автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели деформаций на фильтрованных пространствах: теория, алгоритмы, программный комплекс, применения

На правах рукописи

Назарько Ольга Валерьевна

МОДЕЛИ ДЕФОРМАЦИЙ НА ФИЛЬТРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ: ТЕОРИЯ, АЛГОРИТМЫ, ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС, ПРИМЕНЕНИЯ

Специальность: 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степ кандидата физико-математических наук

4840884

Ростов-на-Дону 2011

1 7 У АР ¿и и

4840884

Работа выполнена на кафедре высшей математики в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Ростовский государственный строительный университет"(РГСУ)

Научный руководитель

доктор технических наук, доцент Чернов Андрей Владимирович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Угольницкий Г.А., доктор физико-математических наук, профессор Шатских С.Я. Уфимский государственный авиационный технический университет

Ведущая организация

Защита состоится 31 марта 2011 г. в 14-20 на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу: 347928, г. Таганрог, ГСП-17А, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344049, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан февраля 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.208.22,

доктор технических наук, профессор

Целых А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Настоящая диссертация посвящена моделированию деформаций, их теоретическому описанию, построению алгоритмов различного рода приближенных вычислений, связанных с деформациями. Упомянутые алгоритмы легли в основу созданного нового программного комплекса "Моделирование деформированных дискретных процессов". Программный комплекс имеет исследовательский характер. В частности, в него можно внедрять различные новые математические модели, получать и обрабатывать результаты.

Под деформацией нами понимается последовательность вероятностных мер каждая из которых задана на ст-алгебре событий Тп информационного потока (или, что то же самое, фильтрации) (Г2, При определенных условиях связи между <2'п' и <3(п+1) такая деформация порождается некоторым неотрицательным адаптированным процессом. Этот процесс называется процессом плотностей. Тема диссертации связана с моделированием процессов плотностей на дискретной фильтрации (то есть в случае, когда каждая сг-алгебра Тп порождена разбиением пространства исходов Г2 на не более чем счетное число атомов), а также с расчетами (при хеджировании финансовых обязательств, в области управления передачей данных по виртуальным каналам связи) в рамках информационных потоков с построенными таким образом деформациями. Отметим, что если информационный поток снабжен одной вероятностной мерой, то это соответствует случаю, когда процесс плотностей тождественно равен единице. Именно при таких предположениях в последние десятилетия происходило развитие стохастического анализа с дискретным и непрерывным временем (в России — А.Н. Ширяев и его многочисленные ученики, за рубежом — П.-А. Мейер и его семинар в Страсбурге, Х.Фельмер и его группа в Гумбольтовском университете, В. Шахермайер, Ф. Делбаен и многие другие), а также его применение в различных областях.

Актуальность темы настоящей диссертации определяется следующим обстоятельством. Часто в устойчивую работу финансовой, информационной или какой-либо другой системы вмешивается некоторый плохо предсказуемый фактор (экономический кризис, перегрузка сети в информационной системе и т.д.). В этот период прогнозы (основанные, как правило, на расчетах, связанных с одной вероятностной мерой) перестают быть состоятельными. Для новых расчетов нужен более тонкий анализ. В настоящей диссертации предлагается моделировать процессы функционирования системы в указанный период при условии, что на каждом участке времени действует своя вероятность возникновения различных событий. Введенные в диссертации вероятностные меры (<2'"')£10 математически реализуют данную идеологию.

Все вышесказанное свидетельствует о том, что направление исследований, которым посвящена диссертационная работа, является актуальным.

Объектами исследования настоящей диссертации являются общие математические модели систем (финансовых, информационных и т.д.) в периоды их неустойчивой работы (кризисные явления, перегрузка сети).

Целью диссертационной работы является построение моделей деформаций, заданных на информационном потоке; всестороннее теоретическое их изучение (включая развитие теории деформированных мартингалов); разработка алгоритмов вычисления процессов плотностей, порождающих деформации; выполнение расчетов для различных случайных процессов, развивающихся в рамках указанных математических моделей, с помощью построенного программного комплекса; применение созданного аппарата, а также известной техники хааровских интерполяций к проблематике моделирования финансовых рынков и процесса передачи данных по виртуальным каналам связи.

Для реализации этой цели потребовалось решить следующие задачи:

1) создать и всесторонне исследовать общую модель стохастического базиса, снабженную деформацией 1-го или 2-го рода; изучить аналог классического условного математического ожидания по одной мере, а именно, суперпозицию условных математических ожиданий по разным вероятностным мерам;

2) развить теорию деформированных мартингалов — процессов, ведущих себя как обычные риск-нейтральные процессы на каждом единичном временном промежутке;

3) исследовать общую дискретную модель деформированного стохастического базиса; получить необходимые и достаточные, а также конструктивные достаточные условия того, что заданный процесс является процессом плотностей некоторой деформации 1-го рода;

4) сконструировать процессы плотностей для слабых деформаций на стохастическом базисе, снабженном специальной хааровской фильтрацией, получить соответствующие рекуррентные формулы и реализовать их в виде вычислительных алгоритмов;

5) построить и исследовать слабые деформации на бинарном стохастическом базисе, разработать алгоритмы их вычислений; применить данные результаты к исправлению ситуации, когда система удовлетворяет условию тривиализации (дает сбой);

6) создать программный комплекс "Моделирование деформированных дискретных процессов", позволяющий производить вычисление (при наличии деформаций) различных характеристик процесса, определяющего поведение исследуемой модели;

7) внедрить в программный комплекс ранее разработанные другими авторами интерполяционные процедуры и с помощью полученного инструментария реализовать алгоритмы вычисления хеджирующих портфелей различных платежных обязательств и минимальных стратегий управления передачей данных.

Методика исследований. При решении перечисленных задач применялись методы и результаты теории функций и теории вероятностей, стохастиче-

ского анализа и теории мартингалов, методы решения оптимизационных задач, теория алгоритмов и структур данных, имитационное моделирование.

Научная новизна. Впервые введено определение деформаций 1-го и 2-го рода и их процессов плотностей {кп, Тп)^^ и соответственно; изу-

чены важные свойства этих деформаций (в частности, доказана теорема о представлении суперпозиции условных математических ожиданий, имеющей смысл наилучшего прогноза, как условного математического ожидания по специально подобранной вероятностной мере). Впервые введено понятие деформированных мартингалов; на них обобщены классические теоремы теории мартингалов (разложение Дуба и Криксбсрга, теорема Дуба о преобразовании свободного выбора). Для модели с дискретным стохастическим базисом получены необходимые и достаточные условия, а также конструктивные достаточные условия того, что процесс (Ьп, Угп)^=0 является процессом плотностей деформации 1-го рода. Эти результаты конкретизированы для случая специальной хааровской фильтрации и фильтрации, порожденной бинарным деревом. Построены алгоритмы, реализующие полученные вычислительные схемы. Создан новый исследовательский программный комплекс, позволяющий как строить процессы плотностей, так и производить вычисления различных характеристик процессов, определяющих поведение рассматриваемых математических моделей. В программном комплексе соединены воедино разработанные методы деформированных стохастических базисов и интерполяционные методы. На этой основе разработаны новые идеи в области моделирования финансовых рынков и управления передачей данных по виртуальным каналам связи.

Выносимые на защиту результаты.

1. Общая динамическая модель деформации, заданной на потоке событий, связанных с эволюцией процесса, выражающего собой состояние технической или информационной системы.

2. Свойства деформаций, теорема о представлении суперпозиции условных математических ожиданий (имеющей смысл наилучшего прогноза) как условного математического ожидания по специально подобранной вероятностной мерс.

3. Теоремы о деформированных мартингалах (разложение Дуба и Крикеберга, теорема Дуба о преобразовании свободного выбора).

4. Дискретная модель деформированного стохастического базиса; условия того, что априорно заданный процесс является процессом плотностей деформации 1-го рода; критерий мартингалыюсти построенной деформации.

5. Численные методы вычисления деформаций по процессам плотностей в рамках модели относительно специальной хааровской фильтрации; рекуррентные формулы и алгоритмы вычисления деформаций.

6. Модели деформаций относительно бинарной фильтрации, деформации на модели Кокса-Росса-Рубинштейиа, алгоритмы вычисления плотностей, случаи тривилизации (сбоев) процесса, выражающего состояние финан-

совой или информационной системы.

7. Программный комплекс "Моделирование деформированных дискретных процессов", позволяющий строить процессы плотностей и производить вычисления различных характеристик процессов с использованием новых численных методов.

8. Новые модели финансовых рынков и информационно-вычислительных систем, позволяющие рассчитывать хеджирующие портфели финансовых обязательств и минимальные стратегии управления при передаче данных.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть применены специалистами (финансовых учреждений; информационно-вычислительных центров), исследующими и моделирующими конкретные экономические и информационные системы, описываемые различными случайными процессами. Полученные в диссертации теоретические результаты, связанные с развитием теории деформированных стохастических базисов и деформированных мартингалов, значимы как вклад в прикладной стохастический анализ.

Достоверность результатов работы подтверждается

1) математическими доказательствами, результатами моделирования и обработки данных;

2) апробацией этих результатов на всероссийских и международных конференциях и научных семинарах;

3) актами внедрения диссертационных разработок.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных, всероссийских и региональных научных конференциях и семинарах:

1) Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (пос. Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2006г.);

2) VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и на 13-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Йошкар-Ола, 16 -22 декабря 2006г.);

3) региональных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава при РГЭУ (РИНХ) (г. Ростов-на-Дону, 2006-2009 гг.);

4) IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, весенняя сессия (г. Кисловодск, 1-8 мая 2008г.);

5) Международном симпозиуме по финансовой математике (г. Гданьск, Польша, 15-19 сентября 2008 г.);

6) IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и на 15-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам, осенняя сессия (г. Волжский, 5 -11 октября 2008г.);

7) X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) и на 16-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохасти-

ческим методам (г. Санкт-Петербург, 19-24 мая 2009г.);

8) X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, осенняя сессия (г. Дагомыс, 1-8 октября 2009г.);

9) XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и на 17-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Кисловодск, 1-8 мая 2010г.) ;

10) научных семинарах по финансовой математике и стохастическому моделированию кафедры высшей математики РГСУ;

11) научном семинаре кафедры высшей математики и исследования операций Южного федерального университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, в том числе 12 без соавторов. Из них 10 публикаций в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (103 наименований), приложения. Главы разбиты на параграфы. Нумерация параграфов двойная: первая цифра указывает номер главы, в которой расположен параграф, а вторая цифра-номер самого параграфа. Аналогична нумерация определений, теорем и т.п. Нумерация формул, рисунков и таблиц сплошная. Работа проиллюстрирована 56 рисунками, снабжена 10 таблицами и изложена на 154 страницах (не включая приложений).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Моделирование случайных процессов (особенно дискретных) часто начинают с моделирования фильтрованного пространства (17, Г), где П — пространство элементарных событий, а Е = возрастающая последователь-

ОО

ность а-алгебр на нем. Обозначим через = Тп наименьшую сг-алгебру,

п=0

00

содержащую алгебру и Тп- Задав на Тое вероятностную меру Р (ее часто на-

п=0

зывают физической или исторической вероятностью), получаем стохастический базис (Г2,Е,Р). Если рассмотреть на этом стохастическом базисе случайный процесс Z = (£п, Рп)^^, то поведение данного процесса будет описываться этой вероятностью Р на каждом участке (га — 1, га] эволюции процесса. Однако анализ ряда технических проблем показывает, что на каждом указанном участке может действовать своя вероятностная (физическая) мера. Естественно возникает вопрос: можно ли достаточно эффективно моделировать случайные процессы, если на фильтрованном пространстве вместо вероятности Р задать систему вероятностных мер где С}^ определена на Тп и действу-

ет только на интервале времени (га — 1,п] (эта система названа в диссертации деформацией: понимается — деформация меры)? Можно ли применять такие модели на практике? Этому кругу вопросов и посвящена данная диссертация.

Кратко изложим основные результаты диссертации по главам. В главе 1 дается теоретическое описание деформаций, а также процессов, органически связанных с деформациями, — деформированных мартингалов.

В параграфе 1.1 вводится понятие деформаций 1-го и 2-го рода с процессами плотностей (кп, и соответственно:

• для деформаций 1-го рода: = кпс1(

• для деформаций 2-го рода: = &п)(1(Э(п+1)\гп.

Основное в этом параграфе — введение в рассмотрение аналогов операторов условного математического ожидания (наилучшего прогноза на момент времени п, если прогноз осуществляется в момент к < п): := Л}£+1... где -Б,-+1(/) — условное математическое ожидание с.в. / по вероятности <5('+1) относительно ег-алгебры

Главный результат параграфа 1.2 — это теорема о структуре оператора Е% (доказывается, что это оператор условного математического ожидания по специально построенной вероятности).

В параграфе 1.3 вводится следующее важное определение деформированных мартингалов 1-го и 2-го рода.

Определение. Предположим, что Уп € N с.в. гп е Ь^Тп^М).

1) Пусть — деформация 1-го рода. Процесс Ъ = называется деформированным мартингалом 1-го рода (йМ1), если Уп £ N выполняется равенство Е^п+1) = Zn — п.н.

2) Пусть <3 — деформация 2-го рода. Процесс Z = {2п,Тп, называется деформированным мартингалом 2-го рода (0М2), если \/п е N выполняется равенство [■£„+! ^п] = 2п С^"' — п.н.

Аналогично определяются деформированные субмартингалы и супермартингалы 1-го и 2-го рода.

При некоторых технических условиях на процесс плотностей для деформированных субмартингалов 1-го рода обобщается теорема о разложении Дуба, а для деформированных мартингалов 2-го рода обобщается теорема о разложении Крикеберга. Формулировки этих теорем похожи на классические.

В параграфе 1-4 развивается теория моментов остановки (м.о.) применительно к деформированным мартингалам. Для конечных м.о. т : Г2 —» N от-

оо

носителыю (^г71)^=0 вводится сг-конечная мера С}(Т\А) = = 0)>

>=о

(^4 е Тт). Затем итерационным способом для деформаций 2-го рода вводится оператор Ет"\ доказывается корректность его определения и (выполняемая (З^-п-в.) вычислительная формула:

00 00 к=0 ¿=0

Вся эта подготовительная работа приводит к следующему результату. Теорема 1 (обобщение теоремы Дуба о преобразовании свободного выбора). Пусть С2 есть деформация 2-го рода с равномерно ограниченным процессом плотностей, процесс Z = ^^Т^С^)™^ — деформированный субмартингал, 0 < ь> — т<N<oouZv€ Справедливо неравенство:

Е$рги>гТ д(т)-п.в.

В частности, теорема 1 справедлива в случае, когда V — ограниченный момент остановки.

В параграфе 1.5 вводятся необходимые для дальнейшего понятия эквивалентных и строго эквивалентных деформаций, а также определение мартин-гальной деформации.

В главе 2 моделируются деформации 1-го рода на дискретных фильтрациях Е, то есть фильтрациях, удовлетворяющих условию: V» £ N сг-алгебра Тп порождена разбиением Г2 на не более чем счетное число атомов (при этом через Т>„ обозначается множество всех атомов ст-алгебры Тп). Созданы вычислительные алгоритмы для построения слабых деформаций. Произведены числовые расчеты.

В параграфе 2.1 на общем дискретном фильтрованном пространстве получены результаты, связанные с построением деформаций 1-го рода по процессам плотностей (/!„, Предполагается, что указанные неотрицательные процессы (/гщ-ТчО^о задаются априорно и удовлетворяют двум естественным условиям: условию

/1„ = 0 при п> т,

где момент остановки т определяется формулой т = т^п £ N : Л„ = 0}, и условию

УпбМ.

Для формулировки основных результатов введем следующие обозначения. Пусть Бп+1 е Х>п+1. Через Д, к = 0,1,..., п, обозначим атом из такой, что Д Э Оп+\. Ясно, что = Д) Э Д Э £>2 О • • • Э Ип Э Дп+1- Обозначим через

т

{^п+\)\<1<т+\ совокупность ВССХ аТОМОВ ИЗ Т>п+\ таких, ЧТО ХГ-^п+1 = Д.-

1=1

Следующая теорема даст конструктивные достаточные условия на процесс (Нп, обеспечивающие существование деформации 1-го рода с процессом

плотностей, совпадающим с указанным.

Теорема 2. Пусть \/п £ N и УД, такого, что £>п £ 2\ и кп+\\0 ^ 0, выполняются либо равенства

Ш кп+1(Огп+1) = вир /1„+1(Д;+1) = 1,

^+1№+1)>0 «:Л„+1р;+1)>0

либо неравенства

М А„+1(1£+1) < 1 < вир Лп+1(£);+1).

Тогда существует деформация 1-го рода с процессом плотностей {Ь,п,ТпУ£=ъ-

Более общей, но менее конструктивной, является следующая Теорема 3. Адаптированный процесс (/1п,^>1)^=0 является процессом плотностей некоторой деформации 1-го рода И = тогда и только тогда, когда существует адаптированный строго положительный случайный процесс {рп,Тп)^=й , ро := 1, удовлетворяющий условиям

т

^рп+1(£>;+1) = 1, Vпе К, уд, е ъп : К(рк) > о, ¡=1

п

такой, чтоУп бМ выполняется равенство 2 П Рк+1(Аь+1)А*(Дь) = 1,

У£>„+1еГ>„+1 к=о

где суммирование производится по всем атомам £)п+1 € Х>п+1-

В параграфе 2.2 доказанные для дискретных фильтраций теоремы реализуются на специальной хааровской фильтрации, порождаемой деревом на рис. 1.

А

Рис. 1. Дерево, порождающее спец. хааровскую фильтрацию

В параграфе 2.3 вычисления на специальной хааровской фильтрации получают дальнейшее развитие, реализуясь в виде следующей теоремы.

Обозначим Нк := К{Акп) > 0, qk := <2{п](Ак) > 0, к = 1,2,...,п + 1. Ясно,

что Лц = 1 и до = 1-

Теорема 4. Пусть для строго положительного адаптированного процесса (кп,Гп)™0 выполняется либо тт {/1}, < 1 < тах {Л}, либо Н\ = Н\ = 1. Для того, чтобы этот процесс порождал (слабую) деформацию необходимо и достаточно, чтобы при п >2 выполнялось двойное неравенство

п

1 - • тах {1г1п, к2п} < ^ Ьк_1дк_111к+1 < 1 - К-1<!п-1 ■ тш {/£, ,

к=2

п+1

если Ъ}п ^ либо равенство Ё = 1 ~ Яп-^-^ю если К ~ ^п-

к=з

На основе теоремы 4 разработан алгоритм построения слабой деформации по процессу {кп, Тп)^^. В параграфе 2-4 содержится детальное его описание, выполненное в виде ряда блок-схем, снабженных пояснениями. Приведем основные положения алгоритма.

1. На входе: специальная хааровская фильтрация с заданным процессом плотностей {кп, На выходе: слабая деформация р.

2. Прежде всего проверяются начальные условия теоремы 4 для п = 1. Если условия не выполняются, вычисления завершаются. В противном случае рассчитываются компоненты слабой деформации для первого шага модели: = 0.5 и <?1 = 0.5, если = = 1; q\ = (Н\ - 1 )/{к\ -

^ = (1 - Н\)/{Н\ - если гшп(/1}, Ь,\) < 1 < тах(/г}, Н\).

3. Для оставшихся шагов модели (п = 2,3,...) производится проверка условий и вычисление компонент деформации следующим образом.

а) Случай ф /г^. Проверяется выполнение соответствующего (этому условию) неравенства теоремы 4. Если неравенство не выполняется, производится вывод ошибки и завершение вычислений. Иначе, вычисляются компоненты слабой деформации:

1 _ 3 "п—1 п—1 71 1 Т ,сп—1Чп—1"'п . 2 _ 11 „1 А

Чп ~ 1,2 и\ > Чп ~ пп~1Чп-1 Чп-

б) Случай Л* = Л^. Проверяется соответствующее (этому условию) равенство теоремы 4 и в случае его невыполнения производится коррекция исходного процесса плотностей: параметр к* = находится из указанного равенства, рассматриваемого как уравнение относительно Л®. Полученный процесс плотностей гарантированно удовлетворяет данному равенству. Вычисляются компоненты слабой деформации:

= ч1 = ч1-

В приложение 1 вынесены пошагово проведенные вычисления в четырех примерах с качественно различными возможными результатами.

В случае бинарной фильтрации, которая рассмотрена в параграфе 2.5 и общая ветвь порождающего дерева которой представлена на рис. 2, реализация теоремы 3 имеет следующий вид.

Рассмотрим на фильтрованном пространстве (П, строго положитель-

2"

ный случайный процесс /гп = ^ 'гп ' Ь

*=1

Предложение 1. Адаптированный процесс (/гп, ^п)^» > 0 \/п е К,

является процессом плотностей некоторой деформации И = (Д^"', то-

гда и только тогда, когда существует система строго положительных чисел р„, п е М, к = 1,..., 2П, Ро = 1; удовлетворяющая условиям р^1 + р„к+1 = 1, пеК, к = 1,..., 2", и \/тг е N выполняется равенство

Ы1 т=1

где \х] — целая часть действительного числа х.

С помощью предложения 1 в параграфе 2.6 разработан алгоритм построения слабой деформации по процессу (/гп, Основные положения этого алгоритма таковы.

1. На входе: бинарная фильтрация с данным процессом плотностей (/г„,

и строго положительные величины рк (п е М, к = 1,..., 2", рд = 1), удовлетворяющие условиям предложения 1. На выходе: слабая деформация <32. Проверка выполнения равенства предложения 1. Если равенство не выполняется, тогда завершение вычислений и вывод ошибки. Алгоритм, осуществляющий эту проверку, также приведен в тексте параграфа.

3. Компоненты слабой деформации вычисляются по следующим рекуррентным формулам: ^ = 1, г%1 = р^1/^, г2пк+1 = р2пк+1ккпггде п 6 М; к — 1,2,..., 2". Алгоритм, реализующий эти вычисления, детально описан в виде блок-схемы с соответствующими пояснениями.

В этом же параграфе показан один из вариантов применения слабых деформаций. В частности, описан алгоритм расчета такого процесса плотностей и строго положительных величин, которые порождают слабую мартингальную деформацию.

Глава 3 содержит описание программного комплекса "Моделирование деформированных дискретных процессов", который является удобной и многофункциональной средой для исследования свойств дискретных процессов. Уделено внимание некоторым методикам и алгоритмам, реализованным в программном комплексе и непосредственно связанным с содержанием настоящей диссертации.

Параграф 3.1 обозначает цели создания программного комплекса, а также содержит основные положения, лежащие в его основе. Приведен краткий обзор инструментов, используемых для разработки, и требований, которым удовлетворяет разработанное программное обеспечение. Упомянем, что функционал программного комплекса является расширяемым за счет внешних (подключаемых) программных модулей, называемых плагинами (plugins).

В рамках настоящей диссертации разработано четыре модуля, позволяющих анализировать и вести вычисления на моделях: а) бинарных фильтраций; б) хааровских и специальных (в том числе, обобщенных) хааровских фильтраций. Вычисления ведутся как с использованием слабых, так и с использованием сильных деформаций.

В параграфе 3.2 описана архитектура программного комплекса, использующего результаты первых двух глав. Рассматривается взаимодействие компонент комплекса. Приведены UML схемы классов, полученные на этапе проектирования. Описаны информационные структуры, классы, диалоги. К основным классам, используемые для построения моделей дискретных случайных процессов, относятся: ANode — класс, реализующий работу с узлом (атомом) информационного дерева дискретного случайного процесса; Filtration —тип данных, определенный как список атомов (ANode)\ CProcess — класс, содержащий список экземпляров Filtration; AModel— класс, объединяющий вышеперечисленные структуры и классы.

Значительная часть параграфах 3.3 посвящена алгоритмам для моделирования событий дискретного процесса, называемых "условием тривиализации рынка" или "сбоем" на рынке. Под "сбоем" мы понимаем такую ситуацию (например) на финансовом рынке, когда при переходе от предыдущего момента времени к последующему дисконтированная цена акции не изменяется, однако новые события возникают. Отметим, что одно из возможных применений слабых деформаций — это возможность производить расчеты на рынках, имеющих сбои. В этом же параграфе продемонстрирована работа программного комплекса и результаты вычислений на тестовой модели, содержащей "сбои".

Параграф 3.4 содержит результаты, позволяющие производить вычисления с помощью сильных деформаций 1-го рода.

Рассмотрим пример работы программного комплекса с сильными деформациями 1-го рода. Для этого сконструируем модель неполного безарбитражного дисконтированного рынка. Пусть рынок рассматривается относительно обобщенной специальной хааровской фильтрации с заданной на ней сильной деформацией 1-го рода р. Зададим на этом рынке платежное обязательство. Рассчитаем справедливую цену этого обязательства, полный капитал хеджирующего портфеля, а также сам совершенный хедж (в рамках интерполирующего рынка). Отметим, что используемые вычислительные процедуры реализованы отдельно от основной программы в подгружаемом Модуле 4, поэтому сперва подключаем функционал этого модуля к программному комплексу.

Создадим четырехшаговую модель обобщенной хааровской фильтрации. Диалог и параметры создаваемой модели показаны на рисуике 3. Информационное дерево модели представлено на рисунке 4, где атомы светло серого цвета обозначают нулевые события.

X Создать модель хааровской фильтрации

НаЕ

(Обобщенная специальна - .

Общие параметры модели-Горизонт: [

Число дроблений: Г

Банковский счет (в): | Процентная ставка(г): (

г Генератор эволюции цены акции

Параметры:

1 1.5| 1

1 0.3

2 0.15

3

■Спец;; мааровская фильтрация -........0.5

отмена ] [ Создать [

Рис. 3. Диалог создания модели обобщенной хааровской фильтрации

С помощью специальной панели выберем тип платежного обязательства /з как азиатский опцион-са11 и зададим контрактную цену К = 1.5 (рис. 5). Имеем: Ц = 1.21293, /| = 1.11407, Л = 0.88338, /44 = 0.8631, /| = 0.5082, /| = 0.5355, /1 = 0.126,/| = 0.18,/| = 0.

Первый шаг объединяет пункты 1 и 2 описанной методики, а именно: подготовку к вычислениям (проверку рынка на "безарбитражность" и ОСУХЕ; использование регулярности рынка). Данный рынок удовлетворяет этим условиям. Второй шаг—проверка финансового обязательства на реплицируемость. Данное финансовое обязательство не реплицируемо на исходном рынке. Третий шаг —расчет справедливых цен платежного обязательства (на каждом кусте) и сильной мартингальной деформации 1-го рода. Напомним, что эти кустовые "справедливые" цены используются вычислительными процедурами как ком-

Рис. 4. Рынок, порожденный обобщенной специальной хааровской фильтрацией

азиатский опционоН

определенный пользователем опцион-са11

опцион-саН с последействием опцион-ри!

опцион-ри1 с последействием азиатский опцион-р1Л бостонский

коллар_

X Азиатский опцион-саН

цена исполнения:

II. 5)3000

^Платежное обязательство-

Г

Тип; азиатский опцион-саН Цена исполнения:!.5

Рис. 5. Выбор платежного обязательства

поненты платежного обязательства на дробящихся атомах. В результате расчетов имеем: Ц = 1.0152, Ц = 0.711, }\ = 0.36, С = Ц = 0.123429. Получены компоненты сильной мартингальной деформации 1-го рода: ^ = 1, q\ = 0.2, д\ = 0.285714, д\ = 0.514286, д\ = 0.266667, д22 = 0.190476, д\ = 0.542857, д\ = 0.266667, д\ = 0.0190476, <?| = 0.542857, д\ = 0.266667, д2ъ = 0.0190476, д1 = 0.542857, д% = 0 (п = 2, 3,4; к = 4,..., 2п + 1). Шаг четвертый — проверка всех кустовых мер (составляющих деформацию) на ослабленное свойство универсальной хааровской единственности. Все кустовые меры удовлетворяют ОСУХЕ, поэтому мы пропускаем пятый шаг (приближение мер). Шаг шестой — с помощью сильной мартингальной деформации конструируем интерполирующий рынок (рис. 6). Шаг седьмой —на интерполирующем рынке по известным формулам вычисляются компоненты совершенного хеджа. Результаты расчетов на интерполирующем рынке приведены в таблице 1.

Рис. 6. Интерполирующий рынок

Атом z q P 7 X

К 1.5 l 0.123429 0 0.123429

A\ + Aj 1.81765 0.485714 -0.493714 0.411429 0.254118

Al 1.2 0.514286 -0.493714 0.411429 0

А\ 1.95 0.2 -1.2 0.8 0.36

А\ 2 1.725 0.285714 -1.2 0.8 0.18

2.41313 0.457143 -0.81 0.6 0.637875

AI 1.56 0.542857 -0.81 0.6 0.126

А 2.535 0.266667 -0.81 0.6 0.711

2.2425 0.190476 -0.81 0.6 0.5355

2 •^з + Al 3.13706 0.457143 -0.303 0.4 0.951825

Al 2.028 0.542857 -0.303 0.4 0.5082

Al 3.2955 0.266667 -0.303 0.4 1.0152

А\ 2 2.91525 0.190476 -0.303 0.4 0.8631

Л4 + 4.07818 0.457143 0.3561 0.2 1.17174

А34 2.6364 0.542857 0.3561 0.2 0.88338

Al 4.28415 0.266667 0.3561 0.2 1.21293

Al 3.78982 0.190476 0.3561 0.2 1.11407

Таблица 1. Результаты расчетов на интерполирующем рынке

Замечание. В программном комплексе для выполнения вычислительных операций используются числа с плавающей запятой двойной точности (тип "double"языка С++, соответствующий стандарту IEEE 754)- Использова-

ние этого типа данных обеспечивает относительную точность вычислений около 16 десятичных цифр и допустимый диапазон хранимых значений от 1,7е-308 до 1,7е-308.

Заключение. Приведем в кратком виде основные результаты диссертации, выносимые на защиту: 1. Общая динамическая модель деформации и ее разработка, включая свойства деформаций, теоремы о деформированных мартингалах, построение деформаций по процессам плотностей в случае дискретной модели стохастического базиса. 2. Новые методы приближенных вычислений для построения деформаций на стохастических базисах со специальной хааровской и бинарной фильтрациями, а также для вычисления характеристик деформированных процессов. 3. Программный комплекс "Моделирование деформированных дискретных процессов", позволяющий проводить исследования и расчеты в рамках моделей финансовой математики и моделей управления передачей данных по виртуальным каналам связи.

Публикации в по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Назаръко О.В. (В,8)-рынки на деформированных стохастических базисах. // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2008, вып. 3, с. 19-21.

2. Назаръко О.В. Слабые деформации на бинарных финансовых рынках. // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2010, вып. 1, с. 12-18.

3. Назаръко О.В. О (В,8)-рынках на деформированных стохастических базисах. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2006, т.13, выи. 6, с. 1038-1039.

4. Назаръко О. В. О существовании и единственности эквивалентных мартин-гальных деформаций для бинарного (В,3)-рынка на деформированном стохастическом базисе. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2008, т.15, вып. 4, с. 641-643.

5. Назаръко О. В. О некоторых преобразованиях деформированных финансовых рынков. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2008, т.15, вып. 4, с. 712-713.

6. Назаръко О. В. Сильные деформации на нерегулярных финансовых рынках относительно специальной хааровской фильтрации. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2009, т.16, вып. 2, с. 267-268.

7. Назаръко О.В. Критерий существования слабой деформации в случае специальной хааровской фильтрации. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2009, т.16, вып. 4, с. 684-686.

8. Назаръко О.В. О некоторых фактах теории деформированных мартингалов. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2010, т. 17, вып. 2, с. 236-237.

9. Назаръко О.В., Павлов И.В. Теорема Дуба о преобразовании свободного выбора для деформированных мартингалов. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2010, т. 17, вып. 2, с.239-240.

10. Назарько О.В., Чернов A.B. Задача о достижении оптимальной полосы пропускания телекоммуникационных каналов при условии гарантированной и негарантированной доставки пакетов. // Обозрение прикл. и промышл. ма-тем., 2010, т. 17, вып. 6, с. 1021-1022.

Публикации по теме диссертации в других изданиях

11. Выхристов В.А., Горгорова В.В., Назарько О.В. Об интерполяции цен акций в рамках одной модели финансового рынка. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Тезисы докладов, Ростов-на-Дону, 2006, с. 222-224.

12. Назарько О.В. Об одной модели (В,8)-рынка на деформированном стохастическом базисе. // Известия РГСУ, №11, 2007, с. 352-353.

13. Назарько О.В., Чернов A.B. Об операторах повторного условного мато-жидания по разным вероятностным мерам. // XVIII Международная конференция «Математика. Экономика. Образование.», Абрау-Дюрсо, тезисы докладов, 2010, с. 106.

14. Назарько О-В. Фундаментальные теоремы финансовой математики для (B,S)-рынков на деформированных стохастических базисах. // В сб. «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания», Ростов-на-Дону, РГЭУ (РИНХ), 2007, с. 39-40.

15. Назарько О.В. О деформированных (В,8)-рынках на конечном вероятностном пространстве. // В сб. «Математические методы в современных и клас-сич. моделях экономики и естествознания», Ростов-на-Дону, РГЭУ (РИНХ), 2008, с. 64-65.

16. Назарько О.В. О некоторых свойствах слабых деформаций на бинарных финансовых рынках. // В сб. «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания», Ростов-на-Дону, РГЭУ (РИНХ), 2009, 151-152.

17. Назарько О.В., Павлов И.В., Чернов АЛ. Деформации и деформированные стохастические базисы. // В сб. «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания», Ростов-на-Дону, РГЭУ (РИНХ), 2010, с. 36-52.

Вклад автора в совместных публикациях таков. В работе [9] соавтору принадлежит идея использования специальных и-конечных мер для развития теории преобразования свободного выбора, а автору диссертации — все остальное, включая теорему Дуба. В работе [10] соавтору принадлежит идея об использовании стохастического анализа к задаче моделирования полосы пропускания сигналов, а автору диссертации — реализация этой идеи. В работе [11] автору диссертации принадлежат явные формулы хеджирования. В работе [13] автор доказал формулу, выражающую структуру оператора многократного применения условного математического ожидания по различным вероятностным мерам. В работе [17] автору принадлежат доказательства свойств деформаций.

Назарько Ольга Валерьевна

МОДЕЛИ ДЕФОРМАЦИЙ НА ФИЛЬТРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ: ТЕОРИЯ, АЛГОРИТМЫ, ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС, ПРИМЕНЕНИЯ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Формат 60x84/16. Объем 1,0 уч.-изд.-л. Заказ № 2087 Тираж 100 экз. Отпечатано в КМЦ «КОПИЦЕНТР» 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Суворова, 19, тел. 247-34-88

ВВЕДЕНИЕ

1 ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО БАЗИСА И ДЕФОРМИРОВАННЫЕ МАРТИНГАЛЫ

1.1 Деформации и деформированные стохастические базисы

1.2 Структура операторов

1.3 Деформированные мартингалы и их свойства.

1.4 Меры Q(T) и теорема о преобразовании свободного выбора для деформированных мартингалов.

1.5 Эквивалентные и строго эквивалентные деформации. Мартин-гальные деформации.

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена моделированию деформаций, их теоретическому описанию, построению алгоритмов различного рода приближенных вычислений, связанных с деформациями. Упомянутые алгоритмы легли в основу созданного нового программного комплекса "Моделирование деформированных дискретных процессов". Программный комплекс имеет исследовательский характер. В частности, в него можно внедрять различные новые математические модели, получать и обрабатывать результаты.

Под деформацией нами понимается последовательность вероятностных мер ((2(п))£°=о, каждая из которых задана на <т-алгебре событий информационного потока (или, что то же самое, фильтрации) (Г2, (^ггп)^=0). При определенных условиях связи между и ф^71"1"1) такая деформация порождается некоторым неотрицательным адаптированным процессом. Этот процесс называется процессом плотностей. Тема диссертации связана с моделированием процессов плотностей на дискретной фильтрации (то есть в случае, когда каждая сг-алгебра Тп порождена разбиением пространства исходов на не более чем счетное число атомов), а также с расчетами (при хеджировании финансовых обязательств, в области управления передачей данных по виртуальным каналам связи) в рамках информационных потоков с построенными таким образом деформациями. Отметим, что если информационный поток снабжен одной вероятностной мерой, то это соответствует случаю, когда процесс плотностей тождественно равен единице Именно при таких предположениях в последние десятилетия происходило развитие стохастического анализа с дискретным и непрерывным временем (в России — А.Н. Ширяев и его многочисленные ученики, за рубежом — П.-А. Мейер и его семинар в Страсбурге, Х.Фельмер и его группа в Гумбольтовском университете, В Шахермайер, Ф. Делбаен и многие другие), а также его применение в различных областях.

Актуальность темы настоящей диссертации определяется следующим обстоятельством. Часто в устойчивую работу финансовой, информационной или какой-либо другой системы вмешивается некоторый плохо предсказуемый фактор (экономический кризис, перегрузка сети в информационной системе и т.д.). В этот период прогнозы (основанные, как правило, на расчетах, связанных с одной вероятностной мерой) перестают быть состоятельными. Для новых расчетов нужен более тонкий анализ. В настоящей диссертации предлагается моделировать процессы функционирования системы в указанный период при условии, что на каждом участке времени действует своя вероятность возникновения различных событий Введенные в диссертации вероятностные меры математически реализуют данную идеологию.

Все вышесказанное свидетельствует о том, что направление исследований, которым посвящена диссертационная работа, является актуальным.

Объектами исследования настоящей диссертации являются общие математические модели систем (финансовых, информационных и т.д.) в периоды их неустойчивой работы (кризисные явления, перегрузка сети).

Целью диссертационной работы является построение моделей деформаций, заданных на информационном потоке; всестороннее теоретическое их изучение (включая развитие теории деформированных мартингалов); разработка алгоритмов вычисления процессов плотностей, порождающих деформации; выполнение расчетов для различных случайных процессов, развивающихся в рамках указанных математических моделей, с помощью построенного программного комплекса; применение созданного аппарата, а также известной техники хааровских интерполяций к проблематике моделирования финансовых рынков и процессов передачи данных по виртуальным каналам связи.

Для реализации этой цели потребовалось решить следующие задачи:

1) создать и всесторонне исследовать общую модель стохастического базиса, снабженную деформацией 1-го или 2-го рода; изучить аналог классического условного математического ожидания по одной мере, а именно, суперпозицию условных математических ожиданий по разным вероятностным мерам;

2) развить теорию деформированных мартингалов — процессов, ведущих себя как обычные риск-нейтральные процессы на каждом единичном временном промежутке;

3) исследовать общую дискретную модель деформированного стохастического базиса; получить необходимые и достаточные, а также конструктивные достаточные условия того, что заданный процесс, является процессом плотностей некоторой деформации 1-го рода;

4) сконструировать процессы плотностей для слабых деформаций на стохастическом базисе, снабженном специальной хааровской фильтрацией, получить соответствующие рекуррентные формулы и реализовать их в виде вычислительных алгоритмов;

5) построить и исследовать слабые деформации на бинарном стохастическом базисе, разработать алгоритмы их вычислений; применить данные результаты к исправлению ситуации, когда система удовлетворяет условию тривиализацни (дает сбой);

6) создать программный комплекс "Моделирование деформированных дискретных процессов", позволяющий производить вычисление (при наличии деформаций) различных характеристик процесса, определяющего поведение исследуемой модели;

7) внедрить в программный комплекс ранее разработанные другими авторами интерполяционные процедуры и с помощью полученного инструментария реализовать алгоритмы вычисления хеджирующих портфелей различных платежных обязательств и минимальных стратегий управления передачей данных.

Методика исследований. При решении перечисленных задач применялись методы и результаты теории функций и теории вероятностей, стохастического анализа и теории мартингалов, методы решения оптимизационных задач, теория алгоритмов и структур данных, имитационное моделирование.

Научная новизиа. Впервые введено определение деформаций 1-го и 2-го рода и их процессов плотностей (/¿„, .Т7^)^ и соответственно; изучены важные свойства этих деформаций (в частности, доказана теорема о представлении суперпозиции условных математических ожиданий, имеющей смысл наилучшего прогноза, как условного математического ожидания по специально подобранной вероятностной мере). Впервые введено понятие деформированных мартингалов; на них обобщены классические теоремы теории мартингалов (разложение Дуба и Крикеберга, теорема Дуба о преобразовании свободного выбора). Для модели с дискретным стохастическим базисом получены необходимые и достаточные условия, а также конструктивные достаточные условия того, что процесс (/гп, является процессом плотностей деформации 1-го рода. Эти результаты конкретизированы для случая специальной хааровской фильтрации и фильтрации, порожденной бинарным деревом. Построены алгоритмы, реализующие полученные вычислительные , схемы. Создан новый исследовательский программный комплекс, позволяющий как строить процессы плотностей, так и производить вычисления различных характеристик процессов, определяющих поведение рассматриваемых математических моделей. В программном комплексе соединены воедино разработанные методы деформированных стохастических базисов и интерполяционные методы. На этой основе разработаны новые идеи в области моделирования финансовых рынков и управления передачей данных по виртуальным каналам связи.

Выносимые на защиту результаты.

1. Общая динамическая модель деформации, заданной на потоке событий, связанных с эволюцией процесса, выражающего собой состояние технической или информационной системы.

2. Свойства деформаций, теорема о представлении суперпозиции условных математических ожиданий (имеющей смысл наилучшего прогноза) как условного математического ожидания по специально подобранной вероятностной мере.

3. Теоремы о деформированных мартингалах (разложение Дуба и Крикеберга, теорема Дуба о преобразовании свободного выбора).

4. Дискретная модель деформированного стохастического базиса\ условия того, что априорно заданный процесс является процессом плотностей деформации 1-го рода; критерий мартингальности построенной деформации.

5. Модель относительно специальной хааровской фильтрации, рекуррентные формулы и алгоритмы вычисления процессов плотностей.

6. Модели деформаций относительно бинарной фильтрации, деформации на модели Кокса-Росса-Рубинштейна, алгоритмы вычисления плотностей, случаи тривилизации (сбоев) процесса, выражающего состояние финансовой или информационной системы.

7. Программный комплекс "Моделирование деформированных дискретных процессов", позволяющий строить процессы плотностей и производить вычисления различных характеристик процессов, определяющих поведение рассматриваемых математических моделей.

8. Новые модели финансовых рынков, позволяющие вычислять справедливые цены финансовых обязательств и рассчитывать хеджирующие портфели.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть применены специалистами (финансовых учреждений; информационно-вычислительных центров), исследующими и моделирующими конкретные экономические и информационные системы, описываемые различными случайными процессами. Полученные в диссертации теоретические результаты, связанные с развитием теории деформированных стохастических базисов и деформированных мартингалов, значимы как вклад в прикладной стохастический анализ.

Достоверность результатов работы подтверждается

1) математическими доказательствами, результатами моделирования и обработки данных;

2) апробацией этих результатов на всероссийских и международных конференциях и научных семинарах;

3) актами внедрения диссертационных разработок.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных, всероссийских и региональных научных конференциях и семинарах:

1) Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (пос. Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2006г.);

2) VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и на 13-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Йошкар-Ола, 16 -22 декабря 2006г.);

3) региональных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава при РГЭУ (РИНХ) (г. Ростов-на-Дону, 2006-2009 гг.);

4) IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, весенняя сессия (г. Кисловодск, 1-8 мая 2008г.);

5) Международном симпозиуме по финансовой математике (г. Гданьск, Польша, 15-19 сентября 2008 г.);

6) IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и pía 15-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам, осенняя сессия (г. Волжский, 5-11 октября 2008г.);

7) X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) и на 16-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Санкт-Петербург, 19-24 мая 2009г.);

8) X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, осенняя сессия (г. Дагомыс, 1-8 октября 2009г.);

9) XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и на 17-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Кисловодск, 1-8 мая 2010г.);

10) научных семинарах по финансовой математике и стохастическому моделированию кафедры высшей математики РГСУ; 1) научном семинаре кафедры высшей математики и исследования операций Южного федерального университета;

12) научном семинаре кафедры высшей математики Таганрогского технологического института Южного федерального университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, в том числе 12 без соавторов. Из них 10 публикаций в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК. Вклад автора в совместных публикациях таков. В работе [23] автору принадлежат явные формулы хеджирования. В работе [66] автор доказал формулу, выражающую структуру оператора многократного применения условного математического ожидания по различным вероятностным мерам. В работе [64] соавтору принадлежит идея использования специальных а-конечных мер для развития теории преобразования свободного выбора, а автору — все остальное, включая теорему Дуба для деформированных мартингалов. В работе [65] автору принадлежат доказательства свойств деформаций. В работе [67] соавтору принадлежит идея об использовании стохастического анализа к задаче моделирования полосы пропускания сигналов, а автору диссертации — реализация этой идеи.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (103 наименований) и приложения, содержащего, в частности, акты внедрения. Главы разбиты на параграфы. Нумерация параграфов двойная: первая цифра указывает номер главы, в которой расположен параграф, а вторая цифра— номер самого параграфа. Аналогична нумерация определений, теорем и т.п. Нумерация формул, рисун

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение приведем основные результаты нашего исследования, выносимые на защиту, и их краткий анализ.

1. Общая динамическая модель деформации и ее разработка, включая свойства деформаций, теоремы о деформированных мартингалахпостроение деформаций по процессам плотностей в случае дискретной модели деформированного стохастического базиса. Эти новые результаты служат основой для моделирования таких стохастических систем, в работу которых вмешивается плохо предсказуемый фактор (экономический кризис, перегрузка сети в информационной системе и т.д.).

2. Новые методы приблиэюенных вычислений для построения деформаций на стохастических базисах с специальной хааровской и бинарной фильтрациями, а также для вычисления характеристик деформированных процессов. Алгоритмы для бинарных фильтраций характеризуются довольно большой сложностью, что связано с необходимостью автономных вычислений для каждой ветви. Однако в финансовой математике (а это и было целью наших приложений) такие модели используются для достаточно малых горизонтов, что позволяет эффективно и с нужной точностью проводить вычисления на современных компьютерах. Напротив, сложность алгоритмов для обобщенных специальных хааровских значительно ниже и они требуют на порядок меньше машинного времени. Эти модели являются основополагающими в диссертации. Результаты приближенных вычислений по всем алгоритмам непрерывно зависят от вводимых начальных данных.

3. Программный комплекс "Моделирование деформированных дискретных процессов", позволяющий проводить исследования и эффективные расчеты, в частности, в рамках моделей финансовой математики и моделей управления передачей данных по виртуальным каналам связи (о чем свидетельствуют акты внедрения). Комплекс отвечает современным требованиям, предъявляемым к программному обеспечению: функционирование на ряде популярных программных платформ (Windows, Linux, Mac OS X), высокая производительность, эргономичный пользовательский интерфейс и гибкая расширяемость. В качестве основного языка программирования выбран объектно-ориентированный язык С++. Программный комплекс расширяем извне внешними программами (плагинами), которые используют ресурсы ядра и подключаются по мере надобности. Сконструировано 4 плагина, позволяющих анализировать и вести вычисления на моделях: бинарных фильтраций; хааровских и специальных хааровских (в том числе, обобщенных) фильтраций; (В, ¿¡^-рынков с произвольным числом агрессивных скупщиков акций; управления каналами передачи данных. Модель (В, 5')-рыиков с произвольным числом агрессивных скупщиков акций является улучшенной версией соответствующих моделей из диссертаций Можаева Г.А. и Пилосян Э.А. Остальные модели созданы автором диссертации. В отличие от комплексов, созданных в вышеуказанных диссертациях, к данному комплексу можно подключать любое число новых плагинов, что делает его удобным исследовательским комплексом. Расчет однотипных задач с помощью нашего комплекса требует приблизительно на 20 процентов времени меньше. Ректификация вычислительных методов (в частности, метода хааровских интерполяций) дала возможность увеличить точность вычислений примерно на 10 процентов.

В программном комплексе для выполнения вычислительных операций используются числа с плавающей запятой двойной точности (тип "double"языка С++, соответствующий стандарту IEEE 754). Использование этого типа данных обеспечивает относительную точность вычислений около 16 десятичных цифр и допустимый диапазон хранимых значений от 1, 7е~308 до 1,7е~308.

1. Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Исследование модели (В, Б)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1998, с. 179-181.

2. Богачев В.И., Смоляное О.Г. Действительный и функциональный анализ. // М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Институт компьютерных исследований, 2009. — 724 с.

3. Богачёва М.Н. Об интерполяции финансовых рынков в случае конечного вероятностного пространства. // Математические и статистические методы в экономике и естествознании: Материалы 3-х мезвузовских научных чтений, Ростов-на-Дону, РГЭУ. 2002, с. 126-128.

4. Богачёва М.Н. Моделирование безарбитражных финансовых рынков и интерполяционные методы ее исследования. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 2004.

5. Богачёва М.Н., Павлов И. В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных // Успехи матем. наук, 2002, Т.57, В.З, с. 143-144.

6. Боди 3., Мертон Р. К. Финансы. // М.: Вильяме, 2003, 585 с.

7. Бланшет Ж., Саммерфилд М. Qt 4: Программирование GUI на С++. // М.: Кудиц-Пресс, 2007.

8. Браунси К. Основные концепции данных и реализация в С++. // М: Вильяме, 2002.

9. Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. // «Наука», 2001, 296 с.

10. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. // М.: Факториал-пресс, 2003, 348 с.

11. Волков С.Н., Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 1997. Т.4., №1., С.18-65.

12. Волосатова Т.А. Применение случайных хааровских интерполяций к моделированию (В, 5)-рынков с двумя агрессивными скупщиками акций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2005, Т.12., В.З, С.713-714.

13. Волосатова ТА. Модели финансовых рынков, допускающих арбитраж, и их исследование с помощью метода хааровских интерполяций. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 2006.

14. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Об интерполяции финансовых рынков, включая арбитражные. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2004, Т.Н., В.З, С.458-467.

15. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Совершенные хеджи в полных финансовых рынках, имитирующих скупку акций и допускающих арбитраж. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2003, Т. 10., В.2, С.341-342.

16. Выхристов В.А., Горгорова В.В., Назарько О.В. Об интерполяции цен акций в рамках одной модели финансового рынка. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Тезисы докладов, Ростов-на-Дону, 2006, с. 222-224.

17. Выхристов В.А., Моэ/саев Г.А. О финансовых расчетах на безарбитражных (В, ¿^-рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2007, Т. 14, В.5, С.769-789.

18. Выхристов В.А., Моэ/саев Г.А. Примеры мартингальных мер, не удовлетворяющих ОСУХЕ, и их приближение мартингальными мерами, удовлетворяющими ОСУХЕ. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП. 2007, Т. 14, В.З, С.523-524.

19. Данекянц А.Г. О специальных хааровских интерполяциях мартингалов.

20. Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные пауки, приложение, 2005, №3, С.3-20.

21. Данекянц А. Г. Моделирование безарбитражных финансовых рынков с помощью хааровских интерполяций на счетном вероятностном пространстве. // Строительство-2005, материалы международной научно-практической конференции, Ростов-на-Дону, РГСУ, 2005, С.31-34.

22. Данекянц А.Г. Моделирование безарбитражных финансовых рынков с помощью хааровских интерполяций на счетном вероятностном пространстве. // Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 2006.

23. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Техника интерполяции финансовых рынков, реализованных на счетном вероятностном пространстве. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, Т.10, В.2, 2003, С.345-346.

24. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Свойства хааровских интерполяций мартингалов в случае потока атомарных сг-алгебр и бесконечного горизонта. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2004, T.II, В.1, С.112-113.

25. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Модель (¿?,5)-рынка с бесконечным числом скупщиков акций и совершенное хеджирование методом хааровских интерполяций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2005, Т. 12, В.1, С. 143-144.

26. Иванов П. Ethernet в огнях большого города. // Сети, М.: Открытые системы, 2003, №19, электронный ресурс http: / / www.osp. ru/nets/2003/19/149461.

27. Измайлов А.Ф., Солодов M.B. Численные методы оптимизации. // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

28. Кнут Д. Искусство программирования. // М: Вильяме, 2000, Т.1,2,3.

29. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. // М.: Дело, 1998.

30. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. // М.: Наука, 1986, 512 с.

31. Малыхин В.И. Финансовая математика. // M.: ЮНИТИ, 1999. Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. // М.:, ТВП, 1997, 126 с.

32. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев M.JI. Математика финансовых обязательств. // М.: ГУ ВШЭ, 2001, 254 с.

33. Можаев Г.А. Проверка мартингальной меры на ослабленное свойство универсальной хааровской единственности. // Материалы региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава, Ростов-на-Дону, 2007, с.46-47.

34. Можаев Г.А., Павлов И.В., Пилосян Э.А. О финансовых расчетах на безарбитражных (В, ¿^-рынках с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2008, Т.15, В.З, с.505-506.

35. Назарько О.В. О (B,S)-pbiHicax на деформированных стохастических базисах. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2006, т.13, вып. 6, с.1038-1039 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

36. Назаръко О. В. Сильные деформации на нерегулярных финансовых рынках относительно специальной хааровской фильтрации. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2009, т.16, вып. 2, с. 267-268 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

37. Назаръко О.В., Павлов И.В. Теорема Дуба о преобразовании свободного выбора для деформированных мартингалов. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2010, т. 17, вып. 2, с.239-240 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

38. Назаръко О.В., Павлов И.В., Чернов A.B. Деформации и деформированные стохастические базисы. // В сб. «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания», Ростов-на-Дону, РГЭУ (РИНХ), 2010, с. 36-52.

39. Назаръко О.В., Чернов A.B. Об операторах повторного условного ма-тожидания по разным вероятностным мерам. // XVIII Международная конференция «Математика. Экономика. Образование.», Абрау-Дюрсо, тезисы докладов, 2010, с. 106.

40. Павлов И.В. Об одном модели (B,S)~рынка, связанной с простейшей фильтрацией Хаара. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997, Т.4, В.З, с.389-390.

41. Павлов И.В. и др. Обобщенная модель эволюции цен акций в случае их скупки. // Известия РГСУ, 2000, №5, с. 165-173.

42. Павлов И.В. и др. Модели (В, 5')-рынков типа Кокса-Росса-Рубинштейна в случае скупки акций. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки, 2001, №1, с.7-11.

43. Павлов И.В., Данекянц А.Г. Интерполяция мартингалов относительно хааровских фильтраций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2004, T.II, В.1, с.73-82.

44. Павлов И.В., Данекянц А.Г. Об ослабленном свойстве универсальной хааровской единственности. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2004, Т.11, В.З, с.506-508.

45. Павлов И.В., Мисюра В.В. Критерий существования мартингальиой меры и расчёт цены опциона в случае специальной хааровской фильтрации. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 1998, №4, с.24-30.

46. Павлов И.В., Можаев P.A., Выхристов В.А. Методика финансовых расчетов на безарбитражных (В, ¿^-рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2006, Т.13, В.6, с. 1039-1040.

47. Павлов И.В., Пилосян Э.А. Интерполяционные свойства мартингальиых мер на сепарабельном измеримом пространстве. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2007, Т.14, В.4, с. 660-662.

48. Пилосян Э.А. Обобщенная одпошаговая модель (Б, 5')-рынка с бесконечным числом скупщиков акций. // В сб.: «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий», СГУТиКД, Тезисы докладов, Сочи, 2008, с. 60-62.

49. Пилосян Э.А. Усиленное свойство хааровской единственности мартингальиых мер. // В сб. «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания», Ростов-на-До ну, РГЭУ (РИНХ), 2008, с.68-70.

50. Пилосян Э.А. Алгоритм определения приоритетных, неприоритетных и усредненного скупщика акций в модели агрессивной скупки. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2009, Т.16, В.2, с.375-376.

51. Пилосян Э.А. Структура и алгоритмы функционирования программного комплекса «Хеджирование посредством интерполяции». // Научно-технические ведомости СПбГПУ, "Информатика. Телекоммуникации. Управление."2009, №2, с. 133-139.

52. Пилосян Э.А. Модели и алгоритмы программ для финансовых рынков, подверженных массовой скупке акций. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Ростов-на-Дону, 2009.

53. Пилосян Э.А., Можаев Г.А. Методы финансовых расчетов на безарбитражных (В, 5)-рынках с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2008, Т.15, В.5, С.819-834.

54. Построение мультисервисных сетей операторов связи набазе технологии Metro Ethernet. / / Электронный ресурс www.cisco.com/web/RU/downloacls/optical.pdf.

55. Решения и продукты компании Cisco Systems по построению оптических связей. / / Электронный ресурс http://www.uni. ru/solutions.php?action=show.

56. Савитч У. Язык С++. Курс объектно-ориентированного программирования. // М.: Вильяме, 2001.

57. Фелъмер Г., Шид А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время. // М.: МЦМНО, 2008, 496 с.

58. Хантер Д., Кэгл К., Гиббоне Д., Озу II., Пиннок Д., Спенсер П. Введение в XML. // М: Лори, 2001.

59. Чеботарев А. Библиотека Qt4. Создание прикладных приложений в среде Linux. // М: Вильяме, 2006.

60. Ширяев А.И. Вероятность — 1. // М.: МЦНМО, 2004, 520 с.

61. Ширяев А.Н. Вероятность — 2. // М.: МЦНМО, 2004, 928 с.

62. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики. // Теория вероятностей и ее применения. 1994, Т.39, №1, С.5-22

63. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 1994, Т.1, №5, С.780-820.

64. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. // М.: ФАЗИС, 2004, Т.1,2, 1017 с.

65. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время. // Теория вероятностей и ее применения. 1994, Т.39, №1, С.80-129.

66. Шлее М. Qt4. Профессиональное программирование на С++. // СПб.: BHV-Санкт-Петербург BHV, 2007.

67. Эдди С. XML. Справочник. Наиболее полное руководство. // СПб.: Питер, 1999.

68. Long R. Martingales spaces and inequalilies. // Peking University Press, 1993, 346 p.

69. Neveu J. Discrete-parameter martingales. // North-Holland Publ. Сотр., 1975, 236 p.

70. Shiryaev A.N., Spokomy V.G. Statistical experiments and decisions. Asymtotic theory. // World Scientific Publ. Co. Pte. Ltd., Advanced Series on Statistical Science and Applied Probability, v. 8, 283 p.