автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование динамики процентных ставок с приложениями к ценообразованию структурных финансовых инструментов

На правах рукописи

Хорев Константин Павлович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ЦЕНООБРАЗОВАНИЮ СТРУКТУРНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2007

ООЗОТ1Т02

003071702

Работа выполнена в Московском Государственном Университете им М В Ломоносова

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

Шамаев А С

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор

Хаматов В М,

кандидат физико-математических наук, профессор Смирнов С Н

Ведущая организация Владимирский государственный педагогический

университет (ВГПУ)

Защита состоится 30 мая 2007 г в 14 ч на заседании диссертационного совета Д 218 005 10 в Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ) по адресу г Москва, ул Образцова, 15, ауд 1235

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета Автореферат разослан " JL6 " апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат технических наук, профессор / ¿ VF" Соловьев В П

Актуальность темы. С появлением и дальнейшим развитием в России кредитных организаций и финансового рынка возникла необходимость построения математических моделей динамики стоимостей финансовых инструментов, учитывающих как мировой опыт, так и российскую специфику

Особенностью российского финансового рынка является бурное развитие его долгового сегмента, а также наблюдающийся в последнее время повышенный интерес участников рынка к производным финансовым инструментам Под производными финансовыми инструментами понимаются инструменты, чья стоимость зависит от стоимостей других, базовых или, как еще говорят, первичных, активов Примерами производных финансовых инструментов являются опционы, форвардные контракты и пр

В связи с этим особый интерес для участников российского рынка представляют исследование вопросов ценообразования структурных финансовых инструментов, которые включают в себя черты как долговых, так и производных финансовых инструментов

Исследование вопросов ценообразования структурных финансовых инструментов начались после публикации Ф Блеком, М Шоулсом и Р Мертоном серии работ, посвященных задачам определения справедливых стоимостей производных финансовых инструментов Несмотря на революционность результатов, полученных учеными, рассмотренные Ф Блеком, М Шоулсом и Р Мертоном случаи обладали рядом недостатков, поскольку накладывали достаточно сильные ограничения на рассматриваемый рынок Кроме того, были рассмотрены наиболее простые типы финансовых инструментов

По мере развития теории ценообразования структурных финансовых продуктов, анализируемые инструменты усложнялись, а модели становились все более реалистичными При этом сама теория ценообразования структурных финансовых инструментов трансформировалась в отрасль науки, называемую на западе финансовой инженерией

Настоящая диссертационная работа посвящена вопросам определения стоимости следующих двух структурных финансовых инструментов на основе моделей динамики процентных ставок

В первой части работы исследуется европейский опцион на спрэд (или иными словами, разность) между двумя форвардными процентными ставками Суть рассматриваемого опционного контракта, заключаемого в момент времени 1„, состоит в следующем В заранее оговоренный момент /„ (/;,>'„), называемый временем исполнения опциона, становятся известными две форвардные процентные ставки, если спрэд между ними превышает опять-таки заранее оговоренный уровень, называемый ценой исполнения опциона, то продавец опционного контракта платит покупателю сумму, равную разности спрэда и этого уровня Заключение такого опционного контракта может быть интересно любой организации, финансовые результаты деятельности которой зависят от разницы между короткими и длинными процентными ставками, а также страховым компаниям и инвесторам, преследующих спекулятивные стратегии и стремящихся заработать прибыль на изменении формы т н временной кривой процентных ставок

Вторая часть диссертационной работы посвящена анализу ценообразования на рынке услуг ипотечного кредитования, которому в последнее время в нашей стране уделяется большое внимание Одной из особенностей ипотеки является предоставляемая заемщику возможность досрочного погашения ипотечного кредита При этом кредитор сталкивается с риском снижения процентных ставок в будущем При снижении процентных ставок, заемщику становится выгодным рефинансироваться под более низкую процентную ставку путем досрочного погашения своего старого кредита, при этом доходы кредитора снижаются Поэтому процентная ставка по ипотечному кредиту должна учитывать этот эффект и, как следствие, быть выше по сравнению с обычным кредитом (те кредитом без возможности досрочного погашения)

Цель работы. Целью работы является получение аналитических выражений и численных значений, соответствующих российским эмпирическим данным, для стоимости некоторых ранее не исследовавшихся структурных финансовых инструментов, на основе моделирования динамики процентных ставок Конкретно ставились следующие цели

1 Получение справедливого значения стоимости европейского опциона на спрэд между двумя форвардными процентными ставками

2 Получение справедливой величины процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения при условии известной величины и модели динамики процентной ставки по кредиту без возможности досрочного погашения

3 Проанализировать качественную зависимость стоимостей рассматриваемых финансовых инструментов от параметров самих инструментов и параметров используемых моделей

4 Получение оценок параметров используемых моделей и стоимостей рассматриваемых финансовых инструментов, соответствующих эмпирическим данным российского долгового рынка

Основные методы исследования В диссертации использованы методы теории вероятностей, математической статистики, теории обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений, теории случайных процессов, теории ценообразования опционов, теории управления, теории численных методов и теории управления

Научная новизна Все результаты, включенные в диссертацию, получены впервые Научная новизна результатов, представленных к защите, состоит в следующем

1 Получена аналитическая формула для справедливой стоимости опциона нестандартного типа, а именно - европейского опциона на спрэд между двумя форвардными процентными ставками

2 Проанализировано качественное изменение справедливой стоимости европейского опциона на спрэд между двумя форвардными процентными ставками в зависимости от изменения параметров опционного контракта и параметров модели динамики процентных ставок

3 Выведена дифференциально-алгебраическая система уравнений для определения справедливой величины процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения при известном значении величины и модели случайного изменения процентной ставки по кредиту без возможности досрочного погашения Для некоторых частных случаев получено аналитическое решение данной системы Для случаев, для которых получение аналитического решения не возможно, разработан алгоритм и основанный на этом алгоритме комплекс программ численного решения системы

4 Проанализировано качественное изменение справедливой величины процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения в зависимости от изменения величины и параметров модели динамики процентной ставки по кредиту без возможности досрочного погашения

5 Получены оценки параметров используемых моделей динамики процентных ставок на основе статистических данных российского долгового рынка На основе полученных оценок и результатов пп 1,3 получены числовые значения для справедливой стоимости опциона на спрэд между двумя форвардными процентными ставками и справедливой величины процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения

Достоверность научных выводов, сформулированных в диссертации, обоснована использованием математических доказательств и сопоставимостью результатов аналитических и компьютерных расчетов с имеющимися эмпирическими данными и экспертными оценками специалистов

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический и практический характер Полученные результаты могут быть использованы при принятии инвестиционных решений относительно вложения денежных средств в российскую экономику, в управлении рисками, страховании, при выдаче и привлечении ипотечных кредитов Результаты диссертационного исследования могут применяться кредитными организациями, инвестиционными банками и прочими финансовыми учреждениями, а также департаментами управления финансами и казначействами компаний реального сектора Используемая техника и полученные оценки параметров и характеристик российского долгового рынка могут также быть использованы различными исследовательскими организациями при дальнейшем анализе российского финансового рынка

Предложения, выносимые на защиту:

1 Аналитическая формула для справедливой стоимости европейского опциона на спрэд между двумя форвардными процентными ставками

2 Дифференциально-алгебраическая система уравнений для определения справедливой величины процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения при известном значении величины и модели случайного изменения процентной ставки по кредиту без возможности досрочного погашения

3 Аналитические формулы для справедливой величины процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения для ряда частных случаев моделей динамики процентных ставок

4 Алгоритм численного решения и численное решение задачи об определении справедливой величины процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения для случаев, когда аналитическое решение соответствующей задачи отсутствует

5 Количественные оценки параметров используемых моделей процентных ставок, соответствующие статистическим данным российского долгового рынка

6 Численные значения справедливой стоимости европейского опциона на спрэд между двумя форвардными процентными ставками и справедливой величины процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения, соответствующие статистическим данным российского долгового рынка

Апробация результатов Изложенные в диссертации результаты докладывались на семинарах «Детерминированные динамические модели экономики дифференциальные уравнения и исследование экономических процессов» под руководством О С Розановой, А С Шамаева, Э Р Розендорна в Московском Государственном Университете им N1 В Ломоносова, на научно-исследовательских семинарах в Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ), на семинаре «Математическая теория оптимального управления и теория дифференциальных включений», посвященном 60-летию со дня рождения профессора В И Благодатских

Публикации Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура диссертации. Диссертационная работа изложена на $0 страницах печатного текста, включает 2 таблицы, 9 рисунков и состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения, 13 приложений,

списка использованных печатных источников, в котором представлено 35 наименований

Краткое содержание работы

Во введении излагается история возникновения проблемы, обосновывается ее актуальность, дан краткий обзор работ, связанных с темой диссертации, формулируется цель исследования, приводятся основные результаты

В первой главе, которая в большей части носит обзорный характер, изложен основной математический аппарат, применяемый при решении задач финансовой инженерии Вводятся математические определения таких экономических и финансовых понятий, как рынок, долговой инструмент, процентная ставка, портфечь, арбитраж, опцион и др Приводится классификация и примеры математических моделей динамики процентных ставок, и излагается общая методика нахождения справедливых стоимостей производных финансовых инструментов Формализуются задачи, рассматриваемые в диссертационной работе

Пусть В(г,Т) - стоимость в момент / финансового инструмента, который с вероятностью 1 в момент Т обеспечивает своему владельцу выплату в сумме 1 (т е В(Т,Т) = 1 почти наверное)

Тогда величина КО,7") = --^\пВ(1,Т) называется значением в момент /

мгновенной форвардной процентной ставки в момент Т

Опционом (опционным контактом) на величину £ называется финансовый инструмент, который позволяет своему владельцу момент исполнения опциона получить выплату в размере [4~к\ = тах(0,£ - К), где К - фиксируется в момент заключения опционного контракта и называется стоимостью исполнения опциона В случае, если время исполнения опциона строго фиксировано и представляет одну конкретную точку на временной оси, опцион называется опционом европейского типа (или европейским опционом) Если владелец

опциона может выбирать произвольное время из определенного интервала, опцион называется опционом американского типа (или американским опционом)

Арбитражем называется стратегия, позволяющая получать положительную прибыль с положительной вероятностью при отсутствии риска понести убытки и без каких-либо первоначальных расходов Стоимость финансового инструмента называется справедливой или безарбитражной, если рынок, на котором он торгуется не содержит арбитражных возможностей

Во второй главе исследуется задача определения безарбитражного значения стоимости европейского опциона на спрэд (разность) между двумя форвардными процентными ставками, т е опциона, выплата которого в момент

Т0 составляет \_F(T„,T2)- А']*, где "/;, г, и К - параметры опционного

контракта, которые фиксируются в момент заключения контракта в момент времени /„

При выводе формулы для стоимости такого опциона считается, что динамика мгновенных форвардных процентных ставки F{t,T) описывается N -факторной моделью Heath-Jarrow-Morton

Т) = т, (<, ~Г)сП + (/, Т)сИУ, ,

1=1

где И' - винеровские процессы,

т,. (/,'/'), а) (1,Т) - некоторые функции, удовлетворяющие стандартным условиям модели НеаЛ^аггош-МогЮп и указанные в тексте диссертационной работы

Основным результатом первой главы является следующая теорема

Теорема 1. Если долговой рынок описывается моде чью ШМ, то стоимость в момент времени („ европейского опциона на спрэд между двучя форвардными процентными ставками Р(Т„,Т2) и Г(Тп,7]) равна

где

=JE KWI dl >a = S('» >+1 ^- * > ■s('»)=n^-F^)

¡a/(s,t)dl

а; (0 = а\ (<, Г,) - ,Г,), ть (г) = т,. (г, Г,) - тг (/,Г,),

N Г

Г=1 ,

Следствие 1.1. Стоимость европейского опциона на спрэд между двумя форвардными процентными ставками определяется лишь первоначальной формой кривой форвардных ставок и волатильностями процесса для форвардных процентных ставок

Далее в работе указан способ получения оценок параметров используемой модели ШМ на основе исторических данных о динамике процентных ставок и рассмотрен частный случай модели ШМ с числом факторов N = 1 и функцией волатильности видаст,. (л 7') = о-!е~*;г~" В этом случае, как можно показать, имеют место следующие соотношения

сг2 = уаг(г) = {е~хг' - е"(«' -1), 2 Л.

1--(£■-"' + e'ir' ){exr" +1)

a + a2 a = 5(0) -K + (t)dt - co\(X, Z) =

= S(0)-K + ^-(e-lr' -e-"'){e'T" +e~ir' +e'" )(ei7" +1)

Для данного частного случая в качестве иллюстративного примера была получена оценка стоимости опциона со следующими параметрами К = 003, 5(0) = 0 02, Та = 0 025, Т, = 0 025, Т2 = 0 05

В качестве исторических данных, на основе которых были оценены параметры модели HJM, были взяты процентные ставки MIBOR рынка

межбанковских кредитов РФ за период 2000-2006 гг В результате оценки параметров модели HJM были получены следующие оценки параметров модели Я = 00276, а, =08133

В результате было получено значение стоимости спрэд-опциона в размере P(i„)=0 02879 ye Под ye (условной единицей) в данном случае подразумевается любая денежная величина, которая дополнительно устанавливается в договоре купли-продажи опциона и соответствует сумме, выплачиваемой в момент исполнения опциона на каждый процент величины (5(0)-ку Экономическая интерпретация данного результата следующая В случае, если величина спрэда S(T,„T„r2) = F(T„,T2)-F(T„,Tt) в момент времени т„ превышает уровень 0 05879 (это сумма цена опциона P(t„) и цены исполнения опциона К), то покупатель опциона зарабатывает положительную прибыль, в противном случае, величина, полученная от реализации опциона (если такое вообще происходит) не покрывает расходов, связанных с приобретением опциона

Была проанализирована зависимость цены опциона от различных параметров модели процентных ставок и самого опционного контракта В результате было получено, что цена опциона положительным образом зависит от коэффициента волатильности ст, и начального значения величины спрэда между форвардными процентными ставками, и отрицательным образом зависит от параметра рассмотренной модели процентных ставок Я и цены исполнения опциона К Указанные зависимости могут быть легко обоснованы Действительно, чем выше коэффициент волатильности модели, тем выше вероятность, что спрэд превысит цену исполнения, и выше потенциальный доход владельца опциона Кроме того, с экономической точки зрения более высокая волатильность означает более высокий риск и, соответственно, большую компенсацию за возможность этот риск захеджировать (застраховать) Большая величина разницы (5(0) - АГ) означает большую вероятность и величину выигрыша (дохода) держателя опциона, что и

объясняет соответствующую зависимость цены спрэд-опциона от соответствующих параметров Однако подобные зависимости характерны для всех видов опционов, не только для опционов рассматриваемого типа Наиболее интересной является зависимость цены опциона от показателя Л Заметим, что Я показывает, насколько сильно реагируют форвардные ставки на «шок» со стороны случайной составляющей Чем выше Я, тем слабее эффект влияния срока форвардной процентной ставки (те показателя (7"-/)) на величину сдвига в ответ на «шок» Поэтому чем выше Я, тем меньшее изменение спрэда между двумя форвардными процентными ставками с различными сроками будет наблюдаться и тем ниже, соответственно, цена рассматриваемого опциона

В третьей главе рассматривается долговой рынок, на котором присутствуют два типа долговых инструментов бессрочный кредит с процентной ставкой R и кредит с возможностью досрочного погашения со стороны заемщика с процентной ставкой С (примером такого типа долгового инструмента может служить ипотечный кредит) Величины R и С меняются со временем, причем это изменение носит случайный характер Будем считать, что R изменяется согласно следующему стохастическому закону

dR = m(R)dt + <?(R)d\V ,

где W — винеровский процесс

Задача состоит в том, чтобы при известном начальном значении R{0) и виде функций m(R) и а (Я) найти такое значение С(0), при котором на рассматриваемом рынке будут отсутствовать арбитражные возможности Было доказано, что справедлива следующая теорема

Теорема 2. Безарбитражное значение процентной ставки С(0) по кредиту с возможностью досрочного погашения находится из следующей дифференциально-алгебраической системы

X

С( 0)

Д(0)' Л(0)

' R(0) >•(0) = О

Одна из ключевых идей доказательства этой теоремы состоит в том, чтобы представить кредит с возможностью досрочного погашения в виде комбинации бессрочного кредита и бессрочного са11-опциона американского типа, функция

"С(0)

выплаты которого в момент г времени равна

R(t) \

Это позволяет свести

поставленную задачу нахождения С(0) к задаче оценки вышеуказанного опциона, которая в свою очередь сводится к известной задаче об оптимальной остановке диффузионного процесса В системе (1) стоимость соответствующего опциона обозначена через у

Следствие 2.1. Безарбитражное значаще процентной ставки С(0) по кредиту с возможностью досрочного погашения зависит точько от текущего значения прог/ентной ставки R(0) по кредиту без возможности досрочного погашения и вида функции <j(R) При этом величина С не зависит от вида функции m(R)

Для общего случая (те для произвольной функции <j(R)) получить аналитическое выражение для с не удается, можно только решить задачу численно Однако для некоторых функций a(R) это сделать можно

Теорема 3. Если a{R) = oR-ÍR, то ставка купона С=С(0) по кредиту с возможностью досрочного погашения равна

/

С = 1 +

R( 0)

v

-1

у

Теорема 4. - стЛ5'-, то ставка купона С=С(0) по кредиту с

возможностью Оосрочного погашения равна

Вместе с тем, несмотря на то, что аналитическое решение (1) в общем случае отсутствует, алгоритм численного нахождения С(0) достаточно прост 1 Введем функцию л (С) Для этого для фиксированного С найдем решение ус (х) системы

Тогда пусть я-(С) = ус( 0)

2 Перебирая А^-2Л(0),4й(0),8Л(0), находим л л-(Д(0))я-(л)<0, тогда искомое С принадлежит отрезку [й(0), А]

3 Методом дихотомии находим С(0) = С /г(С) = 0

Рассмотрим модели динамики процентных ставок, в которых функция волатильности процентной ставки по кредиту без возможности досрочного погашения имеет вид степенной функции, т е а(Я) = а Я", где а - константа Отметим, чго при этом нас пока совершенно не интересует вид функции т(Д),

поскольку, как показано было в Следствии 2 1, ее вид не влияет на значение С(0)

В таком стучае первое уравнение системы (1) принимает вид

Далее была проанализирована зависимость величины процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения от параметров модели динамики процентной ставки по кредиту без возможности досрочного погашения

Получено, что зависимость С(0) от коэффициента волатильности а положительная, что объясняется тем, что величина процентной ставки по кредит с возможностью досрочного погашения включает в себя стоимость опциона, которая в свою очередь всегда положительно зависит от волатильности базового инструмента (в данном случае процентной ставки по кредиту без возможности досрочного погашения)

Получено, что зависимость С(0) от а отрицательная, что вполне объяснимо с экономической точки зрения Вероятность того, что R(t) > 1 весьма мала, поскольку процентная ставка превышает значение 1 только в исключительных ситуациях Поэтому при прочих равных условиях чем выше а, тем меньше волатильность, а значит меньше стоимость вложенного опциона и величина С(0)

Пусть dR = crR"dW Дискретизируем данное уравнение

распределены нормально с дисперсией о-л/дг Мы пришли к стандартной задаче математической статистики В качестве оценки 6г может быть

Это означает, что члены последовательности (выборки)

предложена следующая &- =

1 1 '

У7я„ - а)2, где я=-у а,

N-} ^ 2 AÍ-I

Дг N-2

На основании алгоритма решения системы (1) и методов получения оценок параметров моделей динамики разработан комплекс программ для получения численного выражения для величины процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения, соответствующего эмпирическим данным российского долгового рынка Было получено, что для данных российского рынка процентная ставка по кредиту с возможностью досрочного погашения может превышать процентную ставку по кредиту без возможностью досрочного погашения в 2,5-3 раза, что связано с высокой волатильностью российского долгового рынка

В заключении кратко сформулированы результаты, а также приведен список возможных применений результатов работы и направлений дальнейших исследований

Выводы по результатам работы

В настоящей диссертационной работе рассмотрены вопросы ценообразования структурных финансовых инструментов, чья стоимость привязана к показателям долговых рынков, а именно, к динамике процентных ставок Показано, что исследование данных вопросов особенно актуально для участников российского финансового рынка

Получены аналитические формулы и системы уравнений для решения следующих двух задач

1 Определение справедливого значения стоимости европейского опциона на спрэд между двумя форвардными процентными ставками

2 Определение справедливой величины процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения при условии известной величины процентной ставки по кредиту без возможности досрочного погашения

Разработан алгоритм решения соответствующих систем уравнений для случаев, когда аналитическое решение не возможно Получены методы оценки параметров модели процентных ставок, соответствующих статистическим

данным Разработан комплекс программ, позволяющий получать численные выражения для стоимости европейского опциона на спрэд между двумя форвардными процентными ставками и величины процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения, которые основаны на эмпирических данных российского долгового рынка

В итоге результаты настоящей диссертационной работы могут быть применены при принятии решений об инвестировании в российскую экономику, выдаче или привлечении ипотечных кредитов, управлении рисками, связанными со случайным изменением процентных ставок, использоваться в дальнейших исследованиях российского финансового рынка

Работы автора по теме диссертации

1 Хорев К П Выпуск облигаций - намек рынку на хорошие перспективы -Финансовый аналитик, 3-4 2004, стр 64-68

2 Хорев К П Динамика корпоративных облигаций то взлет, то посадка -Финансовый аналитик, 7-8 2004, стр 104-109

3 Хорев К П Рынок региональных и муниципальных облигаций - Бюджет, 2004, сентябрь, стр 46-48

4 Хорев К П Моделирование некоторых задач финансовой математики оценка спрэд-опциона - Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007, том 47, №4, стр 626-637

5 Хорев К П Оценка процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения - Обозрение прикладной и промышленной математики, 2007, Том 14, № 1, стр 164-165

Хорев Константин Павлович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ЦЕНООБРАЗОВАНИЮ СТРУКТУРНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати О А-ОТ-. Формат бумаги ¿0* пл ЗаказйЛ? Тираж 80

Типография МИИТ, 127994, Москва, ул Образцова, д 15

ВВЕДЕНИЕ.

Актуальность исследования.

Постановка задачи.

История вопроса и новизна полученных результатов.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ И МЕТОДОЛОГИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Основные определения.

1.2. Математические модели динамики процентных ставок.

1.3. Методология оценки производных финансовых инструментов

1.4. Численные методы в применении к задаче оценки опционов

ГЛАВА 2. ОЦЕНКА ОПЦИОНА НА СПРЭД МЕЖДУ ДВУМЯ ФОРВАРДНЫМИ ПРОЦЕНТНЫМИ СТАВКАМИ.

2.1. Описание модели долгового рынка.

2.2. Вывод цены спрэд-опциона.

2.3. Численный пример.

Актуальность исследования

С появлением и дальнейшем развитием в России рыночных отношений, кредитных организаций и фондового рынка возникла необходимость построения математических моделей, которые могли бы использоваться при решении различных проблем как макроэкономического (т.е. на уровне страны в целом), так и микроэкономического (т.е. на уровне отдельной компании, рынка, ценной бумаги и пр.) характера. Такие модели в идеале должны были бы учитывать как мировой опыт, так и российскую специфику. Последнее, в частности, подразумевает калибровку моделей на основе российских исторических данных. Подобные модели могли бы в дальнейшем применяться, например, для математических симуляций развития различных экономико-финансовых процессов, а также для построения оценок тех или иных параметров окружающей нас экономической конъюнктуры, включая цены различных ценных бумаг, значений процентных ставок и т.д.

С учетом бурного развития российской экономики, роста доходов населения и притока иностранного капитала, которые наблюдаются в течение последних пяти лет, одной из наиболее перспективных тем для исследований является анализ российского рынка капитала. Под рынком капитала мы будем понимать как классический фондовый рынок для торговли первичными (акциями и облигациями) и вторичными (или производными: фьючерсами, опционами и пр.) ценными бумагами, так и банковский сектор, основным продуктом которого являются кредитные инструменты.

В рамках исследования российского рынка капитала можно также выделить его две наиболее, на наш взгляд, интересные на текущий момент характеристики: бурное развитие сегмента долговых инструментов, включающих в себя банковские кредиты и облигации, и появление в России торговли производными инструментами, в первую очередь фьючерсами и опционами.

Существует несколько причин, по которым рынок долгового капитала стал играть все большую и большую роль в российской экономике и по темпам развития (как количественного, так и качественного) опережает рынок акций. На качественном уровне достаточно подробно эти причины изложены в статье [28]. Более того, для таких участников рынка капитала, как региональных и местных органов власти, как показано в [33], выход на рынок облигаций, является, пожалуй, единственным способом привлечь дополнительные денежные ресурсы.

Помимо стремительного развития рынка и роста интереса к долговым инструментам, необходимо отметить также то, что в последнее время большое внимание уделяется и развитию рынка производных ценных бумаг (т.е. инструментов, чья стоимость зависит от других, базовых или первичных, активов). Подтверждением тому служит тот факт, что в структуре рынка РТС (Российской торговой системы) появилась секция FORTS (Futures-Options Russian Trading System), предназначенная для торговли фьючерсами и опционами.

При этом особый интерес, как с теоретической, так и с практической точек зрения представляет рынок комбинированных финансовых инструментов, которые включают в себя черты или тем или иным способом связывают как долговые, так и производные инструменты. Анализу, моделированию и построению оценок таких комбинированных финансовых инструментов и посвящена настоящая диссертационная работа.

Строгое математическое описание исследуемых в настоящей работе задач, наряду с более подробной экономической интерпретацией, будут даны после введения в математический аппарат и методологию (Глава 1), ниже приведено описание исследуемых задач на качественном уровне.

Постановка задачи

В первой части работы мы исследуем вопрос оценки стоимости европейского кол-опциона на спрэд (или иными словами, разность) между двумя форвардными процентными ставками. Суть рассматриваемого опционного контракта, заключаемого в момент времени t, состоит в следующем. В заранее оговоренный момент Т (T>t), называемый временем исполнения опциона, становятся известными две форвардные процентные ставки; если спрэд между ними превышает опять-таки заранее оговоренный уровень, называемый ценой исполнения опциона (execution price), то продавец опционного контракта платит покупателю сумму, равную разности спрэда и этого уровня. Опционы подобного типа в западной литературе принято относитьь к категории так называемых «экзотических опционов» («exotic options»).

Приведем примеры ситуаций из реальной жизни, в которых может возникать потребность в совершении сделок купли-продажи с таким опционом и, соответственно, потребность в определении цены такого опциона. Представим себе некую финансовую организацию, которая привлекает краткосрочные финансовые ресурсы и одновременно осуществляет долгосрочные инвестиции. Прибыль такой компании напрямую или косвенно зависят от величины спрэда между долгосрочными и краткосрочными процентными ставками, причем, возможно, при уменьшении спрэда ниже определенного уровня компания может начать нести убытки. Соответственно, организация несет риск сужения этого спрэда, который ей хотелось бы захеджировать (или иными словами - застраховать) тем или иным способом. Один из таких способов - продажа описанного выше опционного контакта. При сужении спрэда организация несет убытки от своей основной деятельности, которые (частично) компенсируются суммой средств, поступившей о продажи опциона. При расширении спрэда и превышении им порогового уровня цены исполнения опциона компания может нести убытки из-за операции с опционом, однако при этом компания получает прибыль от своей основной деятельности. Таким образом происходит сглаживание совокупной прибыли компании, в чем собственно и состоит основная цель хеджирования.

Подобные опционы могут быть использованы и для спекулятивных стратегий1. Приведем пример. Для этого отметим сначала следующую особенность долговых рынков: в периоды понижения «коротких» процентных ставок, например, в периоды стимулирующей монетарной политики, долгосрочные процентные ставки снижаются, как правило, менее быстрыми темпами по сравнению с краткосрочными, что приводит к расширению спрэда между «короткими» и «длинными» форвардными ставками. Подобную тенденцию можно наблюдать на долговых рынках многих стран, в том числе и на российском рынке. Поэтому выражаясь биржевым языком, на данной тенденции можно «играть», покупая описанный выше опцион.

1 Под спекулятивными стратегиями понимаются рисковые стратегии, реализуемые с целью получения прибыли, в отличие от хеджирующих стратегий, основной целью которых является страхование рисков

Приведенные выше примеры показывают, что на такие, экзотические на первый взгляд, опционы, как описанный выше опцион на спрэд между двумя форвардными ставками, существует как спрос, так и предложение, а следовательно, существует и потребность в построении их оценок.

Вторая часть настоящей диссертационной работы посвящена анализу ценообразования на рынке услуг ипотечного кредитования (ипотеке), которому в последнее время в нашей стране уделяется большое внимание. Одной из особенностей ипотеки является предоставляемая заемщику возможность досрочного погашения ипотечного кредита. При этом кредитор сталкивается с риском снижения процентных ставок в будущем. При снижении процентных ставок, заемщику становится выгодным рефинансироваться под более низкую процентную ставку путем досрочного погашения своего старого кредита, при этом доходы кредитора снижаются. Поэтому процентная ставка по ипотечному кредиту должна учитывать этот эффект и, как следствие, быть выше по сравнению с обычным кредитом (т.е. кредитом без возможности досрочного погашения).

Ипотечное кредитование обладает и другими особенностями, например, тем, что ипотека представляет собой обеспеченный кредит (в качестве залога выступает недвижимое имущество, для приобретения которого кредит, собственно говоря, и привлекается заемщиком). Кроме того, нельзя забывать, что при ипотечном кредитовании присутствует риск неисполнения заемщиком своих обязательств перед кредитором (так называемый риск дефолта). Однако в данной работе мы не будем рассматривать эти аспекты и сосредоточимся на анализе именно того факта, что ипотека - кредит с возможностью досрочного погашения. Одной из главных причин применения такого подхода, помимо облегчения исследования задачи, является тот факт, что практическое применение результатов, получаемых при анализе других особенностей ипотеки, весьма затруднено отсутствием соответствующих исторических данных, которые необходимы для калибровки модели (например, отсутствуют данные по дефолтам по ипотечным кредитам, т.к. рынок последних появился совсем недавно). В то же время данные по процентным ставкам по кредитам без возможности досрочного погашения существуют (хотя, безусловно, и их качество оставляет желать лучшего) и это позволит (опять-таки, в определенных пределах) применять результаты излагаемого исследования на практике.

Если задаться попыткой сформулировать изучаемую во второй части данной работы задачу в одном предложении, то оно будет звучать следующим образом: «найти величину процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения, если известны текущее значение и закон изменения процентной ставки по кредиту без возможности досрочного погашения».

Как будет показано, решение данной задачи сводится задаче нахождения цены определенного опциона американского типа, поскольку фактически кредитный инструмент с возможностью досрочного погашения представляет собой комбинацию опциона и обычного кредита без возможности досрочного погашения. Подобные опционы называются «вложенными» или «неявными» («embedded options»), в отличие от спрэд-опционов, рассматриваемых в первой части работы, которые представляют собой самостоятельные финансовые инструменты и поэтому относятся к категории «явных опционов».

Таким образом, как можно видеть, исследование долговых рынков в данной работе основано на применении достаточно хорошо развитой к настоящему моменту теории опционов, что во многом также представляет собой влияние общемировой тенденции. Действительно, область применения теории опционов постоянно расширяется, понятие опциона используется во все больших и больших экономических теориях: помимо описанных выше случаях и являющихся предметом интереса данной работы примерах, теория опционов успешно применяется при оценке привлекательности инвестиционных проектов в реальном секторе (при этом возникают, так называемые «реальные опционы» - real options - см., например, работы [7], [1], [8]), расчетах стоимости рисковых облигаций ([2]), анализе роли высшего образования ([9]) и во многих других областях.

История вопроса и новизна полученных результатов

Поставленные выше задачи относятся к области, которая на западе носит название financial engineering (финансовая инженерия). Толчок к своему возникновению и последующему бурному развитию она получила после публикации в 1973 г. американскими учеными Ф. Блеком, М. Скоулсом и Р. Мертоном серии работ (см. [2], [19]), посвященных задачам построения оценок опционов, которые до этого момента длительное время не поддавались решению. За свои революционные идеи и результаты, Скоулс и Мертон были удостоены Нобелевской премии. Вместе с тем, рассмотренные учеными случаи обладали рядом недостатков, поскольку, в числе прочих, накладывали следующие достаточно сильные условия на рассматриваемый рынок:

• постоянство безрисковой процентной ставки;

• закон динамики базового актива S представляет собой геометрическое броуновское движение, т.е. = /.ult+adW, где /л и а - константы, W - винеровский S процесс.

Кроме того, были рассмотрены наиболее простые типы опционов, так называемые plain vanilla options, в которых выплата опциона представляет собой функцию (S-K)+, где S - указанный выше актив, К - цена исполнения опциона.

Разумеется, указанные выше условия, накладываемые на рыночную модель, а также вид анализируемых опционов не могут более удовлетворять потребностям участников рынка капитала, который с течением времени обогащался и продолжает обогащаться все новыми и новыми финансовыми инструментами. В частности, если речь идет о рассмотрении опционов, чья функция выплаты зависит от величины процентной ставки, то предположение о ее постоянстве естественно недопустимо.

Тем не менее, основные идеи, заложенные в предъявленной Ф. Блеком, М. Скоулсом и Р. Мертоном методологии, позволили в дальнейшем успешно решать задачи оценки более сложных опционов (которые носят также название экзотических опционов, exotic options), в которых выплата опциона представлена более сложной функцией и может зависеть от значений нескольких рыночных показателей, а указанные выше условия, налагаемые на рынок, в рамках которого эти опционы рассматриваются, могут быть ослаблены, что делает рыночную модель более сложной и одновременно более реалистичной. Достаточно подробное описание современной методологии оценки опционов и других производных финансовых инструментов можно найти, например, в работах [34], [35], [11]. Однако указанные работы посвящены общей методологии оценки, без учета особенностей опционов специальных типов. Рассмотрим теперь статьи, относящиеся к оценке опционов, исследуемых в настоящей работе.

Обзор работ, вместе с описанием основных трудностей, связанных с построением оценок спрэд-опционов можно найти, например, в [20]. Как показано в этой работе, основной проблемой, с которой приходится сталкиваться при оценивании спрэд-опционов, - это отсуствие аналитического решения. Поэтому зачастую вместо спрэд-опционов рассматриваются опционы на обмен (exchange options), которые можно рассматривать как своего рода частные случаи спрэд-опционов с ценой исполнения, равной нулю. Аналитические формулы стоимости некоторых таких опционов приведены в работах [10], [18].

Как показано выше, особый интерес и одновременно сложность представляют исследования спрэд-опционов, чья стоимость привязана к значениям показателей долговых рынков (например, процентных ставок). При этом работ, посвященных данной тематике, крайне мало. Статья [10] содержит исследование опциона, чья стоимость зависит от спот-ставок долгового рынка, однако опять-таки исследуется опцион на обмен, а не спрэд-опцион. Для российского же рынка анализ подобного рода экзотических финансовых инструментов практически отсутствует.

Задача об определении процентной ставки по ипотечному кредиту, как показано далее, также может быть сведена к задаче нахождения цены определенного опциона американского типа. Наиболее ранние исследования рынка ипотечного кредитования, основывающиеся на использовании данного подхода, датируются началом 80-х и могут быть найдены в работах [21], [4], обзор работ на данную тематику содержится, например, в [16]. Вместе с тем, в связи со сложностями, связанными с вычислением цен опционов (особенно американского типа), работы, содержащие аналитические решения соответствующих задач, практически отсутствуют. Исследования же российского ипотечного кредитного рынка с применением теории опционов автору не встречались.

В данной работе решается сразу несколько задач. Первой целью было восстановление вышеуказанного пробела в исследовании экзотических финансовых инструментов на российском рынке капитала. Одновременно с этим мы пытались анализировать те финансовые инструменты, которые до настоящего времени оставались за пределами мировых исследований и поэтому представленная техника вывода оценки рассмотренных инструментов будет интересна также и для участников международного рынка капитала. Особое внимание поэтому уделено экономико-финансовой мотивации исследования рассмотренных в данной работе финансовых инструментов и возможностям применения полученных результатов на практике.

Настоящая работа содержит следующие основные результаты:

1. Получена аналитическая формула для справедливой стоимости опциона нестандартного типа, а именно -европейского опциона на спрэд между двумя форвардными процентными ставками.

2. Проанализировано качественное изменение справедливой стоимости европейского опциона на спрэд между двумя форвардными процентными ставками в зависимости от изменения параметров опционного контракта и параметров модели динамики процентных ставок.

3. Выведена дифференциально-алгебраическая система уравнений для определения справедливой величины процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения при известном значении величины и модели случайного изменения процентной ставки по кредиту без возможности досрочного погашения. Для некоторых частных случаев получено аналитическое решение данной системы. Для случаев, для которых получение аналитического решения не возможно, разработан алгоритм и основанный на этом алгоритме комплекс программ численного решения системы.

4. Проанализировано качественное изменение справедливой величины процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения в зависимости от изменения величины и параметров модели динамики процентной ставки по кредиту без возможности досрочного погашения.

5. Получены оценки параметров используемых моделей динамики процентных ставок на основе статистических данных российского долгового рынка. На основе полученных оценок и результатов пп. 1,3 получены числовые значения для справедливой стоимости опциона на спрэд между двумя форвардными процентными ставками и справедливой величины процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения.

Выводы. Как можно видеть из приведенных выше графиков, цена опциона положительным образом зависит от коэффициента волатильности сг, и начального значения величины спрэда между форвардными процентными ставками, и отрицательным образом зависит от параметра рассмотренной модели процентных ставок Я и цены исполнения опциона К. Указанная зависимость может быть легко обоснована. Действительно, чем выше коэффициент волатильности модели, тем выше вероятность, что спрэд превысит цену исполнения, и выше ожидаемый доход владельца опциона. Чем выше величина (5(0)-К), тем выше ожидаемый доход держателя опциона. Это объясняет соответствующую зависимость цены спрэд-опциона от параметров cr,, S(0) и К.

Наиболее интересной является зависимость цены опциона от показателя Я. Чем выше Л, тем ниже волатильность спрэда и тем ниже, соответственно, цена рассматриваемого опциона.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящий момент мировой рынок капитала развит настолько, что число возможных финансовых инструментов, которые существуют или могут быть спроектированы, по крайней мере, теоретически, не поддается счету. В связи с этим множество потенциально интересных инструментов оказывается пока неисследованными, а одной из основных задач участников рынка капитала становится как раз проектирование и нахождение стоимостей новых финансовых инструментов, с помощью которых могли бы быть опробованы те или иные инвестиционные идеи.

Российский рынок находится в начальной стадии развития, большинство финансовых инструментов, которые можно встретить на мировых торговых площадках, на российском рынке пока не доступны. Вместе с тем потребность в подобных инструментах растет и появление всевозможных экзотических финансовых продуктов и услуг можно ожидать в самое ближайшее время. Более того, методология, применяемая при оценке «нестандартных» финансовых инструментов, такая как теория оценки опционов, может применяться для исследования совершенно стандартных, на первый взгляд, финансовых инструментов (например, кредитов с возможностью досрочного погашения).

При этом если говорить об исследованиях, посвященных оценке таких инструментов, которые уже присутствуют или могут в ближайшее время появиться на российском рынке капитала, то таковые практически отсутствуют.

В настоящей диссертационной работе восполнен указанный пробел в исследовании российского рынка и одновременно предъявить оценки новых финансовых инструментов, которые могут быть интересны и для участников мирового рынка.

В первой части диссертации рассмотрена модель HJM рынка облигаций в применении к оценке опциона на спрэд между двумя форвардными процентными ставками. Параметры модели оценены на основе российских данных, вследствие чего результаты исследования можно применять на постепенно набирающем обороты российском рынке производных финансовых инструментов. Проведен качественный анализ зависимости стоимости опциона от различных параметров модели и параметров самого опционного контракта.

В качестве направления для дальнейших исследований можно предложить рассмотреть аналогичный опционный контракт американского типа, т.е. контракт на спрэд между двумя форвардными процентными ставками, но без фиксированной даты исполнения. Оценка стоимости подобных опционов также представляет большой интерес, однако аналитическое решение соответствующей задачи, скорее всего, будет отсутствовать.

Во второй части работы рассмотрен вопрос определения безарбитражного значения процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения на основе данных о динамике бессрочных кредитов без возможности досрочного погашения. Задача решена с применением теории опционов. Более подробно рассмотрен класс так называемых степенных моделей (моделей, в которых волатильность процентных ставок по бессрочным кредитам представлена степенной функцией). С применением численных методов проанализирован ряд качественных аспектов, в том числе зависимость решения задачи (т.е. безарбитражного значения процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения) от параметров модели.

В рамках численного исследования с использованием реальных исторических российских данных выявлено, что процентная ставка по кредиту с возможностью досрочного погашения может существенно превышать процентную ставку по бессрочному кредиту. Например, при процентной ставке по бессрочному кредиту в размере 10% годовых, оценка процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения может достигать 30% годовых. Столь высокое значение может быть объяснено тем, что мы рассматриваем кредитные инструменты с бесконечным сроком действия, в связи с чем полученные результаты можно рассматривать как верхние оценки для моделей с более реалистичными условиями.

Полученные результаты можно применять к исследованию рынка ипотечного кредитования РФ, поскольку одной из основных особенностей ипотеки является возможность досрочного погашения, предоставляемая заемщику.

Отметим, что аналогичным образом можно рассмотреть задачу нахождения справедливой величины процентной ставки по кредиту, в которой право досрочного погашения принадлежит кредитору. Данное исследование может позволить получить информацию о том, как должны соотносится процентные ставки по срочным депозитам и счетам до востребования, которые представляют собой именно кредиты с возможностью досрочного погашения (а точнее, отзыва) со стороны кредитора.

В качестве направлений для дальнейших исследований можно также предложить рассмотреть вариант с конечным сроком действия как для кредитов с возможностью досрочного погашения и так и для кредитов без возможности досрочного погашения. Кроме того, условие совпадения долго- и краткосрочной процентных ставок существенно облегчает рассматриваемую задачу, однако для описания реальных кредитных рынков лучше может подойти случай с гфК.

Полученные результаты могут быть использованы при принятии инвестиционных решений относительно вложения денежных средств в российскую экономику, в управлении рисками, страховании, при выдаче и привлечении ипотечных кредитов. Результаты диссертационного исследования могут применяться кредитными организациями, инвестиционными банками и прочими финансовыми учреждениями, а также департаментами управления финансами и казначействами компаний реального сектора. Используемая техника и полученные оценки параметров и характеристик российского долгового рынка могут также быть использованы различными исследовательскими организациями при дальнейшем анализе российского финансового рынка.

1. Abel А. В., Dixit А. К., Eberly J. С., Pindyck R. S. Options, the Value of Capital, and Investment // The Quarterly Journal of Economics. 1996. V. 111. № 3. 753-777.

2. Black F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // The Journal of Political Economy. 1973. V. 81. № 3. 637-654.

3. Broadie M., Detemple J. American Options on Dividend-Paying Assets // CIRANO Scientific Series. 96s-15, 1996.

4. Buser S., Hendershott P. Pricing Default-Free Fixed-Rate Mortgages // Housing Finance Review. 1984. V. 3. № 4. 405-429.

5. Courtadon G. The Pricing of Options on Default-Free Bonds // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1982. V. 17. № 1. 75-100.

6. Cox J. C., Ingersoll J.E., Jr., Ross S.A. A Theory of the Term Structure of Interest Rates// Econometrica. 1985. V. 53. No 2. 385-408.

7. Dixit A, Pindyck R. Investment under Uncertainty Princeton: Princeton University Press. 1994.

8. Dixit A. Entry and Exit Decisions under Uncertainty // Journal of Political Economy. 1989. V. 97. № 3. 620-638.

9. Dothan U., Williams J. Education as an Option // The Journal of Business. 1981. V. 54. № 1. 117-139.

10. Q. On the Valuation of an option to exchange one interest rate for another // J. Banking and Finance. 1996. V. 20. № 4. 645-653.

11. Harrison J. M., Pliska S. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading // Stochastic processes and their applications. 1981. V. 11. № 3. 215-260.

12. Heath D., Jarrow R., Morton A. Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation // Econometrica. 1992. V. 60. № 1. 77-105.

13. Hull J., White A. One factor interest rate models and the valuation of interest rate derivative securities // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1993. V. 28. № 2. 235-254.

14. Jamshidian F.: An Exact Bond Option Formula // The Journal of Finance. 1989. V. 44. № 1. 205-209.

15. Jarrow R. Modelling fixed income securities and interest rate options. Stanford: Stanford Univ. Press, 2002. 2nd ed.

16. Kau J.В., Keenan D.C. An Overview of the Option-theoretic Pricing of Mortgages // Journal of Housing Research. 1995. V. 6. №2.217-244.

17. LongstaffF. A., Schwartz E.S. Interest Rate Volatility and the Term Structure: A Two-Factor General Equilibrium Model // The Journal of Finance. 1992. V. 47. № 4. 1259-1282.

18. Margrabe W. The Value of an Option to Exchange one asset for another// The Journal of Finance. 1978. V. 33. № 1. 177-186.

19. Merton R. C. Theory of rational option pricing // The Bell Journal of Economics and Management Science. 1973. V. 2. №1. 141-183.

20. Poitras G. Spread Options, Exchange Options and Arithmetic brownian motion // Journal of Futures Markets, 18 (1998) 487-517;

21. Randall J. Pozdena R.J. Pricing mortgages: an options approach // Economic Review. 1984. V. 2. № 2. 39-55.

22. Shiller R.J. The Term Structure of Interest Rates. The Handbook of Monetary Economics. Amsterdam: North-Holland. 1990.

23. Sobol I. M. On Systematic Search in a Hypercube // SIAM Journal of Numerical Analysis. 1979. V. 16. № 5. 790-793.

24. Vasicek O.A. An Equilibrium Characterization of the Term Structure // Journal of Financial Economics. 1977. V. 5. № 2.177-188.

25. Wilmott W. Paul Wilmott on Quantitative Finance John Wiley & Sons Ltd. 2006.

26. Оксендаль Б. Введение в стохастические дифференциальные уравнения и приложения // Москва: Мир. 2003.

27. Хорев К.П. Выпуск облигаций намек рынку на хорошие перспективы - Финансовый аналитик. 2004. № 3-4. 64-68.

28. Хорев К.П. Динамика корпоративных облигаций: то взлет, то посадка // Финансовый аналитик. 2004. № 7-8. 104-109.

29. Хорев К.П. К вопросу оценки процентной ставки по ипотечному кредиту // Известия РАН. Теория и системы управления. Отдана в печать.

30. Хорев К.П. Моделирование некоторых задач финансовой математики: оценка спрэд-опциона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47. № 4. 626637.

31. Хорев К.П. Оценка процентной ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения // Обозрениеприкладной и промышленной математики. 2007. Т. 14. № 1. 164-165.

32. Хорее К.П. Рынок региональных и муниципальных облигаций // Бюджет. 2004. сентябрь. 46-48.

33. Ширяев А. #., Кабанов Ю.М, КрамковД. О., Мельников А. В. К теории расчетов опционов европейского и американского типов. II. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. № 1. 80-129.

34. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики Москва. Научное и издательское объединение ФАЗИС. 2004.