автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна

На правах рукописи

Кондратьева Татьяна Николаевна

Исследование общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна

Специальность:

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ростов-на-Дону 2003

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Ростовского государственного строительного университета

Научный руководитель:

Доктор технических наук, профессор Белявский Г.И. (РГСУ, г. Ростов-на-Дону)

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук, профессор Лябах H.H. (РГУПС, Ростов-на-Дону Кандидат технических наук, доцент Мермельштейн Г. Г. (РГУ, г. Ростов-на-Дону)

Ведущая организация:

Таганрогский государственный радиотехнический университет.

Защита состоится 4 июля 2003г. в 1300 часов на заседании Диссертационного совета К218.010.01 по техническим наукам в Ростовском государственном университете путей сообщения, по адресу: 344038, г. Ростов-на-Дону, пл. Народного ополчения, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУПС. Автореферат разослан « 2 » июня. 2003 г.

Отзывы на автореферат, в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 344038, г. Ростов-на-Дону, пл. Народного ополчения, 2, Диссертационный совет К218.010.01.

Ученый секретарь Диссертационного совета , кандидат технических наук, доцент

Бутакова М.А.

Ноо?-А

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Начиная с семидесятых годов, стохастические методы начали интенсивно использоваться для моделирования таких финансовых явлений, как цены акций, облигаций, банковских счетов. В результате появилась возможность более точных расчётов вторичных финансовых инструментов. Потребности финансовых рынков в этих расчетах, с одной стороны, и развитие математического аппарата, с другой, сделали это направление исследований одним из наиболее бурно развивающихся направлений математического моделирования и вычислительной техники в сфере экономики. Таким образом, диссертация относится к современному разделу исследований в области приложений математических методов в сфере экономики.

Основой для построения многочисленных моделей финансового рынка является модель Кокса-Росса-Рубинштейна, базирующаяся на том естественном предположении, что цены акций в любой момент времени могут, как повышаться на фиксированное число пунктов, так и понижаться на фиксированное число пунктов. Опираясь на эту гипотезу Кокс, Росс и Рубинштейн разработали биномиальную модель (В,8)-рынка, которая является дискретным аналогом геометрического броуновского движения. Появление модели Кокса-Росса-Рубинштейна послужило толчком для развития методов современного стохастического анализа в математической теории финансов. В месте с тем, указанная модель не учитывает ряд существенных особенностей объекта исследования. Особенно это относится к российскому финансовому рынку, на котором очень часто присутствует и неполнота и арбитражность несвойственные модели Кокса-Росса-Рубинштейна.

В диссертации рассматривается общая модель Кокса, Росса, Рубинштейна с шумом, которая лучше описывает ситуации на Российских финансовых рынках. По этой причине расчеты, производир^Щ^^Щ^^^цооледованной модели ближе к реальности] Задвкм^вдаооые! решаются в рабо-

те, востребованы практикой и весьма актуальны для современного состояния российских финансовых рынков.

Таким образом, объектом исследования является (В,S) рынок ценных бумаг, а предметом исследования - математическая модель Кокса-Росса-Рубинштейна.

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка модели (В,S) рынка, средств поддержки оптимальных решений, процедур и методов ее идентификации. Цель определяет следующие задачи:

1. Построить модель финансового рынка, в которой преодолеть ограничения классической модели Кокса-Росса-Рубинштейна.

2. Выявить условия, при которых этот рынок полон и безарбитражен, неполон и безарбитражен, арбитражей.

3. Разработать методы определения оптимального портфеля.

4. Изучить влияние шума и вычислить оптимальный по среднеквадратичному критерию портфель для модели с за-шумленными данными.

5. Предложить и исследовать методы подгонки параметров модели под реальные данные.

6. Разработать вычислительные и программные средства для расчетов вторичных финансовых инструментов.

Методика исследований. При проведении исследований применялись методы стохастической финансовой математики, методы математической статистики, методы оптимизации. Вычислительные процедуры реализованы в средах VBA for Excel и СИ Builder.

Научная новизна. Осуществлено обобщение модели Кокса-Росса-Рубинштейна (в,5^-рынка, в которой естественно описываются всевозможные ситуации на рынке. Получены критерии, которые позволяют определить ситуацию на рынке и вычислить оптимальные цены для европейских опционов и построить хедж. В частности, модель позволяет более естественно, чем это было сделано ранее, промоделировать

ситуацию, связанную с жесткой скупкой акций. Кроме этого предложена методика расчета цены опциона и хеджа для арбитражного рынка. Модель адаптирована для зашумленных данных, что делает ее более пригодной, по сравнению с известными моделями, для реальных расчетов. Предложены новые методы подгонки параметров модели под реальные данные, без чего реальное использование результатов работы было бы проблематичным. Все результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми.

Выносимые на защиту результаты. В ходе проведённых исследований получены следующие результаты:

1. Исследована общая модель Кокса-Росса-Рубинштейна, для которой получены условия полноты и безарбит-ражности (В,Б) рынка, безарбитражности и неполноты (В,Э) рынка, арбитражности (В,Б) рынка. Для каждого из этих случаев рассчитана оптимальная цена опциона европейского типа и построен хедж.

2. Исследована общая модель Кокса-Росса-Рубинштейна с шумом. Для модели получены условия существования мартингальной меры в исследуемом классе мер. Для среднего квадратичного критерия вычислена оптимальная цена опциона европейского типа и построен хедж для мартингальной и для немартингальной меры.

3. Разработаны и теоретически исследованы три метода оценки параметров модели:

а) итерационный метод, использующий максимальное правдоподобие,

б) неитерационный метод, использующий функцию ошибок,

в) непараметрический метод, использующий знаковые статистики.

Практическая значимость. Результаты настоящей диссертации применимы для моделирования разнообразны* Ситуаций на финансовых рынках. В результате расчетов, проведенных для реальных данных, результаты диссертации имеют практическое применение при анализе ело-

жившейся на рынке ситуации и разработке индивидуальной стратегии. На основе предложенной модели возможно построение более сложных и усовершенствованных моделей финансовых рынков, дальнейшее развитие концепции ^В,5^-рынка, подверженного жесткой скупке акций, и построение теории арбитража. По результатам исследований написана программа, позволяющая определять параметры модели, анализировать рынок, вычислять оптимальную цену опциона и строить оптимальный хедж, которая используется для защиты инвестиций в акционерном обществе "Донбанк".

Достоверность результатов работы подтверждается математическими доказательствами, результатами моделирования и обработки реальных данных.

Апробация работы. Основные результаты доложены на двух Всероссийских школах коллоквиумах (г. Йошкар-Ола, 2001 г., г. Ростов-на-Дону, 2002 г.) и Третьем Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Сочи, 2002 г.). Кроме этого, материалы диссертации подробно докладывались на семинаре по финансовой математике при кафедрах прикладной математики и высшей математики Ростовского государственного строительного университета, научном семинаре кафедры информатики Ростовского государственного университета путей сообщения и научном семинаре кафедры прикладной информатики Таганрогского государственного радио - технического университета.

Публикации. Результаты, полученные в диссертации, с разной степенью общности опубликованы в 8 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и приложения, таблиц и рисунков, списка литературы (96 наименований). Каждая глава разбита на параграфы. Работа изложена на 146 страницах.

Краткое содержание работы

Во введении приведены наиболее важные результаты, полученные в данном направлении, сформулированы цель и задачи исследования, дано краткое содержание диссертации по разделам. Приведены основные определения и факты финансовой математики, используемые в работе.

Первая глава.

"Общая модель Кокса-Росса-Рубинштейна".

В первом параграфе определяется и анализируется общая модель Кокса-Росса-Рубинштейна. Доказываются условия существования мартингальной меры, а также условия существования и единственности мартингальной меры. В изучаемой модели сохранена структура стохастического базиса модели Кокса-Росса-Рубинштейна, а значения дисконтированной стоимости акции на атомах разбиения могут быть произвольными. В этой произвольности значений и заключается новизна предлагаемой модели.

Стохастический базис модели определяется соотношениями:

(о

Дисконтированная стоимость акции й " удовлет-

^ У,

п

п

воряет уравнению

2" -1

(2)

Доказана теорема.

Теорема 1.2. Для того, чтобы существовала единственная мартингальная мера, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

а{п~1)-а{п) а{п)-а{п~]) 2<+1 ^ л 2г "(

___А ' П

|<я>->> ' >>->) (3)

'2/ 2/+1 "2/ "21+1 ДЛЯ всех /7 = 1,2,..., Аг, / = 0,1,...,2"-1 -1 •

Если условие (3) выполняется, то рынок - безарбитражный и полный.

Если а^1 = а^ = #2*].! для каких-то индексов ] и

;п , а для остальных условие (3) выполняется, то мартин-гальнгя мера неединственная и рынок - безарбитражный и неполный. Не трудно теперь представить ситуацию, когда мартингальная мера отсутствует. Например, не выполняется хотя бы одно из условий (3). В этом случае рынок становится арбитражным.

Таким образом, модель настолько богата, что позволяет описывать всевозможные ситуации на финансовых рынках.

Во втором параграфе рассматривается полный и безарбитражный рынок. Для европейского опциона строится совершенный хедж и вычисляется справедливая цена опциона.

Сначала определяется капитал портфеля 71 :

Vй

(г Л уП г

/Л' л N _ /Л'

> т> ~ т> ■ причем интегрирование ведет-

в,

ся по единственной мартингальной мере. Из адаптирован-

ности последовательности

/ „ \л'

\Вп

следует равенство:

п=о

2 -1 / ч

1 >) 4

Вп ,=0

Для вычисления коэффициентов разложения по индикаторам (4) в работе выведено рекуррентное соотношение:

х>

2/+1 (ш-1) .

а^-а{п) Ъ 2/ '

2;'+1

а

„___ >+1)

!«)_» 21+1

аи~а;

2/

■я

21+1

я

(5)

причемх}Л \ / = ОД,...,2" -1 , где г}*'* получают-

ся из представления финального платежного обязательства

1к ~ ^21 V) . Справедливая цена опциона С - ВдХ^

7=0 '

После вычисления капитала и справедливой цены опциона в диссертации вычисляются компоненты оптимального портфеля 7Г = , где у- число акций, р -«число» банковского счета. Для этого были получены следующие формулы:

^ 2/ / г

(п) (и-о'А-о (6)

/=0 а2! ~а<

2"~' -1

/

х/ 2/

— X

(»)>-0 Л

2/

а1

/=0

V

а

(«)_>-0

/

2/

"Я/

Л

(«-0

/

(7)

Таким образом, проблема расчета на безарбитражном и полном рынке была полностью решена.

В третьем параграфе изучается безарбитражный и неполный рынок, вычисляется верхняя цена опциона и строится оптимальный портфель с потреблением.

Пусть теперь мартингальная мера неединственная. Из основной теоремы финансовой математики следует, что совершенного самофинансируемого хеджа может не существовать. На неполных рынках оптимальные стратегии могут быть получены в результате применения различных подходов. В нашем исследовании мы будем использовать два из них. Первый подход, который реализован в этом параграфе, заключается в рассмотрении наряду с портфелем

Теперь динамика образования дисконтируемого капитала имеет вид:

В результате проведенного исследования и доказанных теорем были получены формулы для расчета оптимального поведения на безарбитражном и неполном рынке.

В соответствии с традиционной методикой, сначала вычислялся дисконтированный капитал портфеля:

процесса потребления^

(8)

ЛМ _ „(и) _ а1 21+1 „(я+0 , аИ аг „(л+1)

д. "/?'• '• ~ »_» + »_»

Верхняя цена опциона С = В0Х$ ■ Далее вычисляются компоненты портфеля:

а2,+1 ~ аИ

если = 0 ■ (10),

й^-О - ' 21 2> '

Р/ ¡7) ,если

аъ ~а\

у^^О.р^'^х^.если У1М = 0- (11)

Был определен и оптимальный процесс потребления

^ = 0> если 0; ^ = 0, , если и

пМ сД") - О <т(") - - г^ если

"2/+1 "2/ о2г+1 — '§21 - ХП+\ Х2/ •

>) > г(") и п^ -а^-0 (12)

2г+1 2г И "2«+1 "2/ I1*'

В четвертом параграфе приводится одна из возможных реализаций неполного и безарбитражного рынка, связанная с моделированием «жесткой скупки акций». Реализация модели заключается в определении правила вычисления а- ■ 1

Правило :

= ~ первый шаг*« = ад<о),а,0) = да<0)

4Г° = = а\п\для четныхI, = =

,длянечетньш, и = —1.

Пояснения к правилу (13) (см. рис.1). На нулевом шаге жесткая скупка акции не происходит. Акция считается скупленной на п - м шаге, если со е для четных /' . После этого акция может вернуться на рынок в момент времени т и функционировать на нем все оставшееся время, или быть опять скупленной. При этом можно рассматривать два варианта эволюции дисконтированной стоимости акции и поведения жесткого скупщика. Дисконтированная стоимость акции растет, скупщик скупает акцию при ее первом падении. Дисконтированная стоимость акции падает, скупщик скупает акцию при ее первом росте. В первом варианте §>а. во втором 5< а-

Рис. 1 Черные вершины дерева обозначают события, связанные с жесткой скупкой акции.

Формулы для расчета дисконтированного капитала приобретают вид:

>) - хМ-Ё^+уМ 1-а Х1 ~ Л2/ с 2/ + 1 ~

о-а о-а

- для нечетных номеров,

х^ = шах

(х(п) х{п) )

-для четных номеров.

Формулы для расчета портфеля: (") _ («)

,(") _ хи+\ хи

т; --^г

^ для нечетных номеров, у^ = 0 для четных номеров,

(15)

В пятом параграфе исследуется позиция покупателя опциона, строится оптимальный портфель с инвестициями, вычисляется нижняя цена опциона. Тем самым определяется спрэд и вычисляется интервал компромиссных цен.

Динамика дисконтированного капитала определяется уравнением

\ВП J

= уЛ

\Вп

+

ёп

(16)

Теперь -процесс инвестирования.

В последнем параграфе главы рассматривается арбитражный рынок (множество мартингальных мер пустое). Для определения верхней цены опциона и верхнего хеджа формулируется задача линейного программирования.

• (о)

ГП1ПХ0 '

4г" * ^+0 - < +^'к;.0 - «,00)

х\ы) = > 0;« = 0,1,..., ЛГ -1; / = 0,1,...,2" -1.

В диссертации доказывается, что множество допустимых решений задачи непустое. Откуда следует, что задача имеет решение.

В главе приведены результаты расчетов для каждой ситуации на рынке.

Во второй главе «Общая модель Кокса-Росса-Рубинштейна» с шумом, производится «координатизация» потока сигма алгебр (стохастического базиса) и модель представляется в виде уравнения

^ = -^ехр(ф„И). (18)

п ап-1

В (18) 5М- п-мерный двоичный вектор. Представленные в первой главе модели записываются в виде уравнений. Модель неполного, безарбитражного неполного рынка:

^ = |^ехр {{Ъ - а)5Л., + ). (19)

Модель рынка с арбитражем: ^ = ехр((б, - а, )5 А-, + + & ~ а2 )5„ (1 - 5„_,)+ а2 (1 - ,))

Вп Вп-\

(20)

Во втором параграфе рассматривается модель эволюции дисконтированной стоимости акции

п п » и / , (21)

в которой имеются два источника случайностей, формирующих значение процентной ставки^ .

Рассматривается естественная фильтрация

Мера Р определяется условными плотностями распределения случайных величин g :

/ / \ Рп ( (хп~К)2^\ ' -Р„ { (л, -ап)2 Х

рпа2п { 2 а„ ; рпа1 { 2 а„

(22)

В (22) предполагается, что рп,Ьп,ап,<Зп - предсказуемы. Для случайных величин может быть записано равенство: gn = Ъп{рп - ап)+ ап + кп . Здесь 8П - случайная бинарная величина с условной вероятностью Р{Ьп =1//7„_1)= рп, Ип - случайная величина с условной плотностью распределения то есть условно нормальная, и условно

независимая от Ъп.

Доказывается теорема существования мартингальной меры.

Теорема 2.1. Для существования мартингальной меры необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

ехР(ап ) ^ "7-/I ч , л ^ ехР(6« )

Е

ехР (к)/

(23)

При этом мартингальная мера удовлетворяет уравнениям:

8=1,

ехр

( ^ V 2У

-ехр(ая)

n-\J

5Я=0,

exp(6„)-exp(aj exp(¿>J-exp

< ¿>

V 2 У

(26)

n-\J

exp(&J-exp(aJ

Неравенство (25) позволяет выразить условие существования мартингальной меры непосредственно через параметры модели.

В третьем параграфе применяется метод хеджирования в среднем, который изучался в работах А.Н. Ширяева, Г. Фельмера, М. Швайцера, Д. Зондермана, В этом параграфе оптимальное хеджирование понимается, как возможность воспроизвести платежное обязательство с «наибольшей точностью» (без обращения к потреблению и инвестированию).

Вопрос о выборе меры точности воспроизведения определяется с одной стороны целевыми установками продавца и покупателя опциона и возможностью получения приемлемого решения возникающей оптимизационной задачи.

Мы будем измерять качество воспроизведения сред-неквадратическим отклонением:

что позволяет в ряде случаев найти оптимальные значения X* ,Т1* < Для которых (я?-*-) ~ ^Д' (я >х ).

хп « л

В (27) Хп '

Для определения оптимальных значений х*,71* применяется метод обратной индукции (метод динамического программирования Р.Беллмана).

Основной результат параграфа формулируется в виде теоремы.

Теорема 2.3. Последовательность функций Фп(х*_ удовлетворяет равенству

при условии, что платежное обязательство квадратично интегрируемо. В (28)

( . N

шт Е

= %-х -^-Ук-г^-Л-г = Zk_x{\ + Uk_2^Sk_x) •

Оптимальные значения

у!-1 = ик-1Х1-г + • . _ Е(%г0)

х

Доказательство теоремы носит конструктивный характер, что позволяет выстроить вычислительную процедуру.

Далее доказывается, что для мартингальной меры вычисления существенно упрощаются:

_е[/\r-Ff

(30)

Отметим, что равенства (30) могут быть получены непосредственно из разложения Кунита - Ватанабе.

В следующем параграфе в качестве примера рассматривается классическая модель Кокса-Росса-Рубинштейна с шумом, вычисляется среднеквадратический хедж:

А ( О

сШр{аГк)

= | /($0 ехр(/г(6 - а) + Мг + х)ехр[

2 л

с!х

х

Уп

кр(<

ехрит I ехр

Ь + — V 2у

л/2я(Л'-п + 1)а25'„

V

1 - ехр

V V

а + -

л\ ^

+ 1

;; /

Л'-л

I

*=0

(31)

В (31)

00

ф(«,А-) = |<&(ехр(о +х)-])ехр

С 2

V

I /(£„_, ехр((б-а)к + (ы-п + \)а + у + х))ехр

2(УУ-л)а2

( х1 ^

2а

/ /(1-, ехр((б - а\к + 1)+ (ТУ - п + 1)о + ^ + *))ехр[ -

Лу,

для «^Л^.

00

ф(/У,0) = ехр(а + х))(ехр(йг + х)- 1)ехр

-00

для п = м

г

2а"

сЬс

Полученные формулы позволяют доказать устойчивость формул Кокса-Росса-Рубинштейна по отношению к шуму. Производятся вычисления для европейского опциона колл и приводятся результаты сравнительного эксперимента.

В третьей главе диссертации «Оценка параметров модели»

рассматривается оценка параметров модели Кокса -Росса - Рубинштейна с шумом. Качественная оценка параметров модели является необходимым условием применения полученных в предыдущих главах результатов на практике. По своей природе задача оценки параметров исследуемой модели относится к задачам оценки параметров смеси распределений.

В первом параграфе исследуется метод максимального правдоподобия для смеси из произвольного числа распределений, который состоит в решении задачи:

тахЬ(р,а) =

;=1

р,а

( к \1=1

(32)

В диссертации приводится известный алгоритм и доказывается два факта. Последовательность значений правдоподобия возрастает, алгоритм останавливается в стаци-

онарных точках правдоподобия. Алгоритм конкретизируется для смеси двух нормальных законов и доказывается, что алгоритм останавливается в оптимальной точке правдоподобия.

Второй метод использует специальным образом сконструированную функцию ошибок:

F(i) = ~\n 2

D--

N-i

Z-ltx^

<7 = 1

/ , / N-i, N-i

— In---In-

N N N N

(33)

Оптимальные значения параметров определяются соотношениями:

. /' . lvv * NX-ia / 2у /* /

N'

7 = 1

N-i

N-i

(34)

В (34) i* = argminF(/), De-выборочная дисперсия, x -выборочное среднее. Предлагаемый метод не является итерационным и в этом его основное преимущество.

В следующем параграфе изучается непараметрическая схема, использующая знаковые статистики Yx —sign Xr Доказывается, что при самых общих предположениях о функции распределения:

1. F(0)=0.5,

2. F'(0)> О,

3. F"(0)cyщecтвyeт в окрестности 0 и F"(o) = О,

оптимальные оценки

(а1га2)= а^тт

(а,Ь)

( N

( N

-а) + ~ Ь)

V/=1 / 41=1

А

2 \

У J (35)

В результате исследования поведения функций

(К \ ( N

V/=1 ) \«=1

удалось предложить эффективный алгоритм решения оценки параметров.

Приводятся результаты вычислительных экспериментов для всех методов, в которых используются сгенерированные и реальные данные. На основании экспериментов делаются выводы о целесообразности использования каждого метода.

В заключении приводятся и комментируются основные положения, выносимые на защиту, которые направлены на совершенствование методов защиты от рисков при инвестициях в ценные бумаги. В качестве основного финансового инструмента использовался опцион.

Список работ по теме диссертации

1.Белявский Г.И., Кондратьева Т.Н. Об одной модели эволюции стоимости акции, основанной на модели типа Кокса-Росса-Рубинштейна.// Обозрение прикладной и промышленной математики, Т8,В2,2001.

2.Белявский Г.И., Кондратьева Т.Н. Функция ошибок и определение параметров модели Кокса-Росса-Рубинштейна.// Обозрение прикладной и промышленной математики, Т9,В1,2002.

3.Белявский Г.И., Кондратьева Т.Н. Хеджирование в среднем для модели типа Кокса-Росса-Рубинштейна. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 19,В2,2002.

4.Белявский Г.И., Кондратьева Т.Н. Хеджирование для неполных (В,Б) рынков. // Известия вузов Северо-Кавказский регион. Естественные науки. П, 2003, 3.

5.Белявский Г.И., Кондратьева Т.Н. Непараметрическая схема оценки параметров смеси.// Вестник РГУПС, 1, 2003.

6.Белявский Г.И, Кондратьева Т.Н., Мисюра В.М., Модель арбитражного (В,Б) - рынка в рамках общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна.//Обозрение прикладной и промышленной математики, Т.10, в. 1, 2003.

7.Белявский Г.И, Кондратьева Т.Н., Мисюра В.М., Модель безарбитражного, неполного рынка в рамках общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Т.10, в. 1, 2003.

8.Кондратьева Т.Н. Оценка параметров смеси с точки зрения геометрического программирования. // Известия вузов Северо-Кавказский регион. Естественные науки. П, 2003, 3.

В совместных работах на долю Кондратьевой Т.Н. приходится примерно 70 процентов.

Кондратьева Татьяна Николаевна

Исследование общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ООО «Восток-Запад» Заказ №585 Тираж 50 экз.

«>10 6 04

¿oog-fl

toéo4

I

0 Введение

0.1 Основные финансовые инструменты, фигурирующие в исследовании.

0.2 Стохастическая модель {B,S)-рынка.

0.3 Основные теоремы финансовой математики.

0.4 Модель Кокса-Росса-Рубинпггейна.

0.5 Структура диссертации.

1 ГЛАВА 1. Общая модель Кокса-Росса-Рубинштейна.

1.1 Анализ общей модели Кокса-Росса-Рубинпггейна.

1.2 Безарбитражный и полный рынок.

1.3 Безарбитражный и неполный рынок. Верхняя цена.

1.4 Модель Кокса-Росса-Рубинпггейна с жесткой скупкой акции.

1.5 Безарбитражный и неполный рынок. Нижняя цена.

1.6 Арбитражный рынок.

1.7 Реализация модели арбитражного рынка.

Выводы по первой главе.

2. ГЛАВА 2. Общая модель Кокса-Росса-Рубинштейна с шумом.

2.1 Координатное представление общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна.

2.2 Исследование общей модели с шумом.

2.3 Хеджирование в среднем.

2.4 Классическая модель Кокса-Росса-Рубинштейна с шумом.

2.5 Вычисление оптимального хеджа для европейского опциона колл.

Основные результаты главы.

3. ГЛАВА 3. Оценка параметров модели.

3.1 Максимально правдоподобное оценивание.

3.2 Максимально правдоподобная оценка параметров смеси двух нормальных законов распределения.

3.3 Функция ошибок и оценка параметров модели.

3.4 Непараметрическая схема оценки параметров модели.

Выводы по третьей главе.

Исследование посвящено общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна и общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна с шумом. Предлагаемые модели обобщают известную модель Кокса-Росса-Рубинштейна, причем модель с шумом является примером модели с дискретным временем и континуальным пространством состояний.

Основным инструментом исследования является стохастический анализ и применяется идеология стохастической финансовой математики.

Изучая введенные нами модели (B,S) - рынка, мы решали задачу фитинга модели, исследовали вопросы полноты и беарбитражности рынка, определяли стратегии оптимального распределения финансовых ресурсов на рынке, сопоставляли полученные формулы с известными формулами Кокса-Росса-Рубинштейна, применяли результаты для работы с реальными данными.

Далее приводятся основные определения и обзор результатов, по затронутым в диссертации вопросам.

0.1. Основные финансовые инструменты, фигурирующие в исследовании.

Дадим основные определения и краткую характеристику используемых далее понятий. Более подробное описание финансовых инструментов может быть найдено в [68].

Финансовый рынок. На финансовом рынке в распоряжении инвестора имеются акции, облигации, производные ценные бумаги(опционы, фьючерсы и др.).

На рынке его участники производят различного рода финансовые операции, используя финансовые инструменты. Участники финансового рынка - это финансовые компании, банки, другие финансово-страховые структуры, не исключая индивидуумов, ставящие перед собой цель получать как можно большую прибыль при как можно более низком риске. В результате для каждой сделки мы наблюдаем двухкритериальную проблему с двумя критериями антагонистами: ожидаемая прибыль и риск. Как правило, чем выше ожидаемая прибыль, тем выше риск.

Для разрешения этой дилеммы применяются различные подходы. Среди наиболее известных - диверсификация по Марковичу и применение производных ценных бумаг, называемых опционами и фьючерсами.

Опционы - производные ценные бумаги некоторого актива. Опционы типа call позволяют его владельцу купить актив по фиксированной цене не позже определенной даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион). Опционы типа put позволяют продать актив по фиксированной цене не позже определенной даты (американский опцион) или на момент такой даты. В отличии от фьючерса опцион в зависимости от ситуации на рынке может быть предъявлен или не предъявлен к исполнению. Ситуация, связанная с опционом типа call европейского типа изображена на рис.01.

На рис. 01: ось абсцисс соответствует стоимости акции, ось ординат - цена, по которой акция покупается. Пунктирная линия изображает зависимость цены акции при отсутствии опциона. Сплошная линия изображает зависимость при наличии опциона. К - договорная цена покупки акции. к s

Рис. 0.1. Зависимость цены акции от стоимости при наличии опциона Call.

Продавец опциона освобождает инвестора от риска превышения стоимости акции заранее оговоренной цены. Естественно, что за такую услугу продавец должен взять определенную сумму - цену опциона. При t этом выглядит естественным желание продавца определить ту минимальную цену, при которой он сможет выполнить взятые на себя обязательства. Понятно, что и покупателю необходимо знать верхний порог цены, превышение которого делает приобретение опциона невыгодной для него сделкой. Естественно, что интересы продавца и покупателя противоположны. Отсюда вытекает необходимость определения и вычисления справедливой цены опциона.

В настоящее время усилиями как зарубежных, так и отечественных исследователей математическая теория расчета справедливой цены ^ опциона хорошо развита. По этому далее мы приведем основные результаты, которые используются в нашем исследовании.

Прежде всего, дадим определение двум центральным объектам.

Акция — это долевая, ценная бумага, выпускаемая корпорациями, компаниями, фирмами с целью накопления капитала. Акции могут быть самых разнообразных видов, которые различаются по способу выплаты дивидендов. Мы не будем останавливаться на этих, для нас несущественных подробностях. Отметим лишь важный для нас момент. ш

Многих инвесторов интересует не дивиденды, а возможность заработать деньги на изменении цен. Следовательно, акции постоянно присутствуют на рынке, и их цена является случайной величиной. Этот актив далее мы будем называть рисковым актовом.

Банковский счет может рассматриваться как бумага, суть которой состоит в том, что банк обязуется выплачивать по банковскому счету определенный процент от суммы счета. Для нас важно то, что банковский счет является величиной детерминированной. Далее этот актив мы будем называть безрисковым активом.

Банковский счет и акция достаточно универсальный инструментарий для описания разнообразных ситуаций, возникающих на финансовом рынке. Например, отношение между долларом и рублем можно описать в этих инструментах, если под банковским счетом понимать рубль, а под акцией - доллар.

По этой причине исследование рынка, состоящего из банковского счета и акции, имеет не только теоретическое значение. Этот объект, который мы будем называть (В,S) - рынком, далее будет основным элементом нашего внимания.

Реальная работа на финансовом рынке предполагает выполнение определенных расчетов. Расчеты базируются на состоятельном в статистическом смысле прогнозе. Без этого невозможно определить оптимальную стратегию инвестиций. Это невозможно сделать без определенных предположений о характере рынка.

К этим предположениям относятся предположения:

1. Не учитываются «скрытые» параметры типа человеческих мотивов поведения.

2. Предполагается, что дальнейшая динамика рынка примерно совпадает с динамикой поведения рынка в прошлом (с учетом изменений, происходящих на рынке в настоящий момент). Это позволяет допустить, что различные показатели рынка можно рассматривать как случайные величины, что, в свою очередь, предопределяет использование стохастических методов анализа. 3. Имеется возможность накапливать информацию об анализируемом финансовом инструменте, то есть использовать методы математической статистики для оценки параметров модели. Перечисленные предположения позволяют строить научно-обоснованные технологии принятия решений с использованием математики и компьютерной техники.

Одной из реализаций высказанных выше предположений была гипотеза поведения цен как случайного блуждания, которая была далеко не сразу принята как экономистами, так и математиками [65], [72], [73], [74], но именно она принесла наибольшие плоды и легла в основу современной концепции эффективного или рационального рынка.

Концепция эффективного рынка описывается следующими правилами:

1. Мгновенно производится коррекция цен как результат изменения ситуации на рынке.

2. Участники рынка одинаково интерпретируют информацию, которая доступна всем без исключения, мгновенно изменяя свои решения при обновлении этой информации.

3. Участники рынка преследуют свои цели, которые имеют объективный «эгоистический» характер, что позволяет анализировать его индивидуальное поведение, используя его конкретные и наблюдаемые реакции.

Эти предположения, выраженные в словесной форме, позволяют использовать математические методы при построении теории расчетов на финансовых рынках. Как уже говорилось ранее основным аппаратом, который используется в этой теории, является стохастический анализ [23],[38],[42].

0.2 Стохастическая модель (5,5)-рынка.

Начиная с семидесятых годов прошлого столетия, стохастический анализ начал использоваться как весьма эффективный инструмент математического моделирования при объяснении таких явлений как эволюция цены рисковых активов. Далее появилась возможность привлечь стохастический анализ для расчетов вторичных финансовых инструментов (опционов, форвардных и фьючерсных контрактов). Затем на языке стохастического анализа удалось описать такие чисто экономические элементы как полнота и арбитраж. Такое стало возможным в результате многочисленных исследований поведения рисковых активов, которые выявили хаотичность в эволюции цен, их по настоящему случайный характер.

Основоположником стохастической финансовой математики по праву считается JI. Башелье, который использовал математическое описание броуновского движения в качестве модели для описания динамики цен акций и применил его для расчета цены опциона. Его работа была опубликована в 1900 году [72]. Основной недостаток этой модели заключался в том, что в ней присутствовала возможность появления отрицательной цены акции. По этой причине работа не была по достоинству оценена в течение долгого времени. Лишь в середине 60-х годов прошлого столетия работа получила заслуженное признание в связи с исследованиями известного экономиста П. Самюэльсона, который ввел определение геометрическое броуновское движение и устранил основной недостаток модели Башелье [91]. На основе этой модели в 1973 году Блэк и Шоулс получили точные формулы расчета справедливой цены опциона и хеджирующих стратегий для опционов европейского типа [73]. Для дискретного времени аналогичную модель построили Кокс, Росс и Рубинштейн [74].

Основным элементом вероятностной модели является стохастический базис (Q, Fn, F, , где

N - финальный момент эремени, до которого включительно рассматривается поведение акции, и производятся расчеты (в нашем исследовании iV< оо); ^

Q - пространство элементарных событий to, соответствующих всевозможным состояниям рынка;

F - а-алгебра случайных событий наблюдаемых на рынке до финального момента включительно" Р - вероятностная мера на F; возрастающая последовательность ст-подалгебр а -алгебры F, где Fo = {Q,0}, FN = F, при этом каждый элемент последовательности интерпретируется как совокупность всевозможных событий, которые происходят на рынке до момента п включительно.

Последовательность (S„ Fn -измеримых случайных величин, которая интерпретируется как цена акции. Естественно потребовать, чтобы Vn:S„ >0 Р-почти наверное. Адаптированность или /^-измеримость обозначает, что цена акции полностью определяется состоянием рынка на момент времени п, то есть не зависит от будущего развития событий.

Другую адаптированную к (Fn )J=0 последовательность (Вп )J=0, удовлетворяющую условию положительности мы будем рассматривать как цену банковского счета. В большинстве случаев эту последовательность считают детерминированной или предсказуемой, то есть в момент времени п известно значение Вп. Заметим, что для наших технологий последнее предположение не является предопределяющим. Однако, отдавая дань традиции, будем считать цену банковского счета детерминированной последовательностью.

Двумерную Fnx -измеримую последовательность in >Рл (предсказуемую последовательность) будем называть портфелем тт. В этой последовательности уп - количество акций, Рл - количество единиц банковского счета. Мы не будем накладывать ограничений на значение у„ и Ря. Следовательно, мы предполагаем, что имеется возможность брать «взаймы» и акции вместе с банковским счетом являются безгранично делимыми. Fnl -измеримость означает, что портфель (у„,Р„)формируется в момент времени п-1.

Капитал портфеля тг - это последовательность, которая в самом общем виде определяется соотношением:

X: = ynSn+$nBn+un, (0-1) где (w„)Xi " адаптированная последовательность. С портфелем п и капиталом Jf* непосредственно связано условие финансирования портфеля; ч+^^ГАч+Р^^, (0-2) где - адаптированная последовательность. В равенствах (0.1) и (0.2) в состав gn обычно входят инвестиции, потребления, операционные издержки; ип включает дивиденды, премии на страховые полисы и выплаты по полисам.

Соотношения (0.1) и (0.2) приводят непосредственно к следующим равносильным условиям:

• +• п-ЛУп = Sn-\+un-\ (балансовое соотношение),

АХп =Р„ЛЯИ +У„АSn + g„i + ип (приращение капитала),

Вп J г„Д

BnJ (приращение

0.3) в„

1 — 1 и дисконтируемого капитала).

Напомним, что все соотношения понимаются Р -почти наверное. Доказательство этого факта можно найти в [33].

Если g„ = 0 и ип = 0, то портфель называется самофинансируемым.

Следующим важным понятием является арбитраж. Арбитраж на рынке предполагает возможность получения прибыли без риска. То есть более строго существует такой портфель п с начальным капиталом xq = 0, для которого x* > 0 р -почти наверное и р{х^ > о)> 0.

Остановимся теперь несколько подробнее на опционе. Опцион характеризуется двумя элементами: ценой и платежным обязательством, которое берет на себя продавец опциона. Платежное обязательство может быть либо финальным, либо динамическим. Финальное платежное обязательство характерно для опционов европейского типа, динамическое характерно для опционов американского типа. Математически финальное платежное обязательство fN - это Fv -измеримая неотрицательная случайная величина, динамическое платежное обязательство — это адаптированная последовательность (/„ неотрицательных случайных величин. Так в примере, изображенном на рис. 0.1, финальное платежное обязательство fN = (SN - К)+ = max(SN - К,О) (график изображен на рис. 0.2). Л n К n

Рис. 0.2. Зависимость финального обязательства от стоимости акции для опциона call.

Цена опциона соответствует платежному обязательству, которое берет на себя продавец опциона. Естественно, что для продавца и покупателя эти цены «кажутся» разными. Формализуем этот факт.

Назовем портфель ценных бумаг п верхним (x,fN) ((х, (fn ))-хеджем для европейского (американского опциона), если XZ=x,X*>fN {х* t fn,n = l,2,.jv). Последние соотношения определяют класс верхних хеджей H*{x,fN)~ \jz:Xq =х, Х^ или

H%(fnY^ )= Mo =х,Х"п>/п,п = 1,2,.,*}.

Аналогично определяется нижний хедж (заменой знака «>» на знак «<») и класс нижних хеджей: H*(x,fN) или Теперь можно определить верхнюю и нижнюю цену опциона. Верхняя цена опциона определяется как C*(/Ar) = inf{;c>O://*(x,/A,)^0} или

С* ((/X,) = inf {* > 0:Я'(*, (/„ Z,)* 0}• Нижняя цена опциона определяется как С*(/дг) = sup{jc > 0 :Н*(х,/м)ф 0} или

С* ((/„ )= supjx: > 0 :#, (*, (fn )„v=, <Z>). Содержательный смысл введенных понятий состоит в следующем. Если за опцион будет назначена цена из интервала (с*,оо), то арбитражная ситуация возникает для продавца опциона, если за опцион будет назначена цена из интервала [О,С,), то арбитражная ситуация возникает для покупателя опциона, если за опцион будет назначена цена из интервала [С*,С*], то арбитражной ситуации не возникает ни для продавца ни для покупателя. Это обстоятельство оправдывает для интервала цен [с.,с*] название интервала приемлемых цен.

Может случиться так, что для некоторого платежного обязательства fN нижняя цена совпадет с верхней ценой:С, = С*, это возможно тогда и только тогда, когда существует такой верхний (с*,/^) хедж, для которого v = In (нижний (C.,fN) хедж, для которого =/v) такие хеджи будем называть совершенными. В этом случае можно говорить о справедливой цене опциона С = С» = С*.

Теперь мы можем определить важную характеристику рынка, а именно, полноту рынка. Так вот, рынок называется полным, если для произвольного платежного обязательства найдется совершенный хедж. Более подробное объяснение рассмотренных характеристик рынка можно найти в монографии [68].

0.3 Основные теоремы финансовой математики.

В нашей работе мы будем часто ссылаться на две основные теоремы финансовой математики, которые приводятся здесь, чтобы не нарушать полноты изложения.

Прежде чем изложить и прокомментировать основные теоремы приведем два важных определения.

Дисконтированной ценой акции называется отношение цены

Вп акции к банковскому счету. Мы предполагаем, что Вп> 0 Р -почти наверное. Дисконтирование является удобным приемом, который позволяет упростить анализ математической модели и сделать более простыми связанные с рынком вычисления.

Мартингалъной мерой (риск-нейтральной мерой) называется мера Р эквивалентная исходной мере Р, для которой процесс rS

F Р л ' n является мартингалом, то есть выполняются условия: и=0 оо, Ег

V п В п = 1,2

0.4) п 1

Первая основная теорема звучит следующим образом.

Теорема 0.1. Для того, чтобы рынок был безарбитражен, необходимо и достаточно, чтобы нашлась хотя бы одна мартингальная мера эквивалентная исходной мере.

Вторая основная теорема звучит следующим образом.

Теорема 0.2. Если множество мартингальных мер непустое, то для того, чтобы рынок был полным, необходимо и достаточно, чтобы мартингальная мера была единственной.

Таким образом, если рынок безарбитражный и полный, то существует единственная мартингальная мера. Если существует единственная мартингальная мера, то рынок безарбитражный и полный. Если мартингальная мера неединственная, то рынок безарбитражный и '* неполный. Эти импликации вытекают непосредственно из основных теорем.

Остается открытым вопрос, каким будет рынок, если множество мартингальных мер пусто. Из первой теоремы непосредственно следует, что рынок будет арбитражным. Однако, нам известен по крайней мере один пример, приведенный в работе [3] арбитражного и полного рынка. Более того, в этой работе был установлен критерий полноты для одной % специальной модели эволюции рынка.

Как отмечалось ранее, наше исследование посвящено развитию идей, содержащихся в модели Кокса-Росса-Рубинпггейна, к изложению, которой мы приступаем.

0.4 Модель Кокса-Росса-Рубинпггейна.

Модель Кокса-Росса-Рубинпггейна сыграла исключительную роль в развитии и становлении финансовой математики. Она послужила основой для построения различных теорий (5,5)-рынка. Появление модели послужило отправной точкой развития исследований в области применения методов современного стохастического анализа в математической теории финансов. Как точно отметил А.Н. Ширяев [68] "биномиальная модель Кокса-Росса-Рубинштейна . играет в финансовой математике роль, сходную со схемой Бернулли в классической теории вероятностей - будучи весьма простой, эта модель дает возможность полного расчета многих финансовых характеристик, например справедливых цен опционов, хеджирующих стратегий и др."

Со своей стороны добавим, что на основе этой модели была построена первая модель неполного рынка [43], и разработана теория расчетов справедливой цены опциона.

Классическая модель Кокса-Росса-Рубинштейна базируется на том естественном предположении, что цены акций в любой момент времени могут, как повышаться, так и понижаться. Считая эти изменения дискретными, Кокс, Росс и Рубинштейн разработали биноминальную модель {В, S)-рынка. В этой модели элементы функционируют в соответствии с формулами:

0.5) где В0>0, S,o>0, r>— 1 - постоянная процентная ставка, ря>-1 -последовательность одинаково распределенных, независимых в совокупности случайных величин, принимающих два значения: а и Ъ, причем -\<a<r<b.

В связи с анализом случая «жесткой» скупки акций модель Кокса-Росса-Рубинштейна развивалась в работах Белявского Г.И.,Богачевой М.Н., Красий Н.П., Павлова И.В.[2], [4], [32], [51], [52], [54].

0.5 Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех содержательных глав, заключения и приложения.

Выводы по третьей главе.

В результате исследований, приведенных в третьей главе, были разработаны три метода получения оценок параметров смеси. Каждый из методов обладает своими достоинствами. В первом методе реализована одна из плодотворных идей математической статистики - метод максимального правдоподобия Фишера. Удалось доказать, что первый метод позволяет определить стационарные точки функции правдоподобия. Отдельно исследован случай смеси двух нормальных законов с одинаковыми дисперсиями. Удалось доказать сходимость метода к максимально правдоподобным оценкам параметров смеси. Во втором методе в основу был положен поиск максимума оценки снизу функции правдоподобия. Удалось реализовать неитерационную процедуру поиска максимума. С вычислительной точки зрения этот метод обладает существенным преимуществом по сравнению с остальными. В третьем методе исследована непараметрическая схема оценки параметров смеси. Был получен вычислительно эффективный алгоритм, позволяющий получать робастные оценки параметров смеси.

Проведенные вычислительные эксперименты позволяют сделать следующие выводы:

1. Оценки параметров, полученные первым, вторым и третьим методами для смеси нормальных законов «практически» не различаются и с необходимой точностью совпадают с заданными значениями. См. рис. 3.2.

2. Для смеси нормальных законов со слабым засорением оценки параметров а,Ь и d совпадают с определенной степенью точности и близки к заданным значениям. Для параметра р лучшая оценка была получена вторым методом, не намного хуже оценка, полученная третьим методом. См. рис. 3.3.

3. Для смеси нормальных законов с сильным засорением не удалось найти хорошую оценку параметра а ни одним из методов. Для параметров b и d получены хорошие оценки каждым из методов. Для параметра р получены «приемлемые» оценки каждым из методов. Неудача при оценке параметра а объясняется смещением первого распределения в положительном направлении, что хорошо заметно на гистограмме распределения частот. См. рис. 3.4.

4. Для смеси распределений Пуассона наиболее близкие к заданным значениям оценки были получены третьим методом. См. рис. 3.5.

5. Для акций компании «Боинг» оценки параметров a,d и р, полученные первым, вторым и третьим методами совпадают с высокой степенью точности. Оценки параметра b, вычисленная первым и вторым методами совпадают, но ближе к реальности, судя по гистограмме, оценка, полученная третьим методом. См. рис. 3.6.

6. Для акций компании «Аэрофлот» оценки трех методов совпадают.

Функция ошибок

Рис.3.1 * *

Смесь нормальных законов

Максимальное правдоподобие 1

Функция ошибок 2

Непараметричес кий метод 3 а=-01 -0,112 -0,104 -0,077

Ь=01 0,102 0,124 0,116 d=0 01 0,008 0,005 0,011 р=0 3 0,335 0,410 0,389

Смесь нормальных законов(засорение)

1 2 3

Максимальное правдоподобие 1

Функция ошибок 2

Непараметричес-кий метод 3 а=-0 1 -0.093 -0.080 -0,104

Ь=01 0,087 0,130 0,124 d=0 01 0,011 0,005 0,005 р-0 3 0,147 0,330 0,41

Смесь нормальных законов (сильное засорение)

Максимальное правдоподобие 1

Функция ошибок 2

Непараметрический метод 3

1 2 3 а=-0 1 0,112 0,028 0,078

Ь=0 1 0.114 0,189 0,166

3=0 013 0,011 0,004 0,009 р=0 3 0,455 0,470 0,504

25 PXVJ.'.'.'.'.^r'.V'.V.1

20

15

Максимальное правдоподобие 1

Функция ошибок 2

Непараметрический метод 3 b=20 d=10

Смесь законов Пуассона 1

13,742 14,400 15,500

18,842 8,507 0,283

20.400 4,780 0,500

20,000 8829 0,574

Боинг

Максимальное правдоподобие 1

Функция ошибок 2

Непараметрический метод 3

1 2 3 а -0,009 -0,009 -0,015

Ь 0039 0,037 0,009 d 0,0001 0,0001 0,0003

Р 0,818 0,800 0,833 й * -* 4

Аэрофлот

Максимальное правдоподобие 1

Функция ошибок 2

Непараметрический метод 3

1 2 3 а -0,039 -0,038 -0,039 ь 0029 0,030 0,028 d 0,0003 0,0003 0,0003

Р 0,424 0,437 0,420

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Основные научные и практические результаты исследования заключаются в разработке и совершенствовании методов защиты от рисков при инвестициях в ценные бумаги, которыми являются, например, акции. В качестве основного финансового инструмента использовался опцион.

При решении этой проблемы были получены следующие результаты.

1. Исследована общая модель Кокса-Росса-Рубинштейна, для которой получены условия полноты и безарбитражности (5,5) рынка, беарбитражности и неполноты (B,S) рынка, арбитражное™ (B,S) рынка. Для каждого из этих случаев рассчитана оптимальная цена опциона европейского типа и построен хедж. Теоретические результаты реализованы в виде вычислительных схем, для которых написано программное обеспечение.

2. Исследована общая модель Кокса-Росса-Рубинпггейна с шумом. Для модели получены условия существования мартингальной меры в исследуемом классе мер. Для среднего квадратичного критерия вычислена оптимальная цена опциона европейского типа и построен хедж для мартингальной и для немартигальной меры. Вычислительная схема и программное обеспечение разработаны для европейского опциона колл и мартингальной меры.

3. Разработаны и теоретически исследованы три метода оценки параметров модели. Для каждого метода предложены вычислительные схемы, которые реализованы в виде программного обеспечения.

4. По результатам исследований написана программа, позволяющая определять параметры модели, анализировать рынок, вычислять оптимальную цену опциона и строить оптимальный хедж.

Существенную помощь в написании программы оказала студентка пятого курса РГСУ Кристина Зыбина, которой автор выражает свою признательность. Программа внедрена и используется при расчетах.

1. Белявский Г.И., Мисюра В.В. Некоторые специальные случаи модели эволюции стоимости акций. // Изв. РГСУ. 1998. №4. С. 177183

2. Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Ранговый критерий полноты одного финансового рынка при допущении арбитража. // Обозрение приклад ной и промышленной математики. Москва, ТВ П. 1999. Т.6. №1. С.121-122.

3. Белявский Г.И., Мисюра В.В. Павлов И.В. Исследование модели (В,5)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на Дону. 1998. С.179-181.

4. Белявский Г.И., Кондратьева Т.Н. Об одной модели эволюции стоимости акции, основанной на модели типа Кокса-Росса-Рубинштейна.// Обозрение прикладной и промышленной математики, Т8,В2,2001.

5. Белявский Г.И., Кондратьева Т.Н. Функция ошибок и определение параметров модели Кокса-Росса-Рубинштейна.// Обозрение прикладной и промышленной математики, Т9,В 1,2002.

6. Белявский Г.И., Кондратьева Т.Н. Хеджирование в среднем для модели типа Кокса-Росса-Рубинштейна. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Т9,В2,2002.

7. Белявский Г.И., Кондратьева Т.Н. Хеджирование для неполных (B,S) рынков // Известия вузов Северо-Кавказский регион. Естественные науки. П, 2003, 3.

8. Белявский Г.И., Кондратьева Т.Н. Непараметрическая схема оценки параметров смеси.// Вестник РГУПС, 1, 2003.

9. Белявский Г.И, Кондратьева Т.Н., Мисюра В.М., Модель арбитражного (B,S) рынка в рамках общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна/Юбозрение прикладной и промышленной математики, Т.10, в. 1,2003.

10. Белявский Г.И, Кондратьева Т.Н., Мисюра В.М., Модель безарбитражного, неполного рынка в рамках общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна// Обозрение прикладной и промышленной математики, Т.10, в. 1, 2003.

11. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. // М.: Тривола, 1995.

12. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. // М.: Наука, 1978.

13. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. // М.: Наука, 1975.

14. Волков С.Н., Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1997. Т.4. №1. С.18-65.

15. Гальчук Л.И. О структуре некоторых мартингалов. // Труды школы-семинара по теории случайных процессов. 4.1. Вильнюс. 1974.

16. Гамровски Б., Рачев С. Финансовые модели, использующие устойчивые законы. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1995. Т.2. №4. С.556-604.

17. Гарнаев А.Ю. Использование MS Excel и VBA в экономике и финансах. // СПб.: БХВ, Санкт-Петербург, 1999.

18. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов.//М.: Наука, 1977.

19. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. // М.: Высшая школа, 1999.

20. Даффин Р.Дитерсон Э., Зенер К. Геометрическое программирование, М, Мир, 1972.

21. Дуда Р., Харт П., Распознавание образов и анализ сцен, М, Мир, 1976.

22. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Т.1,2. // М.: Физматлит, 1994.

23. Иенсен Б.А., Нильсен Й.А. Расчёт цены в отсутствии арбитража. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП.1996. Т.З. №6. С.899-945.

24. Кабанов Ю.М., Крамков Д.О. Отсутствие арбитража и эквивалентные мартингальные меры: новое доказательство теоремы Харрисона-Плиски. // Теория вероятностей и её применения. 1994. Т.39. №3. С.635-640.

25. Капитоненко В.В. Финансовая математика и её приложения. // М.: Приор, 1998.

26. Карлберг К. Бизнес-анализ с помощью Excel. // Киев: Диалектика,1997.

27. Кергаль И. Методы программирования на Бейсике. // М.: Мир, 1991.

28. Красин Н.П., Павлов И.В. О расширении финансового рынка до полного и безарбитражного в случае скупки акций. И Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 2000. С.235-236.

29. Красий Н.П., Павлов И.В. Построение хеджирующих стратегий для одной модели (В,5)-рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 2000. Т.7. №2. С.501-503.

30. Красий Н.П., Павлов И.В. Обобщённая модель эволюции цен акций в случае их скупки. // Изв. РГСУ. 2000. №5. С.165-173.

31. Красий Н.П., Павлов И.В. Модели (В,5)-рынков типа Кокса-Росса-Рубинштейна в случае скупки акций. // Изв. вузов СевероКавказский регион. Естеств. науки. 2001. №1. С.7-11.

32. Красий Н.П. Применение мартингальных методов к моделированию финансовых рынков в случае скупки акций, Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Ростов-на-Дону, 2001.

33. Кондратьева Т.Н. Оценка параметров смеси с точки зрения геометрического программирования.// Известия вузов СевероКавказский регион. Естественные науки. П, 2003, 3.

34. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. // М.: Дело, 1998.

35. Лебедев А.Н. Моделирование в научно-технических исследованиях. // М.: Радио и связь,1989.

36. Леман Э, Теория точечного оценивания, М, Наука,1991

37. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. // М.: Наука, 1986.

38. Малыхин В.И. Финансовая математика. // М.: ЮНИТИ, 1999.

39. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. // М.: Наука, 1989.

40. Мелкумов Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям. // М.: Инфра-М, 1994.

41. Мельников А.В. О стохастическом анализе в современной математике финансов и страхования. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1995. Т.2. №4. С.514-526.

42. Мельников А.В. Финансовые рынки. // М.: ТВП, 1997.

43. Мельников А.В., Бойков А.В. Элементы страхового риск-менеджмента. // Учебное пособие, М: НИАФЦ, 87 с.

44. Мельников А.В., Нечаев М.Л. К вопросу о хеджировании платёжных обязательств в среднеквадратичном. // Теория вероятностей и её применения. 1998. Т.43. №1. С.672-691.

45. Мельников А.В., Нечаев М.Л., Степанов В.М. О дискретной модели финансового рынка и методах расчётов с ценными бумагами. // Препринт. М.: Научно-иссл. Актуарно-финансовый центр. 1996. №3. С.13.

46. Мельников А.В., Феоктистов К.М., Вопросы безарбитражности и полноты дискретных рынков и расчеты платежных обязательств. //Обозрение прикладной и промышленной математики, том 8, вып. 2, 2001.

47. Мину М. Математическое программирование. // М.: Наука, 1990.

48. Мисюра В.В. Расчёт хеджирующих стратегий для опционов европейского типа в случае (В,8)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Сборник научных трудов Ш

49. Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Т.4. Кисловодск. 1999. С.62-64.

50. Мисюра В.В., Павлов И.В. Критерий полноты (В,5)-рынка в случае специальной хааровской фильтрации. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1998. Т.5. №2. С.262-263.

51. Мисюра В.В., Павлов И.В. Критерий существования мартингальной меры и расчёт цены опциона в случае специальной хааровской фильтрации. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки.1998. №4. С.24-30.

52. Мисюра В.В., Павлов И.В. Уточнение двух теорем финансовой математики для (В,5)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки.1999. №2. С.12-15.

53. Новиков А.А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью. // Теория вероятностей и её применения. 1998 Т.43. №1. С.152-160.

54. Павлов И.В., Богачева М.Н., Полное описание мартингальных мер, удовлетворяющих свойству универсальной хааровской единственности, для одного финансового рынка.// Обозрение прикладной и промышленной математики, том 8, вып. 2,2001.

55. Первозванский А.А., Первозванская Т.И. Финансовый рынок: расчёт и риск. // М.: Инфра-М, 1994.

56. Персон P. Microsoft Excel 97 в подлиннике. Том 1,2. // СПб.: BHV-Санкт-Петербург, 1997.

57. Петраков Н.Я., Ротарь В.И. Фактор неопределённости и управление экономическими системами. // М.: Наука, 1985.

58. Рачев С.Т., Рушендорф Л. Модели и расчёты контрактов с опционами. // Теория вероятностей и её применения. 1994. Т.39. №1. С,150-190.

59. Реселман Б. Использование Visual Basic 5. // Киев: Вильяме, 1998.

60. Селезнёва Т.В., Тутубалин В.Н., Угер Е.Г. Имитация практического применения некоторых мартингальных стратегий хеджирования и спекуляций. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1997. Т.4. №1. С.103-123.

61. Стохастические аспекты финансовой математики. Тематический выпуск. // Теория вероятностей и её применения. 1994. Т.39. №1.

62. Тетёркин Д.Н. О представлении мартингалов в случае о-алгебр специального вида. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1998. Т.5. №2. С.283-284.

63. Тюрин Ю.Н., Симонова Г.И., Знаковый анализ линейных моделей // Обозрение прикладной и промышленной математики, Т 1, вып. 2, 1994, с 214-278.

64. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчётов. // М.: Business Речь дело, 1992.

65. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва. ТВП. 1995. Т.2. №4.С.527-555.

66. Ширяев А.Н. Вероятность. // М.: Наука, 1980.

67. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики. // Теория вероятностей и её применения. 1994. Т.39. №1. С.5-22.

68. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1,2. // М.:.ФАЗИС, 1998.

69. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1994. Т.1. №5. С.780-820.

70. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчётов опционов Европейского и Американского типов. I. Дискретное время. // Теория вероятностей и её применения. 1994. Т.39. №1. С.80-129.

71. Шлезингер М.И. Взаимосвязь обучения и самообучения, в распознавании образов// Кибернетика, 2, 1968, с. 42 57.

72. Bachelier L. Theorie de la speculation. // Annales de l'Ecole Normale Superieure. 1900. V.17. P.21-86.

73. Black GF., Sholes M. The pricing of option and corporate liabilities. // Journal of Political Economy. 1973. V.81. №3. P.637-659.

74. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing a simplified approach. // Journal of Financial Economics. 1976. V.7 (September). P.229-263.

75. Dalang R.C., Morton A., Willinger W. Equivalents martingales measures and noarbitrage in stochastic securities market models. // Stochastics and Stoch. Reports. 1990. V.29. №2. P.181-201.

76. El Karoui N., Quenez M. C. Dynamic programming and pricing of contingent claims in an incomplete market// SIAM Journal of Control and Optimization, 1995, V. 33, №1, p 29-66.

77. Fan J., Notes on Poisson distribution based minimum error thresholding//Pat. Rec. Let., 19, 1998, pp. 425-431.

78. Folmer H., Schweizer M., Hedging of contingent claims under incomplete infonnation.//Applied stochastic analysis( Stochastic monographs. V.5)/Ed. M.H.A. Davis and R.J. Elliot. London: Gordon and Breach, 1991. P. 389-414.

79. Folmer H., Sonderman D. Hedging of non-redundant contingent claims // Contribution of Mathematical Economics / Ed. A. Mas-Colell and W. Hildenbrund. Amsterdam: North-Holand, 1986. P. 205-203.

80. Hal R. Varian. Computational economics and finance. // Springer-Verlag. 1996. P.468.

81. Hansen A.T. Complete market pricing in the Wiener filtration without existence of a martingale measure. // Preprint. Aarbus University. Dept. of Operation Research. 1996.

82. Harrison J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in miltiperiod securities markets. // Journal Econom. Theor. 1979. V.20. P.381-408.

83. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading. // Stochastic Process. Appl. 1981. V.ll. №3. P.215-260.

84. Hull J.C. Options, Futures, and Other Derivative Securities. // 2nd ed., Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1993.

85. Kendall M.G. The analysis of economic time-series. Part 1. Prices. // Journal of the Royal Statistical Society. 1953. V.96. P.ll-25.

86. Khaled S. Al-Sultan, Maroof Khan M. Computational experience on four algorithms for the hard clustering problem.// Pattern recognition letters 17, 1996, pp. 295-308.

87. Kramkov D.O. Optional decomposition supermartingales and hedging contingent claims in incomplete security markets// Probability theory and related fields, 1996, V. 105. №4, P 459-479.

88. Lepingle D. Orthogonalite et integralite uniform de martingales discretes. // Sem. De Prob. XXVI. Lecture Notes in Math. №1526.1992. P.167-169.

89. Neveu J. Discrete-Parameter Martingales. // North-Holland Publishing Сотр. 1975. P.236.

90. Samuelson P.A. Proof that properly anticipated prices fluctuates randomly. // Industrial Management Review. 1965. V.6. P.41-49.

91. Schachermayer W. A Hilbert space proof of the fundamental theorem of asset pricing in finite discrete time. // Insurance: Mathematics & Economics. 1992. V.ll.

92. Schachermayer W. Martingale measure for discrete-time processes with infinite horizon. // Mathematical Finance. 1994. V.4. №1. P.25-55.

93. Schweizer M. Variance-optimal hedging in discrete time // Mathematics of Operation research. 1995. v 20 №1 P 1-32.

94. Strieker C. Arbitrage et lois de martingales. // Ann. Inst. H. Ротсагё. 1991. V.26. №2. P.451-460.

95. Van Ryzin, J. (1977), Classification and clustering, Acad. Press, Inc., NY, 1997