автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Модели, стратегии и системы управления портфелем производных финансовых инструментов

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Специальность 05.13.10 - «Управление в социальных

н экономических системах»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

На правах рукописи УДК 65.011.56:336.767.4

Голембиовский Дмитрий Юрьевич

Москва, 2006

Работа выполнена в Московском государственном университете . ■м. МЛЛомояосова

Научный консультант

Официальные оппоненты:

- доктор фнзико-

....шгаазш?^««

наук, профессор

Завриев

- доктор технических наук, профессор A.C. Мандель

- доктор технических наук, профессор ФЛ. Ермйко

- д октор физнко-

^ математических

тук, профессор АЛ^Кртев1

Ведущая организация:

- Институт системного анализа (ПСА) РАН

Защита состоится «//» >иссА 2006 г. в на .шседаяш

диссергтацнониого сшита ДО02.226.О2 вИнстнтуте проблем управлен«* им. Трапезникова РАН: 117997, Москва, ул. Профсоюзная, 65.

Ç диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления им. В.А.Транезиикова РАН.

Автореферат разослан «£»

200« г.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат технических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Одним из решающих условий обеспечения устойчивого развития экономики, повышения уровня жизни населения страны является создание эффективных механизмов противодействия различного вида рискам, снижения размеров связанного с ними возможного ущерба. Реализация рисков обусловлена действием значительного числа трудно предсказуемых случайных факторов — техногенных, природных, политических, экономических. Наличие рисков характерно для всех классов социально-экономических систем. Смягчение отрицательных последствий рисков, или, как говорят, управление рисками, является задачей риск-менеджмента — технологии, которая зародилась в финансовой сфере в начале 90-х годов прошлого века. Финансовые рынки содержат специальные инструменты для управления рисками. Это так называемые производные финансовые инструменты — срочные контракты, которые заключаются на покупку или продажу в будущем основных инструментов финансовых рынков — акций или облигаций. Также распространены срочные контракты, предметом (базовым активом) которых служат валюты различных государств, процентные ставки, товары, а также некоторые расчетные или измеряемые случайные величины (например, известны срочные контракты на температуру воздуха).

Рынки производных финансовых инструментов представляют собой важный класс социально-экономических систем, от состояния которых во многом зависит устойчивое развитие экономики. Основными участниками таких рынков являются банки, хеджевые фонды, финансовые компании, промышленные и сельскохозяйственные предприятия, физические лица. По своим целям участники рынков производных финансовых инструментов подразделяются на хеджеров и спекулянтов. Хеджирование — это процедура ограничения убытков посредством занятия противоположных позиций по финансовым инструментам. Аналогом хеджирования является широко известный механизм страхования. Использование производных финансовых инструментов позволяет снизить риски хеджеров — производственных предприятий и финансовых организаций.

Целью спекулянтов является извлечение прибыли. Рынок производных финансовых инструментов предоставляет спекулянтам значительные возможности, т.к. операции с производными инструментами требуют меньших издержек, нежели непосредственная торговля соответствующим количеством базового актива. Число спекулянтов на ликвидном рынке часто значительно превышает число хеджеров. Подобное соотношение обеспечивает ликвидность рынка для хеджеров,

которые в любое время могут заключить необходимые им контракты. При использовании производных финансовых инструментов происходит передача рисков от хеджеров к спекулянтам, готовым рисковать ради получения прибыли.

Основными типами биржевых производных финансовых инструментов являются фьючерсные и опционные контракты. Начиная с основополагающих работ Ф. Блэка (F. Black), нынешних нобелевских лауреатов М. Шоулса, (М. Scholes) и Р.С. Мэртона, (R.C. Merton), усилия многих исследователей были сосредоточены на задаче определения справедливой цены отдельного опциона как стоимости хеджирования его при помощи базового и безрискового активов. В качестве безрискового актива чаще всего рассматривается банковский счет или облигация соответствующего срока. К данному направлению относятся публикации зарубежных и отечественных ученых М. Avellaneda, С.А. Ball, М. Brennan, T.F. Coleman, J.C. Сох, N. Cakici, F. Delbaen, E. Derman, J.C. Duan,

B. Dupire, H. Folmer, S.L. Heston, N. Hoffmami, J. Hull, J.C. Jackwerth, El Karoui, I. Kani, H.E. Leland, R.C. Merton, P. Ritchken, R.A. Ross, M. Rubinstein, E.S. Schwartz, L.O. Scott, E.M. Stein, C.J. Stein, A. White, J.B. Wiggins, P. Wilmott, Г.А. Агасандяна, C.H. Волкова, Ю.М. Кабанова, Д.О. Крамкова, А.В. Крянева, А.В. Мельникова, А.В. Нагаева,

C.А. Нагаева, М.Л. Нечаева, М.М. Сафаряна, А.Н. Ширяева. В работах перечисленных авторов получены формулы и алгоритмы расчета цены американских и европейских опционов в условиях полных и неполных рынков, переменной и стохастической волатильности (дисперсии логарифма цены базового актива), при наличии и отсутствии транзакционных издержек, с применением совершенных и несовершенных методов хеджирования.

В то же время, практически неизвестны результаты, позволяющие предсказать будущие реальные биржевые цены опционов в зависимости цены базового актива. Модели, основанные на историческом или риск-нейтральном распределении, отвечают на вопрос о том, сколько должны стоить опционы при выполнении используемых теоретических предположений. Модели подразумеваемой волатильности в основном предназначены для определения адекватной рынку цены опционов, которые не котируются на рынке в текущий момент времени. Они также не отвечают на вопрос о будущей рыночной цене опциона, поскольку подразумеваемая волатильность сама изменяется с течением времени.

Основные положения теории оптимального портфеля ценных бумаг были разработаны ныне нобелевским лауреатом Г. Марковичем (Н. Markovitz) на основе метода квадратичного программирования. Выводы теории касаются в первую очередь портфелей, состоящих из акций и облигаций — основных финансовых инструментов. Однако модель

Г. Марковича не применима для опционов ввиду наличия нелинейной зависимости между их ценой и ценой соответствующего базового актива. Проблема оптимального управления портфелем производных финансовых инструментов исследовалась зарубежными учеными Avellaneda А., Carino D.R., Dempster М.А.Н., Gondzio J.,Kouwenberg R., Liu J., Pan J., Paras A., Thompson G.W.P., Turner A.L., Vorst Т. В работах данных авторов построены теоретические модели и исследованы примеры управления портфелем, содержащим производные финансовые инструменты. В то же время, в литературе отсутствует описание стратегий и моделей управления портфелем, направленных на выявление арбитражных возможностей рынков и пригодных для использования в реальных условиях бирж. Не рассматриваются вопросы формирования портфелей с учетом залоговых ограничений, принятых на биржевых рынках производных финансовых инструментов.

Актуальной проблеме оценки эффективности управления портфелем посвящены исследования Bailey J.V., Brinson G., Carhart M.M., Coggin T.D., Cowhey T.J., Daniel K„ Diermeier J.J., Fabozzi F J., Haight G., Hallaban T.A., Jensen M.C., Morrell S., RahmanS., RennieE.P., Richards T.M., RollR., Schlarbaum G.G., SharpeW.F., TierneyD.E., TreinorJ.L. Однако вопросы оценки эффективности управления при осуществлении дополнительных вложений и изъятий денежных средств в рассматриваемом периоде управления изучены недостаточно. Известные методы обладают рядом недостатков и могут давать оценки, неадекватные фактическим результатам управления портфелем.

Цель работы и задачи исследования: разработка и исследование стратегий управления, математических моделей оптимизации портфеля производных финансовых инструментов, оценки эффективности управления и создание на их основе программных систем управления портфелями, обеспечивающих оптимальное для инвестора сочетание доходности и риска.

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие основные задачи.

1. Исследование адекватности классической модели ценообразования Блэка-Шоулса реальной стоимости хеджирования опционов базовым активом и безрисковым активом на финансовых рынках.

2. Разработка моделей прогнозирования биржевых цен опционов на основе формул Блэка-Шоулса с применением линейного и нелинейного статистического регрессионного анализа.

3. Исследование эффективности интервального экспертного прогнозирования экономических переменных.

4. Построение и анализ GARCH - моделей цен базовых активов производных финансовых инструментов.

5. Разработка сценарной модели изменения цены базового актива производных финансовых инструментов на основе GARCH — моделей и методов теории ценообразования опционов.

6. Разработка динамической модели управления портфелем биржевых фьючерсов и опционов на основе многоэтапного стохастического программирования.

7. Формализация методов расчета залога за портфель биржевых производных финансовых инструментов, принятых в системах EUREX и SPAN.

8. Разработка модели управления портфелем производных финансовых инструментов в условиях залоговых ограничений. Исследование свойств решений задачи управления портфелем. Разработка и экспериментальное исследование эффективности методов ее решения.

9. Разработка и внедрение программных систем управления портфелем производных финансовых инструментов. Экспериментальные исследования модели управления портфелем на основе реальных цен биржевых фьючерсов и опционов в режиме реального времени.

10. Разработка и исследование моделей оценки эффективности управления портфелями, учитывающих динамику рынка. Разработка и внедрение программных систем оценки эффективности управления портфелями.

Методы исследования. Решение поставленных задач потребовало привлечения методов математического анализа, математической статистики, регрессионного анализа, теории случайных процессов, линейного и квадратичного программирования, метода ветвей и границ, многоэтапного стохастического программирования, численного моделирования и теории ценообразования опционов.

Научная новизна работы. При решении поставленных задач получены следующие теоретические результаты.

1. Подтверждено, что существование «улыбки волатапьности» — нелинейной зависимости подразумеваемой волатильности от цены исполнения опционов - связано с отклонением процесса изменения цены базового актива от винеровского процесса.

2. Показано, что для определения интервала возможных значений цены базового актива опционов могут использоваться прогнозы экспертов соответствующего рынка. В то же время, точность экспертного прогноза направления изменения цены является недостаточной для формирования арбитражных стратегий.

3. Предложен способ построения дерева сценариев цены базового актива опционов, волатильность которой описывается моделями типа GARCH. Дерево сценариев обладает свойством безарбитражности.

4. Определены объясняющие переменные и разработана модель линейной регрессии для прогнозирования кривой волатильности биржевых опционов, которая описывается экспоненциальной функцией от полинома второго порядка.

5. На основе формулы Блэка-Шоулса и модели прогноза кривой волатильности получена нелинейная регрессионная модель для прогнозирования расчетных цен биржевых опционов.

6. Разработана динамическая модель управления портфелем производных финансовых инструментов на основе многоэтапного стохастического программирования с учетом транзакционных издержек.

7. Модель управления портфелем производных финансовых инструментов обобщена для случая залоговых ограничений, которые существуют при биржевой торговле. Установлены свойства решений соответствующей задачи оптимизации, которые обеспечивают удовлетворение ряда естественных требований к процедуре управления портфелем.

8. Показано, что задача оптимизации портфеля в условиях залоговых ограничений London SPAN сводится к последовательности задач с линейными ограничениями. Предложена схема решения оптимизационной задачи на основе метода ветвей и границ, которая обеспечивает существенное сокращение времени решения.

9. Формализована система требований, которым должна отвечать модель оценки эффективности управления портфелем в условиях дополнительных вложений и изъятия средств из портфеля в рассматриваемом периоде управления.

10. Предложена модель «собственного эталона» для оценки эффективности управления портфелем, предусматривающая построение для каждого рассматриваемого портфеля соответствующего эталонного портфеля. Доказано, что предложенная модель отвечает сформулированным требованиям.

Основные положения, защищаемые автором.

1. Модель прогнозирования расчетных биржевых цен опционов в зависимости от расчетной цены базового актива, разработанная на основе формул Блэка-Шоулса и методов линейного и нелинейного регрессионного анализа.

2. Модель дерева сценариев изменения цены базового актива, волатильность которой подчиняется GARCH-моделям.

3. Стратегия управления портфелем производных финансовых инструментов, предусматривающая заключение сделок в режиме

реального времени по действующим биржевым котировкам. В последующие моменты времени планируются только операции с фьючерсными контрактами в целях хеджирования образованных опционных позиций.

4. Модель управления портфелем производных финансовых инструментов на основе многоэтапного стохастического программирования.

5. Обобщенные модели управления портфелем производных финансовых инструментов с учетом залоговых ограничений. Исследование и доказательство свойств моделей, обеспечивающих адекватность рекомендаций ряду естественных требований к управлению портфелем.

6. Метод решения задачи управления портфелем в условиях залоговых ограничений London SPAN, предусматривающий сведение ее к последовательности подзадач с линейными ограничениями и обеспечивающий сокращение числа решаемых подзадач на основе схемы ветвей и границ.

7. Система аксиом, формализующая требования к модели оценки эффективности управления портфелем в условиях осуществления дополнительных вложений и изъятия средств из портфеля в рассматриваемом периоде управления.

8. Модель «собственного эталона» оценки эффективности управления портфелем и результаты анализа ее свойств.

Практическая ценность работы.

1. Разработанная модель прогнозирования расчетных цен опционов предоставляет возможность выявления недооцененных и переоцененных опционов в процессе биржевых торгов в режиме реального времени и является основой для построения систем управления портфелями производных финансовых инструментов.

2. Предложенное дерево сценариев позволяет анализировать возможную динамику цены базового актива с учетом переменного характера волатильности. Данная сценарная модель может использоваться для планирования перестройки портфелей производных и других типов финансовых инструментов.

3. Модель управления портфелем производных финансовых инструментов позволяет планировать оптимальную перестройку портфеля с учетом возможной будущей динамики базового актива, изменения цен опционов, транзакционных издержек, возможностей заключения сделок с фьючерсными контрактами в будущем.

4. Предложенная стратегия управления и модель оптимизации обеспечивают формирование портфелей, устойчивых к колебаниям рынка, стоимость которых существенно не снижается при любом направлении изменения цены и волатильности базового актива.

5. Разработанные модели управления портфелем в условиях залоговых ограничений и методы решения соответствующих задач оптимизации позволяют формировать портфели производных инструментов на биржах, использующих систему SPAN для определения величины залога за портфель производных инструментов, а также на бирже EUREX.

6. Предложенная формальная система требований является основой для разработки новых моделей оценки эффективности управления портфелем при осуществлении дополнительных вложений и изъятии денежных средств в рассматриваемом периоде управления.

7. Предложенная модель «собственного эталона» обеспечивает адекватную финансовым результатам оценку эффективности управления портфелями, в том числе содержащими производные финансовые инструменты.

Реализация результатов работы.

1. Результаты исследования причин и характера зависимости подразумеваемой волатильности опционов на акции российских предприятий от цены исполнения опционов использованы в НП «Исследовательская группа РЭА-Риск-Менеджмент» (г.Москва) при разработке программного продукта по оценке и управлению рыночными рисками «Риск-Терминал». Данные результаты увеличивают точность расчета цен опционов и показателей риска опционных позиций.

2. Предложенные модели прогнозирования биржевых цен опционов и модель управления портфелем производных финансовых инструментов на основе многоэтапного стохастического программирования использованы в ЗАО «РИСК-ИНВЕСТ» (г. Москва) при построении комплексной среды разработки, тестирования и реализации торговых систем, использующих для генерации торговых сигналов информацию, получаемую из анализа цен базовых активов и производных финансовых инструментов.

3. Модели прогнозирования биржевых цен опционов, стратегии и модели управления портфелем производных финансовых инструментов на основе многоэтапного стохастического программирования в условиях залоговых ограничений реализованы в системе ARBITR, разработанной для банка «ЗЕНИТ» (г. Москва). Система осуществляет управление портфелем фьючерсов и опционов на индекс акций S&P 500.

4. Разработанный метод оценки эффективности управления портфелем в случае довложения и изъятия средств в рассматриваемом периоде управления использован в КБ «ГУТА-БАНК» (г. Москва) при разработке программной системы TREASURE.

Реализация результатов работы подтверждается соответствующими актами о внедрении.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на следующих научных конференциях и семинарах.

1. 4-я всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (Уфа, 29 августа - 3 сентября 1997 года).

2. 22"' European Meeting of Statisticians (Vilnius, August 12-18,

1998).

3. 2-я Московская международная конференция по исследованию операций (Москва, 17-20 ноября 1998 года).

4. 3-я Московская международная конференция по исследованию операций (Москва, 4-6 апреля 2001 года).

5. Профессиональная конференция «Корпоративное финансирование в реальном секторе и финансовый инжиниринг» (Москва, 31 октября -1 ноября 2000 года).

6. Научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ,

2000).

7. Third International Scientific School "Modeling and Analysis of Safety and Risk in Complex Systems (Saint-Peterburg, August 20-23,2003).

8. Fourth International Scientific School "Modeling and Analysis of Safety and Risk in Complex Systems" (Saint-Peterburg, June 22-25,2004).

9. Fifth International Scientific School "Modeling and Analysis of Safety and Risk in Complex Systems" (Saint-Peterburg, June 28-July 1,2005).

10. Общемосковский постоянно действующий семинар «Экспертные оценки и анализ данных» (Москва, ИПУ, 2004).

11. Конференция «Международный опыт риск-менеджмента и особенности развивающихся рынков (Москва, 15-16 июня 2004 года).

12. International Symposium on Stochastic Models in Reliability, Safety and Logistics (Israel, Beer Sheva, February 15-17,2005).

13. Конференция "Risk Management and Quantitative Approaches in Finance" (Gainesville, Florida, USA, April 6-8,2005).

14. IV Восточно-Европейский риск-менеджмент форум (Киев, 3-4 ноября 2005 года).

Основные результаты диссертации отражены в 32 печатных работах.

Структура и объем диссертаиии.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 348 наименований, списка обозначений и приложения, содержащего акты о внедрении результатов диссертации. Основная часть диссертации содержит 362 страницы текста, 80 рисунков, 52 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационных исследований, сформулированы цель и задачи исследования, указаны научная новизна и практическая ценность диссертации, представлены основные положения, выносимые на защиту, а также информация о внедрении и апробации результатов работы.

В первой главе рассматриваются основные видов производных финансовых инструментов - форвардные, фьючерсные и опционные контракты, проводится анализ известных в настоящее время дискретных и непрерывных моделей ценообразования опционов.

Базовой моделью расчета справедливой стоимости опционов является модель Блэка-Шоулса. Данная модель использует диффузионное стохастическое уравнение для описания динамики цены базового актива. Основными допущениями модели являются логарифмически нормальное распределение цены актива, безграничная делимость актива, непрерывность процесса торговли, постоянство волатильности и отсутствие транзакционных издержек.

Реальные рыночные цены опционов отличаются от теоретических, полученных с использованием формулы Блэка-Шоулса. В большинстве случаев формула Блэка-Шоулса недооценивает опционы «в деньгах» и «вне денег» и переоценивает опционы «у денег». Значения подразумеваемой волатильности опционов различных страйков неодинаковы и образуют «улыбку» или «ухмылку» волатильности.

Одной из основных причин неадекватности модели Блэка-Шоулса реальному процессу ценообразования опционов является допущение о постоянстве волатильности цены базового актива. В диссертации разработана модель оценки «улыбки» волатильности по историческим данным базового актива. Проведены эксперименты, подтверждающие указанный вывод.

Теоретические модели цены базового актива, объясняющие эффект «улыбки» волатильности, подразделяются на модели с переменной детерминированной волатильностью или волатильностью, которая определяется движением цены базового актива, и модели со стохастической волатильностью. Модели первого типа сохраняют полноту рынка, в результате чего справедливая цена опциона определяется единственным образом. Модели со стохастической волатильностью оперируют с неполным рынком, в результате чего образуется спрэд значений цены, которые исключают наличие арбитражных возможностей.

. Дискретные модели обеспечивают эффективные механизмы расчета цен опционов при различных допущениях о поведении цены базового актива. Исторически первой моделью такого рода явилась биномиальная

модель Кокса-Росса-Рубинштейна. При увеличении размерности дерева результаты расчетов по модели Кокса-Росса-Рубинштейна приближаются к соответствующим результатам формулы Блэка-Шоулса.

Разработаны дискретные модели на основе деревьев и цепей Маркова, которые генерируют заданное риск-нейтральное распределение вероятностей цены базового актива. Такое распределение выбирается максимально близким к историческому распределению цены или к подразумеваемому распределению, которое получается на основе рыночных цен опционов. Данные дискретные модели реализуют эффект «улыбки» волатильности при расчете цен опционов.

Расчет опционов в случае описания процесса изменения волатильности цены базового актива при помощи GARCH-моделей (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity), которые также воспроизводят «улыбку» волатильности опционов, может быть осуществлен на основе сеточных моделей. Такие модели обеспечивают значительное сокращение затрат машинного времени по сравнению с экспериментами по методу Монте-Карло и гарантируют приемлемую точность вычислений.

Во второй главе рассматриваются стратегии арбитража на рынке опционов и управление риском портфеля производных инструментов. Разрабатывается регрессионная модель прогноза биржевых цен опционов в зависимости от цены базового актива. Обосновывается использование экспертных оценок для прогноза интервала возможных значений цены базового актива. Рассматривается парадигма многоэтапного стохастического программирования. Предлагается модель сценариев цены и волатильности базового актива на основе GARCH-моделей. Разрабатывается общая динамическая модель управления портфелем фьючерсов и опционов на основе многоэтапного стохастического программирования.

Портфель производных финансовых инструментов подвержен двум основным видам риска: риску изменения цены базового актива и риску изменения волатильности. Влияние первого из названных факторов риска может быть ограничено путем открытия соответствующей позиции по базовому активу или фьючерсу на базовый актив опционов. Чувствительность к фактору волатильности может быть минимизирована путем надлежащего сочетания в портфеле коротких и длинных позиций по опционам.

Кривая волатильности опционов одного срока часто представляется при помощи квадратичной модели:

сг = а0 + a,iJ + а2П2 + е, (2.1)

где ii - «денежность» опциона - отношение цены исполнения к цене спот базового актива. При прогнозировании кривой волатильности, заданной соотношением (2.1), возможно получение отрицательных значений подразумеваемой волатильности. В этой связи более целесообразным является использование предлагаемой в главе 2 аппроксимации вида

<т = ехр(а0 + а,П + агП2). (2.2)

Возможности модели (2.2) исследуются на основе статистики цен закрытия европейских и американских опционов на индекс английских акций FTSE 1001, европейских опционов на немецкий индекс акций DAX2, американских опционов на индекс S&P 5 003 и американских опционов на акции РАО «ЕЭС России». Для европейских опционов на индекс FTSE 100 минимальная точность аппроксимации, выраженная коэффициентом R2, за период 02.01.2002 -28.01.2002 составила 0,9999479. Аналогичная точность

3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0

• Цены закрытия опционов колл

• Цены закрытия опционов пут -Аппроксимация колл

__Аппроксимация пут_

Рис.2.1. Цены европейских опционов на индекс FTSE 100 17.01.2002.

1 См. www.liffe.com

2 www.eurexchange.com

3 www.cme.com.

достигается и для других опционов. На рис.2.1 в качестве примера представлены кривые цен закрытия торгов по европейским опционам на индекс ИТБЕ 100 и аппроксимация этих цен выбранной аналитической моделью. Кривые, ордината которых убывает с увеличением значений абсциссы, соответствуют опционам колл; две другие кривые отображают цены закрытия опционов пут и их аппроксимацию.

Таким образом, цены опционов на индексы акций могут быть с высокой точностью представлены с использованием экспоненциальной модели кривой волатильности (2.2). Для прогнозирования кривой волатильности не требуется прогнозирования всех трех параметров модели, поскольку при аппроксимации цен опционов с использованием формул Блэка-Шоулса данные параметры имеют высокую степень взаимной корреляции. Построены линейные регрессионные модели, выражающие коэффициенты а0 и а2 через коэффициент а,. В связи с этим для прогнозирования кривой волатильности достаточно прогнозировать один из параметров о0, а,, аг или некоторую величину, связанную с данными параметрами. В результате исследований установлено, что наиболее точно удается прогнозировать логарифм подразумеваемой волатильности опционов «у денег». Получены соответствующие соотношения для оценок параметров модели:

. In о"™ ■ а. =----

(2.4)

ApTAjtl

где ал™ - подразумеваемая волатильность опционов «у денег».

Общий вид уравнения регрессии для прогнозирования логарифма подразумеваемой волатильности опционов «у денег»:

lnc+ +d<ur + d,(urf +кт, (2.6)

1=0

где of™ — значение подразумеваемой волатильности опционов «у денег» в момент времени г, Дг — длительность периода прогноза, ut -логарифмическое приращение цены актива за период времени от г-Дг до г, лт — случайная ошибка.

В диссертации проведен регрессионный анализ модели (2.6) для европейских и американских опционов на индекс FTSE 100, европейских опционов на индекс DAX, американских опционов на индекс S&P 500 и европейских опционов на акции РАО «ЕЭС России». Подтверждена

статистическая значимость регрессий. Для различных рынков значимыми оказались различные коэффициенты соотношения (2.6).

Модель прогнозирования цены закрытия опциона с денежностью П получается путем подстановки в соответствующую формулу Блэка-Шоулса соотношения (2.2), в которое, в свою очередь, подставляются соотношения (2.3)-(2.5). Прогноз величины 1пал™, входящей в данные соотношения, получается на основе регрессионного уравнения вида (2.6). Конкретный вид уравнения (2.6) при этом зависит от рассматриваемого рынка опционов. При идентификации рассматриваемой модели нелинейной регрессии осуществляется подбор методом наименьших квадратов коэффициентов Ь0, к0, Ь2, к2 и коэффициентов из числа </, -значимость которых была подтверждена при регрессионном анализе уравнения (2.6). Для всех рассмотренных рынков коэффициент

О ■■"■ О о ■ о о о о о о о о ... о « " m »3- irt \о • г— со ■■ os ' о . ^ .. с>4 \о ЧЭ - ^O VO чэ >о vo VO VO 1 "Г- р.

• Цены закрытия опционов колл ■ Цены закрытия опционов пут :: ■;

-Прогноз (идентификация модели без данных 07.01.2000) :

; :; -— Прогноз: (идентификация модели без данных 07.01.2000

Рис.2.2. Цены европейских опционов на индекс DAX 07.01.2000 и результаты прогноза на один торговый день.

детерминации прогноза цен закрытия опционов составил не менее 0,996. Пример результатов однодневного прогноза цен опционов на индекс DAX дается на рис.2.2.

Разработанная модель прогнозирования цен закрытия опционов позволяет выявлять возможности арбитража в течение торговой сессии. Неверно оцененным с точки зрения данной модели является опцион, включение которого в портфель позволяет увеличить прибыль портфеля к моменту закрытия торгов в последующие дни горизонта планирования. При этом необходимо рассматривать различные сценарии изменения двух основных факторов риска: цены базового актива и волатильности его цены.

Для периодов планирования длительностью в несколько торговых дней построение адекватных реальным процессам сценариев изменения волатильности при заданном изменении цены базового актива может быть осуществлено на основе GARCH-моделей. В этом случае, однако, дерево сценариев цены актива и волатильности не является рекомбинирующим.

Рассмотрим построение дерева сценариев на основе простейшей модели GARCH(U):

<Jf = со + ßo%-\ + a(7T-l£T •

Здесь а\ — дисперсия логарифмического приращения цены базового актива в момент времени г, е\ — квадрат случайной ошибки, а, ß и а — параметры модели. Идентификация GARCH-модели для индекса DAX по статистике периода 04.01.1999 - 29.02.2000 дает следующие значения параметров:

О) = 7.7657Е - 006; а = 0,033399; ß = 0,92851. (2.7)

Построение дерева сценариев иллюстрируется рис.2.3. Начальный этап дерева считается нулевым. Он соответствует закрытию торговой сессии 29.02.2000, для которого значение индекса DAX составляет 7645. Первый и второй этапы интерпретируются как моменты закрытия торгов в следующие два торговых дня.

Значения условных вероятностей перехода надписаны на дугах графа. Каждой из вершин дерева соответствуют два числа. «Верхнее» число определяет соответствующее значение цены базового актива. «Нижнее» число означает волатильность актива, которая будет использоваться при формировании вершин-преемников следующего этапа дерева сценариев. Для того, чтобы получить 5 вершин первого этапа дерева, формируется вспомогательное биномиальное дерево, содержащее 5 этапов, которое не показано на рисунке. Волатильность базового актива для всех этапов вспомогательного дерева составляет 0,244. Длительность интервала времени между соседними этапами вспомогательного дерева

равна 1/4 одного торгового дня. Для формирования последнего — второго этапа дерева рис.2.3 для каждой вершины этапа 1 формируются соответствующие биномиальные деревья, которые включают по два этапа.

Предлагаемая модель управления портфелем производных финансовых инструментов предусматривает заключение сделок с опционами лишь в текущий момент времени. Это связано с невозможностью прогноза ликвидности рынка опционов. Заключение сделок с фьючерсными контрактами планируется как для текущего, так и для будущих моментов времени, поскольку биржевые фьючерсы высоко ликвидны. При построении модели управления портфелем на основе многоэтапного стохастического программирования корневой вершине дерева сценариев в модели соответствуют переменные, определяющие покупку и продажу фьючерсов и опционов рассматриваемых сроков и страйков. Вершинам последующих этапов (за исключением терминального

этапа) ставятся в соответствие лишь переменные, определяющие покупку и продажу фьючерсов.

Обозначим через Ьт>к и ат>н соответственно текущие рыночные котировки «бид» и «аск» соответствующего опциона. Индекс г определяет тип инструмента: /' е / = {с,р}, (первый элемент множества I соответствует

опциону колл, второй — опциону пут). Индекс т е М° служит для указания срока истечения опциона; индекс А задает цену исполнения опциона: А еНт, где Нт — множество страйков торгуемых опционов со сроком истечения т.

Обозначим хтЛ переменную, определяющую число опционов определенной серии, которые рекомендуется купить с целью открытия длинной позиции. Через хт1к обозначим число опционов той же серии,

которые рекомендуется купить для закрытия имеющейся короткой позиции. Введение различных переменных для открытия и закрытия позиций по производным инструментам позволяет учесть различие в размере комиссии, которую может удерживать брокер при открытии и закрытии позиций. Пусть также ХяЛ - максимальное число опционов

рассматриваемой серии, которые могут быть рекомендованы к покупке. Последний параметр определяется объемом активных биржевых заявок, если торги осуществляются на электронной бирже. При голосовой торговле величина ограничения на максимальный объем сделки задается трейдером на основании знаний о ликвидности используемого рынка.

Аналогичные переменные вводятся для рекомендаций по продаже опционов: у""11 — число опционов определенной серии, рекомендуемых для

продажи с целью открытия короткой позиции, у™"' — число опционов определенной серии, рекомендуемых для продажи с целью закрытия длинной позиции. Г""" - максимальное число опционов соответствующей

серии, которые могут быть рекомендованы к продаже.

В момент решения оптимизационной задачи текущее состояние позиций по опционам определяется параметрами х"* и г™'4. Если по рассматриваемой серии опционов открыта длинная позиция, то параметр г"л > 0 равен объему позиции, а параметр принимает нулевое значение. В случае короткой позиции ее объем задается параметром > 0; при этом г,""* = 0.

Заключение фьючерсных контрактов допускается в любой из рассматриваемых моментов времени за исключением терминального. Определим аналогичные величины для фьючерсных контрактов:

/„ - число фьючерсных контрактов, рекомендуемых для покупки с

целью открытия длинной позиции в момент времени г при реализации сценария V. Сценарий представляется как путь в дереве сценариев от начальной вершины до одной из терминальных вершин. Рассматриваются фьючерсы только одного срока исполнения. Заключение фьючерсных контрактов осуществляется в моменты времени г = 0,...,Т-1. Момент времени Т считается терминальным; перестройка портфеля в этот момент времени в модели не рассматривается. Индекс V принимает значения V = 1,... N, где N — число сценариев;

/гу — число фьючерсных контрактов, рекомендуемых для покупки с

целью закрытия короткой позиции;

Е,у - максимальное число фьючерсов, которые могут быть куплены

на бирже в момент времени г при реализации сценария у;

- число фьючерсов, рекомендуемых для продажи с целью

открытия короткой позиции;

§ту — число фьючерсов, рекомендуемых для продажи с целью

закрытия имеющейся длинной позиции;

— максимальное число фьючерсов, которое может быть продано на бирже в момент времени г при реализации сценария V;

д,гу — число длинных фьючерсов, находящихся в портфеле к моменту времени г при реализации сценария у (равно нулю, если фьючерсов нет в портфеле или соответствующая позиция короткая);

д1ТУ - число коротких фьючерсов, находящихся в портфеле к моменту времени г при реализации сценария V (равно нулю, если фьючерсов нет в портфеле или соответствующая позиция является длинной). При г = 0 величины д11У = дЮу и д„„ = дзВу являются константами,

при г > 0 - переменными.

Комиссионные издержки при заключении контрактов определяются следующими постоянными:

с" — комиссия, которая взимается при открытии позиции по опционному контракту;

с" — комиссия, которая взимается при закрытии позиции по опционному контракту;

с* — комиссия, которая взимается при открытии позиции по фьючерсному контракту;

cf — комиссия, которая взимается при закрытии позиции по фьючерсному контракту. В дальнейшем будем предполагать, что

c°>c°,ef>ef. (2.8)

На практике чаще всего вся комиссия взимается в момент открытия позиции, т.е. с" = 0 и е} = 0.

Цену базового актива, соответствующую различным узлам дерева сценариев, будем обозначать Srv (r = 0,...,T,v = l,...N). При г = 0 имеется в виду текущее значение цены. Каждому из узлов дерева сценариев также ставится в соответствие набор значений подразумеваемой волатильности <t"va для различных серий опционных контрактов. Соответствующий прогноз рыночной цены опционов, рассчитываемый на основании моделей, разработанных в главе 2, будем обозначать w™h = Srl,).

Также введем обозначение AIV для остатка счета на момент времени

г в случае реализации сценария v до осуществления перестройки портфеля. В тот момент времени, когда осуществляется оптимизация портфеля, остаток счета составляет 4>v- Данная величина соответствует

реальному остатку счета инвестора на бирже. В дальнейшем на периоде планирования портфеля остаток A,v учитывает расчеты по премиям

опционов, а также комиссию, уплачиваемую при заключении фьючерсных и опционных контрактов. Не учитываются поступления средств на счет и списания средств со счета, связанные с расчетами по вариационной марже фьючерсных контрактов. Реализованная и нереализованная прибыль по фьючерсам в момент времени г до перестройки портфеля определяется переменной Vrv.

Данная модель расчетов принята в связи со сложностью разделения реализованной и нереализованной прибыли (вариационной маржи) по фьючерсным контрактам. Например, рассмотрим ситуацию, когда закрывается часть позиции по фьючерсу, которая была образована несколькими сделками, осуществленными по различным ценам. Различными брокерами для расчета реализованной прибыли может применяться принцип FIFO или принцип LIFO, что приводит к различным значениям реализованной прибыли и вариационной маржи.

Для описания модели управления портфелем, использующей арбитражные возможности рынка, потребуются еще следующие обозначения:

Uж — подмножество сценариев под номером кт, которые совпадают в момент времени г, лг =1,...,ПГ,

Пг - число подмножеств множества сценариев, элементы которых совпадают в момент времени т.

LTV — ликвидационная стоимость опционов в момент времени т в

случае реализации сценария v до осуществления перестройки портфеля.

Под ликвидационной стоимостью понимается количество денежных средств, которое потребуется для немедленного закрытия всех позиций по опционам. Ликвидационная стоимость короткой позиции положительна; ликвидационная стоимость длинной позиции по опциону является отрицательной величиной. Обычно биржа определяет ликвидационную стоимость опциона как цену последней сделки или как последнюю котировку, выставленную по данному опциону. Возможен также теоретический расчет на основании известных моделей ценообразования опционов в режиме реального времени. В рассматриваемой модели управления портфелем производных инструментов оценка ликвидационной стоимости опциона определяется как соответствующая величина , взятая с соответствующим знаком.

Переменные, определяющие покупку и продажу производных инструментов, не могут принимать отрицательные значения. Кроме того, количество контрактов, предназначаемых к покупке или продаже, не должно превышать границ, которые определяются ликвидностью рынка:

0Zxmth, 0<xmlh , xmU,+xmm^Xmlh, Vie/, msM°, heHm. (2.9)

0£ym,h , ymih , y^+y^äX"*, VieI,meKf,h<iHm. (2.10)

0</,,, 0<;/„, fn+fn<F„, 0<gtv, 0<âv, 0<g„+glv<Gtv,

r=a..,T-l, v=l,...,N. (2.11)

Значения переменных, определяющих закрытие имеющихся позиций, не могут превышать размера этих позиций:

xmih<zfh , Viel, тем0, heHm. (2.12)

y^iLz?* , V i е /, теАГ, Ae//m. (2.13)

, r = 0,...,T-1, v = l,...,N. (2.14)

Если два сценария v, и v2 * v2) совпадают в момент времени г, то значения соответствующих переменных модели не должны различаться:

=L2> Л,, =/rv2> frn = it* n.va^t/^, лТ = 1,...,ПГ. (2.15)

Число фьючерсных контрактов в портфеле к моменту времени г в случае реализации сценария v удовлетворяет следующим рекуррентным соотношениям :

Ч^ = 4Цт-1)у + /(г-1)у + /(,-!), - - ¿(г-!)* >

= ^(г-1), - ~ Лг-О' + + ¿(г-1)»' »

г = 1,...,Т, у = (2.16)

Затраты на перестройку портфеля в момент времени г, соответствующие V -му пути дерева сценариев, определяются как

2„ = Е У ¿ат,А(Г'"'+хт"')- Е У ТьтЛ]у,А+Г )+

пчАРШШГ т^ШьШ"

? ЕЕЕ*"*^ ЕЕЕЕ ЕЕЕ?""'Л+

теЛ^/е/АеД" теЛГ/е/ЛеН™ гтМ> ¡с! Ь^Н™ 1г^МЧе1 ЬаИ" ^ 17)

£//ту+сГ1ту+сГ£т» при г=0;

при г=1,...,Т-1

Перестройка портфеля может быть осуществлена только в случае выполнения условия

4,„-г0„а:0. (2.18)

Ликвидационная стоимость опционов в момент времени т до перестройки портфеля в случае реализации сценария V дается соотношением

Ау =- Е Е Е (2-19)

Оценка прибыли (реализованной и нереализованной) по фьючерсным контрактам на момент времени г определяется рекуррентно:

Ужг-УЬ-^+ФХУ -8{т-1)у%1„-4,„), г = 1,...,7>=1,...,М. (2.20)

Остаток счета без учета реализованной прибыли по фьючерсным контрактам в момент времени х перед перестройкой портфеля составит

4„=А(Т-!)„-.?(,_,)„. г = 1.....Т,1/ = 1,...,Ы. (2.21)

Если остаток счета не меньше разности ликвидационной стоимости и вариационной маржи, то в текущий момент у инвестора достаточно средств для выполнения своих обязательств. Однако контроль достаточности обеспечения производится биржей только один раз в день по завершении торгов. Для того, чтобы учесть возможные дневные колебания стоимости портфеля, к величине ликвидационной стоимости добавляется начальная маржа. Сумма ликвидационной стоимости и начальной маржи, уменьшенная на величину вариационной маржи, определяет необходимый залог за портфель фьючерсов и опционов.

Величина начальной маржи определяется знаком и размерами открытых позиций по фьючерсным и опционным контрактам. Пусть в начальный момент времени после завершения перестройки портфеля начальная маржа составляет

1М = /А/

zmih , ,

t +л ,

(2.22)

(2.23)

4iо* ~?3ov +fs>v*ft>v-Sav-gQv .heHm,ieI,meM° Для перестроенного портфеля должно выполнятся условие A(!v+V0v-Z0v>L0i,- 2 Е Е

ZEE

Здесь я - коэффициент запаса по начальной марже. Биржа требует выполнения данного соотношения для а = 1, однако при оптимизации портфеля целесообразно придавать коэффициенту а большие значения для повышения надежности. Чем выше коэффициент а, тем ниже вероятность возникновения ситуации «маржин колл» на последующих этапах управления портфелем. Обычно достаточно выбрать а £ 2.

Ограничение (2.23) может быть рассмотрено и для последующих этапов планирования портфеля. Однако для практических целей вполне достаточно потребовать его выполнения только в начальный момент времени, т.к. для дельта-нейтрального портфеля величина начальной маржи в основном определяется позициями по опционным контрактам.

Стоимость портфеля в момент времени г = 0,...,Т до перестройки портфеля составляет

D^-A^+V^l^, v = 1,...,N. (2.24)

Обозначим через pv вероятность реализации v-ro сценария, рассчитанную при построении дерева сценариев. Критерий оптимизации модели управления портфелем производных финансовых инструментов имеет вид:

Ел

lyT{D0v-Drv)

X ■ 1 V '

irmih r-mih

x >x is >

is I, meM°, heHm , (2.25)

fxv » fxv Stv * StV * r = 0,...,T-1, v = 1,...,N,

где UT - монотонно неубывающие функции штрафов за понижение стоимости портфеля.

Соотношения (2.9)-(2.25) определяют формальную модель динамической оптимизации портфеля фьючерсов и опционов. В главе 2

доказываются следующие свойства решений соответствующей задачи оптимизации.

Утверждение 2.1. Предположим, что к моменту времени г портфель содержит открытую позицию по некоторой серии производных инструментов. Решение задачи может содержать рекомендацию по открытию противоположной позиции в том, и только том случае, если одновременно сформирована рекомендация по закрытию имеющейся позиции.

Утверждение 2.2. Решение оптимизационной задачи не может содержать рекомендации по одновременной покупке и продаже одной и той же серии производных инструментов.

Утверзвдение 2.3. Для любого т = 1.....Т одна из переменных qSTV,

hTV Равна нулю, а другая неотрицательна.

В третьей главе модель управления портфелем производных финансовых инструментов детализируется для случаев расчета биржевого залога на основе методики SPAN (Standard Portfolio ANalysis of risk) и залога немецко-швейцарской биржи EUREX. Обе методики рассчитывают начальную маржу (страховая составляющая залога) как максимально возможное понижение стоимости портфеля за один торговый день. При этом в методике SPAN рассматриваются сценарии одновременного изменения цены базового актива и подразумеваемой волатильности опционов, а в методике биржи EUREX — только сценарии изменения цены актива. Рассмотрим вначале модель управления портфелем производных инструментов биржи EUREX.

Для каждого базового актива биржа устанавливает интервал возможного изменения цены за один торговый день. Данный интервал симметричен относительно цены закрытия последнего завершенного торгового дня. Величина интервала выбирается по статистике цен закрытия базового актива так, чтобы внутрь интервала попадало 99% изменений цены за один день. Рассматриваются точки страйков всех опционов, попадающие внутрь данного интервала, а также границы интервала. Для каждой точки рассчитывается снижение стоимости каждого производного инструмента рассматриваемого класса в случае, если цена закрытия базового актива следующего торгового дня принимает соответствующее значение.

Левый конец интервала обозначим к*, а правый конец интервала —

к*. Если в портфеле содержится короткий опцион колл, цена исполнения которого больше к*, то для такого опциона величина потерь, соответствующих точке к*, может быть увеличена на некоторую константу, величина которой устанавливается биржей. Аналогично может

быть увеличена потеря стоимости короткого опциона пут, соответствующая точке к*, если страйк этого опциона ниже А*.

Залог за портфель производных финансовых инструментов определяется как сумма ликвидационной стоимости позиций по опционным контрактам и начальной маржи портфеля за минусом вариационной маржи по фьючерсным контрактам. Начальная маржа портфеля есть максимальное понижение его стоимости для всех рассмотренных значений цены базового актива. Т.о., начальная маржа портфеля производных инструментов биржи EUREX рассчитывается как оценка максимально возможного понижения его стоимости за период в один торговый день.

Пусть л£"а - потери по соответствующему купленному опциону, если цена базового актива принимает значение к. Обозначим ¿¡трк добавку

к потерям короткого опциона пут, которая учитывается в том случае, когда h<kt. Соответствующее множество страйков торгуемых опционов будем обозначать Нт. Аналогичные обозначения для коротких опционов колл: £тсН и Нт.

Соответствующие значению цены базового актива к потери держателя длинной позиции по фьючерсу, используемому при управлении портфелем, обозначим через Введем переменную /7, которая

удовлетворяет следующим соотношениям:

I I I I

тШ" '«г/ АеЯ" m<=M° izl heH"

I I 1>Г+>-")+ ♦ Л +/<,„ -£оЛ кек. (ЗЛ)

теМ° iel hsH"

& i i i zu in

т^е^ШГ mäftelhär гШ'^ШТ"

MsWfefl™

пШЧеЦпН" мАГ^ЬЯ"

£¡>0. (3.4)

Здесь используются обозначения, введенные в главе 2. Кроме того, К обозначает множество значений цены базового актива, которые

рассматриваются при вычислении начальной маржи. Правые части ограничений (3.1) дают значения потерь стоимости портфеля для внутренних точек интервала изменения цены базового актива. Ограничение (3.4) обеспечивает неотрицательность значений начальной маржи в том случае, когда во всех рассматриваемых точках цены базового актива стоимость портфеля увеличивается по сравнению с текущим значением.

Переменные smch, smph в свою очередь должны удовлетворять ограничениям

7теН> 0. (3.5)

jmch £ -mch +pmch_~mch_ ¿mch + ?,mt:\ m € Л/°,Л e/?И. (3.6)

Г^О. (3.7)

1mPh^~mph+y»ph_~mph_-mph_zmpH+!mphi _ (3.8)

Если значение переменной smph равно количеству коротких опционов пут, страйк которых меньше к*, после перестройки портфеля, и данное условие выполняется для всех m е M°,he нт, то правая часть ограничения (3.2) дает величину потерь портфеля в точке с учетом добавки по коротким опционам пут. Аналогичное утверждение справедливо в отношении ограничения (3.3).

Подставим переменную fi в неравенство (2.23) на место функции

1М:

SES "ГИ+*""'')+

кеМ" telheH"

I \ (3-9)

SEE

теМ" ie' h<*H"

и рассмотрим модель управления портфелем (2.9)-(2.21), (3.1)-(3.9), (2.24)-(2.25). В главе 3 доказывается следующее утверждение.

Утверждение 3.1. Если для решения задачи (2.9)-(2.21), (3.1)-(3.9), (2.24)-(2.25) ограничение (3.9) выполняется в виде равенства, то значение переменной Д равно начальной марже портфеля, получающегося в результате реализации полученных рекомендаций.

Начальная маржа портфеля фьючерсов и опционов, рассчитываемая по методике SPAN, включает следующие компоненты: цп — сканируемый риск финансовых инструментов класса п ; О" — взнос за спрэд по инструментам данного класса, п" — взнос за поставку в текущем месяце, С" - сумма кредитов за спрэды между, контрактами различных классов

для класса и, s" — количество коротких опционов класса п, е" — ставка по коротким опционам класса л. Залог определяется на основании следующей формулы:

N , Ч

1М^т«Л»п+вп+11п-Сп-,*пеп , (ЗЛО)

где snsn - минимальный взнос по коротким опционам класса п. В главе 3 приводится предложенное автором формальное описание методики SPAN в версии Лондонского клирингового дома. Даются примеры расчета залога по портфелям различных финансовых инструментов.

Функция начальной маржи лондонского SPAN для портфеля фьючерсов и опционов на один вид базового актива является кусочно-линейной. Область допустимых решений задачи управления портфелем может быть разбита на подобласти, внутри которых залоговые ограничения становятся линейными. В главе 3 рассматривается общий случай портфеля, в котором могут находиться опционы и фьючерсы различных сроков. Соответствующие величины, выражающие текущую позицию, а также рекомендации по покупке и продаже фьючерсов, обозначаются соответственно д"„, /",/" и , msMf, где Mf -

множество сроков истечения фьючерсных контрактов.

Для рассматриваемых портфелей в формуле (3.10) N-2 (можно считать, что первый класс соответствует опционам, второй — фьючерсам). Вначале рассматривается случай, когда для опционов выполняется соотношение

Ш = max(y + 01 + 71 -С1; = sls\

Пусть р' и в' обозначают соответственно верхнюю оценку сканируемого риска и взнос за спрэд для фьючерсов, которые окажутся в портфеле после изменения его состава. Количество фьючерсов со сроком истечения т в перестроенном портфеле будет определяться выражением я"™ ~ ч7ту +/Л + Л" - s" ~ ff* • В отличие от EUREX в методике SPAN для расчета сканируемого риска всегда рассматриваются одни и те же 16 сценариев изменения цены и волатильности базового актива, описанные в соответствующей документации. Величина fif должна удовлетворять следующим неравенствам:

Р1* I tf Wo, ~ <?Го, + Л: + fZ -gl- So, ) * = U.,16;

и Mf (3.11)

"p.* £ 0.

Здесь — потери по фьючерсу срока m, соответствующие сценарию к. Значения 4" Для фьючерсов всех сроков истечения ежедневно предоставляются биржей через Интернет.

Определение взноса за спрэд в} требует разбиения области допустимых значений переменных, для чего вводится следующее ограничение:

«Г(?Го, Чь,гпеМ', (3.12)

где л* е {-1,1} УтеМ/. Также вводится ограничение

!(•?,",-¿"о,+Л:+/»:-глЬо, (3.13)

где «2 е {-1,1}. Соотношение для взноса за спрэд принимает вид

+/»: -|0"

теЛ/-^

..гМ "Г*1

О + л2 ) 2 - я7о. + /о" + /о™ - ¿<¡1 - 8оу ) те

лГ-1

а

если

0' =

(3.14)

где Л^^ЧиеЛ/'},

Пусть

~тЯ

лГ=1 или лГ=-1 УтеМ'

в противном случае. — верхняя оценка числа коротких

опционов

соответствующей серии в портфеле после изменения его состава. Выражение г,"1'* - г"''' +х™"' +хт"' - у""*1 - ут1>1 позволяет вычислить число опционов определенной серии в портфеле после выполнения всех рекомендаций на покупку и продажу. Если значение данного выражения положительно, то позиция будет длинной, если отрицательно - короткой. Тогда по определению величина 7мЛ должна удовлетворять следующим неравенствам:

(3.15)

т^ , УтеА/^е/.УЛеЯ" (3.16) Соотношение для определения минимального взноса по коротким опционам в портфеле можно записать как

Е=* (з-17)

Тогда ограничение (2.23) принимает вид

~л/Л ^ у "Л +ут'н .

теМ" НеН"

т(=М" '<¡1 ЛеЯ"

(3.18)

Соотношение SPAN для определения величины Ст представляет собой нелинейную функцию аргументов. Тогда выписанное ограничение также оказывается нелинейным. Но поскольку Cf а 0, выражение

A.,- 2 2 2

теЛ/° "е/ tew™

2 2 2

тел/0 ЛеИ"

pf+gf+e £ X 2?"Й

meWАеЯ"

линейное по переменным у"*, //г, есть верхняя

оценка для правой части рассмотренного ограничения. Используя данное выражение, запишем окончательный вид детализированного залогового ограничения (2.23):

Лъ+Уъ-ЪьЫъ- 2 2 2

теМ° №1 ЫН"

2 2 2 ♦?"*)+«

теМ° iel ЫН"

И' + в'+е 2 2 2*"'*

теМ° heHm

(3.19)

Сформируем теперь залоговое ограничение для случая, когда начальная маржа по опционам превышает минимальный уровень маржи по коротким позициям, и выражение (3.10) принимает вид IM = fif +вг-Сг +в°-С". Согласно правилам SPAN наличие или отсутствие кредитов за спрэд между фьючерсами и опционами зависит от знака величины ц1 + - -efa, где juz — величина сканируемого риска портфеля фьючерсов и опционов, в1" - взнос за спрэд между фьючерсами и опционами. Если данная величина отрицательна либо равна нулю, то кредиты за спрэд отсутствуют, и выражение для начальной маржи портфеля принимает вид

m=Mf+ef+M°+e°- (3.20)

Если же величина ц} + ¡л° - ¡^ -в!° положительна, в соотношении для начальной маржи портфеля присутствуют кредиты за спрэд между фьючерсами и опционами. Тогда, подставляя в (3.10) вместо переменных Сг и С соответствующие выражения SPAN, получим, что

m = Mt+ef" + ef +в". (3.21)

Заметим, что выражения (3.20) и (3.21) являются линейными по своим переменным.

Соотношения для величин рг и вг были введены выше ((3.11)-(3.14)). Выпишем по аналогии с (3.11), соотношения для границ сканируемого риска опционов /2" и сканируемого риска портфеля :

Е1 wW*E E Елгф»"'+*«*)-

meM°i£lheMm meM° ¡el hsH"

E E E^iv^+r'"} * = U.,16; (3.22)

лгеМ» '6/ /1° 2:0.

E a" (<?r - ?r + /£+л: - iz - *o")+ E E

веМ' лкМ' ¡е/ haH"

E E E E

neM" ЫНт тШ° ¿s' keHm

k = 1,...,16;

Потери по каждому опциону для всех 16 сценариев SPAN ежедневно предоставляются инвесторам через сайт соответствующей биржи.

Поскольку взнос за спрэд для опционов рассчитывается по тому же алгоритму, что и взнос за спрэд для фьючерсов, можно, опираясь на приведенные выше рассуждения, сразу записать соотношения для взноса за спрэд в°:

(3.23)

Е Е-^Й^-^КЕ Е5'"й(*,"й+*"'й)-Е Y,sm'^m,h+ym,h)

ielheH" fe/fctf" Ш hsH*

где <€{-1,1} VmeM".

>0,теМ°, (3.24)

щ Е

теМ°

izIhsH™

Ч

где л4 е {-1,1}.

teifeH"

IelheH"

>0, (3.25)

0'

Е

теМ1 1 ^

he/r м ын"

-(!+"<) Е

теМ°

4

Е Е^Й^-^К (з.2б)

hull"

¡е/ Лб//™ 141 heHm

где N} = ^j™ I m e Л/0}, a

Г(лг,)

ч*

если nf = 1 VmeM° или л3я=-1 VmeM° в противном случае.

Величины J""'1 представляют значения композитной дельты опционных контрактов, которые также ежедневно предоставляются биржей. Выражения для расчета итоговых композитных дельта для фьючерсов и опционов в портфеле после изменения его состава в соответствии с методикой SPAN будут иметь вид:

д' = £{?,- +л:+/oW оя,-¿"J. (з.27)

/

А°= £

лкМ°

Е Е^й^-^+Е х<гй(гй+х™й)-2; ■ (з.28)

ЛеЯ™ 'е/ Ас//" 'б/ АсН"

Ч >

Соотношения для взноса между фьючерсами и опционами в'° можно записать следующим образом:

ДХ^О, (3.29)

где лз <= {-1,1} VI» е {/>}.

лй У!д"&0, (3.30)

где л6е{-1,1}.

о'"

. Г(ЛГ,)

(1+л6) Тд"-(1-л6) Уд-

(3.31)

где Ns = \n{,nl}, а г(л'5)=1°' если ^

[1 в противном случае.

Общее залоговое ограничение будет иметь вид

+ (3.32)

где л7е{-1,1}. n-j = —1 соответствует случаю отсутствия кредитов за спрэд между фьючерсами и опционами. Если «7 =1, то залог уменьшается на величину кредитов.

Соотношения (2.9)-(2.21), (3.11)-(3.16), (3.18)-(3.I9), (3.22)-(3.32), (2.24)-(2.25) определяют модель оптимизации портфеля фьючерсов и опционов при требованиях SPAN. Ограничения задачи являются линейными по переменным хтЛ,х"л, ymih, ymih, 7ШН V/е/, теМ°, АеЯ™, переменным g" V m е Mf, г = 0,...,Т, v = 1,...,N и переменным Z0„, L0v, pf, в', 6°, А/, Д°, .21, е-*'. Отметим некоторые свойства решений полученной задачи. Утверждения 2.1 и 2.2 остаются справедливыми для решений задачи, рассмотренной в данном разделе.

Будем называть свободным остатком счета значение выражения

л = ¿оиSEE +

ZEE ш.

msAi" ie/ heHm

В главе 3 доказывается следующее утверждение.

Утверждение 3.2. После выполнения содержащихся в решении оптимизационной задачи рекомендаций по покупке и продаже производных инструментов свободный остаток счета будет неотрицательным.

Задача управления портфелем фьючерсов и опционов при залоговых ограничениях Лондонского SPAN разбивается на конечное число подзадач, которые определяются различными наборами значений переменных -«переключателей»: п" ,теМ}, п2, п",теМ°, л4, п", п е {/,о}, и6, п7. В

Ia/'UvU _

главе 3 показывается, что число подзадач составляет 21 11 1 . Для поиска решения исходной задачи целесообразно использовать метод ветвей и границ.

Однако способ ветвления, повторяющий порядок расчета начальной маржи по SPAN, оказался не достаточно эффективным в связи с тем, что запоздалый учет залогового ограничения (3.32) лишь на последнем четвертом уровне ветвления затрудняет выявление бесперспективных подзадач. Оценки критерия оптимизации для подзадач четвертого уровня оказываются существенно меньше большинства соответствующих оценок для подзадач первых трех уровней. При проведении вычислительных экспериментов в разработанной для этой цели системе HEDGER было установлено, что количество решаемых подзадач сокращается в среднем на 14% по сравнению с полным перебором.

В главе 3 предлагается • альтернативный способ ветвления, при котором, начиная с первого уровня, рассматриваются все залоговые ограничения. Учитываются значения составляющих начальной маржи, которые определены к моменту ветвления. Остальные составляющие начальной маржи портфеля временно полагаются равными нулю. При проведении вычислительных экспериментов было установлено, что данный способ ветвления позволяет сократить количество решаемых подзадач в среднем на 72% по сравнению с полным перебором, что свидетельствует о его более высокой эффективности. Исследование проводилось на примере портфеля фьючерсов и опционов на индекс FTSE 100.

В главе 3 рассматривается система ARBITR, предназначенная для управления портфелем фьючерсов и опционов на индекс S&P 500. Дерево сценариев системы ARBITR включает четыре этапа и имеет размерность 9x5x2. Всего, таким образом, всего рассматривается 90 сценариев. Текущий момент времени при решении оптимизационной задачи считается

нулевым. Момент времени «1» соответствует закрытию текущего торгового дня; моменты времени «2» и «3» - закрытию двух следующих торговых дней. Покупка и продажа опционов рассматривается только в момент «О», заключение фьючерсных контрактов — в моменты времени «О», «1» и «2».

Моделирование динамики волатильности цены базового актива осуществляется на основе модели EGARCH (Exponential GARCH). Для идентификации модели используется соответствующая процедура MATLAB. Дерево сценариев не является рекомбинирующим. В системе ARBITR реализована разработанная в главах 2 и 3 модель управления портфелем на основе многоэтапного стохастического программирования. В качестве критерия используется математическое ожидание квадратичной функции полезности.

Модель управления портфелем учитывает залоговые ограничения SPAN СМЕ (биржа Chicago Mercantile Exchange), в рамках которого фьючерсы и опционы на один вид базового актива относятся к одному классу. Задача управления портфелем сводится к задаче квадратичного программирования с линейными ограничениями, если сроки фьючерсов и опционов совпадают. В противном случае образуются 4 подзадачи дапного типа. Оптимизация осуществляется при помощи процедуры квадратичного программирования пакета MATLAB. Время решения составляет не более 30 секунд на компьютере «Пентиум» с тактовой частотой 2,8Ггц. По результатам экспериментов доходность портфеля под управлением системы ARBITR составляет от 15 до 50 процентов годовых.

Глава 4 посвящена проблеме оценки эффективности управления портфелем в условиях, когда осуществляются дополнительные вложения и изъятия средств в рассматриваемом периоде управления. Портфель может содержать как базовые активы, так и производные финансовые инструменты. Проведен анализ известных моделей оценки эффективности управления портфелем. Показано, что для каждой из моделей существуют ситуации, при которых оценка эффективности управления не соответствует реальным результатам управления портфелем. Разработана система аксиом, которые формализуют требования к модели оценки эффективности управления портфелем, исключающие неадекватную оценку результатов управления.

При отсутствии доходных и расходных платежей внутри периода управления портфелем [т0,г,] и нулевой доходности рынка оценка эффективности управления должна совпадать с соответствующим значением процентной ставки:

Аксиома 4.1. Если Д(од) = 0, то для интервала |г0,г,] эффективность

Здесь д(0,1) = 0 - доходность рыночного портфеля за период управления, Х0 и Х1 — соответственно стоимость портфеля в начале и конце периода управления длительностью Т.

В том случае, когда рыночная доходность была нулевой в течение всего рассматриваемого периода, естественно ожидать, что мера эффективности управления будет принимать отрицательное, нулевое или положительное значение в том случае, когда прибыль портфеля соответственно меньше нуля, равняется нулю или положительна:

Аксиома 4.2. Если /г(/,/+1)=0, 1 = 0.....1-1, то Р<0=>р<0,

Р-0=>р = 0, Р>0=>р>0.

Здесь /?(/,/+1) — доходность рынка между двумя /-ой и /+1-ой внешними транзакциями портфеля, Р - прибыль портфеля за весь период управления, р - мера оценки эффективности управления.

Для правильной оценки результатов работы менеджеров портфелей необходимо, чтобы в идентичных условиях большему значению прибыли отвечала большая величина меры эффективности управления. Это условие формализуется следующей аксиомой:

Аксиома 4.3. Если ^ = 1Г02, а) =л2„ I = !,...,£ и Л1(/,/+1)=Л2(/,/+1), / = 0,...,/-1,то Р1 > Р2 => р1 > р1-.

Здесь щ! и Г02 — начальная стоимость портфелей 1 и 2 соответственно, / = 1,...,£ — последовательности внешних транзакций первого и второго портфелей, Р\ Р2 — соответственно прибыль портфелей 1 и 2 за весь рассматриваемый период.

Разумно также потребовать, что бы менеджер, доходность портфеля которого все время соответствовала рыночной доходности, получил бы в итоге нулевую оценку. Пусть О — функция, определяющая значение меры эффективности управления в зависимости от транзакций портфеля и доходности рынка в периоды между осуществлением транзакций. Пусть также У, обозначает стоимость рассматриваемого портфеля в момент осуществления /-ой внешней транзакции.

Аксиома 4.4. Если р = л(/,/ + 1))=0 V OS/^L-1, то

р=я^о,.. .,xL , ä(o,i), д (1,2),..., -1, i)) = о.

Предложен новый метод оценки эффективности управления портфелем, основанный на формировании для каждого портфеля собственного эталонного портфеля. Оценка эффективности управления портфелем определяется как

= IRR (л"0>..., XL_{ XIRR (лГо.....-^¿-i.-^L)

где XL — стоимость эталонного портфеля в конце периода управления, IRR - функция, определяющая значение внутренней нормы доходности последовательности транзакций.

Доказано, что при определенных условиях предложенный метод удовлетворяет сформулированным требованиям:

Теорема 4.1. Для меры эффективности управления, определенной соотношением (4.1), выполняются аксиомы 4.1,4.2,4.3 и 4.4.

Предложенная модель «собственного эталона» позволяет установить преимущество менеджера портфеля, результат которого лучше относительно соответствующего эталона. При этом абсолютная доходность его портфеля может быть меньше, чем у другого менеджера. Такая ситуация может осуществиться при условии, что первый из менеджеров находился в худших условиях - например, получал дополнительные средства перед снижением рынка и выполнял приказ на вывод части денег перед повышением цен.

Разработана и внедрена программа TREASURE, реализующая предложенную модель для оценки эффективности управления портфелем дисконтных и купонных облигаций. Эксплуатация программы в течение 2 лет в одном из крупных российских банков привела к заметному повышению качества управления портфелями. Экономический эффект составил не менее 4,5 млн. долларов США.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполненных исследований разработана теория управления портфелем производных финансовых инструментов с учетом залоговых ограничений, действующих на биржевых рынках. Предложенные стратегии и модели позволяют выявлять арбитражные возможности на рынках и управлять рисками портфеля производных финансовых инструментов, обеспечивая максимизацию прибыли.

Разработанную теорию можно рассматривать как обобщение классической теории портфеля Г. Марковича, которая не пригодна для портфелей с опционами, поскольку цена этих инструментов нелинейно зависит от цены базового актива. Также осуществлен вклад в решение проблемы оценки эффективности управления портфелями финансовых инструментов при проведении дополнительных вложений и изъятии денежных средств в периоде управления.

В процессе выполнения диссертационных исследований получен ряд существенных теоретических и практических результатов, которые позволяют повысить эффективность управления портфелем на рынках производных финансовых инструментов, представляющих собой важный класс социально-экономических систем:

1. На основе экспоненциальной модели кривой подразумеваемой волатильности опционов, логарифмической линейной регрессии и формул Блэка-Шоулса реализована нелинейная регрессионная модель прогнозирования цен закрытия торгов по опционным контрактам в зависимости от соответствующей цены базового актива.

2. Выполнены статистические исследования точности прогноза цен биржевых опционов на индексы акций. Подтверждена высокая точность прогнозирования цен закрытия торгов на период от 1 до 3 торговых дней.

3. Предложена древовидная модель сценариев цены базового актива и ее волатильности на основе схемы Кокса-Росса-Рубинштейна и GARCH — моделей волатильности. Модель гарантирует отсутствие возможности арбитражных операций с базовым активом производных финансовых инструментов.

4. На основе многоэтапного стохастического программирования разработана стратегия и модель управления портфелем фьючерсов и опционов, которая учитывает биржевые котировки инструментов, транзакционные издержки и необходимость поддержания биржевого залога. Установлен ряд свойств решения оптимизационной задачи, которые обеспечивают его соответствие требованиям к процессу управления портфелем.

5. Залоговое ограничение модели детализировано для случая портфеля фьючерсов и опционов биржи EUREX. Полученная в результате

оптимизационная задача относится к классу задач многоэтапного стохастического программирования с линейными ограничениями и может быть решена известными методами.

6. Модель управления портфелем фьючерсов и опционов детализирована для случая залоговых требований наиболее распространенной в мире системы управления риском производных инструментов SPAN. При этом модель трансформируется в совокупность задач многоэтапного стохастического программирования с линейными ограничениями. Доказано, что портфель, полученный в результате реализации рекомендаций по покупке и продаже инструментов, удовлетворяет залоговым требованиям SPAN.

7. На основе схемы ветвей и границ разработан метод решения задачи управления портфелем в условиях залоговых ограничений SPAN, сокращающий количество решаемых подзадач. Метод обеспечивает сокращение затрат машинного времени приблизительно на 72%. Исследование эффективности метода решения задачи проведено с использованием разработанной программной системы HEDGER.

8. Разработана система ARBITR для управления портфелем фьючерсов и опционов на индекс S&P 500 на бирже СМЕ. Решение оптимизационной задачи управления портфелем осуществляется при помощи пакета MATLAB. Используемая модель учитывает залоговые ограничения SPAN СМЕ. По результатам экспериментов доходность управления портфелем варьируется в диапазоне от 15 до 50 процентов годовых.

9. Проведен анализ известных моделей оценки эффективности управления при наличии дополнительных вложений и изъятии средств в рассматриваемом периоде управления портфелем, который может содержать базовые активы и производные финансовые инструменты. Показано, что для каждой из моделей существуют ситуации, при которых ее оценка не адекватна реальным результатам управления портфелем.

10. Разработана формальная система требований, которым должна удовлетворять модель оценки эффективности управления при наличии дополнительных транзакций. Предложена модель «собственного эталона», в основе которой лежит принцип сравнения внутренней доходности портфеля с внутренней доходностью эталонного портфеля с такими же транзакциями. При этом доходность эталонного портфеля в периоды между транзакциями равна соответствующей доходности рынка. Доказано, что предложенная модель удовлетворяет сформулированным требованиям.

11. Разработана и внедрена система оценки эффективности управления портфелем российских государственных облигаций TREASURE, реализующая модель «собственного эталона». Внедрение

системы привело к весьма значительному повышению эффективности работы менеджеров банковского портфеля.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Голембиовский Д.Ю. Финальные вероятности состояний сдвигового регистра при сигнатурном анализе конечного автомата / В.А. Афонин, Д.Ю. Голембиовский // Автоматика и телемеханика. - 1988. - №10. -С. 178-183.

2. Голембиовский Д.Ю. Теория портфеля: нужна ли она нам? / Д.Ю. Голембиовский // Пенсионные фонды. - 1995. - №2. - С. 18-20.

3. Голембиовский Д.Ю. Формирование заявки на аукцион по размещению государственных облигаций / Д.Ю.Голембиовский; МГУ. — М., 1995. - 8с. - Деп. ВИНИТИ 25.12.95; № 3440-В95.

4. Голембиовский Д.Ю. Управление инвестиционным портфелем на основе экспертной информации / Д.Ю. Голембиовский // Пенсионные фонды. - 1996. - №1. - С.20-22.

5. Golembiovski D.J. Optimization of the soft currency dealing / D.J. Golembiovski // Portfolio. - 1996. - №1. - P.32-35.

6. Golembiovski D.J. Operative control of the GKO portfolio / D.J. Golembiovski //Portfolio. - 1996. -№1. - P.36-41.

7. Golembiovski D.J. Forex: Use of Unconformity of Cross-rates for Arbitration Operations / D.J. Golembiovski //Portfolio. - 1997. -№3. - P.81-88.

8. Голембиовский Д.Ю. Балансовые уравнения инвестиционных портфелей / Д.Ю. Голембиовский // Обозрение прикладной и промышленной математики, Серия «Вероятность и статистика». - 1997. -Т.4, Вып.З. - С.337-338.

9. Golembiovsky D. Expert forecasting methods in financial assets control problems / D. Golembiovski // 22nd European Meeting of Statisticians, 7th Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics, August 12-18: Abstracts of Communications. - Vilnius: TEV, 1998.-P.223-224.

10. Golembiovski D.J., Dolmatov A.S. Comparison of two hedging strategies for stock portfolio / D.J. Golembiovski, A.S. Dolmatov // Abstracts of The 2rd Moscow International Conference On Operations Research, November 17-20, 1998. —M.: Computing Center of RAS, 1998.-P.16.

11. Голембиовский Д.Ю. Оценка текущей доходности инвестиционных портфелей / Д.Ю. Голембиовский // Правила игры. — 1999. - №2. - С.64-77.

12. Голембиовский Д.Ю. Валютный арбитраж, основанный на кросс-курсах / Д.Ю. Голембиовский // Правила игры. - 1999. - №3. - С.65-71.

13. Голембиовский Д. Ю. Система управления биржевым залогом SPAN / Д.Ю. Голембиовский // Обозрение прикладной и промышленной математики,- 2000.- Т.7, Вып.1.- С. 181-183.

14. Голембиовский Д.Ю. Аксиоматический подход к выбору метода оценки эффективности управления портфелем / Д.Ю. Голембиовский // Вопросы анализа риска. - 2000. - Т.2, №3-4. - С.92-100.

15. Голембиовский Д. Ю., Долматов А. С. Управление портфелем производных финансовых инструментов. I. / Д.Ю. Голембиовский, А.С. Долматов // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2000. - №4. - С. 95-103.

16. Голембиовский Д. Ю., Долматов А. С. Управление портфелем производных финансовых инструментов. II / Д.Ю. Голембиовский, А.С. Долматов // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2000. - №6.- С. 90-94.

17. Голембиовский Д. Ю., Долматов А. С. Модель оптимизации портфеля производных финансовых инструментов с учетом залоговых ограничений / Д.Ю. Голембиовский, А.С. Долматов // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2001. - №3. - С. 75-85.

18. Голембиовский Д. Ю., Долматов А. С. Решение задачи оптимизации портфеля производных финансовых инструментов с учетом залоговых ограничений / Д.Ю. Голембиовский, А.С. Долматов // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2001. - №4. - С. 69-77.

19. Golembiovski D.J. Financial optimization / D.J. Golembiovski // Abstracts of The 3rf Moscow International Conference On Operations Research (ORM2001), April 4-6,2001. - M.: Computing Center of RAS, 2001. - P.41.

20. Голембиовский Д.Ю. К оценке значимости прогнозов рынка / Д.Ю. Голембиовский // Вопросы анализа и управления риском. - 2003. - №1. -С. 12-20.

21. Голембиовский Д., Барышников И. Стратегии управления ценовым риском (на примере экспортно-ориентированных предприятий) / Д. Голембиовский, И. Барышников // Вопросы экономики. - 2003. - №8. -С.67-80.

22. Голембиовский Д.Ю. Применение многошагового стохастического программирования для управления риском портфеля производных инструментов / Д.Ю. Голембиовский // «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах»: Труды Третьей Международной школы МА БР - 2003,20-23 августа, 2003г. - СПб.: Изд-во «СПбГУАП», 2003. - С.223-229.

23. Голембиовский Д.Ю. Оптимизация портфеля финансовых инструментов // Энциклопедия финансового риск-менеджмента / Под. ред. А.А.Лобанова и А.В.Чугунова. - М.: Альпина Паблишер, 2003. - С.705-734.

24. Golembiovsky D.J. Derivative portfolio management / D.J. Golembiovsky // «Modeling and Analysis of Safety and Risk in Complex Systems»: Proceedings

of the Fours International Scientific School MA SR — 2004, Saint-Peterburg, Russia, June 22-25,2004.-P.253-258.

25. Голембиовский Д.Ю., Барышников И.В. Ценообразование опционов: «улыбка» по-русски / Д.Ю. Голембиовский, И.В. Барышников // Управление риском. - 2004. - №3. - С.44-49.

26. Голембиовский Д.Ю. Расчет залога по портфелю производных инструментов / Д.Ю. Голембиовский // Управление риском. — 2005. - № 1. -С.27-48. •

27. Голембиовский Д.Ю. Прогнозирование биржевых цен опционов / Д.Ю. Голембиовский // Управление риском. — 2005. - №2. — С.20-27.

28. Голембиовский Д. Ю. Биржевое ценообразование опционов / Д.Ю. Голембиовский // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2005. - Т.12, Вып.2. - С. 332-333.

29. Голембиовский Д.Ю. Аппроксимация цен опционов на основе экспоненциальной модели кривой волатильности / Д.Ю. Голембиовский // Системы управления и информационные технологии. - 2005. - №2 (19). — С.71-76.

30. Голембиовский Д.Ю. К выбору метода оценки эффективности управления портфелем / Д.Ю. Голембиовский // Проблемы управления. -2005. - №3. — С.59-65.

31. Голембиовский Д.Ю. Дискретные модели ценообразования опционов / Д.Ю. Голембиовский // «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах»: Труды Пятой Международной школы МА БР - 2005, 28 июня - 1 июля, 2005г. - СПб.: Изд-во «СПбГУАП», 2005 - С.187-190.

32. Golembiovsky D., Baryshnikov I. Volatility Smile at Russian Option Market / D. Golembiovsky, I. Baryshnikov // Proceedings of The International symposium on stochastic models in reliability, safety security and logistics, Beer Sheva, Israil, 2005. - P.142-147.

Личный вклад автора в работах, опубликованных, в соавторстве, состоит в следующем: в [1] автору принадлежит формулировка и доказательство основной теоремы; в [10] — постановка задачи и интерпретация результатов исследования; в [15-18] автором выполнена разработка моделей управления портфелем производных финансовых инструментов и метода решения соответствующих задач оптимизации, формулировка и доказательство основных утверждений; вклад в работу [21] заключается в разработке стратегии хеджирования продаж при помощи фьючерсов и опционов, интерпретации полученных результатов; в [25] и [32] автором предложена модель оценки стоимости хеджирования опционов на реальном рынке и постановка вычислительных экспериментов.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 29.03.2006 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 2,0. Тираж 150 экз. Заказ 214. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение.

Глава 1. Теория производных финансовых инструментов. да 1.1. Рынки производных инструментов.

1.1.1. Форварды.

1.1.2. Фьючерсы.

1.1.3. Опционы.

1.2. Непрерывные модели ценообразования опционов.

1.2.1. Модель Блэка-Шоулса. Безарбитражность и полнота финансовых рынков.

1.2.2. Показатели чувствительности цены опциона к факторам риска.

1.2.3. «Улыбка» волатильности.

Ф 1.2.4. Построение «улыбки» волатильности по историческим данным базового актива.

1.2.5. Модели с переменной и стохастической волатильностью.

1.3. Дискретные модели ценообразования опционов.

1.3.1. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна. Триномиальные деревья.

1.3.2. Древовидные модели заданного распределения вероятностей и подразумеваемой волатильности.

1.3.3. Сеточные методы расчета GARCH-моделей.

1.4. Выводы.

Глава 2. Стратегии и модели арбитража на рынке производных инструментов

2.1. Арбитраж и управление риском портфеля производных инструментов.

2.2. Модель динамики кривой волатильности опционов.

2.2.1. Аппроксимация кривой волатильности.

2.2.2. Прогнозирование подразумеваемой волатильности опционов «у денег».

2.2.3. Прогнозирование цен закрытия опционов.

2.3. Модели многоэтапного стохастического программирования

2.3.1. Управление активами и пассивами.

2.3.2. Результаты экспериментов. Некоторые известные системы.

2.4. Интервальное экспертное прогнозирование экономических переменных.

2.4.1. Формирование портфеля опционов.

2.4.2. Методология эксперимента.

2.4.3. Результаты. f 2.5. Генерация сценариев для управления портфелем производных инструментов.

2.6. Динамические модели управления портфелем.

2.7. Выводы.

Глава 3. Управление портфелем в условиях залоговых ограничений.

3.1. Залоговая система биржи EUREX. Модель управления портфелем производных инструментов EUREX.

3.2. Залоговые требования системы SPAN к портфелю фьючерсов и опционов.

3.2.1. Рисковые массивы и сканируемый риск.

3.2.2. Взнос за спрэд между инструментами одного класса

3.2.3. Взнос за поставку в текущем месяце.

3.2.4. Кредиты за спрэды между инструментами различных классов.

3.2.5. Минимальная ставка по коротким опционам и расчет начальной маржи.

3.3. Управление портфелем фьючерсов и опционов при ограничениях London SPAN.

3.3.1. Модель управления портфелем. ш 3.3.2. Методы решения задачи управления портфелем.

3.4. Система HEDGER исследования алгоритмов оптимизации портфеля.

3.4.1. Функции и рабочая среда системы HEDGER.

3.4.2. Решение задачи оптимизации портфеля с учетом залоговых ограничений.

3.5. Управление портфелем фьючерсов и опционов на индекс

S&P 500 на основе системы ARBITR.

3.6. Выводы.

Глава 4. Оценка эффективности управления портфелем. у 4.1. Анализ известных моделей оценки эффективности управления

4.2. Формализация требований к моделям оценки эффективности управления портфелем.

4.3. Модель «собственного эталона».

4.4. Применение модели «собственного эталона» для портфелей различных финансовых инструментов.

4.5. Программная система TREASURE.

4.5.2. Пользовательский интерфейс и структуры баз данных

4.5.3. Импорт информации в базы данных.

4.6. Выводы.

Актуальность проблемы. Отказ от Бреттон-Вудской системы фиксированных валютных курсов и переход западных стран в начале 1970-х к плавающим курсам валют положил начало бурному развитию рынка производных финансовых инструментов. В ответ на изменения экономических условий финансовые институты разработали новые продукты, предназначенные для управления риском. Производные инструменты сделали возможным разложение риска на составляющие и его последующее распределение среди участников рынка, способных наилучшим образом управлять каждым из компонентов. В настоящее время рынок фьючерсов и опционов - один из наиболее объемных и активных финансовых рынков. За III квартал 2005 года торговый оборот этих инструментов на мировых биржах, выраженный в сумме номинальных стоимостей базовых активов, составил около 357 триллионов долларов.

Заметные успехи демонстрирует в последнее время российский рынок производных инструментов. В III квартале 2005 года объем торгов биржевого сегмента российского срочного рынка превысил 8 миллиардов долларов. Кроме того, неуклонно возрастает сумма инвестиций российских финансовых институтов на международном рынке производных инструментов.

Основными типами биржевых производных финансовых инструментов являются фьючерсные и опционные контракты. Начиная с основополагающих работ F. Black, (Ф.Блэк) нынешних нобелевских лауреатов М. Scholes (М.Шоулс) и R.C. Merton (Р.Мэртон), усилия многих исследователей были сосредоточены на задаче определения справедливой цены отдельного опциона как стоимости хеджирования его при помощи базового и безрискового активов. К данному направлению относятся публикации зарубежных и отечественных ученых M.Avellaneda, C.A.Bali,

M.Brennan, T.F.Coleman, J.C.Cox, N.Cakici, F.Delbaen, E.Derman, J.C.Duan, B.Dupire, H.Folmer, S.L.Heston, N.Hoffmann, J.Hull, J.C.Jackwerth, El Karoui, I.Kani, H.E.Leland, R.C.Merton, P.Ritchken, R.A.Ross, M.Rubinstein, E.S.Schwartz, L.O.Scott, E.M.Stein, C.J.Stein, A.White, J.B.Wiggins, P.Wilmott, k Г.А.Агасандяна, С.Н.Волкова, Ю.М.Кабанова, Д.О.Крамкова, А.В.Крянева,

А.В.Мельникова, А.В.Нагаева, С.А.Нагаева, М.Л.Нечаева, М.М.Сафаряна, А.Н.Ширяева. В работах перечисленных авторов получены формулы и алгоритмы расчета цены американских и европейских опционов в условиях полных и неполных рынков, переменной и стохастической волатильности, при наличии и отсутствии транзакционных издержек, с применением совершенных и несовершенных методов хеджирования.

В то же время, практически неизвестны результаты, позволяющие предсказать будущие реальные биржевые цены опционов в зависимости цены базового актива. Модели, основанные на историческом или риск-нейтральном распределении вероятностей, отвечают на вопрос о том, сколько должны стоить опционы при выполнении используемых теоретических предположений. Модели подразумеваемой волатильности в основном предназначены для определения адекватной рынку цены опционов, которые не котируются на рынке в текущий момент времени. Они также не отвечают на вопрос о будущей рыночной цене опциона, поскольку подразумеваемая волатильность сама изменяется с течением времени.

Значительно меньшее число работ посвящено особенно актуальной для практиков проблеме оптимального управления портфелем производных финансовых инструментов. Среди исследователей данного направления -зарубежные специалисты Avellaneda A., Carino D.R., Dempster М.А.Н., Gondzio J., Kouwenberg R., Liu J., Pan J., Paras A., Thompson G.W.P., Turner A.L., Vorst Т. В работах данных авторов построены теоретические модели и исследованы примеры управления портфелем, содержащим производные финансовые инструменты. В то же время, в литературе отсутствует описание стратегий и моделей управления портфелем, направленных на выявление арбитражных возможностей рынков и пригодных для использования в реальных условиях биржевых торгов. Не рассматриваются вопросы формирования портфелей с учетом залоговых ограничений, принятых на биржевых рынках производных инструментов.

Актуальной проблеме оценки эффективности управления портфелем посвящены исследования Bailey J.V., Brinson G., Carhart M.M., Coggin T.D., Cowhey T.J., Daniel K., Diermeier J.J., Fabozzi F.J., Haight G., Hallahan T.A., Jensen M.C., Morrell S., Rahman S., Rennie E.P., Richards T.M., Roll R., Schlarbaum G.G., Sharpe W.F., Tierney D.E., Treinor J.L. Однако вопросы оценки эффективности управления при осуществлении дополнительных вложений и изъятий денежных средств в течение периода управления изучены недостаточно. Известные методы обладают рядом недостатков и могут давать оценки, неадекватные фактическим результатам управления портфелем.

Цель работы и задачи исследования: разработка и исследование стратегий управления, математических моделей оптимизации портфеля производных финансовых инструментов, оценки эффективности управления и создание на их основе программных систем управления портфелями, обеспечивающих оптимальное для инвестора сочетание доходности и риска.

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие основные задачи.

1. Исследование адекватности классической модели ценообразования Блэка-Шоулса реальной стоимости хеджирования опционов базовым активом и безрисковым активом на финансовых рынках.

2. Разработка моделей прогнозирования биржевых цен опционов на основе формул Блэка-Шоулса с применением линейного и нелинейного статистического регрессионного анализа.

3. Исследование эффективности интервального экспертного прогнозирования экономических переменных.

4. Построение и анализ GARCH - моделей цен базовых активов производных финансовых инструментов.

5. Разработка сценарной модели изменения цены базового актива производных финансовых инструментов на основе GARCH - моделей и методов теории ценообразования опционов.

6. Разработка динамической модели управления портфелем биржевых фьючерсов и опционов на основе многоэтапного стохастического программирования. Исследование свойств решений соответствующих задач оптимизации.

7. Формализация методов расчета залога за портфель биржевых производных финансовых инструментов, принятых в системах EUREX и SPAN.

8. Детализация моделей управления портфелем производных финансовых инструментов в условиях залоговых ограничений. Разработка и экспериментальное исследование эффективности методов решения соответствующих задач оптимизации.

9. Экспериментальные исследования моделей на основе реальных цен биржевых фьючерсов и опционов в режиме реального времени. Разработка и внедрение программных систем управления портфелем производных финансовых инструментов.

10. Разработка и исследование моделей оценки эффективности управления портфелями, учитывающих динамику рынка. Разработка и внедрение программных систем оценки эффективности управления портфелями.

Методы исследования. Решение поставленных задач потребовало привлечения методов математического анализа, математической статистики, регрессионного анализа, теории случайных процессов, теории ценообразования опционов, линейного и выпуклого программирования, метода ветвей и границ, многоэтапного стохастического программирования, численного моделирования.

Достоверность основных теоретических положений подтверждается формальным доказательством утверждений и теорем, сопоставлением 4 прогнозных и фактических значений параметров финансовых рынков, а также результатами испытаний и промышленной эксплуатации программных систем управления портфелями, созданных на основе разработанных стратегий и математических моделей.

Научная новизна работы. При решении поставленных задач получены следующие теоретические результаты.

1. Показано, что существование «улыбки волатильности» опционов на акции российских эмитентов связано с отклонением динамики цены базового актива от винеровского процесса.

2. Показано, что для определения интервала возможных значений * цены базового актива опционов могут использоваться прогнозы экспертов соответствующего рынка. В то же время, точность экспертного прогноза направления изменения цены является недостаточной для формирования арбитражных стратегий.

3. Предложен способ построения дерева сценариев цены базового актива опционов, волатильность которой описывается моделями типа GARCH. Дерево сценариев обладает свойством безарбитражности.

4. Определены объясняющие переменные и разработана модель линейной регрессии для прогнозирования кривой волатильности биржевых опционов, которая описывается экспоненциальной функцией от полинома второго порядка.

5. На основе формулы Блэка-Шоулса и модели прогноза кривой волатильности построена нелинейная регрессионная модель для прогнозирования расчетных цен биржевых опционов.

6. Разработана динамическая модель управления портфелем производных финансовых инструментов на основе многоэтапного стохастического программирования с учетом транзакционных издержек.

7. Модель управления портфелем производных финансовых инструментов обобщена для случая залоговых ограничений, которые существуют при биржевой торговле. Доказаны свойства решений соответствующей задачи оптимизации, которые обеспечивают удовлетворение ряда естественных требований к процедуре управления портфелем.

8. Показано, что задача оптимизации портфеля с залоговыми ограничениями London SPAN сводится к последовательности задач линейного или квадратичного программирования. Предложена схема решения оптимизационной задачи на основе метода ветвей и границ, которая обеспечивает существенное сокращение времени решения.

9. Формализована система требований, которым должна отвечать модель оценки эффективности управления портфелем при наличии дополнительных вложений и изъятии средств из портфеля в течение периода управления.

10. Предложена модель «собственного эталона» для оценки эффективности управления портфелем, предусматривающая построение для каждого рассматриваемого портфеля соответствующего ему эталонного портфеля. Доказано, что предложенная модель отвечает сформулированным требованиям.

Основные положения, защищаемые автором.

1. Модель прогнозирования расчетных биржевых цен опционов в зависимости от расчетной цены базового актива, разработанная на основе формул Блэка-Шоулса и методов линейного и нелинейного регрессионного анализа.

2. Модель сценариев изменения цены базового актива, волатильность которой подчиняется GARCH-моделям.

3. Стратегия управления портфелем производных финансовых инструментов, предусматривающая выявление арбитражных возможностей рынка в режиме реального времени и управление риском изменения цены базового актива и риском волатильности.

4. Модель управления портфелем производных финансовых инструментов на основе многоэтапного стохастического программирования.

5. Детализированные модели управления портфелем производных финансовых инструментов с учетом залоговых ограничений. Исследование и доказательство свойств моделей, обеспечивающих адекватность рекомендаций ряду естественных требований к управлению портфелем.

6. Метод решения задачи управления портфелем с ограничениями London SPAN, предусматривающий сведение ее к последовательности подзадач и обеспечивающий сокращение числа решаемых подзадач на основе схемы ветвей и границ.

7. Система аксиом, формализующая требования к модели оценки эффективности управления портфелем в условиях осуществления дополнительных вложений и изъятия средств из портфеля в течение периода управления.

8. Модель «собственного эталона» оценки эффективности управления портфелем и результаты исследования ее свойств.

Практическая ценность работы.

1. Разработанная модель прогнозирования расчетных цен опционов предоставляет возможность выявления недооцененных и переоцененных опционов в процессе биржевых торгов в режиме реального времени и является основой для построения систем управления портфелями производных финансовых инструментов.

2. Предложенное дерево сценариев позволяет анализировать возможную динамику цены базового актива с учетом переменного характера волатильности. Данная сценарная модель может использоваться для планирования перестройки портфелей производных и других типов финансовых инструментов.

3. Модель управления портфелем производных финансовых инструментов позволяет планировать оптимальную перестройку портфеля с учетом возможной будущей динамики базового актива, изменения цен опционов, транзакционных издержек, возможностей заключения сделок с фьючерсными контрактами в будущем.

4. Предложенная стратегия управления и модель оптимизации обеспечивают формирование портфелей, устойчивых к колебаниям рынка, стоимость которых существенно не снижается при любом направлении изменения цены и волатильности базового актива.

5. Разработанные модели управления портфелем в условиях залоговых ограничений и методы решения соответствующих задач оптимизации позволяют формировать портфели производных инструментов на биржах, использующих систему SPAN для определения величины залога за портфель производных инструментов, а также на бирже EUREX.

6. Предложенная формальная система требований является основой для разработки новых моделей оценки эффективности управления портфелем при осуществлении дополнительных вложений и изъятии денежных средств в течение периода управления.

7. Предложенная модель «собственного эталона» обеспечивает адекватную финансовым результатам оценку эффективности управления портфелями, в том числе содержащими производные финансовые инструменты.

Реализация результатов работы.

1. Результаты исследования причин и характера «улыбки» подразумеваемой волатильности опционов на акции российских предприятий используются в НП «Исследовательская группа РЭА-Риск-Менеджмент» (г. Москва) при разработке программного продукта по оценке и управлению рыночными рисками «Риск-Терминал». Данные результаты увеличивают точность расчета цен опционов и показателей риска опционных позиций.

2. Предложенные модели прогнозирования биржевых цен опционов и модель управления портфелем производных финансовых инструментов на основе многоэтапного стохастического программирования использованы в ЗАО «РИСК-ИНВЕСТ» (г. Москва) при построении комплексной среды разработки, тестирования и реализации торговых систем, использующих для генерации торговых сигналов информацию, получаемую из анализа цен базовых активов и производных финансовых инструментов.

3. Модели прогнозирования биржевых цен опционов, стратегии и модели управления портфелем производных финансовых инструментов на основе многоэтапного стохастического программирования в условиях залоговых ограничений реализованы в системе ARBITR, внедренной в ОАО Банк ЗЕНИТ (г. Москва). Система осуществляет управление портфелем фьючерсов и опционов на индекс акций S&P 500.

4. Разработанный метод оценки эффективности управления портфелем в случае довложения и изъятия средств в течение периода управления использован в КБ «ГУТА-БАНК» (г. Москва) при разработке программной системы TREASURE.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на следующих научных конференциях и семинарах.

1). 4-я всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (Уфа, 29 августа - 3 сентября 1997 года).

2). 22nd European Meeting of Statisticians (Вильнюс, 12-18 августа 1998года).

3). 2-я Московская международная конференция по исследованию операций (Москва, 17-20 ноября 1998 года).

4). 3-я Московская международная конференция по исследованию операций (Москва, 4-6 апреля 2001 года).

5). Профессиональная конференция «Корпоративное финансирования в реальном секторе и финансовый инжиниринг» (Москва, 31 октября - 1 ноября 2000 года).

6). Научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ, 2000).

7). Third International Scientific School "Modeling and Analysis of Safety and Risk in Complex Systems (Санкт-Петербург, 20-23 августа 2003 года).

8). Fourth International Scientific School "Modeling and Analysis of Safety and Risk in Complex Systems" (Санкт-Петербург, 22-25 июня 2004 года).

9). Fifth International Scientific School "Modeling and Analysis of Safety and Risk in Complex Systems" (Санкт-Петербург, 28 июня - 1 июля 2005 года).

10). Общемосковский постоянно действующий семинар «Экспертные оценки и анализ данных» (Москва, ИПУ, 2004).

11). Конференция «Международный опыт риск-менеджмента и особенности развивающихся рынков (Москва, 15-16 июня 2004 года).

12). International Symposium on Stochastic Models in Reliability, Safety and Logistics (Израиль, Beer Sheva, 15-17 февраля 2005 года).

13). Конференция "Risk Management and Quantitative Approaches in Finance" (Гейнесвилле, Флорида, США, 6-8 апреля 2005 года).

14). IV Восточно-Европейский риск-менеджмент форум (Киев, 3-4 ноября 2005 года).

Основные результаты диссертации отражены в 32 печатных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 348 наименований, списка обозначений и приложения, содержащего акты о внедрении результатов диссертации. Основная часть диссертации содержит 362 страницы текста, 80 рисунков, 52 таблицы.

4.6. Выводы

1. Проведен анализ известных моделей оценки эффективности управления портфелем. Показано, что ни одна из моделей в общем случае не обеспечивает адекватной оценки качества работы портфельных менеджеров.

2. Формализованы требования, которым должен отвечать удовлетворительный метод. Предложен новый метод оценки эффективности управления портфелем, основанный на расчете для каждого портфеля собственного эталонного портфеля. Доказано, что при определенных условиях предложенный метод удовлетворяет сформулированным требованиям.

3. Разработана и внедрена программа TREASURE, реализующая предложенный метод для оценки эффективности управления портфелем дисконтных и купонных облигаций. Эксплуатация программы в течение 2 лет в одном из крупных российских банков привела к заметному повышению качества управления портфелями. Экономический эффект составил не менее $4,5млн. Получен соответствующий акт о внедрении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполненных исследований разработана теория управления портфелем производных финансовых инструментов с учетом залоговых ограничений, действующих на биржевых рынках. Предложенные стратегии и модели позволяют выявлять арбитражные возможности на рынках и управлять рисками портфеля производных финансовых инструментов, обеспечивая максимизацию прибыли.

Разработанную теорию можно рассматривать как обобщение классической теории портфеля Г. Марковича, которая не пригодна для портфелей с опционами, поскольку цена этих инструментов нелинейно зависит от цены базового актива. Также осуществлен вклад в решение проблемы оценки эффективности управления портфелями финансовых инструментов при проведении дополнительных вложений и изъятии денежных средств в периоде управления.

В процессе выполнения диссертационных исследований получен ряд существенных теоретических и практических результатов, которые позволяют повысить эффективность управления портфелем на рынках производных финансовых инструментов, представляющих собой важный класс социально-экономических систем:

1.Ha основе экспоненциальной модели кривой подразумеваемой волатильноети опционов, логарифмической линейной регрессии и формул Блэка-Шоулса реализована нелинейная регрессионная модель прогнозирования цен закрытия торгов по опционным контрактам в зависимости от соответствующей цены базового актива.

2. Выполнены статистические исследования точности прогноза цен биржевых опционов на индексы акций. Подтверждена высокая точность прогнозирования цен закрытия торгов на период от 1 до 3 торговых дней.

3. Предложена древовидная модель сценариев цены базового актива и ее волатильности на основе схемы Кокса-Росса-Рубинштейна и GARCH -моделей волатильности. Модель гарантирует отсутствие возможности арбитражных операций с базовым активом производных финансовых инструментов.

4. На основе многоэтапного стохастического программирования разработана стратегия и модель управления портфелем фьючерсов и опционов, которая учитывает биржевые котировки инструментов, транзакционные издержки и необходимость поддержания биржевого залога. Установлен ряд свойств решения оптимизационной задачи, которые обеспечивают его соответствие требованиям к процессу управления портфелем.

5. Залоговое ограничение модели детализировано для случая портфеля фьючерсов и опционов биржи EUREX. Полученная в результате оптимизационная задача относится к классу задач многоэтапного стохастического программирования с линейными ограничениями и может быть решена известными методами.

6. Модель управления портфелем фьючерсов и опционов детализирована для случая залоговых требований наиболее распространенной в мире системы управления риском производных инструментов SPAN. При этом модель трансформируется в совокупность задач многоэтапного стохастического программирования с линейными ограничениями. Доказано, что портфель, полученный в результате реализации рекомендаций по покупке и продаже инструментов, удовлетворяет залоговым требованиям SPAN.

7. На основе схемы ветвей и границ разработан метод решения задачи управления портфелем в условиях залоговых ограничений SPAN, сокращающий количество решаемых подзадач. Метод обеспечивает сокращение затрат машинного времени приблизительно на 72%.

Исследование эффективности метода решения задачи проведено с использованием разработанной программной системы HEDGER.

8. Разработана система ARBITR для управления портфелем фьючерсов и опционов на индекс S&P 500 на бирже СМЕ. Решение оптимизационной задачи управления портфелем осуществляется при помощи пакета MATLAB. Используемая модель учитывает залоговые ограничения SPAN СМЕ. По результатам экспериментов доходность управления портфелем варьируется в диапазоне от 15 до 50 процентов годовых.

9. Проведен анализ известных моделей оценки эффективности управления при наличии дополнительных вложений и изъятии средств в рассматриваемом периоде управления портфелем, который может содержать базовые активы и производные финансовые инструменты. Показано, что для каждой из моделей существуют ситуации, при которых ее оценка не адекватна реальным результатам управления портфелем.

10. Разработана формальная система требований, которым должна удовлетворять модель оценки эффективности управления при наличии дополнительных транзакций. Предложена модель «собственного эталона», в основе которой лежит принцип сравнения внутренней доходности портфеля с внутренней доходностью эталонного портфеля с такими же транзакциями. При этом доходность эталонного портфеля в периоды между транзакциями равна соответствующей доходности рынка. Доказано, что предложенная модель удовлетворяет сформулированным требованиям.

11. Разработана и внедрена система оценки эффективности управления портфелем российских государственных облигаций TREASURE, реализующая модель «собственного эталона». Внедрение системы привело к весьма значительному повышению эффективности работы менеджеров банковского портфеля.

1. Agarwal Р.К., Bhattacharya В.К., Sen S. Improved algorithms for uniform partitions of points // Algorithmica. 2002. - V.32. - №4. - P521-539.

2. Aichison J., Brown J.A.C. The lognormal distribution. Cambridge: Cambridge University Press, 1966.

3. Aingworth D.D and others. A simple approach for pricing equity options with Markov chain switching state variables Online. Nov. 2005. - 22p. -scumis.scu.edu/~srdas/switch.pdf (forthcoming in Quantitative Finance).

4. Ait-Sahalia Y., Lo A.W. Nonparametric Estimation of State-Price Densities Implicit in Financial Asset Prices // Journal of Finance. 1998. - V.53, N2. - P.499-598.

5. Andersen T.G., Bollerslev Т., Diebold F.X. Modeling and forecasting realized volatility // Econometrica. 2003. - V.72, №2. - P.679-525.

6. Ansel J.P., Strieker S. Courverture des actifes contingents // Ann. Inst. H.Poincare. 1994. - V.30, №2. -P.303-315.

7. Antoniou I., Gorshkov Yu.S., Ivanov V.V., Kryanev A.V. Forecasting financial derivative prices // Chaos, Solitons and Fractals. 2000. - №11. -P.223-229.

8. Archibald T.W. and others. Nested Benders decomposition and dynamic programming for reservoir optimization // Journal of the Operational Research Society. 1999. - V.50, №5. -P.468-479.

9. Arfken G. Lagrange Multiplier // Mathematical Methods for Physics, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press. 1985. -P.945-950.

10. Avellaneda M., Paras A. Managing the volatility risk of portfolios of derivative securities: the lagrangian uncertain volatility model // Mathematical Finance. 1996. - №3. - P.21-52.

11. Avellaneda M., Friedman С., Holemes R., Sampery D. Calibrating volatility surface via relative entropy minimization // Applied Mathematical Finance. -1997. -№4. -P.37-64.

12. Andersen L., Brotherton-Ratcliffe R. The equity option volatility smile: an implicit finite-difference approach // The Journal of Computational Finance. -1998.-№1(2).-P.5-32.

13. Andersen T.G. and others. The distribution of Realized Stock Return Volatility // Journal of Financial Economics. 2001. - V.61. - P43-76.

14. Bailey J.V., Richards T.M., Tierney D.E. Benchmark portfolios and the manager/plan sponsor relationship // Journal of Corporate Finance. 1988. -V.4, №4. - P.25-32.

15. Bailey J.V. Are manager universes acceptable performance benchmarks? // Journal of portfolio management. 1992. - V.18, №3. - P.9-13.

16. Bailey J.V. Evaluating benchmark Quality // Financial analysts journal. -1992. V.48, №3. - P.33-39.

17. Baillie R.T., Bollerslev T. Prediction in Dynamic Models with Time Dependent Conditional Variances // Journal of Econometrics. 1992. -V.52.-P.91-113.

18. Ball C.A., Roma A. Stochastic Volatility Option Pricing // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1994. - V.29. - P.589-605.

19. Bates D.S. Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Process Implicit in DeutscheMark Options // Review of Financial Studies. 1996. - V.9. -P.69-107.

20. Bates D.S. Post-87 crash fears in the S&P 500 futures option market // Journal of Econometric. -2000. -V.94. P. 181-238.

21. Bates D.S. Testing option pricing model // Statistical methods in finance. Handbook of statistics. 1996. - V.14. - P.567-611.

22. Beber A. Determinants of the implied volatility function on the Italian Stock Market Online. // ALEA Tech. Report. 2001. - N10. - 39p. -http://eprints.biblio.unitn.it/archive/00000291/0^eber2001.pdf

23. Belongia, M.T. Predicting interest rates: a comparison of professional and market based forecasts // Federal Reserve Bank of St.Louis, Review. 1987. -V.69.-P. 9-15.

24. Bera A.K., Higgins M.L. ARCH Models: Properties, Estimation and Testing // Journal of Economic Survey. 1993. - №7. - P.305-362.

25. Beraldi P., Ruszczynski A. A branch and bound method for stochastic integer problems under probabilistic constraints // Optimization Methods and Software.-2002.- V.17, №3.-P.359-382.

26. Berger A. J., Mulvey J. M., Rothberg E., Vanderbei R. Solving multistage stochastic programs using tree dissection. Stochastic and operation research report 95-7. Princeton University. -1995.

27. Berkelaar A. and others. A primal-dual decomposition-based interior point approach to two-stage stochastic linear programming // Oper. Res. 2002. - V.50, №5. - P.904-915.

28. Bhattacharyya S., Troutt M.D. Genetic search over probability spaces // European J. Oper. Res. 2003. - V.144, №2. -P.333-347.

29. Billio M., Pellizzon L. Option smile and switching volatility Online: Working paper n.00.01. Feb. 2000. - 18p. http://www.greta.it/italiano/pagine/PdfFile/00.01 .PDF.

30. Birge J. R. Stochastic programming computation and applications // Informs Journal on Computing. 1997. - V. 9. - P. 111-133.

31. Black F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. // Journal of Political Economy. 1973.- V. 81, №3. p. 637-654.

32. Black F. The pricing of commodity contracts // Journal of Financial Economics. 1976. - №3. - P. 167-179.

33. Blaskovitz O.J., Hardle W., Schmidt P. Trading on Derivations of Implied and Historical Densities. in W. Hardle, T. Kleinow and G. Stahl (eds), Applied Quantitative Finance, Springer Finance, Springer Verlag, 2002. -P. 197-218.

34. Bloom J. A. Solving an electricity generation capacity expansion planning problem by generalized Benders' decomposition // Operations Research. -1983. V.31. -P.84-100.

35. Blomvall J., Lindberg P. 0. A Riccati-based primal interior point solver for multistage stochastic programming // European J. Oper. Res. 2002. -V. 143. - №2. - P.452-461.

36. Boender C. G. E., van Aalst P. C., Heemskerk F. Modeling and management of assets and liabilities of pension plans in the Netherlands. in "Worldwide asset and liability modeling". - Cambridge University Press, 1998. - P. 561-580.

37. Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity // Journal of econometrics. 1986. - V.31. -P.307-327.

38. Bollerslev Т., Chou R.Y., Kroner K.F. ARCH Modeling in Finance: A Review of the Theory and Empirical Evidence // Journal of Econometrics. -1992.-V.52.-P.5-59.

39. Bollerslev Т., Engle R.F., Nelson D.B. ARCH Models // Handbook of Econometrics. V.4. - Ch.49. - Elsevier Sciences, 1994. - P.2959-3038.

40. Bouchoev I., Isakov V. The inverse problem of option pricing // Inverse Problems. 1997. - V. 13. - P. 11 -17.

41. Boyle P.P., Emanual D. Discretely adjusted option hedges // Journal of Financial Economics. 1980. -N.8. - P.259-282.

42. Boyle P.P., Vorst T. Option replication in discrete time with transaction costs // The Journal of Finance. -1992. V.XLVII, №1. - P.271 - 293.

43. Bradley S. P., Crain D. B. A dynamic model for bond portfolio management // Management science. 1972. - V.19. - P. 139-151.

44. Branger N., Schlag C. Why is the index smile so steep // Review of Finance. -2004. -№8.-P. 109-127.

45. Brannas K., Nordman N. Conditional skewness modeling for stock return // Applied Economics Letters. 2003. - №10. - P.725-728.

46. Brinson G., Diermeier J.J., Schlarbaum G.G. A composite portfolio benchmark for pension plans // Financial Analysts Journal. 1986. -V.42, №2.-P.15-24.

47. Britten-Jones M., Neuberger A. Option Prices, Implied Price Processes, and Stochastic Volatility // The Journal of Finance. 2000. - V.LV. - №2. -P.839-866.

48. Caballero R., Cerda , M. M. Munoz, and L. Rey. Analysis and comparisons of some solution concepts for stochastic programming problems // Top. -2002. V.10, №1. - P.101-123.

49. Cakici N., Topyan K. The GARCH Option Pricing Model: A Lattice Approach // Journal of Computational Finance. 2000. - №3(4). - P.71-85.

50. Cakici N., Foster K.R. Trees from History // Risk. 2002. - V.15(8). -P.87-90.

51. Carhart M.M. On persistence in mutual fund performance // Journal of Finance. -1997. V.52. - P.57-82.

52. Carino D. R., Turner A. L. Multiperiod asset allocation with derivative assets. in "Worldwide asset and liability modeling". - Cambridge University Press, 1998. - P. 182-204.

53. Carpenter Т., Lustig I., Mulvey J. Formulating stochastic programs for interior point method // Mathematics of Operation Research. -1991. V.16. -P. 119-147.

54. Chen Z.-L., Li S., Tirupati D. A scenario-based stochastic programming approach for technology and capacity planning // Comput. Oper. Res. -2002. V.29, №7. - P.781-806.

55. Chernov M., Gallant R., Ghysels E., Tauchen G. Alternative Models for Stock Price Dynamics // Journal of Econometrics. 2003. - V.l 16. - Issue 1-2. -P.225-257.

56. Chicago Mercantile Exchange (1999): The Standard Portfolio Analysis of Risk (SPAN) performance bond system at the Chicago Mercantile Exchange. Technical specification.

57. Chicago Mercantile Exchange (1999): PC-SPAN Performance Bond Calculation Algorithm Functional Specification. PC SPAN Release 3.10c.

58. Chiras D.P., Manaster S. The information content of option prices and a test of market efficiency // Journal of Financial Economics. 1978. - №6. -P.213-234.

59. Clearing risk based margining. EUREX Clearing AG Online. 2003. -www.eurexchange.com.

60. Coggin T.D., Fabozzi F.J., Rahman S. The investment performance of U.S. equity pension fund managers: an empirical investigation // Journal of Finance. 1993. - V.48, №3. - P.1039-1055.

61. Coleman T.F., Li Y., Verma A. Reconstructing the unknown local volatility function // The Journal of Computational Finance. 1999. - V.3, №2. -P.77-102.

62. Coleman T.F., Kim Y., Li Y., Verma A. Dynamic Hedging in a Volatility Market Online. Cornell University Library. - 1999. - 9p. -http://techreports.librarv.cornell.edu:8081/Dienst/UI/1.0/Displav/cul.tc/2003 -274.

63. Consigli G., Dempster M. A. H. The CALM stochastic programming model for dynamic asset-liability management. in "Worldwide asset and liability modeling". - Cambridge University Press, 1998. - P. 464-500.

64. Cont R., da Fonseca J. Dynamics of implied volatility surface // Quantitative finance. 2002. - V.2. - P.45-60.

65. Cox J.C., Ingersol J.E., Ross S.A. The relationship between forward and futures prices // Journal of Financial Economics. 1981. - №9. - P.321-346.

66. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option Pricing: a Simplified Approach. // Journal of Financial. Economics. 1979.- V. 7, №3. - P. 229-263.

67. Cox J.C., Ross S.A. The valuation of options for alternative stochastic processes //Journal of Financial Economics. 1976. -№3. -P.145-166.

68. Crepey S. Calibration of the local volatility in a generalized Black-Sholes model using Tikhonov regularization // SIAM Journal of Mathematical Analysis. 2003. - V.34, N5. - P. 1183-1206.

69. Cumby R., Figlewski S., Hasbrook J. Forecasting volatilities and correlations with EGARCH models // The Journal of Derivatives. 1993. - №1, 2. -P.51-63.

70. Dalang R.C., Morton A., Willinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models // Stochastic and Stochastic Reports. 1990. - V.29, №2. - P. 185-201.

71. Dambreville F., Cadre J.-P. Detection of a Markovian target with optimization of the search efforts under generalized linear constraints // Naval Res. Logist. 2002. - V.49, №2. - P. 117-142.

72. Daniel K. and others. Measuring mutual fund performance with characteristic-based benchmarks // Journal of Finance. 1997. - V.52. -P.1035-1058.

73. Dantzig G. Linear Programming and Extensions. Princeton University Press. - 1963.

74. Dantzig G.B., Infanger G. Large-scale stochastic linear programs-importance sampling and Benders decomposition. In "Computational and applied mathematics, I", 1992. - P.l 11-120.

75. Dantzig J. В., Infanger J. Multistage linear stochastic programs for portfolio optimization//Management Science. 1993. - V.l. - P. 197-206.

76. Deak I. Computing two-stage stochastic programming problems by successive regression approximations. in "Stochastic optimization techniques", 2002. - V.513 of Lecture Notes in Econom. and Math. Systems. - P.91-102.

77. Delbaen F., Schachermayer W. A general version of the fundamental theorem of asset pricing // Mathematische Annalen. 1994. - V.300, №3. -P.463-520.

78. Dembo R. S. Scenario immunization. in Zenios S. A. (ed.). "Financial optimization". - Cambridge University Press, 1995. - P. 291-308.

79. Dempster M. A. H., Ireland A. Object-oriented model integration in a financial decision support system // Decision support systems. -1991. V.7. - P. 329-340.

80. Dempster M.A.H., Thompson G.W.P. Dynamic portfolio replication using stochastic programming. RiskLab, Cambridge, Centre for Financial Research, University of Cambridge, 2001. - 38p.

81. Derman E., Kani I. Riding on a smile // Risk. 1994. - №7. - P.32-39.

82. Derman E., Kani I. The local volatility surface: Unlocking the information in index option prices // Financial Analysts Journal. 1996. - P.25-36.

83. Derman, E. & Kani, I. Stochastic implied trees: arbitrage pricing with stochastic strike and term structure // International Journal of Theoretical and Applied Finance.-1998.- №1.- P.61-110.

84. Dert C. L. Asset liability management for pension funds, a multistage chance-constrained programming approach. Ph.D. thesis. Erasmus University Rotterdam, 1995.

85. Diebold F.X., Lopez J.A. Modeling Volatility Dynamics. In "Macroeconometrics: Developments, Tensions and Prospects". - Kluwer Academic Press, 1995. - P.427-472.

86. Duan J.C. The GARCH option pricing model // Mathematical Finance. -1995. V.5, №1. - P. 13-22.

87. Duan J.C. A Unified Theory of Option Pricing under Stochastic Volatility -from GARCH to Diffusion. Hong Kong University of Science and Technology. - 1996.

88. Duan J.C. Augmented GARCH(p,q) Process and its Diffusion Limit // Journal of Econometrics. 1997. - V.79. - P.97-127.

89. Duan J.C. and J.G. Simonato. American Option Pricing under GARCH by a Markov Chain Approximation // Journal of Economic Dynamics and Control. -2001. V.25, №11, P.1689-1718.

90. Duan J.C. and others.// Approximating American Option Prices in the GARCH Framework, Journal of Futures Markets. 2003. - V.23, №10. -P. 915-929.

91. Duan J.C. and others. Pricing discretely monitored barrier options by a Markov chain Online. Working paper, 2004. - 40p. -http://www.cirano.qc.ca/pdfypublication/99s- 15.pdf.

92. Duffie D. Dynamic Asset Pricing Theory. Princeton, 1996. - 472p.

93. Dumas В., Fleming J., Whaley R.E. Implied Volatility Functions: Empirical Tests // Journal of Finance. 1998. - V.53, №6. -P.2059-2106.

94. Dupacova J., Consigli G., Wallace S.W. Scenarios for multistage stochastic programs // Ann. Oper Res. 2001. - V.100. - P.25-53.

95. Dupacova J., Hurt J., Stepan J. Stochastic Modeling in Economics and Finance, volume 75 of Applied Optimization. Kluver Acad. Publ, 2002.

96. Dupacova J. Applications of stochastic programming: achievements and questions // European J. Oper. Res. 2002. - V.140, №2. - P281-290.

97. Dupire B. Pricing with a smile // Risk. 1994. - №7. - P18-20.

98. Duque J., Paxson D. Implied Volatility and Dynamic Hedging // The Review of Futures Markets. 1994. - V.13, №2. - P.381-421.

99. Durbin J. Testing for serial correlation in least-squares regression when some of the regressors are lagged dependent variables // Econometrica. -1970. V.38, №3. - P.410-421.

100. Edirising C., Naik V., Uppal R. Optimal Replication of Options with Transaction Costs and Trading Restrictions // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1993. - V.28, №1. - P.l 17-138.

101. El Karoui N., Quenez M.C. Dynamic programming and pricing of contingent claims in an incomplete market // SIAM J. Control Optim. -1995. V.33, №1. - P.29-66.

102. Engle R.F. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of UK inflation // Econometrica. 1982. - V.50. - P.987-1008.

103. Engle R., Gonzales-Rivera G.A. Semiparametric ARCH Models // Journal of Business and Economic Statistics. 1991. - №9. - P.345-359.

104. Engle R.F., Ng V.K. Measuring and Testing the Impact of News on Volatility // Journal of Finance. 1993. - V.48. - №5. - P. 1749-1779.

105. Ermoliev Y., Wets R.J-B. (editors). Numerical Techniques for Stochastic Optimization. Berlin: Springer Verlag, 1988.

106. Esipov S., Vaysburd I. On the Profit and Loss Distribution of Dynamic Hedging Strategies // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 1999. - V.2, №2. - P.131-152.

107. Fabian C.I., Ргёкора A., Ruf-Fiedler O. On a dual method for a specially structured linear programming problem with application to stochastic programming // Optim. Methods Softw. 2002. - V.17, №3. - P.445-492.

108. Fama E.F., Kenneth R.F. Common risk factors in the returns on bonds and stocks // Journal of financial economics. 1993. - V.33. - P.3-53.

109. Fan Y., Carino D. R. Nested versus non-nested decomposition for asset allocation problems. Report presented at the 15th International Symposium on Mathematical Programming, Ann Arbor, August, 1994.

110. Fedotov S., Mikhailov S. Option pricing for incomplete market via stochastic optimization: transaction costs, adaptive control and forecast // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 2001. - V.4, №1.-P. 179-195.

111. Fleming J. The Quality of Market Volatility Forecasts Implied by S&P 100 Index Option Prices // Journal of Empirical Finance. 1998. - №5. - P.317-345.

112. Fleten S.-E., Hoyland K., Wallace S.W. The performance of stochastic dynamic and fixed mix portfolio models // European J. Oper. Res. 2002. -V.140, №1. -P.37-49.

113. Folmer H., Schweizer M. Hedging of contingent claims under incomplete information In: "Applied Stochastic Analysis". - Amsterdam: North-Holland, 1986. - P.389-413.

114. Folmer H., Sondermann D. Hedging of non-redundant contingent claims -In: "Contributions in Mathematical Economics". Amsterdam: North-Holland, 1986.-P.205-223.

115. Folmer H., Kabanov Y.M. On the optional decomposition theorem and the Lagrange multipliers. Preprint, 1995.

116. Franke G., Stapleton R.C., Subrahmanyam M.G. When Are Options Overpriced? The Black-Schouls Model and Alternative Characterization of The Pricing Kernel // Eurupean Finance Review. 1999. - V.3, №1. - P.79-102.

117. Galai D. The components of the return from hedging options against stocks //Journal of Business. 1983. - V.56. -P.45-54.

118. Gardner, E. and McKenzie, E. (1985). Forecasting trends in time series // Management Science. 1985. - V.31, №10. - P. 1237-1246.

119. Gassman H. I. MSLiP: A computer code for the multistage stochastic linear programming problem // Math Programming. 1990. - V.47. - P. 407-423.

120. Gemmil G. Did Option Traders Anticipate the Crash? Evidence from Volatility Smiles in the UK with US Comparisons // The Journal of Futures Markets. 1996. - V.16, №8. - P.881-897.

121. Geyer A.L.J., Schwaiger W.S.A. Delta Hedging bei stochastischer Volatilitat in diskreter Zeit (mit W. Schwaiger) // Financial Markets and Portfolio Management. 2001. - V. 15, №1. - P94-103.

122. Ghoudi K., Giannopoulos K. A market risk model for assymmetric ditributed risk factors // Modeling and Analysis of Safety and Risk in Complex Systems: Proceedings of the Fourth International Scientific School MA SR 2004. - SPb. - 2004. - P.85-90.

123. Glosten L.R., Jagannathan R., Runkle D.E. Relation between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks // Journal of Finance. 1993. - V.48. - 1179-1801.

124. Golembiovski D.J. Optimization of the soft currency dealing // Portfolio. -1996. -№l,-P.32-35.

125. Golembiovski D.J. Operative control of the GKO portfolio // Portfolio. -1996. -№1.-P.36-41.

126. Golembiovski D.J. Forex: Use of Unconformity of Cross-rates for Arbitration Operations // Portfolio. 1997. - №3. - P.81-88.

127. Golembiovski D.J. Financial optimization // Abstracts of The 3rd Moscow International Conference On Operations Research (ORM2001), April 4-6, 2001. M.: Computing Center of RAS, 2001. - P.41.

128. Golembiovski D.J., Dolmatov A.S. Comparison of two hedging strategies for stock portfolio // Abstracts of The 2rd Moscow International Conference

129. On Operations Research, November 17-20, 1998. M.: Computing Center ofRAS, 1998.-P.16.

130. Golembiovsky D.J. Derivative portfolio management // Modeling and Analysis of Safety and Risk in Complex Systems: Proceedings of the Fours International Scientific School MA SR 2004, Saint-Peterburg, Russia, June 22-25,2004.-P.253-258.

131. Golembiovsky D., Baryshnikov I. Volatility Smile at Russian Option Market // Proceedings of The International symposium on stochastic models in reliability, safety security and logistics, Beer Sheva, Israil, 2005. P. 142147.

132. Gondzio J., Kouwenberg R.R.P., Vorst T. Hedging Options under Transaction Costs and Stochastic Volatility // Journal of Economic Dynamics and Control. 2003. - V.27, №6. - P. 1045-1068.

133. Hafner R., Wallmeier M. The Dynamics of DAX Implied Volatilities // International Quarterly Journal of Finance. -2001. V.l, №1.- P. 1-27.

134. Haight G., Morrell S. The Analysis of Portfolio Management: An Institutional Guide to Assessing and Analyzing Pension Fund, Endowment, Foundation and Trust Investment Performance. N.Y.: McGraw-Hill Trade, 1997.

135. Hallahan T.A. The information content of portfolio performance history and persistence in fund performance: An examination of rollover funds // Accounting and Finance. 1999. - V.39, № 3. - P.255-274.

136. Hampu A. A stochastic programming model: the problem of minimum-risk with simple recourse // Int. J. Comput. Numer. Anal. Appl. 2002. - V.2, №3. -P.273-281.

137. Harrison J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets // Journal of Economic Theory. 1979. - V.20. - P.381-408.

138. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading // Stochastic processes and their Application. — 1981. — V. 11, №3. P.215-260.

139. Herrera C.B. Use of bootstrap approximations for solving stochastic linear programming problems // Investigation Oper. 1995. - V.16, №1-2. - P.3-10.

140. Heston S. A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options // Review of Financial Studies. 1993, V.6. - N2. - P.327-343.

141. Heston S., Saikat N. A closed-form GARCH option valuation model // Review of Financial Studies. 2000. - V13. - P.585-625.

142. Heyen R. An Empirical Investigation of Observed Smile Patterns // The Review of Futures Markets. -1994. V.13, №2. -P.317-353.

143. Hiller R.S., Eckstein J. Stochastic dedication: Designing fixed income portfolios using massively parallel Benders decomposition // Management. Sciences.-1993.-V.39, №11.-P.1422-1438.

144. Ho T.S.Y., Lee S.B. Term structure movements and pricing interest rate contingent claims // Journal of Finance. 1986. - V.41. - P. 1011-1029.

145. Hoyland K., Kaut M., Wallace S.W. A heuristic for moment-matching scenario generation // Computational Optimization and Applications. -2003. V.24, №2-3. - P. 169-185.

146. Huang Ch., Lizenberger R.H. Foundations for financial economics. -Prentice Hall Inc., 1988.

147. Hull J.C., White A. The use of the control variate technique in option pricing // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1988. - V.23. - P.237-251.

148. Hull J.C., White A. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities // Journal of Finance. 1987. - V.42. - P.281-300.

149. Hull J.C., White A. An Analysis of the Bias in Option Pricing Caused by a Stochastic Volatility // Advances in Futures and Options Research. -1988. -№3.-P.27-61.

150. Hull J.C. Options, Futures and Other Derivative Securities. 2nd ed. -Englewood Cliffts, NJ, Prentice Hall. 1993. - 698p.

151. Infanger G. Monte Carlo (importance) sampling within a Benders decomposition algorithm for stochastic linear programs // Ann. Oper. Res. -1992. -V.39.- №1-4. -P.69-95.

152. Infanger G. Planning under uncertainty: Solving large-scale stochastic linear programs. Danvers, Massachusetts: The Scientific Press, 1994.

153. Ingersoll J. E. Theory of financial decision making. Studies in financial economics. Rowmank & Littlefield, 1987.

154. Jacka S.D. A martingale representation result and application to incomplete financial markets // Math. Finance. 1992. - V.2, №4. - P.239 - 250.

155. Jackson N., Suli E., Howison S. Computation of deterministic volatility surface // The Journal of Computational Finance. 1999. - 2(2). - P.5-32.

156. Jackwerth J. C. Generalized binomial trees // Journal of Derivatives. 1977. -Winter.-P.7-17.

157. Jackwerth J. C., Rubinstein M. Recovering probability distribution from option prices//Journal of Finance. 1997.-V.51.-P. 1611-1631.

158. Jackwerth J.C., Buraschi A. Explaining option prices: Deterministic vs. Stochastic Models. Working Paper. 1998.

159. Jarrow R., Rudd A. Approximate Option Valuation for Stochastic Processes // Journal of Financial Economics. 1982. - V.10, №3. - P.347-369.

160. Jensen M.C. The performance of mutual funds in the period 1945-1964 // Journal of Finance. 1968. - V.23, №2. -P.389-416.

161. Jensen M.C. Risk, the pricing of capital assets, and the evaluation of investment portfolios // Journal of Business. 1969. - V.42, №2. - P.167-185.

162. Johnson N.J., Kotz S., Balakrishnan N. Continious Univariate Distributions. V. 1, 2nd edition. - John Wiley&Sons, 1994.

163. Joundeau E., Rockinger M. Conditional volatility, skewness and kurtosis existence, persistence and comovements // Journal of Economic Dynamic and Control. 2003. - №27. - P.1699-1737.

164. Kabanov Y.M., Safarian M.M. On Leland's strategy of option pricing with transaction costs // Finance Stoch. 1997. - №1. - P.239-250.

165. Kagel J.H., Roth A.E., editors. The handbook of experimental economics. -Princeton: Princeton University Press, 1995. 703p.

166. Kallberg J.G., White R.W. Short term financial planning under uncertainty // Management Science. 1982. - V.28. - P.670-682.

167. Karoui N., Quenez M.C. Dynamic programming and pricing of contingent claims in a incomplete market // SIAM J. Control Optim. 1995. - V.33, №l.-P.29-66.

168. Kellison S.G. The theory of interest. Boston: Irwin, 1991.

169. Kelly T.A. Barber J.R., Thurston D.C. // Actuarial Research Clearing House. -1996. -V.2.

170. Kelly T.A., Joel R.B., David C.T. Multiple currency option selection using stochastic constraints // Actuarial Research Clearing House. 1996. - V.2. -13p.

171. King A.J. Duality and martingales: a stochastic programming perspective on contingent claims // Math. Program. 2002. - V.91, №3, Ser. B. - P.543-562.

172. Klaasen P. Discretized reality and spurious profit in stochastic programming models for asset/liability management // European Journal of Operation research. 1997. - V.101, №2. - P. 374-392.

173. Klaasen P. Solving stochastic programming models for asset/liability management using iterative disagregation. In "Worldwide asset and liability modeling". Cambridge University Press, 1998. - P. 427-463.

174. Kolb R.A. and Steckler H.O. How well do analysts forecast interest rates? // Journal of Forecasting. 1996. - V.15. - P. 385-394.

175. Korn R., Korn E. Option pricing and portfolio optimization: modern methods of financial mathematics // Graduate Studies in Mathematics. -V.31. -2001.

176. Krumkov D.O, Optimal decomposition of supermartingales and hedging contingent claims in incomplete security markets // Probab. Theory Relat. Fields. 1996. - V. 105. - P.459-479.

177. Kusy M. I., Ziemba W. T. A bank asset and liability management model // Operation research. 1986. - V.34. - P. 356-376.

178. Lagnado J., Osher S. Reconciling differences // Risk. 1997. - №10. - P.79-83.

179. Lamberton D., Lapeyre B. Stochastic calculus applied to finance. -Chapman & Hall, 1984.

180. Lane M. and Hutchinson P. A model for managing a certificate of deposit portfolio under uncertainty // Stochastic Programming. Academic Press, 1980.-P. 473-493.

181. Lawrence, M.J., and Markidakis, S. Factors affecting judgmental forecasts and confidence intervals // Organisational Behaviour and Human Decision Processes.-1989.- V.43. P.172-187.

182. Laurent J.P., Pham H. Dynamic programming and mean-variance hedging // Finance and Stochastics. 1999. - V.3, №1. - P.83-110.

183. Leitch, G. and Tanner E. Economic Forecast Evaluation: Profits versus the conventional error measures // The American Economic Review. 1991. -V.81,№3. - P. 580-590.

184. Leland H.E. Option pricing and replication with transaction costs // Journal of Finance. 1985. - V.40, №5. -P.1283-1301.

185. Lim K.-G., Zhi D., Pricing Options using Implied Trees: Evidence from FTSE- 100 Options // Journal of Futures Markets. 2002. - V.22, №7. -P. 601-626.

186. Liu J., Longstaff F.A., Pan J. Dynamic Asset Allocation with Event Risk // The Journal of Finance. 2003. - V.LVIII, №1. - P.231-259.

187. Liu J., Pan.J. Dynamic derivative strategies // Journal of Financial Economics. -2003. V.69. -401-430.

188. London SPAN Version 4 Technical Information Package. April, 2001.

189. London SPAN Version 4 Parameter File Format. April, 2001.

190. Longin F. M. The asymptotic distribution of extreme stock market returns // Journal of Business. 1997. - V.69. - P. 383-408.

191. Markovitz H. Portfolio selection // Journal of Finance. 1952. - № 7. - P. 77-91.

192. Marti K. Robust optimal design: a stochastic optimization problem // In Stochastic optimization techniques (Neubiberg/Munich, 2000), volume 513 of Lecture Notes in Econom. and Math. Systems. 2002. - P.35-55.

193. Martini C., Party C. Varience optimal hedging in the Black-Sholes Model for a given number of transactions Online. Rapport de recherche №3767. - 1999. - 31p. - http://www.inria.fr/nTt/rr-3767.html.

194. Merton R.C. Theory of rational option pricing // Bell Journal of Economics and Management Science. 1973. - №4. - P.141-183.

195. Merton R.C. On market timing and investment performance 1: An equilibrium theory of value for market forecasts // Journal of Business. -1981.-V.54.- P. 363-406.

196. Monoyios M. Option pricing with transaction costs using a markov chain approximation // Journal of Economic Dynamics & Control. 2004. - V.28. -P.889-913.

197. Mulvey J. M., Vladimirou H. Stochastic network optimization models for investment planning // Annals of Operations Research. 1989. - V. 20. - P. 187-217.

198. Mulvey J. M., Ruszczynski A. A new scenario decomposition method for large-scale stochastic optimization // Operations Research. 1995. - V.43. -P. 477-490.

199. Mulvey J. M. Generating scenarios for the Tower Perrin investment system // Interface. 1996. - V.26. - P. 1-15.

200. Mulvey J. M., Ziemba W. T. Asset and liability management systems for long-term investors: discussion of the issues. In "Worldwide asset and liability modeling". Cambridge University Press, 1998. - P. 3-40.

201. Nagaev, S.A. On Stability of Continuous Time Models of a Financial Market. // Journal of Mathematical Sciences 2002. - V.l 1, №3. - P.3592-3600.

202. Nagaev, A.V. and Nagaev, S.A.: Asymptotics of riskless profit under selling of discrete time call options // Applicationes Mathematicae. 2003. - V.30. -P.173-191.

203. Nelson D. Conditional heteroscedasticity and asset returns; a new approach // Econometrica. 1990. - V.59. - P.347-370.

204. Nielsen S.S., Zenios S.A. Scalable parallel Benders decomposition for stochastic linear programming // Parallel Comput. 1997. - V.23, №8. -P.1069-1088.

205. Noh J., Engle R.F., Kane A. Forecasting volatility and option prices of the S&P 500 index // Journal of Derivatives. 1994. - V.2. - P. 17-30.

206. O'Connor, M., Remus, W. and Griggs, K. Going up going down: how good are people at Forecasting Trends and Changes in Trends? // Journal of Forecasting. - 1997. - V.16. -P.165-176.

207. Olafsson S. Shi L. Ordinal comparison via the nested partitions method // Discrete Event Dyn. Syst 2002. - V.12, №2. - P.211-239.

208. Репа I., Serna G., Rubio G. Why Do We Smile? On the Determinants of Implied Volatility Function// Journal of Banking and Finance. 1999. -V.23, №8. - p. 1151 -1179.

209. Perrakis S., Lefoll J. Option pricing and replication with transaction costs and dividends // Journal of Economic Dynamics and Control. 2000. -V.24.-P.1527-1561.

210. Pfeifer P.E. Market timing and risk reductions // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1983. - V.20, №4. - P. 451-459.

211. Poon S.-H., Granger W.J. Forecasting financial market volatility // Journal of Economic Literature. 2003. - V.41, №2. - P.478-539.

212. Prekopa A., Ruszczynski A., editors. Special Issue on Stochastic Programming. Taylor & Francis Group, London, etc. 2002. - Optimization Methods and Software (OMS). - V.17, №3.

213. Promislow S.D. A new approach to the theory of interest // Transactions of the society of Actuares. 1980. - V.32. - P.53-92.

214. Rennie E.P., Cowhey T.J. The successful use benchmark portfolios: a case study // Financial analysts journal. 1990. - V.46, №5. - P. 18-26.

215. Ritchken P., Trevor R. Pricing Options under Generalized GARCH and Stochastic Volatility Processes // Journal of Finance. 1999. - V.54. -P.377-402.

216. Rockafellar R. Т., Wets R. J.-B. Scenarios and policy aggregation in optimization under uncertainty // Mathematics of Operation Research. -1991.-V.16.-P. 119-147.

217. Rockinger M., Jondeau E. Entropy densities with an application to autoregressive conditional skewness and kurtosis // Journal of Econometrics. 2002.-V.106.-P.119-142.

218. Roll R. Performance evaluation and benchmark errors (I) // Journal of Portfolio Management. 1980. - V.6, №4. - P.5-12.

219. Roll R. Performance evaluation and benchmark errors (II) // Journal of Portfolio Management. 1980. - V.7, №2. - P. 17-22.

220. Rossi A., Gallo G.M. Volatility Estimation via Markov Models Online. -Working paper. -2002. 33p.http://www.ds.unifi.it/ricerca/pubblicazioni/working papers/2002/wp2002 14.pdf.

221. Rubinstein M. Implied binomial trees // The Journal of Finance. 1994. -V.49, №3.-P.771-818.

222. Rubinstein M. Edgeworth binomial trees // The Journal of Derivatives. -V.5, №3.-P.20-27.

223. Sakalauskas L. Nonlinear stochastic programming by Monte-Carlo estimators // European J. Oper. Res. 2002. - V.137, №3. - P.558-573.

224. Samuelson P. A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. 1965. - V.6. - P. 13-31.

225. Schnauder, M.H. and Steckler H.O. (1990). Evaluating predictions of change // Journal of Business. 1990. - V.63. - P. 99-107.

226. Scott L.O. Option pricing when the variance changes randomly: Theory, estimation and application // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1987. - V.22. - P.419-438.

227. Shackleton M., Chung S.-L. On the Errors and Comparison of Vega Estimation Methods // Journal of Futures Markets. 2004. - V.24, №12. -P.21-38.

228. Sharpe W.F. Mutual fund performance // Journal of Business. V.39, №1. -P.119-138.

229. Shapiro A., de Mello Т.Н., Kim J. Conditioning of convex piecewise linear stochastic programs // Math. Program. 2002. - V.94, №1, Ser. A. - P. 1-19.

230. Sharp K.P. Stochastic Differential Equations in Finance // Applied Mathematics and Computation. 1990. - V.37. - P. 131-148.

231. Shimko D. Bounds of Probability // Risk. 1993. - V.6, N4. - P.33-37.

232. Steckler, H.O. Are economic forecasts valuable? // Journal of Forecasting. -1994.-V.13.-P. 495-505.

233. Stein E.M., Stein C.J. Stock prices distributions with stochastic volatility: an analytic approach // Review of Financial Studies. 1991. - V.4, №4. -P.727-752.

234. Stutzer M. A Simple Nonparametric Approach to Derivative Security Valuation//Journal of Finance. 1996. - V.51. - P. 1633-1652.

235. Taleb.N.N. Dynamic hedging: managing vanilla and exotic options. N.Y.: Hardcover. -1996.

236. Taylor S. Modelling financial time series. N.Y.: Jonh Wiley & Sons. -1986.-268p.

237. Taylor S., Xu X. The Magnitude of Implied Volatility Smiles: Theory and

238. Empirical Evidence for Exchange Rates // The Review of Futures Markets. -1994. -V. 13, №2. P.355-380.

239. Taylor S. Markov processes and distribution of volatility: a comparison of discrete and continuous specification // Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A 357. P.2059-2070.

240. The London Clearing House Limited (1991): Standard Portfolio Analysis of Risk. Technical Specifications.

241. The London Clearing House Limited (1996a): Standard Portfolio Analysis of Risk, Vol. 1. LME SPAN Technical Specifications.

242. The London Clearing House Limited (1996b): Standard Portfolio Analysis of Risk, Vol. 2. London SPAN for LME. Specification for Calculation of Discount Factors and Discounted Variation Margin.

243. The London Clearing House Limited (1996c): Standard Portfolio Analysis of Risk, Vol. 3. London SPAN for LME. Specification for Calculation of Risk Arrays.

244. The London Clearing House Limited (1999): Standard Portfolio Analysis of Risk. Risk Parameter File Description.

245. Tompkins R.G. Implied volatility Surface: Uncovering Regularities for Options on Financial Futures // The European Journal of Finance. 2001. -V.7, №3.-P. 198-230.

246. Tompkins R. Stock index futures markets: stochastic volatility models and smiles // Journal of Futures Markets. 2001. - №21. -P.43-78.

247. Topaloglu H., Powell W.B. An algorithm for approximating piecewise linear concave functions from sample gradients // Oper. Res. Lett. 2003. - V.31, №l.-P.66-76.

248. Treinor J.L. How to rate management to investment funds // Harvard Business Review. 1965. - V.43, №1. - P.63-75.

249. Wiener N. Diffential space // Journal of Mathematical Physics. Math. Inst. Tech.- 1923. - V.2.-P.131-174.

250. Wiggins J.B. Option values under stochastic volatility. Theory and empirical evidence // Journal of Financial Economics. 1987. - V.19. - P.351-372.

251. Wilkie A. D. A stochastic investment model for actuarial use // Transactions of the Faculty of Actuares. 1986. - V.39. - P. 391-403.

252. Winton, E. and Edmundson, R. An examination of the judgmental identification and extrapolation of trend in time series. Working Paper. -University of New South Wales, 1992.

253. Yamada Y., Primbs J.A. Distribution-Based Option Pricing on Lattice Asset Dynamics Models // Proceedings of the 2000 American Control Conference. 2000. - V.5. - P.3393-3397.

254. Yang D., Zenios S. A. A scaleable parallel interior algorithm for stochastic linear programming and robust optimization // Computational Optimization and its Applications. 1996. - V.7. - P. 143-158.

255. Zakeri G., Philpott A.B., Ryan D.M. Inexact cuts in Benders decomposition // SIAM J. Optim. 2000. - V.10, №3. - P.643-657.

256. Zenios S. A. Asset-liability management under uncertainty: The case of mortgage-backed securities. Research report. Hermes lab for financial modeling and simulation, the Warton School, University of Pennsylvania, 1992.

257. Zenios S.A., editor. Financial optimization. Cambridge: Cambridge University Press, 1993.

258. Zhao G. A log-barrier method with Benders decomposition for solving two-stage stochastic linear programs // Math. Program. 2001. - V.90, №3. -P.507-536.

259. Агасандян Г.А. Обобщенные опционы / Г.А.Агасандян. М., 2000. -20с. - (Сообщения по прикладной математике: ВЦ РАН).

260. Агасандян Г.А. Многоступенчатый критерий VAR на реальном рынке опционов / Г.А.Агасандян. М., 2001. - 34с. - (Сообщения по прикладной математике: ВЦ РАН).

261. Агасандян Г.А. Ценообразование опционов в отсутствие безрисковых активов / Г.А.Агасандян. М., 2003. - 35с. - (Сообщения по прикладной математике: ВЦ РАН).

262. Антонов П.Ю. Экономическая эффективность методов несовершенного хеджирования финансовых опционов : Автореф. дис. к-та экон. наук / Антонов Павел Юрьевич. М. - 2004. - 25с.

263. Афонин В.А., Голембиовский Д.Ю. Финальные вероятности состояний сдвигового регистра при сигнатурном анализе конечного автомата // Автоматика и телемеханика. 1988. - №10. - С. 178-183.

264. Буренин А.Н. Рынки производных финансовых инструментов. М.: ИНФРА-М, 1996.-368с.

265. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. М.: Научно-техническое общество имени академика С.И.Вавилова, 2002. - 348с.

266. Вильяме Б. Торговый хаос: Экспертные методики максимизации прибыли. М.: ИК Аналитика, 2000. - 305с.

267. Вильяме Б. Новые измерения в биржевой торговле. М.: ИК Аналитика, 2000. - 288с.

268. Волков С.Н., Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997. - Т.4. -Вып.1.-С.18-65.

269. Галиц JI. Финансовая инженерия / Пер. с англ. А.М.Зубкова. М.: ТВП, 1988.-576с.

270. Голембиовский Д.Ю. Формирование заявки на аукцион по размещению государственных облигаций / Д.Ю.Голембиовский; МГУ. М., 1995. -8с. - Деп. ВИНИТИ 25.12.95; № 3440-В95.

271. Голембиовский Д.Ю. Теория портфеля: нужна ли она нам? // Пенсионные фонды. 1995. - №2. - С.20-22.

272. Голембиовский Д.Ю. Управление инвестиционным портфелем на основе экспертной информации // Пенсионные фонды. 1996. - №1. -С.20-22.

273. Голембиовский Д.Ю. Балансовые уравнения инвестиционных портфелей // Обозрение прикладной и промышленной математики. -1997. -Т.4, Вып.З. С.337-338.

274. Голембиовский Д.Ю. Оценка текущей доходности инвестиционных портфелей // Правила игры. 1999. - №2. - С.64-77.

275. Голембиовский Д.Ю. Валютный арбитраж, основанный на кросс-курсах // Правила игры. 1999. - №3. - С.65-71.

276. Голембиовский Д. Ю., Долматов А. С. Управление портфелем производных финансовых инструментов. I // Теория и системы управления. 2000. - №4. - С. 95-103.

277. Голембиовский Д. Ю., Долматов А. С. Управление портфелем производных финансовых инструментов. II // Теория и системы управления. 2000. - №6. - С. 90-94.

278. Голембиовский Д. Ю. Система управления биржевым залогом SPAN // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2000. - Т.7, Вып.1. - С.181-183.

279. Голембиовский Д.Ю, Аксиоматический подход к выбору метода анализа эффективности управления портфелем // Вопросы анализа риска. 2000. - Т.2, №3-4. - С.92-100.

280. Голембиовский Д. Ю., Долматов А. С. Модель оптимизации портфеля производных финансовых инструментов с учетом залоговых ограничений // Теория и системы управления. 2001. - №3. - С.75-85.

281. Голембиовский Д. Ю., Долматов А. С. Решение задачи оптимизации портфеля производных финансовых инструментов с учетом залоговых ограничений // Теория и системы управления. 2001. - №4. - С.69-77.

282. Голембиовский Д.Ю. Оптимизация портфеля финансовых инструментов // Энциклопедия финансового риск-менеджмента / Под. ред. А.А.Лобанова и А.В.Чугунова. М.: Альпина Паблишер, 2003. -С.705-734.

283. Голембиовский Д.Ю. К оценке значимости прогнозов рынка // Вопросы анализа и управления риском. 2003. - №1. - С. 12-20.

284. Голембиовский Д.Ю., Барышников И. В. Стратегии управления ценовым риском (на примере экспортно-ориентированных предприятий) // Вопросы экономики. 2003. - №8. - С.67-80.

285. Голембиовский Д.Ю., Барышников И.В. Ценообразование опционов: «улыбка» по-русски // Управление риском. 2004. - №3. - С.44-49.

286. Голембиовский Д.Ю. Расчет залога по портфелю производных инструментов // Управление риском. 2005. - №1. - С.27-48.

287. Голембиовский Д.Ю. Аппроксимация цен опционов на основе экспоненциальной модели кривой волатильноети // Системы управления и информационные технологии. 2005. - №2 (19). - С.71-76.

288. Голембиовский Д.Ю. Прогнозирование биржевых цен опционов // Управление риском. 2005. - №2. - С.20-27.

289. Голембиовский Д. Ю. Биржевое ценообразование опционов // Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2005.- Т.12, Вып.2. С.332-333.

290. Голембиовский Д.Ю. К выбору метода оценки эффективности управления портфелем // Проблемы управления. 2005. - №3. - С.59-65.

291. Голембиовский Д.Ю. Дискретные модели ценообразования опционов // «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах»: Труды Третьей Международной школы МА БР 2005, (Санкт

292. Петербург, 28 июня 1 июля, 2005г.) / ГОУ ВПО «СПбГУАП. СПб., 2005, С.187-190.

293. Давидсон М.Р., Новикова Н.М. Метод агрегирования ограничений в игровой задаче стохастического программирования // Вестник московского университета. 1998. - Сер. 15. - Вычислительная математика и кибернетика. - №2. - С.26-29.

294. Давидсон М.Р., Соломахин Д.Д. Один метод решения задач стохастического программирования с ограничениями, выполняющимися почти наверное // Вестник московского университета. 1999. - Сер. 15. - Вычислительная математика и кибернетика. - №2. - С. 10-14.

295. Демарк Т.Р. Технический анализ новая наука. - М.: Диаграмма, 2001. -280с.

296. Долматов А.С. Разработка расчетно-логической системы оптимизации портфеля производных финансовых инструментов : Дис. канд. эконом, наук: Спец. 08.00.13 / А.С.Долматов; МАИ. М., 2002. - 137с.

297. Доугерти К. Введение в эконометрику / Пер. с англ. О.О.Замкова, Е.Н.Лукаш, О.Ю.Шибалкина. М.: ИНФРА-М, 2004. - 432с.

298. Ерешко А.Ф. Методы решения одного класса многошаговых задач управления портфелем ценных бумаг : Афтореф. дис. . к-та физ.-мат. наук / Ерешко Артем Феликсович. М., 2002. - 21с.

299. Жабин Д.Н. Некоторые особенности дискретного хеджирования // Управление финансовыми рисками. 2005. - №2. - С.42-51.

300. Задачи управления в социальных и экономических системах / В.Н.Бурков, И.В.Буркова, И.А.Горгидзе и др. М.: Синтег, 2005. -256с.

301. Касимов Ю. Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. -М.: Филинь, 1998.-144с.

302. Кибзун А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. М.: Физматлит, 2002. - 224с.

303. Кини Р. Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: Радио и связь, 1981.

304. Крамков Д.О. О замыкании семейства мартингальных мер в опциональном разложении семимартингалов // Теория вероятностей и ее применения. 1996. -Т.39, Вып.З. - С.892-896.

305. Крянев А. В. Основы финансового анализа и портфельного инвестирования в рыночной экономике. М.: МИФИ, 2001.

306. Кутукова Е.С. Математическое моделирование портфеля инвестора на рынке ценный бумаг: Автореф. дис. к-та экон. наук / Кутукова Елена Сергеевна. М., 2003. - 19с.

307. Ларичев О.И. Новое направление в теории принятия решений: вербальный анализ решений // ИТиВС. 1995. - №1. - С.24-34.

308. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. М.: Логос, 2002.

309. Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М.: ТВП, 1997. - 126с.

310. Мельников А.В., Нечаев М.Л. К вопросу о хеджировании платежных обязательств в среднеквадратическом // Теория вероятностей и ее применения. 1998. - Т.43. - №4. - С.672-691.

311. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001. - 260с.

312. Мохамед Б. Моделирование операционных издержек и оптимального рехеджирования // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995. - Т.2, Вып.5. - С.752-767.

313. Мэрфи Дж. Технический анализ фьючерсных рынков: теория и практика. М.: Евро, 2004. - 592с.

314. Нагаев А.В., Нагаев С.А. Безрисковый подход продавца опциона европейского типа при гладкой функции выплат // Экономика и математические методы. 2004. - Т.40, №1. - Р. 105-115.

315. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.

316. Нечаев M.JI. О хеджировании в среднеквадратическом в диффузионной модели Хо -Ли // Теория вероятностей и ее применения. 1999. - Т.44. -№1.-С.115-119.

317. Нечаева М.С., Хамисов О.В. Метод ветвей и границ для задачи минимизации невыпуклой квадратичной функции при выпуклых квадратичных ограничениях // Дискретный анализ и исследование операций. 2000. - Серия 2. - Т.7, №2. - С.74-88.

318. Нисон С. За гранью японских свечей. М.: Диаграмма, 2001. - 304с.

319. Новикова Н.М. Стохастический квазиградиентный метод поиска максимина // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1977. -Т.17, №1. - С.91-99.

320. Новикова Н.М. Некоторые методы численного решения непрерывных выпуклых стохастических задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. - Т.31. -№11.-С.1605-1618.

321. Ованесов А., Четвериков В. Поток платежей. Будьте осторожны с усредненными характеристиками! // Рынок ценных бумаг. 1996. -№21. - С.39-42.

322. Первозванский А. А., Первозванская Т. Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: ИНФРА-М, 1994.

323. Попов А.А. Методы управления инвестиционным портфелем на фондовом рынке: Автореф. дис. . к-та экон. наук / Попов Андрей Анатольевич. М.: 2002. - 20с.

324. Рачев С.Т., Рушендорф JI. Модели и методы расчета контрактов // Теория вероятностей и ее применения. 1994. - Т.39, Вып.1. - С. 150190.

325. Селезнева Т.В., Тутубалин В.Н., Угер Е.Г. Имитация практического применения некоторых мартингальных стратегий хеджирования и спекуляций // Обозрение прикладной и промышленной математики. -1997. Т.4, Вып.1. - С. 103-124.

326. Селезнева Т.В., Тутубалин В.Н., Угер Е.Г. Исследование прикладных возможностей некоторых моделей стохастической финансовой математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2000. Т.7, Вып.2. - С.210-238.

327. Терлыга Н.Г. Динамическая реструктуризация инвестиционного портфеля на основе методов теории гарантированного управления: Автореф. дис. . к-та экон.наук / Терлыга Надежда Геннадиевна. -Екатеринбург, 2003. 21с.

328. Фабоцци Ф. Управление инвестициями / Пер. с англ. при уч. Т.Д.Когтина. М.: Инфра-М, 2000.

329. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений / Пер. с англ. -М.: Наука, 1978.

330. Чекулаев М.В. Риск-менеджмент: управление финансовыми рисками на основе анализа волатильности. М.: Альпина Паблишер, 2002. -304с.

331. Чекулаев М.В. Загадки и тайны опционной торговли. М.: ИК Аналитика, 2001. - 432с.

332. Черновский А. Как оценить эффективность управления портфелем ГКО. Рынок ценных бумаг. - 1996. - №24. - С.83-84.

333. Четыркин Е.М.Методы Финансовых и коммерческих расчетов.- М.: "Дело", "BusinessPe4b". 1992. -130с.

334. Шарп У., Александер Г., Бэйли Д. Инвестиции / Пер. с англ. А.Н.Буренина, А.А.Васина. М.: ИНФРА-М, 1997.

335. Швагер Дж. Технический анализ. Полный курс / Пер. с англ. М.: Альпина Паблишер, 2002. - 806с.

336. Ширяев А.Н. Вероятносгь-1. М.: МЦНМО, 2004. - С. 1-520.

337. Ширяев А.Н. Вероятность-2. М.: МЦНМО, 2004. - С.521-928.

338. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т.1. Факты. Модели.- М.: Фазис, 1998. 512с.

339. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т.2. Факты. Теория.- М.: Фазис, 1998. 544с.

340. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.Ю., Мельников А.В. К теории расчетов опционов европейского и американского типов. I. Дискретное время // Теория вероятностей и ее применения. 1994. - Т.39, №1. -С.21-79.

341. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.Ю., Мельников А.В. К теории расчетов опционов европейского и американского типов. И. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения. 1994. -Т.39, №1. -С.80-129.

342. Щеголева Н.Г. Стратегии хеджирования на рынках драгоценных металлов // Финансы и Кредит. 2004. - Т. 146, №8. - С.2-8.

343. Элдер А. Как играть и выигрывать на бирже. М.: Диаграмма, 2003. -349с.

344. Энциклопедия финансового риск-менеджмента. 2-е издание / Под. ред. А.А.Лобанова и А.В.Чугунова. М.: Альпина Бизнес Букс, 2005.- 878с.

345. Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа. М.: Финансы и статистика. - 1988,263с.1. Основные обозначения.

346. S цена спот базового актива;

347. ST- цена базового актива в момент времени т;а волатильность базового актива;г безрисковая ставка процента;

348. А остаток денежного счета портфеля производных инструментов;

349. Т горизонт планирования задачи управления портфелем; N- количество рассматриваемых сценариев;

350. ATV остаток счета на момент времени г в случае реализации сценария v до осуществления перестройки портфеля;

351. Пг число подмножеств множества сценариев, элементы которых совпадают в момент времени г;

352. ZTV затраты на перестройку портфеля в момент времени г,соответствующие v-му пути дерева сценариев; pv вероятность реализации v -го сценария;