автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Экзотические опционы с гарантированным доходом и с ограничением выплат на диффузионном рынке облигаций

0^4613379

Толстобокое Вячеслав Васильевич

ЭКЗОТИЧЕСКИЕ ОПЦИОНЫ С ГАРАНТИРОВАННЫМ ДОХОДОМ И С ОГРАНИЧЕНИЕМ ВЫПЛАТ НА ДИФФУЗИОННОМ РЫНКЕ ОБЛИГАЦИЙ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 8 НОЯ 2010

Томск — 2010

004613379

Работа выполнена на кафедре прикладной математики в ГОУ ВПО "Томский государственный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Демин Николай Серапионович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

доцент

Рожкова Светлана Владимировна

кандидат физико-математических наук доцент

Колесникова Светлана Ивановна Ведущая организация Кемеровский государственный университет

Защита состоится 25 ноября 2010 года в 10:30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36 (корп. 2, ауд. 2126).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 34 .

Автореферат разослан 22 октября 2010 года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физико-математических наук, доцент

П. Ф. Тарасенко

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Проблема хеджирования (защиты от риска) платежных обязательств является одной из важных проблем системного анализа но исследованию систем, обладающих следующими особенностями: 1) безарбитражность; 2) полнота; 3) рискнейтральиость. Кроме того, задача формирования хеджирующих стратегий является, с одной стороны, задачей управления капиталом, а с другой - задачей обработки информации, поступающей с фондовых рынков в виде эволюции во времени цен финансовых активов. Рынок опционов, как производных (вторичных) ценных бумаг, принадлежит к системам подобного типа, методы исследования которых опираются как на традиционные методы стохастического оптимального управления (R. С. Merton, J. Cvitanic, Е. R. Grannan, G. H. Swindle, R. Korn, S. Pliska, S. E. Shrev, С. H. Волков, В. M. Хаметов, Д. М. Чалов), так и на новые методы стохастической финансовой математики (F. Black, М. Scholes, J. С. Сох, S. Л. Ross, М. Rubinstein, R. Elliott, I. Karatzas, M. Schweizer, H. Follmer, А. H. Ширяев, Ю. М. Кабанов, Д. О. Крамков, А. В. Мельников). Современный этап развития теории финансов, а точнее - того раздела, который занимается теорией производных ценных бумаг, связан с работами 1973г. Блэка, Шоулса, Мертона и Кокса, Росса, Рубинштейна. Предложенный в указапых работах подход (методология (В,8)-рынка) не только дал методы расчета справедливой (рациональной) цепы опциона, но позволил также находить и те оптимальные биржевые операции (хеджирующие стратегии), которые должен совершать продавец опциона, с тем чтобы оговариваемые условиями контракта возможные платежи, зависящие от случайного состояния цеп на рынке, были бы гарантированным образом выполнены.

Начальный период развития теории был посвящен исследованию стандартных платежных обязательств, характеризуемых двумя параметрами - рыночной ценой базисного актива (спотовая цена) и ценой исполнения (страйковая цена). Развитие финансовых рынков потребовало использования более сложных платежных обязательств, в которых бы учитывались дополнительные условия, вносимые как продавцом, так и покупателем опциона, что породило класс экзотических опционов (по терминологии, предложенной в работе «Rubinstein М. Exotic options», 1991г.). В настоя-

щее время теория экзотических опционов, количество которых на рынках, особенно внебиржевых, достигает несколько десятков, является малораз-работанной и расчеты при заключении по ним контрактов осуществляются на основе торга и исходя из опыта работы дилеров, а в лучшем случае на основе эвристической коррекции формул «Блэка Шоулса» и «Кокса-Росса-Рубинштейна».

Если все сказанное в полной мере относится к теории опционов на рынке акций, то тем более - к теории опционов на рынке облигаций. Достаточно сказать, что первый аналог формулы «Блэка-Шоулса» для рынка облигаций был опубликован через 16 лет в 1989г. в работе «Jamshidian F. An exact bond option formula». Эта временная задержка объясняется необходимостью построения основ теории облигаций, без которой невозможно исследование опционов, когда в качестве базисного актива используется облигация.

Таким образом, подводя итог проведенному анализу, можно утверждать, что проблема исследования экзотических опционов на рынке облигаций является актуальной.

Цель диссертационной работы. На основе опосредованного и прямого подходов к описанию цен облигаций произвести полное исследование задач хеджирования экзотических опционов купли и продажи на диффузионном рынке облигаций двух видов: опционов с гарантированным доходом, которые дают преимущество владельцу опциона; опционов с ограничением выплаты, которые дают преимущество продавцу опциона.

Методы исследования включают в себя математическую теорию финансов, теорию вероятностей и теорию случайных процессов, стохастический анализ.

Научная новизна. 1) Для диффузионного рынка облигаций при опосредованном подходе с использованием модели Халла-Уайта для текущей процентной ставки и прямом подходе с использованием модели Хиса-Джерроу-Мортона для форвардной процентной ставки к описанию цен облигаций получены формулы, определяющие стоимости опционов, соответствующие им капиталы и портфели (хеджирующие стратегии) для экзотических опционов купли и продажи с гарантированным доходом для покупателя опциона и ограничением выплат для продавца опциона. 2) Проведено исследование свойств решений. 3) Как предельные случаи задач хеджиро-

вания экзотических опционов, получены решения задач хеджирования для стандартных опционов купли и продажи. 4) Все общие результаты для опционов купли и продажи конкретизированы для моделей краткосрочных и форвардных процентных ставок Хо-Ли и Васичека.

Достоверность научных результатов, содержащихся в диссертации, подтверждается математической корректностью поставленных задач, строгими математическими доказательствами с использованием математической теории финансов, теории вероятностей и теории случайных процессов, стохастического анализа, а так же тем, что известные результаты следуют из полученных в качестве частных случаев.

Теоретическая ценность. Полученные результаты могут служить основой для дальнейших исследований в области теории экзотических опционов на рынке облигаций, например, таких, как опционы барьерного типа.

Практическая ценность. Полученные результаты могут применяться для расчета стоимостей опционов на биржах и во внебиржевой торговле по заключению опционных контрактов, когда в качестве базисного актива используются облигации, при внесении дополнительных условий в платежные обязательства относительно стандартных опционов.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на следующих конференциях, симпозиумах: 1) VII Всероссийская конференция «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Томск, 2008 г.). 2) VIII Всероссийская конференция «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Томск, 2010 г.). 3) VIII международная конференция «Финансово-актуарная математика и смежные вопросы» (Красноярск, 2009 г.). 4) IX международ-пая конференция «Финансово-актуарная математика и эвентоконвергеп-ция технологий з> (Красноярск, 2010 г.). 5) VIII международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук (Томск, 2010 г.) Также результаты были представлены на 11-м Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2010 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 13 печатных работах;, 4 из которых опубликованы в журналах, входящих в список ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, че-

тырех глав, заключения и списка литературы общим объемом 151 страница, из которых 125 страниц основного текста, 16 страниц рисунков общим количеством 16 и 10 страниц списка литературы из 102 наименований.

Содержание работы

Во введении приводится анализ проблемы в ее историческом и содержательном аспектах, показывается актуальность работы, дается краткий обзор работ других авторов по данной тематике, формулируется цель работы, обосновывается выбор методики исследования, указываются основные научные результаты и формулируется базовая задача теории опционов на (В,Р)-рынке облигаций. На стохастическом базисе Т, (-Тч)4>0 рассматриваются два актива - банковский счет В и бескупонная облигация Р, текущие цены которых В(€) и РДТ1), где Г1 - момент погашения облигации. Инвестор, продав в момент времени Ь = 0 опционный контракт, формирует капитал XI = /?«£(£) + 7£Р4(Т1),£ £ [0,Т], где пара Т% - измеримых процессов 7г = принадлежит к классу самофинансируемых стратегий. Задача состоит в формировании портфеля (хеджирующей стратегии) 7г* = {Д*, 7*} таким образом, чтобы эволюция капитала X* = /?*Вг + 7*Д(Т1) обеспечила в момент предъявления опциона Т < Т1 выполнение платежного обязательства Х^ = /у, где /г(-) - платежная функция. Согласно общей теории платежных обязательств на полных безарбитражных рынках облигаций рациональная стоимость опциона Ст = Хд,

7Г = эх:/др\р^мт1), Р1 = [XI - ^Р^В-'М, (1)

а Е* - усреднение по рискнейтралыюй (мартингальной) мере V*, относительно которой процесс Р^Т1) = Рг(Т1)/В(1,) является мартингалом.

В первой главе на основе опосредованного подхода с использованием модели Халла-Уайта для текущей процентной ставки исследуются экзотические опционы купли на диффузионном рынке облигаций с гарантированным доходом (двух видов) и опционы с ограничением выплат. В п. 1.1 приводятся основные результаты из теории облигаций в случае опосредованного подхода. Основное предположение относительно процесса текущей процентной ставки г(Ь) состоит в том, что г(/,) есть диффузионный

гауссовско-маркооский процесс, описываемый стохастическим дифференциальным уравнением

dr(t) = [a(t) - b(t)r(t)} dt + d{t)dWt,r(0) = r0,

(2)

где Wt - винеровский процесс, a a(t), b(t) и d(t) - детерминированные функции. Исследование основано на использовании следующего результата из монографии «Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. - М. 1998.».

"Утверждение 1.3. Если исходная льера является рискнейтральпой и процесс r(t) определяется уравнением (2), то процесс Pt(Tl) имеет представление в виде

А

Pt(T1) = exp{At(T1)-r(t)Bt(T1)],

t s t t

T1 t

Bt{Tl) = J^du,g(t) = expj- j

du.

(3)

(4)

(5)

В п. 1.2 исследуется проблема хеджирования для опциона купли с платежной функцией вида

yCmaxl = тах | (рт -Kl),K2),

(6)

где К\ > 0 и К2 > 0 являются заданными по коптрактому обязательству величинами, соответствующей платежному обязательству в пользу покупателя опциона. Пусть

di(t) = d°2 (t) = [lu Vi(t) =

In

Kl pt(T)

[ PtiT1) \ (K,+K2)Pt(T)

+ \a2T{Tl)B*{Tl)

ln

Pt(T!) 'Ki Pt(T)

Pt(Ti) J

+ -от{Т )Bj.{T )

~~ 2ат(Т )Вт(Т )

<Гт1(Т1)В~1(Т1), (7) a^T^B^T1), (8) c^T^iT1), (9)

ут =

1п

рт

- ^ит^вит1)

а^Т^ВтЧТ1), (Ю)

9(и) Ф)

(и)

т т

а <¿1, ¿2,ух, У2 определяются формулами (7)—(10) при t = 0. Далее всюду Ф(ж) и ¡р(х) - соответственно функция распределения и плотность стандартного нормального распределения.

Теорема 1.1. В случае опциона купли с платежной функцией вида (6) стоимость опциона С^тах1 , капитал Х^тах1 и портфель (хедэюирую-щая стратегия) тах1 = (^Стах!^ ^СтахХ^ определяются формулами

ССтах 1 Т

X,

Сгпах 1 г

= Р0 (Т1) Ф (~ус2) - ВДСПФ {-<%) + К2Р0(Т)Ф , (12) : Рг (Т1) Ф (~ус2 (^-КгЩТ)Ф (-<*§ (г))+^2РДТ)Ф (0) > (13)

7*

Сгпах!

(14)

рСшах 1 = (Р4(Г)/В(4)) (4)) + КзФ ^ {4))]. (15)

В п. 1.3 исследуется проблема хеджирования для опциопа купли с платежной функцией вида

}Сшах2 = тах _ 7 [рт(т1} > ) (16)

где Хх > 0 и К2 > 0 являются заданными величинами, 1[А] - индикатор события А, также соответствующей платежному обязательству в пользу покупателя опциона.

Теорема 1.2. В случае опциона купли с платежной функцией вида (16) стоимость опциона С%тах2 , капитал Х^тах2 и портфель (хеджирующая стратегия) -к^тах2 — (^Стах20ПрСделяются формулами

сСшах2 = ро ^ ф _ ВД(Т)Ф

+К2Р0(Т)[Ф(йс2)-Ф(<11)]> (17)

ХСтах2 = д ф (_ус _ ^рДу)ф ф)

+ВД(Т) [Ф №(4)) г-Ф №(*))], (18)

1?тах2 = Ф (-У2 (*)) + К2Рг{Т)РгЧТх)ст-\Т1)В-\Т1)Ч}{(11{1)), (19) ас""и2 = (Ъ(Т)/ВЮ) [-Кгф _(-<*§ (0) + [ф № (*)) - ф № (¿))]

-/^(т1)^1^ №(«))] • (20)

В п. 1.4 исследуется проблема хеджирования для опциона купли с платежной функцией вида

= тш{(Рт (Т1) - Кг)+ ,К2}, (21)

где Л'х > 0 и К^ > 0 являются заданными величинами, соответствующей платежному обязательству в пользу инвестора.

Теорема 1.3. В случае опциона купли с платежной функцией вида (21) стоимость опциона С^тгп , капитал Х^тгп и портфель (хеджирующая стратегия) тг^тт — (7/3(Стт) определяются формулами

сСтгп = ро (Т1) [ф Ш _ ф _ К1ро{Т) [ф _ ф .

+К2Р0(Т)Ф(-^), (22) = А (Г1) [Ф (2/2 (*)) " Ф (У1 (*))]

-ад(т) [Ф № Ю) - ф № («))] + ВД(Т)Ф (-^ («)), (23)

7рга4п = Ф(1/2С(«))-Ф(У1(*)), (24)

0СпЧп = {ЩТ)/В(1)) [-Кг [Ф № (*)) - Ф № (*))] + (-<*§ (*))] . (25)

В п. 1.5 проведено исследование свойств полученных решений.

Утверждение 1.4. Коэффициенты чувствительности, определяющие зависимости стоимостей опционов от цены исполнения опциона Кг и от величины Кгарантирующей доход в случае платежных функций (6), (10) и ограничивающей выплаты по опциону в случае платежной функции (21), обладают свойствами ,

ЭС$тах1/дКг < 0, дС$тах1/дК2 > 0, (26)

С$тах2/дКг < 0, дС$тах2/дК2 > 0, (27)

dC™in/dKi < 0, дС?1П/дК2 > О,

(28)

т. е. по К\ цепы опционов купли являются убывающими, а по К2 — возрастающими функциями.

Обозначим limfgmax2 = при К2 | 0 и limf$min = при К2 t оо, где /у = (Pt(Tl) -- Ki)+ может быть определена как платежная функция стандартного опциона купли, соответствующая экзотическим опционам с платежными функциями (16) и (21).

Утверждение 1.5 Пусть Xf, 7р, /Зр есть пределы С^тах2, ХСтах2f ^Стах2> fiCmax2 при | g C£min, Xfmin, 7tCmin, j8fmin

при JÎ2 t 00 ■ Тогда

С? = Ро(Г1)Ф(-2/1) - К1Ри(Т)Ф(-Й1), (29)

Xf - Р«(Т1)Ф(-у1(*)) - КгРДЭД-с^)), (30)

7р = ФНлИ), Ас = -Р«(Т)/В(4)^1Ф(-^(4)). (31)

Утверждение 1.6 Стоимости опционов C$'naxl, С$тах2, C$min, связаны следующими свойствами

çCmaxl ^ çjCmaxI ^ qC ^ çjCmin (32)

Также в п. 1.5 получены свойства для капиталов портфелей jçCmoii ^xfmax2, xfrnin, Xf, аналогичные свойствам, полученным для цен опцинов, и приводится экономическая интерпретация этих свойств. В п. 1.6 полученные результаты конкретизированы для моделей текущих процентных ставок Хо-Ли и Васичека и проведено численное исследование зависимостей цеп опционов от параметров. В п. 1.7 даны выводы по главе 1.

Во второй главе на основе опосредованного подхода исследуются экзотические опционы продажи на диффузионном рынке облигаций с гарантированным доходом (двух видов) и опционы с ограничением выплат. В п. 1.2 исследуется проблема хеджирования для опциона продажи с платежной функцией вида

ffmaxl = тах {(Кг - РТ (Г1)), К2)} , (33)

где Ki > 0 и К2 > О являются заданными по контрактому обязательству величинами, причем 0 < К2 < Ki, соответствующей платежному обязательству в пользу покупателя опциона.

Замечание 1. Пусть di (t) и iji (t) определяются формулами (7) и (9), а dp (t) и ур (t) формулами вида (8) и (10) с заменой (К\ +К2) на (К\ — К2), и при t = 0 зависимости от t отсутствуют.

Теорема 2.1. В случае опциона продаэ/си с платежной функцией вида (33) стоимость опциона С^тах1 , капитал X£Pmal1 и портфель (хеджирующая ст]штегия) тг^тах1 = {r^Pmaxi ^Pmaxi^ определяются формулами

С£тах1 = К!Р0(Т)Ф(^) - Po(T^{yp2) + К2Р0{Т)Ф(-<%), (34)

ХРтах 1 = KlPtmdP{t)) _ Pt(Tl)ф^)) + K2Ptm-dP2(t)), (35)

i?maxl = -*№»> (36)

/3fmaxl = (Pt(T)/B(t)) [K^{dp(t)) + K2H-dp2(t))\. (37)

В п. 2.2 исследуется проблема хеджирования для опциона продажи с платежной функцией вида

= тах {{Кг - РТ (T1)) ,К2} I [.Рт(Т1) < Кг)] , (38)

где К\ > 0 и Кг > 0 являются заданными величинами, причем 0 < ЛГ2 < Ki, соответствующей платежному обязательству в пользу покупателя опциона.

Теорема 2.2. В случае опциона npodaDtcu с платежной функцией вида (38) стоимость опциона С^тах2 , капитал Xfmax2 и портфель (хеджирующая стратегия) жРтах2 = ^Ртах2^Ртах2) определяются формулами

çPmax2 = /CiPq(T)$(4) _ Ра(Т1)Ф(у2) +К2Ро(Т)Ф(-(%) -Х2Р0(Т)Ф(-Й1), (39)

хРтах2 = К^ТЩф)) _ р^Щу^))

+K2Pt(T)$(-dp2(t)) - К2Рь(Т)Ф(^)), (40)

7fmax2 = -$№)) - KiPtWPrHT^iT^B^Mdiï)), (41)

рртах2 = (р4(Г)/В(4)) [^Ф(с^)) + К2Ф(-^(<))

- ^(Т1)^1^ (¿1(0)]] • (42)

В п. 2.3 исследуется проблема хеджирования для опциона продажи с платежной функцией вида

/£т(п = т»п{(*1 - Рт (Тх))+ , (43)

где К\ > 0 и К2 > 0 являются заданными величинами, причем 0 < К2 < соответствующей платежному обязательству в пользу инвестора. Теорема 2.3. В случае опциона продажи с платежной функцией вида (43) стоимость опциона С^тт , капитал Х['тгп и портфель (хеджирующая стратегия) 7Г^'7Г"" = {'у^'тгп, определяются формулами

= кхр0{т) [ф (*) - ф (4)} - р0 (г1) [ф (г/0 - ф Ш

+К2Р0(Т)Ф(йр2), (44)

хРгтп = м(г) [ф ^ (4)) _ ф ^ (4))] _ р% [ф {1;)) _ ф (4))] +

+ЛГ2Р,(Г)Ф (<$(*)), (45)

= _ [Ф(Ш(4)) - (46)

рРшгп = {ЩТ)/ВЩ) [К! [ф (¿1 (0) - ф (*))] + к (*))] • (47)

В п. 2.4 проведено исследование свойств получеш1ых решений. Утверждение 2.1. Коэффициенты чувствительности, определяющие зависимости стоимостей опционов от цены исполнения опциона К\ и от величины К2, гарантирующей доход в случае платежных функций (33), (38) и ограничивающей выплаты, по опциону в случае платежной

функции (43), обладают свойствами

дС^тах1/дК1 > 0, дС%тах1/дК2 > 0, (48)

СРтах2/дК1 > дС%тах2/дК2 > 0, (49)

дС%т™/дК1 > 0, 8С£тЫ/дК2>0, (50)

т. е. по К\ и К2 цены опционов продажи являются возрастающими функциями.

Обозначим 1пп^тах2 = /£ при К2 | 0 и Нт/р'1"1 = при К2 Т , где /у = (К\ — Рт{Т1))+ может быть определена как платежная функция стандартного опциона продажи, соответствующая экзотическим опционам с платежными функциями (38) и (43).

Утверждение 2.2. Пусть СХ[, 7(р, Р[ есть пределы С'^тах2,

ХРтах21 7Ртах2) рРтах2 при ^ | 0 Л^О С£га"1, Х[тЫ, 7{Р™П,

при К2 Т . Тогда

Ср = Р0(Т)Х1Ф(£1а) - РоСГЧФЫ, (51)

X? = ад(Т)Ф(Й!(4)) - Д(Г1)Ф(у1(^), (52)

7Г =Р? = тТ)/В№КМ*Ш (53)

Утверждение 2.3. Стоимости опционов С$тах1, С£тах2, С£тЫ, связаны следующими свойствами

сРтах! > СРтах2 > ^Р > СЛп«п_ (54)

Также в п. 2.4 получены свойства для капиталов портфелей Х[тах1, Х[тах2, Х[тЫ. Х(, аналогичные свойствам, полученным для цен опцинов, и приводится экономическая интерпретация этих свойств. В п. 2.5 полученные результаты конкретизированы для моделей текущих процентных ставок Хо-Ли и Васичека и проведено численное исследование зависимостей цен опционов от параметров. В п. 2.6 даны выводы по главе 2.

В третьей главе на основе прямого подхода с использованием модели Хиса-Джерроу-Мортона для форвардной процентной ставки исследуются экзотические опционы купли на диффузионном рынке облигаций с гарантированным доходом (двух видов) и опционы с ограничением выплат. В п.3.1 приводятся основные результаты из теории облигаций в случае прямого подхода. Основное предположение относительно процесса форвардной процентной ставки /{(Т1) заключается в том, что /¿(Т1) определяется

стохастическим дифференциальным уравнением

dft (Т1) = at (Г1) dt + at (Т1) dwt, (55)

wt — винеровский процесс, а ),<rt(T'[ ) - дифференцируемые функции своих аргументов.

"Утверждение 3.2. Процесс PtiT1) цены облигации определяется уравнением

dPt (Г1) - Pt (Т1) г (t) dt + Pt (Т1) at (Г1) dw*t (56) t

с винеровским процессом w* = wt — J ù (T1 ) d.s относительно меры V*

о

такой, что dV? = Zt{Tl)dVt, где r(i) = /t(f),

t t Zt (T1) = «cp j J 6 (T1) dws-±J g (T1) ds J, (57)

о 0

a функция ^(Г1) такал, что bt (T1) + (T1) + ot (T1) £t (T1) = 0,

6t (Г1) =~Jat (s) ds, at (T1) = - j at (s) ds. (58)

t t

Замечание 2. Мера V* является для рассматриваемого (В,Р)-рынка рискнейтралыюй (мартингальной).

Замечание 3. В главах 3 и 4 рассматриваются платежные функции, являющиеся аналогами платежных функций из глав 1 и 2, с тем отличием, что используются цепы облигаций, дисконтированные относительно банковского счета, что отражает желание инвестора учесть инфляцию и проводить расчеты в реальных, а не в номинальных ценах

В п. 3.2 исследуется проблема хеджирования для опциона купли с платежной функцией вида

¡Ста* 1 = тах | (рт (Т1) _ KiB (Т)) _ RïB {Г)}

= тах {В (Т) (В'1 (T) Рт (Т1) - Кх) , К2В (Г)} , (59)

где Кх > 0 и К2 > 0 являются заданными по контрактому обязательству величинами.

Пусть ¿1 («) =

1п

¿1(1)

1п

Рь (Т !) (К1+К2)В{Ь)

1 1 + /а; (Г1) л

4 .] 1.4

VI (*) =

^ (Т1)

+

л ^

/"2 (Г1) *

и

.1

и

(60)

(61)

(62)

1п

(63)

* _1 1.«

а ¿1, г/1, ^21 определяются соответственно формулами (60)-(63) при

£ = о.

Теорема 3.1. В случае опциона купли с платежной функцией вида (59) стоимость опциона С^тах1 , капитал Х^тах1 и портфель (хеджирующая стратегия) тг^тах1 = ('уртах1,/3^тах1) определяются формулами

ССтахХ Т

Ро (т1) Ф (-ус2) - Кгф (-4) + к2ф ш,

(64)

ХСтаХ1 = рг ф (_ус (4)) ф ф (()) ({) ф (<)) _ (б5)

7(

Стпах1

А = (-4 (0) + (4 (0) •

(66) (67)

В п. 3.3 исследуется проблема хеджирования для опциона купли с платежной функцией вида

Стах2

■ шах

{(РТ (Г1) - КгВ (Т)), К2В (Т)} I [.Рт(Тг) > КгВ{Т)]

= шах {В (Г) (В-1 (Т) Рт (Т1) - Кг), К2В (Г)} 7 [В-1(Т)Рт(Т1) > Кг],

(68)

где Кг > 0 и > 0 являются заданными величинами.

Теорема 3.2. В случае опциона купли с платежной функцией вида (68) стоимость опциона С^.тах'2 , капитал Х^тах2 и портфель (хеджирующая стратегия) 7гртах2 = (7Стах2 ^Стах2^ 0Пределяются формулами

ССшаХ2 = ро ф (_ус} _ К1ф + К2 [ф _ ф ) (6д)

хСшах2 = ^ ф _ КхВ ф (4))

+/Г3В(4)[Ф№(0)-Ф(<*1(0)], (70)

7Стах3 = ф (__ус + ВД^^!)

1

1-НТ1)'

?№(*)), (71)

I Йй

° V /

Г

' ¥>(*(*)) ■ (72)

г

В п. 3.4 исследуется проблема хеджирования для опциона купли с платежной функцией вида

= тшп{(Рг (Т1) - К,В (Т))+,К2В (Т)}

= шгп{В (Т) (Б"1 (Г) Рт (Т1) - , К2В (Г)}, (73)

где К\ > 0 и К2 > 0 являются заданными величинами.

Теорема 3.3. В случае опциона купли с платежной функцией вида (73) стоимость опциона С^шгп , капитал Х^тгп и портфель (хеджирующая стратегия) ц^тгп = (^тгп, /Зр™т) определяются формулами

= Ро (Г1) [Ф (у\) - Ф (У1)1 - Кх [Ф №) - Ф + КгФ (-ф, (74) Х?тгп = Рь (Т1) [Ф (ус2 (í)) - Ф (Ш (<))]

-К\В (*) [Ф {¿I (¿)) - Ф (*))] + К2В (г) Ф («)), (75)

7^п = Ф(г/2с(*))-ФЫ*)Ь (76)

= [ф {йс {1)) _ ф ^ (4))] + К2ф _ (77)

В п 3.5 получены свойства, аналогичные свойствам полученным в п. 1.5 в случае опосредованного подхода. В п. 3.6 полученные результаты

конкретизированы для моделей форвардных процептиых ставок Хо-Ли и Васичека и проведено численное исследование зависимостей цен опционов от параметров. В п. 3.7 даны выводы по главе 3.

В четвертой главе на основе прямого подхода с использованием модели Хиса-Джерроу-Мортопа для форвардной процентной ставки исследуются экзотические опционы продажи на диффузионном рынке облигаций с гарантированным доходом (двух видов) и опционы с ограничением выплат. В п.4.1 исследуется проблема хеджирования для опциона продажи с платежной функцией вида

1 = тах {(ВД (Т) - Рт (Т1)), К2В (Г)}

= тах {В (Т) (К, - В"1 (Г) Рт (Г1)), К2В (Г)} , (78)

где К\ > 0 и К2 > 0 являются заданными по контрактному обязательству величинами, причем 0 < Кг < К2.

Замечание 4. Пусть ¿1 (£) и у\ (£) определяются формулами (60) и (62), а (0 и у2 (¿) формулами вида (61) и (63) с заменой (К\ + К2) на {К\ — К2), и при I = 0 зависимости от ( отсутствуют.

Теорема 4.1. В случае опциона продажи с платежной фунщией вида (78) стоимость опциона С£тах1 , капитал Х^тах1 и портфель (хеджирующая стратегия) т:[гпах1 = ('у*>то:с1) определяются формулами

С,^ = КМ^) - Р0{Т1Щу£) + К2Ф(-%), (79)

хртах 1 = К1вт№)) _ р^ЩуШ) + К2В(ф(-ф)), (80)

7Ртах1 = (81)

Г"1 = + К2Ф{-йШ. (82)

В п. 4.2 исследуется проблема хеджирования для опциона продажи с платежной функцией вида

¡Р^2=тах{{К1В(Т)-РТ(Т1)),К2В(Т)}1[Рт(Т1)<К1В(Т)}

= тах {В (Т) (К, - В'1 {Т) Рт (Т1)) , К2В (Т)}1 [,В~1(Т)Рт{Т1) < Кг],

(83)

где К^ > 0 и К2 > О являются заданными величинами и 0 < К2 < К\-

Теорема 4.2. В случае опциона продажи с платежной функцией вида (83) стоимость опциона С^тах2 , капитал Х[тах2 и портфель (хеджирующая стратегия) 1г^тах2 = (^Ртах2 ^Ртах2^ 0ПределяютСя формулами

С Ртах 2 Т

КгФ(4) - Ро(Тг)Ф^) + КгФ{-<%) - 1<2ФЫх)}

хРтах2 = КгВ{ф№)) _ р4(Т1)Ф(^(0)

+К2В(ф(-с1р2(1)) - К2В(1)ФЫ^)),

ъ

Ртах 2

-Ф(^))-к3вт-1(т1)

1

I «2 Г)

¿8

эРтпах 2

к^т+к.Ф^щ)

-к2

ФМхй) -

I

I (т1)

¿я

(84)

(85)

(86)

(87)

В п. 4.3 исследуется проблема хеджирования для опциона продажи с платежной функцией вида

= тпшКад (Т) - Рт (Г1)) , К2В (Т)} = тгп{В(Т) {Кг - В'1 (Т) Рт (Тх)) + , К2В (Т)},

(88)

где Л'х > 0 и К2 > 0 являются заданными величинами и 0 < К2 < К\.

Теорема 4.3. В случае опциона продажи с платежной функцией вида (88) стоимость опциона С^тгп , капитал х[тгп и портфель (хеджиру-

ющая стратегия) 7г^т,п

(тГ"11™» Ргтгп) определяются формулами

Ср"т = Кг [Ф К) - Ф (<$)] - Р0 (Т1) [Ф (У1) - Ф (у*)} + К2Ф {<%), (89) Х?тЫ = К\В (4) [Ф (¿г - Ф (<$ (4))] - Р, (Т1) [Ф (г/! (4)) - Ф (й +

+К2В (г) ф {4 ад),

эРгагп _

[Ф(йг (4))(*))] +№(«))■

(90)

(91)

(92)

В п 4.4 получены свойства, аналогичные свойствам полученным в п. 2.4 в случае опосредованного подхода. В п. 4.5 полученные результаты конкретизированы для моделей форвардных процентных ставок Хо-Ли и Васичека и проведено численное исследование зависимостей цен опционов от параметров. В п. 4.С даны выводы по главе 4.

В заключении формулируются основные результаты , выносимые на защиту. 1) Получение формул, определяющих стоимости опционов, соответствующие им капиталы и портфели (хеджирующие стратегии) для экзотических опционов купли и продажи с гарантированным доходом для покупателя опциона и с ограничением выплат для продавца опциона на диффузионном рынке облигаций при опосредованном подходе с использованием модели Хала-Уайта для текущей процентной ставки и прямом подходе с использованием модели Хиса-Джероу-Мортопа к описанию цен облигаций. 2) Свойства решений, касающиеся зависимостей стоимостей опционов и соответствующих им капиталов от цен исполнения опционов и от величин, характеризующих ограничение выплат со стороны инвестора и гарантирующих доход владельцу опциона. 3) Получение решений для задач хеджирования стандартных опционов купли и продажи, как предельных случаев задач хеджирования экзотических опционов. 4) Конкретизация общих результатов для опционов купли и продажи для частных моделей текущих и форвардных процентных ставок, известных как модели Хо-Ли и Васичека.

Публикации по теме диссертации

1. Демин Н. С., Толстобокое В. В. Исследование одного вида экзотических опционов на диффузионном (В, Р)-рынке облигаций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2010, Т. 17, № 2, С. 194-209.

2. Демин Н.С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы продажи на диффузионном рынке облигаций. // Известия РАН. Теория и системы управления, 2010, № 1, С. 163-172.

3. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы купли на диффузинном (В,Р)-рынкс облигаций в случае модели Халла-Уайта. // Вестник Томского ГУ - УВТИ, 2010, №1, С.

13-24.

4. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы продажи на диффузинном (В,Р)-рынке облигаций в случае модели Халла-Уайта. // Вестник Томского ГУ - УВТИ, 2010, №2, С. 1324.

5. Демин Н.С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы продажи на диффузионном рынке облигаций в случае опосредованного подхода. // Тр. IX межд. конф. ФАМ'2010. - Красноярск: СФУ, 2010. - С. 120-125.

6. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Опционы па диффузинном (В,Р)-рынке облигаций в случае HJM-модели. // Вестник Томского ГУ - УВТИ, 2008, №4, С. 41-50.

7. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы купли Европейского типа с гарантированным доходом и ограничением выплат на диффузионном (В,Р)-рынке облигаций. // VIII межд. конф. ФАМ'2009: тезисы докладов. - Красноярск: Гротеск, 2009, С.55.

8. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Опционы на диффузинном (В,Р)-рынке облигаций в случае HJM-модели. // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: Тезисы докладов VII Российской конф. - Томск: НТЛ, 2008, С. 87.

9. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы купли с гарантированным доходом и с ограничением выплат на диффузионном рынке облигаций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2010, т. 17, № 3, С. 404-405.

10. Демин Н. С., Субботин А. В., Толстобоков В. В. Экзотические опционы купли с ограничением выплат в модели Халла-Уайта на рынке облигаций. // Перспективы развития фундаментальных наук. Тр. VII Межд. конф. студентов и молодых ученых. - Томск: ТПУ, 2010, С. 515-517.

11. Демин Н.С., Субботип A.B., Толстобоков В.В. Экзотические опционы купли с гарантированным доходом на рынке облигаций в случае опосредованного подхода. // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: Тезисы докладов VIII Российской конф. - Томск: НТЛ, 2010, С. 117.

12. Вашксль А. В., Демин Н. С., Субботин А. В., Толстобоков В. В. Экзотические опционы продажи с ограничением выплат в модели Халла-Уайта на рынке облигаций. // Перспективы развития фундаментальных

паук. Труды VII Межд. конф. студентов и молодых ученых. - Томск: ТПУ, 2010, С. 455-457.

13. Вашкель А. В., Демип Н. С., Толстобокой В. В. Экзотические опционы продажи с гарантированным доходом на рынке облигаций в случае опосредованного подхода. // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: Тезисы докладов VIII Российской конф. -Томск: НТЛ, 2010, С. 115.

Отпечатано в ООО «НИП» г. Томск, ул. Советская, 47, тел.: 53-14-70 тираж 110

Введение

1 Опционы купли в случае опосредованного подхода

1.1 Необходимые результаты из теории облигаций в случае опосредованного подхода.

1.2 Опционы с гарантированным доходом I.

1.3 Опционы с гарантированным доходом II.

1.4 Опционы с ограничением выплат.

1.5 Свойства.

1.6 Частные случаи.

1.7 Выводы.

2 Опционы продажи в случае опосредованного подхода

2.1 Опционы с гарантированным доходом I.

2.2 Опционы с гарантированным доходом II.

2.3 Опционы с ограничением выплат.

2.4 Свойства.

2.5 Частные случаи.

2.6 Выводы.

3 Опционы купли в случае прямого подхода

3.1 Необходимые результаты из теории облигаций в случае прямого подхода.

3.2 Опционы с гарантированным доходом I.

3.3 Опционы с гарантированным доходом II.

3.4 Опционы с ограничением выплат.

3.5 Свойства.

3.6 Частные случаи.

3.7 Выводы.

4 Опционы продажи в случае прямого подхода

4.1 Опционы с гарантированным доходом I.

4.2 Опционы с гарантированным доходом II.

4.3 Опционы с ограничением выплат.

4.4 Свойства.

4.5 Частные случаи.

4.6 Выводы.

0. 1. Актуальность проблемы. Зарождение теории финансов в рамках макроэкономической теории относится к двадцатым годам двадцатого века. На начальном этапе всё сводилось к подсчёту простых и сложных процентов, и основной вопрос был связан с администрированием и увеличением на основе этого фондов и капитала. Дальнейшее развитие теории финансов шло в предположении условий: 1) определённости (Modigliani, Miller); 2) неопределённости (Markowitz). В первом случае рассматривались вопросы оптимальных решений на финансовом рынке в условиях полной определённости, и с математической точки зрения задачи сводились к максимизации функций многих переменных при наличии ограничений. Во втором случае основной задачей являлась проблема инвестиционных решений участников финансового рынка в условиях неопределённости (в вероятностном смысле). Используемый математический аппарат, основанный на теории вероятностей («mean - variance analysis »), выявил важную роль ковариаций в стоимостях рисковых активов, как показателя, от которого зависит степень риска портфеля ценных бумаг.

Современный этап развития теории финансов, а точнее - того раздела, который занимается теорией вторичных ценных бумаг, связан с работами Блэка (F. Black), Шоулса (H. Scholes) и Мертона (R. Merton) [10, 41], отличительной особенностью которых является: 1) математический моделью эволюции во времени стоимостей рисковых активов является случайный процесс; 2) на финансовом рынке, кроме первичных ценных бумаг (акции, валюта, облигации), обращаются и вторичные ценные бумаги (фьючерсы, форварды, опционы , свопы), стоимость которых определяется стоимостью первичных ценных бумаг. В этих работах была выработана определенная методология и предложены подходы к обоснованию и отысканию рациональной (справедливой) цены, которую покупателю надо платить за приобретение опциона. Формула ,,Блэка-Шоулса"для этой цены (в "диффузионной модели") является одним из замечательных достижений фипансовой математики. Аналогом формулы "Блэка-Шоулса"в биномиальной модели является формула "Кокса-Росса-Рубинштейна"(,1. Сох, R. Ross, А. Rubinstein), полученная несколько позднее (1976г.) в работе [19]. Развитая в работах [10, 41] теория не только дала методы расчета цены опциона, по позволила также находить и те оптимальные биржевые операции (хеджирующие стратегии), которые должен совершать продавец опциона, с тем чтобы оговариваемые условиями контракта возможные платежи, зависящие от случайного состояния цен на рынке, были бы гарантированным образом выполнены.

Указанные работы имели не только большую теоретическую, но и практическую ценность. Трудно назвать другие теоретические публикации в финансовой литературе, которые бы с такой же быстротой были применены в практике финансовых расчетов. Эта прикладная сторона проведенных Блэком, Шоулсом и Мертоном теоретических расчетов стандартных опцинов стала источником многочисленных теоретических исследований как более сложных опционов, так и других видов производных ценных бумаг. Показателем важности этих работ является присуждение их авторам Нобелевской премии по экономике за 1996г.

Основными видами первичных ценных бумаг являются акции и облигации.

Акции - это долевые ценные бумаги, выпускаемые, фирмами с целыо аккумулирования капитала для последующей деятельности. Стоимость (цена) акции определяется как текущим состоянием фондового рынка, так и соответствующей производственной деятельностью фирмы. Владелец акции (акционер) получает право на участие в работе фирмы (обычно по принципу "число акций равно числу голосов") и на получение дивидентов.

Облигации - это долговые обязательства, выпускаемые государством или банками, акционерными компаниями, другими финансовыми институтами с целыо аккумулирования капитала. Невыполнение долговых обязательств вводит эмитента в состояние банкротства.

Ценные бумаги, стоимости которых зависят от стоимостей первичных ценных бумаг, называются вторичными или производными ценными бумагами (варрант, фьючерс, форвард, опцион). Опцион на финансовых рынках является одной из наиболее распространенных вторичных ценных бумаг, что объясняется рядом признаков, основными из которых являются снижение финансового риска при его покупке и возможность выбора в предъявлении его к исполнению, если это выгодно, или в непредъявлении, если это не выгодно, т. е. дает право, а не обязанность, предъявить его к исполнению.

Опцион, или опционный контракт - это ценная бумага, дающая ее обладателю право купить или продать некоторую ценность (например, акции, облигации, валюту) на оговариваемых условиях. По времени исполнения (погашения) опционы делятся на два основных типа: Европейские и Американские. Опцион Европейского типа может быть предьявлен к исполнению в фиксированный и оговариваемый в контракте момент исполнения, а опцион Американского типа - в любой (случайный) момент времени до фиксированной даты. Поскольку данное диссертационное исследование посвящено опционам Европейского типа, то далее речь будет идти только о них без специального упоминания.

Основными характеристиками опционного контракта являются рыночная цепа базисного актива (spot price) и цена исполнения [striking price), то есть цена, по которой владелец опциона обязуется при его предъявлении купить (опцион купли - call option) или продать (опцион продажи - put option) определённое количество базисного актива. Указанные две особенности характеризуют стандартные опционы [54, 59, 60, 61, 62, 90, 91, 102].

Развитие финансовых рынков потребовало использования более сложных платежных обязательств, учитывающих, с одной стороны, желание обладателя опциона иметь гарантированный доход, а с другой - желание продавца опциона ограничить выплаты по опционам, что породило класс экзотических опционов [51, 57, 81]. Основные дополнительные условия заключаются в следующем: 1) платежное обязательство содержит условие ограничения выплаты по опциону заданной величиной; 2) платежное обязательство содержит условие получения гарантированного дохода по опциону; 3) платежное обязательство содержит условие достижения ценой базисного актива определенного значения (барьера) - барьерные опционы (barrier options); 4) платежное обязательство зависит от среднего значения цены базисного актива за период жизни опциона - Азиатские опционы (Asian options); 5) платежное обязательство зависит от минимального или максимального значения цены базисного актива - опционы на экстремумах (options on extrems). Дополнительные условия, вносимые в платежные обязательства и порождающие класс экзотических опционов, по отношениям к сторонам, заключающим контракт, могут быть трех типов: 1) в пользу продавца опциона, что понижает стоимость опциона, если за стандарт брать стоимость стандартного опциона; 2) в пользу покупателя опциона, что повышает стоимость опциона; 3) часть условий - в пользу продавца, а другая часть - в пользу покупателя опциона. Очевидно, что первый тип из перечисленных выше пяти типов условий - в пользу продавца опциона, второй тип - впользу покупателя опциона, а третий, четвертый и пятый типы могут быть как в пользу продавца, так и в пользу покупателя опциона.

В обзорной статье [81] отмечается, что в настоящее время теория большинства экзотических опционов является малоразработаниой, и расчеты при заключении по ним контрактов осуществляются, как правило, на основе торга {"через прилавок", "из рук в руки"), исходя из опыта работ дилеров, и в лучшем случае на основе эвристической коррекции формул "Блэка Шоулса"и "Кокса-Росса-Рубинштейна". Следовательно, актуальной является проблема теоретического исследования экзотических опционов, в частности, опционов с гарантированным доходом и ограничением выплат.

Теория опционов, по крайней мере стандартных опционов, достаточно развита для случая, когда в качестве базисного актива используется рисковый актив типа акции, математическая модель которого в виде некоторого случайного процесса (например, геометрического или экономического винеровского процесса), полностью определяется собственными параметрами (например, коэффициент роста или доходности и коэффициент изменчивости или волатильности). Когда в качестве базисного актива используются облигации, то ситуация оказывается более сложной, так как значение их стоимости в момент времени Ь зависит также от значения терминального момента Т1 (момента погашения облигации), в который по этой облигации выплачивается некоторая фиксированная стоимость (например, для определённости равная единице) и от значения некоторого процесса г(£), определяющего текущую процентную ставку или от процесса /¿(Т1), определяющего форвардную процентную ставку [6, 7, 63, 91, 97, 102]. Простейшим примером облигации является банковский счет с постоянной или переменной, но детерминированной процентной ставкой г(£), стоимость которого в момент времени £ определяется формулой [101] т1

В^Т1) = ехр^-I ф)^ (0.1) г

Согласно (0.1) покупатель данной облигации, желающий получить в момент времени Т1 сумму, равную единице, при покупке в момент времени t должен заплатить величину В^Т1). В общем случае г(£) является случайным процессом, что определяет В^Т1) так же как случайный процесс. Из (0.1) непосредственно следует, что в случае детерминированной г(£) для двухпараметрического семейства "В^Т1)"прямое уравнение (по Т1) имеет вид

1т,В^Т1) = -г^В^Т^Т1, Т1 > £, (0.2) а обратное (по ¿) йьВь{Т1) = г{Ь)Вь{Т1)(И,1 < Т1. (0.3)

В общем случае для описания временной структуры стоимостей облигаций Р^Т1) (в англоязычной литературе в этой связи используется термин

Term Structure of Interest Rates) обычно используются два подхода - прямой ( direct) и опосредованный ( indirect) [101, 102].

1) В случае прямого подхода эволюция стоимостей цен облигаций указывается непосредственным образом, а именно, Pt{Tl) ищется как решение стохастического дифференциального уравнения dtPt{Tl) = Pt(Tl)[at(Tl)dt + cJt{Tl)dWt], (0.4) где И^-виперовский процесс и при этом Вт\{Т1) = l^a^iT1) = сгу^Т1) = 0, а коэффициенты а^Т1) и сь{Т1) выражаются через параметры, определяющие форвардную процентную ставку ft{Tl). Примерами работ по теории облигаций в случае прямого подхода могут служить [4, 38. 39, 41, 42, 52].

2) В случае опосредованного подхода считается, что стоимости облигаций PtiT1) зависят от процесса r(i), имеющего смысл текущего значения: случайной процентной ставки, который определяется стохастическим дифференциальным уравнением марковского типа dr(t) = c(t, r{t))dt + d{t, r(t))dWt. (0.5)

Наиболее используемой моделью, которая является частным случаем модели (0.5), является модель Халла,-Уайта, в которой c(t,r(t)) — a(t) — b(t)r(t),d(t,r(t)) = d(t) [34, 35, 97]. Из модели Халла-Уайта в качестве частных случаев следуют модели Орнштейна-Уленбека [53], Хо-Ли [30] и Васичека [53]. При опосредованном подходе PtiT1) имеет представление рдт^^гКьт1), (0.6) которое определяет структуру процесса цены облигации. Важным подклассом моделей (0.6), широко используемых в исследовании, являются являются афинные модели [22, 23, 97, 102], для которых

F(t, r(i), Т1) = exp{At{Tl) - r(t)Bt(Tх)}, (0.7) где At{Tl) и Bt{Tl) находятся через коэффициенты уравнения, определяющего текущую процентную ставку r(t).

Примером работ по теории облигаций в случае опосредованного подхода могут служить [2, 4, 14, 25, 29, 30, 37, 42, 47, 52, 53].

Модель рынка ценных бумаг, рассмотренная Блеком, Шоулсом [10] и Мертоном [41], позволившая получить теоретические формулы для цен опционов Ст, хеджирующих стратегий (портфелей) тг* = и соответствующих им капиталов X* в случае рынка акций, может быть успешно перенесена и на рынок облигаций. Пусть покупатель приобрел контракт с опционом па облигацию с текущей ценой Рь(Т1) и моментом погашения заплатив за него х единиц. Продавец контракта, получив эту плату (премию) х, становится на (В, Р)-рынке инвестором, ставя перед собой цель так распорядиться начальным капиталом х, чтобы в момент исполнения опциона Т < Т1 выплатить покупателю опциона стоимость, равную ¡т-Оперируя на (В, Р)-рынке, инвестор выбирает ту или иную стратегию 71 = 7Г£, состоящую из портфеля ценных бумаг тг£ — > 0, которому соответствует капитал где &В{Ь) - сумма на банковском счете, а т¿Р^Т1) - в облигациях. Стратегия 7Г называется хеджем, или хеджирующей стратегией (по отношению к платежной функции /у), если с вероятностью единица Хт > /т, и при этом Хо = х. То минимальное значение начального капитала Хо, для которого возможно построение хеджа тс* (минимального хедэ1са или минимального портфеля) естественно назвать справедливой (рациональной) ценой рассматриваемого контракта с опционом на рынке облигаций. Таким образом, задача инвестирования на таком (В, Р)-рынке заключается в следующем: сформировать хеджирующую стратегию (портфель) = (/3^,7^) таким образом, чтобы соответствующей ей капитал обеспечивал выполнение платежного обязательства Х^ = /т и при этом справедливая цена опциона Ст =

0.8) х; = ¡з;в(г) + тГДрг1)

0.9)

В монографии [102] (стр. 976) отмечается, как удивительный факт, что между работой Блэка и Шоулса [10] (1973г.) и работой Джамшидиана (Р. ЛатвЫсИап) [36] (1989г.), в которой был впервые получен аналог формулы "Блэка-Шоулса"для рынка облигаций в случае опосредованного подхода с моделью Васичека для текущей процентной ставки, прошло 16 лет. Объяснение этому факту состоит в том, что прежде, чем стало возможно заниматься построением теории опционов на рынке облигаций, необходимо было построить основы теории процентных ставок и цен облигаций.

Следовательно, подведя итог проведенному анализу и сделанным выводам, можно утверждать, что исследование экзотических опционов с гарантированным доходом для покупателя опциона и ограничением выплат для продавца опциона на рынке облигаций в случае опосредованного и прямого подходов к описанию цен облигаций является актуальной научной проблемой.

0.2. Цель диссертационной работы. На основе опосредованного и прямого подходов произвести полное исследование задач хеджирования экзотических опционов купли и продажи на диффузионном рынке облигаций двух видов: 1)опционов с гарантированным доходом, которые дают преимущество владельцу опциона; 2)опционов с ограничением выплаты, которые дают преимущество продавцу опциона. Основные результаты этих исследований должны заключаться в следующем.

1. Получить формулы, определяющие рациональные стоимости данных опционов, капиталы и оптимальные хеджирующие стратегии (портфели).

2. Исследовать свойства полученных решений.

3. Осуществить конкретизацию результатов для моделей процентных ставок цен облигаций, известных как модели Хо-Ли и Васичека и для них провести численное исследование зависимостей цен опционов от параметров.

0.3. Методы исследования. Исследования основаны на использовании математической теории финансов, теории вероятностей и теории случайных процессов, стохастического анализа. Основные результаты формулируются в форме утверждений, лемм, теорем и следствий.

0.4. Научная новизна. Новые научные результаты заключаются в следующем.

1. Для диффузионного рынка облигаций при опосредованном и прямом подходах к описанию цен облигаций получены формулы, определяющие стоимости опционов, соответствующие им капиталы и портфели (хеджирующие стратегии) для экзотических опционов купли и продажи с гарантированным доходом для покупателя опциона и ограничением выплат для продавца опциона.

2. Проведено исследование свойств решений. Как предельные случаи задач хеджирования экзотических опционов, получены решения задач хеджирования для стандартных опционов купли и продажи.

3. Все общие результаты для опционов купли и продажи конкретизированы для моделей краткосрочных и форвардных процентных ставок Хо-Ли и Васичека.

0.5. Теоретическая ценность. Полученные результаты могут служить основой для дальнейших исследований в области теории экзотических опционов на рынке облигаций, например, таких, как опционы барьерного типа.

0.6. Практическая ценность. Полученные результаты могут применяться для расчета стоимостей опционов на биржах и во внебиржевой торговле по заключению опционных контрактов, когда в качестве базисного актива используются облигации при внесении дополнительных условий в платежные обязательства относительно стандартных опционов.

0.7. Апробация. Основные результаты докладывались на следующих конференциях, симпозиумах:

VII Всероссийская конференция «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Томск, 2008 г.);

VIII Всероссийская конференция «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Томск, 2010 г.);

VIII международная конференция «Финансово-актуарная математика и смежные вопросы» (Красноярск, 2009 г.).

IX международная конференция «Финансово-актуарная математика и эвентоконвергенция технологий » (Красноярск, 2010 г.).

VIII международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук (Томск, 2010 г.)

Также результаты были представлены на 11-м Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2010 г.).

0.8. Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 13 печатных работах, 4 из которых в журналах, входящих в список ВАК:

1. Демин Н. С., Толстобокое В. В. Исследование одного вида экзотических опционов на диффузионном (В, Р)-рынке облигаций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2010, Т. 17, № 2, С. 194-209.

2. Демин Н.С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы продажи на диффузионном рынке облигаций. // Известия РАН. Теория и системы управления, 2010, N2 1, С. 163-172.

3. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы купли на диффузинном (В,Р)-рынке облигаций в случае модели Халла-Уайта. // Вестник Томского гос. университета - Управление, вычислительная техника и информатика, 2010, №1, С. 13-24.

4. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы продажи на диффузинном (В,Р)-рынке облигаций в случае модели Халла-Уайта. // Вестник Томского гос. университета - Управление, вычислительная техника и информатика, 2010, Nfi2, С. 13-24.

5. Демин Н.С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы продажи на диффузионном рынке облигаций в случае опосредованного подхода. // Труды IX международной конференции ФАМ'2010. - Красноярск: Сиб. фед. ун-т, 2010. - С. 120-125.

6. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Опционы на диффузинном (В,Р)-рынке облигаций в случае HJM-модели. // Вестник Томского гос. университета- Управление, вычислительная техника и информатика, 2008. №4, С. 41-50.

7. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы купли Европейского типа с гарантированным доходом и ограничением выплат на диффузионном (В.Р)-рынке облигаций. // VIII международная конференция ФАМ'2009: тезисы докладов. - Красноярск: Гротеск, 2009, С.55.

8. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Опционы на диффузинном (В,Р)-рынке облигаций в случае HJM-модели. // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: Тезисы докладов VII Российской конференции с международным участием. - Томск: HTJI, 2008, С. 87.

9. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы купли с гарантированным доходом и с ограничением выплат на диффузионном рынке облигаций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2010, т. 17, № 3, С. 404-405.

10. Демин Н. С., Субботин А. В., Толстобоков В. В. Экзотические опционы купли с ограничением выплат в модели Халла-Уайта на рынке облигаций. // Перспективы развития фундаментальных наук. Труды VII Международной конференции студентов и молодых ученых. - Томск: Национальный Исследовательский Томский политехнический университет, 2010. С. 515-517.

11. Демин Н.С., Субботин A.B., Толстобоков В.В. Экзотические опционы купли с гарантированным доходом на рынке облигаций в случае опосредованного подхода. // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: Тезисы докладов VIII Российской конференции с международным участием. - Томск: HTJI, 2010, С. 117.

12. Вашкель А. В., Демин Н. С., Субботин А. В., Толстобоков В. В. Экзотические опционы продажи с ограничением выплат в модели Халла-Уайта иа рынке облигаций. // Перспективы развития фундаментальных паук. Труды VII Международной конференции студентов и молодых ученых. -Томск: Национальный Исследовательский Томский политехнический университет, 2010, С. 455-457.

13. Вашкель А. В., Демин Н. С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы продажи с гарантированным доходом иа рынке облигаций в случае опосредованного подхода. // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: Тезисы докладов VIII Российской конференции с международным участием. - Томск: HTJI, 2010, С. 115.

0.9. Личный вклад. Постановка изложенных в диссертации задач принадлежит научному руководителю соискателя. Полученные в диссертации результаты принадлежат лично автору работы. Другие соавторы публикаций, представленных в трудах конференций, являются магистрантами, работой которых руководил автор диссертации.

0.10. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы общим объемом 151 страница, из которых 125 страниц основного текста, 16 страниц рисунков общим количеством 16 и 10 страниц списка литературы из 102 наименований.

4.6 Выводы

В четвертой главе на основе прямого подхода с использованием форвардной процентной ставки для описания цен облигаций и их дисконтированных относительно банковского счета значений проводится исследование задачи хеджирования экзотических опционов продажи Европейского типа с гарантированным доходом для обладателя опциона и ограничением выплат для инвестора (эмитента) па диффузионном рынке облигаций.

1) Получены формулы, определяющие стоимости опционов, соответствующие им капиталы и портфели (хеджирующие стратегии) для опцинов продажи с платежными функциями (4.1.1), (4.2.1), (4.3.1) (Теоремы 4.1, 4.2, 4.3).

2) Получена связь между решениями задач с платежными функциями (4.1.1) и (4.2.1) (Следствие 4.1).

3) Проведено исследование свойств решений. Как предельный случай задач с платежными функциями (4.2.1) и (4.3.1) получено решения задачи хеджирования для стандартного опциона продажи с платежной функцией (4.4.15) (Утверждения 4.1 - 4.5).

4) Все общие результаты для опционов продажи с платежными функциями (4.1.1), (4.2.1, (4.3.1) и (4.4.15) конкретизированы для моделей процентных ставок Хо-Ли и Васичека (Утверждение 4.6)

5) Проведено численное исследование зависимостей цен опционов от параметров, представленное в виде графиков, которое подтверждает доказанные свойства.

Заключение

Новые научные результаты заключаются в следующем.

1) Для диффузионного рынка облигаций при опосредованном подходе с использованием модели Хала-Уайта для текущей процентной ставки и прямом подходе с использованием модели Хиса-Джероу-Мортона к описанию цен облигаций получены формулы, определяющие стоимости опционов, соответствующие им капиталы и портфели (хеджирующие стратегии) для экзотических опционов купли и продажи с гарантированным доходом для покупателя опциона и с ограничением выплат для продавца опциона.

2) Проведено исследование свойств решений.

3) Как предельные случаи задач хеджирования экзотических опционов, получены решения задач хеджирования для стандартных опционов купли и продажи и получены соотношения, связывающие цены опционов и капиталы, соответствующие хеджирующим стратегиям.

4) Все общие результаты для опционов купли и продажи конкретизированы для моделей текущих и форвардных процентных ставок Хо-Ли и Васичека.

1. Aase K. K. Contingent claims valuation when the security price is a combination of an Ito process and a random point process. // Stoch. Processes Appl., 1988, V. 28, №2, P. 185-220.

2. Artzner P., Delbaen F. Term structure of interest rates: the martingale approach. Adv. Appl. Math., 1989.

3. Bajeux-Besnainou I., Jordan J. V., Portait. R. Dynamic asset allocation for stocks, bonds, and cash. // Journal of Business, 2003, V. 76, P. 263-288.

4. Ball. C. A., Torons W. N. Bond price dynamics and options. // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1983, V.18, № 4, P. 517-531.

5. Barro D., Canestrelli E. Dynamic portfolio optimization: Time decomposition using the Maximum Principle with a scenario approach. // European Journal of Operational Research, № 163, 2005, P. 217-229.

6. Bjork T., Di Masi G., Kabanov Yu. M., Runggaldier W. Towards a general theory of bond markets. // Finance and Stochastics, 1997, V. 1, P. 141174.

7. Bjork T., Di Masi G., Kabanov Yu. M., Runggaldier W. Bond market structure in the presenses of marked processes // Mathematical Finance, 1997, V. 7, № 2, P. 211-239.

8. Black F., Derman E., Toy W. A one-factor model of interest rates and its applications to Treasury bond options. // Financial Analysis Journal, 1990, P.33-39.

9. Black F., Karasinski P. Bond and option pricing when short rates are lognormal // Financial Analysts Journal, 1991, P. 52-59.

10. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities. // Journal of Political Economy, 1973, V. 81, № 3, P. 637-659.

11. Black F. The pricing of commodity contracts. // Journal of Financial Economics, 1976, V. 3, P. 167-179.

12. Black F. The holes in Black Scholes. // RISK magazine, March 1988, P. 27-29.

13. Black F. Living up to the model. // RISK magazine, March 1990, P. 11-13.

14. Black F., Derman E., Toy W. A one-factor model of interest rates and its applications to Treasury bond options. // Financial Analysis Journal, 1990, P. 33-39.

15. Brennan M., Yong J. Stochastic interest rates and the bond-stock mix. // European Finance Review, 2000, V. 4, P 197-210.

16. Brennan M., Schwartz E. S. A continuous time approach to the pricing of bonds. // Journal of Banking and Finance, 1979, V. 3, P. 133-155.

17. Choudhry M. Bond and Money Market: Strategy, Trading, Analysis. -Oxford: Butterworth-Heinemann, 2001.

18. Cox. J. C., Ross R. A. The valuation of options for alternative stochastic processes. // Journal of Financial Economics, 1976, V. 3, P. 145-166.

19. Cox. J. C., Ross R. A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach. // Journal of Financial Economics, 1976, V. 3, № 7, P. 229263.

20. Cox. J. C., Ross R. A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach. // International Library of Critical Writings in Economics, 2002, V. 143, P. 461-495.

21. Cox. J. C., Rubinstein M. Options markets. New York/London: Prentice-Hall, 1985.

22. Duffie D. Dynamic asset pricing theory. Princeton: Princeton University Press, 1992.

23. Duffie D., Kan R. A yield-factor model of interest rates // Mathematical Finance, 1996, V. 6, № 4, P. 379-406.

24. Duffie D., Richardson H. R. Mean variance hedging in continuous time. // Annals of Applied Probability, 1991, V.l, P. 1-15.

25. Dothan M. V. Prices in financial markets. Oxford: Oxford Univ. Press, 1990.

26. Gerber H. U. An Introduction to mathematical risk theory. Philadelphia: S. S. Huebner Foundation, Wharton School, 1979.

27. Follmer H. Leukert P. Quantile hedging. Finance and Stochastics, 1999, V. 3, №3, P. 251-273.

28. Heath D., Jarrow R., Morton A. Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation. // Econometrica, 1992, V. 60, № 1, P. 77-105.

29. Heath D., Jarrow R., Morton A. Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation. // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1990, V. 25, № 3, P. 419440.

30. Ho T. S. Y., Lee S.-B. Term structure movements and pricing interest rate contingent claims // Journal of Finance, 1986, V. 41, № 5, P. 1011-1029.

31. Hudson M. The value in gotng out : From Black-Scholes to black holes. -London/New York: Risk/Finex, 1992, P. 182-186.

32. Holton G. A. Value-at-risk: Theory and practice. N. Y.:Academic Press, 2003.

33. Hull J. Options, futures and other derivative securities. Prentice-Hall, 1999.

34. Hull J., White A. Bond option pricing on a model for the evolution of bond prices. // Advances in Futures and Options Research, 1993, №6, P. 1-13.

35. Hull J., White A. Pricing interest rate derivative securities. // Review of Financial Studies, 1990, V.3, № 5, P. 573-592.

36. Jamshidian F. An exact bond option formula // Journal of finance, 1989, V. 44, № 1, P. 205-209.

37. Jarrow R. The pricing of commodity options with stochastic interest rate. // Advances in Futures and Options Research, 1987, V. 2, P. 19-45.

38. Jensen B. A., Nielsen J. A. Bond returns and financial index numberes: Results from an intertemporal arbitrage free model. Inst, of Finance: Copenhagen Business School, Working paper, 92-18, 1992.

39. Jensen B. A., Nielsen J. A. The structure of binomial lattice models for bonds. Inst, of Finance, Copenhagen: Business School, Working paper, 92-17, 1992.

40. Jorgensen P. L. American option pricing. Aarhus: The shcool of Business, 1994.

41. Merton R. C. Theory of rational option pricing // Bell Journal of Economics and Management Science, 1973, № 4, P. 141-183.

42. Miltetsen K. R. A Model of the term structure of interest rates. Odense: Odense Universitet, 1993.

43. Musiela M., Rutkowski M. Martingale methods in financial modelling. -New-York: Springer-Verlag, 1997.

44. Morimoto M., Takahashi H. On pricing exponential square barrier knockout European options. // Asia-Pacific Financial Markets, 2002, V. 9, P. 1-21.

45. Pedersen H. W., Shiu E. S. W. Pricing of options on bonds by binomial lattices and by diffusion processes // ARCH, 1988, V. 2, P. 115-139.

46. Pliska S., R. Bielecki T., Yong J. Optimal investment decisions for a portfolio with a rolling horizon bond and a discount bond // International Journal of Theoretical and Applied Finance, 2005, V. 8, № 7, P. 871-913.

47. Pue A. Markov model of the term strusture. // Quarterly Journal of Economics, 1966, V. 25, P. 60-72.

48. Rabinovitch R. Pricing stock and bond options when the default-free rate is stochastic // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1989, V. 24, №4, P. 447-457.

49. Rebonato R. Interest-rate option models. New-York: Wiley, 1995.

50. Ross S. M. An introduction to mathematical finance. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

51. Rubinstein M. Exotic options. // Finance working paper. -Berkeley: Inst, of Business and Econ. Research, 1991. № 220.

52. Schaefer S., Schwartz E. Time dependent variance and the pricing of bond options. // Journal of Finance, 1987, V. 42, P. 1113-1128.

53. Vacisek O. An equilibrium characterization of the term structure. // Journal of Financial Economics, 1977, V. 5, P. 177-188.

54. Wilmott P. Derivatives: the theory and practice financial egineering. -New-York: John Willey, 2000.

55. Walder R. Dynamic allocation of treasury and corporate bond portfolios. Lausanne: University of Lausanne, working paper, 2002.

56. Zakamouline V. I. European option pricing and hedging with both fixed and proportional transaction costs. // Journal of Economic Dynamics and Control, 2006, № 30, P. 1-25.

57. Zhang P. G. An introduction to exotic options. // European Financial Management, 1995, V. 1, № 1, P. 87-95.

58. Агасандян Г. А. Финансовая инженерия и континуальный критерий VAR на рынке опционов. // Экономика и математические методы, 2005, Т. 41, № 4, С. 80-90.

59. Води 3., Мертон Р. Финансы. М.: Вильяме, 2003.

60. Буренин А.Н. Рынки производных финансовых инструментов. М.: ИНФРА-М, 1996.

61. Буренин А.Н. Форварды, фьючерсы, опционы. Экзотические и погодные производные. М.: Научно-техническое общество имени академика С. И. Вавилова, 2005.

62. Буренин А. Н. Фьючерсные, форвардные и опционные контракты. -М.: Тривола, 1995.

63. Бьорк Т. О временной структуре разрывных процентных ставок. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 1995, Т.2, В. 4, С. 627-657.

64. Гихман И. И. Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977.

65. Гихман И. И. Скороход А. В. Теория случайных процессов, т. III. -М.: Наука, 1975.

66. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Исследование одного вида экзотических опционов на диффузионном (В, Р)-рынке облигаций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2010, Т. 17, № 2, С. 194-209.

67. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Опционы на диффузинном (В,Р)-рынке облигаций в случае HJM-модели. // Вестник Томского гос. университета Управление, вычислительная техника и информатика, 2008, №4, С. 41-50.

68. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы купли на диффузинном (В,Р)-рынке облигаций в случае модели Халла-Уайта. //

69. Вестник Томского гос. университета Управление, вычислительная техника и информатика, 2010, №1, С. 13-24.

70. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы купли с гарантированным доходом и с ограничением выплат на диффузионном рынке облигаций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2010, Т. 17 , № 3, С. 404-405.

71. Демин Н. С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы продажи на диффузинном (В,Р)-рынке облигаций в случае модели Халла-Уайта. // Вестник Томского гос. университета Управление, вычислительная техника и информатика, 2010, №2, С. 13-24.

72. Демин Н.С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы продажи на диффузионном рынке облигаций. // Известия РАН. Теория и системы управления, 2010 № 1, С. 163-172.

73. Демин Н.С., Толстобоков В. В. Экзотические опционы продажи на диффузионном рынке облигаций в случае опосредованного подхода. // Труды IX международной конференции ФАМ'2010. Красноярск: Сиб. фед. ун-т, 2010, С. 120-125.

74. Ди Мази Дж. В., Кабанов Ю. М., Рунггальдер В. Й. Хеджирование опционов на акцию при среднеквадратическом критерии и марковском коэффициенте изменения волатильности. // Теория вероятн. и ее примен., 1994, Т.39, В.1, С. 211-222.

75. Жуленев С. В. Финансовая математика: введение в классическую теорию. М.: МГУ, 2001.

76. Кожин К. Все об экзотических опционах. // Рынок цепных бумаг, 2002, № 15, С. 53-57; № 16, С. 60-64; № 17, С. 68-73.

77. Крамков Д. О., Ширяев А. Н. О расчетах рациональной стоио-мсти "Русского опциона "в симметричной биномиальной модели (В,8)-рынка. // Теория вероятн. и ее примен., 1994, Т. 39, В. 1, С. 201-211.

78. Крамков Д. О., Мордецки Э. Интегральный опцион. // Теория веро-ятн. и ее примен., 1994, Т. 39, В. 1, С. 191-200.

79. Ламбурт В. Г. Сравнение некоторых стратегий хеджирования платежных обязательств, использующих и не использующих мартингальную меру. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2001, Т. 8, № 1, С. 20-27.

80. Люу Ю. Д. Методы и алгоритмы финансовой математики. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007.

81. Липцер Р. Ш. Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

82. Липцер Р. Ш. Ширяев А. Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986.

83. Макмиллаи Л. Г. Опционы как стратегическое инвестирование. М.: Издательский дом "ЕВРО", 2003.

84. Маршал Дж. Ф., Бансал В. К. Финансовая инженерия. М: ИНФРА-М, 1998.

85. Мельников А. В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М.: ТВП, 1997.

86. Мельников А. В., Волков С. Н., Нечаев М. Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

87. Мельников А. В., Нечаев М. Л. К вопросу о хеджировании платежных обязательств в среднеквадратическом. // Теория вероятн. и ее примен., 1998, Т.43, №4, С.672-691.

88. Нечаев М. Л. О хеджировании в соеднекважратическом в диффузионной модели Хо-Ли // Теория вероятн. и ее примен., 1999, Т. 44, № 1, С. 115-119.

89. Новиков А. А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью. // Теория вероятн. и ее примен., 1998, Т.43, №1, С. 152-161.

90. Рачев С. Т., Рушендорф Л. Модели и расчеты контрактов с опционами. // Теория вероятн. и ее примен., 1994, Т.39, В. 1, С. 130-149.

91. Рей К. И. Рынок облигаций. Торговля и управление рисками. М.: Дело, 1999.

92. Халл Д. К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.: Вильяме, 2007.

93. Шепп Л.А., Ширяев А.Н. Новый взгляд на расчеты <русского опциона> // Теория вероятн. и ее примен., 1994, Т. 39, № 1, С. 130-149.

94. Шапкин А. Экономические и финансовые риски. М.: Дашков и К, 2003.

95. Ширяев А. Н. Кабанов Ю. М., Крамков Д. О., Мельников А. В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов, И: Непрерывное время. // Теория вероятн. и ее примен., 1994, Т. 39, В. 1, С. 80-129.

96. Ширяев А. Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики. // Теория вероятн. и ее примен., 1994, Т. 39, № 1, С. 5-22.

97. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998.