автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование динамики финансовых временных рядов и оценивание производных финансовых инструментов

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ И ЕЕ

ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ ОГРАНИЧЕННОГО ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕН

1.1. Основные положения теории безарбитражных рынков.

Фундаментальные теоремы расчетов финансовых активов.

1.2. Биномиальная модель (В,8)-рынка. Формула Кокса

Росса-Рубинштейна

1.3. Обобщение биномиальной модели. Расчет стоимости опционов. Построение хеджирующих стратегий.

ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ, ПРОЦЕССЫ ЛЕВИ, БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ И

УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

2.1. Случайные процессы: предварительные сведения.

2.2. Два канонических процесса.

2.3. Устойчивые распределения

2.4. Безгранично делимые распределения.

2.5. Процессы Леви

2.6. Мартингалы.

ГЛАВА 3. ПОДЧИНЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОБОБЩЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ КОКСА

3.1. Подчиненные процессы.

3.2. Обобщенные процессы Кокса как модели динамики стоимости финансовых активов.

3.3. Предельные теоремы для случайных сумм независимых одинаково распределенных величин в схеме серий

3.4. Важный пример.

ГЛАВА 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ПРОЦЕССОВ КОКСА

4.1. Предварительные сведения

4.2. Функциональные предельные теоремы для нецентриро-ванных обобщенных процессов Кокса.

4.3. Примеры предельных процессов

4.4. Функциональные предельные теоремы для обобщенных процессов Кокса с неслучайным центрированием

4.5. Пример предельного процесса.

ГЛАВА 5. АППРОКСИМАЦИЯ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ПРОЦЕССАМИ ЛЕВИ ПРЕДЕЛЬНЫМИ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ПРОЦЕССОВ КОКСА

5.1. Процесс геометрического броуновского движения: согласие с эмпирическими данными.

5.2. Процессы, связанные с гамма-распределениями: согласие с эмпирическими данными.

ГЛАВА 6. ОЦЕНИВАНИЕ ОПЦИОННЫХ

КОНТРАКТОВ

6.1. Вводные замечания.

6.2. Формула Блэка-Шоулса.

6.3. Оценивание опционных контрактов с использованием преобразования Эсшера.

6.4. Расчет стоимости стандартных опционов покупателя

Европейского типа.

С момента появления работы JI. Башелье, положившей начало математическому описанию эволюции цен акций и математически корректным формулам в "теории расчетов опционов" [36], прошло уже более ста лет. Однако и в настоящий момент проблема построения адекватных моделей динамики финансовых индексов (таких как цены акций, курсы валют и т. д.) и тесно связанная с ней проблема расчетов стоимостей производных ценных бумаг далеки от своего завершения и, несомненно, еще долгое время будут привлекать внимание многих математиков.

На рынке финансовых инструментов принято выделять основные (первичные) инструменты и производные (вторичные) инструменты.

К числу основных ценных бумаг относятся акции, облигации, казначейские векселя и т.д. Банковский счет также может рассматриваться как ценная бумага, относящаяся к облигациям. Основные ценные бумаги первичны, поскольку они определяются непосредственно через экономические факторы (выражают отношения совладения, опосредуют кредитные операции). В отличие от них, производные ценные бумаги "строятся" на базе уже имеющихся на рынке активов.

К производным инструментам относятся опционы, фьючерсные контракты, варранты, свопы, обратимые облигации, обратимые привилегированные акции и т.д. (Более полную информацию относительно финансового рынка, его структуры, организации, а также о его основных и производных инструментах читатель может найти в [32], [3], [4], [24], [35].)

Опционные контракты занимают важное место на рынке производных фондовых инструментов, являясь мощным средством хеджирования рисков и спекуляции. Более того, как отмечается в [35], ". именно на расчетах опционных контрактов была осознана важность и выработаны основы методологии хеджирования как защитного финансового средства."

Опцион (или контракт с опционом) — это ценная бумага, дающая ее держателю право купить (или продать) некоторый актив (например, акции, валюту, .) у надписателя контракта в установленный период или момент времени на оговариваемых условиях.

По времени исполнения опционы делятся на два типа: Европейские и Американские. Опцион Европейского типа может быть предъявлен к исполнению только в заранее определенный момент времени N. Если же опцион может быть исполнен в любой момент времени t < N, то говорят, что это опцион Американского типа. Опционы, дающие право купить, называют опционами покупателя; опционы, дающие право продать, — опционами продавца. Отметим особо, что надписатель выполняет условия контракта только в том случае, если держатель опциона пожелает их реализовать.

При расчетах опционов возникают два типа задач:

1. определение справедливой стоимости премии, которую следует платить за приобретение контракта;

2. нахождение тех оптимальных биржевых операций (хеджирующих стратегий), которые должен совершать продавец опциона с тем, чтобы оговариваемые в контракте платежи, зависящие от будущего (вообще говоря, случайного) состояния цен на рынке, были бы гарантированным образом выполнены.

Рассмотрим стандартный опцион покупателя Европейского типа [call опцион). Данный опцион на покупку акции, с моментом исполнения N и ценой исполнения К есть ценная бумага, дающая право ее держателю купить у надписателя в момент времени N акцию по оговоренной в контракте цене К. Если через 5дг обозначить стоимость акции в момент исполнения опциона, то выигрыш покупателя составит /дг = max{0, Spj — K}. (В случае если 5дг > К, покупатель, уплатив за акцию оговоренную в контракте цену К, немедленно ее продает по рыночной стоимости, получая при этом доход равный Sn — К; если же 5jv < К, то покупатель опциона не предъявляет его к исполнению.) Функция платежа /дг может рассматриваться как выплата продавцом опциона его покупателю.

В диссертации мы рассматриваем случай опционных контрактов Европейского типа, причем мы будем предполагать, что предлагаемые на рынке контракты с опционами гарантируют выплаты, определяемые некоторой неотрицательной функцией платежа fx, значение которой зависит от случайных будущих событий (например, от динамики стоимости некоторого финансового актива).

Теория расчетов тех или иных производных ценных бумаг зависит от того, какими моделями описываются основные ценные бумаги, какие гипотезы заложены относительно структуры и функционирования рынка ценных бумаг. Причем от правильности (адекватности) описания эволюции финансовых инструментов существенно зависит корректность оценки опционов на них.

В финансовой литературе выделяются две классические модели: модель Кокса-Росса-Рубинштейна (или биномиальная модель) [47] в случае дискретного времени и модель Блэка-Мертона-Шоулса [43], [69] (основанная на геометрическом броуновском движении) в случае непрерывного времени.

Однако, положенные в их основу предположения относительно структуры рынка и динамики основных активов весьма приближенно описывают действительность.

Введенное в финансовую теорию и практику П. Самуэльсоном геометрическое броуновское движение приводит к тому, что приращения логарифмов стоимости актива должны подчиняться нормальному закону. Но статистический анализ реальных данных показывает, что распределения приращений логарифмов биржевых цен отличны от нормального. Эмпирические плотности более пикообразны в окрестности среднего значения, нежели в нормальном случае, имеют более тяжелые хвосты.

Во многом в связи с отмеченными фактами в последние 10—15 лет сильно возрос интерес к стохастическим моделям в финансовом анализе, отличным от классических моделей, основанных на предположении о нормальности.

Первая подобная попытка была предпринята в далекие 60-ые

Б. Мандельбротом [66], [67] и Э. Фамой [57]. Они предложили использовать устойчивые законы для объяснения явления островершинности и тяжелых хвостов эмпирических плотностей. Несмотря на то, что введение устойчивых законов приводит к отсутствию конечных дисперсий у распределений доходности активов за сколь угодно малые интервалы времени, данные процессы и по сей день рассматриваются в качестве одних из кандидатов для моделей динамики финансовых индексов.

Другой подход к объяснению островершинности эмпирических плотностей был предложен П. Кларком [46]. Насколько нам известно, он первым сделал попытку объяснить наблюдаемые отклонения от нормальности основываясь на изменчивости интенсивности биржевых торгов. Отталкиваясь от элементарной модели в виде суммы случайного числа слагаемых с конечными дисперсиями, он пришел к подчиненным винеровским процессам как моделям динамики биржевых цен на макроуровне.

В настоящее время в качестве макромоделей биржевых цен широко используются модели типа геометрического броуновского движения со случайным сносом и диффузией [35]. Вместе с тем, адекватными моделями микроуровня являются обобщенные процессы Кокса, учитывающие неоднородность "биржевого времени" [14] - [16]. Поскольку даже для малых временных интервалов число изменений биржевого курса велико, возникает интерес к построению предельных аппроксимаций.

Для полноты описания предельного поведения обобщенных процессов Кокса именно как случайных процессов с учетом свойств их траекторий, с целью обоснования применимости уже существующих моделей, построения новых, необходимо рассматривать асимптотическое поведение обобщенных процессов Кокса как случайных функций в некоторых функциональных пространствах [6].

Отметим также, что поскольку при каждом фиксированном t обобщенный процесс Кокса является специальной случайной суммой случайных величин, а подобные модели давно и успешно применяются в теории массового обслуживания, теории надежности, математической экономике, финансовой и актуарной математике, ядерной физике и других областях [59], то функциональные предельные теоремы для обобщенных процессов Кокса, представляя сами по себе и самостоятельный интерес, могут оказаться полезными при решении многих прикладных задач.

Целью работы является разработка системы математических моделей динамики финансовых активов адекватно описывающих эволюцию реальных финансовых временных рядов.

В дальнейшем полученные результаты применяются для оценивания производных финансовых инструментов, в частности опционов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Оценивание опционных контрактов для некоторого обобщения неоднородной биномиальной модели Кокса-Росса-Рубинштейна.

2. Функциональные предельные теоремы, устанавливающие достаточные условия сходимости по распределению в пространстве Скорохода к процессам Леви, для нецентрированных и неслучайно центрированных обобщенных процессов Кокса.

3. Исследование адекватности некоторых моделей, появляющихся в качестве пределов функциональных теорем, эмпирическим данным.

4. Применение построенных моделей в задаче оценивания опционных контрактов.

Научная новизна работы. В настоящей работе впервые получена верхняя цена хеджирования для стандартного опциона покупателя в рамках некоторого обобщения многошаговой неоднородной биномиальной модели; построен верхний хедж.

В работе доказаны функциональные предельные теоремы, устанавливающие достаточные условия сходимости по распределению в пространстве Скорохода к процессам Леви, для нецентрированных и неслучайно центрированных обобщенных процессов Кокса. Получен широкий класс предельных моделей, выступающих в качестве моделей динамики финансовых индексов.

Рассмотрена новая модель эволюции финансовых активов, основанная на гамма-распределениях, исследован вопрос адекватности реальным данным, произведен расчет стоимости опционов.

Теоретическая и практическая значимость. Предложенная элементарная схема построения верхнего хеджа, отыскания верхней цены хеджирования, позволяет получить аналогичные результаты для широкого класса платежных функций (неотрицательных выпуклых непрерывных) в рамках некоторого обобщения многошаговой неоднородной биномиальной модели.

Полученные предельные теоремы служат теоретическим обоснованием применимости как обобщенных процессов Кокса, так и достаточно общего класса предельных процессов Леви, для описания динамики финансовых временных рядов. Отметим, что класс предельных процессов содержит множество частных моделей, интересных с точки зрения практики.

Практическая значимость работы заключается и в том, что доказанные предельные теоремы для обобщенных процессов Кокса могут быть востребованными при решении прикладных задач, в которых используются модели, основанные на случайных последовательностях с независимыми случайными индексами.

Методика исследования. В работе используются методы и результаты теории вероятностей, математической статистики, функционального анализа, в частности, методы доказательства слабой сходимости вероятностных мер в функциональных пространствах.

Достоверность результатов. Все сформулированные теоретические положения имеют строгие математические доказательства. Построенные теоретические модели сравниваются с эмпирическими данными на основе применения статистических критериев, разработанных в математической статистике.

Апробация работы. Основные результаты представленной диссертации докладывались и обсуждались на международном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей (Венгрия, 1997),

Польша, 1999), (Венгрия, 2001), на международной конференции-семинаре "Оптимальное управление и моделирование сложных систем" (г. Тверь, ВЦ РАН, ТвГУ, 1999), на конференции "Ломоносовские чтения" (г. Москва, МГУ, 2000), на научном семинаре по избранным вопросам теории вероятностей, математической статистики и теории массового обслуживания (г. Москва, МГУ, 2000), Седьмой Всеросс. школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Сочи, 2000), Втором Всеросс. симпозиуме по прикл. и промышл. матем. (г. Самара, 2001), Международной Научной Школе МА БРК-2001 (С.-Петербург, 2001), а также на семинарах кафедр исследования операций и математической статистики и эконометрики ТвГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [74]— [83].

Реализация диссертации. Алгоритм, используемый в работе для нахождения оценок параметров по Методу Наибольшего Правдоподобия, реализован в виде программного комплекса подбора геологической модели среды, применяемого при сейсморазведке месторождений углеводородов, что сопровождается актом о реализации.

Краткое содержание работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Путем элементарного доказательства получена верхняя цена хеджирования Европейского типа для стандартного опциона покупателя в рамках некоторого обобщения многошаговой неоднородной биномиальной модели; построен верхний хедж.

2. Доказан аналогичный результат для класса неотрицательных выпуклых непрерывных платежных функций в рамках некоторого обобщения многошаговой неоднородной биномиальной модели; построен верхний хедж.

3. Доказана функциональная предельная теорема, устанавливающая достаточные условия сходимости по распределению в пространстве Скорохода к процессам Леви, для нецентрированных обобщенных процессов Кокса. В качестве ее следствий получены функциональная центральная предельная теорема и функциональный закон больших чисел для нецентрированных обобщенных процессов Кокса.

4. Доказаны функциональные предельные теоремы, устанавливающие достаточные условия сходимости по распределению в пространстве Скорохода к процессам Леви, для неслучайно центрированных обобщенных процессов Кокса.

5. Найдены некоторые условия эквивалентности сходимости по распределению в пространстве Скорохода к процессам Леви, нецентрированных и неслучайно центрированных обобщенных процессов Кокса. Получено уточнение одной теоремы переноса.

6. Получен широкий класс предельных моделей, для обобщенных процессов Кокса, выступающих в качестве моделей динамики финансовых активов.

7. Наряду с известными, рассмотрена новая модель эволюции финансовых активов, основанная на гамма-распределениях, исследован вопрос адекватности реальным данным, произведен расчет стоимости опционов.

1. Айвазян С.А., Енюков И.О., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. М.: Финансы и статистика, 1983.

2. Айвазян С.А. Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.

3. Алексеев М.Ю. Рынок ценных бумаг. М.: Финансы и статистика, 1992.

4. Алехин Б.И. Рынок ценных бумаг. Введение в фондовые операции. М.: Финансы и статистика, 1991.

5. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука. 1977.

6. Боровков А.А. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1972.

7. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия. М.: Большая Российская энциклопедия. 1999.

8. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения сумм независимых случайных величин. М.: ГИТТЛ, 1949.

9. Гнеденко Б.В., Фахим X. Об одной теореме переноса.// Доклады АН СССР, 1969, Т. 187, N 1, С. 15-17.

10. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1983.

11. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высш. Шк., 1984.

12. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

13. Королев В.Ю. Асимптотические свойства экстремумов обобщенных процессов Кокса и их применение к некоторым задачам финансовой математики.// Теория вероятн. и ее примен., 2000, Т. 45, в. 1, С. 182-194.

14. Королев В.Ю. О сходимости распределений обобщенных процессов Кокса к устойчивым законам.// Теория вероятн. и ее примен., 1998, Т. 43, в. 4, С. 786-792.

15. Королев В.Ю. Построение моделей распределений биржевых цен с помощью методов асимптотической теории случайного суммирования./ / Обозрение прикл. и промышл. матем., сер. финансовая и страховая матем., 1997. Т. 4, в. 1, С. 86-102.

16. Круглов В.М., Королев В.Ю. Предельные теоремы для случайных сумм. М.: изд-во МГУ, 1990.

17. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. М.: Наука, Т. 1, 1976.

18. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 2000.

19. Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М.: ТВП, 1997.

20. Попов Б.А., Теслер Г.С. Вычисление функций на ЭВМ: Справочник. Киев: Наукова Думка, 1984.

21. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей.// Теория вероятн. и ее примен., 1956, Т. 1, в. 2, С. 177-238.

22. Рачев С.Т., Рушендорф JI. Модели и расчеты контрактов с опционами./ / Теория вероятн. и ее примен., 1994, Т. 39, в. 1, С. 150— 190.

23. Рэдхэд К., Хьюс С. Управление финансовыми рисками. М.: ИНФРА-М, 1996.

24. Сорос Дж. Алхимия финансов. М.: ИНФРА-М, 1999.

25. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами./ Под ред. Абрамовича М. и Стигана И. М.: Наука, 1979.

26. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее применения. Т. 2. М.: Мир, 1967.

27. Хохлов Ю.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. Тверь: ТвГУ, Ч. 1, 1997.

28. Хохлов Ю.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. Тверь: ТвГУ, Ч. 2, 1997.

29. Хохлов Ю.С. Условное математическое ожидание и его применения: Учебное пособие. Калинин: КГУ, 1987.

30. Чжун К., Уильяме Р. Введение в стохастическое интегрирование. М.: Мир, 1987.

31. Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бейли Дж.В. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 1997.

32. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов.// Обозрение прикл. и промышл. матем., сер. финансовая и страховая матем., 1995, Т. 2, в. 4, С. 527-556.

33. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

34. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998.

35. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2. Теория. М.: ФАЗИС, 1998.

36. Ширяев А.Н., Кабанов Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. I. Дискретное время.// Теория вероятн. и ее примен., 1994, Т. 39, в. 1, С. 21-79.

37. Ширяев А.Н., Кабанов Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время.// Теория вероятн. и ее примен., 1994, Т. 39, в. 1, С. 80-129.

38. Akgiray V., Booth G.G. Compound distribution models of stock returns: an empirical comparison.// Journal of Financial Research. 1987, V. 10, P. 269-280.

39. В arndorff-Nielsen O.E., B1 sild P. Hyperbolic distributions and ramifications: contributions to theory and application./j Statistical Distributions in Scientific Work / Ed. C. Taillie et al. V. 4. Dordrecht: Reidel, 1981, P. 19-44.

40. Barndorff-Nielsen O.E. Exponentially decreasing distributions for the logarithm of particle size.// Proceedings of the Royal Society, London. Ser. A. 1977, V. 353, P. 401-419.

41. Bening V.E., Korolev V.Yu., Shorgin S.Ya. On approximations to generalized Poisson processes.// J. Math. Sci., 1997, V. 83, N 3, P. 360-373.

42. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities.// Journal of Political Economy. 1973, V. 81, N 3, P. 637-659.

43. Buhlmann H., Delbaen F., Embrechts P., Shiryaev A.N. No-arbitrage, change of measure and conditional Esscher transforms.// CWI Quarterly. 1996, V. 9(4), P. 291-317.

44. Bwhlmann H., Delbaen F., Embrechts P., Shiryaev A.N. Fundamental theorem of asset pricing, Esscher transforms and change of measure// ASTIN Bulletin. 1996.

45. Clark P.K. A Subordinated stochastic process model with finite variance for speculative prices.// Econometrica. 1973, V. 41, P. 135155.

46. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach.// Journal of Financial Economics. 1979, V. 7, N 3, P. 229263.

47. Dalang R.C., Morton A., Willinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models.// Stochastic and Stochastics Reports. 1990, V. 29, N 2, P. 185-201.

48. Deutsch C.V., Journel A.G. GSLIB: Geo statistical Software Library and User's Guide. Oxford: Oxford Univ. Press, 1997.

49. Dzhaparidze K. van. Zuijlen M. Option pricing in a binary securities market. Preprint. 1994.

50. Eberlein E. Application of generalized hyperbolic Levy motions to finance. Preprint N 64. Freiburg i. Br.: Universitat Freiburg, Institut fur Mathematische Stochastic, 1999.

51. Eberlein E., Jacod J. On the range of options prices.// Finance and Stochastics. 1997, V. 1, P. 131-140.

52. Eberlein E., Keller U. Hyperbolic Distributions in Finance.// Bernoulli. 1995, V. 1, N 3, P. 281-299.

53. Eberlein E., Keller U., Prause K. New insights into smile, mispricing and value at risk: the hyperbolic model.// Journal of Business. 1998, V. 71. P. 371-405.

54. Eberlein E., Prause K. The generalized Hyperbolic Model: Financial Derivatives and Risk Measures. Preprint N 56. Freiburg i. Br.: Universitat Freiburg, Institut fiir Mathematische Stochastic, 1998.

55. El Karoui N., Quenez M.C. Dynamic programming and pricing of contingent claims in an incomplete market./ / SI AM Journal on Control and Optimization. 1995, V. 33, N 1, P. 29-66.

56. Fama E.F. The behavior of stock market prices.// Journal of Business. 1965, V. 38, P. 34-105.

57. Gerber H.U., Shiu E.S.W. Option pricing by Esscher transforms.// Transactions of the Society of Actuaries. 1994, V. 4, P. 99-191.

58. Gnedenko B.V., Korolev V.Yu. Random summation: limit theorems and applications. Boca Raton, FL: CRC Press, 1996.

59. Grandell J. Doubly stochastic Poisson processes.// Lect. Notes Math., 1976, V. 529, P. 1-234.

60. Grandits P. The p-optimal martingale measure and its asymptotic relation with the Esscheer transform. Preprint. University of Vienna. 1996.

61. Harrison J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets.// Journal of Economic Theory. 1979, V. 20, P. 381408.

62. Harrison J.M. Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading.// Stochastic Processes and their Applications. 1981, V. 11, N 3, P. 215-260.

63. Kirkpatrick S., Gellat C.D., Jr., Vecchi M.P. Optimization by Simulated Annealing.// Science. 1983, V. 220, P. 671-680.

64. Kramkov D.O. Optional decomposition of supermartingales and hedging contingent claims in incomplete security markets.// Probability Theory and Related Fields. 1996, V. 105, N 4, P. 459479.

65. Mandelbrot B.B. The variation of certain speculative prices.// Journal of Business. 1963, V. 36, P. 394-419.

66. Mandelbrot B.B. The variation of some other speculative prices.)/ Journal of Business. 1967, V. 40, P. 393-413.

67. Meister S. Contributions to the mathematics of catastrophe insurance futures. Diplomarbeit. ETH-Zurich. 1995.

68. Merton R.C. Theory of rational option pricing.// Bell Journal of Economics and Management Science. 1973, N 4(Spring), P. 141-183.

69. Mosegaard K., Vestergaard P.D. A simulated annealing approach to seismic model optimization with sparse prior information.// Geophysical Prospecting. 1991, V. 39, P. 599-611.

70. Mosegaard K., Vestergaard P.D. Inversion of post-stack seismic data using simulated annealing.// Geophysical Prospecting. 1991, V. 39, P. 613-624.

71. Prause K. Modeling Financial Data Using Generalized Hyperbolic Distributions. Preprint N 48. Freiburg i. Br.: Universitat Freiburg, Institut fur Mathematische Stochastic, 1997.

72. Sen M.K., Stoffa P.L. Bayesian inference, Gibbs' sampier and uncertainty estimation in geophysical inversion.// Geophysical Prospecting. 1996, V. 44, P. 313-350.

73. Kasheev D.E. Option pricing for stable distribution of asset.// In: XX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Lublin-Nalenczow, 5-11 September, 1999. Abstracts, P. 84. (1999).

74. Kascheev D.E. On the option pricing for some generalization of the binomial model.// J. Math. Sci., 2000, V. 99, N 3, P. 1267-1272.

75. Кащеев Д.Е. Функциональные предельные теоремы для сложных процессов Кокса.// Обозрение прикл. и промышл. матем., 2000, Т. 7, в. 2, С. 494-495.

76. Кащеев Д.Е. Моделирование динамики стоимости финансовых активов с помощью процессов Кокса.// Методы и алгоритмы исследования задач оптимального управления: Сб. научн. тр. Тверь. ВЦ РАН, ТвГУ, 2000, С. 112-119.

77. Кащеев Д.Е. Цена опциона для случая логустойчивого распределения базового актива.// Теория вероятн. и ее примен., 2000, Т. 45, в. 4, С. 808-809.

78. Kashcheev D.E. Compound Сох processes and option pricing.// J. Math. Sci., 2001, V. 106, N 1, P. 2682-2697.

79. Kashcheev D.E. Some functional limit theorems for compound Cox processes.// In: XXI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Eger, 28 January 03 February, 2001. Abstracts, P. 96-97 (2001).

80. Кащеев Д.Е. Уточнение одной теоремы переноса. Некоторые функциональные предельные теоремы для обобщенных процессов Кокса.// Обозрение прикл. и промышл. матем., 2001, Т. 8, в. 1, С. 207-208.

81. Кащеев Д.Е. Функциональные предельные теоремы для нецент-рированных обобщенных процессов Кокса.// Сложные системы: Моделирование и оптимизация. Тверь, ТвГУ, 2001, С. /6.