автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка математических моделей для исследования процесса ионообменного фильтрования

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН УЗБЕКСКОЕ НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ "КИБЕРНЕТИКА"

На правах рукописи

РАХИМОВ МАХМУД ЯДГАРОВИЧ

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССА ИОНООБМЕННОГО ФИЛЬТРОВАНИЯ

05.13.16-Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ташкент - 1992

Диссертация выполнена в Узбекском научно-производственном объединении "Кибернетика" АН Республики Узбекистан

Научные руковоцители: заслуженный деятель науки Республики Узбекистан, член-корреспондент АН Респр'яики Узбекистан, доктор физико-математических наук, профессор Ф.Б.Йбуталиев; заслуженный деятель науки и техники Республики Узбекистан, ; -ктор технических наук, профессор Н.У.Ризаев Офицальные оппоненты: доктор технических ь<зук, профессор Б.й ^Ьхидсв

кандидат технических наук, доцент Б.Радяабов

Ведущая организации - Узбекский проектный конструктно-техно-логический институт "Пищепром"

Зенита диссертации г.

в.^.час ка заседании специализированного совета ( Д 015.12.03 ) в УзНПО "Кибернетика" ЙН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г .Ташкент,ул.ФДоджаева 34

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уз НПО "Кибернетика" АН Республики Узбекистан

Автореферат разослан" _" января 1992 г.

Учены» секретарь специализированного совета, доктор технических наук,

профессор л Ф.Т.Адылова

>' '

„1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

-стаций/Актуальность теин. С развитием науки и техники, ацетатные """"^Пгаические волокна находят все большее применение в тазличних отраслях народного хозяйства. В настоящее время легкая промышленность.медицина, авиационная техника и другие отрасли немыслимы без искусственных химических волокон.Наряду с увеличением количественного показателя огрсмное значение име * и-качество продукции.

Имеется ряд экспериментальных работ, посвяценных исследованию влияния гель-частиц различных размеров на технологию получения волокон и их качество.

Установлено, что микрогель-частицы отрицательно влияют на прочность,удлинение и устойчивость вилокна к двойным изгибам. Поэтому, определяя количество' и размеры частиц в растворах ацетилцеллцелюлозы, можно судить о качестве волокна.

.рядильный раствор, в частности ацетатный, помимо гель-частиц (всевозможные микрочастицы с различными д.. метрами, нерастворенные остатки волокна и др.) содержит растворенные соли или окислы многовалентных металлов. Экспериментально установлено, что микрочастицы размером от 0,1 до 1 мк, обуславливающие повышенную мутность раствора полимеров, отрицательно влияют на прочность, удл*.ление и . устойчивость волокна к двойным изгибай. С увеличением содержания частиц в суспензии сь.,«ает прочность волокна, растет вероятность возникновения его дефектов.Для отделения гель-частиц от счспензии в ' химической промышленности широко применяется процесс фильтрования. В качестве фильтра применяют вискозы кварца, • керамиковые фильтры с намывным слоем, тканевые фильтры и др. Пропуская два-три раза одну и ту же партию ацетилцеллюлозы через фильтры различной пористости, можно получить раствор с допустимым количеством и размерами гелей. Однако мутность раствора в какой-то степени сохраняется. Что касается солей или окислов многовалентных металлов, присутствие которых, как следует из экспериментальных работ, проведенных под руководством С.Й.Гликмана, отрицательно влияет как на производство, так и на готовую продукцию, то их не удается отделить от суспензг ' с помощью первчисленных Ф>..;ьтров. Так, окислы аелеза и кальция увеличивают вязкость раствора, приводят к пони-енив

прочнисти волокна на разрыв, уменьшают перегиб до разрыва.

Кальциевые и магниевые соли способны коагулировать мелкие частицы, а с повывением температуры коагуляция перемещается в бол1 ую сторону. Присутствие окислов и солей многовалентных металлов в растворе зависит от многих причин. Некоторые из них попадают в нее при промыке жесткой водой, а также из аппаратуры. Это относится не только к производству химволокн" но / и к другим . отраслям, . частности производству растительных масел. Под руководством проф. Н.И.Ризаева разработан способ очистки различных различных растворов, в том числе ацетатных прядильных растворов от ионных прг есей с заменой фильтр-пресса на ионообменные смолы, которые, имея в своей структуре активные ионзгенные группы, способны поглощать ионные примеси и одновременно слука~ :ак фильтр для отделения гель-частиц от суспензии.

Цель диссертационной работы заключается п разработке и реализации математических моделей процессов разделения компонентов суспензии методом ионообменного фильтрования с использованием современных средств вычислительной техники.

Для этого необходимо сформулировать и решить следующие задачи:

- разработать математические модели процессов ионообменного Фильтрования .при постоянном и переменном перепадах давления;

- получить аналитическое решение линейной задачи процесса фильтрования при постоянной скорости потока;

- разработать численные методы, Эффективно реализуемые на ЭВМ с повышенной точностью:

- исследовать устойчивость разностной схемы;

- сформулировать и решить обратную задачу процесса фильтрования для определения параметров математической модели:

- провести ■ вычислительный эксперимент на ЭЕМ для выявления адекватности математических.моделей технологическим процессам.

Науч»-я новизна работы:

- разработаны математические модели процесса фильтрования суспензии без учета и с учетом ионного обмена при постоянном и переменном давлении;

- разработана и реализована упрощенная модель процесса фильтрования для предварительного анализа реккмэ работы фильтра;

- разработана численные методы решения задачи ионообменного фильтрования;

- получено аналитическое ресение задачи расчета перепада давления процесса фильтрования, которое использовалось при анализе численных алгоритмов;

- исследована устойчивость разностной схемы;

- решена обратная задача процесса фильтрования для определения и уточнения его параметро!

- проведены вычислительные эксперименты, в результате которых определены изменения скорости и концентрации в де яущеч потоке и осевшей массы, ' концентрации ионов в растворе и сорбенте, концентрации взвеси протекающей через фильтровальную перегородку. изменения перепадов давления в процессе кольм^тации пор фильтра и др.

Практическая ценность. Предложенные математические модели процесса фильтрования быпи использован для усовершенствования линии рафинации хлопкового ыаила в мисцелле и очистке ее от взвешенных примесей, а так же технологических характеристиках фи/, тров Ургенчского насложиркомбината (М8К).

Апробация работы.Основные результаты диссертационной работы докладывались на 10 и 0 Всесоюзных конференциях "Численные методы решения задач фильтрации несжимаемой яидкости" в г.Баку ( 1978г.) и гЛашкентеС 1980г.),Республиканской научно-технической конференции "Механика жидкостей и многофазных сред" С Ташкент 1988г.), семинарах лаборатоь.ш "Математическое'моделирование" Института кибернетики с ВЦ НПО "Кибернетика" АН РУз ( 1985 - 1991. г.).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 15 печатный работах.'

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и библиографии. Объем работы страниц, включая рисунков, таблиц и список литературы из наименования.

Содераание работы. «

В ГЛАВЕ 1 сделан обзор по теории и практике ионообменной сорбции ( раздел 1.1 ) и движения яидкости в пористой среде ( раздел 1.2 ), из которого видно, что, хотя каядое из этих направлр"чй в отдельности достаточно хорошо изучено, для решения этих проблем в комплексе сделаны лишь отдельные Пилнт-ки. Кроме того, работы по движении жидкости в пористой среде

посвящены в основном фильтрационным задачам гидрогеологии. Что ае касается процесса разделения компонентов суспензии, то, не смотря на большое количество экспериментальных работ, тео). лические исс здования освящены слабо.

В ГЛЛВЕ 2, для полноты изложения, приведен вывод уравнения двухфазной смеси р пористой среде ( раздел 2.1 .''и уравнения фильтрованид (раздел ?.?.), которые использованы при разработке соответствующих мтемаг; веских моделей.

Ь разделе 2.3 приведены дифференциальные уравнения процесса фильтрования, а в разделе 2.4-уравнения неравновесной динамики сорбции, описаны пути замыканиг системы и задания краевых •условий. При выводе уравнения фильтрования были сделаны следующие допущения: жидкость ( фильтгат ) и фильтровальная перегородка несжимаемы; про!■ ~с фильтрования ламинарный, одномерный; в процессе фильтрования поры фильтра кольматируются: взвешенные частицы имеют ту se плотность, что и несущая жидкость, т.е. нидкопгь с взвешенными твердыми частицами рассматривается как суспензия.

При этих' предположениях процесс ионообменього фильтрования описывается следующими уравнениями: •

di д дос di рдярдх*

• (Я) •

di дх di . } di

'/ifloW

(А)

т^т^РХто-т^ (s)

dmn dWn дЛ д а да ' л

1ПГ* = * (6)

M= pjcn-n!) г?)

fi-i. J

di м -

a+jn'

(8)

где IV - скорость фильтрования; Q - объемная концентрация взвеси в двигсуцей смеси; д" - концентрация взвеси осевшей массы в порах фильтра; Л - концентрация частиц, находящихся во взвешенном состоянии; 9^ концентрация частиц протекающих че^ез •фильтровальную перегородку и проносг'-ихся за рассматриваемую область; р - давление в колонт Л - кинетический коэффициент или эффективная константа скорости осаждения частиц в порах фигьтра;^ и П\£ начальная пористость и пористость осевшей массы; ^ - коэффициент, отражающий состояние порист 1 среды; Я0 - толщина фильтра; fj - столб жидкости на поверхности Фильтра; Ка - коэффициент проницаемости; Ji и _//- плотность и вязкость суспензии;я иУ^- неравновесные концентрации ионов в сорбенте и сорбате; ft' - концентрация ионов в растворе, соответствующая.равновесию с концентрацией ; - коэффициент диффузии.

При др/дйС - const и заданных краевых условиях уравнения (I )-(5) можно решить при- следующих допущениях;

1.' Концентрация 'Это означает, что в процессе )ильтро-вания взвешенные частицы полн :тью задерживаются фильтром. Это может иметь место только на последней стадии фильтрования, после чего раствор идет на формование.

2. На достаточной глубине от поверхности фильтра частицы, находящиеся во взвешенном состоянн, не оседают, а осевшие частицы не срываются, или количество осевших частиц раЕНО

количеству срывающихся. Тогда в (4) cL можно заменить на • т-е-

=

3. Пористость осевшей массы приблизительно равна нач ]ьной пористости фильтра, т.е. т0г/7?у.

4. Концентрация ионов в суспензии значительна. Тогда в. процессе ионного обмена, в результате набухания ионита, меняется °го пористост1 и проницаемость, и можно предположить, уто эти изменения подчиняются, известным соотношениям Н.Н.Веригина

т = т.м ± -г-го

к -

Л Юз

5? И-тУ

Иф

(10)

( ра - плотность ионитного фильтра; Л , £ -Краевые условия задачи задаются в виде:

-С0Л

1=0 , е--9ае

оа=о,

8"= о

дЫ Но Г Л ко дР V

дх Нк0[~ЫЖр да (¿-т

постоянные)

НИ)

,в=90П--По

<с=1, п^о:

ГЛАВА 3 посвящена построению вычислительного алгоритма решения задач ионообменного фильтрования. Раздел 3.1. посвящен построению разностной схемы для задачи С1)-(!!).В соответствии с векторнс... схемой каждое уравнение С! )-С 10^представится в виде системы двух уравнений. Например, уравнение (1) запишется в виде: •

дЬ'^рдх Ад*1 1 ШглдР^РШ ,

01 р дх р да''

(й).

Введя безразмерные переменные и применяя векторную схему, каждое уравнение системы аппроксимируем неявной пазностной схемой по пространственной переменной и приводим к ьиду:

Щ - А )

аз)

при этом нелинейный член уравнения (?)-(8 ) квазилинеаризуется по методу Р.Беллмана. , ,

Система (12) при заданных значеш х Л0. ^е>,Л0 . На. .которые определяются граничных условий, решается методом совместной прогонки. Определяя на одном временном сл 1 значения Не , 171 искомую'функцию находим как их среднее арифметическое. Например,

. (14)

Окончание итерационного процесса ( ределяется из условий: для функции Н :

■ Ш 1 ^ 1 ' ^ (15)

для функции N¿1

тах\Л?-М(?{)\<£,£>0 (т

С У[5) и Ы?1} ЗНаЧЕ-ия функции Ус иЛ// -вычис-

ляемом и итерационном слоях: 5 - номер итерации).

Отметим, что выражение (13) обеспечивает второй порядок

аппроксимации дифференциальных уравнений,т.к. первое уравнение системы (12) аппроксимируется левой, а второе правой разностными схемами и ввидуТт/^Т/г* Д-ля получим, как-бы центральную разность^л схему. А это имеет точность О ( к К"

В разделе 3.2 приводится математическая модель вычисления перепада давления в процессе фильтрования. При У=сопзЬ из (1)-(2),(9) имеем:

к -а -

Р'Ш*Ро+] Ж*

* '61

а?)

di 0 ах. di , di * °дх

дти г г дп+М-La dJL+%lllL-~W 0 дл di~dx *«-да Р да:

(Д>- коэффициент искусственной вязкости;$о- коэффициент баро-

диффузии; CJ = ).

ООН

Недостающие уравнения и краевые условия те ке, чтои'выше. Эта задача также реиается по векторной схеме.

Если половить /Я -const, ci'=const, т.е. за начальное время принимать то время, когда суспензия начинает проходить через границу = I*. то система состоящая из'первого уравнениЖ 1?) и (3) допускает аналитическое решение. Такое решение получено-операционным методом Лапласа при yCiCbcor.st.

В разделе 3.3 приводится исследование устойчивости разностной схем для уравнения диффузии и массообмэна.Применяя квазилинеаризацию .Беллмана к нелинейному члену уравнения (6)-(&) и векторную схему, аппроксимируя полученную систему неявной разностной схемой с весом, запишем уравнения в каноническом виде

где

, as)

- и -

Я€ГС<-Л0+Ся СоЛ

k

WA* e-^Ao+CzV.

Операторной и не самосопряженные. Если существует Л то, действуя опзратг im на (13), получим:

1-Е «д) :

«Р

С помсцью общей методики Я.А.Самарского и Й.В.Гулина для схемы (19) получена оценка устойчивости.

В разделе 3.4 рассмотрено теиение-обратной задачи процесса фильтрования, заключающаяся в -определении параметров А ., /С0 из минимума функционала

Л .

(Ара)-арал)* ,

J=I . ■

■ где

?Ы)=в0\(> [9 {-^--ХГГЦ -ц

APn.j)~ полином Чебкыева, аппроксимирующий таблично заданные

значения давления. При расчетах ЛРС£) линеаризуется и приводится к виду:

где = 5 - покер итерации.

Параметры находятся из системы линейных алпл^аических уравнений

• «Л о.

а к, а\ вт

, Итерационный процесс продолжается до выполнения условия

:гв ' I ^ - .¿-о.

Для сдной серии исходных данных, снятых из "чаграммы, установленной. на фильтровальной колонне Ферганско.о завода искусственных. химических волокон, значения идентифицируемых параметров оказались равными; -а < . „

к0*<идарсц , МОМ Ю Зъ , ¡Г* 0,004.

Отметим, что найденные параметры, в общем случае, могут отличаться от лабораторн'-', т.к. они представляют собой параметры математической модели, а не реального физического процесса.

ГЛАВА 4 посвящена вычислительным экспериментам по исследовании адекватности математических моделей реальным процессам.

В разделе 4.1 приведена осредненная по пространственной переменной модель процесса фильтрования, которая мо*ет служить инструментом для быстрого анализа рехима работы фильтра.

Применяя общую методику раздела 2.1 и 2.2,уравнения баланса

и кинетики (2)-(4) интегрируем по всей области Т) ( ]) - Ъ + область, занятая суспензией;. область,

занятая осадком; 5 -произвольная область, занятая фильтратом) 3

21

Л д1 Ш дх (/яу Я

2

с(П

(яо)

где^*'- индикатор идласти Т}СК] заданный ео всей области 5 и

/V

О, при ссеСд

ск)

Ъ - область Т) вмес со своей границей;^ ' - дополнение области 5(к,до всей области ■]) .

Выполняя операцию интегрирования, из (¿0) получим:. • д^

= хс9гт

Ш)

При Ш - СОП$% уравнения процесса фильтрор^ния, приведение в разделе 2.2 будут иметь вид: •

//! ¿/Ш-6!з) й£ .^НоУ

х> си ~ н ~ Дк0а-№

ЛВ Ь-М) "14_ ' •• Г(22)

Ж НсСШ '

1*0 }/-ЪГо,вгО,Р-ОУ-0, )

где 9- исходная концентрация взвеси в суспензии; в^НУ- концентрация взвеси, осевшей на поверхность, фильтра; концентрация взвеси, проте.зющая через фильтровальную ггпегородку за рассматриваемую область;Т - объем отфильтрованной жидкости; Р. - площадь фильтра.

Система (21)-( 221,послр исключения—гг- из первого уравне-

сИ

нис (22), решается методом Кутта-Мерсока. Результаты расчета сопоставлены с результатами задачи ()-(11) и экспериментальными данными, г.роф. Н.У.Ризаева. Расхокдение изменения скорости по времени в'модельной задаче от лабора- рных данных составляет около 192, а в модели, заданной уравнениями (1)-(5) - не более 10И.

В разделе 4,2 выявлено влияние пористости и прош. .аемости н? процесс Фильтре, алия, при этом принято, что проницаемость Фильтра подчиняется закону

Здесь же проведены расчеты по уравнениям (6)41; при/71 =сопэ1, \дГ =сопз1 для* обессоливания воды промышленной, установки химического цеха ТашГРЭС от ионов кальция, магния и натрия. Алгоритм ррплизойан д.'"' Н-катионирования первой ступени. Общая кесткость воды 2,5 мг-зкв/л и постоянные изотермы О. =0,372;

$ =0,16. В результате получено, что насыщение фильтра происходит за 15,7 час. Практическое (среднее) время переключения составляет 16.2 часа, что позволяет судить об адекватности математической модели Физическому процессу.

В разделе 4.3 приводятся расчеты по выявлению влияния ион-ого обмена . на пористость и проницаемость фильтра, которые осуществлялись по формулам (10). С учето» первого уравнения '(10), уравнение (6) принимает вид:

дп ,д¥п fJ_ л. s, дМ_ 9 а дп , д сг + A]di~ dz^M

При реализации этой модели, на каждом временном слое, итерационный процесс продолжается до выполнения условия (16) и

max\fics)-/tf')\<à , Z>О ■ (Ш

L

Математическая модель и вычислительная схема особенно усложняется, если пористость меняется как & результате ионного обмена, так и из-за отложения в них взвешенных частиц.

Уравнения баланса (25 и (6) с учетом С5) и (10) принимают вид:

V ^Ti за: - Ох Ш

m 11 + (i-SSL ) VLt я)*

+ ewti- ^ M.

да: да ôic

(2?)

где

V171 а-т0-9) + (/я.-/п,>

) О 4

Недостающие уравнения и краевые условия этой задачи те ае, что и выше.

Особенность этой модели заключается в том, что кавдая функция. входящая в эту систему, зависит от всех других искомых

7

величин. Для реализации зтой системы следова.ло бы на кавдом временном слое вычислить. В , $ , П . . Несмо.^я на то, что метод совместной прогонки позволяет вычисление всех функции на каждом временном слое, однако расчетные формулы для коэффициентов прогонки ч. езвычайно слоиные. С теми ае коэффициентами системы (13), расчеты мокни производить следующим . образом.. В уравнении (24) значения. Л и «V принимать как из-иестные. Затем, подставля. найденные значения , 9 . ^ . в (25), (6)-(7) вычислять значен..^ И и $ на этом ве временном слие. Все искомые функции считаются найденными, если выполняются одновременно все условия (15)-(16), (23) и

Такой подход, естественно, требует значительно больше машинного времени. Однако, такая схема вычислений оправдывается тем, что максимально приблиаает вычислительный алгоритм к реальным физическим процессам.

Предлохенная схема реализована на ЭВМ. В процессе вычислительного эксперимента получены изменения искомых функций, как по ширине перегородки, так и во времени. Получены законы лзме-ненил пористости и проыцаемостй фильтра как за счет отложения взвешенных частиц, так и ионного обмена..

Основные результаты^ выводы.

1. Разработана математическая модель процесса разделения » компонентов. сусгГензии методом механического'и'.ионообменного

фильтрования для отделения ::ак взвешенных частиц, так и ионных примесей.

2. Получена система дифференциальных уравнений в частных произзодных и указаны пути смыкания системы.

3. Разработана разностная схема, основанная на векторной схсме для решения задачи.

'4. Проведено исследование устойчивости разностной схемы для уравнения . диффузии и массообмена и получена априорная.оценка как для неоднородного операторного уравнения, так и для однородного.При этом сходимость итерационного процесса установлена .•численно. •

5. Для постоянной скорости, потока разработана математическая

■- 17 - '

модель расчета перепада давления в фильтровальной колонке. При определенных допущениях получено аналитическое решение задачи процесса фильтрования.

6. Для минимизации функционала предложена математическая модель, на ее основе решена обратная задача по определению и уточнению параметров фильтрования суспензии.

7.В результате вычислительного эксперимента выявлено влияние пористости и проницаемости на процесс фильтрования, а также процесс ионного обмена на пористость и проницаемость фильтра.

8. Разработан? математическая модель процесса фильтрования для быстрого анализа режима работы ишьтра.

9. Получение математические модели процесса фильтрования исследованы на адекватность реальному процессу на примере очистки раствора ацетатного химического волокна от взьетаеььых частиц. Получение численные результаты сопоставлены с данными производственного э перимента Ферганского завода искусственного химического волокна.

10. Путем вычислительного эксперимента определены оптимальная скорость подачи раствора в колонку в зависимости от его заг-' рязненности, толцина однослойного фильтра, а Тикже каждого из слоев для случая двухслойного фильтра, время работы фильтра и . концентрация взвеси протекающей через фильтровальную колонку.

11. Разработан комплекс программ для расчета класса задач процесса ионообменного фи-.отрсвания на языке "Фортран"-БЗСМ-6.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. численному решению уравнений онообменной сорбции. //Вопроси вычислительной и прикладной математики, - Ташкент , ЙК с ВЦ ЙН УзССР, 1971,вып. 7, с. 1.6„ -178.

Совместно с Ф.о.Абуталиевым, З.Азизозой.

2.Расчеты процесса ионообменного фильтрования.//Там же,1975, вып. 33, с. 152-162.

Совместно с Ф.Б.Абуталйевым, Н.У.Ризаевым.

3. Об уравнениях ионообменного фильтрования, и методах их решения.// Там же,1976, вып. 40,с.94-108.

Совместно с'Ф.Б.Абуталйевым.

4.Ионообменное фильтрование мало концентрированных суспензий. //Там же, 1977, зып. 45. с. 101-111.

5.К численному ревениж одномерной задачи ионообменного филь-

• • - 18 -трованид.//Там se. 1977, btm. 46, с. 116-129

6. Программа расчета процесса иоиообменног-о'фильтрования.// Алгоритмы,- Ташкент, РИСО АН УэССР. ПК с ВЦ ЙН JsCCP, 1977,

• вып. 31 .с. 50-58.

7. Программа расчета задачи ионообменного фильтрования по схеме Сзмарского-Фрязинова.// Там же'. 1977, вып. 33, е. 45-52.

8. Расчет перепада давления в процессе фильтрования.//Вопро-' сы вычислительной и прикладной математики. - Ташкент, РИСО АН

УзССР,ИК с ВЦ АН УзССР. i978. вып. 81, с. 41-44.

9. Упрощенная модель процесса фильтрации смеси. //Дел. руко пись.от 9.09.1989, К 1532.

10 К вопросу фильтрации растителонкх масел. //Деп. рукопись, от 9.09.1987, N 1633. '

11. К ~еории фильтг-.ции с учетом сжимаемости слоя.//Деп.рукопись.от 9.09.1987. N 1634.

• 12. Расчет обезвоживания ионизированных суспензии иснитным фильтром. //Вопросы вычислительной и прикладной математики. - Ташкент. РИСО АК УзССР. ИК с ВЦ ЙН УзССР. 1988, вып. 84, с. 150-156.

Совместно с Н.Равшановим.

13. Реыения задачи фильтрования растительных масел на основе вычислительного эксперимента на ЭВМ.//Деп. рукопись, Oí '30.05. 1988,К 1882.

Совместно/с Н. Равшановым.

14. Математическая модел. процесса ионообменного фильтрования двухслойным фильтром. // Ыатеоиалы республиканской конференции по "Механика жидкостей и многофазных сред".Таы'^нт", 1988, с. 7

Совместно с.О.Е.Абуталкевкм. .15. К вопросу ионообменного фильтрования ионизированных мало-

• концентрированных жидкостей.//Материалы Всесоюзной конференции ' "Числен; :е методы pt-ения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости", Новосибирск. 1980.

Совместно с Ф.Б.Абута. :евыы.

, Подписано з печать ¿-¿¿У. Заказ^_• Тираж -/£>С> экз.

Отпечатано на ротапринте в Ж с Я! ЕЛО " Кибержткка " АК РУз. VOOT25, г. Ташкент - 125, ул.." О. Ходкаева, 3Ч