автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование математической модели (B,S)-рынка относительно хааровского стохастического базиса

На правах рукописи

РГБ ОД

Мисюра Валентина Владимировна _ у фр^, ^

Исследование математической модели -рынка относительно хааровского стохастического базиса

Специальность: 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2000 г.

Работа выполнена в Ростовском государственном строительном университете

Научные руководители: доктор технических наук,

профессор Белявский Г. И., кандидат физико-математических наук, доцент Павлов И.В.

Официальные оппоненты: засл. деятель науки, академик РАЕН,

доктор технических наук, профессор Берштейн JI.C., кандидат физико-математических наук, доцент Сурков Ф.А.

Ведущая организация: Ростовский государственный университет путей сообщения.

Защита состоится 24 февраля 2000 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета К063.52.12 по физико-математическим и техническим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г.Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, к. 2, ЮГИНФО РГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан 24 января 2000 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета К063.52.12, Кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник

Муратова Г.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Финансовая математика испытывает сейчас период интенсивного развития. Чтобы ответить на вопрос, предсказуемо ли движение цен на финансовом рынке, было проведено множество исследований. Они принесли парадоксальный и неожиданный результат: скорее всего цены изменяются совершенно случайно, подобно молекулам газа в их хаотическом броуновском движении.

Башелье еще в 1900г. математически определил понятие «броуновского движения» и использовал его в качестве модели динамики цен акшй, дал формулу инвестиционной стоимости опциона. Основной недостаток модели Башелье, заключавшийся в возможной отрицательности цен акций в 1965 г. был устранен известным экономистом Самюэлсоном, предложившим для этих цен геометрическое броуновское движение. Ныне эта модель носит имя Блэка и Шоулса, которые в 1973 г. получили точные формулы для расчета справедливой цены и хеджирующих стратегий для опционов европейского типа.

Принимая во внимание то, что на практике цены акций в любой момент времени либо поднимаются вверх, либо опускаются вниз, Кокс, Росс и Рубинштейн предложили считать эти изменения дискретными и ввели в рассмотрение биномиальную модель финансового рынка. Ими было показано, что рассматриваемая биномиальная модель является дискретным аналогом геометрического броуновского движения.

Эти ставшие классическими работы стали непосредственной базой для развития той части финансовой математики, которая связана с современным стохастическим анализом.

Что же касается биномиальной модели Кокса, Росса, Рубинштейна, то нельзя не согласиться с А.Н. Ширяевым, что она «играет в финансовой матема-

тике роль, сходную со схемой Бернулли в классической теории вероятностей - будучи весьма простой, эта модель дает возможность полного расчета многих финансовых характеристик, например, справедливых цен опционов, хеджирующих стратегий и др.». Именно поэтому математики, занимающиеся исследованием финансового рынка, уделяют ей довольно большое внимание и на основе этой модели строят более сложные.

В реферируемой диссертации предлагается к рассмотрению модель (&,<£) -рынка типа Кокса, Росса, Рубинштейна относительно хааровского стохастического базиса в случае, когда акции подвержены жесткой скупке. Цель работы. Провести исследование (!B,<S)-рынка типа Кокса, Росса, Рубинштейна для случая так называемой жесткой скупки акций относительно хааровского стохастического базиса. В частности, определить условия, при которых рынок полон и безарбитражен, рассмотреть некоторые модели поведения стоимости акций, вычислить справедливую цену опциона Европейского типа, рассмотреть вопросы хеджирования в случае полного и безарбитражного рынка, провести статистические исследования.

Методика исследований. При решении перечисленных задач применяются методы и результаты стохастической финансовой математики, методы имитационного моделирования сложных систем, функционирующих в условиях действия случайных факторов, статистические методы обработки данных, методы оптимизации. Реализация на ЭВМ моделирующих алгоритмов выполнялась в среде офисного приложения Windows98, в частности, в среде VB5 for Excel. '

Научная новизна, теоретическая и практическая значимость. Предложена новая модель (!В,£) -рынка, которая может пониматься как «промежуточная» между моделями детерминированными и моделями, где стой-

мость рисковых активов описывается стохастическими уравнениями. Практически все результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми. Что касается основных теорем финансовой математики, то новой является чисто алгебраическая методика их доказательств.

Работа носит теоретический характер. Однако ее результаты могут быть применены специалистами в области финансов, в частности, при изучении поведения рисковых активов подверженных скупке, в практических расчетах инвесторов. Основные положения работы могут найти применение в построении более сложных и усовершенствованных моделей финансовых рынков, в дальнейшем теоретическом продвижении концепции рынка, подверженного скупке акций.

Основные научные результаты. В рамках рассматриваемой модели решены следующие задачи:

1. доказана теорема о существовании (соответственно существовании и единственности) мартингальной меры для исследуемой модели;

2. получена формула для расчета справедливой цены опциона на покупку акции;

3. рассмотрены четыре модели поведения цены акции в некоторых частных случаях модели жесткой скупки акций;

4. получены формулы для нахождения хеджирующей стратегии в условиях полного и безарбитражного рынка;

5. для арбитражных рынков доказан ранговый критерий, определяющий условия, при которых также существуют хеджирующие стратегии;

6. предложен способ вычисления оценок параметров рассматриваемой модели.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (1998г.), Пятой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим ме-тодам(1998г.), III Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (1999г.), Шестой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (1999 г.), на семинаре кафедры исследования операций РГУ (рук. — доктор тех. наук, проф. Жак C.B.), на семинарах по мартингальным и аналитическим методам (РГСУ, рук. — проф. Г.И. Белявский), на научно-технических конференциях РГСУ.

Публикации. Результаты, полученные в диссертации, с разной степенью общности опубликованы в семи работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, 4 приложений, 2 таблиц и списка литературы (74 наименования). Каждая глава разбита на параграфы. Работа проиллюстрирована десятью рисунками и изложена на 112 страницах.

Содержание работы

Во введении приведены наиболее важные результаты, полученные в данном направлении, сформулированы цель и задачи исследования, дано краткое содержание диссертации по разделам.

Приведем определения и факты финансовой математики, используемые в работе.

Прежде всего, это стохастический базис: {ü^.F,р), где D — это пространство элементарных событий со (состояний рынка в рассматриваемом контексте),

^ — ст-алгебра подмножеств пространства элементарных событий (сово-

упность событий, наблюдаемых на рынке),

' — фильтрация, состоящая из неубывающего потока под-сг-алгебр ^, таких го<7, (^ будем понимать как некую информацию доступную наблю-ателю до момента времени и), 5— вероятностная мера на ^.

Часто целесообразно расширить понятие стохастического базиса, вме-го единственной вероятностной меры Р рассматривать семейство ЧР = {Р}.

рынок. Стохастическую последовательность (<5Я)*0 будем поймать как рисковый актив, например, как рыночную цену акции или обмен-ый курс двух валют в момент времени п, а детерминированную последова-гльность (!Вп)^0 — как стоимость банковского счета в момент времени п. ели ^ интерпретируется как информация, доступная к моменту времени п, о естественно считать, что <§я - -измеримы. Рынок, определяемый после-овательностями !Вп будем называть (!В,-рынком.

Портфель. Инвестиционную стратегию или портфель к определим ак двумерную стохастическую последовательность(Ря,у„)"=0, где Р„,у„ яв-яются -измеримыми (Рп,уп и выражают количество активов -Б и

§ соответственно в момент времени п.

Капитал портфеля л — это стохастическая последовательность (Г* = (Хп")"0, для которой выполняется следующее равенство:

Класс портфелей п, обладающих свойством азовем самофинансируемым и обозначим БР.

Условие самофинансирования означает, что перед изменением состава портфеля в промежутке между моментами времени п-1 и п портфель не испытывает ни притока дополнительного капитала, ни оттока капитала.

Во множестве ¿¡Т7 самофинансируемых стратегий выделим подмножество арбитражных стратегий, т.е. стратегий, приносящих прибыль при нулевых начальных затратах. По определению к реализует арбитражную возможность тогда и только тогда, когда Х"о = О,XI ^ 0 при п -1,2(Р-п.н.) и Х"ц >0 с положительной вероятностью.

Хедж. Самофинансируемый портфель ^ = /„)„",,, который бы позволил в финальный момент N достигнуть некоторого платежного обязательства /д, (/„ — -измеримая неотрицательная случайная величина), при этом

начальное значение капитала Х"0 = х (х > 0), называется хеджирующим портфелем. А процедура построения такого портфеля, приводящего к достижимости платежного обязательства, называется хеджированием этого обязательства. Обозначим Г1.(х,/„) —множество всех (х,/„) -хеджей.

Если предположить, что рассматриваемый нами рынок не содержит арбитражных возможностей (т.е. мы не можем получить прибыль, не рискуя), то, как математический эквивалент этому обстоятельству, появляется специальная вероятностная мера, относительно которой дисконтированная цена акции оказывается мартингалом. Поэтому введем в рассмотрение мартингальную меру р": вероятностная мера Р\ эквивалентная Р, называется мартингальной, если относительно Р" последовательность (дисконтированная цена акции)

г о л"

есть мартингал. Эквивалентность мер Р" и Р, выражаемая в

/ п=0

дальнейшем соотношением Р*~Р, означает, что Р" и Р взаимно абсолютно непрерывны друг относительно друга.

Совокупность мартингальных мер обозначим через £Р*.

Полнота. Очень важной характеристикой рынка является его полнота.

'В, Л) -рынок называется полным, если для любой ^-измеримой случайной еличины /(со) существует самофинансируемая стратегия к такая, что = /(<») Р-п-н.

Сформулируем две основные теоремы финансовой математики. Георема 1. Следующие два условия равносильны: 1 )£Р'*0; 2)^ = 0.

орема 2. Пусть множество мартингальных мер непусто и мера Р' е £Р*. Тогда следующие условия эквивалентны:

3) (!В,Л) -рынок является полным;

4) мера Р' является единственным элементом в £Р*. Опцион. Опционы построены на активах, стоимость которых описыва-

ггся случайной последовательностью ■ Для определенности далее будем

>ассматривать стандартный опцион на покупку Европейского типа со време-гем исполнения N. Такой опцион характеризуется фиксированной в момент :го покупки ценой К, по которой покупатель может купить, скажем, акции, фактическая стоимость которых в момент N может отличаться от К. Опцион предъявляется к исполнению, если £к> К . Объединяя эти два случая, можно сказать, что в момент N доход покупателя определяется формулой

-де а+ = тах(а,0) .

Для продавца же опциона появляется необходимость, получив премию Ск, таким образом строить свой портфель, чтобы достигнуть в момент времени N платежного обязательства .

Таким образом, появляются два ключевых вопроса — какова справедливая цена Ск продажи-покупки опциона и как должен действовать продавец опциона, чтобы выполнить условия контракта.

Спрэд. В условиях неполной модели рынка участник рынка может выступать и в качестве продавца, и в качестве покупателя опциона. Разные целе-полагания продавца и покупателя приводят к назначению, вообще говоря, разных цен продажи С * (Ы) и покупки С,(Ы) и появлению ненулевой разницы

С * -С,, называемой спрэдом.

В случае полного рынка существует возможность совмещения противоположных интересов продавца и покупателя, выражающаяся в существовании справедливой цены опциона Сы, определяемой формулой

С м С С,.

В первых трех параграфах первой главы описывается модификация биномиальной модели Кокса, Росса, Рубинштейна, которая заключается в том, что исследование (33, £) -рынка проводится относительно возрастающей последовательности а-алгебр, имеющих специальную структуру:

% ={£2,0},..., =а{А1,А!,...,А„,Вл},п^Ы, где А2,..., А„,...;В„ — атомы разбиения £2. Разбиение проводится согласно формулам: Вп=Ап+]<иВ„+1 , В0=£2. Этот процесс можно представить в виде «усыхающего» бинарного дерева (см. Рисунок 1)

В момент времени п=1 атом В0 =£2 дробится на атомы Аь А] рассматриваем как событие, которое соответствует тому, что акция скупается и

нает эволюционировать как банковский счет. В; — это событие, которое ветствуют тому, что акция не скупается, а остается эволюционировать на се. Далее в момент времени п-2 делится атом В: и т.д. до момента времени

Такую стратегию скупщика, когда при очередном объявлении цены и происходит полная скупка либо в случае подъёма цены акции, либо в :ае её падения, назовем жесткой скупкой акции. Описанную же выше ьтрацшо называют специальной хааровской фильтрацией, согласно терми->гии Ж.Неве.

Введем на измеримом пространстве (Ц^) множество вероятностных где вероятности Р таковы, что рк=Р(Ак), к>1, дк= Р(В0, к>0, ■с<1, 0<цк<1 (к=1,2,..„Щ. Заметим, что ц0=Р(Ва)=Р(£2)=1.

На стохастическом базисе где Г — описанная выше

ьтрация, определим поведение последовательностей 23п и £п.

Измеримость^ относительно ^ позволяет записать

Вы-1

Рисунок 1. Схема создания потока ст-алгебр F

^¿Л+'Л,-

!Вп вычисляются по формуле

Д =(1 + г)Ц

Доказана следующая Теорема 1.1. 1. Для того чтобы существовала вероятность Ре <Р, такая

<5.

_ I — мартингал, необходимо и достаточно, чтобы I

\/п-0,1„..,Ы-1 вьшолнялось условие

С]=(г + 1)з<;\к = 1,2,..,п (1

и одно из условий

2. Для того чтобы существовала единственная на вероятное

(<§ V

Ре £Р такая, что —— мартингал, необходимо и достаточно, что(

Уп=0,1,...,Ы-1 вьшолнялось условие (1) и одно из условий (2) или (3). При эт<

единственная мартингальная мера Р вычисляется по следующим формулам:

р

Уп+1 ""

3. При N=00 (т.е. в случае финансового рынка с бесконечным горизо том) результаты пунктов 1 и 2 остаются верными, если вместо п=0,7,...,Л писать п=0,1,2,...

Доказав, что, при выполнении определенных условий, существ; единственная мартингальная мера, тем самым мы доказали безарбитражност полноту рассматриваемого (В, £) -рынка.

В четвертом параграфе первой главы выводится формула для вы-гния опциона Европейского типа. Поскольку рынок является полным и )битражным, можно вычислить для данной модели справедливую цену она.

Для платежного обязательства /к = - к)+ (опцион колл Европей-) типа) имеем:

с ж к Г ((„-к)+д„ * Ую+гг1 о+г)"} р(1+гг '

Г — контрактная цена.

В последнем параграфе первой главы предлагается к рассмотрению ре модели поведения цены акции в некоторых частных случаях исследуе-модели (!В,с£) -рынка.

Для всех моделей поведения цены акции, изучается вопрос существо-я и единственности мартингальной меры.

Приведем описание Модели 4, как наиболее общей. Пусть выполняет-отношение (1). Уравнение эволюции стоимости акций запишем в виде:

Введем в рассмотрение два числа а и 6, удовлетворяющие неравенст->г>а >-1, которые определяют два возможных темпа роста стоимости и. Если предположить, что а<0, то можно говорить о падении стоимости и. Обозначим через 5 = {8„— двоичную последовательность, через

(<3'®<1!Хо, где

— простейшая хааровская фильтрация, рассмотренная выше,

= = IV = {0,1}".

Определим эволюцию стоимости акции системой уравнений:

Эволюция стоимости акции в случае Модели 4 показана на Рисунке 2.

Стоимость акции начинает падать или подниматься в случайные I менгы времени. Момент скупки акции и превращение ее в банковский ст определяется также некоторым случайным событием. (В предыдущих т{ моделях случай определял лишь момент скупки акции).

Рисунок 2. Эволюция поведения цены акции. При исследовании Модели 4 оказалось, что мартингальная мера суп ствует, но не является единственной. В этой связи возникла необходимо« вычисления спрэда. Показано, что проблема сводится к вычислению миниму и максимума некоторой функции по двоичному набору. При небольшом го]

зонте задача может быть решена полным перебором.

*

В первом параграфе второй главы вычисляется хедж в услов* полного и безарбитражного рынка, т.е. получены формулы для нахождеи последовательности (¡3„,/„)„"„.

В разложении уп ( уп е ) по атомам

1-1

и у[1) (п = 2,...,//; А: = 7,...,л -1) задаются произвольно, (п=1,2,... ,Ы) вычисляются по формуле

= Ня(1 + гГ" _ р„ Ня(1 + гГ"

Чп-,

вычисления последовательности Д, справедливы формулы

Р„=С„-у0£0=С„-у[°%,

Я я уГу

Цр (1 + г)к-' +

к (1+г)к-'

С использованием этого результата просчитана хеджирующая страте-(ля Модели 1.

Во втором параграфе второй главы приводятся оригинальные ал-шческие доказательства двух основных теорем финансовой математики -рьшка относительно специальной хааровской фильтрации. В третьем параграфе доказывается ранговый критерий полноты рас-риваемого (%,<£) -рьшка при допущении арбитража, который определяет-;оремой 2.1.

1ема 2.1. Рассмотрим N матриц Ок, к = 1,2,...,И , размера Мхк, имею-следующий вид:

D,

О О О

Ы H Ы N-I

Dr

О О О

а„, а... «» а

s-¿ ' у

О

о о

D„ =

J3> - J3> J2> - J3> a, -a, a. a,

O O O

O O O

(S-a™ ¿P-a?

O O

O O

O .

O

'O

o o o

(2) _ (2) я» аы_,

O O O

Ы V M N-¡

O

o

o o o

(jo.

D.

O O

O O

■b, ~(b,-b,) -(b-bj -(b-b) <t?-b,

O

O

o

~(b^,-b„.J -(bK-bK.J

а'!!-,'1 ~ b ~(bK~bK.,) o a(N)-b

Ы N U ti J

\

(!В,-рынок относительно специальной хааровской фильтрации юн тогда и только тогда, когда составная матрица О = (о,

ямера А/'х^^ • //^) имеет ранг, равный N (то есть когда ранг В

¡падает с числом строк этой матрицы).

Таким образом, был решен вопрос о существовании хеджирующих >атегий в случае арбитражных рынков.

В четвертом параграфе второй главы рассмотрена задача оценки заметров модели на основе наблюдений за эволюцией стоимости акций на примере Модели 1. Для решения задачи применяется метод наи-ныиих квадратов. К оцениваемым параметрам модели относятся а,Ь и к . и этом мы полагаем = к" (д„ = Р(В„)\ п = 0,1,2,...,Ы. Запишем уравнение для стоимости акции в виде

£а +(Ь-г)1К)(1+Ъ)"-' 4 .

Рассмотрим последовательности случайных величин и т]п:

(1 + Ь)"~' <£0

7„ = -1А

Вычисляем математическое ожидание Отсюда

2 1-1

едовательно, необходимо рассмотреть последовательность величин

2 1-1

Предположив, что дп=к", д0~ 1,0<к < 1 получим для оценки к следующую задачу -к")2 .

< 'I --!

Поскольку ~(а~г)я„-1 +(Ь-а){]„, переходим к решению зада-

N

Для проверки эффективности предложенного подхода был проведё* вычислительный эксперимент, в результате которого были получены оценк* параметров а, Ъ и к, которые отклонялись от истинных не более чем на 8 %.

Заключение

Приведём основные положения, выносимые на защиту.

1. Математическая модель (33, £) -рынка на хааровском стохасти-

ческом базисе.

2. Исследование рынка на полноту и безарбитражность.

3. Формулы для мартингальной меры, справедливой цены опциона I

хеджирующей стратегии в случае полного и безарбтражногс рынка.

4. Оригинальное алгебраическое доказательство основных теоре\ финансовой математики в рамках рассматриваемой модели.

5. Ранговый критерий полноты рынка при допущении арбитража.

6. Аналитическое и экспериментальное исследование четырёх реализаций основной модели поведения стоимости акций.

7. Метод оценки параметров одной из моделей.

8. Вычисление верхней и нижней цены опциона для неполного рын

ка.

Список работ по теме диссертации

Белявский Г.И., Мисюра В.В. Некоторые специальные случаи модели эволюции стоимости акций. //Изв. РГСУ. 1998. №4. С. 177-183. Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Ранговый критерий полноты одного финансового рынка при допущении арбитража. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1999. Т.6. №1. С.121-122.

Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Исследование модели (JB,£) -рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.Ф.Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 1998. С. 179-181. Мисюра В.В. Расчет хеджирующих стратегий для опционов европейского типа в случае (!B,J>) -рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Сборник научных трудов III Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии». ТАКисловодск. 1999. С.62-64.

Мисюра В.В., Павлов КВ. Критерий полноты (!В,£) -рынка в случае специальной хааровской фильтрации. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1998. Т5. №2. С.262-263 Мисюра В.В., Павлов И.В. Критерий существования мартингальной меры и расчет цены опциона в случае специальной хааровской фильтрации. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 1998. №4. С.24-30.

Мисюра В.В., Павлов ИВ. Уточнение двух теорем финансовой математики для (J8,Л) -рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 1999. №2. С. 12-15.