автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Динамические модели управления инвестиционным портфелем на нестационарном финансовом рынке с учетом транзакционных издержек и ограничений

003458Эеа

На правах рукописи

Домбровский Дмитрий Владимирович

ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ НА НЕСТАЦИОНАРНОМ ФИНАНСОВОМ РЫНКЕ С УЧЕТОМ ТРАНЗАКЦИОННЫХ ИЗДЕРЖЕК И ОГРАНИЧЕНИЙ

05.13,18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск-2008

003458969

Работа выполнена на кафедре прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики ГОУ ВПО «Томский государственный университет»

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Параев Юрий Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Воробейчиков Сергей Эрикович

доктор физико-математических наук, профессор Якупов Рафаэль Тимирович

Ведущая организация: ФГОУ ВПО «Сибирский федеральный

университет», г. Красноярск

Защита состоится 5 февраля 2009 г. в 10:30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.08 при ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, корп. 2, ауд. 102.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью организации, просим направлять по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина 36, ученому секретарю Буровой Н.Ю.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: г. Томск, пр. Ленина, 34 а.

Автореферат разослан 24 декабря 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.267.08 доктор технических наук, профессор

А.В. Скворцов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Проблема оптимизации и управления инвестиционным портфелем (ИП) является одной из основных в управлении финансами и представляет как теоретический, так и практический интерес. Финансовый рынок служит эффективнейшим механизмом привлечения как внутренних, так и внешних инвестиций. Эффективность инвестиций в решающей степени зависит от выбранных стратегий управления ИП. Разработка таких стратегий является чрезвычайно актуальной и сложной проблемой, требующей привлечения современных математических методов и моделей и вычислительных технологий.

Существуют различные подходы к решению проблемы управления ИП, характеризующиеся многообразием критериев, моделей динамики капитала, используемыми моделями эволюции цен. Вопросами управления и оптимизации ИП занимались многие исследователи, среди которых следует отметить работы Мельникова А.В., Панкова А.Р., Первозванского А.А., Ширяева А.Н., Bielecki T.R., Black F., Browne S., Cadenillas A., Dupacova J., Karatzas I., Korn R., Luen-berger D.G., Markowitz H., Merton R.C., Pham H., Pliska S.R., Tobin J., Scholes M„ Sharp W. F., Zhou X.Y., Zenios S.A. и другие.

В большинстве работ по управлению ИП в динамической постановке предполагается, что транзакционные издержки не существенны и в них не учитываются явные ограничения на объемы (или доли) вложений в финансовые активы. При учете комиссионных издержек и ограничений в многомерном случае (когда портфель диверсифицирован и содержит множество активов), применение традиционных подходов к оптимизации ИП упирается в практически неразрешимую проблему «проклятья размерности».

На реальных рынках существуют жесткие ограничения на объемы заемных средств, а также на объемы «коротких» займов без покрытия (так называемая операция «продажи без покрытия» - short sale). В некоторых случаях они вообще могут быть запрещены. Транзакционные издержки (брокерская комиссия, плата за поддержание счета) также могут быть существенными. Таким образом, реалистичные модели ИП должны учитывать транзакционные издержки и ограничения на объемы торговых операций (открываемых инвестором позиций с учетом заемных средств).

Проведенный анализ литературы и потребности практики подтверждают актуальность построения и исследования моделей управления ИП, адекватно учитывающих реальное поведение финансового рынка (нестационарность, нестабильность, возможные изменения правил торгов), реальные ограничения и издержки при управлении инвестициями (транзакционные издержки, ограничения на объемы торговых операций и пр.) Модель должна отражать реальный процесс управления инвестициями («проскальзывание» цен, то есть исполнение заявки на покупку или продажу акций по цене хуже, чем цена в момент выставления заявки, возможное неисполнение заявок в полном объеме из-за недостаточной ликвидности рынка и пр.) и потребности инвесторов. Модели должны быть достаточно универсальными и предусматривать включение в портфель

различных финансовых инструментов. От того, насколько совершенны стратегии управления, используемые инвесторами, зависит стабильность финансового рынка и функционирование экономики в целом.

Целью работы является разработка и исследование динамических моделей управления инвестиционным портфелем на нестационарном финансовом рынке с учетом транзакционных издержек и ограничений.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Построение и исследование динамических моделей управления ИП на нестационарном финансовом рынке с учетом ограничений на объемы торговых операций (размеры открываемых позиций), учитывающих «проскальзывание» цен, а также различие ставок кредитования и доходности безрисковых активов.

2. Построение и исследование динамических моделей управления ИП с авторегрессионной зависимостью последовательностей доходностей финансовых активов с учетом ограничений и различия ставок.

3. Построение и исследование динамических моделей управления ИП на финансовых рынках со стохастической и условно гетероскедастичной вола-тильностью с учетом транзакционных издержек и ограничений, а также различия ставок.

4. Построение и исследование робастных адаптивных стратегий управления ИП на диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с учетом транзакционных издержек, ограничений и различия ставок при неопределенности в задании параметров моделей.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались понятия и методы теории вероятностей, теории случайных процессов, стохастической финансовой математики, теории моделей финансового рынка, методология управления с прогнозирующей моделью, методы матричной алгебры, методы оптимизации, численные методы и методы компьютерного моделирования.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту.

1. Агрегированные динамические модели ИП, учитывающие ограничения на объемы вложений и займов, различие ставок кредитования и доходности безрискового актива Модификации моделей, учитывающие «проскальзывание» цен и транзакционные издержки.

2. Формулировка задачи управления ИП как динамической задачи слежения за эталонным (базовым) портфелем со скользящим горизонтом инвестирования. Метод определения динамических стратегий управления ИП с прогнозирующей моделью со скользящим горизонтом инвестирования.

3. Многомерные модели ИП и построенные на их базе стратегии управления с прогнозирующей моделью, с учетом транзакционных издержек и различия процентных ставок вклада и займа безрискового актива, при ограничениях на объемы торговых операций (покупки и продажи финансовых активов) и на вложения и займы финансовых активов.

4. Агрегированная и многомерная модели управления ИП на диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с неопределенностью в задании параметров уравнений, описывающих доходности рисковых финансовых активов. Робаст-

ные адаптивные стратегии управления ИП с прогнозирующей моделью с учетом ограничений и различия ставок кредитования и доходности безрискового актива.

5. Результаты численного моделирования и тестирования моделей с использованием реальных данных различных финансовых рынков.

Теоретическая ценность. Разработаны динамические модели управления ИП с учетом транзакционных издержек и ограничений, а также различия ставок кредитования и доходности безрискового актива, для различных моделей финансового рынка. Предложен метод определения оптимальных динамических стратегий управления ИП с прогнозирующей моделью на скользящем горизонте инвестирования, позволяющий получать закон управления с обратной связью при ограничениях на управляющие воздействия - объемы вложений в финансовые активы, объем заемных средств, объемы торговых операций.

Практическая ценность. Практическая ценность данной работы состоит в возможности использования полученных результатов для разработки систем управления ИП и стратегий инвестирования на различных финансовых рынках. Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими аналитическими выкладками и доказательствами, а также результатами численного моделирования с использованием реальных данных.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на следующих конференциях: 8-ом Корейско-Российском международном симпозиуме по науке и технологии (Томск, 2004); Международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики (Москва, 2004 г.); Российской конференции «Дискретный анализ и исследование операций» (Новосибирск, 2004 г.); 3-ей и 8-ой Всероссийских конференциях «Финансово-актуарная математика и смежные вопросы» (Красноярск, 2004, 2008 гг.); 4-ой Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2005) (Томск, 2005 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование - 2005» (г. Анжеро-Судженск, 2005 г.); 7-ой Российской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Томск, 2008 г.);

Материалы диссертации представлялись на: 6-ой Всероссийской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» 1САМ'06 (Шушенское, 5-8 сентября 2006 г.), 5-ом и 6-ом Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 2-8 мая 2004 г., г. Санкт-Петербург, 3-7 мая 2005 г).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе в журналах из списка ВАК 4 статьи [1-4].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из Введения, основного текста, Заключения, списка литературы и Приложения. Основной текст разбит на 4 главы и содержит 49 рисунков. Список литературы включает 137 наименований. Общий объем работы - 188 страниц, основной текст -161 страница.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведен обзор существующих моделей управления ИП, обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, изложена ее научная новизна, раскрыты теоретическое значение и практическая ценность полученных результатов, кратко излагается содержание диссертационной работы.

В первой главе рассматриваются агрегированные динамические модели ИП, в которых учитываются ограничения на объемы вложений в финансовые активы, а также различие ставок кредитования и доходности безрисковых активов.

Рассматривается ИП, состоящий из п видов рисковых вложений (например, обыкновенных акций) и безрискового вложения (например, банковский счет в надежном банке). Динамика ИП описывается уравнением

V(k +1) = [1 + r{\V(k) + ¿[»у,(t +1) - ~ 14 ' lK+i(*)> (1)

i=l

где jj,(k + l)- доходность /-го рискового актива, случайная величина, t\- неслучайная доходность безрискового актива, г2- неслучайная ставка по займу безрискового актива. Капитал, помещенный в рисковый актив /-го вида в момент времени к, равен и,(к), (/ = 1,и), в безрисковый актив -

п

и0(к) = y(k)~'^Uj(k)t ип^(к). Объем безрискового займа ип+](к). i=i

Управляющими переменными являются величины и,{к), (п = \,п +1 ).

При управлении портфелем учитываются следующие ограничения:

на размер вложения в рисковые финансовые активы

иГ(к)<и,{к)<иГ(Ь), (2)

на размер займа

о <«„+!(*)<СГ(*); (3)

на размер вложения в безрисковый актив

О <V{k)~ ¿м,(*) + un+l{k) < иГ(к). (4)

i=l

Если нижняя граница и™"(к)<0 (/ = 1,и), то для акций /'-го вида допустимо участие в операции «продажа без покрытия» на сумму не больше,

чем |и™п(£)|; если м™"(к)>0 (/ = 1 ,л), то операции «продажи без покрытия» для акций г-го вида запрещены (операция «продажа без покрытия» - продажа заимствованных у кого либо рисковых активов с последующим выкупом и

возвратом их кредитору). Отметим, что величины и^аах(к) и

и,1Шп(А)(/ = 0)и+1) на практике часто зависят от величины общего капитала

ИП, что можно учесть, положив и™п (к) = у^У(к), и^'зх{к) = ухУ{к), где у, и - постоянные коэффициенты.

Стратегия управления инвестиционным портфелем определяется так, чтобы его капитал У(к) с наименьшими отклонениями (с минимально возможным

риском) следовал капиталу У°(к) некоторого, определяемого инвестором, эталонного (базового) портфеля, эволюция которого описывается уравнением

К°(* + 1) = [1 + /Л* + 1)]К°(*), (5)

где /л°(к) - заданная инвестором желаемая доходность портфеля, которая выбирается исходя из анализа состояния финансового рынка и склонности инвестора к риску, И°(0) = У(0) (в другой версии - слежение за опорной траекторией, превосходящей базовую).

В работе предлагается синтезировать стратегии управления ИП со скользящим горизонтом инвестирования (другие используемые в литературе термины для обозначения этого метода управления - управление с прогнозирующей моделью, управление с прогнозированием).

На каждом шаге к минимизируем критерий качества управления со скользящим горизонтом (функцию риска)

(т-1

з=Щ X РЧ* + о -~1/0(к + О]2 ¿ОМ) +

т-1

+ £ иТ(к + / / кЩк + ¡)и(к + i / к)6(к,0+

ы о

+[У(к + т) - V0 {к + т)]23(к, т) IV{к), V0 (А)}, (6)

на траекториях системы (1), (5) по последовательности прогнозирующих управлений и{к I к),...,и{к + т-\1 к), зависящих от состояния управляемого и базового портфелей в момент времени к, при ограничениях (2) - (4), где и(к + Ик) = [щ{к + И к), „,,ип(к +1 / к),и„+1(к + И £)]Г(¿ = 0,/я-1), т -горизонт прогнозирования, Щ1)>0 - матрица весовых коэффициентов управления, М{а! Ь) - оператор условного математического ожидания. В качестве управления в момент к берем и{к) = и(к / к). Чтобы получить управления и(к +1) на следующем шаге, процедуру повторяем для текущего момента к+1, при этом горизонт управления сдвигается на один шаг (скользящий горизонт управления). Такой подход дает возможность достаточно просто в явном виде

учитывать ограничения на переменные состояния и управления. При этом получается стратегия управления с обратной связью, но удается избежать так называемого "проклятия размерности", которое препятствует синтезу управления с обратной связью при ограничениях, если применять традиционные подходы с использованием метода динамического программирования. Выбирая весовые коэффициенты б(к,1), можно регулировать структуру риска на всем периоде управления ИП. Особенностью рассматриваемых в диссертационной работе задач является то, что модели ИП описываются нестационарными стохастическими разностными уравнениями со случайными параметрами и мультипликативными шумами. Методы управления с прогнозированием для таких систем практически отсутствуют. Предложенный в диссертационной работе метод является оригинальным.

Рассматривается модель ИП, доходности рисковых финансовых активов которого описываются дискретизованной версией классической модели геометрического (экономического) броуновского движения (модель Блэка-Шоулса) с переменными параметрами

к) = М,(к) + ]г<ти(к)^(к), (7)

>1

где р,(к)~ ожидаемая доходность г'-ой ценной бумаги на интервале [¿-1; к], \\'}{к) - последовательность некоррелированных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией, элементы матрицы волатильности

Теорема 1.1. Пусть динамика инвестиционного портфеля описывается уравнением (1) с моделью доходностей рисковых активов (7) и ограничениями (2) - (4). Тогда оптимальная стратегия прогнозирующего управления, минимизирующая критерий (6) со скользящим горизонтом т определяется уравнением:

»(*) = [£„ 0Я...0И] £/(*), (8) где Еп - единичная матрица размерности п, 0„ - квадратная нулевая матрица

размерности п, и(к) = ^ыТ(к/к), иТ(к + 1/к),...иТ(к + т-\/к)^ - вектор

прогнозирующих управлений, который определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием

У (к + т! к)- иТ(к) Н(к)Щк) + 2хт(к)С(к)и(к), (9)

при ограничениях

итт(к)<8(к)и(к)<итзх(к), (10)

где

х(к) = [У(к),У°(к)]г, итт{к)=[иГ{к) ... «Г(*) 0 -Пк)]Т, С/тах(А)=[<ах(*) ... и^(к) и^(к) (/0тах -

0(к), II(к), Б(к) - блочные матрицы вида

~Нп(к) ... НХт(к)

Я(*)= .........

Нт1(к)_ ... нтт(к)\ (ХкМЩк) ... ая(к)], 5(А)=[*(*) \п+2)хШХт_Х)1

блоки которых определяются следующими соотношениями:

Ни(к) =

1>5,

Ь-2

лЬ

0(п+2)х(л+1Хт-1) ~ нулевая матрица размерности (и + 2) х (и + 1)(т -1);

"1 . . 0 0"

0 . . 1 0

0 . . 0 1

-1 . . -1 1

¿и(5) = Лг(А: + ш-1-^)2(5)^ (А + 1Я-1-5),

¿12(5) = Лг(* + /я -1 - 5)б(5)50(А: + т -1- *),

1^2(2)= $ (к + т-1-з)<2(з)В0(к + т-1-5) +

п

+ (к + т-\- + т-\-з),

7=О

где

В0(к) = £/(*) =

А[к) = Л<щ[ 1 + г„ 1+ /(*)),

И\{к)-гх ... //„(*)-г, -[г2-/]]

О ... О О

<т,.у(*) ... <тЯ1у(А) О

0 ... О О

1 -1

-1 1

\{к) 'ту >1 (*)'

, *(*) = ...

Лп(к)_

Рассматриваются модели ИП, доходности рисковых активов которых описываются многомерными процессами авторегресии

ц[к +1) = ц(к + 1) + в{к +1), (11)

в{к + \) = а в(к) + ™{к + \), (12)

где

т-

и{к +1)- вектор белых шумов размерности п с нулевым средним и матрицей ковариации 0{к +1), а- матрица соответствующей размерности.

Теорема 1.2. Пусть динамика ИП описывается уравнением (1) с моделью доходностей рисковых активов (11), (12) при ограничениях (2) - (4). Тогда оптимальная стратегия прогнозирующего управления, минимизирующая критерий со скользящим горизонтом прогнозирования т, определяется уравнением вида (8), где вектор прогнозирующих управлений и (к) определяется из решения задачи квадратичного программирования (9), (10), блоки матриц С(к), Н(к) определяются следующими соотношениями:

С5(к) = )Г д(т - * - 1)я[а5+10(*)], //„(*) = Л20М) + ВТ [а^1в(к)\(2(т - $ -\)в[а^9(к)У

+м\ £ ВТ[а!1-т+*м(к + т-Е + 1)]х

хд(т - 5 - + т-Е +1)]}

Нзг = ВТ [«*+,<9(А)] <2(.т-$-1 ))А5~гв[аг+1в(к)У

+Л/ £ ВГ[а*-т+5м>{к + т-8 + \)У и=т-г

х2(от - 5 - \)А$~гв]а8~т+г™(к + m-g +1)]|, при 5 > г,

(к) = Н^(к), *<г, 0(/) = АТд(1 -1 )А + Л,(к,т-¡) (г = 1т), (}(0) = ^(к, ш), ) = В(£) - В0, здесь В0 - постоянная матрица в параметризации матрицы В[£] вида: В\£,\ - В0 + ВД, В,, (¡-0,п) - матрицы соответствующей размерности, - / -я компонента вектора £.

A(k) = diag(\ + rh 1 + /(*)),

В\9(к) 1= e\(k) + V\(k)-r{ ... в„(к) + цп(к)-Г\ rx-r2

L ° - ° ° :

Рассматриваются модели ИП с условно-гетероскедастичной волатильностью, описываемой GARCH - моделью

= 4 + л, е, (к) = а,(к) и>, (к),

и CHARMA - моделью

т],{к) = Мк) + 0,(к),

в,{к) = ¿¡{к)0,(к -1) + 012{к)в,{к - 2) + ...+ 0'р(кЩ(к -р) + е,(к), где {e,(i)} - гауссовский белый шум с нулевым средним и вариацией ôg, = последовательность одинаково распределенных не-

зависимых векторов с нулевым средним и матрицей ковариаций Q > 0, последовательности и {e,(k)]j независимы.

Рассматриваются модели ИП, в котором содержатся активы с доходностя-ми, описываемыми ARMAfp, q) процессами вида

77,(* + 1) = Л+0((* + 1), в,(к +1) = а{ 0,(к) + a'20t(k-1) +... + а'р ô,(k -р) +

+ei(k + l)-/iiei(k)-...-^ei(k-q), (¿ = й) ,

где е,(к)~ последовательность независимых случайных величин.

Для этих моделей доказаны теоремы об оптимальных стратегиях. Синтез стратегий управления сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования. В рамках агрегированных моделей предложен подход к синтезу субоптимальных стратегий управления ИП с учетом транзакционных издержек и «проскальзывания» цен. Модель ИП в этом случае имеет вид:

V{k + \) = [\ + rx\V{k)-rAfdtl{k)+ ;=1

+1)■-r3sign(u,(k))-п]и,(к)-[г2 -гх-\ип+х{к), (!3)

1=1

где г3- процент, на который цена исполнения заявки отклоняется от рыночной цены в момент выставления заявки; г4- ставка вознаграждения брокера и биржи; tl(k) = \ul(k)-ul(k-l)\ - объем сделки купли/продажи, совершенной с г'-м активом в момент времени к . Уравнение (13) описывает реальное состояние портфеля, если «проскальзывание» всегда происходит не в пользу инвестора.

Заметим, что «проскальзывание» часто бывает и в пользу инвестора, поэтому в данной модели предусмотрен наихудший для инвестора сценарий.

Во второй главе предложены многомерные модели ИП. Динамика портфеля в пространстве состояний описывается уравнениями: для рисковых активов

_ *,(* + 1) = [1 + ц,(к + !)]&{*) + р,(к)-<7,(А)],

где х,(к), / = 1,и - объем инвестиций в /-й финансовый актив, р,{к)-объем капитала, переведенного с банковского счета в /-й рисковый актив, д,(к)~ объем капитала, переведенного с /-го рискового актива на банковский счет, р,{к)>О, <?/(к)>0, если какая-либо переменная х,(к)<0, то это означает участие в операции "продажа без покрытия" на сумму -(£)]; для безрискового вложения (банковского счета)

х„+,(к +1) =[1 + Г,[к +1)] [х„+1 (к) + У(к) -¿(1 + ¿¿)р;(к) + ¿(1 -Л)д,Ш

/=1 ¿=1

где <5, - доля капитала р,(к), идущая на уплату транзакционных издержек при покупке рискового актива /-го вида, а р, - доля капитала д,(к), идущая на уплату издержек при продаже рискового актива /-го вида, переменная \'(к) - объем капитала, перераспределяемого между банковским и кредитным счетами: г(к)>0 означает заем в размере г (к), \(к)<0 означает возврат кредита в размере ш\. Состояние банковского счета х„+1(£+1)>0, следовательно, должно выполняться ограничение

х„+1(к) + V(к)- ¿(1 + ¿¡)Р1(к) + ¿(1 - рМ,(к)> О, ¿=1 /=1 Динамика заемного капитала описывается следующим уравнением:

х„+2 {к +1) = [1 + г2(к)][хп+2 (к) - у(А)] , Переменная хп+2(к) означает, что на сумму, равную \хп+2(к)\, сделан заем

безрискового актива, она принимает только неположительные значения, откуда

и+2

следует, что хп+2(к) - v(k) < 0. Общий капитал портфеля равен У(к) = ^ х¡(к).

1=1

При управлении портфелем учитываются также следующие ограничения: на объемы вложения в рисковые активы

хГЫ(к)<х1(к)+р,(к)~д1{к)<хГ1Х(к), ¡ = йч на вложение в безрисковый актив

хп+1(к) + У(к) - ¿(1 + дМ(к) + ¿(1 - РгМк) ^х^(к), 1=1 1=1

на объемы займов

х^\{к)<хп^к)-у{к). Если нижняя граница х,Ш1П(Л)< 0 (;' = !,«), то для акций /-го вида допустимо

участие в операции «продажа без покрытия» на сумму не больше чем |лг,т1П(£)|;

если Х/П1П(А)>0, / = 1 ,п, то операция «продажа без покрытия» для /-го вида запрещена; х^ах(к)> 0, / = 1,и, определяют максимальный объем капитала, который можно вкладывать в акции /-го вида; х^х(А)>0 определяет максимальный объем капитала, который можно вкладывать в безрисковый актив; х™2(к)<0 определяет максимальный размер займа безрискового ак-

тива.

Величины л,шах(А), (/ = 1,и+1), х™'"(к)>0, (/ = 1Я п + 2), могут быть константами, но на практике они часто зависят от величины общего капитала ИП, что можно учесть, положив х™" (к) = у] V(к), л,шах (к) = у] У(к)

Кроме того, учитываются ограничения, налагающие запрет на одновременную покупку и продажу одного и того же актива

А (*)?>(*) = О, / = 1,и. ^3)

Рассматриваются модели ИП, в которых доходности рисковых активов подчиняются: а) дискретизованным уравнениям типа геометрического броуновского движения с переменными детерминированными параметрами (ожидаемой доходностью и волатильностью); б) уравнениям с условной гетероске-дастичностью волатильностей с описанием волатильностей вАЯСН-М моделью

Ч, (*) = И, + с,а, (к) + а, (А)и-, (к), а}(к) = аг0 +а[е;{к-1) + До?(к-1), е,(к) = а,{к)^(ку,

в) уравнениям со стохастической волатильностью (БУ-модель)

т

С7,{к) = е 2 ,

здесь /г, (к) выполняет роль скрытых факторов (латентной структуры) и имеет авторегрессионную природу (А +1) = у0, + уь1ц {к) + £, (£);

г) факторным моделям доходностей

Доказаны теоремы об оптимальных стратегиях управления с прогнозированием. Учет ограничений (13) в явном виде приводит к необходимости решения последовательности задач нелинейного программирования, что существенно усложняет численное решение задачи. При практической реализации стратегии это ограничение можно снять, если размеры позиций определять по следующим правилам: покупка на сумму р,{к)-у,(к)>0, если pt(k)>qí(k), продажа на сумму д1{к)-р1(к)>0, если ¿7, (А) >/>,(£). Тогда задача оптимизации на каждом шаге сводится к задаче квадратичного программирования. Размер транзакционных издержек легко корректируется.

В третьей главе предложены модели ИП с вероятностной неопределенностью в задании параметров уравнений, описывающих доходности рисковых финансовых активов. Доходности активов описываются следующей моделью

»&(*) = и№к)М+ 1>,;Д0(*)Д]и'/*) + £ *]*/*), (14)

М /=1

где случайная последовательность описывает скачкообразные измене-

ния доходностей вследствие воздействия редких экстремальных событий или ожиданий; в{к)~ последовательность независимых ^-мерных случайных векторов с известными первым и вторым

моментами, м[в]{к)\9^к)] = 0; м[в^к)я^к)] = О,

= 0, г,7=1,и; Уу[в{к),к] - элементы матрицы Г[в(к),к], определяющие влияние скачков доходностиу'-го рискового вложения на доходность /-го; случайная величина л] = /у х Уг, где случайная величина 1; принимает

значение, равное единице с вероятностью Я^, и значение ноль с вероятностью

1 - . Случайная величина У} имеет двойное экспоненциальное распределение

(распределение Лапласа). Предполагается, что ожидаемые доходности ц,[в{к),к~\ элементы матрицы волатильности с^[в{к),к] и Уу[в(к),к] зависят

от в(к) линейно. Последовательность в(к) представляет случайные флуктуации параметров моделей доходностей.

Предложенный подход к описанию неопределенностей позволяет ограничиться минимумом информации о параметрах модели (14). Например, можно решать задачу с интервальной неопределенностью в задании параметров, полагая, что они равномерно распределены в заданных интервалах.

Рассмотрена агрегированная модель ИП, на базе которой получены роба-стные стратегии управления ИП с прогнозирующей моделью с учетом ограничений на вложения и займы и различия ставок кредитования и доходности безрискового актива.

Рассмотрена многомерная модель ИП с неопределенностью в задании параметров. На ее основе получены робастные стратегии управления ИП с прогнозирующей моделью с учетом транзакционных издержек, ограничений на объемы торговых операций ( покупки и продажи финансовых активов), ограничений на вложения и займы (в том числе «продажи без покрытия») финансовых активов, а также различия процентных ставок вклада и займа безрискового актива. Отметим, что хотя при построении модели скачкообразного процесса было принято предположение о виде распределения величины скачка, на самом деле при синтезе оптимальных стратегий требуется знание лишь его математического ожидания и дисперсии.

В четвертой главе приводятся результаты численного моделирования на реальных данных различных финансовых рынков. Использованы данные о динамике цен акций, торгуемых на: Российской бирже «Фондовая биржа ММВБ» (фондовая секция Московской межбанковской валютной биржи); одной из крупнейших европейских бирж Euronext, а также валютных пар, торгуемых на международном валютном рынке Forex (foreign exchange).

Для управления портфелем использовались адаптивные робастные стратегии, построенные на основе полученных в предыдущих главах теоретических результатов, которые учитывают неопределенность в задании волатильностей и не требуют их конкретных значений или оценивания параметров моделей, используемых для описания эволюции волатильности. Ожидаемые доходности рисковых активов оцениваются по текущим данным.

Рассмотрим задачу управления инвестиционным портфелем, состоящим из 5 видов акций, торгуемых на ФБ ММВБ: ОАО «Банк ВТБ», ОАО НК «Лукойл», ОАО «Газпром», ОАО «ГМК Норильский никель», ОАО «Газпромнефть» и одного вида безрискового актива с доходностью 4% годовых. Так же доступна услуга маржинального кредитования с маржинальным плечом 1, то есть возможно участие в операции «продажа без покрытия» и доступен банковский займ. Суммарный объем операций «продажа без покрытия» и размер банковского займа на шаге к не может превышать величину капитала ИП на шаге к - V(k). Ставка по займу составляет 14% годовых. Брокерская и биржевая комиссии сумарно составляют 0,06% от сделки. Данные условия являются типичными для российских брокеров.

Решалась задача слежения за опорной траекторией с доходностью /i° = 0,003. Предполагалось, что волатильность является случайной равномерно распределенной величиной. Интервал изменения волатильности оценивался по прошлым наблюдениям доходностей акций и составил [0,001 0,03] для всех акций, включаемых в портфель. Ожидаемые доходности оценивались методом скользящего окна по семи последним наблюдениям дневных цен закрытия с учетом авторегрессионной составляющей первого порядка. Предполагалось, что доходности акций, включенных в портфель, некор-релированы между собой. Заявки выставлялись по ценам открытия. Горизонт прогноза т-20. Ниже приведены некоторые результаты тестирования за период с 20.07.07 г. по 30.10.08 г. (305 торговых дней). На рис. 1 показана типичная динамика доходностей акций за этот период на примере акций «Лукойл», на рис. 2 - результаты управления ИП на основе агрегированной модели с «проскальзыванием» цен (предполагаем, что каждая сделка исполняется по цене на 0,05% хуже, чем цена выставления заявки) и издержками, на рис. 3 -на основе многомерной модели (для нее ожидаемые доходности оценивались методом скользящих средних и в портфель добавлены акции Сбербанка).

ЙОЬОС5ПОБ{ акся 1_КОН

Рис. 1. Динамика доходности акций ОАО НК «Лукойл»

х 10грвгЙЫ1о1 003 ЧЛГОЛ.ЬКОН 51Ш>4,«ЗА2Р СЗМКМ,

У°(к)

300 350

к

Рис. 2. Динамика капитала управляемого ИП (•••), опорная траектория (—) и траектория

базового портфели (—)

V0«

к

Рис. 3. Динамика капитала управляемого ИП (•••), опорная траектория (—) и траектория

базового портфеля (—)

В заключении приведены основные результаты работы:

1. Разработаны агрегированные динамические модели управления ИП, учитывающие ограничения на объемы вложений и займов, а также различие ставок кредитования и доходности безрискового актива.

2. Предложен метод определения оптимальных стратегий управления с прогнозирующей моделью (со скользящим горизонтом инвестирования), позволяющий получать закон управления с обратной связью при ограничениях на управляющие воздействия (объемы вложений в финансовые активы, а также объем заемных средств). Предложен подход к синтезу субоптимальных стратегий управления ИП с учетом транзакционных издержек и «проскальзывания» цен.

3. Разработаны многомерные модели ИП. На базе этих моделей построены оптимальные стратегии управления с прогнозирующей моделью с учетом транзакционных издержек и различия процентных ставок вклада и займа безрискового актива, при ограничениях на объемы торговых операций (покупки и продажи финансовых активов) и на вложения и займы финансовых активов.

4. Разработаны модели управления ИП на диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с неопределенностью в задании параметров уравнений, описывающих доходности рисковых финансовых активов. Предложены робастные адаптивные стратегии управления ИП с прогнозирующей моделью с учетом ограничений и различия ставок кредитования и доходности безрискового актива.

5. Проведено численное моделирование и тестирование моделей с использованием реальных данных различных финансовых рынков, которое подтвердило работоспособность и эффективность предложенных моделей управления ИП.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций

1. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., ЛяшенкоЕ.А. Управление с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. - 2005. -№ 4. - С. 84-97.

2. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Управление с прогнозированием системами со случайными зависимыми параметрами при ограничениях и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 12. - С. 71-85.

3. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Прогнозирующее управление инвестиционным портфелем на основе рыночной модели с учетом транзакционных издержек и ограничений // Вестник Томского государственного университета. - 2004. -№ 284-С. 57-59.

4. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Прогнозирующее управление системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами // Вестник Томского государственного университета. - 2004. - № 284 -С. 148-151.

Публикации в других изданиях

5. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Робастное управление финансовыми активами со стохастической волатильностью с учетом транзакционных издержек // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2007. -№ 1. - С. 8-14.

6. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Динамическая оптимизация инвестиционного портфеля при ограничениях на объемы вложений в финансовые активы // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2008. - № 1(2). — С. 13— 17.

7. Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке со стохастической волатильностью с учетом транзакционных издержек и ограничений// Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2005). Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции. Ч. 2. - Томск: Изд-во Томского университета, 2005.-С. 97-99.

8. Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке со стохастической волатильностью с учетом транзакционных издержек и ограничений // Вестник Томского государственного университета. - Приложение. - 2006. -№ 16. - С. 217-225.

9. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Стратегии прогнозирующего управления инвестиционным портфелем с учетом транзакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 11. - № 2. - С. 331-332.

10. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Управление с прогнозированием инвестиционным портфелем при ограничениях на объемы торговых операций на финансовом рынке со стохастической волатильностью // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 12. -№ 2. -С. 352-353.

11. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Применение метода управления с прогнозирующей моделью для оптимизации инвестиционного портфеля с учетом ограничений на объемы торговых операций // Труды третьей Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Ч. 1. - Красноярск: ИВМ СО РАН. 2004. - С. 164-170.

12. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Андриенко Е.А. Прогнозирующее управление финансовыми активами с учетом транзакционных издержек // Труды VII Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Ч. 2. - Красноярск: Сибирский федеральный университет. 2008. - С. 70-76.

13. Dombrovskii D.V., Lyashenko Е.А. Dynamic investment portfolio model under asset allocation constraints // Вестник Томского государственного университета. Приложение. - 2006. - № 18. - С. 315-319.

14. Dombrovsky D.V.,Dombrovsky V.V.,Lyashenko Е.А. Dynamic asset management with stochastic volatility under transaction costs and portfolio constraints

//Материалы Российской конференции «Дискретный анализ и исследование операций». - Новосибирск: издательство института математики, 2004. - С. 200.

15. Dombrovskiy D.V.,Dombrovsk¡y V.V., Lyashenko Е.А. Dynamic feedback strategies of investment management under transaction costs and portfolio constraints // Proceedings of the International Conference «Mathematical Modeling of Social and Economical Dynamics». - Moscow: RSSU, 2004. - P. 105-107.

16. Dombrovskiy D.V., Dombrovskiy V.V., Lyashenko E.A. Investment portfolio optimisation with transaction costs and constraints using model predictive control //Proceedings of the 8-th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology. - Tomsk: TPU, 2004. - P. 202-205.

Тираж 100 экз. Отпечатано в КЦ «Позитив» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а

ВВЕДЕНИЕ

1. АГРЕГИРОВАННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ НА ОБЪЕМЫ ВЛОЖЕНИЙ В ФИНАНСОВЫЕ АКТИВЫ.

1.1. Модель управления ИП с нестационарной детерминированной волатильностью финансовых активов.

1.1.1. Постановка задачи и описание модели.

1.1.2. Синтез стратегий управления с прогнозирующей моделью.

1.2. Модели управления ИП, доходности рисковых активов которого описываются многомерными процессами авторегрессии.

1.2.1. Постановка задачи и описание модели.

1.2.2. Синтез стратегий управления с прогнозирующей моделью

1.2.3. Доходности рисковых активов ИП — процессы авторегрессии -скользящего среднего (ARMA (р, q) - процессы).

1.3. Модели управления ИП, эволюции волатильностей рисковых активов которых описываются процессами с условной гетероскедастичностью.

1.3.1. Модель ИП с описанием волатильностей GARCH-процессом

1.3.2. Модель ИП с описанием волатильностей

CHARMA - моделью.

1.4. Возможность учета транзакционных издержек и «проскальзывания» цен: субоптимальные стратегии.

1.5. Выводы.

2. МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ С УЧЕТОМ ТРАНЗАКЦИОННЫХ ИЗДЕРЖЕК И ОГРАНИЧЕНИЙ.

2.1. Постановка задачи и описание модели

2.2. Синтез прогнозирующих стратегий управления ИП.

2.3. Управление ИП на основе однофакторной рыночной модели.

2.4. Модель ИП с описанием волатильностей ОАШПН-М моделью.

2.5. Модель управления ИП на финансовом рынке со стохастической волатильностью рисковых активов.

2.6. Выводы

3. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ НА ДИФФУЗИОННО-СКАЧКООБРАЗНОМ ФИНАНСОВОМ РЫНКЕ С УЧЕТОМ ТРАНЗАКЦИОННЫХ ИЗДЕРЖЕК И ОГРАНИЧЕНИЙ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ЗАДАНИИ ПАРАМЕТРОВ.

3.1. Агрегированная модель ИП и синтез стратегий управления с учетом ограничений.

3.2. Многомерная модель ИП и синтез стратегий управления с учетом транзакционных издержек и ограничений.

3.3. Выводы.

4. АДАПТИВНЫЕ РОБАСТНЫЕ СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

4.1. Численное моделирование стратегий управления, построенных на основе агрегированых моделей ИП.

4.1.1. Управление портфелем российских акций, торгуемых на фондовой бирже ММВБ.

4.1.2. Управление с учетом «проскальзывания» цен и транзакционных издержек.

4.1.3. Торговля без использования маржинального кредитования

4.1.4. Управление портфелем европейских акций, торгуемых на фондовой бирже Euronext с учетом транзакционных издержек

4.1.5. Управление портфелем, состоящим из валютных пар, торгуемых на международном валютном рынке Forex

4.2. Численное моделирование стратегии управления, построенной на основе многомерной модели ИП.

4.3. Выводы.

Проблема оптимизации (выбора оптимальной структуры) и управления инвестиционным портфелем является одной из основных в управлении финансами и представляет как теоретический, так и практический интерес [33,37,40,42,45,111Д 12,114]. Под инвестиционным портфелем (ИП) обычно понимают набор рисковых и безрисковых финансовых активов, которые инвестор включает в свой портфель. Под рисковыми активами понимают финансовые активы со случайно меняющейся доходностью, такие как обыкновенные акции, а под безрисковыми — финансовые активы с детерминированной доходностью, такие как надежные облигации типа государственных обязательств или банковский депозит в надежном банке. Управление ИП осуществляется посредством операций купли-продажи активов на фондовом рынке с целью коррекции структуры ИП так, чтобы минимизировать риск портфеля и обеспечить достаточно высокую доходность инвестиций. Фондовый рынок служит эффективнейшим механизмом привлечения как внутренних, так и внешних инвестиций. Эффективность инвестиций в решающей степени зависит от выбранных стратегий управления ИП. Разработка таких стратегий является чрезвычайно актуальной и сложной проблемой, требующей привлечения современных математических методов и моделей и вычислительных технологий [33,45,100,114,111,135].

В связи с актуальностью проблемы, крупнейшие финансовые институты, такие как банки, инвестиционные фонды, управляющие компании вкладывают значительные средства в исследования фондового рынка и разработку математических моделей ИП, которые лежат в основе стратегий управления.

Существуют различные подходы к решению проблемы управления ИП, характеризующиеся многообразием критериев, моделей динамики капитала, используемыми моделями эволюции цен [5-9,29-31,34-36, 45, 47-55,59-74,7883,85-92,94-102,104,106,108-112,114-118,120,121,125-128,131-137], среди которых можно выделить два основных (направления).

Основой современной теории портфеля инвестиций и современной финансовой математики послужила фундаментальная работа Нобелевского лауреата по экономике 1990 г. Г. Марковица [112]. Подход Марковича (так называемый Mean-Variance, MY — подход) и последующие его модификации исходят из предположения о том, что при формировании своего портфеля инвестор, с одной стороны, хотел бы максимизировать доходность портфеля, с другой стороны - минимизировать (или ограничить) риск, либо минимизировать риск портфеля и получать при этом желаемую доходность. Проблема оптимизации структуры портфеля (определения долей вложений капитала инвестора в активы) в зависимости от выбора функции риска (обычно дисперсии портфеля или связанных с ней мер риска) и способов учета неопределенности, сводится к решению задач квадратичного, линейного или стохастического программирования [6,29,31,34,36,40,42,45, 79,87-90,104,111,121,132-135]. Таким образом, задача решается в статической постановке. Такие модели относятся к классу однопериодных моделей.

Отметим основные недостатки однопериодных моделей и их модификаций: стратегии управления, основанные на таких моделях, являются «близорукими» (myopic strategy [114]), поскольку не учитывают эволюцию (динамику изменения) цен на периоде инвестирования, а также не зависят от текущего значения капитала ИП — отсутствует обратная связь; минимум риска достигается лишь в конце горизонта инвестирования, а в течение всего периода инвестирования он остается неопределенным; параметры, характеризующие доходности финансовых активов -ожидаемые доходности и ковариации доходностей, предполагаются постоянными на весь период инвестирования, что не реалистично; стратегия управления ИП получается очень чувствительной даже к малым неточностям в задании входных параметров модели, которые неизбежно возникают при практической реализации стратегий, поскольку теоретические значения параметров заменяются их приближенными оценками по историческим данным — структура портфеля искажается так называемым «модельным шумом» в силу большого числа оцениваемых параметров; введение дополнительных ограничений на объемы торговых операций и учет транзакционных издержек существенно усложняет решение задачи оптимизации и приводит к трудной проблеме решения задачи целочисленного программирования с помощью трудоемких алгоритмов перебора [99,102];

Для преодоления недостатков модели Марковица появились различные ее модификации [36,66,67,79,87,89,100,104,133], однако основные отмеченные проблемы в рамках статических моделей до сих пор не получили эффективного решения.

Другой подход к моделированию и управлению ИП основан на построении динамических моделей портфеля и использовании для оптимизации структуры ИП методов теории стохастического управления и мартингальных методов. В классической постановке, предложенной лауреатом Нобелевской премии по экономике 1997 г. Мертоном [114], оптимизационная проблема заключается в определении стратегии управления ИП в непрерывном времени, максимизирующей некоторую (достаточно искусственно выбираемую) интегральную функцию полезности, зависящую от уровня текущего потребления и капитала в конечной точке горизонта инвестирования. Аналитическое решение данной задачи можно получить лишь для весьма ограниченного набора функций полезности и без учета ограничений на объемы торговых операций. В остальных случаях такой подход приводит к трудной проблеме численного решения интегро-дифференциальных уравнений динамического программирования Гамильтона-Якоби-Беллмана, которая известна как «проклятье размерности» [1,2,107,116].

В настоящее время существует множество подходов к решению проблемы оптимизации ИП, но большинство из них являются усложнением и развитием моделей Марковица и Мертона. В работах [52,53,55,125,126] в рамках непрерывных моделей предлагается использовать так называемый «чувствительный к риску» (risk - sensitive) критерий. Конструкция этого критерия позволяет ограничивать риск портфеля (логарифм дисперсии капитала) и максимизировать логарифм доходности портфеля на бесконечном горизонте инвестирования. В

52,65,92,97,108,109,118,131,136,137] задача оптимизации портфеля в динамической постановке решается в рамках Mean-Variance подхода -достигается минимум дисперсии капитала в конечной точке горизонта инвестирования при заданном математическом ожидании капитала в этой точке.

В работах [30,55,83,86,131] предложено использовать так называемый VaR (Value at Risk) критерий и его модификации, который позволяет максимизировать вероятность достижения или превышения капиталом заданного инвестором уровня в конечной точке горизонта инвестирования. Данные модели относятся к классу статических и определяют фиксированные доли вложений на весь период инвестирования. В работе [86] данный подход обобщается на динамические модели ИП (Dynamic Value at Risk). В [31] используется квантильный критерий. При практической реализации VaR - подхода требуется знание вида распределения доходностей рисковых активов и он чувствителен к выбору объема выборки для оценивания параметров [9].

В работах [59, 60,88,104] ставится задача управления инвестиционным портфелем таким образом, что бы в точности повторить или превзойти доходность некоторого индексного или базового портфеля (benchmark portfolio). В [88,104] данная задача решается в статической постановке, в [88] рассматривается также задача динамического перераспределения капитала вначале каждого периода инвестирования на основе статической модели. В [59,60] строятся динамические модели в непрерывном времени. Целью управления является максимизация вероятности превышения доходности базового портфеля или минимизация среднего времени достижения траектории базового портфеля. Обзор методов оптимизации ИП в динамической постановке с использованием различных критериев, дан в [120].

В большинстве работ по управлению ИП предполагается, что транзакционные издержки не существенны и в них не учитываются явные ограничения на объемы (или доли) вложений в финансовые активы. На реальных рынках существуют жесткие ограничения на объемы заемных средств, а также на объемы «коротких» займов без покрытия (так называемая операция «продажи без покрытия» — short sale [42]). В некоторых случаях они вообще могут быть запрещены. Транзакционные издержки (брокерская комиссия, плата за поддержание счета) также могут быть существенными. Таким образом, реалистичные модели ИП должны учитывать транзакционные издержки и ограничения на объемы торговых операций (открываемых инвестором позиций с учетом заемных средств). Обзор работ, в которых строятся динамические модели ИП в непрерывном времени с учетом транзакционных издержек дан в [61]. В этих работах для синтеза стратегий управления применяются методы классической теории стохастического управления, оптимальной остановки, стохастического импульсного управления и др. [53,62,69,78,81,85,97,101,102,110,115-117].

Использование этих методов позволяет решить задачу только для случая, когда ИП включает в себя один рисковый актив, а ограничения на объемы позиций не учитываются. При учете комиссионных издержек и ограничений в многомерном случае (когда портфель диверсифицирован и содержит множество активов), применение традиционных подходов к оптимизации ИП упирается в практически неразрешимую проблему «проклятья размерности» [107].

При построении моделей ИП возникает вопрос об адекватном описании эволюции цен (или доходностей) финансовых активов. Все рассмотренные подходы требуют знания вида вероятностного распределения цен (доходностей) рисковых активов и в основе используют для описания эволюции цен модель геометрического (экономического) броуновского движения Блэка-Шоулса [44,45,56] с детерминированной постоянной волатильностыо (изменчивостью), то есть предполагается, что доходности подчиняются логнормальному распределению. Исследования временных рядов динамики доходностей финансовых активов показывают, что распределение реальных доходностей отличается от логнормального [4345,58,93,96,124,129] и во многих случаях более адекватными являются модели цен с меняющейся, а также случайной волатильностью. Примерами таких моделей могут служить так называемые SV - модели, которые достаточно хорошо отражают эффекты «самовозбуждения» волатильности, наблюдаемые на реальных финансовых рынках [43-45,103,129] и скрытые марковские модели (НММ - Hidden Markov Model), в которых учитываются скачкообразные изменения в динамике рынка [80,81]. Скрытые марковские модели подробно изучены в [4,5]. Эти модели относятся к классу моделей, управляемых параметрами. Для описания эволюции волатильности в них используются стохастические уравнения.

К другому классу моделей относятся модели, управляемые данными [43-45,129]. В этом случае волатильность является функцией прошлых значений наблюдаемого временного ряда. Примерами этого класса моделей могут служить авторегрессионная модель с условной гетероскедастичностью (ARCH - Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), впервые предложенная в 1982 г. Нобелевским лауреатом по экономике Р. Энглом в работе [84], и ее многочисленные обобщения, такие как GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), EGARCH, IGARCH, GARCH-M и др. [43-45,57,58,93,129].

В [45,94,114,120,129] рассматриваются модели доходностей, в которых содержатся как регулярные возмущения, соответствующие колебаниям доходностей акций в результате регулярных событий финансового рынка, так и импульсные возмущения, описывающие воздействие редких экстремальных событий или ожиданий.

В работах [36,42,123,125,129] для описания и прогноза доходностей рисковых активов используются методы регрессионного анализа - это так называемые факторные модели. Наиболее известной из них является однофакторная рыночная модель, которая связывает доходность акции с доходностью рыночного индекса [42,123] и предложена в 1964 г. Нобелевским лауреатом по экономике 1990 г. У. Шарпом [123]. Многофакторные модели связывают доходности с различными факторами, такими как объем ВВП, цена на нефть, уровень безработицы, индекс деловой активности и др. Обзор и анализ свойств наиболее популярных моделей доходностей дан в [45].

В [7,11,12,75] предложен новый подход к управлению ИП, в рамках которого проблема формулируется как динамическая задача слежения за траекторией роста некоторого эталонного (базового) портфеля, доходность которого задается инвестором. В качестве меры риска используется квадратичный функционал. Оптимальные стратегии минимизируют суммарное взвешенное среднеквадратичное отклонение капитала управляемого (реального) портфеля от траектории эталонного портфеля. Для решения задачи используются методы теории стохастического линейно-квадратичного управления системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами [28,74]. Позже аналогичный критерий управления ИП был использован в работе [130].

Отметим, что в отличие от «mean — variance» подхода [52,65,92,108,109,108,109,118,136,137], при котором минимизируется дисперсия портфеля в конечной точке горизонта инвестирования при заданном математическом ожидании его конечного капитала, без учета ограничений на объемы торговых операций, подход, предложенный в [7,11,12,72] позволяет получить максимально гладкую кривую роста капитала управляемого портфеля на всем горизонте инвестирования, что является одним из основных требований к торговым стратегиям со стороны инвесторов, работающих на финансовых рынках [42].

Привлекательной чертой данных моделей является также то, что в рамках данного подхода можно использовать большинство моделей цен (доходностей) финансового рынка, обзор которых дан выше [5,8,13,14,27,28, 75-77].

В [5,7,8,11-14,27,28,75-77] ограничения на объемы торговых операций учитываются не явно, в виде штрафа за большую «мощность» управляющих переменных («мягкие ограничения»), в [130] задача решена без учета ограничений, транзакционные издержки не учитываются. Кроме того, в рассмотренных в обзоре моделях не учитывается отличие ставки доходности безрискового актива и ставки, по которой происходит заимствование капитала.

Проведенный анализ литературы и потребности практики подтверждают актуальность построения и исследования моделей управления ИП, адекватно учитывающих реальное поведение финансового рынка (нестационарность, нестабильность, возможные изменения правил торгов), реальные ограничения и издержки при управлении инвестициями (транзакционные издержки, ограничения на объемы торговых операций и пр.). Модель должна отражать реальный процесс управления инвестициями («проскальзывание» цен, то есть исполнение заявки на покупку или продажу акций по цене хуже, чем цена в момент выставления заявки, возможное неисполнение заявок в полном объеме из-за недостаточной ликвидности рынка и пр.) и потребности инвесторов. Модели должны быть достаточно универсальными и предусматривать включение в портфель различных финансовых инструментов. От того, насколько совершенны стратегии управления, используемые инвесторами, зависит стабильность финансового рынка и функционирование экономики в целом.

Целью работы является разработка и исследование динамических моделей управления инвестиционным портфелем на нестационарном финансовом рынке с учетом транзакционных издержек и ограничений.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Построение и исследование динамических моделей управления ИП на нестационарном финансовом рынке с учетом ограничений на объемы торговых операций (размеры открываемых позиций), учитывающих «проскальзывание» цен, а также различие ставок кредитования и доходности безрисковых активов;

2. Построение и исследование динамических моделей управления ИП с авторегрессионной зависимостью последовательностей доходностей финансовых активов с учетом ограничений и различия ставок;

3. Построение и исследование моделей управления ИП на финансовых рынках со стохастической и условно гетероскедастичной волатильностью с учетом транзакционных издержек и ограничений, а также различия ставок;

4. Построение и исследование робастных адаптивных стратегий управления ИП на диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с учетом транзакционных издержек, ограничений и различия ставок при неопределенности в задании параметров моделей.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались понятия и методы теории вероятностей, теории случайных процессов, стохастической финансовой математики, теории моделей финансового рынка, методология управления с прогнозирующей моделью, методы матричной алгебры, методы оптимизации, численные методы и методы компьютерного моделирования.

Основные результаты, полученные в данной работе и выносимые на защиту, следующие:

4.3. Выводы

В данной главе приведены результаты численного моделирования и тестирования адаптивных робастных стратегий управления ИП с использованием реальных данных о ценах акций, торгуемых на российской бирже «Фондовая биржа ММВБ» (фондовая секция Московской межбанковской валютной биржи), одной из крупнейших европейских бирж Euronext, а также валютных пар, торгуемых на международном валютном рынке Forex (foreign exchange). Результаты моделирования показали работоспособность и эффективность предложенных моделей ИП и построенных на их основе стратегий на всех рынках, несмотря на их особенности.

Стратегии управления показали эффективную работу даже при использовании достаточно простых моделей доходностей активов.

Upravlenia 4 akzia

I I I i

I i •i

Ш .j—"H - fttff for frjJtb/t W 1 "" " "" > i i i 1.- ■ i

Достоинство этих моделей в том, что для них требуется оценивать в реальном времени минимум параметров - по-существу, только ожидаемые доходности, причем с использованием несложных процедур. Относительно поведения волатильностей необходим минимум информации - достаточно знать только интервалы изменения, причем их границы не зависят от времени. В условиях нестационарного нестабильного поведения рынков (а это их типичное поведение, даже в «спокойные» времена) решающую роль при управлении ИП играет адаптивная оптимизация управления капиталом — расчет оптимальных позиций (вложений или объемов купли-продажи активов) в зависимости от текущего состояния портфеля и трендов доходностей рисковых активов.

Отметим также, что кроме приведенных в диссертационной работе результатов моделирования, модели ИП тестировались на многих других наборах акций, которые включались в портфель, в том числе торгуемых на Нью-Йоркской фондовой бирже NYSE (New York stock exchange). Результаты тестирования в целом не отличаются от приведенных в данной главе. Таким образом, по результатам численного моделирования можно сделать вывод, что стратегии управления являются робастными (не чувствительными) и по отношению к выбору рисковых активов, включаемых в портфель.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе предложены динамические модели управления ИП на нестационарном финансовом рынке с учетом транзакционных издержек и ограничений. Получены следующие основные результаты.

1. Разработаны агрегированные динамические модели управления ИП, учитывающие ограничения на объемы вложений и займов, а таюке различие ставок кредитования и доходности безрискового актива. Рассмотрены модели ИП с детерминированной нестационарной волатильностью рисковых финансовых активов, модели с условно-гетероскедастичной волатильностью, модели ИП, доходности рисковых активов которых подчиняются многомерным процессам авторегресии.

2. Задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения со скользящим горизонтом инвестирования за некоторым базовым (гипотетическим) портфелем, параметры которого задаются инвестором (в другой версии - слежение за опорной траекторией, превосходящей базовую).

3. Предложен метод определения оптимальных стратегий управления с прогнозирующей моделью, позволяющий получать закон управления с обратной связью при ограничениях на управляющие воздействия (объемы вложений в финансовые активы, а таюке объем заемных средств). Синтез стратегий управления с прогнозированием сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования и достаточно просто реализуется численно. Предложен подход к синтезу субоптимальных стратегий управления ИП с учетом транзакционных издержек и «проскальзывания» цен.

4. Разработаны многомерные сетевые модели управления ИП, в которых доходности рисковых активов подчиняются: а) дискретизованным уравнениям типа геометрического броуновского движения с переменными детерминированными параметрами (ожидаемой доходностью и волатильностью); б) уравнениям с условной гетероскедастичностью волатильностей; в) уравнениям со стохастической волатильностью (БУ-модель волатильности); г) факторным моделям доходностей.

5. На базе многомерных моделей построены оптимальные стратегии управления со скользящим горизонтом инвестирования (с прогнозирующей моделью), с учетом транзакционных издержек и различия процентных ставок вклада и займа безрискового актива, при ограничениях на объемы торговых операций (покупки и продажи финансовых активов) и на вложения и займы финансовых активов.

6. Рассмотрена агрегированная модель ИП с неопределенностью в задании параметров уравнений, описывающих доходности рисковых финансовых активов. Доходности активов описываются моделью, в которой содержатся как регулярные возмущения, соответствующие колебаниям доходностей акций в результате регулярных событий финансового рынка, так и импульсные возмущения, описывающие воздействие редких экстремальных событий (диффузионно-скачкообразный финансовый рынок). На базе этой модели ИП получены робастные стратегии управления с прогнозирующей моделью (со скользящим горизонтом инвестирования) с учетом ограничений на вложения и займы, и различия ставок кредитования и доходности безрискового актива;

7. Рассмотрена многомерная модель управления ИП на диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с неопределенностью в задании параметров. На ее базе получены робастные стратегии управления ИП с прогнозирующей моделью с учетом транзакционных издержек, ограничений на объемы торговых операций ( покупки и продажи финансовых активов), ограничений на вложения и займы (в том числе «продажи без покрытия) финансовых активов, а также различия процентных ставок вклада и займа безрискового актива.

8. Проведено численное моделирование и тестирование моделей с использованием реальных данных различных финансовых рынков, которое подтвердило работоспособность и эффективность предложенных моделей управления ИП.

9. По результатам численного моделирования можно сделать вывод о том, что стратегии управления являются робастными (не чувствительными) и по отношению к выбору рисковых активов, включаемых в портфель.