автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование моделей финансовых рынков, допускающих арбитраж, с помощью метода хааровских интерполяций

Список обозначений и сокращений Введение

1. Финансовые рынки, полные по отношению к любому моменту времени, кроме одного, и интерполирование (B,S)-рынков до полных

1.1. Критерий глобальной полноты

1.2. Нарушение полноты для единственного момента времени

1.3. Интерполирование финансовых рынков до полных

1.4. Минимизация моментов нарушения полноты при интерполировании

2. Интерполяция арбитражных финансовых рынков до рынков, обладающих различными дополнительными свойствами

2.1. Интерполирование до глобально полных рынков

2.2. Интерполирование до рынков, допускающих субмартингальную меру

2.3. Интерполирование до рынков, допускающих мартингальную меру

3. Моделирование финансовых рынков и хеджирующих портфелей с помощью случайных хааровских интерполяций

3.1.Случайные хааровские интерполяции и моделирование (B,S)-рынков с двумя агрессивными скупщиками акций

3.2. Описание мартингальных мер для четырехпараметрических моделей (B,S)-рынков, удовлетворяющих СУХЕ

3.3. Моделирование и хеджирование безарбитражных рынков при выполнении свойства универсальной хааровской единственности (СУХЕ)

3.4. Моделирование и хеджирование арбитражных рынков при выполнении условий интерполяции до глобально полного рынка

3.5. Трехпараметрическая модель дисконтированного рынка, допускающего интерполируемость до ГПР

3.6. Описание программного комплекса "Совершенный хедж"

Общая характеристика диссертации. Настоящая диссертация посвящена моделированию специальных классов арбитражных и безарбитражных финансовых рынков, исследованию этих рынков с помощью метода хааровских интерполяций, построению на этих рынках хеджирующих портфелей ценных бумаг. Основные теоретические результаты диссертации связаны с классификацией интерполяций арбитражных и безарбитражных финансовых рынков, состоящих из банковского счета и акций одного типа. При этом упор делается именно на интерполяциях арбитражных рынков. Принципиальной задачей является улучшение свойств исходного финансового рынка без потери всех уже имеющихся его «хороших» свойств. Исследование рынков проводится методом интерполяций относительно хааровских фильтраций. Этот метод состоит в следующем. Рассмотрим стохастический базис с конечным вероятностным пространством, на котором задан адаптированный процесс Z, мыслимый как дисконтированная стоимость акции заданного финансового рынка. Интерполяция данного рынка строится следующим образом. Сначала вводится в рассмотрение хааровская фильтрация, интерполирующая исходную фильтрацию стохастического базиса, в которой при переходе от момента времени п к моменту п + 1 ровно один атом дробится на две части, а остальные атомы остаются неизменными. Эта процедура связана с расширением числа времен наблюдения за состоянием рынка. Потом конструируется адаптированный к построенной хааровской фильтрации процесс Y, интерполирующий Z в том смысле, что Y совпадает с Z в исходные моменты времени {0,1,2,.}. Далее производится интерполяция исходного банковского счета согласно естественному принципу, что в дополнительно введенные промежуточные времена банковский счет не эволюционирует. И, наконец, посредством операции, обратной к дисконтированию, получается интерполяция цены акции исходного финансового рынка. Определить процесс У в случае арбитражных рынков с помощью вероятностного решения задачи Дирихле, как это делалось при условии существования мартингальных мер процесса Z (этот случай подробно изучен в работах [5-10]), не представляется возможным, так как если исходный рынок арбитражей, то процесс Z не допускает мартингальных мер. Поэтому для различных классов рынков выработаны свои принципы построения интерполяционных процессов. Полностью исследованы интерполяции финансовых рынков до полных рынков, до глобально полных рынков, до рынков, допускающих субмартингальную вероятностную меру, а также до рынков, допускающих сочетание этих свойств. Для каждого случая получены необходимые и достаточные условия интерполируемости по Хаару и универсальной интерполируемости по Хаару исходного финансового рынка. При этом под универсальной интерполируемостыо понимается возможность интерполяции процесса Z относительно произвольной интерполирующей хааровской фильтрации.

При интерполяции исходного финансового рынка до полного разработана схема построения «наилучшего» интерполирующего рынка в смысле минимизации моментов нарушения полноты. Охарактеризованы финансовые рынки, полные по отношению к любому моменту времени, кроме одного.

В работах И.В. Павлова и М.Н. Богачевой была предложена математическая модель безарбитражного финансового рынка с двумя агрессивными скупщиками акций при условии, что один из скупщиков всегда опережает второго. В диссертации с помощью случайных хааровских интерполяций смоделирован рынок, на котором поведение

Введение скупщиков носит случайный характер. При этом рассмотрены как безарбитражные рынки, так и рынки, допускающие арбитраж. Создан программный комплекс "Совершенное хеджирование" для расчета компонентов хеджирующих портфелей в безарбитражном и арбитражном случаях.

Основные определения и факты

Финансовый рынок. Под финансовым рынком будем понимать совокупность денежных и валютных рынков, рынков ценных металлов и рынков финансовых инструментов, включая рынки ценных бумаг, реализуемых на бирже (акции, облигации и производные (вторичные) ценные бумаги) и внебиржевые рынки финансовых ресурсов (кредиты, банковские услуги и т.д.).

Операциями на рынке ценных бумаг финансово-страховые структуры увеличивают свои фонды для развития, а индивидуумы вкладывают свои средства с целью получения дохода в будущем. Помимо операционной функции рынок ценных бумаг является источником информации, которую используют в разнообразных сферах экономики для оптимального инвестирования.

Принято выделять основные ценные бумаги: банковский счёт, облигации, акции, и производные ценные бумаги: форвардные контракты, опционы, фьючерсные контракты, варранты, свопы, комбинации, спрэды, сочетания.

Дадим краткую характеристику некоторых основных понятий.

Акции - это долевые ценные бумаги, выпускаемые различными корпорациями и фирмами с целью аккумулирования капитала для последующей деятельности. Имеется два основных типа акций: обыкновенные и привилегированные. Владелец обыкновенной акции получает право на участие в работе корпорации и на получение

Введение дивидендов, но в случае разорения корпорации теряет все. Это рисковая форма. Привилегированные акции имеют установленный доход, который начисляется на акционерный сертификат в первую очередь в виде твердого заранее определенного процента. Но владелец такой акции не имеет права голоса на общем собрании акционеров. Привилегированные акции обычно являются выкупаемыми по фиксированной цене по желанию компании. Купля и продажа акций производится через брокерские конторы, которые являются членами биржи по обмену акциями (stock exchange).

Акции также являются предметом игры на бирже. Многих инвесторов покупка акций привлекает не дивидендами, а возможностью зарабатывать деньги на колебаниях цен акций, покупая их по низкой цене перед тем, как остальные начнут это делать, и раньше конкурентов продавая их по высокой цене. Некоторые акционеры приобретают акции с целью увеличения числа голосов на общем собрании акционеров, в том числе при избрании членов правления. В таком случае возникает ситуация называемая целенаправленной скупкой акций. Основная цель такой скупки получить контрольный пакет акций. Контрольный пакет акций — это часть общего количества выпущенных акционерным обществом акций, сосредоточенная в руках одного лица и дающая ему право осуществлять фактический контроль над деятельностью акционерного общества, управлять им. Теоретически контрольный пакет акций составляет не менее половины всех выпускаемых голосующих акций. Практически при широком распространении акций обладание более 20% акций дает их владельцу контрольный пакет, так как не все акционеры могут быть представлены на собрании и не все будут голосовать против предложений такого собственника.

Облигации — это долговые обязательства, выпускаемые государством, банками или финансовыми институтами с целью аккумулирования капитала, реструктурирования своих долгов и т.д. В

Введение каждом контракте указывается сумма займа, дата возмещения займа, норма процента, по которой будет возмещаться заем и даты выплат. Выплаты по облигациям, в сущности, эквивалентны банковской процентной ставке. Большинство облигаций выпускаются на предъявителя и могут передаваться от одного владельца к другому. Именные облигации могут быть переданы только при соответствующем подтверждении и согласии выпустившей облигацию корпорации.

Банковский счет — это ценная бумага, относящаяся к облигациям и означающая, что банк обязуется выплачивать заранее определенный процент от суммы счета.

Фьючерсный контракт — это соглашение о поставке-покупке некоторого товара в определенный момент в будущем по фиксированной цене. Такой контракт заключается на бирже и клиринговая палата осуществляет контроль и перерасчет между договаривающимися сторонами в зависимости от ежедневно пересчитываемой фьючерсной цены. Такой механизм перерасчета делает отказ от исполнения контракта невыгодным для каждой из сторон.

Опционом (option) называется контракт, заключенный между двумя лицами, в соответствии с которым одно лицо предоставляет другому лицу право (которое не является обязанностью) купить (продать) определенный актив по заранее определенной цене в рамках определенного периода времени. Лицо, которое получило опцион и таким образом принимает решение, называется покупателем опциона, который должен платить за это право. Лицо, которое продало опцион, и отвечающее на решение покупателя, называется продавцом опциона.

Опционы, дающие право купить актив называют опционами купли (call options). Если контракт дает право продать, то его называют опционом продажи (put options).

Введение

По времени погашения опционы делятся на два основных типа: Европейские и Американские. Опционы Европейского типа имеют фиксированную дату погашения. Опционы Американского типа могут быть предъявлены к исполнению в любое время до фиксированной даты его исполнения. Помимо основных опционов на рынке встречаются самые разнообразные "экзотические" опционы . Например:

• Азиатский опцион (Asian arithmetical option) - опцион, стоимость которого определяется средней стоимостью активов на период его действия.

• Стандартный опцион с последействием (look back option) -опцион, позволяющий покупателю выбирать любую цену базисного актива, имевшую место в течение всего периода его существования, в качестве цены исполнения. В случае опциона "колл" покупатель выберет минимальную цену, тогда как в случае опциона "пут" покупатель предпочтет максимальную цену. Данный опцион всегда будет выгодным.

В США существуют стандартные контракты и достаточно ликвидный рынок биржевых опционов. Торговля опционами значительно упрощается с помощью Клиринговой корпорации опционов (ОСС). Она представляет собой компанию, которой совместно владеют несколько бирж. Эта компания располагает компьютерной системой, которая отслеживает опционные позиции каждого инвестора. Как только покупатель и продавец решают заключить определенный опционный контракт и покупатель оплачивает согласованную опционную премию, ОСС становится продавцом для покупателя и покупателем для продавца, а все прямые связи между покупателем и продавцом прекращаются. Если покупатель решить исполнить опцион, то ОСС наугад выберет продавца с открытой позицией и направит ему извещение об исполнении. ОСС также гарантирует поставку акций, если продавец не в состоянии этого сделать.

Введение

Когда речь идет о финансовых рынках, то у исследователей имеется больше оснований строить и оценивать модели, опираясь на общепринятые теоретические гипотезы и модели. Так как участникам формирующихся финансовых рынков в большой мере присуща рациональность, их действия диктуются ресурсными ограничениями, необходимостью сопоставления затрат и результатов, оценками рисков и т.д. Но все же финансовые рынки представляют собой пример системы с высокой степенью неопределенности; на такие системы действует множество случайных факторов и для успешной работы на финансовых рынках необходимо эти случайности учитывать. Для того чтобы успешно работать на реальном финансовом рынке необходимо уметь достаточно точно рассчитывать цены активов, с учетом случайностей. Однако делать состоятельные прогнозы и вырабатывать оптимальные стратегии, учитывая все факторы, невозможно. Поэтому делаются некоторые допущения, позволяющие применять для анализа научные теоретические результаты. К этим допущениям относятся:

1. "Скрытые" параметры типа психологических мотивов не учитываются.

2. Предполагается, что дальнейшее развитие рынка пойдёт примерно так же, как это происходило в прошлом (с учётом изменений, происшедших на рынке). Такой способ анализа можно развить далее, допустив, что различные показатели рынка можно моделировать как случайные величины. Это, в свою очередь, открывает путь к использованию теоретико-вероятностных методов.

3. Об анализируемом финансовом инструменте (или о близких ему в некотором смысле) должна быть накоплена определённая информация за предыдущий период.

Перечисленные выше предположения служат основанием для исследования финансовых рынков научными методами

Введение математическими, с использованием компьютерной техники и т.д.).

Исторический обзор. В начале своего становления, в 20-х годах XX века, теория финансов в качестве математического аппарата использовала лишь формулу сложных процентов, а ее основной интерес был связан с вопросами администрирования и увеличения фондов. Последующее развитие теории шло в двух направлениях: в предположении условий полной определенности и условий неопределенности. В первом случае важную роль сыграли работы И. Фишера (1930) и Ф. Модильяни и М. Миллера (1958, 1961, 1963), в которых рассматривался выбор оптимальных решений для индивидуумов и фирм. Исторически первой работой во втором направлении стала диссертация JT. Башелье [86], в которой было предложено рассматривать эволюцию стоимостей акций на парижском рынке как случайный процесс. Систематическому обобщению эта теория впервые подверглась в статье А.Н.Колмогорова. Хотя истоки теории лежали в области экономики, после Л.Башелье очень долгое время большинство ее методов использовалось, в основном, при исследованиях в области теоретической физики, и главным образом, в молекулярной физике и радиофизике. Лишь в начале пятидесятых годов XX века стохастическая математика вновь стала применяться в финансовых вычислениях.

Проблемам инвестиционных решений индивидуумов в условиях неопределенности была посвящена классическая работа Г. Марковитца [102]. Следующим этапом стали работы В.Шарпа [114], Дж.Линтнера [101]и Дж.Моссина, в которых развитие идей и методов Г.Марковица получили свое воплощение в широко известной модели САРМ (Capital Asset Pricing Model), призванной объяснить, как инвесторы должны действовать на рынке, находящемся в равновесном состоянии. В основе теории САРМ лежит гипотеза эффективного рынка, которая была

Введение выдвинута еще в работах М.Кендалла, Г.Робертса, М.Осборна [98]. "Эффективность" здесь означает то, что рынок рационально реагирует на поступающую информацию в том смысле, что на рынке: мгновенно производится коррекция цен, которые устанавливаются так, что оказываются в состоянии "равновесия", не оставляя места арбитражным возможностям, т.е. получению прибыли без риска; участники рынка однородно интерпретируют поступающую информацию, при этом мгновенно корректируют свои решения при обновлении этой информации; участники рынка однородны в своих целевых установках, их действия носят "коллективно-рациональный" характер.

Концепция эффективного рынка продолжает играть доминирующую роль в финансовой теории по сегодняшний день. Основное ее предположение состоит в том, что значение цены "сегодня" установилось так, что оно полностью учло всю доступную информацию, а изменение цены происходит только в результате обновления этой информации.

В 1973 году были опубликованы две работы, совершившие революцию в финансовых расчетах, связанных с опционами. Это статьи Ф. Блэка и М. Шоулса "Расчет цены опционов и обязательства корпораций" [87] и Р. Мертона "Теория расчета рациональной цены опциона" [104]. В них было предложено обоснование справедливой цены опциона, приведена замечательная формула Блэка-Шоулса, развита теория оптимальных биржевых операций (хеджирующие стратегии), которые должен совершать продавец опциона, с тем чтобы оговариваемые условиями контракта возможные платежи, зависящие от случайного состояния цен на рынке, были гарантированным образом выполнены. Предполагая, что цены акций в любой момент времени либо поднимаются вверх, либо опускаются вниз, Д. Кокс, Р. Росс и М.

Введение

Рубинштейн [88] предложили считать эти изменения дискретными и показали, что их модель имеет в пределе геометрическое броуновское движение, а полученная формула справедливой цены сходится к формуле Блэка-Шоулса. Эти классические работы стали основанием для применения и развития методов современного стохастического анализа и теории финансов.

В 1976 году вышла в свет работа С. Росса [110], в которой для описания равновесности состояния рынка использовались идеи арбитража. Соответствующая теория, объясняющая поведение инвесторов, известна как модель АРМ (Arbitrage Pricing Model) и включает САРМ как частный случай. Основная идея этой теории состоит в том, что рынок, находящийся в равновесном состоянии, не должен допускать арбитражных ситуаций, то есть возможности извлечения прибыли без риска.

Изучение данной проблематики в нашей стране было начато в начале 90-х годов на семинаре А.Н. Ширяева в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН. С тех пор российскими математиками были получены фундаментальные результаты в этой области (см. [59, 60, 79,]), в частности, в рамках работы научно-исследовательского актуарно-финансового центра.

В 1987 году в работе М. Такку и В.Виллингера [116] была рассмотрена задача преобразования неполных рынков в полные, где переход от неполных рынков к полным осуществлялся заменой исходной мартингальной меры неэквивалентной ей мартингальной мерой. Другой способ был предложен А.В. Мельниковым и К.М. Феоктистовым в 2001 году в работах [64, 78], где пополнение финансового рынка проводилось посредством добавления к акциям исходного рынка дополнительных рисковых активов, функционально зависимых с изначальными. В работах И.В. Павлова и М.Н. Богачевой (см.[5],[8]), была заложена основа принципиально другого метода

Введение перехода от неполных рынков к полным — метода интерполяции. Суть данного метода состоит в следующем.

Рассмотрим на конечном измеримом пространстве (Q,^) хааровскую фильтрацию Н = (<^/„)^=0 (^/O = {Q,0}, <zHl=<J)-> характеризуемую следующим свойством: при любом п сг-алгебра <Jin порождена разбиением Q ровно на п + \ атом.

Хааровская фильтрация Н называется хааровской интерполирующей фильтрацией (х.и.ф.) фильтрации F, если существует последовательность натуральных чисел 0 = п0 <щ<.<пм :=L, для которой = (0<k<N).

Предположим, что Р — мартингальная мера некоторого адаптированного к F процесса Z = (Zk ?Jk )k=0 и Н — х.и.ф. фильтрации F. Рассмотрим случайную величину Yn=E' [ZN \сНп\ и процесс

Y = (Yn,<Jin)Lns0. Н-адаптированный процесс Y = (Yn,<Jin)Ln=0 называется хааровской интерполяцией процесса Z = (Zk, ^ относительно хааровской фильтрации Н, если Y =Zk Vk (0<к < N). Статьи ([5],[8]) в большой степени посвящены ответу на вопрос, когда вероятностная мера Р является единственной мартингальной мерой процесса Y, что непосредственно связано с безарбитражностью и полнотой интерполирующего финансового рынка. Отметим, что такого же рода вопросы исследовались в работах И.В.Павлова и А.Г.Данекянц в случае счетного Q (см. [30-43]).

Настоящая диссертация является развитием работ И.В Павлова М.Н. Богачевой ([5-10]). Существенным отличием является то, что исследуются произвольные финансовые рынки, в том числе и арбитражные, на которых процесс Z не допускает мартингальных мер. Определить процесс Y в случае арбитражных рынков с помощью решения задачи Дирихле, как это делалось при условии существования мартингальных мер процесса Z, не представляется возможным. Поэтому для различных классов рынков выработаны свои принципы построения интерполяционных процессов.

Понятия арбитража и полноты финансового рынка.

Неопределенность" возникающую на рынке можно описать как "случайность" в рамках некоторого вероятностного пространства (а и, р), где Q — пространство элементарных событий со, понимаемых как различные состояния рынка; ^J — а-алгебра подмножеств Q (совокупность всех событий, наблюдаемых на рынке), Р - вероятностная мера на (Q,^). Вероятностное пространство (Q, , Р) дополняется фильтрацией F = где N — финальный момент времени (горизонт), до которого включительно исследуется модель, (¥кХ= о возрастающая последовательность а-алгебр, причем Jq = {Q, 0}, =<J , а каждая ^ с интерпретируется как информация о событиях, происходящих на рынке на момент времени к. Стохастический базис (Qj^F, Р) является основой вероятностной модели финансового рынка.

Рыночную цену акции будем интерпретировать как последовательность S = {Sk,<Jk)1^ ^-измеримых случайных величин (с.в.) Sk (то есть, адаптированную к ) последовательность), где Sk — цена акции в момент времени к, Sk> О Р-почти наверное \/к = 0,1,.,N. Стоимость единицы банковского счёта будем понимать как детерминированную последовательность В = (Вк)^=0, Вк>0 \fk = 0,l,.,iV, где Вк— цена единицы банковского счета в момент времени к. Отметим, что ^-измеримость Sk означает, что цены акций становятся известными только по получению всей информации в момент времени к в то время, как цены банковского счета известны в

Введение начальный момент времени. Это объясняет почему банковский счет называют "безрисковым" активом, а акции — "рисковыми" активами.

Рынок, определяемый последовательностями Sk и Вк, называется (B,S)-рьтком.

В настоящей работе всегда предполагается, что n <оо и Q -конечное множество, а вероятностная мера Р нагружает все атомы о-алгебры ^J

Обозначим через J3k количество единиц банковского счёта, а через ук — количество акций в момент времени к. Величины Рк и yk могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, что означает взятие в долг с банковского счета и возможность короткой продажи акции ("short selling").

Стохастическая предсказуемая последовательность

71 = {Рк->Ук)1=о (то есть Рк и У к являются -измеримыми

V к = 0,\,.,N, называется инвестиционной стратегией или портфелем ценных бумаг. -измеримость (Зк и ук означает, что состояние портфеля в момент времени к полностью определяется информацией доступной в предыдущий момент времени к-1.

Капиталом портфеля ценных бумаг тс называют последовательность случайных величин (Хк )к=0, задаваемую формулой

Хяк=РкВк+Ук8к.

Оперируя с портфелем ценных бумаг тс, желательно упростить структуру входящих в него ценных бумаг. Один из часто применяемых подходов состоит в том, что от исходного (В,8)-рынка переходят к новому рынку (B,S) такому, что B = l, S = В

В качестве дисконтирующего актива выбирается банковский счет, потому что он является "предсказуемым" активом, и это вносит значительные

Введение упрощения в математический анализ. К тому же банковский счет в экономике играет роль "нулевого отсчета", "среднего значения".

В дальнейшем мы часто будем использовать теорему, составленную из результатов, которые можно найти в [79, с. 493-503]. Теорема 0.1 Рассмотрим самофинансируемый портфель

7t ~ (Д.,укценных бумаг с капиталом Хк = РкВк + ykSk. Тогда следующие условия равносильны: a) Хкх = РкВк, + ykSk{, 0 < к < N (условие самофинансирования); b) Вк\А0к + SkxAyk = 0, 0 <к < N (балансовое соотношение); c) АХк = /ЗкАВк + ykASk, 0 < к < N (формула приращения капитала); d) А Х

Вк J zJL \BkJ 0<k<N (формула приращения дисконтированного капитала);

Условие самофинансирования (а) означает, что перед изменением состава портфеля в промежутке между моментами времени k-1 и к портфель не испытывает ни притока дополнительного капитала, ни оттока капитала. Наглядный смысл балансового соотношения (Ь) заключается в том, что изменение капитала за счет изменения банковского счета может осуществляться лишь за счет изменения в составе пакета акций, и наоборот. Формула (с) показывает, что реальное изменение капитала происходит лишь за счет реальных изменений цен акций и цены банковского счета, а не только за счет изменений в составе портфеля. Соотношение (d) означает, что при переходе от момента времени к-1 к моменту времени к весь прирост дисконтированного капитала определяется лишь приростом дисконтированной стоимости акций.

Отсутствие арбитража" на рынке означает, что он является "честным", "рационально устроенным" в том смысле, что на нем нет

Введение возможности получения прибыли без "риска". Более точно (см. [79, с.528, определение 1], говорят, что самофинансируемый портфель /г реализует арбитражную возможность, если Xq =0,p[x*N >о)=1, р{Хк > о) > 0. (В,8)-рынок, на котором отсутствуют арбитражные возможности, называют безарбитражным.

Перейдем теперь к понятию о хеджировании. Будем полагать, что финансовая активность на рынке ограничена моментами к = 0,1,2,.//. Пусть fN — некоторая неотрицательная ^-измеримая случайная величина, называемая финансовым обязательством.

Самофинансируемый портфель тг = (/^к,ук)к= 0 такой, что в момент времени N его полный капитал XnN мажорирует некоторое платежное обязательство /v (т.е. для которого Xns>fs Р-п.н.), называется хеджирующим портфелем (хеджем) этого платежного обязательства или хеджирующей стратегией. Если при этом XnN = fN Р-п.н, то хедж называется совершенным. Процедура построения хеджирующей стратегии называется хеджированием. (В,8)-рынок называется полным или, точнее, N-полным, если V fN найдется самофинансируемый портфель 7Г = {pk,yk)Nk=Q и начальный капитал х такие, что Х£ =х и n = /n Р-п.н., то есть любое финансовое обязательство fN достижимо (реплицируемо).

Эконометрические понятия безарбитражности и полноты имеют прямую связь с теорией мартингалов. Именно, справедливы две основне теоремы финансовой математики (см. [79, с.529-543, с. 609-627]).

Теорема 0.2 (В£>)-рынок является безарбитражным тогда и только тогда, когда существует мера Р, эквивалентная исходной мере rs

P и такая, что процесс меру Р называют мартингальной). п к,Р является мартингалом (такую k=0

Теорема 0.3 Безарбитражный (B,S)-рынок является полным тогда и только тогда, когда мартингалыюя мера Р единственна.

Обзор главы 1 диссертации. Основными в данной главе являются параграфы 1.3 и 1.4.

Для формулировки результатов параграфа 1.3 введем два термина, не являющихся общепринятыми.

Определение 1.3 Финансовый (В,8)-рынок будем называть регулярным при выполнении следующих условий: если при переходе от момента к (0 < к < N) к моменту к +1 атом Ае!не дробится, то ZL 1 л *

Данное определение фактически означает, что на атомах, не подверженных дроблению, выполняется мартингальное свойство. Таким образом, нарушение регулярности сразу влечет за собой арбитражность рассматриваемого рынка. Обратное неверно: арбитражный рынок может быть регулярным.

Определение 1.1 Финансовый (B,S)-pbiHOK будем называть глобально полным рынком (ГПР), если он полон по отношению ко всем моментам времени п, где п = 1,2,., N.

Известно (см.[79, с.641, теор.З]), что если безарбитражный (B,S)-рынок является N -полным, то он будет ГПР. Для арбитражных рынков это утверждение неверно.

Введение

Приведем известные определения, связанные с понятием хааровской интерполяции. Рассмотрим на {QU) хааровскую фильтрацию Н = ЙХо.

Определение 1.4 Хааровская фильтрация Н называется хааровской интерполирующей фильтрацией (х.и.ф.) фильтрации F, если существует последовательность натуральных чисел

О = щ <пх<. < nN := L, для которой сЯ = <Jk,Vk (О < к < N).

Определение 1.5 Н-адаптированный процесс У = (Уп ,<zH„ будем называть хааровской интерполяцией процесса Z = (Zk, ^ относительно хааровской фильтрации Н, если У = Zk \/к (0 < к < N).

Эти определения были впервые сформулированы в работах И.В.Павлова и М.Н.Богачевой [5-8]. с помощью процесса У определим финансовый рынок (b,s): Д = Д при пк<п<пк+] (О<k<N), 4 = Sn = BnYn при 0<n<L. Очевидно, что при п = пк 23п=!Вк и JSn=J>k, то есть (b,s)-pbinoK интерполирует исходный (b,s)-рынок.

Определение 1.6 Будем говорить, что исходный (b,s)-рынок интерполируем по Хаару до полного (в,8)-рынка, если существуют х.и.ф. Н фильтрации F и хааровская интерполяция У = (Уп,сЯп)^=0 процесса Z = (Zk, ^Jk такие, при которых финансовый рынок (b,s) полон.

Определение 1.7 Будем говорить, что исходный (b,s)-pbiHOK универсально интерполируем по Хаару до полного (в,8)-рынка, если для любой х.и.ф. Н фильтрации F существует хааровская

22 интерполяция Y = (Yn,c=Hn)Ln=Q процесса Z = (ZA,^)^=0 такая, при которых финансовый рынок (b,s) полон.

В формулировках многих теорем мы будем использовать следующее представление: т

A = \jBit 1 < ш < оо, i=1 где А — атом из (0 < к < N), а В{ — атом из . Обозначим а := Z*L5 := •

Следующие теоремы устанавливают критерии интерполируемости и универсальной интерполируемости по Хаару до полных рынков.

Теорема 1.3 Исходный (B,S)-рынок интерполируем по Хаару до полного (B,S)-рынка тогда и только тогда, когда 3 А е min^ cmaxfy. i i

Теорема 1.4 Исходный (B,S)-рынок универсально интерполируем по Хаару до полного (B,S) -рынка тогда и только тогда, когда VAe числа bx, b2,.,bm различны. ш

Заметим, что условия теоремы 1.3 (соотв., теоремы 1.4) значительно слабее условий, гарантирующих существование мартингальных мер, удовлетворяющих свойству хааровской единственности* (СХЕ) (соотв., «

Обозначим через <рр) множество мер Р из 'CP, относительно которых процесс Z является мартингалом. Мера р 6 £/э (z, F) удовлетворяет свойству хааровской единственности

СХЕ), если существует х.и.ф. Н фильтрации F такая, что соответствующий интерполирующий процесс Y допускает единственную мартингальную меру (то есть (у, н)| = 1 и единственной в множестве £Р мартингальной мерой для Y является исходная мера Р).

Введение свойству универсальной хааровской единственности* (СУХЕ)). Соответствующие результаты содержатся в [5,8]. В этой связи представляет интерес следующая

Теорема 1.5 Если существует к (0 < к < N) и существует А е такой, что min bt■ = max btч и известно, что исходный (B,S)-рынок / интерполируем по Хаару до полного (B,S)-рынка, то любая такал хааровская интерполяция до полного рынка нерегулярна. ш

Пусть в условиях теоремы 1.5 исходный (В,8)-рынок безарбитражен. Тогда из равенства minfy = maxfy следует, что любая его i i мартингальная интерполяция неполна. Однако если этот интерполируем по Хаару до полного рынка, то из этого следует не только арбитражность интерполяции, но и ее нерегулярность (более сильное свойство).

Будем говорить, что фильтрация F является локально хааровской в момент времени к (0<k<N), если при переходе от момента к к моменту к +1 ровно один атом из дробится на две части, а все остальные атомы остаются неизменными.

Пусть дисконтированный рынок (l,Z) интерполируем до полного рынка, т.е. условия теоремы 1.3 выполнены. Момент времени к (l < к < N -1) будем называть критическим моментом процесса Z, если выполняется равенство min = max . Число критических i моментов процесса Z обозначим через /л.

С другой стороны, пусть полный рынок (l?Y) — некоторая интерполяция рынка (l,Z). Обозначим через иу число таких моментов Мера Р е £P(Z,F) обладает свойством универсальной хааровской единственности (СУХЕ), если для любой хааровской фильтрации Н, интерполирующей фильтрацию F, соответствующий интерполирующий процесс Y допускает единственную мартингальную меру (совпадающую с исходной мерой Р).

Введение времени п (n = l,.N), относительно которых рынок (l,Y) неполон. Пусть и = min vY, где минимум берется по всем полным интерполяциям (l,Y) рынка (l,Z).

Теорема 1.6 Имеет место неравенство и> /л. Если фильтрация F не является локально хааровской ни в один из моментов времени, то и = JU. я

Можно показать (пример 1.2), что существуют локально хааровские фильтрации F и (B,S)-рынки относительно них, для которых выполняется соотношение u>jli. Заметим, что этот результат явился следствием Теоремы 1.2 из параграфа 1.2.

Теорема 1.2 Пусть при к<п рынок k-полон, а при к=п полнота нарушается.

Для того чтобы при к=п+1 полнота была восстановлена необходимо:

1) чтобы при переходе от п к моменту п+1 хотя бы один атом остался не подробленным;

2) чтобы при переходе от п к моменту п+1 нарушалась регулярность рассматриваемого (B,S) -рынка. ш

В параграфе 1.2 исследуются рынки, для которых нарушено условие полноты в некоторый момент времени, но полнота восстанавливается при переходе к следующему моменту времени. Исследования общего случая (В,8)-рынка с произвольным конечным горизонтом сводится к рассмотрению двухшаговой модели, когда «-полнота пропадает в момент времени п=1 и восстанавливается в момент времени п= 2. По теореме 1.1 (критерий глобальной полноты) получаем, что в момент времени п=1 полнота пропадает, если Q разбилось более чем на два атома, или Q разбилось на два атома Ах, А2 и при этом Sn(A{) = Sn(A2).

Введение

Восстановление полноты в момент п= 2 возможно только в классе арбитражных рынков. Это следует из результата [79, теор. 3,с. 641], согласно которому, если (b,s)-рынок безарбитражен и полон, то он является ГПР. Исследованы всевозможные ситуации, возникающие на рынке. Для каждого из рассмотренных случаев получены необходимые и достаточные условия восстановления полноты.

Параграф 1.1 является вспомогательным. В нем формулируется критерий глобальной полноты (b,s)-рынка*, устанавливается число свободных параметров в совершенном fN-хедже )■ Также вводится понятие канонического хеджа. Если исходный (b,s)-рынок является ГПР, то для любого финансового обязательства fN канонический хедж существует и единственен.

Обзор главы 2 диссертации. Эта глава посвящена классификации интерполяций финансовых рынков, имеющих конечный горизонт. Основная задача, которая решается в этой главе — улучшать посредством интерполяции свойства исходного (b,s)-рынка, сохраняя при этом все уже имеющиеся его «хорошие» свойства.

Обозначим через 91 свойство (в,8)-рынка, которое мы хотели бы иметь. Будем говорить, что исходный (b,s)-рынок интерполируем по Хаару до (в,8)-рынка, удовлетворяющего свойству 9], если существуют х.и.ф. Н фильтрации F и интерполяция Y = процесса Z = {Zk,<Jk)hk=Q такие, при которых финансовый рынок (b,s) удовлетворяет свойству 91. Будем говорить, что исходный (b,s)-рынок универсально интерполируем по Хаару до (b,s)-рынка, удовлетворяющего свойству 91, если для любой х.и.ф. Н фильтрации F По всей видимости, этот результат (теорема 1.1) является хорошо известным, но для полноты изложения мы приводим его доказательство. существует интерполяция Y = процесса Z = такая, при которых финансовый рынок (b,s) удовлетворяет свойству эт.

В том случае, когда исходный (b,s)-рынок безарбитражен, соответствующая теория интерполирования получила развитие в работах М.Н. Богачевой и И.В. Павлова [5,8]. В этих работах основой являются мартингальные вероятностные меры (МВМ) Р е £Р и по отношению к ним введены свойства хааровской единственности и универсальной хааровской единственности. Связь этих понятий с результатами настоящей диссертации выявлена в данной главе диссертации.

Основными в главе 2 являются следующие теоремы об интерполируемости и универсальной интерполируемости по Хаару до ГПР.

Теорема 2.1 (B,S)-рынок интерполируем по Хаару до ГПР (b,s) тогда и только тогда, когда \/к (0 <к < N) 3 A eiЪк: т> 1 и min bi < max bt.

1 <i<m 1 <,i<m

Теорема 2.2 Регулярный (B,s) -рынок интерполируем no Хаару до регулярного ГПР (b,s) тогда и только тогда, когда \/k(0<k<N) V Ае^: min < max bt при m> 1.

1 <i<m \<i<m Л

Теорема 2.3 (B,s) -рынок универсально интерполируем по Хаару до ГПР (b,s) тогда и только тогда, когда У к (0 < к < N) и для любого атома Ае:*2\ числа bl,b2,.,bm различны.

Следствие 2.1 Регулярный (В,8)-рынок универсально интерполируем по Хаару до регулярного ГПР тогда и только тогда,

Введение когда \/k(0<k<N) и для любого атома Ае!2\ числа bl,b2,.-,bm различны.

Перейдем теперь к описанию результатов об интерполируемости финансовых рынков до рынков, допускающих субмартингальную вероятностную меру.

Определение 2.3. Мера PeZP называется субмартингальной вероятностной мерой (СВМ) финансового (B,S)-pbiHKa, если процесс

0— субмартингал.

Предложение 2.3 Если (в,8)-рынок интерполируем по Хаару до (в,8)-рынка, допускающего СВМ, то Vk(0<k<N) и V АеЪк справедливы соотношения:

1) а<Ъх, если т = 1 или т> 1 и bx = Ь2 =. = Ьт;

2) а < max bt, если min bi < max bt. l<i<m \<i<m 1 <i<m

При этом, если исходный (в,8)-рынок регулярен, то и любой соответствующий (в,8)-рынок регулярен.

Предложение 2.4 Если (в,8)-рынок таков, что \/к (0 < к < N) и У А еЪк выполняются условия 1) и 2) предложения 2.3, то этот рынок универсально интерполируем по Хаару до (в,з)-рынка, допускающего СВМ.

Следующая теорема дает критерий интерполируемости до ГПР, который еще к тому же допускает СВМ.

Теорема 2.4 (в,8)-рынок интерполируем по Хаару до ГПР (b,s), допускающего СВМ тогда и только тогда, когда \/к (0 < к < N) и V А е справедливы соотношения:

Введение

1) а <ЪХ при т = 1;

2) а < Ьх при т> 1 и если bl-b2=. = bm;

3) tfCmaxZ?,-, если minbi<maxbt, и этот случай обязательно

1 <i<m 1 <i<m \<i<m реализуется хотя бы на одном атоме А е (\/к, 0 < к < N).

Если же исходный финансовый рынок регулярен, то условия интерполируемости до ГПР, допускающего СВМ, будут иными.

Предложение 2.5 Если регулярный (B,S)-pbiHOK интерполируем по

Хаару до ГПР (в,§), допускающего СВМ, то V& (0 < к < N) и V А еЪк справедливы соотношения:

1) а = ЬХ при т-\\

2) при т > 1 min bj < max bи a < max bt.

1 <i<m \<i<m 1 <i<m

При этом интерполирующий рынок (b,s) всегда регулярен.

Предложение 2.6 Если (B,S)-рынок таков, что Vk (О < к < N) и V А е справедливы соотношения 1) и 2) из предложения 2.5, то этот рынок интерполируем по Хаару до регулярного ГПР (b,s), допускающего СВМ.

В главе 2 доказан также критерий универсальной интерполируемости до ГПР, допускающего СВМ.

Теорема 2.5 (B,S)-рынок универсально интерполируем по Хаару до ГПР (b,s), допускающего СВМ тогда и только тогда, когда \/к (0 < к < N) и V А е справедливы соотношения:

1) а < Ъх при т = 1;

2) при т> 1 числа bvb2,.,bm различны и а<тахЬг i<m U

Введение

Если исходный финансовый рынок обладает свойством регулярности, то условия универсальной интерполируемости по Хаару до ГПР, допускающего СВМ, изменятся.

Предложение 2.7 Если регулярный (в,8)-рынок универсально интерполируем по Хаару до ГПР (b,s), допускающего СВМ, то V& (0 < £ < iV) и V А е П\ справедливы соотношения:

1) а = Ь{ при т = 1;

2) при т> 1 числа bvb2,.,bm различны и а<тахЬг i<m

При этом интерполирующий рынок (b,s) всегда регулярен.

Предложение 2.8 Если (в,8)-рынок таков, что \/к (0<к < N) и \/ А е1.Ък справедливы соотношения 1) и 2) из предложения 2.7, то этот рынок универсально интерполируем по Хаару до регулярного ГПР (b,s), допускающего СВМ.

Наконец, следующие два предложения устанавливают связь развиваемой в диссертации теории с результатами работ [5,8] .

Предложение 2.11 Если (в,8)-рынок универсально интерполируем по Хаару до гпр (b,s), допускающего мвм, то Vk(0<k<N) и V А е !2\ справедливы соотношения:

1) а = Ъх при т = \\

2) при т> 1 числа a,bx,b2,.,b различны и min^ <a<max6 .

1 <i<m 1 </<»;

Предложение 2.12 Если (В,8)-рынок таков, что Vk (0 < к < N) и \/ A eiЪк справедливы соотношения 1) и 2) из предложения 2.11, то этот рынок универсально интерполируем по Хаару до регулярного ГПР (b,s), допускающего мвм.

Обзор главы 3 диссертации. Вся третья глава диссертации посвящена описанию и анализу модели финансового рынка с двумя агрессивными скупщиками акций. В работах [9-10] И.В.Павлова и М.Н.Богачевой уже была предложена модель (В,8)-рынка с действующими на нем двумя агрессивными скупщиками акций. Но в ее модели один из скупщиков всегда опережает второго. В модели, построенной в данной главе, мы избавляемся от предположения, связанного с опережением, и с помощью случайных хааровских интерполяций строим интерполирующий (В,8)-рынок, на котором поведение скупщиков носит случайный характер. При этом, в отличие от предложенных ранее моделей, мы допускаем арбитражность исходного (B,S)-pbiHKa.

Рассмотрим стохастический базис Пусть *\Jk порождена разбиением Q на атомы At,A2,.,A2k,B2k q, гд& событие А2кх означает, что акция скуплена первым скупщиком, А2к - что акция скуплена вторым скупщиком, а событие В2к 0 заключается в том, что акция оказалась не скупленной. При переходе от момента к к моменту к +1 атом В2к0 дробится на три атома: А2к+Х, А2к+2,В2к+20 (поэтому рассматриваемый в рамках этой модели (В,8)-рынок неполон).

Пусть W:={w = (S0,Sl,S2,S3,S4,Ss,.,S2N],S2N)}, где Ъ2к = 0,\/к = 0,1,2,.TV, а 62А+) (к = 0,1,.,iV -1) принимает значения либо 0, либо 1. Значение 0 соответствует случаю, когда первый скупщик опережает второго в момент времени к, а значение 1 - когда второй скупщик опережает первого. Рассмотрим случайную хааровскую фильтрацию (Лп5" Y=q , где = % > А°к+i = > > в2к+,,0},

2к+\ =°{<Зк,А2к+2>В2к+и\}- ПУСТЬ z = (zk>¥k)k=0 — Дисконтированная

Введение стоимость акции, подверженной скупке. Тогда произвольный интерполирующий Z процесс )„=0 можно записать в виде: у -Yv^-i)/ + v . / i-1

Таким образом, мы получили семейство моделей скупки акций, запараметризованных множеством W. Пусть Q — некоторая вероятностная мера на W. Модель из работ [9-10] получаем, если есть мера Дирака в точке (0,0,0,0,0,.) е W.

Параграф 3.2 носит чисто технический характер. Его результаты применяются при построении алгоритма программы.

Параграф 3.3 посвящен моделированию и хеджированию финансовых рынков в случае, когда существует мартингальная мера процесса Z, удовлетворяющая свойству универсальной хааровской единственности. Этой мере соответствует интерполирующий процесс Y, для которого она является единственной.

Продавец (хеджер), руководствуясь формулами (3.8), находит мартингальную меру Р. Эту меру он предлагает покупателю как основу вычисления стоимости контракта, аргументируя должным образом свое предложение и, тем самым, доказывая справедливость такой цены контракта. Если данное предложение принимается, то продавец, используя атрибуты интерполирующего рынка, по известным формулам строит совершенный хедж.

При рассмотрении произвольных финансовых рынков мы зачастую сталкиваемся с тем, что не существует мартингальных мер вообще (арбитражный случай). Однако, если рассматриваемый рынок универсально интерполируем до ГПР, то строить совершенные хеджи можно. Компоненты соответствующего портфеля находятся по формулам (3.22), (3.26), выведенным в параграфе 3.4.

Введение

В пятом параграфе вводится в рассмотрение трехпараметрическая модель дисконтированного финансового рынка, описывается процесс интерполяции и строится совершенный хедж.

Шестой параграф содержит описание программного комплекса «Совершенный хедж», созданного средствами Visual Fox Pro 6.0.

При этом:

• учитывается возможность работы в условиях арбитражных рынков;

• поведение скупщиков на рынке носит случайный характер, что задается соответствующими вероятностями и реализовано с помощью генератора случайных чисел;

• Рассматривается широкий набор возможных финансовых обязательств, как классических (европейский, американский опционы), так и «экзотических» (Бостонский, коллар), а также опционов с последействием (стандартный, Азиатский).

Минимальные системные требования к программному комплексу: ОС Win98SE, Microsoft Excel 97, 10Mb свободного дискового пространства, 16Mb оперативной памяти.

В заключении приводятся и комментируются основные результаты работы, выносимые на защиту, которые приведены в начале автореферата.

В приложении представлен код программного комплекса «Совершенный хедж» в среде Visual Fox Pro 6.0, дано описание программного комплекса.

Апробация диссертационной работы. Основные результаты диссертации содержатся в 14 публикациях: [15 - 27], [85]. Результаты работы в разное время докладывались автором на следующих конференциях и семинарах:

Введение

1) на Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам и Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (г. Сочи, 2003, 2004 гг.; г. Кисловодск, 2004 г.);

2) на четвертых и пятых межвузовских научных чтениях при РГЭУ (РИНХ) (г. Ростов-на-Дону, 2003, 2004 гг.);

3) на Международных научно-практических конференциях «Строительство» при РГСУ (г. Ростов-на-Дону, 2003, 2004 гг.);

4) на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004 г.);

5) на XIII Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (Дюрсо, июнь, 2005 г.);

6) на XI Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Дюрсо, сентябрь, 2005 г.);

7) на кафедральных семинарах по стохастической финансовой математике кафедры высшей математики РГСУ (рук. — проф. И.В. Павлов);

8) на семинаре по вероятностным методам геометрии и анализа при РГУ (рук. — проф. С.Б. Климентов).

Автор диссертации выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Павлову И.В. за оказанную помощь и ценные советы.

Заключение

В заключении приведем список основных результатов, выносимых на защиту.

В соответствии с поставленной перед нами задачей и в результате анализа возникших теоретических проблем нам удалось получить результаты, которые сводятся к следующему:

1. Построены и исследованы две модели (Д5)-рынков с действующими на нем двумя агрессивными скупщиками, поведение которых носит случайный характер: a) модель безарбитражных рынков, для которых выполняется свойство универсальной хааровской единственности; b) модель арбитражных рынков, для которых выполняется условие интерполяции до глобально полного рынка (ГПР);

2. Построена теория хааровских интерполяций финансовых рынков, допускающих арбитраж. Получены теоретические результаты, обосновывающие метод хааровской интерполяции: a) необходимые условия восстановления полноты (теорема 1.2); b) критерии интерполируемое™ и универсальной интерполируемости по Хаару до полного рынка (теоремы 1.3,1.4); c) теорема о минимальном числе моментов нарушения полноты рынка (теоремы 1.6); d) критерии интерполируемости и универсальной интерполируемости по Хаару до глобально полного рынка и до регулярного глобально полного рынка (теоремы 2.1, 2.3, 2.2); e) критерии интерполируемости и универсальной интерполируемости по Хаару до глобально полного рынка, допускающего субмартингальную вероятностную меру (теоремы 2.4, 2.5).

3. Разработана методика построения «наилучшего» интерполирующего рынка в смысле минимизации моментов нарушения полноты.

4. Получены алгоритмы расчетов совершенных хеджей, основанные на методе интерполяций относительно хааровских фильтраций. Соответствующие вычислительные процедуры разработаны и реализованы в виде программного комплекса «Совершенный хедж».

Таким образом, наше исследование позволяет преобразовывать арбитражные рынки в новые финансовые рынки, обладающие рядом дополнительных свойств, полезных при хеджировании.

1. Белявский Г.И., Богачева М.Н. Об одной модели расчета оптимального хеджа для динамического платежного обязательства. // Изв. Вузов Северо-кавказский регион, Естеств. Науки, 2002, №2.

2. Белявский Г.И., Мисюра В.В. Некоторые специальные случаи модели эволюции стоимости акций. // Изв. РГСУ, 1998, №4, с.177-183.

3. Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Ранговый критерий полноты одного финансового рынка при допущении арбитража. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.:, ТВП, 1999, Т.6, №1, с.121-122.

4. Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Исследование модели (В,8)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1998, с.179-181.

5. Богачева М.Н., Павлов И.В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных // УМН, 2002, т. 57, вып. 3, с. 143-144.

6. Богачева М.Н., Павлов И.В. Критерий существования мартингальной меры, удовлетворяющей свойству хааровской единственности. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.:, ТВП, 2001, Т.8, вып.2, с.743-745.

7. Богачева М.Н., Павлов И.В. Полное описание мартингальных мер, удовлетворяющих свойству хааровской единственности, для одного финансового рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.:, ТВП, 2001, Т.8, вып.2, с.745-747.

8. Богачева М.Н., Павлов И.В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки, 2002, №3} с. 16-24.

9. Богачева М.Н., Павлов И.В. Принципы построения совершенных хеджей с использованием хааровских интерполяций финансовых рынков. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Ростов-на-Дону, 2004, с. 249-250.

10. Боди 3., Мертон Р.К. Финансы. // М.: Вильяме, 2003.

11. Бурении А.Н. Рынки производных финансовых документов. // М.: Инфра-М, 1996.

12. Бурении А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. // М.: Тривола, 1995.

13. Волков С.Н., Крамков ДО. О методологии хеджирования опционов. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.:, ТВП, 1997, Т.4, №1, с.18-65.

14. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Моделирование финансовых рынков с использованием субмартингальных вероятностных мер. // Строительство-2003. Материалы международной научно-практической конференции. Ростов-на-Дону, РГСУ, 2003, с. 120.

15. Волосатова Т.А. О локальных по времени нарушениях полноты финансовых рынков при допущении арбитража. // Материалы межвузовских научных чтений, Ростов-на-Дону, 2003, РГЭУ, ч. 1, с. 69-73.

16. Волосатова Т.А., Красий Н.П., Павлов И.В., Преобразования неполных финансовых рынков в полные при допущении арбитража. // Материалы межвузовских научных чтений, Ростов-на-Дону 2003, РГЭУ, ч. 1, с. 73-75.

17. Волосатова Т.А., Павлов И.В. О финансовых рынках, полных по отношению к любому моменту времени, кроме одного. // Известия РГСУ, №8, 2004, с. 188-202.

18. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Совершенные хеджи в полных финансовых рынках, имитирующих скупку акций и допускающих арбитраж. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.:, ТВП, 2003, т. 10, выпуск. 2, с 341-342.

19. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Классификация интерполяций финансовых рынков в случае бесконечного горизонта. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов, Ростов-на-Дону, 2004, с 251253.

20. Волосатова Т.А. Условия существования субмартингальной меры в случае восстановления полноты (B,S) рынка. //

21. Обозрение прикладной и промышленной математики, М.:, ТВП, 2004, т. 11, выпуск. 1, с 107-108.

22. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Об интерполяции финансовых рынков, включая арбитражные. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.:, ТВП, 2004, т. 11. вып. 3, с.458-467.

23. Волосатова Т.А., Горгорова В.В. О хааровских интерполяции финансовых рынков, приводящих к полным рынкам. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.:, ТВП,2004, т. 11, вып.З, с.505-506.

24. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Интерполирование финансовых рынков до полных рынков и минимизация моментов нарушения полноты. // Известия высших учебных завндений, СевероКавказский регион, естественные науки, приложение, 2005, № 1, с. 9-16.

25. Волосатова Т.А. Применение случайных хааровских интерполяций к совершенному хеджированию на одном специальном (В,8)-рынке // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.:, ТВП, 2005, т. 12, вып.З, с.713-714.

26. Гихман И.И., Скороходов А.В. Введение в теорию случайных процессов. //М.: наука, 1977.

27. Горгорова В.В., Павлов И.В. О свойстве универсальной хааровской единственности для векторозначного мартингала с независимыми компонентами. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.:, ТВП, 2004, т. 11, вып.2, с.319-320.

28. Дапекянц А.Г. Haar uniqueness properties of interpolations of martingales. // Тезисы докладов международной конференции «Колмогоров и современная математика», М.:МГУ, 2003, с. 553.

29. Дапекянц А.Г., Павлов И.В. Техника интерполяции финансовых рынков, реализованных на счетном вероятностном пространстве. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.:ТВП, 2003,т. 10, вып. 2, с. 345-346.

30. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Интерполяция мартингалов относительно хааровских фильтраций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2004, т.11, вып.1, с. 7382.

31. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Свойства хааровских интерполяций мартингалов в случае потока атомарных ст-алгебр и бесконечного горизонта. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2004, т. 11, вып.1, с. 112113.

32. Данекянц А.Г., Павлов И.В, Об ослабленном свойстве универсальной хааровской единственности. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2004, т.11, вып.З, с. 506-508.

33. Дапекянц А.Г. О специальных хааровских интерполяциях мартингалов. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, приложение, 2005, №3, с. 3-20.

34. Дапекянц А.Г., Павлов И.В. Модель (В,8)-рынка с бесконечным числом скупщиков акций и совершенное хеджирование методом хааровских интерполяций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2005, т.12, вып.1, с. 143144.

35. Дапекянц А.Г. Моделирование безарбитражных финансовых рынков с помощью хааровских интерполяций на счетном вероятностном пространстве. // Строительство-2005, материалы международной научно-практической конференции, Ростов-на-Дону, РГСУ, 2005, с. 31-34.

36. Кабанов Ю.М., Крамков Д.О. Отсутствие арбитража и эквивалентные мартингальные меры: новое доказательство теоремы Харрисона-Плиски. // ТВП, 1994, Т.39, №3, с. 523-527.

37. Капитоиенко В.В. Финансовая иатематика и ее приложения. // М.: Приор, 1998.

38. Красий Н.П. Об одной модели (В,8)-рынка. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов, Ростов-на-Дону, 1998, с. 197.

39. Красий Н.П. Критерий существования мартингальной меры в случае потока атомических ст-алгебр. // Строительство-2000. Материалы международной научно-практической конференции. Ростов-на-Дону, РГСУ, 2000, с. 115-116.

40. Красий Н.П., Павлов И.В. Уточненная модель эволюции цен акций в случае их скупки. // Сборник научных трудов III Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии", Т.6, Кисловодск, 1999, с.71-74.

41. Красий Н.П., Павлов И.В. О безарбитражности и полноте обобщенной модели финансового рынка в случае скупки акций. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 1999, Т.6, №1, с.162-163.

42. Красий Н.П., Павлов И.В. О расширении финансового рынка до полного и безарбитражного в случае скупки акций. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов, Ростов-на-Дону, 2000, с. 235236.

43. Красий Н.П., Павлов И.В. Построение хеджирующих стратегий для одной модели (В,8)-рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 2000, Т.7, №2, с.501-503.

44. Красий Н.П., Павлов И.В. Обобщенная модель эволюции цен акций в случае их скупки. // Известия РГСУ, 2000, №5, с

45. Красий ПЛ., Павлов И.В. Модели (В,8)-рынков типа Кокса-Росса-Рубинштейна в случае скупки акций. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. Науки, 2001, №1, с.

46. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. // М.: Дело, 1998.

47. Лебедев А.Н. Моделирование в научно-технических исследованиях. //М.: Радио и связь, 1989.

48. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. // М.: Наука, 1986.

49. МалыхипВ.И. Финансовая математика.//М.: ЮНИТИ, 1999.

50. Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. // М.:, ТВП, 1997.

51. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. // М.: ГУ ВШЭ, 2001.

52. Мельников А.В. О стохастическом анализе в современной математике финансов и страхования. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 1995, Т.2, №4, с.514-526.

53. Мельников А.В., Нечаев M.JI. К вопросу о хеджировании платежных обязательств в среднеквадратичном. // М.: Теория вероятностей и ее применения, 1998, Т.43, №1, с.672-691.

54. Мельников А.В., Нечаев М.Л., Степанов В.М. О дискретной модели финансового рынка и методах расчетов с ценными бумагами. // Препринт, М.: Научно-иссл. Актуарно-финансовый центр, 1996, №3, с.13.

55. Мельников А.В., Феоктистов К.М. Вопросы безарбитражности и полноты дискретных рынков и расчеты платежных обязательств. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 2001, Т.8, вып.1, с.28-40.

56. Мисюра В.В., Павлов И.В. Критерий существования мартингалыюй меры и расчет опциона в случае специальной хааровской фильтрации. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. Науки, 1998, №4, с.24-30.

57. Мисюра В.В., Павлов И.В. Критерий полноты (В,8)-рынка в случае специальной хааровской фильтрации. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1998. Т5. №2. с.262-263.

58. Мисюра В.В., Павлов И.В. Уточнение двух теорем финансовой математики для (В,8)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. Науки, 1999, №2, с.12-15.

59. Новиков А.А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью. // Теория вероятностей и ее применения, 1998, Т.43, №1, с. 152160.

60. Павлов И.В. Об одной модели (В,8)-рынка, связанной с простейшей фильтрацией Хаара. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1997. Т4. №3. с.389-390.

61. Педдок Р., Петерсон Д., Телмейдэю P. Visual FoxPro 6. Разработка корпоративных приложений. // М.: ДМК, 1999.

62. Первозванский АА., Первозванская Т.И. Финансовый рынок: расчет и риск. // М.: Инфра-М, 1994.

63. Петраков НЯ., Ротарь В.И. Фактор неопределенности и управление экономическими системами. // М.: Наука, 1985.

64. Рачев С.Т., Рушендорф JI. Модели и расчеты контрактов с опционами. // Теория вероятностей и ее применения, 1994, Т.39, №1, с.150-190.

65. Селезнева Т.В., Тутубалгш В.Н., Угер Е.Г. Имитация практического применения некоторых мартингальных стратегий хеджирования и спекуляций. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1997. Т4. №1. с.103-123.

66. Скороход А.В. Случайные процессы с независимыми приращениями. //М.: Наука 1986.

67. Стохастические аспекты финансовай математики. Тематический выпуск. // Теория вероятностей и ее применения, 1994, Т.39, №1.

68. Тетеркин Д.Н. О представлении мартингалов в случае сг-алгебр специального вида. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1998. Т5. №2. с.283-284.

69. Феоктистов КМ. Расчет верхних и нижних цен платежных обязательств посредством пополнения рынка. // Успехи матем. Наук, 1998, Т.53, вып.6, с.165-166.

70. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1,2. // 2 изд. М.: ФАЗИС, 2004.

71. Ширяев А.Н. Вероятность. //М.: Наука, 1980.

72. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики. // Теория вероятностей и ее применения. 1994, Т.39, №1, с.5-22.

73. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 1994, Т.1, №5, с.780-820.

74. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время. // Теория вероятностей и ее применения. 1994, Т.39, №1, с.80-129.

75. Ширяев А.Н., Черный А.С. Векторный стохастический интеграл и фундаментальные теоремы теории арбитража. // Труды МИАН, 2002, Т.237, с.12-56.

76. I. V. Pavlov, Т.А. Volosatova, Finance Markets Simulation with the Use of Submartingale Probability Measures. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва 2003, т. 10, с. 254-255.

77. Bachelier L. Theorie de la speculation. // Annales de l'Ecole Normale Superieure. 1900. V.17. p. 21-86.

78. Black G.F., Sholes M. The pricing of option and corporate liabilities. // Journal of Political Economy. 1973. V.81. №3. p. 637-659.

79. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing a simplified approach. // Journal of Financial Economics. 1976. V.7 (September), p. 229-263.

80. Cherny AS. General arbitrage pricing model: probability and possibility approaches. Manuscript, 2004, http: // mech.math.msu.su/ cherny.

81. Dalang R.C., Morton A., Willinger W. Equivalents martingales measures and noarbitrage in stochastic securities market models. // Stochastics and Stochastic Reports. 1990. V.29. №2. p. 185-201.

82. Duffie D. Dynamic asset pricing treory 3d ed. Princeton: Princeton University Press, 2003.

83. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionensysteme. — Math. Annalen, 1910, Bd. 69, p. 331-371.

84. Hal R. Varian. Computational economics and finance. // Springer-Verlag. 1996. p. 468.

85. Hansen A.T. Complete market pricing in the Wiener filtration without existence of a martingale measure. // Preprint. Aarbus University. Dept. of Operation Research. 1996.

86. Harrison J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in miltiperiod securities markets. // Journal Econom. Theor. 1979. V.20. p. 381408.

87. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading. // Stochastic Process. Appl. 1981. V.l 1. №3. p. 215-260.

88. Hull J.C. Options, Futures, and Other Derivative Securities. // 2nd ed., Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1993.

89. Kendall M.G. The analysis of economic time-series. Part 1. Prices. // Journal of the Royal Statistical Society. 1953. V.96. p. 11-25.

90. Kreps D.M. Arbitrage and equilibrium in economies with infinitely many commodities. // Journal of Mathematical Economics №8,1981, p. 15-35.

91. Marcowitz H. Portfolio selection. // Journal of Mathematical Economics, №7, 1952, p. 77-91.

92. Merton R. C. Theory of rational option pricing. // Bell Journal of Economics and Management Sciense, №4,1973, p. 141-183.

93. MillerM., Modigliani F. The cost of capital, corporation finance, and the theory of investment. // American Economic Review, V. 48, 1958, p. 261-297.106 .Neveu J. Discrete-Parameter Martingales. // North-Holland Publishing Сотр. 1975. p. 236.

94. Parthasarathy K.R. Probability measures on metric spaces. Academic Press, 1967, p. 276.

95. Pavlov I. K, Krasij N.P. Construction of the hedging strategies for one model of (B,S)-market. // Probabilistic Methods in Discrete Math., Utrecht, the Netherlands, 2002, p. 311-316.

96. Roll R., Ross S.A. An empirical investigation of the arbitrage pricing theory. // Journal of Finance, №35,1980,1073-1103.110./?ora S.A The arbitrage theory of capital asset pricing. // Journal of Economic Theory, №13,1976, p. 341-360.

97. X.Samuelson P.A. Proof that properly anticipated prices fluctuates randomly. // Industrial Management Review, 1965, V.6, p. 41-49.

98. Strieker С. Arbitrage et lois de martingales. // Ann. Inst. H.Poincare. 1991. V.26.№2.p. 451-460.

99. Taqqu M.S., Willnger W. The analysis of finite security markets // Adv. Appl. Prorab., 1987, 9. p. 1-25.