автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование математической модели ( Β , S)-рынка относительно хааровского стохастического базиса

Список обозначений

Введение

Глава 1 Модель (В, Л) -рынка в случае специальной хааровской фильтрации.

§ 1 Модификация биномиальной модели в случае ркупки акций.

§2 Описание модели в случае «жёсткой скупки акций».

§3 Математическая реализация модели (^В,^)-рынка в случае жёсткой скупки акций.

§4 Вычисление справедливой цены опциона

Европейского типа.

§5 Некоторые специальные случаи модели эволюции стоимости акций.

Глава 2 Хеджирующие стратегии в условиях безарбитражного и арбитражного рынков, условия полноты. Статистические оценки параметров модели.

§ 1 Расчет хеджирующих стратегий в условиях полного и безарбитражного рынка.

§2 Реализация основных теорем финансовой

Список обозначений

О — пространство элементарных событий ^ — о -алгебры событий Р,Р',Р* — вероятностные меры £Р, Ф* — семейство вероятностных мер

Р*~Р — взаимная абсолютная непрерывность вероятностных мер (эквивалентность) Е * — символ матожидания по вероятностной мере Р * Е(Х/¥) — условное математическое ожидание Xотносительно а -алгебры 14 — индикатор события А цена акции в момент времени п

В — стоимость банковского счета в момент времени п ж — портфель ценных бумаг

Зп — число единиц банковского счета в портфеле в момент времени п уп — количество акций в портфеле в момент времени п

Хкп — капитал портфеля тг в момент времени п множество самофинансируемых портфелей (стратегий)

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Т1(х,/Я) рк=Р(А) <1к=Р(Вк) множество самофинансируемых арбитражных стратегий множество хеджирующих портфелей с начальным капиталом х и терминальнам капиталом /¥ контрактная цена справедливая цена опциона с вре менем исполнения N процентная ставка атомы <х-алгебр вероятности атомов п ' п значение случайной величины £п на атомах Ак и значение случайной величины /Зп на атомах Ак у{к) — значение случайной величины у п на атомах Ак

Аай=ая-а^

Ла(к)=а(к)-а(к) п п п—

Р-п.н. приращение при переходе от момента п-1 к п свойство, выполняющееся Р почти наверное тах(а,0 )

Настоящая диссертация лежит в русле стохастической финансовой математики, призванной исследовать свойства финансовых структур и оптимизировать процесс распоряжения финансовыми ресурсами с учетом факторов времени, риска и, как правило, случайного характера окружающей среды.

Исследуя С&,£) -рынок относительно специального хааровско-го стохастического базиса, мы рассматриваем вопросы полноты и без-арбитражности этого рынка, опционы Европейского типа, некоторые модели поведения стоимости акции, существование хеджирующих стратегий в условиях полного и неполного рынков, проводим статистические исследования.

Ниже приводятся точные определения и обзор результатов, касающихся интересующей нас тематики.

Основные определения и факты

Финансовый рынок. Под финансовым рынком будем понимать совокупность рынка ценных бумаг, реализуемых на бирже (акции, облигации и производные (вторичные) ценные бумаги, и внебиржевого рынка финансовых ресурсов (кредиты, банковские услуги и т.д.).

На финансовом рынке его участники проводят финансовые oneрации с помощью финансовых инструментов. Участниками финансового рынка являются финансовые компании, банки и другие финансово-страховые структуры, включая индивидуумов.

Основу финансового рынка составляют активы, реализуемые через ценные бумаги: банковский счет, облигации, акции.

К производным финансовым инструментам относятся: опционы, фьючерсные контракты, варранты, свопы, комбинации, спрэды, сочетания.

Дадим краткую характеристику интересующих нас в дальнейшем понятий; материал, касающийся не описанных в данной работе финансовых инструментов, может быть найден в [5], [43], [55], [56].

А кцыи —это долевые ценные бумаги, выпускаемые корпорациями, компаниями, фирмами с целью аккумулирования капитала. Акции, в основном, бывают двух видов: обыкновенная акция и привилегированная акция, различающиеся по выплате дивидендов по ним и степени риска обладания ими.

Обладатели обыкновенной акции получают дивиденды как соответствующую часть дохода компании, величина которого зависит от успеха ее деятельности. В случае разорения компании инвестор теряет все свои инвестиции. Привилегированная же акция гарантирует инвестору меньший риск потери своих инвестиций, гарантированную выплату дивидендов, размер которых, вообще говоря, не растет с увеличением дохода компании.

Существуют и другие виды акций, оговаривающие долю участия, специальный способ выплаты дивидендов и т.п.

Многих инвесторов покупка акций привлекает не дивидендами, а возможностью зарабатывать деньги на колебаниях цен акций, покупая их по низкой цене перед тем, как остальные начнут это делать, и раньше конкурентов продавая их по высокой цене.

Облигации — это долговые ценные бумаги, выпускаемые государством или теми или иными фирмами с целью аккумулирования капитала, реструктурирования своих долгов и т.д. В отличии от акций, они выпускаются на некоторый срок, по истечении которого изымаются из обращения посредством погашения (выкупа). Характеристиками облигации являются: время погашения , стоимость погашения, выплаты до погашения. Выплаты по облигациям, в сущности, эквивалентны банковской процентной ставке.

Банковский счет может рассматриваться как ценная бумага, относящаяся к облигациям, суть которой состоит в том, что банк обязуется выплачивать по вашему счету определенный процент от суммы счета. В дальнейших рассмотрениях банковский счет будет возникать не раз, что объясняется во многом тем, что он является удобной «единицей измерения» цен разнообразных ценных бумаг.

Опционы — производные ценные бумаги некоторого актива. Чтобы стать держателем такой бумаги, нужно заплатить некоторую премило эмитенту. При этом приобретается право предъявить данную бумагу к исполнению в оговоренный срок и получить выплату в фиксированном размере. Опцион на покупку (call-option) дает право его владельцу (держателю опциона) купить актив по установленной в этом документе цене не позже определенной даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион). Владелец опциона может отказаться от указанной покупки актива без всяких штрафов. Аналогично опцион на продажу (put-option) дает право его владельцу продать актив по установленной в этом документе цене не позже определенной даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион). Поскольку математическая теория опционов наиболее продвинута, мы подробно рассматриваем это понятие ниже при описании нужных нам элементов стохастического анализа. практическая работа на финансовом рынке требует проведения достаточно точных расчетов цен активов, торгуемых на рынке. Но невозможно в общем предсказать какие-либо характеристики большинства операций без определенных соглашений о рынке, позволяющих привлекать для анализа научные доводы. К этим соглашениям относятся:

1. «Скрытые» параметры типа психологических мотивов не учитываются.

2. Предположение, что дальнейшее развитие сегодняшнего состояния рынка пойдет примерно так же, как и найденного аналогичного в прошлом (с учетом изменений, происшедших на рынке). Такой способ анализа можно развить далее, допустив, что различные показатели рынка можно моделировать как случайные величины. Это, в свою очередь, открывает путь к использованию теоретико-вероятностных методов (Заметим, однако, что в полной мере данное предположение не выполняется. Но так всегда обстоит дело, когда теоретико-вероятностные, статистические закономерности применяются на практике).

3. Об анализируемом финансовом инструменте (или о близких в некотором смысле к нему) должна быть накоплена определенная информация.

Перечисленные выше предположения служат основанием для исследования финансовых рынков научными методами (математическими, с помощью компьютерной техники и т.д.).

Гипотеза поведения цен как случайного блуждания далеко не сразу была принята и экономистами, и математиками (см. например [56]), но именно она привела к классической концепции эффективного или «рационального» рынка. Под этим подразумевается, что на рынке:

1) мгновенно производится коррекция цен на изменения внешних условий, цены становятся «справедливыми», т.е. полностью исключается арбитраж (купля-продажа активов, позволяющая извлечь прибыль из разницы цен на разных рынках);

2) участники рынка однородно интерпретируют поступающую информацию, мгновенно корректируя свои решения при обновлении этой информации;

3) участники рынка преследуют свои (собственные) эгоистические интересы, которые характеризуются некоторым объективным образом; данное предположение позволяет анализировать действия конкретного участника, опираясь на некоторые объективные его устремления.

Эти предположения выражены чисто словами, тем не менее, они вместе с гипотезой о случайном блуждании цен позволяют развить стройную и довольно сложную математическую теорию финансового рынка.

Элементы дискретного стохастического анализа. «Неопределенность», возникающая на рынке, может быть описана как «случайность» в рамках базовой вероятностной модели, являющейся фильтрованным вероятностным пространством, называемым также стохас-тическцм базисом:

Я,^Р), где

2 — это пространство элементарных событий со (состояний рынка в рассматриваемом контексте); — сг-алгебра подмножеств пространства элементарных событий (совокупность событий, наблюдаемых на рынке); /'' — фильтрация, состоящая из неубывающего потока под-<т-алгебр таких что Чп с ^ (^п будем понимать как некую информацию, доступную наблюдателю до момента времени п включительно); Р— вероятностная мера на ^.

Во мнргих случаях целесообразно расширить понятие стохастического базиса, считая, что вместо единственной вероятностной меры Р, задано целое семейство £Р = {Р} .

Мы будем рассматривать только конечные сг-алгебры п = 1,2,.,Ы.

Стохастическую последовательность (будем понимать как рисковый актив, например, как рыночную цену акции или обменный курс двух валют в момент времени п, а детерминированную последовательность (^В„Х=0 — как стоимость банковского счета в момент времени п. Если ^ интерпритируется как информация, доступная к моменту времени п, то естественно считать, что £п - ^-измеримы. Как правило Вп > 0, ^ = о(<£0,<£г,.,<£„).

Рынок, определяемый последовательностями будем называть (!В, £)-рынком.

Инвестиционную стратегию или портфель ж определим как двумерную стохастическую последовательность(Р„,у„)Ц0, где Д,,уп являются ^ ; -измеримыми (Р„,у„ е ) и выражают количество активов соответсвенно в момент времени п.

Капитал портфеля ж — это стохастическая последовательность Хк-(Х*Х=0, задающаяся формулой:

И = (0.1)

Рассмотрим, как складывается капитал портфеля к. Пусть в начальный момент времени п =0 капитал портфеля имеет вид:

Х0=£0!В0+у0£0.

В промежутке между моментами п=0лп=1 вследствие различных обстоятельств капитал Х0 может измениться и принять значение Х0 + /1, где fl — некоторая случайная величина, которую естественно считать ^-измеримой. Таким образом, капитал увеличится, если /¡>0, уменьшится, если /2 <0, и не изменится, если /] = 0. Для того, чтобы получить при п=1 как можно больший капитал Хх, мы перед объявлением цен на акции (которое происходит как раз в момент времени п=1 ) изменяем структуру портфеля, продавая одни акции, покупая другие, а также внося изменения в банковский счет. После этих действий мы будем иметь в портфеле Д единиц банковского счета и у 1 акций, т.е. получим соотношение

После объявления при п=1 новых цен на акции, учитывая изменения стоимости банковского счета, получаем капитал портфеля в момент п=1:

X, +

То же самое повторяеьтся между моментами п-1 и п . А именно, капитал Хпизменяется на значение с.в. /п ( которую мы обязаны считать

-измеримой вследствии того, что эта с.в. завязана только с событиями, известными строго до момента времени п, то есть с событиями из а-алгебры ^ Затем мы перераспределяем содержимое портфеля и получаем в результате (Зп единиц банковского счета и у п акций, т.е. получим соотношение Хп^ + /п = '¡Вп1 + уп £пг. После объявления в момент времени п новых цен на акции и новой цены банковского счета, получаем капитал портфеля (0.1) в момент времени п.

Класс портфелей я, обладающих свойством др.+^Ау^О (0.2) назовем самофинансируемым и обозначим 5Т7 .

Условие самофинансирования означает, что перед изменением состава портфеля в промежутке между моментами времени п-1 и п портфель не испытывает ни притока дополнительного капитала, ни оттока капитала.

Во множестве 8Р самофинансируемых стратегий выделим подмножество $1\гЬ арбитражных стратегий, т.е. стратегий, приносящих прибыль при нулевых начальных затратах. По определению к реализует арбитражную возможность тогда и только тогда, когда при п=1,И(Р-п.н.^и Х1г>0 с положительной вероятностью.

Самофинансируемый портфель п = ( /Зп,у который бы позволил в финальный момент N достигнуть некоторого платежного обязательства (— ^-измеримая неотрицательная случайная величина), при этом начальное значение капитала X0 — х ( х > 0), называется хеджирующим портфелем. Процедура построения такого портфеля, приводящего к достижимости платежного обязательства, называется хеджированием этого обязательства. Множество всех (х,/ы)-хеджей обозначается через П(х>Л,) ■

Если мы предполагаем, что рассматриваемый нами рынок не содержит арбитражных возможностей (т.е. мы не можем получить прибыль, не рискуя), то, как математический эквивалент этому обстоятельству, появляется специальная вероятностная мера, относительно которой дисконтированная цена акции оказывается мартингалом. Поэтому введем в рассмотрение мартингальную меру Р : вероятностная мера Р\ эквивалентная Р, называется мартингальной, если относительно Р последовательность (дисконтированная цена ако \ ции) N =—- есть мартингал. Эквивалентность мер Р и Р, у

V п / п~0 выражаемая в дальнейшем соотношением Р означает, что Р и Р взаимно абсолютно непрерывны друг относительно друга. Совокупность мартицгальных мер обозначим через Я2**.

Очень важной характеристикой рынка является его полнота. рынок называется полным, если для любой "[^-измеримой случайной величины /(со) существует самофинансируемая стратегия п такая, что Х^ы(со) = /(со) Р-п.н.

Сформулируем две основные теоремы финансовой математики см. [61, с.72-79] и [58, с.28-36 ]). Теорема 1. Следующие два условия равносильны : 1 )<Р**0; 2)^ = 0.

Теорема 2, Пусть множество мартингальных мер непусто и мера Р* е £Р*. Тогда следующие условия эквивалентны : У)(Т>,£) -рынок является полным ;

4) мера Р* является единственным элементом в £Р*. Теперь более подробно рассмотрим понятие опциона. Будем предполагать, что опционы построены на активах, стоимость которых описывается случайной последовательностью (<£п)^0. Для определенности далее будем рассматривать стандартный опцион на покупку Европейского типа со временем исполнения N. Такой опцион характеризуется фиксированной в момент его покупки ценой К, по которой покупатель может купить, скажем, акции, фактическая стоимость которых в момент N может отличаться от К. рели Д. > К, то эта ситуация окажется благоприятной для покупателя, поскольку ему по условиям контракта дано право купить акции по цене К, что он может и сделать с немедленной затем их продажей по рыночной цене <§м. В этом случае получаемый им от этой операции доход равен £М — К}

Если же окажется, что Д, < К, то данное покупателю право покупки (ро цене К) ему ничего не дает, поскольку он может купить ак

1 Сегодня в мире опционов продают и покупают миллионы штук. Дело, однако, редко доходит до поставки физических активов. Обычно проигравшая сторона оплачивает свой проигрыш деньгами. ции и по более низкой цене. В этом случае опцион не предъявляется к исполнению.

Объединяя эти два случая, можно сказать, что в момент N доход покупателя определяется формулой

-К У где а+ = тах(а,0).

Для продавца же опциона появляется необходимость, получив премию Су, таким образом строить свой портфель, чтобы достигнуть в момент времени Я платежного обязательства /и .

Таким образом, появляются два ключевых вопроса — какова справедливая цена СЛ, продажи-покупки опциона и как должен действовать продавец опциона, чтобы выполнить условия контракта.

В условиях неполной модели рынка участник рынка может выступать и в качестве продавца, и в качестве покупателя опциона. Разное ценопонимание продавца и покупателя приводит к назначению, вообще говоря, разных цен продажи С*(И) и покупки С^Ы) и появлению ненулевой разницы С * -С,, называемой спрэдом.

Введем следующие классы самофинансируемых портфелей л :

П'Сх.ЛЫяевР: х;>/ы,х; = х>0}, х;</ы,х;=х>о).

Определим верхнюю и нижнюю цены платежного обязательства следующими формулами

С*(Ы) = т/{х:\\*(х,Ф0], (0.3)

С.(Ю = ™р{ х-.ПЛх,/*)*®}. (0-4)

В случае полного и безарбитражного рынка существует возможность совмещения противоположных интересов продавца и покупателя, выражающаяся в существовании справедливой цены опциона CN (см, [32, стр. 74], определяемой формулой

С„=С* = С,. (0.5)

Исследование fJB, S) -рынка. Направление исследованию (iB,S) -рынка задают «правила», по которым определяются элементы последовательностей Sn и JBn. Но поскольку последовательность JB обычно считается детерминированной, то основной интерес представляет последовательность, отражающая рисковый актив рынка. С целью получения ответа на вопрос, предсказуемо ли движение цен, было проведено множество исследований. Они принесли неожиданный и парадоксальный результат: скорее всего цены изменяются совершенно случайно, так, как если бы, по словам М.Кендашта (см. [67]) «. the Demon of Chance drew a random number . and added it to the current price to determine the next. price»1.

JI. Башелье в 1900 г. был первым, кто произвел анализ стоимости ценных бумаг (опционов) с помощью понятий и методов теории вероятностей (см. [59]). Он математически определил понятие «броуновского движения», использовал его в качестве модели динамики цен акций и дал формулу инвестиционной стоимости опциона.

Основной недостаток модели Башелье , заключавшийся в возможной отрицательности цен акций, в 1965 г. был устранен известным эконрмистом Самюэлсоном (см.[71]), предложившим для этих

1 «„. Демон Случая извлекал случайным образом число . и добавлял его к текущему значению для определения . цены в следующий момент». цен геометрическое броуновское движение. Ныне эта модель носит имя Бдэка и Шоулса, которые в 1973 г. (см.[60]) получили точные формулы для расчета справедливой цены и хеджирующих стратегий для опционов европейского типа.

Принимая во внимание то эвристическое соображение, что цены акций в любой момент времени либо поднимаются вверх, либо опускаются вниз, Кокс, Росс и Рубинштейн предложили считать эти изменения дискретными и ввели в рассмотрение биномиальную модель финансового рынка (см. [61]). Ими было показано, что рассматриваемая биномиальная модель является дискретным аналогом геометрического броуновского движения.

Эти ставшие классическими работы явились непосредственной базой для применения и развития методов современного стохастического анализа в математической теории финансов. Нельзя не согласиться с А.Н. Ширяевым (см.[56, стр.137]), что «биномиальная модель Кокса-Росса-Рубинштейна . играет в финансовой математике роль, сходную со схемой Бернулли в классической теории вероятностей -будучи весьма простой, эта модель дает возможность полного расчета многих финансовых характеристик, например, справедливых цен опционов, хеджирующих стратегий и др.». Именно поэтому математики, занимающимися исследованием финансового рынка, уделяют ей довольно большое внимание и на основе этой модели строят более сложны^.

Дадим описание биномиальной модели -рынка типа Кокса-Росса-Рубинштейна.

Пусть 2В и Л эволюционируют согласно формулам:

23, =(7 + (0.6)

В0 >0; г > 0 — постоянная процентная ставка); л;я = (1+рй)^г (о.?)

Л0 >0; рп>-1 — последовательность независимых в совокупности одинаково распределенных двузначных случайных велич]ш.рп=< а<Ъ.). [а,

Естественно считать в рассматриваемом случае, что пространство П есть множество двоичных последовательностей: О = {а,Ь}т.

Выше мы предположили, что все рассмотрения происходят на некотором фильтрованном вероятностном пространстве В этой связи исходную вероятностную меру Р, относительно которой последовательность рп является последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих два значения а и Ь, можно задать одним параметром: д(>0) = Р{рп=а}, р(>0) = Р{ря=Ь}, р + Я = 1. Исследованию данной модели посвящены работы [28], [32], [34], [47], [50], [56].

Например, в [56, § 1с, гл. V] в связи с теорией расчетов рациональной стоимости опционов на так называемых неполных рынках было предложено обобщение рассмотренной биномиальной модели в предположении, что величины рп принимают не два значения а и Ь, а значения из интервала [а, Ь].

Сводка результатов. В настоящей диссертации также исследуется модель типа Кокса, Росса, Рубинштейна. Но в отличии от пере-числецных выше работ исследование (1В, Л) -рынка проводится относительно возрастающей последовательности ст-алгебр, имеющих специальную структуру: % = {Г2,0}, . , ^п^а{А1,А2,.,Ап>Вп},п<М, где А], А2,., А„,.;В„ — атомы разбиения О. Разбиение проводится согласно формулам:

В = О \ г п > ил к = 1 ; штВн=Ап+1^Вп+1, В о=Х1.

Этот процесс можно представить в виде «усыхающего» бинарного дерева (см. Рисунок 1).

Во

Рисунок 1. Схема создания потока сг-алгебр F =

N 1-0 '

В момент времени п =1 атом В0 =0 дробится на атомы А/, ВАтом А] рассматриваем как событие, которое соответствует тому, что акция скупается и начинает эволюционировать как банковский счет. В} — это событие, которое соответствуют тому, что акция не скупается, а остается эволюционировать на рынке. Далее в момент времени п=2 делится атом В} и т.д. до момента времени N. Такую стратегию скупщика, когда при очередном объявлении цены акции происходит полная скупка либо в случае подъёма цены акции, либо в случае её падения назовем жесткой скупкой акции. Описанную же выше фильтрацию, следуя терминологии Ж.Неве [70, стр.51], мы называем специальной хааровской фильтрацией.

Введем на измеримом пространстве множество вероятностных мер <Р={Р}, где вероятности Р таковы, что рк=Р(Ак), к>1, Р(Вк), к>0 (включая к=оо) , 0 рк<1, 0<дк<1 (к=1,2,.). Заметим, что д0=Р(В0)=Р(Я)=1.

На стохастическом базисе (,Р), где Р -— описанная выше фидьтрация, рассмотрим адаптированную стохастическую последовательность (£„Т=о и детерминированную последовательность^^, В >0, V/! =0,/,.,ЛГ .

Измеримость) ^относительно ^ позволяет записать

0.8) к=1

В будем вычислять по формуле (0.6).

Первая глава настоящей работы посвящена изучению полноты рассматриваемого рынка.

Прежде всего доказываем теорему о существовании (соответ-свеш^ существовании и единственности) мартингальной меры для исследуемой модели (см. Теорему 1.1).

1 £2 можно идентифицировать с интервалом [О,1)

Доказав, что при выполнении определенных условий, существует единственная мартингальная мера , тем самым мы получаем безарбитражность и полноту рассматриваемого (Ж £) -рынка (см Теоремы 1,2).

Далее рассматривается опцион Европейского типа. Предполагая выполненными условия пункта 2 Теоремы 1.1, получаем формулу (1.24) для расчета справедливой цены опциона на покупку акции.

В последнем параграфе первой главы предлагается к рассмотрению четыре модели поведения цены акции в некоторых частных случаях модели жесткой скупки. На Рисунке 2 показаны сравнительные графики поведения цены акции, описанные формулами (0.6), (0.7) для биномиальной модели Кокса, Росса, Рубинштейна, обобщенной биномиальной модели и график поведения цены акции для (23, Л) -рынка в случае жесткой скупки акции (Модель 2). В отличии от первых двух моделей ( график -1, 2), когда цена акции изменяет тенденцию роста или падения на протяжении всего периода наблюдения , в третьей модели (график -3), начиная с некоторого случайного момента времени, цена акции начинает изменяться как банковский счет. Исследуемая нами модель может пониматься как «промежуточная» между моделями детерминированными и моделями, где стоимость рисковых активов описывается только стохастическими уравнениями.

Для всех имитационных моделей поведения цены акции, описанных в первой главе, изучается вопрос существования и единственности мартингальной меры.

2 ¡ г \ ч I \ \ / • / / \ \ ч. / i. \ / / / / \ \ V . -. \ / t \ / 3 ; ч \ / г \ \ / / / / / 7 ч, ч \ ч. / / / / \ \ ч. / / \ i.'' - -ч к / \ \ \ / / Л / / \ \ / / ч \ V V ч ч / ► ч \ / К \ / / ч! 1

О 1 2 3 4 5 6 7 9 9 10 11 1'2 13 14 15 16 17 18 19 20 2Ъ 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Рисунок 2. Графики эволюции стоимости акции дли а=-0,2, Ь=0,3 в случае:

1 -биномиальной модели Кокса, Росса, Рубинштейна;

2-обощенной биномиальной модели (рпе [а,Ь]);

ВВЕДЕНИЕ 23

При исследовании Модели 4 оказалось, что мартинтальная мера существует, но не является единственной. В этой связи возникла необходимость вычисления спрэда. Показано, что проблема сводится к вычислению минимума и максимума некоторой функции по двоичному набору. При небольшом горизонте задача может быть решена полным перебором.

Как отмечалось выше, важным является вопрос хеджирования портфеля. Ему посвящены первые три параграфа второй главы. Вначале рассматривается вопрос существования хеджирующих стратегий в условиях полного и безарбитражного рынка. Получены формулы (2.15)-(3.18) для нахождения последовательности ( Р„,у п X 0 ■

Для арбитражных рынков доказывается ранговый критерий, определяющий условия, при которых также существуют хеджирующие стратегии. последний параграф второй главы содержит описание статистического исследования параметров модели (23, Л) -рынка относительно специальной хааровской фильтрации. Полученные оценки имеют незначительное отклонение от заданных параметров модели.

Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [2], [3], [4], [36], [37], [38], [39].

1. Аркин В.И., Евстигнеев И В. Вероятностные модели управления и экономической динамики. // М.: Наука, 1979.

2. Белявский Г.И., Мисюра В.В. Некоторые специальные случаи модели эволюции стоимости акций. // Изв. РГСУ. 1998. №4. С.177-183.

3. Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Ранговый критерий полноты одного финансового рынка при допущении арбитража. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Мрсква, ТВП. 1999. Т.6. №1. С.121-122.

4. Белявский Г.И.,Мисюра В.В., Павлов И.В. Исследование модели (В,8)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.Ф.Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 1998. С.179-181.

5. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. // М,: Тривола, 1995.

6. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. // М. .Наука, 1978.

7. Вецтцель А.Д. Курс теории случайных процессов. // М.: Наука, 1975.

8. Волков С.Н., Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1997. Т.4. №1. С. 18-65.

9. Гальчук Л.И. О структуре некоторых мартингалов. // Труды школы-семинара по теории случайных процессов. 4.1. Вильнюс. 1974.

10. Гамровски Б., Рачев С. Финансовые модели, использующие устойчивые законы. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1995. Т.2. №4. С. 556-604.

11. Гарнаев А. Использование MS Excel и VBA в экономике и финансах. // СПб.: БХВ, Санкт-Петербург, 1999.

12. Гихман И.И., Скороходов A.B. Введение в теорию случайных процессов. //М.: Наука, 1977.13J Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистику. // М.: Высшая школа, 1999.

13. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. //М.: Наука. 1982.

14. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Т.1,2. //М.: Физматлит, 1994.

15. Йенсен Б.А., Нильсен Й.А. Расчет цены в отсутствии арбитража. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1996. Т.З. №6. С. 899-945.

16. Кабанов Ю.М., Крамков Д.О. Отсутствие арбитража и эквивалентные мартингальные меры: новое доказательство теоремы Харрисона-Пл иски. // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т.39. №3. С.635-640.

17. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. // М.: Высшая школа, 1998.

18. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. // М.:Приор,1998.

19. Карлберг К. Бизнес-анализ с помощью Excel. // Киев: Диалектика, 1997.

20. Кергаль И. Методы программирования на Бейсике. // М.: Мир, 1991.

21. Крысий Н.П., Павлов Й.В. О безарбитражности и полноте обобщенной модели финансового рынка в случае скупки акции. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1999. Т.6. №1. С.121-122.

22. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. // М.; Дело, 1998.

23. Ланкастер П. Теория матриц. // М.: Наука, 1978.

24. Лебедев А.Н. Моделирование в научно-технических исследованиях. //М.: Радио« связь, 1989.

25. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

26. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986.

27. Малыхин В.И. Финансовая математика. // М.:ЮНИТИ, 1999.

28. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. И М.: Наука, Ш9.

29. Мелкумов Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям. // М.: Инфра-М, 1994.

30. Мельников A.B. О стохастическом анализе в современной математике финансов и страхования. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1995. Т.2. №4. С. 514-526.

31. Мельников A.B. Финансовые рынки. // М.: ТВП, 1997.

32. Мельников A.B., Нечаев М.Л. К вопросу о хеджировании платежных обязательств в среднеквадратичном. И Теория вероят-нрстей и ее применения. 1998. Т.43. №1. С.672-691.

33. Мельников A.B., Нечаев М.Л., Степанов В.М. О дискретной модели финансового рынка и методах расчетов с ценными бумагами. // Преринт. М.: Научно-иссл. Актуарно-финансовый центр. 1996. №3. С.13.

34. Мину М. Математическое программирование. // М.: Наука, 1990.

35. Мисюра В.В., Павлов И.В. Критерий полноты (В,8)-рынка в случае специальной хааровской фильтрации. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1998. Т5. №2. С.262-263

36. Мисюра В.В., Павлов И.В. Критерий существования мартин-гальной меры и расчет цены опциона в случае специальной хааровской фильтрации. // Изв. вузов Северо-Кавказский ре-год.Естеств. науки. 1998. №4. С.24-30.

37. Мисюра В.В., Павлов И.В. Уточнение двух теорем финансовой математики для (В, S)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Изв. вузов Северо-Кавказский ре-грн.Естеств. науки. 1999. №2. С.12-15.

38. Новиков A.A. Хеджирование опционов с заданной вероятностью. // Теория вероятностей и ее применения. 1998. Т.43. №1. С.152-160.

39. Павлов И.В. Контрпример к гипотезе о плотности И'' в пространстве ВМО. // Теория вероятностей и ее применения. 1980. Т.25. №1. С.154-157.

40. Парлов И.В. Системы Хаара и некоторые результаты о базисах в пространстве мартингалов со смешанной нормой. // Теория вероятностей и ее применения.- 1997. Т.42. №3.С.623-626.

41. Первозванский A.A., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. // М.: Инфра-М, 1994.

42. Персон P. Microsoft Excel 97 в подлиннике. Том 1,2. // СПб.: BHV — Санкт-Петербург, 1997.

43. Петраков Н.Я., Ротарь В.И. Фактор неопределенности и управление экономическими системами. //М.".Наука, 1985.

44. Цолак 3., Численные методы оптимизации. // М.:Мир, 1974

45. Рачев С.Т., Рушендорф JI. Модели и расчеты контрактов с опционами. // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т.39. № 1. С.150-190.

46. Реселман Б. Использование Visual Basic 5. // Киев: Вильяме, 1998.

47. Селезнева Т.В., Тутубалин В.Н., Угер Е.Г. Имитация практического применения некоторых мартингальных стратегий хеджирования и спекуляций. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1997. Т.4. №1. С. 103-123.

48. Стохастические аспекты финансовой математики. Тематический выпуск. // Теория вероятностей и ее применение. 1994. Т. 39. №1.

49. Тетеркин Д.Н. О представлении мартингалов в случае ст-алгебр специального вида. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1998. Т5. №2. С. 283284.

50. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. // M.: Business Речь Дело, 1992.

51. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1995. Т.2. №4. С. 527-555.

52. Щиряев А.Н. Вероятность. // М.: Наука, 1980.

53. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики. // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т.39. №1. С.5-22.

54. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т.1,2. //М.: ФАЗИС, 1998.

55. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики. 11 Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1994. Т.1. №5. С. 780-820.

56. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского ти-пов.1. Дискретное время. // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т.39. №1. С.80-129.

57. Bachelier L. Théorie de la spéculation. // Annales de l'Ecole Normale Supérieure. 1900. V. 17. P.21-86.

58. Black F., Sholes M. The pricing of options and corporate liabilities. //Journal of Political Economy. 1973. V. 81. №3. P.637-659.

59. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing : a simplified approacji. // Journal of Financial Economics. 1976. v.7 (September). P.229-263.

60. Dalang R.C., Morton A., Willinger W. Equivalent martingale measures and noarbitrage in stochastic securities market models. // Sto-chastics and Stoch. Reports. 1990. V.29. №2. P. 181-201.

61. Hal R. Varian. Computational economics and finance. // SpringerVerlag. 1996. P.468.

62. Hansen A.T. Complete market pricing i the Wiener filtration without existence of a martingale measure. // Preprint. Aarhus University. Dept. of Operation Research. 1996.

63. Harrison J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets. // Journal Econom. Theor. 1979. V. 20 P.381-408.

64. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrates in the theory of continuous trading. // Stochastic Process. Appl. 1981. V. 11. №3.P.215-260.

65. Kendall M.G. The analysis of economic time-series. Part 1. Prices. /7 Journal of the Royal Statistical Socuety. 1953. V.96. P. 11-25.

66. Lépingle D. Orthogonalité et intégralité uniforme de martingales discrètes. // Sem. De Prob. XXVI. Lecture Notes in Math. №1526.ЛИТЕРАТУРА m1992. P.167-169.

67. Neyeu J. Discrete-Parameter Martingales. // North-Holland Publishing Comp. 1975. P.236.

68. Samuelson P.A. Proof That properly anticipated prices fluctuate randomly. // Industrial Management Revien. 1965. V.6. P. 41-49.

69. Schachermayer W. A Hilbert space proof of the fundamental theorem of asset pricing in finite discrete time. // Insurance: Mathematics & Economics. 1992. V.ll.

70. Schachermayer W. Martingale measure for discrete-time processes with infinite horizon. // Mathematical Finance. 1994. V.4. №1. P.25-55.

71. Stricker C. Arbitrage et lois de martingales. // Ann. Inst. H.Poincaré. 1991. V.26. №2. P.451-460.