автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели неполного безарбитражного рынка, учитывающие "жесткую" скупку акции, с использованием стохастического базиса типа Кокса-Росса-Рубинштейна

Введение

ГЛАВА 1. Основные определения и факты

1.1. Финансовые рынки.

1.2. Стохастическая модель (В,8)-рынка.

1.3. Элементы дискретного стохастического анализа.

ГЛАВА 2. Общая модель ценообразования со скупкой акции

2.1. Описание модели.

2.2. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна с "жесткой" скупкой акции.

2.3. Вычисление интервала справедливых цен для модели Кокса-Росса-Рубинштейна с "жесткой" скупкой акции.

2.4. Вычисление среднеквадратичного хеджа. Случай мартингальной меры.

2.5. Вычисление среднеквадратичного хеджа. Случай немартингальной меры.

2.6. Сопоставление исследуемой модели с моделью Кокса-Росса-Рубинштейна.

2.7. Модель с динамически изменяющимися параметрами.

2.8. Вычислительный эксперимент.

2.9. Выводы ко второй главе.

ГЛАВА 3. Стационарная модель ценообразования со скупкой акции

3.1. Стационарная модель ценообразования при отсутствии скупки акции.

3.2. Экстремальная мартингальная мера для вычисления верхней цены финансового обязательства.

3.3. Экстремальная мартингальная мера для вычисления нижней цены финансового обязательства.

3.4. Явные выражения для верхней и нижней цен финансового обязательства, для верхнего и нижнего хеджей.

3.5. Расчет верхней и нижней цен, верхнего и нижнего хеджей для немарковского финансового обязательства.

3.6. Вычисление среднеквадратического хеджа при помощи экстремальной мартингальной меры.

3.7. Квартальное хеджирование для одношаговой модели.

3.8. Модель со скупкой акции.

3.9. Пример расчета.

3.10. Пример расчета по реальным данным.

3.11. Пример расчета среднеквадратического хеджа для экстремальной мартингальной меры.

Актуальность темы. Начиная с семидесятых годов, стохастические методы начали интенсивно использоваться для моделирования таких финансовых явлений, как цены акций, облигаций, банковских счетов. В результате появилась возможность более точных расчетов вторичных финансовых инструментов (опционов, фьючерсных контрактов и т.д.). Потребности финансовых рынков в этих расчетах, с одной стороны, и развитие математического аппарата, с другой, сделали это направление исследований одним из наиболее бурно развивающихся направлений математического моделирования и вычислительной техники.

Целью исследования является получение исчерпывающих результатов для рассматриваемых двух (стационарной и не стационарной) моделей. Исходя из цели исследования, в диссертации решаются следующие задачи:

1) формальное описание исследуемых моделей;

2) вычисление верхней и нижней цены финансового обязательства;

3) вычисление верхнего и нижнего хеджа;

4) вычисление среднеквадратичного хеджа;

5) вычисление квантильного хеджа;

6) разработка программного обеспечения расчетов.

Общая характеристика диссертации. Настоящая диссертация посвящена моделированию и исследованию финансовых рынков. В ней систематически используется идеология и технические средства стохастической финансовой математики, призванной исследовать свойства финансовых структур и оптимизировать процесс распоряжения финансовыми ресурсами с учетом факторов времени, риска и случайного характера окружающей среды. Кроме того, аналитическим аппаратом, примененным в диссертации, являются конечный стохастический базис. Инструментом исследования являются стохастический анализ, математическое программирование и структуры данных.

В диссертации рассматриваются две модели финансового рынка, для которых рассчитываются различные виды хеджирующих стратегий. В одной модели учитывается "жесткая" скупка акций на финансовом рынке и возможность падения или роста стоимости акции, то есть на каждом шаге атом разбиения соответствующей конечной сигма-алгебры либо дробится на три атома, либо сохраняется, причем процесс доходности акции может быть нестационарным процессом. Другая модель описывает эволюцию стоимости акции, причем на каждом этапе существуют ш возможных вариантов поведения акции, то есть на каждом шаге атом разбиения соответствующей конечной сигма-алгебры либо дробится на m атомов, либо сохраняется. При этом предполагается стационарность процесса доходности акции.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем работы 137 страниц, в диссертации содержится 14 таблиц, 14 рисунков.

Основные результаты работы связаны с совершенствованием методов защиты от рисков, которые возникают при работе на финансовых рынках.

При решении этой проблемы получены следующие результаты.

1. Предложены и полностью исследованы две новые модели дискретного и конечного (B,S)-pbiHKa, которые по сравнению с К-Р-Р моделью позволяют учесть возможность исчезновения рискового актива с рынка в случайный момент времени. Для первой модели атомы разбиения либо не дробятся, либо дробятся на три атома, причем параметры модели являются предсказуемыми случайными величинами. Для второй атомы либо не дробятся, либо дробятся на конечное число атомов, причем параметры модели являются константами.

2. Для первой модели была предложена параметризация множества мартингальных мер, которая позволила предложить эффективные алгоритмы вычисления оптимальных стратегий поведения инвестора на (В,8)-рынках. Для немартингальной меры удалось построить хедж минимизирующий средний квадрат отклонения от финансового обязательства. Полученные результаты привели к разработке программного обеспечения, которое позволяет решать разнообразные задачи по вычислению оптимальных стратегий поведения инвесторов на финансовом рынке. В программном обеспечении использована специальная структура данных — "усыхающее дерево".

Заключение 99

3. Для второй модели получены явные формулы для вычисления оптимальных стратегий для выпуклого финансового обязательства, а также для одного немарковского финансового обязательства.

4. Вычислен хедж минимизирующий средний квадрат отклонения от финансового обязательства для немартингальной меры. При этом исходная мера заменялась на мартингальную меру, ближайшую к исходной. Для одношагового варианта модели решена задача квантильного хеджирования. Полученные результаты для второй модели доведены до вычислительных алгоритмов.

5. Полученные в диссертации теоретические результаты воплощены в программное обеспечение, которое позволяет решать широкий спектр задач оптимального поведения на (В,8)-рынках.

1. Беллман Р. Динамическое программирование. Пер. с англ. М., Изд. Иностр. Лит., 1960, 400 с.

2. Белявский Г.И.,Богачёва М.Н. Об одной модели расчета оптимального хеджа для динамического платежного обязательства. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2002, №2.

3. Белявский Г.И., Гробер Т.А., Мисюра В.В. Модель неполного безарбитражного (В,8)-рынка, учитывающего жесткую скупку акций. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2005. №2. с.6-9.

4. Белявский Г.И., Гробер Т.А. Вычисление оптимальной мартингальной меры для построения среднеквадратичного хеджа. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 2005. Т. 12. №1. с.З00-301.

5. Белявский Г.И., Гробер Т.А. Квантильное хеджирование для одной модели неполного рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 2005. Т.12. №2. с.910-912.

6. Белявский Г.И., Гробер Т.А. Вычисление интервала справедливых цен для модели Кокса-Росса-Рубинштейна с жесткой скупкой акций. // .

7. Белявский Г.И., Гробер Т.А., Мисюра В.В. Вычисление среднеквадратичного хеджа в случае немартингальной меры. //

8. Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 2006. Т.13. №1.

9. Белявский Г.И., Гробер Т.А., Мисюра В.В. Хеджирование сверху для одной модели неполного рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 2004. Т.П. №1. с.96-98.

10. Белявский Г.И., Мисюра В.В. Некоторые специальные случаи модели эволюции стоимости акций. // Изв. РГСУ. 1998. №4. с. 177-183

11. Ю.Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Ранговый критерий полноты одного финансового рынка при допущении арбитража. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1999. Т.6. №1. с.121-122.

12. П.Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Исследование модели (В,8)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на Дону. 1998. с. 179-181.

13. Белявский Г.И., Кондратьева Т.Н. Об одной модели эволюции стоимости акции, основанной на модели типа Кокса-Росса-Рубинштейна. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 2001. Т.8. №2.

14. З.Белявский Г.И., Кондратьева Т.Н. Функция ошибок и определение параметров модели. Кокса-Росса-Рубинштейна. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 2002. Т.9. №1.

15. Н.Белявский Г.И., Кондратьева Т.Н. Хеджирование в среднем для модели типа Кокса-Росса-Рубинштейна. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 2002. Т.9. №2.

16. Белявский Г.И., Кондратьева Т.Н. Хеджирование для неполных (B,S)-рынков. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2003. №3.

17. Белявский Г.И., Кондратьева Т.Н., Мисюра В.В. Модель безарбитражного, неполного рынка в рамках общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 2003. Т.10. №1.

18. П.Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. // М.: Тривола, 1995.

19. Волков С.Н., Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов.// Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1997. Т.4. №1. с. 18-65.

20. Гасс С. Линейное программирование. (Методы и приложения.)-М.:Физматгиз, 1961.

21. Гихман И.И. Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. // М.: Наука, 1977.21 .Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.

22. Гробер Т.А Хеджирование в среднем для некоторой модели неполного рынка. // Строительство-2005. Материалы международной научно-практической конференции. Ростов-на-Дону: РГСУ, 2005, с.30-31.

23. Гробер Т.А. Хеджирование сверху для одной модели неполного рынка, учитывающего "жесткую" скупку акций. // Изв. РГСУ. 2005. №9. с.429.

24. Гробер Т.А Вычисление среднеквадратичного хеджа для модели рынка, учитывающего "жесткую" скупку акций (случай мартингальной меры). //Изв. РГСУ. 2006. с.129-131.

25. Гробер Т.А Вычисление интервала справедливых цен для одной модели неполного рынка. // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения. Ростов-на-Дону. 2006. №1 с.97-101.

26. Дуб Дж. J1. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

27. Капитоненко В.В. Финансовая математика и её приложения. // М.: Приор, 1998.

28. Красий Н.П. Об одной модели (B,S)-pbiHKa. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 1998. с. 197.

29. Красий Н.П. Критерий существования мартингальной меры в случае потока атомических а-алгебр. // Строительство-2000. Материалы международной научно-практической конференции. Ростов-на-Дону: РГСУ, 2000, с.115-116.

30. Красий Н.П., Павлов И.В. Уточнённая модель эволюции цен акций в случае их скупки. // Сборник научных трудов III Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии", Т.4, Кисловодск, 1999. с.71-74.

31. Красий Н.П., Павлов И.В. О безарбитражности и полноте обобщённой модели финансового рынка в случае скупки акций. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1999. Т.6. №1. с.162-163.

32. Красий Н.П., Павлов И.В. О расширении финансового рынка до полного и безарбитражного в случае скупки акций. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 2000. с.235-236.

33. Красий Н.П., Павлов И.В. Построение хеджирующих стратегий для одной модели (В,8)-рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 2000. Т.7. №2. с.501-503.

34. Красий Н.П., Павлов И.В. Обобщённая модель эволюции цен акций в случае их скупки. // Изв. РГСУ. 2000. №5. с.

35. Красий Н.П., Павлов И.В. Модели (В,8)-рынков типа Кокса-Росса-Рубинштейна в случае скупки акций. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2001. №1.с. 29

36. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. // М.: Дело, 1998.

37. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. // М.: Наука, 1986.

38. Лэнгсам Й., Огенстайн М., Тененбаум А. Структуры данных для персональных ЭВМ. М.: Мир, 1989.

39. Малыхин В.И. Финансовая математика. // М.: ЮНИТИ, 1999.

40. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. // М.: Наука, 1989.

41. Мелкумов Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям. // М.: Инфра-М, 1994.

42. Мельников А.В. О стохастическом анализе в современной математике финансов и страхования. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1995. Т.2. №4. с.514-526.

43. Мельников А.В. Финансовые рынки. // М.: ТВП, 1997.

44. Мельников А.В. , Бойков А.В. Элементы страхового риск-менеджмента. // Учебное пособие, М.: НИАФЦ

45. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М. Н. Математика финансовых обязательств. // М.: ГУ ВШЭ, 2001.

46. Мельников А.В., Нечаев M.JI. К вопросу о хеджировании платёжных обязательств в среднеквадратичном. // Теория вероятностей и её применения. 1998. Т.43. №1. с.672-691.

47. Мельников А.В., Нечаев M.JL, Степанов В.М. О дискретной модели финансового рынка и методах расчётов с ценными бумагами. // Препринт. М.: Научно-иссл. Актуарно-финансовый центр. 1996. №3. с.13.

48. Мельников А.В., Феоктисов К.М. Вопросы безарбитражности и полноты дискретных рынков и расчёты платёжных обязательств. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2001, т.8, вып.1, с.28-40.

49. Мину М. Математическое программирование. // М.: Наука, 1990.

50. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации-М.: Наука, 1978.

51. Новиков А.А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью. // Теория вероятностей и её применения. 1998 Т.43. №1. с. 152-160.

52. Павлов И.В. Об одном модели (В,8)-рынка, связанной с простейшей фильтрацией Хаара. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997, т.4, вып. 3,с.389-390.

53. Педдок Р., Петерсон Д., Телмейдж P. Visual FoxPro 6. Разработка корпоративных приложений. // М.: ДМК, 1999.

54. Первозванский А.А., Первозванская Т.И. Финансовый рынок: расчёт и риск. // М.: Инфра-М, 1994.

55. Петраков Н.Я., Ротарь В.И. Фактор неопределённости и управление экономическими системами. // М.: Наука, 1985.

56. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи.-М.: Наука, 1980.

57. Рачев С.Т., Рушендорф JI. Модели и расчёты контрактов с опционами. // Теория вероятностей и её применения. 1994. Т.39. №1. с.150-190.

58. Реселман Б. Использование Visual Basic 5. // Киев: Вильяме, 1998.

59. Селезнёва Т.В., Тутубалин В.Н., Угер Е.Г. Имитация практического применения некоторых мартингальных стратегий хеджирования и спекуляций. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1997. Т.4. №1. с. 103-123.

60. Стохастические аспекты финансовой математики. Тематический выпуск. // Теория вероятностей и её применения. 1994. Т.39. №1.

61. Тетёркин Д.Н. О представлении мартингалов в случае ст-алгебр специального вида. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1998. Т.5. №2. с.283-284.

62. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1971.

63. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва. ТВП. 1995. Т.2. №4, с.527-555.

64. Ширяев А.Н. Вероятность. // М.: Наука, 1980.

65. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики. // Теория вероятностей и её применения. 1994, Т.39, №1, сс.5-22.

66. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1,2. // М.:.ФАЗИС, 1998.

67. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1994. Т.1. №5. с.780-820.

68. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчётов опционов Европейского и Американского типов. I. Дискретное время.// Теория вероятностей и её применения. 1994. Т.39. №1. с.80-129.

69. Bachelier L. Theorie de la speculation. // Annales de l'Ecole Normale Superieure. 1900. V.17. p.21-86.

70. Black GF., Sholes M. The pricing of option and corporate liabilities. // Journal of Political Economy. 1973. V.81. №3. p.637-659.

71. Bogacheva M.N., Pavlov I.V. On the Universal Haar Uniqueness Property of martingale measures // International conference "Stochastic Analysis and Related Topics", Abstracts , St. Petersburg, 2001, p. 13-14.

72. Cherny A.S. General arbitrage pricing model: probability and possibility approaches, Internet publication, 2005, 325 p.

73. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing a simplified approach. // Journal of Financial Economics. 1976. V.7 (September), p.229-263.

74. Dalang R.C., Morton A., Willinger W. Equivalents martingales measures and noarbitrage in stochastic securities market models. // Stochastics and Stoch. Reports. 1990. V.29. №2.p. 181-201.

75. Fisher I. The Theory of Interests. New York: Macmillan,1930.

76. Follmer H., Kramkov D. Optional Decompositions under constraints // Probability Theory and Related Fields. 1997. V. 109. № 1. P. 1-25.

77. Hal R. Varian. Computational economics and finance. // Springer-Verlag. 1996. p.468.

78. Hansen A.T. Complete market pricing in the Wiener filtration without existence of a martingale measure. // Preprint. Aarbus University. Dept. of Operation Research. 1996.

79. Harrison J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in miltiperiod securities markets. // Journal Econom. Theor. 1979. V.20. p.381-408.

80. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading. // Stochastic Process. Appl. 1981. V.ll. №3. p.215-260.

81. Kendall M.G. The analysis of economic time-series. Part 1. Prices. // Journal of the Royal Statistical Society. 1953. V.96. P. 11-25.

82. Lepingle D. Orthogonalite et integralite uniform de martingales discretes. // Sem. De Prob. XXVI. Lecture Notes in Math. №1526. 1992. p. 167-169.

83. Markowitz H. Portfolio selection. Efficient Diversification of Investments. New York: Wiley, 1959.

84. Miller M., Modigliani F. Dividend policy, growth, and the valuation of shares // Journal of business. 1961. V. 34(October). P.411-433.

85. Modigliani F., Miller M. The cost of capital, corporation finance, and the theory of investment // American Economic Review. 1958. V. 48 (June). P.256-297.

86. Neveu J. Discrete-Parameter Martingales. I I North-Holland Publishing Сотр. 1975. p.236.

87. Pavlov I.V., Krasij N.P. Construction of the hedging strategies for one model of (\textbf В ,\textbf S )-market. // Probabilistic Methods in Discrete Math., Utrecht, the Netherlands, 2002, p. 311-316.

88. Samuelson P.A. Proof that properly anticipated prices fluctuates randomly. // Industrial Management Review. 1965. V.6. p.41-49.

89. Schachermayer W. A Hilbert space proof of the fundamental theorem of asset pricing in finite discrete time. // Insurance: Mathematics and Economics. 1992. V.ll.

90. Schachermayer W. Martingale measure for discrete-time processes with infinite horizon. // Mathematical Finance. 1994. V.4. №1. p.25-55.

91. Strieker C. Arbitrage et lois de martingales. // Ann. Inst. H.Poincare. 1991. V.26. №2. p.451-460.

92. Taqqu M.S., Willinger W. The analysis of finite security markets// Adv. Appl. Probab., 1987, 9. p. 1-25

93. Hull J.C. Options, Futures, and Other Derivative Securities. // 2nd ed., Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1993.