автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование финансовых рынков с произвольным числом агрессивных скупщиков акций

На правах рукописи

МОЖАЕВ ГРИГОРИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ АГРЕССИВНЫХ СКУПЩИКОВ

АКЦИЙ

Специальность

05 13 18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□□3175163

Ростов-на-Дону 2007

003175169

Работа выполнена на кафедре высшей математики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Ростовский государственный строительный университет"

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Павлов Игорь Викторович Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Шатских Сергей Яковлевич, кандидат физико-математических наук, доцент Сурков Федор Алексеевич Ведущая организация Ростовский государственный

экономический университет (РИНХ)

Защита состоится 15 ноября 2007г в 11 — 00 часов на заседании диссертационного совета К212 208 04 по физико-математическим и техническим наукам в Южном федеральном университете по адресу 344090, г Ростов-на-Дону, пр Стачки 200/1, корпус 2, ЮГИНФО ЮФУ, к 206

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЮФУ по адресу г Ростов-на-Дону, ул Пушкинская, 148

Автореферат разослан /У 2007г

Ученый секретарь

диссертационного совета К212 208 04, доктор физико-математических наук

Муратова Г В

Общая характеристика работы Актуальность темы.

В настоящий момент наблюдается бурное развитие методов стохастического анализа в математической теории финансов, связанной с моделированием поведения ценных бумаг, таких как цены акций, облигаций, боны и др Толчком для этого развития послужила теория мартингалов

Наиболее изученными на сегодняшний день являются модели полных безарбитражных рынков, для которых получены результаты, имеющие законченный вид Поэтому актуально проведение исследований в области финансовых рынков, не обладающих полнотой

В связи с высокой динамикой событий, происходящих на финансовых рынках, существует потребность в инструментах, позволяющих производить сложные финансовые расчеты, такие как определение справедливых цен опционов, построение хеджирующих стратегий и др Создание таких инструментов тесно связано с разработкой соответствующих алгоритмов и численных методов

В частности, в связи с развитием теории хааровских интерполяций (В, £)-рынков возникла необходимость разработки наиболее общей (которую может обслужить данная теория) модели финансового рынка, подверженного агрессивной скупке акций определенного типа, и создания качественного программного комплекса, обеспечивающего необходимые вычисления в рамках построенной модели Поэтому направление исследований, которым посвящена настоящая диссертация, является актуальным

Цель работы Целью настоящей диссертации является построение моделей безарбитражных неполных финансовых рынков, подверженных целенаправленной скупке и их исследование с помощью случайных хааровских

интерполяций, а так же применение интерполяционного метода для расчетов на финансовых рынках, эволюционирующих в соответствии с данными моделями

Для реализации этой цели потребовалось решить следующие задачи

1) осуществить моделирование (В, 8)-рынка в случае целенаправленной скупки акций со стороны произвольного конечного числа конкурирующих скупщиков,

2) построить модель случайного поведения скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цен на акции,

3) модифицировать метод хааровских интерполяций путем внедрения в него модели случайного поведения скупщиков,

4) получить вычислительные схемы для расчетов справедливой цены финансовых обязательств и компонент хеджирующих стратегий в интерполирующем (В, £>)-рынке,

5) разработать набор алгоритмов, позволяющих вести вычисления с помощью компьютерной техники, создать программный комплекс, осуществляющий эти вычисления

Методика исследований. При решении перечисленных задач применялись методы и результаты стохастической финансовой математики, теория мартингалов, методы решения оптимизационных задач, теория вероятностей, теория алгоритмов и структур данных

Реализация на ЭВМ программного комплекса выполнялась с помощью кроссплатформенной библиотеки классов Qt4, а так же библиотеки для решения больших задач оптимизации GLPK В качестве основного алгоритмического языка выбран обьектно-ориентированный язык С++ Таким образом удалось построить программный комплекс, работающий на ряде современных платформ, таких как Windows, Linux, MacOS X

Научная новизна Построена и исследована модель неполного безарбитражного (В, 8)-рынка в случае целенаправленной скупки акций со стороны произвольного конечного числа агрессивных скупщиков Для решения проблемы преобразования неполных безарбитражных рынков в полные безарбитражные финансовые рынки использован метод интерполяции финансовых рынков с помощью случайных хааровских фильтраций (метод хааров-ских интерполяций финансовых рынков) В связи с этим в настоящей работе была расширена теория хааровских интерполяций безарбитражных финансовых рынков безарбитражными и полными рынками путем внедрения модели случайного поведения скупщиков Полученная модель является общей законченной моделью безарбитражных финансовых рынков, на которых действует произвольное конечное число агрессивных скупщиков

В работах Павлова И В и Богачевой М Н была заложена основа принципиально нового метода перехода от неполных рынков к полным Для решения проблемы преобразования неполных безарбитражных рынков в полные безарбитражные финансовые рынки был использован метод интерполяции финансовых рынков, связанный с применением хааровских фильтраций и интерполяций мартингалов Этими авторами рассматривалась модель с двумя агрессивными скупщиками акций при условии, что один из скупщиков всегда опережает второго Указанное ограничение было снято Павловым И В и Волосатовой ТА В их работах предполагалось, что действия скупщиков носят случайный характер, однако количество скупщиков было равно двум Затем был осуществлен переход от двух к трем (и более) скупщикам (работы Павлова И В и Данекянц А Г) в предположении, что между моментами объявления новых цен на акции порядок появления скупщиков на рынке детерминирован

Настоящая диссертация является развитием и углублением перечислен-

ных работ Существенным отличием является моделирование случайности в поведении скупщиков Полученная в данной работе база новых вычислительных алгоритмов позволяет применить метод случайных хааров-ских интерполяций к реальным расчетам на безарбитражных финансовых рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций Таким образом, результаты нашего исследования позволяют не только производить вычисления, но и создавать программные комплексы, существенно облегчающие выбор оптимального поведения инвесторов на финансовых рынках

Выносимые на защиту результаты В ходе проведенных исследований получены следующие результаты

1) построена модель (В,8)-рынка, состоящего из безрискового банковского счета и акции одного типа, подверженного целенаправленной скупке со стороны произвольного конечного числа агрессивных скупщиков,

2) построена модель случайного поведения скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цен на акции,

3) разработан и теоретически обоснован модифицированный метод ха-аровских интерполяций путем внедрения в него модели случайного поведения скупщиков,

4) получены основанные на методе случайных хааровских интерполяций вычислительные схемы расчета справедливой цены и компонент хеджирующего портфеля в условиях интерполирующего (Б,5)-рынка для произвольных финансовых обязательств, заданных в финальный момент времени

5) разработан метод ведения вычислений в рамках моделей безарбитражных финансовых (В, 3)-рынков, получены новые вычислительные алгоритмы, строгость которых подтверждена доказательствами специальных теорем

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации теоретические результаты, связанные с построением теории интерполяции

неполных безарбитражных финансовых рынков, развивают стохастический анализ в его приложении к финансовой математике Результаты диссертации могут быть применены эмитентами акций и вторичных ценных бумаг в период, когда на исследуемом рынке производится целенаправленная скупка акций Основные положения работы могут найти (и уже находят) применение в построении и исследовании такого рода финансовых рынков с применением компьютерных технологий

По результатам исследований составлен программный комплекс, позволяющий оценивать параметры исследуемой модели по реальным данным, анализировать цену финансового обязательства и строить оптимальные хеджирующие портфели

Достоверность результатов работы подтверждается

1) математическими доказательствами, результатами моделирования и обработки данных,

2) апробацией этих результатов на всероссийских конференциях и научных семинарах

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на всероссийских и региональных научных конференциях и форумах

1) VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г Кисловодск, 2006г),

2) XIII Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам и VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г Йошкар-Ола, 2006г),

3) XIV Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам и VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г Адлер, 2007)

4) региональной научно-практической конференции профессорско-пре-

подавательского состава при РГЭУ (РИНХ) (г Ростов-на-Дону, 2005-2006 г г)

5) XII Всероссийской Школе-Семинаре "Современные проблемы математического моделирования "(Абрау-Дюрсо, 2007г),

6) кафедральных семинарах по стохастической финансовой математике при кафедре высшей математики РГСУ (рук — проф Павлов ИВ),

Публикации По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, в том числе 4 без соавторов Из них 2 статьи в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК, 8 в тезисах докладов всероссийских симпозиумов и конференций

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (70 наименований), приложения Каждая глава разбита на параграфы Работа проиллюстрирована 27 рисунками и изложена на 115 страницах

Автор диссертации выражает глубокую признательность своему научному руководителю д ф -м н , проф Павлову И В за постановку задачи, оказанную помощь и ценные советы

Краткое содержание работы

В данном разделе нумерация определений, теорем, следствий и тд совпадает с соответствующей нумерацией в тексте диссертации, а нумерация формул автономна

Во введении кратко изложена история вопроса, сформулированы цели и задачи исследования и приведены наиболее важные результаты, полученные в диссертации

Приведем основные результаты первой главы диссертации

Первая глава диссертации посвящена описанию и анализу модели финансового рынка с произвольным конечным числом агрессивных скупщиков

акций При этом основной упор сделан на построении совершенных хеджей в рамках интерполирующих моделей Моделирование ведется с учетом случайности в поведении скупщиков

В параграфе 1 1 дается теоретическое описание данной модели В параграфе 1 2 предложен метод моделирования случайного поведения скупщиков Параграф 1 3 описывает общую методику интерполирования исходного неполного рынка до полного методом случайных хааровских интерполяций В этом же параграфе на основании доказанной теоремы получены формулы, описывающие единственную мартингальную меру интерполирующего процесса Описание специфики сделки между продавцом и покупателем опциона при наличии интерполирующего рынка, определение справедливой цены контракта, а так же построение совершенных хеджирующих стратегий производится в параграфе 1 4

Рассмотрим ситуацию на рынке ценных бумаг, когда акции определенного типа подвергаются агрессивной скупке Произведем моделирование такой ситуации в интервале от начального момента 0 до финального момента N В нулевой момент времени цены на акции известны Считаем, что объявление новых цен на акции происходит в дискретные моменты времени, количество действующих на рынке скупщиков конечно и равно г

Пусть Т) — измеримое пространство с конечной сг-алгеброй Т, = {и>1,Ш2, , и>т} — конечное множество, V — множество вероятностных мер Р на (Г2, Т), нагружающих все атомы сг-алгебры Т, Г = —

фильтрация, удовлетворяющая условиям N < оо, = {0,0} и Тн = -Т7, 2 — (7к,Угк)к=о — Е-адаптированный случайный процесс, Е) — множество таких мер Р 6 V, для которых процесс Рк, Р)и=о является мартингалом Множество всех вероятностных мер Р на (О,^7), для которых процесс 7 = (.2/л, к, Р) — мартингал, будем обозначать через V [7,, Е)

Пусть сг-алгебра Ть порождена разбиением на атомы А\, А^ , Агк, Втк, где событие Агк+г (г = 1,2, , г,к = 0,1,2, , N — 1) означает, что акция скуплена г-м скупщиком после объявления цены на акцию в момент времени к, событие Вг^7о (к = 0,1,2, ,ЛГ) заключается в том, что акция оказалась не скупленной (рисунок 1) Рассматриваемый в рамках этой модели (В, 8)-рынок неполон, при числе скупщиков г > 1 (это следует из того, что при переходе от момента к к моменту к +1 атом -Вг£,о дробится на г +1 атом

АГк+1, Агк+2-, ,Агк+г, Вгк+г,0)

Рис 1 Схема дерева для двух шаговой модели с конечным числом г агрессивных скупщиков, Д),о = ^

Согласно результатам работ Богачевой М Н , Павлова И В 12 данный рынок можно преобразовать в полный при наличии дополнительных сведений, с помощью метода хааровских интерполяций

1 О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков, до безарбитражных и полных // УМН, 2002, т57, выл 3, с 143-144

20 хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков, до безарбитражных и полных // Известия вузов Северо-Кавказский регион Естеств науки, 2002, №3, с 16-24

к=0

к=1

к=2

В описанной выше модели порядок попадания скупщиков на рынок в промежутках между объявлениями новых цен на акции не определен В параграфе 1 2 этот порядок моделируется с помощью случайного вектора <5= (¿(У, ¿(2), ,«5«) , координаты которого — зависимые случайные величины Там же предложен метод генерации значений координат этого вектора, основанный на свойствах равномерного распределения На входе генератор получает последовательность величин й2, , йг, где — вероятность того, что г-й скупщик будет иметь возможность первым произвести скупку на рынке после объявления новых цен на акции Определение этих вероятностей — задача достаточно сложная, и ее исследование выходит за рамки данной работы Для случая г = 3 получены формулы вероятностных распределений координат вектора 5

Далее, для упрощения записи индексов, нам понадобятся следующие функции

а(п) = [п - 1/г] г + а(0) = О,

Пусть система случайных векторов = , , к = 1,2, , ЛГ,

реализована на некотором вероятностном пространстве (Ж, £7, <5)1 причем 61, ¿2, , независимы в совокупности, а случайные величины 6® распределены также, как (координаты вектора 5) Рассмотрим случайную хааров-скую фильтрацию

Н=НСо

Имеем случайную хааровскую интерполяцию исходной фильтрации

Н°тк = Тк (£ = 0,1,2, ,Л0, = а {Яь, Атк+С1,Вгк+1/:1} (Л = 0,1,2, , * - 1)

Рассмотрим Н-адаптированную случайную последовательность (S„, Wn о и детерминированную последовательность (Вп)^10, удовлетворяющую условиям

1) при 0 < к < N Srk = Sk,Brk = Вк, при fc = 0,1, ,JV - 1 B2k+i = = те последовательность (<S„) интерполирует (<Sfc), а (#„) интерполирует (Bfc),

2) значения цен акций <S„ таковы, что построенный таким образом (В, S)-рынок безарбитражен

Пусть Р £ V — мартингальная мера рынка (В, S) Ясно, что она является также мартингальной мерой для исходного (В, 8)-рынка Таким образом, (В, S) получен из (В, S) с помощью хааровской мартингальной интерполяции относительно меры Р

Обозначая Yn — (.Sn/BnZk = (Sk/Bk)k=o> имеем Yrk = Zk, к = 0,1, ,N Представим с в Yn через индикаторы атомов сг-алгебр Tin"' = <?{Ai, М, , Ла(„), -В„,ь(„)}

п

Yn = Y^yt] Д.«, + Уп,ъ(п) JBnMn), n = 0,l, ,rN t=i

В том случае, если мера Р удовлетворяет свойству универсальной хааровской единственности, получаем следующий доказанный результат

Теорема 1.1 Единственная мартингальная мера Р^ = Р* процесса Y вычисляется по формулам

ЫУ) I Л \ г, — ~ Уп,Ь{п)

Уп - Уп,Ь(п)

7J-1 o(t + l) .. (1)

У1+1 - Уг,Ь{г)

[п)! - Чп,Ь(п) - 11

.=0 У

где п= 1,2, ,rN

P[w) (ВпДп)) = qn,b(n) = П --—' =

г=о Уг+1 - У«+1,Ь(»+1)

Пусть на исходном рынке задано произвольное финансовое обязательство Fn, тогда рисковые составляющие хеджирующего портфеля ж = (/3„, 7п)„=о на интерполирующем (В,8)-рынке вычисляются по формулам

ïnm = ~ / а(п) Cn-у =

DrN ( Уп ~ Уп-1,6(п-1) )

т£№ = 0, п = 2,3, ,rN, к = 1,2, ,п-1, где (2)

1 / \

Сn = - /rJV^n-l.Kn-l) - У) /г°ЛГ)Ра( i) - frNÇrNfi } , П = 1, 2, , 7\ЛГ

Qn-W-D V /

Безрисковые составляющие при этом имеют вид /?о = -77-,

OQ

_ I п-2

/?п = А) + Е

■DrW \»=1

V-J / У*,ь(*о - 2/fc—i,b(fc—1) \ > . Л

£ оЩ- « + <i

L*^1 \Ук Ук-1,ь{к-1) /

^<0 +

\*=1 V % - / /

\*=1 V Ук^ - Ук-Щк-1) )

( Л-1*"1' ) «•) ■ о

\Уп - Уп-\Мп-\)) ) )

где См — справедливая цена финансового обязательства Р^ (например Европейского опциона-са11)

Записанные формулы представляют собой так называемый совершенный канонический хедж, который определяется единственным образом

Ясно, что случайные величины ¿>п при п = гк + г (к = 0,1, , N — 1,г = 1,2, , г — 1) можно задать многими способами, поэтому в данном случае особенно важна точность статистического прогнозирования

Вторая глава целиком посвящена финансовым расчетам на рассмотренной в первой главе модели (В, 5)-рынка с конечным числом агрессивных

скупщиков Результаты данной главы являются основными для построения комплексов программ Здесь приведены все необходимые вычислительные алгоритмы, кроме заключительных формул расчета компонент совершенного хеджа, описанных в первой главе (см формулы (2), (3))

В параграфе 2 1 описывается постановка задачи, вводится система обозначений, используемая на протяжении всей главы Здесь же приведены основные шаги финансовых расчетов, детали которых раскрыты в следующих параграфах главы

Параграф 2 2 посвящен описанию алгоритма проверки произвольного финансового обязательства Fjv на реплицируемость

Алгоритмы, представленные в параграфе 2 3, описывают метод вычисления области торга (С», С*) Из этой области можно выбрать договорную цену контракта С для заданного финансового обязательства В этом же параграфе доказана теорема, что громоздкие оптимизационные задачи поиска верхних и

нижних цен контракта С* = ттЕр и С* = maхЕр можно свести к

peV• p€V*

ряду более простых подзадач Данная теорема имеет практический интерес, поскольку ее результаты позволяют использовать менее ресурсоемкие вычислительные алгоритмы Это важно для моделей с большим числом шагов

В параграфе 2 4 показано, как получить невырожденную мартингальную меру Р, соответствующую равенству С = EP{F^\ Под невырожденной понимается мера Р € V (Z, F) Для решения этой задачи необходимо сконструировать вспомогательную невырожденную мартингальной меру

771

Зададим на исходном (1, ^)-рынке финансовые обязательства FJ = X^i -fyw,}

t=i

(г,j = 1,2,3, , то, <5,-символы Кронекера) и обозначим через С* и С* их нижние и верхние цены Пусть Р* S V (Z, F) — мартингальные меры, соот-

2 т

ветствующие ценам С* Положим Рср = — ^ Pj Невырожденность данной

ТП j—i

меры вытекает из следующей доказанной теоремы

Теорема 2.2 Рср eV(Z,F)

Дальнейшее вычисление меры Р £ V (Z, F) сводится к линейным преобразованиям с использованием полученной меры Рср

В параграфе 2 5 рассматривается ослабленное свойство хааровской единственности, впервые полученное в работах Павлова И В и Данекянц А Г применительно к рассматриваемой методике вычислений

Параграф 2 6 содержит описание критерия существования на исходном рынке мартингальных мер, удовлетворяющих ослабленному свойству хааровской единственности Там же приведен алгоритм проверки мартингальной меры Р на ослабленное свойство хааровской единственности

Примеры мартингальных мер, не удовлетворяющих ослабленному свойству хааровской единственности, и их приближение мерами, удовлетворяющими ослабленному ствойству хааровской единственности, приведены в параграфе 2 7

Параграф 2 8 состоит из двух частей В первой части описан алгоритм приближения невырожденной мартингальной меры Р другой невырожденной мартингальной мерой Р При этом обе меры и удовлетворяют одной и той же договорной цене финансового обязательства С Вторая часть параграфа описывает случай, когда такую меру построить не удается Здесь показан алгоритм приближения исходной мартингальной меры другой мартингальной мерой Р При этом, новая мартингальная мера удовлетворяет цене контракта, близкой к договорной (те С « Ep[Fn]) В конце параграфа описаны заключительные шаги финансовых расчетов Основные результаты третьей главы

В параграфе 3 1 дается аннотация программного комплекса "Приближенное хеджирование посредством интерполяции" Описаны использованные в нем структуры данных Показано взаимодействие компонент комплекса

(рис 2) В качестве вычислительной алгоритмической базы данный комплекс использует результаты второй главы Реализация модели случайного поведения скупщиков, а так же программное конструирование интерполирующего рынка используют результаты первой главы

Параграф 3 2 содержит примеры вычислений хеджирующих стратегий с помощью программного комплекса на различных входных данных Описан случай, когда применение метода хааровских интерполяций не требуется (для неполных рынков такие случаи крайне редки) В одном из примеров построен интерполирующий (В, 8)-рынок, с учетом вероятностей попадания скупщиков на рынок Уделено внимание статистической проверке формул распределений координат случайного вектора <5, полученных в первой главе (для случая г = 3) Получены графики отражающие эволюцию цен акций и банковского счета для исходного и интерполирующего процесса

Приведем пример вычислений, с использованием программного комплекса Рассмотрим безарбитражный (1, ¿?)-рынок с тремя агрессивными скупщиками и горизонтом событий N = 3 (рис 3)

Эволюция цен акций представлена числами Ь° = 5, = 2, 62 = 3, 63 = 4, Ь1 = 6, Ь4 = 2, Ъ5 = 5,Ь6 = 7, Ь2 = 8,Ь7 = 4, Ь8 = 5, Ьд = 7, Ь3 = 12

На данном финансовом рынке задано финансовое обязательство Е,3, которое представляет собой Европейский опцион-са11 (рис 5), с контрактной ценой К = 4 /1 = 0, /2 = 0, /3 = 0, /4 = 0, /5 = 1, /6 = 3, /7 = 0, /8 = 1,

/9 = 3, и = 8

Предполагается известной некоторая дополнительная информация, позволяющая оценить вероятность попадания скупщиков на рынок в промежутке между объявлениями цен на акции Известно, что вероятность попадания первого скупщика <¿1 = 0 3, второго <¿2 = 0 3, третьего <¿3 = 0 4 (рис 6)

произвольная дискретная модель (Б/Э^-рынка

общие структуры данных и базовые операции

использование структур

данных ^ля ведения

расчетов

модель с агрессивными скупщиками

дополнительные структуры и расчетные функции

уровень модели уровень приложений

формирование и редактирование

структур данных, получение >езультатов

получение„ (и сохранение)

вероятностей попадания I скупщиков нф рынок

редактор моделей

отображение ! и запись [ результатов

Диалог

чтение

данных

'запись

результатов

произвольный (В,5)-рынок

данные конкретной модели

внешние данные (ХМ1_-документ)

внешние компоненты

формирование структуры (В,5)-рынка

(пригодной для ведения расчетов)

База Данных

5 |

чсбор, хранением < ' _о_бработка _ ¡"статистических 1

данных

статистический модуль

Рис. 2. Общая схема взаимодействия компонент программного комплекса

_к=3_

Рис. 3. Схема грехшашвой модели с тремя агрессивными скупщиками.

Рис. 4. [Редактирование модели исходного (1, ¿?)-рынка, в программном комплексе.

Рис. 6. Выбор поведения скупщиков.

В результате работы программного комплекса для исходного (1, ¿Г)-рынка (рис. 4) построен интерполирующий (1,^)-рынок (рис, 7).

Рис. 7. Результаты вычислений и интерполирующий (1,2)-рынок.

Расчитаны значения компонент совершенного канонического хеджа (см. табл. 1 При интерполяции получен следующий порядок доступа скупщиков на рынок: ¿1 = (2,1, 3). ¿г = (1, 3, 2), ¿1 = (3,1. 2). Эволюция цены акции показана. на рис. 8.

В заключении приводятся и комментируются основные результаты работы, выносимые на защиту,

В приложении детально описан программный комплекс «Приближенное Хеджирование посредством интерполяции^ и его исходный код.

к 11 д Тп,Ь(п) скупщик № к п /з 7п ,Ь(п) скупщик №

0 0 1.5 0 - ] 5 -4 1 2

0 1 -1.00665 0.50332 3 2 6 -4 1 1

0 2 -4.77101 1.19275 1 2 7 -4 1 3

1 3 -1.19275 0.59638 2 2 8 -4 1 1

1 4 -4 1 3 3 9 -4 1 2

Таблица 1. Компоненты хеджирующего портфеля 7г =

Рис. 8. Эволюция дисконтированной цепы акции на интерполирующем (1, 2')-рынкё.

Основные результаты, выносимые на защиту

1) построена модель (В,8)-рынка, состоящего из безрискового банковского счета и акции одного типа, подверженного целенаправленной скупке со стороны произвольного конечного числа агрессивных скупщиков,

2) построена модель случайного поведения скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цен на акции,

3) разработан и теоретически обоснован модифицированный метод ха-аровских интерполяций путем внедрения в него модели случайного поведения скупщиков,

4) получены основанные на методе случайных хааровских интерполяций вычислительные схемы расчета справедливой цены и компонент хеджирующего портфеля в условиях интерполирующего (5,5)-рынка для произвольных финансовых обязательств, заданных в финальный момент времени

5) разработан метод ведения вычислений в рамках моделей безарбитражных финансовых (В, 8)-рынков, получены новые вычислительные алгоритмы, строгость которых подтверждена доказательствами специальных теорем

Список работ по теме диссертации

1 Павлов И В , Власков Г А , Выхристов В А, Данекянц А Г , можаев Г А Алгоритм, реализующий модель (В, £)-рынка с бесконечным числом скупщиков акций // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП 2006, т 13, вып 1, С 129-131

2 можаев Г А Моделирование рынков с тремя агрессивными скупщиками // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП 2006, т 13, вып 1, С 125-126

3 можаев Г А Построение хеджирующих стратегий при наличии трех агрессивных скупщиков акций // Материалы региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава, Ростов-на-Дону, 2006, С 41-43

4 Павлов И В , можаев Г А , выхристов В А Методика финансовых расчетов на безарбитражных (В, ¿^-рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП 2006, т 13, вып 6, С 1039-1040

5 можаев Г А , выхристов В А Описание двух алгоритмов, входящих в методику расчетов на безарбитражных финансовых рынках с конечным числом агрессивных скупщиков // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП 2006, т 13, вып 6, С 10371038

6 можаев Г а Случайные интерполяции финансовых рынков с тремя агрессивными скупщиками акций // Изв вузов Северо-Кавказский регион Естеств науки 2006, Приложение №12 (48), С 4-17

7 можаев Г А Проверка мартингальной меры на ослабленное свойство универсальной хааровской единственности // Материалы региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава, Ростов-на-Дону, 2007, С 46-47

8 Павлов И В , выхристов В А , можаев Г А Приближение мар-тингальных мер мартингальными мерами, удовлетворяющими ослабленному свойству универсальной хааровской единственности // Материалы региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава, Ростов-на-Дону, 2007, С 49-50

9 Выхристов В А , Можаев Г А Примеры мартингальных мер, не удовлетворяющих ОСУХЕ, и их приближение мартингальяыми мерами, удовлетворяющими ОСУХЕ // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП 2007, т 14, вып 3, С 523-524

10 Выхристов В А , Можаев Г А О финансовых расчетах на безарбитражных (В, ¿^-рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП 2007, т 14, вып 5, С 769-789

В работах [3, б] соискателем были получены вычислительные схемы построения совершенных хеджей для произвольных финансовых обязательств Ря (в частности для опционов Европейского типа) В работах [4, 5, 7, 8, 10] были разработаны алгоритмы финансовых расчетов на безарбитражных (В, 5)-рынках с конечным (в работе 1 с бесконечным) числом агрессивных скупщиков В работах [2, 6] была построена модель и получен модифицированный метод хааровских интерполяций

Подписано в печать 11 10 2007 г Формат 60x84 1/16 Бумага писчая Ризограф Уч-изд л 1,0 Тираж 100 экз Заказ № 383

Редакционно-издательский центр Ростовского государственного строительного университета 344022, Ростов-на-Дону, ул Социалистическая, 162

ВВЕДЕНИЕ

1 СЛУЧАЙНЫЕ ХААРОВСКИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ

1.1 Модель финансового рынка с конечным числом агрессивных скупщиков акций.

1.2 Моделирование случайного поведения скупщиков.

1.3 Метод случайных хааровских интерполяций

1.4 Построение совершенных хеджирующих стратегий.

2 МЕТОДЫ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ НА БЕЗАРБИТРАЖНЫХ (В,S)-РЫНКАХ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ АГРЕССИВНЫХ СКУПЩИКОВ АКЦИЙ

2.1 Общий алгоритм ведения финансовых расчетов.

2.2 Проверка финансового обязательства на реплицируемость

2.3 Расчет верхней и нижней цены контракта.

2.4 Вычисление мартингальной меры, соответствующей договорной цене финансового обязательства.

2.5 Ослабленное свойство универсальной хааровской единственности (ОСУХЕ) мартингальной меры.

2.6 Проверка удовлетворения ОСУХЕ для мартингальной меры, соответствующей договорной цене финансового обязательства

2.7 Примеры мартингальных мер, не удовлетворяющих ОСУХЕ

2.8 Приближение мартингальной меры, не удовлетворяющей ОСУХЕ, мартингальной мерой, удовлетворяющей ОСУХЕ.

3 ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛ

ГОРИТМОВ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ НА ТЕСТОВЫХ

МОДЕЛЯХ

3.1 Программный комплекс «Хеджирование посредством интерполяции»

3.2 Результаты финансовых расчетов

Актуальность темы. В настоящее время наблюдается бурное развитие методов стохастического анализа в математической теории финансов, связанной с моделированием поведения ценных бумаг, таких как акции, облигации, боны и др. Толчком для этого развития послужила теория мартингалов.

Наиболее изученными на сегодняшний день являются модели полных безарбитражных рынков, для которых получены результаты, имеющие законченный вид. Поэтому актуально проведение исследований в области финансовых рынков, не обладающих полнотой.

В связи с высокой динамикой событий, происходящих на финансовых рынках, существует потребность в инструментах, позволяющих производить сложные финансовые расчеты, такие как определение справедливых цен опционов, построение хеджирующих стратегий и др. Создание таких инструментов тесно связано с разработкой соответствующих алгоритмов и численных методов.

В частности, в связи с развитием теории хааровских интерполяций (Б, 5)-рынков возникла необходимость разработки наиболее общей (которую может обслужить данная теория) модели финансового рынка, подверженного агрессивной скупке акций определенного типа, и создания качественного программного комплекса, обеспечивающего необходимые вычисления в рамках построенной модели. Поэтому направление исследований, которым посвящена настоящая диссертация, является актуальным.

Объектами исследования являются финансовые рынки в период целенаправленной скупки акций.

Целью диссертационной работы является построение моделей безарбитражных неполных финансовых рынков, подверженных целенаправленной скупке, и их исследование с помощью случайных хааровских интерполяций, а также применение интерполяционного метода для расчетов на финансовых рынках, эволюционирующих в соответствии с данными моделями.

Для реализации этой цели потребовалось решить следующие задачи:

1) осуществить моделирование (В,8)-рынка в случае целенаправленной скупки акций со стороны произвольного конечного числа конкурирующих скупщиков;

2) построить модель случайного поведения скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цен на акции;

3) модифицировать метод хааровских интерполяций путем внедрения в него модели случайного поведения скупщиков;

4) получить вычислительные схемы для расчетов справедливой цены финансовых обязательств и компонент хеджирующих стратегий в интерполирующем (В, ^-рынке;

5) разработать набор алгоритмов, позволяющих вести вычисления с помощью компьютерной техники; создать программный комплекс, осуществляющий эти вычисления.

Методика исследований. При решении перечисленных задач применялись методы и результаты стохастической финансовой математики, теория мартингалов, методы решения оптимизационных задач, теория вероятностей, теория алгоритмов и структур данных.

Реализация на ЭВМ программного комплекса выполнялась с помощью кроссплатформенной библиотеки классов Qt4, а также библиотеки для решения больших задач оптимизации GLPK. В качестве основного алгоритмического языка выбран обьектно-ориентированный язык С++. Таким образом, удалось построить программный комплекс, работающий на ряде современных платформ, таких как Windows, Linux, MacOS X.

Научная новизна. Построена и исследована модель неполного безарбитражного (В, 8)-рынка в случае целенаправленной скупкй акций со стороны произвольного конечного числа агрессивных скупщиков. Для решения проблемы преобразования неполных безарбитражных рынков в полные безарбитражные финансовые рынки использован метод интерполяции финансовых рынков с помощью случайных хааровских фильтраций (метод хааров-ских интерполяций финансовых рынков). В связи с этим в настоящей работе нашла дальнейшее развитие теория хааровских интерполяций безарбитражных финансовых рынков безарбитражными и полными рынками путем внедрения модели случайного поведения скупщиков. Полученная модель является общей законченной моделью безарбитражных финансовых рынков, на которых действует произвольное конечное число агрессивных скупщиков.

В работах Павлова И.В. и Богачевой М.Н. была заложена основа принципиально нового метода перехода от неполных рынков к полным. Для решения проблемы преобразования неполных безарбитражных рынков в полные безарбитражные финансовые рынки был использован метод интерполяции финансовых рынков, связанный с применением хааровских фильтраций и интерполяций мартингалов. Этими авторами рассматривалась модель с двумя агрессивными скупщиками акций при условии, что один из скупщиков всегда опережает второго. Указанное ограничение было снято Павловым И.В. и Волосатовой Т.А. В их работах предполагалось, что действия скупщиков носят случайный характер, однако количество скупщиков было равно двум. Затем был осуществлен переход от двух к трем (и более) скупщикам (работы Павлова И.В. и Данекянц А.Г.) в предположении, что между моментами объявления новых цен на акции порядок появления скупщиков на рынке детерминирован.

Настоящая диссертация является развитием и углублением перечисленных работ. Существенным отличием является моделирование случайности в поведении скупщиков. Полученная в данной работе база новых вычислительных алгоритмов позволяет применить метод случайных хааров-ских интерполяций к реальным расчетам на безарбитражных финансовых рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций. Таким образом, результаты нашего исследования позволяют не только производить вычисления, но и создавать программные комплексы, существенно облегчающие выбор оптимального поведения инвесторов на финансовых рынках.

Выносимые на защиту результаты. В ходе проведенных исследований получены следующие результаты:

1) построена модель (В,8)-рынка, состоящего из безрискового банковского счета и акции одного типа, подверженного целенаправленной скупке со стороны произвольного конечного числа агрессивных скупщиков;

2) построена модель случайного поведения скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цен на акции;

3) разработан и теоретически обоснован модифицированный метод ха-аровских интерполяций путем внедрения в него модели случайного поведения скупщиков;

4) получены основанные на методе случайных хааровских интерполяций вычислительные схемы расчета справедливой цены и компонент хеджирующего портфеля в условиях интерполирующего (Б^-рынка для произвольных финансовых обязательств, заданных в финальный момент времени.

5) разработан метод ведения вычислений в рамках моделей безарбитражных финансовых (В, 8)-рынков; получены новые вычислительные алгоритмы, строгость которых подтверждена доказательствами специальных теорем.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации теоретические результаты, связанные с построением теории интерполяции неполных безарбитражных финансовых рынков, развивают стохастический анализ в его приложении к финансовой математике. Результаты диссертации могут быть применены эмитентами акций и вторичных ценных бумаг в период, когда на исследуемом рынке производится целенаправленная скупка акций. Основные положения работы могут найти (и уже находят) применение в построении и исследовании такого рода финансовых рынков с применением компьютерных технологий.

По результатам исследований составлен программный комплекс, позволяющий оценивать параметры исследуемой модели по реальным данным, анализировать цену финансового обязательства и строить оптимальные хеджирующие портфели.

Достоверность результатов работы подтверждается

1) математическими доказательствами, результатами моделирования и обработки данных;

2) апробацией этих результатов на всероссийских конференциях и научных семинарах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на всероссийских и региональных научных конференциях и форумах:

1) VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, г. Кисловодск, 2006г.);

2) XIII Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам и VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (зимняя сессия, г. Йошкар-Ола, 2006г.);

3) XIV Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам и VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Адлер, 2007).

4) региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава при РГЭУ (РИНХ) (г. Ростов-на-Дону, 2005,2006 г.г.)

5) XII Всероссийской Школе-Семинаре "Современные проблемы математического моделирования "(Абрау-Дюрсо, 2007г.);

6) кафедральных семинарах по стохастической финансовой математике при кафедре высшей математики РГСУ (рук. — проф. Павлов И.В.);

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, в том числе 4 без соавторов. Из них 2 статьи в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК, 8 в тезисах докладов всероссийских симпозиумов и конференций. В работах [50, 52] автором были получены вычислительные схемы построения совершенных хеджей для произвольных финансовых обязательств F/v (в частности для опционов Европейского типа). В работах [56, 51, 53, 58, 22] были разработаны алгоритмы финансовых расчетов на безарбитражных (В, 5)-рынках с конечным (в работе [57] с бесконечным) числом агрессивных скупщиков. В работах [49, 52] была построена модель и получен модифицированный метод хааровских интерполяций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (70 наименований), приложения. Каждая глава разбита на параграфы. Работа проиллюстрирована 27 рисунками и изложена на 115 страницах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем список основных результатов, полученных в ходе проведения исследований, выносимые на защиту:

1. построена модель (В,8)-рынка, состоящего из безрискового банковского счета и акции одного типа, подверженного целенаправленной скупке со стороны произвольного конечного числа агрессивных скупщиков;

2. построена модель случайного поведения скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цен на акции;

3. разработан и теоретически обоснован модифицированный метод хааров-ских интерполяций путем внедрения в него модели случайного поведения скупщиков;

4. получены основанные на методе случайных хааровских интерполяций вычислительные схемы расчета справедливой цены и компонент хеджирующего портфеля в условиях интерполирующего (Б,5)-рынка для произвольных финансовых обязательств, заданных в финальный момент времени.

5. разработан метод ведения вычислений в рамках моделей безарбитражных финансовых (В, 8)-рынков; получены новые вычислительные алгоритмы, строгость которых подтверждена доказательствами специальных теорем, а именно: a) алгоритм поверки финансового обязательства на реплицируемость; b) метод расчета верхней и нижней цены контракта; c) алгоритм вычисления мартингальной меры, соответствующей договорной цене финансового обязательства; d) проверка удовлетворения ослабленному свойству хааровской единственности для мартингальной меры, соответствующей договорной цене финансового обязательства e) алгоритмы приближения мартингальной меры, не удовлетворяющей ОСУХЕ, мартингальной мерой, удовлетворяющей ОСУХЕ;

6. на основе полученных алгоритмов создан программный комплекс «Приближенное хеджирование посредством интерполяции», позволяющий ав-томатичски производить расчеты хеджирующих стратегий.

Таким образом, результаты нашего исследования позволяют моделировать финансовые рынки, подверженные целенаправленной скупке акций и производить на них вычисления хеджирующих стратегий, а так же создавать программные комплексы, существенно облегчающие выбор оптимального поведения инвесторов на финансовых рынках.

1. Ахо А., Хопкрофт Д., Ульман Д. Структуры данных и алгоритмы // М: Вильяме, 2000.

2. Белявский Г.И., Мисюра В.В. Некоторые специальные случаи модели эколюции стоимости акций. // Изв. РГСУ, 1998, №4, С.177-183.

3. Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Исследование модели (B,S)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1998, С.179-181.

4. Бланшет Ж., Саммерфилд М. Qt 4: Программирование GUI на С++ // М.: Кудиц-Пресс, 2007.

5. Богачева М.Н., Павлов И. В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков, до безарбитражных и полных // УМН, 2002, Т.57, вып. 3, с 143-144.

6. Богачева М.Н., Павлов И.В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков, до безарбитражных и полных // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки, 2002, №3, С. 16-24.

7. Богачева М.Н., Павлов И. В. Критерий существования мартингальной меры, удовлетворяющей свойству хааровской единственности. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.:, ТВП, 2001, Т.8, вып.2, С.743-745.

8. Богачева М.Н., Павлов И.В. Полное описание мартингальных мер, удовлетворяющих свойству хааровской единственности, для одного финансового рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.:, ТВП, 2001, Т.8, вып.2, С.745-747.

9. Богачёва М.Н. Об интерполяции финансовых рынков в случае конечного вероятностного пространства. // Математические и статистические методы в экономике и естествознании: Материалы 3-х мезвузовских научных чтений, Ростов-на-Дону, РГЭУ. 2002, С. 126-128.

10. Богачёва М.Н. Моделирование безарбитражных финансовых рынков и интерполяционные методы ее исследования. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 2004.

11. Боди 3., Мертон Р. К. Финансы. // М.: Вильяме, 2003.

12. Браунси К. Основные концепции данных и реализация в С++ // М: Вильяме, 2002.

13. Буренин А.Н. Рынки производных финансовых инструментов. // М.: Инфра-М, 1996.

14. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. // М.: Факториал-пресс, 2003.

15. Волков С.Н., Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1997. Т.4. т. С.18-65.

16. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Об интерполяции финансовых рынков, включая арбитражные. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2004, Т. 11. вып. 3, С.458-467.

17. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Совершенные хеджи в полным финансовых рынках, имитирующих скупку акций и допускающих арбитраж. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2003, Т. 10. вып. 2, С.341-342.

18. Волосатова Т. А. Применение случайных хааровских интерполяций к моделированию (В, ^-рынков с двумя агрессивными скупщиками акций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2005, Т. 12. вып. 3, С.713-714.

19. Волосатова Т.А. Модели финансовых рынков, допускающих арбитраж, и их исследование с помощью метода хааровских интерполяций. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 2006.

20. Выхристов В.А., Можаев Г. А. Примеры мартингальных мер, не удовлетворяющих ОСУХЕ, и их приближение мартингальными мерами, удовлетворяющими ОСУХЕ. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП. 2007, Т. 14, вып. 3, С.523-524.

21. Выхристов В.А., Можаев Г.А. О финансовых расчетах на безарбитражных (Л, 5)-рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП. 2007, Т. 14, вып. 5, С.769-789.

22. Гамровски В., Ранее С. Финансовые модели, использующие устойчивые законы. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1995. Т.2. №4. С.556-604.

23. Данекяиц А.Г., Павлов И.В. Об ослабленном свойстве универсальной хааровской единственности. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2004, Т. И, вып. 3, С. 506-508.

24. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Техника интерполяции финансовых рынков, реализованных на счетном вероятностном пространстве. // ОППМ, М.:ТВП, Т. 10, вып. 2, 2003, С. 345-346.

25. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Модель (B,S)~рынка с бесконечным числом скупщиков акций и совершенное хеджирование методом хааровских интерполяций. // ОППМ, М.:ТВП, 2005, Т. 12, вып. 1, С. 143-144.

26. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Аппроксимационно-интерполяционный метод сведения безарбитражных финансовых рынков с бесконечным числом состояний к безарбитражным и полным рынкам с конечным числом состояний. // ОППМ, М.:ТВП, 2005, Т. 12, вып. 3, С. 730-731.

27. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Свойства хааровских интерполяций мартингалов в случае потока атомарных <7-алгебр и бесконечного горизонта. // ОППМ, М.-ТВП, 2004, Т. 11, вып. 1, С. 112-113.

28. Данекянц А. Г. О специальных хааровских интерполяциях мартингалов. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, приложение, 2005, №3, С. 3-20.

29. Данекянц А.Г. Моделирование безарбитражных финансовых рынков с помощью хааровских интерполяций на счетном вероятностном пространстве. // Строительство-2005, материалы международной научно-практической конференции, Ростов-на-Дону, РГСУ, 2005, С. 31-34.

30. Данекянц А.Г. Моделирование безарбитражных финансовых рынков с помощью хааровских интерполяций на счетном вероятностном пространстве. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 2006.

31. Измайлов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

32. Капитоненко В.В. Финансовая иатематика и ее приложения. // М.: Приор, 1998.

33. Кнут Д. Искусство программирования. // М: Вильяме, 2000, Т. 1,2,3.

34. Красий П.П., Павлов И.В. О безарбитражности и полноте обобщенной модели финансового рынка в случае скупки акций. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 1999, Т.6, №1, С.162-163.

35. Красий Н.П., Павлов И.В. О расширении финансового рынка до полного и безарбитражного в случае скупки акций. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов, Ростов-на-Дону, 2000, С. 235-236.

36. Красий Н.П., Павлов И.В. Построение хеджирующих стратегий для одной модели (В,8)-рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 2000, Т.7, Щ С.501-503.

37. Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики. // М.: Дело, 1998.

38. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. // М.: Наука, 1986.

39. Макории A. GLPK (GNU Linear Programming Kit) —пакет предназначенный для решения больших задач линейного программирования. // http: / / www.gnu.org/software/glpk.

40. Малыхин В.И. Финансовая иатематика. // М.: ЮНИТИ, 1999.

41. Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. // М.:, ТВП, 1997.

42. Мельников А.В., Нечаев М.Л., Степанов В.М. О дискретной модели финансового рынка и методах расчетов с ценными бумагами. // Препринт, М.: Научно-иссл. Актуарно-финансовый центр, 1996, №3, С.13.

43. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. // М.: ГУ ВШЭ, 2001.

44. Мельников А.В., Феоктистов К.М. Вопросы безарбитражности и полноты дискретных рынков и расчеты платежных обязательств. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 2001, Т.8, вып.1, С.28-40.

45. Мисюра В.В., Павлов И.В. Критерий существования мартингальной меры и расчёт цены опциона в случае специальной хааровской фильтрации. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 1998. №4. С.24-30.

46. Можаев Г.А. Моделирование рынков с тремя агрессивными скупщиками. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП. 2006, Т. 13, вып. 1, С.125-126.

47. Можаев Г.А. Построение хеджирующих стратегий при наличии трех агрессивных скупщиков акций. // Материалы региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава, Ростов-на-Дону, 2006, С.41-43.

48. Можаев ГА. Случайные интерполяции финансовых рынков с тремя агрессивными скупщиками акций. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2006, Приложение №12 (48), С.4-17.

49. Можаев Г.А. Проверка мартингальной меры на ослабленное свойство универсальной хааровской единственности. // Материалы региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава, Ростов-на-Дону, 2007, С.46-47.

50. Новиков А. А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью. // Теория вероятностей и ее применения, 1998, Т.43, №1, С.152-160.

51. Павлов И.В. Об одном модели (В,8)-рынка, связанной с простейшей фильтрацией Хаара. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997, Т.4, вып. 3, С.389-390.

52. Павлов И.В., Можаев Г.А., Выхристов В.А. Методика финансовых расчетов на безарбитражных (В, 5)-рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП. 2006, Т. 13, вып. 6, С.1039-1040.

53. Павлов И.В., Власков Г.А., Выхристов В.А, Данекянц А.Г., Можаев Г.А. Алгоритм, реализующий модель (В, 5)-рынка с бесконечным числом скупщиков акций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП. 2006, Т. 13, вып. 1, С. 129-131.

54. Савитч У. Язык С++. Курс объектно-ориентированного программирования // М.: Вильяме, 2001.

55. Чеботарев А. Библиотека Qt4. Создание прикладных приложений в среде Linux// М: Вильяме, 2006.

56. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС, 2004, Т. 1,2.

57. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т.1,2. // 2 изд. М.: ФАЗИС, 2004.

58. Ширяев А.Н. Вероятность. // М.: Наука, 1980.

59. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики. // Теория вероятностей и ее применения. 1994, Т.39, Ш, С.5-22.

60. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 1994, Т.1, №5, С.780-820.

61. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время. // Теория вероятностей и ее применения. 1994, Т.39, №1, С.80-129.

62. Шлее М. Qt4. Профессиональное программирование на С++ // СПб.: BHV-Санкт-Петербург BHV, 2007.

63. Хантер Д., Кэгл К., Гиббоне Д., Озу Н., Пиннок Д., Спенсер П. Введение в XML // М: Лори, 2001.

64. Эдди С. XML. Справочник. Наиболее полное руководство. // СПб.: Питер, 1999.

65. Follmer Н., Schied A. Stochastic Finance. An introduction in Discrete Time. Berlin: de Gruyter, 2002, 422 p.