автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование производных ценных бумаг на дефолт по кредитованию промышленных корпораций

На правах рукописи

Стихова Ольга Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ЦЕННЫХ БУМАГ НА ДЕФОЛТ ПО КРЕДИТОВАНИЮ ПРОМЫШЛЕННЫХ КОРПОРАЦИЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 СЕН 2011

Москва 2011

4853110

Работа выполнена в ГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Щетинин Евгений Юрьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Крянев Александр Витальевич

кандидат физико-математических наук доцент

Цветков Илья Викторович

Ведущая организация:

ГОУ ВПО Тверской государственный технический университет

Защита состоится " 42" О&ЪекэА 2011 г., в ^'ЗОчасов на заседании диссертационного совета Д 212.142.03 при ГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН» по адресу: 127994, Москва, Вадковский пер., д.За.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН».

Автореферат разослан " 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.142.03, К.Т.Н., доц. Ц^1*^ Е.Г. Семячкова

Общая характеристика работы

Актуальность

Данная диссертационная работа посвящена исследованию актуальной научной проблемы, связанной с разработкой математических моделей рыночных процессов с целью повышения качества расчетов и снижения риска инвестирования и кредитования промышленных корпораций.

В работе исследованы кредитные производные ценные бумаги (деривативы), в частности, такие как облигации, обеспеченные долговыми обязательствами (collateralized debt obligation (CDO)) и свопы на дефолт по кредиту (crédit default тар (CDS)), являющиеся индикаторами изменений состояния экономики развитых стран. Наибольший вклад в развитие исследований данной предметной области внесли такие известные зарубежные и отечественные ученые математики и экономисты как Г.Марковиц, Ф.Блэк, М.Шоулз, Р.Мертон, Р.Джерроу, ДЛандо, С.Торнбул, А.Калеманова, Р.Вернер, А.МакНейл, Р.Фрей, П.Эмбрехтс, ДЛи, О.Васичек, О.Барндорф-Нелсен, С.Рачев, Р.Колб, П.Шонбухер, В.М.Золотарев, С.И.Макаров, Е.Ю.Щетшшн, К.М.Назаренко и др. Акт 2008 года о чрезвычайной экономической стабилизации1, известный, как План Полсона или План спасения финансовой системы США2, по сути представляющий собой план мероприятий по преодолению последствий финансового кризиса 2007—2008 годов стал отправной точкой пересмотра уже имеющихся научных достижений в указанной области. Хотя План Полсона не вызвал всеобщего одобрения в экономических кругах3, необходимость данного акта не ставилась под сомнение, поскольку была продиктована обеспокоенностью инвесторов все возрастающей нестабильностью и непредсказуемостью рынков ценных бумаг и производных

1 Emergency Economie Stabilisation Actof2008 (EESA). (Mason D.M., Crédit Derivatives : Market Solutions to the Market Crisis The Héritage Foundation, April 23,2009) 1 Paulson plan или Proposed bailout of U.S. financial system. (Информационное агенство

Bloomberg // www, bloomberg. cotnl

3 Например, Карл Деннингер, посчитал план Полсона излишне дорогостоящим и не охватывающим в полной мере проблемы возникновения кризиса. (ОТС derivatives market activity. Monetary and Economie Department.2006-2009. Bank for International Settlements. Basel, Switzerland.1

инструментов. К тому же в последнее время было создано огромное количество ничем не обеспеченных кредитных обязательств, а структура внутренних расчетов продолжала оставаться крайне рискованной. Несмотря на значительное •число опубликованных работ, посвященных данной тематике, и исследований ведущих зарубежных университетов и институтов, до настоящего времени в предлагаемых ими математических моделях кредитных производных не учитываются многочисленные факторы, влияющие на поведение кредитных инструментов, требующие многопараметричности, а также отсутствует в полной мере их точное количественное описание. То же справедливо в отношении адекватных моделей дефолта по обязательствам для оценки более сложных случаев страхования риска кредитного портфеля. В результате, актуальной проблемой является создание математических моделей производных ценных бумаг на дефолт по кредиту и построение прогноза вероятности наступления дефолта по обязательствам на уровне одного и нескольких эмитентов, учитывающих многочисленные статистически значимые параметры, разработка методов верификации математических моделей оценки и полученных результатов исследования.

Целью данной диссертационной работы является совершенствование существующих и разработка новых математических моделей стоимостных показателей производных ценных бумаг на дефолт по кредиту и моделей наступления дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов на примере ценных бумаг на дефолт по кредиту для компаний производственного сектора.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

разработка математической модели наступления дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов на рынке производных ценных бумаг на дефолт по кредиту для компаний производственного сектора;

разработка математической модели стоимостных показателей производных ценных бумаг на дефолт по кредиту, учитывающей динамику их

корреляционных связей и наступления дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов для компаний производственного сектора;

разработка вычислительного алгоритма оценивания производных ценных бумаг на дефолт по кредиту, проведение на его основе количественного анализа корреляционных зависимостей цен траншей и проведение вычислительного эксперимента по расчету индексов DJ iTraxx Europe на основе рассмотренных моделей.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования диссертационной работы являются показатели рынка производных кредитных инструментов и дефолт по обязательствам одного и нескольких эмитентов на рынке производных кредитных инструментов. Предметом исследования являются математические модели наступления дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов и вычислительные методы оценивания на рынке производных кредитных деривативов.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы теории вероятностей и математической статистики, методы стохастического анализа.

К наиболее значимым результатам исследования, обладающим научной новизной, относятся:

установлена взаимосвязь вероятности дефолта эмитента производных кредитных ценных бумаг в портфеле и падения роста рыночной стоимости старшего транша ири возрастании стоимости младшего транша;

впервые предложены и разработаны новые математические модели производных ценных бумаг промышленных компаний на дефолт по кредиту: - многопараметрическая математическая модель наступления дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов, отличительной особенностью которой является то, что она учитывает сложные структуры статистической зависимости многочисленных факторов, влияющих на стоимость кредитных деривативов, позволяет сделать более надежным прогноз наступления дефолта

по обязательствам промышленных компаний на уровне одного и нескольких эмитентов;

- математическая модель стоимостных показателей производных ценных бумаг на дефолт по кредиту, отличительной особенностью которой является то, что в ней использована обобщенная гиперболическая копула для моделирования кредитных деривативов, что позволяет учитывать динамику их корреляционных связей и адекватно описывать различные типы хвостовых зависимостей, по сравнению с известными моделями позволяет сделать более точным расчет показателей стоимости производных ценных бумаг промышленных компаний;

разработан алгоритм оценивания стоимости производных ценных бумаг на дефолт по кредиту в промышленном секторе, что дает возможность оценивать риски инвестирования в портфель кредитных деривативов, при этом, за счет структурной зависимости, позволяет более точно учитывать риски инвестирования по каждому отдельному эмитенту;

впервые получены количественные оценки рисков дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов на рынке производных ценных бумаг на дефолт по кредиту по траншам, отличительной особенностью которых является точное соответствие котировкам всех траншей, что позволяет лучше оценивать ситуацию на рынке производителей промышленной продукции и прогнозировать время наступления дефолта по обязательствам синтетических CDO и CDS.

Практическая значимость работы. Результаты проведенных вычислительных экспериментов по моделированию стоимостных показателей продуктов рынка производных кредитных ценных бумаг производителей промышленной продукции, обеспеченных долговыми обязательствами и подверженных дефолту, показали высокую эффективность разработанных моделей и алгоритмов. Предложенные многопараметрические математические модели могут быть использованы для определения степени воздействия многочисленных факторов наступления дефолта по кредитным обязательствам промышленных компаний, как на стадии планирования производственного

процесса, так и на стадии массового производства и реализации готовой промышленной продукции. Разработанные в диссертации математические модели, а также вычислительные алгоритмы и программные модули для среды статистических вычислений Я могут быть использованы для определения сроков и оценки риска наступления дефолта по обязательствам в случае одного и нескольких эмитентов-промышленных компаний. Также предложенные математические модели могут быть использованы для оценивания кредитных рисков по деривативам и прогнозирования стоимостных показателей производных ценных бумаг промышленных компаний на дефолт по кредиту.

Апробация работы. Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики (МГТУ СТАНКИН 2007-2010 гг.), на ХУ-ХУШ Международных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна-Пущино 2007-2010гг.), на Международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем» (Москва 2008г.), на ХЫИ-ХЬУ Всероссийской конференции по проблемам информатики, физики и химии (Москва 2007-2009гг.), на Х-Х1И научных конференциях МГТУ СТАНКИН (Москва 2007-2010 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 статей в научно-технических журналах и сборниках, в том числе 3 статьи из перечня изданий, рекомендованных ВАК, 10 тезисов докладов в трудах Всероссийских и Международных конференций.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, изложенных на 162 страницах машинописного текста, содержит 17 рисунков, 3 таблицы, приложение и список литературы из 147 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность исследуемой темы диссертации, сформулированы основные цели и задачи исследования, определена научная

новизна, практическая значимость и область применения результатов исследования. Приведена структура диссертационной работы и дано краткое описание ее глав.

В первой главе на основе обзора работ теоретического и прикладного характера рассмотрены классические модели наступления дефолта, границы их применимости на рынке производных кредитных инструментов4 и существующие подходы к моделированию структур статистической зависимости дефолта по портфелю кредитных деривативов.

В п.1.1. отмечены характеристики финансового риска, способы его контроля и оценки, такие как хеджирование, страхование и диверсификация, в том числе диверсификация портфеля ценных бумаг с целью снижения риска на фондовом рынке, а также выделено понятие «производных» от стандартных финансовых активов5. В п.1,2. дано описание рынка финансовых инструментов, рассмотрены наличные и синтетические ценные бумаги, такие как облигации, обеспеченные долговыми обязательствами (CDO) и своп на дефолт по кредиту (CDS), функциональные характеристики кредитных деривативов (производных), необходимые для решения задач, поставленных в диссертационной работе. Также рассмотрена технология ограничения риска путем распределения потенциальных убытков по «траншам» (частям, сегментам) в портфеле ценных бумаг и приоритетность «траншей» согласно распределению дохода, получаемого инвесторами, рассмотрена корреляция дефолтов в базовом портфеле, влияющая на стоимость траншей и представлена краткая характеристика выпускаемых с 2003 года CDS-индексов, отражающих ситуацию на рынке по конкретным эмитентам.

Транши и их денежные потоки проиллюстрированы на рисунке 1. Продавец защиты в транше CDO оплачивает покупателю защиты любой убыток

4Экономико-математические методы и модели. Учебное пособие под ред. С.И.Макарова-М.:КНОРУС,2007.-232с

5 Колб Роберт У.Финансовые деривативы.Учебник.Изд 2-е/Перевод с англ.-М.:Информациошга-издательский дом «Филшгь»,1997.-360с

от дефолта в инвестиционном портфеле в интервале от нижней согласованной точки его транша до верхней согласованной точки его транша.

В п.1,3. рассмотрены классические модели наступления дефолта, поставлены основные задачи диссертации, связанные с моделированием наступления дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов на рынке кредитных деривативов. В первых моделях кредитного риска не учитывалась рыночная информация и дефолт по ценным бумагам наступал при падении совокупной стоимости активов эмитента ниже определенного порога. Затем, в моделях Ландо6 время наступления дефолта подчинялось пуассоновскому процессу, что позволило ввести зависимость между текущей стоимостью и интенсивностью дефолта. Вариации модели отличаются по частичным возмещениям потерь в случае дефолта. Данные модели не отражают динамику сроков наступления дефолта, что существенно для долговых обязательств, подобных СБО.

Первоначальный портфель

премия ■защита

CDS CDS 125 рэвновчвешенных имен CDS CDS CDS CDS CDS CDS,_____CDS CDS CDS CDS

I! It I! 1! li

0-3% Д-10% 10-15% 1:5-30% 30-100% -час»

убытков портфеля, покрытая сделкой CDO

транш мезоннн старmini МЕНЬШИЙ самый

no транш транш ig самых старший

кагаггалу старших транша! транш

СТЮ транши Рис.1. Структура СЬО В п. 1.4. описаны методы моделирования структур статистической зависимости дефолта по портфелю кредитных деривативов. Первые модели кредитного риска ДЛи7 предполагали корреляцию функций интенсивности при экспоненциальном росте параметров корреляции с увеличением числа эмитентов, подверженных риску дефолта, но это не эффективно в случае более

6 Lando D. On Cox Processes and Credit Risky Securities. Review of Derivatives Research, Vol.2: 99-120, 1998

' Li, D. X. (2000). On Default Correlation: A Copula Approach;The Journal of Fixed Income ,Vol. 9,

двух эмитентов, подверженных риску дефолта8. Ф.Шонбухер, Д.Шуберт и Э.Родж применили функции копулы при моделировании дефолта со стохастическими интенсивностями к пороговым переменным при вычислении многомерных вероятностей дефолта9. Многомерные распределения дефолта учтены в моделях на основе копул, ставших рыночным стандартом для оценки корзины кредитных деривативов, в частности, по CDO контрактам. С помощью гауссовской модели копулы из соответствующих рыночных данных можно выделить прогнозируемые корреляции транша.

Во второй главе получены выражения для вероятности наступления дефолта, установлена связь интенсивности и вероятности наступления дефолта, предложена и исследована модель наступления дефолта по кредитным обязательствам для одного и нескольких эмитентов, а также рассмотрены задачи определения стоимости кредитных ценных бумаг CDO и CDS для проведения численных экспериментов в данной диссертационной работе.

В п.2.1. описана математическая модель наступления дефолта по одному эмитенту. Она имеет следующий вид:

т = inf{í: N, = 1},

где т - время наступления, a N = (N,)liSÍ- процесс дефолта; Л = (Л, ):га -неотрицательная непрерывная справа и ограниченная слева функция интенсивности дефолта.

Вероятность дефолта до наступления момента времени t, с учетом отсутствия дефолта эмитента и рыночной информации до момента времени s :

A Käu

Pdef{t\s) = \-E\e '

В п.2.2. предложена и исследована модель наступления вероятности дефолта кредитных обязательств по множеству эмитентов. В случае п эмитентов на временном интервале т' для каждого эмитента i, i=l,...,n функция индикатора

* Davis М. and Lo V. (2001) Infectious defaults. Quantitative Finance, Vol. 1 pages 382-386

9 Schönbucher P. J. and Schubert D. Copula Dependent Default Risk in Intensity Models. Working Paper, Department of Statistics, Bonn University, 2001

10

дефолта А? =1^¡=1,...,п. Время дефолта определено, как первый момент

времени, когда значение функции (е 0 )(>д становится меньше переменной и1, равномерно распределенной на [0,1]:

I

-¡Л'els

г' = lnf{/:e 0 <и'}, где структура зависимости U=(U',..., U") задана конулой С, многомерной функцией распределения со стандартными одномерными границами10.

Вероятность отсутствия дефолта до момента времени t, при отсутствии дефолта эмитентов к Ф j до момента времени s, дефолта эмитента j в момент времени и и наличие большого числа информационных параметров:

МЛ)

OXj

В п.2.3. при определении цены CDS базового портфеля", использована модель вероятности дефолта по одному эмитенту. Распределение времени дефолта12, откалибровано на основании котировок CDS. Сделка своп по кредитному дефолту инициирована в нулевой момент времени со сроком истечения Т. Все премиальные платежи совершены во временном интервале 0<7]<...<7^=Г при ожидаемой сумме выплат N и годовой ставкой s по

спрэду и где Л = (Л, ),г0 - функция интенсивности дефолта соответствующего т

-\rsds

эмитента и дисконт Е[е 1 ¡FJ]>0, Vi <Т. В случае наступления дефолта до наступления срока защиты, продавец защиты должен осуществить

10 Schdnbucher, P. J. (2003). Credit Derivatives Pricing Models. Wiley Finance. Series. John Wiley & Sons Ltd Chichester, UK.

" Свопы на дефолт по кредиту credit default swap(CDS)

12 O'Kane, D. and Turnbull, S. Valuation of Credit Default Swaps. Fixed Income Quantitative Credit Research, Lehman Brothers, April, 2003

компенсационную выплату (I-.RJ/V, г<7'. При оценке премиальной части учитываются накопленные выплаты.

Стоимость защитной части вычисляется по формуле:

Vprol(0) = E[ft-Ri)NA,e° dt\

о

где о - функция ставки возмещения.

Стоимость премиальной части вычисляется по формуле:

и и т, -|(г.+Л,)Л

*U(0) = £[I>° 5ЛГД,] + £[£ j5iV(i-rMHe« Л], /=1 ¡=1 г,_,

где s - ежегодный спрэд CDS.

Спрэд CDS фиксируется таким образом, чтобы значение премиальной части и части защиты были равны:

t

Т -\(ru+*u)du

Е{\{\-Щ)1,е о dt]

о — ~ •

л I

м -](r,+^)dt м Т, -\{ги+^и

ЕЦе « Д,+ 1 J (i-^OV 0 dt]

'=1 <=1^-!

1 sk

Интенсивность дефолта: Л =—ln(--1-1).

Д (1-й)

В п.2.4. при определении цены CDO транша базового портфеля, использована модель вероятности дефолта по множеству эмитентов13. Пока не происходит кредитных случаев, эмитент CDO регулярно выплачивает премию (страховой взнос) инвестору транша14. В случае дефолта инвестор (продавец защиты) выплачивает эмитенту CDO (покупателю защиты) сумму, в размере понесенных потерь. Следующая премия (страховой взнос) выплачивается с учетом вычета суммы убытков. Цена защиты CDO транша покрывает убытки

13 Облигации, обеспеченные долговыми обязательствами (collateralized debt obligation (CDO))

14 Lucas, D. (2001): CDO Handbook; Global Structured Finance Research Report, JP Morgan Securities

базового портфеля между двумя заданными пороговыми значениями К] и К2. N - ожидаемый доход соответствующего портфеля, ежегодный в спрд по

траншу и Л^ = (Кг-К1 )Л'р - ожидаемый доход по траншу. Даты выплат 0<7| <...<ТМ = Т, где Т - срок исполнения обязательств. /0 < // - дата оценки. Премиальные платежи осуществлены во время г* за период оплаты от 4./ до Премия во время г* выплачена по оговоренной стоимости в данный момент времени. Эмитент I , 1< I < п в портфеле испытывает состояние дефолта с

интенсивностью X,1. пропорциональный убыток от дефолта по траншу

(Кь К2) до момента времени I (в % от номинала транша)15.

Стоимость защиты определяется размером ожидаемых убытков от дефолта по траншу и вычисляется по формуле:

т -¡ru<iu

\ О

¡е » NtrdL{sK^]

Стоимость премиальной части транша вычисляется как текущая цена всех ожидаемых выплат по спрэду, где интервал в платежах Д; = Т-, - Тм:

■ 0 sA,Ntr--^-

М 1=1

При выпуске транша СБО спрэд по траншу б (оплата сверх оговоренной суммы и в случае транша капитала) определен таким образом, что значения премиальной части и части защиты равны:

з

Т -\rudu

\Е[г 0 4*1*2)]

О_

0 А/—^ - ' 1=1 2

Х2)

15 LehmanBrothers. The Lehman Brothers guide to exotic credit derivatives. Risk Waters Group, 2003

При известной непрерывной функции распределения убытков портфеля Р(1,х), частичные ожидаемые убытки транша СО О (Къ К2)\

1 (тт(*,£2) - К^^х) = К2~К1 К,

1

(

Кг-К\

1 1

J {x~K{)dF{t,x)- ) (x-K2)dF(t,x)

к\ кг

Jfl -р)Ч>~\х)-К

Гр

Основной задачей при оценке траншей CDO является определение функции распределения убытков базового портфеля16. Распределение убытков от дефолта в портфеле в любое время t, аппроксимируется следующим образом:

Г rz-г„.-ь . .Л

\

1 5 А

Интенсивность дефолта Я=—1п(———+1), где savg - средний спрзд CDS портфеля.

А (1-Я)

В ходе исследования процесса котировки обязательств по одному и множеству эмитентов отмечено, что вывод распределения F(x) не тривиален и зависит от дефолта различных эмитентов в базовом портфеле, так как возникновение непропорционально большого количества дефолтов приводит к тяжелохвостому распределению убытков. В случае CDO также необходимо учесть время дефолтов, так как премиальные платежи зависят от невыплаченной ранее оговоренной стоимости, которая уменьшается в течение периода существования контракта, если происходит дефолт эмитента.

В третьей главе представлена математическая модель распределения убытков при оценке кредитных деривативов и проведена оценка CDO и CDS.

В п.3.1. проведен подробный анализ моделей распределения убытков в портфеле кредитных деривативов, таких как однофакторная модель копулы Гаусса, двойная нормальная обратная однофакторная гауссовская модель копулы, те же модели со стохастическими факторами и рассмотрены аппроксимации большого портфеля в данных моделях.

15 Vasicck, О. "The Distribution of Loan Portfolio Value." Risk, 12 (2002)

14

В п.3.2. предложена многопараметрическая модель ценообразования кредитных деривативов, основанная на обобщенной гиперболической копулс с обобщенными гиперболическими границами. В основе данной модели лежит GH распределение17. Данная модель мпогопараметрична и структура зависимости задана GH-копулой (Copula Generalized Hyperbolic (CGH)), что позволяет одновременно моделировать хвостовую зависимость и различные распределения граничных областей.

Для получения GH копулы плотность foi{d :

к" * =-1 ;-х " с! д

С2*)»;Н2ЛГд(^) + + г-Г1 г)}2

где ^-модифицированная функция Бесселя третьего рода с областью определения К и индексом тяжелохвостосги-Х, ^-коэффициент масштабирования, ^-параметр формы, ц-параметр сдвига, 2-ковариационная матрица, у-параметр асимметрии.

Параметры //еК; если Д<0;,£>0,у>0, если Х = 0;

если Л>0 и |Е|'•= 1 для идентификации. Вектор X~СНс!(А,%,Ч',Ц,АА',у)

определен как Х=(Л + соу+4(йАХ, где а~ОЮ{1,/,ц/) -

положительная скалярная случайная переменная, не зависящая от матриц

1, А е и ц,у параметры в Ш.а.

В этом же пункте сформулирована и доказана теорема об аппроксимации большого портфеля модели СН-копулы со случайной факторной нагрузкой.

Теорема. Допустим, задана аппроксимация большого портфеля модели йН-капупы со случайной факторной нагрузкой, убыток доли ценных бумаг X обусловлен У =у и частная вероятность дефолта имеет вид:

11 Barndorff -Nielsen, O. E. "Exponentially Decreasing Distributions for the Logarithm of Particle size", Proceedings of the Royal Society London, A 353, 1977

РЬ)=Р{Х, \Y)=PLI EZSSEZJIу FGH

к-

-I-'ОМ -

Тогда, доля ценных бумаг в портфеле, подверженных дефолту, задана с помощью р (у).

х)=Р(р(у) = Fg],fr) j= p(a(Y)Y±K-ul^},{x)- м) ■

Обозначив Q(x) = К~ vFq}j (х) - т, обусловленный убыток У=у, долю обесцененных ценных бумаг в портфеле X зададим с помощью р(у) и получим:

lim Р(Х>х) = P(a(Y)Y<fi(x),Y <в) + P(a(Y)Y<D.(x),Y>0), и тогда интегральная функция распределения примет вид:

*■«(*)=1- Ип» Р{Х>х)=\-N-+а>

ТГ

В портфеле т кредитных инструментов с прибылью актива 4(0 1"г0 эмитента до времени I вероятность дефолта каждого эмитента:

' К-ау

p„(y)-Fa

.41 -

-а

Распределение убытков портфеля при доле убытков портфеля хе[0,1] и пороговых значениях дефолта = (/?(/)), где р(1) нейтральная к риску вероятность дефолта каждого эмитента портфеля:

^о «,*)=1 - Рои, (0 - л/о"^¿Щщ(х))) •

Ожидаемые убытки транша в многопараметрической модели обобщенной гиперболической копулы:

ЩкикЛ!)=1г-Цг12 (* - №>(',*)+(1 - .

Таким образом, в отличие от применяемых ранее многомерных моделей, СОН модель стоимостных показателей производных ценных бумаг на дефолт по кредиту учитывает предельную независимость и хвостовую зависимость.

Современные программные комплексы, реализующие многие частные случаи многомерных распределений, не позволяют проводить подобные расчеты, поскольку в них не учитываются смешанные параметры, независимые границы, особенности распределения убытков в портфеле при оценке кредитных деривативов, таких как CDO и CDS, и при нахождении убытка по траншам, что представляет интерес в данной диссертационной работе.

О 0-1 «.4 «.6 ».¡i i

Рис.2. Плотность GH-копулы cah(n¡,...,ud) Структура параметризации разработанной нами модели позволила разработать эффективный вычислительный алгоритм оценивания параметров. Проведена верификация предложенной модели на симулированных данных.

В четвертой главе проведена проверка адекватности математической модели вероятности наступления дефолта и модели стоимостных показателей по обязательствам одного и нескольких эмитентов-промышленных компаний и осуществлена верификация результатов, полученных в ходе построения моделей, с установлением границ применимости на реальных данных.

В п.4.1. для оценки модели на базе GH копулы применялось несколько методов18:

- метод максимального правдоподобия;

18 McNeil A.J., Frey R., Embrechts Р. "Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools", Princeton University Press, 2005

- метод максимального правдоподобия при ранговой корреляции ML (RCML);

- метод ранговой корреляции максимального правдоподобия Монте-Карло (Monte Carlo Rank Correlation ML method);

- иммитационный метод моментов (SGMM);

- EM алгоритм19 для GH копулы;

Два последних метода являются наиболее эффективными при проверке адекватности предложенной математической модели ценообразования кредитных деривативов в случае одного и нескольких эмитентов. Метод SGMM при оценке распределений не зависит от границ. При данном методе псевдовыборка не нуждается в преобразовании при каждой итерации алгоритма максимизации. ЕМ алгоритм для GH копулы позволяет вычислить ожидание вспомогательного логарифмического правдоподобия на основе вводимых данных и текущих параметров оценки, а затем путем их максимизации получить последующий набор оценок.

Рис.3. Предполагаемые базовые корреляции В п.4.2 представлен разработанный алгоритм интерпретации на основе математической модели оценивания кредитных деривативов и модели наступления дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов, показана работа разработанного программного модуля для среды статистических вычислений ft.

15 Barndorff -Nielsen, О. Е. "Hyperbolic Distributions and Distributions on Hyperbolae", Scandinavian Journal of Statistics 5, 1978, pp. 151-157

18

В п.4.3. проведены вычислительные эксперименты в программных средах Excel, Matlab, R для 12-ти серий индекса DJ-iTraxx, а также подробно описывается реализация математической модели и проводится анализ полученных результатов в ходе вычислительных экспериментов на основе

программных комплексов.

Рис.4. Функции распределения убытков портфеля и функции плотности

Таблица 1.

Оценка траншей DJ iTraxx на базе различных распределений

Рынок Модель Гаусса t(4)-*4) КЗ)- t(J) NIG(l) NIG<2) Stocb Gauss(2) Gauss(l) Stocb NIG CGH

0-3% 24.3% 24.3% 24.3% 24.3% 24.3% 24.3% 24.3%

3-6% 157.3Ър 238.7Ьр 167.ЗЬр 148Ьр 157.3Ьр 157.3bp 247.4bp 249.3bp 247.8bp 157.3 bp

6-9% 47.1Ьр 59.01Ьр 37.21Ър 44.7Ьр 37.6bp 37.7bp 43.6bp 49.7bp 53.1bp 48,lbp

9-12% 2!.7Ьр 18.9Ьр 28.98Ьр 27.8Ьр 30Ibp 30.23bp 19.74bp 17.8bp 21.5bp 21.7bp

12-22% 11.73Ьр 8.78Ьр 16.66Ьр 17.7Ьр 17.73bp 17.1bp 25.28bp 21.7bp 21.54bp 11.7bp

абсолютная погрешность 24.3% 115,ЗЬр 31.85Ьр 25.81Ьр 21.34bp 21.75bp 29.3bp 41.1bp 5.7bp 8.3bp

корреляция 157.ЗЬр 17.4% 32.71 bp 27.81 bp 16.3% 15.8% 17.7% 17.6% 17.3% 23.9%

Анализ полученных результатов показал, что модели на базе БН копулы

применимы для описания поведения и расчета стоимостных показателей кредитных деривативов и показывают хорошее соответствие стоимостным показателям индекса DJ-iTraxx Europe, что позволяет адекватно оценивать ситуацию на рынке и точно прогнозировать время наступления дефолта.

Общие выводы и результаты работы

1) Решена задача математического моделирования процесса наступления дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов производных ценных бумаг на дефолт по кредиту применительно к производителям промышленной продукции, имеющая важное значение для повышения эффективности работы предприятий, корпораций и других структур.

2) Установлены корреляционные связи между вероятностью дефолта эмитента производных кредитных ценных бумаг в портфеле и падением роста рыночной стоимости старшего транша при возрастании стоимости самого младшего транша. Результаты исследований и анализа рынка производных кредитных ценных бумаг выявили важное эмпирическое свойство показателей стоимости продуктов рынка производных кредитных ценных бумаг - влияние динамики корреляции на время наступления дефолта.

3) Разработаны новые математические модели производных ценных бумаг промышленных компаний на дефолт по кредиту:

- модель наступления дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов, отличительной особенностью которой является то, что она корректно учитывает многочисленные статистически значимые параметры и позволяет оценивать риски инвестирования в портфель кредитных деривативов, принимая во внимание риски инвестирования по каждому отдельному эмитенту;

- модель стоимостных показателей, отличительной особенностью которой является использование обобщенной гиперболической копулы для моделирования поведения кредитных деривативов, что позволяет учитывать динамику их корреляционных связей и описывать различные типы хвостовых зависимостей;

Предложенные математические модели позволяют статистически адекватно оценивать ситуацию на рынке кредитных деривативов, могут быть использованы для определения степени воздействия многочисленных факторов на наступление дефолта по обязательствам и коррекции поведения различных финансовых и промышленных компаний на рынке.

4) На основе разработанных моделей предложен новый алгоритм оценивания стоимости производных ценных бумаг на дефолт по кредиту для промышленных корпораций, что позволяет проводить качественные исследования рынка кредитных деривативов. Данный алгоритм может быть использован на практике для определения сроков и оценки риска наступления дефолта по обязательствам как в случае одного, так и нескольких эмитентов.

5) Разработан программный модуль для среды статистических вычислений R для моделирования и прогноза стоимостных показателей производных ценных бумаг на дефолт по кредиту эмитентов в портфеле на основе ценовых показателей индекса DJ iTraxx Europe, отличительной особенностью которого является уменьшение времени вычислений и увеличение производительности.

6) Проведена серия вычислительных экспериментов по моделированию стоимостных показателей продуктов рынка производных кредитных ценных бумаг производителей промышленной продукции, обеспеченных долговыми обязательствами и подверженных дефолту, как на искусственно сгенерированных выборках, так и с использованием реальных данных и проведена верификация результатов. Результаты проведенных вычислений, в том числе для предприятий различной сферы деятельности показали высокую эффективность разработанных моделей и алгоритмов.

7) Полученные результаты могут быть использованы при подготовке специалистов в учебном процессе по направлениям 231300 «Прикладная математика» и 220700 «Автоматизация технологических процессов и производств».

Разработанные модули программ, представляющие интерес для широкого круга пользователей, переданы в библиотеку вычислительных алгоритмов и программ кафедры «Прикладная математика» ГОУ ВПО Ml ГУ «СТАНКИН».

Публикации по теме диссертации:

Публикации в журналах, входящих в перечень ведущих периодических изданий ВАК РФ:

1. Щетинин Е.Ю, Стихова О.В. Математическое моделирование производных ценных бумаг на дефолт по кредиту на основе моделей копул. / Научно-практический и информационно-аналитический сборник «Финансовая аналитика: проблемы и решения», «Издательский дом ФИНАНСЫ и КРЕДИТ», 7(49)-2011, стр. 16-25.

2. Стихова О.В. Математическое моделирование статистик финансовых данных и их эмпирических распределений. / Научно-практический журнал «Аудит и финансовый анализ» №3 2008-М: ООО ДСМ Пресс, 2008, стр.159-168.

3. Стихова О.В. Вычисление характеристик стационарных случайных последовательностей экстремальных величин. / Научно-практический журнал «Прикладная эконометрика» №4(8)2007-М: ООО Маркет ДС Корпорейшн, 2007, стр. 18-26.

Другие публикации:

4. Стихова О.В. Методы оценивания и математическое моделирование финансовых рисков при высокой нестабильности рынков капитала. / XIV конференция серии «Математика. Компьютер. Образование». Сборник научных тезисов под ред. Г.Ю.Ризниченко, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» г.Ижевск, 2007год, стр.236.

5. Стихова О.В. Моделирование экстремальных убытков неоднородного портфеля кредитных ценных бумаг. / «Математика. Компьютер. Образование». Сборник научных трудов. Том1. Выпуск 14. Под ред. Г.Ю.Ризниченко, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» г.Ижевск, 2007год, стр.221-229.

6. Стихова О.В. Моделирование и оценка экстремальных убытков портфеля кредитных ценных бумаг. «Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем». Ежегодный сборник научных трудов, вып.Ю/ Под ред. Л.А.Уваровой.-М.: «Янус-К», 2007г. стр.140-145.

7. Стихова О.В. Оценка портфеля кредитных ценных бумаг и моделирование экстремальных убытков. I ХЫП Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. Секция физики.-М: Изд-во РУДН, 2007, стр.34.

8. Стихова О.В. Моделирование статистик финансовых данных. / XV конференция серии «Математика. Компьютер. Образование». Сборник научных тезисов под ред. Г.Ю.Ризниченко, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» г.Ижевск, 2008г., стр.291.

9. Стихова О.В. Кредитные деривативы. Математические методы моделирования рисков. / Международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем».Сборник тезисов. М.: МГУП, 2008г., стр. 89-90.

10. Стихова О.В. Моделирование и оценка кредитных рисков. Кредитные деривативы. / XL.IV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. Секция физики.-М: Изд-во РУДН, 2008г., стр.50.

11. Стихова О.В. Математические методы и моделирование поведения кредитных деривативов. / XVI конференция серии «Математика. Компьютер. Образование». Сборник научных тезисов под ред. Г.Ю.Ризниченко, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» г.Ижевск, 2009г.; стр.390.

12. Стихова О.В. Математическое моделирование поведения кредитных деривативов. / XL.II Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. Секция «Прикладная теория вероятностей и теоретическая иформатика». М: Изд-во РУДН, 2009г., стр.123124.

13. Стихова О.В. Математические модели кредитных деривативов. / Материалы XII научной конференции МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике: Программа. Сборник

докладов. / Под ред. О.А.Казакова - М.: ИЦ ГОУ ВПО МГТУ «Станкин», 2009г., стр.84-86.

14. Стихова О.В. О математических моделях поведения кредитных деривативов. «Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем». Ежегодный сборник научных трудов, вып.12. Материалы международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем». Том1. / Под ред. Л.А.Уваровой. М.: «Янус-K»,2009г., стр.226-238.

15. Стихова О.В. Математические модели и оценка кредитных деривативов. / XVII конференция серии «Математика. Компьютер. Образование». Сборник научных тезисов под ред. Г.Ю.Ризниченко, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» г.Ижевск, 2010г., стр.309.

16. Стихова О.В. О некоторых математических моделях распределения убытков при оценке кредитных деривативов. «Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем». Ежегодный сборник научных трудов, вып.13. Материалы международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем». Под ред. Л.А.Уваровой. М.: «Янус-K», 2010г., стр.127-136.

17. Стихова О.В. Математическое моделирование процессов ценообразования кредитных деривативов. / Материалы XIII научной конференции МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике: Программа. Сборник докладов. / Под ред. О.А.Казакова. М.: ИЦ ГОУ ВПО МГТУ «Станкин», 2010г., стр.60-61.

Подписано в печать:

19.07.2011

Заказ № 5748 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www. autoreferat. ru

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. РЫНОК КРЕДИТНЫХ ДЕРИВАТИВОВ И МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

ЗАВИСИМОСТЕЙ.

Ы.Финансовый риск.

1.2. Кредитные деривативы и их функциональные характеристики.

1.2.1. Рынок финансовых инструментов.

1.2.2. Риски по траншам кредитных деривативов.

1.2.3. Корреляция дефолтов.

1.2.4. CDS-индексы.

1.2.5. Прочие кредитные деривативы.

1.3. Классические модели времени наступления дефолта и оценки корпоративного долга.

1.4. Подходы к моделированию зависимости от портфельного дефолта.

1.5.0сновные результаты.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОЛТА ПО ОБЯЗАТЕЛЬСТВАМ ОДНОГО И МНОЖЕСТВА ЭМИТЕНТОВ.

2.1. Моделирование дефолта по одному эмитенту.

2.2. Моделирование дефолта по множеству эмитентов.

2.3. Определение стоимости CDS.

2.4. Определение стоимости CDO.

2.5. Основные результаты.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УБЫТКОВ ПРИ

ОЦЕНКЕ КРЕДИТНЫХ ДЕРИВАТИВОВ. ОЦЕНКА CDO И CDS.

3.1. Модели распределения убытков в портфеле кредитных деривативов.

3.1.1. Однофакторная модель копулы Гаусса.

3.1.2. Аппроксимация большого портфеля (LHP) в однофакторной модели копулы Гаусса

3.1.3. Двойная нормальная обратная однофакторная гауссовская модель копулы (двойная NIG модель).

3.1.4. Аппроксимация большого портфеля (LHP) в двойной нормальной обратной однофакторной гауссовской модели копулы (двойная NIG модель).

3.1.5. Однофакторная гауссовская модель копулы с дополнительными стохастическими факторами.

3.1.6. Аппроксимация большого портфеля (LHP) в однофакторной гауссовской модели копулы с дополнительными стохастическими факторами.

3.1.7. Двойная однофакторная модель NIG копулы с дополнительными стохастическими факторами.

3.1.8. Аппроксимация большого портфеля (LHP) в двойной однофакторной модели NIG копулы с дополнительными стохастическими факторами.

3.2. Модель обобщенной гиперболической копулы.

З.З.Основные результаты.

ГЛАВА 4. ОЦЕНКИ И АЛГОРИТМ. ОЦЕНКА DJ ITRAXX EUROPE.

4.1. Оценка модели обобщенной гиперболической копулы различными методами

4.1.1. Метод максимального правдоподобия.

4.1.2. Снижение размерности при использовании метода максимального правдоподобия для GH-копулы.

4.1.3. Максимальное правдоподобие для GH-копулы при ранговой корреляции.

4.1.4. Ранговая корреляция максимального правдоподобия Монте-Карло для GH-копулы .ИЗ

4.1.5. Имитационный обобщенный метод моментов для GH-копулы.

4.1.6. Алгоритм максимизации ожидания (ЕМ алгоритм).

4.2. Алгоритм интерпретации и разработанное программное обеспечение.

4.3. Проведение вычислительных экспериментов и анализ результатов.

4.3.1. Механизм дефолта в индексе DJ iTraxx Europe.

4.3.2. Чувствительность корреляции к ценам траншей.

4.3.3. Построение зависимостей.

4.3.4. Оценка DJ iTraxx на базе разных моделей.

4.4.0бщие выводы.

Российская экономика, как составная часть мировой экономики в последнее время постоянно сталкивается с проявлениями кризисных явлений в области риск-менеджмента. Действия отдельных участников рынка вызвали цепную реакцию обрушения цен на рынке американской недвижимости, что, согласно общему мнению, привело к кризису американской финансовой системы, и как следствие - кризису мировой экономической системы. Среди множества вариантов'выхода из кризисной ситуации выделяется предложение по развитию внерыночного оборота кредитных деривативов (рынок которых резко вырос в последние годы) и, в том числе, высоко ликвидного рынка свопов на дефолты по кредиту {crédit default swap - CDS) и облигаций, обеспеченных долговыми обязательствами (collateralized debt obligation - CDO) [1-3].

Впервые математическую модель оптимального портфеля ценных бумаг разработал Гарри Марковиц. Он проанализировал способы подбора портфеля при различных начальных условиях для акций, представляющих собой рискованный актив. Уильям Шарп предложил однофакторную модель рынка капиталов и один из первых ввел альфа и бета характеристики акций, впоследствии ставшие всемирно известными. Джеймс Тобин предложил проводить макроэкономические исследования оптимизации подбора портфеля ценных бумаг, причем, в относительно безрисковые активы размещать не менее 40% от капитализации портфеля, проанализировав долгосрочные государственные облигации и депозитные вклады [4-6].

В настоящее время существует множество моделей расчета кредитного риска и оценки кредитных деривативов [7-9]. Следует отметить несколько ключевых работ, определивших два основных подхода к расчету времени дефолта для моделирования дефолта одного эмитента.

Первый подход характеризуют структурные модели кредитного риска, основанные на модели оценки корпоративного долга, предложенные впервые в работах Фишера Блэка и Майрона Шолза в 1973 году, и Роберта Мертона в 1974 году [10-12]. Структурный подход определяет дефолт как эндогенную функцию балансовой стоимости фирмы, но при этом отсутствует какая-либо привязка к информации рынка кредитных деривативов. Краткому обзору различных структурных моделей посвящены работы [13-15]. Но рынку кредитных деривативов требуются новые модели оценки кредитного риска, позволяющие путем применения простых и динамических ценовых формул достичь результата, соответствующего рыночным котировкам ценных бумаг, таким, например, как цены на облигации с риском дефолта или свопы дефолта по кредиту, в том числе промышленных компаний [7], [16-17].

Второй подход характеризуют упрощенные модели кредитного риска и модели интенсивности, первоначально предложенные в работах Роберта Джероу и Стюарта Турнбулла в 1995 году, где время наступления дефолта рассчитывалось, как экзогенная случайная переменная в балансовой оценке эмитента, никак не влияющая на наступление дефолта. Подход определял время наступления дефолта как перманентную остановку времени, которой управляет пуассоновский случайный процесс, причем все параметры модели, определяющие время дефолта, исходили из рыночных данных. При нулевом страховом возмещении интенсивность Л рассматривалась как кредитный спрэд, определяющий возможность дефолта. Однако, на длительном интервале времени спрэды не являются постоянными во времени, а ведут себя стохастически или, по крайней мере, детерминировано, что противоречит модели Р. Джероу и С. Турнбулла [18-19]. Вскоре после появления первой модели с постоянной интенсивностью, Давид Ландо в 1998 году развил подход Джероу-Турнбулла, с учетом стохастических интенсивностей, не потеряв при этом достижений первоначальной модели. В модели Ландо время наступления дефолта подчинялось пуассоновскому процессу, что позволило ввести зависимость между текущей стоимостью и интенсивностью дефолта [20].

Современные методы компьютерного моделирования широко применяются при решении задач с использованием всех подходов в финансовой области. Многие задачи моделирования финансовых зависимостей успешно могут быть решены с использованием прикладных пакетов математического моделирования, таких, как Matlab, S-Plus, R, MathCAD и Mathematica [8], [21-30].

Однако, в настоящее время стремительное расширение рынка кредитных деривативов диктует необходимость активного совершенствования существующих и развития новых методов моделирования поведения вторичного рынка обязательств эмитентов-промышленных компаний, а также прогнозирования поведения процессов дефолта по обязательствам в будущем. Таким образом, возникает новый комплекс задач построения адекватной модели распределения убытка при оценке портфеля кредитных деривативов компаний производственного сектора.

Рост рынка породил спрос на простые формулы оценки. Можно наблюдать использование больших портфелей CDO, т.е. большого количества ценных бумаг эмитентов в одном портфеле, к которым применимы отдельные структурные допущения, что приводит к упрощенным формулам их оценки. Вопросы оценки кредитных деривативов рассмотрены многими авторами в работах [8], [31-41].

Однофакторная модель, основанная на копуле Гаусса и представленная Дэвидом Ли, стала рыночным стандартом для оценки CDO и наиболее часто применяется в финансовых расчетах [42]. Предельная аппроксимация большого портфеля (LHP), опирающаяся на закон больших чисел, была впервые предложена в работах Олдриха Васичека [43-44]. Хвостовая зависимость, включенная в однофакторную модель кредитного портфеля, в результате дает более качественную оценку. Однако, сильно увеличивается время вычисления, так как распределение t-Стьюдента не устойчиво при конволюции, что делает невозможным использование модели для объемных вычислений, таких, как вычисление оптимального распределения активов в портфеле инвестора по различным классам активов, включая CDO.

В работе [45] была предпринята попытка найти причину несоответствия рыночных котировок и результатов моделирования. Различными авторами были предложены различные способы увеличить хвостовую зависимость в модели. Одним из подходов было введение дополнительных стохастических факторов в модель. Лейф Андерсен и Джакоб Сидениус расширили гауссовскую однофакторную модель с помощью случайных возмещений и случайных факторных нагрузок [46]. Авторы работы [47] учли возможные скачки дефолта. Также, было предложено использовать копулы, демонстрирующие более явно хвостовую зависимость, такие, как копула Маршал-Олкина в работах Андерсена и Сидениуса, t-Стьюдент копула в. работе Доминика О'Кейна и Лутца Шлёгеля, Светлозара Рачева и др., двойное t-распределение в работах Джона Халла и Алана Уайта [46], [48-53].

К.Бертшел, Д. Грегори и Ж.-П. Лорен выполнили сравнительный анализ модели копулы Гаусса, стохастического обобщения корреляции гауссовской копулы, модели t-Стьюдент копулы, двойной t-факторной модели, копулы Клейтона и Маршал-Олкина копулы [54]. Модели копул t-Стьюдент и Клейтона обеспечили результаты, подобные модели копулы Гаусса. Копула Маршал-Олкина привела к сильному увеличению хвоста. Результаты двойной t-факторной модели и модели стохастической корреляции наиболее соответствовали рыночным котировкам, как и модель факторной нагрузки Андерсена и Сидениуса [46]. Также, предлагалось использовать модификацию модели LHP, заменив распределение t-Стьюдента обратным нормальным гауссовским распределением (NIG), сравнивая свойства модели с гауссовской и двойной t-копулами. Использование NIG распределения значительно ускоряло время вычислений и добавляло больше гибкости в структуру зависимости.

Одномерное ОН распределение, первоначально предложенное для моделирования разносимых ветром песчинок, было использовано в эконометрике для обработки финансовых данных. В. работах О.Барндорф-Нелсена, Э.Эберлейна, У. Келлера, К.Прауза, Н. Шефарда, А. МакНейла, Р. Протасова, У. Хью были рассмотрены многопараметрические версии ОН (МОН) применительно к данным прибыли актива [27-2], [55-60]. Однако, многомерность приводит к невозможности моделировать предельную независимость и совместные экстремальные события в управлении риском или в регулировании кредитного риска. К тому же, МОН фиксируют одинаковые средние и разнообразные скачки, тогда как в финансовой области было бы предпочтительней учесть различные смешанные скачки и подсемейства ОН для каждого предела;

Несмотря на значительное число опубликованных работ, посвященных данной тематике, и теоретических исследований' ведущих зарубежных университетов и институтов, до настоящего времени в предлагаемых ими математических моделях кредитных производных не учитываются многочисленные факторы, влияющие на поведение кредитных инструментов, требующие многопараметричности, а также отсутствует в полной мере их точное количественное описание. То же справедливо в отношении построения адекватной модели дефолта по обязательствам для оценки более сложных случаев страхования риска кредитного портфеля [61-62].

Актуальным становится создание математических моделей производных ценных бумаг на дефолт по кредиту, в том числе компаний производственного сектора, и построение прогноза вероятности наступления дефолта по обязательствам на уровне одного и нескольких эмитентов, учитывающих многочисленные статистически значимые параметры, разработка методов верификации математических моделей оценки и полученных результатов исследования.

Все вышеизложенное и определило цель настоящей диссертации. Целью работы является совершенствование существующих и разработка новых математических моделей стоимостных показателей производных ценных бумаг на дефолт по кредиту и моделей наступления дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов на примере ценных бумаг на дефолт по кредиту для компаний производственного сектора. Объектом исследования диссертационной работы являются показатели рынка производных кредитных инструментов и дефолт по обязательствам одного и нескольких эмитентов на рынке производных кредитных инструментов. Предметом исследования! являются математические модели наступления дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов и вычислительные методы оценивания на рынке производных кредитных деривативов.

Для, достижения поставленной цели, при использовании методов теории вероятностей и математической статистики, методов стохастического анализа, требуется решение следующих задач:

1) разработка математической модели наступления дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов на рынке производных ценных бумаг на дефолт по кредиту для компаний производственного сектора;

2) разработка математической модели стоимостных показателей производных ценных бумаг на дефолт по кредиту, учитывающей динамику их корреляционных связей и наступления дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов для компаний производственного сектора;

3) разработка вычислительного алгоритма оценивания производных ценных бумаг на дефолт по кредиту, проведение на его основе количественного анализа корреляционных зависимостей цен траншей и проведение вычислительного эксперимента по расчету индексов DJ iTraxx Europe на основе рассмотренных моделей.

К наиболее значимым результатам исследования, обладающим научной новизной, относятся:

1) установлена взаимосвязь вероятности дефолта эмитента производных кредитных ценных бумаг в портфеле и падения роста рыночной стоимости старшего транша при возрастании стоимости младшего транша.

2) предложены и разработаны новые математические модели производных ценных бумаг промышленных компаний на дефолт по кредиту:

- многопараметрическая математическая модель наступления дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов, отличительной особенностью которой является то, что она учитывает сложные структуры статистической зависимости многочисленных факторов, влияющих на стоимость кредитных деривативов, что позволяет сделать более надежным прогноз наступления дефолта по обязательствам промышленных компаний на уровне одного и нескольких эмитентов;

- математическая модель стоимостных показателей производных ценных бумаг на дефолт по кредиту, отличительной особенностью которой является то, что в ней использована обобщенная гиперболическая, копула для моделирования кредитных деривативов, что позволяет учитывать динамику корреляционных связей и адекватно описывать различные типы хвостовых зависимостей, по сравнению с известными моделями позволяет сделать более точным расчет показателей стоимости производных ценных бумаг промышленных компаний.

3) разработан алгоритм оценивания стоимости производных ценных бумаг на дефолт по кредиту в промышленном секторе, что дает возможность оценивать риски инвестирования в портфель кредитных деривативов, при этом, за счет структурной зависимости, позволяет более точно учитывать риски инвестирования по каждому отдельному эмитенту;

4) получены количественные оценки рисков дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов на рынке производных ценных бумаг на дефолт по кредиту по траншам, отличительной особенностью которых является точное соответствие котировкам всех траншей, что позволяет лучше оценивать ситуацию на рынке производителей промышленной продукции и прогнозировать время наступления дефолта по обязательствам синтетических CDO и CDS.

Предложенные многопараметрические математические модели могут быть использованы для определения степени воздействия многочисленных факторов наступления! дефолта по кредитным обязательствам промышленных компаний, как на стадии планирования производственного процесса, так и на стадии массового производства и реализации готовой промышленной продукции. Разработанные в диссертации математические модели, а также вычислительные алгоритмы и программные модули для среды статистических вычислений R могут быть использованы для определения сроков и оценки риска наступления дефолта по обязательствам в случае одного и нескольких эмитентов-промышленных компаний. Также предложенные математические модели могут быть использованы для оценивания кредитных рисков по деривативам и прогнозирования стоимостных показателей производных ценных бумаг промышленных компаний на дефолт по кредиту.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы, включающего 147 наименований. Работа объемом 162 страницы содержит 17 рисунков, 3 таблицы и 8 страниц приложений.

4.4.0бщие выводы

Для оценки модели на базе GH-копулы в работе применялось несколько альтернативных методов приведения CGH модели в соответствие с фактическими данными:

- метод максимального правдоподобия;

- метод максимального правдоподобия при ранговой корреляции ML (RCML);

- метод ранговой корреляции максимального правдоподобия Монте-Карло (Monte Carlo Rank Correlation ML method);

- имитационный метод моментов (SGMM);

- алгоритм ожидания-максимизации (ЕМ алгоритм) для GH-копулы;

Два последних метода являются наиболее эффективными при проверке адекватности предложенной математической модели ценообразования кредитных деривативов в случае одного и нескольких эмитентов. Метод SGMM при оценке распределений не зависит от границ. При данном методе псевдовыборка не нуждается в преобразовании при каждой итерации алгоритма максимизации. ЕМ алгоритм для GH-копулы позволяет вычислить ожидание вспомогательного логарифмического правдоподобия на основе вводимых данных и текущих параметров оценки, а затем путем их максимизации получить последующий набор оценок.

В главе разработан алгоритм интерпретации на основе математической модели оценивания кредитных деривативов и модели наступления дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов, показана работа разработанного программного модуля для среды статистических вычислений R. Проведен ряд вычислительных экспериментов в программных средах Excel, Matlab, R для 12-ти серий индекса DJ-iTraxx, а также подробно описана реализация математических моделей и проведен анализ полученных результатов в ходе вычислительных экспериментов на основе программных комплексов. Результаты представлены в виде таблиц и графиков.

Согласно результатам, сделан вывод, что однофакторная гауссовская модель, используемая практиками, мало пригодна. Добавление в данную модель случайных факторов уменьшило переоценку 3-6 % транша и повысило стоимость самого старшего транша, увеличилась скорость определения порогов дефолта К для критических переменных Хп. Однако, не удалось добиться соответствия первым четырем траншам в сравнение с двойной NIG и CGH моделями. Двойная NIG модель и двойная NIG модель с дополнительными стохастическими факторами оценивает первые четыре транша достаточно точно (NIG распределение стабильно при конволюции), но немного медленнее, чем гауссовская однофакторная модель с дополнительными стохастическими факторами, из-за сложности NIG плотности. CGH модель обеспечивает лучшие результаты, так как способна оценить наиболее быстро и достаточно точно все пять траншей. Таким образом, впервые получены количественные оценки рисков дефолта по обязательствам одного и нескольких эмитентов на рынке производных ценных бумаг на дефолт по кредиту по траншам, отличительной особенностью которых является точное соответствие котировкам всех траншей, что позволяет лучше оценивать ситуацию на рынке производителей промышленной продукции и прогнозировать время наступления дефолта по обязательствам синтетических CDO и CDS.

Согласно проведенному анализу полученных результатов, можно сделать вывод о том, что модели на базе GH-копулы применимы для описания поведения и расчета стоимостных показателей кредитных деривативов и показывают хорошее соответствие стоимостным показателям индекса DJ-iTraxx Europe. Предложенные многопараметрические математические модели позволяют лучше оценивать кредитные риски по деривативам и прогнозировать стоимостные показатели производных ценных бумаг промышленных компаний на дефолт по кредиту, а также сроки наступления дефолта по обязательствам в случае одного и нескольких эмитентов-промышленных компаний. использованы для определения степени воздействия многочисленных факторов на наступление дефолта по обязательствам и коррекции поведения различных финансовых и промышленных компаний на рынке.

4) На основе разработанных моделей предложен новый алгоритм оценивания стоимости производных ценных бумаг на дефолт по кредиту на основе разработанных математических моделей, что позволяет проводить качественные исследования- рынка кредитных деривативов. Данный алгоритм может быть использован на практике для определения сроков и оценки риска наступления дефолта по обязательствам как в случае одного, так и нескольких эмитентов.

5) Разработан программный модуль для*среды статистических вычислений R для моделирования и прогноза стоимостных показателей производных ценных бумаг на дефолт по кредиту эмитентов в портфеле на основе ценовых показателей индекса DJ iTraxx Europe, отличительной особенностью которого является уменьшение времени вычислений и увеличение производительности.

6) Проведена серия вычислительных экспериментов по моделированию стоимостных показателей продуктов рынка производных кредитных ценных бумаг производителей промышленной продукции, обеспеченных долговыми обязательствами и подверженных дефолту, как на искусственно сгенерированных выборках, так и с использованием реальных данных и проведена верификация результатов. Результаты проведенных вычислений, в том числе для предприятий различной сферы деятельности показали высокую эффективность разработанных моделей и алгоритмов.

7) Полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе по направлениям 231300 «Прикладная математика» и 220700 «Автоматизация технологических процессов и производств».

Разработанные модули программ, представляющие интерес для широкого круга пользователей, переданы в библиотеку вычислительных алгоритмов и программ кафедры «Прикладная математика» ГОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН».

1. Mason D.M. Credit Derivatives: Market Solutions to the Market Crisis The Heritage Foundation, April 23, 2009.

2. OTC derivatives market activity. Monetary and Economic Department.2006-2009. Bank for International Settlements. Basel, Switzerland, www.bis.org

3. Nolan G. The Small Bang: Current Issues in European CDS. Update from the Markit European CDS Conference. Markit Credit Derivatives Research. 12/06/2009. Markit Group. // www.markit.com

4. Markovitz H.M. Portfolio selection:Efficient Diversification of Investiment.-John Wiley&Sons InciNew York, 1959, p.344.

5. Якимкин B.H. Финансовый дилинг. Технический анализ. М.: Омега-JI, 2006. 480с.

6. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection in F.H. Hahn and F.R.P. Brechling (eds), The Theory of Interest Rate, London, Macmillan, 1965, pp.3-51.

7. Committee on the Global Financial System (2005): Bank of International Settlements, Basel.

8. Bluhm C. (2003): CDO Modeling: Techniques, Examples and Applications; Arbeitspapier,HypoVereinsbank, Dezember 2003.

9. Sidenius J., Piterbarg V., Andersen, L. (2008) A new framework for dynamic credit portfolio loss modelling; International Journal of Theoretical and Applied Finance, 11, 163-197.

10. Black F. and Scholes M. S. (1973) The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, 81(3): 637-654.

11. Merton R.C. Theory of rational option pricing. The Bell Journal of Economics and Management Science, Vol. 4, №1: 141-183, 1973.

12. Merton R.C. (1974) On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates. Journal of Finance Vol. 29, 449-470.

13. Giesecke K. Credit risk modeling and valuation: An introduction. Working Paper, Cornell University, 2004.

14. Ноздрев Н.С. Ценообразование на рынке производных финансовых инструментов. М. Экономистъ, 2005г. 250с.

15. Чернышев C.JI. Моделирование экономических систем и прогнозирование их развития. Учебник. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003. 232с.

16. O'Kane D. and Turnbull S. Valuation of Credit Default Swaps. Fixed Income Quantitative Credit Research, Lehman Brothers, April 2003.

17. Wallison P,J. Everything You Wanted to Know about Credit Default Swaps-but Were Never Told. American Enterprise Institute Financial Services Outlook, December 2008.

18. Jarrow R.A. and Turnbull S.M. Pricing Derivatives on Financial Securities Subject to Credit Risk. Cornell University and Queen's University (Canada) Journal of Finance, 50(1): 53-85, 1995.

19. Jarrow R.A., Lando D. and Turnbull S.M. A Markov Model for the Term Structure of Credit Risk Spreads. Review of Financial Studies, Vol.10, N2(1997), pp.481-523.

20. Lando D. On Cox Processes and Credit Risky Securities. Review of Derivatives Research, Vol.2: 99-120, 1998.

21. Золотарев B.M. Преобразования Меллина-Стильтьеса в теории вероятностей. Теория Вероятностей и ее применения II, вып.4, Москва. Наука (1957), 444-469.

22. Kalemanova A. and Werner R. "A Short Note on the Efficient Implementation of the Normal Inverse Gaussian Distribution." (2006), working paper.

23. Andersson J. "On the Normal Inverse Gaussian Stochastic Volatility Model", Journal of Business & Economic Statistics, 19, 2001.

24. Jensen M.B. and Lunde A. "The NIG-S&ARCH Model: a Fat-Tailed, Stochastic, and Autoregressive Conditional Heteroskedastic Volatility Model," Econometrics Journal, Royal Economic Society, vol. 4(2), 2001.

25. Forsberg L. and Bollerslev T., "Bridging the Gap Between the Distribution of Realized (ECU) Volatility and ARCH Modeling of the (EURO): The GARCH-NIG model", Journal of Applied Econometrics, 17 (5), 2002.

26. Rydberg, T. H. "The normal inverse Gaussian Levy process: Simulation and Approximation", Communications in Statistics: Stochastic Models 13, 1997.

27. Prause K. "The Generalized Hyperbolic Models: Estimation, Financial Derivatives and Risk Measurement", 1999.

28. McNeil A.J., Frey R., Embrechts P. "Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools", Princeton University Press, 2005.

29. Eberlein, E. and U. Keller. "Hyperbolic distributions in finance", Bernoulli 1, 1995.

30. Dalton S. Excel Add-in Development in C/C++. Applications in Finance (2004). p422. John Wiley & Sons, p.208/

31. Keller U. "Realistic Modelling of Financial Derivatives", Dissertation Universität Freiburg, 1997.

32. Willemann S. "An Evaluation of the Base Correlation Framework for Synthetic CDOs." (2004), Working Paper, Aarhus School of Business.

33. O'Kane D. and Schloegl L. "Modelling Credit: Theory and Practice." Lehman Brothers Analytical Research Series, (2001).

34. Elizalde A. Credit default swap valuation: An application to spanish firms. Working Paper, CEMFI and Univerdidad Publica de Navarra, 2005.

35. Allen S. and Levi N. Interest rate and credit modeling. Lecture Notes, New York University, 2005.

36. Elizalde A. Credit risk models I-IV. Working Paper, CEMFI and Univerdidad Publica de Navarra, 2005.

37. Finger C. C. Issues in the pricing of synthetic cdos. RiskMetrics Group, 2004.

38. Gregory J. and Laurent J.-P.(2004). In the Core of Correlation. Risk, October, pp. 87-91, University of Lyon & BNP Paribas.

39. Laurent J.-P. and Gregory J. "Basket Default Swaps, CDO's and Factor Copulas." (September 2003),.working paper, ISFA Actuarial School and BNP Parisbas, University of Lyon.

40. Gregory J. and Laurent J.-P. (2003). I will survive. Risk June, 103-107.

41. Skarke H. Remarks on pricing correlation products. Working Paper, Bank Austria Creditanstalt, 2005.

42. Li D. X. (2000). On Default Correlation: A Copula Approach; The Journal of Fixed Income , Vol. 9, 43-54.

43. Vasicek O. "Limiting Loan Loss Probability Distribution." (August 1991), Technical Report, KMV Corporation, www.moodyskmv.com

44. Vasicek O. "The Distribution of Loan Portfolio Value." Risk, 12 (2002).

45. Amato J. D. and Gyntelberg J. CDS index tranches and the pricing of credit risk correlation. BIS Quarterly Review, pp.73-87, March 2005.

46. Andersen L. and Sidenius J. "Extensions to the Gaussian Copula: Random Recovery and Random Factor Loadings." Journal of Credit Risk 1(1) (2005) 29-70.

47. Trinh M., Thompson R. and Devarajan M. "Relative Value of CDO Tranches: a View Through ASTERION." Quantitative Credit Research, (2005), Lehman Brothers.

48. O'Kane D. and Schloegl L. "An Analytical Portfolio Credit Model with Ttail Dependence." Quantitative Credit Research, (2003), Lehman Brothers.

49. Vasicek O. (1977) An equilibrium characterization of the term structure; Journal of Financial Economics, Vol. 5, S. 177-188.

50. Rachev S.T. (2003) Handbook of Heavy-tailed Distributions in Finance; North Holland. North Holland.

51. MalevergneY., Sornette, D. (2004) Tail Dependence of Factor Models; The Journal of Risk 6(3), S. 71-116.

52. Schlogl E. and Schlogl L. "Factor Distribution Implied by Quoted CDO Spreads Tranche Pricing."(2007) Quantitative Finance Research Centre University of Technology, Sydney.

53. Hull J. and White A. "Valuation of a CDO and n-th to Default CDS without Monte Carlo Simulation." Journal of Derivatives, 12(2), 8-23. (2004).

54. Burtschell X., Gregory J. and Laurent J.-P. "A Comparative Analysis of CDO Pricing Models." (2008), Working paper ISFA Actuarial School and BNP Parisbas.

55. Barndorff-Nielsen O.E. "Exponentially Decreasing Distributions for the Logarithm of Particle size", Proceedings of the Royal Society London, A 353, 1977.

56. Barndorff-Nielsen O.E. "Hyperbolic Distributions and Distributions on Hyperbolae", Scandinavian Journal of Statistics 5, 1978, pp.151—157.

57. Barndorff-Nielsen O.E. "Normal Inverse Gaussian Distributions and Stochastic Volatility Modelling." Scandinavian Journal of Statistics, 24 (1997), pp. 1-13.

58. Barndorff-Nielsen O.E. and Shephard N. "Financial Volatility in Continuous Time," Cambridge University Press, forthcoming, 2008.

59. Hu W., "Calibration of Multivariate Generalized Hyperbolic Distributions Using the EM Algorithm with Applications in Risk Management, Portfolio Optimization and Portfolio Credit Risk", Unpublished PhD Thesis, 2005.

60. Protassov R. "EM-based Maximum Likelihood Parameter Estimation for Multivariate Generalized Hyperbolic Distributions with Fixed A", Statistics and Computing, 14, 2004.

61. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики; М: Юнити, 1998. - 1022 с.

62. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин А.Д. Прикладная статистика: исследование зависимостей:Справ.изд. под ред. С.А.Айвазяна. М.: Финансы и статистика, 1985г.

63. Буренин А.Н. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные. М.,Научно-техническое общество им. Академика С.И.Вавилова, 2005, 534 + 6с.

64. Гладилин А.В., Герасимов А.Н., Громов Е.И. Эконометрика. Учебное пособие. М.: ЬСНОРУС, 2009. - 232с.

65. Энциклопедия финансового риск-менеджмента. Под ред. А.А. Лобанова и А.В. Чугунова. 2-е. Изд. - М.: Альпина Бизнес Букс, 2006. - 878с.

66. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. М. «ДЕЛО» 2003г. -520с.

67. Лозовский Л.Ш., Райзберг Б.А. Словарь бизнесмена. М.: ОАО «Издательство «Экономика», 1999. - 381с. - (Деловые словари).

68. Рогов М.А. Риск-менеджмент. М:: Финансы и статистика, 2001.

69. Абчук В.А. Риски в бизнесе, менеджменте и маркетинге. СПб.: Изд-во Михайлова В.А., 2006. - 480с.

70. Markowitz Н.М. Portfolio selection // Journal of Finance. 1952, Vol.7 Nol, pp.77-91.

71. Экономико-математические методы и модели. Учебное пособие под ред. С.И.Макарова. М.: КНОРУС, 2007. - 232с.

72. Колб Роберт У. Финансовые деривативы. Учебник. Изд 2-е / Перевод с англ. М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1997. - 360с.

73. Галланов В.А. Производные инструменты срочного рынка: фьючерсы, опционы^ свопы. Учебник. М.: Финансы и статистика, 2002. - 464с.: ил.

74. LehmanBrothers. The Lehman Brothers guide to exotic credit derivatives. Risk Waters Group, 2003

75. The International Swaps and Derivatives Association (ISDA). ISDA credit derivatives definitions. ISDA mid-year market surveys. // www.isda.org

76. Choudhry M. Structured Credit Products: Credit Derivatives and Synthetic Securitization. Wiley Finance, 2004.

77. J.P.Morgan. The J.P. Morgan Guide to Credit Derivatives April 13, 2009. http://www.investinginbonds.com/assets/files/Intro to Credi Derivatives.pdf

78. Gibson M.S. (2004). Understanding the Risk of Synthetic CDOs. Finance and Economics Discussion Series 2004-36, Federal Reserve Board.

79. Lucas D. (2001) CDO Handbook; Global Structured Finance Research Report, JP Morgan Securities Inc. www.morganmarkets.com

80. Duffie D., Garleanu N. (2001) Risk and Valuation of Collateralized Debt Obligations; Working Paper, Graduate School of Business, Stanford University.

81. Navin R. The Mathematics of Derivatives(2006). Tools for Designing Numerical Algorithms. John Wiley & Sons, p.208.

82. Markit iTraxx Index Rules. Markit Group. // www.markit.com

83. Credit Event Auction Summary. Credit Event Fixings. Tradeable Credit Fixings. CreditFlux // www.creditflux.com/Data

84. Schonbucher P.J. (2006): Portfolio losses and the term structure of loss transition rates: a new methodology for the pricing of portfolio credit derivatives; Department of Mathematics, ETH Zurich.

85. Amato J.D., Gyntelberg, J. (2005) CDS index tranches and the pricing of credit risk correlations; BIS Quarterly Review, March 2005.

86. Tavakoli J.M. Collateralized Debt Obligations and Structured Finance: New Developments in Cash and Synthetic Securitization. John Wiley & Sons, 2003.

87. Markit iTraxx Europe Series. iTraxx® Europe Standard Terms Supplement and Membership List. Markit Group. // www.markit.com , www.iboxx.com

88. Last Quote for the Most Liquid Credit Default Swaps. Markit Group. // www.markit.com

89. Schonbucher P. J. (2003). Credit Derivatives Pricing Models. Wiley Finance. Series. John Wiley & Sons Ltd Chichester, UK.

90. Duffie D. and Singleton K.J. (1999a) Modeling Term Structures of Defaultable Bonds; The Review of Financial Studies, 12(4): 687-720.

91. Duffle D. (2001) Dynamic Asset Pricing Theory .Princeton University Press, ed. 3.

92. Bielecki T. and Rutkowski M. Credit risk modelling: Intensity based approach. Working Paper, Department of Mathematics, Northeastern Illinois University, 2000.

93. Schonbucher P.J. Credit Risk Modelling and Credit Derivatives. PhD thesis, Rheinische Friedrichs-Wilhelms-Universitat Bonn, 2000.

94. Schônbucher P. J. (2000). Factor Models for Portfolio Credit Risk. Working paper, Department of Statistics, Bonn University.

95. Jeanblanc M. and Rutkowski M. Modelling of default risk: An overview. Mathematical Finance: Theory and Practice, pp.171—269, 1999.

96. Casarin R. Stochastic processes in credit risk modelling. Working Paper, CEREMADE, Dept. of Mathematics, University Paris IX (Dauphine), 2005.

97. Duffie D. and Singleton K. J. (1999) Simulating Correlated Defaults. Working Paper, Graduate School of Business, Stanford University.

98. Davis M. and Lo V. (2001) Infectious defaults. Quantitative Finance, Vol. 1 pages 382-386.

99. Jarrow R. and Yu F. Counterparty risk and the pricing of defaultable securities. Journal ofFinance, 56: 1765-1799, 2001.

100. Sklar A. "Fonctions de Répartition à n Dimensions et Leurs Marges",Vol. 8 Publications de l'Institut de Statistique de l'Université de Paris, Paris, 1959.

101. Nelsen R.B. An Introduction to Copulas. Springer Verlag, 1999:

102. Demarta S. and McNeil A. "The t Copula and Related Copulas", International Statistical Review, 73, 2005.

103. Schlogl E. Default correlation modelling. Presentation, UTS, 2004.

104. Jouanin J.-F., Riboulet G., and Roncalli T. Beyond conditionally independent defaults. Working Paper, Groupe de Recherche Op'erationelle, Credit Lyonnais, 2002.

105. Cherubini U. and Luciano E. (2004). Copula methods in finance.Wiley Finance.

106. Schônbucher P.J. and Schubert D. Copula Dependent Default Risk in Intensity Models. Working Paper, Department of Statistics, Bonn University, 2001.

107. Rogge E. and Schonbucher P.J. Modelling Dynamic Portfolio Credit Risk. Working Paper, Department of Statistics, Bonn University, February 2003.

108. Duffie D. (2004) Time to Adapt Copula Methods for Modelling Credit Risk Correlation; RISK, April, p.77.

109. Neftci S.N. Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives. -Academic Press, 2000, p.528.

110. Hull J., White A. (2005).The Perfect Copula.Working paper, University of Toronto.

111. Weron R. (1996) On the Chambers-Mallows-Stuck method for simulating skewed stable random variables; Statistics and Probability Letters 28, 165-171.

112. Hull J., Predescu M., White A. (2009) The Valuation of Correlation-Dependent Credit Derivatives Using a Structural Model; Working paper, University of Toronto.

113. Duhamel P.; Vetterli M. (1990) Fast Fourier Transforms: A Tutorial Review and a State of the Art; Signal Processing 19, 259-299.

114. Andersen L., Sidenius J. and Basu S. "All Your Hedges in One Basket." Risk. November (2003), 67-72.

115. Galiano S.S. (2003). Copula functions and their application in pricing and risk managing multiname credit derivative products. Master Thesis, King's College London.

116. Black F., Cox C. (1976) Valuing Corporate Securities: Some Effects of Bond Indenture Provisions; Journal of Finance, Vol. 31(2), S. 351-367.

117. Avellaneda M, Zhu, J. (2001) Modeling the Distance-to-Default Process of a Firm; RISK Dec. 2001.www.risk.net

118. Новиков А.И. Эконометрика. Учебное пособие. М.: ИНФРА-М, - 2006. - 106с. - (Высшее образование).

119. Kalemanova A., Schmid В. and Werner R. (2005). The normal inverse Gaussian distribution for synthetic CDO pricing. Working Paper, Risklab Germany.

120. Schmidt W. and Ward I. (2002) Pricing default baskets. Risk January, 111114.

121. Венцель E.C. Теория вероятностей. M.: Высшая школа, 2001.

122. Arvantis A. and Gregory J. (2001). Credit: the complete guide to pricing hedging and risk management. Risk Books, London.

123. Menn C., Rachev S.T. (2005a) A GARCH Option Pricing Model with aStable Innovations; European Journal of Operations Research, Vol.163(1), p.201-209

124. Barndorff-Nielsen O.E. "Processes of normal inverse Gaussian type. Finance and Stochastics 2, 1998.

125. Frey R. and McNeil A J. (2003). Dependent defaults in models of portfolio credit risk. Journal of Risk Vol. 6(1), 59-92.

126. Frey R., McNeil- A.J. and Nyfeler M. (2001). Copulas and credit models. Risk October, 111-114.

127. Jones M.C. and Faddy M.J. "A Skew Extension of the t Distribution, with Applications", Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 65, 2003.

128. Mencia FJ. and Sentana E. "Estimation and Testing of Dynamic Models with Generalised Hyperbolic Innovations." CMFI Working Paper 0411, 2004.

129. Hansen B.E. "Autoregressive Conditional Density Estimation, International Economic Review", 1994.

130. Fernandez C., Steel M.F.J. "Multivariate Student-t regression models: pitfalls and inference," Discussion Paper 8, Tilburg University, Center for Economic Research, 1997.

131. Fang H.B. and Fang K.T. "The Meta Elliptical Distributions with given Marginals", 2002.

132. Azzalini A. and Capitanio A. "Distributions Generated by Perturbation of Symmetry with Emphasis on a Multivariate Skew t Distribution", Journal of the Royal Statistical Society, В 65, 2003.

133. Aas K. and Haff H.I. "The Generalized Hyperbolic Skew Student's t-distribution", Journal of Financial Econometrics, 2005.

134. Mashal R. and Zeevi A. "Beyond Correlation: Extreme co-Movements between Financial Assets", Working paper, Columbia Business School, 2002.

135. Schmidt R., Hrycejc Т., Stützle E. "Multivariate distribution models with generalized hyperbolic margins", Computational Statistics and Data Analysis, 50, 2006.

136. Eberlein E., Keller U., and Prause K. "New insights into smile, mispricing and value at risk: the hyperbolic model," Journal of Business, 1998.

137. Wang C.C., "On the Numerics of Estimating Generalized Hyperbolic Distributions", Unpublished Dissertation, 2005.

138. Embrechts P., McNeil A., Straumann D. (2002): Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls; Risk Management: Value at Risk and Beyond, ed. M. Dempster, Cambridge University Press, Cambridge, S. 176-223.

139. Joe H. "Multivariate Models and Dependence Concepts", London: Chapman & Hall, 1997.

140. McFadden D. "A Method of Simulated Moments for Estimation of Discrete Response Models without Numerical Integration", Econometrica 57,1989.

141. Pakes A. and Pollard D. "Simulation and the Asymptotics of Optimization Estimators", Econometrica 57, 1989.

142. Blaesild P. and Sorensen M.K. "HYP'a computer program for analyzing data by means of the hyperbolic distribution", Research Report 248, Department of Theoretical Statistics, University of Arhus, 1992.

143. McGinty L., Ahluwalia R., Watts M., and Beinstein E. "Introducing Base Correlation." JP Morgan Credit Derivatives Strategy, (2004).

144. Ahluwalia R. and McGinty L. A model for base correlation calculation. JPMorgan Credit Derivatives Strategy, 2004.

145. O'Kane, D., and Livesey M. "Base Correlations Explained." Quantitative Credit Research, (2004), Lehman Brothers.

146. Информационное агенство Bloomberg. // www.bloomberg.com