задачи кусочно-линейного программирования для задачи ФОИП:

где /,{х), / = П линейные функции их е/Г1.

Постановка задачи кусочно-линейного программирования: F(x) = min{/, (*)}-> max,

где М- выпуклый многогранник; М„ i = \,s - выпуклые многогранники, образующие разбиение Ми обладающие следующими свойствами:

1. Сужение функции F(x) на область М, является линейной функцией

/,(*), / = U;

2. Л/,*0, 1 = 1. J;

3. Если / Ф j, то не существует линейной функции на А/, сужение которой на совпадает с сужением функции F(x) на

Для задачи ФОИП кусочно-линейная функция F(x) определяется целевой функцией задачи F*(x), а область её определения [0, 1]'" и есть многогранник Л/, фигурирующий в постановке задачи кусочно-линейного программирования. Количество многогранников разбиения s<2""'. Многогранники М„ / = 1, s определяются системой линейных неравенств, состоящих из п-\ неравенства, где п число периодов инвестирования.

Алгоритм поиска максимума вогнутой кусочно-линейной функции F(x) основан на решении некоторой последовательности задач L\, Li, .... I* , ... линейного программирования, при этом существенно используется вогнутость функции. Вогнутость целевой функции позволяет построить простой точный алгоритм поиска максимума функции.

Определим задачи линейного программирования i = l, s следующим образом:

^ j/,(;c)->max,

где сужение целевой функции на многограннике и пусть на

шаге к решается следующая задача:

Из множества задач L„ i = I. s на k+1 шаге алгоритма выделяются два непересекающихся подмножества:

L\ — множество таких задач L„ для которых М, граничит с Л/* по грани размерности большей нуля;

— множество таких задач для которых граничит с по вершине.

Следующий шаг алгоритма заключается в поиске задачи такой, что максимум линейной функции /м(х) был бы больше максимума линейной функции ¡¡.(х) на соответствующем многограннике. Задачу ¿^ следует искать, прежде всего, в . Часть задач из граничат по допустимым множествам с задачами из и максимум, достигнутый на линейных функциях задач из ¡}к, заведомо больше (либо равен) максимума, достигнутого на линейных функциях задач из , в силу вогнутости функционала описанной выше задачи.

В работе приводится обоснование сходимости алгоритма. Необходимо отметить, что алгоритм способен максимизировать любую кусочно-линейную вогнутую функцию. Главной проблемой является способ построения разбиения В диссертации рассматриваются несколько способов применения вычислительной схемы к задаче ФОИП, описывается метод разбиения области определения целевой функции на многогранники

В диссертационной работе был предложен алгоритм разбиения области на многогранники для вышеприведенной математической мо-

дели. Алгоритм основан на построении дерева состояний инвестиционного процесса. Каждому узлу дерева соответствуют некоторое состояние инвестиционного процесса (капитал инвестора), дугам соответствуют условные и безусловные переходы из одного состояния в другое. Листьям дерева соответствуют линейные функции /,(х), определённые выше, а также области их определения — многогранники М,.

Точный алгоритм решения задачи ФОИП является основным теоретическим результатом диссертации. Вычислительная схема оптимизации кусочно-линейной функции основана на вогнутости и рекурсивной форме определения целевой функции задачи ФОИП. Алгоритм использует дерево состояний инвестиционного процесса, что позволяет ему не искать все многогранники разбиения области [0,1]™, а определять на каждом шаге только необходимые для следующего шага многогранники М,. В процессе поиска максимума функции потенциально алгоритму может потребоваться перебор 2я*1 многогранников разбиения реальное количество многогранников, рассматриваемых алгоритмом, значительно меньше (п - число лет, в течение которых выполняется инвестиционный проект). Последнее утверждение проверено в ходе вычислительного эксперимента. В вычислительном эксперименте рассматривались проекты при п < 30.

В заключительной части второй главы показано, что задача ФОИП сводится к задаче линейного программирования.

Различие между алгоритмом, разработанным в данной работе, и решением задачи ФОИП посредством преобразования исходной задачи к задаче линейного программирования заключается в следующем: в первом случае последовательно решается несколько задач линейного программирования из множества задач вида:

1 = 1, 8, на каждой итерации проверяется критерий оптимальности, и строится задача ЛП для следующей итерации. Во втором случае решается одна задача линейного программирования, но значительно большей размерности. Чем меньше 8, тем быстрее работает алгоритм.

Алгоритм задачи перебирает крайние точки многогранников М, разбиения множества граничащих по вершине, в то время как симплекс метод перебирает точки гиперплоскостей области определения целевой функции задачи ЛП.

Глава 3 описывает вычислительный эксперимент. Целью вычислительного эксперимента является сопоставительный анализ алгоритмов, рассматриваемых во второй главе. Описываются условия, в которых проводился эксперимент, способ генерации данных задачи ФОИП и налагаемые на входные данные условия. Приводится интерпретация результатов вычислительного эксперимента.

В начале главы описывается вычислительный эксперимент по оценке эффективности эвристик, и приводится интерпретация его результатов.

В ходе вычислительного эксперимента решались тестовые задачи разных размерностей, проведен сравнительный анализ разработанных алгоритмов формирования оптимальною портфеля инвестиционных проектов, получены соответствующие временные характеристики, оценена точность. В процессе эксперимента вычислялись величины среднеквадратического отклонения эвристик от значения максимума кус очно-линейной функции, рассчитанного точным методом.

Самым быстрым методом решения задачи ФОИП является псевдоградиент. Самое близкое приближение к точному решению можно получить с помощью комплексного метода. Отметим, что разработанный точный алгоритм по-

г;(х) = (х, С) + -> шах, <(1 + ¡1){{х, с")+/>).

^Г =

гдех € [0, 1Г, С е Я", < = 1. 2,п-\.

казал более высокие скоростные характеристики, чем комплексный метод для задач ФОИП с большим количеством краткосрочных проектов.

Во второй части главы 3 описывается вычислительный эксперимент, цель которого — сравнение алгоритма решения задачи ФОИП посредством оптимизации кусочно-линейной функции и методами линейного программирования.

В ходе вычислительного эксперимента решались тестовые задачи, где число проектов т > 10, число периодов инвестирова ййй,т а к как на малых размерностях оба подхода работают мгновенно, и поэтому эксперимент не представляет интереса. Проведен сравнительный анализ разработанного точного алгоритма формирования оптимального инвестиционного портфеля и алгоритма, основанного на приведении задачи ФОИП к форме задачи линейного программирования.

Экспериментально установлено, что 30,7% задач ФОИЛ решается более эффективно разработанным алгоритмом, чем методом приведения исходной задачи к задаче линейного программирования.

В заключении главы 3 описывается вычислительный эксперимент, проведенный для оценки количества непустых многогранников разбиения М„ образующих разбиение множества [0,1]"1 и фигурирующих в постановке задачи кусочно-линейного программирования.

Для задач ФОИП размерностью 5 проектов на 20 лет строилось разбиение области [0, 1]т, содержащее в среднем только 1737 многогранников М, из потенциально возможного числа 219 = 524288.

Теоретическое количество многогранников, возникающее при решении задачи ФОИП, со сроком инвестиций на п лет составляет 2"*'. Пусть сужение функции /гп+(х) на много М,р а 1н,н В среднем не более 4% задач линейного программирования вида:

,;1*еЛ/(.

от общего числа 5 < 2""'имеют непустую область определения.

Вычислительная схема алгоритма выборочно решает лишь часть задач ¿,

из малого количества задач ЛП, имеющих непустые области определения В случае задачи ФОИП формирование многогранников разбиения М, проводится только для решаемых задач ЛП. Максимальное число задач линейного программирования при проведении всех экспериментов, которое пришлось решить по алгоритму поиска максимума кусочно-линейной функции, не превысило 16.

Глава 4 описывает практическое применение модели и разработанных алгоритмов оптимизации целевой функции для анализа свойств оптимального портфеля инвестиций, выработки методики оценки свойств и формирования рекомендаций.

Рассматриваемая модель инвестиций, адекватно отражающая реальные инвестиционные процессы, а также производительные алгоритмы поиска оптимального инвестиционного портфеля позволяют провести исследования

свойств прибыли по оптимальному портфелю при различных условиях инвестирования. Детерминированная математическая модель инвестирования рассматривается как основа для исследований свойств инвестиционного процесса.

Анализ линейной формы задачи, позволяет установить некоторые качественные свойства инвестиционного процесса, описываемого данной моделью. В частности устанавливается зависимость прибыли Рор1 по оптимальному портфелю от начального капитала инвестора . Под прибылью инвестора понимается величина:

где ^(х) значение целевой функции задачи ФОИП. Прибыль по оптимальному портфелю определим как вектор долей инвестирования проектов портфеля, на котором достигается максимум целевой функции задачи. Зависимость прибыли по оптимальному портфелю от начального капитала инвестора является вогнутой. Доход инвестора возрастает при возрастании начального капитала до некоторого порогового значения начиная с которого инвестору нет необходимости занимать дополнительные денежные средства для финансирования портфеля инвестиционных проектов, т.е. функция прибыли является не убывающей. Следствием является убывание рентабельности /г

ор1 (относительной прибыли) с ростом начального капитала инвестора.

В диссертации выполнено исследование закона распределения прибыли

инвестора по оптимальному портфелю, как случайной величины, в условиях случайной банковской процентной ставки. Динамика изменения процентных ставок воспроизводилась с помощью следующих моделей:

1. Модель динамики процентных ставок, подобная модели Башелье-

Самуэльсона (назовем её условно В8 моделью), в которой 1п £ есть случайная величина, распределенная нормально;

2. Модель динамики процентных ставок, подобная модели Кокса-Ингерсолла-Росса, далее модель С1Я: = +• Р + гр, где гр случайные, независимые помехи, распределенные нормально.

Вычислительный эксперимент состоял из следующих шагов:

1. Генерация входных данных производилась для задач ФОИП пяти размерностей. Для каждой размерности было сгенерированно 50 задач ФОИП. Главное требование, накладываемое на генерируемые вектора потоков платежей, обеспечение ситуации, в которой инвестор вынужден заимствовать средства для финансирования проектов;

2. Для каждой задачи моделировалась динамика изменения банковской процентной ставки с помощью В 8 модели, посредством генерации выборки из 200 сценариев изменения банковской процентной ставки. Для каждого сцена-

рия решалась задача ФОИП. В результате была получена выборка объёмом 200 для дохода по оптимальному портфелю, как случайной величины, при случайной реализации сценария изменения банковской процентной ставки.

3. Повторение действий пункта 2, но с использованием модели СЖ с различными параметрами;

4. Для каждой выборки проверялись гипотезы о нормальном и гамма законах распределения, подсчитывалась оценка асимметрии эмпирического закона распределения.

Были получены следующие результаты:

1. Построены эмпирические законы распределения прибыли по оптимальному портфелю в условиях случайного изменения банковской процентной ставки;

2. Наблюдалось возрастание асимметрии эмпирического закона распределения прибыли с увеличением числа периодов инвестирования для всех рассматриваемых моделей. Можно сделать вывод, что при краткосрочном инвестировании мы с большей вероятностью получаем больший доход по оптимальному портфелю, так как модальное значение случайной прибыли увеличивается с уменьшением асимметрии (при уменьшении числа периодов инвестирования);

3. Предложена рекомендация о выборе инвестиционного портфеля в условиях случайного изменения банковской процентной ставки. В начале реализации проектов мы не знаем какой из сценариев будет реализован и, следовательно, какой портфель будет оптимальным, но оценив закон распределения вероятности для дохода по оптимальному портфелю при реализации случайного сценария изменения процентной ставки мы можем рекомендовать портфель, который вероятнее остальных станет оптимальным.

В четвертой главе решается важный для практики вопрос об устойчивости оптимального инвестиционного портфеля при возмущении исходной задачи. Вычислительный эксперимент показал, что долгосрочные проекты (продолжительностью 30 и более периодов) при изменений первоначальных условий инвестирования более чем на 30% могут привести к значительным финансовым потерям. Изменение исходных потоков платежей менее чем на 15% приводит к изменению дохода не более чем на 8%.

В заключении четвертой главы описывается программное обеспечение, разработанное для поддержки принятия решения о формировании инвестиционного портфеля, и с целью проведения вычислительного эксперимента. Описываются особенности реализации алгоритмов.

Программная реализация и тестирование алгоритмов решения задачи ФОИП выполнена с помощью компилятора Borland Delphi 3.0. Тестирование точного алгоритма производилось в среде MatLab 6.5, где были реализованы методы решения задачи ФОИП с помощью точного алгоритма, разработанного в диссертации, и с помощью приведения исходной задачи к задаче линейного программирования. Программный код остальных программ, разработанных в процессе работы над диссертацией, реализован в форме набора классов языка Object pascal.

Программное обеспечение является основным практическим результатом диссертации и обладает следующими характеристиками:

1. Использование модели задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля в реальных финансовых условиях для имитации реального инвестиционного процесса;

2. Отсутствие ограничений на временной горизонт и шаг периода инвестирования (день, месяц, год,...);

3. Отсутствие ограничений на количество инвестиционных проектов;

4. Допускает разнообразие сценариев реализации инвестиционного проекта, и имитацию возмущения исходного сценария развития инвестиционного процесса;

5. Обеспечивает возможность и различные способы моделирования динамики изменения кредитной и депозитной процентных ставок, выработка рекомендации по выбору инвестиционного портфеля в условиях случайного изменения банковской процентной ставки и процентной ставки займа;

6. Имеет возможность сохранения в памяти компьютера приемлемых вариантов расчета для последующего сравнения и окончательного отбора. Позволяет сохранить данные о задаче в ASCII файле на жестком диске компьютера. Позволяет считать данные о задаче с жесткого диска компьютера;

7. Имеет интуитивно понятный интерфейс ввода данных задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля, что обеспечивает возможность упрощения и минимизации трудоемкости ввода информации; возможная защита от ошибок при вводе; наглядность результатов, достаточный объем графической информации;

8. Обеспечивает надежность в работе; быстродействие, позволяющее в приемлемые сроки производить расчеты необходимого количества вариантов развития инвестиционного процесса и их сравнение;

9. Обеспечивает решение задачи формирования инвестиционного портфеля методами, рассмотренными в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационной работе, в рамках модели формирования оптимального инвестиционного портфеля в реальных финансовых условиях, получены следующие результаты:

1. Доказаны вогнутость и кусочная-линейность целевой функции задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля. Данные свойства были использованы для построения эффективных алгоритмов оптимизации целевой функции задачи;

2. Разработаны модификации известных эвристических алгоритмов для поиска оптимального инвестиционного портфеля, учитывающие свойства вогнутости и кусочной-линейности целевой функции задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля;

3. Разработан точный алгоритм решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля. Обоснована его сходимость. Проведен вычислительный эксперимент, дан сравнительный анализ алгоритмов. Число задач ЛП, которое пришлось решить по разработанному алгоритму поиска максимума кусочно-линейной функции, не превысило 16. Точный алгоритм в 30,7% случаях показал преимущество по скорости в сравнении с решением задачи, посредством сведения к задаче ЛП. В 60% случаях результаты практически одинаковы. В случае если область определения ^-функции разбивается не более чем на три многогранника, то предпочтительней использовать алгоритм, разработанный в данной диссертационной работе;

4. Построены эмпирические законы распределения дохода по оптимальному портфелю при моделировании процентной ставки как случайного процесса, посредством В 8 и С1Я моделей. Установлено возрастание асимметрии эмпирического закона распределения прибыли по оптимальному портфелю с увеличением срока исполнения проектов для всех рассматриваемых моделей. Следствием является большая вероятность высокой рентабельности оптимального инвестиционного портфеля краткосрочных проектов, относительно рентабельности портфеля долгосрочных проектов. На основе данных исследований выработаны методики оценки свойств инвестиционного портфеля;

5. Разработано программное обеспечение, реализующее вычислительные схемы и методы, рассматриваемые в диссертации. С его помощью проведены исследования свойств инвестиционного процесса. Программное обеспечение позволяет сформировать рекомендации по выбору инвестиционного портфеля.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Павлов Д.А. Численные методы формирования оптимального инвестиционного портфеля // Логико-математические методы в технике экономике и социологии: IV Междунар. науч.-техн. конф. Пенза, 1999. С. 68-70.

2. Павлов Д.А. Формирования оптимального инвестиционного портфеля // Принятие решений в условиях неопределенности: Межвуз. науч. сб. Уфа: УГАТУ, 2000. С. 30-36.

3. Павлов Д.А. Задача формирования оптимального инвестиционного портфеля // Проблемы актуарной и финансовой математики: Материалы междунар. науч. конф. Минск, 2000. С. 59-64.

4. Павлов Д.А. Проблема формирования оптимального портфеля инвестиционных проектов (статья на англ. яз.) // CSIT2000: Материалы междунар. науч. конф. Уфа: УГАТУ, 2000. Т. 2. С. 191-193.

5. Павлов Д.А. Задача формирования оптимального инвестиционного портфеля и алгоритм её решения // Принятие решения в условиях неопределенности: Межвуз. науч. сб. Уфа: УГАТУ, 2001. С. 158-163.

6. Павлов Д.А. Вопросы формирования оптимального инвестиционного портфеля // Математическое моделирование в решении научных и технических задач. Уфа: Технология, 2001. Вып. 2. С. 43-48.

7. Павлов Д.А. Задача формирования оптимального инвестиционного портфеля в условиях возможности заимствования средств // Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании: Сб. материалов Междунар. науч.-техн. конф. Пенза, 200 К Часть I. С 155-157.

8. Павлов Д.А. Задача формирования оптимального инвестиционного портфеля в условиях возможности заимствования средств // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Научное издательство "ТВП", 2001. Т. 8, вып. 2. С 662-663.

9. Бронштейн Е.М., Павлов Д.А. Формирования оптимального инвестиционного портфеля в реальных финансовых условиях (статья на англ. яз.) // EURO Working Group on Financial Modelling: Материалы науч. конф. Ротер-дамский университет им. Эразма, Гарлем, Нидерланды, 2001. http://www.eur.nl/ topics/finance/ewgfm/papers/papers/bronhstein_e/usatu.pdf. С. 1-13.

10. Бронштейн Е.М., Павлов Д.А. Задача формирования оптимального инвестиционного портфеля в условиях возможности заимствования средств // Системное моделирование социально-экономических процессов: Материалы XXV Междунар. школы-сем. памяти акад. С. Шаталина. М.'ЦЭМИ РАН, 2002. Ч. I. С. 37.

ПАВЛОВ Дмитрий Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПРИНЯТИЯ

ИНВЕСТИЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ В РЕАЛЬНЫХ ФИНАНСОВЫХ УСЛОВИЯХ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано к печати 27.02.2004. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,0. Усл. кр.-отт. 1,0. Уч.-изд. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ № 180

Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа - центр, ул. К.Маркса, 12

ВВЕДЕНИЕ.

Актуальность.

Цель работы.

Научная новизна.

Практическая ценность.

Положения, выносимые на защиту:.

Апробация работы.

Публикации.

Структура и объем работы.

Сокращения.

ГЛАВА 1. ВОПРОСЫ ПОСТРОЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ.И

Аннотация.

1. История теории инвестиций.

1.1 Инвестиций в неликвидные активы (real investment).

1.2 Портфельные инвестиции (portfolio investment).

1.3 Особенности модели ФОИП.

2. Линейное и кусочно-линейное программирование.

2.1 Инвестиционные модели и их целевые функции.

2.2 Постановка k-задачи Голъштейна Е.Г. Юдина Д.Б.

2.3 Постановка k-задачи Еремина И.И.

Выводы.

ГЛАВА 2. ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ И АЛГОРИТМЫ ЕЁ РЕШЕНИЯ.

Аннотация.

1. Математическая модель.

1.1 Инвестиционный проект.

1.2 Формализация задачи.

1.3 Структура целевой функции.

1.4 Вогнутость целевой функции.

1.5 Дерево состояний инвестиционного процесса.

2. Эвристические методы.

2.1 Комплексный метод.

2.2 Псевдоградиент.

2.3 Подъем с ранжированием.

3. Методы кусочно-линейной оптимизации.

3.1 Задача ФОИП как к-задача.

3.2 Постановка к-задачи.

3.3 Алгоритм поиска максимума к-функции.

3.4 Доказательство корректности алгоритма.

3.5 Область применения.

4. точный алгоритм решения задачи ФОРШ.

4.1 Применение вычислительной схемы.

4.2 Модификация вычислительной схемы.

5. Методы линейного программирования.

Выводы.

ГЛАВА 3. СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМОВ.

Аннотация.

1. Условия вычислительного эксперимента.

2. Эффективность эвристических алгоритмов.

3. Эффективность разработанного точного алгоритма.

4. Оценка количества многогранников М}.

Выводы.

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ОПТИМАЛЬНОГО ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ.

Аннотация.

1. Анализ математической модели задачи ФОИП.

2. Моделирование случайного изменения процентных ставок.

3. Устойчивость в задаче ФОИП.

4. Программное обеспечение.

4.1 Цели разработки.

4.2 Программный модуль Investor.

4.3 Программный модуль Experiment.

4.4 Программный модуль Experiment2.

4.5 Программный модуль Experiment3.

4.6 Особенности реализации.

Выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

Долгосрочное вложение капитала (инвестирование) обеспечивает возможность приносить прибыль его владельцу. Рассматривая вложение капитала в неликвидные активы (в создание нового предприятия, на приобретение оборудования, лицензий, товаров или недвижимости) (real investment) инвестор должен диверсифицировать свой капитал и, как следствие, возникает проблема принятия решения о формировании портфеля инвестиционных проектов. В самом общем смысле, инвестиционным проектом называется план или программа вложения капитала, имеющая целью сохранение и увеличение стоимости денежных и/или других средств. Проблема состоит в выборе тех инвестиционных проектов, которые увеличат доходность портфеля, и потребуют наименьших затрат.

Проблема выбора инвестиционного портфеля в практической деятельности сводится к разработке некоторых формальных правил, способных упростить задачу инвестора. Подобные правила требуют применения эффективного математического инструментария моделирования инвестиционной деятельности, формализующего и упрощающего процесс принятия решения. В данной работе рассматривается частная проблема построения такого инструментария в рамках модели задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля в реальных финансовых условиях. Рассматриваемая математическая модель предложена Бронштейном Е. М., Спиваком С. И.

Финансовые задачи требуют учета многих факторов и трудно формализуются. Профессиональная работа на финансовом рынке требует моделирования всех возможных вариантов инвестиционного процесса. Важно отметить, что в условиях рыночной экономики инвестор должен оценивать доходность всех потенциальных инвестиций, что требует порой больших вычислительных ресурсов. Потенциальному инвестору для успешной деятельности необходимо ответить на следующие вопросы: Куда вкладывать деньги? Какую сумму вкладывать? На каких условиях? Необходимо ставить и более общие вопросы: Какие зависимости существуют между доходом инвестора и параметрами инвестиционного процесса, на которые он может влиять? Как изменяется доход инвестора в условиях риска процентных ставок?

Особенность российской экономики, как отмечается в работах Виленского П.Л., Лившица В.Н, Смоляка С.А., заключается в значительном расхождении между банковскими процентными ставками по кредитам и депозитам, что свидетельствует об актуальности учета подобного расхождения при моделировании процессов займа.

Поставленные вопросы обосновывают необходимость построения математических моделей, отражающих различные аспекты инвестиционного процесса. Эффективность модели определяется степенью адекватности реальному процессу, описываемому математической моделью, и возможностью проводить аналитические исследования с ее помощью. Эффективная математическая модель позволяет исследовать влияние параметров инвестиционного процесса на доход инвестора, а также моделировать влияние различных внешних условий инвестирования.

Актуальна выработка на основе модели практических методологий оценки свойств потенциального инвестиционного портфеля. Математическая модель и методологии обеспечивают теоретический фундамент для практического решения проблем, описанных выше, а именно, для разработки программного обеспечения, предоставляющего инвестору гибкий инструмент принятия решения.

Цель работы

Целью является исследование процесса принятия инвестиционных решений в реальных финансовых условиях; построение эффективных алгоритмов решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля, исследование свойств оптимального инвестиционного портфеля и выработка практических методик и рекомендаций по его формированию; программная реализация алгоритмов решения задачи и методов оценки свойств портфеля.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1. Установить свойства целевой функции задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля, необходимые для построения эффективных алгоритмов оптимизации;

2. Разработать алгоритмы оптимизации целевой функции в классе эвристических и приближенных;

3. Разработать точный алгоритм поиска максимума целевой функции. Провести сравнительный анализ алгоритма с известными методами оптимизации;

4. Проанализировать на основе разработанных алгоритмов свойства оптимального портфеля инвестиционных проектов в условиях случайного изменения процентной ставки, устойчивость решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля при случайном возмущении инвестиционных проектов. Дать практические рекомендации;

5. Разработать программное обеспечение, реализующее предложенные алгоритмы решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля и методологии оценки свойств портфеля.

Научная новизна

Научная новизна результатов работы заключается в следующем:

1. Выявлены такие свойства целевой функции как вогнутость и кусочная-линейность, которые использовались для построения эффективных алгоритмов решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля;

2. Предложены модификации эвристических методов решения, учитывающие особенности задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля, такие как вогнутость и кусочная-линейность;

3. Разработан точный быстродействующий алгоритм решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля, эффективно использующий вогнутость и рекурсивную форму представления целевой функции, основанный на построении дерева состояний инвестиционного процесса и решении последовательности задач линейного программирования;

4. Проведен сравнительный анализ точного алгоритма, разработанного в рамках диссертации, с решением задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля известными точными и эвристическими методами.

Практическая ценность

1. Математическая модель задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля в совокупности с алгоритмами оптимизации целевой функции могут быть использованы в программных системах поддержки принятия решений инвестором, что обеспечит повышение эффективности принятых решений;

2. Оригинальная вычислительная схема решения задачи выпуклого кусочно-линейного программирования, разработанная в диссертации, может s применяться для условной оптимизации вогнутой кусочно-линейной функции при линейных ограничениях;

3. Методика оценки свойств инвестиционного процесса в условиях случайного изменения процентных ставок и методика оценки устойчивости решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля определяют дополнительные критерии при выборе портфеля;

4. Разработано программное обеспечение, облегчающее процесс принятия решения при формировании оптимального портфеля инвестиционных проектов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Точный алгоритм решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля в реальных финансовых условиях;

2. Методика выбора инвестиционного портфеля в условиях случайного изменения банковской процентной ставки. Методика оценки устойчивости решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля;

3. Программное обеспечение, реализующее алгоритмы и методики, разработанные в диссертации, созданное с целью поддержки принятия решения по формированию оптимального инвестиционного портфеля.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на:

1. Научных семинарах «Вопросы финансовой математики». 2000-2001 гг., Россия, Уфа, Башкирский государственный университет;

2. Международной конференции «Проблемы актуарной и финансовой математики», 2000 г., Белоруссия, Минск, Белорусский государственный университет;

3. The 2nd International Workshop "Computer Science and Information Technologies", 2000, Russia, Yangantau;

4. Научных семинарах по финансовой математике кафедры ВМиК УГАТУ, 2002 г., Россия, Уфа, Уфимский государственный авиационный технический университет;

5. Научном семинаре лаборатории динамических моделей экономики ЦЭМИ РАН, 2002 г., Россия, Москва, Центральный экономико-математический институт РАН;

6. Научном семинаре по вычислительной математике, 2002 г., Россия, Уфа, совместно отдел вычислительной математики Института математики с ВЦ УНЦ РАН и БГПУ.

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в десяти печатных работах, - в том числе, шести статьях, четырёх материалах конференций.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных результатов, приложения и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 112 страницы машинописного текста. Список литературных источников включает 54 наименования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В диссертационной работе, в рамках модели формирования оптимального инвестиционного портфеля в реальных финансовых условиях, получены следующие результаты:

1. Доказаны вогнутость и кусочная-линейность целевой функции задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля. Данные свойства были использованы для построения эффективных алгоритмов оптимизации целевой функции задачи;

2. Разработаны модификации известных эвристических алгоритмов для поиска оптимального инвестиционного портфеля, учитывающие свойства вогнутости и кусочной-линейности целевой функции задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля;

3. Разработан точный алгоритм решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля. Обоснована его сходимость. Проведен вычислительный эксперимент, дан сравнительный анализ алгоритмов. Число задач ЛП, которое пришлось решить по разработанному алгоритму поиска максимума кусочно-линейной функции, не превысило 16. Точный алгоритм в 30,7% случаях показал преимущество по скорости в сравнении с решением задачи, посредством сведения к задаче ЛП. В 60% случаях результаты практически одинаковы. В случае если область определения ^-функции разбивается не более чем на три многогранника, то предпочтительней использовать алгоритм, разработанный в данной диссертационной работе;

4. Построены эмпирические законы распределения дохода по оптимальному портфелю при моделировании процентной ставки как случайного процесса, посредством В Б и СШ моделей. Установлено возрастание асимметрии эмпирического закона распределения прибыли по оптимальному портфелю с увеличением срока исполнения проектов для всех рассматриваемых моделей. Следствием является большая вероятность высокой рентабельности оптимального инвестиционного портфеля краткосрочных проектов, относительно рентабельности портфеля долгосрочных проектов. На основе данных исследований выработаны методологии оценки свойств инвестиционного портфеля;

5. Разработано программное обеспечение, реализующее вычислительные схемы и методы, рассматриваемые в диссертации. С его помощью проведены исследования свойств инвестиционного процесса. Программное обеспечение позволяет сформировать рекомендации по выбору инвестиционного портфеля.

1. Алексеев О.Г. Комплексное применение методов дискретной оптимизации // М.: Наука, 1987. С. 248.

2. Беленький В.З. Экономическая динамика. Анализ инвестиционных проектов в рамках линейной модели Неймана-Гейла//Препр. #WP/2002/137. -М.: ЦЭМИ РАН, 2002. С. 78.

3. Бронштейн Е.М., Спивак С.И. Сложные инвестиции и потоки платежей // Рынок ценных бумаг, №3, 1997. С. 39 42.

4. Бронштейн Е.М., Спивак С.И. Как сформировать оптимальный портфель // Рынок ценных бумаг, №14, 1997. С. 57-59.

5. Бронштейн Е.М. Основы финансовой математики // Уфа: УГАТУ, 2000. С. 99.

6. Виленский П.Л., Лившиц В.Н, Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. Теория и практика // М.: Дело, 2002. С. 478.

7. ГалеевЭ.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач // Издательство Московского университета, 1989. С. 118.

8. Гольштейн Е.Г. Юдин Д.Б. Новые направления в линейном программировании // М.: издательство "Советское радио", 1966. С. 524.

9. Еремин И.И. Теория линейной оптимизации // Екатеринбург, 1998. С. 247.

10. Касимов Ю.Ф., Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг //М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1998. С. 144.

11. Кочович Е., Финансовая математика // М.: ФиС, 1994. С. 159.

12. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики // М.: Дело, 1998. С. 178.

13. Мельников А.В. Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг // М.: ТВП, 1997. С. 206.

14. Мухачева Э.А., Рубинштейн Г.Ш. Математическое программирование. 2-е издание, переработанное и дополненное // Новосибирск: Наука, 1987. С. 274.

15. Павлов Д.А. Численные методы формирования оптимального инвестиционного портфеля // Логико-математические методы в технике экономике и социологии: IV Междунар. науч.-техн. конф. Пенза, 1999. С. 68-70.

16. Павлов Д.А. Формирования оптимального инвестиционного портфеля // Принятие решений в условиях неопределенности: Межвуз. науч. сб. Уфа: УГАТУ, 2000. С. 30-36.

17. Павлов Д.А. Задача формирования оптимального инвестиционного портфеля // Проблемы актуарной и финансовой математики: Материалы междунар. науч. конф. Минск, 2000. С. 59-64.

18. Павлов Д.А. Задача формирования оптимального инвестиционного портфеля и алгоритм её решения // Принятие решения' в условиях неопределенности: Межвуз. науч. сб. Уфа: УГАТУ, 2001. С. 158-163.

19. Павлов Д.А. Вопросы формирования оптимального инвестиционного портфеля // Математическое моделирование в решении научных и технических задач. Уфа: Технология, 2001. Вып. 2. С. 43—48.

20. Павлов Д.А. Задача формирования оптимального инвестиционного портфеля в условиях возможности заимствования средств // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Научное издательство "ТВП", 2001. Т. 8, вып. 2. С 662-663.

21. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию // М.: «Наука», 1983. С. 493.

22. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск // М.: Инфра М, 1994. С. 256.

23. Плотников C.B. Методы проектирования в задачах нелинейного программирования // Дисс. Канд. Физ-мат. Наук. Свердловск:УрГУ, 1983. С. 135.

24. Черников С.Н. Линейные неравенства // М.: «Наука», 1968. С. 488.

25. ЧетыркинЕ.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов // М.: Дело, 1995. С. 375.

26. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики // М.: Фазис, 1998. Т. 1,2. С. 540.

27. John С. Сох, Jonathan Е. Ingersoll, Jr. Stephen A. Ross. A Theory of the Term Structure of Interest Rates // Econometrica, Volume 53, Issue 2 (Mar., 1985). P. 385-408.

28. Bachelier L., Théorie de la Spéculation // Annales de l'Ecole normale superiure (trans. Random Character of Stock Market Prices), 1900. P. 185.

29. Black F. and Sholez M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities //Journal of Political Economy 81(3) May/June 1973. P. 235.

30. Lintner J. The Valuation of Risk Asset and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets // Review of Economics and Statistics, February, 1965. P. 13-27.

31. Maltzer D. On the expressibility of piecewise linear continuous functions as the difference of two piecewise linear convex functions // Math. Program., study 29, 1986. P. 385.

32. Markowitz H.M. Portfolio selection // Journal of Finance, 1952, 7, N 1, (March), P.77-91.

33. Markowitz H.M. Mean variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets // Basil: Blakwell Pub, 1990b. P. 685.

34. McCutchen J.J., Scott W.F. An Introduction to the Mathematics of Finance // Cambridge university- 1993. P. 346.

35. MossinJ. Equilibrium in a Capital Asset Market // Econometric 34(4) October 1966. P. 768-83.

36. Merton R.C. Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty the Continuous // Time Case, The Review of Economic Statistic, August, 1969. P. 285.

37. Pavlov D. The forming of an optimum investment portfolio // Proceedings of the 2nd Int. Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT'2000. Ufa, Russia, 2000. Vol. 2. Ufa: USATU. P. 191-193.

38. Roll R. A Critique of the Asset Pricing Theory Test // Journal of Financial Economics, March. P. 1-83.

39. Roll R. and Ross R. A Critical reexamination of the Empirical Evidence of the Arbitrage Pricing Theory // Journal of Finance, June 1984. P. 37-112.

40. Ross S.A. The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing // Journal of Economic Theory, Dec. 1976. P. 137-234.

41. Sharpe W.F. A Simplified Model for Portfolio Analysis // Management Science, January 1963. P. 77-189.

42. Sharpe W.F. Capital Asset price: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk// Journal of Finance 29(3) September, 1964. P. 425-442.

43. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection in F.H. Hahn and F.R.P. Brechling (eds)*, The Theory of Interest Rate // London, Macmillan, 1965. P. 3-51.

44. William N. Goetzmann An Introduction to Investment Theory //http://viking.som.yale.edu/will/finman540/classnotes/notes.html. P. 1-74.

45. M.K. Гавурин, B.H. Малоземов. Экстремальные задачи с линейными ограничениями // JI.:, Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. С. 175.

46. Mamer J. W., Shogan A. W. A constrained capital budgeting problem with application to repair kit selection // Management science vol. 33, no. 6, June 1987. P.801-813.

47. Lorie J. H.,and L. J. Savage. Three problem in Rationing Capital // Journal of Business, XXVIII, No. 4 (October, 1955). P.229-239.

48. Haavelmo Trygve. A Study in the Theory of Investment // Chicago: The University of Chicago Press, 1960. P. 17-21.

49. Charnes A., W. W. Cooper, M. H. Miller. Application of Funds // Jornal of Business, XXXII, No.l (January, 1959). P.129-150.

50. Rhys J. M. W. A Selection Problem of Shared Fixed Costs and Network Flows. // Management Science, No. 17, (November 1970). P.529-584.

51. H. M. Weingartner. Mathematical programming and the analysis of capital budgeting problems // Markham publishing company. Chicago, 1995. 108.