автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели и алгоритмы программ для финансовых рынков, подверженных массовой скупке акций

На правах рукописи

Пилосян Элина Анатольевна

МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ПРОГРАММ ДЛЯ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ, ПОДВЕРЖЕННЫХ МАССОВОЙ СКУПКЕ АКЦИЙ

Специальность: 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ростов-на-Дону 2009

003481281

Работа выполнена, в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Ростовский государственный университет путей сообщения"(РГУПС).

Научный руководитель

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Павлов Игорь Викторович

доктор технических наук, профессор Белявский Григорий Исаакович

доктор экономических наук, кандидат технических наук, доцент Чефранов Сергей Георгиевич

Ведущая организация

Самарский государственный университет

Защита состоится 23 ноября 2009 г. в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д 218.010.03 по техническим наукам в Ростовском государственном университете путей сообщения по адресу: 344038, г. Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового полка Народного Ополчения, 2, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан

Ж

»октября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 218.010.03, доктор технических наук, профессор

М.А. Бутакова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние месяцы 2008г. и в начале 2009г. по мере развития кризиса в России, падения курса рубля и роста доллара и евро значительная часть населения России начала скупать валюту и держать ее «под сукном». Эту массовую скупку можно понимать как агрессивную скупку рисковых активов со стороны большого числа скупщиков. Изучению математических моделей, которые можно использовать для различных расчетов на такого рода финансовых рынках, и посвящена данная диссертация.

Агрессивная скупка акций (в литературе употребляется также термин «активная скупка акций») — это неотъемлемая часть функционирования финансовых рынков.

Агрессивная скупка, акций — действия одного или группы инвесторов по интенсивному приобретению акций какой-либо компании. Нередко для скупки привлекаются профессиональные участники рынка ценных бумаг, что не позволяет быстро определить, кто является ее действительными инициаторами и сколько их. При этом используются методы прямого обращения к акционерам, а именно: публикации в средствах массовой информации с предложением продать акции, развешивание объявлений в непосредственной близости от предприятий или местах проживания его акционеров - работников компании, направление писем акционерам. Иногда возле проходной предприятия останавливается автобус, в котором оформляются договоры купли-продажи акций и выплачиваются наличные средства.

Агрессивная скупка акций производится на основе очень многих факторов, совокупностей различных деловых показателей, правильный анализ которых неподготовленному человеку произвести очень сложно. Именно поэтому начинающие инвесторы во многих случаях прогорают, пытаясь самостоятельно играть на бирже, производить массовую скупку акций.

В современной экономике, чтобы выжить, нужно постоянно развиваться, поэтому крупные российские компании часто скупают мелкие. Это и есть одна из причин агрессивной скупки. Крупные компании скупают акции у многих мелких акционеров с разными целями: собрать достаточное количество акций для того, чтобы получить место в совете директоров, чтобы влиять на принятие решений в компании, чтобы получить блокирующий или контрольный пакет

акций и т.п. Как только необходимое количество акций будет куплено, скупка прекращается. Во время агрессивной скупки цена акций стремительно растет. Как только скупка прекращается, бывает, что акции невозможно продать пи по какой цене. Последнее в первую очередь относится к акциям региональных предприятий. Спрос на акции этих предприятий очень нерегулярный. Если не успеть продать акции во время скупки, то следующая возможность может представиться не скоро, а может и вовсе не представиться.

Моделирование финансовых рынков, подверженных агрессивной скупке акций, - задача весьма сложная. В настоящей диссертации вводятся, исследуются и рассчитываются модели (В, 5)-рынков. состоящих из безрискового банковского счета и акций одного типа, скупаемых большим числом агрессивных скупщиков. При этом принципы моделирования и техника расчетов основываются на теории хааровских интерполяций финансовых рынков, предложенной проф. И.В. Павловым и развитой им и его учениками М.Н. Богачевой, А.Г. Данекянц, Т.А. Волосатовой, Г.А. Можаевым, а также автором данной диссертации.

Отметим, что в последние сорок лет наблюдается бурное развитие методов стохастического и технического анализа, связанных с моделированием эволюции цен акций, облигаций, вторичных ценных бумаг (опционов, фьючерсов, форвардов и др.). В основе многих исследований этого направления лежит теория мартингалов. В нашей стране глубокие результаты, связанные с применением теории мартингалов к финансовой математике, получены членом-корреспондентом РАН, профессором А.Н. Ширяевым, его учениками и участниками руководимых им научных семинаров в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН и Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова. В список этих ученых входят A.A. Гущин, Ю.М. Кабанов, Д.О. Крам-ков, A.B. Мельников, A.A. Новиков, В.Н. Тутубалин, В.М. Хаметов, A.C. Черный и др. На юге России в указанном направлении активно работают Г.И. Белявский, И.В. Павлов, Д.Б. Рохлин и др. Среди иностранных ученых выделим Ф. Делбаена, Ж. Жакода, Д. Зондермана, М. Йора, И. Каратзаса, Д. Мадана, Ю. Мишуру, К. Стрикера, X. Фельмера, В. Шахермайера, М. Швайцера, А. Шида, С. Шрива.

Наиболее привлекательными с вычислительной точки зрения являются модели полных безарбитражиых рынков, для которых получены результаты, име-

ющие законченный вид. Поэтому представляется весьма актуальным изучение и применение процедур, позволяющих интерполировать неполные финансовые рынки полными, что и делается в данной диссертации.

В связи с кризисными событиями, происходящих на финансовых рынках, существует неотложная потребность в инструментах, позволяющих производить весьма сложные расчеты, такие, как определение справедливых цен страховых премий, построение хеджирующих портфелей ценных бумаг и т.д. Создание таких инструментов основано на разработке соответствующих алгоритмов и численных методов. Это дополнительно свидетельствует о том, что направление исследований, которым посвящена настоящая диссертация, является актуальным.

Объектами исследования настоящей диссертации являются финансовые рынки в период массовой скупки рисковых активов (в частности, скупки иностранной валюты).

Целью диссертационной работы является построение моделей безар-бптражных неполных финансовых рынков, подверженных массовой (агрессивной) скупке акций, теоретическое исследование этих моделей (в частности, на возможность их преобразование в полные модели), разработка алгоритмов для вычисления хеджирующих портфелей различных финансовых обязательств в рамках этих моделей и создание программного комплекса, позволяющего доводить все полученные формулы до числа.

Для реализации этой цели потребовалось решить следующие задачи:

1) создать модель (В, 5)-рынка в случае агрессивной скупки акций со стороны бесконечного (счетного) числа конкурирующих скупщиков;

2) смоделировать случайное поведение скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цен на акции и внедрить это в основную модель;

3) получить новые результаты в теории хааровских интерполяций финансовых рынков, связанные с так называемым усиленным свойством хааровской единственности;

4) разработать методику сведения исследуемой бесконечномерной модели к модели с конечным числом состояний (конечным числом агрессивных скупщиков);

5) разработать алгоритмы вычислений цен акций в интерполирующем (В, S)-рынке, а также алгоритмы вычисления справедливых цен финансовых обязательств и компонент хеджирующих портфелей;

6) создать программный комплекс, реализующий эти вычисления.

Методика исследований. При решении перечисленных задач применялись методы и результаты теории вероятностей, стохастического анализа и теории мартингалов, финансовой математики, методы решения оптимизационных задач, теория алгоритмов и структур данных, имитационное моделирование.

Реализация программного комплекса осуществлялась с помощью кроссплат-форменной библиотеки Qt4 и её расширений. В качестве основного алгоритмического языка выбран объектно-ориентированный язык С++. Для решения задач оптимизации и построения графиков использовались сторонние кроссплат-форменные библиотеки — GLPK и Qwt. Программный комплекс отвечает следующим требованиям: функционирование на ряде популярных программных платформ (Windows, Linux, Mac OS X), высокая производительность, эргономичный пользовательский интерфейс, расширяемость новыми моделями.

Научная новизна. Построен и исследован спектр моделей неполных безарбитражных {В, 5)-рынков в случае агрессивной скупки акций со стороны большого (бесконечного) числа агрессивных скупщиков. Для решения проблемы преобразования неполных безарбитражных рынков в полные модернизирован (для рынка с бесконечным числом состояний) метод случайных хааров-ских интерполяций финансовых рынков. Получены новые теоремы, связанные с усиленным свойством хааровской единственности, и формулы хеджирования на интерполирующем рынке с бесконечным горизонтом. Разработана процедура перехода от рынков с бесконечным числом состояний к рынкам с конечным числом состояний. На основе ряда оригинальных алгоритмов создан универсальный программный комплекс, позволяющий производить расчеты как на рынках с конечным числом агрессивных скупщиков, так и на рынках с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций.

Выносимые на защиту результаты.

1. Общая динамическая модель (В, S)-рынка (состоящего из безрискового банковского счета и акции одного типа), подверженного агрессивной скупке акций со стороны бесконечного числа агрессивных скупщиков.

2. Модель случайного поведения скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цеп на акции, позволяющая получать различные специальные модели в зависимости от закона распределения случайной величины, равной порядковому номеру доступа каждого скупщика на рынок (примеры—распределения Фарри и Пуассона).

3. Оригинальный метод сведения расчетов на финансовых рынках с бесконечным числом состояний к расчетам на конечных рынках.

4. Новое интерполяционное свойство мартингалъных мер— усиленное свойство хааровскоп единственности— и теорема о выполнении этого свойства.

5. Формулы совершенного хеджирования для интерполирующего рынка, являющегося (В, 5)-рынком относительно специальной хааровской фильтрации с бесконечным горизонтом.

6. Метод интерполирования исходного многошагового финансового рынка (В, 5)-рынком с непрерывным временем, обоснованный соответствующими теоремами.

7. Основанные на методе случайных хааровских интерполяций вычислительные схемы расчета справедливой цены и компонент хеджирующего портфеля в условиях интерполирующего (В, 5)-рынка для произвольных финансовых обязательств, заданных в финальный момент времени.

8. Программный комплекс "Хеджирование посредством интерполяции", базирующийся на строго обоснованных вычислительных алгоритмах.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть применены хеджерами и эмитентами акций и вторичных ценных бумаг, когда на рынке происходит массовая скупка рисковых активов. Основные положения работы, а также алгоритмы разработанного программного комплекса уже находят применение в практической работе ряда компаний (ДКРС-Сочи ОАО "РЖД", ООО "Эко-Энерго-Холдинг", ООО "Интерлесстрой"), использующих современные компьютерные технологии. Полученные в диссертации теоретические результаты, связанные с развитием теории интерполяции неполных безарбитражных финансовых рынков, значимы как вклад в стохастическую финансовую математику.

Достоверность результатов работы подтверждается

1) математическими доказательствами, результатами моделирования и обработки данных;

2) апробацией этих результатов на всероссийских и международных конференциях и научных семинарах;

3) актами внедрения диссертационных разработок.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных, всероссийских и региональных научных конференциях и семинарах:

1) VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и на 14-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Сочи-Адлер, 29 сентября-7 октября 2007г.);

2) региональных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава при РГЭУ (РИНХ) (г. Ростов-на-Дону, 2007-2008 гг.);

3) VIIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 1-8 мая 2008г.);

4) IV Всероссийской научно-практической конференции "Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий"(г. Сочи, 13-18 мая 2008г.);

5) Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (пос. Абрау-Дюрсо, 9-15 сентября 2008г.);

6) X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и на 16-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Санкт-Петербург, 19-24 мая 2009г.);

7) кафедральных семинарах по финансовой математике и стохастическому моделированию при кафедре высшей математики РГСУ (рук. — проф. Павлов И.В.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, в том числе 4 без соавторов. Из них 6 публикаций в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (80 наименований), приложения. Каждая глава разбита на 3 параграфа. Нумерация параграфов двойная: первая цифра указывает номер главы, в которой расположен параграф, а вторая

цифра — номер самого параграфа. Аналогична нумерация определений, теорем и т.п. Нумерация формул и рисунков сплошная. Работа проиллюстрирована 66 рисунками и изложена на 162 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Краткое изложение основных результатов диссертации. Возникает вопрос: каким образом действовать, когда скупщиков на рынке очень много или их количество заранее неизвестно? В этом случае с математической точки зрения наиболее естественно считать, что на рынке действует бесконечное (точнее, счетное) число агрессивных скупщиков. Дерево стохастического базиса таких моделей представлено на рис. 1 (для удобства чтения диссертации основные понятия стохастической финансовой математики приведены в параграфе 1.1).

Первая модель такого рода была предложена в работе И.В. Павлова и А.Г. Данекянц1. Модель упомянутой работы — это бесконечномерный (безарбитражный, но не полный) вариант модели Кокса-Росса-Рубинштейна (см. монографию А.Н. Ширяева2). Используя метод хааровских интерполяций (обзор конечномерных результатов, принадлежащих И.В. Павлову, М.Н. Богачевой и, в меньшей степени, автору диссертации, содержится в параграфе 1.2), с помощью любой исходной мартингальной меры Р* эту модель можно преобразовать к модели полного и безарбитражного рынка. В параграфе 2.2 настоящей диссертации получены формулы, на основе которых строятся совершенные хеджи в рамках упомянутой преобразованной модели. В данной диссертационной работе мы изучаем значительно более широкий класс моделей (Б, 5)-рынков с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций (обзор моделей с конечным числом агрессивных скупщиков — эти модели с разных позиций исследовали Г.И. Белявский, И.В. Павлов, Г.А. Можаев и автор диссертации — представлен в параграфе 1.3).

Опишем содержание главы 2, в которой содержатся основные теоретические результаты диссертации.

В параграфе 2.1 для статической (то есть одношаговой) модели финансового рынка с бесконечным числом состояний вводится новое важное интерполя-

1 Модель (В,5)-рынка с бесконечным числом скупщиков акций и совершенное хеджирование методом хааровских интерполяций. /,/ Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2005, Т.12, В.1, С.143-144.

2Основы стохастической финансовой математики. // М.: ФАЗИС, 2004, Т.1,2.

ционное понятие: усиленное свойство хааровской единственности мартингаль-ной меры (УСХЕ). Отметим, что это понятие является новым и для моделей с конечным числом состояний, но в этих моделях оно играет меньшую роль, чем в бесконечномерных моделях. Основным результатом данного параграфа является теорема 2.2, в которой описываются условия на рынок, обеспечивающие выполнение УСХЕ для любой мартингальной меры рассматриваемого рынка. Выполнение этих (часто реализующихся) условий обеспечивает возможность интерполяции безарбитражных и неполных финансовых рынков безарбитражными и полными рынками (относительно специальной хааровской фильтрации с бесконечным горизонтом). В параграфе 2.2 выводятся формулы совершенного хеджирования ограниченных (и более общих) финансовых обязательств на полученном интерполирующем рынке. В параграфе 2.3 результаты параграфа 2.1 обобщаются для динамических (то есть многошаговых) моделей финансового рынка с бесконечным числом состояний. При этом впервые применено интерполирование дисконтированных цен акций скачкообразными мартингалами с непрерывным временем.

Перейдем к главе 3. Ясно, что степень влияния на финансовый рынок одних скупщиков более значима, нежели других. В каждый момент времени мы производим разбиение скупщиков на два класса: сильных (приоритетных) и слабых (неприоритетных). Приоритетные скупщики работают на рынке энергичнее, быстрее других оперируют на нем и, тем самым, имеют возможность скупать акции по более низкой цене (в условиях достаточно ярко выраженного роста последней). При таком разбиении число неприоритетных скупщиков будет бесконечно, а влияние каждого из них на рынок значительно меньше, чем каждого из приоритетных. Естественно произвести объединение всех неприоритетных скупщиков в одного (усредненного), который скупает акции по некоторой усредненной цене. В результате применения вышеописанного метода мы аппроксимируем исходный финансовый рынок (В, 5)-рынком с конечным числом агрессивных скупщиков акций. Покажем, как это делается (подробное изложение содержится в параграфе 3.1, важные примеры приведены в параграфах 3.2 и 3.3).

Пусть П — счетное множество. Рассмотрим фильтрацию (./V < оо)

к=1 к=2 к=3

т4 >4

ГАГ ►4' *■ 4

► 4 - >4

А

ЗГ.4 ->4

> 4 - - >4

- —► 4

А

▼ 4

« \

•ч *4

\ А

*В3

Рис. 1.

следующего вида:

¿о = {Я 0} ,Ъ = <г {«;:•' А\, А1.... 4,...;

..........4-1

где А), (/с = 1,2,..., ЛГ; г = 1, 2....) —событие, заключающееся в том, что акция скуплена г-м скупщиком в момент времени к] событие В/: (к = 1,..., ЛГ) заключается в том, что к моменту времени к акция оказалась не скупленной. Как всегда, предполагаем, что Т = ^дг. Если М — некоторое множество, то символом \М\ мы будем обозначать число элементов множества М.

Поскольку компьютерная техника может оперировать только конечномерными структурами данных (а в нашей модели П — счетное множество) возникает вопрос: каким образом можно аппроксимировать исходную модель рынка моделью с конечным числом состояний. Оказывается эту задачу можно решить,

если для каждого момента к = 1, 2,..., Л' применить следующую процедуру:

1. определить порядок доступа скупщиков на рынок;

2. задать значения цен акций;

3. выделить приоритетных скупщиков и определить неприоритетных скупщиков, которыми нельзя пренебречь; из этих последних сформировать усредненного неприоритетного скупщика, а оставшимися неприоритетными скупщиками пренебречь; в результате получить модель (В, ¿)-рынка с конечным числом состояний;

4. определить интерполяционные свойства полученной модели.

Опишем кратко эту процедуру. Пусть Z = (Zk, ^vt)b=o ~~ адаптированный случайный процесс, под которым мы понимаем дисконтированную стоимость акций определенного типа, подверженных агрессивной скупке со стороны счетного числа агрессивных скупщиков. Пусть =1,2,...; d\ > —1) — монотонно возрастающая ограниченная последовательность процентных ставок, определяющая дисконтированные цены акций Zk следующим образом:

'ад =^-i(BA-_1)(i+d00)

Zk(Af) =Zk-1(Bk.i)(l + di) (¿=1,2,...)

Zk(Af) =Zk-X(Af) (j = l,2,...,Ar — 1; г = 1,2,...) '

/ (1) (2) (О \ где (nk ,... ,nk ,...) — перестановка последовательности натуральных чисел (1,2,..., г,...), к = 1,2,3,..., 7V. Число п\означает, что в промежутке

между моментами времени к — 1 и к г-й скупщик получил доступ на рынок под (О

номером пк .

Основные предположения таковы:

• Последовательность d, строго возрастает, причем: lim d; < dx, < оо, d{ -ф

i—>оо

О, Vi.

• Рынок безарбитражен, т.е. выполняется одно из условий:

- 3 / < оо, что di < d-2 < . ■ ■ < d/ < 0 < di+) < d/+2 <

- di < d2 < ... < 0 < c4o •

Зададим некоторым образом число c. (d\ < с < lim di), которое мы будем

называть критериальной процентной ставкой для отбора приоритетных скупщиков. Число приоритетных скупщиков т определим следующим образом:

Ясно, что 1 < т < оо. Всех остальных скупщиков будем считать неприоритетными. Этих последних разобьем на два класса: на конечное множество неприоритетных скупщиков, которыми нельзя пренебречь, и на счетное множество остальных неприоритетных скупщиков, которыми мы будем пренебрегать.

Опишем процедуру нахождения т. неприоритетных скупщиков, которыми нельзя пренебречь. Пусть е (0 < е < 1) — некоторое число, отражающее точность перехода от модели с бесконечным числом состояний к конечной модели. Полагаем:

Ясно, что 0 < т < оо. Будем предполагать,что акция скупается «усредненным» неприоритетным скупщиком по усредненной процентной ставке

В зависимости от значения процентной ставки d возможны две ситуации:

• d = 0; полагаем новое значение т равным fh — т + 1 и пересчитываем d по формуле (2); при этом d становится строго положительным;

• d 0; коррекция не требуется.

Отметим, что если d> lim di, то всегда d < 0 (коррекция не требуется).

т = тах {г : d, < с} .

(2)

Такая процедура перехода к (В,8)-рынку с конечным числом агрессивных скупщиков обеспечивает справедливость следующего результата: при описанном выборе приоритетных и неприоритетных: скупщиков данный (В, S)-рынок можно естественным образом, аппроксимировать рынком с конечным числом состояний, удовлетворяюшим свойству универсальной хааровсхой единственности.

Свойство универсальной хааровской единственности и его роль описаны в параграфе 1.2. Применение этого свойства (точнее, его ослабленной версии) в процедурах совершенного хеджирования продемонстрировано в параграфах 3.2 и 3.3.

В главе 4 подробно описан созданный в рамках настоящей диссертации программный комплекс «Хеджирование посредством интерполяции». В основе его реализации лежит набор алгоритмов, полученных на этапах анализа процессов предметной области (постановки задачи), моделирования и детального проектирования программного средства (параграф 4-1)■ Перечислим основные из них.

Алгоритм 1. Общий алгоритм работы программного комплекса.

Это укрупненный алгоритм, согласно которому программный комплекс функционирует и взаимодействует с пользователем.

Алгоритм 2. Алгоритм, согласно которому комплексом производится конструирование модели (В, ¿¡^-рынка с произвольным числом агрессивных скупщиков.

Алгоритм 3. Порядок ведения финансовых расчетов.

Алгоритм 4. Определение приоритетных, неприоритетных и усредненного скупщиков.

Программный комплекс разбит на основное ядро и модули (параграф 4-2). Ядро программы предоставляет базовый функционал, необходимый для работы с дискретными структурами финансовых рынков. Модули реализуют алгоритмы для работы с конкретными моделями (5,5)-рынков. Реализовано прозрачное взаимодействие ядра и модулей посредством класса «Абстрактная модель». При таком подходе ядро комплекса не знает с какой конкретно моделью оно работает. Это значительно упрощает расширение комплекса новыми моделями финансовых рынков. После того как пользователь сконструировал модель, ком-

плекс начинает взаимодействовать с конкретным модулем (через абстрактную модель).

Для конструирования моделей создан специальный расширяемый «мастер», организующий пошаговый диалог с пользователем программы. Дополнительное расширение функциональности «мастера» производится с помощью специальных внешних сщшвочников. Каждый справочник представляет собой XML файл, в который заложена реализация определенного алгоритма. Автором настоящей работы были разработаны справочники, содержащие реализации алгоритмов определения приоритетных и неприоритетных скупщиков, а также генераторов случайных чисел. Работа с исполнимым кодом справочников организована с помощью технологии QtScript библиотеки Qt4, позволяющей исполнять внешние сценарии в среде основного приложения. Справочники также содержат правила задания параметров, являющихся для реализуемых алгоритмов исходными данными, и устанавливают значения результирующих переменных. Таким образом, логика, связанная с переходом от бесконечномерной модели к конечномерной, вынесена из основной программы. Последнее легко позволяет расширять функциональность программного комплекса путем добавления новых справочников и использовать наработанную технологию при реализации новых моделей финансовых рынков.

Реализация программного комплекса выполнена с помощью кроссплатформен-ной библиотеки Qt4 и её расширений. В качестве основного языка программирования выбран объектно-ориентированный язык С++. Для решения задач оптимизации используется сторонняя библиотека GLPK, написанная на языке Си. Для построения графиков используется сторонняя библиотека. Qwt (написана на С++ с использованием Qt4). Таким образом, удалось получить программный комплекс, отвечающий современным требованиям, предъявляемым к программному обеспечению, таким как: функционирование на ряде популярных программных платформ (Windows, Linux, Mac OS X), высокая производительность, эргономичный пользовательский интерфейс. Программный комплекс успешно справляется с вычислениями в рамках рассмотренных моделей финансовых рынков (параграф 4-3) и может быть расширен новыми моделями.

Приведем пример вычислений с использованием программного комплек-

са. Рассмотрим безарбитражный (5,5)-рынок со счетным числом агрессивных скупщиков акций. Произведем переход к конечномерной модели, используя средства программного комплекса. Для этого с помощью «мастера» сконструируем модель исходного (В,5)-рынка (рис. 2)).

Рис. 2. «Мастер» создания новой модели.

Выберем модель финансового рынка с агрессивными скупщиками. Шаги создания этой модели продемонстрированы на рисунках 3-6.

Рис. 3. Выбор типа модели и шаги «мастера» для её создания.

Пусть горизонт модели N = 2, а количество действующих на рынке скупщиков бесконечно (рис. 4).

Выберем закон, определяющий значения процентных ставок, число приори-

/

Рис. 6. Выбор закона, определяющего порядок попадания на рынок приоритет-| ных скупщиков акций.

На рисунке 7 показана схема полученной программным комплексом конеч-

— — _ _ _________

Рис. 5. Выбор закона, определяющего число приоритетных и неприоритетных скупщиков акций.

Определим порядок попадания скупщиков на рынок (рис. 6)

: = ~

Рис. 4. Задание количества скупщиков и горизонта модели.

тетных и неприоритетных скупщиков. Зададим необходимые входные параметры (рис. 5).

Проц. ставки:

Приор, скуп.

Неприор, скуп.

номерной двухшаговой модели (В, ¿^-рынка. Согласно критериям комплексом определены приоритетные и усредненный скупщики. Зададим на этом рынке финансовое обязательство, например опцион-СаП Европейского типа, с контрактной ценой К = 5.

г=1,зв 2=1,38

/Ад- -

2=2,73 2=2,73

гК 3- -

2=3,18 2=3,18

-А,2- -

2=3,63196 2=3,63196

- -л1 ^=0

1=2,622

0

2=5,187

^2=0,187

2=5,7

2=6,042

.Г, = 1,042

\ 2=6,90073

\ ^2= 1,90073

\2=10,83

^2=5,83

Рис. 7. Конечномерный рынок с заданным платежным обязательством.

Программой определено, что данное финансовое обязательство не реплицируем о и вычислена область торга, из которой пользователь выбирает договорную цену контракта (рис. 8).

. Договорная цена контракта 1-Х

рВйсяите^сГ^вйрйую С я^р,81,98437.) |

И|о. 4 шоооооВВНВМНЯННННВВН! 1?

5 ■

Рис. 8. Выбор контрактной цены из рассчитанной области торга. Программным комплексом построен интерполирующий рынок (рис. 9), на

котором рассчитан совершенный хеджирующий портфель. Рисунок 10 отражает эволюцию цен актива, представленную в виде графиков (в том числе и в интерполирующие моменты времени).

Рис. 9. Интерполирующий (В, «?)-рынок.

Рис. 10. График эволюции цен активов. Совершенный канонический хедж 7г = {рп,1п)п=о показан на рисунке 11.

•;®г • I

я^нви

до I

1 с х -Ж

ж

1п «.у 2 . .....3 4 :

'1г аЁ

•5

—>—т

Рис. 11. Совершенный хедж, вычисленный программным комплексом.

Примечание. Пояснения к обозначениям, используемым в программном комплексе для отображения схемы (В, 5')-рынка: атомы -А^дооо (к — 1,2) обозначают события — акция скуплена усредненным неприоритетным скупщиком в момент времени г; атом А2$ обозначает событие—к финальному моменту времени акция оказалась не скупленной. Соответствие обозначений атомов на рисунках 9, 11 и схеме 7: Во,о обозначает В0оо, обозначает 61,00, ^2,0 обозначает В2оа-

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Павлов И.В., Пилосяп Э.А. Интерполяционные свойства мартингальных мер на сепарабельном измеримом пространстве. //' Обозрение прикл. и промышл. матем., 2007, Т.14, В.4, с. 600-662 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

2. Павлов И.В., Пилосяп Э.А. Об одном способе определения приоритетных и неприоритетных скупщиков в модели (В,3)-рынка с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций. // В сб. "Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова Абрау-Дюрсо, Ростов-на-Дону, 2008, с. 235-237.

3. Павлов И.В.. Пилосян Э.А. Моделирование финансовых рынков, подверженных агрессивной скупке акций, с помощью обобщенных специальных хааровских фильтраций. // В сб. «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания». Ростов-на-Дону. РГЭУ (РИНХ), 2009, с. 22-47.

4. Можаев Г.А., Павлов И.В., Пилосяп Э.А. О финансовых расчетах на безарбитражных (В.З)-рынках с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2008, Т.15, В.З, С.505-506 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

5. Пилосяп Э.А. Обобщенная одношаговая модель (В,Б)-рынка с бесконечным числом скупщиков акций. // В сб.: «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий», СГУТиКД, Тезисы докладов, Сочи, 2008, с. 60-62.

6. Пилосяп Э.А. Усиленное свойство хааровской единственности мартингальных мер. /'/ В сб. «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания», Ростов-на-Дону, РГЭУ (РИНХ), 2008, С.68-70.

7. Пилосян Э.А., Можаев Г.А. Методы финансовых расчетов на безарбитражных (В, 5)-рынках с бесконечным числом агрессивных скупщиков ак-

ций. /'/' Обозрение прикл. и промышл. матем., 2008, Т.15, В.5, С.819-834 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

8. Лилосян Э.А. Алгоритм определения приоритетных, неприоритетлых и усредненного скупщика акций в модели агрессивной скупки. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2009, Т.16, В.2, С.375-376 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

9. Пилосян Э.А. Структура и алгоритмы функционирования программного комплекса «Хеджирование посредством интерполяции». // Научно-технические ведомости СПбГПУ, "Информатика. Телекоммуникации. Управление. "2009, №2, с. 133-139 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

10. Павлов И.В., Пилосян Э.А. Сведение процедуры хеджирования в одно-шаговой модели (В, £)-рынка со счетным числом состояний к хеджированию на интерполирующем рынке с бесконечным горизонтом. /'/ Обозрение прикл. и промышл. матем., 2009, Т.16, вып. 4, с. 690-691 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

Вклад автора в совместных публикациях таков. В работе [1] автору принадлежит концепция интерполирования, связанная с усиленным свойством хааров-ской единственности мартингальных мер. В работе [2] автор разработал новую методику определение приоритетных и неприоритетных скупщиков акций. В работе [3] автору принадлежит детальный анализ моделей скупки акций. В работе [4] автор внес вклад в модернизацию программ, позволившую проводить вычисления на динамических моделях финансовых рынков с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций. В работе ¡7] автору принадлежит методика сведения расчетов на рынках с бесконечным числом состояний к расчетам на конечных рынках. В работе [10] автору принадлежат формулы хеджирования в интерполирующем рынке с бесконечным горизонтом.

СООТВЕТСТВИЕ ДИССЕРТАЦИИ ПАСПОРТУ СПЕЦИАЛЬНОСТИ

Объект, предмет и методы исследования находятся в рамках паспорта специальности 05.13.18-"Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ": они соответствуют формуле специальности, согласно которой "содержанием специальности является ... исследование математических

моделей ... экономических и технических объектов", а также пунктам области исследования: "1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений, перечисленных в формуле специальности"(метод ха-аровских интерполяций финансовых рынков), "2. Разработка, исследование и обоснование математических объектов, перечисленных в формуле спец-мальности"(неполные (В,S)-рынки, состоящие из безрискового банковского счета и акций), "8. Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели "(например, алгоритм сведения модели с очень большим (бесконечным) числом агрессивных скупщиков акций к модели с небольшим числом приоритетных скупщиков).

Автор выражает глубокую благодарность проф. И.В. Павлову за руководство данной работой, проф. H.H. Лябаху за ряд ценных замечаний, позволивших улучшить окончательный текст диссертации и автореферата, и к.ф.-м.н. Г.А. Можаеву за консультации при создании программного комплекса.

V1

Пилосян Элина Анатольевна

МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ПРОГРАММ ДЛЯ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ, ПОДВЕРЖЕННЫХ МАССОВОЙ СКУПКЕ АКЦИЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано к печати 01.10.2009 г. Формат бумага 60x84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.-печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ № 0993.

ИП Кривлякин С.П.

354065 г. Сочи, ул. Новоселов, 5-44

ВВЕДЕНИЕ

1 МОДЕЛИ АГРЕССИВНОЙ СКУПКИ АКЦИЙ И ХААРОВ

СКИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ

1.1 Основные понятия финансовой математики.

1.2 Хааровские интерполяции финансовых рынков на конечных вероятностных пространствах

1.3 Стохастические базисы и-модели (В, 5')-рынков, подверженных агрессивной скупке акций.

2 УСИЛЕННОЕ СВОЙСТВО ХААРОВСКОЙ ЕДИНСТВЕННОСТИ В ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ

2.1 Усиленное свойство хааровской единственности на счетном вероятностном пространстве в статической модели финансового рынка.

2.2 Совершенное хеджирование в преобразованной статической модели

2.3 Усиленное свойство хааровской единственности в динамической модели финансового рынка.

3 МЕТОДЫ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ НА БЕЗАРБИТРАЖНЫХ (В,8)-РЫНКАХ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ

АГРЕССИВНЫХ СКУПЩИКОВ АКЦИЙ

3.1 Метод сведения финансовых расчетов на бесконечномерных рынках к расчетам на (В, ¿^-рынках с конечным числом состояний

3.2 Пример агрессивной скупки, когда порядок появления скупщиков на рынке задается распределением Фарри.

3.3 Пример агрессивной скупки, когда порядок появления скупщиков на рынке задается распределением Пуассона.

4 ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СОВРЕМЕННЫХ ИНСТРУМЕНТОВ РАЗРАБОТКИ. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

4.1 Описание основных алгоритмов.

4.2 Программный комплекс «Хеджирование посредством интерполяции»

4.3 Результаты расчетов на тестовых моделях

Актуальность темы. В последние месяцы 2008г. и в начале 2009г. по мере развития кризиса в России, падения курса рубля и роста доллара (рис. 1) и евро значительная часть населения России начала скупать валюту и держать ее «под сукном». Эту массовую скупку можно понимать как агрессивную скупку рисковых активов со стороны большого числа скупщиков. Изучению математических моделей, которые можно использовать для различных расчетов на такого рода финансовых рынках, и посвящена данная диссертация.

Рис. 1.

Агрессивная скупка акций (в литературе употребляется также термин «активная скупка акций») — это неотъемлемая часть функционирования финансовых рынков.

Агрессивная скупка акций — действия одного или группы инвесторов по интенсивному приобретению акций какой-либо компании. Нередко для скупки привлекаются профессиональные участники рынка ценных бумаг, что не позволяет быстро определить, кто является ее действительными инициаторами и сколько их. При этом используются методы прямого обращения к акционерам, а именно: публикации в средствах массовой информации с предложением продать акции, развешивание объявлений в непосредственной близости от предприятий или местах проживания его акционеров - работников компании, направление писем акционерам. Иногда возле проходной предприятия останавливается автобус, в котором оформляются договоры купли-продажи акций и выплачиваются наличные средства.

Агрессивная скупка акций производится на основе очень многих факторов, совокупностей различных деловых показателей, правильный анализ которых неподготовленному человеку произвести очень сложно. Именно поэтому начинающие инвесторы во многих случаях прогорают, пытаясь самостоятельно играть на бирже, производить массовую скупку акций.

В современной экономике, чтобы выжить, нужно постоянно развиваться, поэтому крупные российские компании часто скупают мелкие. Это и есть одна из причин агрессивной скупки. Крупные компании скупают акции у многих мелких акционеров с разными целями: собрать достаточное количество акций для того, чтобы получить место в совете директоров, чтобы влиять на принятие решений в компании, чтобы получить блокирующий или контрольный пакет акций и т.п. Как только необходимое количество акций будет куплено, скупка прекращается. Во время агрессивной скупки цепа акций стремительно растет. Как только скупка прекращается, бывает, что акции невозможно продать ни по какой цене. Последнее в первую очередь относится к акциям региональных предприятий. Спрос на акции этих предприятий очень нерегулярный. Если не успеть продать акции во время скупки, то следующая возможность может представиться не скоро, а может и вовсе не представиться.

Моделирование финансовых рынков, подверженных агрессивной скупке акций, - задача весьма сложная. В настоящей диссертации вводятся, исследуются и рассчитываются модели (В, 5')-рынков, состоящих из безрискового банковского счета и акций одного типа, скупаемых большим числом агрессивных скупщиков. При этом принципы моделирования и техника расчетов основываются на теории хааровских интерполяций финансовых рынков, предложенной проф. И.В. Павловым и развитой им и его учениками М.Н. Богачевой, А.Г. Данекянц, Т.А. Волосатовой, Г.А. Можаевым, а также автором данной диссертации.

Отметим, что в последние сорок лет наблюдается бурное развитие методов стохастического и технического анализа, связанных с моделированием эволюции цен акций, облигаций, вторичных ценных бумаг (опционов, фьючерсов, форвардов и др.). В основе многих исследований этого направления лежит теория мартингалов. В нашей стране глубокие результаты, связанные с применением теории мартингалов к финансовой математике, получены членом-корреспондснтом РАН, профессором А.Н. Ширяевым, его учениками и участниками руководимых им научных семинаров в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН и Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова. В список этих ученых входят A.A. Гущин, Ю.М. Кабанов, Д.О. Крамков, A.B. Мельников, A.A. Новиков, В.Н. Тутубалин, В.М. Хаметов, A.C. Черный и др. На юге России в указанном направлении активно работают Г.И. Белявский, И.В. Павлов, Д.Б. Рохлин и др. Среди иностранных ученых выделим Ф. Делбаена, Ж. Жакода, Д. Зондермана, М. Йора, И.

Каратзаса, Д. Мадана, Ю. Мишуру, К. Стрикера, X. Фельмера, В. Шахер-майера, М. Швайцера, А. Шида, С. Шрива.

Наиболее привлекательными с вычислительной точки зрения являются модели полных безарбитражных рынков, для которых получены результаты, имеющие законченный вид. Поэтому представляется весьма актуальным изучение и применение процедур, позволяющих интерполировать неполные финансовые рынки полными, что и делается в данной диссертации.

В связи с кризисными событиями, происходящих на финансовых рынках, существует неотложная потребность в инструментах, позволяющих производить весьма сложные расчеты, такие, как определение справедливых цен страховых премий, построение хеджирующих портфелей ценных бумаг и т.д. Создание таких инструментов основано на разработке соответствующих алгоритмов и численных методов. Это дополнительно свидетельствует о том, что направление исследований, которым посвящена настоящая диссертация, является актуальным.

Объектами исследования настоящей диссертации являются финансовые рынки в период массовой скупки рисковых активов (в частности, скупки иностранной валюты).

Целью диссертационной работы является построение моделей безарбитражных неполных финансовых рынков, подверженных массовой (агрессивной) скупке акций, теоретическое исследование этих моделей (в частности, на возможность их преобразование в полные модели), разработка алгоритмов для вычисления хеджирующих портфелей различных финансовых обязательств в рамках этих моделей и создание программного комплекса, позволяющего доводить все полученные формулы до числа.

Для реализации этой цели потребовалось решить следующие задачи:

1) создать модель (В,8)-рынка в случае агрессивной скупки акций со стороны бесконечного (счетного) числа конкурирующих скупщиков;

2) смоделировать случайное поведение скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цен на акции и внедрить это в основную модель;

3) получить новые результаты в теории хааровских интерполяций финансовых рынков, связанные с так называемым усиленным свойством хааровской еди нственности;

4) разработать методику сведения исследуемой бесконечномерной модели к модели с конечным числом состояний (конечным числом агрессивных скупщиков);

5) разработать алгоритмы вычислений цен акций в интерполирующем (В, <5')-рынке, а также алгоритмы вычисления справедливых цен финансовых обязательств и компонент хеджирующих портфелей;

6) создать программный комплекс, реализующий эти вычисления.

Методика исследований. При решении перечисленных задач применялись методы и результаты теории вероятностей, стохастического анализа и теории мартингалов, финансовой математики, методы решения оптимизационных задач, теория алгоритмов и структур данных, имитационное моделирование.

Реализация программного комплекса осуществлялась с помощью кросс-платформенной библиотеки Qt4 и её расширений. В качестве основного алгоритмического языка выбран объектно-ориентированный язык С++. Для решения задач оптимизации и построения графиков использовались сторонние кроссплатформенные библиотеки — GLPK и Qwt. Программный комплекс отвечает следующим требованиям: функционирование па ряде популярных программных платформ (Windows, Linux, Mac OS X), высокая производительность, эргономичный пользовательский интерфейс, расширяемость новыми моделями.

Научная новизна. Построен и исследован спектр моделей неполных безарбитражных (В, ¿^-рынков в случае агрессивной скупки акций со стороны большого (бесконечного) числа агрессивных скупщиков. Для решения проблемы преобразования неполных безарбитражных рынков в полные модернизирован (для рынка с бесконечным числом состояний) метод случайных хааровских интерполяций финансовых рынков. Получены новые теоремы, связанные с усиленным свойством хааровской единственности, и формулы хеджирования на интерполирующем рынке с бесконечным горизонтом. Разработана процедура перехода от рынков с бесконечным числом состояний к рынкам с конечным числом состояний. На основе ряда оригинальных алгоритмов создан универсальный программный комплекс, позволяющий производить расчеты как на рынках с конечным числом агрессивных скупщиков, так и на рынках с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций.

Выносимые па защиту результаты.

1. Общая динамическая модель (В, Б)-рынка (состоящего из безрискового банковского счета и акции одного типа), подверженного агрессивной скупке акций со стороны бесконечного числа агрессивных скупщиков.

2. Модель случайного поведения скупщиков в промеэ/суточные моменты времени между объявлениями цен на акции, позволяющая получать различные специальные модели в зависимости от закона распределения случайной величины, равной порядковому номеру доступа каждого скупщика на рынок (примеры—распределения Фарри и Пуассона).

3. Оригинальный метод сведения расчетов на финансовых рынках с бесконечным числом состояний к расчетам на конечных рынках.

4. Новое интерполяционное свойство мартингальных мер— усиленное свойство хааровской единственности— и теорема о выполнении этого свойства.

5. Формулы совершенного хедэ/сирования для интерполирующего рынка, являющегося (В, ¿^-рынком относительно специальной хааров-ской фильтрации с бесконечным горизонтом.

6. Метод интерполирования исходного многошагового финансового рынка (В, <5')-рынком с непрерывным временем, обоснованный соответствующими теоремами.

7. Основанные на методе случайных хааровских интерполяций вычислительные схемы расчета справедливой цены и компонент хеджирующего портфеля в условиях интерполирующего (В, 5')-рынка для произвольных финансовых обязательств, заданных в финальный момент времени.

8. Программный комплекс "Хеджирование посредством интерполяции", базирующийся на строго обоснованных вычислительных алгоритмах.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть применены хеджерами и эмитентами акций и вторичных ценных бумаг, когда на рынке происходит массовая скупка рисковых активов. Основные положения работы, а также алгоритмы разработанного программного комплекса уже находят применение в практической работе ряда компаний (ДКРС-Сочи ОАО "РЖД", ООО "Эко-Энерго-Холдинг", ООО "Интер-лесстрой"), использующих современные компьютерные технологии. Полученные в диссертации теоретические результаты, связанные с развитием теории интерполяции неполных безарбитражных финансовых рынков, значимы как вклад в стохастическую финансовую математику.

Достоверность результатов работы подтверждается

1) математическими доказательствами, результатами моделирования и обработки данных;

2) апробацией этих результатов на всероссийских и международных конференциях и научных семинарах;

3) актами внедрения диссертационных разработок.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных, всероссийских и региональных научных конференциях и семинарах:

1) VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и на 14-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Сочи-Адлер, 29 сентября-7 октября 2007г.);

2) региональных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава при РГЭУ (РИНХ) (г. Ростов-на-Дону, 2007-2008 гг.);

3) VIIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 1-8 мая 2008г.);

4) IV Всероссийской научно-практической конференции "Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий "(г. Сочи, 13-18 мая 2008г.);

5) Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (пос. Абрау-Дюрсо, 9-15 сентября 2008г.);

6) X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и на 16-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Санкт-Петербург, 19-24 мая 2009г.);

7) кафедральных семинарах по финансовой математике и стохастическому моделированию при кафедре высшей математики РГСУ (рук. — проф. Павлов И.В.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, в том числе 4 без соавторов. Из них 6 публикаций в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК. Вклад автора в совместных публикациях таков. В работе [71] автору принадлежит концепция интерполирования, связанная с усиленным свойством хааровской единственности мартингальных мер. В работе [72] автор разработал новую методику определение приоритетных и неприоритетиых скупщиков акций. В работе [73] автору принадлежит детальный анализ моделей скупки акций. В работе [74] автор внес вклад в модернизацию программ, позволившую проводить вычисления на динамических моделях финансовых рынков с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций. В работе [77] автору принадлежит методика сведения расчетов на рынках с бесконечным числом состояний к расчетам на конечных рынках. В работе [80] автору принадлежат формулы хеджирования в интерполирующем рынке с бесконечным горизонтом.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (80 наименований), приложения. Каждая глава разбита на 3 параграфа. Нумерация параграфов двойная: первая цифра указывает номер главы, в которой расположен параграф, а вторая цифра —номер самого параграфа. Аналогична нумерация определений, теорем и т.п. Нумерация формул и рисунков сплошная. Работа проиллюстрирована 66 рисунками и изложена на 162 страницах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение приведем основные результаты нашего исследования, выносимые на защиту:

1. Общая динамическая модель (В, ¿')-рынка (состоящего из безрискового банковского счета и акции одного типа), подверженного агрессивной скупке акций со стороны бесконечного числа агрессивных скупщиков.

2. Модель случайного поведения скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цен иа акции, позволяющая получать различные специальные модели в зависимости от закона распределения случайной величины, равной порядковому номеру доступа каждого скупщика на рынок (примеры — распределения Фарри и Пуассона).

3. Оригинальный метод сведения расчетов на финансовых рынках с бесконечным числом состояний к расчетам на конечных рынках.

4. Новое интерполяционное свойство мартингальпых мер — усиленное свойство хааровской единственности — и теорема о выполнении этого свойства.

5. Формулы совершенного хеджирования для интерполирующего рынка, являющегося (В, ¿^-рынком относительно специальной хааровской фильтрации с бесконечным горизонтом.

6. Метод интерполирования исходного многошагового финансового рынка (В, 5')-рынком с непрерывным временем, обоснованный соответствующими теоремами.

7. Основанные на методе случайных хааровских интерполяций вычислительные схемы расчета справедливой цены и компонент хеджирующего портфеля в условиях интерполирующего (В, 5")-рынка для произвольных финансовых обязательств, заданных в финальный момент времени.

8. Программный комплекс "Хеджирование посредством интерполяции", базирующийся на строго обоснованных вычислительных алгоритмах.

Автором настоящей работы был построен и исследован спектр моделей неполных безарбитражных (В, 5')-рыпков в случае агрессивной скупки акций со стороны большого (бесконечного) числа агрессивных скупщиков. Предложена и обоснована процедура перехода от рынков с бесконечным числом состояний к рынкам с конечным числом состояний. Построены алгоритмы для ведения расчетов с помощью компьютеров. Спроектирован и разработан кроссплатформепный, расширяемый программный комплекс, позволяющий производить различные вычисления в рамках предложенных моделей.

Результаты диссертации могут быть применены хеджерами и эмитентами акций и вторичных ценных бумаг, когда на рынке происходит массовая скупка рисковых активов. Основные положения работы, а также алгоритмы разработанного программного комплекса уже находят применение в практической работе ряда компаний, использующих современные компьютерные технологии. Полученные в диссертации теоретические результаты, связанные с развитием теории интерполяции неполных безарбитражных финансовых рынков, значимы как вклад в стохастическую финансовую математику.

1. Ахо А., Хопкрофт Д., Ульман Д. Структуры данных и алгоритмы. // М: Вильяме, 2000.

2. Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Исследование модели (В, 51)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1998, С.179-181.

3. Белявский Г.И., Мисюра В.В. Некоторые специальные случаи модели эколюции стоимости акций. // Изв. РГСУ, 1998, №4, С. 177-183.

4. Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Ранговый критерий полноты одного финансового рынка при допущении арбитража. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 1999, Т.6, В.1, С.121-122.

5. Богачёва М.П. Об интерполяции финансовых рынков в случае конечного вероятностного пространства. // Математические и статистические методы в экономике и естествознании: Материалы 3-х мезвузовских научных чтений, Ростов-на-Дону, РГЭУ. 2002, С. 126-128.

6. Богачёва М.Н. Моделирование безарбитражиых финансовых рынков и интерполяционные методы ее исследования. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 2004.

7. Богачёва М.Н., Павлов И.В. Критерий существования мартингальной меры, удовлетворяющей свойству хааровской единственности. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2001, Т.8, В.2, С.743-745.

8. Богачёва М.Н., Павлов И.В. Полное описание мартингальных мер, удовлетворяющих свойству хааровской единственности, для одного финансового рынка. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2001, Т.8, В.2, С.745-747.

9. Богачева М.Н., Павлов И. В. О хааровеких расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных // Успехи матем. наук, 2002, Т.57, В.З, С.143-144.

10. Богачева М.Н., Павлов И. В. О хааровеких расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2002, №3, С. 16-24.

11. Боди 3.7 Мертон Р.К. Финансы. // М.: Вильяме, .2003.

12. Бланшет Ж., Саммерфилд М. С^ 4: Программирование СШ на С++. // М.: Кудиц-Пресс, 2007.

13. Браунси К. Основные концепции данных и реализация в С++. // М: Вильяме, 2002.

14. Буренин А.Н. Рынки производных финансовых инструментов. // М.: Инфра-М, 1996.

15. Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. // «Наука», 2001.

16. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. // М.: Факториал-пресс, 2003.

17. Волков С.Н., Крамков Д. О. О методологии хеджирования опционов. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 1997. Т.4., №1., С.18-65.

18. Волосатова Т. А. Применение случайных хааровеких интерполяций к моделированию (В, ¿^-рынков с двумя агрессивными скупщиками акций.

19. Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2005, Т. 12., В.З, С.713-714.

20. Волосатова Т. А. Модели финансовых рынков, допускающих арбитраж, и их исследование с помощью метода хааровских интерполяций. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 2006.

21. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Об интерполяции финансовых рынков, включая арбитражные. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2004, Т.Н., В.З, С.458-467.

22. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Совершенные хеджи в полных финансовых рынках, имитирующих скупку акций и допускающих арбитраж. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2003, Т. 10., В.2, С.341-342.

23. Выхристов В.А., Можаев Г.А. О финансовых расчетах на безарбитражных (В, ¿^-рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2007, Т.14, В.5, С.769-789.

24. Выхристов В. А., Можаев Г. А. Примеры мартингальных мер, не удовлетворяющих ОСУХЕ, и их приближение мартингальными мерами, удовлетворяющими ОСУХЕ. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП. 2007, Т.14, В.З, С.523-524.

25. Гамровски Б., Ранее С. Финансовые модели, использующие устойчивые законы. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 1995, Т.2., №4., С.556-604.

26. Данекянц А.Р. О специальных хааровских интерполяциях мартингалов. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, приложение, 2005, №3, С.3-20.

27. Данекянц А.Г. Моделирование безарбитражных финансовых рынковс помощью хааровских интерполяций на счетном вероятностном пространстве. // Строительство-2005, материалы международной научно-практической конференции, Ростов-на-Дону, РГСУ, 2005, С.31-34.

28. Данекянц А.Г. Моделирование безарбитражпых финансовых рынков с помощью хааровских интерполяций на счетном вероятностном пространстве. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ростов-па-Дону, 2006.

29. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Техника интерполяции финансовых рынков, реализованных на счетном вероятностном пространстве. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, Т.10, В.2, 2003, С.345-346.

30. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Свойства хааровских интерполяций мартингалов в случае потока атомарных сг-алгебр и бесконечного горизонта. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2004, Т.11, В.1, С.112-113.

31. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Модель (В, 5')-рынка с бесконечным числом скупщиков акций и совершенное хеджирование методом хааровских интерполяций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2005, Т. 12, В.1, С. 143-144.

32. Измайлов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

33. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. // М.: Приор, 1998.

34. Кнут Д. Искусство программирования. // М: Вильяме, 2000, Т.1,2,3.

35. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. // М.: Дело, 1998.

36. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. // М.: Наука, 1986.

37. Макорин A. GLPK (GNU Linear Programming Kit)—пакет предназначенный для решения больших задач линейного программирования. // http: //www.gnu.org/software/glpk.

38. Малыхин В.И. Финансовая иатематика. // М.: ЮНИТИ, 1999.

39. Мельников A.B. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. // М.:, ТВП, 1997.

40. Мельников A.B., Волков С.Н., Нечаев M.JI. Математика финансовых обязательств. // М.: ГУ ВШЭ, 2001.

41. Мельников A.B., Нечаев M.JI., Степанов В.М. О дискретной модели финансового рынка и методах расчетов с ценными бумагами. // Препринт, М.: Научно-иссл. Актуарно-финансовый центр, 1996, №3, С. 13.

42. Мельников A.B., Феоктистов K.M. Вопросы безарбитражности и полноты дискретных рынков и расчеты платежных обязательств. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2001, Т.8, В.1, С.28-40.

43. Моэюаев Г.А. Случайные интерполяции финансовых рынков с тремя агрессивными скупщиками акций. // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2006, Приложение №12(48), С.4-17.

44. Моэюаев Г.А. Построение хеджирующих стратегий при наличии трехагрессивных скупщиков акций. // Материалы региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава, Ростов-на-Дону, 2006, С.41-43.

45. Можаев Г. А. Проверка мартингальной меры на ослабленное свойство универсальной хааровской единственности. // Материалы региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава, Ростов-на-Дону, 2007, С.46-47.

46. Можаев Г.А., Выхристов В.А. Описание двух алгоритмов, входящих в методику расчетов на безарбитражных финансовых рынках с конечным числом агрессивных скупщиков. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2006, Т.13, В.6, С.1037-1038.

47. Новиков A.A. Хеджирование опционов с заданной вероятностью. // Теория вероятностей и ее применения, 1998, Т.43, №1, С.152-160.

48. Павлов И.В. Об одном модели (В, S)-рынка, связанной с простейшей фильтрацией Хаара. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997, Т.4, В.З, С.389-390.

49. Павлов И. В. и др. Обобщенная модель эволюции цен акций в случае их скупки. // Известия РГСУ, 2000, №5, С.165-173.

50. Павлов И.В. и др. Модели (В, 5')-рынков типа Кокса-Росса-Рубинштейна в случае скупки акций. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки, 2001, №1, С.7-11.

51. Павлов И.В., Данекянц А.Г. Интерполяция мартингалов относительнохааровских фильтраций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2004, T.II, В.1, С.73-82.

52. Павлов И.В., Данекянц А.Г. Об ослабленном свойстве универсальной ха-аровской единственности. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2004, Т.11, В.З, С.506-508.

53. Павлов И.В., Мисюра В.В. Критерий существования мартингальной меры и расчёт цены опциона в случае специальной хааровской фильтрации. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 1998, №4, С.24-30.

54. Павлов И.В., Можаев Г. А., Выхристов В.А. Методика финансовых расчетов па безарбитражных (В, ¿>)-рыпках с конечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2006, Т.13, В.6, С. 1039-1040.

55. Савитч У. Язык С++. Курс объектно-ориентированного программирования. // М.: Вильяме, 2001.

56. Фелъмер Г., Шид А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время. // М.: МЦМНО, 2008, 496 с.

57. Хантер Д., Кэгл К., Гиббоне Д., Озу Ii., Пиннок Д., Спенсер П. Введение в XML. // М: Лори, 2001.

58. Чеботарев А. Библиотека Qt4. Создание прикладных приложений в среде Linux. // М: Вильяме, 2006.

59. Ширяев А.Н. Вероятность. // М.: Наука, 1980.

60. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики. // Теория вероятностей и ее применения. 1994, Т.39, №1, С.5-22.

61. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 1994, Т.1, №5, С.780-820.

62. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. // М.: ФАЗИС, 2004, Т.1,2.

63. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время. // Теория вероятностей и ее применения. 1994, Т.39, №1, С.80-129.

64. Шлее М. Qt4. Профессиональное программирование на С++. // СПб.: BHV-Санкт-Петербург BHV, 2007.

65. Эдди С. XML. Справочник. Наиболее полное руководство. // СПб.: Питер, 1999.

66. Neveu J. Discrete-parameter martingales. // North-Holland Publ. Сотр., 1975.

67. Павлов И.В., Пилосян Э.А. Интерполяционные свойства мартингальных мер на сепарабельном измеримом пространстве. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2007, Т. 14, В.4, с. 660-662 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

68. Можаев Г.А., Павлов И.В., Пилосян Э.А. О финансовых расчетах на безарбитражных (В, ¿^-рынках с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2008, Т.15, В.З, С.505-506 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

69. Пилосян Э.А. Обобщенная одношаговая модель (В, б^-рынка с бесконечным числом скупщиков акций. // В сб.: «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий», СГУТиКД, Тезисы докладов, Сочи, 2008, с. 60-62.

70. Пилосян Э.А. Усиленное свойство хааровской единственности мартин-гальных мер. // В сб. «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания», Ростов-на-Дону, РГЭУ (РИНХ), 2008, С.68-70.

71. Пилосян Э.А., Можаев Г.А. Методы финансовых расчетов на безарбитражных (В, ¿У)-рынках с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2008, Т.15, В.5, С.819-834 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

72. Пилосян Э.А. Алгоритм определения приоритетных, неприоритетных и усредненного скупщика акций в модели агрессивной скупки. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2009, Т.16, В.2, С.375-376 (издание, рекомендованное ВАК РФ).