автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Оптимизация управления инвестиционным портфелем на основе прогнозов доходностей активов и прогнозов матриц ковариаций случайных составляющих

На правах рукописи

Хабров Владимир Викторович

ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ НА ОСНОВЕ ПРОГНОЗОВ ДОХОДНОСТЕЙ АКТИВОВ И ПРОГНОЗОВ МАТРИЦ КОВАРИАЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ

05.13.10 - Управление в социальных и экономических системах (технические науки)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 ОКТ 2014

Москва-2014

005552978

005552978

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальном исследовательском университете «Высшая школа экономики»

Научный кандидат технических наук, доцент

руководитель: Поляков Константин Львович

Официальные Дикусар Василий Васильевич,

оппоненты: д.ф.-м.н., проф., Федеральное государственное

бюджетное учреждение науки Вычислительный центр им. A.A. Дородницына Российской академии наук, ведущий научный сотрудник;

Шаров Виталий Филиппович,

к.ф.-м.н., доц., д.э.н., проф., Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», руководитель Департамента общественных финансов

Ведущая Федеральное государственное бюджетное

организация: образовательное учреждение высшего

профессионального образования «Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова»

Защита состоится « 23 » октября 2014 г. в 14.00 час. на заседании диссертационного совета Д002.226.02 при Институте проблем управления РАН (ИПУ РАН) по адресу: 117997, Москва, ул. Профсоюзная, д. 65

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ РАН и на сайте http://www.ipu.ru/node/29174

Автореферат разослан «/7» сентября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

A.A. Галяев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Проблема сохранения и приумножения средств путем их распределения среди различных активов является актуальной как для домашнего хозяйства, так и для финансовых институтов от банка до суверенного фонда. Вопрос управления средствами является неотъемлемым явлением рыночной экономики. Развитие мировой финансовой системы происходит под воздействием институциональных и законодательных изменений. Процессы глобализации экономик, появление новых финансовых институтов и инструментов, развитие финансовой инфраструктуры — всс это одновременно и упрощает передвижение капитала и усложняет прогнозирование его передвижения. Развитию финансовых рынков сопутствует усложнение методов и моделей оценки информации, которыми руководствуются участники при принятии решений.

Существуют различные подходы к решению проблемы управления инвестиционными портфелями, характеризующиеся многообразием критериев, моделей динамики капитала, используемыми моделями эволюции цен и ограничениями на управление и рыночными ограничениями в которых формируются инвестиционные портфели. Вопросами управления инвестиционными портфелями, их оптимизации и оценивания характеристик занимались многие отечественные и иностранные исследователи, среди которых следует отметить работы Домбровского Д.В., Ерешко А.Ф., Ляшснко Е.А, Мельникова A.B., Первозванского A.A., Ширяева А.Н., Belecki Т., Campbell J.Y., Chamberlain G., Chopra V.K., Frauendorfer К., Li D., Lintner J., Markowitz H.M., Mcrton R.C., Ng W.L., Pliska S., Rothschild M., Samuelson P.A., Siede H., Sharpe W., Viceira L.M., Yin G., Ziemba W.T., Zhou X.Y. и другие.

В большинстве работ по управлению инвестиционными портфелями, исследующих влияние информации моделей ценообразования доходностей финансовых активов, внимание уделяется или анализу динамики доходностей финансовых активов или влиянию динамики случайных составляющих. В зависимости от принятых предположений о виде модели ценообразования исследуется та или иная постановка оптимизационной задачи. В таких условиях случайные параметры доходностей финансовых активов, их динамика и волатильность заменяются ожидаемыми оценками. При этом при усреднении исходных данных теряется полезная информация, учет которой при формировании и управлении

инвестиционным портфелем мог бы положительно отразиться на его характеристиках и результатах управления. Подчас подходы портфельной теории накладывают ряд достаточно жестких, и подчас не соответствующих действительности современных финансовых рынков, ограничений, в том числе л предположения о том, что доходности являются стационарными, а инвесторы обладают одинаковой информацией и имеют точное представление о доходностях и рисках.

Реальные ряды доходностей финансовых активов могут быть одновременно нестационарными, в них могут присутствовать автокорреляции и одновременные корреляции с прошлыми доходностями и доходностями других финансовых активов; в случайных составляющих доходностей может присутствовать гстсроскедастичность, одновременная корреляция и автокорреляция. Несмотря на всевозможные сложности, современные модели ценообразования в значительной степени преуспели в способности отображать особенности поведения финансовых активов.

Институциональные инвесторы, например страховые компании или пенсионные фонды, имеющие определенный профиль обязательств, нуждаются в многошаговых подходах управления инвестиционными портфелями, которые также бы учитывали динамику доходностей и волатильность финансовых активов.

Проведенный анализ литературы и потребности практики подтверждают актуальность построения и исследования стратегий управления инвестиционными портфелями, одновременно учитывающими информацию моделей ценообразования доходностей и волатильности финансовых активов. Данное исследование посвящено управлению многошаговых, и как частному случаю одношаговых, инвестиционных портфелей в рамках средне-диспсрсионного подхода для случая, когда известна информация о моделях ценообразования доходностей и их случайных составляющих, а также в зависимости от доступности указанной информации в течение инвестиционного горизонта.

Цель исследования заключается обосновании эффективности построения управления инвестиционными портфелями в рамках средне-дисперсионного подхода с использованием информации о прогнозах доходностей активов и прогнозов матриц ковариаций случайных составляющих для случая одношаговых и многошаговых инвестиционных портфелей.

Цель соответствует решению задачи оптимального управления

дискретными динамическими системами, находящимися под воздействием случайных возмущений, с аддитивным оптимизационным функционалом, подлежащим минимизации, при заданных значениях функции от фазовых координат на терминальном шаге'и ограничении вида равенств на управляющие переменные.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Формализация и постановка одношаговой задачи оптимального управления инвестиционным портфелем с учетом информации, ' предоставляемой теоретической моделью ценообразования доходностсй финансовых активов - модель векторной авторегрессии. Построение оптимального управления инвестиционным портфелем. Сравнение характеристик оптимальных инвестиционных портфелей, построенных с учетом информации модели ценообразования доходностсй активов, и оптимальных средне-дисперсионных инвестиционных портфелей, построенных на основе модели геометрического броуновского движения.

2. Постановка и решение многошаговой задачи оптимального управления инвестиционным портфелем при наличии информации, предоставляемой моделью ценообразования доходностсй финансовых активов и многомерной моделью волатильности случайных составляющих. Определение программного управления инвестиционными портфелями и управления с обратной связью.

3. Сравнение характеристик оптимальных многошаговых инвестиционных портфелей, построенных с учетом информации модели ценообразования доходностей и модели многомерной волатильности, и оптимальных средне-дисперсионных инвестиционных портфелей, построенных на основе модели геометрического броуновского движения, а также сравнение характеристик инвестиционных портфелей с программным управлением и управление с обратной связью.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались понятия и методы теории оптимального управления, стохастической финансовой математики, теории эконометрики, теории вероятности, линейной алгебры, а также методы компьютерного моделирования.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту.

1. Формулировка многошаговой задачи управления инвестиционным портфелем в рамках срсднс-дисперсионного анализа при условии, что управляющему известна информация о моделях ценообразования доходности активов и волатильности случайных

5

составляющих моделей ценообразования.

2. Определение оптимального управления указанными инвестиционными портфелями при отсутствии и наличии информации, поступающей в течение инвестиционного горизонта -построение программного управления и управления с обратной связью инвестиционными портфелями.

3.Инвестиционные портфели, построенные с использованием информации о прогнозах доходностей и прогнозах матриц ковариаций случайных составляющих, сформированных на основе оцененных многомерных моделей ценообразования доходностей и волатильности случайных составляющих, обладают меньшей дисперсией ошибки достижения целевой доходности по сравнению с портфелями, сформированными на основе модели геометрического броуновского движения.

4. Дисперсия ошибки достижения целевой доходности портфелей, управляемых по принципу обратной связи меньше, чем дисперсия ошибки портфелей с программным управлением.

5. Результаты численного моделирования и тестирования построенных управлений инвестиционными портфелями с использованием реальных данных различных финансовых рынков.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими аналитическими выкладками и доказательствами, а также результатами численного моделирования с использованием реальных данных.

Теоретическая и практическая ценность. Разработаны динамические модели управления многошаговыми инвестиционными портфелями для случая, когда цель инвестора заключается в достижении целевой доходности портфеля в конце инвестиционного горизонта при минимальной дисперсии ошибки достижения указанной цели. Указанные модели были разработаны при условии, что управляющему известна информация о моделях ценообразования доходности и волатильности случайных составляющих финансовых активов, составляющих портфель, а также в зависимости от доступности информации в течение инвестиционного горизонта.

Практическая ценность исследования состоит в том, что полученные результаты позволят портфельным управляющим снизить риски при управлении инвестиционными портфелями путем их формирования с учетом информации моделей ценообразования и волатильности.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на

следующих конференциях и научных семинарах: Ежегодных научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ (Москва, 2010, 2011, 2012), научно-практических семинарах «Системный анализ, управление и информационные системы» кафедр «Кибернетика МИЭМ» и «ВСиС МИЭМ» в МИЭМ НИУ ВШЭ (Москва, декабрь 2012, апрель 2013), научный семинар «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании» ЦЭМИ РАН (Москва, апрель 2013), научный семинар «Теория управления организационными системами» ИПУ РАН (Москва, июль, ноябрь 2013).

Разработанные модели управления инвестиционными портфелями используются Департаментом государственного долга и государственных финансовых активов Министерства финансов Российской Федерации в целях определения оптимальной структуры при размещении средств Резервного фонда и Фонда национального благосостояния в разрешенные финансовые активы, позволяющей минимизировать риски размещения средств российских суверенных фондов в рамках существующих ограничений, что способствует повышению эффективности размещения указанных средств. Внедрение подтверждено соответствующими документами.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, в том числе в журналах из списка ВАК 3 статьи.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из Введения, основного текста, Заключения, Приложения и списка литературы. Основной текст разбит на 4 главы, содержит 32 рисунка и 19 таблиц. Список литературы включает 143 наименования. Общий объем работы — 244 страницы, основной текст — 150 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель и задачи исследования, указаны научная новизна и практическая ценность диссертации, представлены основные положения, выносимые на защиту, а также информация о внедрении и апробации результатов.

В первой главе рассматриваются существующие подходы формирования инвестиционных -портфелей на основе средне-дисперсионного анализа, в том числе на основе факторных моделей ценообразования, динамического программирования, используемого

для формирования многошаговых портфелей, стратегии, учитывающие информацию временных рядов, стратегии, минимизирующие исключительно дисперсию портфелей, и подход равномерного распределения средств портфеля по его активам. В главе также приводится обзор ограничений портфельной теории, основанной на среднс-дисперсионном анализе.

Марковиц осуществил теоретико-вероятностную формализацию понятия риска и доходности, что позволило поставить задачу управления инвестиционным портфелем в виде оптимизационной задачи. Математическое ожидание и дисперсию доходности портфеля Марковиц предложил использовать в качестве критериев для определения структуры и сравнения портфелей. Портфели, построенные на основе данных критериев, называют средне-дисперсионными, а подход их построения - средне-дисперсионным анализом. Тобин обобщил модель Марковица для случая наличия возможности безрискового кредитования и заимствования в дополнение к рисковым активам.

Следующий этап развития портфельной теории связан с появлением факторных моделей ценообразования доходностей активов. Использование указанных моделей было ориентировано на параметризацию условного среднего, что произошло под действием таких весьма влиятельных моделей, как модели ценообразования финансовых активов и Теории арбитражного ценообразования, а в последующем и Трсхфакторной модели Фама-Френча. Факторные модели представляют экономичный (parsimonious), но при этом гибкий способ моделирования условного совместного распределения вероятностей доходности активов, когда рассматривается большое количество активов.

Подход Марковица заключается в одношаговой оптимизации портфеля активов, в связи с чем, его называют «миопичным» или «близоруким», к тому же он не мог учитывать динамику доходностей финансовых активов в виде стохастических процессов. Мертон и Самуэльсон поставили вопрос о создании подхода для построения портфелей на несколько шагов вперед, учитывающего случайность поведения цен рисковых активов. В указанных целях ими была сформулирована многошаговая задача управления портфелем как задача оптимального управления. Для определения оптимальной структуры портфелей они использовали многошаговые модели с непрерывным временем, описывающие стохастические процессы ценообразования активов, и методы динамического

8

программирования. Дальнейшее развитие портфельного моделирования на основе моделей динамического программирования получило в работах Фрауендофсра и Сейдс, в которых вводится альтернативный многошаговый подход, заключающийся в минимизации дисперсии, выступающей мерой риска, учитываемой в бюджетном уравнении. Эволюция случайных доходностсй представляется путем построения «деревьев решений». Ли и Энг представили аналитическое решение многошаговой задачи управления инвестиционным портфелем на основе срсднс-диспсрсионного подхода, путем решения вспомогательной оптимизационной задачи, при этом они подразумевали, что знают параметры распределения векторов доходностсй в начальный момент времени, что не возможно в том случае, если инвестор обладает информацией о модели ценообразования доходностей активов, так как при этом распределение доходностей будет зависеть от состояния каждого шага. Дальнейшее развитие средне-дисперсионного подхода управления многошаговыми инвестиционными портфелями нашло в работах Чжоу, Ли и Инь.

Типичный количественный поход прогнозирования доходностсй заключается в построении линейных или нелинейных моделей, включающих в себя комбинации различных факторов, оценок и способов их сочетания и применении различных методик оценки входящих параметров, таких как метод наименьших квадратов или метода максимального правдоподобия. Так как качество характеристик портфеля в значительной степени зависит от входящих данных: матрицы ковариаций и ожидаемых доходностсй активов и с учетом того, что характеристики рисковых активов и их взаимосвязи могут изменяться, то построение оптимального портфеля не может рассматриваться в отрыве от того, как доходности и риск актива будут вести себя в будущем.

Средне-дисперсионный анализ, используемый для построения оптимальных портфелей, ставит достаточно жесткие ограничения и предположения, которые условно можно разделить на две группы: ограничения, составляющие гипотезу эффективного рынка, и ограничения технического характера. Гипотеза эффективного рынка подвергается определенной критике, так существует целое направление исследований, которые демонстрируют, что существуют моменты, когда поведение инвесторов становится иррациональным, а доходность рынка становится предсказуемой и сохраняется в течение коротких периодов времени. Время от времени случаются рыночные

9

кризисы, которые также вносят неточность в работу «эффективного» рыночного механизма. Общепринятое предположение средне-дисперсионного анализа о том, что доходности активов должны иметь совместное нормальное распределение, на практике зачастую не выполняется. Временные ряды доходностей финансовых активов имеют тенденцию к образованию кластеров, когда периоды высокой и низкой волатильности чередуются, при этом распределению < доходностей свойственна асимметрия и тяжелые хвосты.

Подход Марковица стал основанием современной портфельной теории, дальнейшее развитие которой заключалось в снятие или смягчении некоторых условий классического подхода. Дальнейшее развитие также было обусловлено развитием финансовой теории и : наличием объективной критики со стороны финансового сообщества, заключающейся в неспособности подхода соответствовать реальным условиям финансовых рынков.

Во второй главе рассматривается управление одношаговыми инвестиционными портфелями на основе прогнозов . моделей векторных авторегрессий.

Пусть управляющий имеет возможность разместить свой капитал среди N активов, где - вектор [Агх 1] простых

доходностей активов за период [/, Н-1], при этом будем рассматривать доходности активов без учета выплаты дивидендов и разницы цен на покупку и продажу актива. Простая доходность портфеля, состоящего из N активов:

N /=1

где (ои - доли средств портфеля, вложенных в актив / на начало периода времени составляющие вектор весов активов портфеля

а>, = (¿у,,,...,,), причем а>'е = 1, где е - единичный вектор.

Предположим, что ряды простых доходностей г, стационарны в широком смысле: Е(а;,) = //,. <оо - математическое ожидание

доходности конечно, = - дисперсия доходностей не

зависит от времени и соу{ги\ги_к^ = V/б[1,М]. Е(г,+|) = // -

вектор математических ожиданий доходностей активов портфеля.

Пусть = указанное замечание носит

технический характер, Уаг(г,) = У - положительно определенная

ковариационная матрица доходностей активов.

Предположим, что ценообразование случайного вектора доходностей г; е Л'7"1 описывается теоретической УАЕ1(£) моделью: /; =с/ + П,/"(_, +... + Пдг,_|(. +£г,

где £/еЛЛх' - вектор констант или детерминированных входных данных, П, е/гЛяЛ,у = 1 ,...,к - матрицы коэффициентов, связывающие

текущие значения доходностей активов с их лагированными значениями, £•, еЯл><1 — вектор ошибок. По предположению ряды доходностей стационарны, а ошибки пусть представляют собой гауссовский «белый шум». £ = е Кх*х - матрица

одновременной ковариации ошибок модели, которая должна быть невырожденной и положительно определенной, сг0. = Е^.1е)). Если

инвестору не известна теоретическая модель ценообразования доходностей активов, то в качестве матрицы ковариации случайных

составляющих Е будет использоваться се выборочная оценка X .

Будем рассматривать прогнозирование в рамках теоретической модели УАЩк). Предположим, что процесс находится в моменте времени Т и необходимо построить прогноз на / > 1 шагов вперед. Момент времени Т называется моментом начала прогнозирования, а целое число / - горизонт прогнозирования. /7 - информация, которой обладает инвестор на момент времени Т. Прогноз на / шагов вперед, минимизирующий среднеквадратичное отклонение, есть услшйос математическое ожидание

при этом ''!

Е{[^-Яг(/)]2|/г}<пипЕ{[ГГ+,-Я]2|/Г},

где g — функция, зависящая от /г,

Таким образом, точечный прогноз для ггч при информации /у есть условное математическое ожидание:

{ к

V /=! ) Ы\

т.к. Е(ет+, |/г) = 0 и все г7._у в правой части уравнения регрессии входят в предысторию 1Т, то ошибка прогноза есть:

<?г (1) = гт+, - гт (1) = )"т+1 - Е(гг+111Т ) - ет+х.

Условное математическое ожидание ошибки прогноза доходности на 1 шаг вперед и ее условная матрица ковариации относительно

информации 1Т равны соответственно Е(е7.(1)) = Е(£7+1) = 0,

Уаг(ег(1)) = Уаг(^+1) = Х.

Фактическая доходность портфел^ в момент времени Т+1 есть:

Р(еот) = со'ггт+, = со'тс1 + ,гт-м + ютЕт+\ >

при этом прогнозное значение доходности портфеля на момент Т+1 есть: к

Таким образом, доходность портфеля в момент времейй Т+1 можно представить как:

Р(й)т) = Р{а)т) + а1г£т^.

Мерой риска портфеля выступает дисперсия его доходности. Предположим, что управляющий формирует портфель на основе прогнозов доходностей активов, входящих его состав, тогда риск будет заключаться в отклонении фактической доходности портфеля от его прогнозного значения, т.е. в ошибке прогноза доходности портфеля в момент времени Т+1:

Математическое ожидание ошибки прогноза доходности портфеля равно:

Е (ДРК )) = 4 - гт (1)) = <4Е(ег (1)) = О, условная дисперсия ошибки прогноза доходности портфеля будет равна:

о(дР(й^) 11Т) = а}т Уаг(гг+, -гт (1) 11Т)сот = (¿г Ъсот.

Таким образом, риск портфеля, при формировании которого используются прогнозы доходностей активов, заключается в наличии ошибок этих прогнозов. Чем точнее модель делает прогноз доходности активов, тем меньше риск портфеля. Риск портфелей, построенных на основе прогнозов доходностей активов, связан с матрицей ковариации ошибок прогнозной модели.

Доходность портфеля в момент времени Т+1 можно представить следующим образом:

Р(саг) = Р((Ог) + АР(саг).

Так как ряды доходностей стационарны, Е (/",(!)) = //, то математическое ожидание фактической доходности портфеля равно соответственно:

Е(%)) = ЕК^) = й(Е(;г(1) + гг(1)) = ^.

Структура дисперсии портфеля имеет следующий вид: !

D(P{aJr)) = D(4rr+l) = co'rVco,, = «;.Var(r/+, -р)сот =

= «;[Var(rT+l -Я,(1)) + Уаг(гг(1)-//)+2Соу(гг+, -г7.(1),гг(1)-//)]^

= oJT [\fm{eT (1)) + Var(r, (l)-//) + 2Cov(er (l),/y (l) Так как Var(e, (1)) = I, a E¡er (l)' (Pr (l) - = 0, то

Обозначим Var(r7.(l)-//) = F-Z = vf, тогда структуру дисперсии портфеля можно представить как:

co'TVo)T = со'т Sсот+ OJ'^Vсо,.

ТРУ ЕРУ ГРУ

Таким образом, дисперсия доходности портфеля (totaI portfolio variance, TPV) состоит из дисперсий двух портфелей, а именно из дисперсии ошибки прогноза доходности портфеля (error portfolio variance, EPV), которая образовалась вследствие наличия ошибок прогнозов модели, и дисперсии портфеля, предсказанной моделью ценообразования доходностей {forecastportfolio variance, FPV).

Классическая портфельная теория Марковича вместо прогнозов доходности активов использует математические ожидания доходностей /л, вследствие чего дисперсия портфеля состоит полностью из дисперсии ошибки прогноза доходности, т.е. TPV=EPV. В случае, когда при построении портфеля используются прогнозные значения доходностей активов, т.е. информация /Л, доступная на момент времени Т, часть дисперсии портфеля будет описана самим прогнозом (FPV), а оставшаяся часть дисперсии портфеля (EPF) будст обусловлена ошибкой модели.

В связи с тем, что риск для инвестора заключается в отклонении прогнозного значения доходности портфеля от его истинного значения, то целесообразно оптимизировать портфель путем минимизации дисперсии ошибки прогноза его доходности при фиксированном значении целевой прогнозной доходности портфеля,

13

либо путем максимизации прогнозной доходности портфеля при фиксированной дисперсии ошибки указанного прогноза.

В дальнейшем оптимальный портфель, формирование которого осуществляется с учетом прогнозных значений доходностей активов и использующих матрицу ковариации случайных составляющих в оптимизационном функционале, будем называть «квазиоптимальным» портфелем. Предположим, что инвестор находится в момент времени Т и обладает информацией 1Т. Входные данные задачи: М- ожидаемая целевая доходность портфеля, г7.(1) = Е7-(/"7-+1) - вектор прогнозов доходностей активов портфеля, Ет ) = X - матрица ковариации случайных составляющих.

Квази-оптимальный портфель будем искать путем решения следующей оптимизационной задачи: целевая функция, подлежащая минимизации

ЕРУ = о(дР(й>г)|/г) = со'т 1.о)т шт, значение функции от фазовых координат на терминальном шаге Р{(оТ) = Е (Р(о)т) 11Т) = сот'гГ (1) = М,

ограничение вида равенства на управляющие переменные

со'Те -1 = 0,

уравнение динамики

Р{сот) = (о'тгт

где е = (1,...,1)е[7У,1] - единичный вектор. В данной постановке

задачи возможны отрицательные веса активов портфеля, т.е. инвестор может осуществлять беспроцентные займы с целью покупки активов, а также инвестор может брать активы взаймы у брокеров.

В целях нахождения паретто-оптимального решения (управления), оптимизационная задача ставится с нежестким ограничением на функцию от фазовых координат на терминальном щаге вида «>». В таком случае оптимальное управление определяется путем решения двух следующих задач: 1) определяется оптимальное управление в рамках приведенной задачи и находится значение условной дисперсии доходности портфеля на терминальном шаге при найденном управлении - значение целевой функции при оптимальном управлении; 2) ищется решение задачи без ограничения на целевую доходность портфеля, определяется значение целевой функции и значение функции от фазовых координат при найденном управлении.

14

В дальнейшем сравниваются значения достигнутых доходностсй и условных дисперсий портфелей и если второй портфель обладает меньшей дисперсией при большей доходности по сравнению с первым, то в качестве решения задачи выбирается оптимальное управление, найденное для второго портфеля, в противном случае — первым.

Поскольку ковариационная матрица доходностсй V и матрица ковариаций случайных составляющих Е являются невырожденными и положительно определенными, то и их обратные матрицы V"1 и Е"1 также будут невырожденными и положительно определенными, что позволяет задать в RN скалярные произведения (а,6)(/., =a'V~]b и

(а,Ь)г, = а'Х-1 Ь, а также нормы ¡а||(,., ¡<з||г, .

Приведенная задача относится к классу задач квадратичного программирования при случайных линейных ограничениях. Решение задачи ищется методом множителей Лагранжа. При обозначении оптимальной структуры портфеля будем использовать верхний индекс «quasi» с целью указания на то, что портфель является квазиоптимальным, то есть условно оптимальным относительно имеющейся информации:

Структура (веса) квази-оптимального портфеля является условной величиной, так как зависит от прогноза доходности активов /у (1).

Прогноз доходности дня квази-оптималыюго портфеля равен P{ojj!'as') = atfu"s'rr (l) = М так как это было заложено в условие

оптимизационной задачи. Значение оптимизационной функции соответствует условной дисперсии ошибки прогноза доходности квази-оптимального портфеля и равно соответственно:

IMOIIv. Иг' -WO.'

Фактическая доходность квази-оптимального портфеля в момент времени Т+1 равна:

) = = atf""' (rr (1) + ет (1)) = М + cx)j""s'eT (1).

Так как ошибка прогноза е7 (1) = £т^х не зависит от структуры

15

Б)) = [ уес П + (е(<""))е(<и")'

портфеля (Оу,к' и Е(г7.+1) = 0, то математическое ожидание доходности квази-оптимального портфеля равно

+ = а дисперсия доходности квази-

оптимального портфеля будет равна:

п{р(соГ! )) - (гг (1) + вг (1))) = Е^ГЧ (\)ет' (1 )<-"

или

'./=1

где =соу (^""'^/Т ' ) • В матричном виде дисперсия выглядит следующим образом:

у

уес(Е),

у

где О — матрица ковариаций весов квази-оптимального портфеля, уес(-) - обозначает операцию векторизации.

Дисперсия квази-оптимального портфеля зависит от математического ожидания вектора весов активов портфеля, матрицы ковариации ошибок прогнозов доходностей активов и матрицы ковариации весов актива портфеля. Использование прогнозных значений доходности активов вместо их математических ожиданий приводит к снижению условной дисперсии ошибки прогноза доходности портфеля вследствие того, что со'^(о<со'Усо, однако ведет к появлению математического ожидания и матрицы ковариации вектора весов активов в структуре дисперсии квази-оптимального портфеля.

Ошибка прогноза доходности квази-оптимального портфеля равна = аУ1ч"""ет (1) . Поскольку структура квази-оптимального

портфеля и ошибка прогноза доходности активов являются независимыми случайными величинами, то математическое ожидание ошибки прогноза доходности оптимального портфеля равно

Е(АР(й^"'м)) = Е(^'и") 5(^(1)) = 0, а дисперсия ошибки оптимального портфеля равна Б(АР(со'*""") | /г ) = Э(Я(са^') | /г). Таким образом,

дисперсия ошибки прогноза доходности квази-оптимального портфеля равна дисперсии доходности портфеля.

16

В работе было доказано, что математическое ожидание от условной дисперсии ошибки прогноза доходности квазиоптимального портфеля не превосходят дисперсию доходности портфеля Марковица при любых значениях целевой доходности портфеля M

В третьей главе рассматривается управление многошаговыми инвестиционными портфелями на основе прогнозов доходностей активов, реализованных на основе модели векторной авторегрессии, и прогнозов матриц ковариаций случайных составляющих, построенных на основе многомерных моделей волатильности.

Необходимость использования многомерных моделей волатильности для описания поведения матриц ковариаций случайных составляющих обусловлена тем, что многим финансовым временным рядам свойственно наличие гетероскедастичности в случайных составляющих. В эмпирическом исследовании для этих целей использовались такие многомерных модели условной гетероскедастичности, как ВЕКК, ССС и DCC модели.

В зависимости от того, известна ли инвестору информация, поступающая в течение инвестиционного горизонта, или нет, в третьей главе будет рассмотрено построение программного управления и управления с обратной связью многошаговыми инвестиционными портфелями.

Независимо от типа управления задача заключается в достижении через заданное количество шагов целевой доходности портфеля при минимальном риске достижения указанной цели. Предполагается, что инвестору известна информация о модели ценообразования доходностей финансовых активов — векторная авторегрессионная модель, и модель матриц ковариаций случайных составляющих -многомерная модель волатильности случайных составляющих.

Программное управление инвестиционным портфелем -управление, при котором инвестор в течение инвестиционного горизонта не получает новую информацию о доходностях активов и текущей доходности портфеля. Программное управление будет заключаться в определении в момент времени ta стратегии распределения средств портфеля по его активам на начало каждого момента времени te{/n, //,..., tT-i) в течение заданного количества шагов Т. В начале каждого из Т периодов инвестор будет перераспределять средства портфеля среди его активов в соответствии со стратегией, выработанной в начальный момент времени t(h

Для решения задачи необходимо задать: ожидаемую целевую доходность портфеля М, которую необходимо достичь на терминальном шаге; величину Т - количество шагов за которое

портфель должен достичь целевую доходность - инвестиционный горизонт портфеля. Также необходимо задать или определить наборы прогнозов векторов доходностей активов портфеля и прогнозов матриц ковариаций случайных составляющих доходностей для каждого из шагов в течение инвестиционного горизонта.

Постановка многошаговой задачи управления инвестиционными портфелями требует использования логарифмированных доходностей активов, так как это позволит задать уравнение динамики доходности портфеля в виде аддитивного функционала. Пусть гг е 7?Л'У| -случайный вектор логарифмированных доходностей активов за период времени (/,/ + 1], динамика доходностей портфеля за п шагов

может быть описана следующим уравнением Яп = /?„_, + юпЛгп .

Как и в предыдущей главе, ценообразование случайного вектора доходностей е описывается УАЯ(Л) моделью, при этом будем рассматривать случай при наличии одновременных корреляций и гстсроскедастичности в остатках, =(сг.еЛЛ"!Д' — матрица одновременной ковариации случайных составляющих, которая должна быть положительно определенной, сг , = Е^. ,) .

Для построения портфелей понадобятся прогнозы для всего инвестиционного горизонта портфеля. Условное математическое ожидание ошибки прогноза доходности на 1 шагов вперед и ее условная матрица ковариации относительно информации I равны соответственно:

где Е,1)+, - прогноз матрицы ковариации случайных составляющих на

/ шагов вперед, условная матрица ковариаций.

Предположим, что инвестор находится в момент времени ^ и обладает информацией / . Доходность портфеля за ( шагов

относительно информации / , есть условное математическое

ожидание Е, (/?,)=/?, , .

Ожидаемая целевая доходность портфеля на терминальном шаге Т:

Ь, (0) = 0, Уаг/п (в,а (/)) = Уаг/0 ) = I,

У'-'о у

Условная дисперсия доходности портфеля:

Так как е, - вектор ошибок прогноза доходности активов, причем: = Var, = ) = Е(^Х,>Х,,„,

то условная дисперсия доходности портфеля может быть представлена как:

D. iR. ) = Е,

'о \ 'г 1 h

В случае наличия автокорреляции ошибок доходностей портфеля, постановка задачи с ограничением на общую дисперсию может принести большую ожидаемую доходность при определенном уровне риска, однако'представление дисперсии в данном виде не будет являться аддитивной функцией, а, следовательно, методы динамического программирования не смогут быть применены напрямую для определения оптимальной стратегии управления портфелем.

В работе рассмотрена многошаговая задача управления портфелем путем минимизации дисперсии его терминальной доходности D, (/?, )

при ограничении на ожидаемую доходность портфеля Е, [Rt ) при

условии отсутствия автокорреляции ошибок доходностей портфеля, что позволит задать целевую функцию в виде аддитивного функционала и в результате определить оптимальное управление портфелем в явном виде.

Задача динамического программирования, в которой требуется найти последовательность п' ={<ыГ,...,й£ J, была поставлена следующим образом:

целевая функция, подлежащая минимизации

= = min ' (1)

значение функции от фазовых координат на терминальном шаге

Е,К) = М' (2)

= Е,

СО,£

ограничение вида равенства на управляющие переменные уравнение динамики начальное■ состояние

Я = 0.

(3)

(4)

(5)

•и

В связи с тем, что доходности и волатильности активов подчиняются определенным процессам ценообразования, то задача (1) - (5) относится к типу задач оптимизации дискретных многошаговых систем в условиях неопределенности при заданных значениях функций от фазовых координат на терминальном шаге и ограничений в виде равенств на управляющие переменные. В силу того, что

условные матрицы ковариаций ошибок Е,о (г:|+1£'+) ) = £,_,а являются

невырожденными и положительно определенными, целевая функция (1) является выпуклой. Решение задачи было найдено с помощью принципа максимума.

Программное управление си* для каждого шага I, которое есть оптимальное распределение средств портфеля на каждом шаге в течение инвестиционного горизонта Т:

м- 4,

'М-А ^

со, =

V ,

У'1 г

I н 1.1,, ми„

+

в.

(6)

где

■»с,=■

ИЬ.,

М« Ми

" '"'-'О

Г \

1

)

в.« = ±(ь>)=±

Ми Ми

2 \

-I

(+1 •'»

е

Оптимальные портфели (6) также являются «квазиоптимальными», так как их структура зависит от информации /, .

Ожидаемая доходность квази-оптимального портфеля на шаге П

В.

+ ■

И*-.

М-А,

V у

Ь, +а..

Реальная динамика доходности квази-оптимального портфеля:

п—1

(М-А, ) 'т /1-1

Е

В, Ч 'т )

__•*"___^»*1.ц> —'-1 4«

е

У

Ожидаемая доходность квази-оптимального портфеля за п шагов:

С~»Г у

В.+А.

Условная дисперсия доходности квази-оптимального портфеля на шаге (:

•г •

СО, со,

' М-А > 2

1

' М-А

'Т

Мг;.',,

В.

Ь, +С,

тогда условная дисперсия доходности квази-оптимального портфеля за Г шагов - оптимальное значение (1):

(М-А,г)2

V К ,

Ь,+с,

В.

-+с. .

Подход решения задачи (1) - (5) с ограничением вида неравенства на функцию от фазовых координат приведен во второй главе.

В данном разделе управление многошаговым портфелем зависело только от информации, доступной в момент времени („, а управление инвестиционным портфелем было программным. В то же время, кажется целесообразным пересматривать стратегию распределения средств портфеля по его активам в течение инвестиционного горизонта Г на каждом шаге после получении новой

21

информации. Это, с одной стороны, позволит на каждом шаге с учетом фактически полученной за предыдущие шаги доходности уточнять целевую доходность, которую необходимо будет получить за оставшиеся шаги, а, с другой стороны, позволит улучшить качество прогнозов доходностей и прогнозов матриц ковариаций случайных составляющих. Такой подход потребует от управляющего на каждом шаге в течение инвестиционного горизонта построения инвестиционной стратегии на оставшуюся часть инвестиционного горизонта для чего дополнительно потребуется: построение наборов прогнозов доходностей активов и прогнозов матриц ковариаций случайных составляющих для оставшейся части инвестиционного горизонта с учетом всей известной информации на момент формирования инвестиционного портфеля; корректировки целевой доходности инвестирования, с учетом фактически полученной доходности в течение прошедшего инвестиционного горизонта.

Таким образом, при указанном многошаговом подходе портфель и его характеристики рассчитываются не только на основе информации доступной в начальный момент времени t„, но и на основе информации получаемой в течение инвестиционного горизонта, а управление, которое будет строится в соответствии с указанной информацией, будет называться управлением с обратной связью инвестиционным портфелем. С учетом этого задача (1) - (5) будет поставлена в следующем виде: целевая функция, подлежащая минимизации

jJj.н,(«;М;„ЬН min > (7)

к-

(8)

значение функции от фазовых, координат на терминальном шаге ограничение вида равенства на управляющие переменные

(о'1ге = 1, г = ?0,/г_,, / = г, /г_! , (9)

уравнение динамики

(Ю)

начальное состояние

Управление с обратной связью инвестиционным портфелем для задачи (7) - (1) на шаге / при наличии информации на момент времени г будет иметь следующий вид: .

22

г-

V

где

fl H^ík. „(п.,Л «4, г = -й

с,+Кг=£(с,г),,

О,

/.г

С,

I.T

т-1 •

При условии того, что поток информации непрерывен, то управление <и,.г будет строиться при г=/.

В четвертой главе приводятся результаты численного моделирования на основе реальных данных фондовых индексов и индексов полной доходности облигаций. Эмпирическое исследование посвящено оцениванию практической эффективности предложенных теоретических подходов по формированию и управлению инвестиционными портфелями международных инвесторов.

Первая часть посвящена оцениванию практической эффективности построения программного управления инвестиционными портфелями с использованием информации о прогнозах доходностей активов и прогнозов матриц ковариаций случайных составляющих по сравнению с портфелями, построенными на основе классической модели геометрического броуновского движения.

В первой части эмпирического исследования использовались исторические ежедневные значения трех международных индексов акций ЭМ-ЭС-СИ-АЙ (MSCI Index): MSCI North America Standard Index, MSCI Europe Standard Index и MSCI Pacific Standard Index. Индексы представляют взвешенные индексы, номинированные в долларах США, свободно обращающихся акций развитых стран.

Данные были приведены к ежедневным логарифмированным доходностям. Использовались данные за период с 1 июля 2008 г. по 14 сентября 2012 г. и составили 1099 наблюдения. Для построения моделей использовалось сдвигающееся окно в 839 значений. Данные за период с 17 сентября 2011 г. по 14 сентября 2012 г. (260 значений) использовались для проведения вневыборочного анализа, построения портфелей и сравнения их характеристик.

На основе информационных критериев (Шварца, Акаике, Хана-Куина) была выбрана VAR(3). В остатках отсутствуют единичные корни и автокорреляция, однако гипотеза об отсутствии гстероскедастичности в остатках не была отклонена. Остатки образуют определенного вида кластеры с высокой волатильностью, что может свидетельствовать о наличии условной гстероскедастичности в остатках модели. В связи с этим, формирование квази-оптимальных портфелей осуществлялось на основе прогнозов доходностсй модели VAR(3) и прогнозов матриц ковариаций ошибок доходностей, которые строились с помощью диагональной ВЕКК, ССС и DCC моделей. Портфели, построенные на основе прогнозов VAR модели и многомерных моделей условной гстероскедастичности будем называть квази-оптимальными. Также портфели строились на основе прогнозов модели геометрического броуновского движения, характеристики которой оценивались на основе выборочных характеристик.

Многошаговые инвестиционные портфели строились с инвестиционным горизонтом Г от 1 до 10 шагов вперед, после окончания каждого из которых переформировывались в соответствии с новыми данными. Для каждого инвестиционного горизонта целевые доходности рассчитывались, как Целевая доходность(Т, М)=МхТ, где М- доходности, лежащие в интервале от 0 до 0.05 с шагом 0.0005.

Построение программного управления инвестиционными портфелями осуществлялось в соответствии с описанием, приведенным в первой части третьей главы.

Характеристики ошибок доходностсй отражают качество портфеля в его способности соответствовать целям оптимизационной задачи, на рис. 1 приведены выборочные характеристики ежедневных ошибок доходностей инвестиционных портфелей, построенных на основе прогнозов различных моделей.

Выборочные средние ошибок доходностей ВЕКК-, ССС- и DCC-портфелей на 10% уровне значимости не отличаются от нуля для всех целевых доходностсй всех инвестиционных горизонтов, в то время как выборочные средние ошибок доходностей портфеле, построенных на основе модели геометрического броуновского движения, на 10% урорне значимости отличаются от нуля для целевых доходностсй от 0.0285хГи выше, для всех инвестиционных горизонтов Т.

ССС-портфели

портфели, построенные на основе модели геометрического броуновского движения

-0,03

♦ 1 шаг

0,00 0.20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

Выборочная дисперсия 2 шага а 3 шага - 4 шага х 5 шагов * 6 шагов * 7 шагов

0.04 0.03 0.02 0,0!

-0,02

ОСС-портфели

Рис. 1 Характеристики ошибок доходностей квази-оптимальных и средне-дисперсионных портфелей

Гипотеза о равенстве выборочных дисперсий ошибок доходностей портфелей, построенных на основе модели геометрического броуновского движения, и ВЕКК-, ССС- и ОСС-портфелей соответственно была отвергнута на 10% уровне значимости для всех целевых доходностей всех инвестиционных горизонтов. Выборочные средние и дисперсии ошибок доходностей портфеле, построенных на основе модели геометрического броуновского движения, более, чем в 8 раз превосходят показатели квази-оптимальных портфелей. Таким образом, портфели, использующие в качестве прогнозной модели -модель геометрического броуновского движения, существенным образом и в худшую сторону отличаются от квази-оптимальных портфелей. В среднем для 76% случаев выборочных дисперсий ошибок прогнозов доходностей ВЕКК- и ССС-портфелей значимым образом не отличаются между собой, в остальных - 24% случаев целесообразно использовать исключительно ВЕКК-портфели.

Вторая часть практического исследования посвящена сравнению характеристик портфелей с программным управлением и управлением с обратной связью, построенных на основе прогнозов доходностей активов и прогнозов матриц ковариаций случайных составляющих.

Использовались ежедневные значения индексов полной доходности государственных облигаций Испании, Ирландии и Бельгии со сроком погашения от 1 до 3-х лет. Данные были приведены к ежедневным логарифмированным доходностям.

Для построения моделей использовалось сдвигающееся окно в 839 значений, 260 значений использовались 'для проведения вневыборочного анализа. Портфели строились с инвестиционным горизонтом от 1 до 5 шагов вперед. В качестве доходности одношагового портфеля была выбрана доходность М=0.005. В качестве модели ценообразования доходностей использовалась УА11 модель, размерность которой была определена на основе информационных критериев Акаике, Шварца и Хана-Куина, а также модель геометрического броуновского движения, характеристики которой определялись на основе выборочных характеристик известных данных. В остатках УАЯ модели отсутствуют единичные корни и автокорреляция (тест множителей Лагранжа), однако не была отклонена гипотеза об отсутствии гетероскедастичности (тест Байта). Таким образом, для описания поведения условных матриц ковариаций остатков потребовалось построение многомерных моделей волатильностсй - диагональная ВЕКК( 1,1) модель.

Построение программного управления и управления с обратной связью инвестиционными портфелями осуществлялось в соответствии с описанием, приведенным в разделе 3. Выборочные дисперсии ошибок доходностсй инвестиционных портфелей приведены на рис 2.1 и 2.2.

Дисперсии портфелей, построенных с помощью модели геометрического броуновского движения, значимо отличаются от дисперсий портфелей, построенных на основе УАИ-ВЕКК модели. Это выполняется как для портфелей, построенных на основе программного управления, так и для портфелей с управлением с обратной связью.

Практическая часть также была посвящена исследованию влияния размерности УАЯ модели на характеристики квази-оптимальных портфелей. Основные результаты указанного исследования можно суммировать в следующем: дисперсии ошибок доходностсй квазиоптимальных портфелей существенным образом зависят от размерностей моделей ценообразования; предположение о том, что увеличение числа лагов положительным образом сказывается на качестве портфелей - подтвердилось; так как не для всех портфелей дисперсии ошибок доходностсй значимым образом отличаются между собой, то задача по определению оптимальной размерности модели была прообразована в задачу по определению модели с наименьшей размерностью, которую целесообразно использовать для формирования квази-оптимальных портфелей.

Дисперсии портфелей, сформированных на основе управления с обратной связью меньше дисперсий портфелей, построенных на основе программного управления, что выглядит логичным, так как учет новой информации в течение инвестиционного горизонта должен приводить к уменьшению ошибок прогнозов доходностсй и, следовательно, делать прогнозы доходностсй портфелей более-точными. Несмотря на то, что дисперсии портфелей, построенных на основе прогнозов УА11-ВЕКК для управления с обратной связью для инвестиц. горизонта 2-4 меньше, чем для одношаговых портфелей, их дисперсии значимым образом не отличаются между собой.

С учетом результатов эмпирического исследования можно заключить. Во-первых, качество модели ценообразования значительным образом влияет на характеристики инвестиционных портфелей. Так портфели, построенные на основе прогнозов доходностсй и прогнозов матриц ковариаций случайных составляющих, превосходят характеристики портфелей, построенных дна основе модели геометрического броуновского движения.

Программное управление

Управление с обратной связью

0.25 ■ 0,20 -0.15 0.10 0.05 0.00 -

I 2 -Э

- портфели, построенные на основе прогнозов доходносгеи модели геометрического броуновского движении

портфели, построенные на основе прогнозов дохояностей и матриц ковариапий VAR-BEKK модели

Рис. 2.1 Сравнение характеристик портфелей, построенных на основе разных моделей ценообразования

Портфели, построенные на основе прогнозов модели геометрического броуновского движения

0,26 ¡ 0,24 i 0,22 -I 0,20

ч ®

0,18 -

1

Портфели, построенные на основе прогнозов VAR-BEKK модели

инвестиционный горизонт, кол-во шагов

* программное управление * управление с обратной связью

Рис. 2.2 Сравнение программного управления и управления с обратной связью инвестиционными портфелями

Во-вторых, инвестиционные портфели, корректирующие свою стратегию в течение инвестиционного горизонта в соответствии с поступающей информацией, т.е. портфели с управлением с обратной связью, превосходят портфели, не учитывающие указанную информацию, т.е. портфели с программным управлением.

В заключении приведены основные результаты работы.

В исследовании была осуществлена постановка и приведено решение оптимизационных задач управления инвестиционными портфелями при условии, что управляющему известна информация о моделях ценообразования доходностей и матриц ковариаций случайных составляющих моделей ценообразования.

Эмпирическое исследование подтвердило целесообразность использования подхода построения инвестиционных портфелей, учитывающего информацию оцененных моделей ценообразования доходностей и волатильности случайных составляющих, а также управления инвестиционными портфелями на основе управления с обратной связью по сравнению с программным управлением.

1. Общую дисперсию портфеля можно представить в виде суммы дисперсии ошибки прогноза доходности портфеля, которая образовалась в силу случайности процесса ценообразования вектора доходности активов, и дисперсии портфеля, которая была описана (предсказана) моделью ценообразования доходностей портфеля.

2. Портфели, при формировании которых учитывается информация моделей ценообразования в виде прогнозов доходностей активов, следует оптимизировать путем минимизации дисперсии ошибки прогноза их доходности, так как в этом заключается их риск.

3. Многошаговая задача управления инвестиционным портфелем была поставлена и решена для случая программного управления и управления с обратной связью, когда управляющему известна информация о моделях ценообразования доходностей и волатильностей случайных составляющих.

4. Численное моделирование и тестирование моделей с использованием модельных и реальных данных международных фондовых рынков подтвердило работоспособность и эффективность предложенных подходов управления одношаговыми и многошаговыми инвестиционными портфелями.

В приложении приведены: основные портфельные стратегии, основанные на средне-дисперсионном анализе; обзор моделей векторных авторегрессий, включающий формы моделей, основные характеристики моделей, оценку параметров и формирование прогнозов на основе указанных моделей; обзор показателей, применяемых для сравнения портфельных стратегий.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций

1. Хабров В.В. Многошаговая задача управления инвестиционными портфелями на • основе моделей векторных авторсгрессий и моделей многомерной волатильности // Проблемы управления. 2013. № 2. С. 20 - 35.

2. Хабров В.В. Оптимизация управления инвестиционным портфелем на основе моделей векторных авторегрессий и моделей многомерной волатильности // Прикладная эконометрика. 2012. № 4. С. 35 -63.

3. Хабров В.В. Построение оптимальных валютных портфелей на основе прогнозов линейных моделей // Вопросы статистики. 2011. № 11. С. 44-52.

Публикации в других изданиях

4. Хабров В.В. Построение эффективных мультивалютных портфелей. // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.: МИЭМ. 2011. С. 320-321.

5. Хабров В.В. Новый подход к формированию портфелей ценных бумаг и оценке инвестирования средств пенсионных накоплений. // Инновационная система государства и перспективы его развития. Сборник научных трудов. Гомель. Белоруссия: ЦНИИР. 2010. С. 258 -262.

6. Хабров В.В. Особенности прогнозов на основе моделей с переменной структурой/ В.В. Хабров// Инновационная система государства и перспективы его развития. Сборник научных трудов. Гомель. Белоруссия: ЦНИИР. 2010. С. 262 - 269.

7. Хабров В.В. Построение эффективных портфелей на основе прогнозов моделей векторных авторсгрессий // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ, посвященная 50-лстию МИЭМ. Тезисы докладов: труды конференции. М.: МИЭМ. 2012. С. 363 - 364.

8. Хабров В.В. Практические результаты прогнозирования с помощью линейных, нелинейных и моделей с переменной структурой. // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов: труды конференции. М.: МИЭМ. 2010. С. 368 -369.

Научное издание

Хабров Владимир Викторович

Оптимизация управления инвестиционным портфелем на основе прогнозов доходностей активов и прогнозов матриц ковариаций случайных составляющих

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печатью. <д»2014. Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1,8. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук 117997, ул. Профсоюзная, д. 65 Россия, Москва