автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Обработка данных финансового рынка и принятие решения о структуре европейского опциона

На правах рукописи

Данилюк Елена Юрьевна

ОБРАБОТКА ДАННЫХ ФИНАНСОВОГО РЫНКА И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ О СТРУКТУРЕ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ит ¿015

005557938

Томск-2014

005557938

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Национальный исследовательский Томский политехнический университет» на кафедре высшей математики и в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» на кафедре прикладной математики.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Официальные оппоненты:

Медведев Геннадий Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор, Белорусский государственный университет, кафедра теории вероятностей и математической статистики, профессор

Ефремов Виталий Александрович, кандидат технических наук, ООО «КС Групп», программист; федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники», кафедра комплексной информационной безопасности электронно-вычислительных систем, доцент

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

Защита состоится 04 марта 2015 г. в 10:30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.12, созданного на базе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36 (корп. 2, ауд.212б).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета и на сайте федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» wvyw.tsu.ru.

Материалы по защите диссертации размещены на официальном сайте ТГУ: http://tsu.пl/content/news/anлoшlcement_of_the_dissertaíionsJn_the_tsu.php

Автореферат разослан января 2015 г.

Рожкова Светлана Владимировна

учреждение науки Институт прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. На сегодняшний день одной из динамично развивающихся сложных систем является финансовый рынок, инструменты которого, как структурные элементы системы, весьма разнообразны и требуют исследования с помощью строгого математического аппарата. Так, для раздела прикладной математики — стохастической финансовой математики - в качестве объекта анализа особый интерес представляет такой инструмент срочных рынков торговли активами и хеджирования рисков, как опцион, востребованный инвесторами ввиду широкого класса платежных схем по опционам.

Опционный контракт, или опцион, - договор, по которому потенциальный покупатель или потенциальный продавец актива (товара, ценной бумаги) получает право, но не обязательство, совершить покупку (опцион купли, call опцион) или продажу (опцион продажи, put опцион) данного актива по заранее оговоренной цене (страйковая цена, страйк) в определенный договором момент в будущем (для Европейского опциона) или на протяжении определенного отрезка времени (для Американского опциона). При этом продавец опциона несет обязательство совершить ответную продажу или покупку актива в соответствии с условиями проданного опциона.

Основная прикладная задача стохастической финансовой математики состоит в определении справедливой стоимости финансовых инструментов, зная которую инвестор принимает решение об оптимальном управлении капиталом. Математическая модель определения теоретической стоимости Европейского опциона на полном, безарбитражном и рискнейтральном рынке двух активов (рискового и безрискового) с непрерывным временем была впервые предложена в 1973 г. Ф. Блэком (F. Black) и М. Шоулзом (М. Scholes) с учетом работ Л. Башелье (L. Bachelier), Дж. Трейнора (J. Trainor), П. Самуэльсона (P. Samuelson), Ш. Кассофа (Sh. Kassouf), Э. Торпа (Е. Thorp). Модель ценообразования опционов для рынка базисных активов с дискретным временем была введена Дж. Коксом (J. Сох), С. Россом (S. Ross), М. Рубинштейном (М. Rubinstein), Р. Мертоном (R. Merton). Разработанная базовая теория позволяла также строить хеджирующую стратегию (формировать оптимальный портфель ценных активов), однако рассматривала только стандартные опционы, когда платежное обязательство характеризовалось двумя параметрами - рыночной ценой базисного актива (акции) в момент экспирации дериватива и договорной ценой исполнения. С развитием финансовых рынков базисных активов потребовались более сложные инвестиционные продукты, включающие дополнительные условия, вносимые обеими сторонами опционной сделки. Tax возник обширный класс экзотических опционов: барьерные, бинарные, на экстремумы, ступенчатые и пр., -освещенных в работах М. Рубинштейна, АЛ. Буренина, П. Чжан (P. Zhang), К. Кожина, М. Чекулаева, Дж. Халла (J. Hull)). В исследовании инструментов современного срочного рынка особое место занимают работы АЛ. Ширяева, ГА. Медведева, Н.С. Демина, А.Ф. Терпугова, В.В. Толстобокова.

Эволюция срочного рынка повлекла за собой использование новых способов хеджирования его инструментов. Прежний метод совершенного хеджирования (су-

перхеджирования) предполагал воспроизведение выплат (которые могли быть достаточно высокими для продавца опциона) по деривативу в полном объеме, при этом стоимость производной бумаги не зависела от предпочтений ее обладателя и характеристик эмитента. В конце 90-х гг. XX века в работах А.В. Мельникова, С.Н. Волкова, МЛ. Нечаева, АА. Новикова, X. Фоллмера (Н. F6llmer)), Я. Сюсайна (J. Sekine), Я. Цвитаника (J. Cvitanik), Ж. Спивака (G. Spivak), Д. Даффи (D. Duffie), Г. Ричардсона (Н. Richardson), П. Лейкерта (P. Leukert) была представлена методология кван-тильного хеджирования, когда стоимость опциона определяется на основании взаимодействия ряда факторов, непредвиденное изменение которых может привести к невыполнению или частичному выполнению продавцом платежного обязательства, в большей мере отражая реальный рынок. Как и суперхеджирование, стратегия квантильного хеджирования минимизирует капитал оптимального портфеля ценных бумаг, но при заданной (меньше 1) вероятности успешного хеджирования.

В диссертации получены решения задач квантильного и совершенного хеджирования стандартных и некоторых экзотических Европейских опционов продажи/купли на акции, на основе которых рыночный агент принимает решение об оптимальном управлении капиталом.

Актуальность исследования обусловлена, во-первых, необходимостью разработки теоретического аппарата для принятия решения, руководствуясь которым агент финансового рынка, обрабатывая и анализируя поступающую с фондовых рынков информацию (цены активов), смог бы управлять экономическими процессами (эволюцией капитала, инвестиционного портфеля). Во-вторых, потребность в изучении опционов как средства управления капиталом обуславливается тем, что объемы торгов ими довольно высоки и превышают объемы торгов многими финансовыми инструментами на срочном и спотовом рынках. Однако большинство операций представлено торговлей стандартными опционами ввиду отсутствия математически обоснованного исследования экзотических опционов, являющихся более гибкими инструментами по сравнению со стандартными. Результаты настоящей диссертации представляют решение задачи хеджирования некоторых экзотических опционов. В-третьих, наряду с совершенным хеджированием рассмотрено квангильное хеджирование деривагивов, что позволяет учитывать непредвиденные риски при оценивании опциона. Стоит отметить, что исследование проводилось при условии выплаты дивидендов по рисковому актву, тем самым была учтена значимая компонента реального финансового рынка.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью работы является аналитическое и численное исследование стандартных и некоторых экзотических опционов Европейского стиля на диффузионном финансовом рынке акций, по которым выплачиваются дивиденды, для последующего принятия решения о размере премии по опциону и об условиях опционного договора на основании цен рассматриваемых деривагивов. Класс экзотических опционов представлен: опционами с ограничением выплаты для продавца дериватива и гарантированным доходом для покупателя; двухбарьерными опционами; «выключающими» опционами с уступкой. В рамказ[

сформулированной цели были предложены этапы алгоритма принятия решения о структуре опционного контракта и решены следующие задачи:

1. Определить рациональную (справедливую) стоимость опциона, модифицировав модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза предположением о выплате дивидендов по базисному активу (акции).

2. Рассчитать инвестируемый капитал продавца опциона, а также состав оптимального формируемого портфеля, обеспечивающего капитал.

3. Осуществить хеджирование опционов, задав уровень риска, связанного с неисполнением или частичным исполнением опциона. Если уровень риска равен нулю, применил, методологию суперхеджирования. Если уровень риска больше нуля, использовать квантильное хеджирование, определив множество успешного хеджирования.

4. Аналитически и численно исследовать полученные решения, сформулировать и дать экономическую интерпретацию влияния параметров договора на решение задачи.

5. Решить задачи 1-4 для стандартных и экзотических опционов Европейского стиля. Сравнить стоимости деривативов с цепью принятия решения о структуре опционного контракта.

Под структурой опциона понимается определенное сочетание его качественных и/или количественных характеристик.

Научная новизна работы. Новизна исследования заключается в решении задач: квантильного хеджирования стандартных опционов купли/продажи и экзотических опционов купли/продажи с ограничением выплат для продавца опциона и гарантированным доходом для владельца опциона; а также совершенного хеджирования двойных барьерных опционов купли/продажи и барьерных опционов купли/продажи с уступкой, - как этапа обработки данных финансового рынка и принятия решения о структуре Европейского опциона на акции, по которым выплачиваются дивиденды.

Теоретическая значимость работы. Результаты глав 1, 2 могут служить теоретической основой для изучения возможностей квантильного хеджирования иных представителей широкого класса экзотических опционов на рынке акций, например, опционов барьерного типа, опционов на экстремумы. Результаты глав 3,4 представляют собой необходимый этап решения задачи анализа квантильного и совершенного видов хеджирования барьерных опционов.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования аналитических выражений справедливых цен предложенных в работе опционов на рынках вторичных ценных бумаг при заключении биржевых и внебиржевых опционных договоров, когда в качестве первичного актива выступают акции и по ним выплачиваются дивиденды. Результаты диссертации могут быть предложены для создания автоматизированной системы выработки общих рекомендаций инвесторам с учетом их целей и возможностей.

Работа выполнялась в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (мероприятие 1.5) в 2010-2011 гг.: «Аналитические и алгебраические методы обработки информации, теория групп и управление в стохастических системах», номер госрегистрации ПС 10.347.С.2010; в

2012-2013 гг.: «Современные методы оптимизации и анализа, теории групп и их приложения в обработке информации, математических моделях физики и экономики», номер госрегистрации 0.1109.2012 Б; в рамках Программы повышения конкурентоспособности ТГУ на 2014-2015 гг. Результаты диссертации используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета при чтении курса «Математические методы и модели в экономике» (раздел «Модели финансового рынка») для магистрантов.

Методология и методы исследования. Для реализации поставленных в диссертационной работе задач был применен аппарат теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, теории дифференциальных уравнений, математического анализа, стохастического анализа, системного анализа, а также математической теории финансов. Численные расчеты и анализ результатов компьютерного моделирования проведены с помощью системы МаЛсас!.

Положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритм принятия решения о заключении опционного контракта (о размере премии по опциону и об условиях опционного договора на основании цен рассматриваемых деривативов);

2. Аналитическое решение задачи нахождения стоимостей стандартных и экзотических (с ограничением выплат для продавца и гарантированным доходом для покупателя) Европейских опционов купли и продажи, текущих значений минимальных портфелей ценных бумаг (хеджирующих стратегий) и обеспечивающих хеджи капиталов с выплатой дивидендов по рисковому активу в случае квантильного хеджирования;

3. Аналитическое решение задачи нахождения стоимостей Европейских барьерных опционов купли и продажи, текущих значений минимальных портфелей ценных бумаг (хеджирующих стратегий) и обеспечивающих хеджи капиталов с выплатой дивидендов по рисковому активу в случае совершенного хеджирования;

4. Результаты исследования свойств решений и их экономическая интерпретация с помощью аналитических и численных исследований;

5. Результаты сравнения цен опционов в зависимости от класса и вида опциона и вида хеджирования, рекомендации для принятия решения при заключении опционного контракта.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечена строгими математическими доказательствами с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, теории дифференциальных уравнений, математического анализа, стохастического анализа, системного анализа, теории финансовой математики и численными исследованиями.

Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

1. VII Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», Томск, 20-23 апреля 2010 г.;

2. XIII Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», Томск, 5-8 октября 2010 г.;

3. IX Международная научно-практическая конференция студентов, молодых ученых и предпринимателей в сфере экономики, менеджмента и инноваций «ИМПУЛЬС - 2012», Томск, 22-23 ноября 2012 г.;

4. X Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», Томск, 23-26 апреля 2013 г.;

5.1 Всероссийская молодежная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», Томск, 17-18 мая 2013 г.;

6. The International Academic Conference on Social Sciences, Turkey, Istanbul, 25-27 June, 2013;

7. VI Международная научно-практическая конференция «Физико-технические проблемы атомной науки, энергетики и промышленности» (ФТПАНЭП-2014), Томск, 5-7 июня 2014 г.;

8. X Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», Алтайский край, 9-13 июня 2014 г.;

9. XIII Международная научно-практическая конференция имени А.Ф. Терпу-гова «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2014), Анжеро-Судженск, 20-22 ноября 2014 г.

Публикации. Основные результаты проведенных исследований опубликованы автором в 15 печатных работах, 7 из которых опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК.

Личный вклад автора. Постановка задач, представленных в диссертации, была сделана автором совместно с научными руководителями д.ф.-м.н, профессором |Н.С. Демины^ и д.ф.-м.н, доцентом С.В. Рожковой. Полученные результаты, изложенные в исследовании и выносимые на защиту, принадлежат лично соискателю. В опубликованных работах основные результаты теоретического исследования и численного моделирования выполнены автором. Соавтор публикации [11], представленной в трудах конференции, является студентом, научной работой которого руководил автор диссертации. С соавторами публикации [3], [4] обсуждались постановка задачи и полученные результаты.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, пяти приложений. Общий объем работы составляет 176 страниц, из которых 134 страницы основного текста, иллюстративный материал представлен 54 рисунками; список литературы содержит 120 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении предложено описание работы, раскрывается актуальность исследуемой проблемы, приводится обзор работ других авторов по изучаемой тематике, формулируется цель, излагается методология исследования, обосновывается теоретическая, практическая значимость и новизна выносимых на защиту результатов.

В первой главе формулируется общая задача и решается задача квантнльного хеджирования Европейских опционов продажи двух видов: стандартного опциона

продажи и опциона продажи с ограничением выплаты продавца и гарантированным доходом покупателя - с последующим сравнением премий по опционам.

В параграфе 1.1 приводятся предварительные результаты в рамках постановки общей задачи. Рассматривается полный безарбитражный (в,Б) - финансовый рынок с непрерывным временем /е[0,г], образованный двумя основными активами: безрисковым (депозит в надежном банке) В и рисковым (акция) Текущая стоимость безрисковой ценной бумаги В, - детерминированная величина; изменение стоимости акции Я = ($,Хг11 происходит на стандартном вероятностном пространстве г>о>^ / с выплатой дивидендов. Инвестор в некоторый начальный момент времени / = 0 выписывает опцион на акции. Премия по опциону идет на формирование инвестором самофинансируемого портфеля п, =(р„у,) (хеджирующей стратегии), состоящего из пары /^-измеримых процессов: Р,, у, - долей безрискового и рискового активов соответственно. Причем владелец дериватива соглашается с риском неисполнения эмитентом платежного обязательства /Г(5Г). На основе модели ценообразования Блэка-Шоулза (с помощью «мартингального» подхода) решается задача: 1) оценки рациональной (справедливой) стоимости опциона Ст; 2) построения минимального хеджа, имеющего начальный капитал Х0=СТ, и такого, чтобы динамика капитала инвестора X, = + обеспечила исполнение платежного обязательства Хт =/г(5г) в момент / = Г экспирации опциона с вероятностью не меньшей Р(л)=1-е, где величина 0<е<1 фиксирована (если Р(л)= 1, то речь идет о совершенном хеджировании, или суперхеджировании- если Р(л)<1,то

имеет место рассмотренное в предлагаемой работе квантильное хеджирование как частный случай несовершенного хеджирования).

В параграфе 12 решается задача квантильного хеджирования стандартного опциона продажи с выплатой дивидендов по рисковому активу, платежная функция дериватива имеет вид

ЯТУ -т^К-Б^ (1)

где 5Г- цена базисного актива в фиксированный и оговоренный в контракте момент Т экспирации опциона, К - договорная цена исполнения опциона.

Тогда множество А и вероятность Р(л)=1-е успешного хеджирования-Л = {а: ехр{- (((1 + 8 - г)/ст2 )(1п + ((ц + 5 + г - о2 )/2))г > сопи ■ (к - 5Г У }

И Р(Л)=1 -оф;---((ц-г+5)/о)г)/^)= ф((-ъ'т-~ + + ь)/ъ)г)/-1т\где

К^ = ((и - г + 5)/а)Г + -УгФ ' (Е) = ((н - г + д)/а)Г -4ТФ '(\-е\ (2) ц е Я = (- оо;+оо) - параметр роста цены рискового актива, ст > 0 - коэффициент во-латильности (изменчивости) стоимости акции, г > О - процентная ставка по безрисковому активу, или банковский процент, 5:0<5<г - дивидендная доходность, Ф(дг) и фО<) - функция и плотность стандартного гауссовского распределения' - функция, обратная к функции распределения Лапласа.

Введем функцию

<-^(7Л)=[1п(/:/50)-(Г - 5 - {а>/2))г]/<,4т, (3)

Теорема 1.1. Справедливая цена стандартного Европейского опциона продажи в случае выплаты дивидендов по рисковому активу в задаче квантильного хеджирования определяется формулой

- 80е-*т[ф{у«-^{т,80)-о4т)- Ф^-""/^)- а^г)} где Ъ"-" имеет вид (2).

Теорема 1.2. В случае квантильного хеджирования стандартного опциона продажи портфель л,"-"" = (р,уГ"'-) и текущий капитал Х'-'* определяются формулами

Г,"-"" = -е"'"" 1ф(л"" ^ (Т ~ 'Л ) " - Ол/7^7)]

р;1-"' = (к/яХк-'-Чт'-'Л))-ф{ь-;-<"/-17^)1

= Хе-'(г-')[ф(у0"-'-(Г - Б,))-Ф ¡^т^})]-- 5|е"4<г"')[ф(у"-'-(Г-/,5,)-сул/7^7)- ф((бг"-'«/Л/Г=7)-где Ь'-^, определяются уравнениями (2), (3) соответственно с заме-

нами Т ->(Т -/),

В параграфе 1.3 решается задача квантильного хеджирования экзотического опциона продажи - с ограничением выплаты для продавца опциона - с выплатой дивидендов по рисковому активу и платежной функцией

/г~-'"Ч^) = тт{(К1-5г)\К2)1 (4)

где в условия стандартного контракта для покупателя (1) помимо страйковой цены К, включена договорная величина Кг, с одной стороны, ограничивающая выплаты по опциону, что может быть выгодно подписчику опциона, а с другой стороны, гарантирующая доход держателя.

Множество и вероятность успешного хеджирования аналогичны множеству и вероятности успешного хеджирования из параграфа 12, при этом Ь"-^ = Ь"-1^ из (2).

Пусть определены функции вида

у"-" (Г, 50) = ¡¿/а-1ТУ1п(К, /50)- (г - б- (ст1/2))г]) (6)

Л-^ЛЬ {1/с4т1ы((к,-кМПг-6+И2М (7)

У"-'" (Т, .!>„)=(у'ол/Г^п^АГ, /50)- (г - 5+(аг/2))г], (8)

Б"--!^ = ¡6=-"'/■#)- Ол/Г. (9)

Теорема 13. Справедливая (рациональная) цена экзотического опциона продажи с платежной функцией (4) в случае выплаты дивидендов по акции в задаче квантильного хеджирования определяется уравнением

Р" = шах {/>"', Р""},

где

- ^[ФОГ^М.))-Ф^-^/л/г)]

Теорема 1.4. В случае квантилыюго хеджирования опциона с платежной функцией (4) текущий капитал X"-1" и оптимальный портфель у"-**') определяются формулами

= и,"-"-', если Рт" = 1 ХГ-~-п, ест Р? = Рт"-\

где

+ Kle"™[<t>(y?->«(r-t,Sl))-

- [ф^' (Т - i, S,))- (Т - i,S,))}

- S,e ~5(r") [i>(j>~-"" (Г - 5,)) - Ф {B^jJTrt)) J К'"'' У7если X"-^

[К-"'-" =хг-'м-л,

У7-"-а = - t,s,))-

+{к^/в, 1ф{у:-"Чт -1, s,))- Ф(у0—' (т - t,s,))]

[ьт--l-lT=rt), yJ-"(T-t,S,), ^-"(T-US,), 7 = {0;l}, имеют вид

(5H9) с заменами T->(T-t), S0

В параграфе 1.4 проведено исследование свойств полученных решений: найдены коэффициенты чувствительности, определяющие зависимость цены каждого из опционов от параметров задачи, от начальной цены акции, от оговоренной при заключении контракта цены исполнения и, в случае экзотического опциона, - от величины, ограничивающей выплаты эмитента опциона.

Согласно Теоремам 1.1,1.3 Рт" =PT«{so,K,n,s), Р? =PT"(S0,Kl,K2,ii,e). Утверждение 1.5. В задаче квантилыюго хеджирования опциона put с функцией выплат (1) коэффициенты чувствительности P'~s' =5P"/dS0, Р"-с =дР"/дК

Р"-* =дР'/8\х, Р"-' =дРт"/де удовлетворяют неравенствам P"-s° <0, Рт'-С > 0.

Если S„ <К, то /у-' <0, Р'-' <0; при S0 к К знаки Р*-* и Р'-' аналитически не определяются.

В случае экзотического опциона с платежным обязательством (4) для коэффициентов чувствительности справедливы соотношения 8P°/dSv <0, BP" /6К1 >0, дР"/дКг >0, и при S0 < К, выполняются ВР°/др.<0, дРт"/де < 0, при 5„ >К, знаки dP"jd\i и 8Р"/дг аналитически не определяются.

Дана экономическая интерпретация свойств решения, доказанных в Утверждении 1.5, рассмотрены числовые примеры, подтверждающие аналитические результаты.

Как предельный случай задачи хеджирования экзотического опциона с платежной функцией (4) получено решение задачи хеджирования стандартного опциона (1) (Замечание 1.1). Показан предельный переход решения задачи квантильного хеджирования в решение задачи суперхеджирования опционов (1) и (4).

Замечание 1.1. Согласно (1), (4) справедливо равенство

Km /-"*&) = /--"&)= -Sr)\

где в (1) можно считать К = К„ так как К в (1) и /Г, в (4) - договорные цены покупки акции в случае предъявления опциона к исполнению.

Проведено аналитическое сравнение цен стандартного и экзотического опционов продажи, дано экономическое обоснование и рекомендации инвестору о структуре опциона.

В параграфе 1.5 представлены выводы и основные результаты главы 1.

Во второй главе исследуется проблема хеджирования с заданной вероятностью Европейских опционов купли двух видов: стандартного call опциона и call опциона с ограничением выплаты.

В параграфе 2.1 решается задача квантильного хеджирования стандартного опциона купли с выплатой дивидендов по акции, платежная функция которого имеет вид /г'-" = (Sr - КУ = тах(5г - А',0> (10)

Определяются множество и вероятность успешного хеджирования, причем выделяются два случая в зависимости от параметров модели: [(ц-г+б)/о*]< 1 или [(ц-г+ 5)/а2]>1. Если [(ц-г + б)/о2]<1, то А = {ca:Sr <50ехр|(г-5-(о2/2))г + + Ь^о}} и Р(Л)=Ф((6;'-^ - ((ц - г + Ь)/а)г)1Щ где

b;-f = ((ц - г + 6)/ст)Г + л/Гф-'(1-е). (11)

Пусть в (12) определена функция yo-caU{r,S0), равная (3)

К^(Г,50)=Л"-'~'(Г,50)=[1п(^/50)-(г - 5 - (о2/2 (12)

Теорема 2.1. Справедливая (рациональная) цена стандартного Европейского опциона купли в случае выплаты дивидендов по рисковому активу в задаче квантильного хеджирования определяется (13)

сг" = v^N^'A/r)-aVr)- ФСу0"-»"(ГА)-<^Г)]-

где 6;-™" из (11).

Теорема 2.2. Текущие значения минимального хеджирующего портфеля для стандартного Европейского опциона купли = в задаче квангаль-

ного хеджирования и обеспечивающего хедж капитала в случае, когда

[(ц-г+б)/®1]^ , определяются формулами

К" = ф(у0^-(г - ,,*,))]

Шсь/гТТ)-ф(у»--(г-)-

где 6"-"", Уа-"^(Г - Г,5,) получаем из (11), (12) с заменами Г -» (Г - /), 5„ 5,.

Если [(ц-г + б)/стг]>1, то множество успешного хеджирования имеет вид А = <50ехр{(г-5-(с7у2))г+61^о}}и{а):5г >50ехр{(г-б-{^/2))г+ + ¿>2*-~"ст}}, а вероятность успешного хеджирования определяется как

Г(л)=ф((м;-- - ((ц - г + 5)/а)г)/7г)+ ф((- ¿2--- + ((ц - г + 5)/а)г)/7г)(14) где константы ¿2"-"" в явном виде в отличие от случая, когда

не находятся. При численном исследовании задачи из уравнения (14) находится одна из констант при заданном значении другой.

Теорема 23. Цена опциона купли с платежной функцией (4) в случае выполнения условия [(ц-г+б)/стг]> 1 при квантильном хеджировании определяется формулой

+ Ке"[ф{{ы«г-°"/4Т))- Ф (у0—(Г, 5.))+ Ф(- (б2---/Тг))}

где у°-""{Т,5а) имеет вид (12).

Теорема 2.4. Текущие значения минимального хеджирующего портфеля для стандартного Европейского опциона купли я,"-"0 = в задаче кварталь-

ного хеджирования и обеспечивающего хедж капитала Л"'-""0 при условии > 1 определяются формулами

- Фи'--"(7- -,,5,)-ф(- Ь^/^Щ)-

где 61"-~", 62*-"°, удовлетворяют уравнениям (14), (12) соответст-

венно с заменами Т ->(Т - г), 50 -> 5,.

В параграфе 2.2 решается задача квантильного хеджирования Европейского опциона купли с ограничением выплаты для продавца опциона и гарантированным доходом для покупателя опциона с платежной функцией (15)

/г---(5г) = тш{(5г-К,)\Кг} (15)

Пусть определены функции вида

я--~(гл)=мвд) - (г - б- (а'/2))г]/а4т, (16) УТ'-ЧТ^МК, +К2)/30)-{г-д-{аУ2))г]/а4т, (17)

К'-'Ы^УГ-^М^ [1п(^/50)-(г-5+(а72))т]/с^, (18) ^Г-""(Г,50)=[1п((л:1 + )/50)-(г - 5+(а2/2))т|/стл/Г, (19)

Б2«-"*/4Т = (м^/Тг)- ал/г, ( )

где константы 61"-™", 62"-"° в явном виде не находятся и удовлетворяют уравнению вероятности успешного хеджирования

Р(л)=ф((«--- - ((ц - г + Ь)/с)г)/4т)+ Ф((- + ((ц-г + 5)/а)г)/^) Теорема 2.5. Справедливая (рациональная) цена экзотического опциона купли с платежной функцией (15) в случае выплаты дивидендов по акции в задаче квантильного хеджирования выражается уравнением

С" =шах{С"-',С"-я},

где

С"-' = Ф(?Г-"Д(7',50))]- К,е"т[ф{ь\"^ /4т)~

- ф(уГ-~"М0))]+ К2е"т ф{-Ь2?-~"/4т), С--' = Ф(уГ--(Г,^))-

Ф(УГ--(Г,«„))]+ Кге"т Ф(- у- "*{Т,80)\ Теорема 2.6. В случае квантильного хеджирования текущий капитал и

оптимальный портфель т?-™"у?-™") определяются формулами

ХГ-"-'. если с,- = с;-', если С" =С"-П,

где

ХГ-^-' = К1е-'™ Ф(- АГ, е -'(7-') [ф(б1/4Т^г) -

- Ф (уГ-""(Г - 'А))]+ ^''[ф^^/л/г^?)- ф(рГ--(Г_Л5))] ХГ---" = Ф(- у^(Т - /, 5,))- К,е-'^[ф(у~-«"{Т - Г, 5, ))-

- Ф{у7-"*{Т ~ 5,))]+ [Ф(РГ^(Г - /, 5,))- ф(р--- (Г - /, ))1

_ег_оаД /ла сай „в сЛ 1

если X,*•-"" = X"-"1-',

если =Х] У?-"-' ф{уГ""(Т

гГ-"-" = е"*™ [ФСРГ'"' (т - 5,))- Ф(РГ-'-' (Г - 5, ))\

- (к^/вМ^-'Г/^))-ф (УГ--(Г - '.5,))} + {к^/В.Щ- л---(г -

где (ь°_-сМ/лГт-ч), ^(Т-^,), ] = {1;2>, зада-

ются (16Н20) с заменами Т (Г - /), 50 5,.

В параграфе 23 получены и доказаны в Утверждении 2.4 свойства решений, которые апробированы на модельных данных и соответствуют теоретическим результатам.

Утверждение 2.4. Учитывая, что С" =С"{Ба,К,\к,г), коэффициенты чувствительности с;-* =5с;/ау0, =ес?/дк, с;-* =ас;/дц, с;'-' =0с;/& стоимости стандартного са// опциона в задаче квантильного хеджирования удовлетворяют неравенствам С"-3' >0, С"-' <0. И если <К, тогда С'-' >0, С" ' <0. Для случая Б0>К знаки коэффициентов чувствительности С"-' Сг"-6 аналитически не определяются.

В случае экзотического опциона с функцией выплат (15) для коэффициентов чувствительности справедливы соотношения 8С°/дБ0 >0, 8С"/дК, <0, ЗС'т'/дК1 >0. Точные аналитические формулы для С"-' = 8С"/8\х и С"-' =дС"/де получил, не удается ввиду неявного задания 61"-"*, ¿2"-'"°, Ы"-"". Оценил, знак коэф-

фициентов чувствительности аналитически нельзя, однако числовые примеры показывают, что С"-* > 0 и С"-' < 0, где С? = С?{80,Кх,К2,\и,г).

Как предельный случай задачи хеджирования экзотического опциона с платежной функцией (15) получено решение задачи хеджирования стандартного опциона (10) (Замечание 2.1). Показан предельный переход решения задачи квантильного хеджирования в решение задачи суперхеджирования опционов (10) и (15).

Замечание 2.1. Согласно (10), (15) справедливо равенство Нт - К,)'.

Так как К в (10) и К, в (15) есть договорные цены покупки акции в случае предъявления опциона к исполнению, то в (10) можно считать К = КХ.

Проведено аналитическое сравнение цен стандартного и экзотического опционов купли, дано экономическое обоснование и рекомендации инвестору о структуре опциона.

В параграфе 2.4 представлены выводы и основные результаты главы 2.

В третьей главе исследуются Европейские опционы продажи, выплаты по которым зависят от того, достигла ли цена базового актива оговоренного в контракте уровня за определенный период времени или нет. Соответствующий ценовой уровень может рассматриваться как барьер, который либо «включает» опцион, либо (выключает».

В параграфе 3.1 решается задача оценивания на (B,S) - финансовом рынке барьерного опциона продажи, образованного включением дополнительного условия - барьеров - в контракт Европейского стандартного put опциона (1), с платежной функцией

f^--^=(K-STyi[H,<Sr<H2\ (21)

где Я,, Я2 - нижний и верхний барьеры для цены ST соответственно. Согласно (21) базовое платежное обязательство (1) «включается» при пересечении ценой ST барьера Я, и «выключается» при пересечении ценой ST барьера Я, сверху вниз (в фазе падения цены). Если состояние рынка в момент времени Г такое, что Я, <ST <Я2, то покупателю выплачивается величина (Sr - К)"; в противном случае - если ST < Я, или ST > Я, - опцион не вступит в силу, и покупатель ничего не получит.

Пусть

,Г-"-'"(7Л)= [ln(/:/5j_(r _ 5 _ (ay2))rJW7\ (22)

yT"-^{T,S0)= [1п(Я,/50)- (г -5-(aV2))r]W7\ (23)

[1п(Я2/■>„)- (г - S-(g72))T}W7\ (24)

-*"(T,S0)= Мя.Д,)- (г-8 + (оУг^Уал/г, (25)

HHJS0)-(г- 5 + (oV2))rJW7\ (26)

Теорема 3.1. Справедливая цена двойного барьерного опциона продажи Европейского стиля на базе стандартного опциона в случае выплаты дивидендов по рисковому активу задается формулами

pw.- [Рт'--"-,,еслиН1<Н2<К, Г \ртк-'--\еслиН,<К<Н2,

где

- V [ф(уГ^ (г, 50) - аТг )- (г, 50 ))1

Теорема 3.2. Текущие значения минимального хеджирующего портфеля л,'"-"-'"* =(р,у,и обеспечивающего хедж капитала Л",для барьерного опциона продажи с функцией выплат (21) определяются формулами

- {Ке-^- ГД))-- ,Д))]+

РГ-"-^-' = - Г,5,))-

+ (Т - t,S,))- Ф(уГ-*->*(т - t,S,))]~

- [вта4т^у[н1^-"~'ш{т - t,S,))~ H^T-^^T-t^t

XT-"-1"-1 = Ке"^ [ф^-"-"" (т - t,S,))- (Г - Г, 5, ))]-

если Я, <Нг <К. Если Я, <К < Я2,то выполняются соотношения

уТ-"-^-2 = (е-^У^стл/ггу). ^-»-'«(г - ,,5, ))• (А: - //,)-

- е-8(г-')[ф(у^-я-'»'(г - f,S,)- стл/7^7)- - i,S,))] р^-*-""-2=(ВД - Г^,))- - tS,))\-

- - t,S,))- (К - ЯД

= (г - /, S,))- (г - /, 5, ))]-

- - t,S,)- a-jT-t)— ф(^-«-'~(7' - i,S,))j

где j = {0;1;2}, и -t,S,), y = {l;2}, определяются фор-

мулами (22)-(26) соответственно с заменами Т -> (Т -1), S0 5,.

В параграфе 3.2 решается задача ценообразования на (B,S) - финансовом рынке барьерного put опциона с уступкой. Платежное обязательство задается (27)

/r"---'-($r) = inin{fc-Sr)\X2}/[Sr >H]+(H-ST)/[Sr <H\ (27) где Я - барьер, «выключающий» платежное обязательство (4) при превышении величиной Я цены ST, при этом О <Н <К,-Кг. Продавец опщгона согласен выплачивать величину, определяемую функцией (4), только при понижении цены акции до определенного уровня Я в фазе падения стоимости базового актива. Барьерный опцион с платежным обязательством (27) содержит дополнительную опцию - «уступку» (H-ST), представляющую собой денежный платеж владельцу дериватива, если в момент исполнения опциона цена акции опустилась ниже оговоренного барьера. Пусть

у?-'-" (ГА) = [ln(AV.S0) - (г - 5 - {а2/2))гУа4т, (28)

у?---~(Т,5а)= [ln((K, -K2)/S0)-{r-5-(a72))r]W7\ (29)

^-"--(ГЛ)=[1п(Я/50)-(г _S_(CTy2))r]W7\ (30)

Pr-'-~(T,St)= МВД) - (г - S + (a72MaVf, (31)

(T,sj= [ln((A", - a:,)/S„)- (r - 5 + {a2/2)yya-Jf, (32)

[1п(Я/50)- (г - 6 + (aV2))r}Wr. (33)

Теорема 33. Рациональная стоимость барьерного опциона продажи с платежной функцией (27) в случае выплаты дивидендов по рисковому активу удовлетворяет уравнению

- V" [ф(уГ-"-{T,Sa))- ФО^-"--(Г А )) + Ф^-"-"" (Г, 50))]+

Теорема 3.4. Для Европейского барьерного опциона продажи с уступкой, функция выплат которого задана в (27), текущий капитал Х^"-"-'" и оптимальный портфель = определяются формулами

- S^-l -1, S,))- - t,S,))+ + (г - ,, S,))]+ Кге-^[Ф^-"-" (Г -1, S, ))-

- Ф(уГ—"" (Г - t,s,))]+ Не-'™ ф(уГ(:Г - /, S, )1 уТ"-^ = -е'1<Г,> (Т - t,S,))-ф^?---"' (г - t,S,))+

+ ф - t,S,))]+ (Т - t.S, )\

= (к,/вт ХфОг-"--' (:г - /,s,))- (т -1,s,))]+

+(к2/вт Хф(у2--(т - t,s,))- ф (у?-"-*" (т -1, s,))]+ + (Я/Дг)ф(у,—' (г - t,s,))- {KjBTojT^)?(y?--->~'(T - t,S, )l где yf-'-^iT-t.S,), y?-"-~{T-t,S,), j = {0;1;2}, определяются формулами (28>-(33) с заменами T-*(T-t), S0 ->5t.

В параграфе 3 J исследованы и дана экономическая интерпретация свойств решений: найдены коэффициенты чувствительности (Утверждения 3.2, 3.4), осуществлен предельный переход решения задачи хеджирования барьерного опциона в решение задачи хеджирования стандартного опциона (Замечания 3.1,3.2, Утверждения 3.5,3.6).

Утверждение 3.2. Коэффициенты чувствительности стоимости двухбарьерного put опциона с платежной функцией (21) удовлетворяют неравенствам при Я, <Я2 < АГ: дР*-' /dS0 лО, дРть"-"/дК> 0, dPT"-'/dHt <0, дРтк'--'/дН1 >0. Если Я, < К < Я2, тогда BPTh'-"/dSa л 0, eP^-a/8K>0,3PTt''"/8Hl <0, dPf-" ¡дНг =0.

Утверждение 3.4. Для коэффициентов чувствительности стоимости барьерного опциона продажи с уступкой с функцией выплат (27) справедливы неравенства: dPfT-"/dS0 л 0, дРт>~-а/дК,> 0, 8Pfr-"/dK1 >0, дР^-'/ЗН л 0.

В Утверждениях 3.2,3.4 и далее символ «л» обозначает не определенные аналитически знаки коэффициентов чувствительности (поскольку зависят от соотношения характеристик контракта), и которые уточняются с помощью числовых примеров.

Замечание 3.1. Согласно (1), (21) справедливо равенство

я-

Утверждение 3.5. Учитывая Замечание 3.1, получаем предельный переход решения задачи хеджирования барьерного опциона продажи (21) в решение задачи хеджирования стандартного опциона продажи (1), а именно: lim />г6"г-" = Р"

lim X^'^ lim у=4?-*", Jim R^-"-^ =5"-'"", где

с символом «~» отмечено решение задачи совершенного хеджирования. Замечание 3.2. Согласно (4), (27) справедливо равенство

lim/r—(Sr)= f?-"{ST)= min^AT, -5ГУ,Кг j.

Утверждение 3.6. Учитывая Замечание 3.2, получаем предельный переход решения задачи хеджирования барьерного опциона продажи (27) в решение задачи хеджирования экзотического опциона продажи (4), а именно: lim Л6"-" = Р".

Я-rt ' т

lim ХТ"-" =Х;lim у'"-"-'"' =7,"-'-', lim В"--"-"" =

Проведено аналитическое сравнение цен барьерных опционов продажи, дано экономическое обоснование и рекомендации инвестору о структуре опциона. В параграфе 3.4 представлены выводы и основные результаты главы 3. В четвертой главе исследуются Европейские опционы купли барьерного типа: двухбарьерный опцион и выключающий опцион с уступкой.

В параграфе 4.1 решается задача ценообразования на (B,S) - финансовом рынке двухбарьерного опциона купли с платежной функцией (34)

Л"-*-"1 (STh(Sr - К)'/[Я, <5Г < ЯЛ (34)

Введем функции

yT "-™a(T,S0) = j = {0;1;2}, (35)

yT-"~^(T,Sa) = (T,S0), k = {1;2}. (36)

Теорема 4.1. Справедливая цена двойного барьерного Европейского опциона купли на базе стандартного опциона (12) в случае выплаты дивидендов по рисковому активу определяется формулами

,еслиК<Н, <Я2, ,если Н, <К<Нг, где

Сг"-"-' = (Г,50))- ф(?Г"-~2(7',5 J-

С?-'-2 = S.e'"[Ф(РГ-"{T,St))- Ф(уГ--~"(Г,50 )- оЩ-- Ке" [ф(у Г -""" (Г)) - Ф(у Г -' - (Г, ))] Теорема 4.2. Для барьерного опциона купли с функцией выплат (34) текущие значения минимального хеджирующего портфеля я,*'-"-™0 и

обеспечивающего хедж капитала х^-'-^ определяются формулами: если К<Н,<Н2, то

уГ-"-""-' = Ф (jf-"--(ЗГ - t,S,))]+

+ - t,S,))- - /Л,))]-

—..Je?-*-',*

- {K/BTi- 'A))- - t,S,))]+

+ {втс4Т^У [¡{^-"-""{t - t,S,))~ -t,s,))\

= ^-"-»[ф^-'--^ - t,s,))~ ф(5>Г-'--(г - r,S,))]-

если Я, <K<H2,то

= -«-<«>{Т-,Д ))• (Я2 -*)+

РГ-"-00"-2 = Ф (yS»----(r - /Д ))]+

+ {вта^ГГ,У «р^-«-«"(Г -/Д ))• (Я2 - АГХ

+ - Ф - гД )-

где ^-"--"(Гу = {0;1;2}, и у = {l;2}, определяются фор-

мулами (35), (36) соответственно с заменами Т -> (Т -1), S0 -> S,.

В параграфе 4.2 решается задача ценообразования на (B,S) - финансовом рынке барьерного call опциона с уступкой. Платежное обязательство задается (37)

Л4"-"-"* А ) = min{(Sr -К,У, Кг }/[5г < Я]+ (Sr - H)J[ST > If) (37) Пусть

y?-m--(T,St) = y?---~(T,St), j = {13}, (38)

УГ-'-" (r,S0)=[ln((^ +K2)/S0)-(r-&-{p2 llfjT^G-Jf, (39)

y?-~--4T,St) = sr---~(7\Sj j = {l;3} (40)

^-"-""(ГЛЬ M(*. + K2)/S0)-{r - 5 + {a2/2))r^If. (41)

Теорема 43. Рациональная стоимость барьерного опциона купли с платежной функцией (37) в случае выплаты дивидендов по рисковому активу выражается уравнением

- Kxe~T[*{y,?---™°{T,Sb))- ф(уГ—(Г,50))]+ К^'7 [фСуз*^- "" с°" (Т, Sa )) -

Теорема 4.4. Для Европейского барьерного опциона купли с уступкой с функцией выплат (37) текущий капитал х^-"-™* и оптимальный портфель

—А»_ех_саП I аЬаг еж Cull bar еж CalA __,

щ =\p,~ - ,у, - j определяются формулами

- К^^Щу?-'--(Т-1,S,))- Ф^,--«--(T -1,S,))]+ Кге-*тч) x

x - t,S,))- - t,S, ))]+

+ Ф(- - t,S,))~ Не-™ Ф(- - t,S, )\

+ Ф(" - t,S,))]- {K.e^/S.a^t^{Т -1, S, )>

Р."-"-- = -{KJBt\<S>{??-"-~«{T - t,S,))-Ф - t,S, ))]+

+ - t,S,))-- ))]_

-(Н/ВГ)ф(- (т - t,S,)) + {kJbtojT^tytb?-'--СГ - t,s.)l

где y^-"-""{T-t,S,), j = {l;2;3}, определяются формулами (38)-

(41) с заменами T->(T-t), S0->S,.

В параграфе 4.3 исследованы свойства решений: найдены коэффициенты чувствительности (Утверждения 4.2, 4.4), осуществлен предельный переход решения задачи хеджирования барьерного опциона в решение задачи хеджирования стандартного опциона (Замечания 4.1,4.2, Утверждения 4.5,4.6).

Утверждение 4.2. Коэффициенты чувствительности стоимости барьерного call опциона с платежным обязательством (34) удовлетворяют неравенствам при К<Н,<Н2: dC?-*/dSoA0, дС^-я/ЗК< 0, 8С!Г~"/дН, <0, 8С^-"/8Н1 >0.Если Н,<К<Н2, тоща SCf-'/dS, л0, аС^-'/ЗКкО, ЗС^-'/дН, =0, дС?-"/дН2 >0.

Утверждение 4.4. Для коэффициентов чувствительности стоимости барьерного опциона продажи с уступкой с функцией выплат (37) справедливы неравенства: oCr*--"/as0 А о, оС?-«/дк, <0, дс?--/дк2 >о, дс?-~/дНло.

Замечание 4.1. Согласно (10), (34) справедливо равенство

Утверждение 4.5. Учитывая Замечание 4.1, получаем предельный переход решения задачи хеджирования барьерного опциона купли (34) в решение задачи хеджирования стандартного опциона купли (10), а именно: lim С^-" = С"

lim Х?"-"-с°я = Х"-™", lim уЬаг-"~са" = Y'-«"" lim = Й

Замечание 4.2. Согласно (15), (37) справедливо равенство

Утверждение 4.6. Учитывая Замечание 4.2, получаем предельный переход решения задачи хеджирования барьерного опциона купли (37) з решение задачи хеджирования экзотического опциона купли (15), а именно: lim С^" = С",

Km Х?---"" = Я---*, Hmу?-'-- =ТГ"*-, jimß^-" ^ = ft"-™".

Приведена экономическая интерпретация полученных свойств решений, в том числе и с помощью компьютерного моделирования поведения цены опционов при различных значениях параметров. Проведено аналитическое сравнение цен барьерных опционов продажи, дано экономическое обоснование и рекомендации инвестору о структуре дериватива.

В параграфе 4.4 представлены выводы и основные результаты главы 4.

В заключении диссертации даны основные результаты, изложенные в пунктах научной новизны, теоретической и практической значимости. Отмечается, что достигнуты поставленные цели и решены сформулированные задачи.

В приложениях А-Г доказываются результаты сравнения цен опционов, дается общий вывод: экзотические опционы дороже стандартных в силу включения дополнительных условий в опционные контракты; квантильное хеджирование снижает стоимость дериватива ввиду наличия риска неисполнения платежного обязательства. В приложении Д представлена копия акта о внедрении результатов диссертации в учебный процесс НИ ТГУ.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в журналах, которые включены в Перечень рецензируемых научных изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки Российской Федерации для опубликования основных научных результатов диссертаций:

1. Данилюк, Е. Ю. Квантильное хеджирование опциона купли на диффузионном (В, Б) - финансовом рынке в случае выплаты дивидендов по рисковому активу / Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. - № 4 (13). - С. 61-71.

- 0,44 пл.

2. Данилюк, Е. Ю. Хеджирование опциона купли с заданной вероятностью на диффузионном (В, Б) - рынке в случае выплаты дивидендов по рисковому активу/ Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - № 1 (14). - С. 22-30.

- 0,44 пл.

3. Андреева, У. В. Применение вероятностных методов к исследованию экзотических опционов купли Европейского типа на основе экстремальных значений цены рискового актива / У. В. Андреева, Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин, С. В. Рожкова, Е. Г. Пахомова // Известия Томского политехнического университета - 2012. -Т. 321, № 6. - С. 5-12. - 0,46 пл.

4. Андреева, У. В. Европейский опцион купли Лукбэк с плавающим страйком / У. В. Андреева, Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин, С. В. Рожкова, Е. Г. Пахомова // Известия Томского политехнического университета.-2012.-Т. 321, №6.-С. 13-15.-0,28 пл.

5. Данилюк, Е. Ю. Математические методы в задаче квантильного хеджирования экзотического Европейского опциона купли / Е. Ю. Данилюк, С. В. Рожкова // Известия Томского политехнического университета. - 2014. - Т. 324, № 2: Математика и механика. Физика. - С. 5-10. - 0,67 пл.

6. Данилюк, Е. Ю. Физико-математические методы в задаче квантильного хеджирования экзотического Европейского опциона продажи / Е. Ю. Данилюк, С. В. Рожкова // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2014. — Т. 57, № 11/2. - С. 344-351. - 0,35 пл.

7. Данилюк, Е. Ю. Двухбарьерный опцион купли и выключающий опцион купли с уступкой как объекты квантильного хеджирования / Е. Ю. Данилюк, С. В. Рожкова // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2014. - Т. 57, № 11/2. -С. 352-359.-031 пл.

Публикации в других научных изданиях:

8. Данилюк, Е. Ю. Хеджирование опциона продажи с заданной вероятностью в случае выплаты дивидендов по рисковому активу / Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2009. - № 4 (9). - С. 32-42. - 0,4 пл.

9. Данилюк, Е. Ю. Исследование опциона продажи с заданной вероятностью на диффузионном (В, S) - финансовом рынке [Электронный ресурс] / Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин // Перспективы развития фундаментальных наук : сб. науч. тр. VII Меж-дунар. конф. студентов и молодых ученых, Томск, 20-23 апреля 2010 г. - Томск : Том. политех. ун-т. - С. 466-468. - URL: http://science-persp.tpu.ru/Previous%20Materials/Konf 2010.pdf (дата обращения: 02.02.2011). - 0,18 пл.

10. Даншпок, Е. Ю. Квантильное хеджирование опциона купли на диффузионном (В, S) -рынке в случае выплаты дивидендов по рисковому активу / Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : тез. докл. Восьмой рос. конф. с междунар. участием, Томск, 5-8 октября 2010 г. - Томск : Изд-во НТЛ, 2010. - С. 116. - 0,06 пл.

11. Куницына, А. А. Поиск наиболее выгодной стратегии Европейского опциона купли барьерного типа для ОАО «Норильский Никель» / А. А. Куницына, Е. Ю. Данилюк // ИМПУЛЬС-2012 : тр. IX Междунар. науч.-практ. конф. студентов, молодых ученых и предпринимателей в сфере экономики, менеджмента и инноваций / Том. политех, ун-т, 22-23 ноября 2012 г. - Томск : Изд-во ТПУ, 2012. - С. 191-194. -0,24 пл.

12. Данилюк, Е. Ю. Исследование Лукбэк-опционов продажи Европейского типа [Электронный ресурс] / Е. Ю. Данилюк, С. В. Рожкова, У. В. Андреева // Перспективы развития фундаментальных наук : сб. науч. тр. X Междунар. конф. студентов и молодых ученых, Томск, 23-26 апреля 2013 г. - Томск : Том. политех, ун-т, 2013. - С. 525-527. - URL: http://science-persp.tpu.ru/Previous%20Materials/Konf 2013.pdf Гдэта обращения: 15.10.2013). - 0,18 пл.

13. Daniliuk, Е. Quantile Hedging in Diffusion (В, S) - Market for European Call Option [Electronic resource] / E. Daniliuk, S. Rozhkova // Proc. Int. Acad. Conf. on Soc. Sei., Istanbul, Turkey, 25-27 June, 2013. - Istanbul, 2013. - P. 302-306. - URL:

ttp://iacss2013 .flles.wordDress.com/2013/08/iacss-2013-proceedings-book2.pdf (usage ate: 30.10.2013).-0,3 пл.

14. Данилюк, E. Ю. Барьерный опцион продажи на акции энергетической отели [Электронный ресурс] / Е. Ю. Данилюк, С. В. Рожкова // Физико-технические юблемы атомной науки, энергетики и промышленности : сб. тез. докл. VI Между-

ар. науч.-практ. конф., Томск, 5-7 июня 2014 г. - Томск: Том. политех, ун-т, 2014.

С. 153. - URL: http://portal.tpu.ru/science/konf7atom/itog (дата обращения: 7.07.2014).-0,06 пл.

15. Daniliuk, Е. Yu. Mathematical methods in the problem of a barrier put option edging / E. Yu. Daniliuk, S. V. Rozhkova // Информационные технологии и матема-

ческое моделирование (ИТММ-2014): материалы XIII Межцунар. науч.-практ. онф. им. А. Ф. Терпугова, Анжеро-Судженск, 20-22 ноября 2014. - Томск: Изд-во ом. ун-та, 2014. - Ч. 3. - С. 3-7. - 0,3 пл.

Подписано в печать 25.12.2014 г. Формат А4/2. Ризография Печ. л. 1,00. Тираж 110 экз. Заказ № 09/12-14 Отпечатано в ООО «Позитив-НБ» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а